Capı́tulo 1
Corpo rı́gido
Exercı́cio 1.1: A barra uniforme AB da figura 1.1 tem 4 m de comprimento e
pesa 100 kgf, podendo girar em torno do ponto fixo C que dista de A 2.5 m. A
barra está em repouso sobre o ponto A e um homem, pesando 75 kgf, caminha
sobre ela partindo de A. Calcule a distância máxima que o homem se pode afastar
de A e manter o equilı́brio. Represente graficamente a reacção no ponto A em
função da distância.
x
A
C
B
Figura 1.1: Exercı́cio 1.1.
Exercı́cio 1.2: O andaime representado na figura 1.2 é constituido por uma
barra homogénea, pesando 1000 N, suspensa de duas cordas.O pintor pesa 75 kgf
e o balde de tinta 7 kgf. Determine a distância máxima xmáximo a que o pintor
1m
2.5m
x
3m
2.5m
Figura 1.2: Exercı́cio 1.2.
se pode afastar do centro da barra, para a direita, sem que aconteça um acidente!
1
Corpo rı́gido
Represente num gráfico as tensões nas cordas em função da distância x.
Exercı́cio 1.3: O letreiro de uma pousada pesa 40 Kg e está colocado como se
mostra na figura 1.3. A barra que o suporta pesa 20 Kg e o sistema é mantido por
um cabo que não pode submeter-se a uma tensão superior a 1200 N.
B
α
A
POUSADA
75cm
75cm
Figura 1.3: Exercı́cio 1.3.
a) Qual é a distância mı́nima possı́vel entre os pontos A e B?
b) Qual é, nestas condições, o módulo e a direcção da força exercida sobre a
barra suporte no ponto A?
Exercı́cio 1.4: Uma haste homogénea de ferro encontra-se apoiada num degrau
formando um ângulo de 30◦ com a vertical. Sendo o comprimento da haste 40 cm,
a sua massa 400 g e a altura do degrau 30 cm, determine o valor da força de atrito
no ponto B (da figura 1.4) em que a extremidade da haste se apoia na superfı́cie
horizontal, sabendo que é nulo o atrito no ponto A em que a haste se apoia na
esquina do degrau.
A
30º
B
Figura 1.4: Exercı́cio 1.4.
2
Corpo rı́gido
Exercı́cio 1.5: Uma escada de 2.5 m de comprimento encontra-se encostada
a uma parede vertical. O coeficiente de atrito entre a escada e a parede é nulo,
mas é de 0.6 o coeficiente de atrito entre a escada e o solo (horizontal). O centro
de gravidade da escada encontra-se deslocada por faltarem alguns degraus. Represente as forças que actuam sobre a escada e determine a posição do centro de
gravidade sabendo que a escada escorrega se a distância entre a parede e o ponto
de apoio sobre o solo for superior a 1.5 m.
Exercı́cio 1.6: Considere o sistema esquematizado na figura 1.5, constituı́do
por:
a) uma corda fixa no ponto C da parede vertical CA;
b) um objecto com massa 100 kg suspenso da referida corda;
c) uma base AB munida na extremidade B de uma roldana por onde passa
a corda descrita previamente. Sabendo que AC = 50 cm, BC = 40 cm,
AB = 30 cm, que o sistema está em equilı́brio e que a extremidade A da
haste, apoiada na parede, está revistida de borracha a fim de evitar que
escorregue, determine a massa da haste AB e a força de atrito exercida pela
haste sobre a parede.
C
B
m
A
Figura 1.5: Exercı́cio 1.6.
Exercı́cio 1.7: A barra da figura 1.6 é homogénea, tem um comprimento de 2 m
e o coeficiente de atrito estático entre ela e a parede vertical é de 1.2. O corpo
suspenso na roldana tem um peso de 50 N. A corda, depois de passar pelas roldanas
está presa à parede segundo a horizontal . A massa da roldana é desprezável.
3
Corpo rı́gido
Figura 1.6: Exercı́cio 1.7.
a) Representar as forças que actuam na barra.
b) Sabendo que a barra está no limiar de escorregar, determine o peso da barra.
c) Quanto vale o ângulo α nas condições da alı́nea anterior?
Exercı́cio 1.8: Uma haste AB, de massa 20 g, está presa em A por um eixo
horizontal numa direcção perpendicular ao plano da figura 1.7. A extremidade B
está suspensa por um fio que passa por uma roldana C e tem suspenso na outra
extremidade uma esfera com 30 g de massa. Esta esfera está apoiada com atrito na
face inclinada do bloco D que se encontra colocado sobre um superfı́cie horizontal.
O sistema está em equilı́brio com o fio na vertical dum e doutro lado da roldana.
Determine a tensão no fio e o valor da força de atrito entre o bloco D e a superfı́cie
em que se apoia.
C
B
D
A
Figura 1.7: Exercı́cio 1.8.
4
Corpo rı́gido
Exercı́cio 1.9: Uma barra homogénea de comprimento l e massa M roda em
torno dum eixo O horizontal que atravessa uma das extremidade e é perpendicular
à barra. Presa à extremidade livre da barra e passando por uma roldana R colocada
na perpendicular à extremidade atravessada pelo eixo O, a uma distância igual ao
comprimento l da barra, existe uma corda, da qual se encontra suspenso um objecto
de massa m. A barra fica em equilı́brio numa posição que forma um ângulo θ com
a vertical (ver figura 1.8). Relacione m, M e θ e mostre que m < M . Qual o valor
de m/M se θ = 60◦ ?
R
M
m
l
l
O
Figura 1.8: Exercı́cio 1.9.
Exercı́cio 1.10: Calcule o momento de inércia do sistema formado por três
partı́culas de massa 2 kg dispostas nos vértices de um triângulo isósceles com
20 cm de altura e 15 cm de base, em relação:
a) ao eixo de simetria, no plano do triângulo, que passa pela vértice superior;
b) ao eixo perpendicular ao triângulo, passando pelo seu centro de massa.
Exercı́cio 1.11: Um disco homogéneo de massa M e raio R, inicialmente em
repouso, roda sem escorregar num plano inclinado de inclinação θ. Sabendo que
ele parte do repouso de uma altura h, calcule a velocidade linear do centro de
massa do disco quando atinge a base do plano?
Exercı́cio 1.12: Considere um cilindro homogénio de 80 g de massa, em torno
do qual está enrolado um fio com 60 cm de comprimento.
a) Se se deixar cair o cilindro verticalmente, mantendo fixa a extremidade livre
do fio, determinar a velocidade do seu centro de massa quando ele alcança
a outra extremidade do fio.
5
Corpo rı́gido
b) Na situação anterior, qual é a tensão no fio?
Exercı́cio 1.13: A roldana homogénia representada na figura 1.9 tem 0.5 m de
raio e 25 kg de massa e pode girar em torno do seu eixo horizontal. O fio enrolado
na roldana tem, na sua extremidade livre, uma massa de 10 kg. Calcule:
a) a aceleração angular da roldana;
b) a aceleração linear do corpo;
c) a tensão no fio.
Figura 1.9: Exercı́cio 1.13.
Exercı́cio 1.14: Determine a aceleração dos corpos representados na figura 1.10,
bem como as tensões do fio. Considere que o diâmetro da roldana, considerada
AB = 10cm
A
B
20kg
10kg
5kg
Figura 1.10: Exercı́cio 1.14.
homogénia, é igual a 10 cm.
6
Corpo rı́gido
Exercı́cio 1.15: A figura 1.11 representa uma roldana homogénia de raio R e
massa mc que pode rodar livremente. O bloco B está inicialmente em repouso à
distância h da base e o bloco A desliza sem atrito sobre a superfı́cie horizontal.
Qual a velocidade do bloco B quando atinge a base?
A
B
h
Figura 1.11: Exercı́cio 1.15.
Exercı́cio 1.16: Um fio é enrolado no iô-iô da figura 1.12 de massa m e momento
de inércia I = 12 mR2 , que desliza sem atrito. Exercendo uma força F sobre o fio,
calcule:
a) o sentido do movimento;
b) a aceleração do cilindro;
c) a aceleração do fio.
r
R
F
Figura 1.12: Exercı́cio 1.16.
Exercı́cio 1.17: Repita o problema 16 considerando que o atrito entre o cilindro
7
Corpo rı́gido
e a superfı́cie é tal que o força a rolar sem escorregar. Calcule também o coeficiente
de atrito estático mı́nimo para que isso aconteça.
Exercı́cio 1.18: Repita o problema 17 para o cilindro representado na figura
1.13 sabendo que o fio tem sempre a direcção vertical.
F
r
R
Figura 1.13: Exercı́cio 1.18.
Exercı́cio 1.19: No sistema representado na figura 1.14 a roldana tem massa
desprezável e roda sem atrito. O corpo de massa M é um cilindro homogénio de
raio r, no qual está enrolado o fio, que roda sem atrito. Calcule:
a) a aceleração linear de m;
b) a aceleração angular do cilindro M ;
c) a tensão no fio.
M
r
m
Figura 1.14: Exercı́cio 1.19.
8
Corpo rı́gido
1.1
Soluções de corpo rı́gido
Solução 1.1: x = 3.16 m.
Solução 1.2: xmáximo = 3.73 m.
Solução 1.3:
a) dmı́nimo = 0.518 m.
~
b) R
= 117 kgf; α = 9.8◦ .
Solução 1.4:
~ Fa = 100 gf.
Solução 1.5: O centro de massa está a 2 m da base da escada.
Solução 1.6: mh = 50 kg; F~a = 70 kgf.
Solução 1.7:
a) Diagrama.
b) Pbarra = 5 N.
c) α = 47.7.
Solução 1.8:
~
~ T = 10 gf; F
a = 0 gf.
Solução 1.9: m/M = 1/2.
Solução 1.10:
a) Is = 0.0225 kg m2 .
b) Is = 0.0758 kg m2 .
Solução 1.11: |~v | =
È
4
3 gh.
9
Corpo rı́gido
Solução 1.12:
a) |~v | = 2.8 m/s.
b) T~ = 0.261 N.
Solução 1.13:
a) |~
α| = 8.71 rad/s2 .
b) |~a| = 4.36 m/s2 .
c) T~ = 54.4 N.
Solução 1.14: |~a| = 1.96 m/s2 ; T~10kg = 78.4 N, T~5kg = 58.8 N.
Solução 1.15: vB =
q
2mB gh
mA +mB +mc /2 .
Solução 1.16:
a) Na direcção e sentido da força.
b) ac =
F
m.
c) af =
F
m (1
+
2r2
).
R2
Solução 1.17:
a) Na direcção e sentido da força.
b) ac =
2F (1−r/R)
.
3m
c) af =
2F (1−r/R)2
.
3m
µe >=
10
F (1+2r/R)
3mg
Corpo rı́gido
Solução 1.18:
a) Para a direita.
2 rF
3 Rm .
b) ac =
c) a~f = ac (ı̂ +
µe >=
r
R ̂).
2 rF
3 R
mg−F
Solução 1.19:
a) a =
3mg
3m+M .
b) α =
2mg
(3m+M )r .
c) T =
mM g
3m+M .
11
Corpo rı́gido
12
Capı́tulo 2
Ondas
Exercı́cio 2.1: As bóias de dois pescadores estão num lago à distância de 21 cm
uma da outra. Uma perturbação, num ponto da recta que une as duas bóias (mas
não entre elas), provoca nestas um movimento em que executam 20 oscilações por
minuto. Num determinado instante, uma bóia está sobre uma ”crista”e a outra
está num ”vale”, havendo uma ”crista”entre elas. Qual a velocidade de propagação
das ondas?
Exercı́cio 2.2: Estando as frequências dos sons compreendidas entre 16 Hz e
16 kHz, qual o correspondente intervalo de comprimentos de onda, sabendo que a
velocidade do som no ar é de 340 m/s
Exercı́cio 2.3: Uma onda propaga-se de acordo com a seguinte equação:
s = 3 sin(100πt − 8πx)
(S.I.)
a) Calcular:
a) a velocidade de propagação da onda;
b) o comprimento de onda;
c) a frequência;
d) o perı́odo.
b) Ao fim de quanto tempo começará a vibrar uma partı́cula que esteja:
a) a 25 cm da fonte?
b) a 50 cm da fonte?
c) a 10 cm da fonte?
Exercı́cio 2.4: A partir da equação de onda s = A sin
distância à origem O, dos pontos do meio que vibram
13

