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SCHEILA DA ROSA ROCHA
MODELAGEM MATEMÁTICA
Criciúma, 2004
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SCHEILA DA ROSA ROCHA
MODELAGEM MATEMÁTICA
Monografia apresentada à Diretoria de PósGraduação da Universidade do Extremo Sul
Catarinense – UNESC, para a obtenção do
título de especialista em Educação Matemática.
Orientador: Profª. MSc Ledina Lentz Pereira
Criciúma, 2004
3
Dedico este trabalho a toda minha família, aos
amigos e professores que estiveram comigo nesta
constante caminhada ao conhecimento.
4
Agradeço a Deus pelo dom da vida e pela
oportunidade dos estudos e da convivência com
pessoas que me proporcionaram aprender mais.
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RESUMO
Este trabalho é relato de uma pesquisa bibliográfica avaliativa numa abordagem
ontogênica, cujo objetivo foi fazer um estudo da Modelagem Matemática como
metodologia no processo de ensino-aprendizagem. E, além disso, desenvolveu-se
também uma experiência em sala de aula, que possibilitou um diagnóstico do
desempenho dos alunos da 3ª série do Ensino Médio em resolver sistemas lineares
aplicados a situações reais, analisando quais as contribuições da modelagem, quando
se trabalha a solução de problemas do cotidiano.
Pôde-se constatar, tanto na pesquisa quanto na modelagem aplicada, que o papel do
aluno como indivíduo ativo no processo de produção do conhecimento, é que faz a
diferença na proposta da modelagem se comparada a outras propostas. Também, a
importância da mediação do professor em todo o processo, bem como no seu total
domínio do conteúdo matemático trabalhado.
Palavras-chave: Modelagem Matemática, processo ensino-aprendizagem, metodologia
de ensino e resolução de problemas.
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SUMÁRIO
RESUMO
V
1 INTRODUÇÃO
07
2 MODELAGEM MATEMÁTICA
09
2.1 Conceituação de Modelagem Matemática
09
2. 2 As correntes em Modelagem Matemática
11
2.3 Modelagem Matemática como Metodologia de Ensino-Modelação
12
2.4 Modelagem e currículo
20
2.5 Papel dos Modelos
26
2.6 Modelagem na Formação de Professores
26
3 METODOLOGIA
33
4 APLICAÇÃO DA MODELAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA
35
CONSIDERAÇÕES FINAIS
42
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
46
ANEXOS
49
7
1 INTRODUÇÃO
Um dos desafios constantes aos profissionais do ensino tem sido a melhoria
da qualidade do ensino da Matemática. Ao longo dos anos pensa-se numa escola onde
todos tenham igual oportunidade de aprendizado, e que o acesso ao conhecimento não
represente o poder apenas de alguns privilegiados.
A Matemática, na maioria das vezes, continua sendo apresentada em sala
de aula como pronta e acabada. Embora, seja fruto da atividade do indivíduo frente ao
conhecimento científico e a sua interação em seu meio social.
Uma das grandes dificuldades enfrentadas pelos professores de Matemática
está em relacionar os conteúdos trabalhados em sala de aula com o dia-a-dia do aluno,
ou seja, dar significado e agregar valores àquilo que está sendo ministrado.
Os exemplos mencionados para explicação de determinada situação nada
mais são que, modelos que emergem da necessidade de demonstrar a aplicabilidade
da Matemática. Ou seja, modelos matemáticos são formas de estudar e formalizar
fenômenos do dia-a-dia, tornando o aluno mais consciente da utilidade da matemática
para resolver e analisar problemas do cotidiano.
A necessidade do conhecimento de uma metodologia que aproxime o
conhecimento científico ao cotidiano foi o que se objetivou no capítulo 2 deste trabalho,
uma pesquisa bibliográfica que aborda o tema Modelagem Matemática. Tal tema é
considerado por pesquisadores da área como uma metodologia que possibilita um
ambiente de ensino-aprendizagem. Ou seja, apresenta-se uma possibilidade de ensino,
8
na qual o educando estabelece relações, justifica, analisa, discute e cria a partir das
atividades vivenciadas.
Com o objetivo de avaliar a pesquisa bibliográfica deste trabalho, relata-se
também, no quarto capítulo, o resultado de uma experiência desenvolvida, com uso da
modelagem/modelação matemática como metodologia, na terceira série do ensino
médio. Finaliza-se o relato da pesquisa com as considerações finais apresentadas no
capítulo 5.
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2 MODELAGEM MATEMÁTICA
2.1 Conceituação de Modelagem Matemática
O homem sempre desejou entender a origem de sua existência. No início
dos tempos procurou segurança contra os predadores e fenômenos da natureza,
buscou alimentação e organizou-se em grupos sociais. Logo, então surgiram
observações da sua ação sobre o meio. Na medida que as necessidades humanas
foram aumentando e mudando, os questionamentos, a busca da origem das coisas ao
seu redor e a de sua própria existência, proporcionaram um constante aperfeiçoamento
da compreensão de mundo.
Quando impossibilitado de lidar diretamente com a complexibilidade das
coisas do mundo, o homem desenvolveu a capacidade de criar metáforas para
representação e solução de sua relação com a realidade.
O processo de estruturação da realidade ao seu redor é um fenômeno de
modelagem.
Quando se trabalha uma situação com o uso de exemplos, gráficos ou
tabelas, está se interpretando o fato real através de modelos. Além de representar a
realidade, o modelo simula a mesma, guardando suas proporções.
Trabalhando com o concreto real, a mente do homem trabalha com
estruturas de substituição que visam proporcionar um melhor raciocínio, tais estruturas
nada mais são que modelos. A modelagem matemática é um método da matemática
10
aplicada, usada em problemas de cunho econômico, biológico, geográfico e outros
ramos. Tem como objetivo reduzir um fenômeno a termos da situação real para termos
matemáticos.
A matemática como atividade humana tem seu desenvolvimento nos
problemas da vida real da sociedade.
Sem dúvida a Matemática possui problemas próprios, que não têm ligação
imediata com outros problemas da vida social. Mas não há dúvida também de
que os seus fundamentos mergulham tanto como os de outro ramo qualquer da
Ciência, na vida real; uns e outros entroncam na mesma madre.(CARAÇA,
1951)
Tratando-se do emprego de modelos no ensino de matemática, segundo
Fiorentini (1995) “O movimento de Modelagem Matemática internacional e nacional
tomou contorno nos últimos trinta anos, contando com a contribuição decisiva de
matemáticos aplicados que migraram para a área da Educação Matemática”.
A modelagem é vista como um processo de sentido global que tem início numa
situação real problematizada, onde se procura a solução por meio de um
modelo que traduzirá em linguagem matemática as relações naturais do
problema de origem, buscando a verificação e validação ou não do modelo com
os dados reais. (MENDONÇA apud MUNARI, 2002, p. 6)
Conforme Bassanezi (1990) “No Brasil, Modelagem está ligada à noção de
trabalho projeto. [...] os alunos em grupo, [...] devem eleger temas de interesse para
serem investigados por meio da matemática contando com o acompanhamento do
professor”.
E uma visão atual da modelagem matemática como alternativa de ensino, é
apresentada por Meyer apud Munari (2002, p. 6): “[...] o trabalho educacional com
modelagem matemática leva a uma prática atual , contextual [..] de um saber que nos
11
leva a conclusões que se expressam de modo objetivo, crítico, confiável e
extremamente útil”.
