Universidade do Sul de Santa Catarina Trigonometria e Números Complexos Disciplina na modalidade a distância Palhoça UnisulVirtual 2007 Créditos Unisul - Universidade do Sul de Santa Catarina UnisulVirtual - Educação Superior a Distância Campus UnisulVirtual Rua João Pereira dos Santos, 303 Palhoça - SC - 88130-475 Fone/fax: (48) 3279-1541 e 3279-1542 E-mail: [email protected] Site: www.virtual.unisul.br Reitor Unisul Gerson Luiz Joner da Silveira Vice-Reitor e Pró-Reitor Acadêmico Sebastião Salésio Heerdt Chefe de Gabinete da Reitoria Fabian Martins de Castro Pró-Reitor Administrativo Marcus Vinícius Anátoles da Silva Ferreira Campus Sul Diretor: Valter Alves Schmitz Neto Diretora adjunta: Alexandra Orsoni Campus Norte Diretor: Ailton Nazareno Soares Diretora adjunta: Cibele Schuelter Campus UnisulVirtual Diretor: João Vianney Diretora adjunta: Jucimara Roesler Equipe UnisulVirtual Administração Renato André Luz Valmir Venício Inácio Bibliotecária Soraya Arruda Waltrick Cerimonial de Formatura Jackson Schuelter Wiggers Coordenação dos Cursos Adriano Sérgio da Cunha Aloísio José Rodrigues Ana Luisa Mülbert Ana Paula Reusing Pacheco Cátia Melissa S. Rodrigues (Auxiliar) Charles Cesconetto Diva Marília Flemming Itamar Pedro Bevilaqua Janete Elza Felisbino Jucimara Roesler Lilian Cristina Pettres (Auxiliar) Lauro José Ballock Luiz Guilherme Buchmann Figueiredo Luiz Otávio Botelho Lento Marcelo Cavalcanti Mauri Luiz Heerdt Mauro Faccioni Filho Michelle Denise Durieux Lopes Destri Moacir Heerdt Nélio Herzmann Onei Tadeu Dutra Patrícia Alberton Patrícia Pozza Raulino Jacó Brüning Rose Clér E. Beche Tade-Ane de Amorim (Disciplinas a Distância) Design Gráfico Cristiano Neri Gonçalves Ribeiro (Coordenador) Adriana Ferreira dos Santos Alex Sandro Xavier Evandro Guedes Machado Fernando Roberto Dias Zimmermann Higor Ghisi Luciano Pedro Paulo Alves Teixeira Rafael Pessi Vilson Martins Filho Gerência de Relacionamento com o Mercado Walter Félix Cardoso Júnior Logística de Encontros Presenciais Marcia Luz de Oliveira (Coordenadora) Aracelli Araldi Graciele Marinês Lindenmayr Guilherme M. B. Pereira José Carlos Teixeira Letícia Cristina Barbosa Kênia Alexandra Costa Hermann Priscila Santos Alves Logística de Materiais Jeferson Cassiano Almeida da Costa (Coordenador) Eduardo Kraus Monitoria e Suporte Rafael da Cunha Lara (Coordenador) Adriana Silveira Caroline Mendonça Dyego Rachadel Edison Rodrigo Valim Francielle Arruda Gabriela Malinverni Barbieri Josiane Conceição Leal Maria Eugênia Ferreira Celeghin Rachel Lopes C. Pinto Simone Andréa de Castilho Tatiane Silva Vinícius Maycot Serafim Produção Industrial e Suporte Arthur Emmanuel F. Silveira (Coordenador) Francisco Asp Projetos Corporativos Diane Dal Mago Vanderlei Brasil Secretaria de Ensino a Distância Karine Augusta Zanoni (Secretária de Ensino) Ana Luísa Mittelztatt Ana Paula Pereira Djeime Sammer Bortolotti Carla Cristina Sbardella Franciele da Silva Bruchado Grasiela Martins James Marcel Silva Ribeiro Lamuniê Souza Liana Pamplona Marcelo Pereira Marcos Alcides Medeiros Junior Maria Isabel Aragon Olavo Lajús Priscilla Geovana Pagani Silvana Henrique Silva Vilmar Isaurino Vidal Secretária Executiva Viviane Schalata Martins Tecnologia Osmar de Oliveira Braz Júnior (Coordenador) Ricardo Alexandre Bianchini Rodrigo de Barcelos Martins Equipe Didáticopedagógica Capacitação e Apoio Pedagógico à Tutoria Angelita Marçal Flores (Coordenadora) Caroline Batista Enzo de Oliveira Moreira Patrícia Meneghel Vanessa Francine Corrêa Design Instrucional Daniela Erani Monteiro Will (Coordenadora) Carmen Maria Cipriani Pandini Carolina Hoeller da Silva Boeing Dênia Falcão de Bittencourt Flávia Lumi Matuzawa Karla Leonora Dahse Nunes Leandro Kingeski Pacheco Ligia Maria Soufen Tumolo Márcia Loch Viviane Bastos Viviani Poyer Núcleo de Avaliação da Aprendizagem Márcia Loch (Coordenadora) Cristina Klipp de Oliveira Silvana Denise Guimarães Pesquisa e Desenvolvimento Dênia Falcão de Bittencourt (Coordenadora) Núcleo de Acessibilidade Vanessa de Andrade Manuel Apresentação Este livro didático corresponde à disciplina Trigonometria e Números Complexos. O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma, abordando conteúdos especialmente selecionados e adotando uma linguagem que facilite seu estudo a distância. Por falar em distância, isso não significa que você estará sozinho. Não esqueça que sua caminhada nesta disciplina também será acompanhada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual. Entre em contato sempre que sentir necessidade, seja por correio postal, fax, telefone, e-mail ou Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem - EVA. Nossa equipe terá o maior prazer em atendê-lo, pois sua aprendizagem é nosso principal objetivo. Bom estudo e sucesso! Equipe UnisulVirtual. Rosana Camilo da Rosa Eliane Darela Paulo Henrique Rufino Trigonometria e Números Complexos Livro didático Design Instrucional Karla Leonora Dahse Nunes 2ª edição revista e atualizada Palhoça UnisulVirtual 2007 Copyright © UnisulVirtual 2007 Nenhum a partedesta publicação podeser reproduzida por qualquer m eio sem a prévia autorização desta instituição. Edição --Livro Didático ProfessoresConteudistas Rosana Cam ilo da Rosa ElianeDarela Paulo HenriqueRu.no Design Instrucional Karla Leonora DahseNunes ISBN 978-85-60694-32-7 Projeto Gráfico e Capa EquipeUnisulVirtual Diagram ação Fernando Roberto Dias Zim m erm ann Revisão Ortográfica B2B 516.24 R69 Rosa, Rosana Camilo da Trigonometria e números complexos : livro didático / Rosana Camilo da Rosa, Eliane Darela, Paulo Henrique Rufino ; design instrucional Karla Leonora Dahse Nunes. – 2. ed. rev. e atual. – Palhoça : UnisulVirtual, 2007. 326 p. : il. ; 28 cm. Inclui bibliografia. ISBN 978-85-60694-32-7 1. Trigonometria. 2. Números complexos. I. Darela, Eliane. II. Rufino, Paulo Henrique. III. Nunes, Karla Leonora Dahse. IV. Título. Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca U niversitária da U nisul Sumário Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 UNIDADE UNIDADE UNIDADE UNIDADE 1 2 3 4 – – – – Estudando a Trigonometria nos Triângulos . . . . . . . . . . . . . 17 Conceitos Básicos da Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Estudando as Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Estudando as Relações, Equações e Inequações Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 UNIDADE 5 – Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 Sobre os professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação . . . . . . . . . . . . 251 Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Palavras dos professores Estamos apresentando os conteúdos relativos à disciplina Trigonometria e Números Complexos. Os assuntos apresentados são de fundamental importância para sua formação profissional e são abordados de forma clara e objetiva, sempre salientando aspectos da História da Matemática, conforme preconiza o Projeto Pedagógico do Curso de Matemática Licenciatura. É indiscutível que o uso das tecnologias deve estar presente na sala de aula, logo a formação de um profissional com competência para desenvolver atividades didáticas num contexto informatizado torna-se necessária. No decorrer desta disciplina, vamos incentiválo e orientá-lo para o uso de diferentes softwares matemáticos. Utilizamos uma linguagem acessível, pois estamos inseridos num contexto de Educação a Distância, e uma linguagem mais técnica poderia prejudicar o andamento das atividades. Você terá a oportunidade de desenvolver atividades e leituras num ambiente virtual, e poderá refletir sobre aspectos didáticos na abordagem dos tópicos estudados com a utilização de recursos tecnológicos. Finalizando, gostaríamos de desejar um ótimo trabalho, e dizer que nossa relação didática será no ambiente virtual, mas estaremos sempre em contato para sanar suas dúvidas. Procure manter suas atividades em dia e conte conosco. Profª. Eliane Darela, Msc. Prof . Paulo Henrique Rufino. Profª. Rosana Camilo da Rosa, Msc. Plano de estudo O plano de estudos visa a orientá-lo/a no desenvolvimento da disciplina. Nele, você encontrará elementos que esclarecerão o contexto da disciplina e sugerirão formas de organizar o seu tempo de estudos. O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam. Assim, a construção de competências se dá sobre a articulação de metodologias e por meio das diversas formas de ação/mediação. São elementos deste processo: o livro didático; o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA); as atividades de avaliação (auto-avaliação, a distância e presenciais). Carga Horária 60 horas – 4 créditos. Ementa Arcos e ângulos. Funções trigonométricas. Relações trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas. Números Complexos. Operações e representações dos números complexos. Trigonometria e os números complexos. Universidade do Sul de Santa Catarina Objetivo(s) Geral A disciplina objetiva a reflexão e construção de conhecimentos no contexto da Trigonometria e dos Números Complexos, propiciando ao universitário a oportunidade de: investigar, observar, analisar e delinear conclusões testando-as na resolução de problemas, formando uma visão ampla e científica da realidade. Específicos Resolver problemas aplicando as relações fundamentais entre as razões trigonométricas. Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos na resolução de triângulos. Expressar e converter a medida de um ângulo de graus para radianos e vice-versa. Introduzir o conceito das funções circulares. Reduzir arco ao 1º quadrante. Construir, ler e interpretar gráficos das funções trigonométricas utilizando, corretamente, procedimentos e ferramentas tecnológicas. Resolver equações e inequações trigonométricas. Resolver e simplificar expressões trigonométricas, aplicando as relações trigonométricas. Aplicar as fórmulas da adição, subtração e arco duplo. Compreender o conceito de números complexos. 12 Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no triângulo retângulo. Identificar um número complexo na sua forma algébrica e representá-lo no plano de Argand-Gauss. Trigonometria e Números Complexos Compreender os conceitos de módulo e argumento de um número complexo z. Apresentar a forma trigonométrica de z. Operar com números complexos na forma algébrica e trigonométrica. Conteúdo programático/objetivos Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que você deverá deter para o desenvolvimento de habilidades e competências necessárias a sua formação. Neste sentido, veja a seguir as unidades que compõem o Livro Didático desta disciplina, bem como os seus respectivos objetivos. Unidades de estudo: 5 Unidade 1 - Estudando a Trigonometria nos Triângulos Nesta unidade, apresentam-se as razões trigonométricas nos triângulos retângulos, bem como as leis dos senos e cossenos em triângulos quaisquer. O estudo desta unidade nos permite a resolução de problemas que envolvem situações reais. Unidade 2 - Conceitos Básicos da Trigonometria Nesta unidade, são apresentados conceitos relativos à trigonometria na circunferência. Estes conceitos são fundamentais para definir o seno e o cosseno na circunferência trigonométrica, o que também será abordado nesta unidade. Unidade 3 - Estudando as Funções Trigonométricas As funções trigonométricas, também conhecidas como funções circulares, serão discutidas nesta unidade, possibilitando a leitura gráfica e a modelagem de problemas práticos. Os recursos tecnológicos serão indispensáveis, pois facilitam as representações gráficas. 13 Universidade do Sul de Santa Catarina Unidade 4 - Estudando as Relações, Equações e Inequações Trigonométricas O estudo das relações e transformações trigonométricas será abordado nesta unidade, salientando-se que as relações trigonométricas são decorrentes do seno e cosseno de um arco, estudados na unidade 2. Amplia-se o estudo, nesta unidade, abordando equações e inequações trigonométricas. Unidade 5 - Números Complexos Nesta unidade, apresenta-se um novo conjunto, chamado conjunto dos números complexos. Serão abordadas as operações na forma algébrica e trigonométrica, bem como a representação gráfica desse número. Agenda de atividades/ Cronograma 14 Verifique com atenção o EVA. Organize-se para acessar periodicamente o espaço da Disciplina. O sucesso nos seus estudos depende da priorização do tempo para a leitura; da realização de análises e sínteses do conteúdo; e da interação com os seus colegas e tutor. Não perca os prazos das atividades. Registre as datas no espaço a seguir, com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA. Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da Disciplina. Trigonometria e Números Complexos Atividades Avaliação a Distância Avaliação Presencial Avaliação Final (caso necessário) Demais atividades (registro pessoal) 15 UNIDADE 1 Estudando a Trigonometria nos Triângulos Objetivos de aprendizagem Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no triângulo retângulo. Resolver problemas aplicando as relações fundamentais entre as razões trigonométricas. Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos na resolução de triângulos. Seções de estudo Seção 1 Introdução à Trigonometria Seção 2 Definindo as razões trigonométricas no Seção 3 triângulo retângulo Relações trigonométricas em um triângulo qualquer: lei dos senos e lei dos cossenos 1 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de conversa Sabe-se que algumas medidas podem ser obtidas diretamente, outras são obtidas de modo indireto. A largura de uma sala, por exemplo, pode ser medida com uma trena, o comprimento de uma estrada pode ser medido, por meio de um hodômetro instalado em um automóvel que percorra a estrada do início ao fim. Em ambos os casos essa medida é encontrada de modo direto. Já a distância da Terra até a Lua só pode ser obtida de modo indireto. A Trigonometria é uma ferramenta importante para a resolução de problemas que envolvem grandes distâncias como os de engenharia, navegação e astronomia. Nesta unidade, você estudará a trigonometria no triângulo retângulo, bem como as leis dos senos e cossenos em triângulos quaisquer. A contextualização da trigonometria, por ser de suma importância, será abordada no desenvolvimento das atividades. SEÇÃO 1 – Introdução à trigonometria O que é trigonometria? Tri = três gonos = ângulos metria = medição Logo, trigonometria significa medição de três ângulos. 18 Trigonometria e Números Complexos Você sabia... Triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo reto (90º). O estudo da trigonometria foi impulsionado pela necessidade de evolução da Agrimensura, Navegação e Astronomia, já que as dimensões do universo sempre fascinaram os cientistas. O astrônomo grego Aristarco de Samos (310 a.C. - 230 a.C.) foi um dos primeiros a calcular as distâncias que separam a Terra, a Lua e o Sol. Para isso, ele usou relações entre as medidas dos lados dos triângulos retângulos com seus ângulos internos. Para compreender, acesse o site sugerido na seção ‘saiba mais’ ao final desta unidade. Acredita-se que, como ciência, a trigonometria nasceu com o astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. - 125 a.C.), também conhecido como o Pai da Trigonometria por ter estudado e sistematizado algumas relações entre os elementos de um triângulo. A relação entre as medidas dos lados de um triângulo com as medidas de seus ângulos é de grande utilidade na medição de distâncias inacessíveis ao homem, como a altura de montanhas, torres e árvores, ou a largura de rios e lagos. Também encontra-se aplicações da trigonometria na Engenharia, na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina e até na Música. Unidade 1 19 Universidade do Sul de Santa Catarina SEÇÃO 2 - Definindo as razões trigonométricas no triângulo retângulo Do ponto de vista matemático, o desenvolvimento da trigonometria está associado à descoberta de constantes nas relações entre os lados de um triângulo retângulo. Suponha que a Figura 1.1 represente uma rampa, em uma pista de skate, que forma um ângulo de α graus com o solo: Quando o skatista percorre 50m sobre a rampa, o mesmo fica a uma altura de 30 metros e o seu deslocamento na horizontal é de 40 metros; Quando o skatista percorre 75m sobre a rampa, o mesmo fica a uma altura de 45 metros e o seu deslocamento na horizontal é de 60 metros; Quando o skatista percorre 100m sobre a rampa, o mesmo fica a uma altura de 60 metros e o seu deslocamento na horizontal é de 80 metros. Figura 1.1: Representação da situação problema Na figura 1.2, tem-se os triângulos retângulos ABS, ACT e ADU semelhantes entre si. Escreva a razão entre a altura que o skatista atinge e a distância percorrida sobre a rampa, para os três momentos considerados. 20 Trigonometria e Números Complexos Figura 1.2: Representação da distância percorrida e da altura Temos: ∆ ABS ~ ∆ ACT ~ ∆ ADU BS CT DU Logo: AS = AT = AU → 30 45 60 = = = 0, 6 (valor 50 75 100 constante). Você pode observar que, em qualquer um dos triângulos retângulos considerados, a razão entre a medida dos lados BS, CT e DU, opostos ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT e AU, opostos ao ângulo reto é igual a 0,6, independentemente das medidas dos lados considerados. Esse valor constante é chamado seno do ângulo α e simbolizamos por sen α. Agora, vamos escrever a razão entre o deslocamento na horizontal e a distância percorrida sobre a rampa pelo skatista, para os três momentos considerados. Figura 1.3: Representação da distância percorrida e do deslocamento na horizontal AB AC AD Temos: AS = AT = AU → 40 60 80 = = = 0, 8 (valor 50 75 100 constante). Unidade 1 21 Universidade do Sul de Santa Catarina Você pode observar que, em qualquer um dos triângulos retângulos da figura 1.3, a razão entre a medida dos lados AB, AC e AD, adjacentes ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT e AU, opostos ao ângulo reto é igual a 0,8, independentemente das medidas dos lados considerados. Esse valor constante é chamado cosseno do ângulo α e simbolizamos por cos α. Ainda há uma terceira igualdade que podemos estabelecer: a razão entre a medida da altura que o Skatista atinge e o seu deslocamento na horizontal. Figura 1.4: Representação da altura e do deslocamento na horizontal BS CT DU Temos: AB = AC = AD → 30 45 60 = = = 0, 75 (valor 40 60 80 constante). Você pode observar, na figura 1.4, que em qualquer um dos triângulos retângulos, a razão entre a medida dos lados BS, CT e DU, opostos ao ângulo α, e a medida dos lados AB, AC e AD, adjacentes ao ângulo α é igual a 0,75, independentemente das medidas dos lados considerados. Esse valor constante é chamado tangente do ângulo α e simbolizamos por tg α. Os números que expressam o seno, cosseno e tangente do ângulo agudo α, são denominados razões trigonométricas do triângulo retângulo. 22 Trigonometria e Números Complexos Generalizando, tem-se: Figura 1.5: Triângulo retângulo Na figura, 1.5 tem-se: O triângulo ABC é retângulo em A; O lado oposto ao ângulo reto denomina-se hipotenusa (a); Os lados b e c denominam-se catetos; O cateto b é oposto ao ângulo β e adjacente ao ângulo α ; O cateto c é oposto ao ângulo α e adjacente ao ângulo β. Você lembra do Teorema de Pitágoras? O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos: a2=b2+c2 Unidade 1 23 Universidade do Sul de Santa Catarina Desta forma, tem-se: cateto oposto b = hipotenusa a cateto adjacente c cos β = = hipotenusa a b cateto oposto tg β = = cateto adjacente c senβ = De modo análogo, pode-se estabelecer as razões para o ângulo α. Que tal você rever agora alguns aspectos que caracterizaram a vida de Pitágoras e a história da matemática? Retrospectiva histórica Pitágoras viveu há 2.500 anos e não deixou obras escritas. O que se sabe de sua biografia e de suas idéias é uma mistura de lenda e história real. Acerca de 50 Km de Mileto, na ilha Jônia de Samos, por volta de 589 aC. nasceu Pitágoras, que também esteve no Egito e, por desavenças com o tirano Polícrates, de Samos, mudou-se para Crotona ao sul da Península Itálica onde fundou uma sociedade voltada ao estudo da Filosofia, das Ciências Naturais e da Matemática, chamada Escola Pitagórica. Rapidamente, os membros desta sociedade passaram a ver números por toda a parte concluindo que o Universo era regido por uma inteligência superior essencialmente matemática. 24 Trigonometria e Números Complexos Figura 1.6 – Pitágoras Fonte: http://centros5.pntic.mec.es/ies.sierra.minera/dematesna/demates45/opciones/sabias/escuela%20pitagorica/escuela%20pitagorica.htm. Capturado em 09/04/2006 Atualmente não há documentos que justifiquem a afirmação de que o Teorema de Pitágoras foi demonstrado pela primeira vez pelos Pitagóricos. Conjetura-se que os membros da mais antiga escola pitagórica conheciam muito bem a geometria dos babilônios, portanto, as idéias básicas do teorema poderiam ter suas origens em outras épocas bem mais remotas. O maior feito teórico dos pitagóricos foi a descoberta dos irracionais, mas seu mérito máximo consiste em haverem provocado uma verdadeira epidemia de interesse pela matemática, que contagiou a maioria das cidades-estado da Grécia. Saiba mais Você poderá enriquecer mais esta leitura, lendo: Boyer, Carl Benjamin, 1906- História da Matemática. Ângulos notáveis Os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis uma vez que aparecem freqüentemente nos problemas de geometria. Apresentamos a dedução dos valores do seno, do cosseno e da tangente do ângulo de 45º. Os outros dois ângulos você mesmo fará resolvendo o exercício 1 das atividades de auto-avaliação ao final da unidade. Unidade 1 25 Universidade do Sul de Santa Catarina Podemos resumir as razões trigonométricas dos ângulos notáveis em uma única tabela: 26 Trigonometria e Números Complexos Considerando as definições das razões trigonométricas e utilizando processos mais sofisticados de medidas de ângulos e segmentos, podemos construir uma tabela de valores trigonométricos para consultar quando encontrarmos situações que não envolvam ângulos notáveis. Em anexo encontra-se uma tabela que fornece as razões trigonométricas dos ângulos de 1º a 89º. Você pode, também, obter diretamente valores trigonométricos utilizando as funções de uma calculadora científica ou softwares matemáticos. Você sabia... Nas calculadoras científicas, o seno que abreviamos por sen é identificado por sin e a tangente, tg, é identificada por tan. Unidade 1 27 Universidade do Sul de Santa Catarina Nos exemplos a seguir você irá utilizar as razões trigonométricas para descobrir as medidas desconhecidas indicadas por x. Será um bom exercício para verificar a sua compreensão do assunto até o presente momento. 1) Calcule o valor de x: Figura 1.7: Triângulo retângulo Na figura 1.7, você pode observar que a medida desconhecida x é o cateto oposto ao ângulo de 55º e que 3 cm corresponde ao cateto adjacente. Logo, a razão trigonométrica que iremos utilizar será a tangente. cateto oposto cateto adjacente x tg 55º = 3 x 1, 428 = 3 x = 4, 284cm tg 55º = 2) Determine o valor de x: Figura 1.8: Triângulo retângulo 28 Trigonometria e Números Complexos Agora você observa na figura 1.8, que a medida desconhecida é o cateto oposto ao ângulo de 30º e a hipotenusa vale 16 cm. Portanto, utilizaremos a razão trigonométrica seno para encontrar a medida x. cateto oposto hipotenusa x sen 30º = 16 1 x = 2 16 2 x = 16 m x = 8cm sen 30º = 3) Encontre o valor de x: Figura 1.9: Triângulo retângulo Na figura 1.9 você pode observar que o cateto adjacente mede 10 cm e a medida desconhecida x é a hipotenusa. Assim, usaremos a razão cosseno para descobrir o valor de x. cateto adjacente hipotenusa 10 cos 60º = x 1 10 = 2 x x = 20 cm cos 60º = Unidade 1 29 Universidade do Sul de Santa Catarina E então? Você sentiu dificuldade para compreender os exemplos? Se sim, retorne à leitura buscando sanar suas dúvidas. Caso não compreenda, entre em contato com o(a) professor(a) tutor(a), via EVA (Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem). Se não sentiu dificuldades quanto à compreensão dos exemplos, observe os problemas abaixo: P1) Um eletricista deseja conhecer a altura de um poste, sabendo que quando o ângulo de elevação do sol é de 68º, a sombra do mesmo projetada no solo, mede 2,4 m. Modelo real Modelo matemático Figura 1.10: Modelo real e matemático do problema P1 Solução: A partir da figura 1.10, você pode observar a situação apresentada no problema P1 e perceber que a solução será encontrada por meio da razão trigonométrica tangente. Observe que a altura do poste, representada por x, é o cateto oposto ao ângulo de 68º e a medida do cateto adjacente ao mesmo ângulo é de 2,4 m, que corresponde a sombra do poste. 