Português
ÍNDICE
Interpretação de Textos.......................... 03
Conceito de Redação .............................. 06
INTERPRETAÇÃO DE TEXTOS
Ler o texto com atenção. O texto é o fundamento, a base de todas as
respostas. Portanto, a coisa mais importante a fazer é lê-lo com muita atenção.
Recomendam-se duas leituras.
1
LEITURA DE RECONHECIMENTO
É o primeiro contato com o texto e visa a investigar não somente o
texto, mas também o que dele é questionado. Faz-se necessário o
reconhecimento do assunto e o direcionamento que deve ser imprimido para
se chegar com êxito à resolução correta.
2
LEITURA PROFUNDA
É mais dirigida, deve-se argumentar (se possível, com o próprio texto)
a resposta correta. Assim, se a questão refere-se ao primeiro parágrafo, tenta-se
encontrar lá, no primeiro parágrafo, a justificativa para a resposta apresentada.
3
ALGUNS EXEMPLOS
(FUVEST) Questões de 1 a 4.
Fantasmas Primitivos e Superstições Cibernéticas
O Brasil é um país de contrastes. Enquanto diplomatas do Itamaraty
pretendiam explicar aos americanos do Departamento de Estado como
funciona a reserva de mercado para fabricantes brasileiros de equipamentos de
informática, políticos ilustres – entre os quais um governador, um ministro de
Estado, um prefeito e dois candidatos ao governo de um grande Estado da
Federação – reuniram-se num ato público impressionante: o enterro de Mãe
Menininha do Gantois.
Mãe Menininha do Gantois era a mais famosa sacerdotisa de cultos
espíritas de origem africana no Brasil. Sua morte foi pranteada por
compositores de rock, romancistas cotados para o Prêmio Nobel, artistas
plásticos respeitados, cantores de música popular, boêmios notórios e notáveis
do poder das repúblicas Nova e Velha. Seu enterro parou a vida de uma das
Português
122
3
maiores cidades do país, Salvador, capital da Bahia, ao som dos atabaques e sob
os olhares comovidos de milhares de pessoas que se enfileiraram nas calçadas
das ruas do centro da cidade, por onde o cortejo passou.
Diante do cortejo imenso e da importância política que presenças
ilustres deram ao ato, resta-nos raciocinar sobre o imenso esforço de educação
que é necessário para que o Brasil se transforme numa nação moderna, em
condições de competir com os maiores países do mundo. A importância
exagerada dada a uma sacerdotisa de cultos afro-brasileiros é a evidência mais
chocante de que não basta ao Brasil ser catalogado como a oitava maior
economia do mundo, se o país ainda está preso a hábitos culturais
arraigadamente tribais. Na era do chip, no tempo da desenfreada competição
tecnológica, no momento em que a tecnologia desenvolvida pelo homem torna
a competição de mercados uma guerra sem quartel pelas inteligências mais
argutas e pelas competências mais especializadas, o Brasil, infelizmente, exibe
a face tosca de limitações inatas, muito dificilmente corrigíveis por processos
normais de educação a curto prazo. Enquanto o mundo lá fora desperta para o
futuro, continuamos aqui presos a conceitos culturais que datam de antes da
existência da civilização.
(O Estado de S. Paulo)
1. De acordo com o texto:
a) a reserva de mercado de equipamentos de informática pertence a políticos
ilustres.
b) o ato público impressionou os políticos ilustres.
c) Mãe Menininha do Gantois era uma política ilustre.
d) o Itamaraty explicou que o Brasil é um país de contrastes.
e) o enterro de Mãe Menininha do Gantois foi um ato público.
2. Segundo o texto:
a) reserva de mercado é bom para políticos ilustres.
b) Mãe Menininha do Gantois era africana.
c) alguns romancistas foram cortados do Prêmio Nobel.
d) milhares de pessoas assistiram ao enterro.
e) Salvador é a maior cidade do país.
3. Conforme o texto:
a) presenças ilustres deram importância política ao enterro.
b) a guerra pelo mercado se desenvolve nos quartéis.
c) os hábitos culturais do Brasil fazem dele a oitava maior economia do mundo.
d) com a informática, os processos de educação serão corrigidos a curto prazo.
e) para que o Brasil se transforme em nação moderna, precisa competir com os
maiores países do mundo.
4
122
Português
4. Pelo texto, o Brasil “está preso a hábitos culturais arraigadamente tribais”
porque:
a) ainda faz reserva de mercado para fabricantes brasileiros de equipamentos
de informática.
b) seus políticos vão a funerais de todas as figuras públicas do país.
c) continuamos presos a valores culturais anteriores à civilização.
d) os diplomatas insistem em explicar aos americanos o funcionamento da
reserva de mercado de equipamentos de informática.
e) os políticos tiram proveito das cerimônias fúnebres.
RESPOSTAS
1. e
“... – reuniram-se num ato público impressionante: o enterro de Mãe Menininha
do Gantois.”
