ESCOLA DE APLICAÇÃO DR. ALFREDO JOSÉ BALBI
UNITAU
APOSTILA
PROBABILIDADES
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
PROF. CARLINHOS
NOME DO ALUNO:
Nº
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TURMA:
1
PROBABILIDADES
Probabilidade é um conceito filosófico e matemático que permite a quantificação da incerteza,
permitindo que ela seja aferida, analisada e usada para a realização de previsões ou para a orientação
de intervenções. É aquilo que torna possível se lidar de forma racional com problemas envolvendo o
imprevisível. A probabilidade teve o inicio de seus estudos nos jogos de azar Vejamos agora alguns
conceitos importantes para o estudo da teoria das probabilidades:
Experimento Aleatório: É todo experimento que produz resultados imprevisíveis, dentre os possíveis,
mesmo quando repetido em semelhantes condições. Ex: No lançamento de um dado honesto, podese obter os resultados 1, 2, 3, 4 ,5 e 6, ou seja, o resultado é incerto.
Espaço Amostral: É o conjunto de todos os resultados possíveis de um determinado experimento
aleatório. Indicaremos por U. Vejamos alguns exemplos
Lançamento de um dado honesto: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, }
Lançamento de uma moeda: U = { cara, coroa}
Sexo de um recém nascido: U = {masculino, feminino}
Evento: É todo subconjunto do espaço amostral relacionado a um experimento aleatório. Considere o
experimento aleatório, do lançamento de um dado honesto U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}, vejamos agora os
seguintes eventos:
A : Um número par , A = {2, 4, 6}
B : Um número par e primo, B = {2} ( evento simples ou elementar)
C: Um número maior que 6, C = Ø (evento impossível)
D: Um número menor que 7, D = {1,2,3,4,5,6} (evento certo) D = U
E : Um número menor ou igual 4 e F: um número maior ou igual a 4. Então: E = { 1,2,3,4} e
F = { 4,5,6}, observe que E U F = U , logo, E e F são chamados de eventos complementares.
Indicaremos o complementar de um evento A por Ā
G: Um número menor que 3 e H: um número maior que 3. Então:
G ={1,2} e H = {4,5,6}, observe
que G ∩ H = Ø, logo, G e H são chamados de eventos mutuamente exclusivos.
PROBABILIDADE DE UM EVENTO EM UM ESPAÇO AMOSTRAL FINITO
Seja U um espaço amostral equiprovável e A um de seus eventos. Denomina-se probabilidade do
evento A o número P(A) tal que:
P ( A) =
n( A)
, onde :
n(U )
n(A) = nº de elementos do evento A
n(U) = nº de elementos do espaço amostral U
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2
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS:
Se A e B são dois eventos do mesmo espaço amostral S, então:
P(A U B) = P( A ) + P( B ) – P (A ∩ B)
Se A ∩ B = ø , teremos:
P(A U B) = P( A ) + P( B )
PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR:
Sejam A um evento de um espaço amostral U e Ā o seu evento complementar, então:
P(A) + P(Ā) = 1 ou P(Ā) = 1 – P(A)
MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES:
Se um acontecimento é composto por vários eventos sucessivos e independentes de modo que:
- O 1º evento é A e sua probabilidade é P(A);
- O 2º evento é B e sua probabilidade é P(B);
- O 3º evento é C e sua probabilidade é P(C);
- O n-ésimo evento é N e sua probabilidade é P(N), então a probabilidade de os eventos A, B, C e N
ocorram nessa ordem é:
P = P( A ). P( B ). P( C )...P(N)
PROBABILIDADE CONDICIONAL:
Denomina-se probabilidade de A condicionada a B a probabilidade de ocorrência do evento A
sabendo-se que ocorreu ou vai ocorrer o evento B, e é dada por:
P(A/B) = n( A ∩ B ) / n ( B)
EXEMPLOS
1) No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter um número múltiplo de 3.
SOLUÇÃO:
O espaço amostral é U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6}, portanto n(U) = 6
A ocorrência de um múltiplo de 3 é A = {3, 6}, portanto n(A) = 2
P( A) =
n( A) 2 1
= =
ou 33,33%
n(U ) 6 3
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3
2) Numa urna existem 30 bolas numeradas de 1 a 30. Retirando-se 1 bola ao acaso, qual
probabilidade de que seu número múltiplo de 4 ou de 5.
