MATEMÁTICA
Prof. Favalessa
1. A figura 1 representa um prisma obtido após a secção do paralelepípedo reto-retângulo ADFCGJLI
representado na figura 2.
Sendo que AB = BC = DE = EF e 4HI = 4KL = JL = 2JG = 2AG = x, o volume do prisma representado na
figura 1 é
a)
5x3
.
32
b)
3x3
.
16
c)
3x3
.
5
d)
5x3
.
8
e)
3x3
.
4
2. Um queijo tem o formato de paralelepípedo, com dimensões 20 cm x 8 cm x 5 cm. Sem descascar o
queijo, uma pessoa o divide em cubos com 1 cm de aresta, de modo que alguns cubos ficam totalmente
sem casca, outros permanecem com casca em apenas uma face, alguns com casca em duas faces e
os restantes com casca em três faces. Nesse caso, o número de cubos que possuem casca em apenas
uma face é igual a
a) 360.
b) 344.
c) 324.
d) 368.
3. A altura, em centímetros, do nível da água armazenada em um reservatório com a forma de um prisma
reto de base retangular é igual a x, conforme mostra a figura.
Usando todo esse volume de água armazenado, pode-se encher completamente uma quantidade exata
de recipientes com capacidade de 20 litros cada, ou uma quantidade exata de recipientes com
h
capacidade de 50 litros cada. Se x = , onde h é a altura do reservatório, então a menor capacidade,
3
em litros, desse reservatório cheio é
a) 200.
b) 300.
c) 400.
d) 500.
e) 600.
3
4. Sem perda do volume original, um ourives pretende transformar um cubo de ouro de 1 cm em uma
placa na forma de um paralelepípedo reto-retângulo. Adotando a medida da aresta do cubo como
largura da placa e 50% da medida da aresta do cubo como altura da placa, a medida, em centímetros,
do comprimento dessa placa resultará em:
a) 1,2.
b) 1,5.
c) 1,8.
d) 2,0.
e) 2,2.
1
5. Em uma gráfica, há uma pilha de papel no formato A4 com 1 m. O papel A4 tem a forma retangular com
21 cm de largura por 30 cm de comprimento. Assim sendo, o volume ocupado pela pilha de papel é de:
a) 630 cm3 .
b) 51 cm3 .
c) 151 cm3 .
d) 51 000 cm3 .
e) 63 000 cm3 .
6. As figuras a seguir mostram dois pacotes de café em pó que têm a forma de paralelepípedos retângulos
semelhantes.
Se o volume do pacote maior é o dobro do volume do menor, a razão entre a medida da área total do
maior pacote e a do menor é igual a:
a)
3
3
b)
3
4
c)
6
d)
8
7. Considere uma placa metálica, muito fina, com formato de um triangulo isósceles de base 8 m, imersa
em um reservatório cheio de água, cuja forma é a de um paralelepípedo reto-retângulo. A placa está
imersa de modo perpendicular à base do reservatório, seu vértice está ao nível da superfície da água e
sua base está colocada sobre o fundo do reservatório.
De quantos metros é a largura da placa a y metros de altura do fundo do reservatório, considerando que
a altura desse reservatório mede 6 m?
a)
4
− y+8
3
b)
3
y−6
4
c)
3
y −8
4
d)
4
y−6
3
e)
4
y
3
8. Se duplicarmos a medida da aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular e reduzirmos sua
altura à metade, o volume desta pirâmide:
a) será reduzido à quarta parte.
b) será reduzido à metade.
c) permanecerá inalterado.
d) será duplicado.
e) aumentará quatro vezes.
9. Uma indústria de tonéis produz 4000 unidades mensais. Estes tonéis são cilindros equiláteros de
1 metro de altura. Para pintar a superfície lateral desses cilindros, é utilizada uma tinta cujo rendimento
é de 200 gramas por m2 .
