Matemática
Pedro Paulo
GEOMETRIA ESPACIAL IV
1 – ELEMENTOS DO CILINDRO
3 – SECÇÃO MERIDIANA
Cilindro é um sólido limitado por dois círculos,
congruentes e situados em planos paralelos, e por uma
superfície lateral. Ele também pode ser obtido pela
rotação de um retângulo em torno de um eixo que
contém um dos lados do retângulo. O eixo é a reta que
contém os centros dos círculos. Os dois círculos são
congruentes e são denominados bases. Além disso, o
raio da base é denominado raio da base (claro) e o
segmento de reta paralelo ao eixo com extremidades
nas duas bases é denominado geratriz. Finalmente, a
altura do cilindro é a distância entre os dois planos das
bases.
Na prática: o cilindro é um “prisma” com base
circular!
É a secção feita no cilindro por um plano que
contém o seu eixo.
Figura 3 – secção meridiana do cilindro
Observação: A seção meridiana de um cilindro
oblíquo é um paralelogramo e a de um cilindro reto é
um retângulo de dimensões
e , com
Observação: Se a seção meridiana de um cilindro reto
for um quadrado, temos um cilindro equilátero. Nesse
caso, como o quadrado tem os lados iguais,
4 – ÁREAS E VOLUME DO CILINDRO
4.1 – Área lateral
Seja o raio da base de um cilindro e a sua
altura. Planificando a superfície lateral do cilindro, é
obtido um retângulo de base
e altura . Logo a
área lateral
de um cilindro é:
Figura 1 – elementos do cilindro
2 – CLASSIFICAÇÃO DE CILINDROS
Se as geratrizes são perpendiculares às bases,
o cilindro é denominado reto. Em caso contrário, o
cilindro é denominado oblíquo.
Cilindro Reto
Cilindro Oblíquo
4.1 – Área da base
Como a base do cilindro é um círculo de raio ,
a sua área da base é:
4.2 – Área total
A área total
de um cilindro é a soma da
área lateral com as áreas das bases. Como cada uma
das duas bases tem área
, a área total é:
Figura 2 – cilindro reto e cilindro oblíquo
4.3 – Volume
O volume de um cilindro é o produto da área
da base
pela sua altura :
1
Geometria
CASD Vestibulares
7. (UNICAMP - 14) Considere um cilindro circular reto.
Se o raio da base for reduzido pela metade e a altura
for duplicada, o volume do cilindro
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nível I
1. (UFRGS - 11) Um tipo de descarga de água para
vaso sanitário é formado por um cilindro com altura de
e diâmetro interno de
.
Então, dos valores abaixo, o mais próximo da
capacidade do cilindro é
a)
b)
c)
d)
e)
2. (ENEM 2ª APLICAÇÃO - 10) Uma empresa de
refrigerantes, que funciona sem interrupções, produz
um volume constante de
de líquido por
dia. A máquina de encher garrafas apresentou um
defeito durante
horas. O inspetor de produção
percebeu que o líquido chegou apenas à altura de
dos
previstos em cada garrafa. A parte
inferior da garrafa em que foi depositado o líquido tem
forma cilíndrica com raio da base de
. Por
questões de higiene, o líquido já engarrafado não será
reutilizado.
Utilizando
, no período em que a máquina
apresentou defeito, aproximadamente quantas garrafas
foram utilizadas?
a)
b)
c)
d)
e)
a) é reduzido em
b) aumenta em
c) permanece o mesmo
d) é reduzido em
8. (UCS - 12) Um cilindro circular reto tem por secção
meridiana um retângulo
, o qual, representado no
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, tem
como vértices os pontos
,
,
e
Sendo o eixo do cilindro paralelo ao segmento
e as
medidas do cilindro dadas em centímetros, a área
lateral do cilindro é, em
igual a
a)
b)
c)
d)
e)
9. (ENEM 2ª APLICAÇÃO - 10) O administrador de
uma cidade, implantando uma política de reutilização
de materiais descartados, aproveitou milhares de
tambores cilíndricos dispensados por empresas da
região e montou kits com seis tambores para o
abastecimento de água em casas de famílias de baixa
renda, conforme a figura seguinte. Além disso, cada
família envolvida com o programa irá pagar somente
por metro cúbico utilizado.
