Diferenciação Horizontal de Produto
Modelo de Hotelling
1
Modelo de Hotelling
• Hotelling (1929) critica Bertrand por este assumir
homogeneidade do produto pois isso tem implicações
pouco realistas:
– uma pequena descida do preço de uma empresa leva a
que esta capture todo o mercado.
• Existe uma descontinuidade da Procura
• Em situações reais o mais comum é que um pequeno
aumento do preço desvie apenas um pequeno número de
consumidores para a outra empresa.
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Modelo de Hotelling
• Introduz diferenciação numa única dimensão: distância
entre consumidor e produtor.
• O factor geográfico é um factor de diferenciação
• A distância implica a existência de custos de transporte:
– Custos directos: custos da gasolina, bilhete de
autocarro
– Custos indirectos: tempo necessário para a deslocação.
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Estrutura do Modelo
O mercado é uma linha recta de dimensão 1
Ex: rua principal de uma cidade, praia
Os consumidores distribuem-se uniformemente ao
longo da linha
Existem duas empresas no mercado: A e B
Ambas as empresas têm custo médio e marginal
constante e igual a zero.
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Estrutura do Modelo
• O produtor A está instalado a uma distância a da
ponta esquerda do mercado; o produtor B está
instalado a uma distância b da ponta direita do
mercado.
0
A
a
5
B
(1-b) - a
1
b
Estrutura do Modelo
• A localização pode ser alterada sem custo
• t custo de transporte por unidade de distância
• Cada consumidor paga um preço FOB (Free On
Board): a empresa cobra o preço P e o consumidor
paga o transporte
PA + t x Preço pago pelo consumidor que se
encontra a uma distância x da empresa A e que
compra a essa empresa.
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Estrutura do modelo
• Existe um consumidor em cada ponto da linha e
cada consumidor compra exactamente uma
unidade do bem
• Cada consumidor compra uma unidade do bem ao
vendedor que oferece o preço FOB mais baixo.
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Equilíbrio de Nash
Um equilíbrio não cooperativo em preços e
localizações é um par de escolhas (p, l) para cada
empresa tal que o preço e a localização de cada
produtor maximiza o seu payoff, dados os preços
e a localização da empresa rival.
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Jogo em duas etapas
• 1ª Etapa: as empresas escolhem de uma forma
não cooperativa as respectivas localizações
• 2ª Etapa: as empresas escolhem os preços
• O jogo resolve-se do fim para o princípio:
começamos por analisar o equilíbrio não
cooperativo em preços, tomando as localizações
como um dado.
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Localização do Consumidor
Indiferente: x*
PA+ t |x-a|
X* é indiferente entre comprar a A ou a B
PA + t |x*-a | =PB + t |1-b-x*|
PB + t |1-b-x|
t
t
PA
PB
0
10
A
Procura Empresa A
x*
B
1
Procura Empresa B
Localização do Consumidor
Indiferente: x*
PB + t (1-b-x)
PA+ t (x-a)
t
t
PA
PB
0
11
A
Procura Empresa A
x*
B
Procura Empresa B
1
Determinação do consumidor
indiferente
pB  p A 1  b  a
x* 

