2011
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1
2
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MENSAGEM INICIAL
O Desafio da Montanha
Numa cidade havia uma montanha bastante íngreme e pedregosa, jamais
escalada. Três amigos decidiram fazer a sua subida e, por isso, prepararam-se durante
alguns dias. Muniram-se de todo o equipamento necessário, como cordas, alimentos e
materiais de primeiros socorros. No dia estabelecido iniciaram a aventura, que seria
observada por várias pessoas.
Um deles, o mais jovem, iniciou a
subida
fazendo
grande
alarde,
concedendo entrevistas e se declarando,
por antecipação, como o mais preparado
para atingir o objetivo. Partiu eufórico e
venceu os primeiros obstáculos com
relativa facilidade. Prosseguiu na
escalada e quando já atingia uma
determinada altura, em torno de 10% do
desafio a percorrer, parou para
descansar. Já sentia forte cansaço e em
seu corpo já se percebiam as marcas de
alguns ferimentos, resultantes do contato
com a vegetação nativa e espinhosa que
encobria a montanha.
Do ponto em que se encontrava, olhou para o alto . . . e sentiu um frio
percorrer-lhe a espinha. Estava ainda muito distante do ponto de chegada. Teve medo.
O desafio era maior de que suas forças. A distância que faltava percorrer era
gigantesca. Desistiu. Acabrunhado, retornou ao ponto de partida deixando no exato
ponto onde parou uma placa com os dizeres: É Difícil !
O outro, igualmente jovem, porém mais determinado, foi muito mais além.
Enfrentou barreiras e espinhos expôs-se ao vento que era mais forte feriu pés e mãos,
desprendeu grandes esforços e atingiu a metade do monte. Só aí parou para
descansar. Estava esgotado e bastante mau tratado.
102
3
Olhou para baixo . . . e sentiu calafrios. Era aterrorizador olhar para baixo e
ver a altura em que se encontrava. Entristeceu. Já fizera todo aquele esforço e ainda
não lograra o êxito desejado. Qualquer deslize ali poderia ser fatal. Sentiu medo. O
desafio era maior do que suas forças. Desistiu. Acabrunhado, retornou ao ponto de
partida deixando no exato ponto onde parou uma placa com os dizeres: É Difícil
Acreditar Que Cheguei Aqui.
O terceiro deles, mais amadurecido e reservado, nada disse, nem prometeu.
Iniciou sua caminhada de forma obstinada e segura. Atravessou barreiras e espinhos;
superou desafios e deficiências; expôs-se a situações desconfortáveis e dolorosas;
experimentou ferimentos nos pés e nas mãos, mas prosseguiu em seu intento.
Acreditava que poderia chegar.
Nem olhou para cima, nem olhou para baixo. Apenas prosseguiu. de forma
determinada e gradual, foi alcançando, passo a passo, seu objetivo. Via apenas uma
coisa: o objetivo traçado.
Estava com mente colocada bem adiante, no lugar da chegada. E com este
ânimo foi superando os obstáculos que surgiam, sem se deixar abater por eles.
Após muito esforço e determinação chegou ao topo da montanha. O desafio
estava vencido. Lá em cima, radiante com a conquista realizada, escreveu: É Difícil
Acreditar Que Cheguei Aqui, Porém Mais Difícil Foi Acreditar Que Poderia
Chegar .
“Aprenda a querer e a procurar. O desejo é uma força no homem, mas, para
que produza seu efeito, exige determinação e ação. O sucesso somente chega para
aqueles que se dispõem a alcançá-lo, com firmeza e persistência”.
Melcíades José de Brito
4
MENSAGEM FINAL
Estrelas do Mar
Era uma vez um escritor que morava em uma tranqüila praia,
junto de uma colônia de pescadores. Todas as manhãs ele caminhava à
beira do mar para se inspirar, e à tarde ficava em casa escrevendo.
Certo dia, caminhando na praia, ele viu um vulto que parecia
dançar. Ao chegar, reparou que se tratava de um jovem que recolhia
estrelas-do-mar da areia da para, uma por uma, jogá-las novamente de
volta ao oceano.
“ Por que você está fazendo isso” ? perguntou o escritor.
“ Você não vê !
explicou o jovem
A maré está baixa e o sol
está brilhando. Elas irão secar e morrer se ficarem aqui na areia”.
“ Meu jovem, existem milhares de quilômetros de praias por este
mundo afora, e centenas de milhares de estrelas-do-mar espalhadas pela
praia. Que diferença faz ? Você joga umas poucas de volta ao oceano. A
maioria vai perecer de qualquer forma”.
O jovem pegou mais uma estrela na praia, jogou de volta ao
oceano e olhou para o escritor.
“ Para essa eu fiz diferença”.
Naquela noite o escritor não conseguiu dormir, nem sequer
conseguiu escrever. Pela manhã, voltou à praia, uniu-se ao jovem e
juntos começaram a jogar estrelas-do-mar de volta ao oceano.
Sejamos, portanto, mais um dos que querem fazer do mundo um
lugar melhor.
Sejamos a diferença ! ! !
101
100. Um navio se encontra num ponto A, distante 10 milhas de um farol F. No mesmo instante,
outro navio se encontra num ponto B distante 15 milhas do farol, de tal modo que o
ângulo AF̂B = 60o. Qual é a distância entre os dois navios nesse instante ?
HISTÓRICO
AS GEOMETRIAS NÃO-EUCLIDIANAS
Lobatchevsky & Bolyai
— Que é isso, tio Anacleto? Uma empresa multinacional?
— Não, nada disso.
— Uma companhia de balé russo?
— Não, calma, que eu conto essa história. O grande matemático grego Euclides, que viveu entre
330 e 275 a. C... criou e desenvolveu a geometria que se chamou mais tarde euclidiana, em sua
homenagem. Sua grandiosa obra — Os Elementos — versava sobre geometria e grandezas
proporcionais. Porém, sua fama se deve principalmente ao método dedutivo que ele introduziu
na geometria.
— Que é método dedutivo, tio?
— É todo método que se baseia em princípios gerais. Usando tais princípios e o raciocínio
lógico, chega-se a propriedades particulares.
Os princípios gerais de Euclides foram chamados postulados ou axiomas.
Um deles, o postulado V, trouxe muitas dúvidas aos matemáticos que sucederam
Euclides durante os séculos.
O enunciado atual desse postulado deve-se ao matemático escocês Playfair:
―A paralela a uma reta r por um ponto
P externo a r é única‖. Euclides
— Tudo bem, tio. Mas o que Lobatchevsky e Bolyai têm a ver
com isso tudo ?
— Lobatchevsky, ou, para ser mais preciso, Nikolai Ivanovitch
Lobatchevsky, era russo e Janos Bolyai era húngaro. Ambos, por
volta de 1830, levantaram a seguinte questão, cada um a seu
modo e independentes um do outro:
"Que acontecerá à geometria no caso de
se negar o postulado V?"
E assim procederam:
Admitiram todos os outros postulados da geometria
euclidiana e, no lugar do postulado V, propuseram:
"Por um ponto P situado fora da reta r existem infinitas
retas paralelas à reta r". Lobatchevsky
100
5
LOBATCHEVSKY
— Mas como é isso, tio? Parece óbvio e se vê com muita clareza que, no plano, a paralela a uma
reta r, por um ponto P não pertencente a ela, é única !!
— De fato, Você tem razões para pensar assim; mas entenda o raciocínio provável desses
cientistas: a Terra não é plana como a geometria que Euclides criou.
