→ CONCEITO DE MÚLTIPLOS E DIVISORES NOS NÚMEROS NATURAIS –
1) Conceitos Iniciais
Aprendemos que a relação fundamental da divisão é determinada pela seguinte relação matemática:
DIVIDENDO (D) = QUOCIENTE (Q) x DIVISOR (D) + RESTO (R); sendo que o resto r é o indicador das seguintes
situações:
- quando o resto r for igual a zero (r = 0), a divisão é exata;
- quando o resto r for diferente de zero (r ≠0), a divisão é dita não-exata.
Exemplos:
a) na divisão de 125 ÷ 5 temos: Dividendo: 125; quociente: 25, divisor: 5 e resto da divisão:0; aplicando a relação
fundamental da divisão temos:
125 = 25 x 5 + 0 → 125 = 25 x 5
Resto r = 0
Divisor = 5 (sempre quem divide; fica dentro da chave)
Quociente = 25 (fica sempre embaixo da chave)
Dividendo = 125 (é sempre o número que será dividido)
b) adotando o mesmo critério (a mesma definição) para a divisão de 126 : 5 temos: dividendo: 126, quociente: 25,
divisor: 5 e resto da divisão: 1 (r ≠ 0); aplicando a relação fundamental da divisão temos:
126 = 25 x 5 + 1 → 125 = 25 x 5 + 1
Resto r = 1
Divisor = 5 (sempre quem divide; fica dentro da chave)
Quociente = 25 (fica sempre embaixo da chave)
Dividendo= 126 (é sempre o número que será dividido)
Exercício de Aplicação: Nas divisões a seguir, determine o dividendo, o quociente, o divisor e o resto, classificandoas como divisão exata ou divisão não-exata:
a)887 : 3  887 
b)888 : 3  888 
c)15.555 : 25  15.255 
d )650 : 24  650 
e)12.125 : 125  12.125 
f )777 : 7  777 
g )5.525 : 25  5.525 
h)680 : 20  680 
i )985 : 5  985 
j )356 : 6  356 
Vimos, portanto, que há dois tipos de divisões, exata e não-exata.
A partir de agora iremos trabalhar exclusivamente com divisões exatas.
Voltemos à divisão inicial de 125 ÷ 5:
125 = 25 x 5 + 0 → 125 = 25 x 5
Resto r = 0
Divisor = 5 (sempre quem divide; fica dentro da chave)
Quociente = 25 (fica sempre embaixo da chave)
Dividendo = 125 (é sempre o número que será dividido)
→ Se invertermos a divisão agora e fizermos 125 ÷ 25, ou seja, o quociente será o divisor, vamos obter a seguinte
situação:
125 = 5 x2 5 + 0 → 125 = 5 x 25
Resto r = 0
Divisor = 25 (sempre quem divide; fica dentro da chave)
Quociente = 5 (fica sempre embaixo da chave)
Dividendo = 125 (é sempre o número que será dividido)
Perceba que novamente temos uma divisão exata e, baseado nesta situação, podemos concluir o seguinte
fato: em divisões exatas podemos mudar a ordem entre o divisor e o quociente e, o resultado final do resto será
sempre o mesmo, ou seja, r = 0, pois temos uma divisão exata.
Logo sempre que temos uma divisão exata entre dois números naturais, dizemos que:
- o primeiro número (dividendo) é divisível pelo segundo número (divisor); também podemos dizer que o primeiro
número é múltiplo do segundo;
- o segundo número é divisor do primeiro; também podemos dizer que o segundo é fator do primeiro;
- ao invertermos a ordem, ou seja, o quociente da primeira divisão vira o divisor e, o divisor vira o quociente; temos,
portanto uma nova divisão, logo também é válida para esta divisão as definições anteriores para esta divisão.
Exemplo de aplicação e explicação: Faremos agora uma divisão onde mostraremos os conceitos explicados e os
conciliaremos em uma única situação.
Considere a seguinte divisão exata:
630
00
15
42
→Aplicando a relação fundamental da divisão: 630 – dividendo, 15 – divisor, 42 – quociente,
e resto igual a zero (r = 0); então temos:
→ 630 é divisível por 15, ou ainda, 630 é múltiplo de 15, pois 15 x 42 = 630;
→ 15 é divisor de 630, ou ainda, dizemos 15 é fator de 630;
→ como a divisão é exata temos que: 630 também é divisível por 42; 42 é divisor de 630 e também fator de 630.
(fator – nome dado ao número em uma multiplicação).
Podemos resumir o que foi exposto do seguinte modo:
- como a divisão é exata, logo 630 é divisível ao mesmo tempo por 15 e 42, e 630 é múltiplo de 15 e 42;
- 15 e 42 são divisores de 630, logo também são fatores de 630.
Os múltiplos e divisores de um número estão relacionados entre si da seguinte forma:
- Se 15 é divisível por 3, então 3 é divisor de 15, assim, 15 é múltiplo de 3.
- Se 8 é divisível por 2, então 2 é divisor de 8, assim, 8 é múltiplo de 2.
- Se 20 é divisível por 5, então 5 é divisor de 20, assim, 20 é múltiplo de 5.
Outro exemplo (modo resumido) –
Considere a divisão exata: 150 ÷ 50 = 3 temos então:
- 150 é divisível por 50 e por 3, logo 150 é múltiplo de 50 e de 3;
- 3 e 50 são divisores de 150, logo são fatores de 150.
Exercício de aplicação – Nas divisões exatas a seguir determine quem é divisível por quem, os múltiplos e os
divisores (fatores) envolvidos em cada situação:
a) 240 ÷ 20 →
b) 650 ÷ 25 →
c) 840 ÷ 5 →
d) 1.225 ÷ 25 →
e) 550 ÷ 10 →
f) 720 ÷ 20 →
g)3500 ÷ 100 →
h) 875 ÷ 25 →
i) 999 ÷ 3 →
j) 820 ÷ 3 →
2) Conceito de divisibilidade – Um número natural é divisível por outro quando a divisão do primeiro pelo segundo é
exata ( resto igual a zero).
Exemplos: todas as divisões são exatas:
a) 15 ÷ 3 → 15 é divisível por 3; b) 100 ÷ 20 → 100 é divisível por 20; c) 16 ÷ 3 → 16 não é divisível por 3.
Faremos agora alguns exercícios envolvendo os conceitos: divisibilidade, múltiplo, divisor e fator.
Exercícios de Aplicação –
1) É possível repartir 224 folhas de papel sulfite entre 32 pessoas de modo que não sobrem nenhuma folha, e que
ninguém receba menos folhas? Como isto é possível?
2) Responda:
a) 495 é divisível por 9?
d) 378 é divisível por 12?
b) 1.260 é múltiplo de 7?
e) 4.669 é múltiplo de 23?
c) 8 é divisor de 349?
f) 14 é divisor de 182?
3) Clotilde que colocar 255 balas em saquinhos, todos com a mesma quantidade de balas de modo que não sobre
nenhuma. Que quantidade de balas ela pode colocar em cada saquinho: 8 balas, 12 balas ou 15 balas?
4) Coloque Verdadeiro (V) ou Falso (F), justificando sua resposta:
a) 255 é múltiplo de 8
( )
d) 15 é divisor de 255 ( )
g) 255 não é divisível por 8 ( )
b) 255 é divisível por 12 ( )
e) 12 é divisor de 255 ( )
h) 255 é múltiplo de 12
( )
c) 255 é divisível por 15 ( )
f) 255 é múltiplo de 15 ( )
i) 12 não é divisor de 255
( )
→ Critérios de divisibilidade – são regras que podemos aplicar para verificarmos a divisibilidade entre dois números
sem efetuarmos a divisão entre eles.
Os principais critérios de divisibilidade são os seguintes:

Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par.
Exemplos:
1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0.
2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.

Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3.
Exemplo:
234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é
divisível por 3.

Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos
da direita for divisível por 4.
Exemplo:
1800 é divisível por 4, pois termina em 00.
4116 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
1324 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.
3850 não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.

Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5.
Exemplos:
1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5.
2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0.
3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5.

Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3 (somente números pares são divisíveis por 6).
Exemplos:
1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6).
2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12).
3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3).
4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).

Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos
algarismos da direita for divisível por 8.
Exemplos:
1) 7000 é divisível por 8, pois termina em 000.
2) 56104 é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8.
3) 61112 é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8.
4) 78164 não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8.

Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9.
Exemplo:
2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+8+7+1=18, e como 18 é divisível por 9, então 2871
é divisível por 9.

Divisibilidade por 10
Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0.
Exemplos:
1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0.
2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.

Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem
ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.
O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim
sucessivamente.
Exemplos:
1) 87549
Si (soma das ordens ímpares) = 9+5+8 = 22
Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11
Si-Sp = 22-11 = 11
Como 11 é divisível por 11, então o número 87549 é divisível por 11.
2) 439087
Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10
Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21
Si-Sp = 10-21
Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo,
para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0.
Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.

Divisibilidade por 12
Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4.
Exemplos:
1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20).
2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4).
3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).

Divisibilidade por 15
Um número é divisível por 15 quando é divisível por 3 e por 5.
Exemplos:
1) 105 é divisível por 15, porque é divisível por 3 (soma=6) e por 5 (termina em 5).
2) 324 não é divisível por 15 (é divisível por 3, mas não é divisível por 5).
3) 530 não é divisível por 15 (é divisível por 5, mas não é divisível por 3).