Calculando a quantidade de tinta consumida a cada mês, encontramos um valor próximo de:
Observação: Utilize o valor da constante π ( Pi ) = 3,14
a) 1.500 kg.
b) 1.800 kg.
c) 1.900 kg.
d) 2,2 toneladas.
e) 2,5 toneladas.
10. A lata abaixo deverá ser produzida a partir de uma chapa de metal que possui 0,8 g por centímetro
quadrado de área.
Sabendo que essa lata não possui tampa, é CORRETO afirmar que a massa de cada lata desse tipo
será de:
b) 5250π g.
c) 10400 π g.
d) 13000 π g.
e) 8240π g.
a) 2900 π g.
2
11. As duas latas na figura abaixo possuem internamente o formato de cilindros circulares retos, com as
alturas e diâmetros da base indicados. Sabendo que ambas as latas têm o mesmo volume, qual o valor
aproximado da altura h?
a) 5 cm.
b) 6 cm.
c) 6,25 cm.
d) 7,11 cm.
e) 8,43 cm.
12. Em uma festa, um garçom, para servir refrigerante, utilizou uma jarra no formato de um cilindro circular
reto. Durante o seu trabalho, percebeu que com a jarra completamente cheia conseguia encher oito
copos de 300 ml cada. Considerando-se que a altura da jarra é de 30cm, então a área interna da base
dessa jarra, em cm, é:
a) 10
b) 30
c) 60
d) 80
13. A água colhida por um pluviômetro cilíndrico de 40 cm de diâmetro, durante uma chuva torrencial, é
depois colocada em um recipiente também cilíndrico, cuja circunferência da base mede 24π cm. Qual é
a altura que a água havia alcançado no pluviômetro, se no recipiente ela alcançou 200 mm de altura?
a) 1,2 cm
b) 12 cm
c) 3,6 cm
d) 7,2 cm
e) 72 cm
14. Um artesão produz peças ornamentais com um material que pode ser derretido quando elevado a certa
temperatura. Uma dessas peças contém uma esfera sólida e o artesão observa que as peças com
esferas maiores são mais procuradas e resolve desmanchar as esferas menores para construir esferas
maiores, com o mesmo material. Para cada 8 esferas de 10 cm de raio desmanchada, ele constrói
uma nova esfera.
O raio das novas esferas construídas mede
b) 14,2 cm.
c) 28,4 cm.
d) 20,0 cm.
a) 80,0 cm.
15. Oscar Niemayer é um arquiteto brasileiro, considerado um dos nomes mais influentes na arquitetura
moderna internacional. Ele contribuiu, através de uma doação de um croqui, para a construção do
planetário da UFSM, um marco arquitetônico importante da cidade de Santa Maria.
a)
b)
c)
d)
e)
Suponha que a cobertura da construção seja uma semiesfera de 28 m de diâmetro, vazada por 12
partes iguais, as quais são aproximadas por semicírculos de raio 3 m. Sabendo que uma lata de tinta é
2
suficiente para pintar 39 m de área, qual a quantidade mínima de latas de tinta necessária para pintar
toda a cobertura do planetário? (Use π = 3)
20.
26.
40.
52.
60.
3
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher
informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia
e Matemática.
16. A quantidade de materiais para executar uma obra é essencial para prever o custo da construção. Querse construir um telhado cujas dimensões e formato são indicados na figura abaixo.
A quantidade de telhas de tamanho 15 cm por 20 cm necessárias para fazer esse telhado é
a) 104
b) 105
c) 5.103
d) 5.104
e) 25.10 4
17. Uma metalúrgica produz uma peça cujas medidas são especificadas na figura a seguir.
A peça é um prisma reto com uma cavidade central e com base compreendida entre dois hexágonos
regulares, conforme a figura.
Considerando que os eixos da peça e da cavidade coincidem, qual o volume da peça?
a)
640 3 cm3
b) 1280 3 cm3
c) 2560 3 cm3
d) 320 3 cm3
e) 1920 3 cm3
18. Há 4.500 anos, o Imperador Quéops do Egito mandou construir uma pirâmide regular que seria usada
como seu túmulo.