2πt
T
−
2πx
λ

, calcule a
Ondas
a) em fase com O;
b) em oposição de fase com O.
Exercı́cio 2.5: Um movimento harmónico simples, de amplitude 6 dm e frequência
2 Hz, propaga-se com a velocidade de 4 m/s num espaço a uma dimensão. Considere t = 0 o instante em que a origem do abalo se encontra na posição de
equilı́brio.
a) Escreva a equação de onda no SI.
b) Represente graficamente as elongações das partı́culas do meio vibrante, em
função das suas distâncias x à origem:
a) no instante t = 0,25 s (meio perı́odo);
b) no instante t = 0,50 s (um perı́odo).
Exercı́cio 2.6: Considere uma onda transversal propagando-se com uma velocidade v = 2 m/s, uma amplitude de 0.1 m e uma frequência angular de 0.2 rad/s
no sentido positivo do eixo dos XX.
a) Calcule o perı́odo e o comprimento de onda.
b) Escreva a equação de propagação de onda, sabendo que a partı́cula de coordenada x = 0 se encontra na posição y = 0.05 m no instante t = 0 s,
movendo-se no sentido negativo do eixo dos Y Y .
c) Considere 5 pontos cujas posições distem entre si 1/6 do comprimento de
onda, e marque as suas posições no instante t = 1 s.
d) Marque as posições que o ponto intermédio ocupa sucessivamente em instantes intervalados de 1/6 do perı́odo.
Exercı́cio 2.7: Uma onda transversal propagando-se ao longo de uma corda
com a direcção do eixo dos XX, produz na partı́cula A da corda, situada no ponto
x = 0, um movimento vibratório traduzido pela equação y(t) = 0.1 cos (4πt) com
y em metros e t em segundos.
Verifica-se que uma outra partı́cula B que se encontra no ponto x = 0.5 m executa
um movimento vibratório com a mesma amplitude e frequência, mas adiantado
relativamente ao primeiro de π/2 rad.
a) Indique, justificando, o sentido de propagação da onda ao longo do eixo.
14
Ondas
b) Esboce um gráfico que mostre as variações das elongações de A e de B em
função do tempo.
c) Determine a velocidade de propagação da onda e escreva a sua equação de
propagação.
Exercı́cio 2.8: Ao longo do eixo dos XX propaga-se
uma onda transversal

cuja equação de propagação é y1 (x, t) = 2 × 10−3 cos 20πt − 2π
3 x , (SI). Ao ponto
x = 2 m chega simultaneamente uma outra onda propagando-se na mesma direcção
e sentido, e que, na ausência da primeira onda, imprimiria a este ponto
 um movi
−3
mento harmónico simples traduzido pela equação y2 (t) = 2 × 10 cos 20πt + π4 ,
(SI) . Determine:
a) a velocidade de propagação da primeira onda;
b) a equação do movimento harmónico simples que o ponto x = 2 m executaria
se só a primeira onda se propagasse;
c) a amplitude, frequência e fase do movimento desse ponto, resultante da
sobreposição das duas ondas.
Exercı́cio 2.9: Três partı́culas A, B e C, dispostas em linha recta nas posições
indicadas na figura 2.1, estão inicialmente em repouso. Num dado instante, a
partı́cula C começa a descrever um movimento harmónico simples numa direcção
perpendicular à linha ABC, de amplitude igual a 3 cm, deslocando-se para cima.
Dois segundos depois, B entra também em vibração. A começa a vibrar no mesmo
instante em que C volta a passar, pela primeira vez, na posição de equilı́brio.
Admita que A, B e C são três pontos de uma corda por onde se propaga uma onda
transversal.
a) Qual a velocidade e sentido de propagação da onda?
b) Em que instante iniciou A o seu movimento?
c) Qual a frequência angular e o comprimento de onda?
d) Escreva a equação de propagação, considerando t = 0 quando C começou a
vibrar.
e) Escreva a equação do movimento harmónico simples executado por B.
Exercı́cio 2.10: Considerar a onda que se propaga segundo a equação:

s = 10 sin 40πt +
π πx
−
6
4

(S.I.)
15
Ondas
Y
2a
A
a
B
C
X
Figura 2.1: Exercı́cio 2.9.
a) Calcular as elongações, para t=0 s, das seguintes partı́culas:
a) Fonte (x=0 m);
b) partı́cula na posição x=0,2 m;
c) partı́cula na posição x=0,4 m;
b) Relativamente à partı́cula que se encontra na posiçãoo x = 0,2 m, quais as
suas elongações nos instantes t = 0 e t = 0,02 s?
c) Descrever a equação das velocidades das oscilações em função do tempo.
Que velocidade máxima têm as partı́culas?
d) Qual a velocidade de propagação da onda?
Exercı́cio 2.11: Uma onda progressiva, de frequência 300 Hz, reflecte-se numa
parede. Como consequência, originam-se ondas estacionárias de tal forma que dois
nodos consecutivos distam entre si de 0,40 m. Qual é a velocidade de propagação
da onda?
16
Ondas
2.1
Soluções de Ondas
Solução 2.1: c = 4, 7 m/s.
Solução 2.2: λ estará entre 2,1 cm e 21 m.
Solução 2.3:
a)
a) 12 m/s;
b) 0,25 m;
c) 50 Hz;
d) 0,020 s.
b)
a) 0,020 s;
b) 0,040 s;
c) 0,0080 s.
Solução 2.4:
a) nλ (n=1,2,3,...);
b) (n − 1/2)λ (n=1,2,3,...).
Solução 2.5: s = 0, 6 sin(4πt − πx) (SI).
Solução 2.6:
a) T = 31.4 s; λ = 62.8 m.
b) y(t) = 0.1 sin(0.2t − 0.1x +
5π
6 )
(SI).
Solução 2.7:
a) Sentido negativo.
b) yB (t) = 0.1 cos(4πt + π2 ) (SI).
c) v = 4 m/s; y(x, t) = 0.1 cos(4πt + πx) (SI).
17
Ondas
Solução 2.8:
a) v = 30 m/s.
b) y1 (2, t) = 2 × 10−3 cos(20πt −
4π
3 )
(SI).
c) A = 3.17 × 10−3 m; ω = 20π rad/s; ϕ = 1.44 rad;
y(t) = 3.17 × 10−3 cos(20πt + 1.44) (SI).
Solução 2.9:
a) v =
a
2
no sentido negativo do eixo OX.
b) t = 6 s.
c) w =
π
6
rad/s; λ = 6a.
d) y(x, t) = 3 × 10−2 sin