2.2 As correntes em Modelagem
Segundo Barbosa (2000, p. 2): “a corrente pragmática argumenta que o
currículo deve ser organizado em torno das aplicações.” Os itens matemáticos
trabalhados na escola devem ser aqueles úteis à realidade. A ênfase é colocada no
processo de resolução de problemas aplicados, sendo que, o estudo volta-se aos
aspectos externos da matemática.
A corrente científica, busca estabelecer relações com outras áreas. Vê a
modelagem como uma forma de introduzir novos conceitos e considera a Matemática
uma ciência em forma de guia indispensável para ensino da mesma como disciplina do
currículo.
Destaca-se uma terceira corrente, a sócio-crítica. Nela os alunos analisam,
examinam e fazem questionamentos, ou seja, verificam se os resultados realmente são
válidos. Todas as questões formuladas são de dimensão do conhecimento reflexivo.
Nesta visão, não é apropriada a separação entre aquilo que é útil ou não a realidade, o
que parece não ter aplicação atualmente, mas pode gerar novas idéias futuramente.
12
2.3 Modelagem Matemática como Metodologia de Ensino - Modelação
Há algum tempo o questionamento de como ensinar matemática de maneira
agradável para professores e alunos vem sendo tema de preocupação, estudo e
discussão de vários profissionais. Pensa-se que Matemática agradável é a pura e
aplicável, ou seja, a que funciona dentro do currículo programado, mas associada à
vida real.
O equilíbrio entre o formalismo e aplicabilidade fica mais difícil de acontecer,
pelos diversos fatores que envolvem o processo de ensino-aprendizagem. Entre eles a
formação dos professores, que implica nas estratégias usadas para se obter um ensino
de qualidade com uma matemática agradável.
Atualmente verifica-se a necessidade de ir além das simples resoluções das
questões matemáticas, promovendo atividades que propiciam o aprendizado da teoria
trabalhada. A metodologia de modelagem Matemática tem como um dos seus principais
objetivos despertar no aluno o interesse pelos conhecimentos que ele ainda não
conhece, o estimulando a investigar situações de outras áreas por meio da Matemática.
Situações-problema são trabalhadas por meio de pesquisa, para que o aluno possa
desenvolver sua criatividade. Conforme Barbosa (2000, p. 3): “Modelagem [...] trata-se
de uma oportunidade para os alunos indagarem situações por meio da Matemática sem
procedimentos fixados previamente e com possibilidades de encaminhamento.”
Segundo Biembengut (2000): “O método que busca desenvolver um
conteúdo do currículo, a partir de um modelo matemático, chama-se modelação
matemática.” Como objetivo busca-se a aplicabilidade da matemática e a verificação,
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por parte dos educandos, da sua importância para a formação de cidadãos mais hábeis
e criativos.
O ensino voltado para resolver problemas de interesse da comunidade,
incentiva os alunos a participarem da atividade. O que não tem ocorrido na proposta da
prática tradicional, principalmente em nosso país, onde a ênfase maior é dada ao
produto e não ao processo, o que implica na má qualidade do ensino.
O fato é que as escolas, em particular as universidades, possuem um ensino
que ainda funciona no sistema de autotransmissão, no qual as pessoas passam
em exames e ensinam outras a passar em exames, mas ninguém sabe muita
coisa. (BASSANEZI, 2002, p. 176)
Para desenvolver o conteúdo através da modelação é necessário que o
professor conheça a realidade dos alunos e perceba o conhecimento matemático que
eles desenvolveram até então. Partindo deste, utiliza-se de um tema que será
transformado em modelo. O ambiente de aprendizagem que o professor organiza pode
apenas colocar o convite. A participação do aluno ocorre à medida que seus interesses
estejam de acordo com esse convite.
Na modelagem do ponto de vista sócio-crítico, a indagação ultrapassa a
formulação ou compreensão de um problema. A indagação se faz pela investigação, e
são tidas como indissociáveis, conforme Barbosa (2000, p. 4) “Se o aluno não avança
no conhecimento das informações sobre a situação em estudo, não pode indagá-la; e
vice-versa”.
A produção do conhecimento matemático, tem ocorrido de forma
desvinculada ao contexto sócio-político-cultural, ou seja, não há preocupação em tornálo útil. Essa produção, muitas vezes, apresenta-se como produção simplesmente da
mente humana. Essa falta deve-se à despreocupação dos matemáticos em saber como
14
essa construção do conhecimento realmente acontece. Conforme Bassanezi (2002, p.
171):
“Não
seria
justamente
da
falta
de
aprofundamento
nos
padrões
cognitivos/epistemológicos, da parte dos matemáticos e educadores matemáticos, que
decorrem muitos dos problemas em educação matemática?”.
Matemáticos, conscientes da dificuldade de compreensão do conhecimento
científico por parte dos leigos, priorizam como interesse o rigor e o formalismo das
estruturas matemáticas. O conhecimento científico da Matemática acaba sendo
construído então, por pessoas que não têm o hábito de questionar, de perguntar a si
próprio para que serve esse ou aquele conhecimento. Tais profissionais se consideram
auto-suficientes a ponto de diagnosticarem que a Matemática aplicada é apenas uma
produção inferior da Matemática pura.
Percebe-se que a matemática pura, constrói objetos de estudos próprios,
criados apenas na mente humana, construídos de modo conceitual. A mesma
Matemática pura, segue a tendência formalista, onde o conhecimento não é significativo
fora do âmbito ao qual foi criado. Por outro lado, há profissionais que acreditam
descobrir o conhecimento existente, e aproveitam-no para fins benéficos a várias áreas.
A utilização de modelos matemáticos em outras áreas do conhecimento, fez
com que a matemática fosse penetrando em campos da economia, química, biologia,
física e outras.
A modelagem Matemática, como metodologia, tem suas origens no método
utilizado pelos profissionais da Matemática aplicada, e pode assumir diferentes
perspectivas. Entre elas, a de desenvolver nos estudantes a participação assídua no
processo e contribuir para construção de seu conhecimento científico.
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É esperado que durante o processo, ocorra o entendimento dos conceitos e
técnicas do conhecimento discutido. Desse modo, o objeto de estudo contribui como
suporte e motivador da aprendizagem. Sendo que uma das inúmeras justificativas para
se utilizar modelagem matemática como estratégia de ensino-aprendizagem é a relação
que esta faz da matemática com a realidade. Desenvolve-se o conhecimento reflexivo e
o engrandecimento humano em aspectos também extramatemáticos. Neste sentido
encontra-se literaturas que servem de forte argumento para esta expectativa:
[...] o ponto de vista que me parece de fundamental importância e que
representa o verdadeiro espírito da Matemática é a capacidade de modelar
situações reais, codificá-las adequadamente, de maneira a permitir a utilização
das técnicas e resultados conhecidos em um outro contexto, novo. Isto é, a
transferência de aprendizado resultante de uma certa situação para a situação
nova é um ponto crucial do que se poderia chamar aprendizado da Matemática,
e talvez o objetivo maior do seu ensino. (D’AMBRÓSIO, 1986, p. 44)
Entende-se que a modelagem viabiliza a interação da Matemática escolar
com aquela extracurricular.
Para que o aluno saia da posição passiva, onde apenas recebe informações, e
se torne um sujeito ativo e participante, é necessário que ele se envolva no
desenvolvimento de todo o processo de modelagem, não apenas das etapas
em que as ênfases são os aspectos puramente matemáticos. (NISS, 1992)
Neste sentido, é essencial que o professor adquira e desenvolva habilidades
para contornar o fato de ter que cumprir o programa, e ainda a falta de interesse dos
alunos em desenvolver as atividades propostas. O professor deve saber qual o
momento oportuno para fazer a sistematização dos conteúdos associados às situações
problemas.
