O modelo de ondulação
do geóide e da anomalia
da altitude em Lisboa
Ana Paula Falcão
Instituto Superior Técnico
Estrutura da Apresentação
Considerações sobre os referenciais altimétricos
Referência altimétrica em Portugal Continental
A transformação das altitudes: método de predição
Modelo local de ondulação do geóide em Lisboa
Modelo local da anomalia da altitude
IV Jornadas Engenharia Topográfica- Instituto Politécnico Guarda
23 e 24 de Maio de 2012
Referência altimétrica
Definição de um datum altimétrico está tradicionalmente associada aos registos do nível do mar:
Primeiros medições
Marcas gravadas nas rochas nas entradas dos portos marítimos, cais fluviais ou margens de rios
Réguas graduadas: Escalas de marés
Primeiros registos das medições: França (1679)
Observações e registos contínuos das marés apresentados pelos geodesistas Jean Piccard e Philippe
de la Hire (Woppelmann, 2006) :
1ºs relativos a 10 dias em Brest.
2ºs relativos a 5 meses em 1692
O jornal francês Journal dês Sçavans, de 22 de Abril de 1675, faz referência a um artigo publicado
num jornal italiano no qual estão descritos, de um modo muito completo, os procedimentos e os
equipamentos que deveriam ser utilizados no registo das marés
Journal dês Sçavans de 22 de Abril de 1675
Athanasius Kircherus, por volta de 1665, designando-o
por Horologium Aestus Marini e descrevendo-o na sua
obra Mundus subterraneus, quo universae denique naturae
Quadrante
de leitura
Contrapeso
Pedaço de
madeira no
interior do
tubo
divitiae .
Nilómetros
Estrabão (63 a.C. – c. 24 d.C.): geógrafo, historiador e filósofo grego
Referenciou na sua Geographia a importância e o modo de medição
das águas do Nilo para efeitos de cálculo de impostos
Nilómetros.
Poço de grande largura provido de
uma escada que descia até ao nível
do lençol freático .
Permitindo
a
medição
das
flutuações do nível da água do rio
Nilo
Objectivo: determinar a
intensidade da inundação anual e,
em consequência, o valor dos
impostos devidos nesse ano.
Nilómetros localizados na Ilha de Elefantina (ilha no rio Nilo, no sul do Egipto, em frente à cidade de Assuão) e
no Cairo
Registos das marés
Marégrafos:
Surgiram na primeira metade do século XIX
Associação Internacional de Geodesia (AIG), em 1864 durante a Convenção de Berlim,
pressionou os países com costa marítima a fazer o maior número possível de registos:
- Inglaterra (1831): Sheerness
- França (1842): Toulon/Marselha
- Holanda (1862): Amesterdão
- Portugal (1892): Cascais
- Espanha (1874): Alicante
- Itália (xxx): Génova
Geóide - nível médio das águas do mar: 2 m (salinidade, temperatura, pressão, correntes,…)
Referência altimétrica em
Portugal
A primeira recomendação relativa às referências altimétricas:
Programa para os Trabalhos da Carta Topográfica de Lisboa (artigos 4.º e 5.º)
Referente aos trabalhos para a elaboração da carta topográfica da Cidade de Lisboa na
escala 1/1 000.
Redigido sob orientação do Conselheiro Filipe Folque, à data director dos Trabalhos
Geodésicos e Topográficos do Reino, com data de 9 de Dezembro de 1854, e de cuja
publicação em Diário do Governo se transcreveram os pontos mais importantes no que
concerne à altimetria:
4.º - Proceder-se-á a um rigoroso nivelamento em todas as ruas, travessas, becos, praças, largos e
nas porções das estradas que entrarem na carta. O plano de referência será a superfície da base
