Probabilidade
Vítor Pereira
CAPíTULO 1
Probabilidade
1.1. Experiência aleatória
Uma
experiência aleatória
é um processo que pode ser repetido em condições idênticas tantas
vezes quantas se queira e em que não se pode prever, em cada realização, qual o resultado que se
se vai obter de entre um conjunto de resultados possíveis conhecido.
Exemplos de experiências aleatórias:
•
•
•
lançar um dado,
medir o volume de precipitação em Braga no mês de Janeiro,
contar o número de automóveis que passam por uma portagem durante um período de
tempo xo.
Apesar de não ser possível prever com exactidão o resultado de uma experiência aleatória, podemos
identicar o conjunto dos resultados possíveis.
1.2. Espaço de resultados
O
espaço de resultados ou conjunto de resultados é o conjunto formado por todos os resultados
possíveis associados a uma determinada experiência aleatória. Designa-se por
E ,S ,U
ou
Ω.
Exemplos de espaços de resultados:
•
•
•
•
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
lançar consecutivamente dois dados Ω = {(1, 1) , (1, 2) , (1, 3), ..., (2, 1) , (2, 2) , ..},
+
medir o volume de precipitação em Braga no mês de Janeiro Ω = R0 ,
lançar um dado
contar o número de automóveis que passam por uma portagem durante um período de
tempo xo
Ω = N0 .
3
4
1. PROBABILIDADE
1.3. Acontecimento
Um
acontecimento é qualquer subconjunto do espaço de resultados.
Exemplos de acontecimentos:
•
•
•
•
A = {5}
par B = {2, 4, 6}
inteiro C = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
não positivo D = {}
no lançamento de um dado sair um múltiplo de cinco
no lançamento de um dado sair um número
no lançamento de um dado sair um número
no lançamento de um dado sair um número
Alguns acontecimentos têm denominações particulares:
•
Acontecimento elementar é todo o acontecimento que possui um único elemento, exemplo
•
A;
Acontecimento composto é todo o acontecimento que possui mais do que um elemento,
exemplo
•
Acontecimento certo é todo o acontecimento que coincide com o espaço de resultados,
exemplo
•
B;
C;
Acontecimento impossível é todo o acontecimento vazio, exemplo D.
Como os acontecimentos são conjuntos podemos aplicar as operações usuais:
•
•
•
A ∪ B (A união com B ) é o acontecimento em que A ou B ocorrem.
o conjunto A ∩ B (A intersecção com B ) é o acontecimento em que A e B ocorrem.
o conjunto Ā (conjunto complementar de A) é o acontecimento em A que não ocorre,
denomina-se acontecimentos contrário de A.
• se A ⊂ B (A subconjunto de B ), no caso de A ocorrer então B também ocorre.
o conjunto
e
Outras relações que deveremos ter presente são
•
•
•
•
B \ A = B ∩ Ā
Ā¯ = A
∅¯ = Ω
Ω̄ = ∅
Denition 1. Dois acontecimentos A e B que não possuem resultados comuns, ou seja A ∩ B = ∅,
são incompatíveis.
1.4. DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE
1.3.1. Espaço de acontecimentos.
Qualquer conjunto
A ⊂ Ω
5
é um acontecimento.
espaço de acontecimentos de uma experiência aleatória é o conjunto das partes de
conjunto de todos os subconjuntos de
Ω,
O
ou seja, o
Ω.
O número de acontecimentos distintos é dado por
2|Ω|
onde
|Ω|
denota a cardinalidade, isto é, o número de elementos de
Ω.
Exemplo
Na experiência aleatória lançar um dado, tem por espaço de resultados
número total de acontecimentos deniveis sobre
Ω
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
O
é
2|Ω| = 26 = 64
1.4. Denição Axiomática de Probabilidade
Denition 2.
Uma probabilidade
P
é uma função que a cada acontecimento faz corresponder um
valor positivo tal que:
(1)
(2)
(3)
P (A) ≥ 0,
P (Ω) = 1,
Se A ∩ B = ∅
então
P (A ∪ B) = P (A) + P (B).
Da denição de probabilidade podemos deduzir alguns teoremas:
Teorema 1.
A probabilidade do acontecimento impossível é 0,P
Proof. Recorrendo à propriedade dos conjuntos
(∅) = 0
Ω ∪ ∅ = Ω,
podemos escrever que
P (Ω ∪ ∅) = P (Ω)
Como
Ω ∩ ∅ = ∅,
e usando o ponto (3) da denição, podemos escrever
P (Ω) + P (∅) = P (Ω)
Recorrendo ao ponto (2) da denição temos
1 + P (∅) = 1
⇐⇒
P (∅) = 0
6
1. PROBABILIDADE
Teorema 2. A ⊂ B =⇒ P (A) ≤ P (B)
Se
e
A ⊂ B então B = A ∪ B ∩ Ā , sendo A
B ∩ A disjuntos ( os acontecimentos são
incompatíveis). Consequentemente, pela alinea
P (B) = P (A) + P B ∩ Ā .
Como P B ∩ A ≥ 0, alinea (1), concluimos
que P (A) ≤ P (B).
(3) da denição,
Diagrama de Venn
Teorema 3. P (A) ≤ 1.
Teorema 4. P Ā = 1 − P (A)
Teorema 5. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Podemos escrever
P (A ∪ B)
como a soma das probabilidades de acontecimentos in-
compatíveis
⇔
Podemos escrever
P (A ∪ B) = P (A) + P B ∩ Ā
P B ∩ Ā = P (A) − P (A ∪ B)
P (B)
como a soma
P (B) = P (B ∩ A) + P B ∩ Ā
Exercise.
⇔
P (B) = P (B ∩ A) + P (A) − P (A ∪ B)
⇔
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Prove a veracidade das propriedades 3 e 4.
Denition 3.
Dois acontecimentos
A
e
B
P (A) = P (B).
Leis de De Morgan.
(1)
(2)
(3)
(4)
A ∩ B = Ā ∪ B̄
A ∪ B = Ā ∩ B̄
C \ (A ∩ B) = (C \ A) ∪ (C \ B)
C \ (A ∪ B) = (C \ A) ∩ (C \ B)
são
equiprováveis se tiverem a mesma probabilidade,
1.5. EXERCÍCIOS AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE
7
1.5. Exercícios Axiomática de Probabilidade
Ex. 1.5.1.