Na modelação o professor pode escolher modelos que se adaptem ao
currículo escolar proposto. A modelagem/modelação é uma forma de ensino prazerosa,
que da significado ao conhecimento ao qual se trabalha. Eventualmente, apresentam-
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se dificuldades de adequação ao currículo escolar, quando os temas são escolhidos
pelos alunos. E isso exige um acompanhamento constante por parte dos professores.
Bassanezi (2002) diz que “A participação dos alunos na escolha do tema,
que pode ser orientada e não imposta, é muito importante, os faz sentir responsáveis
pelo seu próprio aprendizado.”
Processo de modelagem, segundo Biembengut (2000):
Exposição
do tema
Seleção
de
questões
Formulação
de questão
Conteúdo
programático
Resolução
de uma
questão
Exemplos
análogos
Modelo
Validação
A modelagem, segundo Biembengut (2000): “Tem como objetivo criar
condições para que os próprios alunos façam modelos matemáticos, aprimorando seus
conhecimentos.” Espera-se com a modelagem um incentivo à pesquisa, em temas do
próprio interesse do investigador, onde se possa aplicar o conteúdo matemático de
forma criativa”.
Em todo decorrer do processo destaca-se a extrema necessidade de que o
professor esteja interado do assunto, para que então os objetivos esperados pela
metodologia sejam realmente alcançados.
17
O ensino da matemática deve propiciar ao aluno principalmente: sólida
formação no conteúdo científico; capacidade de solucionar problemas e realizar
pesquisa; bem como o trabalho em grupo e com uso de novas tecnologias. Para tal, o
professor pode adotar uma avaliação de verificação do grau de aprendizagem, sob
aspectos de observação no decorrer do processo ou através de provas, exercícios ou
trabalhos de exposição oral ou escrita.
Na observação o aluno será avaliado quanto a sua forma de participação,
assiduidade, realização de tarefas e disponibilidade e auxílio de trabalhos com outros
alunos. O trabalho com a modelagem apresenta melhores resultados quando
desenvolvido em pequenos grupos de três ou até quatro alunos.
Nas provas e trabalhos devem ser observados: a consolidação e criticidade
do conhecimento teórico; o raciocínio lógico; a qualidade dos questionamentos quando
produzidos em grupos de trabalho; a interpretação de modelo; a validade das soluções
fornecidas pelo modelo e a síntese qualitativa de compreensão real.
Conforme Munari (2002, p. 13): “Essa maneira de avaliar permite levar em
consideração vários aspectos: iniciativa, discernimento, participação, criatividade,
capacidade de interação, persistência nos objetivos propostos [...]”
Então, a avaliação da aprendizagem é feita sob os aspectos motivacionais e
aspectos cognitivos. Motivacionais são os aspectos formados por: envolvimento nas
atividades; elaboração de estratégias próprias e aprendizagem extraconteúdo.
Aspectos cognitivos compreendem: compreensão conceitual; construção e manipulação
de representações múltiplas; aplicação do conhecimento a situações novas e, retenção
do conhecimento por longo tempo.
18
A ocorrência ou não destes aspectos leva o professor a concluir se houve ou
não aprendizagem significativa. Uma avaliação que mostra pouca adequação das
respostas dos alunos, propicia o re-direcionamento do processo na busca do objetivo
proposto. Isso garante a flexibilidade para o alcance do objetivo por diversos
procedimentos.
É necessário fazer-se adaptações que permitam a utilização da modelagem
Matemática como favorecimento de pesquisa e criação de modelos por parte dos
alunos, sem perder de vista as regras educacionais.
Pela literatura, por exemplo, podemos conhecer as opiniões de pesquisadores
que consideram que por meio da modelagem e a da modelação, não se podem
ensinar novos conceitos matemáticos, mas apenas melhorar a habilidade dos
alunos em aplicar matemática; e posição de outros que defendem a modelagem
como processo ideal para ensinar matemática.(BIEMBENGUT, 2002, p. 29)
O professor audacioso que se dispõe a aprender constantemente, para
mudar ou melhorar sua prática, é aquele que buscará empregar a modelagem no
ensino-modelação. A experiência deve ser feita de forma gradual de acordo com o
tempo, possibilitando sempre o planejar e o re-planejar, para obter-se um resultado
satisfatório. Conforme Bassanezi (2002, p. 180) “[...] o desafio do professor, que toma o
caminho da modelagem como método de ensino, é ajudar o aluno a compreender,
construindo relações matemáticas significativas em cada etapa do processo”.
Para o mesmo autor “O sistema educacional no Brasil tem passado por
mudanças, o que se reflete também na educação. Os profissionais procuram um ensino
mais dinâmico e abrangente.” Toda essa realidade exige da universidade o
desenvolvimento de cursos que proporcionem trabalhos com projetos e ações
pedagógicas, que inclua as aplicações matemáticas de modo significativo. Tais cursos
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devem oferecer toda essa prática aos alunos não só por meio de projetos e atividades
propostas, mas principalmente através da prática realizada pelos próprios professores
atuantes nesses cursos universitários.
Estudos no sentido de diagnosticar a aprendizagem e valorização da
matemática ensinada, constataram que :
Aprendemos
Retemos
1% através do gosto
10% do que lemos
1,5% através do tato
20% do que escutamos
3,5% através do olfato
30% do que vemos
11% através da audição
50% do que vemos e escutamos
83% através da visão
70% do que ouvimos e logo discutimos
90% do que ouvimos e logo realizamos
(BALZAN apud BASSANEZZI,2002, p. 179)
O professor deve adotar meios que ofereçam um ambiente propício a
aprendizagem significativa. Deve-se fazer uma análise conceitual, para se verificar
quais os conceitos básicos e a partir deles organizar os materiais e as atividades.
Para Ausubel et al. (1980):
Uma educação que promove uma Aprendizagem Significativa deve considerar o
processo de construção de significados como elemento central do processo de
ensino e aprendizagem. Aliadas a esta condição devem ser consideradas três
condições básicas para que o ensino conduza a uma Aprendizagem
Significativa: a) O material organizado para o ensino deve ser potencialmente
significativo; b)a estrutura cognitiva do aluno deve dispor de conhecimentos
prévios que permitam o relacionamento do que o aluno já sabe com os
conhecimentos novos; c) o aluno deve apresentar uma predisposição positiva
para aprender de maneira significativa, ou seja, para relacionar o conhecimento
que já tem com o que aprender.
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É importante encontrar a melhor maneira de relacionar os aspectos
importantes do conteúdo a ser trabalhado com as estruturas matemáticas já obtidas
pelo aluno. Sendo assim, durante o trabalho alguns conceitos são conhecidos e outros
estão sendo revisados.
O produto da aprendizagem significativa é a aquisição de significados claros.
O estudante deve distinguir os significados aceitos e os não aceitos em um certo
contexto. A avaliação deve servir para o professor avaliar o material e os métodos
adotados além de averiguar o nível de desenvolvimento que já se encontra.
Desse modo, acredita-se que um estudante obtém um conhecimento sobre
determinado assunto interagindo com outros alunos e com o professor. A ação e a troca
de significados entre os indivíduos do processo ensino-aprendizagem proporciona a
aprendizagem significativa.
