AE-249 - AEROELASTICIDADE
Aeroelasticidade Estática
Instituto Tecnológico de Aeronáutica – ITA/IEA
Triângulo de Collar
DSA:Efeitos aeroelásticos na estabilidade dinâmica
SSA: Efeitos aeroelásticos na estabilidade estática
A
SSA
L
C
DS
D
R
F
B
Z
DSA
E
I
V
A: Força aerodinâmica
E: Força elástica
I: Força inercial
Campos Relacionados
V: Vibrações mecânicas
DS: Estabilidade dinâmica
F:
B:
Z:
L:
D:
C:
R:
Fenômenos Aeroelásticos
“Flutter”
“Buffeting”
Resposta dinâmica
Distribuição de carga
Divergência
Eficiência de controle
Reversão do sistema de controle
Conceitos introdutórios – Parte I
† Análise matricial de estruturas
Os deslocamento devido a flexibilidade estão
relacionados às forças como:
{Fi } = ⎡⎣ Kij ⎤⎦ {u j }
Supondo que a estrutura é linear
⎡⎣ K ij ⎤⎦ - matriz de rigidez, composta por coeficientes de
influência de rigidez. Cada coluna representa o conjunto
de forças necessário para que o deslocamento ui seja
unitário e uj sendo nulo quando i≠j.
Análise matricial de estruturas
† Trabalho virtual realizado
por uma força:
1
W = ∑ F ⋅ du = F ⋅ u =
2
1
1
= K ⋅ u ⋅ u = K ⋅ u2 →
2
2
Energia potencial elástica
Análise matricial de estruturas
† Na forma matricial:
1
1
T
W = ∑ F ⋅ du = { Fi } ⋅ {ui } = {ui } ⋅ { Fi } ⇒
2
2
1
T
W = {ui } ⋅ { Fi } ⋅ {u j } = U → Energia potencial elástica
2
∂U
⇒
Note que diferenciando
∂xi
refere-se a aplicação da equação de Lagrange:
(
)
∂U
d ⎡ ∂ (T − U ) ⎤ ∂ T − U
= Qj =
= Fi
⎢
⎥−
∂xi
∂xi
dt ⎣ ∂x&i ⎦
Análise matricial de estruturas
† Consequentemente temos:
∂U
= ∑ K ij u j = Fi
∂xi
Note que:
∂U
∂U
= K ij =
= K ji
∂xi ∂x j
∂x j ∂xi
Como a ordem de integração não altera o
resultado, a matriz de rigidez deve ser
simétrica
Os elementos diagonais devem ser positivos ou
nulos, enquanto os demais não
Análise matricial de estruturas
†
Exemplo: construção da
matriz de rigidez do sistema
ao lado:
∑ F = P − K ( h − aθ ) − K ( h + bθ ) = 0
∑ M = M + K a ( h − aθ ) − K b ( h + bθ ) = 0
1
T
2
1
⎧ P ⎫ ⎡ ( K1 + K 2 )
⎨ ⎬=⎢
⎩ M ⎭ ⎢⎣( K 2b − K1a )
2
( K 2b − K1a )
⎤ ⎧h ⎫
⎥⎨ ⎬
2
2
( K1a + K 2b )⎥⎦ ⎩θ ⎭
Note que os termos diagonais
são sempre positivos, e que
existe o acoplamento
elástico (termos fora da
diagonal)
Análise matricial de estruturas
† Centro de cisalhamento e centro de torção –
são exatamente a mesma coisa, é o ponto
onde ao se aplicar uma força só existirá
cisalhamento, ou seja não existirá nenhum
momento aplicado. Se K1 = K2, e a = b, a
origem O é o centro de torção;
† Este conceito é válido quando assume-se que a
estrutura é linear;
† Em aeroelasticidade, a posição do centro de
torção será determinante na caracterização da
estabilidade estática e dinâmica do sistema
Conceitos introdutórios – Parte II
† Aerodinâmica
básica
Definições básicas ->
Geometria da um aerofólio
bidimensional, daqui por
diante abreviado para 2D.
c = corda
b = ½ corda
V = Velocidade de
escoamento não
perturbado.
α = ângulo de ataque
Parâmetros de similaridade
† Em aerodinâmica, define-se como parâmetros
de similaridade:
V
M= →
a
ρVc
Re =
→
μ
Número de Mach
Número de Reynolds
† Em aeroelasticidade temos:
m
ωb
μ =
k=
πρ b 2 S
V
Frequência reduzida
massa aparente
V = vel. Escoamento
a = velocidade do som
ρ = densidade
μ =visc. dinâmica
ω = frequência circular
S = área
Parâmetros de similaridade
† O uso de parâmetros de similaridade garante o
efeito de escala dinâmica para comparações
teórico experimentais.
† Se Reynolds e Mach forem similares entre dois
corpos imersos em um fluido, que sejam
geometricamente similares, porém em escala
diferente os parâmetros aerodinâmicos serão
idênticos.
Sustentação e Momento
† Para calcular o momento,
requer-se um
comprimento de posição
de referência;
dL
α
dα
dM
M = Mo +
α
dα
qSC L = qSC Lo + qSC Lα α
L = Lo +
qScC M = qScC M o + qScC M α α
Coeficientes aerodinâmicos
† Coeficientes de sustentação e momento:
Cl =
l
1
ρV 2 S
2
Cm =
m
1
ρV 2 Sc
2
Nota: é usual definir os índices de coeficiente de seções
2D em minúsculas.