30 Trigonometria e Números Complexos cateto oposto cateto adjacente x tg 68º = 2, 4 x 2, 475 = 2, 4 x = 5, 94 m tg 68º = Lembre-se: A tg 68º= 2,475 é obtida pela calculadora ou pela tabela trigonométrica. Resposta: A altura do poste é de 5,94 m. P2) Uma família desejando realizar um passeio de fim de semana, parte da sua cidade situada no nível do mar seguindo por uma estrada em aclive de 36º. Após percorrer 80 m a que altitude esta família estará? Modelo real Modelo matemático Figura 1.11: Modelo real e matemático do problema P2 Solução: Observando a figura 1.11, você observa a situação apresentada no problema P2 e percebe que a solução será encontrada por meio da razão trigonométrica seno. A altitude em que a família se encontra, está representada por x, sendo denotada por cateto oposto ao ângulo de 36º. A medida da hipotenusa, que corresponde a distância percorrida pelo carro é de 80 metros. Unidade 1 31 Universidade do Sul de Santa Catarina cateto oposto hipotenusa x sen 36º = 80 x 0, 588 = 80 x = 47, 04 m sen 36º = Resposta: A família estará a uma altitude 47,04 metros. P3) Desejando saber qual a altura de uma torre, uma empresa de telefonia utilizou um teodolito, aparelho óptico de precisão utilizado para medir ângulos. O teodolito foi colocado a uma distância de 50 m da base da torre, num nível de observação de 1,50 m e o ângulo marcado foi de 20º. Modelo real Modelo matemático Figura 1.12: Modelo real e matemático do problema P3 Solução: A situação apresentada no problema P3 está representada na figura 1.12 e você pode perceber que a solução será encontrada por meio da razão trigonométrica tangente. A altura da torre está representada por x, é denotada por cateto oposto ao ângulo de 20º. A medida do cateto adjacente, que corresponde a distância entre o teodolito e a base da torre é de 50 metros. cateto oposto cateto adjacente x tg 20º = 50 x 0, 364 = 50 x = 18, 20 m tg 20º = 32 Trigonometria e Números Complexos Note que o nível de observação do teodolito é de 1,50 metros, logo devemos acrescentá-lo ao resultado encontrado: h= 18,20 + 1,50 = 19,70 metros. Resposta: A altura da torre é de 19,70 metros. Você sabia... Teodolito é um instrumento óptico de precisão para medir ângulos horizontais e verticais. Em áreas de grande extensão, o topógrafo precisa, muitas vezes imaginar triângulos em pontos inacessíveis. Medindo três elementos desses triângulos, sendo que pelo menos um deles é um lado, ele pode encontrar as demais dimensões necessárias para uma aplicação prática. Veja a seguir, alguns aspectos históricos sobre Hiparco... Retrospectiva Histórica Acredita-se que, como ciência, a Trigonometria nasceu com o astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. - 125 a.C.). Este grande astrônomo criou uma matemática aplicada para prever os eclipses e os movimentos dos astros, permitindo a elaboração de calendários mais precisos e maior segurança na navegação. Hiparco estudou e sistematizou algumas relações entre os elementos de um triângulo, foi ele o primeiro a construir a tabela trigonométrica. Unidade 1 33 Universidade do Sul de Santa Catarina Da vida de Hiparco sabe-se apenas que nasceu em Nicéia, em data desconhecida, e que trabalhou em Alexandria e Rodes. No tempo de Hiparco a filosofia pitagórica havia estabelecido um preconceito meramente especulativo: o de que os astros descrevem movimentos circulares perfeitos. E havia também o preconceito aristotélico, segundo o qual a natureza dos corpos celestes é imutável. Meteoritos e cometas não eram tidos como fenômenos astronômicos, mas atmosféricos, coisas deste mundo imperfeito e não da eterna impassividade celeste. Foram idéias como essa que Hiparco refutou, com base nas observações efetuadas ao longo de uma carreira científica de mais de trinta anos, provavelmente entre os anos 161 e 127 a.C. No curso desses trabalhos, Hiparco viria a desvendar um novo campo da matemática, a trigonometria. Infelizmente, é impossível avaliar hoje toda a extensão e o valor da obra deixada por Hiparco. Admite-se que tenha sido importante, pela influência que exerceu sobre cientistas posteriores. SEÇÃO 3 - Relações trigonométricas em um triângulo qualquer: lei dos senos e lei dos cossenos As razões trigonométricas estudadas até agora foram utilizadas em triângulos retângulos. Esta seção tem por finalidade mostrar outras relações que valem para quaisquer triângulos, assim, você estudará a seguir, valores de senos e cossenos de ângulos obtusos. Como esse assunto ainda não foi abordado, você aprenderá neste momento apenas como lidar com eles na prática e deixaremos a parte teórica, desses ângulos, para a próxima unidade. Você sabia... Ângulo obtuso é um ângulo cuja medida é maior que 90º. 34 Trigonometria e Números Complexos Lei dos senos Um fazendeiro deseja instalar energia elétrica em uma parte de sua fazenda que é cortada por um rio. Para tanto, precisa colocar dois postes em lados opostos deste rio para permitir a passagem do fio. Para fazer este projeto é necessário saber a distância entre os postes, e a presença do rio impede a sua medição direta. Utilizando um aparelho apropriado, o teodolito, o fazendeiro posicionou-se em um local em que era possível visualizar os dois postes e medir a distância entre eles, o ângulo obtido entre a linha de visão dele e os postes foi de 120º. Seu ajudante mediu a distância entre o poste mais afastado e o fazendeiro obteve 100 metros. Mediu também o ângulo entre a linha do poste mais próximo do fazendeiro e a linha entre os postes, obtendo 45º. Modelo real Modelo matemático Figura 1.13: Modelo real e matemático do problema enunciado Note que no modelo matemático da figura 1.13, temos o triângulo AÔB obtusângulo e descobrir a medida do lado AB é a resolução do problema. Para encontrarmos esta medida vamos estudar a lei dos senos cujo teorema é enunciado abaixo. Teorema Em todo o triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos: a ^ sen A = b ^ sen B = c ^ sen C Unidade 1 35 Universidade do Sul de Santa Catarina Considere o triângulo ABC representado na figura 1.14: Figura 1.14: Lei dos senos Agora observe a resolução do problema! 100 d = sen 45º sen120º 100 d = 2 3 2 2 d 2 100 3 = 2 2 100 3 d= 2 d= 100 3 2 . 2 2 d= 100 6 4 100 6 2 d = 50 6 d = 122, 47 m d= Resposta: A distância entre os postes é de aproximadamente 122,47 metros. Na seqüência, acompanhe a demonstração dessa lei. 36 Trigonometria e Números Complexos Existem três casos a considerar: O triângulo ABC é retângulo; O triângulo ABC é obtusângulo; O triângulo ABC é acutângulo. Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo. Os outros dois casos você irá demonstrar na resolução do exercício 19 das atividades de auto-avaliação ao final desta unidade. Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na figura 1.15: Figura 1.15: Representação do triângulo para demonstração Sejam AH1 e BH2 as alturas relativas aos lados BC e AC respectivamente. No triângulo retângulo AH1C, temos que ^ sen C = h1 b ^ ⇒ h1 = b.sen C . [1] No triângulo retângulo AH1B, temos que ^ sen B = h1 c ^ ⇒ h1 = c.sen B . Comparando [1] e [2], temos: ^ ^ b.sen C = c.sen B ⇒ b ^ sen B = [2] c ^ sen C Unidade 1 [A] 37 Universidade do Sul de Santa Catarina No triângulo retângulo BH2C, temos que ^ sen C = h2 a ^ ⇒ h2 = a.sen C . [3] No triângulo retângulo AH2B, temos que ^ sen A = h2 c ^ ⇒ h2 = c.sen A . Comparando [3] e [4], temos: ^ ^ a.sen C = c.sen A ⇒ a ^ sen A = [4] c [B] ^ sen C De [A] e [B] podemos concluir que: a ^ sen A = b ^ sen B = c ^ sen C Lei dos cossenos Na duplicação da BR-101, em um dos pontos do trecho sul, é necessário a construção de uma ponte que una os pontos A e B conforme a figura a seguir. O engenheiro responsável pela obra só conseguiu as seguintes medidas: AC=30m, BC=50m e a medida do ângulo entre esses lados 120º. Ele necessita descobrir qual a extensão da ponte. Modelo real Modelo matemático Figura 1.16: Modelo real e matemático do problema enunciado no exemplo. 38 Trigonometria e Números Complexos Perceba agora que, no modelo matemático temos o triângulo ABC obtusângulo representado na figura 1.16, e descobrir a medida do lado AB é a resolução do problema. A aplicação da lei dos cossenos é a solução deste problema. Observe o que diz o teorema: Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto àquele lado, ou seja: ^ a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c.cos A ^ b 2 = a 2 + c 2 − 2.a.c.cos B ^ c 2 = a 2 + b 2 − 2.a.b.cos C Figura 1.17: lei do cossenos Voltando ao problema inicial, de acordo com o triângulo na figura 1.17, para encontrar o comprimento da ponte, precisamos encontrar a medida d. Para isso, utilizaremos a lei dos cossenos: AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2. AC.BC.cos 120º d 2 = 302 + 502 − 2.30.50.(−0, 5) d 2 = 900 + 2500 + 1500 d 2 = 4900 d = 4900 d = 70m Resposta: A extensão da ponte deve ser de 70 metros. Na seqüência, acompanhe a demonstração dessa lei. Unidade 1 39 Universidade do Sul de Santa Catarina Existem três casos a considerar: O triângulo ABC é retângulo; O triângulo ABC é obtusângulo; O triângulo ABC é acutângulo. Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo. Na seleção das atividades de auto-avaliação, você resolverá a atividade 18 que contempla o segundo e o terceito caso onde,  é reto e  é obtuso respectivamente. Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na figura 1.18: Figura 1.18: Representação do triângulo para demonstração Demonstração: O segmento CH representa a altura relativa ao lado AB do triângulo ABC, logo CH é perpendicular a AB. Perceba que a altura CH divide o triângulo ABC em dois triângulos retângulos de acordo com a figura 1.19. 40 Trigonometria e Números Complexos Figura 1.19: Representação dos triângulos para demonstração. Aplicando o Teorema de Pitágoras em ambos os triângulos, temos: b2 = m2 + h2 h2 = b2 - m2 a 2 = h2 +(c-m)2 [1] a 2 = h2 + c2 -2.c.m + m2 [2] Substituindo [1] em [2], temos: a 2 = b2 - m2 + c2 -2.c.m + m2 a 2 = b2 + c2 -2.c.m [3] ^ ^ Note no triângulo A H C que temos: cos A = Logo m = b.cos m b [4] Substituindo [4] em [3], temos: a 2 = b2 + c2 -2.b.c. cos De forma análoga, você demonstra que: ^ b2 = a 2 + c2 -2.a.c. cos B . ^ c2 = a 2 + b2 -2.a.b. cos C . Unidade 1 41 Universidade do Sul de Santa Catarina Retrospectiva Histórica Considerado o mais eminente matemático do século XVI, François Viète (1540-1603) contribuiu bastante para o avanço do estudo da trigonometria. A forma atual da expressão do teorema dos cossenos foi estabelecida por ele. Figura 1.20 - Fonte: http://www.sulinet.hu/ematek/html/images/arckepek/viete.jpg. Capturado em 16/04/06. Utilizando recursos tecnológicos na trigonometria Você poderá encontrar o software acessando o site: http://www.unifra.br/cursos/ downloads.asp?curs=25&grad=M atem%C3%A1tica&endereco=ma tematica O uso de softwares no ensino é importante. No ensino da trigonometria pode ser muito interessante no que diz respeito à visualização de vários conceitos explorados no triângulo retângulo e em triângulos quaisquer. Como sugestão, indicamos o software Thales. Síntese Nesta unidade você estudou as razões trigonométricas, as leis do seno e cosseno, bem como suas aplicações. Você deve ter observado que os conteúdos abordados são muito úteis para calcular distâncias inacessíveis. Você deverá ter resolvido os 42 Trigonometria e Números Complexos exercícios da auto-avaliação e esclarecido todas as suas dúvidas com o professor-tutor para prosseguir seus estudos. Na próxima unidade, trabalharemos com a trigonometria na circunferência. Atividades de auto-avaliação 1) Considerando o triângulo eqüilátero ABC de lado a, deduza os valores do seno, do cosseno e da tangente de 30º e 60º. 2) Qual o valor de a e c no triângulo ABC? 3) Calcule as medidas desconhecidas indicadas nos triângulos abaixo: a) Unidade 1 43 Universidade do Sul de Santa Catarina b) 4) Considere o trapézio retângulo ABCD da figura e determine as medidas x e y indicadas: 5) Observando a seguinte figura, determine: a) O valor de a; 44 Trigonometria e Números Complexos b) O valor de b; c) A medida do segmento AD. 6) Calcule o valor de x e y indicados na figura abaixo: 7) Observe o triângulo a seguir, sabendo que a medida do lado AD é 40 cm, encontre a medida do lado BC. Unidade 1 45 Universidade do Sul de Santa Catarina 8) Duas pessoas A e B estão situadas na mesma margem de um rio, distante 60 3 m uma da outra. Uma terceira pessoa C, na outra margem, está situada de tal modo que AB seja perpendicular a AC e a medida do ângulo seja 60º. Determine a largura do rio. 9) Uma árvore projeta uma sombra de 30 m quando o sol se encontra a 64º acima da linha do horizonte. Qual a altura da árvore? 10) (VUNESP/99) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando um ângulo de 45º. Um posto de gasolina se encontra na rodovia A, a 4 Km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C, perpendicular a rodovia B. Qual a distância, em Km, do posto de gasolina a rodovia B, indo através de C? 11) Um estudante de matemática vê um prédio, do Campus da UNISUL de Tubarão SC, construído em um terreno plano, sob um ângulo de 30º. Aproximando-se do prédio por mais 20 metros, passa a vê-lo sob um ângulo de 60º. Considerando que a base do prédio está no mesmo nível do olho do estudante, determine a altura do prédio e a que distância está o estudante do mesmo. 12) Determine na figura a seguir, a medida do lado AB, sabendo-se a medida do lado AC é 3 3cm . 46 Trigonometria e Números Complexos 13) No triângulo RPM determine o valor de x sabendo que: MP= 10 2 cm; med( )=60º e med( )=75º. 14) Determine o valor de x na figura abaixo: 15) Qual o perímetro do quadrilátero ABCD? 16) Dois ângulos de um triângulo medem 60º e 75º. Se o lado oposto ao menor ângulo mede 18 2 cm, qual é o comprimento do lado oposto ao ângulo de 60º do triângulo? Unidade 1 47 Universidade do Sul de Santa Catarina 17) Os lados de um paralelogramo medem cada um 8 cm, e o menor ângulo que eles formam mede 60º. Calcule a medida em cm da menor das diagonais deste paralelogramo. 18) Prove a lei dos cossenos quando: a) o ângulo  for reto. b) o ângulo  for obtuso. 19) Prove a lei dos senos quando: a) o ângulo  for reto. b) o ângulo  for obtuso. Desafios na Trigonometria 1)(ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a cm, se forem satisfeitos as relações 3a=7c e 3b=8c? 48 Trigonometria e Números Complexos 2) (Unicamp-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa d’água a 50 m de distância. A distância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa d’água/bomba e caixa d’água/casa é de 60º. Se pretendemos bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários? Saiba mais Como você estudou, o uso da trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos. Sua aplicação é bastante difundida em vários setores tais como Engenharia, Astronomia, Topografia, Mecânica, etc. Para saber mais sobre estas aplicações, consulte o site: http://www.mat.ufpr.br/~licenciar/links/f-trig.htm onde você verá o cálculo de distâncias entre a Terra e o Sol, a Terra e a Lua e também a aplicação da trigonometria na construção de um túnel. Unidade 1 49 UNIDADE 2 Conceitos Básicos da Trigonometria Objetivos de aprendizagem Expressar e converter a medida de um ângulo de graus para radianos e vice-versa. Calcular a primeira determinação positiva de arcos maiores que 360º. Introduzir o conceito de seno e cosseno para ângulo de 0º a 360º. Reduzir arco ao 1º quadrante. Seções de estudo Seção 1 Arcos e Ângulos Seção 2 Conhecendo a Circunferência Trigonométrica Seção 3 Seno e Cosseno na Circunferência Seção 4 Trigonométrica Simetrias Seção 5 Redução ao primeiro Quadrante 2 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de conversa Nesta unidade, você ampliará os estudos de seno e cosseno. A Trigonometria estudada na unidade 1 passará a ocupar toda uma circunferência, ou seja, o objeto de estudo desta unidade é definir as razões seno e cosseno, estudadas anteriormente, na circunferência trigonométrica, também conhecida como circunferência unitária. Na unidade anterior, você estudou a Trigonometria com o objetivo de resolver problemas utilizando os triângulos retângulos, isto é, utilizou a Trigonometria na forma com a qual ela apareceu há milhares de anos. Nas seções a seguir, serão abordados o seno e o cosseno de forma mais acentuada, trabalhando a Trigonometria como uma necessidade atual da Matemática. SEÇÃO 1 - Arcos e Ângulos Considere a circunferência na figura 2.1. Figura 2.1: Arco de circunferência Observe que os pontos A e B dividem a circunferência em duas partes. Estas partes são denominadas arcos de circunferência. 52 Trigonometria e Números Complexos Temos: O arco , em que o ponto A é a origem e B é a extremidade do arco; o arco , em que o ponto B é a origem e A é a extremidade do arco. Você sabia... Arco nulo é o ponto; Arco de uma volta é a circunferência. Ângulo Central Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência. Observe a figura 2.2: Figura 2.2: Ângulo Central A medida de AÔB é α e denotamos por med(AÔB)= α. A medida do arco AB é α e denotamos por med( Unidade 2 )= α. 53 Universidade do Sul de Santa Catarina Note que a medida de um arco não representa a medida do comprimento desse arco. Observe a figura 2.3: Figura 2.3: Arcos de circunferência Os arcos e possuem a mesma medida α, porém, possuem comprimentos diferentes, m e n respectivamente. Unidades de medida de arcos e ângulos Conheça agora as unidades mais utilizadas para medir arcos e ângulos de circunferência. São elas: o grau e o radiano. Grau Você já sabe que uma circunferência é dividida em 360 partes iguais. O grau é uma dessas 360 partes: 1º = 54 1 da circunferência. 360 Trigonometria e Números Complexos Você sabia... Existe uma terceira unidade de medida de arco que é o grado. Grado é a medida de um arco igual a 1/400 do arco completo da circunferência na qual estamos medindo o arco. Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo. 1`= 1 do grau. 60 1``= 1 do minuto. 60 Radiano Radiano é um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém, cuja notação é rad. Observe a figura 2.4: Figura 2.4: Radiano Note que, esticando o arco será igual à do raio. , a medida do segmento obtido Unidade 2 55 Universidade do Sul de Santa Catarina Relação entre grau e radiano Lembre-se que o comprimento de uma circunferência é calculado pela fórmula C = 2 π r , onde r é o raio da circunferência. Como cada raio r equivale a 1 rad, fica claro que o arco de uma volta de circunferência corresponde a 2π rad. Então, tem-se a seguinte relação: 360º → 2π rad ou 180º → π rad É possível estabelecer os seguintes resultados entre as três unidades: Desenho Grau 90 180 270 360 Grado 100 200 300 400 Radiano π/2 π 3π/2 2π Observação: 0 graus = 0 grado = 0 radianos Veja alguns exemplos de como é feita a conversão entre o grau e o radiano: 1) Vamos converter 300º em radianos. 180 → π rad 300 → x 56 180 π rad = 300 x 18 π rad = 30 x 3 π rad = 5 x 3 x = 5π rad 5π x= rad 3 Trigonometria e Números Complexos Note que você deverá usar a simplificação até transformar a fração na forma irredutível, pois o resultado é expresso na forma de fração e não em forma decimal. 2) Transforme 3π rad em graus. 4 Como já se viu que π rad → 180º, tem-se: 3π 3.180 540 = = 135 rad = 4 4 4 3) Vamos transformar 15º 30’ em radianos. Primeiro, transforma-se 15º 30’ em minutos: 1º = 60’ 15º 30’ = 15.60’ + 30’ = 900’ + 30’ = 930’ Agora, transforma-se 180º também em minutos: 180º = 180.60’ = 10800’ Então, tem-se: 10800' → π rad 930' → x 10800' π rad = x 930' 1080 π rad = 93 x 360 π rad = 31 x 360 x = 31π rad 31π x= rad 360 Unidade 2 57 Universidade do Sul de Santa Catarina Tudo com você! Vá até a página de auto-avaliação e resolva as atividades referentes a este assunto. Comprimento de arco de circunferência Como você estudou anteriormente, a medida de um arco não representa o seu comprimento, pois este depende do raio da circunferência em que esteja contido. Por exemplo, um arco 1 de 60º tomado sobre uma circunferência de raio 15 cm, tem comprimento maior que um arco 2 também de 60º, tomado sobre uma circunferência de 7cm de raio. Então, tem-se: Sendo AÔB um ângulo central de medida α rad e comprimento , pode-se estabelecer: Comprimento do arco o arco de Medida do arco r _________________________ 1 rad _________________________ α rad que fornece a relação =α . r Essa relação permite calcular o comprimento de um arco de circunferência em função do raio e do ângulo central correspondente, medido em radianos. 58 Trigonometria e Números Complexos Acompanhe alguns exemplos que envolvem o comprimento de arco de circunferência. 1) Considere a circunferência representada na figura 2.5: Figura 2.5: Comprimento de arco de circunferência Determine, em cm, o comprimento do arco α =3 rad. , sabendo que Resolução: =α.r =3.6 =18 cm 2) Qual o valor, em rad, do arco de uma circunferência de 3m de raio, sabendo-se que o comprimento desse arco é de 4,5 metros? = α .r 4,5 = α .3 4 ,5 α= 3 α = 1,5 rad 3) O pêndulo de um relógio, cujo comprimento é de 25 cm, executa o movimento de A para B, conforme mostra a figura 2.6. Determine o comprimento do arco descrito pela extremidade do pêndulo. Use π=3,14. Unidade 2 59 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 2.6: Pêndulo Resolução: O raio r é representado pelo pêndulo, então, r = 25 cm. O ângulo α =2.35º = 70º. Agora, veja a conversão de grau para radianos, pois, como você sabe, para o cálculo do comprimento de um arco, não é possível utilizar a medida em graus. 180º → π rad 70º → x 180º π rad = x 70º 18 π rad = 7 x 18 x = 7π rad 7π x= rad 18 Na seqüência, calcula-se o comprimento do arco =α.r 7π .25 18 175 π = 18 175.3,14 = 18 = 30 ,53 cm = 60 . Trigonometria e Números Complexos Verifique se você realmente compreendeu esta seção, resolvendo os exercícios propostos na auto-avaliação. Em caso afirmativo, passe para a seção 2, onde será abordado o ciclo trigonométrico. Se você percebeu dificuldade em resolver os exercícios, procure sanar suas dúvidas com o tutor, ou retome a seção novamente. SEÇÃO 2 - Conhecendo a circunferência trigonométrica Quando se fala em ‘ciclo trigonométrico’, fala-se da mesma circunferência que conhecemos, só que com características específicas. O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio unitário (r = 1), cujo centro é a origem do sistema cartesiano. Ele é orientado positivamente no sentido anti-horário. Observe a figura 2.7: Figura 2.7: Ciclo Trigonométrico O centro da circunferência é O(0,0). O raio da circunferência é unitário, r = 1. O ponto A(1,0) é a origem dos arcos, isto é, os arcos são medidos a partir de A. O sistema de coordenadas cartesianas divide a circunferência em quatro regiões, chamadas quadrantes. Dizemos que um arco pertence ao quadrante no qual se encontra sua extremidade. Unidade 2 61 Universidade do Sul de Santa Catarina Veja alguns exemplos: 1) Identifique a que quadrantes pertencem os arcos cujas medidas são: a) 130º Como você pode observar, o arco de 130º, partiu do ponto A no sentido positivo e sua extremidade está no 2º quadrante, logo, ele pertence a este quadrante. b) -120º Agora, observe que o arco de -120º partiu do ponto A, no sentido negativo e sua extremidade está no 3º quadrante, logo, ele pertence a este quadrante. 62 Trigonometria e Números Complexos c) c) 5π rad 3 Neste exemplo, você observa que o arco de 5π rad partiu 3 do ponto A no sentido positivo, e sua extremidade está no 4º quadrante, logo, ele pertence a este quadrante. Arcos Côngruos Observe as circunferências representadas na figura 2.8: Figura 2.8: Arcos Côngruos Você pode observar que o arco permanece com a mesma extremidade, independentemente do número de voltas completas na circunferência. Assim sendo, é possível definir arcos côngruos como: Arcos que possuem a mesma extremidade e diferem, apenas, pelo número de voltas completas na circunferência. Unidade 2 63 Universidade do Sul de Santa Catarina Na figura 2.9, marcamos um arco de 60º. Figura 2.9: Arcos côngruos a 60º É fácil observar que os arcos de 60º, 420º e 780º têm a mesma extremidade e, ainda, que poderíamos encontrar infinitos outros arcos com origem em A e a mesma extremidade. Para isso, basta descrevermos voltas completas na circunferência. Dessa forma, podemos escrever: 60º = 60º + 0.360º 420º = 60º + 1.360º 780º = 60º + 2.360º Assim: Se um arco mede α graus, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é: α + k. 360º, k ∈ Z Se um arco mede α radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é: α +2kπ, k ∈ Z É importante que você saiba que, se o arco for negativo, basta fazer o percurso das voltas no sentido negativo e também ter-se-á infinitos arcos côngruos com medidas negativas. 64 Trigonometria e Números Complexos Faça a mesma representação gráfica 2.9 para este caso. É uma boa forma de verificar se você compreendeu o assunto. Não esqueça que o sentido negativo, no ciclo trigonométrico, é o sentido horário. Como visto, a cada ponto da circunferência, podem estar associados infinitos arcos côngruos. Chamamos, então, de primeira determinação positiva de um arco, a medida α do arco côngruo a ele, tal que 0 ≤ α < 360º ou 0 ≤ α < 2 π rad. Acompanhe alguns exemplos: 1) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a 1240º. Solução: Os arcos côngruos diferem apenas pelo número de voltas completas. Logo, deve-se fazer a divisão do arco de 1240º por 360º. Dessa forma, obtém-se o número de voltas completas e a sua primeira determinação positiva. Logo, 160º é a primeira determinação positiva e 3 representa o número de voltas completas. A expressão geral dos arcos côngruos a 1240º será: β = 160º+ k. 360º, k ∈ Z 2) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a -1352º. Solução: Daí, -272º + 360º = 88º. Unidade 2 65 Universidade do Sul de Santa Catarina Logo, 88º é a primeira determinação positiva de -1352º. A expressão geral dos arcos côngruos a -1352º será: β = 88º+ k. 360º, k ∈ Z 3) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a 11π rad . 3 Solução: Para resolver este exercício, deve-se escrever o arco considerado desmembrando-o de forma conveniente: Observe que, para desmembrar a fração de forma conveniente, é necessário pensar em um número que seja imediatamente menor que o numerador, tal que, dividido pelo denominador, resulte em um número par. 11π 5π rad . rad é a primeira determinação positiva de 3 3 11π rad será: A expressão geral dos arcos côngruos a 3 5π β= + 2kπ ,, k ∈ Z. 3 Logo, 66 Trigonometria e Números Complexos 4) Determine, na circunferência trigonométrica, o quadrante onde está a extremidade dos seguintes arcos: a) 1720º Solução: Para solucionar esta questão, primeiramente, divida o número apresentado no problema por 360º. Assim, você encontrará o arco de 280º, que é côngruo ao arco de 1720º. Logo, eles possuem a mesma extremidade e estão, dessa forma, no mesmo quadrante que, neste caso, é o quarto, pois 270º < 280º < 360º. b) 19π 4 Solução: Veja que, novamente, encontramos a primeira determinação positiva do arco, que é 3π rad . 4 19π Como você percebe, este arco é côngruo a rad e, portanto, 4 ambos possuem a mesma extremidade. 19π rad está é no 2º quadrante. 4 3π Para entender melhor, note que rad é equivalente a 135º. 4 Logo, o arco de Unidade 2 67 Universidade do Sul de Santa Catarina Você sabia... Normalmente, as pessoas justificam que o raio da circunferência é r=1, porque nas definições dadas para tangente e secante, bem como nas definições de seno e cosseno, figura sempre o raio r do círculo no denominador. Se supusermos r=1, as fórmulas se simplificarão bastante. Tal explicação deve ser complementada com a observação de que tomar r=1 corresponde a escolher o comprimento do raio como unidade de medida. Como todas as linhas trigonométricas são quocientes entre duas medidas, o valor de cada uma delas se mantém inalterado quando elas passam de uma unidade para outra. Por isso, é interessante convencionar r=1. (Fonte adaptada do livro Matemática Ensino Médio 2ª Luiz Roberto Dante, São Paulo, Ática, 2004) SEÇÃO 3 - Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica Na unidade anterior, os valores do senα e cosα foram definidos π apenas para ângulos agudos, ou seja, para 0 < α < . 2 Agora, nesta seção, você estudará o seno e cosseno de arcos ou ângulos maiores que π rad, algo impensável quando se trabalhava 2 com triângulos retângulos. Você também poderá trabalhar com senos e cossenos de ângulos negativos. Veja só que interessante!!! Definindo Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica Considere a figura 2.10: 68 Trigonometria e Números Complexos Figura 2.10: Seno e Cosseno na Circunferência Então: Seno do arco cuja medida é x é a ordenada do ponto M, ou seja: senx=OM”; Cosseno do arco cuja medida é x é a abscissa do ponto M, ou seja: cosx=OM’. Veja por que: Figura 2.11: Seno e Cosseno Unidade 2 69 Universidade do Sul de Santa Catarina Observe o triângulo retângulo OM’M da figura 2.11. Neste triângulo podem-se aplicar as razões trigonométricas, estudadas na unidade 1. Para isso, retira-se o triângulo do ciclo trigonométrico para melhor visualização. Observe a figura 2.12: Figura 2.12: Triângulo Retângulo Aplicando-se as razões trigonométricas nesse triângulo, tem-se: cateto oposto hipotenusa MM ' sen x = OM MM ' sen x = 1 sen x = MM ' sen x = OM '' sen x = cateto adjacente hipotenusa OM ' cos x = OM OM ' cos x = 1 cos x = OM ' cos x = Observe, no ciclo trigonométrico, que MM’=OM”. Dessa forma, mostramos que o seno de um arco é a ordenada do ponto que representa a extremidade deste arco e o cosseno é a abscissa desse ponto. Podemos nos referir aos valores dos arcos em graus ou radianos. Também podemos pensar em seno e cosseno de arcos maiores que 90º, algo impensável quando trabalhávamos com triângulos retângulos. É possível, ainda, pensar em senos e cossenos de ângulos negativos. 