O ensino de
matemática e a Prova
Brasil/SAEB
Claudia Vanessa Cavichiolo
Lisiane Cristina Amplatz
Lucimar Donizete Gusmão
Renata Cristina Lopes
Equipe de Matemática
DEB/SEED/PR
[email protected]
(41) 3340 1714
OBJETIVO DO EVENTO
Discutir:
• O instrumento de avaliação e seu objetivo;
• Matrizes (Saeb x Estado);
• A análise e a utilização dos resultados;
• A construção dos itens (descritores / distratores);
• Sobre o planejamento escolar;
• A relação ensino de Matemática e Prova Brasil.
• Resolução de Problemas: na Prova Brasil e na
sala de aula.
PROVA BRASIL / SAEB
Objetivos Gerais da Avaliação:
a) avaliar a qualidade do ensino ministrado
nas escolas, de forma que cada unidade
escolar receba o resultado;
b) contribuir para o desenvolvimento, em
todos os níveis educativos, de uma cultura
avaliativa que estimule a melhoria da
qualidade e equidade da educação
brasileira;
c) concorrer para a melhoria da qualidade
de ensino, redução das desigualdades e
democratização do ensino público nos
estabelecimentos oficiais, em consonância
com as metas e políticas estabelecidas
pelas diretrizes da educação nacional;
d) oportunizar informações sistemáticas
sobre as unidades escolares.
PROVA BRASIL / SAEB
O SAEB é composto por dois
processos:
• ANEB/SAEB: Avaliação
Educação Básica.
Nacional
da
• ANRESC/Prova
Brasil:
Avaliação
Nacional do Rendimento Escolar
PROVA BRASIL / SAEB
• SAEB: é realizada por amostragem e é
aplicado para alunos do 5º ano/4ª série,
9º ano/8ª série do Ensino Fundamental e
3ª série do Ensino Médio.
• Prova Brasil: Avalia todos os estudantes
da rede pública matriculados no 5º
ano/4ª série, 9º ano/8ª série do Ensino
Fundamental.
A Prova Brasil e o SAEB constituem
a base para a definição do:
O IDEB combina dois indicadores:
rendimento escolar (taxa de aprovação) e
desempenho dos estudantes (avaliação
do Saeb e Prova Brasil).
Prova Brasil: é utilizada para o cálculo do
IDEB de municípios e de escolas da rede
pública.
SAEB: subsidia o cálculo do IDEB dos
estados e do IDEB nacional.
IDEB: Padrões e Critérios que combinam:
Taxa de
aprovação
Rendimento
Escolar
Resultados das avaliações
de aprendizagem
PROVA BRASIL (5ºano/4ªsérie e 9º
ano/8ª série dos municípios e das
escolas da rede pública) e SAEB
(5ºano/4ªsérie e 9º ano/8ª série do EF
e 3ª série do EM das Unidades da
Federação e do Brasil)
• A metodologia adotada na construção e
aplicação dos testes da Prova Brasil/Saeb
é adequada para avaliar redes ou
sistemas de ensino, e não alunos
individualmente.
• Um aluno não responde a todas as
habilidades previstas, em uma única prova.
Um conjunto de alunos responde a
várias provas. (21 cadernos)
• Os resultados não refletem a
porcentagem de acertos de um aluno
respondendo a uma prova, mas a de um
conjunto de alunos, respondendo às
habilidades do currículo proposto,
distribuídas em várias provas diferentes.
PROVA BRASIL / SAEB
Como são elaboradas as avaliações?
• A partir das Matrizes de Referência documento em que estão descritas os
conhecimentos a serem avaliados e as
orientações para a elaboração das
questões. Essas matrizes reúnem o
conteúdo a ser avaliado em cada
disciplina e série.
As matrizes são elaboradas a partir:
• PCN
• Referenciais curriculares estaduais (DCE)
e municipais
• Consulta a professores
• Exame de livros didáticos
• Análise final de professores especialistas
IMPORTANTE!
• As matrizes de referência representam um
recorte das matrizes curriculares feito com base
no que pode ser aferido por meio dos
instrumentos utilizados na Prova Brasil/Saeb.
• Elas não englobam todo o currículo escolar e
não podem ser confundidas com procedimentos,
estratégias de ensino ou orientações
metodológicas, pois um recorte é feito com base
naquilo que pode ser aferido.