2. d
“Seu enterro parou a vida de uma das maiores cidades do país, (...) sob os
olhares comovidos de milhares de pessoas...”
3. a
“Diante do cortejo imenso e da importância política que presenças ilustres
deram ao ato, ...”
4. c
“... continuamos aqui presos a conceitos culturais que datam de antes da
existência da civilização.”
Português
122
5
CONCEITO DE REDAÇÃO
Do latim redactione, redação é o ato ou efeito de redigir.
É o processo pelo qual sistematizamos, na língua escrita, as idéias
resultantes das nossas observações e reflexões sobre os seres ou sobre os fatos
que nos impressionam.
Como se sabe, o ato de redigir exige insistência e reflexão, bem como
certo preparo intelectual e compreensão dos problemas do homem,
tornando-se indispensáveis leituras criteriosas e informações seguras.
Revistas informativas, jornais e bons livros – tanto de literatura, quanto
de divulgação científica – são boas leituras e contribuem para a perfeita
formação do conteúdo.
A mente aberta é receptiva a todos os tipos de informações e a mesma
mente, quando corretamente orientada, saberá selecionar argumentos segundo
sua própria necessidade.
1
NORMAS TÉCNICAS DA REDAÇÃO
Quanto à forma ou apresentação gráfica da redação, convém
conhecermos algumas normas técnicas indispensáveis, tais como:
Título
O título deverá ser centralizado. Se for uma citação, coloque-o entre
aspas. Não deve ser muito longo e procure fazê-lo significativo, de modo a
torná-lo atraente e incentivar o leitor a querer ler seu texto.
Estética
Esteticamente, a redação deve ser limpa, manter uma margem
uniforme. A cada início de parágrafo, deixar a mesma distância. Evite rasuras.
Letra
Procure ter letra legível. O que se escreve é o veículo da comunicação.
Se a letra for muito ruim, dificulta a leitura e, dessa maneira, a compreensão
torna-se truncada.
Quando a letra for muito ruim, não existem problemas na utilização da
letra de forma, desde que haja distinção entre maiúsculas e minúsculas.
6
122
Português
Tinta
Azul ou preta. Não faça a redação a lápis. Também não é conveniente
utilizar outras cores de tinta.
2
GÊNEROS REDACIONAIS:
DESCRIÇÃO – NARRAÇÃO – DISSERTAÇÃO
Quando nos dispomos a escrever sobre o universo que nos rodeia, a
nossa expressão assume três aspectos básicos: descritivo, narrativo e
dissertativo. É importante salientarmos que pode haver especificidade de cada
um, isto é, uma exposição de caráter apenas descritivo, narrativo, ou
dissertativo, como pode ocorrer, também, simultaneidade desses aspectos ou
gêneros, sendo possível o predomínio de um gênero sobre o outro ou outros.
A. Descrição
É a representação de quadros ou cenas, a partir da perspectiva do
observador (autor).
O autor cuja observação, à semelhança de uma câmera fotográfica, fixa
apenas um determinado momento ou posição ou situação dos seres, vai-nos
descortinando as diversas cenas ou quadros, através de um ângulo pessoal,
particular.
Por conseguinte, é indispensável o recurso sistemático da observação
para que, depois de uma apreensão da realidade observada, o autor possa
selecionar e coordenar os aspectos mais importantes, sem menosprezar
particularidades significativas.
Embora possa apresentar verbos de ação, o gênero descritivo
caracteriza-se por um predomínio de substantivos e adjetivos, o que lhe confere
certa estaticidade.
Exemplo:
“No pé da serra do Araticum ficava a propriedade do velho Bento
Vieira. Aquelas terras vinham dos antigos da família. A casa pobre de taipa, o
curral de pedra, o cerrado de pau-a-pique diziam bem a idade de tudo. O lugar
era triste. Nada nos horizontes extensos, de uma vista que enchesse de gozo o
espectador. Um buraco, como diziam. Mas era que ali embaixo passava o
córrego, nasciam águas que só deixavam de correr nas secas violentas.
Procuraram o pé da serra por estas facilidades.
Português
122
7
Podiam ter construído a casa-grande no alto, lá em cima donde se
avistava a caatinga se sumindo, se estendendo nos seus relevos, subindo e
baixando como um mar. Quiseram fincar mesmo no pé da serra a casa-grande.
O gado não precisaria de grandes caminhadas para o bebedouro e o povo
encontraria ao alcance da mão a água de beber, que era tudo por aquelas
bandas. O povo de Araticum nunca quisera muita coisa do destino. Dessem-lhe
de beber, que o mais se arranjava sem muitos cuidados.
As terras do velho Bento Vieira recebiam gados de todo o mundo. Não
eram extensas, não dispunham de um mundo como outras fazendas vizinhas.
Mas tinham do melhor, do que havia de mais fresco pelo sertão.”
(José Lins do Rego, Pedra Bonita.)
B. Narração
É uma seqüência de fatos ou episódios.
Na técnica narrativa, há um acontecimento que é narrado, um público
que ouve ou lê o que se narra, e um narrador, intermediário a ambos.
