Exercícios de Aprofundamento – Mat – Geometria Espacial I
1. (Fuvest 2015) O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo
reto ABCDEFGH. Sabe-se que S pertence à reta determinada por A e E e que AE  2cm,
AD  4cm e AB  5cm.
A medida do segmento SA que faz com que o volume do sólido seja igual a
4
do volume da
3
pirâmide SEFGH é
a) 2 cm
b) 4 cm
c) 6 cm
d) 8 cm
e) 10 cm
2. (Unesp 2015) Quando os meteorologistas dizem que a precipitação da chuva foi de 1mm,
significa que houve uma precipitação suficiente para que a coluna de água contida em um
recipiente que não se afunila como, por exemplo, um paralelepípedo reto-retângulo, subisse
1mm. Essa precipitação, se ocorrida sobre uma área de 1m2, corresponde a 1 litro de água.
O esquema representa o sistema de captação de água da chuva que cai perpendicularmente à
superfície retangular plana e horizontal da laje de uma casa, com medidas 8 m por 10 m.
Nesse sistema, o tanque usado para armazenar apenas a água captada da laje tem a forma de
paralelepípedo reto-retângulo, com medidas internas indicadas na figura.
Estando o tanque de armazenamento inicialmente vazio, uma precipitação de 10 mm no local
onde se encontra a laje da casa preencherá
a) 40% da capacidade total do tanque.
b) 60% da capacidade total do tanque.
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Geometria Espacial I
c) 20% da capacidade total do tanque.
d) 10% da capacidade total do tanque.
e) 80% da capacidade total do tanque.
3. (Fuvest 2015) No cubo ABCDEFGH, representado na figura abaixo, cada aresta tem
medida 1. Seja M um ponto na semirreta de origem A que passa por E. Denote por θ o
ângulo BMH e por x a medida do segmento AM.
a) Exprima cos θ em função de x.
b) Para que valores de x o ângulo θ é obtuso?
c) Mostre que, se x  4, então θ mede menos do que 45.
4. (Unesp 2015) Um bloco maciço com a forma de paralelepípedo reto-retângulo tem
dimensões 8 m, 12 m e 10 m. Em duas de suas faces, indicadas por A e B na figura, foram
marcados retângulos, de 2 m por 3 m, centralizados com as faces do bloco e com lados
paralelos às arestas do bloco. Esses retângulos foram utilizados como referência para perfurar
totalmente o bloco, desde as faces A e B até as respectivas faces opostas a elas no bloco.
Calcule o volume e a área total do novo sólido, que resultou após a perfuração do bloco.
5. (Ita 2014) Uma pirâmide de altura h  1 cm e volume V  50 cm3 tem como base um
polígono convexo de n lados. A partir de um dos vértices do polígono traçam-se n  3
diagonais que o decompõem em n  2 triângulos cujas áreas Si , i  1, 2, ..., n  2, constituem
uma progressão aritmética na qual S3 
3
cm2 e S6  3 cm2 . Então n é igual a
2
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Geometria Espacial I
a) 22.
b) 24.
c) 26.
d) 28.
e) 32.
6. (Insper 2014) Uma empresa fabrica porta-joias com a forma de prisma hexagonal regular,
com uma tampa no formato de pirâmide regular, como mostrado na figura.
As faces laterais do porta-joias são quadrados de lado medindo 6 cm e a altura da tampa
também vale 6 cm. A parte externa das faces laterais do porta-joias e de sua tampa são
revestidas com um adesivo especial, sendo necessário determinar a área total revestida para
calcular o custo de fabricação do produto. A área da parte revestida, em cm2, é igual a
a) 72(3  3).
b) 36(6  5).
c) 108(2  5).
d) 27(8  7).
e) 54(4  7).
7. (Espcex (Aman) 2014) Considere um prisma regular reto de base hexagonal tal que a razão
3
. Aumentando-se a aresta da base em 2 cm e
3
mantendo-se a aresta lateral, o volume do prisma ficará aumentado de 108 cm3. O volume do
prisma original é
entre a aresta da base e a aresta lateral é
a) 18 cm3 .
b) 36 cm3 .
c) 18 3 cm3 .
d) 36 3 cm3 .
e) 40 cm3 .
8. (Enem 2014) Conforme regulamento da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac), o
passageiro que embarcar em voo doméstico poderá transportar bagagem de mão, contudo a
soma das dimensões da bagagem (altura + comprimento + largura) não pode ser superior a
115cm.
A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo.
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Geometria Espacial I
O maior valor possível para x, em centímetros, para que a caixa permaneça dentro dos
padrões permitidos pela Anac é
a) 25.
b) 33.
c) 42.
d) 45.
e) 49.
9. (Insper 2014) Em um sistema de coordenadas cartesianas no espaço, os pontos A(3, 2, 5),
B(5, 2, 5), C(5, 4, 5) e D(3, 4, 5) são os vértices da base de uma pirâmide regular de volume 8.