70 Trigonometria e Números Complexos Na unidade 1, você viu que alguns ângulos são considerados notáveis por serem mais utilizados na resolução de problemas, são eles: 30º ou π π π rad, 45º ou rad e 60º ou rad. Observe a 3 4 6 representação geométrica do seno e do cosseno de cada um deles: sen π 1 = 6 2 cos π 3 = 6 2 π 2 = 4 2 π 2 cos = 4 2 sen π 3 = 3 2 π 1 cos = 3 2 sen Agora, serão acrescentados outros arcos que também podem ser π considerados notáveis: 0º ou 0 rad, 90º ou rad, 180º ou π rad, 2 3π 270º ou rad e 360º ou 2π rad. Geometricamente, cada um 2 deles, representa o seno e o cosseno. Observe: Unidade 2 71 Universidade do Sul de Santa Catarina 72 Trigonometria e Números Complexos Veja a tabela 2.1, onde estão reunidos os valores do seno e cosseno representados geometricamente. Tabela 2.1: Valores Notáveis π π π π 3π (270º) 2π (360º) (30º) (45º) (60º) (90º) π (180º) 6 4 3 2 2 1 2 3 senx 0 1 0 -1 0 2 2 2 1 3 2 cosx 1 0 -1 0 1 2 2 2 x 0 Você sabia... Criada por Edmund Gunter, a palavra cosseno surgiu no século XVII como sendo o seno do complemento de um ângulo. Gunter sugeriu combinar os termos “complemento” e “seno” em co-sinus, que logo foi modificado para cosinus e, em português “co-seno”. Os conceitos de seno e cosseno tiveram origem nos problemas relativos à Astronomia. Acompanhe alguns exemplos, onde serão calculados os senos e cossenos de arcos maiores que 360º. Unidade 2 73 Universidade do Sul de Santa Catarina 1) Calcule o valor de sen1845º. Solução: Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva: Então, sen1845º = sen45º = Logo, sen1845º = 2 . 2 2 . 2 2) Calcule o valor de cos(-900º). Solução: Deve-se calcular a primeira determinação positiva de (-900º). Perceba que -180º é a primeira determinação negativa, e precisase da primeira determinação positiva. Assim: -180º + 360º = 180º. Logo, a primeira determinação positiva é 180º. Tem-se, então, que: cos(-900º)=cos180º=-1 Logo, cos(-900º)=-1 3) Calcule o valor de sen 19π .. 3 Solução: Vamos calcular a primeira determinação positiva. 19π 18π π π = + = 6π + 3 3 3 3 π 19π Assim, temos que 3 é a primeira determinação positiva de . 3 74 Trigonometria e Números Complexos Dessa forma, sen Logo, sen 19π π 3 . = sen = 3 3 2 19π 3 . = 3 2 Que tal conhecer mais sobre a história do seno? Retrospectiva histórica Enquanto na obra de Ptolomeu, intitulada “Almagesto”, a “Trigonometria” era fundamentada no estudo da relação entre um arco arbitrário e sua corda, os hindus apresentaram uma trigonometria que relacionava a metade da corda e a metade do ângulo central correspondente a esta corda. Uma vez conhecido o valor do comprimento de uma corda, pode-se calcular o seno da metade do arco correspondente, pois a metade do comprimento da corda dividido pelo comprimento do raio do círculo é, justamente, esse valor, ou seja, para um círculo de raio unitário, o x comprimento da corda subtendida por um ângulo x é 2sen . 2 Observe a figura 2.13: Figura 2.13: Meia corda Unidade 2 75 Universidade do Sul de Santa Catarina OB = r ^ AO B = x AB x sen = 2 2 r x AB sen = 2 2r Os hindus chamaram esta meia corda de jiva. O matemático indiano Aryabhata, por volta do ano 500, elaborou tabelas envolvendo metades de cordas que, atualmente, são reconhecidas como tabelas de senos. Ele usou jiva no lugar de seno. Não é incrível? Figura 2.14: Aryabhata. Extraído do site: www.freeindia.org/dynamic_includes/images/aryabhata.jpg Acesso em 28/06/06. Durante algum tempo, os matemáticos árabes oscilaram entre o Almagesto e a Trigonometria de jiva. O conflito chegou ao final quando, entre 850 e 929, o matemático árabe Al-Battani, adotou a Trigonometria hindu, introduzindo uma preciosa inovação - o círculo de raio unitário. Surgiu então, o nome da função seno. 76 Trigonometria e Números Complexos Figura 2.15: Al-Battani www.islamonline.com/cgi-bin/news_service/prof... (acesso em 28/06/06) A palavra hindu jiva (meia corda), dada ao seno, foi traduzida para o árabe que o chamou de jiba. Tal palavra tem o mesmo som que jiva. Daí, jiba se tornou jaib nos escritos árabes. A palavra árabe adequada que deveria ter sido traduzida seria jiba, que significa a corda de um arco, em vez de jaib, pois foi o estudo das cordas de arcos numa circunferência que originou o seno. O nome seno vem do latim sinus que significa seio, volta, curva, cavidade. Muitas pessoas acreditam que este nome se deve ao fato de o gráfico da função correspondente ser bastante sinuoso. Mas, na verdade, sinus é a tradução latina da palavra árabe jaib, que significa dobra, bolso ou prega de uma vestimenta que não tem nada a ver com o conceito matemático de seno. Trata-se de uma tradução defeituosa que dura até hoje. SEÇÃO 4 - Simetrias Considere a circunferência trigonométrica representada na figura 2.16: Figura 2.16: Simetria Unidade 2 77 Universidade do Sul de Santa Catarina Os pontos M1, M2, M3 e M4, vértices do retângulo M1M2M3M4, estão associados a arcos com origem no ponto A. Os pontos M 2, M3 e M4, são ditos simétricos de M1, no 2º, 3º e 4º quadrantes, respectivamente. Os arcos AM1, A’M2, A’M3 e AM4 são congruentes de medida α, em grau ou radiano. Conhecendo-se a medida de um deles, é possível, pela simetria existente, calcular a medida dos outros. Observe as figuras 2.17 e 2.18. Em Grau: Figura 2.17: Simetria em graus Em Radiano: Figura 2.18: Simetria em radianos 78 Trigonometria e Números Complexos Utilizando as unidades indicadas em cada circunferência trigonométrica, determine as medidas dos arcos trigonométricos simétricos na primeira volta positiva: a) Solução: mede 60º, e que os pontos C, D Veja que o arco e E são simétricos a B. Portanto, os arcos , ,e são congruentes de medida 60º. Logo, os arcos , do seguinte modo: e , serão determinados =180º - 60º =120º. = 180º + 60º = 240º. = 360º - 60º = 300º. Unidade 2 79 Universidade do Sul de Santa Catarina b) Solução: Veja que o arco é 17π 12 rad, e que os pontos B, C e E são simétricos a D. Portanto, os arcos 17π são congruentes de medida rad. 12 Logo, os arcos seguinte modo: 80 , e , e serão determinados do Trigonometria e Números Complexos SEÇÃO 5 - Redução ao primeiro quadrante Nesta seção, você vai constatar que, utilizando a simetria estudada, poderá determinar os valores do seno e cosseno de arcos, de qualquer quadrante, com os valores do primeiro quadrante. Para isso, use a redução ao primeiro quadrante, que trabalha com os sinais das funções seno e cosseno indicadas nas figuras 2.19 e 2.20: Figura 2.19: Sinal do cosseno Figura 2.20: Sinal do seno Observe a tabela 2.2: Tabela 2.2: Sinal do seno e cosseno 1 cos α + sen α + 2º - + º 3 - - 4 + - Quadrante º º Note que os sinais do seno e do cosseno de um arco x dependem do quadrante a que pertence a extremidade do arco. Quando reduzimos um arco dado ao primeiro quadrante, estamos determinando um arco do primeiro quadrante cujo seno e o cosseno são iguais em valor absoluto aos do seno e cosseno do arco dado. Unidade 2 81 Universidade do Sul de Santa Catarina Observe como se faz esta redução: Redução do segundo quadrante para o primeiro quadrante: Figura 2.21: 2º Quadrante Perceba que, na figura 2.21, falta x para 180º. Logo, podemos afirmar que x e (180º-x) têm senos iguais e cossenos simétricos. Redução do terceiro quadrante para o primeiro quadrante: Figura 2.22: 3º Quadrante Agora, perceba que, na figura 2.22, x e (180º+x) têm senos e cossenos simétricos. 82 Trigonometria e Números Complexos Redução do quarto quadrante para o primeiro quadrante: Figura 2.23: 4º Quadrante Veja que, na figura 2.23, os arcos x e (360º-x) têm senos simétricos e cossenos iguais. De modo análogo, estas reduções valem para arcos em radianos. Acompanhe os exemplos a seguir: 1) Calcule sen150º e cos150º. Solução: O arco de 150º pertence ao 2º quadrante. Logo, usa-se o primeiro caso da redução: x = 180º - 150º x = 30º Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que auxilia a obter o seno e cosseno procurado. Como 150º é um arco do segundo quadrante, usa-se o sinal do seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2. Assim, tem-se: sen 150º = sen 30º = 1 2 cos150º = − cos 30º = − 3 2 Unidade 2 83 Universidade do Sul de Santa Catarina Logo, sen150º = 1 3 e cos150º = − 2 2 2) Obtenha sen 240º e cos 240º. Solução: O arco de 240º pertence ao 3º quadrante. Logo, usa-se o segundo caso da redução: x = 240º - 180º x = 60º Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que auxilia a obter o seno e cosseno procurado. Como 240º é um arco do terceiro quadrante, usa-se o sinal do seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2. Assim, tem-se: 3 2 1 cos 240º = − cos 60º = − 2 sen 240º = − sen 60º = − Logo, sen 240º = − 3 1 e cos 240º = − .. 2 2 3) Determine sen 315º e cos 315º. Solução: O arco de 315º pertence ao 4º quadrante. Logo, usa-se o terceiro caso da redução: x = 360º - 315º x = 45º. Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que auxilia a obter o seno e cosseno procurado. 84 Trigonometria e Números Complexos Como 315º é um arco do quarto quadrante, usa-se o sinal do seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2. Assim, tem-se: sen 315º = − sen 45º = − 2 2 cos 315º = cos 45º = 2 2 Logo, sen 315º = − 2 2 .. e cos 315º = 2 2 4) Determine sen 7π 6 e cos 7π . 6 Solução: O arco de 7π pertence ao 3º quadrante. Logo, usa-se o segundo 6 caso da redução: x= 7π 6 − π 7π − 6π 6 π x = .. 6 x= Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que vai nos auxiliar na obtenção do seno e cosseno procurados. Como 7π é um arco do terceiro quadrante, usa-se o sinal do 6 seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2. Assim, temos: sen 7π π 1 = − sen = − 6 6 2 cos 7π π 3 = − cos = − 6 6 2 Logo: sen 7π 1 7π 3 . = − e cos =− 6 2 6 2 Unidade 2 85 Universidade do Sul de Santa Catarina 5) Determine sen 2460º e cos 2460º.. Solução: É necessário conhecer a primeira determinação positiva de 2460º. O arco de 300º, primeira determinação positiva, pertence ao 4º quadrante. Logo, usa-se o terceiro caso da redução: x = 360º - 300º x = 60º Lembre-se que x é o arco do primeiro quadrante que nos auxilia a obter o seno e cosseno procurado. Como 300º é um arco do quarto quadrante, usa-se o sinal do seno e do cosseno desse quadrante, conforme a tabela 2.2. Assim, temos: sen 2460º = sen 300º = − sen 60º = − cos 2460º = cos 300º = cos 60º = Logo, sen 2460º = − 86 3 2 1 2 3 1 e cos 2460º = . 2 2 Trigonometria e Números Complexos 6) Calcule o valor de M = sen 45º + sen 90º + sen 135º . sen 270º +2.sen 315º Solução: Calcula-se, separadamente, cada um dos senos. sen 45º = sen 90º = 1 2 2 sen 135º = sen 45º = sen 270º = −1 2 2 sen 315º = − sen 45º = − 2. 2 Substituindo os valores encontrados na expressão M, tem-se: 2 +1+ M= 2 −1 + 2. − 2 2 2 +1 2 +1 2 = 2 = . 2 −1 − 2 −1 − 2 2 Racionalizando o denominador, tem-se: M= 2 + 1 −1 + 2 − 2 + 2 − 1 + 2 1 . = = = −1 . 1− 2 −1 −1 − 2 −1 + 2 Unidade 2 87 Universidade do Sul de Santa Catarina Atividades de auto-avaliação 1) Expresse em graus (º): a) 5π rad 3 b) 4π rad 3 c) 7π rad 6 d) π rad 9 2) Expresse em radianos (rad): a) 20º 88 Trigonometria e Números Complexos b) 315º c) 120º d) 67º30´ 3) Encontre o comprimento de uma circunferência de raio 10 cm. Adote π = 3,14. 4) A roda de uma bicicleta tem 100 cm de diâmetro. Determine o número de voltas efetuadas pelas rodas quando a bicicleta tiver percorrido 14,13 km. Unidade 2 89 Universidade do Sul de Santa Catarina 5) O comprimento do arco , na circunferência abaixo, é: 6) Determine em que quadrante está a extremidade de cada arco: a) 1550º b) 95π rad 6 c) – 65π rad 6 7) Ache a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a: a) -760º 90 Trigonometria e Números Complexos b) 3120º c) 15π rad 2 d) 25π rad 4 8) Dada a expressão geral EG = 30º + 360ºk, calcule a 2ª determinação positiva e a 3ª determinação negativa. 9) Dê a expressão geral dos arcos côngruos a 15π rad. 2 10) Identifique quais pares de arcos são côngruos: a) π 30π rad e rad 3 3 b) – 30º e 330º Unidade 2 91 Universidade do Sul de Santa Catarina c) 2º e 1082º 11) Determine: a ) sen 390º = b) cos 1845º = 5π c) sen = 3 d ) sen 600º = e) cos 480º = 12) Determine o valor da expressão: a) A= sen330º-2.cos0º+sen60º b) B= sen 3x + cos 8x - cos 2x para x= sen c) C = 92 7π − cos 3π 3 13π sen 6 π . 2 Trigonometria e Números Complexos Desafio na Trigonometria Um aro circular de arame tem 2 cm de raio. Esse aro é cortado e o arame é estendido ao longo de uma polia circular de 9 cm de raio. Qual é o ângulo central, em graus, que o arco formado pelo arame determina na polia? Síntese Nesta unidade, você estudou o seno e o cosseno de arcos maiores que 90º. Estes conceitos foram ampliados, pois a trigonometria foi abordada em toda a circunferência e não apenas no triângulo retângulo. Também conheceu uma nova medida de ângulo - o radiano, que será muito importante nas próximas unidades. Nelas, você estudará as funções trigonométricas onde os arcos trabalhados terão que estar inseridos no radiano. Você poderá encontrar o software Thales acessando o site: Saiba mais Sugerimos que você utilize o software Thales para visualizar, com maior precisão, as projeções do seno e cosseno na circunferência trigonométrica conforme a variação dos arcos. Unidade 2 http://www.unifra. br/cursos/downloads. asp?curs=25&grad=Mat em%C3%A1tica&endere co=matematica 93 UNIDADE 3 Estudando as Funções Trigonométricas Objetivos de aprendizagem Definir as funções trigonométricas seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. Aplicar as funções seno e cosseno em diferentes situações problemas. Construir o gráfico das funções trigonométricas. Ler e interpretar gráficos das funções trigonométricas. Utilizar procedimentos e ferramentas tecnológicas para a construção dos gráficos das funções trigonométricas. Desenvolver leituras gráficas envolvendo funções trigonométricas inversas. Seções de estudo Seção 1 Estudando as Funções Seno e Cosseno Seção 2 Estudando as Funções Tangente, Cotangente, Seção 3 Secante e Cossecante Estudando as funções trigonométricas inversas 3 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de conversa Durante o desenvolvimento desta unidade, você observará que as funções circulares são periódicas e que elas podem representar fenômenos naturais periódicos, como as variações da temperatura terrestre, o comportamento ondulatório do som, a pressão sangüínea no coração, os níveis de água dos oceanos, etc. Esses fenômenos periódicos podem ser descritos por gráficos denominados senóides e cossenóides, que serão abordados na seção 1, onde você aprenderá a esboçá-los e interpretá-los. Você construirá e fará as interpretações dos gráficos das demais funções trigonométricas, definidas em termos de seno e cosseno, bem como das funções trigonométricas inversas. O uso de ferramentas computacionais será de grande utilidade na construção e análise de gráficos desenvolvidos nesta unidade. É importante que você reconheça a tecnologia, tão presente no nosso cotidiano, como uma ferramenta que nos auxilia no desenvolvimento de atividades, tais como construções de gráficos e cálculos sistemáticos. SEÇÃO 1 - Estudando as Funções Seno e Cosseno Nesta seção, você estudará as funções seno e cosseno na circunferência trigonométrica. Estas funções são periódicas de variáveis reais, por isso, são adequadas para descreverem fenômenos de natureza periódica oscilatória ou vibratória. As aplicações destas funções não se restringem apenas aos estudos da matemática. Na Cinemática e na Dinâmica, ramos da Física que analisam os movimentos, são utilizadas na decomposição de vetores com o objetivo de descrever e explicar movimentos como: movimento oblíquo de projéteis, movimento do corpo num plano inclinado, entre outros. 96 Trigonometria e Números Complexos Você sabia... Na natureza encontra-se uma série de fenômenos ditos periódicos, ou seja, que se repetem sem alteração cada vez que transcorre um intervalo de tempo determinado. Como exemplo de fenômenos periódicos, é possível citar as ondas do mar, sonoras, ou mesmo ondas eletromagnéticas. Função Seno Observe a figura 3.1: Figura 3.1: Função Seno A função seno é uma função f: IR → IR que, a todo arco medida x∈IR, associa a ordenada y do ponto P. de f(x) = senx O domínio da função seno é D(f)=IR A imagem da função seno, Im (f), é o intervalo [-1,1]. Unidade 3 97 Universidade do Sul de Santa Catarina Função Cosseno Observe a figura 3.2: Figura 3.2: Função Cosseno A função cosseno é uma função f: IR → IR que a todo arco de medida x∈IR associa a abscissa x do ponto P. f(x) = cos x O domínio da função cosseno é D(f)=IR. A imagem da função cosseno, Im (f), é o intervalo [-1,1]. Gráfico da Função Seno: Senóide Seja f(x) = sen x Inicialmente, constrói-se a tabela com x variando [-2π, 2π]. Tabela 3.1: Valores do seno 98 x -2π sen x 0 − 3π 2 -π 1 0 π 2 0 π 2 π 3π 2 2π -1 0 1 0 -1 0 − Trigonometria e Números Complexos Observe o gráfico na figura 3.3: Figura 3.3: f(x) = senx Observando o gráfico da função f(x)=sen x, no intervalo [-2 π ,2 π ], tem-se que: A função é periódica de período 2 π , pois a função repete os seus valores nos intervalos [-2 π ,0] e [0,2 π ], ou seja, toda vez que somamos 2 π a um determinado valor de x, a função seno assume o mesmo valor. O estudo da variação nos mostra que f(x)=sen x tem um valor mínimo -1, um valor máximo 1 e assume todos os valores reais entre -1 e 1, logo, a imagem da função é o intervalo Im=[-1,1]. O domínio da função f(x)=sen x é D= [-2 π ,2 π ]. Nos intervalos ]−2π , −π [ e ]0; π [ , a função f(x)=sen x assume valores positivos. Unidade 3 99 Universidade do Sul de Santa Catarina Nos intervalos ]−π , 0[ e ]π ; 2π [ , a função f(x)=sen x assume valores negativos. A função f(x)=sen x é crescente nos intervalos −3π π π 3π −2π ; 2 , − 2 , 2 e 2 ; 2π . A função f(x)=sen x é decrescente nos intervalos π 3π −3π −π e ; 2 ; 2 . 2 2 A função f(x)=sen x é ímpar pois f(x) = -f(-x). A função f(x)=sen x possui valor máximo quando x= −3π rad e x = π rad. 2 2 A função f(x)=sen x possui valor mínimo quando x = rad e x = 3π rad. 2 −π 2 Generalizando algumas características da função f(x)= sen x tem-se: O domínio da função é D(f)=IR, pois é possível estender a senóide ao longo do eixo x. O conjunto imagem da função é Im(f)=[-1,1]. A função f(x)= sen x possui valor máximo para π x ∈ IR | x = + 2kπ , k ∈ Z . A função f(x)= sen x possui valor mínimo para 3π x ∈ IR | x = + 2 kπ , k ∈ Z . 100 2 2 Trigonometria e Números Complexos Você lembra? Você já estudou na disciplina ‘Tópicos da Matemática Elementar I’ cada uma das características das funções y=sen x e y=cos x, citadas. Assim, você deve lembrar das definições formais de função periódica, função par e ímpar. Então: Função Periódica: Dizemos que uma função é periódica se existe um número real T diferente de zero, tal que f(x+T)=f(x) para todo x ∈D(f). Função Par e Ímpar: Uma função f(x) é par, se para todo x no seu domínio temos f(x)=f(-x). Uma função é ímpar se, para todo x no seu domínio temos f(x)=-f(-x). Gráfico da Função Cosseno: Cossenóide Seja f(x) = cos x Inicialmente, constrói-se a tabela com x variando [-2π, 2π]. Tabela 3.2: Valores do cosseno x -2π cos x 1 − 3π 2 -π 0 -1 − π 2 0 π 2 π 3π 2 2π 0 1 0 -1 0 1 Unidade 3 101 Universidade do Sul de Santa Catarina Agora observe o gráfico na figura 3.4: Figura 3.4: f(x) = cos x Observando o gráfico da função f(x)=cos x, no intervalo [-2 π ,2 π ], tem-se que: A função é periódica de período 2 π , pois a função repete os seus valores nos intervalos [-2 π ,0] e [0,2 π ], ou seja, toda vez que somamos 2 π a um determinado valor de x, a função cosseno assume o mesmo valor. O estudo da variação nos mostra que f(x)=cos x tem um valor mínimo -1, um valor máximo 1 e assume todos os valores reais entre -1 e 1, logo, a imagem da função é o intervalo Im=[-1,1]. O domínio da função f(x)=cos x é D= [-2 π ,2 π ]. π π 3π 3π Nos intervalos −2π , − , − , e ; 2π a 2 2 2 2 função f(x)=cos x assume valores positivos. 102 3π π π 3π , a função ,− e ; 2 2 2 2 Nos intervalos − f(x)=cosx assume valores negativos. Trigonometria e Números Complexos A função f(x)=cos x é crescente nos intervalos [−π ;0] e [π , 2π ]. A função f(x)=cos x é decrescente nos intervalos [−2π ; −π ] e [0;π ]. A função f(x)=cos x é par, pois, f(x) = f(-x). A função f(x)=cos x possui valor máximo quando x = 0 rad . A função f(x)=cos x possui valor mínimo quando x = −π rad e x = π rad. Generalizando algumas características da função f(x)= cos x tem-se: O domínio da função é D(f)=IR, pois é possível estender a cossenóide ao longo do eixo x. O conjunto imagem da função é Im(f)=[-1,1]. A função f(x)= cos x possui valor máximo para {x ∈ IR | x = 2kπ , k ∈ Z }. A função f(x)= cos x possui valor mínimo para {x ∈ IR | x = π + 2kπ , k ∈ Z }. 1) Construa e analise os gráficos das funções a seguir, determinando o domínio, a imagem e o período. a ) f ( x) = 2 + sen x b) f ( x) = sen x − 1 a) Solução: Inicialmente, constrói-se a tabela 3.3 para a elaboração do gráfico: Unidade 3 103 Universidade do Sul de Santa Catarina Tabela 3.3: Valores de f(x)=2+sen x x sen x y=2+sen x y 0 sen0=0 y=2+0 2 π 2 π π =1 2 sen π =0 y=2+1 3 y=2+0 2 3π 2 sen 3π =-1 y=2+(-1) 1 2π sen 2π =0 y=2+0 2 sen 2 Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano representado na figura 3.5. Figura 3.5: f(x) = 2 + sen x D=IR; Im=[1,3]; P=2 π . b) Solução: Constrói-se a tabela 3.4 para a elaboração do gráfico: 104 Trigonometria e Números Complexos Tabela 3.4: Valores de f(x)=sen x -1 x senx y=senx - 1 y 0 sen0=0 y=0-1 -1 y=1-1 0 y=0-1 -1 π 2 π π =1 2 sen π =0 sen 3π 2 sen 3π =-1 2 y=-1-1 -2 2π sen 2π =0 y=0-1 -1 Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano representado na figura 3.6. Figura 3.6: f(x) = sen x -1 D=IR; Im=[-2,0]; P=2 π . Unidade 3 105 Universidade do Sul de Santa Catarina Comparando os gráficos dos itens a e b com o gráfico da figura 3.3 no intervalo [0, 2 π ], você poderá observar que f(x)=2+sen x pode ser obtida transladando-se o gráfico de y=sen x em duas unidades no sentido positivo de Oy. Quando se compara o gráfico de f(x) = sen x-1, observa-se que ele pode ser obtido fazendo a translação de uma unidade do gráfico f(x)=sen x, no sentido negativo de Oy. x 2) Construa o gráfico da função f(x)=sen , dê o domínio, a 2 imagem e o período. Você sabia... Multiplicando o valor de x da função y=senx por um número real, vamos observar que o período da função fica 2 π dividido por este número. Por exemplo, y=sen(kx) o período é P= . Solução: Inicialmente, constrói-se a tabela 3.5 para a elaboração do gráfico. Para isso, calcula-se o período desta função, pois se nota que o mesmo será diferente de 2 π . Observe: P= Como k = 1 , temos: 2 P= Como o seno é uma função periódica de período 2 π , basta variar o argumento x num intervalo de amplitude 2 π . Atribuindo 2 a x valores adequados e pertencentes ao intervalo [0, 2π ] e 2 calculando x e y, temos: 106 Trigonometria e Números Complexos Tabela 3.5: Valores de f ( x) = sen x 2 x 2 x 0 0 π 2 π π 2π 3π 2 3π y=sen 2π 4π x 2 y y=sen0 0 π 2 1 y=sen π 0 3π 2 -1 y=sen 2π 0 y=sen y=sen Note como é calculado o valor de x: x =0 2 x = 2.0 x π = 2 2 2 x = 2.π x =π 2 x = 2.π x 3π = 2 2 2 x = 2.3π x = 2π 2 x = 2.2π x=0 x =π x = 2π x = 3π x = 4π Na seqüência, traça-se o gráfico representado na figura 3.7. Figura 3.7: f ( x) = sen Unidade 3 x 2 107 Universidade do Sul de Santa Catarina 3) Construa e analise os gráficos das funções a seguir, determinando o domínio, a imagem e o período. a ) y = cos 2 x b) y = cos 4 x a) Solução: Inicialmente, constrói-se a tabela 3.6 para a elaboração do gráfico. De forma análoga à função seno, calcula-se o período da função y= cos 2x. Nesta função k=2, logo: P= 2π 2π = =π k 2 Tabela 3.6: Valores de f(x)= cos 2x 2x x y=cos 2x y 0 0 y=cos 0 1 π 2 π 4 π 2 0 y=cos π -1 3π 2 0 y=cos 2π 1 π 3π 2 2π 108 π 2 3π 4 π y=cos y=cos Trigonometria e Números Complexos Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano, representado na figura 3.8. Figura 3.8: f(x) = cos 2x D = IR; Im = [-1,1]; P = π. b) Solução: Inicialmente, constrói-se a tabela 3.7 para a elaboração do gráfico. Calculando o período da função y= cos4x, tem-se: Nesta função k=4, logo: P= 2π 2π π = = . 4 4 2 Unidade 3 109 Universidade do Sul de Santa Catarina Tabela 3.7: Valores de f(x) = cos 4x 4x x y=cos4x y 0 0 y=cos0 1 π 2 π 8 0 π π 4 π 2 y=cos π -1 3π 2 3π 8 0 2π π 2 3π 2 y=cos 2π 1 y=cos y=cos Na seqüência, traça-se o gráfico no plano cartesiano representado na figura 3.9. Figura 3.9: f(x) = cos 4x 110 D = IR; Im = [-1,1]; P= π . 2 Trigonometria e Números Complexos Comparando os gráficos dos itens a e b com o gráfico da figura 3.4, observa-se que as funções ficam mais ou menos expandidas sobre o eixo x. Isto ocorre porque possuem períodos diferentes. Pode-se concluir também que, quanto maior o valor de k, o coeficiente de x, menor é o período da função. 4) Determine apenas o sinal de cos 34π . 5 Solução: 4π 4π 34π = cos pois, é a primeira determinação positiva de 5 5 5 34π , que é um arco do segundo quadrante. 5 cos Logo, o sinal de cos 34π será negativo. 5 5) Sendo sen x=5k+1, quais os valores reais de k para que esta igualdade seja verdadeira? Solução: Note que, de acordo com a imagem da função y=sen x, deve-se ter −1 ≤ sen x ≤ 1 . Substituindo senx por 5k+1, tem-se a seguinte inequação simultânea: -1 ≤ 5k +1 ≤ 1 -1-1 ≤ 5k ≤ 1-1 -2 ≤ 5k ≤ 0 2 0 - ≤ k ≤ 5 5 2 - ≤ k ≤ 0 5 2 5 Logo, a solução desse problema será S = k ∈ IR | − ≤ k ≤ 0 . Fique de olho nas aplicações As funções trigonométricas, em especial as senóides, são ideais para descrever fenômenos periódicos e, normalmente, utilizam o tempo como variável independente. Unidade 3 111 Universidade do Sul de Santa Catarina As ondas, de maneira geral, são fenômenos periódicos descritos por senóides. O movimento harmônico simples é um tipo de movimento periódico muito comum, que se caracteriza pelo movimento de um corpo em trajetória retilínea, com oscilação em torno de um ponto de equilíbrio. Alguns exemplos foram extraídos e adaptados do livro ‘Quanta Matemática em fascículos para o ensino médio’. Fascículo 4. Autores: Scipione di Pierro Netto e Sérgio Orsi Filho. Editora Saraiva. Ano 2000. Os exemplos a seguir mostram a aplicação das funções trigonométricas nestes fenômenos. 1) Em um determinado dia e local, a altitude do mar é descrita π 6 pela função h(t ) = 0,9 + 0, 7 sen t + π , cuja representação 6 gráfica é mostrada na figura 3.10: Figura 3.10: Altitude do mar Pergunta-se: a) Quais os horários das marés mais altas e mais baixas? b) Na maré alta, qual a altitude do mar? c) Na maré baixa, qual a altitude do mar? 112 Trigonometria e Números Complexos d) Qual é a amplitude da onda? e) Qual o período dessa senóide? Solução: Analisando o gráfico, pode-se concluir que: a) As marés altas ocorreram às 2:00 horas e às 14:00 horas e as marés baixas ocorreram às 8:00 horas e às 20:00 horas. b) A altitude do mar, quando ocorreram as marés altas, foi de 1,6 metros. c) Foi de 0,2 metros a altitude do mar quando ocorreram as marés baixas. d) A amplitude, isto é, o tamanho da onda é de 0,7 metros. A amplitude foi calculada da seguinte forma: 1, 6 − 0, 2 1, 4 = = 0, 7 . 2 2 Uma outra maneira de encontrar a amplitude de uma senóide é π 6 identificar o coeficiente do seno na função h(t ) = 0,9 + 0, 7 sen t + π . 6 e) O período é a distância entre as duas cristas da onda (as maiores altitudes da onda). Assim sendo, o período dessa senóide é: P = 14 - 2 P = 12 horas 2) Imagine uma corda presa a uma parede e, na outra extremidade, um garoto, a fonte harmônica, vibrando essa corda. Uma possível equação para descrever o movimento da corda provocado pelo garoto é dada por: π y (t ) = 80 + 20.cos π .t − em que y é o deslocamento vertical da onda 2 em cm e t é o tempo em segundos. Unidade 3 113 Universidade do Sul de Santa Catarina De posse desses dados, responda: a) Qual o gráfico da função? b) Qual é o período da função? c) Quais são os pontos de máximo e de mínimo da função? d) Qual é a amplitude do movimento? Solução: a) Figura 3.11: Movimento da corda 114 Trigonometria e Números Complexos b) O período é a distância entre as duas cristas da onda. Assim sendo, o período dessa cossenóide é: P = 2,5 - 0,5 P = 2 horas c) O ponto de máximo é P(0,5;100) e o ponto de mínimo é P(1,5;60). d) A amplitude é de 20 centímetros. A amplitude foi calculada da seguinte forma: 100 − 60 = 40 = 20 . 