PROVA BRASIL / SAEB
As Matrizes de Referência estão subdivididas
em tópicos ou temas e estes, em
descritores.
• O descritor é o detalhamento de uma
habilidade cognitiva (em termos de grau de
complexidade), que está sempre associada a
um conteúdo que o estudante deve dominar na
etapa de ensino em análise.
• Esses descritores são expressos da forma
mais detalhada possível, permitindo-se a
mensuração por meio de aspectos que podem
ser observados.
Exemplo: Espaço e Forma
• Há descritores que permitem a elaboração de
itens por meio de situações-problema. Outros
descritores focalizam conhecimentos de nível
técnico e dão origem a itens com textos curtos
(calcule, efetue) bastante usuais em livros
didáticos e no ensino de matemática, ainda
hoje.
• Um fator que merece destaque é que esse tipo
de item não apresenta contextualização, a não
ser na própria Matemática, mas também fazem
parte da avaliação porque é necessário que
esses conhecimentos sejam isolados, a fim de
que se possa distinguir onde está a
dificuldade/facilidade pedagógica do aluno
• Há Descritores que permitem a
elaboração de itens por meio de
situações-problema.
• Outros descritores focalizam
conhecimentos de nível técnico e
dão origem a itens com textos curtos
(calcule, efetue) bastante usuais em
livros didáticos e no ensino de
matemática, ainda hoje.
Exemplo: Números e Operações/Álgebra e
Funções - (9º ano/ 8ª série)
D16
• Identificar a localização de números inteiros na reta numérica.
D18
• Efetuar cálculos com números inteiros, envolvendo as operações
(adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação).
D19
• Resolver problema com números naturais, envolvendo diferentes
significados das operações (adição, subtração, multiplicação, divisão,
potenciação).
D28
• Resolver problema que envolva porcentagem
PROVA BRASIL / SAEB
• As matrizes de Matemática estão
estruturadas por anos e séries avaliadas.
• Para cada um deles são definidos os
descritores que indicam um determinado
conhecimento que deve ter sido
desenvolvido nessa fase de ensino. Esses
descritores são agrupados por tema que
relacionam um conjunto de objetivos
educacionais.
Matriz de Referência de Avaliação e
Matriz Curricular:
Diferenças Fundamentais
Matriz Curricular
• direciona o currículo de uma instituição de ensino, leva
em conta as concepções de ensino e aprendizagem da
área e apresenta: objetivos, conteúdos, metodologias e
processos de avaliação.
Matriz de Referência de Avaliação
• também leva em conta as concepções de ensino e
aprendizagem da área, mas é composta apenas por
um conjunto delimitado de conhecimentos definidos em
unidades denominadas de Descritores que, no caso da
Matemática, estão agrupados por blocos de conteúdos.
• Matriz Curricular é constituída por várias
dimensões que direcionam o trabalho em
sala de aula:
Conceitual
Social
Cultural
Política
• A Matriz Curricular é um documento prescritivo,
que direciona o ensino, insere-se no Projeto
Pedagógico da instituição e é construído
coletivamente pela comunidade escolar, com
base em orientações curriculares da área
indicadas por órgãos oficiais e na realidade
escolar.
• Matriz de Referência de Avaliação é um
documento descritivo, no geral escrito por
técnicos, e que leva em consideração
documentos curriculares oficiais. É um “recorte”
de uma Matriz Curricular que não direciona o
ensino, mas que delimita o que vai ser avaliado
na prova a ser realizada em um programa de
avaliação em larga escala.
• A Matriz de Referência de Matemática
para o SAEB/Prova Brasil, da maneira
como está elaborada, apresenta um
conjunto de conhecimentos básicos que
se deseja ver desenvolvidas em
estudantes no fim de cada etapa escolar,
mas destaca apenas a dimensão
conceitual (noções e conceitos
matemáticos).
• Matrizes Curriculares destacam, no
processo de ensino e aprendizagem de
matemática, a resolução de problemas
como eixo norteador.
• Os descritores da Matriz de Referência
também apontam que as questões
presentes na avaliação do SAEB/Prova
Brasil tenham como foco a resolução de
problemas.