da estátua equestre no Terreiro do Paço; esta superfície tem de altura sobre as águas médias do
Oceano 5,011 metros.
Em cada uma das esquinas em que as ruas e travessas se cruzem ou terminam nos largos e praças,
se marcará em altura conveniente um traço horizontal por cima do qual se escreverá o valor da
cota de nível, que lhe pertencer: (depois o Governo mandará por neste lugar uma chapa de ferro
fundido em que se veja o traço e os algarismos da cota, tudo em relevo).
Carta14- Penha de França
Carta topográfica da cidade de Lisboa 1910 (Carta de Silva Pinto):
Utilizada a mesma referência altimétrica embora à altitude de 5,59 m valor que resultou da ligação
por nivelamento geométrico entre o marégrafo de Cascais e o referido monumento [CML, 2005].
Marégrafo de Cascais
1ª Instalação em 1881
Novo marégrafo:1883
Edifício de abrigo ao marégrafo acústico
2003
Tambor de registo
Poço de acesso ao nível do mar
Crisóstomo et al, 2005 – CNCG; IGP, 2009; Vasco Antunes, 2010
Nível médio das águas do mar
A determinação do valor médio das águas do mar em Cascais resultou das seguintes
considerações (Lemos, 1957):
- Média aritmética das variações diárias;
- Média mensal corrigindo as flutuações, no nível médio, da revolução sinódica da Lua;
- Média anual corrigindo as variações derivadas da variação da distância da Terra ao Sol;
- Média de um intervalo de 19 anos, corrigindo as variações provocadas pela variação em
longitude da linha dos nodos da Lua – ciclo metónico;
- Média de séries de 19 anos.
1º cálculo: registos entre 1882-1938.
2º cálculo: registos entre 1882-1950
(nova referência está indexada à época 1950,5)
Marégrafo
MNP
NIM
NMAM
0m
Nível médio das águas do mar
Localidade
Diferença
(cm)
Vila Real de Santo
António
+ 16
Vila Verde de Ficalho
+ 33
Elvas
+ 15
AHD
(83 )
(-13 )
(-47 )
NAP
(-48 )
Segura
+ 24
(-45 )
(-82 )
(-83 )
Genova
Cascais
Trieste
Vilar Formoso
+ 22
Marselha
Barca d’Alva
+ 39
Miranda do Douro
+ 32
Chaves
+ 48
Valença
+ 48
Diferenças altimétricas em alguns pontos na
fronteira entre a altimetria de Portugal
Continental e a altimetria de Espanha.
(Casaca et al., 2008)
Alicante
(-244 )
Oostend
Valores das translações (em cm) dos data verticais locais em
relação à superfície equipotencial W 0 = 62636856,0 m2s-2
(Bursa et al., 2001).
ENQUADRAMENTO
P
ALTITUDES GEOMÉTRICAS
◦Altitude elipsoidal (h)
AH(P)
ALTITUDE GRAVÍTICA
◦Altitude ortométrica (H)
◦Altitude normal (HN)
RELACÇÕES
sup. terrestre
h(P)
teluróide
H(P)
HN(P)
quasi-geóide
ALTIMÉTRICAS
◦h (P)=H(P)+N(P)
◦h (P)=HN(P)+AH(P)
◦H(P)=HN(P)+AH(P)-N(P)
N(P)
geóide
elipsóide
Tipos de Altitudes
Altitudes gravíticas
geopotencial
Altitudes normais (Mikhail Molodensky
1960, contornar a incerteza da distribuição
das massas no interior da Terra)
P
H G (P ) = W0 − W(P ) = ∫ gdH
H N (P ) =
0
dinâmica
ortométrica
H (P )
H (P ) = G
g
Gravidade normal média:
Modelo de Molodensky; Modelo de Vignal
Modelo de Bomford;Modelo de Hirvonen
Gravidade média:
Modelo de Prey-Poincaré
Modelo de Helmert
Modelo de Niethammer
Modelo de Mader
Modelo de Mueller
Modelos de Ramsayer
Modelo de Ledersteger
Modelo de Baranov
W (P ) − U 0
γ (Q )
Altitude normal
Altitude normal-ortométrica
Altitude ortométrica
Sem informação
ALTITUDES NORMAIS
GRAVIDADE
γ 0 (ϕ) =
NORMAL
a γ a Cos2 ϕ + b γ b Sen2 ϕ
a 2 Cos2 ϕ + b 2 Sen2 ϕ
 2