Este último, representado pelo autor, pode ocultar-se atrás de uma
personagem, na boca da qual põe a narração.
Ao contrário da descrição, o que caracteriza a narração é o
predomínio de verbos e circunstâncias verbais, o que confere ao gênero
narrativo certa dinamicidade.
Por outro lado, podemos surpreender uma preocupação, da parte do
autor, em coordenar os fatos narrados, atribuindo-lhes uma relação de
causalidade.
Exemplo:
“Há muito, muito tempo, num reino bem distante, num clima de fausto
e alegria, viviam o Rei Reinaldo e Bob, seu bobo. Reinaldo tivera vários bobos,
prendados e alegres, serviçais e prontos, mas a nenhum dedicara estima igual à
que dedicava a Bob. Porém, havia nessa estima um fundamento, uma
motivação: Bob era um verdadeiro alter-ego do monarca, chorava com seu
pranto, sofria com suas dores, preocupações, etcétera. De modo que, na
medida do possível de uma felicidade, o rei era feliz. Com seu bobo. E o bobo
feliz. Com seu rei.
Eu disse que era um reino antigo e longínquo. Esqueci-me de dizer
que era um reino atrasado. Longe estavam por vir os tempos dos feudos, o
tempo da burguesia, do capitalismo e do triunfante proletariado em marcha
acelerada para o esputinique. Nesse reino, retrógrado e obsoleto, chegou um
dia Marco Pólo trazendo novidades: o ouro, o incenso, a mirra, a pólvora, o
papel, o macarrão e, maravilha das maravilhas, o espelho. Com o espelho,
8
122
Português
Marco Pólo trouxe, naturalmente, o fascínio da autocontemplação e sua
conseqüente amargura. Pois ninguém é herói para o seu criado de quarto nem
tão belo quanto pretende. Depois que Marco Pólo se foi, o rei, que mal e mal se
tinha olhado no espelho, escondendo e dominando seu espanto e terror,
fechou-se a sós com o bobo num quarto e contemplou-se longamente. E, ao
contemplar-se, seus olhos se marejaram de lágrimas, se encheram de água,
transbordaram de pranto. O bobo Bob perguntou imediatamente – ‘Por que
choras, meu rei?’ ‘Choro’ – explicou o rei, sem relutância – ‘porque acabo de
descobrir, horrorizado, que sou o homem mais feio da Terra.’ Diante dessa
explicação, o bobo também começou a chorar, acompanhando o monarca.
Três horas depois, cansado e lavado, o rei parou de chorar. Mas o bobo
continuou chorando pela tarde afora e pela noite adentro. Afinal, não
conseguindo detê-lo, o rei perguntou – ‘Bobo Bob, porque você continua a
chorar dessa maneira?’ ‘É natural, senhor’ – explicou o bobo –, ‘se o senhor,
apenas porque se contemplou no espelho um minuto, chorou três horas, eu,
que devo olhá-lo sempre, tenho que chorar a vida inteira.’
Moral: Quem ama o feio, leva cada susto!”
(Millôr Fernandes, Fábulas Fabulosas.)
C. Dissertação
É uma seqüência de opiniões que podem ser pessoais ou alheias.
A dissertação é a exposição metódica de opiniões e idéias de cunho
social, cultural, político, econômico, científico, filosófico, etc., valendo-se,
sistematicamente, da reflexão e da argumentação, vazadas numa linguagem
sóbria e apropriada.
A dissertação deve ser clara, com rigor de definições, e ser lógica na
exposição, com argumentos metodicamente coordenados.
Talvez, por essas características, a dissertação seja o gênero mais
solicitado nos concursos, vestibulares e exames e provas em geral.
Exemplo:
“O conteúdo da arte, da religião e da filosofia é muito mais rico e a sua
estrutura muito mais opaca do que os das ciências naturais e das matemáticas; é
assim, mesmo quando comparado com os de Direito e os de Estado, nos quais
as condições econômicas são enunciadas mais diretamente, isto é, de uma
forma menos sublimada.
Mas o fato de as condições características de um certo sistema
econômico serem enunciadas mais diretamente em disposições legais em vigor
e em instituições políticas do que nas tendências contemporâneas da filosofia
ou da arte, não significa que a arte e a filosofia sejam mais independentes do
Português
122
9
que o pensamento jurídico ou político das verdadeiras condições de vida. De
fato, continuam a usar a realidade sócio-histórica imediata numa maior
extensão do que o Direito com suas leis codificadas ou o Estado com suas
instituições estereotipadas.
No caso da arte e da filosofia, o mecanismo da causação social pode
estar oculto, mas não é menos decisivo nem de menor alcance do que noutros
campos culturais.”
(Arnold Hauser, Teoria da Arte.)
10
122
Português
Matemática
ÍNDICE
Tópicos Pedidos e Exemplos ................... 13 a 28
TÓPICOS PEDIDOS E EXEMPLOS
Nota: em sua maior parte, os exercícios aqui apresentados admitem outras
formas de resolução.