C lα
dC l
=
⇒ C l = C l 0 + C lα α = C lα (α − α 0 L ift )
dα
α 0 Lift
- ângulo de ataque para sustentação nula
Transporte do momento
† Pode-se medir ou calcular o momento
aerodinâmico em um determinado ponto e
transporta-lo para outro ponto de interesse:
Cma = Cma + Cl ( ha − hb )
† Onde a e b são dois pontos distintos situados
a distâncias ha e hb do bordo de ataque em
frações da corda “c”.
Centro aerodinâmico
† Por definição o centro aerodinâmico é o ponto
sobre o aerofólio onde o momento
aerodinâmico não varia com o ângulo de
ataque.
dC
mac
dα
=0
† Para obter o centro aerodinâmico (ac),
empregas-se a fórmula de transporte de
momentos
Cmac = Cmb + Cl ( hac − hb )
Centro aerodinâmico
† Diferenciando em relação a α :
dCmac
dCmb dCl
=0=
+
( hac − hb ) ⇒
dα
dα
dα
dCmb
hac = hb −
dCl
† Exemplo:
Cl
0,2
0,4
Cm1/3 -0,02 0,00
0,6
0,8
0,02
0,04
Centro aerodinâmico
† Como os dados de túnel de vento acima
comporta-se de forma linear,
dCm 1
dCl
3
=
0, 04 − ( −0, 02 )
hac = h 1 −
3
0,8 − 0, 2
dCm 1
dCl
3
= 0,10
1
= − 0,10 = 0, 2333
3
† Para aerofólios finos em regime subsônico o
centro aerodinâmico situa-se a uma posição a
¼ da corda aproximadamente.
Centro de pressão
† Posição onde o momento aerodinâmico é nulo
pois é o ponto de aplicação da resultante do
carregamento aerodinâmico distribuído sobre a
corda.
† A sua posição pode ser determinada de:
1⎞
⎛
Cmxcp = Cm 1 + Cl ⎜ hxcp − ⎟ = 0
3
3⎠
⎝
−Cm 1
3
Cm 1 1 0, 02 1
1⎞
⎛
3
= Cl ⎜ hxcp − ⎟ ⇒ hxcp =
+ =
+ = 0, 4333
Cl
3⎠
3 0, 2 3
⎝
† Note que a posição do Cp depende de α .
Porque o CA ao invés do CP?
†
†
†
†
†
Embora o centro de pressão CP seja o ponto de aplicação da
resultante aerodinâmica, a sua posição muda com a variação
do ângulo de ataque.
Por outro lado, o que não muda com o ângulo de ataque é a
posição do centro aerodinâmico CA.
Portanto, é razoável assumir como ponto de aplicação da
resultante aerodinâmica a posição do centro aerodinâmico,
uma vez que a força aerodinâmica variará proporcionalmente
ao ângulo de ataque ao mesmo tempo que momento
aerodinâmico permanecerá constante ou nulo (placa plana).
Note que para o caso de um aerofólio fino, ou mesmo a
representação da seção de um aerofólio por uma placa plana a
posição do CA será aproximadamente e exatamente a ¼ da
corda, respectivamente. e todo o momento atuante no
aerofólio será oriundo da sustentação multiplicada pela
distancia do ponto de giro do aerofólio ao centro aerodinâmico
a ¼ da corda.
Note que para o caso da placa sem arqueamento, o momento
aerodinâmico será nulo (Cmac0 = 0)
Mais definições...
† Asa finita (3D)
Λe=enflechamento do
bordo de ataque (LE)
A = área da asa
b/2 (s/2) = ½ envergadura
Cr = corda na raiz
Ct = corda na ponta
ct
=λ
cr
s2
AR =
A
afilamento
alongamento
Corda média aerodinâmica (MAC)
† Corda de uma asa retangular com a, com a
mesma área A, cujas características
aerodinâmicas (sustentação e momento de
arfagem) são iguais a asa original.
s
2
0
MAC = ∫ c 2 ( y ) dy
2 1+ λ + λ2
MAC = cr
→
3
1+ λ
Asa reta e afilada, e será
importante para adimensionalizar
A frequência reduzida
Compressibilidade
† Os coeficientes aerodinâmicos bem como as
suas derivadas dependem de efeitos de
compressibilidade;
† Este efeito é representado pela correção de
compressibilidade conhecida também como
correção de Prandtl-Glauert;
dCl
ClInc
α
= Clα =
dα
1− M 2
† Não só coeficientes, mas também a posição do
centro aerodinâmico é alterada.
Pressão dinâmica de “Flutter”
Regime Transônico
“Transonic Dip”
teoria linear
ponto crítico para
“Flutter” (regime
transônico)
baixo amortecimento
0
1
Número de Mach
Introdução à
Aeroelasticidade Estática
X-29
Aeroelasticidade Estática
† Centro Elástico (CE): é o ponto para o qual
uma força normal à corda é aplicada e a seção
não sofre torção, mas apenas flexão.
† Uma força aplicada fora do CE causa torção e
flexão.
