F328
Lista 1
1/10
Nestes exercícios será utilizado
≈ 8, 85 × 10−12 C2 /Nm2 ,
k ≈ 8, 99 × 10−9 Nm2 /C2 .
(1)
(2)
1. Duas esferas condutoras iguais, mantidas fixas, se atraem mutuamente com uma
força de 0, 108N quando a distância entre os centros é 50, 0cm. As esferas são ligadas
por um fio condutor de diâmetro desprezível. Quando o fio é removido, as esferas
se repelem com uma força de 0, 0360N. Supondo que a carga total das esferas era
inicialmente positiva, determine:
(a) a carga negativa inicial de uma das esferas;
Solução: Considere a situação inicial abaixo:
A
|Fi | = 0, 108N
|Fi | = 0, 108N
B
Então,
0, 108 = k
|qA ||qB |
(0, 5)2
E a situação final abaixo:
|Fi | = 0, 0360N
A
B
|Fi | = 0, 0360N
Então,
|((qA + qB ) /2)2 |
0, 0360 = k
(0, 5)2
Trabalhando o sistema, temos que
(3)
|qA ||qB | = 0, 108(0, 5)2 k −1 ,
(4)
(qA + qB )2 = 0, 0360(0, 5)2 4k −1 .
Resolvendo o sistema, temos que
(b) a carga positiva inicial da outra esfera.
Solução:
2. Cinco cargas iguais a Q são igualmente espaçadas em uma semicircunferência de raio
R. Determine a força atuante sobre uma carga q localizada no centro da semicircunferência.
Solução: Considere a situação abaixo:
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Lista 1
2/10
Q3
Q4
Q5
Q2
q
F1
F2
F5
F3
Q1
F4
Então a força resultante F corresponde a
F = F3 + 2F2 sin(π/4)
|q||Q|
|q||Q|
= k 2 + 2 sin(π/4)k 2
R
R
|q||Q|
= (1 + 2 sin(π/4)) k 2 .
R
3. Os vértices de um hexágon regular têm três cargas positivas Q e três cargas negativas
−Q. Encontrar a força elétrica sobre uma carga de prova q colocada no centro do
hexágono quando as seis cargas são arranjadas em diferentes combinações. Os lados
do hexágono têm 3, 0cm de comprimento, a carga Q é de 5, 0 × 10−6 C e a carga q é
de 2, 0 × 10−9 C.
Solução: A menos de rotação, existem três possíeis arranjos para as seis cargas.
No primeiro arranjo, temos
−Q
+Q
2F
q
+Q
2F
−Q
2F
+Q
−Q
Logo, a força resultante FR é
FR = 2F + 2 (2F cos(π/3))
= 2 (1 + 2 cos(π/3)) F
|q||Q|
= 2 (1 + 2 cos(π/3)) k 2 .
r
No segundo arranjo, temos
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Lista 1
3/10
−Q
+Q
2F
−Q
2F
q
+Q
2F
−Q
+Q
Logo, a força resultante FR é
FR = 2F − 2 (2F cos(π/3))
= 2 (1 − 2 cos(π/3)) F
|q||Q|
= 2 (1 − 2 cos(π/3)) k 2 .
r
No terceiro arranjo, temos
−Q
+Q
q
+Q
+Q
2F
−Q
−Q
Logo, a força resultante FR é
FR = 2F
= 2k
|q||Q|
.
r2
4. Duas bolinhas de acrílico idênticas têm massa m e carga q. Quando colocadas em
um vaso hemisférico de raio R e de superfície sem atrito, não condutora, as bolinhas
se movem e, no equilíbrio elas ficam a uma distância R uma da outra, conforme a
figura abaixo. Determine a carga de cada bolinha.
R
m
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R
R
m
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Lista 1
4/10
Solução: Considere o diagrama de forças abaixo.
R
R
N
F
m
N
m
R
P
F
P
5. (a) Qual deve ser o valor da massa de um próton se sua atração gravitacional com
um outro próton equilibra exatamente a repulsão eletrostática entre eles?