Procuramos escolher, para cada caso, a maneira mais adequada à
exemplificação, que não é necessariamente a forma mais usual.
A – CONJUNTOS NUMÉRICOS E OPERAÇÕES
I. Números Naturais e Inteiros. Operações; mmc e mdc
Exemplos:
a) −3 + 2 ⋅ ( −5 + 4) + 8 ⋅ [1 − ( −1)] = 11
b) mmc (42, 26) = 546
mdc (42, 26) = 2
II. Números Racionais. Operações
Exemplos:
2
1
1⎞
6
1
⎛
a)
− 4⋅
+ 2 ⋅ ⎜1 − ⎟ =
=1
⎝
⎠
3
5
3
5
5
3
1
b) 0,333 ... =
=
9
3
125 − 1
124
62
0,1252525 ... = 0,125 =
=
=
990
990
495
, − 3 ⋅ 0,01
0,3 ⋅ 15
c)
= 1,68
0,25
2
2
2
d)
=
=
= −2
1
1
1−2
1−
1−
1
1
1−
2
2
III. Números Irracionais. Operações
Exemplos:
a) Os números 2 , 5 , π são irracionais.
b) 2 +
c) 1 +
3 −
2 +
2 − 5 +3 +
3 = 2 3
5 = 4 +
2
d) O número ( 5 − 3 )( 5 + 3 ) é racional, pois ( 5 − 3 )( 5 + 3 ) =
= ( 5 ) 2 − 3 2 = 5 − 9 = −4.
Matemática
122
13
IV. Números Reais
Exemplos:
3
a) Racionalizando o denominador da fração
=
3
5 −
5 +
⋅
2
2
5 +
=
2
3( 5 +
5 −
2)
2
( 5 ) − ( 2)
=
2
3
, temos
5 −
2
3( 5 +
3
2)
= 5 +
2
=
2.
b) R + é o conjunto de todos os reais x tais que x ≥ 0.
c) −4 não é um número real.
B – POTÊNCIAS E RAÍZES: DEFINIÇÕES, PROPRIEDADES
E OPERAÇÕES
I. Definições: Potências com Expoentes Inteiros
Exemplos:
a) 2 0 = 1
b) ( −2) 3 = ( −2) ⋅ ( −2) ⋅ ( −2) = −8; − 23 = −2 ⋅ 2 ⋅ 2 = −8
c) −2 4 = −2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = −16; ( −2) 4 = ( −2)( −2)( −2)( −2) = 16
d) 2 −4 =
1
2
=
4
1 ⎛ 3⎞
;⎜ ⎟
16 ⎝ 5 ⎠
−2
⎛5⎞
= ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
2
=
52
3
=
2
25
9
II. Propriedades de Potências com Expoentes Inteiros
Exemplos:
a) 25 ⋅ 2 4 = 25 + 4 = 2 9
b)
210
2
3 4
c) (2 )
= 2
3⋅ 4
= 2
12
d) 23
8
4
= 210 − 8 = 22
= 2 (3
4
)
= 2 81
e) (2 ⋅ 5 ) 2 = 22 ⋅ 5 2
III. Raízes: Definições e Propriedades
Exemplos:
a) 4 = 2;
3
8 = 2;
3
b) 2 ⋅ 3 =
2⋅3 =
c) 2 +
2+3
14
3 ≠
−1 = −1
6
122
Matemática
IV. Expressões contendo Potências e Raízes
Exemplos:
−2
1
a) 25 + 23 − ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ 2⎠
⎛ 1⎞
(0,2) 2 − ⎜ ⎟
⎝5⎠
=
c)
d)
4
9
=
=
0,04 − 5
0,444. . .
b)
=5 +8 − 4 = 9
−1
2
3
2
3
=
=
1
124
−5
−
25
25
2 ⎛ 25 ⎞
25
⋅ ⎜−
⎟ = −
3 ⎝ 124 ⎠
186
54 + 56
=
54
1
2
+
3
8
5 4 (1 + 5 2 )
= 26
54
1
=
2
+
3
2 2
=
2+3
2 2
=
5
2 2
=
5
2 2
⋅
2
2
=
5 2
4
C – CONJUNTOS: PERTINÊNCIA, INCLUSÃO E
OPERAÇÕES (∪, ∩, −)
I. Uso dos Símbolos ∈e ⊂
Exemplo:
Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {2, 3}, temos, por exemplo,
1 ∈ A, 2 ∈ A, 2 ∈ B, B ⊂ A, A ⊄ B.
II. ∪, ∩, −
Exemplos:
a) Sendo A = {2, 4, 6, 8}, B = {1, 3, 5}, C = {2, 4, 6}, temos A ∩ B = 0, A ∩ C =
= {2, 4, 6} = C, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}, A ∪ C = {2, 4, 6, 8} = A;
A − C = {8}; C − A = 0; A − B = {2, 4, 6, 8} = A.
b) Representando A, B e C através do diagrama de Venn, temos:
Matemática
122
15
D – EQUAÇÕES DOS TIPOS
ax + b = 0, ax 2 + bx + c = 0 (a, b, c ∈ R)
I. ax + b = 0
Exemplos:
x −3
= 5 no universo dos reais.