O vértice V dessa pirâmide, que tem as três coordenadas positivas, está localizado no ponto
a) (2, 1, 5).
b) (3, 2, 2).
c) (3, 2, 6).
d) (4, 3, 7).
e) (4, 3, 11).
10. (Ita 2013) Das afirmações:
I. Duas retas coplanares são concorrentes;
II. Duas retas que não têm ponto em comum são reversas;
III. Dadas duas retas reversas, existem dois, e apenas dois, planos paralelos, cada um
contendo uma das retas;
IV. Os pontos médios dos lados de um quadrilátero reverso definem um paralelogramo,
é (são) verdadeira(s) apenas
a) III.
b) I e III.
c) II e III.
d) III e IV.
e) I e II e IV.
11. (Espcex (Aman) 2013) Considere as seguintes afirmações:
I. Se uma reta r é perpendicular a um plano α, então todas as retas de α são perpendiculares
ou ortogonais a r;
II. Se a medida da projeção ortogonal de um segmento AB sobre um plano α é a metade da
medida do segmento AB, então a reta AB faz com α um ângulo de 60°;
III. Dados dois planos paralelos α e β, se um terceiro plano γ intercepta α e β, as
interseções entre esses planos serão retas reversas;
IV. Se α e β são dois planos secantes, todas as retas de α também interceptam β.
Estão corretas as afirmações
a) apenas I e II
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Geometria Espacial I
b) apenas II e III
c) I, II e III
d) I, II e IV
e) II, III e IV
12. (Fgv 2013) A figura mostra a maquete do depósito a ser construído. A escala é 1: 500, ou
seja, 1cm, na representação, corresponde a 500 cm na realidade.
Qual será a capacidade, em metros cúbicos, do depósito?
13. (Unicamp 2013) Numa piscina em formato de paralelepípedo, as medidas das arestas
estão em progressão geométrica de razão q > 1.
a) Determine o quociente entre o perímetro da face de maior área e o perímetro da face de
menor área.
b) Calcule o volume dessa piscina, considerando q = 2 e a área total do paralelepípedo igual a
252 m2.
14. (Epcar (Afa) 2013) Uma pirâmide regular ABCV, de base triangular ABC, é tal, que sua
aresta lateral AV mede 3 cm.
Sendo
a)
b)
5 cm a altura de tal pirâmide, a distância, em cm, de A à face BCV é igual a
30
2
7
26
2
d) 2 2
c)
15. (Ita 2013) Um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo de vértice V,
determinando um triângulo ABC cujos lados medem, respectivamente, 10, 17 e 5 cm. O
volume, em cm3, do sólido VABC é
a) 2.
b) 4.
c) 17.
d) 6.
e) 5 10.
16. (Fuvest 2013) No paralelepípedo reto retângulo ABCDEFGH da figura, tem-se AB  2,
AD  3 e AE  4.
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Geometria Espacial I
a) Qual é a área do triângulo ABD?
b) Qual é o volume do tetraedro ABDE?
c) Qual é a área do triângulo BDE?
d) Sendo Q o ponto do triângulo BDE mais próximo do ponto A, quanto vale AQ?
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
A figura abaixo representa uma peça de vidro recortada de um retângulo de dimensões 12 cm
por 25 cm. O lado menor do triângulo extraído mede 5 cm.
17. (Insper 2013) Quatro peças dessas foram coladas a uma base quadrada de lado 12 cm
para formar um recipiente, juntando-se sempre lados de mesmas dimensões de cada dois
trapézios adjacentes. A figura abaixo mostra a tampa desse recipiente, que será feita de um
vidro escurecido de um dos lados.
A área de cada um dos triângulos que forma essa tampa, em cm2, é
a) 5 194.
b) 6 194.
c) 6 198.
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Geometria Espacial I
d) 7 198.
e) 7 200.
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Geometria Espacial I
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[E]
Sabendo que ABCDEFGH é paralelepípedo reto, temos EF  AB e EH  AD. Portanto, segue
que o resultado pedido é dado por
[SABCD]  [ABCDHEFG] 
4
1
4 1
 [SEFGH]   SA  AE   (AE  SA)
3
3
3 3
 3  SA  9  2  4  (2  SA)
 SA  10cm.
Resposta da questão 2:
[C]
O volume de água captado corresponde a 8  10  10  800 litros. Portanto, como a capacidade
do tanque de armazenamento é igual a 2  2  1  4 m3  4000 litros, segue-se que o resultado é
800
 100  20%.
4000
Resposta da questão 3:
a) EM  x  1
No ΔMAB: BM  x 2  1
No ΔEMH: HM 
2
x  1  12  x 2  2x  2
HB  3 (diagonal do cubo)
Aplicando agora, o teorema dos cossenos no ΔMHO, temos:
2
2
2
3  x 2  2x  2  x 2  1  2  x 2  2x  2  x 2  1  cos θ
3  x 2  2x  2  x 2  1  2  x 2  2x  2  x 2  1  cos θ
cos θ 
x2  x
x 2  2x  2  x 2  1
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Geometria Espacial I
b) Como
2
x  2x  2 e
x2  1 são positivos para todo x real, concluímos que θ será
obtuso se, e somente se: x2  x  0  0  x  1.
Portanto, x  / 0  x  1.
c) x  4  cos θ 
cos 45 
12
144
170 170
2
1
85
85



