Apontamentos de Permutadores de Calor – Equipamentos Térmicos 2005 – João Luís Toste Azevedo
Permutadores de Calor
1 - Introdução
Os permutadores de calor são equipamentos térmicos que têm como objectivo promover a
transferência de calor entre duas ou mais correntes de fluidos.
A classificação de permutadores de calor pode ser efectuada de diversas formas consoante o
critério considerado. Como exemplos podemos apresentar as seguintes classificações
consoante os critérios:
1) Processo de transferência de calor
-
-
Contacto directo
Neste sistema existe contacto entre os fluidos entre os quais se permuta calor. Em
alguns casos trata-se da mesma substância sendo o processo uma mistura. Outro
exemplo são torres de refrigeração nas quais ar e água se separam, existindo no
entanto transferência de massa das gotas de água para o ar húmido.
Contacto indirecto.
Neste sistema podemos ainda ter a transferência directa ou através de um sistema
intermédio de armazenamento/transporte. Na transferência directa os fluídos
encontram-se em contacto com uma superfície sólida que os separa. Na
transferência de calor com um meio intermédio é usado um fluído ou uma matriz
sólida que transporta energia entrando em contacto alternativamente com os
fluidos principais quente e frio. São exemplos deste tipo os permutadores
utilizados em fornos e caldeiras para aquecer o ar para a combustão à custa dos
produtos de combustão e os regeneradores nos ciclos de tubina de gás.
2) Tipo de construção
Os permutadores de contacto directo não são classificados sob este aspecto, sendo a sua
constituição a de uma câmara onde se misturam os fluidos que permutam calor. Nos
permutadores de contacto indirecto a classificação faz-se em relação à forma da superfície
sólida que separa os dois fluídos e através da qual se processa a transferência de calor. As
superfícies de transferência são na maioria tubos ou placas sendo os permutadores
classificados pela disposição destes elementos.
-
-
Construção tubular: Nestes permutadores um dos fluidos circula no interior de
tubos circulando o outro fluido no exterior em tubo concêntrico ou no exterior dos
tubos, sendo favorecido o escoamento perpendicular ao tubo por permitir maiores
coeficientes de convecção.
Construção em placas: As placas podem separar os fluidos e serem montadas em
paralelo ou em espiral.
Superfícies alhetadas: Tanto os permutadores baseados em tubos como placas
podem possuir superfícies alhetadas.
Nos permutadores com uma matriz sólida intermédia de transporte de calor a
construção pode ser de matriz fixa onde periodicamente se troca o fluido que passa
nessa ou rotativa (tambor ou disco) sendo neste caso a matriz sólida transportada.
1
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3) Arranjo (tipo de escoamento)
A classificação quanto ao tipo de escoamento relativo entre os fluidos que trocam calor é
importante pois permite formular modelos que descrevem a distribuição de temperatura.
Nesta classificação distinguem-se os arranjos com passagens simples e múltiplas:
Passagens Simples: Neste tipo de permutadores cada fluido tem escoamento uniforme apenas
numa direcção e sentido podendo serem classificados pela orientação relativa entre as
correntes.
- Equicorrente, contra-corrente. Nestes casos ambos os fluidos deslocam-se na
mesma direcção, respectivamente no mesmo sentido ou em sentidos opostos.
- Correntes cruzadas onde os fluidos têm direcção do escoamento perpendicular.
Passagens Múltiplas: Nestes permutadores um dos fluidos tem mais de um sentido de
escoamento em relação ao outro ou diversas correntes. São exemplos.
- Configuração 2x1 em que a corrente de um dos fluidos tem duas passagens em
sentidos opostos, uma em equicorrente e outra em contracorrente, em relação ao
outro fluído que tem apenas uma passagem.
- Em permutadores com correntes cruzadas é usual existirem diversas passagens em
série para um dos fluídos (em sentidos alternados) enquanto o outro fluído
mantém sempre um escoamento perpendicular.
4) Mecanismo de transferência de calor
Em relação ao mecanismo de transferencia de ca1or os permutadores podem-se distinguir
pela importância da convecção em relação à radiação. A convecção pode ainda dar-se com ou
sem mudança de fase. O mecanismo de transferencia de ca1or para cada um dos fluidos no
permutador pode ser diferente.
5) Grau de compactação
Esta classificação permite distinguir os permutadores quanto a sua área especifica
designando-se como compactos os permutadores com valores superiores a 700 m2/m3. Este
valor não é rigido mas dá a indicação que se consideram como compactos permutadores em
que a dimensão característica é da ordem de mm.
6) Aplicações
As aplicações dos permutadores são muito numerosas podendo no entanto efectuar-se
uma classificação tendo em conta o objectivo da sua utilização. São apresentados alguns
exemplos:
Grandes instalações: Caldeiras de aquecimento e de geração de vapor
Com mudança de fase: Geradores de vapor, Evaporadores, Condensadores.
Permuta de calor sem mudança de fase: Aquecedores, arrefecedores
Recuperação de calor: Recuperadores quando o calor aproveitado é para outra aplicação e
regeneradores quando o calor é aproveitado no próprio ciclo térmico.
Dissipadores: Radiadores, torres de arrefecimento. Nestes pretende-se apenas efectuar um
arrefecimento não sendo utilizada a energia transferida para o outro fluido.
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2 - Equações gerais para permutadores de calor
Neste capitulo vamos analisar a distribuição de temperatura nos permutadores de calor e
apresentar os métodos principais para a sua análise. Para analisar um permutador de calor é
necessário analisar os balanços de energia aos fluídos e as equações de transferência de calor,
conforme indicado de seguida.
Equações de balanço de energia
Para a análise de permutadores de calor de uma forma simplificada considera-se que os
fluidos são caracterizados por um calor específico constante. Com esta hipótese simplificativa
podem-se desenvolver equações para o balanço de energia, diferença média de temperatura e
eficiência do permutador de uma forma simples. Neste caso o calor perdido pelo fluído
quente e ganho pelo fluído frio podem ser escritos como:
Q& q = (m& c p )q (Tqe − Tqs )
Q& f = (m& c p ) f (T fs − T fe )
O fluido com mudança de fase pode ser considerado como um caso particular da análise
apresentada anteriormente. Para este caso admitindo que a mudança de fase se dá a pressão
constante (desprezando as perdas de carga) considera-se que a temperatura não varia e então
cp=∞.
Em muitas aplicações pretende-se que o calor seja integralmente transferido do fluído quente
para o frio e assim considera-se que o permutador tem um funcionamento adiabático, isto é
sem perdas de calor para o exterior. Neste caso verifica-se uma igualdade entre a taxa de
transferência de calor e a potência trocada por cada fluído.
No caso de se considerar uma forma mais complexa para a variação da entalpia com a
temperatura, obviamente que se podem efectuar cálculos numéricos. No caso do permutador
não ser adiabático o calor realmente permutado através da superfície de transferência pode ser
calculado da potência trocada por um dos fluídos se este estiver confinado no interior do
outro que então terá trocas com o ambiente. Num caso geral ambos podem ter trocas com o
ambiente requerendo uma análise específica detalhada.
Coeficiente global de transferência de calor
Nos permutadores de calor de contacto indirecto e transferência directa os fluidos que
permutam energia encontram-se separados por uma superfície de transferência de calor. A
troca de calor entre cada fluído e a superfície pode ser descrita por um coeficiente de
convecção, podendo incluir um rendimento no caso de existirem superfícies alhetadas.
Q& = (Abase + A finη f )h(T fluido − TSupExp )
A transferência de calor pode também ser reduzida devido à existência de resistências
localizadas. No caso das superfícies alhetadas podem existir resistências térmicas de contacto
e de uma forma geral existem resistências térmicas devido à formação de depósitos nas
superfícies e que designaremos por resistências de sujamento. Estas resistências podem ter
denominações específicas de acordo com o processo de formação dos depósitos (scaling,
fouling, slagging, ...). No caso de se considerar resistências localizadas a taxa de transferência
de calor pode ser relacionada com as diferenças de temperatura entre a superfície exposta e a
superfície sólida do meio que separa os fluídos.
Q& = A(TSupExp − TSupSol ) RSuj
3
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Através da superfície sólida que separa os fluídos existe uma resistência térmica devido à
condução de calor. No caso de um tubo circular pode-se escrever:
Q& = 2πLk p (TSupSolExt − TSupSolInt ) ln(D Di )
A área sujeita à convecção para cada um fluidos em geral não é igual, especialmente no caso
de se utilizarem superfícies alhetadas (ou pinos). A transferência de calor num permutador é
caracterizada por um coeficiente global de permuta de calor U [W/m2K] que pode ser escrito
de diversas formas dependendo da configuração do permutador. Para cada tipo de permutador
selecciona-se uma determinada área de referência. No caso de superfícies compactas
alhetadas considera-se a área total incluindo a das alhetas e calcula-se o valor de AU por
exemplo na forma:
−1


1
1
t
AU = 
+ RSuj ,1 +
+ RSuj ,2 +

Ab k
h2 ( Ab + ηa 2 Aa 2 ) 
 h1 ( Ab + ηa1 Aa1 )
para o caso de superfícies alhetadas separadas por parede plana. Devido ao aparecimento de
diversas áreas, para os permutadores compactos como se irá ver definem-se parâmetros
característicos da superfície como a área das alhetas em relação à total, a área de permuta de
um lado em relação ao outro e a área de permuta de referência por unidade de volume,
facilitando os cálculos. No caso de permutadores de placas considera-se a área projectada e
no caso de permutadores tubulares considera-se a área exterior dos tubos, conduzindo a:
−1
1
D ln(D Di ) D 
1 
+  RSuj ,i + 
U =  + RSuj ,e +
kP
Di 
hi 
 he
A taxa de transferência de calor pode então ser definida pelo produto da capacidade de
transferência de calor (AU) pela diferença média de temperatura entre os fluidos.
Q& = AU (Tq − T f ) = AU ∆T
A diferença média de temperatura entre os fluídos depende da configuração do permutador e
é analisada de seguida para alguns casos.
Diferença média de temperatura num permutador
Ao longo de um permutador a temperatura do fluído e da superfície variam surgindo assim a
necessidade de analisar os perfís de temperatura em configurações típicas e definir a diferença
média de temperatura entre os fluídos. A análise para o caso de equi-corrente ou contracorrente é simples, enquanto para outras configurações o cálculo é mais complexo, sendo
apresentados apenas os resultados finais desses casos.
Para o caso de um permutador de correntes paralelas, podem-se considerar dois sentidos para
as correntes conduzindo a quatro possibilidades ilustradas na tabela seguinte. Para cada um
dos casos o balanço de energia aos fluidos em forma diferencial apresenta uma forma
diferente como indicado.
Temperatura
Temperatura
Equicorrente
0.6
0.4
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0
1
dQ& q = −(m& c p )q dTq
0
Distância
0.45 Axial
0.9
dQ& f = (m& c p )f dT f
2
dQ& q = (m& c p )q dTq
0.1
Distância
Axial
0.55
0
1
dQ& f = −(m& c p )f dT f
1
1
Contra-corrente
0.8
0.2
0.2
0.6
0.6
0.4
0.4
0
3
dQ& q = −(m& c p )q dTq
0
Distância
0.45 Axial
0.9
dQ& f = −(m& c p )f dT f
4
Contra-corrente
0.8
Temperatura
1
Equicorrente
Temperatura
1
0.8
0
4
dQ& q = (m& c p )q dTq
1
Distância
0.55 Axial
0.1
dQ& f = (m& c p )f dT f
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Para determinar a distribuição de temperatura usam-se estas equações em conjunto com a
equação de transferência de calor indicada a seguir:
dQ& = PU (Tq − T f )dx
Definindo a variável θ =Tq-Tf pode-se formular uma equação diferencial para essa variável,
atendendo à igualdade entre o calor trocado pelos dois fluídos. Para o caso equicorrente
podem-se escrever os dois conjuntos de expressões que conduzem às equações indicadas a
seguir.
 dTq − PU
 dTq
PU
 dx = (m& c ) (Tq − T f )
 dx = (m& c ) (Tq − T f )
p q
p q