2
x −3
4x − 6 + x − 3
10
Temos 2x − 3 +
=5 ⇔
=
⇔ 5x − 9 = 10 ⇔
2
2
2
19
.
⇔ 5x = 19 ⇔ x =
5
⎧ 19 ⎫
Logo V = ⎨ ⎬ (V: conjunto verdade).
⎩5 ⎭
2x − 1
b) Resolver a equação
− 3x = −2x + 3.
2
2x − 1
2x − 1 − 6x
−4x + 6
Temos
− 3x = −2x + 3 ⇔
=
⇔
2
2
2
⇔ −4x − 1 = −4x + 6 ⇔ 0x = 7.
Logo V = 0.
a) Resolver a equação 2x − 3 +
II. ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ) U = R
⎧ −b − Δ −b + Δ ⎫
Δ > 0 ⇒ V = ⎨
,
⎬
2a
2a
⎩
⎭
b⎫
Δ = 0 ⇒ V = ⎧⎨ −
⎬
2a
⎩
⎭
Δ < 0 ⇒ V = 0
b
c
e x1 ⋅ x2 =
.
Se existirem raízes x 1 e x 2 , então x 1 + x 2 = −
a
a
Exemplos:
Δ = b 2 − 4ac
a) A equação x 2 − 2x − 5 = 0 tem V = {1 −
6, 1 +
6 }.
b) A equação 2x 2 − 8x = 0 tem V = {0, 4}.
c) A equação − x 2 + 9 = 0 tem V = { −3, 3}.
d) A equação x 2 − 8x + 16 = 0 tem V = {4}.
e) A equação x 2 + x + 1 = 0 tem V = 0.
f) Na equação 2x 2 − 9x − 6 = 0, a soma das raízes é
9
e o produto das raízes
2
é −3.
g) Determinar m na equação x 2 + 2(m + 1)x + 4m + 1 = 0 para que as raízes
sejam iguais.
16
122
Matemática
Resolução:
As raízes são iguais se, e somente se, Δ = 0. Temos:
Δ = (2(m + 1)) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (4m + 1) = 0 ⇔ 4m 2 − 8m = 0 ⇔
⇔ 4m(m − 2) = 0 ⇔
m = 0 ou m = 2
E – OPERAÇÕES COM EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
I. Soma, Subtração, Multiplicação e Divisão de Polinômios
Exemplos:
a) a2 b + 3ab − 4a2 b + 5 − 3ab = −3a2 b + 5
b) (x 2 + 1) + (x 2 − x + 1) + (3x 2 + x − 2) =
= x 2 + x 2 + 3x 2 − x + x + 1 + 1 − 2 = 5x 2
c) (x − 1) + (x 2 − x − 1) − (x 2 + 1) = −3
d) (x + 1) ⋅ (x 2 − 3x + 1) = x ⋅ (x 2 − 3x + 1) + 1 ⋅ (x 2 − 3x + 1) =
= x 3 − 3x 2 + x + x 2 − 3x + 1 = x 3 − 2x 2 − 2x + 1
e) 5x 2 − 6x + 1
5x − 1
2
x −1
−5x
+ x
quociente: x − 1
resto: 0
−5x + 1
+5x − 1
0
II. Valor Numérico de uma Expressão Algébrica
Exemplo:
O valor numérico da expressão:
3xy − 4x 2 y 3 para x = −1 e y =
1
1
1
é 3( −1) ⎛⎜ ⎞⎟ − 4( −1) 2 ⎛⎜ ⎞⎟
⎝ 2⎠
⎝ 2⎠
2
3
= −2.
III. Produtos Notáveis, Fatoração
Sendo a, b, x reais quaisquer, temos:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b 2
(a − b)2 = a2 − 2ab + b 2
(a − b)(a + b) = a2 − b 2
(x − a)(x − b) = x 2 − (a + b)x + ab
Matemática
122
17
Exemplos:
a) (x − 2) 2 = x 2 − 4x + 4
b) ( 2 +
c) (5 −
3 )2 = ( 2 )2 + 2 ⋅
3 )(5 +
2 ⋅
3 + ( 3 )2 = 2 + 2 6 + 3 = 5 + 2 6
3 ) = 5 2 − ( 3 ) 2 = 25 − 3 = 22
d) (x − 2)(x − 3) = x 2 − 5x + 6
2x − 6
e) Simplificar a fração
.
2
x − 5x + 6
Resolução:
2x − 6
2(x − 3)
2
Temos
(para x ≠ 3 e x ≠ 2).
=
=
2
(x
−
2)(x
−
3)
x
−2
x − 5x + 6
f) Fatorar a expressão 6x − 3y + 2xy − 9.