AC - Centro Aerodinâmico
(Ponto onde o Momento
Aerodinâmico não muda)
CE
Aeroelasticidade Estática
† Eixo Elástico: linha ao longo do
comprimento da semi-asa, formada
pelos pontos (CE) onde forças podem
ser aplicadas sem resultar em torção
da mesma.
Esforço aplicado
no eixo elástico
(flexão)
Esforço aplicado
fora do eixo elástico
(torção e flexão)
Eixo elástico
:
Distribuição da sustentação
∂CL
α
CL =
∂α
M AC( x ) = L ⋅ x AC + M AC
M AC = CM AC q ⋅ S ⋅ c
L
M
AC
xac
CP
CE
M xCP = 0
c
c Escoamento subsônico (consegue-se o valor exato
x AC ≅
4 quando se aplica a teoria dos perfis finos).
c
x AC ≅
Escoamento supersônico
2
Seção Típica de uma Asa
Seção mais representativa da
asa. Em geral, é considerada Eixo Elástico
a 75% da semi-envergadura
da asa.
Esta seção depende da
rigidez torcional ao longo da
asa.
L
AC
Kθ
CP
W
CE
75%
Seção Típica
A resistência devido à rigidez torcional
é a tendência de uma seção da asa
em resistir à torção imposta pela
seção adjacente. É representada pela
Mola Torcional (Kθ).
Divergência Aeroelástica-1 GDL
L
L
MAC
AC
α
θ
Kθ
CE
e - distância do CE ao AC
α - ângulo de ataque inicial
θ - ângulo de torção elástica
AC
Kθ
Mθ = Kθ · θ
α
e
e
V
MAC
V
Obs.: Geralmente o “Flutter”
ocorre antes que a
Divergência, exceto para
asas com enflechamento
negativo.
Equilíbrio de Momentos (ref. CE)
M AC + Le = K θ θ
Em termos de coeficientes aerodinâmicos, tem-se:
∂C L
(α 0 + θ ) qSe = Kθ θ
C M AC qSc +
∂α
Determina o quanto tem de torção, dependendo da velocidade.
Então,
⎛
⎞
⎜ e ∂C L α 0 + cC M
AC
qS ⎜ ∂α
θ=
Se ∂C L
Kθ ⎜
⎜ 1− q
K θ ∂α
⎝
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Obs.: θ aumenta quando diminui o denominador. Denominador
nulo corresponde a condição de divergência.
Condição de divergência
Pressão Dinâmica de Divergência (qD):
Que proporciona a divergência sobre um
aerofólio.
Velocidade de Divergência (VD):
Velocidade em que ocorre a Divergência.
LTotal
Kθ
qD =
⎛ ∂C ⎞
Se⎜ L ⎟
⎝ ∂α ⎠
VD =
∂C L
(α 0 + θ ) ∴ LTotal = LRígida + LElástica
= qS
∂α
2 Kθ
⎛ ∂C ⎞
ρSe⎜ L ⎟
⎝ ∂α ⎠
O carregamento é alterado pela flexibilidade
Para aumentar a VD: aumentar Kθ ; diminuir e; e reduzir o ρ (aumentar
o nível de vôo). Se e < 0, não existe a condição de Divergência.
Condição de divergência
† Note os termos que compõem a relação
abaixo:
qSeCLα α 0 + qScCM
θ=
AC
Kθ − qSeCLα
{
1
424
3
“Rigidez Aerodinâmica”
“Rigidez Estrutural”
“Rigidez Aeroelástica”
A divergência é uma instabilidade independente da magnitude dos
esforços (momentos), mas sim dependente da rigidez aeroelástica
Condição de divergência
“Rigidez Estrutural”
“Rigidez Aeroelástica”
“Rigidez Aerodinâmica”
Condição de divergência
† Graficamente:
Kθ < q2 SeCLα
Kθ > q1SeCLα
Influência do peso
† O peso W, cujo ponto de aplicação é o CG, também tem
influência sobre a torção elástica, devido o momento
negativo gerado por ele, resultando em
M AC + Le − Wd = Kθ θ
∂CL
CM AC qSc +
(α 0 + θ ) qSe − Wd = Kθθ
∂α
⎛ ∂CL
⎞
+ cCM AC − Wd ⎟
e
α
⎜
0
qS
⎜ ∂α
⎟
θ=
Se ∂CL
Kθ ⎜
⎟
q
1
−
⎜
⎟
∂
K
α
θ
⎝
⎠
Entretanto, note que a
divergência independe
desta “força externa”...
Acréscimo de sustentação
Efeito Aeroelástico abaixo da VD:
M AC + Le = K θ θ
∂C L
(α 0 + θ ) + qScC M AC = Kθ θ
∴ Se
∂α
⎞
⎛
⎟ ∂C
⎜
C M AC
c
qSe ⎜α 0 +
+ θ ⎟ L = Kθ θ
⎟ ∂α
⎜
e ∂C L
⎟
⎜
∂α
⎠
⎝
α 0 = ângulo de ataque antes da torção elástica
∴
Acréscimo de sustentação
Kθ
Como q D =
⎛ ∂C L ⎞
Se⎜
⎟
⎝ ∂α ⎠
⎛ ∂C L ⎞
∴ K θ = q D Se⎜
⎟
⎝ ∂α ⎠
Então obtém-se :
∂C L
∂C L
= q D Se
θ
qSe (α 0 + θ )
∂α
∂α
⇒
α0 +θ
1
=
α0
1 − qq
que é a expressão que indica o quanto de sustentação
se tem em relação à asa rígida.
