MATEMÁTICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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© 2006-2009 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do
detentor dos direitos autorais.
I229
IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.
ISBN: 978-85-387-0571-0
1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.
CDD 370.71
Disciplinas
Autores
Língua Portuguesa
Literatura
Matemática
Física
Química
Biologia
História
Geografia
Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer
Produção
Projeto e
Desenvolvimento Pedagógico
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Introdução à
trigonometria
Iniciaremos agora um novo assunto. A trigonometria tem diversas aplicações práticas e úteis.
Nos auxiliará em resoluções de questões difíceis da
Geometria e será uma ferramenta poderosa no estudo
dos números complexos. O detalhe importante é que
você perceberá rapidamente como esse assunto é
tranquilo e vários pontos certos serão conquistados
nos principais vestibulares do Brasil. Vamos lá.
- ângulo central
medida de = medida do arco AB
= comprimento do arco AB
Pela definição, temos:
= /R
Circunferência
trigonométrica
Chamamos de circunferência trigonométrica
uma circunferência de raio unitário orientada.
Na referida circunferência, fixamos um ponto (A)
como origem dos arcos, convencionamos um sentido
(o anti-horário) como sendo o positivo e o horário
como sendo negativo.
•• O arco AB medirá 1 radiano (1 rad), se o seu
comprimento for igual ao raio da circunferência.
•• O arco de uma volta, cuja medida em graus
é 360°, tem comprimento igual a 2 R. A sua
medida em radianos será:
2 R
l
= =
= 2 rad
R
R
•• Portanto, 360° equivale a 2πrad
EM_V_MAT_024
Medida de arcos (ou
ângulos) em radianos
180° equivale a π rad
90° equivale a π/2 rad
... E assim por diante.
A medida de um arco, em radianos, é a razão
entre o comprimento do arco e o raio da circunferência.
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1
Linhas trigonométricas
de mesmo arco
Comprimento da circunferência (C)
C = 2πR R = raio
Arco trigonométrico
OP = sen OR = cos AT = tg ``
Como o raio do círculo trigonométrico vale 1,
tomemos os seguintes triângulos semelhantes.
c
Chamamos de arco trigonométrico ao conjunto
de todos os arcos com origem em A e extremidade
em P.
Na figura exemplificada, é a medida de 1.a
determinação positiva do arco AP.
Analogamente, chamamos de ângulo trigonométrico AÔP ao conjunto de todos os ângulos de lado
inicial OA e lado terminal OP.
Aos arcos (ou ângulos) que possuam a mesma
origem e a mesma extremidade, denominamos arcos
(ou ângulos) côngruos.
OS = cossec
OT = sec
BS = cotg
Exemplo:
40°, -320°, 760°, 1120° são medidas de arcos (ou ângulos) côngruos.
Expressão geral de um arco
(ou ângulo) trigonométrico
AP = + k . 360° (em graus)
ou
AP = + 2kπ (em radianos)
k Z, ou seja K {... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
2
(1.ª de-
cateto oposto
= sen
hipotenusa
cateto adjacente
hipotenusa
cateto oposto
cateto adjacente
= cos
=
sen
cos
= tg
EM_V_MAT_024
Observe que quando k = 0 AP =
terminação positiva ou negativa).
Logo observando os triângulos, chegamos às
seguintes relações:
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Analogamente
cotg
sec
cossec
c) tangente
=
=
c
= cateto oposto
b
cateto adjacente
b
tg =
c
1
tg
tg =
1
cos
=
1
sen
d)cotangente
b
= cateto adjacente
c
cateto oposto
c
cotg =
b
cotg =
Trigonometria no triângulo
retângulo
e)secante
a
hipotenusa
=
b
cateto adjacente
a
sec =
c
Os egípcios usavam muita trigonometria para
fazer seus cálculos nas construções das pirâmides,
e a maioria eram realizados em cima das razões trigonométricas no triângulo retângulo.
sec =
Funções trigonométricas de um
ângulo agudo
Seja um triângulo ABC, reto em A. Os outros dois
ângulos C e B, de medidas e , respectivamente,
são agudos e complementares ( + = 90º).
a = medida da hipotenusa
b = medida do cateto oposto ao ângulo e adjacente ao ângulo .
c = medida do cateto oposto a e adjacente
a .
Por definição, temos:
a)seno
c
cateto oposto
=
a
hipotenusa
b
sen =
a
sen =
f) cossecante
a
hipotenusa
=
c
cateto oposto
a
cossec =
b
cossec =
Tabela de valores notáveis
cos x
tg x
30º
1
2
3
2
3
3
45º
2
2
2
2
1
60º
3
2
1
2
3
Quando dois ângulos são complementares, as
funções trigonométricas de um deles é igual à cofunção trigonométrica do outro.