2.4 Modelagem e currículo
Para que o conteúdo trabalhado esteja incluso no programa curricular
previamente estabelecido, a escolha do tema deve partir do professor. Porém, se o
mesmo, prefere que os alunos sejam participantes no processo, a escolha deve partir
deles. O ambiente de aprendizagem de modelagem, baseado na indagação e
investigação, se diferencia da forma tradicional de ensino, pois busca estabelecer
relações com a realidade e com outras áreas do conhecimento. Do ponto de vista,
curricular , percebe-se que a mudança levará algum tempo.
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É um desafio compatibilizar os conteúdos do programa curricular para
determinada série e o conteúdo possível, trabalhando com a modelagem matemática.
Na modelagem não existe uma seqüência rígida, pois os conteúdos são determinados
pelo problema do interesse do grupo. Mas com a realização de experiências o professor
vai adequando situações para que esses conteúdos possam ser desenvolvidos.
A forma de desenvolver o trabalho com a Modelagem envolve simultaneamente
questões do tipo: desenvolver os conteúdos matemáticos simultaneamente com
o processo de modelagem? Desenvolver, inicialmente, o processo e,
posteriormente, o conteúdo matemático? A adoção de uma ou outra depende
do nível e da série trabalhada. Seria desejável que o trabalho envolvesse,
simultaneamente, o processo e os conteúdos matemáticos. Contudo, o
professor saberá fazer a sua opção no âmbito do seu trabalho, em função da
sua experiência e do seu discernimento. (MUNARI, 2002, p. 14)
A modelagem Matemática permite que o conteúdo repita-se algumas vezes
em momentos diferentes, o que proporciona a compreensão de idéias fundamentais e
da importância da matemática no cotidiano e na vida de cada indivíduo.
Segundo Barbosa (2004, p. 5): ”Pode-se falar de modelagem de três formas
diferentes”. Na primeira, o professor descreve um problema, com as informações
necessárias para a resolução do mesmo, cabendo ao aluno apenas o processo de
resolução. Na segunda, o professor traz um problema de outra área, cabendo aos
alunos investigar, obter informações necessárias à resolução. E na terceira, onde os
alunos formulam e resolvem problemas, coletam e simplificam informações.
Observando as três formas, verifica-se que professores e alunos podem se envolver de
diferentes maneiras no método de modelagem no currículo e no processo de ensinoaprendizagem. Ora a presença da pessoa do professor é mais constante, ora ele
compartilha do transcorrer do processo da mesma forma que os alunos. Seu papel é o
de mediador da relação ensino-aprendizagem, isto é, tira dúvidas e insere novos pontos
de vista em relação aos problemas.
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No desenvolvimento do conteúdo o professor, segundo Biembengut (2000),
segue as etapas de modelagem,:
1. Reconhecimento da situação-problema: Primeiramente é preciso compreender a
situação-problema que se pretende estudar, organizando as informações
conseguidas em ralação a situação. A forma como o professor trata o tema,
influencia na motivação do aluno. Ele deve incentivar o aluno, para que este seja
sempre atuante em todo o processo.
A forma como o professor demonstra seu conhecimento e interesse sobre o
tema em questão pode contribuir, significativamente, para a motivação dos
alunos. Afinal só aprende quem quer. E a arte de ensinar depende da
Conquista para o querer aprender.(BIEMBENGUT, 2000, p. 20)
A pesquisa sobre o assunto é uma atividade sistemática que vai além da
percepção imediata e pode contribuir muito para o tema sendo feita com auxílio
tanto de materiais, quanto de pessoas da comunidade. Os próprios pais dos
alunos podem prestar informações, tornando o momento extremamente positivo,
porque os pais participam de forma efetiva nos assuntos da escola. A geração de
conceitos e conclusões teóricas são indispensáveis para a aplicabilidade. Sem
teoria a prática fica fragilizada. Tem-se que levantar hipóteses e analisá-las,
definindo variáveis essenciais envolvidas , cujas relações conduzem ao problema
matemático que se precisa resolver.
2. Resolução de problemas: nesta etapa o professor formula questionamentos para
que os alunos proponham respostas, a partir destas atingem as metas
esperadas. Segundo Biembengut (2000, p. 22): “A resolução da questão
norteadora faz com que o aluno retorne ao problema e verifique novamente a
matemática como ferramenta importante”. O termo formular traz consigo uma
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carga matemática. As fórmulas ou equações do modelo, não existem prontas e
acabadas, elas devem ser criadas ou identificadas. Para uma boa tradução das
idéias são necessários intuição, experiência, criatividade e poder de síntese.
3. Modelo: para Biembengut (2000, p. 22): “a questão que permite a resolução do
problema é considerada modelo matemático. A análise do mesmo por parte dos
alunos em determinado momento denomina-se validação”.
4. Validação: A validação ou aceitação do modelo depende dos recursos disponíveis
do sujeito que se dispõe a elaborar o modelo. Além disso, quando um modelo
parece inadequado à determinada situação, procura-se outros caminhos para
construir outro melhor, pois essa constante busca é a essência da modelagem
matemática.
Um modelo que pode ser considerado bom ou ruim, simples ou satisfatório,
estético ou feio, útil ou inútil, mas seria difícil dizer se é verdadeiro ou falso [...] a
utilidade de um modelo está precisamente em seu sucesso de imitar ou
predizer o comportamento do Universo. (DAVIS & HERSH apud BASSANEZI,
2002, p. 174)
A utilidade do modelo depende da necessidade humana. Para os
profissionais da Matemática pura, o conceito matemático é considerado útil quando
aproveitado para parte da pesquisa matemática. Percebe-se que grande parte do que
se tem pesquisado e construído não é utilizado pela grande maioria dos próprios
matemáticos.
No fim da década de 40, Von Neumann estimou que um matemático hábil
poderia saber, essencialmente, 10% estaria disponível [...] uma classificação
mais detalhada mostraria que a literatura matemática esta subdividida em mais
de 3000 categorias [...] Na maioria destas categorias, cria-se matemática nova a
uma velocidade constantemente crescente, tanto em profundidade quanto em
extensão. (DAVIS & HERSH apud BASSANEZI, 2002, p. 175)
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Porém acredita-se que a Matemática pura é de alguma forma aplicável. Um
bom pesquisador deve realmente ter um bom conhecimento matemático, organizandoos através de uma linguagem universal.
A informática teve um papel muito importante na evolução e propagação da
Matemática aplicada. Essa Matemática é interdisciplinar e torna aplicável alguma
estrutura matemática. Logo, torna-se indispensável, a modelagem como instrumento da
Matemática aplicada. Desse ponto de vista, a construção matemática busca sintetizar
idéias obtidas através do ambiente empírico. Segundo Bassanezzi (2002, p. 177): “O
caminho tomado pela [...] modelagem
matemática, se aproxima da concepção
platônica [...], pois é como se o modelo já estivesse lá em algum lugar da Matemática”.