 dT f = PU (T − T )
 dT f = − PU (T − T )
q
f
f
 dx (m& c p )
 dx (m& c p ) q
f
f


 1
 1
dθ
1 
dθ
1 
= − PU 
+
θ = − BECθ
= PU 
+
θ = BECθ
 (m& c p ) (m& c p ) 
 (m& c p ) (m& c p ) 
dx
dx
q
f 
q
f 


Sendo a única diferença entre as duas expressões o sinal. Integrando as equações obtidas
obtém-se uma evolução exponencial em ambos os casos sendo aplicado em ambos os casos
como condição fronteira a diferença de temperatura na extremidade para x=0 do permutador.
Substituindo em ambos os casos para x=L podemos verificar que as duas expressões são
equivalentes, como seria de esperar.
θ = θ0e − BEC x
θ = θ 0e BEC x
θ L Tqe − T fe
=
= e− B
θ 0 Tqs − T fs
θ L Tqs − T fs
=
= eB
θ 0 Tqe − T fe
EC x
EC x
A partir daqui sem perda de generalidade utiliza-se a primeira expressão. O parâmetro BEC é
um parâmetro característico das condições de funcionamento do permutador e pode também
ser escrito em termos dos valores da temperatura nas extremidades:
T −T
T − T fe (Tqe − T fe ) − (Tqs − T fs ) θ 0 − θ L
1
1
BEC =
+
= qe qs + fs
=
=
&
(m& c p )q (m& c p )f Qq
Q& f
Q&
Q&
Podemos então escrever uma equação para as diferenças de temperatura nas extremidades
substituindo o parâmetro BEC na expressão de θ(x) para x=L:
 (θ − θ )

θ L = θ 0e− BEC L = θ 0 exp− 0 & L PUL 
Q


A diferença média de temperatura entre os dois fluídos pode ser definida como o valor do
calor permutado Q& a dividir pelo valor de AU. Para o permutador considerado a área de
transferência A é igual ao produto do perímetro P pelo comprimento L. Assim:
Q&
θ −θ
∆T =
= 0 L
AU ln(θ 0 θ L )
Esta diferença média de temperatura é denominada de diferença média de temperatura
logarítmica. No caso considerado (equicorrente) este valor pode ser escrito como:
(T − T fe ) − (Tqs − T fs )
∆TLnEC = qe
ln (Tqe − T fe ) (Tqs − T fs )
Para o caso do escoamento em contra-corrente pode-se repetir a análise apresentada para o
caso equi-corrente. Neste caso as equações para θ são as seguintes:
[
]
5
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 1
 1
dθ
1 
dθ
1 
= PU 
−
θ = BCCθ
= − PU 
−
θ = − BCCθ
 (m& c p ) (m& c p ) 
 (m& c p ) (m& c p ) 
dx
dx
q
f 

q
f 

que se podem verificar ser equivalentes tal como anteriormente. Integrando obtêm-se:
θ = θ 0e − BCC x
θ = θ 0e BCC x
θ L Tqe − T fs
=
= e− B
θ0 Tqs − T fe
θ L Tqs − T fe
=
= eB
θ 0 Tqe − T fs
CC x
CC x
No caso contra-corrente o parâmetro BCC toma o valor:
T −T
T − T fe (Tqe − T fs ) − (Tqs − T fe ) θ 0 − θ L
1
1
−
= qe qs − fs
=
=
BCC =
(m& c p )q (m& c p )f Q& q
Q& f
Q&
Q&
Podemos então verificar que a diferença média de temperatura toma a mesma forma que no
caso equi-corrente. As diferenças de temperatura nas extremidades do permutador no entanto
não são as mesmas e em termos das temperaturas de entrada e saída dos fluídos pode-se
escrever:
(T − T fs ) − (Tqs − T fe ) = ∆T
∆T CC = ∆TLnCC = qe
Ln
ln (Tqe − T fs ) (Tqs − T fe )
[
]
sendo utilizado o simbolo ∆TLn sem índice pois esta expressão é mais utilizada como se irá
ver a seguir. Na aplicação desta equação é indiferente trocar as diferenças de temperatura
entre as extremidades, mas deve-se notar que a diferença deve ser sempre entre o valor maior
e o menor, caso contrário conduz a valores negativos.
Convém também aqui chamar a atenção para o caso em que os valores das capacidades
térmicas m& c p de ambos os fluídos são iguais, pois neste caso BCC=0 indicando que a diferença
de temperatura entre os dois fluídos é constante.
Para além dos casos de equicorrente e contracorrente existem outros casos de permutadores
com correntes paralelas que permitem determinar a distribuição de temperatura a partir de
modelos unidimensionais. Uma configuração aproximada que surge em muitas aplicações é o
caso do permutador 2x1 que consiste em ter um fluído com uma única passagem trocando
calor com o outro fluído que tem duas passagens, uma em equicorrente e outra em
contracorrente como indicado na figura. Existem duas alternativas para este tipo de arranjo O
sentido das correntes inicialmente tem influência na distribuição de temperatura mas não
influi a potência térmica trocada. No caso da capacidade de transferência (AU) ser elevada
quando o segundo fluído entra primeiro em contracorrente pode inclusivamente conduzir a
um cruzamento de temperatura, isto é a temperatura do fluído frio pode ultrapassar a do
quente à saída quando o escoamento é em equicorrente (situação ilustrada a tracejado na
figura).
1
1
0.8
Temperatura
2x1 EC - CC
0.8
Temperatura
2x1 CC - EC
2x1 EC - CC
0.6
0
0
00
0
Distância
0.45 Axial
0.4
0.2
0
0
0.4
0.2
0.2
0
0.2
0.2
0.6
0
0.9
0
Distância
0.45 Axial
6
0.9
2x1 CC - EC
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A diferença de temperatura entre os fluídos pode ser calculada para o primeiro caso com base
em balanços de energia aos fluídos e na equação de transferência de calor.
A diferença de temperatura média entre os fluídos é dada por:
 Aux1 = Tqe − T fs + Tqs − T fe
Aux1
onde 
∆T2 x1 =
2
2
 Aux 2 + Aux1 
 Aux 2 = (Tqe − Tqs ) + (T fs − T fe )
ln

 Aux 2 − Aux1 
Distribuição de temperatura dos fluídos
Para além da diferença média de temperatura entre os dois fluídos, pode-se determinar
também o perfil de temperatura para cada uma das correntes. Este resultado é obtido
considerando o calor trocado entre a posição x=0 e uma posição x qualquer:
x
UPθ 0
Q& 0 − x = ∫ UPθ 0e− Bx dx =
1 − e− Bx
0
B
válido para qualquer das configurações (EC ou CC) desde que se use os parâmetros θ0 B
específico. Para cada caso, tendo em conta o sentido do escoamento pode-se efectuar o
balanço de energia aos fluídos quente e frio conduzindo a:
Q& 0 − x = (m& c p )q (Tqe − Tq (x )) 1 EquiQ& 0 − x = (m& c p )q (Tqe − Tq ( x )) 3 Contra