e) y(−a, t) = 3 × 10−2 sin
π
6t

+
π
6t

π
3a x
−
π
3

(SI).
(SI) para t ≥ 2 s.
Solução 2.10:
a)
a) 5, 0 m;
b) 3, 6 m;
c) 2, 1 m;
b) 3, 6 m e 2, 6 m;
c) v = 4 × 102 π cos(40πt + π/6 − πx/4) m/s;
vmax = 1, 3 × 103 m/s;
d) 160 m/s.
Solução 2.11: c = 2, 4 × 102 m/s.
18
Capı́tulo 3
Hidrostática e Hidrodinâmica
Exercı́cio 3.1: Calcule o valor de 1 atmosfera (76 cmHg) em unidades do Sistema
Internacional.
ρHg = 13.6 g/cm3 .
Exercı́cio 3.2: Calcule a massa de uma esfera de cobre de raio 2 cm, sendo que
ρcobre = 8.96 × 103 kg/m3 em condições normais de pressão e temperatura.
Exercı́cio 3.3: Um pequeno frasco utilizado para medir densidades de lı́quidos
(denominado picnómetro) tem uma massa de 22.71 g. Quando o frasco está cheio
de água, a massa total do frasco e da água é 153.38 g e, quando está cheio de
leite, a massa total é 157.67 g. Calcule a densidade do leite sabendo que ρágua =
1.0 g/cm3 .
Exercı́cio 3.4: Um balão de 60 ml está cheio de mercúrio a 0 ◦ C. Quando a temperatura sobre para 80 ◦ C, transbordam do balão 1.47 g de mercúrio. Admitindo
que o volume do balão permanece constante, calcule a densidade do mercúrio a
80 ◦ C, sabendo que a densidade a 0 ◦ C é 13.645 × 103 kg/m3 .
Exercı́cio 3.5: Um prego é espetado verticalmente num pedaço de madeira,
aplicando-se uma força de 15 N na sua cabeça. O raio da cabeça do prego é de
5 mm e o da ponta é de 0.1 mm. Qual é a pressão aplicada na cabeça do prego?
Qual é a pressão exercida na madeira?
19
Hidrostática e Hidrodinâmica
Exercı́cio 3.6: Para o recipiente da figura 3.1, e sabendo que ρlı́quido = 2.0 g/cm3 ,
determine a pressão e o valor da força de pressão no ponto A, fundo do recipiente.
A
Figura 3.1: Exercı́cio 3.6.
Exercı́cio 3.7: Determine a pressão a que fica sujeito um peixe que se encontra
150 m abaixo da superfı́cie do mar.
ρáguamar = 1.026 g/cm3 .
Exercı́cio 3.8: As áreas do êmbolo A e da base do cilindro B do sistema esquematizado na figura 3.2 são, respectivamente, 40 cm2 e 400 cm2 . O cilindro
B tem 40 kg de massa. O sistema está cheio de óleo com uma densidade de
0.75 g/cm3 . Determine o valor da força que se deve exercer no cilindro A de modo
a manter o equilı́brio. Considere que o êmbolo A tem massa desprezável.
A
B
Figura 3.2: Exercı́cio 3.8.
20
Hidrostática e Hidrodinâmica
Exercı́cio 3.9: No sistema representado na figura 3.3, o lı́quido mais denso tem
densidade 1.2 g/cm3 . Determine:
a) a desidade do outro lı́quido;
b) a diferença de pressão entre os pontos A e B, sabendo que A se situa a 5 cm
da superfı́cie livre do lı́quido.
A
B
Figura 3.3: Exercı́cio 3.9.
Exercı́cio 3.10: Calcule a composição de uma liga de cobre e ouro que pesa
2.50 N no ar e 2.35 N na água.
ρcobre = 8.96 × 103 kg/m3 , ρouro = 19.3 × 103 kg/m3 .
Exercı́cio 3.11: O sistema representado na figura 3.4 está em equilı́brio. Os
corpos A e B têm massas de 5.0 kg e 50 g, respectivamente. As áreas das secções
S1 e S2 da prensa são, respectivamente, 500 cm2 e 25 cm2 . Calcule o valor do
volume do corpo B, desprezando o peso da alavanca e os atritos.
S
A
S
B
água
B
Figura 3.4: Exercı́cio 3.11.
21
Hidrostática e Hidrodinâmica
Exercı́cio 3.12: Um bloco de um material com densidade ρ0 tem um peso P0 no
ar. Quando este bloco, com uma cavidade interior oca, é mergulhado num lı́quido
de densidade ρ, o seu peso passa a ser P . Determine o volume da cavidade.
Exercı́cio 3.13: A crosta terrestre possui normalmente uma espessura de 33 km
e a sua densidade é de ρc = 2800 kg/m3 . A densidade do manto é de ρm =
3300 kg/m3 . A altura média dos Himalaias é de 7 km. Qual é a espessura prevista
para a crosta sob os Himalaias se o modelo isostático explicar completamente o
suporte da montanha? (A espessura da crosta sob os Himalaias é 55 km).
Exercı́cio 3.14: Um lı́quido, de densidade 0.8 g/cm3 e de viscosidade desprezável, percorre o sistema da figura 3.5 com um fluxo de 200 ml/minuto. Qual
é a diferença de pressão entre A e B.
A
B
Figura 3.5: Exercı́cio 3.14.
Exercı́cio 3.15: Considere que a conduta da figura 3.6 é percorrida por água que
para o caso pode ser considerada um fluı́do perfeito. Sabendo que SA = 25 cm2 ,
SB = 16 cm2 e Q = 20 litros em 5 segundos , calcule:
A
B
HO
Hg
Figura 3.6: Exercı́cio 3.15.
a) as velocidades de deslocamento da água em A e B;
b) a diferença de pressão entre as duas secções;
c) o desnı́vel de mercúrio no tubo em V, de secção 1 cm2 .
22
Hidrostática e Hidrodinâmica
Exercı́cio 3.16: Com os dados da figura 3.7, calcule:
a) a velocidade de saı́da da água através do tubo;
b) a pressão no ponto B;
c) o caudal de escoamento.
500 cm
A
B
C
Figura 3.7: Exercı́cio 3.16.
Exercı́cio 3.17: Um tanque de secção recta muito grande possui dois pequenos
orifı́cios, conforme indicado na figura 3.8. Calcule a altura do nı́vel inicial h em
função de h1 e h2 , sabendo que a água que sai dos dois orifı́cios atinge o solo no
mesmo ponto.
Figura 3.8: Exercı́cio 3.17.
23
Hidrostática e Hidrodinâmica
Exercı́cio 3.18: Um sifão é um dispositivo usado para remover lı́quidos de um
recipiente que não pode ser tombado, conforme se mostra na figura 3.9. O tubo
AC de secção recta uniforme deve ser inicialmente cheio, permitindo em seguida
escoar o lı́quido do recipiente, até que o seu nı́vel fique abaixo da abertura do tubo
em A. O lı́quido tem densidade ρ e viscosidade desprezável. Calcule:
a) a velocidade com que o lı́quido sai do tubo em C;
b) a pressão do lı́quido no ponto mais alto B;
c) a maior altura possı́vel h1 a que um sifão pode fazer subir a água. Note que
o lı́quido deixa de subir quando a pressão em B for igual à pressão de vapor
do lı́quido, no caso da água, ρva = 0.1 atm.
B
A
C
Figura 3.9: Exercı́cio 3.18.
Exercı́cio 3.19: Cada asa de um pequeno avião tem uma área de 9.3 m2 . Quando
voa horizontalmente a uma certa velocidade, o ar escoa sobre a superfı́cie superior
da asa à velocidade de 49 m/s e sobre a superfı́cie inferior de 40 m/s. Calcule o
peso do avião, considerando a densidade do ar igual a 1.2 kg/m3 .
24
Hidrostática e Hidrodinâmica
3.1
Soluções de hidrostática e hidrodinâmica
Solução 3.1: 1.013 × 105 Pa.
Solução 3.2: 0.3 kg.
Solução 3.3: ρleite = 1.03 g/cm3 .
Solução 3.4: ρ80 = 13.62 × 103 kg/m3 .
Solução 3.5: P5 = 1.9 × 105 Pa; P01 = 4.77 × 108 Pa.
Solução 3.6: PA = 1.2 × 105 Pa; FA = 3.7 × 103 N.
Solução 3.7: 1.61 × 106 Pa.
Solução 3.8: 78.4 N para cima.
Solução 3.9:
a) 0.8 g/cm3 .
b) PB − PA = 196 Pa.
Solução 3.10: 14 % da massa total é de cobre e 86 % é de ouro.
Solução 3.11: 18.8 cm3 .
Solução 3.12: VC =
P0
g