Nas Funções Trigonométricas de um Ângulo
Agudo, temos:
sen = cos
sen = cos
tg = cotg
tg = cotg
sec = cossec
sec = cossec
cos =
EM_V_MAT_024
sen x
Funções trigonométricas de
dois ângulos complementares
b)cosseno
b
= cateto adjacente
a
hipotenusa
c
cos =
a
x
``
Exemplo:
sen 30º = cos 60º
sen 60º = cos 30º
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3
Lei dos senos
b2 = h 2 + m 2
m
cos A =
m = b . cos A
b
∆ACD a2 = h2 + (c – m)2
a2 = h2 + m2 + c2 – 2cm
∆ACD
As razões trigonométricas em triângulos retângulos é um pouco restrita, porém ajuda a demonstrar
a Lei dos senos e cossenos que serve para qualquer
triângulo e é mais abrangente.
Em todo triângulo, as medidas dos lados são
proporcionais aos senos dos ângulos opostos e a
razão de proporcionalidade é a medida do diâmetro
do círculo circunscrito ao triângulo.
Considere o triângulo ABC e a circunferência
de centro O e raio R.
Temos, então:
b cos A
h
A = BC e D = BC
2
2
logo: A = D
BCD =
a2 = b2 + c2 – 2 . b . c cos A
180o
BAD
=
= 90o
2
2
analogamente, podemos escrever:
b2 = a2 + c2 – 2 . a . c cos B
c2 = a2 + b2 – 2 . b . a cos C
Reconhecimento da
natureza de um triângulo
Conhecendo-se as medidas dos lados de um
triângulo e chamando a maior delas de a e as outras
duas de b e c, lembrando que:
sen D =
a
2R
sen A = a
2R
a = 2R
sen A
analogamente, temos:
b = 2R sen B
c
= 2R
sen C
Daí, a Lei dos senos:
b
c
a
=
=
= 2R
sen A sen B sen C
Lei dos cossenos
Em todo triângulo, o quadrado da medida de
um lado é igual à soma dos quadrados dos outros
dois, menos duas vezes o produto desses lados pelo
cosseno do ângulo interno formado por eles.
4
|b – c| < a < b + c
Reconhecemos a natureza de um triângulo, com
base nas equivalências abaixo:
a2 < b2 + c2
a2 = b2 + c2
a2 > b2 + c2
triângulo acutângulo
triângulo retângulo
triângulo obtusângulo
isso pode ser analisado pela lei dos cossenos.
Relações trigonométricas
As relações fundamentais são uma generalização do que ocorre num triângulo retângulo para o
círculo trigonométrico.
Seja o triângulo ABC e x um de seus ângulos
agudos. Dividindo-se as medidas dos seus três lados
pela medida da hipotenusa, obtemos:
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EM_V_MAT_024
Do triângulo DBC vem:
``
Solução:
a) 180° – 1 rad
x
x
120° – x
180x = 120 p rad
x = 2 rad
3
sen x = c
a
cos x = b
a
b) 180° – 1 rad
x
Observe que os triângulos ABC e A’B’C’ são
semelhantes e, por consequência, têm os ângulos
correspondentes congruentes.
Relações fundamentais
a) sen2 x + cos2 x = 1 (teorema de Pitágoras)
b) tg x= sen x
cos x
-60° – y
180° y = –60 rad
rad
3
– rad = 5 rad
3
3
5
rad, o seu compri2. Um arco de circunferência mede
3
mento é 2km. Qual o número inteiro mais próximo do
raio, em metros?
y=
a) 157
(definição da função tangente)
c) cot g x= cos x
sen x
tangente)
d) sec x=
b) 284
(definição da função co-
c) 382
d) 628
e) 764
1
(definição da função secante)
cos x
e) cossec x= 1
sen x
(definição da função
``
cossecante)
Relações auxiliares
a)Dividindo os dois membros da relação
sen2 + cos2 x = 1 por cos2 x, temos:
sen2 x = 1 + tg2 x
b)Dividindo os dois membros da relação
sen2 x + cos2 x = 1 por sen2 x, temos:
cossec2 x = 1 + cotg2 x
Solução: C
5 = 2000 5 . R = 6000
= l
R
3
R
6000
R=
= 382,16 382
5
3. Maria e Pedro fizeram um arco com a mesma medida do
raio da circunferência que o envolve. Pegaram o transferidor e acharam um valor em graus aproximadamente
igual a quanto?
``
Solução:
O ângulo central vale 1 rad, logo:
180
1 rad 57o19’
1 rad = 180º 1 rad =
4. Calcular o valor de x na figura, sabendo que sen a = 2/3.
EM_V_MAT_024
1. Passe para radianos os ângulos:
a) 120°
b) –60°
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5
``
6. Maria reparou num shopping que uma escada rolante
liga dois andares de uma loja e tem uma inclinação de
30º. Sabendo que a escada rolante tem 10m de comprimento, qual a altura entre os dois andares?