Divisibilidade por 25
Um número é divisível por 25 quando os dois algarismos finais forem 00, 25, 50 ou 75.
Exemplos:
200, 525, 850 e 975 são divisíveis por 25.
Exercícios de aplicação:
1) Considere os seguintes números: 15, 26, 35, 40, 78, 102, 111, 222, 2.200, 408, 555, 540 e 888 e, baseado neles
complete:
- os divisíveis por 2:
- os divisíveis por 3:
- os divisíveis por 4:
- os divisíveis por 5
- os divisíveis por 6:
2) Assinale com um X os critérios de divisibilidade que cada número possui:
Critério
Por 2
Por 3
Por 4
Por 5
Por 6
Por 8
Por 9
Por 10
Por 15
Por 25
777
770
270
540
666
705
1.200
8.000
800
999
444
464
3) Entre os números naturais maiores que 12 e menores que 20, quantos números existem que são divisíveis ao
mesmo tempo por 3 e por 5?
4) Entre os números naturais maiores que 10 e menores que 30, quantos números são aos mesmo tempo divisíveis
por 2, por 3 e por 4?
5) Quais são os números naturais, maiores que 81 e menores que 100, que são divisíveis por 9?
6) Escreva os números existentes entre 20 e 40, incluindo-os, determinando entre eles os números que são divisíveis
por 2 e por 5 ao mesmo tempo.
7) Entre os números que vão do 100 ao 130, escreva aqueles que são divisíveis por 12.
8) Considere o mês de julho que possui 31 dias. Separe cada dia com o critério de divisibilidade que cada dia possui,
separando também os dias que não possuem nenhum critério de divisibilidade.
9) Sem efetuar divisões, identifique os números divisíveis por 2:
a) 86
c) 400
e) 2.345
g) 9.994
i) 70.000
b) 527
j) 3.801
d) 664
f) 12.678
h) 4.999
10) Complete os espaços com é ou não é (justifique):
a) 555 _______ divisível por 5
b) 780 _______ divisível por 2
c) 363 _______ divisível por 3
d) 756 _______ divisível por 6
e) 27 _______ divisível por 9
f) 888 _______ divisível por 12
g) 775 _______ divisível por 9
h) 26 _______ divisível por 4
11) Das quantias abaixo, quais podem ser obtidas somente com notas de R$ 5,00:
a) R4 143,00
b) R$ 220,00
c) R$ 35,00
d) R$ 400,00
12) Escreva um número natural de três algarismos distintos que seja, ao mesmo tempo , divisível por 2, 3 e 5.
13)(Resolvido) Determine o maior número de 02 algarismos que:
a) divisível por 5: sabemos pelo critério de divisibilidade por 5 que todo número terminado em zero (0)ou 5 é
divisível por 5, logo o maior número de 02 algarismos divisível por 5 é o 95 (múltiplo de 5, ou 100 – 5 = 95);
b) divisível por 7: basta efetuarmos a divisão de 100 por 7: 100÷ 7 → 100 = 14 x 7 + 2; logo o maior número de 02
algarismos divisível por 7 é 98 (basta fazer 14 x 7 = 98 ou 100 – 2 = 98)
14) (Resolvido) Determine o maior número de 03 algarismos divisível por 6:
Solução 1: um número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo, logo o número
procurado deve ser par e, como queremos o maior número, este número deve estar entre 990 a 1.000; os prováveis
números a serem pesquisados são os seguintes: 992, 994, 996 e 998 (todos são pares) → 992 : 9 + 9 + 2 = 20 (soma
dos algarismos não é divisível por 3); 994 : 9 + 9 + 4 = 22 ( não serve); 996 : 9 + 9 + 6 = 24 (soma dos algarismos é
divisível por 3) e 998 : 9 + 9 + 8 = 26 (não serve); logo o número procurado é 996.
Solução 2: basta efetuar a divisão de 1.000 por 6: 1.000 ÷ 6 = 166 x 6 + 4; basta fazer : 166 x 6 = 996 ou 1.000 – 4 =
996.
15) Determine:
a) o maior e o menor número de 02 algarismos divisível por 3, que está entre os números 29 e 40;
b) o maior número de 03 algarismos divisível por 8 que está entre os números 990 e 1.000;
c) o menor número de 04 algarismos que é divisível por 2:
d) o maior número de 04 algarismos divisível por 2, por 3 e por 5 ao mesmo tempo: (RESOLVIDO)
Solução: o número que desejamos encontrar está entre os seguintes números: 9.990 a 9.999; logo temos que
lembrar que:
- para ser divisível por 2 o número tem que ser par; ser divisível por 3, a soma dos algarismos tem que ser divisível
por 3 e para ser divisível por 5, tem que terminar em 0 ou 5;
- o número a ser encontrado tem que satisfazer as três condições ao mesmo tempo; logo o único número que
contempla as 03 situações é 9.990 (é par; soma dos algarismos = 27; termina em 0).
e) o maior número de 03 algarismos divisível por 2, por 5 e por 8 ao mesmo tempo: (RESOLVIDO).
Solução 1: o número que queremos encontrar deve ser par (divisível por 2), terminar em 0 (divisível por 5) e ser
divisível por 8, logo como queremos o maior número de 03 algarismos que satisfaça os critérios de divisibilidade
citados basta perceber que se o número termina com zero, as únicas possibilidades seriam: 910, 920, 930, 940, 950,
960, 970 e 990; o único número que se enquadraria nos critérios estabelecidos seria o 960.
Solução 2: o número que queremos encontrar deve ser par (divisível por 2), terminar em 0 (divisível por 5) e ser
divisível por 8, logo:
- efetuamos primeiramente a divisão de 1.000 por 8 para determinarmos o maior número de 03 algarismos que é
divisível por 8: 1.000 ÷ 8 = 125 (pois 125 x 8 = 1.000), então o maior número de 03 algarismos divisível por 8 é 992
(1.000 – 8 = 992);
- a partir deste número basta voltar a razão de 8 (diminuirmos de 8 em 8) até encontrarmos um número par
terminado em 0 → 992 – 8 = 984; 984 – 8 = ..... e assim sucessivamente até encontrarmos o número 960.
16) Determine:
a) o maior número natural de 02 algarismos divisível por 2;
b) o maior número natural de 02 algarismos divisível por 3;
c) o maior número natural de 02 algarismos divisível por 5;
d) o maior número natural de 02 algarismos divisível por 2 e por 5;
e) o maior número natural de 03 algarismos divisível por 5;
f) o menor número natural de03 algarismos divisível por 3;
g) o maior número natural de 03 algarismos divisível por 6;
h) o maior e o menor número natural de 02 algarismos divisível por 4 que esteja entre os números 30 a 42;
i) o maior número natural de 03 algarismos divisível por 25;
j) o menor número natural de 04 algarismos divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo;
k) o menor número de 04 algarismos que seja divisível por 5 e por 6 ao mesmo tempo.
17) Resolva em seu caderno:
a) o menor número natural de três algarismos que é múltiplo de 9, ou seja, divisível por 9.
b) o maior número natural de dois algarismos que é divisível por 15.
c) o maior número natural de três algarismos distintos (todos os algarismos são diferentes) que podemos formar
com os algarismos 2, 7 e 9 que seja divisível por 6.
d) escreva o maior e o menor número natural de três algarismos distintos que podemos formar com os algarismos 2,
3 e 4 que seja divisível por 6.
18) Complete a tabela colocando sim ou não para os critérios de divisibilidade:
Número
Por 2
Por 3
Por 5
2.700
6.800
15.000
3.600
18.600
4.700
Por 15
Por 25
19) Entendendo os Anos Bissextos
Tudo começou no tempo dos antigos egípcios, cujo calendário consistia de 12 meses com 30 dias cada, mais 5 dias
adicionais para completar os 365 que a Terra gasta em seu movimento em torno do Sol.
Bem, pelo menos era o que se pensava, quando a duração do ano foi determinada através das variações da sombra
produzida por uma estaca fincada verticalmente no solo.
Mas na prática sobram incomodas 5 horas, 48 minutos e 46 segundos até que a Terra volte a um mesmo ponto de
sua órbita. Sem a precisão obtida hoje, os egípcios decidiram intercalar 1 dia a mais a cada 4 anos, passando a
chamar seu calendário de Alexandrino.