MATRIZ DE REFERÊNCIA
DE MATEMÁTICA
Temas 5º Ano/4ª Série
I Espaço e Forma
• 5 Descritores
II Grandezas e Medidas
• 7 Descritores
III Números e Operações/Álgebra e Funções
• 14 Descritores
Tratamento da Informação
• 2 Descritores
Temas 9º Ano/8ª Série
I Espaço e Forma
• 11 Descritores
II Grandezas e Medidas
• 4 Descritores
III Números e Operações/Álgebra e Funções
• 20 Descritores
Tratamento da Informação
• 2 Descritores
Temas 3ª Série - EM
I Espaço e Forma
• 10 Descritores
II Grandezas e Medidas
• 3 Descritores
III Números e Operações/Álgebra e Funções
• 20 Descritores
Tratamento da Informação
• 2 Descritores
MATRIZ DE REFERÊNCIA X DCE
Espaço e Forma
Geometrias
Grandezas e
Medidas
Grandezas e
Medidas
Números e
Operações/Álgebra
e Funções
Números e
Álgebra
Funções
Tratamento da
Informação
Tratamanento
da
Informação
PROVA BRASIL / SAEB
Parte importante do currículo para:
Compreender o espaço com
suas dimensões e formas.
Compreender, descrever e
representar de forma
organizada e concisa o
mundo em que vive.
ESPAÇO E FORMA
x
GEOMETRIAS
Contribuir na aprendizagem
de números e medidas.
Estabelecer conexões entre
a matemática e outras áreas
do conhecimento.
PROVA BRASIL / SAEB
Parte importante do currículo para:
Compreender as medidas
convencionais.
Comparar grandezas.
GRANDEZAS
E MEDIDAS
Utilizar essas medidas
para cálculo de áreas,
perímetros, volumes e o
sistema monetário.
Estabelecer relações com
a prática cotidiana.
PROVA BRASIL / SAEB
Parte importante do currículo para:
Transpor informações para as
diversas situações (linguagem
algébrica para a geométrica).
Fazer julgamentos matemáticos e a
decidir quanto a estratégias de
manipulação dos números e das
operações, visando à solução de
situações-problema.
NÚMEROS E
OPERAÇÕES/ÁLGEBRA
E FUNÇÕES
O conhecimento dos números
é indispensável no cotidiano e
estão presentes em vários
campos da sociedade.
PROVA BRASIL / SAEB
Parte importante do currículo para:
Observar e estabelecer
comparações sobre
situações ou fenômenos.
Compreender melhor as
informações nos diferentes
formatos.
TRATAMENTO
DA
INFORMAÇÃO
Favorecer a capacidade
de estimativa, de emissão
de opiniões e de tomada
de decisão.
Permitir a articulação de
conceitos entre as áreas
do conhecimento.
ATIVIDADE 1
Aproximação entre Descritores e
Expectativas de Aprendizagem.
Discutindo ...
1) Todas as expectativas são contempladas
nos descritores?
2) O descritor, em análise, está presente
em quais séries?
3) Há expectativas que não podem ser
aferidas em uma avaliação de larga
escala, como a Prova Brasil?
Exemplo ...
TEMA: Espaço e Forma
CONTEUDO ESTRUTURANTE:
Geometrias
D11: Reconhecer círculo e circunferência,
seus elementos e algumas de suas
relações.
C.E.: 5ª série (57) Diferencie círculo e
circunferência identificando seus
elementos.
6ª série (112) Reconheça círculo e
circunferência e alguns de seus
elementos: centro, raio, arco, diâmetro e
corda.
ESCALA DE PROFICIÊNCIA
• Os resultados da avaliação de Matemática são
organizados em uma escala de proficiência.
A escala é numérica e varia de 0 a 500.
Conhecimentos:
4ª EF < 8ª EF < 3ª EM
• Como os números indicam apenas uma
posição, é feita uma interpretação pedagógica
dos resultados por meio da descrição, em cada
nível, do grupo de conceitos que os alunos
demonstraram ter desenvolvido, ao
responderem às provas.
• É possível saber, pela localização numérica do
desempenho na escala, quais conceitos os
alunos já construíram, quais eles estão
desenvolvendo e quais ainda faltam ser
alcançados.
NÍVEIS DE PROFICIÊNCIA EM
MATEMÁTICA
• O que caracteriza um nível de proficiência é
um conjunto de conceitos. Isto significa que,
às vezes, um conjunto de estudantes está
alocado em um nível de proficiência, pois
mostra ter desenvolvido os conceitos desse
nível.