Daí, eles imaginaram uma superfície como aquelas que se encontram num vaso para
flores, que tem as bases circulares e a boca com diâmetro maior que o corpo do vaso. Vamos
cortar ao meio, de cima a baixo, esse vaso.
— Nossa, tio, o vaso cortado parece uma sela de montaria!
97. A que distância do farol se encontra o navio B ?
98. A água utilizada na casa de um sítio é captada e bombeada do rio para uma caixa - d’água
a 50m de distância. A casa está a 80m de distância da caixa - d’água, e o Ângulo formado
pelas direções caixa - d’água - bomba e caixa - d’água – casa é de 60o . Se se pretende
bombear água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de encanamento
serão necessários ?
— Isso mesmo, Viriato, são as superfícies do tipo sela que se ajustam ao postulado de
Lobatchevsky-Bolyai.
Imagine que AB seja uma reta de de
Lobatchesky nessa superfície, tal que P AB. Ocorrerá,
1
conforme a figura ao lado, que existem infinitas retas
2
nessa superfície que passa por P e não têm qualquer
3
ponto comum com AB. São "paralelas" no espaço de
Lobatchevsky-Bolyai.
— É verdade, tio. Mesmo que o vaso fosse ―grandão‖,
ou até que se prolongasse infinitamente essa superfície
- como se faz com o plano de Euclides - as "retas" ℓ1,
ℓ2 ou ℓ3
nunca encontrariam a AB. Então são mesmo
'paralelas" a AB, não é isso?
— Isso mesmo, jovem! Vou lhe mostrar um resultado
surpreendente, inaceitável na geometria euclidiana:
99. Para calcular a distância entre duas árvores situadas nas margens opostas de um rio, nos
pontos A e B, um observador que se encontra junto a A afasta-se 20m da margem, na
direção da reta AB, até o ponto C e depois caminha em linha reta até o ponto D, a
40m de C, do qual ainda pode ver as árvores.
Tendo verificado que os ângulos DĈB e BD̂C medem, respectivamente, cerca de 15o e
120o, que valor ele encontrou para a distância entre as árvores ?
A soma dos ângulos internos de um triângulo
é sempre menor que 180°.
— Nossa! É surpreendente mesmo, tio, mas essa tal de seIa também não serve para resolver os
problemas da "medida da Terra", pois a forma da Terra aproximadamente esférica.
— Isso mesmo!... Mas essa já é outra história.
6
99
95. (UFPA) Consideremos as medidas indicadas dos arcos AB. BC e do lado BC. Então o lado AB
e o raio do círculo medem respectivamente:
Euclides & Riemann
Tio Anacleto chamou os sobrinhos e Ihes disse:
—Já que vocês gostaram da história que envolveu Lobatchevsky e Bolyai com o célebre
Euclides, vou Ihes contar os resultados das pesquisas de Riemann sobre o mesmo tema.
Tomemos inicialmente uma esfera e vamos nos deter só na sua
superfície, só na ―casca‖, por assim dizer. Se eu Ihes pedisse
para encontrar o menor caminho entre dois pontos A e B da
superfície esférica, o que vocês fariam ?
— Eu tentaria traçar uma "reta" entre A e B; só que ficaria um arco AB — disse Erasmo.
— Quem lhe garante que seu arco AB é o menor caminho? Existem
muitos arcos entre A e B. O seu não seria obrigatoriamente o menor
— disse Viriato.
96. (FUVEST-SP) O triângulo ABC é equilátero de lado 4; AM = MC = 2, AP = 3 e PB = 1. O
perímetro do triângulo APM é:
— Muito bem! -disse tio Anacleto. — Observação muito boa,
Viriato. Bravo! Diga o que você faria.
— Eu fixaria duas pontas de um elástico bem esticado em A e B, e
soltaria o elástico. Eu creio que o arco que o elástico
determinasse seria o menor caminho entre A e B.
— Muito bem pensado,. excluídas as pequenas distorções dessa
experiência física, o procedimento é correto para determinar
uma geodésica.
— Mas o que é geodésica. tio?
— Geodésica de uma esfera são círculos máximos dessa
esfera. Os meridianos são geodésicas da Terra. A linha do
Equador também é uma geodésica.
98
7
Generalizando, a geodésica é uma circunferência que,
contendo um ponto P da superfície esférica, contém
também o ponto Q diametralmente oposto a P.
— E O que tem O Sr. Riemann a ver com isso tudo, tio?
— É o que eu lhes quero contar. Riemann imaginou uma
geometria cujo universo não fosse o plano de Euclides,
mas, ao contrário, uma superfície esférica, semelhante à
da Terra.
— Grande idéia a desse Riemann, tio. Grande idéia! E deu
certo?
— Claro que deu — disse Anacleto — as geodésicas passaram a ser as retas de Riemann, e ele
teve o cuidado de modificar postulado V de Euclides e excluir um postulado de ordem que
vigora na geometria euclidiana.
— E.como ficou, tio ? — perguntaram os meninos.
— Ficou simples. Riemann disse: ―Em primeiro lugar, exclui-se o postulado de ordem de
Euclides, que diz:
“Dados três pontos A, B e C sobre uma reta, apenas
um deles está entre os outros dois” .
Pois, na reta r, apenas C está entre A e B, mas
na circunferência (reta de Riemann) tanto C está
entre A e B, como A está entre B e C.
92. Calcule o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC.
93. (PUC-SP) A figura mostra um hexágono regular de lado a. A diagonal AB mede:
a) 2a
d) a 3
b) a 2
e)
c)
2a 2
3
a 3
2
Depois, substitui-se o postulado V por:
―Por P não-pertencente a uma reta AB (de Riemann) não
existe paralela a essa reta‖ . Riemann
De fato, dada a geodésica AE e o ponto P externo a AB, qualquer que seja a geodésica
que contém P cortará AE em dois pontos R e S. É só ver na figura.
— E os resultados dessa geometria de Riemann são muito
diferentes, tio?
— São, sim. Veja a soma dos ângulos internos de um triângulo
ABC. Os ângulos A e B são retos. Daí, a
soma desses ângulos é sempre maior
que dois retos ou 180°.
Na verdade — completou Anacleto — ,
a soma dos ângulos internos de um
triângulo situado sobre uma superfície esférica depende de sua área...
Mas isso já é uma outra história...
94. Na figura abaixo calcule a medida do lado AC do triângulo ABC.
Extraído do livro “Matemática Conceitos e Histórias” Autor: Scipione di
Pierrô Neto/ Ed. Scipione/ 4ª edição.
8
97
09. LEI DOS CO-SENOS
 No ∆ retângulo BCH, temos:
a2 = h2 + (c - m)2
No ∆ retângulo ACH, temos:
b2 = h2 + m2
h2 = b2 - m2
Substituindo, temos:
a2 = b2 - m2 + (c – m)2
No ∆ retângulo ACH, temos: cos A
m
b
a2 = b2 + c2 – 2.c.m
m b . cos A
Substituindo, temos:
a2 = b2 + c2 – 2 . b . c . cos A
Daí a lei dos co-senos:
Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos
quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das medidas
desses dois lados pelo co-seno do ângulo oposto ao primeiro lado.
a2 = b2 + c2 - 2bc . cos A
b2 = a2 + c2 - 2ac . cos B
c2 = a2 + b2 - 2ab . cos C
EXERCÍCIOS
91. No triângulo ABC, calcule a medida do lado AB.
96
9
Observe agora:
 Traçamos o diâmetro BD.
 Â
BC)
e D̂
2
BC
2
Â
D̂
(Â e D̂ são ângulos inscritos)
 O triângulo BCD é retângulo (está inscrito numa
semicircunferência) de hipotenusa BD.