corrente
corrente
&
&
Q0 − x = (m& c p )f (T f ( x ) − T fe )
Q0 − x = (m& c p )f (T fs − T f (x ))
A partir da igualdade entre cada uma destas expressões e o calor trocado, pode-se determinar
as distribuições de temperatura conduzindo às expressões:
Equicorrente
Tqe − Tq ( x ) 1 − e− BEC x
T f ( x ) − T fe 1 − e− BEC x
=
=
Tqe − T fe
1 + Rq
Tqe − T fe
1+ Rf
(
(
Tqe − Tq (x )
Tqe − T fe
)
1 − e− BCC x
=
1 − Rq e− BCC L
)
(
)
Tqe − T f ( x ) 1 − Rq e − BCC x
=
Tqe − T fe
1 − Rq e − BCC L
Contracorrente
onde se introduziram as variáveis Rq = (m& c p )q (m& c p )f e R f = (m& c p )f
(m& c )
p q
que representam
a relação entre as capacidades térmicas de ambos os fluídos. No caso das capacidades
térmicas serem iguais, Rq=1 e para o caso contracorrente o perfil de temperatura é linear,
sendo o perfil dado por:
Tqe (m& c p )q + UP(L − x ) + T feUPx
T fe (m& c p )f + UPx + TqeUP(L − x )
Tq ( x ) =
Tf (x ) =
(m& c p )q + UPL
(m& c p )f + UPL
[
]
[
]
A partir destas equações pode-se facilmente determinar expressões para a temperatura média
de cada fluído no permutador mas normalmente para cálculos utiliza-se uma média aritmética
para o fluído com maior capacidade térmica (maior m& c p ) e estima-se a temperatura do outro
fluído com a diferença média de temperatura.
Método θ e F-∆TLn
Como se viu anteriormente a diferença média de temperatura num permutador pode ser
expressa em função das temperaturas de entrada e saída de ambos os fluídos. Adicionalmente
a temperatura de saída de ambos os fluídos também pode ser expressa em função das
temperaturas de entrada, pelo que a diferença média de temperatura também pode ser
expressa em função da diferença entre os valores das temperaturas de entrada. As equações
obtidas para a diferença média de temperatura podem ser complexas como se viu para o caso
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do permutador 2x1 sendo ainda mais no caso de outras configurações. Torna-se assim
interessante definir coeficientes que permitam relacionar a diferença média de temperatura
com diferenças fáceis de calcular.
A diferença média de temperatura entre os fluídos é sempre inferior à diferença entre as
temperaturas de entrada podendo essa razão ser expressa pelo factor θ.
∆T
θ=
(Tqe − Tfe )
Este factor pode ser calculado de forma fácil para os casos de duas correntes paralelas. Para o
caso do permutador contra corrente este factor é definido por:
(Tqe − T fs ) − (Tqs − T fe )
θ=
(Tqe − T fe )ln (Tqe − T fs ) (Tqs − T fe )
No argumento do logaritmico pode-se isolar a diferença entre as temperaturas das entradas
conduzindo a:
(Tqe − T fs ) = 1 − (T fs − T fe ) / (Tqe − T fe )
(Tqs − T fe ) 1 − (Tqe − Tqs ) / (Tqe − T fe )
onde surgem dois factores que representam a variação de temperatura de cada uma das
correntes em relação ao máximo que poderiam variar na configuração de contra-corrente.
Definindo os parâmetros P como estes valores para as duas correntes:
(T − Tfe ) e P = (Tqe − Tqs )
Pf = fs
(Tqe − Tfe ) q (Tqe − T fe )
Estes dois factores encontram-se relacionados pela relação entre as capacidades caloríficas
que também pode ser definida como já indicado de duas formas:
(m& c p )f (Tqe − Tqs ) Pq
(m& c p )q (T fs − Tfe ) Pf
Rf =
=
=
e Rq =
(m& c p )q (Tfs − T fe ) Pf
(m& c p )f = (Tqe − Tqs ) = Pq
[
]
O cociente entre as diferenças de temperatura pode-se também escrever como:
(Tqe − Tfs ) − (Tqs − T fe ) = P − P = P (1 − R ) = P (R − 1)
q
f
q
q
f
f
(Tqe − T fe )
em função dos parâmetros definidos para um ou outro fluído. Assim o factor θ pode ser
expresso em função dos parâmetros de qualquer dos fluídos e pode-se facilmente verificar que
o resultado é equivalente, pelo que se pode omitir o índice do fluído.
Pq (1 − Rq )
Pf (R f − 1)
P(R − 1)
θCC =
=
=
ln (1 − Pq Rq ) (1 − Pq ) ln (1 − Pf ) (1 − Pf R f ) ln[(1 − P ) (1 − PR )]
A função θ pode também ser representada graficamente sendo no entanto necessário calcular
(ou assumir) uma temperatura de saída para o cálculo do factor P. Para R=1 a expressão
anterior conduz a uma indeterminação que levantada conduz a θCC=1-P.
Para o caso do permutador equicorrente pode-se definir o factor θ a partir da diferença média
de temperatura logarítmica para este caso conduzindo a:
(Tqe − T fe ) − (Tqs − T fs )
∆TLn EC
=
θ EC =
Tqe − T fe (Tqe − T fe )ln (Tqe − T fe ) (Tqs − T fs )
Substituindo as diferenças de temeratura em função da diferença de temperatura entre as
entradas pode-se definir de igual modo o parâmetro θ em função de P e de R:
− P(R + 1)
θ EC =
ln[1 − P(R + 1)]
[
]
[
[
]
]
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Tal como no caso anterior este parâmetro adimensional é inferior à unidade e pode ser
representado gráficamente. Pode-se observar que os valores resultantes desta função são
sempre inferiores aos produzidos para o caso contracorrente. A configuração contracorrente
para parâmetros fixos P e R indicam uma maior diferença média de temperatura entre os
fluídos. Assim o mesmo calor permutado (traduzido pelo valor de P igual) pode-se verificar
que a configuração contra-corrente é aquela que apresenta a maior capacidade de
transferência (AU). Por outro lado para o mesmo valor da capacidade de transferência a
configuração contra-corrente é a que permite maximizar a transferência de calor. Por este
facto desenvolveu-se o método F-∆TLn em que se exprime a diferença média de temperatura
para um permutador qualquer como o produto do factor F pela diferença média de
temperatura logarítmica (definida como no caso da configuração contracorrente). Para o
permutador equicorrente pode-se definir o factor F a partir da razão entre os valores de
definidos anteriormente:
∆T EC θ
 1 + R  ln[(1 − P ) (1 − PR )]
FEC = Ln = EC = 

∆TLn θCC  1 − R  ln[1 − P(1 + R )]
Os parâmetros P e R como se tinha visto anteriormente podem ser definidos escolhendo um
dos fluídos mas deve-se manter a coerência entre os valores. Para o caso R=1 a expressão
anterior dá uma indeterminação que levantada conduz a:
− 2 /(1 − P)
FEC =
(neste caso P<0,5)
ln[1 − 2 P ]
Para o permutador 2x1 a partir da expressão para a diferença média de temperatura podem-se
também definir os parâmetros θ e F, conduzindo a:
P 1 + R2
θ 2 x1 =
1 + R − 2 P − 1 + R 2 
ln 

1 + R − 2 P + 1 + R 2 
ln((1 − P ) (1 − P ⋅ R ))
2 P (1 − P )
F=
que no caso R=1 resulta em: F =
2
 2 − P R +1− R +1 
1− P 1−1 2 


ln
ln
 2 − P R + 1 + R2 + 1 
1 − P 1 + 1 2 



Estas funções encontram-se representadas graficamente com um esquema que indica os
parâmetros P e R definidos para o fluído que efectua apenas uma passagem:
T −T
T −T
P = 2 s 2 e ; R = 1e 1s
T1e − T2e
T2 s − T2 e
Como se referiu anteriormente podem-se considerar também os valores definidos para o outro
fluído, tal como indicado junto da representação gráfica. A diferença média de temperatura e
o factor F para este permutador pode ser utilizada sem grande erro para a situação de 4*1 e
8*1.
Para outras configurações de escoamento a obtenção dos factores θ e F de forma explícita é
complexa ou mesmo impossível, pelo que nestes casos se dispõe apenas de valores
representados em forma gráfica ou em tabelas, existindo no entanto expressões que
aproximam aqueles resultados. Para utilizar qualquer dos factores necessários apesar de no
caso de θ se multiplicar este valor pela diferença entre as temperaturas de entrada dos dois
fluídos é necessário pelo menos um valor da temperatura de saída para calcular o factor P.
Para calcular a potência térmica trocada a partir das temperaturas de entrada e dos parâmetros
de funcionamento do permutador é necessário considerar a equação de transferência de calor
que é utilizada na formulação do método ε - NTU descrito a seguir.
(
(
)
)
(
(
9
)
)
Apontamentos de Permutadores de Calor – Equipamentos Térmicos 2005 – João Luís Toste Azevedo
Método ε-NTU
Como acabado de referir este método permite determinar a potência transferida no
permutador a partir do conhecimento das temperaturas de entrada e das características de
operação do permutador e que são as capacidades térmicas de ambos os fluídos e a capacidade
de transferência de calor:
(m& c p )f ; (m& c p )q ; AU
A eficiência do permutador é definida como o valor do calor permutado em relação ao
máximo que se pode permutar entre duas correntes de fluídos com temperatura de entrada
conhecidas. Como a configuração de contra-corrente é a que permite a maior transferência de
calor é com base nesta que se vai considerar a situação idealizada. A variação de temperatura
de cada fluído no permutador é inversamente proporcional à sua capacidade térmica devido à
igualdade entre as potências. Com base na distribuição de temperatura para o permutador de
contra-corrente, pode-se observar que a temperatura de saída do fluído com menor capacidade
térmica pode atingir a temperatura de entrada do outro fluído (No caso ilustrado anteriormente
o fluído com menor capacidade térmica é o frio). Assim define-se a máxima quantidade de
calor transferida como o produto da menor capacidade térmica do fluido pela diferença entre
as temperaturas de entrada dos dois fluídos.
Q& Máx = (m& c p )min (Tqe − T fe )
Como a definição de eficiência depende do fluído que tem menor capacidade térmica m& c p
utiliza-se como nomenclatura letras minúsculas para a temperatura deste fluído e maiúsculas
para o outro fluído. Assim sem perda de generalidade pode-se escrever:
(m& c p )min (ts − te ) (ts − te )
Q&
=
ε= & =
QMáx (m& c p )min (Te − te ) (Te − te )
Pode-se facilmente verificar que esta expressão conduz sempre a valores positivos, apesar de
poderem ser ambas os factores negativos. O valor da potência no entanto deverá ser sempre
tomada em valor absoluto. A definição da eficiência é sempre coincidente com a definição do
factor P para o fluído de menor capacidade térmica. Como vimos anteriormente a razão entre
as capacidades térmicas é outro parâmetro com interesse para a análise definindo-se aqui com
um r minúsculo a razão entre a capacidade térmica menor e a maior, que pode também ser
expressa a partir de diferenças de temperatura.
(m& c p )menor (Ts − Te )
r=
(m& c p )Maior = (te − ts )
A partir das definições anteriores pode-se representar a variação da temperatura em cada uma
das correntes em função da diferença das temperaturas de entrada dos dois fluidos por:
(ts − te ) = ε (Te − te )
(Te − Ts ) = εr (Te − te )
Estas equações são gerais e permitem calcular as temperaturas de saída para qualquer tipo de
permutador desde que seja conhecida a sua eficiência. A eficiência permite calcular a potência
térmica a partir de:
Q& = (m& c p )min ε Te − te
A potência térmica pode também ser calculada a partir da diferença entre as temperaturas de
entrada e do parâmetro θ.
Q& = AUθ Te − te
10
Apontamentos de Permutadores de Calor – Equipamentos Térmicos 2005 – João Luís Toste Azevedo
permitindo observar que se pode definir um grupo adimensional como a razão entre a
capacidade de transferência de calor e a capacidade térmica mínima dos fluídos a que se dá o
nome de Número de Unidades de Transferência (Number of Transfer Units).
AU
ε
NTU =
=
(m& c p )min θ
Como o parâmetro θ pode ser expresso em termos dos factores P e R e como estes podem ser
equivalentes respectivamente a ε e r pode-se então concluir que existe uma relação entre ε,
NTU e r que constituí o método ε−NTU. O factor NTU relaciona-se também com a diferença
média de temperatura logarítmica e com o factor F por:
ε ε T − t  ε   (1 − εr ) − (1 − ε ) 

NTU = = e e =   
F∆TLn  F   ln[(1 − εr ) (1 − ε )] 
θ
Assim para todos os casos em que exista uma equação para θ ou F em função de P e R, podese obter equações entre NTU, ε e r. Os valores de ε e r coincidem com os de P e R no caso do
fluído considerado na definição ser o de menor capacidade térmica, caso contrário verifica-se
que ε=PR ou P=εr e r=1/R.
Relações ε-NTU para diversas configurações
Para o caso contra-corrente em que F=1 obtem-se os resultados seguintes:
ln((1 − ε * r ) (1 − ε ))
1 − exp(− NTU (1 − r ))
NTU =
ε=
1− r
1 − r * exp(− NTU (1 − r ))
Para r=1 a expressão para ε e NTU dá uma indeterminação que eliminada conduz a:
ε = NTU (1 + NTU )
NTU = ε (1 − ε )
Para r=0 as expressões acima reduzem-se a:
ε = 1 − exp( − NTU )
NTU = − ln( 1 − ε )
Estas expressões são válidas para qualquer arranjo de escoamento com r=0 pois o fluido com
capacidade térmica menor está sempre em contacto com o outro fluído a temperatura
constante.
Para o permutador de equicorrente, pode-se obter o valor de NTU a partir da definição da
diferença média logarítmica deste caso ou de θ conduzindo a:
1 − exp(− NTU (1 + r ))
− ln(1 − ε (1 + r ))
NTU =
ε=
1+ r
1+ r
Para o permutador 2x1 obtém-se
(
(
)
)
−1
1 + r − 2 ε − 1 + r 2 