Ex. 1.5.2.
Ex. 1.5.3.
B
Faça a demonstração das Leis de De Morgan (3) e (4).
Prove que
Seja
E
P Ā ∩ B̄ = P Ā − P (B) + P (A ∩ B)
o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam
dois acontecimentos (A
⊂E
e
B ⊂ E ).
A
e
Tem-se que:
• P (A) = 0, 3
• P (B) = 0, 5
P (A ∪ B)?
0, 4
Qual dos números seguintes pode ser o valor de
Ex. 1.5.4.
(A) 0, 1
(B)
(C) 0, 6
(D) 0, 9
Seja
S
o conjunto de resultados (com número innito de elementos) associado a uma
certa experiência aleatória.
A e B dois acontecimentos contidos em S . Nenhum deles impossível nem certo.
Sabe-se que A ⊂ B . Indique qual das armações seguintes é verdadeira.
(A) P (A) > P (B)
(B) P (A ∩ B) = 0
Sejam
Ex. 1.5.5.
(C) P (A ∪ B) = 1
(D) P Ā ≥ P B̄
No lançamento de dois dados com as faces numeradas de 1 a 6 considere os aconteci-
mentos:
•
•
A: A soma dos pontos é 5
B: A diferença entre o maior e o meno número é 3
Então, pode armar-se que:
(A) A ∩ B = {(4, 1) , (1, 4)}
(B) A ∪ B = {(1, 4) , (2, 3) , (2, 5) , (4, 1) , (3, 2) , (5, 2)}
(C) A ∩ B̄ = {(3, 2) , (2, 3) , (3, 6) , (6, 3)}
(D) Nenhuma das respostas anteriores está correcta
Ex. 1.5.6.
Extraia 2 cartas de um baralho de 40 cartas e considere os acontecimentos:
•
•
A: Sair uma carta de ouros e uma de copas
B: Sair um rei e um ás
Diga qual das armações é verdadeira:
(A) Ā:Não sair carta de ouros nem de copas
(B) A ∩ B :Sair rei de copas e ás de ouros
(C) A ∩ B :Sair rei de ouro e ás de copas
(D) Nenhuma das anteriores
8
1. PROBABILIDADE
1.6. Lei de Laplace
Lei de Laplace.
Uma outra denição de probabilidade é dada pela
Esta só é aplicável quando
todos os acontecimentos elementares forem equiprováveis.
Denition 4. (Lei de Laplace)
A probabilidade de um acontecimento associado a uma certa
experiência aleatória é dada pelo quociente entre o número de casos favoráveis ao acontecimento e
o número de casos possíveis.
Podemos representar isso da seguinte forma :
Seja
A
um acontecimento associado a uma certa experiência aleatória, cujo espaço amostral é
tendo-se
A⊂Ω
(1.6.1)
. Seja
P (A)
Ω
,
a sua probabilidade, então
P (A) =
O número de casos f avoráveis a A
O número de casos possı́veis
Exemplo
Suponhamos que existem 5 candidatos a um emprego para o qual existem 2 vagas. Os candidatos
realizaram um teste que os permitiu ordenar de 1 até 5, sendo o 1 o melhor.
Admitindo que os
candidatos são seleccionados aleatoriamente, qual a probabilidade dos acontecimentos:
A - terem sido seleccionados os dois melhores?
B - ter sido seleccionado o melhor e um dos dois piores?
Ω = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2),
(3, 4), (3, 5), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)
}
Repare-se que se a selecção é feita aleatoriamente, cada par de candidatos tem igual probabilidade de
ser seleccionado, pelo que estamos numa situação de equilíbrio ou simetria,ou seja, os acontecimentos
elementares são equiprováveis. Existem portanto
Como
A = {(1, 2), (2, 1)},
obtemos
P (A) =
Relativamente ao acontecimento B, temos
2
20
20
=
casos possíveis,
|Ω| = 20.
1
.
10
B = {(1, 4), (1, 5), (4, 1), (5, 1)}, donde P (B) =
4
20
=
1
.
5
1.7. EXERCÍCIOS LEI DE LAPLACE
9
1.7. Exercícios Lei de Laplace
Ex. 1.7.1.
Mostre que:
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (B ∩ C) − P (A ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)
Ex. 1.7.2.
A, B e C são acontecimentos
• P (A) = P (B) = P (C) = 41
• P (A ∩ B) = P (B ∩ C) = 0
• P (A ∩ C) = 18
Suponha que
tais que:
Calcule a probabilidade de que pelo menos um dos acontecimentos
Ex. 1.7.3.
Suponha que
Ex. 1.7.4.
Sendo
A, B e C são acontecimentos
• A ∪ B ∪ C = Ω;A ∩ B = ∅;B ∩ C = ∅
• P (A) = 0.3;P B̄ = 0.7;P (C) = 0.5
Calcule P (A ∩ C) e P (A ∪ C).
A, B
e
C
P (A ∩ B ∩ C) = 0.25,
Ex. 1.7.5.
calcule
P A∩B∩C
ou
C
ocorra.
tais que:
P A ∩ B̄
acontecimentos tais que
A, B
= 0.2, P (A ∩ B) = 0.3
e
.
Uma cidade de 200000 habitantes tem à sua disposição dois jornais diários: O Aurora
e o O Conhecedor . Um inquérito revelou os seguintes dados:
•
•
•
50000 pessoas lêem diariamente O Aurora ;
40000 pessoas lêem diariamente O Conhecedor ;
5000 pessoas lêem diariamente os dois jornais.
Qual a probabilidade de ao escolhermos ao acaso um habitante desta cidade, este seja
leitor:
a) De pelo menos um dos jornais;
b) De nenhum desses jornais;
c) Exclusivamente do jornal O Aurora .
Ex. 1.7.6.