SOLUÇÃO:
O espaço amostral é U = { 1, 2, 3, ..., 30}, portanto n(U) = 30
A ocorrência de um múltiplo de 4 é A = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28}, portanto n(A) = 7
P( A) =
n( A) 7
=
n(U ) 30
A ocorrência de um múltiplo de 5 é B = {5, 10, 15, 20, 25, 30}, portanto n(B) = 6
P( B ) =
n( B ) 6
=
n(U ) 30
A ∩ B = { 20 }, portanto n ( A ∩ B ) = 1
P( A I B ) =
n( A I B ) 1
=
n(U )
30
P(A U B) = P( A ) + P( B ) – P (A ∩ B) =
7
6
1 12 2
+ −
=
= ou 40%
30 30 30 30 5
3) Se a probabilidade de um piloto ganhar uma corrida é de 1/5. Qual a probabilidade desse piloto
não ganhar essa corrida ?
SOLUÇÃO:
Seja P(A) = 1/5, probabilidade de ganhar a corrida e P(Ā) a probabilidade de não ganhar a corrida,
então:
P(A) + P(Ā) = 1 → 1/5 + P(Ā) = 1 → P(Ā) = 1 – 1/5 = 4/5 ou 80%
4) De um baralho de 52 cartas extraem-se duas cartas sucessivamente e sem reposição. Qual a
probabilidade se obter um ás e um valete nessa ordem ?
SOLUÇÃO :
Considere os eventos :
4
1
=
52 13
4
B : sair um valete na 2ª retirada, então P(B) =
51
Logo a probabilidade de ocorrer ás na 1ª retirada e valete na 2ª retirada sem reposição, é dada por :
1 4
4
P = P(A).P(B) = . =
ou 0,60%
13 51 663
A : sair um ás na 1ª retirada, então P(A) =
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4
5) Lança-se um par de dados não viciados. Se a soma dos pontos nos dois dados foi 8, calcule a
probabilidade de ocorrer a face 5 em um deles.
SOLUÇÃO :
Considere os eventos :
A : O 5 em uma das faces, então A = { (1, 5), (5, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 5)}, logo :
n(A) = 9
B : A soma dos pontos igual a 8, então B = {(2, 6), (6, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 4)}, logo :
n(B) = 5
A I B = {(3, 5), (5, 3)}, então n(A I B) = 2
Logo a probabilidade de ocorrer A dado que ocorreu B é :
n( A I B ) 2
P(A/B) =
= ou 40%
n( B )
5
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM
1) Mariana (Ma), Bruna (Br) e Marcela (Mr) disputam uma corrida. Obtenha, levando em
consideração a ordem de chegada:
a) O espaço amostral da corrida. Resp: E={MaBrMr; MaMrBr; BrMaMr; BrMrMa; MrMaB;
MrBrMa}
b) O evento A: Bruna chega na frente de Mariana. Resp: A = {BrMaMr; BrMrMa; MrBrMa}
c) O evento B: Marcela venceu a corrida. Resp: B = ={MaBrMr; MaMrBr}
2) Considere o experimento: A retirada de 2 bolas simultâneas de uma urna com 5 bolas
numeradas. Determine:
a) O espaço amostral E. Resp: E = {b1b2; b1b3; b1b4; b1b5; b2b3; b2b4; b2b5; b3b4; b3b5; b4b5}
b) O evento A: as duas bolas são ímpares. Resp: A = { b1b3; b1b5; b3b5 }
c) O evento B: a soma dos números das bolas é maior que 7. Resp: B = { b3b5; b4b5}
d) O evento B. Resp: B = {b1b2; b1b3; b1b4; b1b5; b2b3; b2b4; b2b5; b3b4 }
3) Determine a probabilidade de ganhar na mega sena com um cartão de 6
números.Resp:
1
50063860
4) Uma urna contém 12 bolas brancas, 6 vermelhas e duas azuis. Qual a probabilidade de
retirar uma bola vermelha ou uma bola azul. Resp: 40%
5) Uma moeda é lançada 2 vezes. Calcule a probabilidade de que:
a) não ocorra cara em nenhum dos lançamentos. Resp: 25%
b) se obtenha cara na 1ª ou na 2ª jogada. Resp: 75%
6) Joga-se um dado 2 vezes. Calcule a probabilidade de se obter 2 na 1ª jogada, sabendo
que a soma dos resultados das duas jogadas de 7. Resp: 1/6
7) Retiram-se 3 cartas de um baralho de 52 cartas. Após cada retirada, a carta é recolocada.