1 + exp − NTU 1 + r 2 
2
ε = 2 ∗ 1 + r + 1 + r 2
NTU = ln 
 1+ r

2
2
1 + r − 2 ε + 1 + r 

1 − exp − NTU 1 + r 
Para além destes casos para os quais se apresentou a diferença média de temperatura e o
factor θ, existem outras configurações para as quais se estabeleceu a relação entre a eficiência
e o número de unidades de transferência. Foram desenvolvidas expressões para o caso da
configuração de correntes cruzadas. Para cada fluído considera-se que não existe mistura
transversal (na direcção do escoamento do outro fluído) ou que essa mistura é perfeita. A
hipótese de não se considerar mistura transversal é realista no caso do escoamento ocorrer de
forma confinada em tubos ou em canais formados por exemplos em superfícies alhetadas. No
caso de ambos os fluídos serem separados as distribuições de temperatura são bidimensionais e a eficiência é expressa por:
11
Apontamentos de Permutadores de Calor – Equipamentos Térmicos 2005 – João Luís Toste Azevedo
n
(r ⋅ NTU )m  
NTU m  
(
)
−
−
r
⋅
NTU
1
exp


∑
m!  
m!
n = 0 
m =0
m=0
 
ε=
r ⋅ NTU
Como esta formula é muito complexa e pouco prática para cálculos pode-se utilizar uma
expressão aproximada dada por:
∞

n
∑ 1 − exp(− NTU )∑
ε = 1 − exp{(exp[− r ⋅ NTU 0.78 ] − 1) ⋅ NTU 0.22 r}
No caso de existir mistura transversal do fluído a temperatura na direcção do escoamento do
outro fluído tende a ser uniforme, sendo esta hipótese considerada para derivar a distribuição
de temperatura que passa assim a ser unidimensional. Se ambos os fluídos se encontram
misturados na direcção transversal de cada os resultados conduzem a:
−1

1
1 
r
+
−
ε =

 (1 − exp( − NTU )) (1 − exp( − NTU * r )) NTU 
No caso de um dos escoamentos ter mistura transversal e o outro ser separado a solução
depende de qual tem a menor capacidade térmica. No caso do fluido com menor capacidade
térmica se encontrar misturado a solução é dada por:
ε = 1 − exp[− (1 − exp(− NTU * r )) r ]
NTU = − [ln{1 + r ⋅ ln(1 − ε )}] r
Enquanto para o caso em que o fluido misturado é o que tem maior capacidade térmica a
solução é:
ε = [1 − exp(− r * [(1 − exp(− NTU ))])] r
NTU = − ln{1 + [ln(1 − εr )] r}
Um caso particular deste tipo de configuração ocorre quando um fluído circula em tubos em
paralelo e outro fluído escoa-se perpendicularmente aos tubos com mistura transversal. No
caso do número de tubos ser muito elevado podem-se usar as expressões anteriores enquanto
se o número de tubos for muito pequeno devem-se usar valores representados graficamente
calculados para esses casos. No caso do escoamento nos tubos não ocorrer em paralelo mas
sim em série a distribuição de temperatura é diferente e existem também resultados
representados graficamente. O tratamento dos arranjos com tubos podem ser tratados
considerando as configurações como combinações de permutadores constituídos apenas por
um tubo imersos numa corrente perpendicular em que o escoamento se verifica em paralelo
ou em série enquanto o escoamento do fluído perpendicular aos tubos se verifica sempre em
série. Este tipo de tratamento vai ser analisado no capítulo seguinte e é aplicável sempre que
se considere que a temperatura do fluído entre permutadores em série se encontra a uma
temperatura uniforme, ou seja aplica-se aos casos em que se assume mistura transversal.
Em casos em que não existe mistura transversal do fluído e existem ligações em série ou em
paralelo entre permutadores, não se pode aplicar a teoria desenvolvida no capítulo seguinte e
devem-se usar resultados apresentados na literatura, por exemplo em forma gráfica para a
variação da eficiência com NTU e r.
12
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3 – ASSOCIAÇÕES DE PERMUTADORES
Relações entre temperaturas de entrada e saída
No caso de se associarem permutadores pode-se calcular a eficiência do conjunto de
permutadores tendo em conta que a temperatura de saída de cada permutador pode-se
exprimir em função dos valores de entrada utilizando a eficiência (ε) e a razão de capacidades
térmicas (r) como vimos antes. Com efeito podemos exprimir a partir de:
t −t
T −T
ε = s e e r = e s as seguintes equações para a temperatura de saída:
Te − t e
t s − te
Ts = (1 − εr )Te + εrt e
ou sob forma matricial

t s = εTe + (1 − ε )t e
Ts  1 − εr εr  Te 
×
t  =  ε
1-ε  t e 
s 
De igual modo invertendo a matriz podemos exprimir também as temperaturas de entrada em
função das de saída por:
Te 
1 − ε - εr  Ts 
1
t  =
× 

 e  1 − ε (1 + r )  - ε 1 - εr  t s 
As equações acima podem também ser resolvidas de modo a exprimir a temperatura de
entrada de um dos fluidos e a de saída do outro em função das outras temperaturas:
Ts 
1 1 − ε (1 + r )
t  =

 e  1− ε  -ε
εr  Te 
- εr  Ts 
Te 
1 1
×   ou   =

× 

1  t s 
t s  1 − εr ε 1 - ε (1 + r ) t e 
Para além destas equações podem ainda exprimir-se as temperaturas de um dos fluídos em
função das temperaturas do outro fluído conduzindo às matrizes seguintes:
- (1 − εr )  Ts 
- (1 − ε )  t s 
t e  1  1
Te  1  1
t  =  (1 - ε ) - (1-ε (1 + r )) × T  ou T  = 1 − εr - (1 - ε (1 + r )) × t 
  e
  e
 s  εr 
 s ε 
A tabela seguinte apresenta um resumo de todas as equações indicando-se na linha qual a
temperatura que é representada em função de outras duas quando não se conhece o valor da
temperatura indicada na coluna.
Ts=?
ts=?
Ts=
---------------
(1 − εr )Te + εrte
Te=?
(1 − εr )t s − (1 − ε (1 + r ))t e
ε
ts=
εTe + (1 − ε )t e
-----------------
εTs + (1 − ε (1 + r ))te
1 − εr
te=?
εrt s + (1 − ε (1 + r ))Te
1− ε
(1 − ε )Ts − (1 − ε (1 + r ))Te
εr
Te=
t s − (1 − ε )t e
ε
Ts − εrt e
1 − εr
--------------------------
(1 − ε )Ts − εrt s
1 − ε(1 + r )
te=
t s − εTe
1− ε
Ts − (1 − εr )Te
εr
(1 − εr )t s − εTs
1 − ε(1 + r )
---------------------------
Estas equações são gerais e podem-se aplicar para qualquer tipo de permutador utilizando a
eficiência para a configuração a que dizem respeito e a razão de capacidades térmicas. Estas
equações são utilizadas a seguir para o estudo de arranjos de permutadores.
13
Apontamentos de Permutadores de Calor – Equipamentos Térmicos 2005 – João Luís Toste Azevedo
Exemplo de eficiência de associação de permutadores
Consideram-se associações quando existam diversos permutadores que utilizam os mesmos
fluídos que podem circular em série ou paralelo. Como vimos acima existem relações entre as
temperaturas de entrada e saída de cada unidade pelo que se pode definir também uma relação
entre as temperaturas de entrada e saída de conjuntos de permutadores. Pode-se assim
igualmente definir a eficiência de conjuntos de permutadores. Apresenta-se de seguida um
exemplo ilustrativo com três permutadores que apresentam eficiências conhecidas. Como
todas as ligações são em série a razão entre as capacidades térmicas r é igual para todos os
permutadores e para o seu conjunto.
t0
T0
ε1
t1
t2
ε2
T3
T2
ε3
t3
T1
Para o caso apresentado podem-se escrever as equações seguintes relacionando as
temperaturas de saída de cada permutador com as respectivas temperaturas de entrada:
T = (1 − ε 2 r )T2 + ε 2 rt1
T1 = (1 − ε 1r )T0 + ε 1rt0
T2 = (1 − ε 3r )T1 + ε 3rt2
; 2)  3
; 3) 
1) 
t2 = ε 2T2 + (1 − ε 2 )t1
t1 = ε 1T0 + (1 − ε 1 )t0
t3 = ε 3T1 + (1 − ε 3 )t2
Para agrupar os permutadores 2 e 3 que se encontram em contra-corrente temos de eliminar as
temperaturas intermédias T2 e t2 que se podem exprimir como:
(1 − ε 3r )T1 + ε 3r (1 − ε 2 )t1 e t = ε 2 (1 − ε 3r )T1 + (1 − ε 2 )t1
T2 =
2
1 − ε 2ε 3r
1 − ε 2ε 3r
Substituindo estes valores podemos exprimir as temperaturas de saída T3 e t3 em função das
temperaturas de entrada T1 e t1 como:
(1 − ε 2 r )(1 − ε 3r )T1 + (ε 2 + ε 3 − ε 2ε 3 (1 + r ))rt1
T3 =
1 − ε 2ε 3r
t3 =
(ε 2 + ε 3 − ε 2ε 3 (1 + r ))T1 + (1 − ε 2 )(1 − ε 3 )t1
1 − ε 2ε 3r
Estas equações podem ser comparadas com as que se obtêm considerando a associação dos
permutadores 2 e 3 (indicado a tracejado) que tomam a forma:
T3 = (1 − ε 23r )T1 + ε 23rt1

t2 = ε 23T1 + (1 − ε 23 )t1
A partir de qualquer dos factores pode-se verificar que a eficiência da associação de dois
permutadores em contra-corrente ε23 é expresso em função dos valores para cada ε2 e ε3 por:
ε + ε − ε ε (1 + r )
ε 23 = 2 3 2 3
1 − ε 2ε 3r
Depois de identificar o permutador equivalente 23 podemos considerar a associação deste em
equicorrente com o permutador 1 e expressar as temperaturas intermédias T1 e t1 em função
das de entrada T0 e t0 permitindo escrever as temperaturas de saída em função destas:
T3 = (1 − r (ε1 + ε 23 − ε1ε 23 (1 + r )))T0 + r (ε1 + ε 23 − ε1ε 23 (1 + r ))t0
t3 = (ε1 + ε 23 − ε1ε 23 (1 + r ))T0 + (1 − (ε1 + ε 23 − ε1ε 23 (1 + r )))t0
14
Apontamentos de Permutadores de Calor – Equipamentos Térmicos 2005 – João Luís Toste Azevedo
Comparando estas equações com as que se obtêm definindo o conjunto dos três permutadores
como um único:
T3 = (1 − ε 123r )T0 + ε 123rt0