Solução:
sen = x
12
2 = x
3 12
``
3x = 24
Solução:
x=8
5. Determinar x e y na figura:
sen 30o = h
10
1 = h
10
2
2h = 10 h = 5m
7.
``
Solução:
Num triângulo ABC, AB =
45o.
6 , ABC = 60o e ACB =
Calcule AC .
``
Solução:
AD = BD = 300 – y
x
6
=
sen 60o sen 45o
x
6
=
3
2
2
2
x=3
2 x = 18
8. Calcule o perímetro do triângulo da figura.
y
cos 60º =
300 – y
y
1 =
2 300 – y
2y = 300 – y
6
y = 100
``
Solução:
x2 = 52 + 82 – 2 . 5 . 8 . cos 60º
1
x2 = 25 + 64 – 80 .
2
x2 = 29 ⇒ x = 29
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EM_V_MAT_024
300
tg 60o = x
y
x
3 =
100
x = 100 3
3y
2P = 5 + 8 + 29
2P = 13 + 29
9. Um carro a 100km/h viaja durante 30 minutos e repara
que está num ponto diferente daquele que deveria estar.
Olhou o mapa e reparou que o trajeto estava errado de
45ot em relação ao correto. Qual a distância que ele deve
percorrer para sair de onde está até o ponto correto?
``
11. O valor da expressão 25 sen2 x – 9 tg2 x, sabendo que
5
cossec x = e que x é um ângulo agudo, é:
4
a) 2
b) 3
c) 4
d) 0
e) 1
Solução:
``
Solução:
cos sec x =
5
4
4
5
sen 2 x + cos 2 x = 1
senx =
2
d1 = 100 .
d1 = 50km
 4
2
  + cos x = 1
5
1
2
3
5
senx 4
tgx =
=
cos x 3
cos x =
x2 = 502 + 502 – 2 . 50 . 50 . cos 45º
2
x2 = 2 500 + 2 500 – 2 500 = 2 500 + 2 500 – 2 500 2
 4
 4
25   −  
5
3
x2 = 2 500 (2 – 2 )
x
 16 
 16 
25   − 9  
 25 
 25 
16 −16 = 0
1 475
x 38,4m
10. Sendo x um ângulo agudo e sendo x = 3/5, obter tg x.
``
Solução:
12. Demonstre que (1 – cos2 x)(cotg2 x + 1) = 1 para x ≠
k é uma identidade.
sen 2 x + cos 2 x = 1
``
2
3
2
  + cos x = 1
5
cos 2 x = 1 −
9
25
16
25
4
cos x =
5
sen x
tg x =
cos x
3
tgx = 5
4
5
cos 2 x =
EM_V_MAT_024
2
tg x =
3
4
Solução:

2
(1 − cos x )  cos
sen
2
2
x 
+1 = 1
x 
x + sen
(sen x )  cos sen
x
2
2
2
2
x
 = 1
cos2 x + sen2 x = 1
1=1
1. (Mackenzie) A menor determinação positiva de –49000
é:
a) 100o
b) 140o
c) 40o
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7
d) 80o
c) 45o
e) n.d.a.
d) 75o
2. (UFPA) Qual a 1.ª determinação positiva de um arco
de 1000º?
a) 270
o
b) 280
A extremidade de um arco de 960o está no:
b) 3.o quadrante.
c) 290
o
c) 2.o quadrante.
d) 300
o
d) 1.o quadrante.
o
3. Convertendo 330o em rad, vamos obter:
a)
7.
a) 4.o quadrante.
o
e) 310
e) 15o
5π
6
11π
6
11π
c)
12
6
13π
d)
8
7π
e)
6
e) n.d.a.
8. No ciclo da figura abaixo estão representadas as extremidades dos dados, a partir de A, em radianos, pela
expressão (com k Z)
b)
4. Qual é o comprimento de um correspondente a um
ângulo central de 60o contido numa circunferência de
raio r = 1,5cm?
π
cm
2
π
b) cm
3
c) p cm
π
a) − 4 + k π
π
b) − 4 + 2k π
π
c) − 4 + k π
π
d) 4 + 2k π
a)
d) 2pcm
π
e) cm
6
5. O menor arco não-negativo côngruo ao arco de 2650o
mede:
π
e) − + k π
3
9. Qual é a expressão geral, em radianos, dos arcos de
extremidades nos pontos M1 e M2? (considere k Z):
a) 330o
c) 130o
d) 30o
a)
e) 150o
6. O menor arco não-negativo côngruo do arco de1425º
mede:
b)
c)
a) 315o
b) 345o
8
d)
e)
3π
+ 2k π
4
3π
+kπ
4
3π k π
+
4
2
π
+kπ
4
π
+ 2k π
4
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EM_V_MAT_024
O
b) 230o
rad
14. Considere uma esfera de raio igual ao da Terra e amarre
um barbante apertado pelo Equador. Corte o barbante,
acrescente 1 metro e una de novo as pontas. Naturalmente agora o barbante está frouxo. Imagine que todos
os pontos do barbante fiquem ainda sobre o Equador, a
uma distância da esfera, determine um valor aproximado
para essa distância.