2
2 85
170
Como cos θ  cos45  θ  45.
Resposta da questão 4:
O volume V do sólido restante será dado pelo volume do sólido inicial V(i) e o sólido retirado
V(r) .
V  V(i)  V(r)
V  8  10  12  2  3  4  2  3  12  2  3  4
V  960  24  72  24
V  960  120
V  840 m3
Para calcular a área total, iremos considerar algumas etapas:
Área das faces externas paralelas à face A: A1  2  (8  10  2  3)  148m2
Área das faces internas paralelas à face A: A2  4  (4  3)  48m2
Área das faces externas paralelas à face B: A3  2  (12  8  2  3)  180m2
Área das faces internas paralelas à face B: A 4  4  3  5  60m2
Área das faces externas paralelas à face C: A5  2  12  10  240m2
Área das faces internas paralelas à face C: A6  2  (2  10  2  2  5)  80m2
Portanto, a área total será dada por:
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Geometria Espacial I
A  A1  A2  A3  A 4  A5  A6  148  48  180  60  240  80  756 m2
Resposta da questão 5:
[C]
Se a altura da pirâmide mede 1cm e seu volume 50cm3 , então a área da base é tal que
50 
1

3
n 2

n2
Si  1 
i1
 Si  150cm2 .
i1
Além disso, temos
3
 3r
2
1
 r  cm2 .
2
S6  S3  3  r  3 
Logo,
3
1
 S1  2 
2
2
1
 S1  cm2 .
2
S3  S1  2  r 
Por conseguinte, o valor de n é
n2
n2
 150 
2 
 Si  [2  S1  (n  3)  r]  
i1
1  n  2 
 1
2  2  (n  3)  2    2 