2 2 Uma outra maneira de encontrar a amplitude de uma cossenóide é identificar o coeficiente do cosseno na função π y (t ) = 80 + 20.cos π .t − . 2 3) O processo rítmico da respiração pulmonar, isto é, a inspiração e a expiração apresentam ciclos periódicos em função do tempo, tal que o volume total de ar, em litros, contidos nos dois pulmões de um adulto, em condições físicas normais e em repouso, pode ser descrito por: 2π y(t) = 2,5 + 0,5.cos t. 3 em que y é o volume em litros para um ciclo expiração e inspiração e t é o tempo em segundos. A partir dos dados, determine: a) A representação gráfica desta situação; b) O volume médio do pulmão desse adulto; c) O volume do ar inspirado, isto é, a amplitude; d) O período de um ciclo inspiração/expiração. Unidade 3 115 Universidade do Sul de Santa Catarina Solução: a) A representação gráfica pode ser visualizada na figura 3.12: Figura 3.12: Respiração pulmonar b) O volume médio do pulmão é de 2,5 litros, pois, observando o gráfico, o volume mínimo é de 2 litros e, o máximo, de 3 litros. Fazendo a média, tem-se 2,5 litros. c) O volume de cada inspiração, que á a amplitude, é de 0,5 litros ou 500 ml, pois, 3 − 2 = 1 = 0,5 litros = 500 ml . 2 2 d) O período para um ciclo é 3s. Este resultado foi encontrado fazendo a diferença entre as duas cristas. SEÇÃO 4 - Estudando as funções tangente, cotangente, secante e cossecante Nesta seção, você estudará as funções trigonométricas decorrentes do seno e cosseno. São elas: 116 Trigonometria e Números Complexos Tangente; Cotangente; Secante e cossecante. Concentre-se e acompanhe cada uma das funções a seguir. Função Tangente Observe a figura 3.13: Figura 3.13: Função tangente Geometricamente, definimos tangente do arco ordenada do ponto T, ou seja: a tgx=AT. Conforme o que você estudou em semelhança de triângulos, na disciplina Geometria I, temos que o ∆ OAT é semelhante ao ∆ OM´M. Unidade 3 117 Universidade do Sul de Santa Catarina Dessa forma, existe a proporcionalidade entre os lados correspondentes, o que permite escrever: AT OM" = OA OM' tgx senx = 1 cos x tgx. cos x = senx senx tgx = ; ( cos x ≠ 0 ) cos x Na seqüência, você verá os valores da tangente dos ângulos notáveis. Apresenta-se, primeiramente, a representação gráfica de cada um desses valores. Observe as figuras 3.14 e 3.15: Figura 3.14: Tangente dos arcos de Figura 3.15: Tangente de 118 0 rad , π π π rad , rad e rad . 6 4 3 π 3π rad , π rad , rad e 2π rad . 2 2 Trigonometria e Números Complexos Observando as representações geométricas, constrói-se a tabela 3.8 com os valores notáveis da tangente. Tabela 3.8 Valores Notáveis da Tangente x 0 tgx 0 π 6 π 4 3 3 π 3 π 2 Não existe 3 1 3π 2 π 2π Não existe 0 0 Gráfico da Função Tangente: Tangentóide Seja f(x) = tg x Inicialmente, constrói-se a tabela 3.9 com x variando [-2π, 2π]. Tabela 3.9: Valores da tangente x -2π tg x 0 3π 2 -π − π 2 0 π 2 π 3π 2 Não existe 0 Não existe 0 Não existe 0 Não existe − 2π 0 Figura 3.16: f(x)=tg x Unidade 3 119 Universidade do Sul de Santa Catarina Observando o gráfico da função f(x)=tg x, no intervalo [-2 π ,2 π ], representada na figura 3.16, tem-se que: A função é periódica de período π , pois a função repete os seus valores nos intervalos [0, π ] e [ π ,2 π ], ou seja, toda vez que somarmos π a um determinado valor de x, a função tangente assume o mesmo valor. Quando x tende aos valores em que a tg x não existe, o gráfico da tangente tende ao infinito positivo ou negativo. O estudo da variação nos mostra que, no intervalo [-2 π ,2 π ], f(x)=tg x é sempre crescente. O domínio da função f(x)=tg x é: 3π 3π π π π π 3π 3π D( f ) = −2π , − ∪ − , − ∪ − , ∪ , ∪ , 2π 2 2 2 2 2 2 2 2 A imagem da função f(x)=tg x é Im(f)=IR. Nos intervalos −2π , − 3π π π 3π , −π , − , 0, e π , , a 2 2 2 2 função f(x)=tg x assume valores positivos. 3π 3π π π No intervalo − , −π , − , 0 , , π e , 2π , a 2 2 2 2 função f(x)=tg x assume valores negativos. A função f(x)=tg x é ímpar, pois tg x=-tg (-x.) Generalizando, tem-se: O domínio da função f(x)=tgx é π D( f ) = x ∈ IR|x ≠ + kπ , k ∈ Z . 2 120 A imagem da função f(x)=tg x é Im(f)=IR. Trigonometria e Números Complexos Veja alguns exemplos: 1) Determine o valor de tg 11π . 3 Solução: Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de Então, tg 11π 5π π = tg = −tg = − 3. 3 3 3 Lembre-se que 11π . 3 5π rad é um arco do 4º quadrante. Tem-se, 3 então, que fazer a redução ao primeiro quadrante. Logo, tg 11π = − 3. 3 2) Determine o valor de tg 13π . 4 Solução: Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de Então, tg 13π 5π π = tg = tg = 1. 4 4 4 13π . 4 Note que, novamente, foi necessário fazer redução ao primeiro quadrante. Logo, tg 13π = 1. 4 3) Encontre o valor de tg 11π . Solução: Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 11π . Então, tg 11π = tgπ = 0. Logo, tg 11π = 0. Unidade 3 121 Universidade do Sul de Santa Catarina 4) Calcule o valor de tg 25π . 3 Solução: Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 25π 24π π = + . 3 3 3 Assim, a primeira determinação positiva é Temos, então, que tg 25π =tg π = 3 . 3 Logo, tg 25π = 3 π rad. 3 3 3. π 5) Qual é o domínio da função y = tg 2 x − ? 3 Como o domínio da função y=tgx é π D( f ) = x ∈ IR|x ≠ + kπ , k ∈ Z , tem-se: 2 π + kπ 2 π π 2x- ≠ + kπ 3 2 π π 2 x ≠ + + kπ 2 3 5π + kπ 2x ≠ 6 5π kπ + x≠ 12 2 x≠ π Logo, o domínio da função y = tg 2 x − é 3 5π kπ D( f ) = x ∈ IR|x ≠ , k ∈ Z . + 12 2 122 25π rad. 3 Trigonometria e Números Complexos Função Cotangente Observe a figura 3.17: Figura 3.17: Função Cotangente Geometricamente, definimos cotangente do arco abscissa do ponto C, ou seja: a cotg x=BC. Da semelhança de triângulos, tem-se que o ∆ OM’M é semelhante ao ∆ OBC. Assim, pode-se escrever: OM ' MM ' = BC OB OM ' OM " = BC OB cos x sen x = BC 1 cos x BC = , sen x ≠ 0 sen x Logo, tem-se cot g x = cos x , ( sen x ≠ 0) . sen x Uma outra relação que representa a cotangente é: cot gx = 1 , (tgx ≠ 0 ) . tgx Unidade 3 123 Universidade do Sul de Santa Catarina Gráfico da Função Cotangente Seja f(x) = cotg x Inicialmente, constrói-se a tabela 3.10, usando a relação cot g x = cos x , ( sen x ≠ 0) , com x variando [-2π, 2π]. sen x Tabela 3.10: Valores da cotangente x -2π cotgx Não existe − 3π 2 0 -π Não existe − π 2 0 0 Não existe π 2 0 π Não existe 3π 2 0 Figura 3.18: f(x)=cotg x Observando o gráfico da função f(x)=cotgx, no intervalo [-2 π ,2 π ], representada na figura 3.18, tem-se que: 124 2π Não existe Trigonometria e Números Complexos A função é periódica de período π . Quando x tende aos valores em que a cotg x não existe, o gráfico da cotangente tende ao infinito positivo ou negativo. O estudo da variação nos mostra que no intervalo [-2 π ,2 π ], f(x)=cotg x é sempre decrescente. O domínio da função f(x)=cotg x é A imagem da função f(x)=cotg x é Im(f)=IR. D( f ) = ]−2π , −π [∪ ]−π , 0[∪ ]0, π [∪ ]π , 2π [ . 3π π π 3π Nos intervalos −2π , − , −π , − , 0; e π ; , 2 2 2 2 a função f(x)=cotg x assume valores positivos. 3π π No intervalo − , −π , − 0 , π ; π e 3π ; 2π a 2 2 2 2 função f(x)=cotg x assume valores negativos. A função f(x)=cotg x é ímpar pois cotg x=-cotg (-x). Generalizando, tem-se: O domínio da função f(x)=cotg x é D( f ) = {x ∈ IR|x ≠ kπ , k ∈ Z}. A imagem da função f(x)=cotg x é Im(f)=IR . Acompanhe, a seguir, alguns exemplos envolvendo a cotangente. 1) Determine o valor de cot g 37π . 6 Solução: Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 37π : 6 37π 36π π = + 6 6 6 37π Temos que π rad é a primeira determinação positiva de . 6 6 π 3 37π π 6 = 2 = 3 .2 = 3 Então: cot g = cot g = π 1 6 6 sen 2 1 6 2 cos Unidade 3 125 Universidade do Sul de Santa Catarina 37π = 3. 6 Logo, cot g 2) Calcule o valor de cot g 13π . 4 Solução: Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 13π 8π 5π . = + 4 4 4 Assim, a primeira determinação positiva é 13π rad. 4 5π rad. 4 π 2 cos 13π 5π π 4 = 2 =1. Tem-se, então, que cot g = cot g = cot g = π 4 4 4 sen 2 4 Observe que: 2 Fizemos a redução ao primeiro quadrante. O arco 5π rad pertence ao terceiro quadrante e, neste, a 4 cotangente é positiva. Logo, cot g 13π = 1. 4 3) Determine o valor de cot g 7π . 4 Solução: Lembre-se que 7π é um arco do 4º quadrante e, neste, a 4 cotangente é negativa. Reduzindo ao primeiro quadrante, tem-se: 2π − 7π π = 4 4 π 7π π 4 =− cot g = − cot g = − π 4 4 sen 4 cos 126 2 2 = −1 2 2 Trigonometria e Números Complexos Logo, cot g 7π = −1. 4 4) Qual é o domínio da função y = cot g 2 x + π ? 4 Como o domínio da função y = cot gx é D( f ) = {x ∈ IR|x ≠ kπ , k ∈ Z }, tem-se: x ≠ kπ π Nesta função, o arco é 2x + ,logo: 4 π 2 x + ≠ k .π 4 π 2 x ≠ − + k .π 4 π − + k .π x≠ 4 2 π kπ x≠− + 8 2 π kπ D = x ∈ IR|x ≠ - + , k ∈Z 8 2 Conheça a origem da tangente e da cotangente. Unidade 3 127 Universidade do Sul de Santa Catarina Retrospectiva histórica A função tangente era a antiga função sombra, que tinha idéias associadas a sombras projetadas por uma vara colocada na horizontal. A variação na elevação do Sol causava uma variação no ângulo que os raios solares formavam com a vara e, portanto, modificava o tamanho da sombra. Assim, a tangente e a cotangente vieram por um caminho diferente daquele das cordas que geraram o seno. Foram conceitos desenvolvidos juntos e não foram, inicialmente, associados a ângulos, sendo importantes para calcular o comprimento da sombra que é produzida por um objeto. O comprimento das sombras foi também de importância no relógio de sol. Tales usou os comprimentos das sombras para calcular as alturas das pirâmides por meio da semelhança de triângulos. As primeiras tabelas de sombras conhecidas foram produzidas pelos árabes, por volta do ano de 860. O nome tangente foi primeiro usado por Thomas Fincke, em 1583. O termo cotangente foi, primeiramente, usado por Edmund Gunter, em 1620, que estabeleceu o equivalente latino “cotangente de A”, que significa “tangente do complementar de A”. Em 1674, Jonas Moore criou a abreviação “cot” para cotangente. 128 Trigonometria e Números Complexos Função Secante e Função Cossecante Observe a figura 3.19: Figura 3.19: Secante e Cossecante Note que, pelo ponto M passa uma reta tangente à circunferência, interceptando o eixo das abscissas no ponto S e o eixo das ordenadas no ponto D. Geometricamente, define-se: secante do arco cossecante do arco cosec x=OD. o segmento OS, ou seja, sec x=OS; o segmento OD, ou seja, Utilizando semelhança de triângulos, tem-se que o ∆ OMS é semelhante ao ∆ OM´M. Dessa forma: OM ' OM = OM OS cos x 1 = OS 1 OS . cos x = 1 1 OS = cos x Unidade 3 129 Universidade do Sul de Santa Catarina Logo: sec x = 1 , (cos x ≠ 0) cos x Utilizando semelhança de triângulos, novamente temos que, o ∆OM’M é semelhante ao ∆OMD. OD OM = OM MM' OD 1 = sen x 1 OD . sen x = 1 OD = 1 sen x Logo: cos ec x = 1 , ( sen x ≠ 0) sen x Gráfico da Função Secante Seja f(x) = sec x Inicialmente, constrói-se a tabela 3.11, usando a relação sec x = 1 , com x variando [−2π , 2π ]. cos x Tabela 3.11: Valores da secante 130 x -2π secx 1 − 3π 2 Não existe π 2 -π − -1 Não existe 0 1 π 2 Não existe π -1 3π 2 Não existe 2π 1 Trigonometria e Números Complexos Figura 3.20: f(x)=sec x Observando o gráfico da função f(x)=sec x, representada na figura 3.20, no intervalo [−2π , 2π ], tem-se que: A função é periódica de período 2 π . O domínio da função f(x)=secx é: 3π 3π π π π π 3π 3π D( f ) = −2π , − ∪ − , − ∪ − , ∪ , ∪ , 2π 2 2 2 2 2 2 2 2 A imagem da função f(x)=sec x é Im(f)= ]−∞; −1]∪ [1; +∞[. A função f(x)=sec x é crescente nos intervalos 3π 3π −2π , − 2 , − 2 , −π , π π 0, 2 e 2 , π . A função f(x)=sec x é decrescente nos intervalos π π 3π 3π , , − , 0 , π , e , 2π . − π − 2 2 2 2 3π π π 3π Nos intervalos −2π , − , − , e ; 2π , temos 2 2 2 2 sec x ≥ 1. Nos intervalos − 3π , − π e π ; 3π , sec x ≤ -1. 2 2 2 2 A função f(x)=sec x é par, pois, sec x = sec (-x). Unidade 3 131 Universidade do Sul de Santa Catarina Generalizando, tem-se: O domínio da função f(x)=sec x é π D( f ) = x ∈ IR | x ≠ + kπ , k ∈ Z . 2 A imagem da função f(x)=sec x é Im(f)= ]−∞; −1]∪ [1; +∞[. Gráfico da Função Cossecante Seja f(x) = cosec x Inicialmente, constrói-se a tabela 3.12, usando a relação cos ecx = 1 , com x variando [-2π, 2π]. senx Tabela 3.12: Valores da cossecante 132 x -2π cosecx Não existe − 3π 2 1 -π Não existe − π 2 -1 0 Não existe π 2 1 π Não existe 3π 2 -1 2π Não existe Trigonometria e Números Complexos Figura 3.21: f(x)=cosec x Observando o gráfico da função f(x)=cosec x, no intervalo [-2 π ,2 π ], representada na figura 3.21’, temos que: A função é periódica de período 2 π . O domínio da função f(x)=cosec x é: D( f ) = ]−2π , −π [∪ ]−π , 0[∪ ]0, π [∪ ]π , 2π [ . A imagem da função f(x)=cosec x é Im (f)= ]−∞; −1]∪ [1; +∞[. A função f(x)=cosec x é crescente nos intervalos π π 3π − 2 , −π , −π , − 2 , 2 ,π e 3π π , 2 . A função f(x)=cosec x é decrescente nos intervalos 3π π π 3π −2π , − 2 , − 2 , 0 , 0, 2 e 2 , 2π . Nos intervalos ]−2π , −π [ e ]0, π [ , temos cosecx ≥ 1. Nos intervalos ]−π ;0[ e ]π , 2π [, cosecx ≤ -1. A função f(x)=cosecx é ímpar, pois, cosec (-x) = -cosec x. Unidade 3 133 Universidade do Sul de Santa Catarina Generalizando, tem-se: O domínio da função f(x)=cosec x é D(f) = {x ∈ IR | x ≠ kπ , k ∈ Z }. A imagem da função f(x)=cosec x é Im(f)= ]−∞; −1]∪ [1; +∞[. Acompanhe alguns exemplos envolvendo as funções secante e cossecante. 1) Determine o valor de sec 9π . 2 Solução: Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de 9π 8π π = + 2 2 2 A primeira determinação positiva de 9π π = sec → não existe 2 2 9π Logo, sec → não existe . 2 9π rad . 2 9π π rad é rad . 2 2 Então: sec 2) Determine o valor de cos ec 59π . 4 Solução: Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva de Tem-se que 59π rad . 4 3π rad é a primeira determinação positiva de 4 Assim, cos ec Logo: cos ec 134 59π . 4 59π 3π π = cos ec = cos ec = 2 . 4 4 4 59π = 2. 4 Trigonometria e Números Complexos π 3) Qual é o domínio da função y = sec x − ? 2 Como o domínio da função y = sec x é π D( f ) = x ∈ IR|x ≠ + kπ , k ∈ Z , tem-se: 2 x≠ π + kπ 2 π Nesta função, o arco é x − ,logo: 2 π π x − ≠ + k .π 2 2 π π x ≠ + + k .π 2 2 2π + kπ x≠ 2 x ≠ π + kπ D( f ) = {x ∈ IR | π + kπ , k ∈ Z }. π 4) Qual é o domínio da função y = cos ec 3x − ? 2 π Nesta função, o arco é 3x − , logo: 2 π ≠ kπ 2 π 3 x ≠ + kπ 2 π π x ≠ +k 6 3 3x − Logo, D( f ) = x ∈ IR | x ≠ π π + k ,k ∈Z . 6 3 Unidade 3 135 Universidade do Sul de Santa Catarina Retrospectiva Histórica Acredita-se que, por volta do final do século IX, as seis funções trigonométricas comuns já estavam bem estabelecidas e as identidades que as relacionavam estavam em plena aplicação. O astrônomo persa Abu al-Wafa’ (al-Buzajani) (940-998), figura 3.22, trabalhou no Observatório de Bagdá, dedicandose à teoria lunar. Ao elaborar novas tabelas astronômicas, usou as funções trigonométricas: tangente e cotangente, bem como as funções secante e cossecante, estas últimas inventadas por ele próprio. Figura 3.22 : Abu al-Wafa’ http://astronomieantique.ifrance.com/astronomieantique/arabe.htm (acesso em 28/06/06). SEÇÃO 5 - Estudando as funções trigonométricas inversas Inicialmente, podemos dizer que é impossível determinar a função inversa para as funções trigonométricas, pois, como são funções periódicas, não são bijetoras e, portanto, não são inversíveis. Contudo, se restringirmos o domínio, podemos gerar uma nova função que possua uma inversa. Vamos limitar o domínio a fim de tornar as funções trigonométricas bijetoras e, assim, poder definir a função inversa para cada caso. 136 Trigonometria e Números Complexos Função Arco Seno π π Redefine-se a função f(x) = sen x para o domínio − , e, 2 2 tem-se a função inversa da função seno como y = arc sen x, se, e somente se, sen y = x, onde se tem que para cada x ∈ [−1, 1] π π corresponde y ∈ − , . 2 2 Observe o gráfico da função y = arc sen x, representado na figura 3.23: Figura 3.23 : Função y = arc sen x A partir do gráfico, na figura 3.23, tem-se as seguintes características da função y = arc sen x: o domínio da função é D = [-1,1]; a imagem da função é − , ; 2 2 π π é crescente em todo seu domínio. Unidade 3 137 Universidade do Sul de Santa Catarina Função Arco Cosseno Da mesma forma, vamos redefinir a função f(x) = cos x para o domínio [0,π]. A função inversa da função cosseno é definida como y = arc cos x, se, e somente se, cos y = x, onde se tem que para cada x ∈ [−1, 1] corresponde y ∈ [0, π ] . Observe o gráfico da função y = arc cos x, representado na figura 3.24: Figura 3.24: Função y = arc cos x A partir do gráfico, na figura 3.24, tem-se as seguintes características da função y = arc cos x: 138 o domínio da função é D = [-1,1]; a imagem da função é [0,π ]; é decrescente em todo seu domínio. Trigonometria e Números Complexos Função Arco Tangente A função inversa da função tangente é definida como y = arc tg x, se, e somente se, tg y = x, onde, para cada x real, corresponde π π y ∈ − , . 2 2 Observe o gráfico da função y = arc tg x, representado na figura 3.25: Figura 3.25: Função y = arc tg x A partir do gráfico, na figura 3.25, tem-se as seguintes características da função y = arc tg x: o domínio da função é D = IR; π π a imagem da função é − ; ; é crescente em todo seu domínio. 2 2 Unidade 3 139 Universidade do Sul de Santa Catarina Função Arco Cotangente A função inversa da função cotangente é definida como π y = arc cotg x = − arc tgx , onde, para cada x real, corresponde 2 y ∈ ]0, π [ . Observe o gráfico da função y = arc cotg x, representado na figura 3.26: Figura 3.26: Função y = arc cotg x A partir do gráfico, na figura 3.26, tem-se as seguintes características da função y = arc cotg x: o domínio da função é D = IR; a imagem da funçãoy ∈ é ]0, π [ ; é decrescente em todo seu domínio. Função Arco Secante A função inversa da função secante é definida como 140 1 y = arc sec x = ar cos , onde, para cada x real, tal que x ≥ 1 , x corresponde y = [0, π ] com y ≠ π . 2 Trigonometria e Números Complexos Observe o gráfico da função y = arc sec x, representado na figura 3.27: Figura 3.27: Função y = arc sec x A partir do gráfico, na figura 3.27, tem-se as seguintes características da função y = arc sec x: o domínio da função é D = {x ∈ IR | | x | ≥ 1}; π ; 2 é crescente em todo o seu domínio, ]−∞, −1]∪ [1, +∞[. a imagem da função é [0, π ] e y ≠ Função Arco Cosecante A função inversa da função cossecante é definida como 1 y = arccos x = arsen , onde, para cada x real, tal que, x ≥ 1 , x π π corresponde y = − , com y ≠ 0. 2 2 Observe o gráfico da função y = arc cosec x, representado na figura 3.28: Unidade 3 141 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 3.28: Função y = arc cosec x A partir do gráfico, na figura 3.28, tem-se as seguintes características da função y = arc cosec x: o domínio da função é D = {x ∈ IR | | x | ≥ 1}; a imagem da função é − π , π e y ≠ 0; 2 2 é decrescente em todo o seu domínio, ]−∞, −1]∪ [1, +∞[. Que tal alguns exemplos? Exemplos: 1 1) Qual o valor de y = sec 2 arcsen ? 2 Solução: 1 y = sec 2 arcsen . 2 1 2 Fazendo x = arcsen , deve-se procurar um arco cujo seno é igual 142 Trigonometria e Números Complexos a 1. 2 π rad , pois, de acordo com 6 π π a definição, o arco deve pertencer ao intervalo − , . 2 2 1 Dessa forma, substituindo x em y = sec 2 arcsen , pode-se 2 escrever: Então, o arco procurado deve ser x = 1 1 1 π π sec 2 arcsen = sec 2 = sec = = = 2. 2 6 3 cos π 1 3 2 1 Logo, o valor de y = sec 2 arcsen é 2. 2 2) Qual o valor de E = 10. sen arccos Solução: − 2 ? 2 − 2 E = 10. sen arccos 2 Fazendo x = ar cos igual a − 2 . − 2 , deve-se procurar um arco cujo cosseno é 2 2 3π rad , pois, de acordo com 4 a definição, o arco deve pertencer ao intervalo [0,π ]. − 2 Dessa forma, substituindo x em E = 10. sen arccos , pode2 se escrever: Então, o arco procurado deve ser x = − 2 E = 10. sen arccos 2 3π E = 10. sen 4 2 2 E = 5 2. E = 10. Unidade 3 143 Universidade do Sul de Santa Catarina Lembre-se que 3π rad é um arco do 2º quadrante e foi necessário 4 fazer redução ao primeiro quadrante. Logo, o valor de E = 10. sen arccos − 2 é 5 2 . 2 3) Sabendo que tgθ = 0,125 , determine o valor de θ . Solução: Para resolver este problema, pode-se usar a calculadora científica. Veja: Tem-se que: tgθ = 0,125 . Pode-se escrever: θ = arctg 0,125 . Deve-se encontrar qual o arco cuja tangente é 0,125. Você deverá programar sua calculadora no modo rad. Agora tecle 0,125 e, usando a segunda função na sua calculadora, tecle tan-1. Você obtém: θ = 0,124 Logo, o ângulo procurado é θ = 0,124 rad. 144 Trigonometria e Números Complexos Pesquise Utilizando Recursos Tecnológicos na Trigonometria No ensino da Trigonometria, o uso de softwares matemáticos pode ser muito interessante para auxiliar na construção dos gráficos das funções circulares. Nesta unidade, os gráficos foram construídos no software GRAPH 4.1, que está disponível para download em http://www.padowan.dk/graph/. Você conheceu e aprendeu a utilizar esse software na disciplina ‘Informática Aplicada à Educação Matemática’. Como sugestão, indicamos novamente o software Thales, que possui um ambiente de trabalho bastante interessante, no estudo das funções trigonométricas. Com ele, é possível visualizar simultaneamente o comportamento das funções no ciclo trigonométrico e no plano cartesiano. Atividades de auto-avaliação 1) Determine: a ) tg 37π = 6 b) cot g 7π = 2 5π c) sec − 4 d ) cos ec e) tg = 31π = 6 5π = 3 Unidade 3 145 Universidade do Sul de Santa Catarina 3π π .tg − tg 0 3 4 2) Qual o sinal da expressão: y = . π 5π tg − .tg − 3 6 tg 3) Determine o valor da expressão: a) A = sen3x + cos8x - tg2x para x= b) B = sen 7π − cos 3π 3 . 13π tg 6 4) Que número é maior: tg 146 π . 2 3π 5π ou tg ? 4 6 Trigonometria e Números Complexos 5) Construa o gráfico e faça a análise das características e propriedades das funções: a ) y = −2 + sen x x b) y = 2.cos 4 c) y = 3 − sen 2 x 6) Analisando os gráficos: a ) y = sen 2 x Unidade 3 147 Universidade do Sul de Santa Catarina b) y = 2 + cos x x c) y = tg 2 148 Trigonometria e Números Complexos Responda os itens a seguir: a) Qual o domínio de cada uma das funções representadas? b) Qual é o conjunto imagem de cada uma das funções representadas? c) Em que intervalo a função y=sen 2x é negativa? d) Em que intervalo a função y=2+cos x é positiva? e) Qual o período da função y= tg(x/2)? 7) Determine o valor de k, sabendo-se que sen x = 3k - 7. Unidade 3 149 Universidade do Sul de Santa Catarina 8) Qual a imagem da função f(x) = 5 + cos x? 9) Um corpo faz seu Movimento Harmônico Simples segundo a equação π t + π , em que t é o tempo transcorrido, 4 horária y(t) = 4 + 3.cos em segundos, e y é a distância, em cm, da extremidade A do corpo à parede, conforme ilustração a seguir: a) Represente esta situação graficamente, utilizando o software GRAPH; b) Qual o ponto de partida do corpo? c) Qual o seu período de oscilação? d) Qual a amplitude do movimento? 150 Trigonometria e Números Complexos 10) Determine o domínio de cada uma das funções: π a ) y = tg 5 x − 4 π b) y = cot g x + 2 c) y = sec (3 x − π ) π d ) y = cos ec 2 x + 3 1 2 11) Qual o valor de y = tg 2. arccos ? 12) Encontre o valor de y = tg 2. arcsen 3 . 2 Unidade 3 151 Universidade do Sul de Santa Catarina 13) Determine o valor de y = arctg 3 + arctg 3 . 3 Desafios na Trigonometria 1) (Vunesp - adaptado) Uma equipe de agrônomos coletou dados da temperatura (em oC) do solo em uma determinada região, durante três dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita às três horas da manhã no primeiro dia (t=0) e terminou 72 horas depois (t=72). Os dados puderam ser aproximados pela função 3π π y(t) = 15 + 5sen t + , onde t indica o tempo (em horas) 2 12 decorrido após o início da observação de y(t), à temperatura (em oC) no instante t. Determine: a) o gráfico que representa esta situação (use o software GRAPH); b) a temperatura máxima atingida e o horário em que essa temperatura ocorreu, no primeiro dia de observação. 152 Trigonometria e Números Complexos 2) (Mack-SP) O valor de tg 5arctg 3 − 1 arcsen 3 pode ser dado 3 4 2 por: a) 0 b) 1 c) 1 2 d) -1 e) − 1 2 3) O valor de 2arctg 3 + arcsen 5π 6 π b) 2 π c) 6 d) 7π 6 π e) 1 1 + arccos é: 2 2 a) Unidade 3 153 Universidade do Sul de Santa Catarina Síntese Nesta unidade, você estudou as funções trigonométricas e pôde conhecer suas características, bem como perceber suas várias aplicações nos diversos campos da ciência, principalmente nos fenômenos que envolvem periodicidade. Você constatou que as funções trigonométricas podem ter seus domínios restringidos, de modo que gerem uma função inversível. Dessa forma, os domínios e as imagens das funções resultantes tornam-se parte de suas definições. Lembre-se que é fundamental conhecer as funções e conseguir modelar situações práticas que as envolvem. Na próxima unidade, você vai estudar as relações e identidades trigonométricas e, dessa forma, resolver equações e inequações trigonométricas, que são conhecimentos importantes para um futuro professor de matemática. Saiba mais Para que você aprofunde seu conhecimento na história da trigonometria, sugerimos a leitura do livro ‘Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula: Trigonometria’. O autor é Edward Kennedy. Com relação à periodicidade das funções, característica bastante importante das funções circulares, uma boa idéia é acessar um site de busca e analisar textos referentes a esse assunto na Internet. 154 UNIDADE 4 Estudando as Relações, Equações e Inequações Trigonométricas Objetivos de aprendizagem Reconhecer as relações trigonométricas. Resolver e simplificar expressões trigonométricas, aplicando as relações trigonométricas. Aplicar as fórmulas da adição, subtração e arco duplo. Resolver equações e inequações trigonométricas. Seções de estudo Seção 1 Relações Trigonométricas Seção 2 Adição e Subtração de Arcos Seção 3 Arco Duplo Seção 4 Equações Trigonométricas Seção 5 Inequações Trigonométricas 4 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de conversa Nesta unidade, você vai ter oportunidade de conhecer e trabalhar com as relações entre os valores das funções trigonométricas, denominadas relações trigonométricas. As transformações trigonométricas serão abordadas e você também irá resolver, ainda nesta unidade, as equações e inequações trigonométricas e perceberá que, muitas vezes, tornase necessário o uso das relações e transformações trigonométricas na resolução dessas equações. São assuntos que enriquecerão bastante seus conhecimentos dentro da Trigonometria. SEÇÃO 1 - Relações Trigonométricas Entre as seis funções trigonométricas estabelecidas para o 1º quadrante, existem algumas relações que são válidas para qualquer arco e que são chamadas relações trigonométricas fundamentais. Nesta seção, você vai conhecer as relações trigonométricas fundamentais. Seu estudo será realizado a partir das funções trigonométricas de um mesmo arco, que já foram vistas na seção anterior. É importante saber que as relações trigonométricas fundamentais recebem este nome por serem distintas e completamente independentes umas das outras. Elas também permitem que, dado o valor de uma das funções circulares de um arco qualquer, encontremos, se existirem, os valores das demais funções circulares do mesmo arco. Vale ressaltar que são extremamente úteis na simplificação de expressões. As cinco relações trigonométricas fundamentais mais importantes são: 156 Trigonometria e Números Complexos 1ª Relação Figura 4.1: 1ª Relação Trigonométrica Fundamental Observando a figura 4.1, tem-se: OM = 1 OM' = cos x MM' = OM" = senx Pelo teorema de Pitágoras, no triângulo retângulo OM’M, tem-se: (OM ) = (OM' ) + (OM" ) 2 2 2 (1) = (cos x ) + (senx ) 2 2 2 sen 2 x + cos 2 x = 1 2ª Relação tgx = senx cos x π Esta relação só será válida para todo x ≠ + kπ e k é um número 2 inteiro. Unidade 4 157 Universidade do Sul de Santa Catarina 3ª Relação cot gx = cos x senx Esta relação só será válida para todo x ≠ kπ e k é um número inteiro. 