D
Sustentação Efetiva
LEfetiva =
LRígida + LElástica
LRígida
Ex.: V = 0,8
VD
∴
⇒
α0 +θ
≅
α0
q
= 0, 64
qD
α0 +θ
α0
α0 + θ
≅ 0,3
α0
então LElástica ≅ 2 LRígida
Mas, com α 0 = 5°
0
⇒ θ = 10° , e α 0 + θ = 15°
que está fora da faixa linear (tomar cuidado).
1
q
qD
Considerações adicionais
† A eficiência da sustentação modifica o
desempenho da aeronave, e deve ser
considerada no projeto;
† A superfícies de sustentação devem ser
dimensionadas considerando a flexibilidade;
† A redistribuição da sustentação move o centro
de pressão de uma asa na direção da raiz, e
para a frente (direção do BA);
† O estudo da estabilidade e controle da
aeronave deve levar em conta os efeitos da
flexibilidade.
Divergência Aeroelástica-2 GDL
L
L
MAC
AC
α
Kθ
CE
e
AC
Kθ
Mθ = Kθ · θ
α
e
Kh
V
e
α
θ
h
θ
MAC
Kh
V
- distância do CE ao AC
- ângulo de ataque inicial
- ângulo de torção elástica
- deslocamento vertical
+h
Kh = rigidez em translação
Equilíbrio de Momentos e Forças
(ref. CE)
Sistema de duas equações a duas incógnitas:
M AC + L ⋅ e = Kθ ⋅ θ
L = Kh ⋅ h
Agrupando:
⎡ ∂CL
⎤
qS ⎢
(α 0 + θ ) ⎥ = K h ⋅ h
⎣ ∂α
⎦
qScCM AC
⎡ ∂CL
⎤
+ qSe ⎢
α
+
θ
( 0 )⎥ = Kθ ⋅θ
⎣ ∂α
⎦
Equilíbrio de Momentos e Forças
(ref. CE)
Na forma matricial:
⎡ Kh
⎢0
⎣
⎡ Kh
⎢0
⎣
⎡ Kh
⎢
⎢ Kθ
⎢
⎢ 0
⎢⎣
⎡ 0 −1⎤ ⎧ h ⎫
⎧ −1⎫
⎢0 e ⎥ ⎨θ ⎬ + qSCLα α 0 ⎨ e ⎬ + qScCM AC
⎣
⎦⎩ ⎭
⎩ ⎭
0 ⎤ ⎧h ⎫
⎡0 −1⎤ ⎧ h ⎫
⎧−1⎫
⎨ ⎬ − qSCLα ⎢
⎨ ⎬ = qSCLα α 0 ⎨ ⎬ + qScCM AC
⎥
⎥
Kθ ⎦ ⎩θ ⎭
⎣0 e ⎦ ⎩θ ⎭
⎩e⎭
qSCLα ⎤
⎥
Kθ
⎥ ⎧ h ⎫ = qSCLα α 0 ⎧−1⎫ + qScCM AC ⎧0 ⎫
⎨ ⎬
⎨ ⎬
⎨ ⎬
qSeCLα ⎥ ⎩θ ⎭
e
Kθ
Kθ
⎩ ⎭
⎩1 ⎭
1−
⎥
Kθ ⎥⎦
0 ⎤ ⎧h ⎫
⎨ ⎬ = qSCLα
⎥
Kθ ⎦ ⎩θ ⎭
⎧0 ⎫
⎨ ⎬
⎩1 ⎭
⎧0 ⎫
⎨ ⎬
⎩1 ⎭
Equilíbrio de Momentos e Forças
(ref. CE)
Na forma matricial:
⎡
⎢K
⎢ θ
⎧ h ⎫ qSCLα α 0 ⎢ K h
⎢
⎨ ⎬=
Kθ
⎢
⎩θ ⎭
⎢ 0
⎢
⎢⎣
⎛ − qSCLα
⎞⎤
⎜
K h ⎟⎠ ⎥
⎝
⎥
qSeCLα
⎥ ⎧−1⎫ qScCM
1−
AC
Kθ ⎥ ⎨ ⎬ +
Kθ
⎥⎩ e ⎭
1
⎥
qSeCLα
⎥
1−
Kθ ⎥⎦
⎡
⎢K
⎢ θ
⎢ Kh
⎢
⎢
⎢ 0
⎢
⎢⎣
⎛ − qSCLα
⎞⎤
⎜
K h ⎟⎠ ⎥
⎝
⎥
qSeCLα
⎥ ⎧0 ⎫
1−
Kθ ⎥ ⎨ ⎬
⎥ ⎩1 ⎭
1
⎥
qSeCLα
⎥
1−
Kθ ⎥⎦
Equilíbrio de Momentos e Forças
(ref. CE)
Os deslocamentos são dados por:
⎡ ⎛ − qSCLα α 0 ⎞ ⎤
⎡ ⎛ − qSCLα
⎞⎤
⎢⎜
⎢⎜
⎟ ⎥ qScC
⎟⎥
K
K
h
h
M
⎠⎥ −
⎠⎥
AC
⎢⎝
h = ⎢⎝
Kθ
⎢ 1 − qSeCLα
⎥
⎢1 − qSeCLα
⎥
⎢
⎢
Kθ ⎥
Kθ ⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎡ ⎛ qSCLα α 0
⎞⎤
⎡
⎤
⎢⎜
⎥
Kθ ⎟⎠
qScCM AC ⎢
⎥
1
⎝
⎥−
θ =⎢
⎢ qSeC
⎥
qSeC
Kθ
⎢ 1−
⎥
Lα
Lα
⎢1 −
⎥
⎢
Kθ ⎥
K
⎢⎣
θ ⎥
⎦
⎣
⎦
Moral da história: A pressão dinâmica de divergência é a mesma
que o caso com 1 GDL.