rad
15. (UFMA)
10. (ITA) Transformando 12º em radianos, obtemos:
π
15
15
b)
π
π
c)
30
2π
d)
15
a)
rad
rad
e) 12 rad
11. Adotando p = 3,14 exprimir (aproximadamente) 1
radiano em graus.
a) 180º
b) 360º
c) 57,32º
Assinale o seno do ângulo
d) 62,27º
a)
e) 90º
12. A, B, C, D, E e F são vértices de um hexágono regular
inscrito na circunferência de raio 5.
Ĉ .
15
17
8
17
17
c)
15
b)
17
8
8
e)
15
d)
Então, a soma dos comprimentos de todos os arcos
da figura é:
a) 30
16. (FCC) Na figura abaixo têm-se que ABCD é um retângulo, AD = 1 e AB = 3 .
b) 30p
c) 15
d) 15p
e) 16p
13. Na figura abaixo, os três círculos têm mesmo raio de
10cm.
A medida a, do ângulo assinalado, é:
a) 75o
b) 60o
c) 45o
d) 30o
EM_V_MAT_024
e) 15o
Determine o comprimento da correia que envolve os
três círculos.
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9
17. (UERJ) Observe a bicicleta e a tabela trigonométrica:
Qual é, aproximadamente, a distância da torre à
estrada?
(Se necessitar, use
a) 463,4m
2 ≅ 141
, ;
3 ≅ 173
, ;
6 ≅ 2, 45 .)
b) 535,8m
c) 755,4m
d) 916,9m
e) 1 071,6m
Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual
a 120cm e os raios PA e QB medem, respectivamente,
25cm e 52cm.
De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte
valor:
a) 10o
20. (Fuvest) Dados:
MP ⊥ s ; MQ ⊥ t ; MQ ⊥ PQ MP = 6
b) 12o
c) 13o
d) 14o
Então, PQ é igual a:
18. (Unificado) Na figura abaixo, ABCD é um trapézio retângulo com AB = AD , BC – AB = 1cm e CD = 7cm.
a) 3 3
b) 3
c) 6 3
d) 4 3
e) 2 3
21. (Vunesp) Uma escada apoiada em uma parede, num
ponto que dista 3m do solo, forma, com essa parede,
um ângulo de 30o. A distância da parede ao “pé” da
escada, em metros, é de:
Então:
a) sen a = 1/3
b) sen a = 3/5
c) cos a = 4/5
a) 3 3
d) tg a = 3/4
b) 2 3
e) tg a = 4/3
c)
3
d)
3
2
19. (FCC) Trafegando num trecho plano e reto de uma
estrada, um ciclista observa uma torre. No instante em
que o ângulo entre a estrada e a linha de visão do ciclista
é 60o, o marcador de quilometragem da bicicleta acusa
103,50km. Quando o ângulo descrito passa a ser 90o, o
marcador de quilometragem acusa 104,03km.
e) 2
22. (Fuvest) Um móvel parte de A e segue numa direção
que forma com a reta AC um ângulo de 30o. Sabe-se
que o móvel caminha com uma velocidade constante de
50km/h. Após 3 horas de percurso, a distância a que o
móvel se encontra da reta AC é de:
a) 75km
c) 50 3km
d) 75 2km
10
e) 50km
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EM_V_MAT_024
b) 75 3km
23. (Vunesp) Do quadrilátero ABCD da figura, sabe-se que
ˆ
os ângulos internos de vértices A e C são retos; CDB
o
o
ˆ
e ADB medem, respectivamente, 45 e 30 ; o lado CD
mede 2dm:
A
Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em
dm:
a)
6e
3
b)
2e
3
c)
6e
2
6d)
e
2 e
6e
e)
3e
2
Considere as afirmativas:
I. a distância d é conhecida:
II. a medida de α̂ e a tg α̂ são conhecidas.
Então, tem-se que:
a) a I sozinha é suficiente para responder à pergunta,
mas a II, sozinha, não.
b) a II sozinha é suficiente para responder à pergunta,
mas a I, sozinha, não.
c) I e II, juntas, são suficientes para responder à pergunta, mas nenhuma delas, sozinha, o é.
2
24. (UFF) O círculo da figura tem centro O e raio R.
d) ambas são, sozinhas, suficientes para responder à
pergunta.
e) a pergunta não pode ser respondida por falta de
dados.