Numa determinada universidade, no curso de Comunicação, Cultura e Organizações com
220 alunos dos dois sexos, anotaram-se as suas características relativamente aos hábitos
de leitura de jornais diários. Os dados foram organizados na seguinte tabela:
Tem hábitos de leitura Não tem hábitos de leitura
Homem H
Mulher M
A
22
86
B
58
54
Seleccionou-se aleatoriamente um aluno do curso de Comunicação, Cultura e Organizações. Calcule a probabilidade de:
a) Ser homem e ter hábitos de leitura.
10
1. PROBABILIDADE
b) Ser mulher.
c) Não ter hábitos de leitura sabendo que é mulher.
d) Ter hábitos de leitura dado que é homem.
Ex. 1.7.7.
Uma urna contém 9 bolas brancas e 11 bolas pretas. Fazem-se duas extracções de uma
bola.
a)
Se as extracções forem feitas com reposição, qual é a probabilidade de saírem 2
bolas com cores diferentes?
b)
Se as extracções forem feitas sem reposição, qual é a probabilidade de saírem 2
bolas com cores diferentes?
Ex. 1.7.8.
Num saco há 6 bolas verdes e 4 bolas azuis. Tira-se sucessivamente três bolas, vendo
a cor e repondo cada bola no saco.
a) Qual a probabilidade de tirar primeiro uma bola azul, depois uma azul e depois uma
verde?
b) Qual a probabilidade de tirar pelo menos uma bola azul?
1.8. Probabilidade Condicionada
Denition 5.
A probabilidade condicionada refere-se à probabilidade de um evento A sabendo que
ocorreu um outro evento B e representa-se por
P (A|B),
lida "probabilidade condicional de A dado
B" ou ainda "probabilidade de A dependente da condição B".
P (A|B) =
Note que a denição só faz sentido no caso de
P (A ∩ B)
P (B)
P (B) 6= 0.
Exemplo
No exercício 1.7.6 alínea d) (6)
Tem hábitos de leitura Não tem hábitos de leitura
Homem H
Mulher M
A
22
86
108
B
58
54
112
80
140
220
é pedido para calcular a probabilidade de, seleccionando aleatoriamente um aluno, este ter hábitos
de leitura dado que é homem.
Neste contexto podemos denir, de acordo com a denição, os
acontecimentos:
• A:
escolher um aluno com hábitos de leitura
1.9. EXERCÍCIOS PROBABILIDADE CONDICIONADA
• B:
11
escolher um aluno do sexo masculino
A probabilidade condicionada é dada por
P (A|B) =
P (A∩B)
P (B)
=
22
220
80
220
22
80
=
=
11 1
40
No caso particular a ocorrência de B não ter qualquer efeito sobre a probabilidade de acontecer
A, temos que
P (A|B) = P (A).
Tais acontecimentos dizem-se
independentes.
Esta relação
permite-nos deduzir uma denição mais prática:
P (A|B) = P (A)
P (A ∩ B)
= P (A)
P (B)
P (A ∩ B) = P (A) × P (B)
⇔
⇔
Denition 6.
Dois acontecimento
A⊂Ω
e
B⊂Ω
são
independentes se e só se
P (A ∩ B) = P (A) × P (B)
Exercise.
Demonstre o Teorema de Bayes que relaciona as probabilidades condicionades mútuas
P (B|A) = P (A|B) ×
P (B)
P (A)
1.9. Exercícios Probabilidade Condicionada
Ex. 1.9.1.
Após alguns testes efectuados à personalidade de um indivíduo concluiu-se que, este é
louco com uma probabilidade igual a 0.6, ladrão com uma probabilidade igual a 0.7 e não
é louco nem ladrão com uma probabilidade de 0.25.
(1) Determine a probabilidade do indivíduo ser louco e ladrão.
(2) Determine a probabilidade do indivíduo ser apenas louco ou apenas ladrão.
(3) Determine a probabilidade do indivíduo ser ladrão, sabendo que o mesmo não é louco.
Ex. 1.9.2.
Numa fábrica vericou-se que um certo artigo pode apresentar defeitos de dois tipos. A
probabilidade de ocorrer o defeito do tipo A é 0.1 e a probabilidade de ocorrer o defeito do
tipo B é 0.05. Sabendo que os defeitos ocorrem independentemente um do outro, calcule
a probabilidade de:
(1) Um artigo não ter qualquer defeito;
(2) Um artigo ter defeito;
(3) Um artigo com defeito ter um e um só tipo de defeito.
Ex. 1.9.3.
1O
Mostre que se
acontecimento
A∩B
P B|Ā = P (B|A)
então
A
e
B
são independentes.
traduz a conjunção ser homen e ter hábitos de leitura
12
1. PROBABILIDADE
Ex. 1.9.4.
Numa amostra constituída por 100 indivíduos obtiveram-se os resultados apresentados
no quadro seguinte:
Fumadores
Não Fumadores
Com Bronquite Sem Bronquite
40
10
20
30
(1) Diga, justicando, se os acontecimentos ser fumador e ter bronquite são independentes.
(2) Calcule a probabilidade de um indivíduo que é fumador ter bronquite.
Ex. 1.9.5.
Seja
Ω
o espaço de resultados (com um número nito de elementos) associado a uma
certa experiência aleatória. Sejam
X
e
Y
uma das armações seguintes não é equivalente à igualdade
(A) X e Y
são acontecimentos incompatíveis.
(B) X e Y
não podem ocorrer simultaneamente.
(C)
Se
X
ocorreu,
(D) X e Y
Ex. 1.9.6.
Y
⊂ Ω e Y ⊂ Ω). Apenas
P (X ∩ Y ) = 0. Qual?
dois acontecimentos (X
não pode ocorrer.
são ambos impossíveis.
Ω o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B
dois acontecimentos (A ⊂ Ω e B ⊂ Ω), com P (A) > 0. Sejam Ā e B̄ os acontecimentos
contrários de A e de B , respectivamente. Seja P (B|A) a probabilidade de B , se A. Mostre
Seja
que:
P B̄ − P Ā ∩ B̄
= 1 − P (B|A)
P (A)
Ex. 1.9.7.
Uma caixa contém 5 bolas brancas e 5 bolas pretas, indistinguíveis ao tacto. Tiram-
se ao acaso, sucessivamente e sem reposição, 2 bolas da caixa.
B1 - a bola retirada em 1º lugar é branca; B2 - a bola retirada em 2º lugar
branca. Qual é o valor da probabilidade condicionada P (B2 |B1 )?