Outros efeitos...
† A condição (pressão dinâmica, por exemplo)
em que o aerofólio perde a sua resistência em
torção é conhecida como divergência;
† Não apenas o efeito da compressibilidade, mas
também um eventual aquecimento
aerodinâmico pode mudar as características
estruturais da estrutura, diminuindo a sua
rigidez. (Aerotermoelasticidade). Ex. vôos em
regime hipersônico.
† Uma falha estrutural pode alterar a
característica aeroelástica e levar a divergência
O mais importante - efeito da
compressibilidade
† Correção de Prandtl-Glauert:
qD =
Se
Kθ
CLincα
1− M 2
A velocidade de divergência
aumenta com a altitude,
porém diminui com o efeito
da compressibilidade.
O efeito da compressibilidade
C Lα
KT
⇒ C Lα =
qD =
SeCLα
qDo
0
1− M
2
2
KT
KT 1 − M
2
q
=
=
q
1
−
M
=
⇒ D
Do
SeCL
SeCLα
0
α0
Mais sobre compressibilidade...
† Todavia, o número de Mach muda a pressão
dinâmica de divergência (Prandtl-Glauert);
† Porém não podemos trata-lo como um
parâmetro independente; note a relação para a
velocidade de divergência:
VD =
ρ Se
2 Kθ
CLincα
1− M 2
† A velocidade de divergência depende do par ρ
e M, uma vez que o número de Mach depende
da altitude .
Mach de divergência
† Pergunta: se operarmos em uma determinada altitude,
qual será o Mach de divergência? A condição de vôo
calculada a partir da equação:
V
M=
a
e
1
1
2
q = ρ ⋅V = ρ ⋅ M 2 a 2
2
2
deve corresponder (match) à condição calculada pela
análise de divergência.
† Em outras palavras, a densidade e o número de Mach
devem corresponder à velocidade calculada para uma
determinada condição de vôo (altitude).
Mach de divergência
† Para tal, vamos calcular a pressão dinâmica
incluindo o efeito da compressibilidade:
Kθ 1 − M 2
2
2
inc
qD =
=
q
1
−
M
=
q
1
−
M
0
D
S ⋅ e ⋅ CLincα
† Combinando a equação acima com:
1
1
2
q = ρ ⋅V = ρ ⋅ M 2 a 2
2
2
† Tem-se :
Mach de divergência
†
Continuação...
1
ρ ⋅ M 2 a 2 = qDinc 1 − M 2 = qS M 2
2
†
†
†
Onde a pressão dinâmica qs é a pressão correspondente a um
escoamento à velocidade do som.
Ou seja, podemos usar a relação acima que é função
exclusivamente do número de Mach e da pressão dinâmica de
divergência em regime incompressível. Também é necessário
identificar a altitude correspondente à análise para se calcular
a velocidade do som e se obter a pressão dinâmica de
referência para aquela altitude;
O resultado é uma equação quártica para o número de Mach
apenas, a nossa incógnita. Este valor correspondente a uma
dada altitude será o número de Mach de divergência:
Mach de divergência
2
2
⎛ qDo ⎞
⎛ qDo ⎞
2
M +⎜
⎟ MD −⎜
⎟ =0⇒
⎝ qs ⎠
⎝ qs ⎠
4
D
2
4
⎛ qDo ⎞
⎛ qDo ⎞
⎛ qDo ⎞
−⎜
⎟ + ⎜
⎟ + 4⎜
⎟
⎝ qs ⎠
⎝ qs ⎠
⎝ qs ⎠
MD = +
2
2
O conceito de “Match Point”
† O conceito de “Match Point”, ou “ponto correspondente”
é muito utilizado para a correlação de resultados de
análises aeroelástica com experimentos em vôo.
† A idéia é obter uma velocidade de divergência que
corresponda ao número de Mach a uma determinada
altitude de vôo.
† Ou seja, plota-se a pressão dinâmica corrigida para os
efeitos de compressibilidade e a pressão dinâmica do
escoamento a velocidade do som (a) correspondente a
uma determinada altitude de vôo.
† A interseção entre as duas curvas fornecerá o Mach de
diverg6encia, ou seja e deste valor pode-se obter a
velocidade de divergência fisicamente correta para a
condição investigada.