4ª Relação sec x = 1 cos x π Esta relação só será válida para todo x ≠ + kπ e k é um número 2 inteiro. 5ª Relação cos sec x = 1 senx Esta relação só será válida para todo x ≠ kπ e k é um número inteiro. Existem outras relações trigonométricas derivadas das relações fundamentais, importantes para simplificar a resolução de alguns problemas. Acompanhe: 1ª relação cos x sen x e cot gx = , pode-se obter a seguinte sen x cos x 1 relação cot gx = , válida para todo x ≠ kπ . tgx Como tgx = 2ª relação Você já viu que sen2x + cos2x = 1. Assim, se dividir a equação por cos2x, tem-se: sen x 1 sen 2 x cos 2 x 1 , como e . tgx = sec x = + = cos x cos x cos 2 x cos 2 x cos 2 x 158 Trigonometria e Números Complexos Logo, sec 2 x = tg 2 x + 1 , válida para todo x ≠ π + kπ . 2 3ª relação Sabe-se que sen2x + cos2x = 1. Assim, dividindo a equação por sen2x, tem-se: sen 2 x cos 2 x 1 . + = 2 2 sen x sen x sen 2 x cos x 1 e cos sec x = . sen x senx Logo, 1 + cot g 2 x = cos ec 2 x , válida para todo x ≠ kπ . Como cot gx = Veja a aplicação destas relações em alguns exemplos, a seguir. 1 3π < x < 2π , determine o valor do 1) Sabendo que senx = e que 2 3 cosx. Solução: Aplicando-se a relação sen2x+cos2x=1, tem-se: sen 2 x + cos 2 x = 1 2 1 2 + cos x = 1 3 1 + cos 2 x = 1 9 1 cos 2 x = 1 − 9 9 −1 cos 2 x = 9 8 cos 2 x = 9 8 cos x = ± 9 cos x = ± 2 2 . 3 Unidade 4 159 Universidade do Sul de Santa Catarina Como está sendo trabalhado um arco x do quarto quadrante, tem-se que o cosseno é positivo. Logo, cos x = 2 2 . 3 2) Se secx= 4, com 0 ≤ x ≤ Solução: Sabendo que sec x = sec x = 4 π , qual o valor da tgx? 2 1 , então: cos x 1 =4 cos x 4 cos x = 1 1 cos x = 4 Substituindo cos x = sen 2 x + cos 2 x = 1 2 1 sen 2 x + = 1 4 1 sen 2 x + = 1 16 1 sen 2 x = 1 − 16 16 − 1 sen 2 x = 16 15 sen 2 x = 16 15 senx = ± 16 senx = ± 160 15 4 1 na relação sen 2 x + cos 2 x = 1 , tem-se: 4 Trigonometria e Números Complexos Como o arco x é do primeiro quadrante, tem-se que o seno é positivo. Logo, sen x = 15 . 4 Seguindo ao valor da tangente: senx cos x 15 tgx = 4 1 4 15 4 tgx = . 4 1 tgx = 15. tgx = 3) Se k é um número real positivo que satisfaz simultaneamente as equações senx = k +1 e cosx=-k, determine o valor de k. 3 Solução: Utilizando a relação trigonométrica fundamental sen2x+cos2x=1 tem-se: sen 2 x + cos 2 x = 1 3 2 k +1 + (−k ) = 1 3 k 2 + 2k + 1 2 + k =1 9 k 2 + 2k + 1 + 9k 2 9 = 9 9 2 2 k + 2k + 1 + 9k = 9 10k 2 + 2k − 8 = 0 Resolvendo a equação do 2º grau, tem-se: k’ = -1 e k” = 4 5 Unidade 4 161 Universidade do Sul de Santa Catarina Como k é um número real positivo, a solução do problema será: k= 4. 5 4) Simplifique a expressão cot g 2 x + sen 2 x . 2 1 + cot g x Solução: Fazem-se as seguintes substituições na expressão: 1 + cot g 2 x por cos ec 2 x. cos 2 x cot g 2 x por . sen 2 x cot g 2 x + sen 2 x 2 1 + cot g x cot g 2 x + sen 2 x cos ec 2 x cos 2 x sen 2 x + sen 2 x 1 sen 2 x cos 2 x sen 2 x . + sen 2 x sen 2 x 1 cos 2 x + sen 2 x = 1. cot g 2 x A forma simplificada da expressão + sen 2 x é 1. 2 1 + cot g x SEÇÃO 2 - Adição e subtração de arcos Inicialmente, verifica-se se sen (60º+30º) é o mesmo que sen 60º+sen 30º. 162 Trigonometria e Números Complexos Tem-se que: sen (60º +30º ) = sen 90º = 1 e sen 60º + sen 30º = 3 1 3 +1 . + = 2 2 2 Vê-se então que esses valores são diferentes. Para calcularmos o seno, o cosseno e a tangente da soma e da diferença entre os arcos, utilizam-se as transformações a seguir: • sen (a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a • sen (a − b) = sen a.cos b − sen b.cos a • cos(a + b) = cos a.cos b − sen b.sen a • cos(a − b) = cos a.cos b + sen b.sen a tga + tgb 1 − tga.tgb tga − tgb • tg (a − b) = 1 + tga.tgb • tg (a + b) = Deduz-se a fórmula que calcula o cosseno da diferença, ou seja: cos(a − b) = cos a.cos b + sen b.sen a. Demonstração: Para a demonstração, deve-se lembrar que a distância entre dois pontos A(x A, yA) e B(xB, yB), do plano, é dada por: Figura 4.2: Distância entre dois pontos no plano Unidade 4 163 Universidade do Sul de Santa Catarina d 2 ( A, B ) = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2 d ( A, B ) = (xB − x A )2 + (yB − y A )2 . Seja a figura 4.3: Figura 4.3: Cosseno da diferença de arcos Na circunferência trigonométrica tem-se: os arcos a e b; o arco a-b; M representa a extremidade do arco a; N representa a extremidade do arco b; P representa a extremidade do arco a-b; A representa a extremidade do arco nulo. Observando a figura, conclui-se que as distâncias entre os pontos P e A, M e N são iguais. Escreve-se então: d 2 ( P, A) = d 2 ( M , N ) ( X P − X A ) + (YP − YA ) = ( X M − X N ) + (YM − YN ) 2 164 2 2 2 [1] Trigonometria e Números Complexos Note que: as coordenadas do ponto P são: P(cos(a-b), sen(a-b)); as coordenadas do ponto M são: M(cosa,sena); as coordenadas do ponto N são: N(cosb,senb); as coordenadas do ponto A são: A(1,0). Assim substituindo em [1] tem-se: [cos(a − b) − 1] + [sen(a − b) − 0] = [cos a − cos b] + [sena − senb] 2 2 2 2 Desenvolvendo a equação e sabendo que: sen 2 (a − b) + cos 2 (a − b) = 1 ; sen 2 a + cos 2 a = 1 ; sen 2b + cos 2 b = 1 . Para facilitar o desenvolvimento da equação, vamos nomear seus membros A e B, então: A = cos (a − b ) − 1 + sen (a − b ) − 0 e B = [cos a − cos b ] + [sen a − sen b ] . 2 2 Desenvolvendo A, tem-se: 2 2 2 2 A = cos (a − b ) − 1 + sen (a − b ) − 0 A = cos 2 (a − b ) − 2 cos (a − b ) + 1 + sen 2 (a − b ) A = 2 − 2 cos (a − b ) Desenvolvendo B, tem-se: B = [cos a − cos b ] + [sen a − sen b ] 2 2 B = cos 2 a − 2.cos a.cos b + cos 2 b + sen 2 a − 2.sen a.sen b + sen 2b B = 2 − 2 (cos a.cos b + sen a.sen b ) Como A=B, tem-se: 2 − 2 cos(a − b) = 2 − 2 (cos a.cos b + sen a.sen b ) Unidade 4 165 Universidade do Sul de Santa Catarina Para simplificar a equação, divide-se por (-2): −1 + 1cos(a − b) = −1 + (cos a.cos b + sen a.sen b) Logo : cos(a − b) = cos a.cos b + sen a.sen b As outras três fórmulas decorrem facilmente da que foi obtida. cos(a + b) = cos a.cos b − sen a.sen b Demonstração: Substituindo b por –b tem-se: cos (a − (−b) ) = cos a.cos(−b) + sen a.sen (−b) [2] Você deve lembrar que seno é uma função ímpar e cosseno é par. Logo, tem-se: sen (−b) = − sen b . cos(−b) = cos b . Substituindo em [2] tem-se: cos(a + b) = cos a.cos b − sen a.sen b . Na seqüência, acompanhe a fórmula do seno da diferença e do seno da soma: Seno da diferença: sen (a − b) = sen a.cos b − cos a.sen b . Demonstração: Para esta demonstração, utiliza-se um teorema auxiliar: Para todo x real, tem-se: π cos − x = senx 2 π sen − x = cos x. 2 166 Trigonometria e Números Complexos Dessa forma: sen(a − b) = sen a.cos b − cos a.sen b π sen (a − b ) = cos − (a − b ) 2 π sen (a − b ) = cos − a + b 2 π π sen (a − b ) = cos − a .cos b − sen − a .senb 2 2 sen (a − b ) = sena.cos b − cos a.senb. Seno da soma: sen (a + b) = sen a.cos b + cos a.sen b . Demonstração: Substituindo b por –b, tem-se: sen (a + b) = sen (a − (−b) ) = sen a.cos (−b) − cos a.sen (−b) [3] Lembre-se que seno é uma função ímpar e cosseno é par. Logo: sen(−b) = − senb . cos(−b) = cos b . Substituindo em [3], tem-se: sen (a + b) = sen a.cos b + cos a.sen b . Finalmente, acompanhe as fórmulas da tangente da soma e da diferença de dois arcos. tg (a − b) = tga − tgb . 1 + tga.tgb Demonstração: Você já conhece a relação fundamental tgx = senx . cos x Na demonstração a seguir, ela será utilizada. Unidade 4 167 Universidade do Sul de Santa Catarina Então, tem-se que: tg (a − b ) = sen(a − b) sena.cos b − cos a.senb . = cos(a − b) cos a.cos b + sena.senb Dividindo o numerador e o denominador por cos a . cos b, supondo diferente de zero, encontra-se: tg (a − b) = sen(a − b) cos(a − b) sena.cos b − cos a.senb cos a.cos b tg (a − b) = cos a.cos b + sena.senb cos a.cos b sena senb − tg (a − b) = cos a cos b sena.senb 1+ cos a.cos b tg (a − b) = tga − tgb . 1 + tga.tgb De forma análoga, demonstra-se que: tg(a + b) = tga + tgb . 1 − tga.tgb Retrospectiva Histórica Figura 4.4 : Ptolomeu http://educacaomatematica.vilabol.uol.com.br/histmat/precursores.htm (acesso em 28/06/06). 168 Trigonometria e Números Complexos Ptolomeu, figura 4.4, embora não fizesse uso dos termos seno e cosseno, mas sim de cordas, utilizou o que pode ser considerado o prenúncio da conhecida relação fundamental sen 2 x + cos 2 x = 1 . Semelhantemente, em termos de cordas, Ptolomeu conhecia as propriedades que, em linguagem atual, são: • sen ( x + y ) = sen x.cos y + sen y.cos x • sen ( x − y ) = sen x.cos y − sen y.cos x • cos( x + y ) = cos x.cos y − sen y.sen x • cos( x − y ) = cos x.cos y + sen y.sen x Veja alguns exemplos envolvendo a adição e subtração de arcos. 1) Calcule cos75º. Solução: Para calcular cos 75º pode-se escrever 75º = 30º +45º . cos 75º = cos(30º +45º ) cos 75º = cos 30º.cos 45º − sen30º.sen 45º cos 75º = 3 2 1 2 . − . 2 2 2 2 cos 75º = 6 2 − 4 4 cos 75º = 6− 2 . 4 2) Determine sen15º . Solução: Faz-se 15º = 45º - 30º. sen 15º = sen (45º −30º ) sen 15º = sen 45º.cos 30º − sen 30º.cos 45º sen 15º = 2 3 1 2 . − . 2 2 2 2 sen 15º = 6 2 − 4 4 Unidade 4 169 Universidade do Sul de Santa Catarina sen15º = 6− 2 . 4 Observe que cos75º e sen15º resultaram em um mesmo valor. Isso se deve ao fato de serem arcos complementares. 3) Escreva na forma simplificada a expressão π A = sen (π + x ) + cos − x , para todo x∈IR. 2 Solução: π A = sen (π + x ) + cos − x 2 π π .cos x + sen .senx 2 2 A = 0. cos x + senx.( −1 ) + 0. cos x + 1.senx A = − senx + senx A = 0. A = sen π . cos x + senx. cos π + cos 4) Qual o valor da tg15º? Solução: Pode-se fazer 15º=60º-45º. 170 Trigonometria e Números Complexos tga − tgb 1 + tga.tgb tg 60º −tg 45º tg( 60º −45º ) = 1 + tg 60º .tg 45º tg(a − b) = tg15º = 3 −1 1 + 3 .1 tg15º = 3 −1 1− 3 . 1+ 3 1− 3 tg15º = 3 − 9 −1+ 3 1− 9 2 3−4 1− 3 −4 + 2 3 tg15º = −2 tg15º = 2 − 3. tg15º = SEÇÃO 3 - Arco duplo Nesta seção, você conhecerá as fórmulas que calculam as funções trigonométricas de um arco que é o dobro do arco cujas funções já são conhecidas. Para calcular o seno, cosseno e tangente do arco de 2x, devem ser utilizadas as seguintes identidades: sen 2 x = 2 sen x.cos x cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x 2tgx tg 2 x = 1 − tg 2 x Acompanhe a demonstração destas identidades, aplicando as fórmulas de adição de arcos para cada uma das funções estudadas na seção anterior. sen 2 x = 2 sen x.cos x Unidade 4 171 Universidade do Sul de Santa Catarina Demonstração: sen 2 x = sen ( x + x) sen 2 x = sen x.cos x + sen x.cos x sen 2 x = 2. sen x.cos x. cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x Demonstração: cos 2 x = cos( x + x) cos 2 x = cos x.cos x − sen x.sen x cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x. tg 2 x = 2 tgx 1 − tg 2 x Demonstração: 2 tgx 1 − tg 2 x tg 2 x = tg(x + x) tg 2 x = tgx + tgx 1 − tgx.tgx 2tgx tg 2 x = . 1 − tg 2 x tg 2 x = Retrospectiva Histórica Os árabes trabalharam com senos e cossenos e, em 980, Abu’l – Wafa, sabia que: sen 2 x = 2 sen x . cos x , embora isso pudesse facilmente ter sido deduzido pela fórmula de Ptolomeu sen(x + y) = sen x . cos y + sen y . cos x , fazendo x = y. Acompanhe os exemplos!!! 172 Trigonometria e Números Complexos 1) Sendo senx= 1 π e 0 < x < , calcule: 3 2 a) sen 2x b) cos 2x Solução: Inicia-se calculando o valor do cos x, utiliza-se a relação trigonométrica fundamental sen2x+cos2x=1. sen 2 x + cos 2 x = 1 2 1 2 + cos x = 1 3 1 + cos 2 x = 1 9 1 cos 2 x = 1 − 9 9 −1 cos 2 x = 9 8 cos 2 x = 9 cos x = ± 8 9 2 2 3 2 2 cos x = . 3 cos x = ± Já sabendo o valor do cosx, resolve-se o problema proposto: a) sen 2 x = 2 sen x. cos x 1 2 2 sen 2 x = 2. . 3 3 4 2 sen 2 x = . 9 Unidade 4 173 Universidade do Sul de Santa Catarina b) cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x 2 2 2 1 2 cos 2 x = − 3 3 4.2 1 − cos 2 x = 9 9 7 cos 2 x = . 9 2) Dado senx = 3 π , com < x < π , determine a tg 2x. 2 2 Solução: Primeiramente, é preciso encontrar o valor do cos x para descobrir o valor da tg x. Utiliza-se a relação trigonométrica fundamental sen2x+cos2x=1, tendo então: sen 2 x + cos 2 x = 1 2 3 2 + cos x = 1 2 3 + cos 2 x = 1 4 3 cos 2 x = 1 − 4 4−3 cos 2 x = 4 1 cos 2 x = 4 1 cos x = ± 4 1 cos x = ± 2 1 cos x = − . 2 174 Trigonometria e Números Complexos Você deve ter observado que o valor do cos x ficou negativo, pois se está trabalhando com um arco do 2º quadrante. Calculando o valor da tg x, tem-se: senx cos x 3 tgx = 2 1 − 2 3 2 tgx = . − 2 1 tgx = tgx = − 3 Já conhecendo a tg x, resolve-se o problema proposto utilizando-se a identidade tg2x. tg 2 x = ( ) 1 − (− 3 ) 2. − 3 2 −2 3 1− 3 −2 3 tg 2 x = −2 tg 2 x = 3 tg 2 x = Na seção a seguir você resolverá equações trigonométricas e, para isso, será necessária a utilização de todas as transformações trigonométricas estudadas nesta unidade. SEÇÃO 4 - Equações Trigonométricas Você já conhece os diversos tipos de equações, bem como sua importância na resolução de vários problemas. Unidade 4 175 Universidade do Sul de Santa Catarina As diferentes equações possuem nomes específicos em função de suas características específicas. Por exemplo: 2 x − 4 = 9 é denominada equação irracional, pois contém a incógnita “x” sob o radical. Nesta seção, serão trabalhadas as equações trigonométricas que recebem este nome porque são equações em que figuram as funções trigonométricas com um arco desconhecido. Para resolvermos as equações trigonométricas, devemos utilizar artifícios e transformações que nos permitam chegar a equações básicas do tipo senx=a, cosx=a e tgx=a, com a ∈ IR. Dessa forma, podemos obter a variável “x” conhecendo o valor de a. Veja agora alguns exemplos de equações trigonométricas: a ) sen x = 0 b) 1 − cos 2 x + sen x = 0 c) sen 2 x = 2.cos x Vale ressaltar que a solução de uma equação trigonométrica é o conjunto dos valores da variável x que, caso existam, satisfazem a equação dada. Observe como encontrar o conjunto solução de algumas equações trigonométricas: 1) Resolver a equação sen x = 1 no intervalo [0,2π ]. 2 Solução: Você já sabe que o seno é positivo no primeiro e segundo quadrante. O arco cujo seno corresponde a 1 π é no primeiro quadrante e, 2 6 utilizando a simetria, pode-se encontrar o outro arco do segundo quadrante: π − π = 5π . 6 6 Observe a representação da solução na figura 4.5. 176 Trigonometria e Números Complexos Figura 4.5: sen x = 1 2 ; [0; 2π ] π 5π . 6 6 Logo, a solução desta equação é S = , 1 2) Resolver a equação sen x = , com x ∈ 0, π . 2 2 Observe que está sendo resolvida a mesma equação, porém com intervalo de solução diferenciado. A figura 4.6 representa a situação do problema. Figura 4.6: Logo, como sen sen x = 1 ;x ∈ 2 π 0, 2 π 1 π = , então a solução é S = . 6 2 6 Unidade 4 177 Universidade do Sul de Santa Catarina 1 2 3) Resolver a equação senx = . Solução: Note que, novamente, é a mesma equação que está sendo trabalhada, porém sem definir o intervalo de solução. Observe a figura 4.7: Figura 4.7: sen x = 1 2 Veja que, como não há o intervalo definido, devem-se considerar todas as possibilidades de solução, utilizando, para isso, a congruência de arcos. Logo, a solução geral será: π 5π S = x ∈ IR|x = + 2kπ ou x = + 2kπ , k ∈ Z . 6 6 Se você sentir dificuldades, volte à unidade 2 onde estudou a expressão geral dos arcos côngruos ou comunique-se com o seu tutor. 178 Trigonometria e Números Complexos 4) Resolver a equação 2 sen2x – 5 senx + 2 = 0, com x ∈ 0, π . Solução: 2 Como você pode observar, esta equação lembra uma equação do 2º grau e, para resolvê-la, utiliza-se sua fórmula resolutiva. Os coeficientes da equação são: a=2 b=-5 c=2 O discriminante da equação é: ∆ = b 2 − 4ac ∆ = (−5) 2 − 4.2.2 ∆=9 Assim: −b ± ∆ 2a −(−5) ± 9 senx = 2.2 5±3 senx = 4 Obtemos, portanto, que: senx = 2 1 senx = . 2 senx = Como – 1 ≤ sen x ≤ 1, então se deve desconsiderar sen x=2. 1 2 Logo, busca-se a solução para sen x = . Note que esta equação já foi resolvida no exemplo 2. Portanto, x = π π e se escreve a solução S = . 6 6 Unidade 4 179 Universidade do Sul de Santa Catarina 5) Dê a solução da equação sen 2x=2cos x no intervalo [0; 2π ]. Solução: Utilizando a identidade do seno do arco duplo, tem-se: sen 2 x = 2 cos x 2.sen x.cos x = 2 cos x Resolvendo a equação: 2.sen x.cos x − 2.cos x = 0 2.cos x.( sen x − 1) = 0. Você já sabe que o produto entre dois fatores só é nulo quando um dos fatores for zero. Dessa forma: 2.cos x = 0 ou sen x − 1 = 0. Assim, tem-se duas equações para resolver: sen x − 1 = 0 2.cos x = 0 ou sen x = 1 cos x = 0 Encontrando a solução para cos x = 0, no intervalo dado tem-se: x= π 3π ou x = . 2 2 Encontrando a solução para sen x = 1, no intervalo dado tem-se: x= π . 2 Logo, a solução da equação sen 2 x = 2 cos x no intervalo [0, 2π ] é S = π , 3π . 2 180 2 Trigonometria e Números Complexos SEÇÃO 5 - Inequações trigonométricas Como ocorrem com as equações, as diferentes inequações também possuem nomes específicos em função de suas características. Nesta seção, você estudará as inequações trigonométricas que recebem este nome por serem desigualdades nas quais figuram funções trigonométricas com arcos desconhecidos. Para resolver as inequações trigonométricas, da mesma forma que nas equações, deve-se utilizar artifícios e transformações que permitam chegar a inequações básicas do tipo sen x<a e sen x>a, cos x<a e cos x>a, tg x<a e tg x>a, com a ∈ IR. É importante observar que as desigualdades > e < podem ser ≥ e ≤, não interferindo no método de resolução. Por exemplo, são inequações trigonométricas: 1) sen x > 1 2 2) cos x ≤ 3) tg x > 1 3 2 Na resolução de inequações trigonométricas é fundamental a construção da circunferência trigonométrica representando a situação do problema. Acompanhe alguns exemplos envolvendo inequações trigonométricas: 1) Resolver a inequação sen x ≥ 1 , com 0 < x < 2π. 2 Solução: Inicialmente, marca-se sobre o eixo y (eixo dos senos), o ponto cuja distância do centro é 1 . 2 Faz-se a análise para valores acima de 1 tendo em vista que sen x ≥ 1 . 2 2 Unidade 4 181 Universidade do Sul de Santa Catarina Traça-se uma reta paralela ao eixo x por 1 . 2 Na figura 4.8, você pode observar que os valores de x que compõem a solução desta inequação estão entre π e 5π (parte 6 6 destacada na circunferência). Figura 4.8: sen x ≥ 1 2 Logo, a solução será: 5π π S = x ∈ IR | ≤ x ≤ . 6 6 2) Resolver a inequação cos x < Solução: 2 , com 0 < x < 2π. 2 Inicialmente, marca-se sobre o eixo x (eixo dos cossenos), o ponto cuja distância do centro é - 2 . 2 Faz-se a análise para valores menores que - 2 tendo em vista que cos x < - 2 . 2 2 Traça-se uma reta vertical, paralela ao eixo y por - 2 . 2 Na figura 4.9, você pode observar que os valores de x que compõem a solução desta inequação estão entre 3π 4 (parte destacada na circunferência). 182 e 5π 4 Trigonometria e Números Complexos Figura 4.9: cos x < − 2 2 Logo, a solução será: 3π 5π S = x ∈ IR | <x< . 4 4 3) Qual é a solução da inequação tg x > 3 no intervalo [0, 2π ]? Solução: Figura 4.10: tgx > 3 Unidade 4 183 Universidade do Sul de Santa Catarina Inicialmente, consideram-se os valores de x onde a tg x existe: 3π π e x≠ a tg x existe. 2 2 Traça-se o eixo das tangentes e marca-se 3 que corresponde a Para os valores reais de x tais que x ≠ tg π . 3 Observando a figura 4.10 e utilizando a simetria, encontra-se o arco 4π para o qual a tangente também é 3 . 3 Tem-se que: tg x > 3 . Logo, a solução será: π π 4π 3π . S = x ∈ IR | < x < ou <x< 3 2 3 2 Síntese Nesta unidade você aprendeu a trabalhar com as relações e identidades trigonométricas e, dessa forma, resolver equações trigonométricas que são conhecimentos importantes para um futuro professor de matemática. Você pôde observar que não existe um modo único de resolver equações trigonométricas, mas que devemos reduzi-las a equações do tipo sen x = a , cos x = b ou tg x. Com o estudo desta unidade, você pôde perceber que, para encontrar a solução de inequações trigonométricas, precisa-se das equações trigonométricas, bem como selecionar os arcos que satisfazem a desigualdade do problema. Na próxima unidade, você vai estudar os Números Complexos, mas só siga em frente após conferir todas as suas atividades de auto-avaliação, esclarecendo suas dúvidas com o professor tutor. 184 Trigonometria e Números Complexos Atividades de auto-avaliação 1 3π 1) Sabendo que sen x = e que π < x < , determine o valor de 2 2 cos x. 2) Sabe-se que sen x = − 3 3π < x < 2π . Qual o valor da cotg x? e 2 5 3) Sabendo que sen x = 3 π e < x < π , determine o valor da expressão 2 2 sec 2 x + cos 2 x. 4) Quais os valores de sen x e cos x sabendo que sen x = −2 cos x e que π < x <π? 2 Unidade 4 185 Universidade do Sul de Santa Catarina 5 , x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão 3 A = 16 cot g 2 x + cos ec 2 x . 5) Se sec x = ( ) 1 π , com 0 ≤ x ≤ , calcule o valor da expressão 3 2 tgx + cot gx . y= sec x − cos x 6) Se sen x = cos ec 2 x − cos sec x.sec x 1 7) Calcule o valor de y = , dado sen x = . 1 − tgx 4 5 , com x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão 3 A = 25.cos 2 x − 16.cot g 2 x. 8) Se sec x = 186 Trigonometria e Números Complexos 9) Determine: a ) sen 105º = b) tg 75º = c) cos15º = 10) Sabendo que sen x = π 3 e que < x < π , calcule o valor de 2 5 π cos + x . 3 11) Calcule o valor numérico da expressão y= cos( x + 30º ) + cos( x − 30º ) . cos( x + 30º ) + sen(30º − x) 12) Simplifique a expressão: y = cos(120º + x) + cos(120º − x) . Unidade 4 187 Universidade do Sul de Santa Catarina 13) Sendo tg x = 5 , calcular tg 2 x. 14) Sabendo que cos x = 15) Se sen x − cos x = 16) Sendo cot g x = 1 , calcular cos 2 x. 3 1 , calcule o valor de sen 2 x. 2 1 , calcule tg 2 x. 2 17) Sendo E = 1 − cos 2 x + 2.cos 2 x , calcular E + E 2 + E 3 . 188 Trigonometria e Números Complexos 18) Qual o valor de (tg 10º + cot g 10º ).sen 20º ? 19) Se tg x + cot g x = 4 , quanto vale sen 2 x ? 20) Sendo a + b = 45º e tg a = 2 , calcule tg b . 3 21) Resolver a equação sen 2 x + sen x − 2 = 0 para 0 ≤ x ≤ 2π . 22) No intervalo [0,π ], qual a solução da equação tg x − 1 = 0 . Unidade 4 189 Universidade do Sul de Santa Catarina 23) Determine o conjunto solução da equação sen 2 x − sen x = 0 sendo 0 ≤ x ≤π. 24) Resolva em IR a equação: π π 2. sen x + + sen x − = 3 3 2 25) Sendo x ∈ [0, 2π [ encontre o conjunto solução das seguintes inequações: a) sen x < − b) cos x ≥ − c) tg x ≤ 1 d) cos x < 190 1 2 2 2 3 2 Trigonometria e Números Complexos Desafios na Trigonometria 1) (MACK - SP/2000) O número de valores de x, 0 ≤ x ≤ 2π , tais que 2 (sen x + cos x ) = 1 é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) maior que 5 cos 2 x 2) No intervalo 0 ≤ x < 2π , a equação = sen x , apresenta 1 + sen x exatamente: a) Uma única solução. b) Duas soluções. c) Três soluções. d) Quatro soluções. e) Cinco soluções. Unidade 4 191 Universidade do Sul de Santa Catarina Saiba mais Se você ficou interessado em conhecer outras equações trigonométricas, recomenda-se que faça uma busca na Internet. Como sugestão, acesse o site: 192 http://www.algosobre.com.br/ler.asp?conteudo=401&Ti tulo=Trigonometria%20%5BEqua%C3%A7%C3%B5es %20Trigonom%C3%A9tricas%5D UNIDADE 5 Números complexos Objetivos de aprendizagem Compreender o conceito de números complexos. Identificar um número complexo na sua forma algébrica e representá-lo no plano de Argand-Gauss. Compreender os conceitos de módulo e argumento de um número complexo z, bem como a sua representação geométrica. Apresentar a forma trigonométrica de z. Operar com números complexos na forma algébrica e trigonométrica. Seções de estudo Seção 1 Introdução Seção 2 A álgebra dos números complexos Seção 3 A forma trigonométrica dos números complexos 5 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de conversa Nesta unidade você conhecerá o conjunto dos números complexos, um novo conjunto numérico que ampliará os seus conhecimentos com relação aos conjuntos numéricos já estudados por você. Os elementos desse conjunto podem ser somados e multiplicados e também possibilitam a extração da raiz quadrada de um número negativo. Com esta característica (extração da raiz quadrada de número negativo) é possível resolver equações que não possuem solução dentro do conjunto dos reais. Os números complexos são da forma a+bi, sendo a e b reais e i a chamada unidade imaginária, para qual i2 =-1. O papel desses números é de fundamental importância nos diversos ramos da matemática além de ser instrumentos necessários em campos da ciência e da tecnologia. SEÇÃO 1 - Introdução Os números complexos se originaram no século XVII, quando Descartes chamou de imaginários as raízes de radicando negativo que o matemático italiano Cardano utilizava na resolução de equações de 3º grau. Rafael Bombelli passou a refletir a respeito da natureza desses novos conceitos matemáticos e, com seu trabalho, percebeu que equações do tipo x2 + a = 0, só poderiam ser resolvidas com essas raízes. Dessa forma, surgiu, aos poucos, uma teoria mais sólida com uma notação própria, originando um novo conjunto, o Conjunto dos Números Complexos representado por . A álgebra dos números complexos, além de ter uma grande história na área de matemática, tem inúmeras aplicações na engenharia e na física. Como exemplo, pode-se citar a 194 Trigonometria e Números Complexos descrição de circuitos elétricos, os projetos de asas de aviões, a representação de ondas eletromagnéticas. Sua aplicação também se estende em áreas próprias da matemática, da computação gráfica e da topologia. SEÇÃO 2 - A álgebra dos números complexos Nesta seção você estudará a álgebra dos números complexos e, para isso, deve conhecer de que forma são expressos esses números. i Conhecendo o “ ” Inicia-se este estudo com a resolução da equação x2+1=0 tendo como universo o conjunto dos reais: x2 + 1 = 0 x 2 = −1 x = ± −1 Logo, o conjunto solução é S = ∅. Você sabia... Quem utilizou o símbolo i para −1 pela primeira vez foi Leonhard Euler em 1777. Foi impresso pela primeira vez em 1794 e se tornou absolutamente aceito após seu uso por Gauss em 1801. Agora veja, se tomar como universo um conjunto no qual se admita a existência da −1 , que será substituída por i, a equação passará a ter solução não vazia. Veja que a solução da equação será: x2 + 1 = 0 x 2 = −1 x = ± −1 x = ±i Unidade 5 195 Universidade do Sul de Santa Catarina Logo, x’ = -i e x” = i são as raízes da equação. Dessa forma, o conjunto solução será: S = {−i, i}. Vejamos, agora, outro exemplo: x2 - 6x +13=0. Inicialmente, calcula-se o discriminante da equação: x2 - 6x +13=0 ∆ = b 2 − 4.a.c ∆ = (−6 ) − 4.1.13 2 ∆ = −16 Observe que se o conjunto universo for os reais, a solução será vazia novamente. Então vamos considerar como universo um conjunto no qual se admita a existência −1 , que será substituída por i . −b ± ∆ 2.a 6 ± −16 x= 2 x= x= 6 ± 16. (−1) 2 6 ± 4 −1 x= 2 6 ± 4i x= 2 x ' = 3 − 2i x " = 3 + 2i Logo, x’ = 3 - 2i e x” = 3 + 2i são as raízes da equação. Dessa forma, o conjunto solução será: S = {3 − 2i;3 + 2i}. Os números i, -i, 3-2i e 3+2i são chamados números complexos. 