26. (PUC-SP) A figura mostra um hexágono regular de lado
a. A diagonal AB mede:
Sabendo-se que MP equivale a 5R/12 e é tangente ao
círculo no ponto P, o valor de sen a é:
a)
a) 2a
12
13
b) a 2
b) 5R
c)
13
5R
12
5
d)
13
5
e)
12
d) a 3
c)
EM_V_MAT_024
a 3
2
2a 2
3
27. (Fuvest) Um triângulo tem lados iguais a 4, 5 e 6. O
cosseno do maior ângulo de T é:
e)
25. (Unificado) Um disco voador é avistado, numa região
plana a uma certa altitude, parado no ar. Em certo instante, algo se desprende da nave e cai em queda livre,
conforme mostra a figura. A que altitude se encontra
esse disco voador?
a) 5/6
b) 4/5
c) 3/4
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11
d) 2/3
c) 4
e) 1/8
d) 5
28. (PUC) No triângulo ABC, o ângulo  vale 60o, o lado
oposto mede 7cm e um dos lados adjacentes mede 3
cm. O outro lado do triângulo mede:
a) 5cm
b) 6cm
c) 7cm
b) 1h
e) 10cm
29. (UFRJ) O triângulo ABC está inscrito com círculo de raio
R. Se cos  =
b)
c)
d)
e)
33. (Unificado) Um navegador devia viajar durante duas
horas, no rumo nordeste, para chegar a certa ilha.
Enganou-se, e navegou duas horas no rumo norte. Tomando, a partir daí, o rumo correto, em quanto tempo,
aproximadamente, chegará à ilha?
a) 30min
d) 8cm
a)
e) 6
2R
5
3R
5
4R
5
6R
5
8R
5
3
o comprimento do lado BC é:
5
c) 1h30
d) 2h
e) 2h15
34. (UFRJ) Os ponteiros de um relógio circular medem, do
centro às extremidades, 2 metros, o dos minutos, e 1
metro, o das horas.
Determine a distância entre as extremidades dos
ponteiros quando o relógio marca 4 horas.
35. (Unirio)
30. (UERJ) Um triângulo tem lados 3, 7 e 8. Um de seus
ângulos é igual a:
a) 30º
b) 45º
d) 90º
e) 120º
31. (PUC-SP) a, b e c são as medidas dos lados de um
triângulo ABC. Então, se:
a) a2 < b2 + c2, o triângulo ABC é retângulo.
b) a2 = b2 + c2, o lado a mede a soma das medidas
de b e c.
c) a2 > b2 + c2, o ângulo oposto ao lado que mede a
é obtuso.
d) b = a + c , a é hipotenusa e b e c são catetos.
2
2
2
e) nenhuma das anteriores é correta.
32. (PUC) O número de valores inteiros de x, para os quais
existe um triângulo acutângulo de lados 10, 24 e x, é
igual a:
a) 2
b) 3
12
Deseja-se medir a distância entre duas cidades B e C
sobre um mapa, sem escala. Sabe-se que AB = 80km
e AC = 120km onde A é uma cidade conhecida, como
mostra a figura acima. Logo, a distância entre B e C,
em km é:
a) menor que 90.
b) maior que 90 e menor que 100.
c) maior que 100 e menor que 110.
d) maior que 110 e menor que 120.
e) maior que 120.
3
36. (Faap) Se senx = , com x ∈ 4 quadrante, então tg
5
x é:
a) −
b)
3
4
1
2
c) −
4
5
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EM_V_MAT_024
c) 60º
d)
e)
3π
3
e π<x<
, o valor de cos
41. (Fuvest) Se tgx =
2
4
x – sen x é:
3
4
4
5

1
a)
π
37. (PUCRS) Se tg x = e a ∈ 0;
 2  , então cos a é igual
2
a:
3
a)
b)
d)
b) −
c) −
6
1
d)
6
3
de
5
2
38. (UFCE) Para todo x 1.° quadrante, a expressão
2
sec x - tgx sec x + tgx - sen x é igual a:
(
)(
)
2
a) cos x
2
b) 1 + sen x
a)
b)
c)
c) cos x − sen x
d)
d) sec x + cos x
e) n.d.a.
2
cos x - cot gx
, ob39. (FGV) Simplificando a expressão
2
sen x - tgx
temos:
a) sec2 x
5
1
5
e)
1− cos a
é:
1+ cos a
3
24
25
e sec a é negativa, então o valor
4
3
5
5
4
4
3
1
2
3
e 0 < x < π 2 , calcule
43. (Unirio) Sendo sen x =
2
sec − cossec x
y=
1 − cot gx
b) sen2 x
a) –2
c) tg2 x
d) cos2 x
b)−
e) cotg2 x
40. (UFPA) A expressão mais simples para
1
2
1+
- sec x é:
2
2
cos x ⋅ cossec x
b) 0
5
2
42. (FGV) Se sen a =
5
a) –1
7
5
e) −
2 5
e)
5
2
2
c)
7
1
2
c) −
d) −
1
2
3
2
e) 2
c) 1
EM_V_MAT_024
d) sec2 x
e) cos2 x
, e o compri1. (PUC-SP) Na figura a = 1,5 rad, AC = 15
mento do arco AB é 3.