O ano da confusão
MAIS TARDE, OS ROMANOS TIVERAM SÉRIOS PROBLEMAS com essas inserções.
Particularmente sob o governo de Júlio César, elas foram tão dramaticamente
negligenciadas que no ano 46 d.C. a diferença atingiu 80 dias.
Então eles fizeram um novo calendário, e para começar o ano 46 teria 445 dias (365
+ 80), passando para a história como o "Ano da confusão".
Conheces as leis dos céus?
Poderás estabelecer as suas
regras na Terra?
O Livro de Jó.
Antes das calendas de março
O TERMO BISSEXTO FOI ADOTADO pelos mesmos romanos. Eles também achavam que o ano tinha 365 dias e 6
horas (ou 365,25 dias). Assim, a cada quatro anos as horas excedentes somariam um dia extra de 24 horas, que
precisava
ser
acrescentado
ao
calendário.
Acontece que, no calendário romano, o dia que representava o início de cada mês era chamado calendas. E o tal dia
extra era normalmente inserido após o dia 24 de fevereiro, isto é, 6 dias antes das calendas de março. Como esse dia
era contado duas vezes o chamavam de bis sexto ante calendas martii ou, resumidamente, bissexto.
Os romanos fizeram a intercalação do bissexto rigorosamente durante mais de mil anos. E o calendário Juliano,
afinal, foi adotado em grande parte do mundo ocidental.
Ano solar verdadeiro
CONTUDO, O ANO SOLAR VERDADEIRO TEM 365,242199 dias – portanto mais
curto que o ano Juliano. Ao acrescentar sistematicamente um dia a cada quatro
anos durante tanto tempo, o equinócio da primavera acabou dez dias “atrasado”
em
relação
ao
calendário
em
vigor.
Para a Igreja Católica, isso implicava num acontecimento muito grave: no período
compreendido entre a quarta-feira de Cinzas e a Páscoa, comer carne era VOCÊ NÃO GANHA um dia a
considerado uma heresia. E como a Páscoa era determinada com base no início da mais quando o ano é bissexto,
primavera boreal, estava-se comendo carne num período em que o seu consumo
mas “perde” pouco menos de
era proibido.
seis horas a cada ano!
Os dias que nunca existiram
ISSO DEU ORIGEM A OUTRA REFORMA DO CALENDÁRIO, imposta durante o pontificado de Gregório XIII, no ano de
1582 da era Cristã. Sob orientação do astrônomo Lélio, a reforma Gregoriana do calendário, como ficou conhecida,
consistiu no seguinte:
• Retirar dez dias no ano de 1582
Durante o mês de outubro desse ano, a quinta-feira dia 4 foi sucedida pela sexta-feira, dia 15. Dez dias
“deixaram de existir”, e o equinócio da primavera voltou a coincidir com o dia 21 de março.
• Criar uma nova regra para calcular os anos bissextos
Continuar-se-ia acrescentando 1 dia a cada 4 anos, porém, os anos que fossem múltiplos de 100 deixariam
de ser bissextos, exceto se também fossem múltiplos de 400. Dessa forma retirava-se 1 dia a cada 100 anos
e adicionava-se outro a cada 400 anos (anos centenários como 1500 e 1900 não foram bissextos, mas para
os intermediários é suficiente dividir por 4).
• Limitar a ocorrência da Páscoa
A Páscoa nunca mais cairia antes do dia 22 de março, nem depois de 25 de abril.
Incômodas frações
PODEMOS REPRESENTAR O ANO SOLAR de 365,242199 dias na forma de frações, assim:
Mas na época da reforma Gregoriana a última parcela também era desconhecida, daí porquê o ano Gregoriano
passou a ser definido da seguinte forma:
Repare que ainda resta uma fração a corrigir: –1/3300. Mas essa é fácil, basta lembrar-se de retirar um dia do
calendário a cada 3.300 anos. Existem ainda imprecisões na duração do dia, porém não tão sérias.
É que a Terra gira sobre si mesma em 23 horas e 56 minutos (fora alguns segundos...). Ao fim desse tempo ela torna
a fazer face a uma mesma estrela distante. Mas para fazer face ao Sol, que está muito mais perto, nosso planeta
precisa girar por mais quatro minutos. Esse novo período, de 24 horas, é o chamado dia solar.
→ UMA OUTRA ABORDAGEM SOBRE ANOS BISSEXTOS
O ano de 2008 e 2012 são anos bissextos. Em nosso calendário, chamado Gregoriano, os anos comuns têm
365 dias e os anos bissextos têm um dia a mais, totalizando 366 dias. Esta informação praticamente todo mundo
sabe, mas o entendimento sobre o funcionamento dos anos bissextos ainda é recheado de dúvidas na cabeça de
muita gente. Você saberia dizer quais são os anos bissextos?
Os anos bissextos são anos com um dia a mais, tendo, portanto 366 dias. O dia extra é introduzido como o
dia 29 de Fevereiro, ocorrendo a cada quatro anos.
O período de um ano se completa com uma volta da terra ao redor do sol. Como instrumentos de uso
prático
os
calendários
adotam
uma
quantidade
exata de dias para o período de um ano: 365 dias. Mas na realidade a terra leva aproximadamente 365 dias e 6 horas
para completar uma volta ao redor do sol.
ANO BISSEXTO
Portanto, um calendário fixo de 365 dias apresenta um erro de aproximadamente 6 horas por ano, equivalente a 1
dia a cada quatro anos ou 1 mês a cada 120 anos. Um erro como esse tem sérias implicações nas sociedades,
principalmente nas atividades que dependem de um conhecimento preciso das estações do ano, como a agricultura.
Para diminuir esse erro, foi adotado o ano bissexto, acrescentando-se 1 dia a cada quatro anos. Foi adotado pela
primeira vez no Egito, em 238 AC. O calendário Juliano, introduzido em 45 AC, adotou a regra de que todo ano
divisível por quatro era bissexto. Mas mesmo com essa regra ainda existia um erro de aproximadamente 1 dia a cada
128 anos. No final do século XVI foi introduzido o calendário Gregoriano, usado até hoje na maioria dos países,
adotando as seguintes regras:
1- Será bissexto todo ano cujo número seja divisível por 4 e todo ano múltiplo de 100 deixa de ser ano bissexto;
2- Serão bissextos também os anos que forem divisíveis por 400.
Observação: os anos que fossem múltiplos de 100 deixam de ser bissextos, exceto se também fossem múltiplos de
400, ou seja, o ano múltiplo de 100 não é ano bissexto, entretanto se ele também for divisível (ou múltiplo) por 400
será ano bissexto.
→ Essas regras foram introduzidas para reduzir ainda mais o erro no calendário. O ano 2000 foi o primeiro a usar as
duas regras simultaneamente (2000 é divisível por 4, e múltiplo de 100, e é divisível por 400).
Com base nas informações contidas no texto acima verifique se os anos abaixo são ou não bissextos.
a) 1960: ano da inauguração de Brasília.
b) 2006: ano de eleição para presidente da República do Brasil.
c) 1500: ano do descobrimento do Brasil.
d) 2.040: possível ano de Jogos Olímpicos.
0) Os Jogos Olímpicos também são disputados de 4 em 4 anos. Em 2004 foram disputados os Jogos Olímpicos de
Atenas (Grécia). O ano de 2004 também é bissexto. Escreva os anos dos 05 próximos Jogos Olímpicos.
3) Múltiplos de um número natural Denominamos múltiplo de um número o produto desse número por um número natural qualquer. Um bom exemplo
de números múltiplos é encontrado na tradicional tabuada.
Múltiplos de 2 (tabuada da multiplicação do número 2)
2x0=0
2x1=2
2x2=4
2x3=6
2x4=8
2 x 5 = 10
2 x 6 = 12
2 x 7 = 14
2 x 8 = 16
2 x 9 = 18
2 x 10 = 20
É assim sucessivamente.
Múltiplos de 3 (tabuada da multiplicação do número 3)
3x0=0
3x1=3
3x2=6
3x3=9
3 x 4 = 12
3 x 5 = 15
3 x 6 = 18
3 x 7 = 21
3 x 8 = 24
3 x 9 = 27
3 x 10 = 30
É assim sucessivamente.
Portanto, os múltiplo de 2 são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 20, ... (infinito)
E os múltiplos de 3 são: 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ... (infinito)