No ∆ retângulo BCD, temos:
a
2R
sen D̂
De
a
2R
sen Â
1
a
sen A
,
2
b
sen B
e
2R
3
c
sen C
a
sen Â
3
temos:
2R
Daí a da lei dos senos:
Em todo triângulo as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos
respectivamente opostos e a constante de proporcionalidade é o diâmetro da
circunferência circunscrita.
10
95
c)
d) 10 cm, 10 cm e 15 cm
51 cm, 30 cm e 9cm
RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO QUALQUER
08. LEI DOS SENOS (LEI DE LAMY)
raio:
Dado um
ABC, consideremos a circunferência circunscrita. Seja 0 o centro dela e R o seu
 No triângulo ACH, temos:
h
sen C = 1
h1 = b . sen C
b
No ∆ retângulo ABH, temos:
h
sen B = 1
h1 = c . sen B
c
Comparando, temos:
b
b . sen C = c . sen B
sen B
 No triângulo BCH1, temos:
h
sen C = 2
h2 = a . sen C
a
No ∆ retângulo ABH1, temos:
h
sen A = 2
h2 = c . sen A
c
Comparando, temos:
a
a . sen C = c . sen A
sen A
De
c
sen C
1
e
a
sen A
2
94
2
ÍNDICE
Página
c
sen C
1
01 - Quadriláteros (definição e elementos)
13
02 - Classificação dos quadriláteros
14
03 - Elementos notáveis do trapézio
18
04 - Propriedades dos paralelogramos
20
concluímos que:
b
sen B
c
sen C
11
 é agudo
 é reto
Neste caso,
a2 < b2 + c2
pois
a2 = b2 + c2 - 2cm
 é obtuso
Neste caso,
a2 = b2 + c2
Neste outro caso,
a2 > b2 + c2
pois
a2 = b2 + c2 + 2cm
Conhecendo as medidas dos lados de um triângulo e chamando a maior de a e as outras
duas de b e c, classificamos os triângulos em relação aos ângulos, com base nas equivalências
abaixo:
a2 < b2 + c2
2
2
2
a =b +c
2
2
2
a >b +c
triângulo acutângulo
triângulo retângulo
triângulo obtusângulo
EXERCÍCIOS
90. Dados os ternos de medidas abaixo, verifique se os mesmos podem ser de lados de um
mesmo triângulo e em caso afirmativo, classifique-o quanto aos lados e ângulos:
a) 4 cm, 6 cm e 8 cm
12
b) 12 cm, 4 cm e 8 cm
93
QUADRILÁTEROS
88. Um triângulo tem lados: a = 10, b = 14 e c = 6. Determine a projeção do lado c sobre a:
01. QUADRILÁTEROS
É todo polígono que possui apenas quatro lados.
Exemplos:
Quadriláteros convexo
Quadrilátero côncavo
89. Dado um triângulo de lados a = 9, b = 10, c = 5, determine a projeção do lado a sobre b.
Quadrilátero ABCD = AB
BC
CD
DA
Observe que:
Os pontos A, B, C e D são vértices e os segmentos AB, BC, CD e DA são os lados do
quadrilátero.
07. RECONHECIMENTO DA NATUREZA DE UM TRIÂNGULO QUANTO
AOS ÂNGULOS (SÍNTESE DE CLAIRAUT)
Os vértices A e C, B e D são opostos.
Os lados AB e DC, AD e BC são opostos.
Os ângulos  e Ĉ,B̂ e D̂ são opostos.
Quando conhecemos as medidas dos ângulos internos de um triângulo, podemos
identificar esse triângulo, como retângulo, acutângulo ou obtusângulo.
Porém, se conhecemos apenas as medidas dos lados, como fazer a identificação?
Nota:
Em todo quadrilátero convexo sempre teremos.
D=2
92
Si = Se = 360º
13
85. No triângulo da figura ao lado, sendo B > 90º, calcule x.
02. CLASSIFICAÇÃO DOS QUADRILÁTEROS
86. Na figura abaixo, determine x:
I. TRAPÉZIOS:
São quadriláteros que possuem dois lados paralelos denominados bases.
AD // BC
ABCD é trapézio
87. Determine x nos casos abaixo:
a)
b)
 TRAPÉZIO ISÓSCELES
É todo trapézio que possui dois lados não paralelos congruentes entre si.
Trapézio
Isósceles
AB // CD
AD BC
Nota:
Em todo trapézio isósceles os ângulos adjacentes
a uma mesma base são congruentes.
14
91
 EXPRESSÃO DO LADO OPOSTO A UM ÂNGULO OBTUSO
 TRAPÉZIO ESCALENO
É todo trapézio que possui dois lados não paralelos com medidas diferentes entre si.
Na figura ao lado  é um ângulo obtuso e a
é a medida do lado oposto a esse ângulo.
AB // CD
Trapézio
escaleno
AD
BC
Vamos calcular a medida do lado a oposto
ao ângulo obtuso Â. Chamemos de m a
projeção de c sobre b.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BCD, reto em D, temos:
a2 = h2 + (b + m)2
a2 = h2 + b2 +2bm + m2
2
2
Como no ∆BDA h = c - m
2
 TRAPÉZIO RETÂNGULO
, temos:
2
2
2
2
a = c - m + b + 2bm + m
a2 = c2 + b2 + 2bm
2
bases.
É todo trapézio escaleno que possui um dos lados não paralelos perpendiculares às
AB // DC
Num triângulo obtusângulo, o quadrado da medida do lado oposto ao ângulo obtuso é
igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, mais duas vezes o produto da
medida de um desses lados pela medida da projeção do outro lado sobre a reta que o
contém.
AB
Trapézio
retângulo
Nota:
Todo trapézio
escaleno.
EXERCÍCIOS
AD
DC
retângulo
é
84. No triângulo da figura ao lado, sendo  < 90º, calcule x.
II. PARALELOGRAMOS
É todo quadrilátero que possui os lados opostos paralelos entre si.
AB // CD e BC // AD
Paralelogramo
90
15
trapézio
 RETÂNGULO
É todo paralelogramo que possui os ângulos congruentes entre si. (Equiângulo)
06. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO QUALQUER
 EXPRESSÃO DO LADO OPOSTO A UM ÂNGULO AGUDO
Â
Retângulo
B̂
Ĉ
D̂
Na figura ao lado, Â é um ângulo agudo e a é a
medida do lado oposto a esse ângulo.
 LOSANGO
É Todo paralelogramo que possui os lados congruentes entre si. (Equilátero)
Losango
AB
BC
CD
DA
Vamos calcular a medida do lado a oposto ao ângulo
agudo Â.
Chamando de m a projeção de c sobre b e aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo BDC,
reto em D, temos:
a2 = h2 + (b – m)2
a2 = h2 + b2 – 2bm + m2
Como no ∆BDA h2 = c2 - m2, temos:
a2 = c2 - m2 + b2 – 2bm + m2
a2 = c2 + b2 – 2bm
 QUADRADO
É todo paralelogramo que possui os ângulos congruentes (é Retângulo) e possui todos
os lados congruentes (é Losango).
O quadrado do lado oposto a um ângulo agudo de um triângulo qualquer é igual à
soma dos quadrados dos outros dois lado menos duas vezes o produto de um dos lados
pela projeção do outro lado sobre este.
AB
Â
Quadrado
BC
B̂
CD
Ĉ
DA
D̂
Nota:
O quadrado é o polígono regular quatro lados.