196 Trigonometria e Números Complexos Você sabia... A expressão número complexo foi introduzida por Carl Friderich Gauss em 1832. Figura 5.1: Gauss www.corrosion-doctors.org/.../GaussBio.htm Capturado em 23/07/06 Definindo o número complexo Número complexo é todo par ordenado (a,b) que pode ser escrito na forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária, isto é, i2 = -1 ou i = −1 . Veja alguns exemplos: a) z = 2+3i, temos: a = 2 e b = 3 b) z = -3 +i, temos: a =-3 e b = 1 c) z = -2i, temos: a = 0 e b =-2 Definindo o conjunto dos números complexos O Conjunto dos Números Complexos é todo conjunto cujos elementos são da forma z = a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária, isto é, i2 = -1 ou i = −1 : = {z = a+bi | a ∈IR, b ∈ IR, i = −1 }. Unidade 5 197 Universidade do Sul de Santa Catarina Dessa forma, tem-se que z = a + bi é chamada forma algébrica de um número complexo, onde a é a parte real e b é a parte imaginária. Chama-se unidade imaginária ao número i tal que i2 =-1 ou i= −1 . Observe o diagrama representado na figura 5.2: Figura 5.2: Diagrama dos conjuntos numéricos Como todo número natural é inteiro, todo inteiro é racional, todo racional é real e, finalmente, todo número real é um número complexo em que b=0 na forma a+bi. Note que, como um número complexo é dividido em parte real e parte imaginária, então, tomando um número complexo z=a+bi, podemos considerar as seguintes situações: z é um imaginário puro quando z = bi, onde a = 0 e b ≠ 0; z é real quando z = a, onde b=0. Você sabia... Os termos real e imaginário foram empregados pela primeira vez por René Descartes em 1637. 198 Trigonometria e Números Complexos Exemplos: a) z= -5+7i Note que: -5 é a parte real de z, que se denota por Re(z)=-5; 7 é a parte imaginária de z, que se denota por Im(z)= 7; 3i 4 b) z = Re(z) = 0 3 Im(z)= 4 Pode-se concluir que z é um imaginário puro. c) z = -4,6 Re(z) = -4,6 Im(z) = 0 Pode-se concluir que z é um número real. d) Qual deve ser o valor de k para que z = -1 + (k+4)i seja um número real? Solução: Note que para que z seja um número real é necessário que sua parte imaginária seja igual a zero, assim tem-se: Im(z) = 0 k+4 = 0 k=-4 Logo, para que z seja real k deve ser igual a - 4. e) Determine o valor de x de modo que z = (x2 - 25) + (2y - 8)i seja imaginário puro. Unidade 5 199 Universidade do Sul de Santa Catarina Solução: Você já sabe que para que z seja imaginário puro deve ter: Re(z) = 0 Im(z) ≠ 0, assim tem-se: Re(z) = 0 x2 - 25 = 0 x2 = 25 x=±5 Im(z) ≠ 0 2y - 8 ≠ 0 2y ≠ 8 y≠4 Igualdade de números complexos A igualdade entre dois números complexos se estabelece quando apresentam, simultaneamente, partes reais iguais e partes imaginárias iguais. Dessa forma: Sendo z1 = a + bi e z2 = c + di, z1 = z2 quando a = c e b = d. Exemplos: 1) Sejam os números complexos z1= -3 + xi e z2 = 6y- 8i, determine os valores reais de x e y de modo que z1= z2. Solução: Como z1= z2 tem-se que: 200 Trigonometria e Números Complexos Re(z1) = Re(z2) e Im(z1) = Im(z2) -3 = 6y x = -8 3 6 y= −1 2 y= − Logo, os valores de x e y, são respectivamente, -8 e − 1 . 2 2) Dados os números complexos z1 = (3x + y) + 5i e z2 = 8 + (x - 2y)i, encontre os valores reais de x e y para que z1 seja igual a z2. Solução: Como z1= z2 tem-se que: Re(z1) = Re(z2) 3x + y = 8 e e Im(z2)= Im(z1) x - 2y = 5 Note que há um sistema de duas equações para resolver: Multiplica-se por 2 a primeira equação e resolve-se o sistema pelo método da adição. O sistema equivalente será: 6 x + 2 y = 16 x − 2y = 5 Somando as equações tem-se: 7 x = 21 x=3 Substituindo x = 3 em qualquer uma das equações ter-se-á y = -1. Logo, os valores de x e y, serão respectivamente, 3 e -1. Você sabia... No conjunto dos números complexos não existe relação de ordem, isto é, um número complexo não é maior nem menor que outro. Unidade 5 201 Universidade do Sul de Santa Catarina Operações entre números complexos Adição A adição entre dois números complexos z1= a + bi e z2= c + di é estabelecida da seguinte forma: Sendo z1= a + bi e z2= c + di, z1+z2 = (a+c) + (b+d)i Exemplo: Sendo z1=3+5i e z2=-4+10i, determine z1+z2 . Solução: Sendo z1= a + bi e z2= c + di, z1+z2 = (a+c) + (b+d)i z1+z2=(3+5i)+(-4+10i) z1+z2 = 3+5i-4+10i z1+z2 = (3-4)+(5+10)i z1+z2 = -1+15i Logo, z1+z2 = -1+15i. Subtração A diferença entre dois números complexos z1= a + bi e z2= c + di é estabelecida da seguinte forma: Sendo z1 = a + bi e z2 = c + di, z1-z2 = (a-b) + (b-d)i Exemplo: 1 2 2 3 1 4 Considere z1 = − 7i e z 2 = + i e calcule z1- z2 . 202 Trigonometria e Números Complexos Solução: 1 2 1 z1 − z2 = − 7i − + i 2 3 4 1 2 1 z1 − z2 = − 7i − − i 2 3 4 1 1 2 z1 − z2 = − + −7 − i 4 2 3 3 − 4 −28 − 1 z1 − z2 = + i 6 4 1 29i z1 − z2 = − − 6 4 1 6 Logo, z1 − z2 = − − 29i . 4 Multiplicação O produto entre dois números complexos z1= a + bi e z2= c + di é estabelecida da seguinte forma: Sendo z1 = a + bi e z2 = c + di, z1.z2 = (ac-bd) + (ad+bc)i Note que essa relação ocorre utilizando a regra de multiplicação de binômios no conjunto dos reais e considerando que i2 = -1. z1.z2 = (a+bi).(c+di) z1.z2 = ac+adi+bci+bdi2 z1.z2 = ac+adi+bci+bd(-1) z1.z2 = ac+adi+bci-bd z1.z2 = ac-bd+adi+bci z1.z2 = (ac-bd)+(ad+bc)i Unidade 5 203 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplo: Sendo z1 = 1+5i e z2 = 6-3i, determine z1.z2 . Solução: z1.z2=(1+5i).(6-3i) z1.z2 = 6-3i+30i-15i2 z1.z2 = 6+27i-15.(-1) z1.z2 = 21+27i Logo, z1.z2 = 21+27i. Você sabia... O produto de um número complexo pelo seu conjugado é um número real não negativo. Conjugado Sendo z = a +bi , o número z = a - bi representa o conjugado de z. Note que houve alteração no sinal, apenas, na parte imaginária de z. Exemplo: Dê o conjugado dos seguintes números complexos: 204 Trigonometria e Números Complexos Vale ressaltar que, sendo {z, z1, z2} ⊂ , tem-se as seguintes propriedades: 1) z ∈ IR ∴ z = z 2) z1 + z2 = z1 + z2 3) z1 − z2 = z1 − z2 4) z1 . z2 = z1 . z2 5) z1 = z1 , z 2 ≠ 0 z2 z2 () 6) (z n )= z ,n ∈ Z n Divisão A divisão entre dois números complexos z1= a + bi e z2= c + di é estabelecida multiplicando o divisor e o dividendo pelo conjugado do divisor desde que o divisor seja diferente de zero. Pode-se escrever da seguinte forma: z1 z1 z 2 = . , z2 ≠ 0 z2 z2 z 2 Exemplo: Sendo z1 = 1+i e z2 = 4-3i, calcule: a) z1 z2 Solução: z1 (1 + i ) (4 + 3i ) = . z2 (4 − 3i ) (4 + 3i ) z1 4 + 3i + 4i + 3i 2 = z2 16 + 12i − 12i − 9i 2 z1 4 + 7i + 3.(−1) = z2 16 − 9.(−1) z1 4 + 7i − 3 = z2 16 + 9 z1 1 + 7i = z2 25 Unidade 5 205 Universidade do Sul de Santa Catarina b) z2 z1 Solução: z2 (4 − 3i ) (1 − i ) = . z1 (1 + i ) (1 − i ) z2 4 − 4i − 3i + 3i 2 = z1 1 − i2 z2 4 − 7i + 3.(−1) = z1 1 − (−1) z 2 4 − 7i − 3 = z1 1+1 z 2 1 − 7i = z1 2 Potências de i Para calcular as potências de i, com expoente natural, pode-se obter um critério. Observe a tabela 5.1: Tabela 5.1: Potências de i Expoente (n) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Potências de i (in) i0 = 1 i1= i i2= -1 i3= i2.i=(-1).i=-i i4= i3.i=(-i).i=-i2=-(-1)=1 i5= i4.i=1.i=i i6= i5.i=i.i=i2=-1 i7= i6.i=(-1).i=-i i8= i7.i=(-i).i=-i2=-(-1)=1 i9= i8.i=1.i=i Você deve ter percebido que a partir de n=4 os valores das potências começam a se repetir, dessa forma, seja n um número natural n ≥ 4, dividindo n por 4 temos: 206 Trigonometria e Números Complexos Logo, pode-se escrever n = 4.q + r, com r∈ {0,1,2,3}. Dessa forma, in = i4q+r=(i4)q.ir=1q.ir=ir . Veja que para calcular as potências de i (in) cujo o expoente é maior ou igual a 4, basta dividir o expoente n por 4 e elevar i ao valor que corresponde ao resto da divisão, ou seja, o valor de r. Exemplo: Calcular o valor de: a) i27 Solução: Agora se escreve: i27= i3=-i b) i529 Solução: Logo: i529 = i1=i Que tal resolver alguns exercícios para reforçar a aprendizagem das operações estudadas até o momento? Unidade 5 207 Universidade do Sul de Santa Catarina 1) Considere os números complexos z1 = 2-2i e z2 = 1+3i e efetue as seguintes operações: a) (z1+z2)2 Solução: (z1+z2)2 = [(2-2i)+(1+3i)]2 (z1+z2)2 = (3+i) 2 (z1+z2)2 = 32+2.3.i+i2 (z1+z2)2 = 9+6i+(-1) (z1+z2)2 = 8+6i b) (z2 ) .z1 2 Solução: (z2 ) .z1 = (1 + 3i ) . (2 + 2i ) 2 (z2 ) .z1 = (1 + 6i + 9i 2 ). (2 + 2i ) 2 (z2 ) .z1 = (1 + 6i-9) . (2 + 2i ) 2 (z2 ) .z1 = (−8 + 6i ). (2 + 2i ) 2 (z2 ) .z1 = −16 − 16i + 12i + 12i 2 (z2 ) .z1 = −16 − 4i + 12.(−1) 2 (z2 ) .z1 = −28 − 4i 2 2 2 2) Determine o número complexo z, tal que i.z + (z + z) = 1 + 2i . Solução: Sabe-se que z=a+bi e i.z + (z + z) = 1 + 2i temos: 208 , logo, substituindo na igualdade Trigonometria e Números Complexos i.(a+bi)+[(a-bi)+(a+bi)]=1+2i ai+bi2+2a = 1+2i 2a - b +ai = 1+2i Utilizando-se a igualdade entre dois números complexos obtém-se: 2a − b = 1 a=2 Substituindo, tem-se: Logo, o número complexo z procurado é z = 2 + 3i. 3) Encontre o valor de x de modo que z = (2x+3i)2 seja um imaginário puro. Solução: Desenvolvendo o produto notável na expressão (2x+3i)2 tem-se: (2x+3i)2 = 4x2 + 12xi +9i2 (2x+3i)2 = 4x2 + 12xi - 9 (2x+3i)2 = (4x2 -9) + 12xi Você já sabe que para que um número complexo seja imaginário puro deve ter Re(z)=0 e Im(z) ≠ 0. Unidade 5 209 Universidade do Sul de Santa Catarina Logo: Re(z)=0 Im(z) ≠ 0 4x2 -9 = 0 12x ≠ 0 4x2 = 9 x≠0 x2 = 9 4 x= ± 3 2 Portanto, para que o número complexo z = (2x+3i)2 seja 3 2 imaginário puro deve ter x = ± . 92 + i 45 . 4) Determine o valor de i 311 i Solução: i92 + i 45 i 0 + i1 1 + i . = 3 = i311 i −i Note que foi feita a divisão de cada expoente de i na expressão. Agora será feita a divisão de 1 + i , multiplicando a expressão pelo −i conjugado do denominador. Observe: 1 + i i i + i 2 −1 + i . = = = −1 + i −i i −i 2 1 92 + i 45 corresponde a −1 + i . Portanto, a expressão i 311 i −1 5) Determine o conjugado do complexo 1 − i . 1+ i Solução: Lembre que, uma potência de expoente negativo equivale ao inverso da base com o expoente positivo, desde que o denominador seja diferente de zero. 210 Trigonometria e Números Complexos −1 1− i Assim, o número complexo pode ser escrito da seguinte forma 1 + i . 1− i 1+ i Efetuando a divisão do número complexo temos: 2 1 + 2i − 1 2i 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i + i + i . = = = = =i 2 1− i 1+1 2 1− i 1− i 1+ i Logo, z = i e z = −i . SEÇÃO 3 - A forma trigonométrica dos números complexos O Plano de Argand-Gauss Você já estudou que qualquer número real está associado a um ponto numa reta e que cada ponto de uma reta corresponde um número real. Está, agora, conhecendo um novo conjunto numérico que também tem sua representação geométrica. Você deve lembrar que cada número complexo z=a+bi está associado a um par de números reais (a,b). Sabe-se que cada par (a,b) está associado a um único ponto do plano, então pode-se associar a cada número complexo z=a+bi um ponto P de coordenadas a e b, isto é, P(a,b). Unidade 5 211 Universidade do Sul de Santa Catarina Observe a figura 5.3: Figura 5.3: Representação geométrica de z=a+bi Como você pode notar, utiliza-se um sistema cartesiano ortogonal para representar o conjunto dos números complexos. O plano em que são representados os elementos de plano de Argand-Gauss. é chamado Que tal conhecer um pouco da história do plano de ArgandGauss? 212 Trigonometria e Números Complexos Retrospectiva Histórica Na virada do século XVIII para o XIX, os matemáticos Caspar Wessel, Carl Friederich Gauss e Jean Robert Argand, descobriram que os números complexos admitiam uma representação geométrica. Gauss imaginava essa representação por meio dos pontos de um plano enquanto que Wessel e Argand usavam segmentos de reta ou vetores coplanares. Como Wessel e Argand tinham pouca representatividade seus trabalhos não alcançaram a notoriedade merecida na época. Em 1831, Gauss apresentou uma detalhada explicação de como os números complexos poderiam ser desenvolvidos segundo uma teoria exata, apoiada na representação desses números no plano cartesiano. Finalmente, em 1837, Sir Willian Rowan Hamilton chegou ao final dessas descobertas reconhecendo os números complexos como um par ordenado de números reais (a,b) e reescreveu as definições geométricas de Gauss na forma algébrica. Figura 5.4: Hamilton www.at-mix.de/hamilton.htm Capturado em 23/07/06 Unidade 5 213 Universidade do Sul de Santa Catarina Módulo e Argumento Agora que você já sabe que um número complexo pode ser representado no plano, estudará a seguir o significado desta representação. Observe a figura 5.5: Figura 5.5: Módulo e argumento A distância entre o ponto P(a,b), também chamado afixo de z, e a origem do plano, representada pelo ponto O, é chamada de módulo do número complexo z=a+bi, que se denota por |z|=ρ. Essa distância é calculada utilizando-se a seguinte fórmula: ρ = a 2 + b2 . Demonstração: No triângulo OAP é possível aplicar o teorema de Pitágoras, pois, trata-se de um triângulo retângulo: (OP ) = (OA) + ( AP ) 2 2 2 ρ 2 = a 2 + b2 ρ = a 2 + b2 Note que do mesmo triângulo OAP, conclui-se outras relações: cosθ = 214 a b e sen θ = . ρ ρ Trigonometria e Números Complexos A medida do ângulo θ, indicado na figura 5.5, denomina-se argumento do complexo z=a+bi que é indicado por arg(z). O argumento θ pertence ao intervalo de [0; 2π [. Como exemplo, acompanhe a seguir a resolução de alguns exercícios envolvendo módulo e argumento. 1) Calcule o módulo e o argumento dos seguintes complexos e represente-os geometricamente. a) z=1+i Solução: Inicialmente, identifica-se o valor de a e b: Re(z)=a=1 e Im(z)=b=1. Aplicando a fórmula para calcular o módulo tem-se: ρ = a 2 + b2 ρ = 12 + 12 ρ = 1+1 ρ= 2 Agora, calcula-se o argumento θ: cos θ = a ρ sen θ = b ρ cos θ = 1 2 . 2 2 sen θ = 1 2 . 2 2 cos θ = 2 2 sen θ = 2 2 Conforme você já estudou, o ângulo cujo cosseno e o seno valem 2 é π rad ou 45o . 2 4 Logo, θ = π rad ou θ = 45o . 4 Unidade 5 215 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 5.6: Representação geométrica de z=1+i Portanto, sendo z=1+i seu módulo ρ = 2 , o argumento é π rad e a figura 5.6 mostra sua representação geométrica. 4 b) z=3i θ= Solução: Identifica-se o valor de a e b: Re(z)=a=0 e Im(z)=b=3 Aplicando-se a fórmula para calcular o módulo tem-se: ρ = a 2 + b2 ρ = 02 + 32 ρ = 0+9 ρ= 9 ρ =3 Calcula-se o argumento θ: a ρ 0 cos θ = 3 cos θ = 0 cos θ = 216 b ρ 3 sen θ = 3 sen θ = 1 sen θ = Trigonometria e Números Complexos Conforme você já estudou, o ângulo cujo cosseno é 0 e o seno 1 é π rad ou 90o . 2 Logo, θ = π rad ou θ = 90o . 2 Figura 5.7: Representação geométrica de z=3i Portanto, sendo z=3i, seu módulo ρ = 3, o argumento é π rad e a figura 5.7 mostra sua representação geométrica. 2 c) z=-3 θ= Solução: Inicialmente, identifica-se o valor de a e b: Re(z)=a=-3 e Im(z)=b=0 Aplicando-se a fórmula para calcular o módulo tem-se: ρ = a 2 + b2 ρ= (−3) 2 + 02 ρ = 9+0 ρ= 9 ρ =3 Unidade 5 217 Universidade do Sul de Santa Catarina Agora, calcula-se o argumento θ: a ρ -3 cos θ = 3 cos θ = −1 cos θ = b ρ 0 sen θ = 3 sen θ = 0 sen θ = Conforme você já estudou, o ângulo cujo cosseno é -1 e o seno 0 é π rad ou 180o . Logo, θ = π rad ou θ = 180o . Figura 5.8: Representação geométrica de z=-3 Portanto, sendo z=-3, seu módulo ρ = 3, o argumento é θ = π rad e a figura 5.8 mostra sua representação geométrica. d) z= − 3 + i Solução: Identifica-se o valor de a e b: Re(z)=a=- 3 e Im(z)=b=1. 218 Trigonometria e Números Complexos Aplicando-se a fórmula para calcular o módulo tem-se: ρ = a 2 + b2 ρ= (− 3 ) + 1 2 2 ρ = 3 +1 ρ= 4 ρ =2 Agora, calcula-se o argumento θ: cos θ = a ρ cos θ = - 3 2 b ρ 1 sen θ = 2 sen θ = 1 3 e o seno pertence ao 2o 2 2 π º quadrante, cujo arco simétrico no 1 quadrante é x= rad , logo, 6 O ângulo cujo cosseno é − deve-se fazer uma redução ao primeiro quadrante. Fazendo a redução tem-se: θ =π −x θ =π θ= Você deve lembrar que já estudou esta redução na Unidade 2. π 6 5π rad 6 Desta forma θ = 5π rad . 6 Figura 5.9: Representação geométrica de z= − Unidade 5 3 +i 219 Universidade do Sul de Santa Catarina Portanto, sendo z= − 3 + i , seu módulo ρ = 2, o argumento é θ= 5π rad e a figura 5.9 mostra sua representação geométrica. 6 5π rad determine 2) Dados o módulo ρ = 3 e o argumento θ = 3 o número complexo na forma a+bi. Solução: Inicia-se a resolução deste problema calculando os valores do seno e cosseno do argumento: 5π 3 =− 3 2 5π 1 cos θ = cos = 3 2 sen θ = sen Observe que estes valores foram encontrados reduzindo o arco θ= 5π rad ao primeiro quadrante. 3 Com estas informações e o módulo, é possível encontrar os valores de a e b do número complexo, da seguinte forma: cos θ = a ρ 1 a = 2 3 2a = 3 a= 3 2 Logo: z = sen θ = b ρ 3 b = 2 3 2b = −3 − b=− 3 2 3 3 − i. 2 2 Forma trigonométrica ou polar de um número complexo Agora que você já conhece o módulo e o argumento de um número complexo, poderá representá-lo numa forma denominada trigonométrica ou polar. 220 Considere o número complexo z=a+bi, representado pelo ponto P(a,b). Trigonometria e Números Complexos Você já sabe que cosθ = b a e sen θ = . ρ ρ Isolando a e b nas respectivas relações tem-se: a = ρ cos θ e b = ρ .sen θ Substituindo em z=a+bi: z = ρ cos θ + ρ sen θ .i z = ρ .(cos θ + isen θ ) Portanto, z = ρ .(cos θ + isen θ ) é a forma trigonométrica ou polar do complexo z. Exemplos: 1) Escreva na forma trigonométrica o número complexo z=2+2i. Solução: Para escrever z na forma trigonométrica deve-se calcular o módulo e o argumento do complexo. Cálculo do módulo: ρ = a 2 + b2 ρ = 22 + 22 ρ = 4+4 ρ= 8 ρ =2 2 Cálculo do argumento: cos θ = cos θ = a ρ sen θ = 2 2 2 1 cos θ = 2 cos θ = 2 2 sen θ = b ρ 2 2 2 1 sen θ = 2 sen θ = 2 2 Unidade 5 221 Universidade do Sul de Santa Catarina Logo, θ = π rad 4 ou θ = 45o . Portanto, a forma trigonométrica de z=2+2i é: z = ρ .(cos θ + isen θ ) π π z = 2 2 . cos + isen 4 4 2) Escreva na forma algébrica o número complexo z=5.(cos270º + i sen270º). Solução: Inicialmente calcula-se o valor do cos270º e sen270º. cos270º = 0 e sen270º = -1 Agora se substitui esses valores no complexo z = 5.(cos 270º +i.sen 270º ) z = 5.[0 + i.(−1)] z = 5.(0 − i ) z = −5i Portanto, a forma algébrica de z = 5.(cos 270º +isen270º ) é z=-5i. Operações na forma trigonométrica ou polar Multiplicação Sejam os números complexos z1 = ρ1(cosθ1 + isenθ1) e z2 = ρ2(cosθ2 + isenθ2) Efetuando a multiplicação entre z1 e z2 , tem-se: z1. z2 = ρ1 (cosθ1 + isenθ1) . ρ2 (cosθ2 + isenθ2) z1. z2=ρ1. ρ2 (cosθ1. cosθ2 + icosθ1. senθ2+ isenθ1. cosθ2+ i2senθ1.senθ2) z1. z2=ρ1. ρ2 [(cosθ1.cosθ2-senθ1.senθ2) + i(cosθ1.senθ2+ senθ1.cosθ2)] 222 Trigonometria e Números Complexos Utilizando as transformações trigonométricas, estudadas na unidade 4, tem-se: z1. z2 =ρ1. ρ2 [cos(θ1+θ2)+isen(θ1+θ2)] Note que para efetuar a multiplicação basta multiplicar os módulos e somar os argumentos dos complexos. Exemplo: Efetue z1. z2 , sendo z1 = 3. cos z2 = 2.(cos 2π 2π + i.sen ) . 3 3 π π + i.sen e 3 3 Solução: Dos complexos retira-se os seguintes dados: π ρ1 = 3 e θ1 = 3 ρ = 2 e θ = 2π 2 2 3 Substituindo-se esses dados em z1. z2 =ρ1. ρ2[cos(θ1+θ2)+isen(θ1+θ2)] tem-se: π 2π π 2π z1 .z2 = 3.2. cos + + isen + 3 3 3 3 3π 3π z1 .z2 = 6. cos + isen 3 3 z1 .z2 = 6. (cos π + isenπ ) Divisão Sejam os números complexos z1 = ρ1(cosθ1 + isenθ1) e z2 = ρ2 (cosθ2 + isenθ2) com z2 ≠ 0 Unidade 5 223 Universidade do Sul de Santa Catarina Efetuando a divisão entre z1 e z2, tem-se: z1 z1 z2 ρ1 .(cos θ1 + isenθ1 ) ρ 2 (cos θ 2 − isenθ 2 ) . = . = z2 z2 z2 ρ 2 (cos θ 2 + isenθ 2 ) ρ 2 (cos θ 2 − isenθ 2 ) ( 2 z1 ρ1 .ρ 2 . cos θ1 .cos θ 2 − cos θ1 .isenθ 2 + isenθ1 cos θ 2 − i senθ1senθ 2 = z2 ρ 2 .ρ 2 . cos 2 θ 2 − i 2 .sen 2θ 2 ( ) ) z1 ρ1 . cos θ1 .cos θ 2 + senθ1senθ 2 + i (senθ1 cos θ 2 − cos θ1 .senθ 2 ) = ρ2 z2 z1 ρ1 . cos (θ1 − θ 2 ) + i.sen (θ1 − θ 2 ) = z2 ρ 2 Como você observa, novamente utilizam-se as transformações trigonométricas estudadas na unidade 4 e, dessa forma, tem-se que: z1 ρ1 . cos (θ1 − θ 2 ) + i.sen (θ1 − θ 2 ) = z2 ρ 2 Note que para efetuar a divisão basta dividir os módulos e subtrair os argumentos dos complexos. Exemplo: Sendo z1 = 12(cos40º+isen40º) e z2 = 2(cos10º+isen10º), calcule z1 . z2 Solução: Dos complexos retira-se os seguintes dados: ρ1 = 12 e θ1 = 40º ρ 2 = 2 e θ 2 = 10º z ρ Substituindo esses dados em 1 = 1 . cos (θ1 − θ 2 ) + i.sen (θ1 − θ 2 ) , z2 ρ 2 tem-se: z1 12 = . cos (40º −10º ) + i.sen (40º −10º ) z2 2 z1 = 6 (cos 30º +isen30º ) z2 224 Trigonometria e Números Complexos Potenciação Considere o número complexo z = ρ.(cosθ + i.senθ). Tem-se que: z2 = z.z z2 = ρ.(cosθ + i.senθ).ρ.(cosθ + i.senθ) Lembre-se que na multiplicação de números complexos, na forma trigonométrica, basta multiplicar os módulos e somar os argumentos. Então, se escreve: z2 = ρ2.(cos2θ + i.sen2θ) Para z3 pode-se escrever: z3 = z2 . z = ρ2.(cos2θ + i.sen2θ) .ρ.(cosθ + i.senθ) z3 = ρ3.(cos3θ + i.sen3θ) Note que cada resultado apresenta o módulo (ρ) elevado ao expoente de z e o argumento (θ) multiplicado por esse expoente. É possível generalizar estes resultados por meio do teorema demonstrado pelo matemático francês Abraham de Moivre: Teorema: Se z = ρ.(cosθ + i.senθ) é a forma trigonométrica do número complexo z e n um inteiro, então: zn = ρn.(cos nθ + i.sen nθ). Unidade 5 225 Universidade do Sul de Santa Catarina Retrospectiva Histórica Figura 5.10: Moivre www.swlearning.com/.../bio8.2.html Acesso em 25/07/06. Abraham de Moivre nasceu em 26 de maio de 1667 em Vitry-le-François, em Champagne na França. Era um matemático famoso pela fórmula de Moivre, que relaciona os números complexos com a trigonometria e pelo seu trabalho na distribuição normal e na teoria das probabilidades. Foi eleito membro da Royal Society em 1697 e era amigo de Isaac Newton e Edmund Halley. Morreu em 27 de novembro de 1754 em Londres. Retirado de “http://pt.wikipedia.org/wiki/Abraham_de_Moivre” Acesso em 25/07/06. Exemplos: 1) Determine (1+i) 8. Solução: Inicialmente devemos escrever o complexo na forma trigonométrica, para isso vamos calcular o módulo e o argumento. 226 Trigonometria e Números Complexos Cálculo do módulo: ρ = a 2 + b2 ρ = 12 + 12 ρ = 1+1 ρ= 2 Cálculo do argumento: a ρ 1 cos θ = 2 cos θ = 2 2 cos θ = b ρ 1 sen θ = 2 sen θ = sen θ = Logo, θ = 45º ou θ = 2 2 π rad . 4 Agora, escreve-se o complexo na forma trigonométrica: ( z = 2 . cos 45 + i sen 45 Logo: z8 = ) ( 2 ) .(cos 8.45º +i sen 8.45º ) 8 z 8 = 24 .(cos 360º + i sen 360º ) z 8 = 16 . (1 + i.0 ) z 8 = 16 Dessa forma, (1+i) 8 = 16. 2) Qual é o valor de ( 3 − i) ? 10 Solução: Para escrever o complexo na forma trigonométrica, calcula-se o módulo e o argumento. Unidade 5 227 Universidade do Sul de Santa Catarina Cálculo do módulo: ρ = a 2 + b2 ρ= ( 3 ) + (−1) 2 2 ρ = 3 +1 ρ= 4 ρ =2 Cálculo do argumento: cos θ = cos θ = a ρ 3 2 b ρ -1 sen θ = 2 sen θ = Logo, θ = 330º ou θ = 11π rad pois, como você observa, fez-se a 6 redução ao primeiro quadrante. Agora, pode-se escrever o complexo na forma trigonométrica: ( ) z = 2. cos 330 + i sen 330 . Logo: z10 = 210 .(cos10.330º +i sen 10.330º ) z10 = 1024.(cos 3300º + i sen 3300º ) z10 = 1024.(cos 60º +i sen60º ) 1 3 z10 = 1024 + i 2 2 z10 = 512 + 512 3 i Dessa forma, 228 ( 3 − i ) = 512 + 512 10 3 i. Trigonometria e Números Complexos Radiciação Sejam z e zk números complexos e n um número inteiro positivo, tal que: (zk) n = z. Nessas condições o número zk é uma raiz n-ésima de z. Veja alguns exemplos: 1) Mostrar que o número zk = 1+i é uma raiz quarta de z=-4. Solução: Deve-se mostrar que (zk) 4 = z. Tem-se que: (zk) 4 = (1+i) 4 Utiliza-se a fórmula de Moivre para calcular essa potência. Para isso, calcula-se o módulo e o argumento. Cálculo do módulo: ρ = a 2 + b2 ρ = 12 + 12 ρ = 1+1 ρ= 2 Cálculo do argumento: a ρ 1 cos θ = 2 cos θ = cos θ = 2 2 b ρ 1 sen θ = 2 sen θ = sen θ = Logo, θ = 45º ou θ = 2 2 π rad . 4 Unidade 5 229 Universidade do Sul de Santa Catarina Agora, pode-se escrever o complexo zk na forma trigonométrica: ( zk = 2 . cos 45 + i sen 45 Logo: (zk ) 4 = ) ( 2 ) .(cos 4.45º +i sen 4.45º ) 4 (zk ) = 22.(cos180º + i sen 180º ) 4 (zk ) = 4 . (-1 + i.0 ) 4 (zk ) = -4 4 Então, 1+i é a raiz quarta de -4. 2) Encontre as raízes quadradas de z = 4 + 4 3 i . Solução: Inicialmente, escreve-se z na forma trigonométrica. Para isso, calcula-se o módulo e o argumento. Cálculo do módulo: ρ = a 2 + b2 ( ) ρ = 42 + 4 3 2 ρ = 16 + 16.3 ρ = 64 ρ =8 Cálculo do argumento: a ρ 4 cos θ = 8 1 cos θ = 2 cos θ = 230 sen θ = b ρ 4 3 8 3 sen θ = 2 sen θ = Trigonometria e Números Complexos Logo, θ = 60º ou θ = π rad . 3 Agora, pode-se escrever o complexo z na forma trigonométrica: π π z = 8. cos + i sen 3 3 Note que o problema é encontrar zk ∈ tal que (zk) 2 = z. Escrevendo-se zk=ρ.(cosθ + i senθ). Logo: (zk) 2 = z 2 π π ρ . (cos θ + i sen θ ) = 8. cos + i sen 3 3 Utilizando a fórmula de Moivre para calcular a potência, vem: π π ρ 2 .(cos 2θ + i sen 2θ ) = 8. cos + i sen 3 3 Essa igualdade se estabelece quando: ρ2 = 8 ρ =2 2 e 2θ = π + k.2π , k ∈ Z 3 θ= π + k.π , k ∈ Z 6 Para obter zk = ρ.(cosθ + i senθ) deve-se atribuir valores inteiros para k: Se k=0, θ = π π π , pois temos θ = + 0.π = . 6 6 6 Logo: π π z0 = 2 2 cos + isen 6 6 3 1 z0 = 2 2 + i. 2 2 z0 = 6 + 2 i Se k=1, θ = 7π π π 7π , pois θ = + 1.π = + π = . 6 6 6 6 Unidade 5 231 Universidade do Sul de Santa Catarina Logo: 7π 7π z1 = 2 2 cos + isen 6 6 − 3 1 z1 = 2 2 − i. 2 2 z1 = − 6 − 2 i Lembre-se que para chegar aos valores do cosseno e do seno fezse redução ao primeiro quadrante. Se k=2, temos que θ = Perceba que 13π π . + 2.π = 6 6 13π é um arco côngruo a π e, dessa forma, o 6 6 número complexo que seria encontrado coincidiria com o complexo z0, a primeira raiz calculada. Isso torna desnecessário atribuir outros valores para k. Finalizando, as duas raízes quadradas de z = 4 + 4 3 i são z0 = 6 + 2 i e z1 = − 6 − 2 i . Para facilitar este cálculo você poderá utilizar a fórmula: θ + k .2π θ + k .2π zk = n ρ cos + i.sen n n procurada. , onde n é o índice da raiz Essa fórmula é chamada de 2a fórmula de Moivre. Note que se obtém raízes distintas quando k=0,1,2,3,...,(n-1), ou seja, n raízes, pois após esses valores de k, as raízes se repetirão. Note o exemplo a seguir: 3) Determinar as raízes cúbicas de z=8. Solução: Tem-se que a 2ª fórmula de Moivre é: θ + k .2π θ + k .2π zk = n ρ cos + i.sen n n 232 Trigonometria e Números Complexos Cálculo do módulo: ρ = a 2 + b2 ρ = 82 + 0 2 ρ = 64 ρ =8 Cálculo do argumento: a ρ 8 cos θ = 8 cos θ = 1 cos θ = b ρ 0 sen θ = 8 sen θ = 0 sen θ = Logo θ = 0 . Portanto a forma trigonométrica do complexo é z = 8(cos 0 + isen0) . Encontram-se as raízes cúbicas de 8 da seguinte forma: θ + k .2π θ + k .2π zk = n ρ cos + i.sen n n 0 + 2 kπ 0 + 2 kπ zk = 3 8 cos + i.sen 3 3 2 kπ 2 kπ zk = 2. cos + i.sen 3 3 O valor de k pode ser 0, 1 e 2, observe: k = 0 ⇒ z0 = 2. (cos 0 + isen0 ) = 2. (1 + i.0 ) = 2 1 3 i 2. = − + = −1 + 3i 2 2 1 4π 4π 3 k = 2 ⇒ z2 = 2. cos + isen = −1 − 3i = 2. − − i 3 3 2 2 2π 2π k = 1 ⇒ z1 = 2. cos + isen 3 3 Unidade 5 233 Universidade do Sul de Santa Catarina Representação geométrica: Figura 5.11: Raízes cúbicas de 8 Observe na figura 5.11 que as três raízes estão sobre uma circunferência, pois temos que as imagens das n raízes de um número complexo, para n ≥ 3, são vértices de um polígono regular de n lados, inscritos numa circunferência de centro na origem e raio n ρ . Dessa forma temos, neste problema, que r = 38 =2. A Física com os Números Complexos Os números complexos são muito úteis para realizar operações geométricas com vetores. Na Física, quando se trabalha com grandezas vetoriais como força, velocidade e aceleração, a correspondência entre as operações com os números complexos e as transformações geométricas são muito úteis. Representação Vetorial Na figura 5.12, observa-se o ponto P, que representa o afixo do número complexo z=a+bi. Este ponto individualiza um vetor com origem em z = 0. 