Observe que os múltiplos do número escolhido obedecem a uma progressão aritmética com razão igual ao múltiplo
estabelecido. Nos múltiplos de 2 a razão é 2(varia de 2 em 2), nos múltiplos de 3 a razão é 3 (varia de 3 em 3) e assim
sucessivamente. Veja mais exemplos:
Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, ...
Múltiplos de 5: 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, ...
O modo correto de designarmos (ou seja, representarmos) os múltiplos de qualquer número natural é assim:
→ M2 = múltiplos de 2: M2 = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26,...}
→ M3 = múltiplos de 3: M3 = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, ...}
→ M5 = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, ...}
→ e assim sucessivamente.
Exercício de Aplicação:
1) Escreva os múltiplos dos seguintes números a seguir:
a) M7 =
b) M11 =
c) M8 =
d) M15 =
e) M20 =
f) M25 =
g) M30 =
h) M100 =
i) M33 =
i) M40 =
2) Determine:
a) os múltiplos de 3: M3 =
b) os múltiplos de 6: M6 =
c) observe entre os múltiplos de 3 e 6 quais números são iguais:
3) Resolva:
a) Escreva os múltiplos de 5, 10 e 15;
b) Quais são os números que são iguais entre eles?
c) Entre os números que são iguais, a variação entre eles é de quanto? (variação significa: de quanto em quanto eles
estão variando, ou seja, qual a razão entre eles).
4) Divisores de um número natural → Um número é divisor de outro quando o resto da divisão for igual a 0.
Exemplos:
a) 12 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6 e 12, pois o resultado da divisão de 12 por esses números é exata, logo todos esses
números são divisores de 12;
b) 36 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36, pois o resultado da divisão de 36 por esses números é exata, logo
todos esses números são divisores de 36;
c) 48 é divisível por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 23 e 48, pois o resultado da divisão de 48 por esses números é exata, logo
todos esses números são divisores de 48.
Observações Importantes:
- O menor divisor natural de um número é sempre o número 1;
- O maior divisor de um número é o próprio número;
- O zero não é divisor de nenhum número;
- Os divisores formam um conjunto finito.
O modo correto de designarmos (ou seja, representarmos) os divisores de qualquer número natural é assim:
→ D8 = divisores de 8: D8 = {1, 2, 4, 8}
→ D10 = divisores de 10: D10 = {1, 2, 5, 10}
→ D30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
→ D50 = {1, 2, 5, 10, 25, 50}
→ D5 = {1, 5} (apenas dois divisores)
→ D19 = {1, 19} (apenas dois divisores)
→ e assim sucessivamente.
Modos de Obtenção: Há várias maneiras de obtermos os divisores de um número natural e, algumas delas são as
seguintes:
a) por divisão – efetuam-se todas as divisões possíveis até obtermos todos os divisores do número a ser considerado
(tal procedimento não é aconselhável, pois é demorado e às vezes não se obtém todos os divisores do número);
b) por multiplicação – efetuam-se todas as multiplicações possíveis que dêem como resultado o número desejado, e
os números que aparecem nestas multiplicações são os divisores do número considerado.
Exemplos:
a) divisores de 12 → as multiplicações conhecidas cujo resultado seja 12 são as seguintes:
1 x 12 = 12; 12 x 1 = 12; 2 x 6 = 12; 6 x 2 = 12; 3 x 4 = 12; 4 x 3 = 12 → logo os divisores de 12 são os seguintes: D12 =
{1, 2, 3, 4, 6, 12};
OBSERVAÇÃO: não há necessidade de escrevermos multiplicações que indicam resultados
iguais como (3 x 4) ou (4 x 3) pois, ambas determinam o mesmo resultado e mostram os
mesmos divisores ; a partir de agora os próximos exemplos não apresentarão todas as
multiplicações baseado neste princípio.
b) D20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20}, pois temos que as multiplicações cujos resultados são 20 são as seguintes: (1 x 20), (2 x
10) e (4 x 5);
c) D45 = {1, 3, 5, 9, 15, 45}; multiplicações envolvidas: 1 x 45; 3 x 15 e 5 x 9;
d) D36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}; multiplicações envolvidas: 1 x 36; 2 x 18; 3 x 12; 4 x 9 e 6 x 6.
OBSERVAÇÃO – em breve aprenderemos um método prático para determinarmos todos os
divisores de um número natural qualquer e, tal fato ocorrerá, pois existem números que
pela sua própria natureza são difíceis de percebermos de modo fácil quais as multiplicações
que indicariam seus divisores.
Exercícios de Aplicação:
1) Determine os divisores dos seguintes números:
a) D30 =
b) D25 =
c) D18 =
d) D100 =
e) D13 =
f) D20 =
g) D40 =
h) D80 =
i) D14 =
j) D21 =
2) Escreva:
a)D10 =
D20 =
b) Entre os divisores de 10 e 20, quais são os divisores comuns, ou seja, que aparecem ao mesmo tempo?
c) Qual é o maior divisor comum entre os divisores de 10 e 20?
3) Escreva os divisores de 10, 20 e 30. Determine entre eles, qual é o maior divisor comum entre eles, ou seja, qual é
o maior número que os dividam ao mesmo tempo?
4) Entre os divisores de 100, escreva os números que são ao mesmo tempo divisíveis por 2 e por 5.
5) Determine:
a) os divisores comuns de 12 e 20.
b) os divisores comuns entre 14 e 9.
6) (Resolvido) As (?) representam números que são os divisores naturais do número 75. Descubra quais são esses
números:
D75 = {(?), 3, (?), (?), 25, (?)}
Solução: devemos primeiramente achar todas as multiplicações cujo resultado seja 75; as multiplicações serão as
seguintes: (1 x 75), (3 x 25) e (5 x 15). Com os números que procuramos são os seguintes:
D75 = {1, 3, 5, 15, 25, 75}
7) Baseado no exercício resolvido acima determine todos os divisores dos números a seguir:
a) D40 = {1, (?), (?), (?),8, 10, (?), 40}
b) D(?) = {(?), (?), (?), (?), (?), 18}
c) D15 = {(?), (?), (?), (?)}
d) D(?) = {(?), 13}
5) Conceito de Número Primo –
Um número natural é chamado de primo quando possui apenas dois divisores naturais, o número 1 e ele
próprio.
Exemplos:
a) o número 5 é primo, pois seus divisores são o 1 e o 5;
b) o número 13 é primo, pois possui apenas dois divisores: 0 1 e o 13;
c) o número 2 é o único número natural par que é primo.
Crivo de ERASTÓTENES
É um processo para a obtenção de números primos menor do que um determinado número natural n.
Devemos construir uma tabela contendo os primeiros n números naturais. Para determinar os números
primos nesta tabela, basta seguir os seguintes passos.
1. Antes de iniciar, lembramos que 1 não é um número primo.
2. Marcamos o número 2, que é o primeiro número primo e eliminamos todos os múltiplos de 2
que encontrarmos na tabela.
3. Marcamos o número 3 e eliminamos todos os múltiplos de 3 que encontrarmos na tabela.
4. Determinamos o próximo número primo, que será o próximo número não marcado da tabela e
eliminamos todos os múltiplos desse número primo que encontrarmos na tabela.
5. Continuamos o processo, sempre voltando ao passo anterior, com o próximo número primo.
6. Os números que não foram eliminados são os números primos.
COMENTÁRIO: A TABELA ACIMA NÃO É NECESSÁRIA TÊ-LA EM MENTE, NEM DECORÁ-LA; com o tempo devido
certos números primos, com o uso constante dos mesmos serão guardados na memória.
Quando um número não for primo ele será chamado de número composto, ou seja, possui mais que dois
divisores.
Reconhecimento de um número primo
Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,
etc. até que tenhamos:
=> ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo,
=> ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é
primo.
Exemplos:
1) O número 161:




não é par, portanto não é divisível por 2;
1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3;
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
por 7: 161: 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.
2) O número 113:





não é par, portanto não é divisível por 2;
1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;
não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5;
por 7: 113 : 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7).
por 11: 113 : 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e, além disso, o resto é
diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.
Exercício de Aplicação: Verifique entre os números abaixo quais são primos:
a) 23
b) 35
c) 53
d) 120
e) 101
Decomposição em fatores primos
Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.
Decomposição do número 24 num produto:
24 = 4 x 6
24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3
No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos.
Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é
23 x 3.
De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior
que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos.
P={2, 3, 5,7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 87, 89, 97, 101, 103, 107,109,
113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239,
241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293,…} (RELAÇÃO DE NÚMEROS ATÉ O 300)
Regra prática para a fatoração
Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse
dispositivo:
1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo, e
o usamos até não ser mais possível;
2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo próximo
número primo e assim sucessivamente até obter o
quociente 1
3º) quando um número primo não servir iremos
imediatamente para o próximo número primo.
A figura ao lado mostra a fatoração do número 630.
Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
630 = 2 x 32 x 5 x 7. (forma fatorada ou forma decomposta do número 630)
Então, não esqueça que fatorar um determinado número é escrevê-lo na forma de multiplicação ou potenciação, na
condição de que os fatores ou as bases sejam números primos.
Outros exemplos de números fatorados:
Exercícios de Aplicação:
1) Fatore os seguintes números:
a) 70
b) 243
c) 343
d) 121
e) 200
f) 500
g) 676
h) 576
i) 169
j) 75
k) 1024
l) 333
2) Faça a associação correta:
(A) 128
(
) 5 x 23
(B) 630
(
) 2 x 53
(C) 140
(
) 22 x 5 x 7
(D) 115
(
) 2 x 32 x 5 x 7
(E) 250
(
) 27
3) (RESOLVIDO) A forma fatorada (22 x 32 x 5) pertence a que número?
Solução – para resolvermos tal situação temos que aplicar o conceito de potenciação na forma fatorada:
22 x 32 x 5 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 4 x 9 x 5 = 180
4) Determine o número que pertence as formas fatoradas a seguir:
a) 32 x 5 =
b) 5 3 =
c) 2 x 3 x 52 =
d) 5 2 x 7 =
e) 2 x 3 x 72 =
f) 2 3 x 52 =
5) Decomponha em fatores primos:
(Obs: dizer decomponha em fatores primos possui o mesmo significado que fatore)
a) 136
b) 88
c) 999
d) 455
f) 615
g) 420
h) 132
i) 852
j) 448
a
b
6) (RESOLVIDO) Ao fatorarmos o número 500 obtivemos a seguinte forma fatorada: 2 x 5 , determine os valores de
a e b.
Solução: as letras a e b representam expoentes que são obtidos ao se fatorar o número 500, logo basta fatorarmos o
mesmo e teremos a resposta desejada.
500 = 22 x 53 → isto significa que a = 2 e b = 3.
7) Nos exercícios a seguir foram omitidos os expoentes de certas bases de números primos. Fatore o número que
representa a forma fatorada para se determinar os valores que são representados por letras.
a) 220 = 2x . 5y . 11z
b) 400 = 2x . 5y
c) 900 = 2x . 3y . 5z
→ Dispositivo Prático para a determinação dos divisores de um número
Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos.
Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:
1º) decompomos o número em fatores primos;
2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto,
porque ele é divisor de qualquer número;
3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo
pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos
ao lado de cada fator primo;
4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.
→ Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90, ou seja, D90 = { 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30,
45, 90}.
Outros Exemplos:
a)
b)
Exercício de Aplicação: Determine os divisores dos números a seguir:
a) 15
b)32
c) 40
d) 70
e) 80
f) 120
g) 200
h) 75
i) 90
j) 96
k) 64
l) 42
m) 65
n) 36
6) Máximo Divisor Comum –
Preste atenção no seguinte exemplo:
A empresa de Papel Enrola S/A fornece bobinas de papel de qualquer tamanho para seus clientes e, quando
necessário corta as bobinas em pedaços de mesmo tamanho.
Seu Carlos, um modesto comerciante da cidade de São Paulo, que trabalha com caixas e papéis para
presente fez o seguinte pedido de bobinas de papel: 03 bobinas de 150 metros e 02 bobinas de 100 metros e,
solicitou que todas fossem cortadas em pedaços de mesmo tamanho e, o maior tamanho possível.
Na empresa os responsáveis pelo procedimento de cortar as bobinas chegaram à conclusão que o maior
tamanho que eles podem cortar as bobinas é de 50 metros, pois 50 é o maior número natural que divide 100 e 150
ao mesmo tempo.
→ o número 50 é chamado de máximo divisor comum.
Máximo Divisor Comum
O máximo divisor comum (mdc) entre dois números naturais é obtido a partir da interseção (os que são
iguais) dos divisores naturais, escolhendo-se o maior.
Há vários modos de calcularmos o máximo divisor comum de dois ou mais números. Vamos mostrar alguns
desses métodos (modos):
(1º MODO) - Determine o máximo divisor comum entre 6 e 8: primeiramente temos que determinar os divisores de
6 e de 8:
D6 = {1, 2, 3, 6}
D8 = {1, 2, 4, 8}
- devemos determinar entre os divisores de 6 e os divisores de 8 os divisores comuns, ou seja, são os divisores que
dividem 6 e 8 ao mesmo tempo; logo os números procurados são os seguintes: 1 e 2.
O número 2 é chamado de máximo divisor comum entre 6 e 8 e, representamos este fato assim:
m.d.c.(6,8) = 2 → significa: o máximo (maior) divisor comum entre os divisores de 6 e de 8 é o 2.
(este método é prático quando, os divisores que temos que achar refere-se a números pequenos).
(2º MODO) - CÁLCULO DO M.D.C. PELO PROCESSO DAS DIVISÕES SUCESSIVAS (ALGORITMO DE EUCLIDES):
REGRAS - o cálculo do mdc de dois ou mais números pelo processo das divisões sucessivas obedece à seguinte regra:
- divide-se o número maior pelo número menor;
- divide-se o número menor pelo primeiro resto;
- divide-se o primeiro resto pelo segundo resto e assim sucessivamente até se obter uma divisão exata;
- o último divisor é o mdc encontrado.
EXEMPLOS:
1) Encontre o máximo divisor comum entre 40 e 50:
2) O mdc entre 72 e 50 é:
3) O mdc entre 126, 240, 540 é:
→ neste tipo de situação deve-se primeiramente dividir o maior número pelo segundo maior determinando assim o
mdc entre eles; posteriormente divide-se o número restante pelo mdc obtido, obtendo assim o mdc entre os 3
números envolvidos (este procedimento pode ser aplicado para 3 ou mais números envolvidos).
(3º MODO) – Decomposição em fatores primos – podemos calcular o mdc entre dois ou mais números pelo
processo da decomposição em fatores primos através da seguinte regra:
- decompõe-se cada número dado em fatores primos;
- o mdc é o produto dos fatores primos que são comuns tomando-se sempre o de menor expoente.
EXEMPLOS:
1) Calcular o mdc de 168 e 180:
→ a forma fatorada de 168 e 180 é: 168 = 23 x 3 x 7 e 180 = 22 x 32 x 5; devemos verificar entre os fatores primos