O conceito de “Match Point”
†
O número de Mach de
divergência é a interseção
de duas curvas, resultado
de plotar
qD = qDinc 1 − M 2
1
qS = ρ ⋅ M 2 a 2
2
e
respectivamente como
função do número de
Mach. Este ponto é
conhecido como
“Match Point”
Efeito da Altitude no Mach de
divergência
† Do gráfico anterior,
observa-se que o
número de Mach de
divergência aumenta
com o aumento da
altitude que implica na
mudança da velocidade
do som. Na figura ao
lado pode-se também
notar que o MD aumenta
acompanhando a
altitude.
Evitando a divergência...
† Analisando a expressão:
Kθ
qD =
⎛ ∂C L ⎞
Se⎜
⎟
⎝ ∂α ⎠
† Se diminuirmos “e”, a pressão dinâmica de
divergência aumenta;
† Se aumentarmos a rigidez da Kθ a pressão
dinâmica de divergência aumenta.
† Eventuais restrições no envelope de operação
também são uma forma de evitar a divergência
Hipóteses restritivas
† Contexto linear, a pequenas deformações, o
que implica em comportamento linear do
material e da aerodinâmica;
† Deformações ocorrem em um período de
tempo suficientemente grande, podendo-se
classificar o fenômeno como quasi-estático.
Sumário
† A divergência aeroelástica é uma instabilidade
prevista por uma análise de rigidez estática;
† Próximo da condição de divergência, pequenas
deformações em torção (incidência da asa)
implicam em grande deformações que podem
levar a carregamentos aerodinâmicos ainda
maiores – pode-se atingir regimes não lineares
quanto ao comportamento aerodinâmico;
† Perto da condição de pressão dinâmica de
divergência, o efeito da flexibilidade promove
um incremento significativo na sustentação.
Eficiência e Reversão de
Comandos
Eficiência e reversão de comandos
ya
Fenômenos que também estão
associados à Aeroelasticidade
Estática.
Será usado o aileron para
exemplificar estes fenômenos.
Seu objetivo é criar um
momento de rolamento P.
ΔLa =
diferença de sustentação
P
Mx = 2ΔLa · ya
x
Eficiência e reversão de comandos
† Supõem-se que a superfície de comando
rotacione fazendo um ângulo δ com a linha da
corda da seção;
† Com a deflexão da superfície de comando, a
geometria do perfil muda (camber efetivo),
então o CMAC também muda;
† Esta variação angular da superfícies de
comando gera um momento picador que tende
a deformar a asa da aeronave, que é flexível;
† Tal deformação pode ser suficientemente
grande de forma que a ação do aileron pode
gerar um torque em rolamento em sentido
contrário do que o esperado.
Reversão de comandos
L
Articulação
Kθ
MAC
AC
CE
δ
articulação
coeficiente de momento
da deflexão do aileron
sem deflexão
total
C M AC = CM AC +
0
∂CM AC
∂δ
δ
deflexão do aileron
Reversão de comandos
L
Kθ
MAC
AC
δ0
δ
Κδ
deflexão comandada pelo
piloto
deflexão total
rigidez da articulação
Kδ
δ0
CE
Articulação
elástica
δ
Devido os esforços aerodinâmicos que tendem a introduzir uma nova
deflexão da superfície de comando, a deflexão total é diferente da
imposta pelo piloto. A deflexão pode ser maior ou menor que a deflexão
inicial.
Reversão de comandos
Então, relativo a seção típica com superfície de
controle, tem-se:
L = qSC L
∴
M AC = qScCM AC
∂C L ⎤
⎡ ∂C L
(α 0 + θ ) +
δ⎥
L = qS ⎢
∂δ ⎦
⎣ ∂α
∴
M AC
∂CM AC ⎞
⎛
= qSc⎜⎜ C M AC +
δ ⎟⎟
0
∂δ
⎝
⎠
Reversão de comandos
Devido à articulação, o momento aerodinâmico da
superfície de controle (H), em relação ao eixo da
articulação, é dado por:
H = qS(H )c(H )CM( H )
∴
∂CM( H )
∂CM( H ) ⎤
⎡
(α0 +θ ) +
H = qS(H )c(H ) ⎢CM0( H ) +
δ⎥
∂α
∂δ
⎥⎦
⎢⎣
Nota: com
δ +,
H+
Exemplo: Seção Típica
1) Equilíbrio de momentos em relação ao CE da seção:
∂C M AC ⎤
⎡
∂C L ⎤
⎡ ∂C L
(α 0 + θ ) +
qSe ⎢
δ ⎥ + qSc ⎢CM AC +
δ ⎥ = Kθ θ
0
∂δ ⎦
∂δ
⎣ ∂α
⎣
⎦
2) Equilíbrio de momentos em relação ao eixo de articulação:
H = Kδ (δ − δ0 ) , com (δ – δ0) sendo a torção elástica da
superfície de controle, em relação
ao eixo de articulação.