As características e dimensões aproximadas dessa pirâmide hoje, são:
1.ª) Sua base é um quadrado com 220 metros de lado;
2.ª) Sua altura é de 140 metros.
4
3
Suponha que, para construir parte da pirâmide equivalente a 1,88 × 10 m , o número médio de
2
operários utilizados como mão de obra gastava em média 60 dias. Dados que 2,2 × 1,4 ≅ 6,78 e 2,26
÷ 1,88 ≅ 1,2 e mantidas estas médias, o tempo necessário para a construção de toda pirâmide, medido
em anos de 360 dias, foi de, aproximadamente,
a) 20.
b) 30.
c) 40.
d) 50.
e) 60.
19. É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-las. Muitas pessoas costumam usar água
com açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores. Mas é importante saber que, na hora de fazer a
mistura, você deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água. Além disso, em dias
quentes, precisa trocar a água de duas a três vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for
ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O excesso de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o
bico da ave fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso pode até matá-la.
Ciência Hoje das Crianças. FNDE; Instituto Ciência Hoje, n. 166, mar 1996.
4
a)
Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-flores. O copo tem formato
cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro. A quantidade de água que deve ser
utilizada na mistura é cerca de (utilize π = 3 )
20 mL.
b) 24 mL.
c) 100 mL.
d) 120 mL.
e) 600 mL.
20. Um paralelepípedo reto-retângulo, de volume V1, e um cilindro circular reto, de raio R = 0,5 m e volume
V2, têm a mesma altura h = 4 m.
Se
a)
V1 2
= , então a medida x da aresta da base do paralelepípedo é igual a
V2 π
5 2.
b)
5 2
.
2
c)
2
.
2
d)
2
.
4
e)
10
.
4
21. Arquimedes, para achar o volume de um objeto de forma irregular, mergulhou-o num tanque cilíndrico
circular reto contendo água. O nível da água subiu 10 cm sem transbordar. Se o diâmetro do tanque é
20 cm, então o volume do objeto é:
a) 1.000π
b) 2.000π
c) 3.000π
d) 4.000π
e) 5.000π
22. Observe a seguir as planificações de duas caixas. A base de uma das caixas é um hexágono regular; a
base de outra é um triângulo equilátero.
a)
b)
c)
d)
e)
Se os retângulos ABCD e A’B’C’D’ são congruentes, então a razão dos volumes da primeira e da
segunda caixa é:
1
.
2
2
.
3
1.
3
.
2
2.
5
23. A figura indica a planificação da lateral de um cone circular reto:
O cone a que se refere tal planificação é
a)
b)
c)
d)
e)
24. Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá
instalar a luminária ilustrada na figura
Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28,26m2 , considerando
altura h será igual a
a) 3 m.
b) 4 m.
c) 5 m.
d) 9 m.
e) 16 m.
π ≅ 3,14 ,
a
25. Se pudéssemos reunir em esferas toda a água do planeta, os diâmetros delas seriam:
A razão entre o volume da esfera que corresponde à água doce superficial e o volume da esfera que
corresponde à água doce do planeta é
a)
1
343
b)
1
49
c)
1
7
d)
6
29
136
e)
136
203
26. Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato
de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte
desses recipientes.
Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No
entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.
Considere:
4
Vesfera = − π R3
3
e Vcone =
1 2
πR h
3
Sabendo que a taça com o formato de hemisfério e servida completamente cheia, a altura do volume de
champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de
a) 1,33.
b) 6,00.
c) 12,00.
d) 56,52.
e) 113,04.
27. Um vasilhame na forma de um cilindro circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 30 cm está
parcialmente ocupado por 625 π cm3 de álcool. Suponha que sobre o vasilhame seja fixado um funil na
forma de um cone circular reto de raio da base de 5 cm e altura de 6 cm, conforme ilustra a figura 1. O
conjunto, como mostra a figura 2, é virado para baixo, sendo H a distância da superfície do álcool até o
fundo do vasilhame.