Solução: A força eletrostática entre dois próton, Fe , é
Fe = k
|q|2
,
r2
e a força gravitacional entre os prótons, Fg , é
Fg = G
|m|2
.
r2
Igualando as forças, temos que
|m|2 = |q|2 k/G.
(b) Qual é a verdadeira relação dessas duas forças?
Solução:
6. Uma carga q1 = +25nC está na origem de um sistema de coordenas xy. Uma carga
q2 = −15nC está sobre o eixo x em x = 2m e uma carga q0 = 20nC está posicionada
em um ponto com as coordenadas x = 2m e y = 2m. Determine o módulo, a direção
e o sentido da força resultante sobre q0 .
Solução: Considere a ilustração abaixo:
F01
q0
q1
F21
q2
Desta forma, a força resultante F é
F = F01 + F21
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Lista 1
5/10
√ k|q0 ||q1 | cos(π/4)/(2√2)2
0
=
+
k|q0 ||q2 |/22
k|q0 ||q1 | cos(π/4)/(2 2)2
7. Uma moeda de cobre (Z = 29) possui uma massa de 3g. Qual é a carga elétrica total
de todos eletróns da moeda?
Solução: A massa molar do cobre é 63, 546g/mol e, portanto, em 3g de cobre existe
3/63, 546mol. Como cada mol possue 6, 02 × 1023 moléculas e cada molécula possue
29 elétrons cuja carga é −1, 60217733 × 10−19 C. Logo, a carga elétrica total de todos
os elétrons da moeda é
3
6, 02 × 1023 29 −1, 60 × 10−19
63, 546
8. Uma barra não condutora carregada, com um comprimento de 2, 0m e uma seção
reta de 4, 0m2 , está sobre o semieixo positivo com uma das extremidades na origen.
A densidade volumétrica de carga ρ é a carga por unidade de volume em C/m3 .
Determine quantos elétrons em excesso existem na barra se:
(a) ρ é uniforme, com valor de −4, 0µC/m3 ,
Solução: Considere a ilustração abaixo para a barra.
Para ρ uniforme, temos que a carga da barra é
2m 4m2 −4, 0µC/m3 .
Como a carga do elétron é −1, 6 × 10−19 C, temos que o múmero de elétrons é
−1
2m 4m2 −4, 0µC/m3 −1, 6 × 10−19 C
.
(b) o valor de ρ é dado pela expressão ρ = bx2 , onde b = 2, 0µC/m5 .
Solução: Se ρ = bx2 , então a carga total da barra é
Z 2
Z 2
2
4
bx dx = 4b
x2 dx
0
0
!
3 2
x = 4b
3 0
= 4b (8/3) .
Como a carga do elétron é −1, 6 × 10−19 C, temos que o múmero de elétrons é
−1
4b (8/3) −1, 6 × 10−19
.
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Lista 1
6/10
9. Três partículas carregadas forma um triângulo: a partícula 1, com carga Q1 =
80, 0nC, está no ponto (0; 3, 0)mm, e a partícula 2, com carga Q2 , está no ponto
(0; −3, 0)mm, e a partícula 3, com carga q = 18, 0nC, está no ponto (4, 0; 0)mm. Em
termos dos vetores unitários, qual é a força eletrostática exercida sobre a partícula 3
pelas outras duas partículas:
(a) para Q2 = 80, 0nC?
Solução: Considere a ilustração abaixo para situação descrita anteriormente.
Q1
Q3
Q2
F23
F21
Então, a força resultante é
F = F21 + F23
0
−k|Q3 ||Q2 |5−2 (4/5)
=
+
−k|Q1 ||Q2 |6−2
−k|Q3 ||Q2 |5−2 (3/5)
0 − k|Q3 ||Q2 |5−2 (4/5)
=
−k|Q1 ||Q2 |6−2 − k|Q3 ||Q2 |5−2 (3/5)
(b) para Q2 = −80, 0nC?
Solução: Considere a ilustração abaixo para situação descrita anteriormente.