Para que os modelos sejam eficientes, segundo Hein (2001, p. 30-31), são
necessários:
a) Foco holístico: ao procurar-se a solução de um problema, é significativa a
preocupação com o relacionar e a habilidade em lidar com os impactos da solução
sobre outras realidades. Conforme D’Ambrosio (1997) “Não é possível explicar,
conhecer, entender, manejar, lidar com a realidade fora do contexto holístico. Tem-se
não mais que visões parciais e incompletas da realidade”. Se a solução criar outros
problemas, que anulem a contribuição, o foco holístico é indispensável.
b) Tratamento eclético: os métodos a serem utilizados devem se apresentar
da forma mais livre possível. Estudo e questionamento não devem ser considerados
bases individualmente únicas, para a modelagem, mas sim complementares. A
construção de modelos é um processo que articula a dedução e a indução na prática. É
inegavelmente uma atividade subjetiva, que muitas vezes exige esforço absolutamente
técnico. Nos casos da vida real, os fatores predominantes serão conhecimentos e
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habilidades largamente conhecidos, cuja aprendizagem estão ao alcance do
modelador.
c) Tradução adequada:
Uma boa tradução contextual pode ser expressa através de um correto
isomorfismo entre fenômeno e modelo.O processo de tradução contextual deve
identificar os elementos fundamentais que posteriormente serão manipulados
pelos métodos de solução. (HEIN, 2001, p. 31)
A tradução contextual é necessária num bom modelo. Na medida que a
tradução produz uma representação pelos métodos existentes a utilização do modelo é
definida.
A compreensão do modelo não define a simplicidade da solução, muitas
vezes modelos de fácil compreensão exigem muito estudo para sua solução. Modelos
simples são abordados sem base científica, ou seja, apenas na experiência. Ao passo
que, modelos complexos exigem um profundo embasamento científico. Um modelo
simples possui uma área de abrangência simples e definida. Sua influência é
homogênea e possui um número reduzido de variáveis, o que não acontece com
modelos mais complexos.
Coube a engenharia de sistemas uma significativa parcela de contribuição no
processo de estruturar e sistematizar os esforços de modelagem.Dentro de uma
abordagem sistêmica, uma atividade complexa precisa de realização em várias
etapas, modelar é representar a realidade ou sistemas originais através de
sistemas de substituição, denominados modelos. (HEIN 2001, p. 32)
Um modelo é similar a realidade, o suficiente para que as conclusões obtidas
através da análise, possam ser entendidas para a realidade. Logo, para a formalização
do sistema são indispensáveis desenhos ou símbolos, funções de desempenho em que
possíveis entradas nos sistemas são associadas às próprias saídas geradas pelo
mesmo.
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Modelos podem ser concretos, quando são físicos ou geométricos, e
abstratos, quando são matemáticos, lógicos e esquemáticos.
2.5 Papel dos Modelos
É indispensável perceber a importância do uso de ferramentas quantitativas
dentro dos sistemas produtivos da atualidade. Fica clara a posição da modelagem
matemática como estratégia para a resolução de problemas não só em sala de aula,
mas para o bem-estar humano.
O mundo globalizado está sofrendo mutação no sentido de expandir a
consciência. O comportamento humano, as pressões sociais, a ecologia e outras
causas, acabaram transformando em bastante complexo o ambiente em que vivemos.
Segundo Hein (200, p. 35): “Os modelos quantitativos não são capazes de,
sozinhos, fazerem uma organização satisfatória da tarefa do bem-estar, nem definem
uma estratégia para o futuro.”Porém, permitem que o tomador de decisões seja capaz
de examinar inúmeros cenários e possa tirar proveito daquilo de que dispõe. Os
modelos não podem tomar decisões, mas as tornam mais claras de serem tomadas.
2.6 Modelagem na formação de professores
Os princípios das reformas educacionais dão cada vez mais, prioridade ao
desenvolvimento de atitudes intelectuais, na medida em que o mundo social quer cada
27
vez mais pessoas pensantes e com capacidade de resolver as coisas de forma
autônoma.
As propostas de junção das aulas de matemática à modelagem matemática,
contribuem ao desejo dos parâmetros curriculares. Nos quais no ensino da matemática,
se deve dar mais ênfase as atividades de reflexão em oposição aos exercícios. Essa
marca está citada em um dos fundamentos organizadores do processo ensinoaprendizagem da matemática.
A situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não a
definição. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos
matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou
seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de
estratégia para resolvê-los. (BRASIL,1999)
A modelagem matemática como metodologia de ensino depende muito da
formação do professor. Devendo ser uma formação que não se limita apenas a
reproduzir conceitos e conteúdos matemáticos, mas que também tenha sido estimulado
o senso crítico e participativo. Pois, a organização das atividades de modelagem
depende muito das possibilidades do contexto escolar e do nível de flexibilidade do
professor perante o método.
A utilização da modelagem em sala de aula como prática pedagógica,
depende do compromisso do professor, exige um controle de processos que vão além
de aspectos técnicos. É adequado que o professor compreenda a matemática num
âmbito social e que ele tenha experimentado este processo em seus programas de
formação.
Os fundamentos da matemática, direcionam e influenciam os métodos de
ensino da disciplina. A dualidade da matemática vista como pura e da matemática
28
simplesmente aplicada divide a disciplina quanto aos seus reais objetivos. Essa
dualidade também é vista nos projetos acadêmicos na formação de professores.
A aplicação da matemática tem sido muito pesquisada atualmente. Logo, as
universidades têm criado cursos de matemática aplicada, que enfatizam a criação de
modelos.
Por outro lado, os cursos de licenciatura em matemática continuam formando
professores no ensino formalista clássico. Realmente, os profissionais da educação, só
saberão reconhecer a utilidade da matemática se reconhecer nessa, a capacidade de
raciocinar com precisão.
De modo paralelo aos cursos de matemática aplicada, as disciplinas oferecidas
nos cursos de Licenciatura em Matemática, cujo objetivo é formar docentes
para o ensino fundamental e médio continuam formando no estilo clássico
formalista. (Bassanezi, 2002, p. 179)
A própria formação do professor não relaciona o que se ensina com o que
acontece no mundo real. É difícil esperar que professores desenvolvam atividades de
modelagem com seus alunos, baseados apenas em seus conhecimentos matemáticos,
é preciso que eles mesmos desenvolvam atividades em programas de formação. Ou,
ainda, é necessário acreditar na formação do professor, aluno do curso superior,
trabalhada na aplicabilidade da matemática como meio para a interdisciplinaridade.
Compreender o pensamento complexo exige uma nova aprendizagem, pois
fomos formados num sistema de ensino que privilegia a separação, a redução,
a compartimentação, o próprio corporativismo dos saberes, que fraciona e
aliena o nosso modo de pensar. Em conseqüência impõe-se uma reforma do
pensamento.(Bassanezzi, 2002, p. 181)
Devemos questionar e repensar os currículos das licenciaturas, a fim de
melhorar a educação matemática. Trabalhar uma matemática, onde o professor se
sinta mais realizado e valorizado, trabalhando uma disciplina que além de científica é
29
também aplicável. O que se tem visto é educação projetada mais na teoria que na
prática. Conforme Bassanezi (2002, p. 179): “[...] o processo atual de formação do
professor não leva o educando a estabelecer uma associação relevante entre o que se
ensina e o mundo real.”
Toda a comunidade educacional deveria se comprometer e discutir a
matemática equilibrada entre pura e aplicada. Segundo Bassaenzi (2002, p. 180): “Há,
hoje, no Brasil e no mundo muita discussão a respeito da formação de professores, com
vários encaminhamentos no campo da investigação e da prática propriamente dita.” O
professor de matemática, na maioria das vezes não é deficiente dos conteúdos aos
quais precisa ensinar, geralmente ele aprendeu tudo de modo sistemático. Esse
processo, ao qual foi imposto, para o seu aprendizado é o que o torna deficiente.
Disciplinas tratadas de forma individuais, sem relação umas com as outras,
se mostram prontas e acabadas. Desenvolvidas de forma simplesmente apresentada,
sem história e sob o regime formalista. No curso de licenciatura a matemática é privada
de criatividade e da própria originalidade de seus conteúdos.
