Universidade de São Paulo
Instituto de Física – FAP 115 – Profº. Kiyomi Koide
São Paulo, 18 de Maio de 2002
TURMA A
Relatório - 5ª Experiência
Calorimetria, ajuste de reta e propagação de erros
Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa
IME – Bach. Estatística
1
Objetivo
Estudo da temperatura da água com aquecimento constante. Verificar a isolação
de uma garrafa térmica contendo água. Medir o calor específico da água e a
capacidade térmica do calorímetro. Fazer: propagação de incertezas, ajuste de reta,
análise de resíduos. Interpretar o ajuste usando χred2.
Material Utilizado
Fonte de calor: resistência 23.25 Ω
Material a ser aquecido: água + calorímetro
Sistema: isolado (garra térmica nº 16 / calorímetro)
Medida: termômetro digital, cronômetro digital, balança digital.
Experiência
$JLWDGRU
7HUP{PHWUR
'LJLWDO
)RQWH'&
*DUUDID
7pUPLFD
5HVLVWrQFLD
FIGURA 1 - Arranjo Experimental
Montamos o experimento conforme o arranjo ilustrado acima. A quantidade de
água usada foi de (400.0 ± 0.2) g. Para medir tal quantidade primeiro colocamos a
garrafa térmica em cima da balança digital, zeramos o contador, e fomos
acrescentando água até que o mostrador indicasse a massa desejada.
Em seguida fechamos a garrafa, colocamos o termômetro, agitamos a água para
uniformizar a temperatura e em seguida ligamos a fonte que alimentava a resistência.
A partir daí zeramos o cronômetro digital e de 2 em 2 minutos anotamos a
temperatura, a corrente a a tensão fornecidas pela fonte. Mantivemos o procedimento
até que a variação de temperatura chegasse a 15ºC.
Resultados Experimentais
2
TABELA 1 – Dados Experimentais
t(s)
0
120
240
360
480
600
720
840
960
1080
1200
1320
1440
1560
σT(ºC)
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
T(ºC)
23.8
24.5
25.6
26.4
27.5
28.5
29.5
30.4
31.4
32.3
33.3
34.2
35.2
36.0
V(v)
18.3
18.3
18.3
18.3
18.3
18.3
18.3
18.3
18.2
18.2
18.2
18.1
18.1
18.1
I(A)
0.79
0.79
0.79
0.79
0.79
0.79
0.79
0.79
0.80
0.80
0.80
0.81
0.81
0.81
P(W)
14.4
14.4
14.4
14.4
14.4
14.4
14.4
14.4
14.5
14.5
14.5
14.6
14.6
14.6
σV(v)
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
0.1
σI(A)
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
σP(W)
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
obs.: para encontrar σP utilizamos a fórmula para propagação de erros numa
relação c = a.b.
GRÁFICO 1 - Potência x Tempo
Potência (W)
14.7
14.5
14.3
14.1
50
300
550
800
Tempo (s)
3
1050
1300
1550
No Gráfico 1 acima (Potência x Tempo) podemos observar que apesar das
aparentes variações na potência, essas ficaram dentro da margem de incerteza.
G RÁFICO 2 - Tem peratura x Tem po
Temperatura (ºC)
35
30
25
20
50
300
550
800
1050
1300
1550
Tempo (s)
No Gráfico 2 acima temos os dados coletados e a reta que melhor se ajusta aos
dados (obtida através do ajuste por mínimos quadrados). O fato de ser possível traçar
essa reta nos indica que a relação Tempo x Temperatura é linear. Notemos também
que o primeiro ponto fica fora da reta-ajuste, isso se justifica pois no instante t = 0 foi
quando ligamos a alimentação da resistência.
Obs.: Conferir anexo: gráfico feito em papel milimetrado, com ajuste visual da
reta.
Propagação de Incertezas
Q1. Faça a propagação de incerteza para a função ω = x 2 .
ω = x2
σ ω2 = (2 x) 2 σ x2
σ ω = (2 x) 2 σ x2
σ ω = 2 xσ x
4
Q2. Em cada instante, vocês mediram a tensão aplicada sobre a resistência e a
corrente que passa. Calcule a potência e sua incerteza, fazendo a propagação de erros.
Os resultados podem ser encontrados na TABELA 1, acima. Para os valores da
potência fizemos: P = I .V e para achar a incerteza da potência nos utilizamos da
propagação de incertezas para produtos de funções, no caso:
σP
 σV   σI 
= 
 + 
P
 V   I 
Substituindo os valores para os casos em que a potência/corrente variaram
temos a coluna σP da Tabela.
2
2
Q3. Trace a reta média nos gráficos da potência em função do tempo e da temperatura
em função do tempo.
GRÁFICO 3 - Potência x Tempo (reta média)
14.8
14.7
Potência (W)
14.6
14.5
14.4
14.3
14.2
50
300
550
800
Tempo (s)
1050
1300
1550
Obs.: A reta média para a relação Temperatura x Tempo foi traçada no Anexo
(Gráfico 1 em papel milimetrado).