t2 = ε 123T0 + (1 − ε123 )t0
pode-se definir a eficiência da associação de dois permutadores em equicorrente ε123 em
função dos valores para cada ε1 e ε23 por:
ε123 = ε1 + ε 23 − ε1ε 23 (1 + r )
O resultado final desta análise é a obtenção da eficiência da associação dos permutadores em
função da eficiência de cada. Note-se que não se introduz nenhuma restrição ao tipo de
permutador considerado que pode ser qualquer. Convém no entanto chamar a atenção que
este procedimento só é válido quando se definem as temperaturas de saída de todos os
permutadores com um único valor, ou seja que esse fluído se encontra misturado.
No caso de se considerar um fluído num permutador sem mistura que conduza a um valor da
temperatura de saída não uniforme, só se pode utilizar a aproximação acima se o fluído for
então misturado. No caso das saídas separadas serem ligadas a entradas de outro permutador
também separadas (e com valores diferentes) a análise apresentada não é válida.
De seguida apresenta-se uma análise generalizada para as situações mais frequentes e que são
associações de permutadores em série (equicorrente ou contracorrente) e em paralelo ou
série/paralelo.
Arranjo de permutadores em série
Para a associação de permutadores em série é conveniente exprimir a relação entre a
diferença de temperatura nas extremidades dos permutadores. Para o caso de permutadores
em equicorrente interessa relacionar a diferença entre as temperaturas de saída com a
diferença entre as temperaturas de entrada. Subtraindo as expressões para as temperaturas de
entrada apresentadas anteriormente obtemos então:
Ts − t s = (1 − ε (1 + r ))* (Te − t e )
No caso do permutador em contracorrente interessa relacionar a diferença entre uma
temperatura de entrada de um fluido com a temperatura de saída do outro fluido. Podemos
então considerar uma das equações seguintes:
Ts − t e = ((1 − εr ) (1 − ε ))* (Te − t s ) Te − t s = ((1 − ε ) (1 − εr ))* (Ts − t e )
ou
Convém relembrar que as equações apresentadas são válidas para qualquer tipo de
permutador, sendo apresentadas nas duas formas para se caracterizar o caso de associações de
permutadores completamente em equicorrente ou em contracorrente.
Te=T0
T1
T2
T3 = Tn-1
Tn=Ts
te=t0
t1
t2
t3 = tn-1
tn=ts
Para o caso equicorrente esquematizado acima podemos relacionar sucessivamente a
diferença de temperatura na saída de uma unidade com a correspondente diferença na entrada
permitindo obter sucessivamente:
T1 − t1 = (1 − ε 1 (1 + r ))* (T0 − t 0 ) = (1 − ε 1 (1 + r ))* (Te − t e )
T2 − t 2 = (1 − ε 2 (1 + r ))* (T1 − t1 ) = (1 − ε 2 (1 + r ))* (1 − ε 1 (1 + r ))* (Te − t e )
15
Apontamentos de Permutadores de Calor – Equipamentos Térmicos 2005 – João Luís Toste Azevedo
…
n
Ts − t s = Tn − t n = (1 − ε n (1 + r ))* (Tn −1 − t n−1 ) = ∏ (1 − ε i (1 + r ))* (Te − t e )
i =1
Comparando a última expressão com a expressão correspondente para um permutador
equivalente ao conjunto dos permutadores pode-se concluir que a eficiência global é dada
por:
n
εG =
1 − ∏ (1 − ε i (1 + r ))
i =1
(1 + r )
sendo no caso de permutadores iguais ε G =
1 − (1 − ε1 (1 + r ))n
onde ε1 é a eficiência de cada
(1 + r )
permutador.
Para a associação de permutadores globalmente em contra-corrente a eficiência global (εG)
pode ser obtida seguindo um procedimento semelhante com base na figura.
Te=T0
ts=t0
T1
T2
t1
t2
T3
=
T n-1
Tn=Ts
t3
=
tn -1
tn=te
T1 − t1 = ((1 − ε1r ) (1 − ε1 )) * (T0 − t0 ) = ((1 − ε1r ) (1 − ε1 )) * (Te − ts )
T2 − t2 = ((1 − ε 2 r ) (1 − ε 2 )) * (T1 − t1 ) = ((1 − ε 2 r ) (1 − ε 2 )) * ((1 − ε1r ) (1 − ε1 )) * (Te − ts )
…
n
Ts − te = Tn − tn = ((1 − ε n r ) (1 − ε n )) * (Tn −1 − tn −1 ) = ∏ ((1 − ε i r ) (1 − ε i )) * (Te − t s )
i =1
Comparando esta expressão com a expressão equivalente considerando o conjunto de
permutadores como um único pode-se concluir que a eficiência da associação é dada por:
n  1 − ε r 

i 
ε G = 1 − ∏ 

−
ε
1
i 
 i =1 
n  1 − ε r 

i 
r − ∏ 

−
ε
1
i 
 i =1 
 1 − ε r n   1 − ε r n 
1  
1  
r − 
no caso de n permutadores com eficiência ε1
ou ε G = 1 − 
  1 − ε1     1 − ε1  

 

Para o caso de r=1 as expressões anteriores conduzem a uma indeterminação que após ser
eliminada conduz respectivamente a:
n

nε1
εi 
εG =
1 + ∑

1 + (n − 1)ε1
 i =1 1 − ε i 
No caso de se considerar um número elevado de unidades (n>5) em série as eficiências
globais tendem para os valores de um permutador global em equicorrente ou contracorrente,
independentemente do tipo de permutador individual.

εi 

 i =1 1 − ε i 
n
ε G = ∑
16
Apontamentos de Permutadores de Calor – Equipamentos Térmicos 2005 – João Luís Toste Azevedo
Associação de permutadores em paralelo
Enquanto nos casos anteriores em série a razão de capacidades caloríficas r mantinha-se
constante para as unidades individuais e para o conjunto, no caso de se considerar
permutadores em paralelo é necessário contabilizar a divisão de caudais pelas diversas
unidades e assim determinar a razão de capacidades caloríficas r para cada uma das unidades.
A temperatura média de saída tem de ser calculada como a média ponderada com as
capacidades caloríficas de cada unidade.
No caso de ambos os escoamentos se dividirem em paralelo e uniformemente a razão de
capacidades caloríficas em cada unidade ri mantém-se constante e igual ao valor global r. O
mesmo se passa em relação ao número de unidades de transferência no caso de se tratar de
permutadores iguais, pois tanto a área como os caudais se dividem igualmente. Neste caso a
eficiência do conjunto de permutadores é igual à eficiência dos permutadores individuais.
Uma situação semelhante à associação em paralelo ocorre nos permutadores de placas que
são constituidos por Nt placas de transferência de calor passando os fluidos que transferem
calor nos Nt+1 canais. Não se trata propriamente de uma associação de permutadores pois nos
(Nt-1) canais interiores cada fluído troca calor com dois canais vizinhos enquanto na
associação de permutadores se consideram os permutadores separados. Nos dois canais
formados entre as últimas placas de transferência de calor e as placas exteriores consideradas
adiabáticas a área de transferência é reduzida para metade. O efeito das diferenças nos canais
junto às extremidades afecta a distribuição de temperatura o que se traduz numa diminuição
da capacidade de transferência de calor como ilustrado na figura seguinte a partir do factor F.
Nt=1 Nt =2 Nt =3
Nt =4
No caso de se considerar apenas uma placa térmica obtêm-se o caso de um permutador
contra-corrente. No caso de existirem duas placas térmicas, o fluído exterior divide-se e podese idealizar que o fluído no canal interior também está dividido, pelo que este caso
corresponde apenas a duplicar a área de permuta para o mesmo caudal total ou dividir as
correntes de forma uniforme por dois permutadores com comportamento idêntico. Cada
metade funciona com metade da capacidade térmica e metade da área de permuta mantendo
no entanto os parâmetros NTU e r. As extremidades não introduzem alterações na distribuição
de temperatura pois dividindo o fluído interior obtemos uma situação simétrica.
No caso do número de placas térmicas aumentar (Nt>3), considerando o caudal dos fluídos
dividido de forma uniforme, o fluido que passa nos canais exteriores troca calor apenas numa
das faces pelo que sofre uma variação de temperatura menor que afecta a distribuição de
temperatura em todos os canais. Como se pode verificar pela figura este efeito é maior para
um número impar de placas térmicas onde a assimetria na distribuição de temperatura é maior
afectando ambas as correntes. Os efeitos dos extremos só desaparecem para um número
elevado de placas térmicas. Para além do factor F, existem valores da eficiência de
permutadores de placas calculados para diversos valores de placas térmicas.
17
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Associação de permutadores mistos (série-paralelo)
No caso de se considerar um arranjo misto com o escoamento de um dos fluidos em série e o
do outro fluido em paralelo pode-se relacionar a eficiência do conjunto de permutadores com
a eficiência e a razão de capacidades caloríficas de cada unidade. A derivação das equações
correspondentes é efectuada com base no esquema representado abaixo, no qual a
temperatura dos dois fluidos é identificada com índices representando a corrente paralela e
em série, sem identificar qual tem a menor capacidade térmica.
TPe=TP0
TSe=TS0
T S1
ε1
T S2
ε2
TP 1
TS3= TSn-1
ε3
TP2
TSn=TSs
εn
TPn
TP3
n
TsP = ∑ C& i / C& * Ti P
i =1
A temperatura do fluido que passa em paralelo é obtida como uma média ponderada da
temperatura de saída de cada unidade. A temperatura de saída do fluido circulando em série
(TSs) pode ser determinada em função da eficiência de cada permutador individual (εi), da
razão de capacidades caloríficas (ri) e das temperaturas de entrada dos dois fluidos (TSe, TPe),
dependendo de qual o fluído que tem a menor capacidade térmica, como indicado a seguir:
Caso A) Em cada permutador o fluido em série tem maior capacidade térmica.
T1S = (1 − ε1r1 )T0S + ε1r1T0P
T S = (1 − ε 2 r2 )T S + ε 2 r2 T0P = (1 − ε 2 r2 )(1 − ε1r1 )T S + [(1 − ε 2 r2 )ε1r1 + ε 2 r2 ]T0P
2
1
0
•••
n
n −1
n −1