16
89
82. (FCMS-SP) Na figura, são dados uma circunferência de centro 0 e um quadrado cujo lado
mede 16cm, tangentes no ponto X. A medida do raio dessa circunferência é, em cm:
III. TRAPEZÓIDES:
São quadriláteros que não apresentam paralelismo entre lados.
Observe que:
Todo Quadrilátero que não for trapézio será um trapezóide.
83. Na figura abaixo, temos AB = 12cm e BC = 8 3 cm. Qual é a medida do segmento CD ?
Na figura abaixo apresentamos a distribuição diagramática dos conjuntos dos
Quadriláteros.
Quadriláteros Convexos
T: conjunto dos trapézios
P: conjunto dos paralelogramos
R: conjunto dos retângulos
88
L: conjunto dos losangos
Q: conjunto dos quadrados
17
80. Na figura abaixo, o círculo de centro 0 é inscrito no quadrado ABCD; o círculo de centro E
tangencia externamente o primeiro e tangencia dois lados consecutivos do quadrado. Dado
o lado  do quadrado, determine o raio do círculo de centro E.
03. ELEMENTOS NOTÁVEIS DO TRAPÉZIO
a) BASE MÉDIA: ( Bm )
É o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos do trapézio.
NV
VQ
OT
TP
VT é base média
Base Média
Nota:
A medida da base média é igual à semi-soma
das medidas das bases.
Bm =
B
b
2
81. Do mesmo lado de uma reta são traçados 3 círculos tangentes a reta e tangentes entre si.
Sabendo que dois deles têm mesmo raio r (dado), determine o raio do terceiro círculo.
b) MEDIANA DE EULER: ( Me )
É o segmento de base média compreendido entre as diagonais do trapézio.
MN é base média
RS é mediana de Euler
Nota:
A medida da mediana de Euler é igual a
semi-diferença absoluta entre as medidas
das bases.
Mediana de Euler
Me =
18
B-b
2
87
77. Na figura abaixo calcule o valor de x.
EXERCÍCIOS
01. Classifique as afirmações em ―V‖ para as verdadeiras ou ―F‖ para as falsas:
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
Todo quadrado é losango mas nem todo losango é quadrado.
Se um quadrilátero não for trapezóide será obrigatoriamente trapézio.
Se um retângulo for quadrado é necessariamente um losango.
Todo trapézio retângulo é trapézio escaleno e a recíproca é verdadeira.
Existe paralelogramo que é quadrado mas não é losango.
02. Classifique as afirmações em ―V‖ para as verdadeiras ou ―F‖ para as falsas:
78. Considere um quadrado Q de lado ―a‖ e cinco círculos de mesmo raio r, interiores a Q,
dos quais um é concêntrico a Q e tangentes aos outros quatro. Cada um destes quatro
tangencia dois lados consecutivos de Q. Dado o lado ―a‖ do quadrado, calcule o raio r dos
círculos.
0 0 Existe trapézio retângulo que é trapézio isósceles.
1 1 Em todo trapézio os ângulos externos adjacentes à base maior são congruentes
aos ângulos internos adjacentes à base menor.
2 2 Se um retângulo for losango pode não ser quadrado.
3 3 Se um losango for retângulo será obrigatoriamente um quadrado.
4 4 Existe losango que é quadrado mas não é retângulo.
03. Classifique as afirmações em ―V‖ para as verdadeiras ou ―F‖ para as falsas:
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
Se um trapézio não é paralelogramo, ou é trapézio isósceles ou é trapézio escaleno.
Um quadrilátero pode ser trapézio retângulo e não ser trapézio escaleno.
Todo retângulo é trapézio.
Todo trapézio é retângulo.
Todo trapézio retângulo é retângulo.
04. Classifique as afirmações em ―V‖ para as verdadeiras ou ―F‖ para as falsas:
79. (UM-SP) A circunferência de raio ―a‖ é tangente às duas semi-circunferência menores e à
semi-circunferência maior. Se MN = NP = R, então calcule ―a‖ em função de R.
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
Todo retângulo é trapézio retângulo.
Todo trapézio retângulo é trapézio mas não é retângulo.
Todo trapézio retângulo é retângulo mas não é trapézio.
Se um losango for quadrado obrigatoriamente é retângulo.
Se um retângulo for quadrado pode não ser losango.
a
05. Classifique as afirmações em ―V‖ para as verdadeiras ou ―F‖ para as falsas:
0
1
2
3
4
86
0
1
2
3
4
Todo paralelogramo é polígono irregular.
Todo trapézio é convexo.
Todo quadrilátero convexo é um trapézio.
Todo quadrilátero côncavo é trapezóide.
Em todo trapézio isósceles os ângulos adjacentes a mesma base são congruentes.
19
c)
04. PROPRIEDADES DOS PARALELOGRAMOS
a) PROPRIEDADES GERAIS
Em todo paralelogramo sempre teremos:
lados opostos congruentes
74. As três circunferências de centros A, B e C têm o mesmo raio, igual a 2 cm, e são
exteriormente tangentes duas a duas. As retas paralelas r e s são tangentes às
circunferências. Calcule a distância entre r e s.
ângulos opostos congruentes
diagonais cortam-se ao meio
r
DEMONSTRAÇÃO:
Tese:
AB
CD e BC
AD / Â
Ĉ e B̂ D̂ /
s
AC
75. Os raios destas circunferências medem 3cm e 8cm e a distância entre seus centros, 13cm.
Calcule a medida de AB.
AC (LADO COMUM)
BÂC
A ĈD (ALTERNOS INTERNOS)
BĈA
CÂD (ALTERNO INTERNOS)
ABC
ADC
Logo :
AB
CD
AD

eBC


LADOS OPOSTOS CONGRUENTES
BÂD
ˆ
ˆ
BĈD
ˆ
ˆ
ABM
Então :
20
caso ALA.
BÂD
BĈD
 Ĉ e B̂ D̂



ÂNGULOS OPOSTOS
CONGRUENTES
CMD
76. A reta é tangente às circunferências de centros A e B, que têm 5cm e 3cm de raio,
respectivamente. Sendo a distância entre os centros igual a 17cm, calcule a distância
entre os pontos de tangência C e D.
caso LAAo.
BM
MD
e AM



MC


DIAGONAIS CORTAM SE
AO MEIO
c.q.d
85
APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS
Aplicação: Cálculo da medida da diagonal de um quadrado.
b) PROPRIEDADES ESPECÍFICAS :
 DO RETÂNGULO
O triângulo ABC é retângulo. Daí:
d2 =  2  2
d2 2 2
2 2
d
Em todo retângulo as diagonais são congruentes.
DEMONSTRAÇÃO
B
d=  2
Tese:
BC
C
AD
A
B
Aplicação: Cálculo da medida da altura da altura de um triângulo eqüilátero.
2
 2
2
h2
2
h2 2
4
h=
2
2
4
32
h2
4
ABC
Então :
h2
h
32
4
D
A
O triângulo ABH é retângulo. Daí:
ABD
caso LAL
BD
AC


DIAGONAIS CONGRUENTES
c.q.d
 DO LOSANGO
 3
2
Em todo losango as diagonais são bissetrizes e perpendiculares entre si.
DEMONSTRAÇÃO
Tese:
AC
BD
E DIAGONAIS BISSETRIZES
EXERCÍCIOS
73. Determine x nas figuras abaixo.
a)
b)
O ∆ABD é isósceles de base BD e M é ponto médio da base, então:
AM é altura AM̂D 90 .
Logo: as diagonais do losango são perpendiculares.
AM é bissetriz interna
Logo: a diagonal do losango é bissetriz.
c.q.d.