Os formandos se sentem incapazes de exercerem sua profissão de maneira
qualitativa. Não se sentem preparados para a mudança na forma de se trabalhar a
Matemática. Os programas não propiciam uma relação com outras áreas, com outras
ciências. O mais importante acaba sendo a quantidade de conteúdo despejado sobre o
educando, e não a qualidade desse conteúdo à qualidade do processo pelo qual o
conteúdo foi trabalhado.
Os profissionais formados nos dias de hoje, terão grandes dificuldades em
encontrar meios de tornar suas aulas mais interessantes com alunos efetivamente
30
participantes. Segundo Munari (2002, p. 12): “Temos que dar início às ações para que
os obstáculos sejam transpostos.”
A investigação ainda acanhada no Brasil, tem impulsionado a formação de
mestres e doutores na área de Educação Matemática. Isso poderá impulsionar
mudanças no campo do ensino e da aprendizagem Matemática no país.
Na Universidade Estadual de Campinas-IMECC/UNICAMP, foi implantada no
curso de Licenciatura em Matemática, a disciplina Modelos Matemáticos. Essa
disciplina tem o objetivo de procurar um equilíbrio harmonioso entre teoria e prática,
proporcionando o conhecimento trabalhado, como ferramenta para outras áreas do
conhecimento.
A Modelagem Matemática como disciplina para a formação de professores
enfatiza aplicações matemáticas, usando técnicas de modelagem como procedimento
de desenvolver a criatividade do aluno. Procura expandir o espírito crítico para que o
aluno possa entender e interpretar a matemática, e posteriormente usá-la na prática.
A questão formação do professor é uma questão tão importante e
desafiadora quanto à questão do processo ensino-aprendizagem da matemática.
O sucesso do aluno pode ser associado ao desempenho de seus professores.
[...] existe uma relação complexa entre o conhecimento do professor, sua
prática e a aprendizagem dos alunos, que ainda não conseguimos
desembaraçar.(D’Ambrósio, 2003)
Vários conhecimentos são necessários ao professor, não só na área
Matemática, mas nas mais diversas áreas. Ponte (2002) argumenta que “a formação
dos professores vem pautada am algumas áreas fundamentais que nos cursos de
formação constituem um aprendizado que se deve dar de forma conjunta.” Para
Pavanello e Andrade (2002) “os cursos de formação devem habilitar os professores a
31
compreender o fenômeno educativo em sua multiplicidade bem como, assegurar-lhe o
domínio dos conteúdos matemáticos.”
O docente deve desenvolver características como respeito à reflexão, à
pesquisa, à autonomia e ao desenvolvimento. Sendo assim, o desenvolvimento do
professor não está em sua mente, mas em situações reais e têm características das
atividades nas quais foi desenvolvido, levando em consideração suas idéias e ações.
Num ambiente de Modelagem Matemática, o professor assume um papel
diferenciado, incentivando o espírito crítico, a reflexão e a procura de informações que
ajudem o educando a afirmar ou contrariar. Valoriza assim, todas as informações,
desde as mais simples até as mais interessantes. Durante o desenvolver das atividades
em grupos cabe ao professor estimular entre os alunos, discussões produtivas sobre o
assunto.
Pode ser útil ao professor proporcionar um momento de discussão durante a
realização da tarefa com o objetivo de ajudar os alunos a ultrapassar certas
dificuldades, de motivá-los em fases mais críticas do trabalho, ou mesmo de
enriquecer a investigação sobre a atividade realizada. A discussão final sobre a
atividade e conclusões dos alunos é também uma boa ocasião para promover a
reflexão sobre o trabalho bem como sobre o papel da matemática na
sociedade. (Almeida, 2004)
O professor, é um ser humano comum, como qualquer outra pessoa. Faz
parte da população e, como algumas pessoas que pertencem ou não ao meio
educacional, alguns gostam de lidar com situações-problema, outros não. Logo, é muito
importante dar-lhe oportunidade de presenciar experiências de formação em
Modelagem Matemática.
Certamente os efeitos virão, é necessário pensar-se
na formação de
professores competentes no ministrar da disciplina, bem como, capacitados e
aperfeiçoados frente às novas tendências e práticas de ensino. É preciso pensar-se na
32
formação por meio do envolvimento com as novas tendências, possibilitando reflexão a
partir da experiência.
33
3 METODOLOGIA
Este trabalho, desenvolvido no segundo semestre de 2004, é relato de uma
pesquisa bibliográfica, avaliativa numa abordagem ontogênica do desenvolvimento de
uma experiência, para análise de uma possibilidade de metodologia de ensino de
Matemática e do desempenho dos alunos na aprendizagem de Sistemas Lineares. A
pesquisa teve como população alvo os alunos de uma terceira série do Ensino Médio,
do Centro de Educação Profissional “Abílio Paulo” - CEDUP, do município de Cocal do
Sul - SC.
A pesquisa é bibliográfica, porque segundo Cervo (1996, p. 50), procura-se
saber a respeito das atitudes e “preferências que as pessoas têm a respeito de algum
assunto, com o objetivo de tomar decisões. [...] visa identificar falhas ou erros,
descrever procedimentos, descobrir tendências, reconhecer interesses e outros
comportamentos”. Considera-se também a pesquisa avaliativa, pois segundo Amaral,
2001 ”tem por objetivo fornecer argumentos de fato para um julgamento de valor” numa
abordagem ontogênica, uma vez que segundo a mesma autora “é aquilo que
chamamos de prática-reflexiva, que tanto quer legitimar e reforçar uma prática já
desenvolvida, como atuar numa inovação ou criar nova prática”.
A turma de alunos apresentava uma variação muito grande, no que se refere
ao conhecimento científico, além disso, a maioria deles trabalhava no comércio local,
fato que motivou a escolha dessa turma.
34
O tema da pesquisa foi Modelagem Matemática e o desempenho dos alunos
da 3ª série na resolução de sistemas lineares, cujo problema era “Que possibilidades a
Modelagem Matemática promove no processo de ensino – aprendizagem da
Matemática?” E também, “É possível promover mudanças no ensino da Matemática,
especificamente Sistemas Lineares, analisando e avaliando o desempenho dos alunos
na resolução de sistemas lineares utilizando a Modelagem Matemática como
metodologia?”
Para avaliar a prática proposta, uma atividade de modelagem foi
desenvolvida em sala de aula. Os resultados das atividades foram lidos e discutidos
entre professor e alunos, com o objetivo de diagnosticar a construção do conhecimento
e incentivando, desta forma, a participação de todos.
O objetivo geral da pesquisa foi o de pesquisar na literatura todo o material
necessário para um melhor conhecimento do tema Modelagem Matemática, como
metodologia de ensino e trabalhá-lo como forma de modelação, verificando, assim, sua
aplicabilidade no ensino- aprendizagem.
Os objetivos específicos foram: oportunizar aos estudantes do CEDUP, uma
nova modalidade de ensino-aprendizagem; elaborar um instrumento de avaliação da
pesquisa; questionar se a modelagem matemática pode contribuir para a construção do
conhecimento, visando pessoas com senso crítico, para formação de uma sociedade
comprometida com a instrução de todos.