comuns (que se repetem) os que possuem menor expoente; os fatores comuns são 2 e 3, e entre eles, os de menor
expoente são: 22 e 3.
O mdc será o produto entre esses fatores: 22 x 3 = 4 x 3 = 12 → mdc(168, 180) = 12.
2) Calcular o mdc entre 25, 50 e 100:
25 = 52
25.
50 = 2 x 52
100 = 22 x 52 → o único fator primo comum é o 52 = 5 x 5 = 25, logo mdc(25, 50, 100) =
(não podemos considerar o fator primo 2, pois o mesmo não aparece na fatoração de 25).
3) Calcular o mdc entre 50 e 100:
→ como temos a decomposição em fatores primos no exercício anterior basta verificarmos os fatores primos
comuns de menor expoente; os fatores são 2 e 52, logo: 2 x 52 = 2 x 25 = 50, logo o mdc (50, 100) = 50.
(4º MODO) – Decomposição simultânea dos números envolvidos – este método consiste em fatorar
simultaneamente os números envolvidos. Fatoramos os números ao mesmo tempo, usando apenas os fatores
primos que sejam divisores comuns aos dois números.
O mdc é obtido através do produto destes fatores primos.
EXEMPLOS:
1) Obtenha o mdc 20 e 40 através da fatoração simultânea:
→ perceba que certos fatores primos estão marcados com uma pequena marca vermelha ao lado; estes fatores
primos são os únicos que utilizaremos na determinação do mdc; o fator primo 2 não será usado pois divide apenas
um dos números, contrário dos outros que dividem os números ao mesmo tempo.
→ o mdc é calculado assim: 2 x 2 x 5 = 20; logo o mdc (20, 40) = 20
2) Determine o mdc entre 36, 45 e 81:
→ os fatores primos que utilizaremos serão os dois 3 que dividem ao mesmo tempo os 3 números; logo o mdc será o
produto entre eles: 3 x 3 = 9; o mdc (36, 45, 81) = 9, ou seja, é o maior divisor comum entre os divisores destes três
números, ou ainda, 9 é o maior número que divide os 03 números ao mesmo tempo.
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI
Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo
divisor comum desses números é 1.
Exemplos:
Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1.
Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.
→PROPRIEDADE DO M.D.C.
Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:
6=2x3
18 = 2 x 32
30 = 2 x 3 x 5
Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6
Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então
ele é o m.d.c. dos números dados.
Exercícios de Aplicação:
1) Determine o mdc dos números abaixo pelo 1º modo:
a) 15 e 20
c) 24 e 32
b) 12 e 18
d) 12, 16 e 28
c) 15 e 30
f) 20, 40 e 60
2) Aplicando a decomposição em fatores primos em cada número, determine:
a) mdc ( 48, 72) =
d) mdc (7, 15) =
b) mdc ( 25, 40) =
e) mdc (42, 54, 60) =
c) mdc ( 180, 252) =
f) mdc (60, 80, 100) =
3)Aplicando o processo das divisões sucessivas, determine:
a) mdc (36, 48) =
d) mdc (33, 55, 99) =
b) mdc (90, 60) =
e) mdc (56, 70, 84) =
c) mdc (90, 154) =
f) mdc ( 72, 117, 135) =
4) Calcule o mdc através da fatoração simultânea:
a) mdc (24, 36) =
g) mdc (4, 8, 12) =
b) mdc (20,32) =
h) mdc (27, 15, 9) =
c) mdc (54, 81) =
i) mdc (20, 12, 28) =
d) mdc (60, 90) =
j) mdc (14, 18, 21) =
e) mdc (18, 24) =
k) mdc (10, 14, 25) =
f) mdc (14, 15) =
l) mdc (24, 30, 36) =
5) Aplicando o princípio do mdc, verifique se os números são primos entre si:
a) 21 e 10
d) 15 e 22
b) 26 e 39
e) 5 e 7
c) 16 e 25
f) 9 e 35
6) (RESOLVIDO) Em uma escola havia duas turmas de 6º ano, a turma A com 28 alunos e a B com 36. Para a
realização de uma gincana, cada turma foi dividida em grupos com o mesmo número de alunos, de forma que em
cada grupo tivesse o maior número possível de alunos.
a) Quantos alunos compõem cada grupo?
b) Quantos grupos foram formados na turma A? E na turma B?
SOLUÇÃO:
a) primeiramente o aluno deve perceber que estamos falando em repartir, dividir os alunos em grupos com a mesma
quantidade de pessoas, logo temos que achar o maior divisor comum entre os divisores de 28 e 36, ou seja, temos
que achar o mdc entre 28 e 36: o mdc (28, 36) = 4; isto significa que cada grupo terá 4 alunos;
b) para a determinação da quantidade de grupos, basta dividir o total de alunos de cada sala com o maior divisor
comum entre eles, ou seja, pelo mdc (28,36) = 4, logo: 28 : 4 = 7 e 36 : 4 = 9 , isto significa que a turma A terá 7
grupos e a B 9 grupos.
7) (RESOLVIDO) Uma madeireira possui em seu estoque: 38 vigas de madeira de 6 metros, 22 vigas de 4 metros e 18
vigas de 2 metros. Todas essas vigas foram compradas por uma empresa que fabrica batentes de porta. No contrato
fechado entre as empresas ficou acordado que a madeireira irá cortar todas as vigas em pedaços de mesmo
tamanho, sendo que o corte deverá ser o maior possível.
a) Qual será o tamanho que as vigas serão cortadas?
b) Determine o total de pedaços que serão cortados.
SOLUÇÃO:
a) basta determinar o mdc entre 2, 4 e 6: mdc (2, 4, 6) = 2, ou seja, todas as vigas serão cortadas em pedaços de 2
metros;
b) primeiramente devemos determinar o total de metros lineares de madeira (significa o total de metros que há em
madeiras): 38 x 6 = 228 m, 22 x 4 = 88 m e 18 x 2 = 36 m, o que totaliza um total de 352 m (228 m + 88 m + 36 m =
352 m); basta dividir 352 : 2 = 176, ou seja, haverão 176 pedaços de 2 m.
8) Em uma escola há 36 alunos no 6º ano, 42 alunos no 7º ano e 48 alunos juntando os alunos do 8º e 9º anos. Eles
serão divididos em grupos, com a mesma quantidade de alunos, para participarem de um campeonato esportivo
entre eles.
a) Quantos alunos terão cada grupo?
b) Quantos grupos haverão ao todo?
9) Uma indústria madeireira produz bobinas de papeis especiais para atender seus clientes. Suas bobinas possuem
os seguintes tamanhos: 100 m (menor bobina), 150 m, 200 m, e vai aumentando de 50 em 50 m, até chegar à maior
bobina que mede 600 m. A seguir temos um possível pedido de venda:
- 4 bobinas de 150 metros e 03 bobinas de 200 metros;
- 05 bobinas de 100 metros, 02 bobinas de 400 metros.
(no pedido havia a seguinte solicitação: as bobinas de 150 e de 200m devem ser cortadas em pedaços de mesmo
tamanho e o maior tamanho possível; o mesmo fato deveria acontecer com as outras bobinas, entretanto com
tamanho diferente das bobinas de 150 e 200 m).
a) As bobinas de 150 e 200 m foram cortadas com que tamanho?
b) E as outras bobinas, foram cortadas com que tamanho?
c) Quantos pedaços conseguiremos obter através da resposta da letra a?
d) E quantos pedaços teremos baseado na resposta da letra b?
e) É possível cortamos todas as bobinas em um mesmo tamanho e o maior possível? Quantos pedaços teríamos com
esta nova medida?
10) Para o aniversário de seu filho, Odete comprou 159 balas de coco e 265 balas de chocolate, que serão colocadas
em saquinhos com os dois tipos de balas. Ela pretende distribuir igualmente as balas de coco nos saquinhos, de
maneira que cada um deles fique com a maior quantidade possível de balas. E da mesma forma, distribuir as balas
de chocolate.
a) Quantos saquinhos de balas serão formados?
b) Qual o maior número de balas de coco que Odete deve colocar em cada saquinho? E o de balas de chocolate?
11) Uma revista realizou uma promoção, na qual, em cada edição, eram vendidas junto a revista peças para montar
as miniaturas de um carro e de um avião. A miniatura do carro era composta de 28 peças e a do avião, de 35 peças.
Todas as edições deveriam conter o mesmo número de peças da miniatura do carro e o mesmo número de peças da
miniatura do avião e, além disso, deveria ser realizado o maior número de edições possível.
a) Quantas edições, no mínimo, uma pessoa deve comprar para obter todas as peças necessárias para montar as
miniaturas?
b) Quantas peças de cada miniatura tem em cada edição da revista?
7 – Mínimo Múltiplo Comum
Primeiramente vamos lembrar o conceito de múltiplo.