1
ρ
−
1
ρ0

−
P
ρg .
Solução 3.13: 79.2 km
Solução 3.14: PA − PB = 2.8 × 10−3 Pa.
25
Hidrostática e Hidrodinâmica
Solução 3.15:
a) vA = 1.6 m/s; vB = 2.5 m/s.
b) PA − PB = 1.845 × 103 Pa.
c) 1.38 cm.
Solução 3.16:
a) 9.9 m/s.
b) 8.2 × 104 Pa.
c) 4.95 l/s.
Solução 3.17: h = h1 + h2 .
Solução 3.18:
a)
È
2g(d + h2 ).
b) patm − ρg(h1 + h2 + d).
c) 9.3 m.
Solução 3.19: 8939 N.
26
Capı́tulo 4
Termodinâmica
Exercı́cio 4.1: Um cilindro horizontal termicamente isolado, fechado em ambas
as extremidades, está equipado com um pistão condutor de calor e sem atrito que
divide o volume em dois compartimentos estanques diferentes. Inicialmente, o
pistão está imobilizado de maneira que o compartimento à sua esquerda tem um
volume V0 e o compartimento à sua direita um volume 3V0 . O compartimento da
esquerda contém um gás perfeito monoatómico à temperatura T0 e à pressão 2P0 .
O compartimento da direita contém o mesmo gás à temperatura T0 e à pressão
P0 . O pistão é então solto.
a) Quais são as temperaturas e pressões em cada um dos compartimentos no
novo equilı́brio?
b) Quais são so volumes?
c) Descreva os processos que levam o pistão ao repouso.
Exercı́cio 4.2: Um tanque vertical cilı́ndrico, de altura superior a 76 cm, tem
o extremo superior fechado por um pistão sem atrito, perfeitamente ajustado e de
peso desprezável. Dentro do cilindro, a pressão absoluta do ar é 1 atm. Faz-se o
pistão descer vertendo lentamente mercúrio sobre ele, de modo que a temperatura
do ar seja mantida constante. Qual é a altura da coluna de ar quando o mercúrio
começa a derramar-se pela parte superior do cilindro?
Exercı́cio 4.3: Derrama-se mercúrio na extremidade aberta de um tubo em
forma de J com 1 cm2 de secção, que é fechado na extremidade mais curta, ficando
o ar aı́ preso. Supondo que o ar se comporta como um gás perfeito, que quantidade de mercúrio pode ser introduzida no tubo antes que este transborde? Os
27
Termodinâmica
comprimentos dos ramos longo e curto do tubo são, respectivamente, 1 m e 50 cm,
e podem ser desprezados os efeitos da curvatura do fundo. Admita que a pressão
atmosférica é 75 cm Hg.
Exercı́cio 4.4: Duas ampolas contendo ar, uma das quais com um volume três
vezes superior ao da outra, estão ligadas por um capilar de volume desprezável. Inicialmente, as ampolas estão à mesma temperatura. A que temperatura é necessário
aquecer o ar na ampola maior para que a pressão duplique? Despreze a condução
de calor através do capilar.
Exercı́cio 4.5: Um cilindro com 2.4 m de altura está preenchido com 0.1 mol de
um gás ideal nas condições normais de pressão e temperatura. O topo do cilindro é
então fechado com um pistão hermético cuja massa é 1.4 kg, sendo o pistão largado
até ficar em equilı́brio (ver figura 4.1).
a) Determine a altura a que fica o pistão, admitindo que a temperatura do gás
não se altera, à medida que este vai sendo comprimido.
b) Suponha que o pistão é empurrado um pouco para baixo da sua posição de
equilı́brio sendo largado de seguida. Partindo do princı́pio que a temperatura
do gás se mantém constante, determine a frequência de vibração do pistão.
Figura 4.1: Exercı́cio 4.5.
Exercı́cio 4.6: Determine como
varia a temperatura de um gás ideal ao sofrer
√
um processo durante o qual P V se mantém constante e o volume do gás diminui.
28
Termodinâmica
Exercı́cio 4.7: Para o CO2 , as constante da equação de estado de Van de Waals,
são a = 0.37 Nm4 /mol2 e b = 43 cm3 /mol, respectivamente. Calcule a pressão
a 0◦ C a que se encontra uma mole de CO2 que ocupa um volume de 55 l e um
volume de 0.55 l, respectivamente, usando a equação de estado de Van de Waals e
a de um gás ideal e interprete os resultados obtidos.
Exercı́cio 4.8: Um bloco de metal de 50 g é mantido durante algum tempo em
água a ferver. Seguidamente, o bloco é mergulhado num calorı́metro de cobre de
massa 100 g que contém 200 g de água a 20◦ C. A temperatura de equilı́brio é 22◦ C.
Qual o calor especı́fico do metal? (Calor especı́fico do cobre cp = 0.386 J/g/K).
Exercı́cio 4.9: Um bloco de cobre com 75 g de massa é retirado de um forno e
mergulhado num recipiente de alumı́nio com 300 g de massa que contém 200 g de
água. A temperatura da água sobe de 12◦ C para 27◦ C. Qual é a temperatura a que
o forno se encontrava? Assuma que o bloco de cobre estava em equilı́brio térmico
com o forno antes de ser retirado. (cp (cobre) = 0.386 J/g/K; cp (alumı́nio) =
0.900 J/g/K).
Exercı́cio 4.10: A temperaturas muito baixas, o calor especı́fico de um metal
é dado por c = aT + bT 3 . No caso do cobre, a = 0.0108 J/kg.K2 e b = 7.62 ×
10−4 J/kg.K4 .
a) Determine o calor especı́fico do cobre a 4 K.
b) Calcule a energia que é necessário fornecer para elevar a temperatura de
2.5 kg de cobre de 1 K para 3 K.
29
Termodinâmica
Exercı́cio 4.11: A figura 4.2 representa um diagrama de fase para a água. Que
transições de fase se observam se fizermos o sistema evoluir segundo os percursos
A, B e C indicados com setas na figura?
PRESSÃO
p
LIQ.
4
SOL.
2
C
B
3
5
1
GÁS
A
TEMPERATURA T
Figura 4.2: Exercı́cio 4.11.
Exercı́cio 4.12:
a) Qual a energia libertada por uma mole de vapor de água quando a sua
temperatura baixa de 180◦ C para 100◦ C, se o arrefecimento se verificar a
pressão constante?
b) Qual a energia libertada por essa mesma quantidade de água se se condensar
totalmente, mantendo-se a temperatura de 100◦ C e à pressão atmosférica
normal?
c) Qual a quantidade de energia que se liberta se a temperatura da água baixar
de 100◦ C para 30◦ C?
d) Com base nos cálculos efecutados (30◦ C é a temperatura aproximada da
superfı́cie da pele) explique porque é que uma queimadura com vapor de água
a 100◦ C é mais grave do que uma queimadura com agua a ferver a 100◦ C?
(Calor latente de vaporização da água λv = 2.25 kJ/g; calor especı́fico do
vapor de água a volume constante cv = 3R, considerando o vapor de água
como um gás perfeito).
30
Termodinâmica
Exercı́cio 4.13: Qual a energia que é necessário fornecer a 18 g de gelo que se
encontra à temperatura de −50◦ C para que este atinja a temperatura de fusão
(Tf = 0◦ C se P = 1 atm). Qual é a energia que é necessário fornecer a essa
massa de gelo a 0◦ C para o fundir se a temperatura final da água for 0◦ C. (Calor
especı́fico do gelo a pressão constante cp = 0.5 cal/g.◦ C; calor latente de fusão do
gelo λf = 80 cal/g).
Exercı́cio 4.14: A figura 4.3 representa o gráfico da temperatura de uma
amostra de 1 kg de água em função do tempo, num experiência em que esta é
aquecida uniformemente. A fonte de calor utilizada tem um débito constante de
3 kW. A quanto tempo correspondem os patamares A e B? (Calor de fusão do gelo
λf = 333 kJ/kg; calor de vaporização da água λv = 2255 kJ/kg).
TEMP.
( C)
TEMPO (s)
Figura 4.3: Exercı́cio 4.14.
Exercı́cio 4.15: A capacidade calorı́fica, a volume constante, de um certa massa
de gás monoatómico é igual a 50 J/K. Determine o número de moles de gás e a
capacidade calorı́fica a pressão constante dessa massa de gás.
Exercı́cio 4.16: Calcule o trabalho realizado por uma mole de gás durante uma
expansão isotérmica quase estática de um volume inicial vi até ao volume final vf ,
quando a equação de estado for:
a) P (v − b) = RT , com R e b constantes;
31
Termodinâmica