∂CM( H )
∂CM( H ) ⎤
⎡
(α0 +θ ) +
qS(H )c(H ) ⎢CM0( H ) +
δ ⎥ = Kδ (δ − δ0 )
∂α
∂δ
⎢⎣
⎥⎦
Reversão de comandos
O que resulta em um sistema cuja equação matricial é dada
por:
⎡a11 a12 ⎤ ⎧θ ⎫ ⎧b1 ⎫
⎧θ ⎫
−1
[
]
∴
=
A
⋅ [B]
⋅
=
⎨ ⎬
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢a
⎥
⎩δ ⎭
⎣ 21 a22 ⎦ ⎩δ ⎭ ⎩b2 ⎭
∂CL Kθ
∂CL ∂CMAC
− , a12 = e
+
a11 = e
∂α qS
∂δ
∂δ
∂CMH
∂CMH
Kδ
−
, a22 =
a21 =
∂α
∂δ qSHcH
Demonstração do desenvolvimento
da matriz
Equilíbrio de momentos em relação ao CE da seção:
∂CM AC ⎤
⎡
∂C L ⎤
⎡ ∂C L
(α 0 + θ ) +
qSe ⎢
δ ⎥ + qSc ⎢CM AC +
δ ⎥ = Kθ θ
0
∂δ ⎦
∂δ
⎣ ∂α
⎣
⎦
∂CM AC
∂CL
∂CL
∂CL
qSe
α0 + qSe
θ + qSe
δ + qScCM AC 0 + qSc
δ = Kθθ
∂α
∂α
∂δ
∂δ
∂CM AC ⎞
⎛ ∂CL
∂CL
⎞
⎛ ∂CL
⎞
⎛
⎜
⎟
δ = −qS⎜ e
α0 + cCM AC 0 ⎟
+c
− Kθ ⎟θ + qS⎜ e
⎜ qSe
⎟
∂δ ⎠
∂α
⎠
⎝ ∂α
⎠
⎝
⎝ ∂δ
∂CM AC
⎛ ∂C L Kθ ⎞ ⎛ ∂C L
⎜⎜ e
⎟⎟θ + ⎜⎜ e
−
+c
∂δ
⎝ ∂α qS ⎠ ⎝ ∂δ
⎞
∂C L
⎛
⎞
⎟δ = −⎜ e
+
α
cC
0
M AC 0 ⎟
⎟
⎝ ∂α
⎠
⎠
Equilíbrio de momentos em relação
ao eixo de articulação
∂CM( H )
∂CM( H ) ⎤
⎡
(α0 +θ ) +
qS(H )c(H ) ⎢CM0( H ) +
δ ⎥ = Kδ (δ − δ0 )
∂α
∂δ
⎢⎣
⎥⎦
qSHcHCM0H + qSHcH
∂CMH
∂α
α0 + qSHcH
∂CMH
∂α
θ + qSHcH
∂CMH
∂δ
δ = Kδδ − Kδδ0
⎤
⎡
∂CMH ⎞
∂CMH
∂CMH ⎞ ⎛
⎞
⎛
⎛
⎟⎟θ +⎜⎜qSHcH
⎜⎜qSHcH
δ − Kδ ⎟⎟δ = −⎢qSHcH ⎜⎜CM0H +
α0 ⎟⎟ + Kδδ0⎥
∂α ⎠
∂δ
∂α ⎠ ⎝
⎠
⎝
⎝
⎣
⎦
⎛ ∂CM H
⎜⎜
⎝ ∂α
⎡⎛
∂CM H ⎞ Kδ δ0 ⎤
⎞ ⎛ ∂CM H
Kδ ⎞
⎟⎟δ = −⎢⎜⎜ CM 0 H +
⎟⎟θ + ⎜⎜
δ−
α0 ⎟⎟ +
⎥
qS
c
qS
c
∂
∂
δ
α
⎠ ⎝
H H ⎠
H H⎦
⎠
⎣⎝
Montagem da equação matricial
∂CM AC
⎛ ∂CL Kθ ⎞ ⎛ ∂CL
⎜⎜ e
⎟⎟θ + ⎜⎜ e
−
+c
∂δ
⎝ ∂α qS ⎠ ⎝ ∂δ
⎛ ∂CM H
⎜⎜
⎝ ∂α
⎞
⎛ ∂C
⎞
⎟⎟δ = −⎜ e L α 0 + cCM AC ⎟
0
⎝ ∂α
⎠
⎠
⎡⎛
∂CM H ⎞ Kδ δ0 ⎤
⎞ ⎛ ∂CM H
Kδ ⎞
⎟⎟δ = −⎢⎜⎜ CM 0 H +
⎟⎟θ + ⎜⎜
δ−
α0 ⎟⎟ +
⎥
δ
α
qS
c
qS
c
∂
∂
H H ⎠
H H⎦
⎠ ⎝
⎠
⎣⎝
⎡⎛ ∂CL Kθ ⎞
− ⎟⎟
⎢⎜⎜e
⎢⎝ ∂α qS ⎠
⎢ ⎛ ∂CMH ⎞
⎟⎟
⎢ ⎜⎜
⎣ ⎝ ∂α ⎠
⎛ ∂CL ∂CMAC ⎞ ⎤
⎧
⎛ ∂CL
⎞ ⎫
⎜⎜e
⎟⎟ ⎥
α
e
cC
−
+
+
⎜
M AC0 ⎟
0
⎪
⎪
θ
δ
δ
⎧
α
⎫
∂
∂
∂
⎪
⎪
⎝
⎠
⎝
⎠⎥ ⋅
=
⎨ ⎬ ⎨
⎬
⎛ ∂CMH
Kδ ⎞⎥ ⎩δ ⎭ ⎪− ⎛⎜C + ∂CMH α + Kδδ0 ⎞⎟⎪
⎜⎜
⎟⎟⎥
−
⎜ M0H ∂α 0 qS c ⎟⎪
⎪
H H ⎠⎭
⎩ ⎝
⎝ ∂δ qSHcH ⎠⎦
⎡a11 a12 ⎤ ⎧θ ⎫ ⎧b11⎫
⎢a a ⎥ ⋅ ⎨δ ⎬ = ⎨b ⎬
⎣ 21 22⎦ ⎩ ⎭ ⎩ 12⎭
∴
⎧θ ⎫
{A}⋅ ⎨ ⎬ = {B}
⎩δ ⎭
∴
⎧θ ⎫
−1
{
}
=
⋅ {B}
A
⎨ ⎬
⎩δ ⎭
Divergência
† A divergência aeroelástica vai ocorrer quando o
det[A] = 0, o que é real para um determinado
valor da pressão dinâmica, exceto se o CE
estiver à frente do AC, caso onde nunca ocorre
a divergência aeroelástica.