MÚLTIPLO DE UM NÚMERO NATURAL
Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3.
24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.
Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então
dizemos que ele é múltiplo desse outro.
Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.
Exemplo: os múltiplos de 7 são:
7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...
Observações importantes:
1) Um número tem infinitos múltiplos
2) Zero é múltiplo de qualquer número natural
3) o zero é o único número natural que possui apenas um múltiplo, ele mesmo, os outros números naturais possuem
infinitos múltiplos.

MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C.)
Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.
Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6:
Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,...
Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,...
Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...
Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum
de 4 e 6.
O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo
múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c.

CÁLCULO DO M.M.C.
Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c.
de 12 e 30:
1º) decompomos os números em fatores primos
2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:
12 = 2 x 2 x 3
30 =
2 x 3 x 5
m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5
Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos:
12 = 22 x 3
30 = 2 x 3 x 5
m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5
O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores
comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.

PROCESSO DA DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA
Neste processo decompomos todos os números ao mesmo
tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos
fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses
números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60)
Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

PROPRIEDADE DO M.M.C.
Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe:
m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30
Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então
ele é o m.m.c. dos números dados.
Considerando os números 4 e 15, ques são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4
por 15. Observe:
m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60
Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números.
→ Exemplos de Aplicabilidade do Mínimo Múltiplo Comum (MMC)
1) Suponhamos que o Presidente de uma multinacional tenha mandato de trabalho colocado por força maior, este
tempo é de 4 anos, os assessores deles também tem este mandato que é de 6 anos e os auxiliares tem o mesmo
mandato de 3 anos. Se em 2001 houve eleição interna nesta empresa, por voto de todos os colaboradores, para os
03 cargos, em que ano se realizarão novamente e simultaneamente as eleições para esses cargos?
Solução do problema:
Calculando o MMC (4, 6, 3) = 12
Desta forma é encontrado o número de anos necessários para que tenham novas eleições conjuntas.
Como a última eleição foi feita no ano de 2001, então temos: 2001 + 12 = 2013.
Assim somente no ano de 2013 haverá votação simultânea entre todos os cargos.
2) Duas rodas de uma engrenagem qualquer têm 12 e 16 dentes, respectivamente. Cada roda tem dois dentes
estragados.
Dado certo momento, estão em contato os quatro dentes estragados, após quantas voltas se repete novamente este
encontro.
Solução do problema:
Calculando o MMC (12,16) = 48
O número 48 representa o número de dentes que deverá passar pelo ponto de origem para que se repita o
encontro.
Fazemos então o seguinte cálculo 48 : 12 e 48 : 16. Desta forma é encontrado, respectivamente o número de voltas
que a roda menor e a maior deverão fazer. Assim:
48 : 12 = 4 e
48 : 16 = 3
Seguindo o mesmo raciocínio de aplicabilidade para o MMC, pode se usar o uso do MDC, apenas aplicando cada um
segundo necessidade.
→ Exercícios resolvidos
1) Determine o menor número positivo que é múltiplo, ao mesmo tempo, de 5, 6 e 7.
Solução:
O menor número chamamos de MMC (5,6,7)
Fatore os números:
5, 6, 7
5, 3, 7
5, 1, 7
1, 1, 7
1, 1, 1
|2
|3
|5
|7
MMC (5,6,7) = 2 x 3 x 5 x 7 = 210
2) Determine o menor número inteiro positivo de três algarismos, que é divisível, ao mesmo tempo, por 4,8,12.
Solução:
Ser divisível por 4,8,12 é ser múltiplo. Desta forma procuramos o MMC
MMC (4,8,12) = 24
Fatore os números
4, 8, 12
2, 4, 6
1, 2, 3
1, 1, 3
1, 1, 1
|2
|2
|2
|3
Como 24 não têm três algarismos, o número procurado deverá ser múltiplo de 24 que tenha três algarismos.
Assim: 24 x 1 = 24, 24 x 2 = 48... 24 x 5 = 120
O menor múltiplo positivo de 24 de três algarismos é 120, que deste modo é o número procurado.
3) Temos que os números 24, 36 e 48 possuem vários números divisores comuns, como exemplo os números 2 e 4.
Determine o maior divisor comum a 24, 36 e 48.
Solução:
O maior divisor entre os números é chamado de MDC.
Calculando o MDC:
24, 36, 48
12, 18, 24
6, 9, 12
2, 3, 4
|2
|2
|3
|
(os alunos devem terminar a fatoração para praticar)
MDC (24,36,48) = 2 x 2 x 3 = 12
4) Determine os menores números inteiros positivos pelos quais devem ser divididos os números 72 e 120 de modo
que se obtenham divisões exatas com quocientes iguais.
Solução:
O quociente comum as duas divisões deverá ser o MDC(72, 120) que fazendo os cálculos é 24.
Temos: 72 / 24 = 3 e 120 / 24 = 5
Portanto: 72 / 3 = 24 e 120 / 5 = 24.
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
1) Calcular o mdc e o mmc dos números 24 e 180.
2) Quais dos seguintes números são primos: 89, 504, 37, 18 e 243?
3) Achar todos os divisores de 50. Assinalar os que forem números primos.
4) Dos seis números seguintes, indicar os que forem divisíveis por 2, 5 e 10: 2.4818, 5.250, 633, 1.562, 13.000 e 125.
5) Calcule o mmc dos números a seguir através da fatoração simultânea:
a) 15 e 45
b) 10, 25 e 30
c) 35 e 70
d) 18, 36 e 72
e) 40, 80 e 120
f) 100, 200 e 500
g) 46, 98 e 100
h) 70, 210 e 420
6) Calcule o m.m.c dos seguintes números:
a) m.m.c (3, 4, 6)
b) m.m.c (2, 4, 8)
c) m.m.c (3, 6, 9)
d) m.m.c (4, 8, 10)
e) m.m.c (6, 12, 15)
f) m.m.c (6, 15, 18)
g) m.m.c (8, 12, 20)
h) m.m.c (9, 15, 27)
i) m.m.c (12, 16, 24)
j) m.m.c (12, 15, 21)
7) Aproveite a fatoração já efetuada no exercício 6 e, determine o mdc dos números:
8) Resolva as seguintes situações:
1. De um aeroporto, partem todos os dias, 3 aviões que fazem rotas internacionais. O primeiro avião faz a rota
de ida e volta em 4 dias, o segundo em 5 dias e o terceiro em 10 dias. Se num certo dia os três aviões partem
simultaneamente, depois de quantos dias esses aviões partirão novamente no mesmo dia?
2. Os planetas Júpiter, Saturno e Urano têm período de translação em torno do Sol de aproximadamente 12, 30
e 84 anos, respectivamente. Quanto tempo decorrerá, depois de uma observação, para que eles voltem a
ocupar simultaneamente as mesmas posições em que se encontram no momento de observação?
3. Um terreno retangular de 221 m por 117 m será cercado. Em toda a volta deste cercado serão plantadas
árvores igualmente espaçadas. Qual o maior espaço possível entre as árvores?
4. Duas pessoas fazendo seus exercícios diários partem de um mesmo ponto e contornam, andando, uma pista
oval que circula um jardim. Uma dessas pessoas andando de forma mais acelerada, dá uma volta completa
na pista em 12 min, enquanto a outra, andando mais devagar, leva 20 min para completar a volta. Depois de
quantos minutos essas duas pessoas voltarão a se encontrar no ponto de partida?
5. A editora do livro “Matemática” recebeu pedidos de três livrarias sendo que um pedido de 1300 livros, o
segundo pedido de 1950 livros e o terceiro pedido de 3900 livros. A editora deseja remeter em n pacotes
iguais de tal forma que n seja o menor possível, ou seja, n é o menor divisor comum entre 1300, 1950 e
3900. Calcule o valor de n.
6. Três peças de tecido medem respectivamente, 180m, 252m e 324m. Pretende-se dividir em retalhos de igual
comprimento. Qual deverá ser esse comprimento de modo que o número de retalhos seja o menor possível?
Em quantos pedaços as peças serão dividas?
9) Dados a = 32.19.712 , b = 2.35.19.61 e c = 24.192.71, determine:
a) MDC(a,b);
b)
MDC(a,b,c);
c)
MMC(a,b);
d) MDC(b,c);
e)
MMC(a,c).
10) Seja x  2  5 3  17 4  41 , y  3 4  17 6  312 e z  2 3  5  416  47 2 . Determine
a) mdc( x, y ) ;
b)
mdc( x, z) ;
d) mmc( x, y ) ;
e)
mmc( x, z) .
c)
mdc( x, y , z) ;