TsS = TnS = ∏ (1 − ε i ri )T0S +  ε n rn + ∑ ε i ri ∏ (1 − ε j r j ) T P

 0
i =1
i =1
j = i +1


Caso B) Em cada permutador o fluido em série tem menor capacidade térmica.
T S = (1 − ε1 )T0S + ε1T0P T S = (1 − ε 2 )T S + ε 2 T0P = (1 − ε 2 )(1 − ε1 )T S + [(1 − ε 2 )ε1 + ε 2 ]T0P
2
1
1
0
T S = (1 − ε 2 )T S + ε 2 T0P = (1 − ε 2 )(1 − ε1 )T S + [(1 − ε 2 )ε1 + ε 2 ]T0P
2
1
0
•••
n
n −1
n −1


TsS = TnS = ∏ (1 − ε i )T0S +  ε n + ∑ ε i ∏ (1 − ε j ) T P

 0
i =1 j = i +1
i =1


Para a associação de permutadores pode-se também definir a temperatura de saída do fluido
em série dependendo deste ser o de menor ou maior capacidade térmica.
Caso 1) Na associação de permutadores o fluido em série tem maior capacidade térmica
TsS = (1 − ε G rG )T S + ε G rG T P
0
0
Caso 2) Na associação de permutadores o fluido em série tem menor capacidade térmica
TsS = (1 − ε G )T S + ε G T P
0
0
No caso 1 em que o fluido em série tem a maior capacidade térmica garante-se que em cada
permutador continua também a ser o fluído em série com a maior capacidade térmica,
18
Apontamentos de Permutadores de Calor – Equipamentos Térmicos 2005 – João Luís Toste Azevedo
conduzindo ao caso 1A. No caso 1 o fluído em paralelo que tem a menor capacidade térmica,
quando dividido não pode ter maior capacidade térmica que o fluído em série pelo que o caso
1B não é possível. Para o caso 1A comparando as expressões obtém-se:
n
(1 − ε G rG ) = ∏(1 − ε i ri )
i =1
No caso de permutadores idênticos com caudais iguais:
[
]
ε G = 1 − (1 − ε i ri )n / rG com ri = (rG n)
No caso 2 em que o fluído em paralelo tem maior capacidade térmica quando dividido pode
ter maior ou menor capacidade térmica que o fluído em série. Assim podem ocorrer os casos
2A e 2B. No caso de em todas as unidades ser o fluido em série o de menor capacidade
térmica obtém-se a combinação 2-B, sendo para este caso:
n
(1 − ε G ) = ∏(1 − ε i )
i =1
No caso de permutadores idênticos com caudais iguais:
ε G = 1 − (1 − ε i )n com ri = nrG que implica que rG <1/n
Quando o caudal em série globalmente tem menor capacidade térmica, mas em todas as
unidades tem maior capacidade térmica que o caudal em paralelo, obtém-se a combinação 2A, sendo para este caso:
n
(1 − ε G ) = ∏(1 − ε i ri )
i =1
No caso de permutadores idênticos com caudais iguais:
ε G = 1 − (1 − ε i ri )n com ri = 1/ (nrG ) válido para rG > (1 n)
As tabelas seguintes apresentam um resumo destes casos.
Associação dos permutadores
1
m& c p Série máximo
rG =
(
)
Permutadores individuais
B Impossível
m& c p Série mínimo
(m& c )
(m& c )
(m& c )
=
(m& c )
( )
(m& c )
p Paralelo
2
(m& c )
p Série
rG
mínimo
n
(1 − ε G rG ) = ∏(1 − ε i ri )
i =1
2B
n
(1 − ε G ) = ∏(1 − ε i )
A
ri=rG/n
p Série
mínimo
B
ri=rG*n
p Série
máximo
A
ri= 1/(rG*n)
(m& c )
(m& c )
p Série
p Paralelo
1A
máximo
p Série
p Série
[
]
ε G = 1 − (1 − ε i rG n)n / rG
ri = (rG n)
ε G = 1 − (1 − ε i )n
ri = rG n
i =1
2A
n
(1 − ε G ) = ∏(1 − ε i ri )
ε G = 1 − (1 − ε i / nrG )
n
i =1
19
rG <1/n
ri = 1 (rG ⋅ n )
rG >1/n
Apontamentos de Permutadores de Calor – Equipamentos Térmicos 2005 – João Luís Toste Azevedo
Permutador com fluído de transporte de calor intermédio
O permutador com fluido intermédio é um caso particular da associação de permutadores para
as quais se podem desenvolver expressões para a sua eficiência. Na realidade esta situação
consiste num conjunto de pelo menos dois permutadores em que se pretende efectuar a
transferência de calor entre dois fluídos frio (f) e quente (q) utilizando um fluído intermédio
(i). Na figura seguinte ilustra-se esta situação em que existem dois permutadores onde se
promove a transferência de calor entre o fluido intermédio e respectivamente o fluido quente
e o frio. Para o caso dos fluidos frio e quente identificam-se as temperaturas de entrada e
saída, enquanto para o caso do fluido intermédio identificam-se as temperaturas intermédias
quente e fria.
Tqs
εq
Tif
Cq
CI
AUq
Tqe
εf
Tfe
Tqs
Cf
CI
AUf
Tiq
εG
Tfe
Cq,Cf, CI
AUq, AUf
Tfs
Tqe
Tfs
O objectivo de derivar uma eficiência equivalente do sistema é o de permitir caracterizar o
sistema como um único permutador como representado na figura. A eficiência de cada um
dos permutadores quente e frio dependem da capacidade térmica do fluido quente ou frio e do
fluido intermédio, pelo que a eficiência global irá igualmente depender desses parâmetros.
Tendo em consideração que a eficiência das associações de permutadores dependem da razão
entre as capacidades caloríficas dos fluidos é fácil reconhecer que se podem distinguir seis
casos dependendo do valor relativo das capacidades caloríficas. Designam-se aqui as
capacidades caloríficas pelo símbolo Ck = (m& c p )k .
De seguida apresenta-se a análise para o caso em que Ci<Cf<Cq sendo a derivação para os
restantes casos semelhante. Para o caso considerado pode-se expressar as duas temperaturas
extremas do fluido intermédio por:
Tif = ε f T fe + (1 − ε f )Tiq
Tiq = ε qTqe + (1 − ε q )Tif
formando um sistema de duas equações que pode ser resolvido permitindo obter:
ε T + (1 − ε f )ε qTqe
Tif = f fe
ε f + εq − ε f εq
Tiq =
ε qTqe + (1 − ε q )ε f T fe
ε f + εq − ε f εq
Com base nestas temperaturas intermédias pode-se expressar a temperatura de saída de um
dos fluidos (quente ou frio) em função das respectivas temperaturas de entrada. Neste caso
para o fluido frio pode-se escrever:
2


εε C C
C 
C
C ε (1 − ε q ) Ci C f 
T fs = 1 − ε f i T fe + ε f i Tiq = 1 − ε f i + f
T fe + f q i f Tqe


C f 
Cf
Cf
ε f + ε q − ε f ε q 
ε f + εq − ε f εq


Esta expressão quando comparada com a expressão para o permutador equivalente:
20
Apontamentos de Permutadores de Calor – Equipamentos Térmicos 2005 – João Luís Toste Azevedo
T fs = (1 − ε G )T fe + ε GTqe
permite facilmente identificar a eficiência global dos dois permutadores como:
−1
1

 + 1 − 1 válida para o caso Ci< Cf< Cq
ε

 q εf

Para os restantes casos possíveis apresentam-se apenas os resultados finais da análise:
C
εG = i
Cf
−1

C 1
1
ε G = i  + − 1 válida para o caso Ci< Cq< Cf
Cq  ε q ε f

−1
 1 C C C 
ε G =  + f q − f  válida para o caso Cf< Cq< Ci
ε
εq
Ci 
 f
1 C C
C 
εG =  + q f − q 
ε
εf
Ci 
 q
−1
válida para o caso Cq< Cf< Ci
−1
1 C  1

ε G =  + q  − 1  válida para o caso Cq< Ci< Cf

 ε q Ci  ε f



−1
 1 C 1

ε G =  + f  − 1  válida para o caso Cf< Ci< Cq
 ε f Ci  ε q  



As expressões anteriores obviamente apresentam alguma semelhança em grupos de dois casos
cada. Notar que todas as equações apresentadas são independentes do arranjo do escoamento
para cada um dos permutadores, sendo de favorecer o caso em que se aproxima mais de
contracorrente. A temperatura de funcionamento do fluido intermédio pode ser calculada das
expressões indicadas anteriormente. No caso extremo em que a capacidade térmica do fluído
intermédio é muito pequeno a temperatura deste atinge os valores de entrada dos fluídos
quente e frio, se os permutadores forem de contracorrente, e a transferência de calor é
limitada pela capacidade de transporte de calor do fluído intermédio. No caso oposto em que
a capacidade térmica do fluído intermédio é muito elevada a temperatura deste é
aproximadamente constante no circuito.
No caso da capacidade térmica do fluido quente e frio serem iguais identificam-se apenas os
dois casos seguintes:
−1
−1