Resolução:
6x − 3y + 2xy − 9 = 6x + 2xy − 3y − 9 = 2x(3 + y) − 3(y + 3) =
= (y + 3)(2x − 3)
F – PROBLEMAS DO 1º E 2º GRAUS
Para resolver esses problemas, devemos relacionar os dados do
enunciado através de equações. A solução da equação é a solução do
problema.
Exemplos:
3
1
da população são mulheres e dos homens têm 15 anos ou
5
3
menos. Sabendo que há 45 000 homens com mais de 15 anos, calcule o número
de habitantes da cidade.
a) Numa cidade,
Resolução:
Seja x esse número. Temos, como número de homens:
3x
5x − 3x
2x
x −
=
=
;
5
5
5
homens com 15 anos ou menos:
1
2x
1 2x
2x
de
=
⋅
=
;
3
5
3
5
15
homens com mais de 15 anos:
2x
2x
6x − 2x
4x
.
−
=
=
5
15
15
15
4x
15 ⋅ 45 000
Assim
= 45 000 ⇔ x =
⇔ x = 168 750.
15
4
Concluímos que a cidade tem 168 750
18
habitantes.
122
Matemática
b) O quadrado de um número inteiro é 3 unidades maior que a sua metade.
Qual é esse número?
Resolução:
x
2
x
=
+ 3 ⇔ 2x 2 = x + 6 ⇔ 2x 2 − x − 6 = 0 ⇔
2
x = 2
∨
x = −
Como x é inteiro, então o número procurado é
3
2
2 .
G – PORCENTAGEM E JUROS SIMPLES
I. Porcentagens
Para x, A ∈ R, temos:
x
x
x% de A =
x% =
⋅A
100
100
Exemplos:
20
a) 20% de 500 =
⋅ 500 = 100
100
b) x + 20% de x = x + 0,2x = (1 + 0,2)x = 1,2x
c) Uma loja vende R$ 15.000,00 em janeiro. Aumenta suas vendas de 8% em
fevereiro e 6% em março. Quanto vende em março?
Resolução:
15 000 + 8% de 15 000 = 15 000 + 1 200 = 16 200
16 200 + 6% de 16 200 = 1,06 ⋅ 16 200 = 17 172
Resposta:
Vende
R$ 17.172,00 .
II. Juros Simples
O capital c, colocado à taxa i (dada em porcentagem) por período,
durante t períodos, rende o juro j dado por j = c ⋅ i ⋅ t.
Exemplos:
a) Calcular o juro simples produzido por R$ 50.000,00, durante 8 meses, à taxa
de 120% ao ano.
Resolução:
c = 50 000; i = 120% ao ano = 10% ao mês; t = 8 meses
Assim:
50 000 ⋅ 10 ⋅ 8
j = 50 000 ⋅ 10% ⋅ 8 =
= R$ 40.000,00
100
Matemática
122
19
b) Uma pessoa colocou um certo capital rendendo juros simples durante 2 anos
e recebeu um montante igual a 3 vezes o capital inicial. Qual era a taxa de juros?
Resolução:
Sendo m o montante, temos m = c + j.
Como m = 3 ⋅ c e j = c ⋅ i ⋅ 2, temos:
3 ⋅ c = c + c ⋅ i ⋅ 2 ⇔ 2 ⋅ c = 2 ⋅ c ⋅ i ⇔ i = 1 = 100%
Resposta:
A taxa era de
100%
ao ano.
H – PROPORÇÕES E REGRA DE TRÊS
I. Proporções
Exemplos:
2
4
é uma proporção, pois 2 ⋅ 6 = 3 ⋅ 4.
=
3
6
x +1
2
, temos:
b) Determinando x na proporção
=
x
3
a) A igualdade
3(x + 1) = 2x ⇔ 3x + 3 = 2x ⇔
c) Se
x = −3
a
c
a+ b
c +d
.
= , então
=
b
d
b
d
d) A soma de dois números é 60 e a razão entre eles é
2
. Determinar esses
3
números.
Resolução:
a
2
a+ b
2+3
60
5
b = 36
=
=
=
⇔
⇔
⇔
b
3
b
3
b
3
a = 24
a + b = 60
a + b = 60
a + b = 60
II. Regra de Três Simples
Exemplos:
a) Um motor gasta, a cada 5 dias, R$ 581,00 de combustível. Quanto gastará em
26 dias?
Resolução:
581
x
20
5
26
x =
581 ⋅ 26
= R$ 3.021,20
5
122
Matemática
b) 8 máquinas beneficiam 10 toneladas de arroz em 12 dias. Quantas máquinas
serão necessárias para beneficiar a mesma quantidade de arroz em 4 dias?
Resolução:
8
x
12
4
x =
8 ⋅ 12
= 24 máquinas
4
I – PROBLEMAS SIMPLES ENVOLVENDO GRANDEZAS
FÍSICAS
Exemplos:
a) Um automóvel anda 2h30min com a velocidade constante de 80 km/h;
aumentando a velocidade para 90 km/h, anda mais 1h20min. Qual é a distância
percorrida pelo carro?