† Este critério de estabilidade é conhecido como
critério de estabilidade de Euler, e será
apresentado formalmente quando tratarmos do
problemas de asas sujeitas a fenômenos
aeroelásticos estáticos.
Reversão de comandos
ΔLδ
CE
Δθδ
ΔLΔθδ
ΔLδ
ΔLΔθδ
Quando se tem deflexão
do aileron, surge uma
torção elástica, causada
pela
variação
do
momento aerodinâmico.
δ
é devido o momento picador que surge com a deflexão positiva
do aileron, tendendo a diminuir a sustentação adicional
gerada, ou o momento de cabragem que surge com a deflexão
negativa do aileron, tendendo a adicionar sustentação.
sustentação gerada pela deflexão do aileron se a asa fosse
rígida.
ΔLδ = qS
∂C L
∂CL/∂δ é a derivada de controle, que depende
δ onde
do perfil e da superfície de controle.
∂δ
Reversão de comandos
A deflexão do aileron também gera uma mudança
no momento aerodinâmico, representado por:
∂M AC
ΔM ACδ = qSc
δ onde ∂MAC/∂δ é uma
derivada tipicamente negativa.
∂δ
Voltando à equação de equilíbrio Le + M AC = Kθ θ
as variações em
L e MAC produzirão uma torção elástica
adicional Δθδ resultando em ΔLa e + ΔM AC = Kθ Δθ δ
ou seja, saindo de uma condição de equilíbrio para outra
condição de equilíbrio, onde:
ΔLa = ΔLδ + ΔLΔθδ
.
Reversão de comandos
E escrevendo-se na forma de coeficientes, tem-se:
qSc
∂C M AC
∂δ
∂C L
⎛ ∂C L
δ + eqS ⎜
δ+
Δθδ
∂α
⎝ ∂δ
⎞
⎟ = Kθ Δθδ
⎠
A partir desta expressão, obtém-se a mudança na
torção elástica correspondente, ou seja, a Torção
Elástica Adicional causada pela deflexão do aileron.
Assumindo-se que δ seja conhecido,
∂CM AC
∂CL
+c
e
a expressão para a Torção Elástica
∂δ δ
Δθ δ = ∂δ
Adicional é dada por:
Kθ
∂CL
−e
qS
∂α
.
Eficiência dos comandos
Com isso, pode-se calcular as mudanças adicionais no
carregamento aerodinâmico do perfil devido à deflexão do
aileron:
∂CM AC ⎞
⎛ ∂CL
⎟
⎜e
+c
∂CL
∂CL ⎜ ∂δ
∂δ δ ⎟ ∴
δ + qS
ΔLa = ΔLδ + ΔLΔθ δ ∴ ΔLa = qS
⎟
∂δ
∂α ⎜ Kθ − e ∂CL
⎜ qS
⎟
α
∂
⎠
⎝
⎛ ∂CL
⎜
∂δ
ΔLa = qSδ ⎜
⎜
⎜
⎝
∂CL ∂CM AC
Kθ
+c
∂α ∂δ
qS
∂CL
Kθ
−e
∂α
qS
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Eficiência dos comandos
devido à deflexão
do aileron
⎛ ∂CL
⎜
∂δ
⎜
ΔLa = qSδ
⎜
⎜
⎝
∂CL ∂CM AC
Kθ
+c
∂α ∂δ
qS
∂CL
Kθ
−e
∂α
qS
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
devido à torção na
asa, por causa da
deflexão do aileron
A uma determinada pressão dinâmica (q) não muito
pequena, pode ocorrer do termo no numerador zerar, ou
seja ΔLa será nulo, o que será um bom critério para adotar a
condição de reversão do comando
Limite da reversão
⎛ ∂CL Kθ
∂CL ∂CM AC
0=⎜
+c
∂α ∂δ
⎝ ∂δ qS
= CLδ Kθ + cCLα CM ACδ qS = 0
CLδ Kθ
qR = −
ScCLα CM ACδ
⎞
⎟ qSδ =
⎠
⇒
Eficiência dos comandos
Esta pressão é denominada Pressão Dinâmica de Reversão de
Controle (qR).
∂CL
Kθ
∂δ
qR = −
Sc ∂CL ∂CM AC
∂α ∂δ
Ângulo de velocidade
de rolamento do aileron
Eficiência dos Comandos
12
8
Velocidade de
Reversão do aileron
4
Mach
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Efeito da velocidade na eficiência do aileron