234 Trigonometria e Números Complexos Figura 5.12: Representação vetorial de z=a+bi O número complexo z pode ser concebido como o segmento orientado, vetor, com origem em (0,0) e extremidade em P(a,b). Também, pode ser representado como qualquer vetor obtido pela translação no plano desse vetor. Por exemplo, na figura 5.13 o vetor que vai de A(2,1) a B(5,4) representa o número complexo z = 3 + 3i. Figura 5.13: Representação do complexo z Unidade 5 = 3+3i 235 Universidade do Sul de Santa Catarina As operações, nessa representação seguem as regras vetoriais. Observe a figura 5.14 que mostra a adição (2,4)+(-1,3) = (1,7). Figura 5.14: Adição de números complexos Multiplicar um número complexo por i, corresponde a girar 90º, no sentido positivo ao redor da origem, a imagem desse complexo. Acompanhe o exemplo: (5+2i).i = 5i + 2i2 = -2 +5i Observe a representação vetorial desta operação na figura 5.15: Figura 5.15: Representação do complexo z 236 = -2+5i Trigonometria e Números Complexos Conheça agora como surgiram os números complexos. Retrospectiva Histórica Os números complexos surgiram em meados do século XVI com o matemático italiano Rafael Bombelli, utilizando a fórmula de Gerônimo Cardano para resolver equações do tipo x 3 + ax + b = 0. A equação resolvida foi x 3 − 15 x − 4 = 0 , que aplicando a fórmula de Cardano x = 3 − b a3 b2 3 b a3 b2 + + + − − + ele 2 27 4 2 27 4 obteve o seguinte resultado: x = 3 2 + −121 + 3 2 − −121 . A existência de um radicando negativo era um sinal de que o problema que gerou essa equação não teria solução. Porém, Bombelli sabia, por substituição direta na equação x3 − 15 x − 4 = 0 , que x=4 era uma solução. Embora considerando impossível a existência de −121 , Bombelli teve que admitir a utilidade desse número como ferramenta de cálculo, e observou que era possível escrever −121 de outra forma: −121 = 121. (−1) = 11. −1 . Logo, Bombelli tentou encontrar regras para as raízes quadradas de números negativos; fazendo ( −1 ) =-1. Com suas regras, a fórmula de Cardano 2 funcionava perfeitamente em qualquer caso, o que o deixava seguro de seus resultados. Assim, passou a desenvolver regras para operar com esses novos entes matemáticos, chamando-os de “números fictícios”, “números impossíveis”, “números místicos” ou “números imaginários”. Foi Euler, mais tarde, que substituiu −1 pela letra i, dando assim a idéia para a unidade de um novo conjunto numérico: O conjunto dos números complexos. Unidade 5 237 Universidade do Sul de Santa Catarina Síntese Ao término desta unidade você já pode dizer que conhece um novo conjunto numérico: o conjunto dos números complexos. É importante que você tenha percebido que, no conjunto estudado, os números apresentam duas representações: algébrica e trigonométrica. Na forma algébrica as operações que podem ser desenvolvidas são adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação, enquanto que, na forma trigonométrica, não se desenvolve adição e subtração, mas trabalha-se com a radiciação. Com a conclusão desta unidade, você encerra esta disciplina. Todo o estudo desenvolvido ao longo das unidades, com certeza, trouxe-lhe conhecimentos que contribuirão para o desenvolvimento de suas atividades como profissional da educação. É importante que você verifique, no EVA, se suas atividades estão todas prontas e revisadas. Atividades de auto-avaliação 1) Resolva as equações no universo dos números complexos: a) x2 + 4 = 0 b) x2 – 4 x + 5 = 0 238 Trigonometria e Números Complexos 2) Resolva a equação z2 – 3iz = 0 com z ∈ . 3) Determine x e y, para que o número complexo z = (4 x – 2) + (y2 – 4) i seja: a) um número real. b) Um número imaginário puro. 4) Calcule: a) (2 + 3i) + (2 – i) b) (6 – i) + (5 – 2i) – (4 + 2i) 2 1 + i − − i + (4 − 2i ) 3 2 c) Unidade 5 239 Universidade do Sul de Santa Catarina 5) Efetue: a) (2 – i).(1 + 3i) 1 1 + i . − i 2 2 b) c) (1 + i).(2 – i).(1 + 2i) 6) Expresse os seguintes números complexos na forma a+bi: −2 + i 2i 4 + 2i b) 2 − 2i a) (1 + i ) c) 2 2−i 7) Qual o conjugado do número complexo z = 240 3 ? 1 + 2i Trigonometria e Números Complexos 8) Determine o valor real de x para que o produto (12 – 2i).[18 + (x – 2).i] seja também um número real. 9) Dado o complexo z = a + bi. A soma de z com seu conjugado é 18 e o produto de ambos é 145. Determine o módulo de ab. 10) Calcule a e b reais de modo que i 250 + i104 + 2i 37 = a + bi . 11) Calcule a potência de i para i8 n + 3, tal que n ∈ N*. 12) Simplificando (2 + i )101.(2 − i )50 , obtém-se: (−2 − i )100 .(i − 2) 49 Unidade 5 241 Universidade do Sul de Santa Catarina 13) Se z = i 38 + (10 − i ).i 3 , determine ρ 2 . (1 − i ) 2 k + 2i 14) Se k é um número real e o argumento de z = é 45º, então 3 − 2i calcule |z|. 15) Seja o número complexo z = (x – 2i) 2, no qual x é um número real. Se o argumento de z é 270º, então calcule 1 . z 16) Determine o valor de f(z) = 2 z2 + 4 z + 5, sendo z = i – 1. 242 Trigonometria e Números Complexos 17) Sendo z1= 4.(cos10º + i.sen10º) e z2= 2.(cos20º + i.sen20º) determine z1.z2. 18) Sendo z1 = 2(cos30º + i sen30º) e z2 = 4(cos60º + i sen60º), qual o valor de z2 ? z1 19) Calcule: a) (1 – i) 6 100 1 3 b) − + 2 2 i Unidade 5 243 Universidade do Sul de Santa Catarina 20) Calcule: a) As raízes quadradas de z = 2 + 3i . b) As raízes quartas de z=-4. Desafios em números complexos 1) (ITA) O número natural n tal que (2i)n + (1 + i) 2n = - 16i, onde i é a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, vale: 2) Seja i a unidade imaginária de um número complexo e sabendo que i2 = - 1, então o valor da expressão (-i) 200 + (2 + i).(2 – i) + i3 , é: 244 Trigonometria e Números Complexos 3) (ITA-SP) Considere no plano complexo, um polígono regular cujos vértices são as soluções da equação z6 =1. Qual a área deste polígono? Saiba mais Uma sugestão para você enriquecer seus conhecimentos sobre os conteúdos trabalhados nesta unidade, é fazer uma pesquisa na Internet, buscando a aplicabilidade dos números complexos. Para isso, use um site de busca, utilizando a expressão “Aplicações de Números Complexos”. Você encontrará interessantes aplicações. Compartilhe com seus colegas essas aplicações no EVA por meio da ferramenta Exposição. Unidade 5 245 Para concluir o estudo Ao término desta disciplina gostaríamos de deixar uma mensagem para você, futuro professor de Matemática, realçando a importância dos conteúdos aqui trabalhados, no desenvolvimento de suas atividades na sala de aula. O exercício de sua futura profissão requer o conhecimento de todos os conteúdos de Matemática estudados no seu curso, porém, você deve ir além dos conteúdos, objetivando um ensino que instigue e ofereça ao aluno oportunidades para uma educação de qualidade. Esperamos que tenha aproveitado bem as estratégias metodológicas, relacionadas com o uso de diferentes mídias e tecnologias, utilizadas no desenvolvimento dessa disciplina, pois, lembre-se, professores de Matemática precisam saber usar, na sua prática, tecnologias de modo geral, em especial softwares educacionais. O uso de softwares reforça a linguagem gráfica e, dessa forma, inova o ensino da Matemática. Por fim, esperamos que esta disciplina contribua para sua formação. Sucesso!!! Sobre os professores conteudistas Eliane Darela Mestre em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) e licenciada em Matemática pela UFSC. É professora horista na UNISUL desde 1998, onde tem desenvolvido suas atividades com alunos das Engenharias, Administração e Matemática. É, também, professora de Matemática do Ensino Médio na Rede Pública Estadual, desde 1989. Paulo Henrique Rufino Especialista em Matemática Superior pela Fundação Educacional Severino Sombra, Vassouras - Rio de Janeiro. É licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC. É professor horista na UNISUL desde 1992, onde tem desenvolvido suas atividades com alunos da Matemática, Licenciatura em Química, Administração, Tecnologia em Gestão de Agronegócios e Gestão Estratégica das Organizações. É professor Tutor da Unisul Virtual, na disciplina Matemática Financeira. Atua, também, como professor de Ensino Médio no Colégio Energia e na Rede Pública Estadual, desde 1991. Rosana Camilo da Rosa Mestre em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC) e licenciada em Matemática pela UFSC. É professora horista na UNISUL desde 1993, onde tem desenvolvido suas atividades com alunos das Engenharias, Química Industrial, Arquitetura e Urbanismo, Ciência da Computação e Matemática. É professora do Ensino Médio no Colégio Dehon, colégio vinculado a UNISUL e, também, atua como professora de Matemática no Ensino Médio da Rede Pública Estadual, desde 1989. Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação Unidade 1 1) Considerando o triângulo eqüilátero ABC de lado a, deduza os valores do seno, do cosseno e da tangente de 30º e 60º. Solução: Vamos considerar o ∆AHC, onde você pode observar que é o retângulo, tem-se  = 30 , , AC = a , HC = a e AH = h . 2 No primeiro momento vamos usar o teorema de Pitágoras para obtermos h em função de a, e, dessa forma, calculamos as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente de 30º e 60º. a a = h + 2 2 a a2 − = h2 4 2 3a = h2 4 a 3 h= 2 2 2 2 Universidade do Sul de Santa Catarina a cat.oposto 2 1 = = sen 30º = hipotenusa a 2 a 3 cat.adj 3 = 2 = cos 30º = hipotenusa a 2 a cat.oposto 1 1 3 3 = 2 = = = tg 30º = . cat.adj 3 a 3 3 3 3 2 a 3 2 = 3 a 2 a cat.adj 1 cos 60º = = 2 = hipotenusa a 2 cat.oposto sen 60º = = hipotenusa cat.oposto tg 60º = = cat.adj a 3 2 = 3 a 2 2) Qual o valor de a e c no triângulo ABC? Observe que o triângulo ABC é retângulo em A e, dessa forma, tem-se: ∧ B = 30o , cat.oposto = 18 , cat.adj. = c e hipotenusa = a . 252 Trigonometria e Números Complexos Utilizando as razões trigonométricas, pode-se encontrar as medidas solicitadas no problema. 18 1 18 ⇒ = ⇒ a = 36 a 2 a c 3 c cos 30º = ⇒ = ⇒ 2c = 36 3 ⇒ c = 18 3 36 2 36 sen 30º = 3) Calcule as medidas desconhecidas indicadas nos triângulos abaixo: a) Utilizam-se as razões trigonométricas para calcularmos as medidas solicitadas x e y, tem-se: cos 60º = 1 9 = 2 x x = 18 sen 60º = 9 x y x 3 y = 2 18 y=9 3 b) 253 Universidade do Sul de Santa Catarina Utilizam-se as razões trigonométricas para calcular as medidas solicitadas x e y, dessa forma, tem-se: sen 60º = 2 3 y 3 2 3 = 2 y y=4 2 3 x 2 3 3= x x=2 tg 60º = 4) Considere o trapézio retângulo ABCD da figura e determine as medidas x e y indicadas: Reescrevendo o trapézio, tem-se: Para encontrar o valor de x utiliza-se a razão cosseno, observe: cos 45º = 13 x 2 13 = 2 x 26 2 x= . 2 2 x = 13 2 254 Trigonometria e Números Complexos Agora, para encontrar o valor de y tem-se: tg 45º = y 13 y = 13 y 13 1= 5) Observando a seguinte figura, determine: a) O valor de a; b) O valor de b; c) A medida do segmento AD. a) O valor de a pode ser encontrado utilizando a razão tangente, veja: a 100 a 0, 466 = 100 a = 46, 6 tg 25º = b) Para encontrar o valor de b utiliza-se, novamente, a razão tangente: 46, 6 b 46, 6 2, 75 = b 46, 6 b= 2, 75 b = 17 tg 70º = 255 Universidade do Sul de Santa Catarina c) A medida desconhecida AD calcula-se da seguinte forma: AD = AB – DB AD = 100 - b AD = 100 – 17 AD = 83 6) Calcule o valor de x e y indicados na figura abaixo: Inicialmente, calcula-se o valor do segmento DB utilizando a razão cosseno no ∆ADB: cos 45º = 4 DB 2 4 = 2 DB DB 2 = 8 DB = 8 2 . 2 2 DB = 4 2 Agora, calcula-se os valores de x e y no ∆DBC. tg 30º = 2 2 y 3 2 2 = 3 y y 3=6 2 y= 6 2 3 . 3 3 y=2 6 256 sen30º = x 4 2 1 x = 2 4 2 2x = 4 2 x=2 2 Trigonometria e Números Complexos 7) Observe o triângulo a seguir, sabendo que a medida do lado AD é 40 cm, encontre a medida do lado BC. Observando a figura, tem-se que: ∧ ∧ A D C = 120º , logo C = 30º dessa forma o ∆ADC é isósceles. Assim, pode-se escrever que AD = DC = 40cm . Logo, o ∆BDC é retângulo retângulo. Portanto, sen 60º = x 40 3 x = 2 40 x = 20 3 8) Duas pessoas A e B estão situadas na mesma margem de um rio, distante 60 3 m uma da outra. Uma terceira pessoa C, na outra margem, está situada de tal modo que AB seja perpendicular a AC e a medida do ângulo seja 60º. Determine a largura do rio. De acordo com enunciado, temos a seguinte figura, onde d representa a largura do rio: 257 Universidade do Sul de Santa Catarina O ∆ABC é retângulo em A. Usando a razão tangente, temos: 60 3 d 60 3 3= d d = 60m tg 60º = Logo, a largura do rio é de 60 metros. 9) Uma árvore projeta uma sombra de 30m quando o sol se encontra a 64º acima da linha do horizonte. Qual a altura da árvore? Note que, de acordo com a figura para resolver este problema, usaremos a razão tangente: h 30 h 2, 05 = 30 h = 30.2, 05 h = 61,50m tg 64º = Logo, a altura da árvore é de 61,50 metros. 10) (VUNESP/99) - Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando um ângulo de 45º. Um posto de gasolina se encontra na rodovia A, a 4Km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C, perpendicular a rodovia B. Qual a distância, em Km, do posto de gasolina a rodovia B, indo através de C? 258 Trigonometria e Números Complexos De acordo com o problema, temos a seguinte figura, onde x representa a distância procurada: Dessa forma, podemos aplicar razão trigonométrica seno para a resolução do problema: sen 45º = x 4 2 x = 2 4 2x = 4 2 x = 2 2km A distância procurada é de 2 2 km . 11) Um estudante de Matemática vê um prédio, do Campus da UNISUL de Tubarão SC, construído em um terreno plano, sob um ângulo de 30º. Aproximando-se do prédio por mais 20 metros, passa a vê-lo sob um ângulo de 60º. Considerando que a base do prédio está no mesmo nível do olho do estudante, determine a altura do prédio e a que distância está o estudante do mesmo. A seguinte figura faz a representação do problema, onde h é a altura do prédio e x a distância do estudante ao prédio: Note que o triângulo BCD é isósceles, pois tem-se: ∧ B D C = 120º log o ^ B = 30º 259 Universidade do Sul de Santa Catarina Dessa forma, CD = DB = 20m . O ∆ADB é retângulo em A, portanto, podemos utilizar a razão seno para o cálculo da medida h e a razão cosseno para o cálculo da medida x: sen60º = h 20 3 h = 2 20 2h = 20 3 cos 60º = 1 x = 2 20 x = 10 x 20 h = 10 3 Logo, a altura do prédio é de 10 3m e o estudante está a 10m de distância do prédio. 12) Determine, na figura abaixo, a medida do lado AB, sabendo-se a medida do lado AC é 3 3cm . Para resolver este problema vamos usar a Lei dos Senos, pois o ∆ABC é um triângulo qualquer onde se conhece a medida de dois ângulos e a medida de um de seus lados. x 3 3 = sen 45º sen 60º x.sen 60º = 3 3.sen 45º 3 3 3. 2 = 2 2 x=3 2 x. 13) No triângulo RPM, determine o valor de x sabendo que: ^ ^ MP= 10 2 cm; med( M )=60º e med( P )=75º. 260 Trigonometria e Números Complexos Usando o teorema angular de Tales, temos: ^ ^ ^ ^ ^ R + M + P = 180º ⇒ R + 60º +75º = 180º ⇒ R = 45º Aplicando a Lei dos Senos, temos: 10 2 x = sen 45º sen 60º x.sen 45º = 10 2.sen 60º 2 3 = 10 2. 2 2 x = 10 3 x. 14) Determine o valor de x na figura abaixo: Usando o teorema angular de Tales, temos: ^ ^ ^ A+ B + C = 180º ^ 105º + B + 30º = 180º ^ B = 180º −135º ^ B = 45º Aplicando a Lei dos Senos, temos: x 5 2 = sen 45º sen 30º x.sen 30º = 5 2.sen 45º 1 2 x. = 5 2. 2 2 x = 10 261 Universidade do Sul de Santa Catarina 15) Qual o perímetro do quadrilátero ABCD? No ∆ABD, vamos usar a Lei dos cossenos por ser um triângulo qualquer, onde se conhece a medida de dois lados e um ângulo. x 2 = 12 + 22 − 2.1.2.cos 60º 1 x 2 = 1 + 4 − 4. 2 2 x = 5−2 x2 = 3 x= 3 No segundo momento, vamos usar as razões trigonométricas no ∆DBC, para podermos calcular o perímetro. tg 30º = a 3 3 a = 3 3 3a = 9 a =1 cos 30º = 3 b 3 3 = 2 b b=2 P = AD + DC + CB + BA P = 1+ 2 +1+ 2 P=6 262 Trigonometria e Números Complexos 16) Dois ângulos de um triângulo medem 60º e 75º. Se o lado oposto ao menor ângulo mede 18 2 cm, qual é o comprimento do lado oposto ao ângulo de 60º do triângulo? Usando o teorema angular de Tales, temos: ∧ ∧ ∧ A+ B + C = 180º ∧ 60º +75º + C = 180º ∧ C = 45º Aplicando a Lei dos senos, temos: x 18 2 = sen60º sen 45º x.sen 45º = 18 2.sen60º 2 3 = 18 2. 2 2 x = 18 3 x. 17) Os lados de um paralelogramo medem cada um 8cm, e o menor ângulo que eles formam, mede 60º. Calcule a medida em cm da menor das diagonais deste paralelogramo. 263 Universidade do Sul de Santa Catarina Aplicando a Lei dos cossenos, para o ∆ABC, temos: x 2 = 82 + 82 − 2.8.8.cos 60º 1 x 2 = 64 + 64 − 128. 2 2 x = 64 + 64 − 64 x 2 = 64 x = 8cm 18) Prove a lei dos cossenos quando: a) o ângulo  for reto Demonstração b) o ângulo  for obtuso Demonstração 19) Prove a lei dos senos quando: a) o ângulo  for reto Demonstração b) o ângulo  for obtuso Demonstração Desafios na Trigonometria 1) (ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a cm, se forem satisfeitos as relações 3a=7c e 3b=8c? 7c 3a = 7c ⇒ a = 3 3b = 8c ⇒ b = 8c 3 264 Trigonometria e Números Complexos Aplicando a Lei dos cossenos para resolver este problema tem-se: ^ a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c.cos A 2 2 ∧ 8c 7c 8c 2 = + c − 2. .c.cos A 3 3 3 ∧ 49c 2 64c 2 16c 2 .cos A = + c2 − 9 9 3 ∧ 49c 2 = 64c 2 + 9c 2 − 48c 2 .cos A ∧ 49c 2 − 73c 2 = −48c 2 .cos A ∧ −24c 2 = −48c 2 .cos A ∧ 24 cos A = 48 ∧ 1 cos A = 2 ∧ A = 60º 2) (Unicamp-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa d’água a 50m de distância. A distância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa d’água/bomba e caixa d’água/casa é de 60º. Se pretendemos bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento são necessários? De acordo com o enunciado do problema, temos: 265 Universidade do Sul de Santa Catarina Aplicando a Lei dos cossenos, temos: x 2 = 502 + 802 − 2.50.80.cos 60º 1 x 2 = 2500 + 6400 − 8000. 2 2 x = 8900 − 4000 x 2 = 4900 x = 70m Unidade 2 1) Expresse em graus (º): a) 5π rad 3 b) 4π rad 3 c) 7π rad 6 d) π rad 9 Solução: Para transformar de radiano para graus, basta substituir π rad por 180º . 1.a) 5π rad 3 5.180º = 5.60º = 300º 3 1.b) 4π 4.180º rad = = 4.60º = 240º 3 3 1.c) 7π 6 1.d) π 9 266 rad = rad = 7.180º = 7.30º = 210º 6 180º = 20º 9 Trigonometria e Números Complexos 2) Expresse em radianos(rad): a) 20º b) 315º c) 120º d) 67º30´ Solução: Para transformar de graus para radiano, basta multiplicar por 2.a) 20º 20º. π rad . 180º π π rad = rad 180º 9 2.b) 315º 315º. π 35π 7π rad = rad = rad 180º 20 4 2.c) 120º 120º. π 2π rad = rad 180º 3 2.d) 67º 30´ 1º → 60´ 67º → x x= 67º.60′´ = 4020′ 1º Logo, 67º 30´= 4020´+30´= 4050´ . 1º → 60´ 180º → y y= 180º.60′ = 10800′ 1º 267 Universidade do Sul de Santa Catarina Portanto, 10800´→ π rad 4050´→ z 4050′.π z= rad 10800′ 81π z= rad 216 9π z= rad 24 3π z= rad 8 3) Encontre o comprimento de uma circunferência de raio 10 cm. Adote π = 3,14. r = 10cm π = 3,14 C = 2π r C = 2.3,14.10 C = 62,8cm 4) A roda de uma bicicleta tem 100 cm de diâmetro. Determine o número de voltas efetuadas pelas rodas quando a bicicleta percorre 14,13 km. Como o diâmetro vale: d= 100cm Tem-se que o raio é r = 50cm.= 0,5m A distância a ser percorrida é de 14,13km = 14130m e o comprimento de uma roda de bicicleta é igual a C = 2.π . r ⇒ C = 2.3,14.0,5 ⇒ C = 3,14m . Logo, o número de voltas efetuadas será a razão entre a distância e o comprimento da roda. Número de voltas = 268 14130 = 4500 . 3,14 Trigonometria e Números Complexos 5) O comprimento do arco AB na circunferência abaixo é: Dados do problema: r = 3cm α = 60º l =? Aplicando a fórmula, temos : 2.π . r.α l= 360º π .α .r l= 180º 3,14.60º.3 l= 180º l = 3,14cm 6) Determine em que quadrante está a extremidade de cada arco: a) 1550º Para encontrar a extremidade do arco tem-se que encontrar a primeira determinação positiva do mesmo: Dessa forma, nota-se que a primeira determinação positiva de 1550º é 110º, que é um arco do 2o quadrante, logo, pode-se concluir que a extremidade do arco de 1550º está no 2o quadrante. b) 95π rad 6 Para encontrar a extremidade do arco tem-se que encontrar a primeira determinação positiva do mesmo: 11π 95π 84π 11π = + = 14π + 6 6 6 6 269 Universidade do Sul de Santa Catarina Dessa forma, nota-se que a primeira determinação positiva de 95π 11π rad é rad que é um arco do 4o quadrante, logo, pode-se 6 6 95π rad está no 4o quadrante. concluir que a extremidade do arco de 6 c) - 65π rad 6 Para encontrar a extremidade do arco tem-se que encontrar a primeira determinação positiva do mesmo: - 65π 60π 5π 4π =− − = −10π − 6 6 6 6 Tem-se que − 2π rad é a primeira determinação negativa do arco e 3 devemos achar a primeira determinação positiva: 2π − 2π 4π = rad 3 3 Dessa forma, nota-se que a primeira determinação positiva de 65π 4π rad é rad que é um arco do 3o quadrante, logo pode6 3 65π se concluir que a extremidade do arco de − rad está no 3o 6 quadrante. − 7) Ache a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a: a) -760º Vamos dividir − 760º por 360ºpara encontrar a1ª determinação positiva Tem-se que -40º é a primeira determinação negativa de -760º. Assim a primeira determinação positiva é 360º-40º=320º. Logo, a expressão geral será: EG=320º+k.360º, k∈Z b) 3120º Vamos dividir 3120º por 360ºpara encontrar a1ª determinação positiva 270 Trigonometria e Números Complexos Assim, a primeira determinação positiva de 3120º é 240º. Logo, a expressão geral será: EG=240º+k.360º, k∈Z c) 15π rad 2 Vamos representar o número 15π 15π 3π rad por = 6π + 2 2 2 3π é 1ªdeterminação positiva 2 3π EG = + 2 kπ , k ∈ Z . 2 d) - 25π rad 4 Vamos representar o número − 25π 25π π por − = −6π − 4 4 4 π rad é a primeira determinação negativa, vamos encontar a1ª determinação positiva: 4 π 8π − π 7π = 2π − = . 4 4 4 7π 25π Logo rad é 1ªdeterminação positiva de − rad 4 4 Assim, a expressão geral será: 7π EG = + 2kπ , k ∈ Z. 4 Como - 8) Dada a expressão geral EG = 30º + 360ºk, calcule a 2ª determinação positiva e a 3ª determinação negativa. Se k=1, tem-se a 2a determinação positiva. Logo, a 2ª determinação positiva é 30º + 360º.1=390º Se k=-3, tem-se a 3a determinação negativa. Logo, a 3ª determinação negativa é 30º + 360º.(-3) = -1050º. 271 Universidade do Sul de Santa Catarina 9) Dê a expressão geral dos arcos côngruos a 15π rad. Vamos representar o número 2 15π 3π = 6π + 2 2 15π por 2 3π rad é a primeira determinação positiva . 2 Logo a expressão geral é: 3π EG = + 2kπ ,k ∈ Z. 2 10) Identifique quais pares de arcos são côngruos? a) π 30π rad e rad 3 3 Inicialmente calcula-se a primeira determinação positiva de que é 0 rad, pois . 30π rad 3 30π rad = 10π + 0 . 3 Logo, esse par de arcos não é côngruo. b) – 30º e 330º Inicialmente calcula-se a primeira determinação positiva de-30º, que é 360º-30º=330º. Logo, esse par de arcos é côngruo. c) 2º e 1082º Inicialmente, calcula-se a primeira determinação positiva de 1082º, que é 2º, pois, Logo, esse par de arcos é côngruo. 11) Determine: a ) sen 390º = sen(360º +30º ) = sen 30º = 1 2 b) cos 1845º = cos(1800º +45º ) = cos 45º = c) sen 5π 5π = sen 2π − 3 3 2 2 π 3 = − sen = − 3 2 d ) sen 600º = sen(360º +240º ) = sen 240º = sen(240º −180º ) = sen 60º = e) cos 480º = cos(360º +120º ) = cos120º = cos(180º −120º ) = cos 60º = 272 1 2 3 2 Trigonometria e Números Complexos Obs: Para determinar os valores acima, foram usadas noções de arcos côngruos e a redução ao 1º quadrante. 12) Determine o valor da expressão: a) A= sen330º-2.cos0º+sen60º A = sen330º −2.cos 0º + sen60º A = sen (360º −330º ) − 2.cos 0º + sen60º A = − sen30º −2.cos 0º + sen60º 1 3 A = − − 2.1 + 2 2 −5 + 3 A= . 2 b) B= sen 3x + cos 8x - cos 2x para x= Substituindo x por π , tem-se: 2 B = sen3 x + cos8 x − cos 2 x π . 2 para π π π + cos8. − cos 2. 2 2 2 3π + cos 4π − cos π B = sen 2 3π + cos 2π − cos π B = sen 2 B = −1 + 1 − (−1) B =1 x= π 2 B = sen3. c) C = sen 7π − cos 3π 3 13π sen 6 273 Universidade do Sul de Santa Catarina Para encontrarmos o valor de C, vamos usar a definição de arcos côngruos. 6π π sen + − cos (2π + π ) 3 3 C= 12π π sen + 6 6 π sen − cos π 3 C= π sen 6 3 3+2 − (−1) C= 2 = 2 = 3 + 2. 1 1 2 2 Desafios na Trigonometria Um aro circular de arame tem 2 cm de raio. Esse aro é cortado, e o arame é estendido ao longo de uma polia circular de raio 9 cm. Qual é o ângulo central, em graus, que o arco formado pelo arame determina na polia? Dados do problema: r1=9cm r2=2cm Calcula-se o comprimento da circunferência C2: C2 = 2.π . r C2 = 2.π .2 = 4π cm Observe a figura: 274 Trigonometria e Números Complexos C1 = 2.π .r C1 = 2.π .9 = 18π Agora encontra-se o valor do arco x: 18π → 360º 4π → x 360º.4π 20º.4 = = 80º x= 18π 1 Logo, o valor do ângulo central é 80º. Unidade 3 1) Determine: a ) tg 37π 3 π 36π π = tg + = tg = 6 6 6 3 6 b) cot g 7π 3π 4π 3π = cot g + =0 = cot g 2 2 2 2 5π c ) sec − 4 d ) cos ec e ) tg 5π = sec 2π − 4 3π 3π = sec π − = sec 4 4 1 π =− 2 = − sec = − 4 2 2 31π 7π 1 π 24π 7π 7π = cos ec + = cos ec − π = − cos ec = − = −2 = cos ec 1 6 6 6 6 6 6 2 5π 5π π = tg 2π − = −tg = − 3 3 3 3 275 Universidade do Sul de Santa Catarina 3π π .tg − tg 0 3 4 2) Qual o sinal da expressão: y = . π 5π tg − .tg − 3 6 π 3π − tg 0 tg .tg 3 4 y= π 5π tg − .tg − 3 6 π π tg . −tg − tg 0 3 4 y= 5π 7π tg .tg 3 6 3 . (−1) − 0 1 y= π π −tg .tg 3 6 − 3 y= 3 − 3. 3 y= 3 tg 3) Determine o valor da expressão: a) A = sen3x + cos8x - tg2x para x= Substituindo x por π , temos: 2 3π 8π 2π + cos − tg 2 2 2 3π + cos 4π − tgπ A = sen 2 A = −1 + 1 − 0 = 0 A = sen b) B = 276 sen 7π − cos 3π 3 13π tg 6 π. 2 Trigonometria e Números Complexos 6π π sen + − cos(2π + π ) 3 3 B= 12π π + tg 6 6 π sen − cos π 3 B= π tg 6 3 3+2 − (−1) 3+2 3 . = 2 = = B= 2 2 3 3 3 3 3 ( 4) Que número é maior: tg 3π π = −tg = −1 4 4 5π π 3 = −tg = − tg 6 6 3 ) ( 3 + 2). 3 . 2 3 3 3+ 2 3 = 2 3 3π 5π ou tg ? 4 6 tg Esses valores foram obtidos utilizando redução ao primeiro quadrante. Logo, tg 5π 3π > tg . 6 4 5) Construa o gráfico e faça a análise das características e propriedades das funções: a ) y = −2 + sen x x b) y = 2.cos 4 c) y = 3 − sen 2 x Neste exercício sugere-se a utilização do software GRAPH 4.1. Observe as análises feitas no exercício 6. 277 Universidade do Sul de Santa Catarina 6) Analisando os gráficos: y = sen 2 x 278 Trigonometria e Números Complexos y = 2 + cos x 279 Universidade do Sul de Santa Catarina x y = tg 2 Responda os itens a seguir: a) Qual o domínio de cada uma das funções representadas? b) Qual é o conjunto imagem de cada uma das funções representadas? c) Em que intervalo a função y = sen 2 x é negativa? d) Em que intervalo a função y = 2 + cos x é positiva? x? 2 e) Qual o período da função y = tg 280 Trigonometria e Números Complexos a) b) c) y = sen 2 x D=R y = 2 + cos x D=R x y = tg D = { x ∈ R / x ≠ π + k 2π } 2 y = sen 2 x Im = [ −1,1 ] y = 2 + cos x Im = [ 1,3 ] x y = tg Im = ] − ∞ , ∞ [ 2 π 3π 2 ;π e 2 , 2π d ) [0; 2π ] e ) P = 2π 7) Determine o valor de k sabendo que sen x = 3k - 7. Sabe-se que −1 ≤ sen x ≤ 1 , tem-se: −1 ≤ senx ≤ 1 −1 ≤ 3k − 7 ≤ 1 7 − 1 ≤ 3k − 7 + 7 ≤ 1 + 7 6 ≤ 3k ≤ 8 (÷3) 6 3k 8 ≤ ≤ 3 3 3 8 2≤k ≤ 3 8 3 Logo: k ∈ R | 2 ≤ k ≤ 8) Qual a imagem da função f(x) = 5 + cos x? f ( x) = 5 + cos x a=5 b =1 a − b = 5 −1 = 4 a + b = 5 +1 = 6 Im = [4, 6] 281 Universidade do Sul de Santa Catarina 9) Um corpo faz seu Movimento Harmônico Simples segundo a equação π t + π , em que t é o tempo transcorrido, 4 horária y(t) = 4 + 3.cos em segundos e y é a distância, em cm, da extremidade A do corpo à parede, conforme ilustração a seguir: a) represente esta situação graficamente, utilizando o software GRAPH; b) qual o ponto de partida do corpo? O ponto de partida corresponde ao instante inicial, ou seja, t=0: π y (0) = 4 + 3.cos .0 + π 4 y (0) = 4 + 3.cos π y (0) = 1 A extremidade a estava a 1cm da parede. 