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Considere a Terra esférica e o canal construído como
parte de um círculo máximo. Com essas informações e
usando valor 3 para p, o raio da Terra, em km, seria:
a) 20 700
b) 13 800
O
c) 10 350
d) 6 900
Qual é a medida do arco CD?
a) 1,33
e) 6 300
4. (UFRJ) Na figura a seguir, os círculos de centros O1 e
O2 são tangentes em B e têm raios 1cm e 3cm.
b) 4,50
c) 5,25
d) 6,50
e) 7,25
2. (UFF) A figura a seguir, representa duas circunferências
C e C’ de mesmo raio r.
Determine o comprimento da curva ABC.
5. (UFF) Considere o ângulo θ ≠ kπ 2 , k ∈ z . Sobre
o produto senθ . cosθ . tgθ . cotgθ . secθ . cossecθ ,
pode-se afirmar que é igual a:
a) 1
Se MN é o lado comum de hexágonos regulares
inscritos em C e C’, então o perímetro da região
sombreada é:
10πr
a)
3
πr
b) 3
2πr
c)
3
d) 4pr
b)
3
2
c) 0
d) −
e) –1
23
2
6. (UFF) Para θ = 89o , conclui-se que:
a) tg θ < senθ < cos θ
b) cos θ < senθ < tg θ
e) 2pr
c) senθ < cos θ < tg θ
3. (UERJ) O Ceará atravessa a maior seca do século. Há
mais de cinco meses, Fortaleza vem sofrendo racionamento de água e estava ameaçada por um colapso
no fornecimento, em setembro. Para combater este
problema, o Governo do Estado construiu a maior obra
da história do Ceará: o CANAL DO TRABALHADOR,
ligando o Rio de Jaguaribe ao Açude Pacajus, com 115
quilômetros de extensão.
d) cos θ < tg θ < senθ
e) senθ < tg θ < cos θ
7.
(UFRGS) Uma correia esticada passa em torno de três
discos de 5m de diâmetro, conforme a figura a seguir. Os
pontos A, B e C representam os centros dos discos. A
distância AC mede 26m, e a distância BC mede 10m.
(Revista Veja)
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EM_V_MAT_024
Para se ter uma ideia da dimensão desta obra, basta
dizer que ela é 18km maior que o canal do Panamá em
extensão, e representa um grau da curvatura da terra.
porta e a flecha. Você também saberia calcular o arco
somente com essas medidas? Se sabe, calcule-o com
as medidas de 1 metro para a largura da porta e 20
centímetros para a flecha.
O comprimento da correia é:
a) 60m
b) (60 + 5p)m
c) 65m
11. Na figura abaixo tem-se 5 arcos de circunferências
concêntricas e igualmente espaçadas entre si.
d) (60 – 10p)m
e) 65 pm
8. (UFF) Um serralheiro deseja construir a grade de ferro
desenhada na figura abaixo:
Sabe-se que MN é mediatriz do lado LK do retângulo IJKL
e as medidas de LK , MN e JK , são, respectivamente,
2m, 2m e 3 m.
Para construir o arco de circunferência INJ, o serralheiro
deve utilizar uma vara de ferro com o seguinte
comprimento:
2π
m
a)
3
3π
m
4
4π
m
c)
5
5π
m
d)
6
b)
Sabendo-se que a soma dos comprimentos desses
arcos é igual ao comprimento da circunferência maior,
qual a medida do ângulo central comum a todas as
circunferências?
12. (UFPA) Quantos radianos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em 50 min?
16π
9
5π
b)
3
4π
c)
3
4π
d)
2
a)
3π
3
13. (UFF) Considere os ângulos a, b e g conforme representados no círculo.
e)
e) pm
9. (PUC) Sejam C1, C2 e C3 três círculos de mesmo raio
R e cujos centros O1, O2 e O3 estão sobre uma mesma
reta. Além disso, C1 é tangente a C2 e C2 é tangente a
C3. Considere a reta t que passa por A e é tangente ao
círculo C3 (ver figura).
t
Pode-se afirmar que:
a) cos a < cos b
EM_V_MAT_024
C
C
Expresse o comprimento da corda BC, determinada por
t em C2, em função de R.
10. (Unicamp) Para construir um arco de circunferência
sobre uma porta, o pedreiro, sem conhecimento de
matemática, vale-se de duas medidas: a largura da
b) cos g > cos a
c) sen a > sen b
d) cos b < cos g
e) cos b > sen g
14. Faça rolar uma moeda, A, em torno de uma segunda
moeda igual, B, sem a deixar deslizar, até retornar ao
ponto de partida.