3. (ENEM CANCELADO - 09) Em uma padaria, há
dois tipos de forma de bolo, formas 1 e 2, como mostra
a figura abaixo.
Sejam o lado da base da forma quadrada, o raio da
base da forma redonda,
e
as áreas das bases
das formas 1 e 2, e
e
os seus volumes,
respectivamente. Se as formas têm a mesma altura ,
para que elas comportem a mesma quantidade de
massa de bolo, qual é a relação entre e ?
a)
b)
√
d)
c)
e)
4. (FATEC - 11) O volume de um cilindro circular reto
de raio é
do volume de um bloco retangular com
base quadrada de lado
. Se o cilindro e o bloco
retangular têm alturas iguais, conclui-se que a medida
de é
a)
√
b)
√
c)
√
d)
√
e)
5. Atividade Proposta nº 9, Geometria Espacial VII
6. Atividade para Sala nº 2, Geometria Espacial VII
CASD Vestibulares
√
Uma família que utilizar
vezes a capacidade total do
kit em um mês pagará a quantia de (considere
)
a)
d)
b)
e)
c)
10. (ENEM 2ª APLICAÇÃO - 10) João tem uma loja
onde fabrica e vende moedas de chocolate com
diâmetro de
e preço de
a unidade. Pedro
vai a essa loja e, após comer várias moedas de
chocolate, sugere ao João que ele faça moedas com
de diâmetro e mesma espessura e cobre
a unidade.
Considerando que o preço da moeda depende apenas
da quantidade de chocolate, João
a) aceita a proposta de Pedro, pois, se dobra o
diâmetro, o preço também deve dobrar.
b) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto
seria
c) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto
seria
d) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto
seria
.
e) rejeita a proposta de Pedro, pois o preço correto
seria
Geometria
2
Nível II
11. (ENEM - 08)
A figura abaixo mostra um
reservatório de água na forma de um cilindro circular
reto, com
de altura. Quando está completamente
cheio, o reservatório é suficiente para abastecer, por
um dia,
casas cujo consumo médio diário é de
litros de água.
Suponha que, um certo dia, após uma campanha de
conscientização do uso da água, os moradores das
casas abastecidas por esse reservatório tenham
feito economia de
no consumo de água. Nessa
situação,
a) a quantidade de água economizada foi de
b) a altura do nível da água que sobrou no
reservatório, no final do dia, foi igual a
c) a quantidade de água economizada seria suficiente
para abastecer, no máximo,
casas cujo consumo
diário fosse de
litros.
13. (UNIFESP - 12)
Por motivos técnicos, um
reservatório de água na forma de um cilindro circular
reto (reservatório 1), completamente cheio, será
totalmente esvaziado e sua água será transferida para
um segundo reservatório, que está completamente
vazio, com capacidade maior do que o primeiro,
também na forma de um cilindro circular reto
(reservatório 2). Admita que a altura interna
em
metros, da água no reservatório 1, horas a partir do
instante em que se iniciou o processo de
esvaziamento, pôde ser expressa pela função
a) Determine quantas horas após o início do processo
de esvaziamento a altura interna da água no
reservatório 1 atingiu
e quanto tempo demorou
para que esse reservatório ficasse completamente
vazio.
b) Sabendo que o diâmetro interno da base do
reservatório 1 mede
e o diâmetro interno da
base do reservatório 2 mede
determine o
volume de água que o reservatório 1 continha
inicialmente e a altura interna
em metros, que o
nível da água atingiu no reservatório 2, após o
término do processo de esvaziamento do
reservatório 1.
14. (FATEC - 13) A figura apresenta a vista superior
de uma piscina e suas dimensões internas.
d) os moradores dessas casas economizariam mais de
se o custo de
de água para o
consumidor fosse igual a
e) um reservatório de mesma forma e altura, mas com
raio da base
menor que o representado, teria
água suficiente para abastecer todas as casas.