Resolução:
Sabendo que distância percorrida = velocidade x tempo, e que
1
5
2h30min = 2 h +
h =
h
2
2
20
1
4
1h20min = 1 h +
h =1h +
h =
h, temos:
60
3
3
5
d 1 = 80 ⋅
= 200 km
2
4
d 2 = 90 ⋅
= 120 km
3
Logo a distância total percorrida é d = d 1 + d 2 = 320 km
b) Uma torneira enche um tanque em 8 horas e outra torneira enche o mesmo
tanque em 4 horas. Em quantas horas as duas torneiras juntas encherão o
tanque?
Resolução:
1
do tanque; a segunda, em uma hora,
8
1
1
1
3
do
enche
do tanque. As duas juntas, em uma hora, enchem
+
=
4
8
4
8
tanque. O tempo t necessário para as duas torneiras juntas encherem o tanque é
3
⋅ t = 1.
8
8
2
Logo t =
horas = 2 h +
h = 2h40min
3
3
Em uma hora, a primeira torneira enche
Matemática
122
21
J – GEOMETRIA PLANA
I. Retas e Ângulos no Plano
Exemplos:
a) A reta r é perpendicular à reta s, que é perpendicular à reta t. Qual é a posição
entre as retas r e t?
Resposta:
r é coincidente com t ou é paralela a t.
b) Na figura ao lado, calcular x, sabendo
que r//s.
Resposta:
x = 30 o
c) Um ângulo mede o triplo de seu complemento. Qual é a sua medida?
Resposta:
Seja x a medida do complemento. A medida procurada é 3x.
Temos:
x + 3x = 90 o ⇔ 4x = 90 o ⇔ x = 22,5 o
A medida procurada é 3x = 67,5 o = 67 o 30’
II. Triângulos: Congruência, Semelhança e Teorema de Pitágoras
Exemplos:
a) Na figura ao lado, os segmentos AR
e BH interceptam-se nos seus pontos
médios. Demonstrar que AB ≅ RH (≅ :
congruente).
22
122
Matemática
Demonstração:
AR e BH interceptam-se no ponto F (ponto médio de AR e BH); logo, AF = RF e
FB = FH (I).
$ e RFH
$ são opv, temos AFB
$ ≅ RFH
$ (II).
Como AFB
De (I) e (II), pelo caso LAL de congruência de triângulos, temos:
ΔAFB ≅ ΔRFH. Logo
AB ≅ RH
b) Na figura a seguir, determinar x e y.
Solução:
Na figura ao lado, os
triângulos ABC e A’B’C’ são
semelhantes.
5
4
3
Logo,
.
=
=
10
x
y
Portanto, x = 8 e y = 6.
c) Na figura ao lado, o quadrilátero de vértices C, D, E,
F é um quadrado. Sabendo que BC = 6 e AC = 3,
calcular a medida do lado do quadrado.
Solução:
BC
BC − DC
.
=
AC
ED
Como DC = ED = x, BC = 6 e AC = 3, temos:
6
6 − x
=
⇔ 6x = 18 − 3x ⇔ 9x = 18 ⇔ x = 2
3
x
O lado do quadrado mede 2 .
ΔABC ~ ΔEBD. Logo
d) Teorema de Pitágoras
d 1 ) No triângulo ao lado, qual é a relação entre as
medidas a, b e c?
Resposta:
a2 = b 2 + c 2 (Teorema de Pitágoras)
d 2 ) Na figura ao lado, o triângulo ABC é
retângulo em B. Escrevendo-se:
AB = b; BC = c; AC = a; AM = m; MC = n;
BM = h e lembrando que ΔABC ~ ΔBMC ~
~ ΔAMB, pode-se deduzir as relações métricas
no triângulo retângulo. Por exemplo:
ah = bc
am = b 2
Matemática
122
an = c 2
23
d 3 ) No triângulo ao lado, PR = 6 e RQ = 8.
Calcular PQ, PM, MQ, RM.
Resposta:
PQ =
62 + 82 =
PM ⋅ 10 = 6 2 ⇔
100 ⇔ PQ = 10
PM = 3,6
MQ = 10 − 3,6 = 6,4
MQ ⋅ 10 = 8 2 ⇔
(MQ poderia ser calculado também assim:
MQ = 6,4 )
RM ⋅ 10 = 6 ⋅ 8 ⇔ RM = 4,8
III. Relações Trigonométricas Elementares no Triângulo Retângulo
a) No triângulo retângulo a seguir, definimos:
b) Mostre que tgα =
senα =
b
c
b
; cosα =
; tgα =
a
a
c
senβ =
c
b
c
; cosβ =
; tgβ =
a
a
b
senα
.
cosα
Solução:
b
b
senα
tgα =
= a =
c
c
cosα
a
c) Calcule senα, cosα e tgα no triângulo ABC, retângulo em B.