84
21
COROLÁRIO
2ª Relação:
Todo quadrado é paralelogramo,é retângulo e é losango. Um quadrado qualquer tem
todas as propriedades dos paralelogramos, dos retângulos e dos losangos. Em particular, em
qualquer quadrado as diagonais cortam-se ao meio, são congruentes, são perpendiculares. E são
bissetrizes dos ângulos internos.
ABC
AHB
BC
AB
AC
AH
a
c
b
h
ah = bc
Num triângulo retângulo, o produto da medida da hipotenusa pela medida da altura
relativa a ela é igual ao produto das medidas dos catetos.
AM
AC
CM
BD
BM
e AC
DM
BD.
EXERCÍCIOS
06. Em um paralelogramo o seu perímetro mede 22 cm, calcule as medidas de seus lados
sabendo que o lado maior aumentado de 1 cm tem medida igual ao triplo do lado menor.
3ª Relação:
ABC
AHC
AH
HC
BH
AH
h
n
m
h
h2 = mn
Num triângulo, o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao
produto das medidas dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa.
07. Em um trapézio a soma da base média com a mediana de Euler é igual a 10. Quanto medem
suas bases se a maior é o dobro da menor?
4ª Relação:
Teorema de Pitágoras
 Da 1ª relação, sabemos que:
b2 = an
c2 = am
e
 Adicionando membro a membro as igualdades, temos:
b2 + c2 = an + am
b2 + c2 = a (n + m)
b2 + c2 = a2
a2 = b2 + c2
Num triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados das medidas dos catetos.
22
83
05. RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO
08. Em um trapézio retângulo, a bissetriz do ângulo reto adjacente à base maior, forma com a
bissetriz do ângulo agudo do trapézio, um ângulo de 100º. Quanto mede seu ângulo obtuso?
Seja o triângulo retângulo:
a = medida da hipotenusa BC ;
b = medida do cateto AC ;
c = medida do cateto AB ;
h = medida da altura AH ;
m = medida da projeção do cateto AB sobre a
hipotenusa ;
n = medida da projeção do cateto AC sobre a
hipotenusa .
09. Verifique a veracidade das afirmativas:
I II
0 0 Em todo trapézio isósceles os ângulos opostos são suplementares.
1 1 Todo trapézio retângulo é trapézio escaleno.
2 2 Em todo losango as diagonais são perpendiculares.
3 3 As diagonais do retângulo são perpendiculares e congruentes.
4 4 Se um losango tiver diagonais congruentes será um quadrado.
Observe que:
10. Verifique a veracidade das afirmações abaixo:
A partir das semelhanças apresentadas, podemos obter as chamadas relações métricas
no triângulo retângulo:
1ª Relação:
ABC
AHB
BC
AB
AB
BH
ABC
AHC
BC
AC
AC
HC
a
c
a
b
c
m
c2 = am
I
0
1
2
3
4
II
0 Se um losango tiver diagonais congruentes será quadrado.
1 Se um retângulo tiver diagonais bissetrizes será losango.
2 Em todo trapézio isósceles os ângulos adjacentes a uma mesma base são
congruentes.
3 Existe paralelogramo cujas diagonais são congruentes e não é equiângulo.
4 Se um paralelogramo tiver as diagonais perpendiculares é equiângulo.
11. Verifique a veracidade das afirmações abaixo:
b
n
b2 = an
Num triângulo retângulo o quadrado da medida de um cateto é igual ao produto das
medidas da hipotenusa e da projeção desse cateto sobre a hipotenusa.
82
I
0
1
2
3
4
II
0 Todo quadrado é um paralelogramo.
1 Existe losango que é retângulo.
2 Se um paralelogramo tiver diagonais congruentes e não perpendiculares jamais será
quadrado.
3 Todo quadrado é trapézio.
4 Todo trapézio isósceles possui os ângulos adjacentes a uma mesma base congruentes.
23
12. Considere as afirmativas:
1) Um paralelogramo que possui as diagonais congruentes é um quadrado.
2) Um quadrilátero que possui os quatro lados congruentes não é um paralelogramo.
3) Um quadrilátero que possui diagonais perpendiculares é um quadrado.
4) Um quadrilátero que possui diagonais congruentes e perpendiculares é um quadrado.
70. Calcular R, raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC da figura, sendo AB = 4,
AC = 6, AH = 3.
São verdadeiras:
a) 1 somente
b) 2 somente
c) 2 e 4 somente
d) 1, 2 e 4 somente
e) nenhuma
13. Em um retângulo, uma diagonal forma com um dos lados um ângulo de 40º. Calcule as
medidas dos ângulos formados pelas diagonais.
71. (UM-SP) O triângulo ABC da figura é equilátero. AM = MB = 5 e CD = 6. O valor de AE é:
14. O ângulo que uma diagonal de um losango forma com um dos lados é a quinta parte do
ângulo formado pela outra diagonal com o mesmo lado. Calcule as medidas dos ângulos
desse losango.
72.(CESGRANRIO-RJ) O losango ADEF está inscrito no triângulo ABC, como mostra a figura. Se
AB = 12 cm, BC = 8 cm e AC = 6 cm, o lado
15. Em um trapézio, a soma das medidas de dois ângulos consecutivos é igual a 78º, e sua
diferença é de 4º. Calcule as medidas dos quatro ângulos desse quadrilátero.
24
81

do losango mede:
67. Na figura abaixo, consideremos os quadrados de lados a e b (a > b). Calcule o valor de x.
16. Em um trapézio retângulo ABCD, as bases AB e CD medem, respectivamente, 21 cm e 12
cm. Sabendo que a medida do ângulo B é igual a 45º, calcule a medida da altura.
68. Num retângulo ABCD, os lados AB e BC medem 20 cm e 12 cm, respectivamente. Sabendose que M é o ponto médio do lado AB, calcular EF, distância do ponto E ao lado AB, sendo
E a intersecção da diagonal BD com o segmento CM.
17. Verifique a veracidade das afirmativas:
I
0
1
2
3
4
69. Considere a circunferência circunscrita a um triângulo ABC. Seja AE um diâmetro desta
circunferência AD altura do triângulo. Sendo AB = 6 cm, AC = 10 cm e AE = 30 cm, calcular
a altura AD.
80
II
0 Todo quadrado é retângulo e é losango.
1 O polígono regular de quatro lados é o quadrado.
2 Em todo quadrado as diagonais são congruentes, cortam-se ao meio, são bissetrizes e
perpendiculares.
3 Todo retângulo e todo losango é quadrado.
4 Se em um quadrilátero as diagonais forem congruentes e perpendiculares, o mesmo
será quadrado.
18. Determine os valores de x e y nos casos:
a) pentágono regular e quadrado
b) hexágono regular e quadrado
25
19. Num trapézio isósceles, o ângulo obtuso é 5/4 do ângulo agudo. Calcular o ângulo formado
pelas bissetrizes dos ângulos adjacentes à base maior.
20. Num trapézio retângulo, a base menor é congruente ao lado oblíquo e a diagonal maior
forma com a base maior um ângulo de 25º. Calcule o maior ângulo desse trapézio.
64. DEFG é um quadrado. Dados AB = 8 cm, BC = 20 cm e AD = 2 cm, calcule a medida do lado
desse quadrado.
65. Um retângulo, cuja base é o dobro de altura, está inscrito em um triângulo de base 12 cm
e altura 9 cm. Calcule a medida do perímetro desse retângulo.
21. (UM-SP) No trapézio ABCD da figura, E e F são pontos médios de AD e BC respectivamente.