πr 2h
Volume do cone: Vcone =
3
Considerando-se essas informações, qual é o valor da distância H?
a) 5 cm.
b) 7 cm.
c) 8 cm.
d) 12 cm.
e) 18 cm.
28. Considere o cubo de aresta 3 cm e vértices ABCDEFG. Considere o ponto P situado no prolongamento
da aresta EA de modo que PA = 5 cm, como está estabelecido na figura.
A maior e a menor aresta lateral da pirâmide PEFGH medem, respectivamente:
a)
82 cm e 8 cm
b)
82 cm e 4 cm
c)
43 cm e 8 cm
7
d) 20 cm e 10 cm
e) 12 cm e 8 cm
29. Um recipiente com água tem, internamente, o formato de um cilindro reto com base de raio R cm.
Mergulhando nesse recipiente uma esfera de metal de raio r cm, o nível da água sobe 9R cm. Qual é o
16
raio dessa esfera?
a) r =
9R
cm
16
b) r =
3R
cm
5
c) r =
3R
cm
4
d) r =
R
cm
2
e) r =
2R
cm
3
30. Um vaso em forma de cilindro circular reto tem medida de raio da base 5 cm, altura 20 cm e contém
água até a altura de 19 cm (despreze a espessura das paredes do vaso). Assinale a alternativa na qual
consta o maior número de esferas de aço, de 1 cm de raio cada, que podemos colocar no vaso a fim de
que a água não transborde.
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
31. Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura 4r, raio da base r e
espessura desprezível, como na figura a seguir.
Nessas condições, a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das esferas é
a)
1
.
5
b)
1
.
4
c)
1
.
3
d)
1
.
2
e)
2
.
3
32.
As figuras A e B indicam, respectivamente, planificações de sólidos em forma de prisma e pirâmide, com
todas as medidas sendo dadas em metros. Denotando por V1 e V2 os volumes do prisma e da pirâmide,
respectivamente, conclui-se que V1 representa de V2
a) 25%.
b) 45%.
c) 50%.
d) 65%.
e) 75%.
33. Derretendo uma peça maciça de ouro de forma esférica, quantas peças da mesma forma se pode
confeccionar com este ouro, se o raio das novas peças é um terço do raio da anterior? Admita que não
houve perda de ouro durante o derretimento.
a) 3
b) 9
c) 18
d) 21
e) 27
8
34. Leia os quadrinhos:
Suponha que o volume de terra acumulada no carrinho-de-mão do personagem seja igual ao do sólido
esquematizado na figura 1, formado por uma pirâmide reta sobreposta a um paralelepípedo retângulo.
3
Assim, o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada ano de trabalho é, em dm , igual a:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
35. Na figura estão representados três sólidos de mesma altura h - um cilindro, uma semi-esfera e um
prisma - cujos volumes são V1, V2 e V3, respectivamente.
A relação entre V1, V2 e V3 é:
a) V3 < V2 < V1
b) V2 < V3 < V1
c) V1 < V2 < V3
d) V3 < V1 < V2
e) V2 < V1 < V3
GABARITO:
Resposta da questão 1: A
O volume do prisma é dado por:
⎛
⎜ AG ⋅
⎝
x 3x
+
AB + GH ⎞
x 2 4 x 5x3
⋅
=
⋅
⋅ =
JG
.
⎟
2
2
2
2
32
⎠
Resposta da questão 2: A
Total de cubos com casca em apenas uma face será dado por:
2. 6.18 (superior e inferior) + 2.18.3 (frente e fundo) + 2.6.3 (laterais) = 360.
9
Resposta da questão 3: B
h
O volume de água armazenado é dado por A ⋅ , em que A é a área da base do reservatório.
3
Se é possível encher completamente recipientes de 20 e 50 litros cada, então o volume de água no
reservatório deve é tal que mmc(20, 50) = 100 litros.
Portanto, como a capacidade do reservatório é dada por A ⋅ h, vem A ⋅
h
= 100 ⇔ A ⋅ h = 300 L.