• Esse mesmo grupo de estudantes pode
também ter desenvolvido alguns conceitos
alocadas no nível seguinte, mas não o
conjunto de conceitos desse nível.
• O que determinará que um grupo de
estudantes esteja em um nível e não em
outro é exatamente o fato de esses
estudantes demonstrarem, na resolução
dos itens, um conjunto de conceitos
desenvolvidos que caracterizam esse
nível.
• Assim, em cada nível, destacamos o
conjunto de habilidades mais frequentes, o
que caracteriza o nível de proficiência.
• Na Prova Brasil e no SAEB os níveis são
subdivididos de 25 em 25.
Importante
• Fazer a leitura mais integral da escala
observando-se não apenas a posição do
desempenho de sua escola, mas também o
significado dos intervalos posteriores ou
anteriores ao que a escola ficou
posicionada.
PESQUISANDO O ÍNDICE DE
PROFICIÊNCIA DA SUA ESCOLA
www.inep.gov.br
• Desempenho em Matemática: <225-250>
Importante!
Analisar:
• O conjunto de conceitos alocados entre
<220-225>
• O conjunto de conceitos alocados entre
<225-250>
• O conjunto de conceitos alocados entre
<250-275>
ATIVIDADE 2
• Analise o resultado de uma escola com a
escala de proficiência de Matemática e
identifique quais conceitos os alunos já
construíram, quais eles estão
desenvolvendo e quais ainda faltam ser
alcançados. Aponte sugestões para atingir
os conceitos ainda em desenvolvimento.
Índice de Desenvolvimento da Educação Básica
Entendendo o Ideb
Idebij  N ij  Pij
Idebij
N ij
Índice de desenvolvimento da educação básica da etapa/nível de
ensino i na unidade j (onde j pode ser escola, rede de ensino, Região
Geográfica, Unidade da Federação, Brasil etc.)
Proficiência média padronizada (Prova Brasil ou Saeb) obtida pelos
alunos da etapa/nível i na unidade j
N ij 
Pij
Desem penhoij  Min
Max  Min
 10
Taxa média de aprovação da etapa/nível i na unidade j
69
Limite Superior e inferior
das Proficiências
SÉRIE
MATEMÁTICA
LÍNGUA
PORTUGUESA
Sinf
Ssup
Sinf
Ssup
4ª do EF
60
322
49
324
8ª do EF
100
400
100
400
3ª do EM
111
467
117
451
Nij 
Desempenhoij  Sinf
Ssup  Sinf
10
70
Idebij  N ij  Pij
L.Portuguesa  Min
N ij 
 10
Max  Min
Matemática  Min
N ij 
10
Max  Min
Matemática  L.Portuguesa
Média  N ij 
2
Idebij  N ij  Pij
Indicador de Rendimento (P)
Nota Média Padronizada (N)
AS QUESTÕES/ITENS DA
PROVA
ITENS
• Os itens da avaliação da Prova Brasil são
elaborados a partir dos conjuntos de
descritores, agrupados em cada Tema
da Matriz de Referência.
• Não contemplam todas as dimensões do
conhecimento e procedimentos
matemáticos, mas somente o que pode
ser objetivamente verificado.
• Cada item contempla somente um único
descritor, ou seja, pode-se aferir apenas
uma habilidade matemática.
Por exemplo, não contemplam a habilidade
em realizar cálculo mental ou de expressar
oral ou por escrito uma determinada
situação em linguagem matemática.
• A partir dos itens da Prova Brasil é
possível afirmar que um aluno
desenvolveu uma certa habilidade quando
ele é capaz de resolver um problema por
meio da utilização/aplicação de um
conceito por ele já elaborado.
ENUNCIADOS
• Propõe a questão de modo que o aluno possa
formular uma resposta sem ler as
alternativas.
• Devem ter linguagem e abordagens adequadas
para a faixa etária dos alunos e envolvem
conhecimentos previstos para a série em
questão e abordados nos Descritores.
• Os enunciados devem ser claros e curtos,
envolvendo contextos integrados à situação
matemática envolvida.
• Pode ser apresentado em forma de frase
incompleta.
• Pode ser apresentado em forma de
pergunta.
ALTERNATIVAS
• Elaboração das alternativas considerando
que:
haverá apenas uma resposta correta;
os distratores são as respostas
incorretas – porém plausíveis – são
alternativas com aparência de
resposta correta, mas que são
inquestionavelmente incorretas em
relação ao enunciado.