b) P v = RT 1 −
B
v

, com R constante e B = f (T ).
Exercı́cio 4.17: A figura 4.4 representa um ciclo descrito por um gás perfeito.
A temperatura do gás no estado A é de 300 K.
a) Calcule a temperatura do gás nos estados B, C e D.
b) Calcule o trabalho realizado pelo sistema termodinâmico que realiza o ciclo
representado.
c) Qual o calor fornecido ao gás perfeito ao longo do ciclo?
d) Represente o ciclo num diagrama (P, T ).
P (atm)
2
1
A
B
D
C
100
200
V (l)
Figura 4.4: Exercı́cio 4.17.
Exercı́cio 4.18: NA moles de um gás perfeito, no estado inicial A (pressão PA ,
volume VA , temperatura TA ), sofrem as seguintes transformações: i) compressão
isotérmica AB até se atingir um volume igual a metade do volume inicial; ii)
expansão isobárica BC, até se atingir um volume igual a VA ; iii) arrefecimento
CA a volume constante, até se atingir a temperatura inicial TA .
a) Determine o valor das três variáveis de estado P , V e T , no estado final de
cada transformação, em função de PA , VA e TA , respectivamente.
b) Represente a evolução temporal sofrida pelo ar num diagrama (P, V ).
c) Calcule o trabalho realizado sobre o gás, durante o ciclo, em função de PA
e VA .
32
Termodinâmica
Exercı́cio 4.19: Durante uma expansão adiabática quase estática de um gás
perfeito, a pressão é dada, em qualquer instante, por P V γ = K, onde γ e K
são constantes. Demonstre que o trabalho realizado pelo gás na expansão de um
P V −P V
estado (Pi , Vi ) até um estado (Pf , Vf ) é igual a W = i iγ−1f f . Se a pressão e
o volume iniciais forem 10 atm e 1 l, respectivamente, e os valores finais 2 atm e
3.16 l, qual o trabalho realizado por um gás em que γ = 1.4?
Exercı́cio 4.20: Duas moles de um gás diatómico ideal são comprimidas isotermicamente de 18 l até 8 l. Durante o processo, ocorre a transferência de 170 cal
do gás para o exterior.
a) Determine o trabalho realizado pelo gás e a variação da energia interna do
gás durante o processo, bem como as temperaturas inicial e final do gás.
b) Considere que a mesma quantidade de gás sofre a mesma redução de volume
neste caso adiabaticamente e que neste processo o trabalho realizado sobre
o gás é de 820 J. Determine a temperatura inicial e a pressão nos estados
incial e final.
c) Repita a alı́nea anterior para o caso de um gás monoatómico ideal.
Exercı́cio 4.21: Numa expansão isotérmica, um gás ideal, a uma pressão inicial
P0 , expande-se até que o seu volume duplica.
a) Determine a sua pressão após a expansão.
b) O gás é então comprimido, adiabaticamente e quase estaticamente, de volta
ao seu volume inicial, sendo nesse momento a pressão 1.32P0 . O gás será
monoatómico, diatómico ou poliatómico?
Exercı́cio 4.22: Uma mole de um gás monoatómico, inicialmente à temperatura
T , é submetido a um processo no qual a temperatura é quadriplicada e o volume
reduzido a metade. Determine o calor transferido para o gás, considerando que,
durante o processo, a pressão nunca foi inferior à pressão inicial e que o trabalho
realizado sobre o gás foi o mı́nimo possı́vel.
33
Termodinâmica
Exercı́cio 4.23: O diagrama apresentado na figura 4.5 representa o conjunto de
transformações sofridas por uma mole de um gás ideal. Na transformação BC o
gás é sujeito a uma transformação isotérmica e na transformação CA a variação
da energia interna do gás é igual a -3.0 kJ.
a) Caracterize o estado do gás em C.
b) Represente o conjunto das transformações num diagrama (V, T ).
c) Determine os valores do trabalho, calor e energia interna associados a cada
uma das transformações.
P (atm)
1
0
C
A
B
12
50
V (l)
Figura 4.5: Exercı́cio 4.23.
Exercı́cio 4.24: Calcule o acréscimo de entropia de um cubo de gelo de 1 cm de
aresta ao fundir-se à temperatura ambiente num dia de calor (30◦ C). Há alguma
diferença se for num dia frio? E se o cubo for fundido fornecendo-lhe apenas
trabalho (por exemplo, esfregando-o sobre a mesa)? Justifique. (Calor de fusão
do gelo λf = 80 cal/g; volume especı́fico do gelo a 0◦ C = 1.0907 cm3 /g).
Exercı́cio 4.25: Calcule o acréscimo de entropia ocasionado pela vaporização
de 1 cm3 de água à temperatura de 100◦ C. (Calor de vaporização da água λv =
540 cal/g).
Exercı́cio 4.26: Porque é que depois de nevar faz menos frio? Use dados dos
dois problemas anteriores para calcular a quantidade de calor libertada ao congelar
1 kg de água a 0◦ C. E ao condensar 1 kg de vapor a 100◦ C? Em cada um dos
casos a entropria da água aumenta ou diminui? E a do ambiente?
34
Termodinâmica
Exercı́cio 4.27: Se um esquimó pretendesse substituir o seu iglu por uma casa
de betão, que espessura deveriam ter as paredes para que a nova habitação tivesse
as mesmas caracterı́sticas térmicas do iglu? (Espessura das paredes do iglu: 20 cm;
condutibilidade térmica da neve compacta: 0.46 W/m.K; condutibilidade térmica
do betão: 1.28 W/m/K;).
Exercı́cio 4.28: Que potência deve ter um aquecedor para manter uma temperatura constante de 20◦ C numa sala com uma janela de 1 m2 de superfı́cie num
dia sem vento, em que a temperatura exterior é de 10◦ C? E se a temperatura
exterior for de 15◦ C e quisermos manter o quarto a 25◦ C? Despreze as perdas
de calor pelas paredes e pela porta da sala. (Condutibilidade térmica do vidro:
0.8 W/m.K; espessura do vidro da janela: 2 mm).
Exercı́cio 4.29:
a) O espectro da radiação solar tem um máximo para o comprimento de onda
de 483 nm. Admitindo que a radiação do Sol tem as mesmas caracterı́sticas
que a emitida por um corpo negro, qual a temperatura do sol?
b) Num dia de bom tempo, em que a temperatura da superfı́cie da Terra seja
de 300 K, qual o comprimento de onda da radiação mais intensa emititda,
na aproximação de que a superfı́cie terrestre se comporta como um corpo
negro?
c) Durante a noite, a temperatura que corresponde à radiação mais intensa
emitida pelas estrelas na nossa região da galáxia onde a Terra se encontra é
muito baixa, embora superior a 3 K. Porque é que a superfı́cie da Terra não
iluminada pelo Sol durante a noite não tende a ficar a essa temperatura?
Exercı́cio 4.30: Num quarto a cerca de 29◦ C, a temperatura da superfı́cie da
pele de uma pessoa (cerca de 1.5 m2 ), sem roupa e em repouso, é de 33◦ C. A
emissividade para as frequências na região do espectro visı́vel varia com a cor da
pele. No entanto, para a radiação emitida de maior intensidade (infravermelhos
de grande comprimento de onda) tem-se e ' 1 (corpo negro).
a) Calcule a potência perdida por radiação. Note que a pessoa perde calor por
radiação à temperatura do corpo mas absorve radiação ambiente à temperatura do quarto.
b) Sabendo que a perda de calor por condução é desprezável e que a perda
por convecção nestas condições é de cerca de 50% do total, quantas calorias
tem a pessoa que ingerir por dia só para assegurar o seu metabolismo nestas
condições?
35
Termodinâmica
4.1
Soluções de termodinâmica
Solução 4.1:
a) T0 ; 5P0 /4.
b) Ve = 8V0 /5; Vd = 12V0 /5.
Solução 4.2: 76 cm.
Solução 4.3: 125 cm3 .
Solução 4.4: 3T0 .
Solução 4.5:
a) 2.1 m.
b) 0.97 Hz.
Solução 4.6: Diminui.
Solução 4.7:
PvdW = 41.2 kPa; PGP = 41.3 kPa; PvdW = 3.26 MPa; PGP =
4.13 MPa;.
Solução 4.8: 0.45 J/g/K.
Solução 4.9: 601◦ C.
Solução 4.10:
a) 0.092 J/Kg/K.
b) 0.146 J.
Solução 4.11: A: sólido-vapor (sublimação) em 1; B: sólido lı́quido (fusão) em
2, lı́quido-vapor (ebulição) em 3; C: não há transição de fase de 4 para 5 (percurso
acima do ponto crı́tico).
36
Termodinâmica
Solução 4.12:
a) 2.66 kJ.
b) 40.5 kJ.
c) 5.3 kJ.
Solução 4.13: 450 cal; 1440 cal.
Solução 4.14: tA = 1 min 51 s; tB = 12 min 32 s.
Solução 4.15: 4 mol; 83 J/K.
Solução 4.16:
a) RT ln
b) RT ln
vf −b
vi −b
v 
f
vi
.
+ RT B
1
vf
−
1
vi
.
Solução 4.17:
a) TB = 600 K; TC = 300 K; TD = 150 K.
b) 10.13 kJ.
c) 10.13 kJ.
Solução 4.18:
a) B: P = 2PA , V = VA /2, T = TA ; C: P = 2PA , V = VA , T = 2TA ; A:
P = PA , V = VA , T = TA .
b)
c) PA VA (ln 2 − 1).
Solução 4.19: 932 J.
Solução 4.20:
37
Termodinâmica
a) W = −711 J; ∆U = 0 J; TA = TB = −220◦ C.
b) TA = −222◦ C; PA = 0.47 atm; PB = 1.46 atm.
c) TA = −227◦ C; PA = 0.42 atm; PB = 1.62 atm.
Solução 4.21:
a) P2 = P0 /2.
b) Diatómico.
Solução 4.22: 4RT .
Solução 4.23:
a) P = 4.17 atm, V = 12 l, T = 609 K.
b)
c) Transição AB: Q = 6.8 KJ, W = 3.8 kJ, ∆U = 3.0 kJ; Transição BC:
Q = −7.2 KJ, W = −7.2 kJ, ∆U = 0.0 kJ; Transição CA: Q = −3.0 KJ,
W = 0.0 kJ, ∆U = −3.0 kJ; Ciclo completo: Q = −3.4 KJ, W = −3.4 kJ,
∆U = 0.0 kJ;
Solução 4.24:
∆S = ∆Q/T = 0.27 cal/K; Não porque Tgelo se mantém
constante; ∆S seria o mesmo porque a entropia é uma função do estado.
Solução 4.25: 1.447 cal/K.
Solução 4.26:
335 kJ; 2260 kJ; A entropia da água diminui e a do ambiente
aumenta.
Solução 4.27: 56 cm.
Solução 4.28: 4 kW; 4 kW (só depende de ∆T ).
Solução 4.29:
a) 6000 K.
38
Termodinâmica
b) 10 µm (infravermelho).
c) Por causa da atmosfera: o vapor de água e o dióxido de carbono absorvem
sobretudo os infravermelhos, reemitindo-os para a superfı́cie da Terra (efeito
de estufa).
Solução 4.30:
a) 38 W.
b) 1.6 Mcal.
39
Termodinâmica
40
Capı́tulo 5
Electrostática
Exercı́cio 5.1: Nos vértices de um quadrado ABCD, com 10 cm de lado, estão
colocadas cargas pontuais de +50 µC em A e B e de −100 µC em C e D. Calcule
o campo eléctrico no centro do quadrado.
Exercı́cio 5.2: A figura 5.1 representa um quadrado de 10 cm de lado assente
num plano horizontal, nos vértices do qual existem quatro cargas iguais de 20 nC.
Determine a carga a colocar no ponto E de forma a que uma partı́cula, de massa
20 mg e carga −10 nC, posicionada no ponto P, fique suspensa. Os pontos E e P
situam-se sobre o eixo do quadrado e OP = P E = 10 cm.
E
P
A
B
O
D
C
Figura 5.1: Exercı́cio 5.2.
41
Electrostática
Exercı́cio 5.3: No campo criado pela carga Q = 4 µC, considere sobre a mesma
linha de força, dois pontos A e B como ilustra a figura 5.2. Determine:
a) Os potenciais eléctricos em A e B.
b) O trabalho realizado pela força do campo para deslocar a carga q = 10−8 C
de A para B.
c) A velocidade ~v com que deve ser lançada de B, sobre a referida linha de força
e em direcção a Q, uma partı́cula de carga q = 10−8 C e massa m = 40 g
para que atinja A com velocidade nula (suponha que o meio é o vácuo).
Q
B
A
0.1m
X
0.1m
Figura 5.2: Exercı́cio 5.3.
Exercı́cio 5.4: Nos vértices de um hexágono regular de lado a, estão colocadas
seis cargas pontuais, de módulo Q, como indica a figura 5.3.
+Q
-Q
a
-Q
+Q
+Q
-Q
Figura 5.3: Exercı́cio 5.4.
a) Calcule a energia total armazenada nesta distribuição.
b) Calcule o potencial no centro do hexágono.
Exercı́cio 5.5: Em três vértices de um quadrado com 1.0 m de lado estão
colocadas as seguintes cargas pontuais: Q1 = +4.0 µC, Q2 = +3.0 µC e Q3 =
−2.0 µC. Determine:
a) O potencial eléctrico no centro do quadrado.
b) A carga Q4 , a colocar no vértice livre, de modo que o potencial eléctrico se
torne nulo no centro do quadrado.
42
Electrostática
Exercı́cio 5.6: A figura 5.4 mostra como varia um dado potencial eléctrico ao
longo do eixo OX. Trace o gráfico que representa a variação da componente Ex do
campo eléctrico que lhe corresponde.
V
(V)
3V
2V
V
a
b
c
d
X (m)
Figura 5.4: Exercı́cio 5.6.