12. (ENEM 2ª APLICAÇÃO - 10) Certa marca de suco
é vendida no mercado em embalagens tradicionais de
forma cilíndrica. Relançando a marca, o fabricante pôs
à venda embalagens menores, reduzindo a
embalagem tradicional à terça parte de sua
capacidade.
Por questões operacionais, a fábrica que fornece as
embalagens manteve a mesma forma, porém reduziu à
metade o valor do raio da base da embalagem
tradicional na construção da nova embalagem. Para
atender à solicitação de redução da capacidade, após
a redução no raio, foi necessário determinar a altura da
nova embalagem.
Que expressão relaciona a medida da altura da nova
embalagem de suco ( ) com a altura da embalagem
tradicional ( )?
a)
b)
d)
e)
3
Na figura, temos o seguinte:
é um retângulo de dimensões
por
- ̂ é uma semicircunferência com diâmetro
e
Considerando que a profundidade da piscina é
constante e igual a
, a capacidade da piscina é,
em litros,
Adote:
a)
b)
c)
d)
e)
15. Atividade Proposta nº 3, Geometria Espacial VII
c)
Geometria
CASD Vestibulares
16. (ENEM - 10) Alguns testes de preferência por
bebedouros de água foram realizados com bovinos,
envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e
tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma
de um tronco de cone circular reto, de altura igual a
, e diâmetro da base superior igual a
e
, respectivamente. O bebedouro 3 é um
semicilindro, com
de altura,
de
comprimento e
de largura. Os três recipientes
estão ilustrados na figura.
17. (ENEM - 10) Uma empresa vende tanques de
combustíveis de formato cilíndrico, em três tamanhos,
com medidas indicadas nas figuras. O preço do tanque
é diretamente proporcional à medida da área da
superfície lateral do tanque. O dono de um posto de
combustível deseja encomendar um tanque com menor
custo por metro cúbico de capacidade de
armazenamento.
Qual dos tanques devera ser escolhido pelo dono do
posto? (Considere
)
a) , pela relação área/capacidade de armazenamento
de
b) , pela relação área/capacidade de armazenamento
de
c)
Considerando que nenhum dos recipientes tenha
tampa, qual das figuras a seguir representa uma
planificação para o bebedouro 3?
, pela relação área/capacidade de armazenamento
de
d)
,
pela
relação
área/capacidade
de
área/capacidade
de
armazenamento de
e)
,
pela
relação
armazenamento de
a)
b)
18. (ENEM 2ª APLICAÇÃO - 10) Um fabricante de
creme de leite comercializa seu produto em
embalagens cilíndricas de diâmetro da base medindo
e altura
. O rótulo de cada uma custa
. Esse fabricante comercializará o referido
produto em embalagens ainda cilíndricas de mesma
capacidade, mas com a medida do diâmetro da base
igual à da altura.
Levando-se em consideração exclusivamente o gasto
com o rótulo, o valor que o fabricante deverá pagar por
esse rótulo é de
c)
a)
, pois haverá uma redução de
na superfície
da embalagem coberta pelo rótulo.
b)
, pois haverá uma redução de
na superfície
da embalagem coberta pelo rótulo.
d)
c)
d)
, pois não haverá alteração na capacidade da
embalagem.
, pois haverá um aumento de
na superfície
da embalagem coberta pelo rótulo.
e)
e)
CASD Vestibulares
, pois haverá um aumento de
na superfície
da embalagem coberta pelo rótulo.
Geometria
4
19. (ENEM 2ª APLICAÇÃO - 10) Uma fábrica de tubos
acondiciona tubos cilíndricos menores dentro de outros
tubos cilíndricos. A figura mostra uma situação em que
quatro tubos cilíndricos estão acondicionados
perfeitamente em um tubo com raio maior
21. (UFMG - 12) João comprou um balde em forma de
um cilindro circular reto, cujo diâmetro da base , e
cuja altura
medem, cada um deles,
. Ele
precisa introduzir, nesse balde, verticalmente, uma
peça metálica, também em forma ver de um cilindro
circular reto, cujo diâmetro da base , e cuja altura
medem, respectivamente,
e
. Suponha
que o balde contém água até um nível .