No
próximo
capítulo
desenvolvida em sala de aula.
apresenta-se
o
relato/análise
da
experiência
35
4 APLICAÇÃO DE MODELAGEM NO ENSINO DA MATEMÁTICA
Sistemas Lineares
Reconhecimento da Situação-Problema:
Samuel, um adolescente da cidade de Cocal do Sul- SC, com idade entre
quinze e dezesseis anos, é filho do dono de uma feira. Um lugar simples, mas atrativo e
bem freqüentado. Certo dia Samuel observou que seu pai vendia algumas frutas
diferentes na mesma embalagem: na primeira, que custa onze reais são colocadas dez
pêras, cinco maçãs e quatro mangas. Na segunda embalagem, que custa dez reais,
são colocadas oito pêras, seis maçãs e quatro mangas. Há ainda, uma terceira
embalagem, que custa nove reais, com seis pêras e doze maçãs. Então Samuel
pensou “se uma pessoa quisesse apenas, uma unidade de cada fruta, que valor deveria
pagar pela mesma?”
Formulação do Problema:
Qual o preço unitário de cada fruta?
Resolução do Problema:
Observa-se a relação entre o número de frutas e o valor total de cada
embalagem: na primeira, que custa onze reais são colocadas dez pêras, cinco maçãs e
quatro mangas: 10p + 5m + 4n = 11; na segunda embalagem são colocadas oito pêras,
36
seis maçãs e quatro mangas, esta custa dez reais: 8p + 6m + 4n = 10 e a terceira
embalagem com seis pêras e doze maçãs, que custa nove reais 6p + 12 m = 9.
As três equações formam um sistema de equações, com o qual pode-se
rever o estudo e alguns métodos de resolução de um sistema com três incógnitas.
No terceiro ano do ensino médio, foi usado o conteúdo de determinantes,
para a resolução do sistema. Para tal representa-se matricialmente sistema:
10p +5m+ 4n =11
8p +6m+4n =10
10 5 4 p 11
8 6 4 ⋅ m = 10
6p +12m = 9
6 12 0
n
9
Logo se encontra o determinante da matriz dos coeficientes:
10 5 4 10 5
8 6 4 8 6 = 0 +120+ 384− 0 − 480−144 = 120
6 12 0 6 12
Substituindo a coluna dos coeficientes de p, pela matriz coluna dos
resultados, e encontrando o determinante da nova matriz. Temos um novo
determinante, chamado determinante de p.
Determinante de p = det p
11 5 4 11 5
10 6 4 10 6 = 0 +180+ 480− 0 − 528− 216 = 84
9 12 0 9 12
Divide-se o determinante de p pelo determinante e então temos o valor de p:
p=
det p 84
=
= 0,70
det 120
37
Obtemos o chamado determinante de m, encontrando a princípio, o
determinante da matriz que se tem quando substituímos a coluna dos coeficientes de
m, pela matriz coluna dos resultados.
10 11 4 10 11
8 10 4 8 10 = 0 + 264+ 288− 0 − 360− 240= 48
6 9 0 6 9
m=
det m 48
=
= 0,40
det 120
Para saber o valor de n, pode-se agir da mesma maneira ou substitui-se o
valor de p nas outras equações:
10p+ 5m+ 4n =11
10⋅ 0,70+ 5 ⋅ 0,40+ 4n = 11
7,00+ 2,00+ 4n = 11
4n = 2
n = 0,50
Então n= 0,50, esse modo já pode ser aplicado, também na resolução de m.
Interpretação da Solução:
Sendo p o valor da pêra, m o valor da maçã e n o valor da manga, pode-se
concluir que a pêra custa 0,70 centavos, a maçã custa 0,40 centavos e a manga custa
0,50 centavos.
Comentários Sobre a Aplicação:
O problema descrito foi aplicado, como introdução do conteúdo de sistemas
lineares, no primeiro semestre de 2004, no terceiro ano do Ensino Médio, do Colégio
CEDUP de Cocal do Sul. Para avaliar o processo proposto, um questionário foi aplicado
procurando identificar os pontos fracos e as potencialidades da modelagem realizada.
38
1. Como você avalia este método de trabalho do conteúdo matemático?
60% dos alunos avaliaram o método como muito bom, 32% bom e 8% como
regular.
2. Você, dessa maneira, sente-se mais estimulado a realizar as atividades
propostas?
Cem por cento dos alunos se sentem mais estimulados a aprenderem
através desse método.
3. Comparando o método utilizado com o método tradicional, como você
avalia seu aprendizado?
95% acreditam que melhorou seu nível de aprendizado e apenas 5%
consideram que não sofreu mudança alguma.
Percebeu-se, através do questionário e do debate desenvolvido depois da
aplicação/avaliação da atividade, que comparado aos métodos tradicionais, com os
quais foram trabalhados os sistemas lineares na sétima série, este método de trabalho
proposto estimula a aprendizagem.
A motivação para a aprendizagem varia de aluno para aluno, nem todos
reagem da mesma forma, frente a mesma atividade apresentada. Porém, nesta
proposta, os estudantes em geral se mostram estimulados com a atividade e o
desenrolar do processo. Muitos alunos acreditam que isso aconteça pela relação entre
a disciplina e o cotidiano.
Pôde-se ainda perceber que alguns alunos procuram resolver o problema
criando seus próprios modelos, o que vem a demonstrar a validação do modelo
trabalhado.
39
Alguns grupos de alunos resolveram o problema usando apenas as
substituições. Sendo o sistema:
10p + 5m + 4n = 11
8 p + 6m + 4n = 10
6 p +12m = 9
pode-se verificar através da terceira equação, que
p=
9 −12m
6 , substituindo este na primeira e na segunda equação temos:
10 ⋅
9 − 12m
9 − 12m
+ 5m + 4n = 11
8⋅
+ 6m + 4n = 10
6
6
e
trabalhando com as duas
equações temos um novo sistema, só que agora, apenas com duas incógnitas, que
pode ser resolvido através do método da adição:
10 ⋅
8⋅
9 − 12m
+ 5m + 4n = 11
6
9 − 12m
+ 6m + 4n = 10
6
90 − 120m + 30m + 24n = 66
72 − 96m + 36m + 24n = 60
90 − 66 = 90m − 24n
72 − 60 = 60m − 24n
24 = 90m − 24n
12 = 60m − 24n(−1)
24 = 90m − 24n
− 12 = −60m + 24n
12 = 30m
12
30
m = 0,40
m=
40
Encontramos o valor de n, substituindo m, em qualquer uma das equações
que formam o sistema de duas incógnitas:
24 = 90m − 24n
24n = 90⋅ 0,40 − 24
24n = 36 − 24
12
n=
24
n = 0,50
O valor de p é encontrado usando a primeira equação de substituição:
9 −12m
6
9 −12⋅ 0,40
p=
6
9 − 4,80
p=
6
4,20
p=
6
p = 0,70
p=
A relação entre o conteúdo trabalhado e o cotidiano, leva o aluno a repensar
seus papéis, enquanto ser atuante e responsável pela própria aprendizagem e
enquanto cidadão.
No decorrer dos trabalhos, em algumas situações, os meios adotados pelo
grupo, não tinham sucesso e precisavam ser repensados, o que caracteriza a validação
do modelo. Nessa situação recorriam a orientação da professora, que enquanto
mediadora, auxiliava a repensar meios mais adequados, meios mais apropriados
àquelas situações.
41
Verificou-se, por meio da observação direta da participação da maioria dos
alunos nas atividades, que a modelagem matemática motiva e facilita a aprendizagem.
Desta forma, a Modelagem Matemática, enquanto metodologia de ensino, é opção
facilitadora, pois promove um ambiente de ensino-aprendizagem onde se pode
trabalhar mais conceitos matemáticos, facilitando também as inter-relações pessoais
(aluno x aluno, aluno x professor, professor x aluno).