(B) 21 × 95
(C) 49
(D) 59
(A) 21 × 49
acontecimentos:
é
Considere os seguintes
CHAPTER 2
Combinatória
2.1. Arranjos e permutações
A Análise Combinatória tem por objecto o desenvolvimento de métodos que permitam contar, de
uma forma indirecta, o número de elementos de um conjunto, agrupados sob certas condições.
Considere o problema comum:
Quantos códigos alfanuméricos distintos, de comprimento 8, é possível construir com as letras
do alfabeto romano, considerando somente as letras minúsculas, e os algarismos de 0 a 9,
(1) com repetição de caracteres
(2) sem repetição de caracteres
Um exemplo de um código aceitável é
2az43tv6
No total dispomos de 33 caracteres alfanuméricos, 23 letras e 10 algarismos, e com estes pretendemos
preencher as 8 posições do código.
2 a z 4 3 4 v 6
− − − − − − − −
(1) Em cada posição poderemos utilizar qualquer um dos 33 caracteres disponíveis. Assim temos
−
−
−
−
−
−
−
−
33 × 33 × 33 × 33 × 33 × 33 × 33 × 33 = 338
(2) O caracter utilizado numa posição já não se encontrará disponível na posição seguinte . Logo
teremos
−
−
−
−
−
−
−
−
33 × 32 × 31 × 30 × 29 × 28 × 27 × 26 = 559809169920
Implicitamente, na resolução das duas alíneas do exercício, utilizamos o Princípio Fundamental de
Contagem.
13
14
2. COMBINATÓRIA
Denition 7. Princípio Fundamental de Contagem:
em
n
Se determinado acontecimento ocorre
etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de
k2 maneiras
k1
maneiras diferentes, a segunda de
diferentes, e assim sucessivamente, então o número total
T
de maneiras de ocorrer o
acontecimento é dado por:
T = k1 × k2 × ... × kn
repetição
Torna-se evidente que a
ou
não repetição
de elementos se reecte na contagem. A
ordem dos caracteres também constitui um aspecto importante.
Os códigos
1234abcd
e
a1b2c3d4
são claramente distintos, apesar de serem constituídos pelos mesmos caracteres alfanumérico.
com ordem e com
Esta escolha tem a denominação de Arranjo Completo e denota-se por
Na alínea (1) do exercício escolhemos 8 caracteres de um conjunto de 33,
repetição (reutilização).
33
A08 ,
sendo
n
A0k = nk
Lê-se: Arranjos Completos (com repetição) de
Denition. Factorial:
0!
elementos
O factorial de um número inteiro positivo
positivos menores ou iguais a
Exemplo:
n
n,
e denota-se por
k
a
k
n é o produto de todos os inteiros
n!.
6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720
é um caso particular e é explicitamente igual a 1 (0!
= 1).
1
com ordem e sem
repetição. Esta escolha tem a denominação de Arranjo Simples, ou abreviadamente Arranjo, e
Na alínea (2) do exercício escolhemos 8 caracteres de um conjunto de 33,
denota-se por
33
A8 ,
sendo
n
Ak =
n!
(n − k)!
Lê-se: Arranjos (simples) de
1A
função factorial pode ser denida recursivamente da forma
n
elementos
k
a
k
(
0! = 1
n! =
n! = n × (n − 1)!
2.1. ARRANJOS E PERMUTAÇÕES
15
A utilização de factoriais agiliza o cálculo de arranjos:
33
A8 =
=
=
=
No caso de arranjos simples
conjunto de
n,
33!
(33 − 8)!
33!
25!
33 × 32 × 31 × 30 × 29 × 28 × 27 × 26 × 25!
25!
33 × 32 × 31 × 30 × 29 × 28 × 27 × 26
n a n,
ou seja, escolher com ordem e sem repetição
temos que
n
n!
(n − n)!
n!
0!
n!
1
n!
An =
=
=
=
Os arranjos de
n elementos de um
n
seja, o número de
a
n, n An
, traduzem o número de formas diferentes de ordenar
permutações de n elementos.
Pn = n!
2
Em resumo
Com ordem
Sem ordem
Arranjos Completos
Com repetição
n
A0k = nk
[a prencher mais tarde]
Arranjos Simples
Sem repetição
n
Ak =
n!
(n−k)!
[a prencher mais tarde]
Permutações
n
An = Pn = n!
Tabela 1
2Em
algumas calculadoras grácas os arranjos
n
Ak
são apresentados como
n
Pk
n
elementos,ou
16
2. COMBINATÓRIA
2.2. Exercícios Arranjos e Permutações
Ex. 2.2.1.
De quantas formas diferentes se pode responder às sete questões de escolha múltipla
de um teste, sabendo que para cada questão há 4 opções?
Ex. 2.2.2.
Quantos vectores é possível construir com os vértices de um octógono regular?
(1) Incluindo o vector nulo.
(2) Sem o vector nulo.
Ex. 2.2.3.
Quantos números pares de 3 algarismos com 2 algarismos ímpares existem?
Ex. 2.2.4.
Quantos nºs naturais, escritos com algarismos todos diferentes, existem entre os nºs
1000 e 3000?
(A) 992
Ex. 2.2.5.
Seja
C
(B) 998
(C) 1002
(D) 1008
o conjunto de todos os números naturais com três algarismos (ou seja, de todos
os números naturais de 100 a 999)
(1) Quantos elementos do conjunto
C
são múltiplos de 5?
(2) Quantos elementos do conjunto C têm os algarismos todos diferentes?
Ex. 2.2.6.
Uma empresa de cofres atribui ao acaso um código secreto a cada cofre que comercializa.
Cada código secreto é formado por 4 algarismos, por uma certa ordem. Escolhendose um
cofre ao acaso, qual a probabilidade de o código ter exactamente 3 zeros?
(A) 0, 0004
Ex. 2.2.7.
(B) 0, 0027
(C) 0, 0036
(D) 0, 004
O código de um cartão multibanco é uma sequência de 4 algarismos como, por exemplo,
0559.
(1) Quantos códigos diferentes existem com um e um só algarismo zero?