Considerando essas informações,
a) Calcule o volume total do balde, em
.
b) Calcule o volume total da peça metálica, em
.
c) João observou que, se a peça fosse introduzida no
balde, de modo que
Suponha que você seja o operador da máquina que
produzirá os tubos maiores em que serão colocados,
sem ajustes ou folgas, quatro tubos cilíndricos internos.
Se o raio da base de cada um dos cilindros menores
for igual a
, a máquina por você operada deverá
ser ajustada para produzir tubos maiores, com raio da
base igual a
a)
d) (
√ )
b)
√
e)
(
c)
√
nível da água subiria até atingir a borda, sem
transbordar. Suponha que, em seguida, a peça foi
introduzida, de modo que a metade dela ficou fora
do balde. Determine o volume da água que
transborda, nesse caso.
22. (ENEM CANCELADO - 09) Em uma praça pública,
há uma fonte que é formada por dois cilindros, um de
raio e altura , e o outro de raio
e altura . O
cilindro do meio enche e, após transbordar, começa a
encher o outro.
Se
√ )
20. (UFMG - 13) O lucro bruto de uma empresa é a
diferença entre a receita obtida com as vendas e o
custo de produção. Um determinado fabricante de
cerveja só vende latas cilíndricas de alumínio,
fechadas, cheias de cerveja, com
de altura e
de raio. O custo da produção de certo número de
latas cheias de cerveja é de real por litro de cerveja e
mais reais por metro quadrado de alumínio utilizado
na fabricação das latas. A receita da empresa por cada
litro de cerveja vendido é de dois reais por litro.
Considerando estas informações,
a) DETERMINE a receita gerada pela venda de cada
lata de cerveja.
b) DETERMINE o custo total de produção de cada lata
de cerveja em função de .
dela ficassem fora do balde, o
√
e
e, para encher o cilindro do
meio, foram necessários
minutos, então, para se
conseguir encher essa fonte e o segundo cilindro, de
modo que fique completamente cheio, serão
necessários
a)
minutos.
b)
minutos.
d)
minutos.
e)
minutos.
c)
minutos.
c) DETERMINE o valor máximo do preço
do
alumínio para que o fabricante não tenha prejuízo.
5
Geometria
CASD Vestibulares
23. (UERJ - 10) Uma caixa cúbica foi dividida em duas
partes por um plano que contém duas diagonais de
faces opostas da caixa. Uma das partes acomoda, sem
folga, uma lata com a forma de um cilindro circular reto,
conforme ilustrado a seguir.
26. (UNICAMP - 11) A caixa de um produto longa vida
é produzida como mostra a sequência de figuras
abaixo. A folha de papel da figura 1 é emendada na
vertical, resultando no cilindro da figura 2. Em seguida,
a caixa toma o formato desejado, e são feitas novas
emendas, uma no topo e outra no fundo da caixa,
como mostra a figura 3.
Finalmente, as abas da caixa são dobradas, gerando o
produto final, exibido na figura 4. Para simplificar,
consideramos as emendas como linhas, ou seja,
desprezamos a superposição do papel.
Desprezando as espessuras dos materiais utilizados
na lata, na caixa e na divisória, calcule a razão entre o
volume do cilindro e o da caixa.
24. (UNESP - 10) Na construção de uma estrada
retilínea foi necessário escavar um túnel cilíndrico para
atravessar um morro. Esse túnel tem seção transversal
na forma de um círculo de raio
seccionado pela
corda
e altura máxima , relativa à corda, conforme
figura.
a) Se a caixa final tem
de altura,
de
largura e
de profundidade, determine as
dimensões e da menor folha que pode ser usada
na sua produção.
b) Supondo, agora, que uma caixa tenha seção
horizontal quadrada (ou seja, que sua profundidade
seja igual a sua largura), escreva a fórmula do
volume da caixa final em função das dimensões e
da folha usada em sua produção.
Sabendo que a extensão do túnel é de
̅̅̅̅
√
e que
, que
, determine o volume
aproximado de terra, em
construção do túnel.