3
Resposta da questão 4: D
Seja c o comprimento da placa.
Sabendo que o volume do cubo é 1 cm3 , segue que sua aresta mede
Portanto, como não houve perda na transformação, vem
1
1 = 1⋅ ⋅ c ⇔ c = 2 cm.
2
3
1 = 1 cm.
Resposta da questão 5: E
V = 30 ⋅ 21 ⋅ 100 = 63 000 cm3.
Resposta da questão 6: B
A razão entre os volumes é o cubo da razão se semelhança. Logo, a razão de semelhança é k = 3 2 ;
A razão entre as áreas é o quadrado da razão de semelhança. Logo, a razão entre as áreas dos pacotes é
2
k2 = 3 2 = 3 4 .
Resposta da questão 7: A
Supondo que y seja a distância da base do triângulo até a base do reservatório, considere a seguinte
vista lateral.
Como os triângulos ABC e ADE são semelhantes, e supondo que DE = x é a “largura” pedida, obtemos
x y
4y
= ⇔x=
.
8 6
3
Observação: Se considerarmos que y é a distância do vértice A até a base do reservatório, então a
4y
− 8. Contudo, esse resultado não consta nas alternativas. Além disso, o
3
gabarito oficial indica a alternativa [A] como sendo a correta.
“largura” pedida seria igual a
10
Resposta da questão 8: D
VPirâmide =
Area da base × Altura
.
3
Portanto:
L2 × H
V1 =
3
e
V2 =
H
2
2 = 2 × ⎛⎜ L × H ⎞⎟ .
⎜ 3 ⎟
3
⎝
⎠
(2L)2 ×
Logo:
V2 = 2 × V1 (O dobro do volume inicial).
Resposta da questão 9: E
A área total a ser pintada é dada por
1
4000 ⋅ π ⋅ ⋅ 1 ≅ 4000 ⋅ 3,14 m2 .
2
Portanto, como o rendimento da tinta é 200 g m2 =
4000 ⋅ 3,14 ⋅
1
kg m2 , segue que o consumo mensal de tinta é
5
1
= 2.512kg ≅ 2,5 ton.
5
Resposta da questão 10: A
Área da superfície externa da lata: A = π ⋅ 252 + 2 ⋅ π ⋅ 25 ⋅ 60 = 625 π + 3000 π = 3625 π cm2.
Cálculo da massa da lata: 0,8 ⋅ 3625 π = 2900 π g.
Resposta da questão 11: D
VI = VII
π.62.h = π.82.4
h=
h
64.4
36
7,11 cm
Resposta da questão 12: A
11
A b = área da base
1mL = 1cm3
Volume da jarra = 8 ⋅ 30mL = 2400mL = 2400cm3
A b .30 = 2400
A b = 80cm2
Resposta da questão 13: D
Seja r o raio da base do recipiente.
Se a circunferência da base do recipiente mede 24 π cm, então
24 π = 2π ⋅ r ⇔ r = 12 cm.
Logo, o volume de água transferido para o recipiente é dado por
π ⋅ 122 ⋅ 20 cm3 .
Por outro lado, como o diâmetro da base do pluviômetro mede 40 cm, segue que o raio da sua base mede
40
= 20 cm.
2
Portanto, se h é a altura que a água atingiu no pluviômetro, então
π ⋅ 202 ⋅ h = π ⋅ 122 ⋅ 20 ⇔ h =
144
= 7,2cm.
20
Resposta da questão 14: D
4
O artesão disporá de 8 ⋅ ⋅ π ⋅ 103 cm3 de material ao derreter 8 esferas menores. Com esse material ele
3
4
4
3
poderá construir uma esfera de raio r, tal que ⋅ π ⋅ r 3 = 8 ⋅ ⋅ π ⋅ 103 ⇔ r = 23 ⋅ 103 ⇔ r = 20cm.
3
3
Resposta da questão 15: B
A = área da semiesfera de raio 14 m: A =
4 ⋅ π ⋅ 142
= 392π m2 .