(2) Imagine que um amigo seu vai adquirir um cartão multibanco. Admitindo que o código
de qualquer cartão multibanco é atribuído ao acaso, qual é a probabilidade de o código
desse cartão ter os 4 algarismos diferentes? Apresente o resultado na forma de dízima.
Ex. 2.2.8.
Um baralho de cartas completo é constituído por 52 cartas, repartidas em 4 naipes
(Espadas, Copas, Ouros e Paus).
Em cada naipe há um Ás, três guras (Rei, Dama e
Valete) e mais nove cartas (do Dois ao Dez).
A Joana pretende fazer uma sequência com seis cartas do naipe de Espadas. Ela quer
iniciar a sequência com o Ás, quer que as três cartas seguintes sejam guras e quer concluir
a sequência com duas das nove restantes cartas desse naipe.
Quantas sequências diferentes pode a Joana fazer?
(A) 416
(B) 432
(C) 528
(D) 562
2.2. EXERCÍCIOS ARRANJOS E PERMUTAÇÕES
Ex. 2.2.9.
17
Na gura está representado um hexágono regular com os vértices numerados de 1 a 6.
Lança-se três vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6.
Em cada lançamento, selecciona-se o
vértice do hexágono que corresponde ao número saído nesse
lançamento. Note que, no nal da experiência, podemos
ter um, dois ou três pontos seleccionados (por exemplo:
se sair o mesmo número três vezes, só é seleccionado um
ponto).
Qual é a probabilidade de se seleccionarem três pontos que sejam os vértices de um
triângulo equilátero?
(A)
Ex. 2.2.10.
(B)
1
18
(C)
1
16
1
14
(D)
1
12
Três raparigas e os respectivos namorados posam para uma fotograa. De quantas
maneiras se podem dispor, lado a lado, de modo que cada par de namorados que junto
na fotograa?
Ex. 2.2.11.
(A) 12
(B) 24
(C) 36
(D) 48
Considere todos os números de três algarismos que se podem formar com os algarismos
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9.
(1) Escolhe-se, ao acaso, um desses números. Sejam os acontecimentos:
A:
B:
O número escolhido é múltiplo de 5;
O número escolhido tem os algarismos todos diferentes.
Averigúe se A e B são, ou não, acontecimentos independentes.
(2) Considere o seguinte problema: De entre todos os números de três algarismos diferentes que se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, em quantos
deles o produto dos seus algarismos é um número par? Uma resposta correcta a este
problema é:
9
A3 − 5 A3
.
Numa pequena composição explique porquê.
Ex. 2.2.12.
Numa terra há só 4 médicos.
Numa certa noite, adoecem 5 habitantes.
Cada um
deles escolhe, ao acaso, um dos médicos e chama-o pelo telefone. Qual a probabilidade de
que não chamem todos o mesmo médico?
(A)
Ex. 2.2.13.
44 −1
44
(B) 1 − 514
(C) 1 − 544
(D)
4
45
A ementa de um restaurante tem 10 sobremesas diferentes. Cinco clientes escolhem
a sobremesa. A probabilidade de escolherem sobremesas distintas é:
(A) 0, 0023
Ex. 2.2.14.
(B) 0, 0254
(C) 0, 3024
(D) 0, 5142
Os números de telefone de uma certa região têm sete algarismos, sendo os três
primeiros 123 (por esta ordem). Quantos números de telefone podem existir nessa região?
(A)107
(B)104
(C)74
(D)10 × 9 × 8 × 7
18
2. COMBINATÓRIA
Ex. 2.2.15.
Um novo país, a Colorilândia, quer escolher a sua bandeira:
ela terá quatro tiras
verticais. Estão disponíveis cinco cores diferentes. Como é óbvio, duas tiras vizinhas não
podem ser da mesma cor. Entre quantas bandeiras diferentes vai decidir a população da
Colorilândia?
(A) 5 × 43
Ex. 2.2.16.
(B) 5 × 4 × 3 × 2
(C) 54
(D) 1
Quando se altera a ordem dos algarismos do número 35142, obtém-se outro número.
Considere todos os números que se podem obter por alteração da ordem dos algarismos de
35142. Quantos desses números são múltiplos de 5?
(A) 12
Ex. 2.2.17.
(B) 24
(C) 60
(D) 120
Uma pessoa vai visitar cinco locais, situados no Parque das Nações, em Lisboa: o
Pavilhão de Portugal, o Oceanário, o Pavilhão Atlântico, a Torre Vasco da Gama e o
Pavilhão do Conhecimento. De quantas maneiras diferentes pode planear a sequência das
cinco visitas, se quiser começar na Torre Vasco da Gama e acabar no Oceanário?
(A) 6
Ex. 2.2.18.
(B) 12
(C) 24
(D) 120
Pretende-se dispor, numa prateleira de uma estante, seis livros, dois dos quais são de
Astronomia. De quantas maneiras diferentes o podemos fazer, de tal forma que os dois
primeiros livros, do lado esquerdo, sejam os de Astronomia?
(A) 24
Ex. 2.2.19.
(B) 36
(C) 48
(D) 60
Num certo país existem 3 empresas operadoras de telecomunicações móveis: A, B e
C. Independentemente do operador, os números de telemóvel têm nove algarismos.
números do operador A começam por 51, os do B por 52 e os do C por 53.
Os
Quantos
números de telemóvel constituídos só por algarismos ímpares podem ser atribuídos nesse
país?
(A) 165 340
Ex. 2.2.20.
(B) 156 250
(C) 143 620
(D) 139 630
Seja B o conjunto dos números de quatro algarismos diferentes, menores que 3000,
que se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.
(1) Verique que o conjunto B tem 240 elementos.
(2) Escolhe-se, ao acaso, um elemento de B. Qual é a probabilidade de que esse elemento
seja um número par? Apresente o resultado na forma de fracção irredutível.
Ex. 2.2.21.
Considere todos os números de quatro algarismos que se podem formar com os algar-
ismos de 1 a 9. Escolhe-se ao acaso um desses números:
(1) Determine a probabilidade de o número escolhido ter exactamente dois algarismos
iguais a 1. (Resultado na forma de percentagem arredondado às unidades).