Segue, ANEXO !, outros exemplos de modelagem matemática.
42
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A modelagem permite a participação do professor e dos alunos, no mundo
real. Por meio da análise, do entendimento e da explicação, acontece à tomada de
decisões, que influenciam nas mudanças. O aluno compreende com mais facilidade os
argumentos e fórmulas matemáticas, entende os resultados de forma mais significativa,
passando assim a internalizar a Matemática e a valorizá-la.
Com este trabalho verificou-se que a Modelagem Matemática como
metodologia no processo de ensino-aprendizagem é um dos meios de se obter uma
Matemática mais agradável do que a tradicional e, que apresenta possibilidades de um
processo mais produtivo, qualitativo e motivador.
É enriquecedora a oportunidade de envolver alunos, pais, professores e
comunidade em geral, nas atividades que produzem e proporcionam o conhecimento
matemático.
A relação mais estreita entre professores e alunos é uma das vantagens,
quando se cria um ambiente de Modelagem Matemática.
O ato de refletir sobre o processo de ensino-aprendizagem da Matemática,
por meio da modelagem, é uma das alternativas a quem deseja procurar sempre, meios
para o aperfeiçoamento de uma prática de qualidade.
43
A cada atividade de modelagem surgem novas reflexões sobre os
significados trabalhados, novos desafios. Desta forma, utilizar Modelagem Matemática
no ensino desenvolve o espírito de pesquisa, que embora largamente dito como
necessário pouco é realmente trabalhado no ambiente escolar.
Pode-se verificar, tanto na pesquisa quanto na modelagem aplicada, que o
papel do aluno como indivíduo ativo no processo de produção do conhecimento, é que
faz a diferença na proposta da modelagem se comparada a outras propostas.
É preciso que o aluno pense e estruture seu conhecimento, equilibrando
fatores científicos e empíricos. E o professor deve buscar, aprofundar seu
conhecimento e fundamentar sua prática sem temer as dificuldades do processo.
A modelagem pode contribuir para a mudança de comportamento, pois, as
situações-problema estimulam o processo de ensino-aprendizagem. O aluno e as
pessoas da comunidade que não fazem parte do ambiente escolar, sentem-se inclusos
no contexto da escola.
A contextualização em todo o processo é fator determinante na construção
do conhecimento matemático do ser pensante. O que propicia a construção de um
senso crítico, liberto de pressões da sociedade alienada e conformada, com capacidade
de propor mudanças voltadas para o desenvolvimento individual e coletivo.
Assim, coloca-se o conhecimento trabalhado na escola e, principalmente o
conhecimento matemático, a serviço da transformação da realidade.
As estruturas dos cursos regulares dificultam no desenvolvimento de um
trabalho pedagógico voltado às aplicações. A falta de preparo dos professores para o
trabalho com Modelagem Matemática e a pressão existente, em se cumprir o conteúdo
do currículo programado em determinado tempo, anuncia a angústia da maioria dos
44
profissionais de sala de aula. Mas o profissional em sala, deve procurar sempre estar
presente junto aos seus alunos, questionando e tentando fazer com que eles mesmos
produzam seus conceitos e os associem aos conceitos historicamente já produzidos
pela humanidade.
Para formar cidadãos mais conscientes e atuantes na sociedade também é
necessário trabalhar sempre atrelado à realidade.
É difícil conscientizar os alunos de que é necessário pesquisar e pensar
sobre isso, a maioria já acostumada assim, quando não prefere tudo pronto e acabado,
apresenta muita resistência às mudanças. Os alunos que se apropriam da modelagem,
realmente sentem-se felizes em poderem trabalhar com um conteúdo que eles mesmos
pesquisam, entendem ou desenvolvem.
A busca de uma oportunização, de uma educação de fato significativa, está
muito relacionada com a disposição do professor para o aprimoramento da sua prática.
Ao ministrar a Matemática aplicada a fatos reais, o professor contribui para o
surgimento, no processo de ensino – aprendizagem, de críticas e questionamentos.
Ambos fortalecem-se quando o aluno passa a elaborar seu modelo matemático por
meio de alternativas de sua criação. Esse momento proporciona a aprendizagem do
aluno e do professor. Este último, amplia seu conhecimento e incorpora novas atitudes.
É uma metodologia que tende a recomeçar em cada turma com a certeza de se obter
acréscimo de informações.
Então, se deve repensar a prática pedagógica utilizada por muitos
professores, principalmente professores da área de Matemática. A substituição do
método tradicional, a troca do método convencional, sem relação com o cotidiano dos
alunos, pela inclusão de problemas contextualizados, propicia um melhor aprendizado.
45
A proposta de trabalho admite avanços e retrocessos, onde se reavalia constantemente
os meios sem perder de vista os fins.
Presume-se que é buscando sempre melhorar o conhecimento que se terá
um dia uma sociedade mais igualitária e justa.
Recomenda-se
para
trabalhos
futuros,
pesquisas
que
visam
o
desenvolvimento, em sala de aula, de outros temas matemáticos, utilizando a
Modelagem Matemática como prática pedagógica.
46
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Educação Matemática em Revista, ano 9 nº 11, edição especial, abril de 2002, p 3-8.
PAVANELLO, R. M.; ANDRADE, R. N. G. Formar professores para ensinar geometria:
um desafio para as licenciaturas em Matemática. Educação Matemática em Revista,
ano 9 nº 11, edição especial, abril de 2002, p 78-87.
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ANEXOS
Exemplos de modelagem matemática, como metodologia de ensino, do
conteúdo de sistemas lineares:
a)
Uma escola de ensino médio tem 107 alunos nas 1ª e 2ª séries, 74 nas
2ª e 3ª séries e 91 nas 1ª e 3ª séries. Qual o total de alunos dessa
escola?
b)
Uma empresa deve enlatar uma mistura de amendoim, castanha de
caju e castanha do Pará. Sabe-se que o quilo de amendoim custa R$
5,00, o quilo da castanha de caju, R$ 20,00 e o quilo da castanha do
Pará, R$ 16,00. Cada lata deve conter meio quilo da mistura e o custo
total dos ingredientes de cada lata deve ser de R$ 5,75. Além disso, a
quantidade de castanha de caju em cada lata deve ser igual a um terço
da soma das outras duas. Qual as quantidades, em gramas, de cada
ingrediente por lata?
c)
Um clube promoveu um show de música popular brasileira ao qual
compareceram 200 pessoas, entre sócios e não-sócios. No total, o
valor arrecadado foi de R$ 1400,00 e todas as pessoas pagaram
ingresso. Sabendo que o preço do ingresso foi de R$ 10,00 e cada
50
sócio pagou metade desse valor, o número de sócios presentes ao
show foi de quanto?
d)
Um pai realizou duas festas de aniversário para seus dois filhos e,
entre salgadinhos e refrigerantes, gastou R$ 250,00 em uma festa e
R$ 150,00 em outra. A festa que teve menor custo foi realizada com
50% dos salgadinhos e 75% dos refrigerantes da outra. Sabendo que
o preço unitário do salgadinho e do refrigerante foi o mesmo, para
ambas as festas, qual foi o total gasto com refrigerantes nas duas
festas?
e)
Em uma festa junina, uma barraca de tiro ao alvo oferece R$ 15,00 ao
participante cada vez que acertar o alvo. Entretanto, se errar, o
participante paga R$ 10,00. Um indivíduo deu 30 tiros e recebeu R$
175,00. Nessas condições, qual o número de vezes que ele errou o
alvo?