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15
18. (CEFET) Um atleta corre do ponto A ao ponto D numa
trajetória conforme a figura a seguir.
Quantas voltas dá a moeda A?
15. (UFRJ) A figura mostra uma circunferência de 1m de raio
e centro O, à qual pertencem os pontos A, B, e P, sendo
AO perpendicular a BO ; BS e AT ; são tangentes a
essa circunferência.
Determine o perímetro do polígono AOBST em função
do ângulo a.
16. (Vunesp) A figura representa o perfil de uma escada
cujos degraus têm todos a mesma extensão, além de
mesma altura.
ˆ mede 30o, então a medida da
Se AB = 2m e BCA
extensão de cada degrau é:
a)
2 3
m
3
b)
2
m
3
c)
3
m
6
d)
3
m
2
3
m
3
17. (UFRJ) Para o trapézio representado na figura, calcule
a altura.
Considerando-se que:
1 - o atleta mantém as seções horizontais um ritmo de
1 000m a cada 5 min;
2 - na elevação a 30o, o ritmo diminui em 50%;
3 - os trechos AB, BC e CD são de mesmo comprimento.
Calcule o tempo que o atleta gasta para percorrer toda
a trajetória.
19. (UFRJ) A grande sensação da última ExposArte foi a
escultura “O.I.T.O.”, de 12 metros de altura, composta
por duas circunferências, que reproduzimos abaixo,
com exclusividade.
Para poder passar por um corredor de apenas 9 metros
de altura e chegar ao centro do Salão Principal, ela teve
que ser inclinada. A escultura atravessou o corredor
tangenciando o chão e o teto, como mostra a figura a
seguir. Sabendo-se que o raio da circunferência maior
é o dobro do raio da menor, calcule θ.
e)
EM_V_MAT_024
16
20. (Fuvest) Calcular x indicado na figura:
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21. (Vunesp) Na figura, os pontos C, D e B são colineares e
os triângulos ABD e ABC são retângulos em B̂ .
7
6
4
e)
5
d)
24. Um balão meteorológico encontra-se preso ao solo por
dois cabos, supostos retilíneos, e inclinados de 60o e 45o
com a horizontal. A distância entre os pontos de fixação
dos cabos no solo é de 1 000m. A altura aproximada
do balão é:
a) 320m
ˆ é 60o e a medida do ângulo
Se a medida do ângulo ADB
ˆ
o
ACD é 30 , demonstre que:
a) AD = DC;
b) CD = 2.DB.
22. (UFRJ) A figura abaixo mostra duas circunferências que
se tangenciam interiormente. A circunferência maior tem
centro em O. A menor tem raio r = 5cm e é tangente
a AO e a OB.
b) 449m
c) 412m
d) 556m
e) 635m
25. (UFRJ) Na figura dada temos um semicírculo de raio R e
centro O. O ângulo entre o raio OB e o lado DC é q.
a) Calcule os lados do retângulo ABCD em função de
R e q.
Sabendo-se que o ângulo AÔB mede 60o, calcule a
medida do raio R da circunferência maior.
23. (Unirio-ENCE)
b) Mostre que a área do retângulo ABCD é máxima para
q = 45≡º.
26. (UERJ) Um holofote está situado no ponto A, a 30
metros de altura, no alto de uma torre perpendicular ao
plano do chão. Ele ilumina, em movimento de vaivém,
uma parte desse chão, do ponto C ao ponto D, alinhados
à base B, conforme demonstra a figura abaixo:
Na figura acima, o valor da secante do ângulo interno
C é igual a:
5
3
4
b)
3
5
c)
4
EM_V_MAT_024
a)
Se o ponto B dista 20 metros de C e 150 metros de D,
a medida do ângulo CÂD corresponde a:
a) 60°
b) 45°
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31. (UFRJ) Os pontos A, B, C, D, E, F, G e H dividem uma
circunferência de raio R, em oito partes iguais, conforme
a figura abaixo:
c) 30°
d) 15°
27. No triângulo ABC da figura, tem-se AC = 2m e os
ângulos B̂ = 45º e Ĉ = 60º.
Calcular o lado BC do triângulo.
28. (ITA) Num losango ABCD, a soma das medidas dos
ângulos obtusos é o triplo da soma das medidas dos
ângulos agudos. Se a sua diagonal menor mede d cm,
então sua aresta medirá:
a)
b)
c)
d)
e)
Calcule a medida do lado AD do octógono estrelado
em função de R.
32. Na figura mostre que b2m + c2n = x2a + mna, (relação
de Stewart).
d
2+ 2
d
2− 2
a
d
2+ 3
33. Na figura abaixo, AB = BC = 1m e o diâmetro AD = 4 m
.
d
3− 3
d
3− 2
29. (UFRJ) Observe o paralelogramo ABCD:
Calcule o seguimento CD .