(2) Determine a probabilidade de o número escolhido ter os algarismos todos diferentes e
ser maior do que 9 800. (Resultado na forma de dízima, com 3 casas decimais).
2.3. COMBINAÇÕES
Ex. 2.2.22.
19
Dentro de um saco, estão nove cartões de igual textura e formato. Em cada um deles
está desenhada uma das letras da palavra BORBOLETA. Se tirar sucessivamente quatro
desses cartões e dispuser as respectivas letras pela ordem de saída, qual a probabilidade de
obter a palavra LOBO?
Ex. 2.2.23.
Cinco amigos, Ana, Bruno, Carlos, Duarte e Ema, vão ao cinema e sentam-se ao acaso
em 5 lugares consecutivos. A probabilidade de que a Ana que sentada ao lado do Bruno
e do Duarte é:
(A)
Ex. 2.2.24.
(B)
1
10
(C)
1
20
(D)
1
30
3
10
Numa mesa redonda de nove lugares pretende sentar-se os noivos e sete convidados.
De quantas formas distintas se podem distribuir de modo que os noivos quem juntos?
Ex. 2.2.25.
De quantas maneiras se podem sentar três raparigas e quatro rapazes num banco de
sete lugares, sabendo que, em cada um dos extremos, ca uma rapariga?
(A) 120
(B) 240
(C) 720
(D) 5040
2.3. Combinações
Nem todas as escolhas implicam a existência de ordem. Considere o seguinte problema de contagem:
Numa estante encontram-se 10 livros, dos quais se pretende escolher 4 para ler durante as férias
de verão. Quantas selecções diferentes é possível efectuar?
Claramente, neste caso, a ordem da escolha é indiferente.
Uma possível estratégia de resolução consiste em calcular o número de arranjos simples e de seguida
remover as escolhas repetidas que só diferem na ordem (que são permutações dos 4 livros escolhidos):
10
A4
=
P4
10!
(10−4)!
4!
=
10!
= 210
(10 − 4)! × 4!
3
A solução surge como sendo o número de formas diferente de escolher 4 livros de um conjunto de
10, sem ordem e sem repetição. Esta escolha tem a denominação de
10
C4 ,
Combinação e denota-se por
onde
n
Ck =
n!
(n − k)! × k!
Lê-se: Combinações de
n
elementos
k
a
k
Actualizando a Tabela 1 temos:
3Note
que para qualquer selecção de 4 livros, os
10
A4
arranjos incluiam as repectivas permutações
P4 .
20
2. COMBINATÓRIA
Com ordem
Escolhas
Arranjos Completos
Com repetição
n
A0k = nk
Sem ordem
Não faz parte do programa
4
Arranjos Simples
Sem repetição
n
Ak =
Permutações
n
Combinações
n!
(n−k)!
n
Ck =
n!
(n−k)!×k!
An = Pn = n!
2.4. Exercícios Combinatória
Ex. 2.4.1.
Foram oferecidos dez bilhetes para uma peça de teatro a uma turma com doze rapazes
e oito raparigas. Ficou decidido que o grupo que vai ao teatro é formado por cinco rapazes
e cinco raparigas. De quantas maneiras diferentes se pode formar o grupo?
(A) 12 C5 ×8 C5
Ex. 2.4.2.
(B) 12 A5 ×8 A5
(C) 12 × 8 × 52
(D)
12!×8!
5!
Considere todos os números pares com cinco algarismos. Quantos destes números têm
quatro algarismos ímpares?
(A) 5 ×5 C4
Ex. 2.4.3.
(B) 55
(C) 5!
Uma estante tem oito prateleiras.
(D) 5 ×5 A4
Pretende-se expor, nessa estante, seis peças de
porcelana: duas jarras iguais e quatro pratos diferentes. De quantas maneiras podem ser
expostas as seis peças nas oito prateleiras, de tal modo que não que mais do que uma
peça em cada prateleira?
(A) 8 C2 ×6 A4
Ex. 2.4.4.
(B) 8 A2 × 4!
(D) 8 A2 ×6 C4
Num curso superior existem dez disciplinas de índole literária, das quais três são de
literatura contemporânea.
curso.
Um estudante pretende inscrever-se em seis disciplinas desse
Quantas escolhas pode ele fazer se tiver de se inscrever em, pelo menos, duas
disciplinas da literatura contemporânea?
3
C2 + 7 C4 × 7 C3
Ex. 2.4.5.
(C) 8 C2 ×8 A4
(A)
(B) 3 C2 + 7 C4 + 7 C3
(C) 3 C2 × 7 C4 × 7 C3
(D) 3 C2 × 7 C4 + 7 C3
Numa turma com doze raparigas e sete rapazes, vão ser escolhidos cinco elementos
para formar uma comissão. Pretende-se que essa comissão seja constituída por alunos dos
dois sexos, mas tenha mais raparigas do que rapazes. Nestas condições, quantas comissões
diferentes se podem formar?
19
C5 × 5 C3 + 19 C5 × 5 C2
4As
(A)
(B) 12 C4 × 7 C1 + 8 C3 × 6 C2
(C) 19 C12 × 12 C3 + 19 C7 × 7 C2
(D) 12 C4 × 7 C1 + 12 C3 × 7 C2
combinações com repetição
de
n
elementos
k
a
k
podem ser calculados com
n
Ck0 =
(n+k−1)!
(n−1)!×k!
2.4. EXERCÍCIOS COMBINATÓRIA
Ex. 2.4.6.
21
Num torneio de xadrez, cada jogador jogou uma partida com cada um dos outros
jogadores.
Supondo que participaram no torneio dez jogadores, o número de partidas
disputadas foi:
(A) 10 C2
Ex. 2.4.7.
(B) 10 C10
(C) 10!
(D) 10 × 9
A Joana comprou dez discos, todos diferentes, sendo três deles de música clássica e os
restantes de Jazz. Pretende oferecer esses dez discos aos seus irmãos, o Ricardo e o Paulo,
de modo que cada irmão que com o mesmo número de discos e que o Ricardo que com
exactamente dois discos de música clássica. De quantas maneiras o poderá fazer?
3
3
C2 × 7 C3
C 2 × 7 C3 × 3 C1 × 7 C4
Ex. 2.4.8.