, que foi retirado na
27. (ESPCEX (AMAN) - 12) A figura abaixo representa
dois tanques cilíndricos,
e
ambos com altura , e
cujos raios das bases medem
e
√
respectivamente. Esses tanques são usados para
armazenar combustível e a quantidade de combustível
existente em cada um deles é tal que seu nível
corresponde a
da altura.
e√
Dados:
25. (UNICAMP - 13) A embalagem de certo produto
alimentício, em formato de cilindro circular, será
alterada para acomodar um novo rótulo com
informações nutricionais mais completas. Mantendo o
mesmo volume da embalagem, a sua área lateral
precisa ser aumentada. Porém, por restrições de custo
do material utilizado, este aumento da área lateral não
deve ultrapassar
. Sejam e o raio e a altura da
embalagem original, e R e H o raio e a altura da
embalagem alterada. Nessas condições podemos
afirmar que:
a)
e
b)
e
c)
e
d)
e
CASD Vestibulares
O tanque
contém gasolina pura e o tanque
contém uma mistura etanol-gasolina, com
de
etanol. Deseja-se transferir gasolina pura do tanque
para
até que o teor de etanol na mistura em
caia
para 20%.
Nessas condições, ao final da operação, a diferença
entre a altura dos níveis de e será
a)
Geometria
a)
a)
a)
a)
6
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
1. A altura do cilindro é
diâmetro é
, o raio da base é
Lembre-se que
e como o
. Logo:
7. Sejam
o raio inicial da base do cilindro,
o raio
final da base do cilindro,
a altura inicial do cilindro,
a altura final do cilindro,
o volume inicial do
cilindro e o volume final do cilindro. Então:
e que
( )
2. O volume de líquido em cada garrafa defeituosa é:
Como o volume de líquido produzido durante
é
, o número
de garrafas
defeituosas é:
8. Note que
e que
. Como o eixo do
cilindro é paralelo a
, a altura do cilindro é
.
Além disso, como o diâmetro da base é
, tem-se
que
. A área lateral do cilindro é:
3. Como as formas têm a mesma quantidade de massa
de bolo,
. Além disso,
e
, logo:
9. A altura de um cilindro é
é
, o raio da base é
volume de cada cilindro é:
4. Seja
a altura do bloco retangular e do cilindro.
Sejam
a área da base do bloco,
a área da base
do cilindro,
o volume do bloco e
o volume do
cilindro. Então,
e
. Logo:
√
e como o diâmetro
. Logo, o
Cada kit é formado por cilindros, logo o volume de
cada kit é
. Assim, uma
família que utilizar
vezes a capacidade total do kit
consome
e pagará a quantia
de
10. A altura (que é igual à espessura) da moeda de
chocolate é constante, então o volume da moeda é
diretamente proporcional ao quadrado do raio (e ao
quadrado do diâmetro) da moeda. Então, se o diâmetro
duplica, o volume da moeda quadruplica e o preço da
moeda também deve quadruplicar.
√
√
5. Sejam
o raio da base de cada copinho,
o raio
da base da leiteira,
a altura de cada copinho,
a
altura da leiteira,
o volume de cada copinho e
o
volume da leiteira. Note que o problema forneceu os
diâmetros das bases, em vez dos raios. Assim, tem-se:
11. Como o volume do cilindro é diretamente
proporcional à sua altura, se ocorrer uma economia de
no consumo de água, então a altura de água
economizada ao fim do dia é
de
, o que
equivale a
de
12. O volume da embalagem tradicional é
Calcule
e que cada copo é enchido até a metade
6. A altura do copo é
, o raio da base é
Como o raio da embalagem nova é metade do raio da
embalagem tradicional, o volume da embalagem nova
é
( )
e como o diâmetro é
. Logo:
Como a capacidade da embalagem nova é um terço da
capacidade da embalagem tradicional, tem-se:
Note que
do volume deve ser de água e
do
volume deve ser de açúcar (uma parte de açúcar para
cinco partes de água). Logo, o volume de água é
. Lembre-se que
7
Geometria
( )
CASD Vestibulares
13. No item a), se
atigir
,
é o tempo necessário para a água
. Logo:
Se
é o tempo necessário para o reservatório ficar
completamente vazio,
. Logo:
No item b), note que a altura inicial do reservatório é
(
quando
):
O reservatório 1 possui diâmetro da base
, logo o
seu raio da base é
e o seu volume é
.