Solução:
Pelo Teorema de Pitágoras, AC = 5 2 . Assim:
senα =
cosα =
tgα =
24
3 2
5 2
4 2
5 2
3 2
4 2
=
=
3
= 0,6
5
=
4
= 0,8
5
3
= 0,75
4
122
Matemática
d) Na figura ao lado,
ABCD é um
retângulo, CD = 20 e MN = MB.
Calcule NB.
Resolução:
Sendo MN = MB = NC = x, temos:
3
x
= tg 30 o =
⇔
20 − x
3
⇔ 3x = 20 3 −
3 x ⇔ (3 +
3 )x = 20 3 ⇔ x =
MBCN é quadrado, temos NB =
Como
NB =
2 ⋅
20 3
3 +
3
⇔ NB =
20 6
3 +
20 3
3 +
3
2 x, isto é,
.
3
Nota: se quisermos racionalizar o denominador da fração anterior, fazemos:
20 6
3 +
3
=
20 6
3 +
3
⋅
3 −
3 −
3
3
=
20 6 (3 −
3
2
− ( 3)
3)
2
=
60 6 − 60 2
=
6
= 10 6 − 10 2 = 10 2 ( 3 − 1)
Logo
NB = 10 2 ( 3 − 1) .
IV. Circunferências
a) Na circunferência desenhada ao lado, C é o centro
e r, o raio.
Note que d = 2r e que o comprimento da
circunferência é 2πr ( π ≅ 3,14 ).
Exemplo:
b) Na figura a seguir AB = 5 e AP = 4.
Sabendo que B’P = 12, calcule A’B’.
Resolução:
ΔABP ~ ΔB’A’P
B’A’
AB
,
Logo
=
AP
B’P
e assim
A’B’
5
=
⇔ A’B’ = 15
4
12
Exemplo:
c) Na circunferência anterior, se PB = 6, calcule PA’.
Matemática
122
25
Resolução:
B’P ⋅ PB = AP ⋅ PA’
Logo 12 ⋅ 6 = 4 ⋅ PA’ ⇔ PA’ = 18 .
Exemplo:
d) Calcular x na figura ao lado:
Resolução:
(4 + x) ⋅ x = 16 ⋅ 6 ⇔ x 2 + 4x − 96 = 0
Como x > 0, concluímos que
x = 8 .
Exemplo:
e) Na circunferência ao lado, AC é um diâmetro.
Calcule o valor de x, y e z.
Resolução:
Como o ΔABC é retângulo, pelas relações
métricas no triângulo retângulo:
(10 + 4) ⋅ 10 = x 2 ⇔ x = 2 35
(10 + 4) ⋅ 4 = y 2 ⇔ y = 2 14
(10 + 4) ⋅ z = xy ⇔ z = 2 10
V. Polígonos Regulares
Exemplo:
a) O polígono (regular) de 12 lados chama-se dodecágono (regular). Calcule
quantas diagonais ele tem e a soma das medidas de seus ângulos
internos.
Resolução:
O número de diagonais de um polígono convexo qualquer de n lados (n ≥ 3) é
n(n − 3)
e a soma das medidas de seus ângulos internos é I = (n − 2)180 o .
N =
2
12(12 − 3 )
No caso, N =
= 54 diagonais e I = 1 800 o .
2
Exemplo:
b) Calcule a medida do lado do octógono regular inscrito na circunferência de
raio 10.
Resolução:
Na figura a seguir, ΔABC é retângulo.
26
122
Matemática
Logo l 2 = AM ⋅ AC.
Mas AM = AO − OM =
10 2
= 10 −
=
2
= 10 − 5 2 = 5(2 − 2 ).
Portanto l 2 = 20 ⋅ 5(2 −
l =
100(2 −
2 ), isto é,
2 ) = 10 2 −
2
VI. Cálculo de Alguns Perímetros e Áreas
Exemplos:
a) retângulo:
perímetro: 30 m
área:
50 m 2
b) triângulo:
área: 25 cm 2
Como x + y =
temos x + y =
x 2 + y 2 + 2xy , x 2 + y 2 = 100 e xy = 50
100 + 100 = 10 2 .
Logo o perímetro é 10 + 10 2 cm .
c) trapézio:
O perímetro é 36 + x e a área é
x + 16
⋅ y onde
2
3
y = 10 sen 60 o = 10
=5 3 e
2
x = 16 − 2 ⋅ 10 ⋅ cos 60 o = 6.
Logo o perímetro é de 42 mm e a área é de 55 3 mm 2 .
Matemática
122
27
d) setor circular:
A área do círculo ao lado é πr 2 = 100 π.
A área S do setor destacado é:
S =
100 π ⋅ 60 o
360
o
=
50 π
3
e) Calcular a área destacada na figura ao lado.
Resolução:
AO = 6
2
3
AO =
⋅ AM ⇔ AM =
⋅ AO = 9
3
2
3
temos:
2
2
18
⋅ AM =
= 6 3
3
3
Como AM = BC ⋅
BC =
A área do ΔABC é 27 3 e a do círculo é 36π.
A área da região destacada é 36π − 27 3 =
28
9( 4 π − 3 3 ) .
122
Matemática