C 
 1

 + 1 − 1 para Cfq>Ci e ε G =  1 + 1 − fq  para Cfq<Ci
ε

 ε f ε q Ci 
 f εq 


Neste caso particular, que se verifica em unidades associadas a turbinas a gás, recomenda-se
que os parâmetros globais do permutador se encontrem dentro de alguns limites de modo a
obter uma boa eficiência global:
( AU ) f
C
0.75 <
< 2 e 0.95 < i < 1.2
( AU )q
Cmin
Ci
εG =
C fq
21
Apontamentos de Permutadores de Calor – Equipamentos Térmicos 2005 – João Luís Toste Azevedo
Permutador com matriz sólida intermédia
Este tipo de permutador é utilizado para regeneradores, sendo o seu funcionamento
caracterizado pelo facto de se transferir calor do fluído quente para uma matriz sólida que
posteriormente transfere o calor para o fluído frio. O funcionamento pode ser contínuo, caso
em que a matriz sólida se encontra em movimento, normalmente formando uma roda que
entra em contacto com ambos os fluídos podendo ser de escoamento a) axial ou b) radial. Os
regeneradores podem também ter um funcionamento períodico fazendo passar o fluído quente
e frio alternadamente através da matriz sólida durante um certo período de tempo. As
principais vantagens deste tipo de permutador em relação aos de escoamento permanente
verificam-se por a matriz de transferência de calor poder ser muito mais compacta e ser
normalmente muito mais barata por unidade de área de permuta. Como principal
desvantagem pode-se indicar o facto de nos regeneradores rotativos ser díficil a vedação entre
as passagens dos dois caudais existindo normalmente mistura de caudal de um dos lados para
o outro. Esta fuga de caudal de um dos lados para o outro é maior no caso de existirem
maiores diferenças de pressão entre os dois lados e aumenta com a velocidade de rotação da
matriz.
Fluído
quente
Fluído
frio
a)
b)
c)
A rotação da matriz de transferência de calor ‘transporta’ a energia do fluido quente para o
fluido frio sendo esta uma situação semelhante à dos permutadores com fluido intermédio. O
permutador de escoamento períodico utilizado nos regeneradores pode assim ser interpretado
como um caso de utilização de um ‘fluido’ intermédio de transporte em que a sua capacidade
térmica é dada pelo produto da massa (M) pela frequência (f) e pelo calor específico do sólido
da matriz (cm) conduzindo a:
Cm = fMcm
Para o caso de regeneradores de funcionamento alternativo como indicado na figura c) a
massa M representa a massa total dos dois lados e a velocidade angular é substituída pela
frequência de operação de um ciclo completo.
A distribuição da temperatura dos fluídos depende das capacidades caloríficas destes e da
matriz mas podem-se analisar de uma forma simplificada casos limites que são ilustrados de
seguida que permitem revelar a influência principal das condições de operação. Esta análise
vai ser apresentada para o caso de um permutador funcionando com r=1 (Capacidades
caloríficas das correntes quente e fria iguais). A figura seguinte ilustra a variação de
temperatura da matriz sólida e dos fluídos quente e frio à saída da matriz para um caso geral.
No caso r=1 a temperatura média da matriz sólida é igual à média entre as temperaturas de
entrada de ambas as correntes quente e fria. A temperatura de saída dos fluídos varia ao longo
do período de rotação, trocando mais calor quando entra em contacto com a matriz sólida,
diminuindo depois quando a temperatura do sólido se aproxima da temperatura do fluído.
22
Apontamentos de Permutadores de Calor – Equipamentos Térmicos 2005 – João Luís Toste Azevedo
T
Tqe
Tqs
Tqe + T fe
2
Tfs
Tfe
Aquecimento
Arrefecimento
A transferência de calor entre o fluído e a matriz sólida pode ser caracterizada pelo produto
da área de sólido em contacto com um fluído pelo coeficiente de convecção (Ah)f. A
capacidade de transferência de calor dividida pela capacidade térmica do fluído pode ser
definido como um número de unidades de transferência para um dos fluídos. Este parâmetro é
denominado por comprimento reduzido e é definido como:
( Ah) f
Λf =
(m& c p )f
Onde o índice f diz respeito a um dos fluídos (quente ou frio considerados aqui iguais). Outro
parâmetro que se pode definir é o período reduzido como:
Πf =
( Ah ) f
C mf
com C mf =
M f cm
L