ω2 a 2 b
3 2
h 
γ(ϕ, h) ≈ γ 0 (ϕ) 1 −  1 + f +
− 2fsen2 ϕh +

GM
a2
 a 


GRAVIDADE NORMAL MÉDIA
Modelo de Molodensky
Modelo de Vignal
Modelo de Bomford
Modelo de Hirvonen
2
 
H
ω2 a 2 b
H  
γ(ϕ, h) = γ(ϕ) × 1 −  1 + f +
− 2fsen2 ϕ N +  N  
 a
 
GM
 a  

 
0.40
0.20
0.00
-0.20
1
2
3
ALTITUDE
NORMAL
m
-0.40
-0.60
-0.80
-1.00
g (P) × H(P) + U 0 − W0
HN (P) =
γ(Q)
-1.20
-1.40
-1.60
Molodensky - Vigna (x 0.00001)l
Molodensky - Bomford
Molodensky- Hirvonen (x 0.00001)
4
5
6
7
8
300
0.5060
275
250
0.5040
225
200
0.5020
175
0.5000
150
125
(m )
(m)
COMPARAÇÃO ENTRE AS ALTITUDES
LINHA DE NIVELAMENTO GEOMÉTRICO
MALVEIRA--BUCELAS
MALVEIRA
BUCELAS--V.F.XIRA
100
75
0.4980
0.4960
50
25
0.4940
0.4920
0
N1
N2
N3
N4
N5
N6
N7
N8
N9 N10 N11 N12 N13 N14
0.4900
altitude ortométrica
altitude elipsoidal
altitude normal
N1
N2
N3
N4
N5
N6
N7
N8
N9
N10 N11 N12 N13 N14
A transformação das altitudes
Métodos
Clássicos
◦Método de Stokes
anomalia da gravidade
◦Método astrogeodésico
desvios da vertical
◦Funções harmónicas esféricas
potencial perturbador
Método
Proposto
◦Método de predição
expedito
pouco dispendioso
probabilístico
Método de Predição
Campos Escalares Aleatórios (CEA): funções cujo dominio é o plano cartesiano e o
contradominio é a familia de variáveis aleatórias gaussianas
a=200
Φ ( x , y ) = Z ∈ N( µ , σ 2 )
 (z − µ )2
1
exp −

σ 2π
2σ 2

a=400
1




◦ Isotropia
◦ Variograma (medida da correlação)
◦ Autocovariância
modelo exponencial
autocovariância
FDP: f( z|µ , σ ) =
a=300
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
dist (m)
C(ρ) = σ 2 ϕ (ρ)
 3ρ 
C (ρ ) = σ 2 exp  −

 a 
ρ- distância entre pares de pontos
a - alcance efectivo
σ2 - variância na origem
Método de Predição
Campos
Escalares Aleatórios Gaussianos
Z* (x, y) = µ(x, y) + Z(x, y)
Dada uma amostra (z1,….zn) do campo escalar, o objectivo é predizer o valor da variável Z(x,y) e
da têndencia. Consideramos apenas preditores lineares.
Tendência
µ(x,y)
Preditor linear da tendência
n
L T (x, y) =
∑ ωi Z (x i , y i )
i =1
CEA
com autocorrelação intrínseca Z(x,y)
Preditor linear da V.A. Z(x,y)
n
L 0 ( x, y) =
∑ λ i Z (x i , y i )
i =1
A tendência
Funções polinomiais
Polinómio bilinear
Polinómio de 2º grau
Polinómio de 3º grau
PB : a44 + a43 xi + a34 yi + a33 xi yi
P 2G : a44 + a43 xi + a34 yi + a33 xi yi + a42 xi2 + a24
P3G : a44 + a43 xi + a34 yi + a33 xi yi + a42 xi2 + a24 yi2 +
+ a32 xi2 yi + a23 xi yi2
Funções trigonométricas
n
∑ (z − zˆ )
A tendência
R2 = 1 −
i =1
n
2
R 2a = 1 −
∑ (z − z )
2
i =1
Sobreajustamento
Critérios numéricos
Coeficiente de determinação ajustado (R2a)
Critério de comparação (CP)
 n
2
 ∑ ( z − zˆ ) 
i =1
 PA − (n − 2 × p )
CP =  n
PA