Sabendo-se que DC = 4 cm e MN = 3 cm, então, a diferença entre os perímetros dos
trapézios ABFE e EFCD é igual a:
a) 12 cm
b) 9 cm
c) 6 cm
d) 8 cm
e) 7 cm
26
66. Na figura abaixo, consideremos os quadrados de lados x, 6 e 9. Determine o perímetro do
quadrado de lado x.
79
EXERCÍCIOS
22. Sabendo que ABCD é um quadrado e que o triângulo CDE é equilátero. Calcule a medida x
do ângulo AÊD .
61. Observe os 8 triângulos abaixo, indique os pares de triângulos semelhantes e o caso
correspondente.
62. AB é paralelo a DE e os pontos B, C e E são colineares. Sabendo que AC = 12 cm, AB = 18
cm e CD = 10 cm, calcule DE.
23. Sabendo que ABCD é um quadrado e que o triângulo BCE é equilátero, calcule a medida x
do ângulo AFC.
63. ABCD é trapézio. Sabendo que AB = 4 cm, CD = 6 cm e AE = 2 cm, calcule EC.
78
27
24. (SANTA CASA-87) Na figura, são dados AC = BC e o quadrado BCDE. A medida
assinalado é:
a) 75º
b) 60º
c) 50º
d) 45º
e) 30º
, do ângulo
2ªCASO: LAL (lado-ângulo-lado)
Basta que os triângulos tenham, respectivamente, um ângulo congruente formado
por lados proporcionais.
D
C
∆ABC
E
A
B
~ ∆PQR , pois
AC
PR
AB
PQ
E Â
P̂ .
3ª CASO: LLL (lado-lado-lado)
Basta que os triângulos tenham os lados ordenadamente proporcionais.
∆ABC
AB
PQ
~ ∆PQR , pois
BC
QR
CA
.
RP
PROPRIEDADES DOS TRIÂNGULOS SEMELHANTES
 TEOREMA FUNDAMENTAL - Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e
encontra os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é
semelhante ao primeiro.
Demonstração:
tese: ∆AMN ~ ∆ABC
B̂
M̂
Ĉ
N̂
ALTERNO S INTERNOS
Logo, ∆AMN ~ ∆ABC
CASO AA
c.q.d.
28
77
Se os triângulos ABC e A’B’C’ forem semelhantes
 os lados serão proporcionais:
AB
AB
 as alturas serão proporcionais:
CH
CS
 as medianas serão proporcionais:
BC
BC
AC
=K
AC
K;
CM
= K,
CN
etc.
CASOS OU CRITÉRIOS DE SEMELHANÇAS DE TRIÂNGULOS
Para concluir que dois triângulos são semelhantes, não é necessário determinar as
medidas de todos os ângulos e lados, pois temos três casos que simplificam a verificação:
1ª CASO: AA (ângulo-ângulo)
Basta que haja dois pares de ângulos respectivamente congruentes para que os
triângulos sejam semelhantes.
O terceiro par será automaticamente de ângulos congruentes.
semelhante
∆ABC
congruente
~ ∆PQR , pois Â
76
P̂ e B̂
Q.
29
Com relação às figuras da página anterior
A coca-cola de 290 mℓ e a de 1ℓ
têm garrafas semelhantes ?
Justifique sua resposta.
04. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Definição: Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, os três ângulos são
ordenadamente congruentes e os lados homólogos são proporcionais.
F
Ângulos que se correspondem
(congruentes)
Â
D̂
B̂
Ê
D̂
F̂
AB
DE
BC
EF
CA
FD
E
D
Lados que se correspondem
(proporcionais)
AB
DE
30
BC
EF
CA
FD
K
RAZÃO DE SEMELHANÇA (ESCALA)
75
Os calhambeques são
figuras semelhantes.
Os mapas do Brasil são
figuras semelhantes.
PROCESSO PARA CONSTRUÇÃO DE FIGURAS SEMELHANTES
 HOMOTETIA (SIMILITUDE) DIRETA
ÍNDICE
Página
 HOMOTETIA INVERSA
74
01 - Circunferência (definição e elementos)
33
02 - Posicionamento relativo entre reta e circunferência
37
03 - Posicionamento relativo entre duas circunferências
38
04 - Ângulos na circunferência
43
05 - Arco capaz de um ângulo dado
49
06 - Teoremas finais
51
31
03. FIGURAS SEMELHANTES
Quando ampliamos, duplicamos ou reduzimos figuras geométricas, obtemos figuras
semelhantes. Por exemplo:
As figuras dadas são denominadas semelhantes por terem a mesma forma, apesar de
terem tamanhos diferentes. No caso de terem o mesmo tamanho, as figuras são congruentes.
32
73
EXERCÍCIOS
01. CIRCUNFERÊNCIA (Definição e Elementos)
57. Na figura, AS é bissetriz interna do ângulo Â. Calcule x.
INTRODUÇÃO
Circunferência e Círculo
58. Na figura, AS é bissetriz interna do ângulo Â. Calcule o valor de x.
59. Na figura, AD é bissetriz externa do ângulo Â. Calcule x.
No entanto, entre cada dois pontos podemos
identificar outros pontos que satisfazem a
mesma condição, Assim, se os reunirmos por
meio de uma curva contínua, obteremos uma
figura que recebe o nome de circunferência.
Na figura acima, podemos notar que todos
os pontos indicados (A, B, C..., M) estão
situados a uma mesma distância do ponto
0.
 DEFINIÇÃO
Circunferência é o lugar geométrico
(conjunto de pontos) dos pontos de um plano
eqüidistantes de um ponto fixo denominado
centro.
60. No triângulo ABC da figura abaixo, AS é bissetriz interna do ângulo  e AP é bissetriz
externa. Calcule a medida do segmento SP.
circunferência
plano
Chama-se
raio
de
uma
circunferência qualquer segmento que tem
uma extremidade no centro C e a outra num
ponto da circunferência.
raio
72
33
 REGIÃO INTERNA E REGIÃO EXTERNA
 TEOREMA DA BISSETRIZ EXTERNA
O ponto cuja distância ao
centro da circunferência é menor
que o raio recebe o nome de ponto
interno.
O conjunto dos pontos
internos é chamado região interna
ou interior.
dMO < raio
dNO > raio
O ponto cuja distância ao
centro da circunferência é maior
que o raio recebe o nome de ponto
externo.
O conjunto de todos os
pontos
externos
a
uma
circunferência é chamado região
externa ou exterior.
Em um triângulo qualquer, a bissetriz de um ângulo externo divide o lado,
externamente, em segmentos proporcionais aos lados adjacentes.
x
c
y
b
DEMONSTRAÇÃO:
Seja ABC um triângulo tal que
BC = a, AC = b e
AB = c
Pelo vértice C tracemos CE paralela à
bissetriz exterior AS’, conforme figura.
Temos: = (hipótese)
r̂ = (alternos internos)
ŝ = (correspondentes)
 CÍRCULO
Círculo é a reunião da circunferência com a sua região interior.
Portanto r̂ = ŝ
O triângulo ACE é isósceles, de base CE.
Logo, AE
AC
b.
Por outro lado, no triângulo BSA, CE sendo paralelo a AS, teremos:
O círculo é o lugar geométrico dos pontos do plano em que está a circunferência
cuja distância ao centro da mesma é menor ou igual ao raio.
Como BS
x,
CS
y, BA
c
e
AE
BA
CS
EA
b , temos a tese:
AC
x
c
34
BS
71
y
b
c.q.d.