Q1
Q3
F21
F23
Q2
Então, a força resultante é
F = F21 + F23
k|Q3 ||Q2 |5−2 (4/5)
0
=
+
k|Q1 ||Q2 |6−2
k|Q3 ||Q2 |5−2 (3/5)
0 + k|Q3 ||Q2 |5−2 (4/5)
=
k|Q1 ||Q2 |6−2 + k|Q3 ||Q2 |5−2 (3/5)
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10. Duas pequenas esferas, cada uma com massa igual a 2, 00g, encontram-se suspensas
por um fio de massa despresível de comprimento igual a 10, 0cm como ilustrado na
figura abaixo. Um campo elétrico uniforme é aplicado na direção x. As duas esferas
possuem carga igual a −5, 00 × 10−8 C e +5, 00 × 10−8 C. Determine o campo elétrico
que possibilita as esferas estarem em equilíbrio para um ângulo θ = π/18.
θ θ
−
+
Solução: Considere as forças representadas abaixo:
E
θ θ
Fe
N
N
−
+
P
Fp Fp
Fe
P
Logo,
FR = N + Fe + P + Fp
kN k sin(π/18)
kFe k
0
kFp k
=
+
+
+
.
kN k cos(π/18)
0
kP k
0
Como FR = 0, verifica-se que
kN k = kP k (cos(π/18))−1
e
0 = kP k (cos(π/18))−1 sin(π/18) + kFe k + kFp k
kq 2
= kmgk (cos(π/18))−1 sin(π/18) + k 2 k + kEqk
d
11. No decaimento radioativo o núcleo 238 U se transforma em 234 Th e 4 He, que é ejetado.
(Trata-se de núcleos, e não de átomos; assim não há elétrons envolvidos.) Para uma
distância entre os núcleos de 234 Th e 4 He de 9, 0 × 10−15 m, determine:
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Lista 1
8/10
(a) a força eletrostática entre os núcleos;
Solução:
(b) a aceleração do núcleo de 4 He.
Solução:
12. Dois blocos metálicos idênticos, em repouso sobre uma superfície horizontal sem
atrito, são ligados por uma mola metálica, sem massa, de constante k = 100N/m e
comprimento relaxado de 0, 3m, como na figura. Colocando-se vagarosamente uma
carga Q no sistema, a mola se distende até atingir o comprimento de equilíbrio de
0, 4m. Determine o valor de Q, supondo que toda a carga se mantém nos blocos e
que os blocos são como carga puntiformes.
k
m
m
13. Três cargas de mesmo módulo q estão nos vértices de um triângulo equilátero de lado
a como ilustrado na figura abaixo.
a
m
a
m
P
(a) ache o módulo, a direção e o sentido da força elétrica que age sobre uma carga
de prova q0 , localizada no ponto P , a meio caminho entre as cargas negativas,
em termos de q, q0 , kc e a;
Solução:
(b) onde deve ser colocada uma carga de −4q de modo que a força total sobre
qualquer carga situada em P seja nula? Neste item, considere que P é a origem
e que a distância entre a carga +q e P é q, 0m.
Solução:
14. Oito cargas puntiformes, cada uma de módulo q, estão localizadas nos vértices de um
cubo de lado s, como na figura abaixo.
A
(a) determine as componentes x, y e z da força resultante sobre a carga no ponto
A, exercida pelas outras sete cargas.
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Lista 1
9/10
Solução:
(b) quais são o módulo e a direção desta força resultante?
Solução:
15. Duas cargas puntiformes idênticas +q são fixadas no espaço a uma distância d. Uma
carga −Q de massa m é livre para se mover e jaz inicialmente em repouso na mediatriz
do segmento que liga as duas cargas fizas, a uma distância x.
+q
d/2
−Q
x
d/2
+q
(a) Mostre que se x << d, a força elétrica sobre −Q é proporcional a x e obtenha o
período da oscilação;
Solução:
(b) Qual será a velocidade da carga −Q, no ponto médio entre as cargas fixas, se
ela for abandonada do repouso num ponto x = a << d?
Solução:
16. Uma carga positiva está distribuída numa semicircunferência de raio R = 60cm, como
mostrado na figura abaixo. A densidade linear de carga ao longo da curva é descita
pela expressão λ = λ0 cos(θ). A carga total da semicircunferência é 12, 0µC. Calcule
a força total sobre a carga de 3, 0µC colocada no centro da curvatura.
θ
R
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Lista 1
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Solução:
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