2t
2
A procura dirigida à empresa A consiste em todos os
consumidores localizados à esquerda do ponto x*
.Quando a x*  1-b, x* funciona como uma
fronteira entre os consumidores fornecidos por A
e por B (partilham o centro do mercado)
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Equilíbrio de Nash do Jogo em Preços
É um par (PA*, PB*) tal que PA* é a melhor resposta
contra PB* e vice-versa.
Suponhamos que a=1-b, isto é ambas as empresas se situam
no centro do mercado.
Neste caso o modelo é equivalente ao modelo de Bertrand e
existe um único equilíbrio dado por: PA*, PB*= c =0
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Suponhamos que não há concorrência
em preços
• Neste caso os preços são independentes das
localizações das empresas e são iguais para ambas
PA= PB =P
Qual seria a localização escolhida pelas
empresas?
Consumidor indiferente: x*=(1-b+a)/2
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Qual é o equilíbrio de Nash?
• Se a empresa B está à direita do centro (1-b>1/2) a
melhor resposta da empresa A é colocar-se
imediatamente à esquerda de B.
• Mas então a melhor resposta de B seria colocar-se
imediatamente à esquerda de A e assim
sucessivamente.
A
0
15
BA B
1/2
1
O equilíbrio de Nash é ...
• O centro do mercado: a=1-b=1/2
• Se não há concorrência em preços as
empresas tendem a localizar-se no centro
do espaço das variedades sendo a
diferenciação dos produtos mínima
16
Equilíbrio em Preços dadas as localizações:
P*A=t(1+(a-b)/3)
P*B=t(1+(b-a)/3)
O par (P*A, P*B) só é verdadeiramente um equilíbrio em
preços se as localizações verificarem as seguintes
condições:
2
1  a  b   4 a  2b 


3 
3

2
1  b  a   4 b  2a 


3 
3

Equilíbrio em Preços dadas as localizações:
• Se a=b (localizações simétricas) então estas
condições implicam que a1/4 e b 1/4
0
1/4
1/4
1
Estas condições asseguram que p(P*A)> p (PA=P B*-t(1-b-a))
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Outro Equilíbrio
• Se considerarmos a existência de custos de transporte
quadráticos é possível mostrar que as empresas vão
escolher como localizações os extremos do mercado
• Intuição: ao se afastarem em termos de localizações as
empresas reduzem a intensidade da concorrência em
preços.
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Diferenciação Vertical de Produto
• População de consumidores heterogénea
• Utilidade de consumir 1 unidade de produto de qualidade
percebida u é: u   u  P
• P é o preço de uma unidade de produto de qualidade u.
• Cada consumidor compra uma única unidade do bem
• A utilidade de não comprar o bem é infinitamente negativa
•  -> disposição do consumidor a pagar por qualidade
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•  está uniformemente distribuído no intervalo  , 
• Assumimos que   2 para garantirmos que ambas as
empresas estão activas no equilíbrio.
• As empresas têm a mesma tecnologia
Cmg  c  é independente da qualidade
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Jogo
1ª ETAPA
2ª ETAPA
Escolha de
u1 , u2
Qualidade
Escolha de
P1 , P2
Preços
*
Equilíbrio de Nash (u1* , u2
)
*
*
Equilíbrio de Nash ( P1 , P2 )
*
*
(P
(
u
,
u
),
P
1
1
2
2 (u1 , u2 ))
•
22
Começamos por determinar o equilíbrio de preços associado com o par de qualidades
Começamos por assumir u2
qualidade mais elevada.
 u1,
isto é, a empresa 2 tem umas
Consumidor marginal: indiferente entre comprar à empresa 1 e 2.
u2  u1  P2  P1
ˆu2  P2  ˆu1  P1
ˆ 
P2  P1
u2  u1
u  u2  u1

D1
23

ˆ
D2
Os consumidores do tipo   ˆcompram o produto da empresa 1
e os consumidores do tipo   ˆ compram o produto da
empresa 2.
Valor de P1 que maximiza a função lucro da empresa 1
 P  P1

Max p 1   ( 2
  ) P1 
P
1
u


P2
u
P1* ( P2 ) 

2
2
Valor de P2 que maximiza a função lucro da empresa 2
max
P2
P2* 
24
p2  
 


P1

2
u
2
P2  P1 
P2

u

Equilíbrio em preços, dadas as qualidades:
P2
2u  u
f1 ( P2 )
2u
f 2 ( P1 )
u(2   )
u
u
2
u

u(  2 )
0
P2* 
P2

2
*
P

1
*
P

1
25
P2* 
P1 u

2
2

2
 
P2*  P1*
u
2
 2
u
3

u
3
u
P 
já que
Para o caso em que
*
P

1
P2* 
 
3
u
u1  u2vem:
2

P1

.u
3
 2
.u
3