02. TEOREMAS DAS BISSETRIZES DO TRIÂNGULO
 ELEMENTOS LINEARES DA CIRCUNFERÊNCIA
 TEOREMA DA BISSETRIZ INTERNA
Em qualquer triângulo, uma bissetriz de um ângulo interno divide o lado oposto em
segmentos proporcionais aos lados adjacentes.
x
c
DEMONSTRAÇÃO:
y
b
Seja ABC um triângulo tal que
BC = a, AC = b e AB = c
Tracemos pelo vértice C do triângulo ABC a paralela
CD à bissetriz interior AS, conforme figura.
Temos: = (hipótese)
r̂ = (alternos internos)
ŝ = (correspondentes)
Portanto r̂ = ŝ
O triângulo ACD é isósceles, de base CD.
Logo, AD
AC
b.
Por outro lado, no triângulo BCD, AS sendo paralelo a
CD, teremos:
x, SC
Como BS
temos a tese:
BS
BA
SC
AD
y, BA
x
c
70
y
b
c
e
AD
AC
b,
A medida do diâmetro (D) é o dobro da medida do raio (D = 2R).
Se a corda for o diâmetro a flecha será o raio.
c.q.,d.
35
c)
d)
 ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA
Dois pontos distintos de uma circunferência dividem-na em duas partes, cada uma das
quais chamada arco.
arco menor
arco maior
Indicação: AB (lê-se: arco AB)
Indicação: AB
Indicação: AMB
Os pontos A e B são chamados
extremos do arco AB.
Como existem dois arcos AB numa
circunferência,
para
identificá-los
costumamos indicar o arco menor por AB e,
para indicar o arco maior, consideramos
mais um ponto da circunferência.
56. Um feixe de 4 paralelas determina sobre uma transversal três segmentos consecutivos que
medem 5 cm, 6 cm e 9 cm. Calcule os comprimentos dos segmentos correspondentes
determinados pelo feixe noutra transversal, sabendo que o segmento desta, compreendido
entre a primeira e a quarta paralelas, é 60 cm.
Quando os extremos A e B
coincidirem com os extremos de um
diâmetro, cada um dos arcos será chamado
semi-circunferência.
Semi-circunferência
36
69
Estabelecendo a razão
AB
CD
p.x
q.x
02. POSICIONAMENTO RELATIVO ENTRE RETA E
CIRCUNFERÊNCIA COPLANARES
AB
temos:
CD
AB
CD
p
q
( na figura,
AB
CD
5
)
4
Em relação a uma circunferência, uma reta pode assumir as seguintes posições:
Conduzindo retas do feixe pelos pontos de divisão de AB e CD temos que.
O segmento A’B’ fica dividido em p partes congruentes
O segmento C’D’ fica dividido em q partes congruentes
A’B’ = p . x’ e C’D’ = q . x’
Estabelecendo a razão
A ' B'
C' D'
p.x '
q.x '
AB
, temos
CD
A ' B'
C' D'
p
q
( na figura,
Comparando as igualdades (1) e (2), vem
AB
CD
A ' B'
C' D'
5
)
4
A ' B'
C' D'
c.q.d.
EXERCÍCIOS
55. Nas figuras a seguir calcule as medidas dos segmentos indicados nos feixes de paralelas
sendo a//b//c.
a)
b)
68
Representando por d a distância do centro à reta e por r a medida do raio, temos:
reta secante
reta tangente
reta exterior
d<r
d=r
d >r
37
Toda reta tangente à circunferência é perpendicular ao raio que tem extremidade no
ponto de tangência.
SEGMENTOS PROPORCIONAIS
SEMELHANÇA
01. FEIXE DE RETAS PARALELAS (Teorema de Tales)
Um feixe de paralelas determina sobre duas ou mais transversais segmentos
correspondentes proporcionais.
A reta normal passa
pelo centro e pelo ponto de
tangência, contém o raio
perpendicular à tangente e é
secante à circunferência.
AB
BC
CD
DE
AC
A ' B'
B' C'
C' D'
D' E'
A' C'
... K
CONSTANTE DE
PROPORCIONALIDADE
DEMOSTRAÇÃO:
Vamos supor que existe um segmento x que ―cabe‖ p vezes em AB e q vezes em CD,
onde p e q são números inteiros. (na figura, p = 5 e q = 4)
Temos, então AB = p . x e CD = q . x
03. POSICIONAMENTO RELATIVO ENTRE DUAS
CIRCUNFERÊNCIAS COPLANARES
 CIRCUNFERÊNCIAS EXTERIORES
d>R+r
A distância entre os centros é maior
que a soma dos raios.
38
67
 CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES EXTERIORES
d=R+r
A distância entre os centros é igual a
soma dos raios.
 CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES INTERIORES
d = |R - r|
A distância entre os centros é igual a
diferença absoluta dos raios.
 CIRCUNFERÊNCIAS INTERIORES
0 < d <|R - r|
A distância entre os centros é menor que a
diferença absoluta dos raios.
66
39
 CASO PARTICULAR: CIRCUNFERÊNCIAS CONCÊNTRICAS
d = 0 (distância nula)
ÍNDICE
 CIRCUNFERÊNCIAS SECANTES
Página
Condição de existência de um triângulo
|R – r| < d < R + r
A distância entre os centros é menor que a
soma dos raios e maior que a
diferença absoluta.
40
01 - Feixe de retas paralelas (Teorema de Tales)
67
02 - Teoremas das bissetrizes interna e externa do triângulo
70
03 - Figuras semelhantes
73
04 - Semelhança de triângulos
75
05 - Relações métricas nos triângulos retângulos
82
06 - Relações métricas em um triângulo qualquer
89
07 - Síntese de Clairaut
92
08 - Lei dos senos
94
09 - Lei dos cossenos
96
65
OBS.: EIXO RADICAL
O eixo radical é sempre perpendicular à reta que
passa pelos centros das circunferências.
EXERCÍCIOS
25. Observe a figura e classifique:
a) a reta r em relação à circunferência C.
b) a reta r em relação à circunferência C’.
c) a reta s em relação à circunferência C.
d) a reta s em relação à circunferência C’.
26. Dê a posição relativa entre as circunferências:
64
a) C1 e C2
b) C1 e C3
c) C2 e C3
d) C3 e C4
41
27. Com base na figura ao lado, determine as posições relativas entre:
a) r e C
b) C e C1
c) s e C1
d) C1 e C2
e) s e C2
f) r e C1
28. Baseando-se nos dados seguintes, onde r1 e r2 são os raios de duas circunferências
co-planares e d a distância entre os seus centros, identifique a posição relativa destas
circunferências:
a) r1 = 12 cm, r2 = 8 cm, d = 20 cm
b) r1 = 9 cm, r2 = 6 cm, d = 18 cm
c) r1 = 7 cm, r2 = 5 cm, d = 10 cm
d) r1 = 15 cm, r2 = 9 cm, d = 6 cm
e) r1 = 16 cm, r2 = 10 cm, d = 4 cm
42
63
04. ÂNGULOS NA CIRCUNFERÊNCIA
 ÂNGULO CENTRAL
É o ângulo cujo vértice coincide com o centro da circunferência.
n
m (AÔB) = m ( AB )
A medida do ângulo central é igual à medida do arco compreendido entre os
lados do ângulo.
Exemplos:
ângulo reto
62
43
 ÂNGULO INSCRITO
Denomina-se ângulo inscrito todo ângulo que tem o vértice na circunferência e cujos
lados são semi-retas secantes.
m(AĈB)
53. Na figura abaixo, determine o perímetro do triângulo ADE, sabendo que o perímetro do
triângulo ABC vale 10 cm, a base BC mede 4 cm e que o círculo está inscrito no quadrilátero
BCDE.
m( AB )
2
TEOREMA
A medida do ângulo inscrito é a metade da medida do arco
compreendido entre os seus lados.