Exercı́cio 5.7: O potencial eléctrico num espaço a uma dimensão é dado por
V (x) = C1 + C2 x2 , com V em Volts, x em metros e C1 e C2 constantes positivas.
Calcule o campo eléctrico E nessa região do espaço.
Exercı́cio 5.8: Um campo eléctrico numa certa região do espaço é dado pela
expressão Ex = 2x3 kN/C. Calcule a diferença de potencial entre dois pontos do
eixo dos XX, dados por x = 1 m e x = 2 m.
Exercı́cio 5.9: O momento dipolar p~ = Q~a de um dipolo faz um ângulo θ com
~ confome ilustra a figura 5.5
a direcção de um campo eléctrico uniforme E
-Q
E
+Q
Figura 5.5: Exercı́cio 5.9.
a) Calcule o momento do binário a que o dipolo está sujeito.
b) Determine o trabalho realizado pelo campo para inverter a posição do dipolo,
desde a sua posição de equilı́brio estável até à posição oposta.
43
Electrostática
Exercı́cio 5.10: A superfı́cie cúbica fechada de aresta a, representada na figura
5.6, é colocada numa região onde existe um campo eléctrico paralelo ao eixo OX.
Determine o fluxo do campo através da superfı́cie cúbica e a carga total contida
no interior da superfı́cie, considerando que o campo eléctrico:
~ = k1 ı̂ (k1 é constante).
a) é uniforme, E
~ = k2 xı̂ (k2 é constante).
b) varia de acordo com E
Z
A
B
D
C
E
H
X
E
F
Y
G
Figura 5.6: Exercı́cio 5.10.
Exercı́cio 5.11: Uma distribuição uniforme e linear de carga com densidade
λ = 3.5 nC/m estende-se de x = 0 m a x = 5 m.
a) Determine a carga total.
b) Calcule o campo eléctrico para x = 6 m, x = 9 m e x = 250 m (compare
com o resultado que obteria se toda a carga estivesse concentrada no centro
da distribuição linear).
Exercı́cio 5.12: Um anel circular, fino, de 3 cm de raio, tem uma carga de
10−3 C uniformemente distribuı́da.
a) Qual é a força exercida sobre uma carga de 10−2 C colocada no seu centro?
b) Qual seria a força exercida sobre essa mesma carga se ela estivesse colocada
a 4 cm do plano do anel, sobre o seu eixo?
44
Electrostática
Exercı́cio 5.13: Uma carga de 2.75 µC encontra-se uniformemente distribuı́da
num anel circular, considerado sem espessura, de 8.5 cm de raio.
a) Calcule o campo eléctrico no eixo do anel para distâncias de 1.2 cm, 3.6 cm
e 4.0 cm do centro do anel e sobre o seu eixo.
b) Repita os cálculos da alı́nea anterior usando a aproximação de que a carga
é uma carga pontual na centro do anel e compare os resultados.
Exercı́cio 5.14: Considere duas distribuições superficiais de carga, planas e
infinitas de densidades σ1 e σ2 . Calcule o campo eléctrico no espaço que as rodeia
se:
a) os dois planos forem paralelos, separados de uma distância d.
b) os dois planos forem ortogonais.
Exercı́cio 5.15: Três planos extensos A, B e C, paralelos e isolantes, estão
separados de uma distância 1 cm entre si. Os planos encontram-se uniformemente
carregados com densidades de carga σA = 2 × 10−7 C/m2 , σB = 4 × 10−7 C/m2 e
σC = 6 × 10−7 C/m2 . Calcule as diferenças de potencial entre os diferentes planos:
VB − VA , VC − VB e VC − VA .
Exercı́cio 5.16: Duas superfı́cies condutoras isoladas, esféricas e concêntricas, de
raios 5 cm e 10 cm, estão aos potenciais 2.7 × 104 V e 9.0 × 106 V, respectivamente.
Determine as cargas em cada uma das esferas e a energia do conjunto.
Exercı́cio 5.17: Três esferas ocas e concêntricas, têm raios R1 = 1 m, R2 = 2 m
e R3 = 3 m. A esfera de menor raio foi carregada com 1µ C e a de maior raio com
-2µ C. A esfera intermédia foi ligada à Terra.
a) Calcule o potencial eléctrico das esferas.
b) Calcule as cargas e os potenciais da esferas se a esfera intermédia for desligada da Terra e ligada por um fio condutor à esfera de menor raio.
Exercı́cio 5.18: Uma esfera carregada A, de 2 cm de raio, põe-se em contacto
através de um fio longo com uma esfera descarregada B, de 3 cm de raio. Depois
de desligar as esferas, a energia da esfera B é 0.4 J. Qual o valor da carga de A
antes de as esferas serem postas em contacto?
45
Electrostática
Exercı́cio 5.19: Um condensador tem armaduras planas paralelas, de 500 cm2
de área, separadas de 1 cm. Aplica-se uma diferença de potencial de 2000 V entre
as armaduras, isolando-as depois de atingir o equilı́brio.
a) Qual a energia armazenada no condensador?
b) Uma folha metalı́ca com 2 mm de espessura, descarregada e isolada, é introduzida a meia distância entre as armaduras, ficando paralela a estas. Qual
a capacidade do condensador obtido? Que trabalho é realizado pelas forças
eléctricas durante esta operação e qual é a diferença de pontencial entre as
armaduras?
Exercı́cio 5.20: Um condensador tem capacidade variável entre 5 pF e 200 pF.
Quando o condensador está na posição de capacidade máxima, liga-se aos seus
eléctrodos uma bateria de 10 V até que se atinge o equilı́brio. Com o condensador
isolado reduz-se então a capacidade ao mı́nimo. Determine a carga e a diferença
de potencial entre as armaduras nesta posição.
Exercı́cio 5.21: Os condensadores de cada um dos circuitos da figura 5.7 estão
inicialmente descarregados. Para cada circuito, faz-se a ligação 0-1 até se atingir
o equilı́brio. Em seguida, desfaz-se esta e faz-se a ligação 0-2. Determine a distribuição final das cargas e a energia armazenada em cada condensador.
No circuito 1: C1 = 2 µF, C2 = 4 µF, C3 = 4 µF e ε = 100 V
No circuito 2: C1 = 1 µF, C2 = 2 µF, C3 = C4 = 0.5 µF e ε = 20 V
C
C
1
C
C
2
C
2
C
0
C
2
1
0
1
Figura 5.7: Exercı́cio 5.21.
Exercı́cio 5.22: Considere a associação de condensadores da figura 5.8, inicialmente descarregados. O condensador de 4 µC não suporta uma diferença de
potencial entre os seus terminais superior a 100 V.
C1 = C2 = 1 µC, C3 = 4 µC e C4 = C5 = 2 µC
46
Electrostática
a) Determine o valor máximo da tensão que se pode aplicar entre A e B.
b) Nessas condições, determine a carga de cada condensador.
C
C
C
C
C
A
B
Figura 5.8: Exercı́cio 5.22.
Exercı́cio 5.23: Entre duas placas paralelas de área A, distanciadas entre si de
d, foram colocados dois dieléctricos diferentes de constantes k1 e k2 , como indica a
figura 5.9. Calcule, em cada um dos casos, a capacidade dos condensadores assim
obtidos.
1
2
A/2
A/2
K
K
A/2
A/2
K
d/2
d
K
d/2
Figura 5.9: Exercı́cio 5.23.
47
Electrostática
5.1
Soluções de electrostática
Solução 5.1: 3.8 × 108 N/C.
Solução 5.2: 65 nC.
Solução 5.3:
a) VA = 3.6 × 105 V; VB = 1.8 × 105 V.
b) W = 1.8 × 10−3 J.
c) 0.3 m/s.
Solução 5.4:
2
a) −3.6 × 1010 Qa .
b) V = 0 V.
Solução 5.5:
a) V = 64 kV.
b) Q4 = −5 µC.
Solução 5.6:
Solução 5.7: E = −2C2 x.
Solução 5.8: V1 − V2 = 7.5 kV.
Solução 5.9:
~ = p~ ∧ E.
~
a) M
b) W = −2pE.
48
Electrostática
Solução 5.10:
a) Φ = 0, Qint = 0.
b) Φ = k2 a3 , Qint = ²0 k2 a3 .
Solução 5.11:
a) Q = 17.5 nC.
b) E6 = 26 N/C; E9 = 4.4 N/C; E250 = 2.6 mN/C.
Solução 5.12:
a) F = 0 N.
b) F = 2.88 × 107 N.
Solução 5.13:
a) E1.2 = 4.7 × 105 N/C; E3.6 = 1.1 × 106 N/C; E4.0 = 1.2 × 106 N/C.
b) E1.2 = 1.7 × 108 N/C; E3.6 = 1.9 × 107 N/C; E4.0 = 1.5 × 107 N/C.
Solução 5.14:
2
a) Ex = − σ12²+σ
0
σ1 −σ2
Ex = 2²0
2
Ex = σ12²+σ
0
para −∞ < x < 0
para 0 < x < d
para d < x < +∞
b) Sendo o eixo OX paralelo ao plano 2, tem-se:
~ = 1 (σ1 ı̂ + σ2 ̂)
E
no primeiro quadrante
2²0
1
~ =
E
(−σ1 ı̂ + σ2 ̂)
no segundo quadrante
~ =
E
~ =
E
2²0
−1
2²0 (σ1 ı̂
1
2²0 (σ1 ı̂
+ σ2 ̂)
no terceiro quadrante
− σ2 ̂)
no quarto quadrante
Solução 5.15: VB − VA = 452 V; VC − VB = 0 V; VC − VA = 452 V.
Solução 5.16: Q1 = −100 µC; Q2 = 200 µC; E = 900 J.
49
Electrostática
Solução 5.17:
a) V1 = 4.5 kV; V2 = 0 V; V3 = −2 kV.
b) Q01 = 0 C; Q02 = 1.3 µC; Q03 = −2 µC; V10 = V20 = 0 V; V30 = −2 kV.
Solução 5.18: QA = ±2.7 µC.
Solução 5.19:
a) E = 8.84 × 10−5 J.
b) C 0 = 5.5 × 10−11 F; W = E − E 0 = 1.77 × 10−5 J; V 0 = 1600 V.
Solução 5.20: Q = 2 nC; ∆V = 400 V.
Solução 5.21:
No circuito 1: Q1 = 67 µC; Q2 = 133 µC; Q3 = 200 µC; E1 = 1.1 mJ; E2 = 2.2 mJ;
E3 = 5 mJ.
No circuito 2: Q1 = 12.9 µC; Q2 = 14.3 µC; Q3 = 6.4 µC; Q4 = 5 µC; E1 = 83 µJ;
E2 = 51 µJ; E3 = 41 µJ; E4 = 25 µJ.
Solução 5.22:
a) Vmax = 300 V.
b) Q1 = Q2 = 200 µC; Q3 = 400 µC; Q4 = Q5 = 300 µC.
Solução 5.23: C1 =
50
k1 +k2
A
2 ²0 d ;
C2 =
2k1 k2
A
k1 +k2 ²0 d ;
Capı́tulo 6
Corrente Contı́nua
Exercı́cio 6.1: Um condutor de cobre de 1.5 mm2 de secção (mı́nimo permitido
em instalações eléctricas), tem uma resistividade de 1.72×10−8 Ω.m à temperatura
de 20 ◦ C. Qual a resistência dos condutores de um circuito (2 fios) com 85 m de
extensão?
Exercı́cio 6.2: Um bloco de carbono (ρc = 3500 × 10−8 Ω.m) tem 3.0 cm de
comprimento e uma secção transversal quadrada com 0.5 cm de lado. Sabendo
que é mantida uma diferença de potencial de 8.4 V ao longo do seu comprimento,
determine a resistência do bloco e a corrente que o atravessa.
Exercı́cio 6.3: Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B para
cada um dos circuitos da figura 6.1. Comente o resultado.
R = 4 Ω.
1
A
2R
2
4R
A
2R
4R
6R
R
6R
2R
R
B
2R
B
Figura 6.1: Exercı́cio 6.3.
51
Corrente Contı́nua
Exercı́cio 6.4: No circuito da figura 6.2, considere desprezáveis as resistências
internas do gerador e do amperı́metro. Determine para as posições 0-1 e 0-2 do
comutador:
a) a razão entre as leituras feitas no amperı́metro.
b) a razão entre as potências consumidas no circuito.
R
1
3R
0
2
A
R
3R
3R
Figura 6.2: Exercı́cio 6.4.
Exercı́cio 6.5: No circuito da figura 6.3, as resistências internas dos geradores
são desprezáveis em face das restantes, sendo a do amperı́metro A2 de 20 Ω.
Determine:
a) Os valores de ε1 e de ε2 sabendo que, quando o amperı́metro A1 indica o
valor zero, o amperı́metro A2 indica 10 mA.
b) A corrente que passa em A1 quando se invertem os polos do gerador
amperı́metro A2 marca o valor zero.
c) A resistência interna de A1 , r.
R1 = 80 Ω, R2 = 100 Ω
A
R
A
R
Figura 6.3: Exercı́cio 6.5.
52
ε1 e o
Corrente Contı́nua
Exercı́cio 6.6: Uma bateria de automóvel de 12 V possui uma resistência interna
de 0.4 Ω.
a) Qual a potência dissipada se a bateria for momentaneamente curto-circuitada?
b) Qual a diferença de potencial aos terminais da bateria quando esta fornece
uma corrente de 20 A ao motor de arranque?
Exercı́cio 6.7: No circuito representado na figura 6.4,
ε = 3ε1 e ε2 = 2ε1,
sendo desprezáveis as resistências internas dos geradores.Determine a diferença de
potencial VA − VB .
R
R
A
B
R
Figura 6.4: Exercı́cio 6.7.
Exercı́cio 6.8: No circuito representado na figura 6.5, o amperı́metro e o voltı́metro
acusam valores de 2 A e 180 V, respectivamente.
a) Que valores esperaria medir nos aparelhos de medida caso os considerasse
ideais?
b) Calcule a resitência interna de cada aparelho.
R1 = 35 Ω, R2 = 100 Ω, r = 10 Ω,
ε = 300 V
R
,r
A
R
V
Figura 6.5: Exercı́cio 6.8.
53
Corrente Contı́nua
Exercı́cio 6.9: No circuito da figura 6.6, A1 e A2 são amperı́metros ideais e o
gerador de força electromotriz
ε3 tem resistência interna desprezável.
a) Estabelecida a ligação 0-1, verifica-se que A1 indica o valor zero e que a
potência dissipada no circuito é 2 W. Calcule o valor de ε1 e ε3 .
b) Desfaz-se a ligação 0-1 e faz-se a ligação 0-2. Sabendo que, nestas condições,
a potência dissipada na resistência R1 é nula, determine o valor indicado
pelo amperı́metro A2 e a resistência interna do gerador ε2 .
R1 = 110 Ω, R2 = 40 Ω, R3 = 50 Ω,
ε2 = 9 V
,r