(A)
(B)
(C) 3 C2 + 7 C3
(D) 3 C2 × 7 C3 + 3 C1 × 7 C4
Um saco contém cinco cartões, numerados de 1 a 5. A Joana retira sucessivamente,
ao acaso, os cinco cartões do saco e alinha-os, da esquerda para a direita, pela ordem de
saída, de maneira a formar um número de cinco algarismos. Qual a probabilidade de esse
número ser par e de ter o algarismo das dezenas também par?
(A)
Ex. 2.4.9.
(B)
5C
2
5A
2
(C)
5C
2
5!
2×3!
5A
2
(D)
2×3!
5!
A Sandra tem dez chas de plástico, três das quais são verdes, sendo as restantes
vermelhas.
A Sandra empilha as dez chas, aleatoriamente, umas em cima das outras.
Qual a probabilidade de as três chas verdes carem em cima?
(A)
Ex. 2.4.10.
(B)
10 C
3
10 A
3
(C)
1
10 A
3
3!
10!
(D)
3!×7!
10!
Sete amigos vão ao futebol ver um desao entre o clube Alfa e o clube Beta. Três
deles são adeptos do clube Alfa e quatro são adeptos do clube Beta. No estádio sentam-se
na mesma la, uns ao lado dos outros, distribuídos ao acaso. Qual é a probabilidade de
os adeptos do clube Alfa carem todos juntos e os adeptos do clube Beta carem também
todos juntos?
(A)
Ex. 2.4.11.
(B)
3!×4!
7!
(C)
2×3!×4!
7!
2
3!×4!
(D)
1
3!×4!
Num grupo de 20 congressistas, 8 só falam inglês, 5 só falam francês e 7 falam as
duas línguas.
Qual a probabilidade de dois congressistas, escolhidos ao acaso, poderem
conversar sem auxílio de intérprete?
Ex. 2.4.12.
(A)
5 C +7 C +8 C
2
2
2
20 C
2
(B)
7×(3 C1 +7 C4 )
20 C
2
(C)
20 C
(D)
5 C ×7 C ×8 C
2
2
2
20 C
2
2 −40
20 C
2
Cada uma de seis pessoas lança um dado com faces numeradas de 1 a 6.
Qual a
probabilidade de os números saídos serem todos diferentes?
(A)
Ex. 2.4.13.
6!
66
(B)
1
66
(C)
1
6!
(D)
1
6
Considere uma caixa de doze aguarelas, sendo uma de cada cor e também uma caixa
de doze lápis de cera com as mesmas cores do que as referidas aguarelas. Retirou-se, ao
22
2. COMBINATÓRIA
acaso, uma aguarela e um lápis de cera. Qual a probabilidade de ter obtido uma aguarela
e um lápis de cera da mesma cor?
(A)
Ex. 2.4.14.
(B)
1
12
1
24
(C)
(D)
1
12!
1
24!
Para certo exame, os candidatos devem preparar 100 temas dos quais três, selecciona-
dos ao acaso, sairão no exame. Um candidato apresenta-se a exame tendo preparado
1
4
dos temas. A probabilidade de que tenha acertado só dois dos temas que saíram é:
(A)
Ex. 2.4.15.
(B)
75×25 C2
100 C
3
3×25 C2
100 C
3
(C)
(D)
225×25 C2
100 C
3
25 C
2
100 C
3
Escolhem-se aleatoriamente dois vértices distintos de um cubo. Qual a probabilidade
de o centro do cubo ser o ponto médio do segmento por eles denido?
(A)
Ex. 2.4.16.
(B)
1
8C
2
4
8C
2
(C)
(D)
1
8!
4
8!
A Joana tem na estate do seu quarto três livros de José Saramago, quatro de Sophia
de Mello Brayner Andresen e cinco de Carl Sagan. Quando soube que ia passar as férias a
casa da sua avó, decidiu escolher seis desses livros, para ler durante este período de lazer.
A Joana pretende levar dois livros de José Saramago, um de Sophia de Mello Brayner
Andresen e três de Carl Sagan.
(1) De quantas maneiras pode fazer a sua escolha?
(2) Admita que a Joana já seleccionou os seis livros que irá ler.
Supondo aleatória a
sequência pela qual estes livros vão ser lidos, qual a probabilidade de os dois livros de
José Saramago serem lidos um a seguir ao outro? Apresente o resultado na forma de
fracção irredutível.
Ex. 2.4.17.
Um scal do Ministério das Finanças vai inspeccionar a contabilidade de sete empresas,
das quais três são clubes de futebol prossional.
inspecções vão ser feitas é aleatória.
A sequência segundo a qual as sete
Qual é a probabilidade de que as três primeiras
empresas inspeccionadas sejam exactamente os três clubes de futebol?
Apresente o resultado na forma de percentagem, arredondado às unidades.
Ex. 2.4.18.
Uma embalagem contém doze pastilhas com igual aspecto exterior, sendo três de
ananás, três de cereja, três de laranja e três de morango. Esvaziando a embalagem após a
compra e retirando quatro pastilhas ao acaso, qual a probabilidade de retirar uma de cada
sabor?
Ex. 2.4.19.
Para inaugurar uma ponte em Cegonhas de Baixo, a respectiva Junta de Freguesia
vai organizar uma feijoada.
O principal clube desportivo da região, o Cegonhas Futebol
Clube, foi convidado a fazer-se representar no almoço por três quaisquer membros da sua
direcção. A Sr.ª Manuela Silvestre e o Sr. António Gonçalves são dois dos sete elementos
dessa direcção.
Se a escolha dos três representantes for feita por sorteio, entre os sete
elementos da direcção do clube, qual a probabilidade de a Sr.ª Manuela Silvestre e o Sr.
António Gonçalves irem ambos à feijoada? Apresente o resultado na forma de uma fracção
irredutível.
2.4. EXERCÍCIOS COMBINATÓRIA
Ex. 2.4.20.
23
Para representar Portugal num campeonato internacional de hóquei em patins foram
seleccionados dez jogadores: dois guarda-redes, quatro defesas e quatro avançados.
(1) Sabendo que o treinador da Selecção Nacional opta por que Portugal jogue sempre
com um guarda-redes, dois defesas e dois avançados, quantas equipas diferentes pode
ele constituir?