 

 (n  1)  (n  2)  600
 n2  3n  598  0
 n  26.
Resposta da questão 6:
[E]
Considere a figura, em que V é o vértice da pirâmide, O é o centro da base e M é o ponto
médio da aresta AB.
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Geometria Espacial I
Desse modo, como AB  6cm, vem
OM 
AB
 OM 
2 tg30
6
3
2
3
 3 3 cm.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo OVM, encontramos
2
2
2
2
VM  OV  OM  VM  62  (3 3 )2
 VM  3 7 cm.
Portanto, o resultado pedido é dado por
 2 AB  VM 
2
6   AB 
  6  (6  3  3 7 )

2


 54(4  7 )cm2 .
Resposta da questão 7:
[B]
Volume do prisma 1:
6  a2 3  h
4
Volume do prisma 2:
6  (a  2)2 3  h
4
Aumento do volume: V2  V1  6 3  (a  1)  h  108
a
3

ha 3
h
3
(I)
(II)
Substituindo (II) em (I), temos:
6 3  (a  1)  a 3  108
18(a2  a)  108
a2  a  6
Resolvendo a equação do segundo grau, temos a = – 3 ( não convém) ou a = 2.
a  2cm  h  2 3cm, portanto, o volume do prisma 1 será dado por:
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Geometria Espacial I
V1 
6  a2 3  h 6  22 3  2 3

 36cm3
4
4
Resposta da questão 8:
[E]
De acordo com a figura, tem-se que a altura da caixa mede 24cm. Além disso, a largura mede
90  2  24  42cm. Daí, o comprimento x, em centímetros, deve ser tal que
0  x  42  24  115  0  x  49.
Portanto, o maior valor possível para x, em centímetros, é 49.
Resposta da questão 9:
[E]
Observando que as cotas dos pontos A, B, C e D são iguais, podemos concluir que o
quadrilátero ABCD está contido no plano z  5. Logo, se O é o centro de ABCD, tem-se que
VO é paralelo ao eixo z. Além disso, é fácil ver que ABCD é um quadrado de lado 2. Desse
modo, sabendo que o volume de VABCD é igual a 8, obtemos
8
1 2
 2  VO  VO  6.
3
Portanto, como
35 24 55
O
,
,
 (4, 3, 5),
2
2 
 2
segue-se que V  (4, 3, 5  6)  (4, 3, 11) ou V  (4, 3, 5  6)  (4, 3,  1).
Porém, sabendo que V tem as três coordenadas positivas, só pode ser V  (4, 3, 11).
Resposta da questão 10:
[D]
I. Falsa. Duas retas paralelas e coplanares não são concorrentes.
II. Falsa. Duas retas paralelas paralelas não têm ponto comum e não são reversas.
III. Verdadeira. Considere a figura.
Sejam r e s duas retas reversas.
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Geometria Espacial I
Tomando um ponto A da reta r, existe uma única perpendicular comum a r e s que
intersecta a reta s no ponto B, de tal modo que B  r ' e r r '. Analogamente, obtemos a
reta s' s. Portanto, os planos   (r, s') e   (r ', s) são os únicos planos paralelos, cada
um contendo uma das retas.
IV. Verdadeira. Considere o quadrilátero reverso da figura, com ABD   e BCD  .
Como PQ é base média do triângulo ABD e MN é base média do triângulo BCD, segue que
PQ BD e MN BD. Logo, PQ MN. Similarmente, concluímos que MQ NP e, portanto,
segue-se o resultado.
Resposta da questão 11:
[A]
I. Correta. Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela forma ângulo reto com todas as
retas do plano. Além disso, se duas retas formam um ângulo reto, então elas são
perpendiculares ou ortogonais.
II. Correta. Considere a figura.
Seja MN a projeção ortogonal de AB sobre α.
AB
Sabendo que MN  AQ 
e que QAB é agudo, do triângulo retângulo AQB, obtemos
2
AB
cosQAB 
 cosQAB  2
AB
AB
1
 cosQAB 
2
1
 QAB  arccos
2
AQ
 QAB  60,
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Geometria Espacial I
Portanto, como QAB e NPB são ângulos correspondentes, segue que NPB  60, ou seja, a
reta AB faz com α um ângulo de 60.
III. Incorreta. Se α e β são planos paralelos e γ é um plano que intersecta α e β, então as
interseções entre esses planos são retas paralelas.
IV. Incorreta. Seja r a reta determinada pela interseção dos planos α e β . Se s é uma reta de
α, tal que s  r e s r, então s não intersecta β.
Resposta da questão 12:
O depósito pode ser dividido em um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões
0,9cm  3cm  7,2cm; e um prisma triangular reto de altura 7,2cm, com uma das arestas da
base medindo 3cm e altura relativa 0,6cm. Logo, a capacidade do depósito da maquete é
dada por
0,9  3  7,2 
3  0,6
 7,2  25,92cm3 .
2
Portanto, como a escala adotada é 1: 500 e 1cm3  106 m3 , segue que a medida real da
capacidade do depósito é
25,92  5003
10
6
 3240 m3 .
Resposta da questão 13:
a)
Perímetro do quadrado de maior área: P1
Perímetro do quadrado de menor área: P2
P1 2x.q2  2.x.q 2x.q(q  1)