Logo,
o
volume
do
reservatório é
. Como o reservatório 2
possui diâmetro da base
, o seu raio da base é
. Então:
14. A área do retângulo
semicírculo tem diâmetro
sua área é
é
, o seu raio é
16. Note que a superfície do bebedouro 3 é formada
por dois semicírculos e por um retângulo, então
assinale a única alternativa que possui dois
semicírculos e um retângulo
17. Como o dono quer um tanque com o menor custo
por metro cúbico de capacidade de armazenamento, a
razão entre a área lateral e o volume deve ser mínima.
A razão entre a área lateral e o volume é
Logo, a razão é inversamante proporcional ao raio.
Como a razão deve ser mínima, o raio deve ser o
máximo. Logo, o tanque escolhido deve ser o
, que
possui o raio máximo
(já que o diâmetro é
) e cuja razão área/capacidade é
18. Como o diâmetro da base é
, o raio é
eo
volume inicial da embalagem é
.
Além disso, a superfície lateral inicial da embalagem é
. Seja
a nova altura da
embalagem. Como o novo diâmetro da base é igual à
nova altura, o novo raio da base é
. Como o
volume final da embalagem é igual ao volume inicial:
. Como o
ea
( )
. Logo, a área da
base da piscina é
. Como a
profundidade da piscina é constante e igual a
,a
sua altura é
. Então, o seu volume é:
O novo raio da base é
. Então, a
nova superfície lateral é
.
Logo a redução na superfície da embalagem é
, o que corresponde a
da
superfície original.
Lembre-se que
19. A figura do problema é a seguinte:
15. A figura do problema é a seguinte:
Logo, o cilindro externo possui um raio de
e uma
altura de
, enquanto o cilindro interno possui um
raio de
e uma altura de
. Então o volume
do concreto é a diferença entre os volumes dos dois
cilindros:
Como o raio da base dos cilindros menores é
,
é um quadrado de lado
e diagonal
igual a √
. Assim, o valor de
é
e o valor
de
é √
.
Então,
tem-se:
√
√
Lembre-se que cada metro cúbico custa
CASD Vestibulares
Geometria
8
20. No item a), note que o volume de uma lata de
cerveja é
. Como
,
o volume de uma lata de cerveja é
23. A figura do problema é a seguinte:
No item b), note que a área total de uma lata de
cerveja é
Como
, a área total de uma lata de
cerveja é
No item c), o valor máximo do preço
para que o
fabricante não tenha prejuízo é o valor em que a
receita gerada pela venda de cada lata é igual ao custo
total de produção de cada lata
21. No item a), como o diâmetro do balde é
,
o seu raio é
e o seu volume
(em
)é
No item b), como o diâmetro da peça é
, o
seu raio é
e o seu volume (em
)é
No item c), note que na primeira situação (quando
da peça estão fora do balde),
da peça fica imerso
na água (o que é suficiente para a água subir até a
borda). No entanto, na segunda situação (quando
da peça estão fora do balde),
da peça fica
imerso na água. Então, o volume de água que
transborda é igual à diferença entre o volume imerso
da peça na segunda situação (
) e o volume
imerso da peça na primeira situação (
):
Seja
uma base do cubo, a sua aresta e o
raio da base do cilindro. Sejam , e os pontos em
que a base do cilindro tangencia os lados
,
e
,
respectivamente.