2
A’ = área de cada semicírculo lateral: A ' =
Área que será pintada: A – A’ = 392π − 12 ⋅
Número de latas de tinta:
π ⋅ 32
2
=
9π 2
m .
2
9π
= 338π
2
1014( π = 3).
1014
= 26.
39
Resposta da questão 16: A
Supondo que o telhado tem a forma de um prisma triangular reto, temos que a = 5 m.
12
Portanto, supondo que apenas as faces de dimensões 5 m × 30 m serão cobertas por telhas, segue que o
resultado pedido é dado por
2 ⋅ 5 ⋅ 30
3 ⋅ 10−2
= 104.
Resposta da questão 17: E
V = Vmaior − Vmenor
6.122 3.10 6.42. 3.10
−
= 1920 3
4
4
V=
Resposta da questão 18: A
V=
1
(2,2)2 .1, 4.106 6,78.106
=
= 2,26.10 6 m3
.(2,2.10 2 )2 .1,4.10 2 =
3
3
3
1,88 · 104 ------------------------ 60 dias
2,26 · 106--------------------------x
2,26.60.106
X=
1,88.104
=1,2.60.102 = 7200 dias = 20 anos.
Resposta da questão 19: C
Supondo que o volume de açúcar e o volume de água somem o volume do copo.
De acordo com o texto, temos:
Volume de água = 5x
Volume de água = x
Volume do copo =
π.22.10 = 3.22.10 = 120cm3
Então x + 5x = 120 ⇔ 6x = 120 ⇔ x = 20cm3
Portanto, a quantidade de água deverá ser 5.20 = 100 cm3 = 100 mL.
Resposta da questão 20: C
x2 .h
π.(0,5) .h
2
=
2
π
⇔ x2 =
1
2
⇔x=
2
2
Resposta da questão 21: A
O volume do objeto é dado por
⎛ 20 ⎞
⎟
⎝ 2 ⎠
π⋅⎜
2
⋅ 10 = 1.000π cm3 .
Resposta da questão 22: D
13
6x 2 . 3
V (hexagonal)
6 3
4
=
= =
V (triangular) (2 x) 2 3 4 2
4
Resposta da questão 23: B
252π 7π
=
180
5
7π
.10 ⇔ R = 7 e g = 10 (raio do setor)
2π .R =
5
o
252 =
Resposta da questão 24: B
Se a área a ser iluminada mede 28,26 m2 e r é o raio da área circular iluminada, então
⇒r ≅
⇒
28,26
r ≅ 3 m.
3,14
Portanto, como g = 5 m e r = 3 m, segue que h = 4 m.
π ⋅ r 2 = 28,26
Resposta da questão 25: A
Sejam Vds e Vd , respectivamente, o volume da esfera que corresponde à água doce superficial e o volume
da esfera que corresponde à água doce do planeta.
4
3
3
3
⋅ π ⋅ rds3
Vds 3
1
⎛r ⎞
⎛ 29 ⎞
⎛ 1⎞
=
= ⎜ ds ⎟ = ⎜
.
A razão pedida é dada por
⎟ =⎜ ⎟ =
4
⎝7⎠
Vd
r
343
⎝ 203 ⎠
⋅ π ⋅ rd3 ⎝ d ⎠
3
Resposta da questão 26: B
2
1
.π.33 = π.3 2.h ⇔ 3h = 18 ⇔ h = 6cm
3
3
Resposta da questão 27: B
π .52.6
Volume do cone =
= 50π cm3
3
Volume do líquido do cilindro da figura 2 = 625π - 50π = 575π
Altura do líquido do cilindro da figura 2.
2
π .5 .h = 575π ⇔ h = 23 cm.
Na figura 2, temos: H = 30 – h logo H = 7 cm
Resposta da questão 28: A
Resposta da questão 29: C
Resposta da questão 30: E
Resposta da questão 31: D
Resposta da questão 32: E
Resposta da questão 33: E
Resposta da questão 34: D
Resposta da questão 35: E
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