�
34. Na figura abaixo, AB = CD = 1m , CAD
= 30o e BAD
o
= 90 .
2
2
Calcule o seguimento BD.
35. Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem
4cm e 5cm respectivamente, e uma das diagonais tem
por medida 6cm. Calcule a medida da outra diagonal.
18
Determine o raio da circunferência circunscrita.
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EM_V_MAT_024
Calcule AC + BD em função de AB = a e BC = b .
30. (UFRJ) O polígono regular côncavo representado na
figura tem lado de medida igual a 1cm e o ângulo a
mede 120o.
36. Calcule a soma dos senos dos ângulos de um triângulo
de semiperímetro p e raio do círculo circunscrito igual
a R.
37. (Fuvest)
1
3 − x2
, então um valor
3x 2
x −1
de x que verifica essas igualdades é:
41. Se cossec θ =
e séc θ =
1
a)
b)
c)
A corda comum de dois círculos que se interceptam
é vista de seus centros sob ângulos de 90o e 60o,
respectivamente. Sabendo-se que a distância entre
seus centros é igual a 3 + 1 determine os raios dos
círculos.
38. (Unicamp) A água, utilizada na casa de um sítio, é captada e bombeada do rio para uma caixa d’água a 50m de
distância. A casa está a 80m de distância da caixa d’água
e o ângulo formado pelas direções caixa d’água-bomba
e caixa d’água-casa é de 60o. Se se pretende bombear
água no mesmo ponto de captação até a casa, quantos
metros de encanamento serão necessários?
39. Na figura abaixo, calcule o lado do triângulo equilátero ABC,
sabendo que PA = 3 cm , PB = 4 cm e PC = 5 cm .
d)
e)
2
1
3
1
4
3
4
3
2
42. (Unificado) Se sen x =
a) 0,6
2
3
, valor de tg2x é:
b) 0,7
c) 0,8
d) 0,9
e) 1
43. (UFF) Determine os valores de m de modo que se
verifiquem simultaneamente as igualdades:
sen x =
cotg x = m + 1 44. (UFRGS) Para
1
40. (Unificado) Se sen x – cos x = , o valor de
2
senx . cosx é igual a:
a)
b)
EM_V_MAT_024
c)
d)
e)
m+2
 π π
todo x ∈  − ,  , o valor de
 2 2
( tg x + 1) ⋅ (sen
2
3
2
m + 2m + m + 1
2
)
x − 1 é:
a) –1
b) 0
c) 1
−3
d) cos2x
16
e) –sec2x
−3
45. (UFRJ) Mostre que:
8
sec2x ⋅ cossec2x = sec2x +cossec2x
46. (Unificado) O valor da expressão P = 1 – 4sen2x +
6sen4x – 4sen6x + sen8x é igual a:
3
8
3
4
3
a) cos4 x
b) cos8 x
c) sen2 x
2
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19
d) 1
e) 0
47. (Vunesp) Se x, y são números reais tais que
y=
cos 3 x − 2 cos x + sec x
2
cos x sen x
a) y = sec2x
então:
b) y = tg2x
c) y = cos2x
d) y = cossec2x
20
EM_V_MAT_024
e) y = sen2x
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16. D
17. C
1. B
2. B
3. B
4. A
5. C
6. B
7.
B
8. A
9. B
10. A
11. C
12. B
EM_V_MAT_024
13. 20(p + 3)cm
14. 15,8cm
15. A
18. E
19. D
20. B
21. C
22. A
23. C
24. D
25. C
26. D
27. E
28. D
29. E
30. C
31. C
32. C
33. C
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21
25.
7m
m
34.
35. C
a) BC = Rsenq e AB=2Rcosq
36. A
b) S = R2 sen2q e 2q = 90º
37. D
26. B
38. A
27.
39. E
28. B
40. B
29. 2a2 + 2b2
41. E
(
30.
3 cm
2
31.
2+ 2 R
42. D
43. E
)
3 +1 m
32. Resposta pessoal.
33. 3,5cm
34.
1. C
3
35.
2. A
2m
46cm
P
r
3. D
36.
5π
cm
3
5. A
37. R1 = 2 e R2 = 2
6. B
39.
7.
40. C
4.
38. 70m
B
8. A
8R
9.
5
145p
10.
, aproximadamente
4
2p
11.
3
12. B
13. D
25 + 12 3cm
41. E
42. C
43. m = 0 ou m =
44. A
–1 + 5
2
45. Demonstração
46. B
47. B
14. 2 voltas
15. 2 + tg a + cotg a + cossec a – sec a
16. E
17. 2cm
18. 8 minutos
19. 30o
20. 50 3m
m
21. Resposta pessoal.
EM_V_MAT_024
22. 15cm
23. A
22
24. E
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EM_V_MAT_024
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