2
A
R
,r
0
1
A
R
R
Figura 6.6: Exercı́cio 6.9.
Exercı́cio 6.10: Na figura 6.7 está representado o circuito da ponte de Wheatstone, para medição de resistências. Rx é a resistência desconhecida, R0 é a resistência padrão e G é o galvanómetro ligado ao contacto deslizante C, o qual se
apoia sobre um fio homogêneo AB de grande resistência.
Demonstre que, na ausência de corrente no galvanómetro, se verifica a relação
Rx /R0 = AC/CB
R
R
G
A
C
B
Figura 6.7: Exercı́cio 6.10.
54
Corrente Contı́nua
Exercı́cio 6.11: Os geradores do circuito representado na figura 6.8 têm resistência interna desprezável e RAB = 50 Ω.
a) Qual deve ser o valor da resistência entre o ponto A e a posição C do cursor,
para que o galvanómetro não acuse passagem de corrente?
b) Qual a potência dissipada na resistência R0 quando o cursor está em cada
uma das posições extremas?
ε0 = 30 V, R0 = 30 Ω, ε1 = 9 V, R1 = 120 Ω
R
G
A
C
B
R
Figura 6.8: Exercı́cio 6.11.
Exercı́cio 6.12: Considere ideais os aparelhos de medida representados no circuito da figura 6.9.
a) Determine as leituras dos aparelhos quando o interruptor está aberto.
b) Determine o valor da intensidade da corrente que percorre a resistência R2 ,
quando o interruptor está fechado.
ε1 = 12 V, r1 = 1 Ω, ε2 = 8 V, r2 = 2 Ω, ε3 = 10 V, R1 = 2 Ω, R2 = 15 Ω
,r
2R
A
R
R
,r
V
3R
Figura 6.9: Exercı́cio 6.12.
55
Corrente Contı́nua
Exercı́cio 6.13: Sabendo que o galvanómetro G da figura 6.10 não suporta
correntes superiores a 10 mA e que a sua resistência interna é de 25 Ω, calcule os
valores das resistências R1 , R2 e R3 do ”amperı́metro”de 3 escalas esquematizado.
G
R
R
Comum
R
10A
1A
0.1A
Figura 6.10: Exercı́cio 6.13.
Exercı́cio 6.14: Em equilı́brio, qual é a diferença de potencial aos terminais do
condensador do circuito da figura 6.11, considerando o gerador ideal.
ε1 = 36 V, R1 = 10 Ω, R2 = 40 Ω, R3 = 80 Ω, R4 = 20 Ω, C1 = 10 µC
R
R
C
R
R
Figura 6.11: Exercı́cio 6.14.
Exercı́cio 6.15: Calcule a diferença de potencial aos terminais dos condensadores da figura 6.12 em equlı́brio, desprezando a resistência interna do gerador.
ε1 = 12 V, R1 = 100 Ω, R2 = 50 Ω, R3 = 150 Ω, C1 = 10 µF, C2 = 50 µF
R
R
C
R
Figura 6.12: Exercı́cio 6.15.
56
C
Corrente Contı́nua
Exercı́cio 6.16: Os condensadores do circuito da figura 6.13 estão inicialmente
descarregados e o gerador tem resistência interna desprezável.
a) Determine a carga do condensador C1 e a corrente que atravessa R1 quando
se estabelece a ligação 0-1.
b) Determine, uma vez reestabelecido o equilı́brio, a energia armazenada no
condensador C1 quando se desfaz a ligação 0-1 e se estabelece a ligação 0-2.
ε = 10 V, R1 = 5 Ω, R2 = R3 = 10 Ω, R4 = 20 Ω, C1 = 2 µF, C2 = C3 = 1 µF
R
C
R
R
R
0
1
C
C
2
Figura 6.13: Exercı́cio 6.16.
Exercı́cio 6.17: No circuito da figura 6.14, o amperı́metro A2 pode considerar-se
ideal, o amperı́metro A1 tem resistência interna de 10 Ω e os condensadores estão
inicialmente descarregados.
a) Com o interruptor aberto, determine os valores indicados nos aparelhos de
medida e a diferença de potencial VA − VB .
b) Com o interruptor fechado, e depois de atingido o equilı́brio, determine os
valors indicados pelos aparelhos de medida e carga de cada condensador.
ε1 = 20 V, ε2 = 10 V, R1 = 3.3 kΩ, R2 = 1 kΩ, R3 = 10 Ω,
C1 = 10 µF, C2 = 4.7 µF, C3 = 2.2 µF
R
A
C
A
A
R
V
R
C
C
B
Figura 6.14: Exercı́cio 6.17.
57
Corrente Contı́nua
6.1
Soluções de Corrente Contı́nua
Solução 6.1: R = 1.95 Ω.
Solução 6.2: R = 42 mΩ; I = 6.5kA.
Solução 6.3: R1 = R2 = 6 Ω.
No circuito 1, o potencial entre as resistências 2R e R é igual ao potencial entre
as resitências 4R e 2R (lei de Ohm).
Solução 6.4:
a)
IA1
IA2
= 3.1.
b)
P1
P2
= 1.36.
Solução 6.5:
a)
ε1 = 1 V; ε2 = 2 V.
b) I = 20 mA.
c) r = 50 Ω.
Solução 6.6:
a) P = 360 W.
b) ∆V = 4 V.
Solução 6.7: VA − VB = 2ε1 .
Solução 6.8:
a) I = 2.07 A; V = 207 V.
b) RiV = 900 Ω; RiA = 15 Ω.
58
Corrente Contı́nua
Solução 6.9:
a)
ε1 = 4 V; ε3 = 20 V.
b) I = 222 mA; r2 = 40.5 Ω.
Solução 6.10:
Solução 6.11:
a) RAC = 24 Ω.
b) PA = 4.2 W; PB = 5.3 W.
Solução 6.12:
a) I = 2.8 A; V = 2.5 V.
b) I = 0 A.
Solução 6.13: R1 = 0.028 Ω; R2 = 0.25 Ω; R3 = 2.5 Ω.
Solução 6.14: ∆V = 20 V.
Solução 6.15: ∆V1 = 8 V; ∆V2 = 6 V.
Solução 6.16:
a) Q1 = 0 C; I1 = 1 A.
b) E = 6.25 µJ.
Solução 6.17:
a) I1 = 9 mA; I2 = 0 A; V = 0 V; VA − VB = −9.8 V.
b) I1 = 9 mA; I2 = 0 A; V = 5.8 V; Q1 = 40 µC; Q2 = 27 µC; Q3 = 13 µC;
59
Corrente Contı́nua
60
Capı́tulo 7
Electromagnetismo
Exercı́cio 7.1: Um átomo de hidrogénio, descrito por um modelo simplificado,
consiste num protão e num electrão de carga qe = −1.6 × 10−19 C que se move
numa órbita circular de raio 0.5×10−10 m em torno do protão, com uma frequência
1013 Hz. Calcule o campo magnético no núcleo devido ao movimento do electrão.
Exercı́cio 7.2: A corrente que percorre o fio representado na figura 7.1 é de 8 A.
Calcule o campo magnético criado por esta corrente no ponto P, situado a meio
do segmento a tracejado.
2 cm
1 cm
8A
P
Figura 7.1: Exercı́cio 7.2.
Exercı́cio 7.3: Para cada um dos fios representado na figura 7.2 calcule o campo
magnético no ponto P, quando são percorridos por uma corrente de 15 A.
1
2
I
I
R
P
R
R
P
Figura 7.2: Exercı́cio 7.3.
61
Electromagnetismo
Exercı́cio 7.4: Dois fios condutores infinitos, rectilı́neos e paralelos, na posição
horizontal estão separados duma distância de 1 m, sendo I1 = 6 A, ”entrando”no
plano da página, como mostra a figura 7.3.
a) Qual deve ser o módulo e sentido da corrente I2 para que o campo resultante
no ponto P seja nulo?
b) Quais são então os módulos do campo resultante em Q e em S?
S
0.8 m
Q
0.5 m
0.6 m
1.0 m
I
I
0.5 m
P
Figura 7.3: Exercı́cio 7.4.
Exercı́cio 7.5: Três fios rectilı́neos paralelos e infinitos, equidistantes entre si de
20 cm, são percorridos por correntes de intensidades I1 = 2 A, I2 = 4 A e I3 = 4 A
com os sentidos indicados na figura 7.4. Uma corrente de intensidade I4 percorre
um outro fio infinito, paralelo aos primeiros, equidistante do ponto A (que forma
um losango com I1 , I2 e I3 na figura) e da corrente I3 . Qual deve ser o valor de I4
para que o campo magnético em A seja perpendicular ao plano definido por I1 , I2
e I4 ?
A
I
I
I
20 cm
I
Figura 7.4: Exercı́cio 7.5.
Exercı́cio 7.6: Um circuito, com a forma de um triângulo equilátero de lado
` é percorrido pela corrente I. Determine o raio da espira circular centrado no
centro do triângulo e assente no mesmo plano que, percorrida igualmente por uma
corrente I, anula o campo no centro comum.
62
Electromagnetismo
Exercı́cio 7.7: Na figura 7.5 estão representados dois fios muito longos tendo
ambos um arco semicircular. Um dos fios, que forma uma semicircunferência de
3 cm de raio, é percorrido por uma corrente I1 = 5 A. O outro fio é percorrido por
uma corrente I2 = 7.5 A, sendo de 9 cm o raio do seu arco semicircular. Sendo os
sentidos de I1 e I2 os indicados na figura, calcule, justificando, o campo magnético
no centro comum aos dois arcos.
I
R
O
R
I
Figura 7.5: Exercı́cio 7.7.
Exercı́cio 7.8: Calcule o campo magnético criado no ponto C da figura 7.6,
pela corrente I. Note que as porções (1) e (3) da corrente são semi-infinitas e
perpendiculares ao plano que contém a porção (2), e C é o centro desta porção
circular.
(3)
(1)
(2)
R
C
Figura 7.6: Exercı́cio 7.8.
Exercı́cio 7.9: Uma partı́cula tem carga Q = 4 × 10−9 C. Quando se move no
plano YZ com velocidade v~1 de módulo 3 × 104 m/s fazendo um ângulo de 45◦
com o semi-eixo positivo dos YY, num campo magnético uniforme, fica sujeita a
uma força F~1 na direcção do eixo dos XX. Quando se move com velocidade v~2
igual a 2 × 104 ı̂ (m/s), o mesmo campo magnético exerce sobre ela uma força F~2
de 4 × 10−5 ̂ (N).
a) Qual a grandeza, direcção e sentido do campo magnético?
b) Qual a grandeza de F~1 ?
63
Electromagnetismo
Exercı́cio 7.10: Calcule a direcção e sentido da velocidade mı́nima de uma carga
q = 3.204 × 10−19 C que dá origem à força magnética representada na figura 7.7,
admitindo que se encontra numa região onde existe um campo magnético uniforme.
Y
B
Q
X
F
Z
Figura 7.7: Exercı́cio 7.10.
Exercı́cio 7.11: Dois fios condutores rectilı́neos e infinitos estão a uma distância
de 60 cm e são percorridos por correntes de 20 A, em sentidos contrários, como
mostra a figura 7.8. Um terceiro fio, paralelo aos outros dois e percorrido também
por uma corrente de 20 A, está colocado a 40 cm do ponto médio do segmento que
une os outros dois. Determine o módulo, direcção e sentido da força por unidade
de comprimento que actua no terceiro fio:
a) se a corrente que o percorre ”sai”do plano da página;
b) se a corrente ”entra”no plano da página.
60 cm
40 cm
P
Figura 7.8: Exercı́cio 7.11.
Exercı́cio 7.12: Dois fios rectilı́neos e muito compridos, cada um deles percorrido por uma corrente de 9 A, no mesmo sentido, são colocados paralelamente.
Calcule a força que cada um exerce sobre o outro quando separados por 0.1 m.
64
Electromagnetismo
Exercı́cio 7.13: Um fio condutor com a forma de uma semi-circunferência de
raio R é percorrido por uma corrente de intensidade I. Calcule o módulo da força
que é exercida sobre o fio, se na região onde se encontra passar a existir um campo
~ = B k̂, estando o fio no plano XOY.
magnético uniforme B
Exercı́cio 7.14: Uma espira rectangular pode girar livremente em torno do eixo
dos YY e é percorrida por uma corrente de 10 A no sentido indicado na figura
7.9. Admitindo que a espira está sob a acção de um campo magnético uniforme de
0.2 T, paralelo ao eixo dos XX, calcule a força em cada lado da espira e o momento
do binário necessário para manter a espira na posição indicada.
Y
A
B
8 cm
D
cm
X
C
Z
Figura 7.9: Exercı́cio 7.14.
Exercı́cio 7.15: Numa certa localidade, o campo magnético terrestre tem a
intensidade de 0.5 × 10−4 W/m2 , faz um ângulo de 60◦ com a horizontal e é
dirigido de cima para baixo. Calcule o módulo da força exercida por este campo
magnético num condutor de 3 m de comprimento no qual circula uma corrente de
100 A quando:
a) o condutor é vertical;
b) o condutor é paralelo à componente horizontal do campo;
c) o condutor é perpendicular à componente horizontal do campo e está no
plano horizontal.
65
Electromagnetismo
Exercı́cio 7.16: Considere o circuito esquematizado na figura 7.10 e determine:
a) as correntes em cada ramo do circuito, indicando os respectivos sentidos;
b) o campo magnético no ponto O, centro do quadrado ACEG de lado 80 cm,
criado pela secção rectilı́nea AHG do circuito;
c) o campo magnético no ponto O criado pela secção semicircular BDF;
d) o campo magnético total no ponto A criado pelas duas secções referidas.
ε = 20 V , r = 2 Ω, R = 2 Ω
C
B
5R
A
4R
O
D
E
F
H
3R
4R
,r
G
Figura 7.10: Exercı́cio 7.16.
Exercı́cio 7.17: Considere o circuito da figura 7.11. Calcule o campo magnético
criado no ponto P pela porção de fio condutor entre C e D.
ε1 = 4 V , ε2 = ε3 = 5 V , ε4 = 7 V , R = 2 Ω
10R
C
2r
r
2R
P
3R
5R
Figura 7.11: Exercı́cio 7.17.
66
D
Electromagnetismo
7.1
Soluções de electromagnetismo
Solução 7.1: B = 2 × 10−2 T.
Solução 7.2: B = 2.3 × 10−4 T.
Solução 7.3: B1 =
4.7×10−6
R
(SI),
N
; B2 = 4.7 × 10−6

