Diferenciação Vertical de Produto
• População de consumidores
heterogénea
• Utilidade de consumir 1 unidade de
produto de qualidade percebida n é:
u   u  P
• P é o preço de uma unidade de
produto de qualidade u.
• Cada consumidor compra uma única
unidade do bem
• A utilidade de não comprar o bem é
infinitamente negativa
•  -> disposição do consumidor a pagar
por qualidade
•  está uniformemente distribuído no
intervalo  , 
• Assumimos que   2 para
garantirmos que ambas as empresas
estão activas no equilíbrio.
• As empresas têm a mesma tecnologia
Cmg  c  
é independente da
qualidade
• A empresa suporta um custo fixo que
depende do nível de qualidade
escolhido (não depende da quantidade
de produto)
c(u, )  u 2
Jogo:
1ª ETAPA
Escolha de
Qualidade
Equilíbrio de Nash
(u1* , u2* )
u1 , u2
2ª ETAPA
Escolha de
Preços
Equilíbrio
de Nash
*
*
( P1 , P2 )
P1 , P2
• Começamos por determinar o equilíbrio de
preços associado com o par de qualidades
( P1* (u1 , u2 ), P2* (u1 , u2 ))
Começamos por assumir u2  u1 , isto é, a
empresa 2 tem umas qualidade mais elevada.
Consumidor marginal: indiferente entre comprar
à empresa 1 e 2.
ˆu2  P2  ˆu1  P1
u2  u1  P2  P1
P2  P1
ˆ

u2  u1
u  u2  u1


ˆ
D1
D2
Os consumidores do tipo   ˆ compram o
produto da empresa 1 e os consumidores do
tipo   ˆ compram o produto da empresa 2.
Procura da Empresa 1:
D1
ˆ  
P1  P2 u
0
ˆ  
P2 u  P1  P2 u   ˆ  
 
P1  P2 u
ˆ  
P1
P2  u
P2  u
D1 ( P1; P2 )
0
 

Procura da Empresa 2:
D2     D1 ( P1; P2 )
D2
ˆ  
 
se P2  P1  u
  ˆ
se P1  u  P2  P1  u   ˆ  
0
se P2  P1  u
ˆ  
Função Lucro da Empresa 1:
se P1  P2 u
0
1 ( P1 , P2 )
P2  P1
(
  ) P1 se P2 u  P1  P2 u
u
(   )P1
se P1  P2 u
A Função Lucro é contínua:
1
(   )  P2  u 
0
P2  u
P1*
P2  u
P1
Maximizando a função lucro em relação a P1, tomando P2
como dado, obtemos a função de melhor resposta para a
empresa 1.
Valor de P1 que maximiza o 2º ramo da função
lucro
 P  P1

Max  1   ( 2
  ) P1 
P1
 u

P u
P1* ( P2 )  2 
2
2
Temos de garantir que:
P1*   P2  u , P2  u 
Se P1  P2 u a melhor resposta da empresa 1 é
escolher o nível de preço compatível com a situação em
que cobre todo o mercado
*
P1  P2 u
Isto porque a empresa 2 está a praticar um preço
demasiado alto
P1*  P2 u  P2  (2  )u
Se P1  P2  u significa que P2  u
preço da empresa 2 é demasiado baixo.
*
ou seja o
Esta situação só é possível quando P2  u
ou
seja P2  u  0 logo a empresa 1 escolhe P1  0.
Qualquer preço não negativo coloca a empresa 1 fora do
mercado.
Função de Melhor Resposta da Empresa 1:
P1  P2 u
*
1
P ( P2 )
P1 
se P2  (2   )u
P2
u
se u  P2  (2  )u

2
2
P1  0
se P2  u
Empresa 2:
Função Lucro
(  )P2
 2 ( P1 , P2 )  ( ˆ)P2
0
se P2  P1  u
se P1  u  P2  P1  u
se P2  P1  u
P  P1 

max  2    2
P2

P2
u 

P1 u
*
P2 

2
2
Temos de garantir que P2* pertence verdadeiramente ao
intervalo
P2*   P1  u , P1  u 
•
P2*  P1  u  P1  (  2 )u
P1 u
*

 P1  u
• Claramente P2 
2
2
logo a função de melhor resposta da empresa 2 só
tem 2 ramos
P ( P1 ) 
*
2
P2  P1  u
se P1  (  2 )u
P1 u se P  (  2 )u
1
P2  
2
2
• As funções de melhor resposta para o caso em
que u1  u2 podem ser obtidas seguindo o mesmo
processo.
• Quando u1  u2 , P1  P2  0
Bertrand
-> Equilíbrio de
Equilíbrio em preços, dadas as qualidades:
P2
2u  u
f1 ( P2 ) f ( P )
2
1
2u
u(2  )
u
u
2

u
u(  2 )
0
P2* 
P1 u

2
2
 
P1* 
P2 u
P  
2
2
P2* 
P P
P 
*
1
*
2
*
1
já que
Para o caso em que u1  u2 vem:
2  
P1* 
.u
3
  2
P2* 
.u
3
u
  2
3
u
2  
u
3
 
3
u
P1
Escolha da Qualidade (1ª Etapa)
•Caso com u2>u1
P P
Max 1 (u1 , u2 )  ( 2 1   ) P1   u12
u2  u1
u1
Substituindo ( P2* (u1, u2 ), P1* (u1, u2 )) obtemos
  2
1 (u1 , u2 )  (
3
) 2 (u2  u1 ) P1   u12
A função lucro da empresa que tem a qualidade mais
baixa é decrescente com u1 logo a melhor resposta da
empresa 1 contra u2 é:
u1*  0
•Caso com u1>u2
P P
Max 1 (u1 , u2 )  (  1 2 )( P1 )   u12
u1  u2
u1
1 (u1 , u2 )  (
2   2
) (u1  u2 )   u12
3
C.Iª.O.
1 (2   )2

 2 u1  0
u1
9

u 
2
*
1
com
(2   ) 2

9
Falta-nos verificar que esta é realmente a melhor
resposta.
Só é a melhor resposta se o lucro da empresa 1 for
superior, dada a estratégia da empresa 2, ao lucro que
obtém com
u1  0
1   (u1  u2 )   u12 se u1  u2
e
1   (u2  u1 )  u12
se u2  u1 e
então temos que garantir
1
2
 (  u2 )   .
  u2
2
(2 ) 2
2
2
  u2 
  u2
2
4
2
logo u2 
4 (   )
 
  2 
9
2
Função de melhor resposta da empresa 1
 * 
u1  2


u *  0
 1
2
se u2 
4 (   )
2
se u2 
4 (   )
u2
 / 2
2
4 (   )
f1 (u2 )
0
2
4 (   )

2
u1
Princípio de Diferenciação Máxima: ambas as
empresas obtêm maiores lucros se a diferenciação de
produtos for máxima pois diminui a concorrência
em preços.
Temos 2 equilíbrios de Nash:
u1*  0, u2* 

2
e

u 
, u2*  0
2
*
1
Se a entrada fosse sequencial a empresa que entra em
primeiro lugar escolheria a qualidade máxima e a
empresa que entra a seguir escolhia a qualidade
mínima.