Logo,
,
. Além disso,
,
então
Pelo Teorema de Pitágoras, tem-se que:
√
Pelo Teorema do bico, tem-se que
que
. Logo, tem-se:
e
√
√
22. O volume do primeiro cilindro (o do meio) é
Após a água encher completamente o primeiro cilindro,
a figura do problema é a seguinte:
(
√ )
√
Como o cilindro e a caixa cúbica têm a mesma altura, a
razão entre o volume do cilindro
e o volume da
caixa
é a razão entre a área
da base do cilindro
e a área
da base da caixa:
( )
(
√ )
(
√
√
)
√
Note que após encher completamente o primeiro
cilindro, o volume livre (sem água) do segundo cilindro
é igual ao volume de um prisma cuja base é uma coroa
circular com raios e e cuja altura é
:
[( √ )
]
Logo, se foram necessários
minutos para encher
completamente o primeiro cilindro, serão necessários
mais
para encher completamente o segundo
cilindro e terminar de encher a fonte
9
Geometria
CASD Vestibulares
24. Seja o ponto mis alto do túnel e o ponto médio
de
. A seção transversal do túnel tem o seguinte
formato:
25. O volume da primeira embalagem é
volume da segunda embalagem é
volumes das embalagens são iguais:
eo
. Como os
A área lateral da primeira embalagem é
ea
área lateral da segunda embalagem é
.
Como o aumento da área lateral não deve ultrapassar
, tem-se:
̅̅̅̅̅
A altura do túnel é
Logo ̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
No triângulo retângulo
̂
em
, e lembrando que
Substituindo
em
:
:
( )
̅̅̅̅̅
( )
, tem-se:
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̂
Substituindo
. Então, tem-se:
̂
̂
̂
̂
̂
A área da seção transversal do túnel é a área do setor
circular superior (com um ângulo central de
̂
) somada com a área do
triângulo
.
Área do setor circular:
Área do triângulo
:
√
Área da seção transversal:
O volume de terra retirado é equivalente ao volume de
um cilindro com área da base igual à área da seção e
altura igual ao comprimento
do túnel:
CASD Vestibulares
Geometria
10
26. No item a), a figura do problema é a seguinte:
27. O volume inicial
da mistura no tanque
é
( √ )
Como a proporção inicial de etanol é
etanol é
. Logo:
A caixa de leite final é um prisma cuja base é um
retângulo com dimensões
e
. Então a
dimensão
da folha inicial é igual ao perímetro da
base:
Observando a figura do problema, tem-se que
menor dimensão do retângulo da base:
, o volume de
Como a proporção final de etanol é
, o volume de
etanol é
do volume final
da mistura
no tanque . Logo
. Então:
éa
O volume transferido
é
. Logo:
do tanque
para o tanque
A dimensão da folha inicial é igual à altura da caixa
final
, mais o dobro da altura das dobras (são
duas dobras), onde cada dobra tem altura :
O volume inicial
No item b), seja o lado da seção quadrada e
a
altura da caixa. Então a dimensão da folha inicial é
igual ao perímetro da base:
Observando a figura do problema, tem-se que
menor dimensão do quadrado da base (que é ):
da mistura no tanque
O volume final
. Logo:
é
da mistura no tanque
é
éa
A dimensão da folha inicial é igual à altura da caixa
final
, mais o dobro da altura das dobras (são duas
dobras), onde cada dobra tem altura :
Seja
a altura final do nível da mistura no tanque .
Como a razão entre o volume final e o volume inicial do
tanque é igual à razão altura final e a altura inicial:
O volume da caixa final é:
(
)
Seja
a altura final do nível da mistura no tanque .
Como a razão entre o volume final e o volume inicial do
tanque é igual à razão altura final e a altura inicial:
No final, a diferença entre as alturas é
11
Geometria
:
CASD Vestibulares
24. O volume de terra retirado foi
GABARITO
25. C
1. D
26. a) As dimensões são
2. B
3. D
b) O volume da caixa final é
4. E
e
.(
)
27. A
5. A
6. C
7. A
8. B
9. B
10. D
11. B
12. D
13. a) A altura atingiu
após
ficou completamente vazio após
e o reservatório 1
b) O volume inicial do reservatório 1 é
altura final do reservatório 2 é
e a
14. A
15. D
16. E
17. A
18. B
19. D
20. a) A receita gerada por cada lata é
reais
b) O custo de cada lata é
reais
c) O valor máximo de
é
21. a) O volume total do balde é
b) O volume total da peça metálica é
c) O volume de água que transborda é
22. C
23. A razão entre o volume do cilindro e o da caixa é
√
CASD Vestibulares
Geometria
12