 Pf − 
V

Este valor adimensional é equivalente a um número de unidades de transferência para a
matriz sólida onde a capacidade térmica da matriz Cmf é expressa com a massa do regenerador
em contacto com o fluído frio Mf e com o período de contacto da matriz com o fluído frio f,
sendo descontado o tempo em que o fluído f empurra o outro fluído (razão entre o
comprimento que o fluído tem de atravessar e a sua velocidade). No caso do tempo de
limpeza do material ser pequeno comparado com o período esta expressão é semelhante à
indicada antes. No caso do regenerador ser dividido a meio os valores são iguais entre os
fluidos e iguais ao valor definido antes com a massa global.
A eficiência de permuta de calor para cada um dos fluídos pode ser definida como:
T − T fe
T −T
ε f = fs
e ε q = qe qs
Tqe − T fe
Tqe − T fe
Esta eficiência pode ser expressa em função do comprimento e período reduzidos a partir da
figura seguinte:
23
Apontamentos de Permutadores de Calor – Equipamentos Térmicos 2005 – João Luís Toste Azevedo
Nos casos limite em que o período reduzido tende para zero ou infinito pode-se aproximar os
resultados indicados neste gráfico, tendo em conta a distribuição de temperatura para estes
casos que estão ilustrados na figura seguinte.
T
Tqe~Tqs
T
Tqe
Tqs
Tm =
Tqe + T fe
Tm
Tm
2
Tfs
Tfe
Tm
Tfe~Tfs
Para o primeiro caso em que o período é muito reduzido o que pode resultar de uma elevada
velocidade de rotação ou de uma matriz sólida com elevada capacidade térmica a temperatura
da matriz sólida permanece aproximadamente constante ao longo de todo o período. Neste
caso a partir do balanço de energia do lado frio por exemplo pode-se obter:
Q& = ( Ah ) f (Tm − T f ) = (m& c p ) f (T fs − T fe )
Considerando como aproximação a média aritmética entre o valor de entrada e saída para a
temperatura média do fluído e como temperatura média da matriz a média entre as
temperaturas de entrada do fluído quente e frio pode-se obter (exercício):
2+Λ
Λ
ε f ,Π →0 =
para
>2
2+Λ
Π
Esta é a eficiência máxima que se pode obter num regenerador e por isso é também
denominada de eficiência ideal.
Para o caso em que o período tende para o valor infinito que ocorre quando o período é muito
longo ou porque a capacidade térmica da matriz sólida é muito pequena, a temperatura do
sólido atinge facilmente as temperaturas de entrada de ambos os fluídos e quando entram em
contacto com o outro fluído a temperatura do sólido evolui para o outro valor de entrada.
Deste modo o fluído troca uma quantidade de calor que é limitada pela energia transportada
pela matriz sólida. Podemos exprimir a taxa de transferência de calor como:
(Mc p )m (Tqe − T fe ) &
Q& =
(Pf − L / V ) = (mc p )f (T fs − T fe )
A partir desta igualdade pode-se concluir que a eficiência no caso limite considerado é:
2+Λ
Λ
para
< 0,75
ε f ,Π → ∞ =
Π
Π
e assim obtêm-se dois comportamentos assintóticos que servem para calcular a eficiência dos
regeneradores para o caso em que r=1. Para valores do parâmetro (2+Λ)/∏ entre 0,75 e 2
deve-se utilizar a figura indicada. Os mesmos resultados são apresentados no anexo para r=1
e para outros valores deste parâmetro. No anexo em vez de se usar os parâmetros Λ e ∏,
utiliza-se a razão entre capacidades caloríficas dos dois fluídos, um parâmetro adicional que é
a razão entre a capacidade térmica da matriz e da capacidade do fluído mínima e do número
de unidades de transferência definido com a capacidade de transferência de calor:
AU = (1 Aq hq + 1 Af h f )
−1
Os coeficientes de convecção indicados na expressão anterior referem-se à transferência de
calor entre o fluido e a matriz sólida. Deve-se notar que no caso de ambos os fluídos terem
áreas de transferência e coeficientes de convecção iguais AU=Ajhj/2.
24
Apontamentos de Permutadores de Calor – Equipamentos Térmicos 2005 – João Luís Toste Azevedo
Integração de processos
Neste tópico pretende-se analisar uma metodologia para fazer a integração entre processos
quando em algumas correntes existe a necessidade de retirar calor e noutras correntes a
necessidade de fornecer calor. Claramente neste tipo de situação podem existir possibilidades
de integração de modo a utilizar de uma forma útil calor que seria necessário dissipar de
alguma corrente. A metodologia que se vai apresentar é a análise do ponto crítico (em Inglês
pitch point) que permite identificar quais os permutadores a considerar para fazer o máximo
aproveitamento de calor de uma corrente para outra e assim minimizar a necessidade de
fornecer ou retirar calor por meios exteriores. A análise da distribuição da temperatura entre o
fluído quente e frio pode também ser usado para dimensionar e analisar caldeiras em que os
produtos de combustão fornecem calor a vários circuitos do ciclo térmico que funcionam a
várias temperaturas e pressões.
O método é apresentado considerando dois exemplos, sendo o primeiro muito simples para
apresentar os parâmetros de análise. O segundo método apesar de um pouco mais complexo
pode ainda ser analisado de uma forma manual, enquanto para casos mais complexos se
devem utilizar programas computacionais. No primeiro exemplo considera-se então o
problema da existência de duas correntes cujas capacidades caloríficas e temperaturas de
entrada e saída são indicadas na tabela seguinte.
m& c p [W/K]
Te [ºC]
Ts [ºC]
400
300
200
60
40
250
Q& [kW]
- 64
+ 57
No caso de não existir nenhuma integração seria necessário remover 64 kW da primeira
corrente e fornecer 57 kW à segunda. Como sabemos o fluído de menor capacidade calorífica
tem uma maior variação de temperatura num permutador pelo que a segunda corrente se
passar num permutador ideal poderia atingir a temperatura de entrada do primeiro fluído.
Podemos identificar o permutador P graficamente entre as duas correntes (1 e 2), permitindo
trocar calor de modo a atingir as temperaturas identificadas. Para cada uma das correntes no
entanto iremos necessitar de mais uma fonte de calor ou caldeira C e uma fonte de frio F que
pode ser um dissipador de calor para o ambiente. Com a implementação do permutador
indicado a necessidade de fornecer calor reduz-se para 15 kW (=0,4x(250-200)) e de frio
reduz-se para 22 kW (=0,3x(95-40)).
1
1
200ºC
200ºC
2
60ºC
P
200ºC
C
250ºC
2
60ºC
P
40ºC
C
250ºC
102,5ºC
95ºC
F
190ºC
F
a) Permutador ideal
40ºC
b) Permutador real
Como na realidade não se pode construir um permutador ideal (contra-corrente com área
infinita) considera-se que existe uma diferença mínima de temperatura entre a saída do fluído
de menor capacidade térmica e a temperatura de entrada do fluído com maior capacidade
térmica. Quanto menor for esse valor maiores terão de ser os permutadores conduzindo a um
25
Apontamentos de Permutadores de Calor – Equipamentos Térmicos 2005 – João Luís Toste Azevedo
maior custo inicial mas a um menor custo de operação (menores necessidades de calor e frio).
O valor da diferença de temperatura deve no entanto ter em conta o tipo de permutador
considerado pois para o caso de permutadores de placas é possível atingir valores de
diferenças de temperatura da ordem de um grau centígrado enquanto para um permutador gáslíquido um valor da ordem das dezenas de graus é mais realista. A diferença de temperatura
tem a ver com a ineficiência (1-ε) do permutador que como já vimos depende da sua
configuração e das suas condições de operação.
No exemplo anterior considerando uma diferença de 10ºC, podemos indicar as temperaturas
esperadas à saída do permutador e concluir que nesse caso as necessidades de calor e frio são
respectivamente de 18 kW e 25 kW. O exemplo apresentado com apenas duas correntes e um
permutador pode ser analisada pelo esquema acima mas pode também ser analisado a partir
de um gráfico em que se indique a temperatura em função do calor a trocar. Para elaborar esse
gráfico vamos definir a entalpia do escoamento de um fluído como o produto da capacidade
calorífica pela temperatura em relação a uma referência que podemos tomar como sendo 0ºC:
H = m& c p (T − TRe f )
T (ºC)
Assim podemos definir os valores para a
250
Corr. Quente
entalpia das correntes fria e quente e
Corr. Fria
representar a temperatura em função
200
Corr. Fria Desl
Diferença
deste valor de forma gráfica como
de 10ºC
indicado.
150
Para analisar a integração da troca de
calor desloca-se a linha correspondente à
100
corrente fria de modo a ficar por baixo
da linha correspondente à corrente
50
quente, com uma diferença de 10ºC no
Permutador Calor
Frio
ponto crítico que neste caso é
0
considerado entre a temperatura de
0
20
40
60
80
100
120
entrada do fluído quente (200ºC) e a
H (kW)
temperatura de saída do fluído frio
(190ºC) do permutador.
Estes pontos têm o valor de entalpia de 80 kW (entalpia do quente). Deve-se notar que a
entalpia é referida com base numa referência arbitrária e por isso podem-se deslocar as linhas
horizontalmente desde que se mantenha a sua inclinação. Na figura pode-se então identificar a
zona onde o permutador de calor vai permitir a troca de calor entre as correntes e as zonas onde
é necessário fornecer e remover calor por outros meios.
A aplicação para duas correntes serve de exemplo que é expandido no caso seguinte
considerando seis correntes, três quentes e três frias ou seja que precisam respectivamente de
arrefecer e aquecer conforme indicado na tabela seguinte:
Corrente
m& c p [W/K]
Te [ºC]
Ts [ºC]
Quente 1
Quente 2
Quente 3
Fria 1
Fria 2
Fria 3
300
2000
700
1250
800
500
250
80
160
100
60
40
20
40
30
200
150
120
26
Q& [kW]
- 69
- 80
- 91
+125
+ 72
+ 40
Apontamentos de Permutadores de Calor – Equipamentos Térmicos 2005 – João Luís Toste Azevedo
300
T (ºC)
A análise da integração dos vários
Q1
Q2
Q3
250
processos é efectuada pelo método
F1
F2
F3
gráfico indicado antes em que se
200
representa a temperatura em função
150
da entalpia das correntes. A figura
100
seguinte representa as curvas
referentes às correntes quentes e
50
frias. Deve-se fazer notar que todas
0
as linhas são rectas como resultado
0
50
100
150
200
250
300
do calor específico constante mas
H (kW)
podiam ser de diferentes formas.
A partir da figura acima pode-se observar que existem vários intervalos de temperatura nos
quais é necessário fornecer ou retirar calor de permutadores pelo que existem diversas
possibilidades de aplicar permutadores entre as várias correntes. Para se comparar as
necessidades de aquecimento e arrefecimento para as várias temperaturas cria-se a curva
composta para o aquecimento e para o arrefecimento. Estas curvas são obtidas calculando
para cada intervalo de temperatura o somatório das capacidades caloríficas das correntes que
estão a ser aquecidas e arrefecidas e definindo a variação de entalpia total. Como a entalpia é
uma grandeza relativa a uma referência arbitrária, considera-se esta apenas para fixar o
primeiro valor e os seguintes são sempre calculados com base na variação de entalpia.
Nas tabelas seguintes apresentam-se os intervalos de temperatura para o aquecimento e para o
arrefecimento. As tabelas contêm para além do intervalo de temperatura quais as correntes, a
soma das capacidades caloríficas e as entalpias iniciais e finais para esses intervalos.
Gama de
temperatura (ºC)
20-30
30-40
40-80
80-160
160-250
Correntes
presentes
Q1
Q1+Q3
Q1+Q2+Q3
Q1+Q3
Q1
∑ m& c
Gama de
temperatura (ºC)
40-60
60-100
100-120
120-150
150-200
Correntes
presentes
F3
F2+F3
F1+F2+F3
F1+F2
F2
∑ m& c
p
[W/K]
300
1000
3000
1000
300
p
[W/K]
500
1300
2550
2050
1250
Hi [kW]
Hf [kW]
6
9
19
139
219
9
19
139
219
246
Hi [kW]
Hf [kW]
20
30
82
133
194,5
30
82
133
194,5
257
Deve-se chamar a atenção novamente que apenas o primeiro valor de H é calculado com base
na referência dos 0ºC, sendo todos os outros valores calculados da variação de entalpia das
correntes no intervalo de temperatura. A partir das tabelas anteriores pode-se construir as
curvas compostas do aquecimento e do arrefecimento, sendo cada uma neste caso constituída
por cinco segmentos de recta. Estas curvas encontram-se representadas no gráfico seguinte
onde se encontra também a curva fria deslocada. A partir da figura pode-se identificar a
temperatura das correntes quentes a 80ºC como o ponto crítico e assim a corrente fria deverá
passar pelos 70ºC para o mesmo valor de H que é de 139 kW (ver tabelas anteriores).
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Apontamentos de Permutadores de Calor – Equipamentos Térmicos 2005 – João Luís Toste Azevedo
300
Corr. Quente
Corr. Fria
250
Corr. Fria Desl
200
T(ºC)
150
100
Diferença de 10ºC
50
Permutadores
Frio
Calor
0
0
100
200
300
400
H(kW)
O ponto crítico também poderia ter sido identificado na curva do fluído frio e nesse caso
identificava-se o ponto na curva quente correspondente. Para o caso acima como o ponto
crítico nas correntes frias fica entre os 60 e 100ºC pode-se calcular o valor de H para os 60ºC
a partir de: (139-HF60ºC)52= (70-60)/(100-60) de onde se pode obter HF60ºC=126 kW e posso
assim verificar que o deslocamento a dar na curva fria é de 96 kW.
A zona de sobreposição das curvas permite identificar que para este caso o máximo calor que
se pode trocar entre as duas correntes (com a imposição de ∆Tmin=10ºC) é de 130 kW (246116). Na zona fria o calor que é preciso remover é de (116-6) 110 kW e na zona quente é
necessário fornecer (353-246) 107 kW.
O ponto crítico representa uma divisão entre duas zonas em que não deve ocorrer
transferência de calor através dessa posição. Acima do ponto crítico, não se devem utilizar
mecanismos exteriores de remoção de calor e abaixo do ponto crítico não se deve nunca
fornecer calor, caso contrário qualquer contribuição numa das zonas teria de ser compensada
na outra zona. Apesar da análise acima identificar quais as correntes em que se devem instalar
permutadores, não permite identificar como os instalar.
Considerando que não se deve efectuar transferência de calor através do ponto crítico, pode-se
especificar os permutadores partindo do ponto crítico nos dois sentidos (zona quente e zona
fria). Como as curvas se afastam uma da outra a partir do ponto crítico nos dois sentidos,
pode-se concluir que para a zona fria a capacidade calorífica do fluído quente é superior à fria
(m& c p )q 〉 (m& c p ) f e que na zona quente se verifica o contrário (m& c p )q 〈(m& c p ) f .
Como as condições anteriores podem não se verificar para nenhum par de correntes dos lados
frio e quente, consideram-se então que os caudais têm de ser divididos ou juntos de forma a
verificar aquelas condições. A junção de caudais só é desejável se se tratar do mesmo tipo de
fluído enquanto a divisão é sempre possível. Para analisar a escolha dos permutadores a
representação das correntes em linhas ortogonais como efectuado antes é complexa pois não
permite analisar as temperaturas, pelo que se adopta uma outra representação gráfica em que
as correntes quentes e frias se encontram agrupadas e deslocam-se em sentidos opostos. A
figura seguinte apresenta o esquema para a situação considerada anteriormente onde se
identifica também as temperaturas referentes às entradas do fluído quente e a temperatura de
saída do frio e a linha correspondente ao ponto crítico.
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Apontamentos de Permutadores de Calor – Equipamentos Térmicos 2005 – João Luís Toste Azevedo
Partindo do ponto crítico podemos observar que do lado frio as três correntes quentes podem
fornecer calor (todos os fluídos têm temperatura igual ou superior a 80ºC) e duas correntes
frias (2 e 3) podem receber calor. Analisando os valores relativos da capacidade calorífica
pode-se concluir que neste caso apenas podemos considerar os pares Q2-F2 e Q3-F3. Se tal
não fosse possível teria de se dividir eventualmente a corrente das correntes frias de modo a
serem inferiores às das correntes quentes. No lado quente pode-se observar que pelo critério
das capacidades caloríficas podem-se ligar os pares Q3-F2 e Q1-F3 ( (m& c p )q 〈 (m& c p ) f ).
m& c p [W / K ]
300
F
40ºC
2000
700
80ºC
20ºC
30ºC
F
76
80ºC
1
58,6
800
500
80
2
F2
F3
40ºC
70
3
2
5
6
8
18
Q1
160ºC
3
56
15
1
250ºC
Q3
100ºC
8
60ºC
4
163,3
Q2
F
1250
80
70
25
140
4
6
F1
5
120
C
200ºC
150ºC
120ºC
70ºC
Depois de se considerarem os permutadores perto do ponto crítico, podem-se calcular as
temperaturas de entrada e saída dos fluídos de cada permutador por balanço energético e a
potência destes. Por exemplo no permutador 2 entre Q3-F3 assumo que a corrente fria de
menor capacidade atinge a temperatura crítica que é de 70ºC e assim o permutador transfere
0,5*(70-40)=15 kW e o fluído quente atinge 58,6ºC. Procedendo de forma idêntica posso
calcular as potências e as temperaturas para os outros permutadores (valores indicados sem
unidades). Na zona fria não disponho de mais capacidade de arrefecimento e por isso é
necessário considerar meios de remover calor de todas as correntes quentes pois nenhuma
destas atinge a temperatura mínima que se pretende em cada caso. Na zona quente a potência
máxima disponível das correntes Q3 e Q1 são respectivamente 56 e 51 kW mas nas correntes
frias F2 e F3 necessito de aquecer respectivamente 64 e 25 kW pelo que as potências dos
permutadores correspondem aos valores mínimos ou seja 56 e 25 kW respectivamente. Assim
enquanto o fluído quente Q3 arrefece desde a temperatura de entrada até 80ºC para o fluído
quente Q1 basta-me que a temperatura de entrada no permutador 4 seja de 163,3ºC.
Depois da especificação dos permutadores junto ao ponto crítico posso verificar que tenho
possibilidade de extrair calor (26kW) da corrente Q1 que pode ser fornecido às correntes F1
(125kW) e F2 (8kW). Pode-se optar por instalar um permutador entre Q1 e F2 com 8 kW
sobrando 18 kW para a corrente F1 e nesse caso instalo apenas uma instalação de
aquecimento exterior para esta última corrente ou então pode-se instalar um permutador com
26 kW entre Q1 e F1 e nesse caso instalava aquecimento exterior para as correntes F1 e F2.
Na figura ilustra-se a primeira hipótese, mas como se viu existem outras alternativas. Neste
caso no entanto perto do ponto crítico não existiam alternativas mas num caso geral existem e
a solução de integração de processos é realizada por programas computacionais.
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