54. (CESCEM-SP) Seja o pentágono PQRST da figura, inscrito na circunferência de centro 0,
sabe-se que o ângulo P Ô Q vale 70º; chamando-se x e y os ângulos PT̂S e QRS ,
respectivamente, quanto vale x + y?
DEMONSTRAÇÃO:
a)
b)
c)
d)
e)
Tese:
m(AĈB)
2 +2
145º
180º
215º
270º
Varia entre 90º e 180º, conforme a posição dos
vértices R e T na circunferência.
= AB
2( + ) = AB
m( AB )
2
+
=
AB
2
AĈB
AB
2
c.q.d
44
61
51. Calcule PÂQ, sabendo que o arco PXQ mede 280º.
 ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERNO
É o ângulo cujo vértice está no interior da circunferência e não coincide com o centro.
m(AÊB)
m( AB )
m( CD )
2
TEOREMA
52. Calcule x, sabendo que B e C são centros das circunferências da figura.
A medida do ângulo excêntrico interno é igual a semi-soma entre as medidas dos arcos que
estão compreendidos entre os lados e entre os prolongamentos dos lados.
DEMONSTRAÇÃO:
AB
= 2
Tese:
m(AÊB)
60
m( AB )
do TAE
= +
m( CD )
2
45
CD
e
=2
AB
CD
2
c.q.d
48. Qual é o perímetro do triângulo retângulo de hipotenusa 15cm no qual se inscreve uma
circunferência de 2 cm de raio?
 ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERNO
É o ângulo cujo vértice está no exterior da circunferência e seus lados são secantes à
circunferência.
m( AB ) - m( CD )
2
m(CÊD)
49. Calcule o perímetro do triângulo PRS, sabendo que PA = 12 cm.
TEOREMA
A medida do ângulo excêntrico externo é igual semi-diferença absoluta entre as
medidas dos arcos que estão compreendidos entre os seus lados.
DEMONSTRAÇÃO:
50. O Quadrilátero ABCD da figura está circunscrito a uma circunferência de centro Q. Sabendo
que AB = 3x, BC = 4x + 1, CD = 5x e AD = 2x + 3, calcule o perímetro desse quadrilátero.
Tese:
m( )
=
m( AB ) - m( CD )
2
AB
2
pelo TAE
+ =
= CD
e
=
2
AB
CD
2
46
c.q.d
59
45. ABCD é um quadrilátero circunscritível cujos lados medem AD = 12 cm, DC = 9 cm, BC = x +
7 e AB = 2x + 1. Determine o perímetro desse quadrilátero.
CASOS PARTICULARES
I. Ângulo de Segmento
II. Ângulo Circunscrito
46. Calcule o valor do raio r do círculo inscrito no trapézio retângulo.
O ângulo de segmento em um caso particular
da ângulo inscrito.
O ângulo circunscrito é um caso particular do
excêntrico externo.
ABC
BC
2
47. No triângulo ABC, AB = 7, AC = 5 e BC = 6, calcule AP, sendo P ponto de tangência da
circunferência inscrita nesse triângulo.
EXERCÍCIOS
29. Nas figuras seguintes calcule o valor de x:
a)
58
AC
2
47
b)
c)
d)
e)
43. A circunferência de centro 0 tangencia os lados do triângulo ABC nos pontos P, Q e R.
Sabendo que: AB = 12 cm, AC = 10 cm e BC = 8 cm, calcule a medida do segmento AP.
44. Calcule o perímetro do quadrilátero seguinte, sabendo que: AB = 9 cm e CD = 6 cm.
30. Calcule o valor de x, y e z nas figuras seguintes:
a)
48
57
40. Na figura abaixo calcule o valor de x:
b)
41. Baseando-se na figura abaixo, calcule o valor de x.
c)
05. ARCO CAPAZ DE UM ÂNGULO DADO
42. Na figura seguinte temos que: BPD = 32º e BED = 89º. Determine a medida do arco BD e a
medida do arco AC.
Dado um ângulo x chamamos de arco capaz de x ao arco situado externamente aos
lados do ângulo quando este ângulo se encontra inscrito em uma circunferência.
Ac = 360o - 2
EXERCÍCIOS
56
49
31. Qual a medida do arco capaz do ângulo de 60° ?
37. A distância entre os centros de duas circunferência tangentes exteriormente é de 33 cm.
4
Determine o diâmetro da menor, sabendo que a razão entre seus raios é
.
7
38. A partir das seguintes figuras, determine o valor de x:
32. Qual a medida do arco capaz do ângulo externo do octógono regular ?
a)
33. Calcule a medida do arco capaz do ângulo interno do eneágono regular.
39. Em cada figura temos um ângulo central e um inscrito. Determine a medida de cada um em
graus:
a)
50
b)
b)
55
EXERCÍCIOS
34. Determine a medida do diâmetro de um círculo inscrito em um triângulo retângulo cujos
lados medem 9 cm, 12 cm e 15 cm.
06. TEOREMAS FINAIS
 Se por um ponto externo a uma circunferência conduzirmos duas tangentes à mesma, este
ponto eqüidistará dos pontos de tangência.
DEMONSTRAÇÃO:
Tese:
35. Duas circunferências são secantes, sendo de 20 cm a distância entre seus centros. Sabendo
que o raio da menor circunferência mede 11 cm, determine a menor medida para o raio da
maior que é múltiplo de 6.
OP
OP (lado comum)
OÂP
OB̂P (retos)
AP̂O
OP̂B ( PO é bissetriz de A P̂B)
então :
APO
dP, A = dP, B
BPO
CASO LAAo
LOGO : PA
PB
c.q.d.
 Se uma circunferência circunscreve um triângulo retângulo, os seu raio tem medida igual a
metade da medida da hipotenusa.
DEMONSTRAÇÃO:
36. Dar a posição de duas circunferências coplanares de raios r e R sendo d a distância entre
seus centros, nos casos abaixo:
a) r = 2 cm;
R = 5 cm
d = 10 cm
b) r = 5 cm;
R = 10 cm
d = 15 cm
c) r = 3 cm;
R = 7 cm
d = 4 cm
d) r = 6 cm;
R = 10 cm
d = 0 cm
e) r = 6 cm;
R = 10 cm
d = 10 cm
Tese:
a
2
R
m(CÂB)
90
CDB
2
então : CB
54
90
CDB
2R
180
CB
2
R
R
51
a
2
c.q.d.
 Se uma circunferência está inscrita em um triângulo retângulo, o seu raio tem medida igual à
semi-diferença entre a soma das medidas dos catetos e a medida da hipotenusa.
 Se um quadrilátero circunscreve uma circunferência as somas das medidas de seus pares de
lados opostos são iguais.
DEMONSTRAÇÃO:
DEMONSTRAÇÃO:
Tese:
a
c - a
2
Tese:
AB
BC
a b - r
2r
b
r
b
c - r
c - a
r
b
c - a
2
x
c.q.d.
y
x
y


AB
z
t
x
z
t


CD
t
y
x
t


AD
z
y
z


BC
c.q.d.
 Se um quadrilátero está inscrito em uma circunferência seus ângulos opostos são
suplementares.
DEMONSTRAÇÃO:
Tese:
ˆ
ˆ
BCD
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
52
ˆ
180
ˆ
e
BCD
2
360
2
DAB
2
DAB
2
ˆ
180
c.q.d.
ˆ
BCD
DAB
2
53
CD
AD
BC