1
R1
−
1
R2

(SI),
J
.
Solução 7.4:
a) I2 = 2 A,
J
.
b) BQ = 2.1 × 10−6 T; BS = 1.6 × 10−6 T.
Solução 7.5: I4 = 3.5 A,
J
.
Solução 7.6: R = 0.35`.
Solução 7.7: B = 7.9 × 10−5 T,

N
.

~ = 10−7 I ı̂ + ̂ − π k̂ , em que ı̂ aponta de 3 para C e ̂ de 1
Solução 7.8: B
R
2
para C.
Solução 7.9:
~ = −0.5k̂ T.
a) B
b) F~1 = −4.24 × 10−5 ı̂ N.
Solução 7.10: v̂ =
√ 
2
2 ı̂

− k̂ .
Solução 7.11:
a)
dF
dl
= 1.92 × 10−4 N/m, ↓.
b)
dF
dl
= 1.92 × 10−4 N/m, ↑.
67
Electromagnetismo
Solução 7.12:
dF
dl
= 1.62 × 10−4 N/m, atractiva.
Solução 7.13: F = 2IBR.
Solução 7.14: F~AB = 0.06̂ N; F~BC = 0.16k̂ N; F~CD = −0.06̂ N;
~ = −8.3 × 10−3 ̂ Nm.
F~DA = −0.16k̂ N; M
Solução 7.15:
a) F = 7.5 × 10−3 N.
b) F = 1.3 × 10−2 N.
c) F = 1.5 × 10−2 N.
Solução 7.16:
a) 2 A através do gerador, 1 A de A para G e 1 A de B para F .
b) BAG = 3.5 × 10−7 T,
N
c) BBDF = 7.9 × 10−7 T,
d) B = 4.3 × 10−7 T,
Solução 7.17: B =
68
J
.
J
.
.
0.7×10−7
r
T,
J
.