A partir do ajuste visual podemos obter o coeficiente angular da reta:
35.7 − 25.1
a=
= 0.4818
25 − 3
De maneira análoga, podemos achar amin e amax, para calcularmos a incerteza:
5
34.7 − 25.1
= 0.4800
23 − 3
35.8 − 24.2
a max =
= 0.4833
25 − 1
Logo, a = (48.18 ± 0.18) 10-2 º C/min ou a = (8.03 ± 0.03) 10-3 º C/s.
Observando onde a reta corta o eixo y, chegamos em b = (23,7 ± 0.1)º C.
A equação da reta ajustada visualmente fica portanto:
y = 0.008 x + 23.7
a min =
Q4. Comente se a potência dissipada na resistência foi constante. Comente se a
relação (3) da apostila da 5ª experiência está de acordo com os resultados
experimentais.
Considerando a reta média poderíamos nos precipitar e dizer que a potência
aumentou gradativamente, mas como essa variação está dentro das barras de
incerteza, não podemos assegurar que de fato houve essa variação.
P
Temos que: ∆Q = P∆t e ∆Q = C∆T portanto, ∆T = ∆t
C
14.5
36 − 23.8 =
1560
C
22620
12.1 =
C
C = 1869 J /º C ou C = 446.58 cal /º C
Ainda, pelo modelo teórico, temos que a = P/C. Substituindo:
14.5
a=
= 0.0078
1854
Valor compatível com o coeficiente angular a encontrado através do ajuste
visual da reta. Logo a relação (3) está de acordo com a experiência.
Q5. Obtenha a capacidade térmica do calorímetro com sua incerteza.
Temos pela relação 4: C = Ccal + mc
446.58 = Ccal + 400
Ccal = (46.5 ± 0.5)cal / °C
Ajuste por mínimos quadrados
Identifique xi, yi, σi nos seus dados. Explique por que podemos “esquecer” a incerteza
no xi.
Temos xi: tempo e yi: temperatura. A incerteza da variável x pode ser transferida
para a variável dependente y de forma a simplificar os cálculos, através da fórmula de
propagação de incertezas. No caso presente, ‘esquecemos’ a incerteza da variável xi
porque ela se refere ao tempo marcado com o cronômetro, e estamos desconsiderando
essa incerteza desde o início do experimento.
6
TABELA 2 – Ajuste por Mínimos Quadrados
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
S
x(s)
0
120
240
360
480
600
720
840
960
1080
1200
1320
1440
1560
y(ºC)
23.8
24.5
25.6
26.4
27.5
28.5
29.5
30.4
31.4
32.3
33.3
34.2
35.2
36
σy(ºC)
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
σy)²
1/(σ
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
350
σy)²
x/(σ
0
3000
6000
9000
12000
15000
18000
21000
24000
27000
30000
33000
36000
39000
273000
σy)²
y/(σ
595.0
612.5
640.0
660.0
687.5
712.5
737.5
760.0
785.0
807.5
832.5
855.0
880.0
900.0
10465
σy)²
x²/(σ
0
360000
1440000
3240000
5760000
9000000
12960000
17640000
23040000
29160000
36000000
43560000
51840000
60840000
294840000
σy)²
xy/(σ
0
73500
153600
237600
330000
427500
531000
638400
753600
872100
999000
1128600
1267200
1404000
8816100
Sσ
Sx
Sy
S x2
S xy
∆ = Sσ S x 2 − S x2
Sσ S xy − S x S y
ycalc
23.6
24.5
25.4
26.4
27.3
28.3
29.2
30.2
31.1
32.1
33.0
34.0
34.9
35.9
χ
1.00
-0.24
0.52
-0.22
0.54
0.80
1.06
0.82
1.08
0.84
1.10
0.86
1.12
0.38
∆ = 350.294840000 − (273000) 2 = 28665000000
350.8816100 − 273000.10465
= 0.0079
28665000000
∆
S 2 S y − S x S xy 294840000.10465 - 273000.8816100
b= x
=
= 23.67
28665000000
∆
S x2
S
σ a = σ = 0.0001105 σ b =
= 0.101418511
∆
∆
a=
Logo:
=
a = (7.9 ± 0.1) 10-3 º C/s
b = (23.6 ± 0.1) º C.
A equação que descreve a relação Temperatura x Tempo, fica então:
y = 0.0079 x + 23.6
Q6. Apresente os coeficientes calculados e compare com os coeficientes que você
obteve com ajuste visual, discutindo a compatibilidade.
Utilizando o ajuste visual, obtivemos os seguintes parâmetros:
y = 0.008 x + 23.7
com a = (8.03 ± 0.03) 10-3 º C/s. e b = (23,7 ± 0.1)º C.
Utilizando os mínimos quadrados, chegamos em:
y = 0.0079 x + 23.6
com a = (7.9 ± 0.1) 10-3 º C/s e b = (23.6 ± 0.1) º C.
Considerando-se as incertezas as duas aproximações são compatíveis entre si.