• Os distratores dão informações para a
análise dos níveis de proficiência, na
medida em que se procuram focalizar
erros comuns nessa etapa de
escolarização.
• As respostas previstas nos distratores de
um item devem ser capazes de dar
informações acerca do raciocínio
desenvolvido pelo estudante na busca
da solução para a tarefa proposta. A
análise das respostas dos estudantes
permite identificar os erros mais comuns
nos diversos níveis de proficiência.
ANÁLISE DE
QUESTÕES
Exemplo: 9º ano/8ª série
Uma caixa d’água, com a forma de um
paralelepípedo, mede 2 m de comprimento por 3 m
de largura e 1,5 m de altura. A figura abaixo ilustra
essa caixa. O volume da caixa d’água, em m³, é
(a) 6,5.
(b) 6,0.
(c) 9,0.
(d) 7,5.
O que se pretende avaliar?
Cálculo do volume ou a capacidade de sólidos
geométricos simples (paralelepípedos e cilindros,
principalmente).
Qual descritor e qual Tema/Conteúdo
Estruturante da questão?
D14: Resolver problema envolvendo noções de
volume.
Tema e Conteúdo Estruturante: Grandezas e
Medidas.
O que o resultado sugere?
• Que análise pode ser feita em relação
aos distratores?
DISTRATORES E ANÁLISE DO
ERRO
[…] no processo de ensino e aprendizagem, não
basta apenas conhecer os erros e os acertos, a
correção ou incorreção das respostas dos alunos,
numa determinada prova de avaliação, mas sim, e
principalmente, conhecer os processos que o
levam a produzir estas respostas. Mais do que
controlar, o professor deve interpretar, identificar
problemas e levantar hipóteses explicativas que
lhes permitam avaliar a complexidade e
sofisticação do pensamento do aluno. Mais do que
medir determinados comportamentos, importa
compreender as razões do erro.
Hoffmann (1992)
O piso de uma sala está sendo coberto por
cerâmica quadrada. Já foram colocadas 7
cerâmicas como mostra a figura
Quantas cerâmicas faltam para cobrir o
piso?
(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 15
• O que se pretende avaliar nessa
questão?
Compreensão do conceito e cálculo
(estimativa) de áreas de figuras planas.
• Qual descritor e qual Tema/Conteúdo
Estruturante da questão?
Tema II: Grandezas e Medidas
D12: Resolver problema envolvendo o
cálculo ou estimativa de áreas de
figuras planas, desenhadas em malhas
quadriculadas.
Conteúdo Estruturante: Grandezas e
Medidas
O piso de uma sala está
sendo coberto por
cerâmica quadrada. Já
foram colocadas 7
cerâmicas como mostra a
figura
Quantas cerâmicas faltam para cobrir o piso?
(A) 7 - o estudante considera as peças de cerâmica
já colocadas.
(B) 8
(C) 9 – ?
(D) 15 – o estudante considera as peças de
cerâmica necessárias para preencher todo o piso.
Sobre a Sala de Apoio à
Aprendizagem em Matemática
A análise do erro sobre questões da Prova
Brasil, pode ser uma das estratégias para
definição de critérios de indicação de alunos
para Sala de Apoio.
Análise de Questões
Exemplo: 5º ano/4ª série
No mapa está
representado o
percurso de um
ônibus que foi de
Brasília a João
Pessoa e passou
por Belo
Horizonte e
Salvador.
Quantos quilômetros o ônibus
percorreu ao todo?
(A) 1670 km.
(B) 2144 km.
(C)2386 km.
(D) 3100 km.
O que se pretende avaliar nessa
questão?
• Cálculos contextualizados em que se
requer que o aluno simplesmente efetue
operações de adição e subtração com
números naturais. A contextualização
apenas ilustra as operações.
Qual descritor e qual Tema/Conteúdo
Estruturante da questão?
• D17: Calcular o resultado de uma adição
ou subtração de números naturais
• Tema: Números e Operações/Álgebra e
Funções
• Conteúdo Estruturante: Números e
Álgebra
O que o resultado sugere?