(2) Um patrocinador da selecção nacional oferece uma viagem a cinco dos dez jogadores
seleccionados, escolhidos ao acaso.
Qual é a probabilidade de os dois guarda-redes
serem contemplados com essa viagem?
Apresente o resultado na forma de fracção
irredutível.
Ex. 2.4.21.
Uma das provas de atletismo é a estafeta
4 × 100
metros planos em que cada equipa
participa com 4 atletas. O clube Pés Voadores vai participar na prova, dispondo de 10
atletas para formar a equipa de estafeta.
(1) Quantos conjuntos diferentes é possível constituir para formar a equipa de estafeta
deste clube?
(2) Formada a equipa é necessário estabelecer a ordem de participação dos atletas que a
constituem. Por razões tácticas escolheu-se o João Rui para iniciar a prova, podendo
os restantes atletas da equipa participar em qualquer posição.
De quantas formas
diferentes se pode organizar esta equipa?
(3) Ao todo vão competir na prova 6 equipas de clubes diferentes. A colocação das equipas
pelas 8 pistas é feita por sorteio. Qual é a probabilidade de que a equipa dos Pés
Voadores corra na pista 1 não cando nenhuma equipa na pista 2?
24
2. COMBINATÓRIA
2.5. Triângulo de Pascal
4
0
C0
1
C0
1
C1
2
C0
2
C1
2
C2
3
C0
3
C1
3
C2
3
C3
C0
4
C1
4
C2
4
C3
4
Linha 0
Linha 1
Linha 2
Linha 3
C4
Linha 4
.
.
.
1
1
1
1
1
1
5
Linha 0
1
2
3
4
Linha 1
1
3
6
10
Linha 2
1
4
10
Linha 3
1
5
Linha 4
1
Linha 5
.
.
.
Da observação do Triângulo de Pascal podemos formalizar algumas propriedades:
Propriedade 1:
Cada linha do triângulo começa e acaba por 1.
n
Propriedade 2:
C0 = n Cn = 1,
∀n ∈ N
Em cada linha, elementos igualmente afastados das extremidades têm o mesmo
valor.
n
Cp = n Cn−p ,
∀n, p ∈ N∧n ≥ p
Um caso particular, o segundo elementos e o penúltimo elemento são iguais ao número da linha.
n
Propiedade 3:
C1 = n Cn−1 = n,
∀n ∈ N
A partir da 2.ª linha, cada elemento (com excepção dos extremos) é a soma dos
dois elementos imediatamente acima dele.
n
Cp +n Cp+1 =n+1 Cp+1 ,
∀n, p ∈ N∧n ≥ p∧n ≥ 2
2.6. EXERCÍCIOS TRIÂNGULO DE PASCAL
Propriedade 4:
n
A soma da
n-ésima
25
linha do triângulo de pascal é igual a
C0 + n C1 + n C2 + · · · + n Cn−2 + n Cn−1 + n Cn = 2n ,
2n .
∀n ∈ N
2.6. Exercícios Triângulo de Pascal
Ex. 2.6.1.
A soma de todos os elementos de uma linha de Pascal é 32. Escreva essa linha.
Ex. 2.6.2.
Se o terceiro elemento de uma linha do triângulo de Pascal é 120, qual é o penúltimo
elemento dessa mesma linha?
Ex. 2.6.3.
O produto dos dois primeiros elementos de uma linha do triângulo de Pascal é igual a
32. Qual é o terceiro elemento da linha seguinte?
Ex. 2.6.4.
Ex. 2.6.5.
1997
C100 + 1997 C101
(A) 1998 C101
é igual a:
(B)
1996
(C)
C100
1997
C201
(D)
1998
C201
O quarto número de uma certa linha do triângulo de Pascal é 19600. A soma dos quatro
primeiros números dessa linha é 20876. Qual é o terceiro número da linha seguinte?
(A) 2634
Ex. 2.6.6.
(B) 2193
(C) 1581
(D) 1275
Considere-se duas linhas consecutivas do triângulo de Pascal, das quais se reproduzem
alguns elementos:
···
36
···
O valor de
b
a
120
126
b
···
···
é:
(A) 164
Ex. 2.6.7. a b c d e f g
(B) 198
(C) 210
(D) 234
representa uma linha completa do triângulo de Pascal, onde todos os
elementos estão substituídos por letras. Qual das seguintes igualdades é verdadeira?
(A) c =6 C3
Ex. 2.6.8.
(B) c =7 C3
(C) c =6 C2
(D) c =7 C2
O penúltimo número de uma certa linha do triângulo de Pascal é 10. Qual é o terceiro
número dessa linha?
(A) 11
Ex. 2.6.9.
(B) 19
(C) 45
(D) 144
Os quatro primeiros números de uma linha do triângulo de Pascal são 1, 11, 55 e 165.
Então os três últimos números da linha seguinte são:
(A)
Ex. 2.6.10.
36, 24 e 12
(B)
66, 12 e 1
(C)
220, 66 e 12
(D)
24, 12 e 1
Uma certa linha do triângulo de Pascal tem quinze elementos. Qual é o sexto elemento
dessa linha?
26
2. COMBINATÓRIA
(A) 14 C5
Ex. 2.6.11.
(B) 15 C5
(C) 14 C6
(D) 15 C6
No triângulo de Pascal existe uma linha com onze elementos. Seja a o maior número
a?
(B) 10 C6
dessa linha. Qual o valor de
(A) C5
10
Ex. 2.6.12.
(C) 11 C5
(D) 11 C6
A soma dos dois últimos elementos de uma certa linha do triângulo de pascal é 21.
Qual é o valor da soma dos três primeiros elementos dessa linha?
(A) 121
Ex. 2.6.13.
(B) 151
(C) 181
(D) 211
Considere a linha do triângulo de Pascal em que o segundo elemento é 35. Escolhem-
se, ao acaso, dois elementos dessa linha. Qual é a probabilidade de estes dois serem iguais?
(A)
1
35 C
2
(B)
18
36 C
2
(C)
19
35 C
2
(D)
35
36 C
2
Solução de exercícios escolhidos
27