7
χ²
1
0.057
0.270
0.048
0.291
0.640
1.123
0.672
1.166
0.705
1.210
0.739
1.254
0.144
9.324
Sχ2
TABELA 3 – Comparação dos Resíduos Normalizados:
Ajuste Visual x Mínimos Quadrados
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
x(s)
0
120
240
360
480
600
720
840
960
1080
1200
1320
1440
1560
y(º C)
23.8
24.5
25.6
26.4
27.5
28.5
29.5
30.4
31.4
32.3
33.3
34.2
35.2
36
σy(º C)
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
Ajuste Visual
ycalc
χ
χ²
23.700
0.50
0.250
24.696 -0.98
0.960
25.692 -0.46
0.211
26.688 -1.44
2.073
27.684 -0.92
0.846
28.680 -0.90
0.810
29.676 -0.88
0.774
30.672 -1.36
1.849
31.668 -1.34
1.795
32.664 -1.82
3.312
33.660 -1.80
3.240
34.656 -2.28
5.198
35.652 -2.26
5.107
36.648 -3.24 10.496
-1.22 36.927
µ(χ
χ)
Σχ
χ²
Mínimos Quadrados
ycalc
χ
χ²
23.600
1.00
1.000
24.548 -0.24
0.057
25.496
0.52
0.270
26.444 -0.22
0.048
27.392
0.54
0.291
28.340
0.80
0.640
29.288
1.06
1.123
30.236
0.82
0.672
31.184
1.08
1.166
32.132
0.84
0.705
33.080
1.10
1.210
34.028
0.86
0.739
34.976
1.12
1.254
35.924
0.38
0.144
0.69
9.324
µ(χ
χ)
Σχ
χ²
Q7. Quanto deveria ser o valor médio de χ para ter um bom ajuste? O que poderia
significar χ >> 1? Ou no caso de χ << 1?
Quando χ >> 1, temos que a diferença entre o valor previsto pelo modelo e o
valor real está acima da incerteza considerada. Quando χ << 1 temos que esse valor
está dentro da margem da incerteza. O ajuste será tanto melhor quanto menor for o
valor médio de χ. Podemos entretanto estipular arbitrariamente que um valor de 0.5
para χ seja razoável para um bom ajuste.
Analisando a Tabela 3, podemos verificar que os valores obtidos através da
aproximação proveniente dos mínimos quadrados apresentam resíduos normalizados
menores que os obtidos pelo ajuste visual. Logo o ajuste via mínimos quadrados é um
melhor ajuste que o ajuste visual.
Q8. Construa um gráfico de resíduo normalizado χ em função da grandeza x.
Verifique como os pontos estão distribuídos em torno do zero. Quais são os valores do
resíduo? Maior ou menor que 1? Discuta.
8
Gráfico 4 - Resíduo Normalizado x Tempo
Resíduo Normalizado
1.0
0.5
0.0
-0.5
-1.0
50
300
550
800
Tempo (s)
1050
1300
1550
A maioria dos resíduos é em módulo inferior a 1, entretanto alguns extremos
ficam um pouco acima desse limiar. A concentração superior dos resíduos pode
indicar alguma imprecisão teórica no modelo formulado, entretanto como o número
de amostras é pequeno, não se pode tirar maiores conclusões. Analisando meramente
os valores em módulo dos resíduos podemos considerar o modelo adequado.
Q9. Construa um histograma de resíduo normalizado. Interprete o histograma.
9
Gráfico 5 - Histograma de Resíduo Normalizado
6
4
2
0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Resíduo Normalizado
1.5
O Histograma de Resíduo Normalizado nos dá praticamente a mesma
informação que o Gráfico 4. Temos a maioria dos valores em módulo inferiores a 1 e
uma parte considerável levemente superior a esse limite.
Q10. Quanto é o grau de liberdade dos seus dados? Use o valor de χr² calculado do seu
ajuste para verificar a qualidade dos ajustes.
χ2
Temos que: χ r 2 =
.
q
Onde q é o grau de liberdade, dado por n (número de pontos experimentais a
serem ajustados) – p (número de parâmetros da função a ser ajustada). Temos no
nosso caso: q = 14 –2 = 12.
Para o ajuste por mínimos quadrados temos:
9.3244
χ r2 =
= 0.7770
12
Para o ajuste visual temos:
36.9276
χ r2 =
= 3.0773
12
Analisando os valores de χr² para os dois ajustes verificamos de cara que o ajuste
de quadrados mínimos é bem melhor que o ajuste visual, já que |1-0.7770| < |13.0773|. Entretanto um valor de 0.7770 pode não estar suficientemente próximo de 1,
de forma que alguma superestimativa das incertezas experimentais tenha afetado o
modelo teórico.
10
Bibliografia
ADDED, Nemitala. Guia de Estudos: Laboratório de Física I Para Matemáticos.
2002.
BUSSAB, Wilton de O. – 1940-. Estatística Básica – 5 .ed. – São Paulo: Saraiva 2002
ALVARENGA, Beatriz. Curso de Física 2. 4ª ed. São Paulo, Scipione, 1997.
VUOLO, J.H. Introdução à Teoria de Erros – 3.ed, São Paulo, 1999.
11