282 Trigonometria e Números Complexos c) qual o seu período de oscilação? P= 2π 2π = = 8 segundos π m 4 d) Qual a amplitude do movimento? Calcula-se a amplitude subtraindo o valor máximo atingido pela função do valor mínimo: 7-1 = 6cm. 10) Determine o domínio de cada uma das funções: π a ) y = tg 5 x − 4 π π 5 x − ≠ + kπ 4 2 20 x − π 2π + 4kπ ≠ 4 4 20 x ≠ 3π + 4kπ 3π 4kπ + x≠ 20 20 3π π +k x≠ 20 5 π 3π +k } D = {x ∈ IR / x ≠ 20 5 π b) y = cot g x + 2 π x + ≠ kπ 2 π x ≠ − + kπ 2 π D = {x ∈ IR / x ≠ − + kπ } 2 c) y = sec (3 x − π ) π + kπ 2 6 x − 2π π + 2kπ ≠ 2 2 6 x ≠ 3π + 2kπ π π π π x ≠ +k D = {x ∈ IR / x ≠ + k } 2 3 2 3 π d ) y = cos ec 2 x + 3 π 2 x + ≠ kπ 3 3x − π ≠ 283 Universidade do Sul de Santa Catarina 1 2 11) Qual o valor de y = tg 2. arccos ? Para encontrarmos o valor de y, vamos considerar arccos 1 = x e usar a definição. 2 Logo, o arco cujo cosseno vale 1 é x = π rad . 3 2 2π π =− 3. = tg 3 3 Portanto, y = tg 2 12) Encontre o valor de y = tg 2. arcsen 3 . 2 Para encontrarmos o valor de y, vamos considerar arcsen 3 = x e usar a definição. 2 Logo, o arco cujo seno vale 3 é x = π rad . 3 2 2π 2π π = tg π − = tg 3 3 3 Portanto, y = tg 2 13) Determine o valor de y = arctg 3 + arctg Para calcular o valor de y, vamos considerar: arctg 3 = a e arctg 3 . 3 π π Logo, a = e b = . 3 6 tg a = 3 e tg b = 284 3 =b 3 π = −tg = − 3 . 3 3 . 3 Trigonometria e Números Complexos Portanto, y = π π π + = . 3 6 2 Desafios na Trigonometria 1) (Vunesp - adaptado) Uma equipe de agrônomos coletou dados da temperatura (em oC) do solo em uma determinada região, durante três dias, a intervalos de 1 hora. A medição da temperatura começou a ser feita às três horas da manhã no primeiro dia (t=0) e terminou 72 horas depois (t=72). Os dados puderam ser aproximados pela função 3π π y(t) = 15 + 5sen t + onde t indica o tempo (em horas) 2 12 decorrido após o início da observação de y(t) à temperatura (em oC) no instante t. Detemine: a) O gráfico que representa esta situação (use o software GRAPH); 285 Universidade do Sul de Santa Catarina b) a temperatura máxima atingida e o horário em que esta temperatura ocorreu no primeiro dia de observação. A temperatura máxima atingida foi de 20º C, pois, para t=12 tem-se: 3π π y(t) = 15 + 5sen t + 2 12 3π π y( 12 ) = 15 + 5sen .12 + 2 12 5π y( 12 ) = 15 + 5.sen 2 y( 12 ) = 15 + 5.1 y( 12 ) = 20 A temperatura máxima ocorreu às 15 horas, pois a medição iniciou-se às 3 horas da manhã. Logo, 12+3=15. 3 1 3 − arcsen 2) (Mack-SP) O valor de tg 5arctg pode ser dado 3 4 2 por: a) 0 b) 1 c) 1 2 d) -1 e) − 1 2 3 3 = a e arcsen = b e aplicando a definição das funções circulares 3 2 3 3 inversas teremos tg a = e senb = . 3 2 π π Logo, a = e b = . 6 3 3π π π 1 π 5π π 3π Portanto, tg 5. − . = tg − = tg = tg π = − tg = −1. 4 4 4 6 4 3 6 12 Vamos considerar arctg 3) O valor de 2arctg 3 + arcsen a) 5π 6 286 1 1 + arccos é: 2 2 Trigonometria e Números Complexos b) π 2 c) π 6 7π d) 6 e) π 1 1 = b e arccos = c e aplicando a definição das funções 2 2 1 1 circulares inversas, tem - se : tg a = 3 ,senb = e cosc = . 2 2 π π π Logo, a = , b = e c = . 3 6 3 π π π 7π rad Portanto, 2. + + = 3 6 3 6 Vamos considerar arctg 3 = a,arcsen Unidade 4 1 3π 1) Sabendo que sen x = − e que π < x < , então determine o valor 2 2 de cos x. Para determinarmos o valor do cos x, vamos usar a 1ª relação fundamental da trigonometria. senx = − 1 2 com π <x< 3π 2 cos x = ? 2 1 1 sen x + cos x = 1 ⇒ cos x = 1 − sen x ⇒ cos x = 1 − − ⇒ cos 2 x = 1 − ⇒ 4 2 2 2 2 2 2 3 3 ⇒ cos x = ± 4 4 Como x é um arco do 3º quadrante, onde o cosseno é negativo, temos: cos 2 x = cos x = − 3 . 2 287 Universidade do Sul de Santa Catarina 2) Sabe-se que sen x = − 3 3π e < x < 2π . Qual o valor da cotg x? 5 2 Inicialmente calcularemos o valor do cos x, utilizando a 1ª relação fundamental da trigonometria: 3 com 5 cos 2 x = 1 − sen 2 x senx = − 3 cos x = 1 − − 5 9 cos x x = 1 − 25 16 cos 2 x = 25 16 cos x = ± 25 4 cos x = 5 3π < x < 2π 2 cot gx = ? 2 2 Usaremos, agora, a relação cot gx = cos x para encontrar o valor da cotg x : senx 4 cos x 4 5 4 cot gx = = 5 = . − = − . senx − 3 5 3 3 5 3) Sabendo que sen x = sec 2 x + cos 2 x. 288 3 π e < x < π , determine o valor da expressão 2 2 Trigonometria e Números Complexos 3 π sec 2 x + cos 2 x = ? < x <π com 2 2 Calcularemos, primeiramente, o cos x : senx = cos 2 x + sen 2 x = 1 cos 2 x = 1 − sen 2 x 2 3 cos x = 1 − 2 3 cos 2 x = 1 − 4 1 cos 2 x = 4 1 cos x = ± 4 Como x é um arco do 2º quadrante tem-se que: 1 cos x = − 2 1 , tem − se: Na seqüência, utilizando sec x = cos x 1 sec x = cos x 1 sec x = 1 − 2 sec x = −2 2 Substituindo os valores encontrados na expressão: 2 1 16 + 1 17 1 sec x + cos x = (−2) + − = 4 + = = . 4 4 4 2 2 2 2 289 Universidade do Sul de Santa Catarina 4) Quais os valores de sen x e cos x sabendo que sen x = −2 cos x e que π < x <π ? 2 senx = ? cos x = ? π < x <π 2 Substituindo -2cos x na relação trigonométrica fundamental tem-se: senx = −2 cos x com sen 2 x + cos 2 x = 1 (−2 cos x ) 2 + cos 2 x = 1 4 cos 2 x + cos 2 x = 1 5cos 2 x = 1 1 cos 2 x = 5 1 cos x = ± 5 Observando o quadrante do arco x tem-se: cos x = − 5 5 5 senx = −2.cos x ⇒ senx = −2. − 5 2 5 . 5 senx = 5 , x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão 3 A = 16 cot g 2 x + cos ec 2 x . 5) Se sec x = ( sec x = 5 3 ) x ∈1º quadrante A = 16.(cot g 2 x + cos ec 2 x) = ? Inicilamente calcula-se o valor do cos x utilizando a relação sec x = 5 3 1 5 = cos x 3 5cos x = 3 sec x = 3 5 Agora, calcularemos o sen x: cos x = 290 sen 2 x + cos 2 x = 1 1 : cos x 1 5 = cos x 3 5cos x = 3 Trigonometria e Números Complexos 3 5 Agora, calcularemos o sen x: cos x = sen 2 x + cos 2 x = 1 sen 2 x = 1 − cos 2 x 2 3 sen x = 1 − 5 9 sen 2 x = 1 − 25 16 sen 2 x = 25 16 senx = ± 25 4 senx = 5 Conhecendo-se o valor do sen x e cos x, pode-se calcular a cotg x e a cossec x : cos x cot gx = senx 3 3 5 3 cot gx = 5 = . = 4 5 4 4 5 1 cos ecx = senx 1 5 cos ecx = = 4 4 5 Substituindo os valores encontrados na expressão tem-se: 2 A = 16.(cot g 2 x + cos ec 2 x) 3 2 5 2 A = 16. + 4 4 9 25 A = 16. + 16 16 41 A = 16. 16 A = 41. 291 Universidade do Sul de Santa Catarina 6) Se sen x = y= 1 π , com 0 ≤ x ≤ , calcule o valor da expressão 3 2 tgx + cot gx . sec x − cos x tgx + cot gx Inicialmente, simplifica-se a expressão y = utilizando as sec x − cos x relações trigonométricas estudadas: sen x cos x + y = cos x sen x 1 − cos x cos x sen 2 x + cos 2 x x y = sen x.cos 1 − cos 2 x cos x 2 2 2 2 Como sen x + cos x = 1 e 1 − cos x = sen x , tem-se: 1 x y = senx.cos 2 sen x cos x 1 cos x y= . senx.cos x sen 2 x 1 y= sen3 x Substituindo o valor do sen x, tem-se: 1 1 = = 27. y= 3 1 1 27 3 7) Calcule o valor de y = 1 cos ec 2 x − cos sec x.sec x , dado sen x = . 4 1 − tgx Inicialmente, simplifica-se a expressão y = cos ec 2 x − cos ecx.sec x 1 − tgx utilizando as relações trigonométricas estudadas: 292 Trigonometria e Números Complexos cos ec 2 x − cos ecx.sec x 1 − tgx 1 1 1 − . 2 y = sen x senx cos x senx 1− cos x cos x − senx 2 y = sen x.cos x cos x − senx cos x cos x cos x − senx y= . 2 sen x.cos x cos x − senx Substituindo o valor do sen x, tem-se: y= y= 1 1 1 = = = 16. 2 2 1 sen x 1 16 4 5 , com x ∈ 1º quadrante, calcule o valor da expressão 3 A = 25.cos 2 x − 16.cot g 2 x. 8) Se sec x = sec x = 5 3 x ∈1º quadrante Utilizando a relação secx = 5 3 1 5 = cos x 3 5cos x = 3 A = 25.cos 2 x − 16.cot g 2 x 1 calcula-se o cosx: cosx sec x = 3 5 Agora pode-se calcular o senx utilizando a relação sen 2 x + cos 2 x = 1: cos x = sen 2 x + cos 2 x = 1 2 3 sen x + = 1 5 16 sen 2 x = 25 16 senx = ± 25 4 senx = 5 Obtêm-se o valor da cotgx: cos x 2 293 Universidade do Sul de Santa Catarina 9) Determine: a ) sen 105º sen 105º = sen (60º +45º ) = sen 60º.cos 45º + sen 45º.cos 60º = b) tg 75º 3 2 2 1 6+ 2 + . . = . 2 2 2 2 4 3 3+ 3 tg 45º +tg 30º 3 = 3 = 3 + 3 . 3 + 3 = 12 + 6 3 = 2 + 3. = tg 75º = tg (45º +30º ) = 1 − tg 45º.tg 30º 6 3 3− 3 3− 3 3+ 3 1 − 1. 3 3 c) cos15º 1+ cos15º = cos (45º −30º ) = cos 45º.cos 30º + sen 45º.sen30º = 294 2 3 2 1 6+ 2 . + . = . 2 2 2 2 4 Trigonometria e Números Complexos 10) Sabendo que sen x = π cos + x . 3 3 π e que < x < π , calcule o valor de 5 2 π 3 π cos + x = ? < x <π com 5 2 3 Inicialmente calcula-se o valor do cosx: senx = sen 2 x + cos 2 x = 1 cos 2 x = 1 − sen 2 x 2 3 cos 2 x = 1 − 5 9 cos 2 x = 1 − 25 16 cos 2 x = 25 16 cos x = ± 25 4 cos x = − 5 Utilizando a fórmula da adição cos(a + b) = cos a.cos b - sen a.sen b : π π π cos + x = cos .cos x − sen .senx 3 3 3 3 3 π 1 4 cos + x = . − − . 3 2 5 2 5 π −4 − 3 3 cos + x = . 10 3 295 Universidade do Sul de Santa Catarina 11) Calcule o valor numérico da expressão y= cos( x + 30º ) + cos( x − 30º ) . cos( x − 60º ) + sen(30º − x) cos( x + 30º ) + cos( x − 30º ) cos( x − 60º ) + sen(30º − x) cos x.cos 30º − senx.sen30º + cos x.cos 30º + senx.sen30º y= cos x.cos 60º + senx.sen60º + sen30º.cos x − senx.cos 30º 2 cos x.cos 30º y= cos x.sen30º + cos x.sen30º 2 cos x.cos 30º y= 2 cos x.sen30º 3 y= 2 1 2 y = 3. y= 12) Simplifique a expressão: y = cos(120º + x) + cos(120º − x) . Utilizando as trnasformações da soma e subtração dos cossenos dos arcos,tem-se: y = cos(120º + x) + cos(120º − x) y = cos120º.cos x − sen120º senx + cos120º.cos x + sen120º.senx y = 2 cos120º.cos x Reduzindo 120º ao primeiro quadrante tem-se: y = 2. (− cos 60º ).cos x 1 y = −2. .cos x 2 y = − cos x 13) Sendo tg x = 5 , calcular tg 2 x. tgx = 5 tg 2 x = ? 2tgx tg 2 x = 1 − tg 2 x 2.5 10 10 tg 2 x = = = 2 1 − 5 1 − 25 −24 5 tg 2 x = − 12 296 Trigonometria e Números Complexos 1 , calcular cos 2 x. 3 Calcula - se o valor do sen x utilizando relação trigonométrica : 14) Sabendo que cos x = sen 2 x + cos 2 x = 1 sen 2 x = 1 − cos 2 x 1 sen x = 1 − 3 1 sen 2 x = 1 − 9 8 sen 2 x = 9 8 senx = ± 9 2 2 8 3 Utilizando a fórmula do arco duplo tem - se : senx = cos 2 x = cos 2 x − sen 2 x 2 1 8 cos 2 x = − 3 3 1 8 cos 2 x = − 9 9 7 cos 2 x = − . 9 2 297 Universidade do Sul de Santa Catarina 15) Se sen x − cos x = 1 , calcule o valor de sen 2 x. 2 1 sen 2 x = ? 2 Pode - se resolver este exercício elevando ambos os lados ao quadrado, observe : senx − cos x = (senx − cos x ) 2 1 = 2 2 1 4 1 sen 2 x + cos 2 x − 2 senx.cos x = 4 Pela relação fundamental tem - se : sen 2 x + cos 2 x = 1 e pela transformação do arco duplo tem - se 2senx.cosx = sen2x, logo pode - se escrever : 1 1 − sen 2 x = 4 1 1 − = sen 2 x 4 3 sen 2 x = 4 sen 2 x − 2 senx.cos x + cos 2 x = 16) Sendo cot g x = 1 2 1 cot gx = 2 1 1 = tgx 2 tgx = 2 2tgx tg 2 x = 1 − tg 2 x 2.2 tg 2 x = 1 − 22 4 tg 2 x = 1− 4 4 tg 2 x = − 3 cot gx = 298 1 , calcule tg 2 x. 2 tg 2 x = ? Trigonometria e Números Complexos 17) Sendo E = 1 − cos 2 x + 2.cos 2 x calcular E + E 2 + E 3 . E = 1 − cos 2 x + 2 cos 2 x E + E2 + E3 = ? Utilizando a fórmula do arco duplo, tem-se: ( ) E = 1 − cos 2 x − sen 2 x + 2 cos 2 x E = 1 − cos 2 x + sen 2 x + 2 cos 2 x E = 1 + sen 2 x + cos 2 x Pela relação fundamental, tem-se: E = 1+1 = 2 E + E 2 + E 3 = 2 + 22 + 23 = 2 + 4 + 8 = 14. 18) Qual o valor de (tg 10º + cot g 10º ).sen 20º ? Para calcular esta expressão, vamos usar as relações trigonométricas: (tg10º + cot g10º ).sen20º = sen10º cos10º + .sen (2.10º ) cos10º sen10º Pela relação trigonométrica e transformação do arco duplo, tem-se: (tg10º + cot g10º ).sen20º = sen 210º + cos 2 10º .2 sen10º.cos10° sen10º.cos10º (tg10º + cot g10º ).sen20º = 1 .2.sen10º.cos10º sen10º.cos10º (tg10º + cot g10º ).sen20º = 1.2 (tg10º + cot g10º ).sen20º = (tg10º + cot g10º ).sen20º = 2. 299 Universidade do Sul de Santa Catarina 19) Se tg x + cot g x = 4 , então quanto vale sen 2 x ? Utilizando as relações trigonométricas tem-se: tgx + cot gx = 4 sen 2 x = ? senx cos x + =4 cos x senx sen 2 x + cos 2 x 4.senx.cos x = senx.cos x senx.cos x 2 2 sen x + cos x = 4.senx.cos x Pela relação trigonométrica tem-se: 1 = 4.senx.cos x 1 4 Sabendo que sen2 x = 2.senx.cos x , pode-se substituir o resultado obtido acima: 1 sen 2 x = 2. 4 1 sen 2 x = . 2 senx.cos x = 2 , calcule tg b . 3 Utilizando a fórmula tg(a + b), tem-se: tga + tgb tg (a + b ) = 1 − tga.tgb 2 + tgb tg 45º = 3 2 1 − .tgb 3 2 + tgb 3 1= 2 1 − .tgb 3 2 2 1 − .tgb = + tgb 3 3 3 − 2tgb 2 + 3tgb = 3 3 3 − 2tgb = 2 + 3tgb 3 − 2 = 3tgb + 2tgb 5tgb = 1 20) Sendo a + b = 45º e tg a = 1 tgb = . 5 300 Trigonometria e Números Complexos 21) Resolver a equação sen 2 x + sen x − 2 = 0 para 0 ≤ x ≤ 2π . sen 2 x + senx − 2 = 0 0 ≤ x ≤ 2π Observe que esta equação representa uma equação do 2o grau cuja a incógnita é sen x, portanto pode - se utilizar a fórmula resolutiva deste tipo de equação : ∆ = 12 − 4.1.(−2 ) ∆ = 1+ 8 = 9 −1 ± 9 2.1 −1 ± 3 senx = 2 4 2 sen x = − = −2 e sen x = = 1 2 2 −1 ≤ senx ≤ 1 então Como π x= Portanto, 2 π S = 2 senx = senx = 1 22) No intervalo [0,π ], qual a solução da equação tg x − 1 = 0 . 301 Universidade do Sul de Santa Catarina 23) Determine o conjunto solução da equação sen 2 x − sen x = 0 sendo 0 ≤ x ≤π. sen 2 x − senx = 0 sen 2 x − senx = 0 0≤ x ≤π Utilizando a fórmula do arco duplo, tem-se: 2 senx.cos x − senx = 0 Colocando-se senx em evidência, tem-se: senx. (2 cos x − 1) = 0 Aplicando a lei do anulamento,tem − se: senx = 0 1 2 cos x − 1 = 0 ⇒ cos x = 2 Observando o intervalo de definição, tem-se: senx = 0 ⇒ x = 0 ou x =π 1 π ⇒x= 2 3 π S = 0, , π . 3 cos x = 24) Resolva em IR a equação: π π 2 sen x + + sen x − = 3 3 2 302 Trigonometria e Números Complexos 25) Sendo x ∈ [0, 2π [ encontre o conjunto solução das seguintes inequações: a) sen x < − 1 2 S = {x ∈ IR / b) cos x ≥ − 7π 11π <x< } 6 6 2 2 S = {x ∈ IR / 0 ≤ x ≤ 3π 5π ou ≤ x ≤ 2π } 4 4 303 Universidade do Sul de Santa Catarina c) tg x ≤ 1 S = {x ∈ IR / 0 ≤ x ≤ d) cos x < 3 2 S = {x ∈ IR / 304 π π 5π 3π ou < x ≤ ou < x < 2π } 4 2 4 2 π 11π <x< } 6 6 Trigonometria e Números Complexos Desafios na Trigonometria 1) (MACK - SP/2000) O número de valores de x, 0 ≤ x ≤ 2π , tais que 2 (sen x + cos x ) = 1 é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) Maior que 5 (senx + cos x ) 2 0 ≤ x ≤ 2π =1 Desenvolvendo o quadrado da soma, temos: sen 2 x + 2 senx.cos x + cos 2 x = 1 (sen x + cos x )+ 2.senx.cos x = 1 2 2 1 + 2 senx.cos x = 1 2 senx.cos x = 0 2 senx = 0 ou cos x = 0 senx = 0 onde tem-se x = 0, x = π e x = 2π cos x = 0 3π π tem-se x = e x = 2 2 3π π Logo a solução é S = 0, , π , , 2π . 2 2 Portanto o número de soluções é 5. cos 2 x 2) No intervalo 0 ≤ x < 2π , a equação = sen x , apresenta 1 + sen x exatamente: a) uma única solução. b) duas soluções. c) três soluções. d) quatro soluções. e) cinco soluções. 305 Universidade do Sul de Santa Catarina cos 2 x = sen x 1 + sen x Utilizando a relação trigonométrica fundamental, tem-se: 1 − sen 2 x = senx 1 + senx Como 1 − sen 2 x é uma diferença de dois quadrados, temos: (1 − senx ). (1 + senx ) (1 − senx ). (1 + senx ) = senx 1 + senx simplificando o fator comum temos : 1 − senx = senx 1 = 2 senx senx = 1 2 Logo, os valores que satisfazem a igualdade são Portanto, são duas soluções. π 5π e . 6 6 Unidade 5 1) Resolva as equações no universo dos números complexos: a) x2 + 4 = 0 a = 1, b = 0, c = 4 ∆ = b 2 − 4.a.c ∆ = 02 − 4.1.4 ∆ = 0 − 16 = −16 −b ± ∆ 2.a −0 ± −16 x= 2.1 x= x= 306 0 ± 16. (−1) 2 ± 16. −1 x= 2 ±4.i x= 2 x1 = +2i x2 = −2i x= x= −0 ± −16 2.1 0 ± 16. (−1) Trigonometria e Números Complexos 2 ± 16. −1 x= 2 ±4.i x= 2 x1 = +2i x2 = −2i S = {2i, −2i} b) x2 – 4 x + 5 = 0 a = 1, b = −4, c = 5 ∆ = (−4 ) − 4.1.5 2 ∆ = 16 − 20 ∆ = −4 −(−4) ± −4 2.1 4 ± 4.(−1) x= 2 4 ± 4. −1 x= 2 4 ± 2.i x= 2 x = 2±i S = {2 + i, 2 − i} x= 2) Resolva a equação z2 – 3iz = 0 com z ∈ . z 2 - 3iz = 0 z ( z − 3i ) = 0 Ultizando a Lei do Anulamento, tem − se : z=0 ou z − 3i = 0 z = 3i S = {0, 3i} 307 Universidade do Sul de Santa Catarina 3) Determine x e y, para que o número complexo z = (4 x – 2) + (y2 – 4) i seja: a) Um número real. Im( z ) = 0 y2 − 4 = 0 y2 = 4 y=± 4 y = ±2 b) Um número imaginário puro. Re( z ) = 0 e Im( z ) ≠ 0 4x − 2 = 0 4x = 2 2 x= 4 1 x= 2 2 y −4≠ 0 y2 ≠ 4 y≠± 4 y ≠ ±2 4) Calcule: a) (2 + 3i) + (2 – i) (2 + 3i) + (2- i) = 2 + 3i + 2 − i = 4 + 2i . b) (6 – i) + (5 – 2i) – (4 + 2i) (6 – i) + (5 – 2i) – (4 + 2i) = 6 − i + 5 − 2i − 4 − 2i = 7 − 5i . c) 2 + i − 1 − i + 4 − 2i ) ( 3 2 2 1 + i − − i + (4 − 2i ) = 3 2 2 1 2 1 4 − 3 + 24 25 + i − + i + 4 − 2i = − + 4 = = . 3 2 3 2 6 6 308 Trigonometria e Números Complexos 5) Efetue: a) (2 – i).(1 + 3i) (2 − i ).(1 + 3i ) = 2 + 6i − i − 3i 2 = 2 + 6i − i + 3 = 5 + 5i . 1 1 + i . − i 2 2 b) 1 1+ 4 5 . 1 1 1 1 1 2 = − i . + i = − i + i − i = + 1 = 4 4 4 2 2 4 2 2 c) (1 + i).(2 – i).(1 + 2i) (1 + i ).(2 − i ) .(1 + 2i ) = 2 − i + 2i − i 2 .(1 + 2i ) = [2 − i + 2i + 1].(1 + 2i ) = (3 + i ).(1 + 2i ) = 3 + 6i + i + 2i 2 = 3 + 6i + i − 2 = 1 + 7i. 6) Expresse os seguintes números complexos na forma a+bi: a) −2 + i (−2 + i ) −2i 4i − 2i 2 4i + 2 1 + 2i = = = = . . −2i −4i 2 2i 2i 4 2 4+ b) 2− 2i (4 + 2i ) (2 + 2i ) 8 + 4 = = . 2i (2 − 2i ) (2 + 2i ) 2i + 2 2i + 4− ( 2i ) ( 2) i 2 2 2 = 8 + 6 2i − 2 6 + 6 2i = = 1 + 2i. 4+2 6 (1 + i ) c) 2 1 + 2i + i 2 1 + 2i − 1 2i (2 + i ) 4i + 2i 2 4i − 2 2 4 = = = . = = = − + i. 2 2−i 2−i 2−i (2 − i ) (2 + i ) 4−i 4 +1 5 5 7) Qual o conjugado do número complexo z = 3 ? 1 + 2i Inicialmente coloca-se z na forma a + bi: z= (1 − 2i ) = 3 − 6i = 3 − 6i = 3 − 6 i 3 . (1 + 2i ) (1 − 2i ) 1 − 4i 2 1 + 4 5 5 Como z = 3 6 3 6 − i ⇒ z = + i. 5 5 5 5 309 Universidade do Sul de Santa Catarina 8) Determine o valor real de x para que o produto (12 – 2i).[18 + (x – 2).i] seja também um número real. Inicialmente escreve-se o número complexo dado na forma a + bi: (12 − 2i ). 18 + (x − 2 )i = 216 + 12i.( x − 2) − 36i − 2i 2 . (x − 2 ) (12 − 2i ). 18 + (x − 2 )i = 216 + 12 xi − 24i − 36i + 2 x − 4 (12 − 2i ). 18 + (x − 2 )i = 212 + (12 x − 60)i Dessa forma tem-se: Im( z ) = 0 ⇒ 12 x − 60 = 0 12 x = 60 60 x= 12 x=5 9) Dado o complexo z = a + bi. A soma de z com seu conjugado é 18 e o produto de ambos é 145. Determine o módulo de ab. Expressando estas informações na linguagem matemática, tem-se: z + z = 18 z.z = 145 Se z = a + bi, tem − se que z = a − bi. Substituindo no sistema, tem-se: z + z = 18 a + bi + a − bi = 18 2a = 18 a=9 z.z = 145 (a + bi ).(a − bi ) = 145 a 2 − (bi ) = 145 2 92 − b 2i 2 = 145 81 + b 2 = 145 b 2 = 145 − 81 b 2 = 64 b = ± 64 b = ±8 Portanto, o módulo de a.b = 9.( ± 8) = 72. 310 Trigonometria e Números Complexos 10) Calcule a e b reais de modo que i 250 + i104 + 2i 37 = a + bi . i 250 + i104 + 2i 37 = a + bi Aplicando propriedade de potência, tem-se: (i ) + (i ) 2 125 52 2 + 2i1 = a + bi Sabe-se que i 2 = −1, logo: (−1)125 + (−1)52 + 2i = a + bi −1 + 1 + 2i = a + bi 2i = a + bi Utilizando a igualdade entre números complexos, tem-se: a=0eb=2 11) Calcule a potência de i para i8 n + 3, tal que n ∈ N*. Aplicando as propriedades de potência, tem-se: i 8n + 3 = i8 n .i 3 4n i 8n + 3 = (i ) .i 3 Sabe - se que i 2 = −1 e i 3 = −i, tem - se: 2 i 8n + 3 = (−1) .( −i ) 4n Observe que (-1)4nsempre será positivo, pois 4n representa um número par . i 8n + 3 = 1.( −i ) i 8n + 3 = −i. 311 Universidade do Sul de Santa Catarina 12) Simplificando (2 + i )101.(2 − i )50 , obtém-se: (−2 − i )100 .(i − 2) 49 Coloca-se em evidência (-1), para poder utilizar divisão de potência de mesma base: (2 + i ) . (2 − i ) (2 + i )101.(2 − i )50 = 100 100 49 49 100 49 (−2 − i ) .(i − 2) (−1) . (2 + i ) . (−1) . (2 − i ) 101 50 (2 + i ) . (2 − i ) (2 + i )101.(2 − i )50 = 100 49 100 49 (−2 − i ) .(i − 2) (2 + i ) −1. (2 − i ) 101 (2 + i ) (2 + i )101.(2 − i )50 = (−2 − i )100 .(i − 2) 49 50 101−100 101 . (2 − i ) 50 − 49 −1 50 (2 + i ) .(2 − i ) = − (2 + i ). (2 − i ) (−2 − i )100 .(i − 2) 49 (2 + i )101.(2 − i )50 = −(4 − 2i + 2i − i 2 ) 100 49 (−2 − i ) .(i − 2) (2 + i )101.(2 − i )50 = −(4 + 1) (−2 − i )100 .(i − 2) 49 (2 + i )101.(2 − i )50 = −5. (−2 − i )100 .(i − 2) 49 i 38 + (10 − i ).i 3 , determine ρ 2 . 2 (1 − i ) Lembre-se que ρ é o módulo do número complexo, dessa forma 13) Se z = deve-se escrevê-lo na forma algébrica: z =a + bi: z= i 38 + (10 − i ).i 3 (1 − i ) 2 i 2 + 10i 3 − i 4 z= 1 − 2i + i 2 ( ) −1 + 10.(−i ) − 1 1 − 2i − 1 (−2 − 10i ) 2i z= . −2i 2i 2 −4i − 20i z= −4i 2 −4i + 20 z= 4 z = 5−i a = 5 e b = −1, logo: z = 5-i z= 312 2 2 2 (−2 − 10i ) 2i . −2i 2i 2 −4i − 20i z= −4i 2 −4i + 20 z= 4 z = 5−i a = 5 e b = −1, logo: z = 5-i z= Trigonometria e Números Complexos ρ 2 = a 2 + b2 ρ 2 = 52 + (−1) 2 ρ 2 = 25 + 1 = 26 Portanto, ρ 2 = 26. k + 2i 14) Se k é um número real e o argumento de z = é 45º, então − 3 2i calcule |z|. Inicialmente escreve-se z na forma a + bi: z= (k + 2i ). (3 + 2i ) = 3k + 2ki + 6i + 4i 2 9 − 4i 2 (3 − 2i ) (3 + 2i ) = (3k − 4) + (2k + 6)i 9+4 3k − 4 2k + 6 + i 13 13 Como o argumento principal é 45° , tem − se : Re( z ) = Im( z ) 3k − 4 2k + 6 = 13 13 3k − 4 = 2k + 6 3k − 2k = 6 + 4 z= k = 10 Substituindo o valor de k em z, tem-se: z = 2 + 2i z = a 2 + b2 z = 22 + 22 z = 8=2 2 Portanto, z = 2 2 313 Universidade do Sul de Santa Catarina 15) Seja o número complexo z = (x – 2i)2, no qual x é um número real. Se o argumento de z é 270º, então calcule 1 . z Inicialmente escreve-se z na forma a + bi: z = ( x − 2i )2 z = x 2 − 4 xi + 4i 2 z = ( x 2 − 4 ) − 4 xi Como o argumento principal é 270o , tem - se que z é um número imaginário puro e negativo. Logo , Re(z) = 0 e Im(z) ≠ 0 x2 − 4 = 0 x2 = 4 x=± 4 x = ±2 Para , x = 2, tem - se: z = (2 2 − 4 ) − 4.2i = ( 4 − 4 ) − 8i = −8i Para , x = -2, tem - se: z = ((-2)2 − 4 ) − 4.( −2 )i = ( 4 − 4 ) + 8i = 8i Portanto , z = −8i. Logo 1 1 8i 8i 8i i = . = = = . 2 z −8i 8i −64i 64 8 16) Determine o valor de f(z) = 2 z2 + 4 z + 5, sendo z = i – 1. f ( z) = 2z 2 + 4z + 5 f (i − 1) = 2(i − 1) 2 + 4(i − 1) + 5 f (i − 1) = 2(i 2 − 2i + 1) + 4i − 4 + 5 f (i − 1) = 2(−1 − 2i + 1) + 4i + 1 f (i − 1) = 2.(−2i ) + 4i + 1 f (i − 1) = −4i + 4i + 1 f (i − 1) = 1. 314 Trigonometria e Números Complexos 17) Sendo z1=4.(cos10º + i.sen10º) e z2= 2.(cos20º + i.sen20º) determine z1.z2. z1 ⇒ ρ1 = 4 e θ1 = 10 z2 ⇒ ρ 2 = 2 e θ 2 = 20 z1.z2 = ρ1.ρ 2 cos (θ1 + θ 2 ) + i.sen (θ1 + θ 2 ) z1.z2 = 4.2 cos(10 + 20 ) + i.sen(10 + 20 ) z1.z2 = 8. cos 30 + i.sen30 3 1 z1.z2 = 8. + i. 2 2 8 3 8 + i 2 2 z1.z2 = 4 3 + 4i. z1.z2 = 18) Sendo z1 = 2(cos30º + i sen30º) e z2 = 4(cos60º + i sen60º), qual o valor de z2 ? z1 z1 ⇒ ρ1 = 2 e θ1 = 30o z2 ⇒ ρ 2 = 4 e θ 2 = 60o z2 ρ 2 . cos (θ 2 − θ1 ) + i.sen (θ 2 − θ1 ) = z1 ρ1 z2 4 = . cos( 60o − 30o ) + i.sen( 60o − 30o ) z1 2 z2 = 2. cos 30o + i.sen30o z1 3 z2 1 = 2. + i. z1 2 2 z2 2 3 2 = + i z1 2 2 z2 = 3 + i. z1 315 Universidade do Sul de Santa Catarina 19) Calcule: a) (1 – i) 6 (1 − i ) 6 b) 3 3 2 3 3 = (1 − i ) = 1 − 2i + i 2 = [1 − 2i − 1] = (−2i ) = −8i 3 = −8.(−i ) = 8i 100 1 3 i − + 2 2 1 3 z = − +i 2 2 1 3 n = 100 , a = − , b = 2 2 ρ = a 2 + b2 2 2 1 3 1 3 + =1 ρ = − + = 4 4 2 2 1 − a 1 cos θ = ⇒ cos θ = 2 = − ρ 1 2 3 b 3 sen θ = ⇒ sen θ = 2 = ρ 1 2 θ = 120o z n = ρ n .[cos( nθ ) + i.sen( nθ )] ( ) z100 = 1100 . cos 100.120o + i.sen( 100.120o ) z100 = cos 12000o + i.sen12000o Calcula-se a primeira determinação positiva de 12000 o : z100 = cos 120o + i.sen120o Faz-se a redução ao primeiro quadrante para o arco de 120 o z100 = − cos 60o + i.sen60o 1 3 z100 = − + i. 2 2 316 Trigonometria e Números Complexos 20) Calcule: a) As raízes quadradas de z = 1 + 3i . z = 1 + 3i a =1e b = 3 ρ = a 2 + b2 ρ = 12 + ( 3) 2 ρ = 1+ 3 = 4 = 2 a 1 cos θ = ⇒ cos θ = ρ 2 b 3 ⇒ sen θ = ρ 2 π Logo, θ = 60o = rad 3 π π z = 2.(cos + i.sen ) 3 3 As raízes quadradas de z são dadas pela fórmula: sen θ = π π + 2 kπ + 2 kπ + i.sen 3 zk = 2 . cos 3 com k ∈ {0,1} 2 2 3 π π 1 6 k = 0 ⇒ z0 = 2 . cos + i.sen = 2 . + i. = + 6 6 2 2 2 3 7π 7π 1 k = 1 ⇒ z1 = 2 . cos . i. 2 + i.sen = − − =− 6 6 2 2 2 i. 2 6 2 i. − 2 2 317 Universidade do Sul de Santa Catarina b) As raízes quartas de z=-4. z = −4 a = −4 e b = 0 ρ = a 2 + b2 ρ= (−4 ) 2 + 02 ρ = 16 + 0 = 4 a −4 cos θ = ⇒ cos θ = = −1 ρ 4 b 0 senθ = ⇒ senθ = = 0 ρ 4 Logo, θ = π z = 4.(cos π + i.senπ ) As raízes quartas de z são dadas pela fórmula: π + 2 kπ π + 2 kπ z k = 4 4. cos com k ∈ {0, 1, 2, 3} + i.sen 4 4 2 π π 2 i = 1+ i + k = 0 ⇒ z 0 = 2 . cos + i.sen = 2. 4 4 2 2 2 3π 3π k = 1 ⇒ z1 = 2. cos + i.sen = 2. − + 4 4 2 2 5π 5π k = 2 ⇒ z2 = 2. cos + i.sen = 2. − − 4 4 2 2 i = −1 + i 2 2 i = −1 − i 2 2 7π 7π 2 k = 3 ⇒ z3 = 2. cos i = 1− i + i.sen = 2. − 4 4 2 2 318 Trigonometria e Números Complexos Desafios em números complexos 1) (ITA) O número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n = - 16i, onde i é a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, vale: Aplicando as propriedades de potência: (2i ) (1 + i ) 2 n = −16i (2i ) 2 + (1 + i ) = −16i (2i ) + 1 + 2i + i 2 n n n n ( ) = −16i n (2i ) + (1 + 2i − 1) = −16i n n (2i ) + (2i ) = −16i n 2. (2i ) = −16i n (2i ) = −8i n (2i ) = 23.(−i) n n Lembrando que -i = i3 , tem-se: (2i ) = 23.i 3 n (2i ) = (2i)3 ⇒ n = 3 n 2) Seja i a unidade imaginária de um número complexo e sabendo que i2 = - 1, então o valor da expressão (-i) 200 + (2 + i).(2 – i) + i3 , é: 100 2 (-i)200 + (2 + i).(2 - i) + i 3 = (−i ) 100 (-i)200 + (2 + i).(2 - i) + i 3 = i 2 + ( 4 + 2i − 2i − i 2 ) + ( −i ) + 4 +1− i (-i)200 + (2 + i).(2 - i) + i 3 = (−1) + 5 − i 100 (-i)200 + (2 + i).(2 - i) + i 3 = 1 + 5 − i (-i)200 + (2 + i).(2 - i) + i 3 = 6 − i. 319 Universidade do Sul de Santa Catarina 3) (ITA-SP) Considere no plano complexo, um polígono regular cujos vértices são as soluções da equação z6 =1. Qual a área deste polígono? z6 = 1 z = 61 z =1 Calcula-se o módulo e o argumento de z: ρ = 1 ⇒ θ = 0 Aplicando a fórmula de Moivre, tem-se: kπ kπ zk = cos + i.sen 3 3 Então: k = 0 ⇒ z 0 = cos 0 + i.sen0 = 1 3 π π 1 + i.sen = + i 3 3 2 2 2π 2π 1 3 k = 2 ⇒ z2 = cos + i.sen =− + i 3 3 2 2 k = 3 ⇒ z3 = cos π + i.senπ = −1 k = 1 ⇒ z1 = cos 4π 4π 1 3 + i.sen =− − i 3 3 2 2 5π 5π 1 3 + i.sen = − k = 5 ⇒ z5 = cos i 3 3 2 2 Para cada valor de k obtem-se um par ordenado que representa z no plano de Argand Gaus: k = 4 ⇒ z4 = cos 1 3 1 3 1 3 1 3 (1,0); , e , − ; − , ; (−1, 0 ); − , − 2 2 2 2 2 2 2 2 Observe a figura: 320 Trigonometria e Números Complexos Para calcularmos a área do hexágono, vamos inicialmente, calcular o lado da figura, utilizando o cálculo da distância entre dois pontos no plano. Vamos escolher dois vértices consecutivos: (1,0) e 1 , 3 2 2 d= (x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2 2 2 1 3 d = − 1 + − 0 2 2 2 1 3 d = + 2 2 d= 2 2 1 3 + 4 4 d = 1. Cálculo da Área do hexágono: 3 2 3 2 Tem-se que d = , onde é a medida do lado do hexágono, logo: A= 3.12 3 2 3 3 A= u.a. 2 A= 321 Referências BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher Ltda. 1996. CARMO, Manfredo P. Trigonometria e Números Complexos. Coleção Fundamentos da Matemática Elementar, SBM, RJ. DANTE, Luiz Roberto. Matemática. 1ª edição. São Paulo: Ática, 2004. FLEMMING, D.M. e GONÇALVES, M.B. - Cálculo A -Funções Limite Derivação Integração. São Paulo: Makron Books, 1992, 617 p. FLEMMING, Diva Marília, LUZ, Elisa Flemming e WAGNER, Christian – Tópicos de Matemática Elementar. Palhoça: Unisul Virtual, 2005, 246p. FINNEY, Ross L. Cálculo de George B. Thomas Jr. , volume 1/ Ross L. Finney, Maurice D. Weir, Frank R. Giordano; tradução Paulo Boschcov. Saão Paulo: Addison Wesley, 2002. GIOVANNI, José Ruy, BONJORNO, José R., GIOVANNI Jr, José R. Matemática Fundamental: uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2002. GUELLI, O. 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SCORDAMAGLIO, Maria Terezinha. CANDIDO, Suzana Laino. Matemática – Projeto escola e cidadania para todos. São Paulo: Editora do Brasil, 2004. 324 Trigonometria e Números Complexos Anexo – Tabela de Razões Trigonométricas 325
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