• Os resultados demonstram que 72% dos
alunos chegaram à resposta correta, ou
seja, os números foram identificados e
adicionados corretamente. Os alunos que
marcaram as alternativas incorretas devem
ter considerado apenas duas parcelas: 714
+ 956, (5%); 714 + 1430, (9%); 1430 + 956,
(11%).
Que sugestões podem ser dadas para
melhor desenvolver esse conceito?
• É importante, para o desenvolvimento
desse conceito, que o professor incentive
seus alunos a expor suas estratégias
individuais, não demonstrando,
inicialmente, procedimentos para tornar a
operação automatizada.
ATIVIDADE 3
Analise algumas questões da Prova
Brasil/Saeb 9º ano/8ª série
ALGUNS CRITÉRIOS DE
ELABORAÇÃO DE ITENS
ELABORANDO ITENS
• Enfocar uma situação-problema evitando
a muldimensionalidade.
• Propor problemas e alternativas que
sejam factíveis e admissíveis.
• Considerar o cotidiano – itens
significativos, interessantes e atrativos –
utilizando situações autênticas (jornais,
revistas, atlas, literatura pertinente).
• Não elaborar itens que contenham
“pegadinhas” (malicioso, enganoso,
induzir ao erro) (Ex: abordagem de
conteúdos triviais; detalhes irrelevantes;
problema que oferece múltiplas
possibilidades de resposta).
• Levar em consideração o tempo de
leitura exigido do aluno. No caso de
textos associados a tabelas cuidado
especial em relação a extensão, volume
de informações e itens associados.
• Não usar alternativas do tipo “todas as
anteriores” ou “nenhuma das anteriores”.
ATIVIDADE 4
Baseando-se nos Descritores da Prova
Brasil/Saeb e no caderno de
expectativas de aprendizagem
elaborem questões para uma prova de
larga escala como a Prova Brasil/Saeb.
INFORMAÇÕES GERAIS
Escolas participantes:
Prova Brasil (quase censitária): 5º e 9º ano do E.F.
- escolas públicas;
- mínimo de 20 alunos matriculados por turma (urbana
e rural).
Saeb (amostral): 5º, 9º ano do EF e 3º ano do EM
- escolas públicas e privadas;
- mínimo de 10 alunos matriculados por turma.
Prova Brasil e SAEB 2011
As provas serão aplicadas no período
de 7 a 18 de novembro de 2011, em
todos os Estados e no Distrito
Federal.
ENSINO DA MATEMÁTICA
É fundamental para o ensino e
aprendizagem em Matemática:
(LORENZATO, 2008)
• O Professor dominar o conteúdo e sua
didática;
• Refletir sua prática docente e manter-se
atualizado;
• Socializar conhecimentos, pois a
sabedoria construída pela experiência
precisa ser dividida;
• Precisa estar inserido à realidade do
aluno;
• Compreender que a Matemática tem uma
linguagem própria;
• Ser ensinada de forma integrada;
• Promover a investigação, a descoberta, a
intuição, a sensibilidade diante da
Matemática.
“Ensinar matemática na escola só faz sentido
quando se proporcionam aos estudantes, de
qualquer nível de ensino, ferramentas
matemáticas básicas para o desenvolvimento de
seu pensamento matemático sempre apoiadas
em suas práticas sociais, tendo em vista uma
qualificação adequada que promova a inclusão
social do estudante e o capacite para atuar no
mundo social, político, econômico e tecnológico
que caracteriza a sociedade do século XXI”.
(INEP, 2009)
“Isso nos instiga a refletir sobre a
diferença entre ensinar matemática e
ensinar a apreciar a matemática.”
(CIFUENTES, 2003, p. 60)
REFERÊNCIAS
•
•
•
•
BRASIL, Ministério da Educação. PDE: Plano de
desenvolvimento da Educação. Prova Brasil:
ensino fundamental: matrizes de referência,
tópicos e descritores. Brasília: MEC, SEB, Inep,
2008.
_________. Matemática: orientações para o
professor, Saeb/Prova Brasil, 4ª série/5ºano, ensino
fundamental. Brasília: Inep, 2009.
CIFUENTES, J.C. Fundamentos Estéticos da
Matemática: Da Habilidade à Sensibilidade. In:
BICUDO, M. A. V. (Org). Filosofia da Educação
Matemática: Concepções e Movimento Brasília:
Editora Plano, 2003.
LORENZATO, Sérgio. Para aprender matemática. 2
ed. Campinas: Autores Associados, 2008.