q
P2
2x  2.x.q
2x(1  q)
b) Se q = 2, as dimensões do paralelepípedo são: x, 2x e 4x, e sua área total será dada por:
2.  x.2x  x.4x  2x.4x   252
28x 2  252
x2  9
x  3
Portanto, as dimensões do paralelepípedo são 3, 6 e 12, e seu volume V será dado por:
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Geometria Espacial I
V = 3.6.12 = 156 m3.
Resposta da questão 14:
[A]
2
No triângulo VOM: R2  5  32  R  4  R  2 e a = 1
2
No triângulo VOM: m2  5  12  m  6
O triângulo AMV é isósceles de base VM (AM = AV = 3)
2
 6
6
Logo, d2  
 32  d  9   d 
 2 
4


30
2
Resposta da questão 15:
[A]
2
 2
2
 x  y  10 ( 1 )
2
 2
2
 x  z  17 ( 2 )
 2
2
2
(3)
z  y  5

Fazendo (1) + (2) – (3), temos:
2x2  2  x  1, y  3 e z  4
Portanto, o volume do sólido será dado por:
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Geometria Espacial I
V
1 z.y
4.3.1

x 
 2cm3
3 2
6
Resposta da questão 16:
Logo, a área do triângulo BDE será dada por:
1
2 61
5
 61.
2
5
a) A   3  2 /2  3.
b) V  1/3   3  4  4.
c)
1
12
12 61
 61  AQ  4  AQ 

.
3
61
61
Resposta da questão 17:
[B]
Considere a figura, que representa um dos triângulos que constitui a tampa.
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Exercícios de Aprofundamento – Mat – Geometria Espacial I
De acordo com as informações, temos que PR  PQ  13cm correspondem à medida da
hipotenusa do triângulo retângulo extraído da peça retangular. Além disso, QR  12 2 cm
corresponde à medida da diagonal da base quadrada do recipiente.
Se M é o pé da perpendicular baixada de P sobre QR, então MR  MQ  6 2 cm. Logo, pelo
Teorema de Pitágoras, vem
2
2
2
2
PM  PR  MR  PM  132  (6 2)2
2
 PM  169  72
 PM  97 cm.
Portanto, a área pedida é dada por
12 2  97
 6 194 cm2 .
2
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