2 
ˆ
(
z
−
z
)
∑

 i =1

 n− p 



 PR
Critério Prediction Sum of Squares (PRESSP)
n
Critério de Akaike (AIC)
PRESSp = ∑ d 2 , com d = z − zˆ
i =1
Método de Jackknife
n+p
 SQR 
AIC = ln
+
 n  n−p−2
( n − 1)
(n − p)
R2
Preditor:: BLUP
Preditor
(Preditor linear cêntrico que minimiza a variância do erro de predição )
Método Dos Multiplicadores de Lagrange:
Coeficientes do BLUP (B1,….Bn) definidos pelos pontos estacionários do
Lagrangeano
 ϕ (ρ11 )
 M

ϕ (ρ n1 )

 1
L ϕ (ρ1n ) 1  β1   ϕ(ρ1 ) 
O
M
M   M   M 
=
×
L ϕ (ρ nn ) 1 β n  ϕ(ρ n )
   

1
0 β 0   1 
L
Aplicações
B - Modelo local de ondulação do geóide
A - Modelo local da anomalia da altitude
13 km
Predição da ondulação do
geóide em Lisboa (V.G.)
Fonte: IGP
Critério
PB
P2G
P3G
R2a
0,9593
0,9590
0,9664
CP
PRESSp
AIC
9,3401
0,0066
2,0
11,0863
0,0062
2,3
8,0000
0,0199
2,4
29 V.G.
Predição da ondulação do
geóide em Lisboa (V.G.)
0.0013
0.0011
0.0010
0.0008
0.0006
0.0005
0.0003
0.0002
12.60
10.09
8.76
7.61
6.78
6.17
5.62
4.98
4.37
3.90
3.34
2.64
1.79
0.00
0.0000
dist (km)
Parâmetros empíricos
PR (cm)
Desvio-padrão (m)
1,1
Amplitude (m)
5,7
Análise:
- variação da ondulação do geóide com uma
amplitude de cerca de 45 cm;
- as isolinhas estão orientadas segundo a direcção
nordeste - sudoeste.
PREDIÇÃO DA ANOMALIA DA
ALTITUDE (M.N.)
Critério
ANA PAULA MARTINS FALCÃO FLÔR
29 DE JULHO DE 2010
PB
P2G
P3G
R 2a
0,368
0,353
0,368
CP
4,009
6,357
8,000
PRESSp
2,68
3,629
-
AIC
8,0
9,0
9,6
PREDIÇÃO DA ANOMALIA DA
ALTITUDE (M.N.)
0.5
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
6.2
8.2 10.8 12.6 14.0 16.7 18.1 18.9 20.8 22.6 25.2 27.1 28.7
dist (m)
Parâmetros
empíricos
PR
(m)
PRCTE
(m)
PU
(m)
PUCTE
(m)
Desvio-padrão
(m)
0,27
0,21
0,26
0,21
Média (m)
0,02
0,06
-0,06
0,06
Amplitude (m)
0,64
0,47
0,64
0,47
Obrigada pela Vossa
atenção
Ana Paula Falcão
Instituto Superior Técnico