Nessas condições, pede-se a probabilidade de que seja(m):
a) 3 cartas de copas. Resp: 1/64
b) nenhuma carta de copas. Resp: Resp: 27/64
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8) Qual a probabilidade de um número inteiro n, 1 ≤ n ≤ 999, ser múltiplo de 9. Resp: 1/9
9) Se um certo casal tem 3 filhos, calcule a probabilidade de os três serem do mesmo sexo,
dado que o primeiro filho é homem. Resp: 1/4
10) No lançamento simultâneo de 2 dados, calcule a probabilidade de ocorrer:
a) dois números iguais. resp: 1/6
b) a soma dos pontos ser igual a 6. resp: 5/36
11) (Unesp) Após uma partida de futebol, em que as equipes jogaram com as camisas
numeradas de 1 a 11 e não houve substituições, procede-se ao sorteio de dois jogadores de
cada equipe para exame anti-doping. Os jogadores da primeira equipe são representados
por 11 bolas numeradas de 1 a 11 de uma urna A e os da segunda, da mesma maneira, por
bolas de uma urna B. Sorteia-se primeiro, ao acaso e simultaneamente, uma bola de cada
urna. Depois, para o segundo sorteio, o processo deve ser repetido com as 10 bolas
restantes de cada urna. Se na primeira extração foram sorteados dois jogadores de
números iguais, a probabilidade de que aconteça o mesmo na segunda extração é de:
a) 0,09 b) 0,1 c) 0,12 d) 0,2 e) 0,25 Resp: b
12) (Pucsp) Uma urna contém apenas cartões marcados com números de três algarismos
distintos, escolhidos de 1 a 9. Se, nessa urna, não há cartões com números repetidos, a
probabilidade de ser sorteado um cartão com um número menor que 500 é:
a) 3/4 b) 1/2 c) 8/21 d) 4/9 e) 1/3 Resp: d
13 ) (Unesp) Num grupo de 100 pessoas da zona rural, 25 estão afetadas por uma
parasitose intestinal A e 11 por uma parasitose intestinal B, não se verificando nenhum caso
de incidência conjunta de A e B. Duas pessoas desse grupo são escolhidas, aleatoriamente,
uma após a outra.Determine a probabilidade de que, dessa dupla, a primeira pessoa esteja
afetada por A e a segunda por B. Resp: 1/36
14) (Unesp) Numa gaiola estão 9 camundongos rotulados 1,2,3,...,9. Selecionando-se
conjuntamente 2 camundongos ao acaso (todos têm igual possibilidade de ser escolhidos),
a probabilidade de que na seleção ambos os camundongos tenham rótulo impar é:
a) 0,3777... b) 0,47 c) 0,17 d) 0,2777... e) 0,1333...
Resp: d
15) (Unesp) Lançando-se simultaneamente dois dados não viciados, a probabilidade de que
suas faces superiores exibam soma igual a 7 ou 9 é:
a) 1/6 b) 4/9 c) 2/11 d) 5/18 e) 3/7
Resp: d
16) (Cesgranrio) Uma urna contém 4 bolas brancas e 5 bolas pretas. Duas bolas, escolhidas
ao acaso, são sacadas dessa urna, sucessivamente e sem reposição. A probabilidade de
que ambas sejam brancas vale:
a) 1/6 b) 2/9 c) 4/9 d) 16/81 e) 20/81 Resp: a
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17) (Fatec) Considere todos os números de cinco algarismos distintos obtidos pela
permutação dos algarismos 4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses números, ao acaso, a
probabilidade dele ser um número ímpar é:
a) 1 b) 1/2 c) 2/5 d) 1/4 e) 1/5 Resp: c
18) (Puccamp) O número de fichas de certa urna é igual ao número de anagramas da
palavra VESTIBULAR. Se em cada ficha escrevermos apenas um dos anagramas, a
probabilidade de sortearmos uma ficha dessa urna e no anagrama marcado as vogais
estarem juntas é:
a) 1/5040 b) 1/1260 c) 1/60 d) 1/30 e) 1/15
Resp: d
19) (Unesp) Um baralho tem 12 cartas, das quais 4 são ases. Retiram-se 3 cartas ao acaso.
Qual a probabilidade de haver pelo menos um ás entre as cartas retiradas? Resp:41/45
20) (Unesp) Dois jogadores A e B vão lançar um par de dados. Eles combinam que se a
soma dos números dos dados for 5, A ganha e se a soma for 8, B é quem ganha. Os dados
são lançados. Sabe-se que A não ganhou. Qual a probabilidade de B ter ganho?
a) 10/36
b) 5/32
c) 5/36
d) 5/35
e) Não se pode calcular sem saber os números sorteados. Resp: b
21) Num grupo de 80 alunos, 50 jogam futebol, 40 jogam vôlei e 20 jogam futebol e vôlei.
Escolhendo ao acaso um desses alunos, qual a probabilidade de ele:
a) jogar vôlei ou futebol
resp: 7/8
b) jogar somente futebol resp: 3/8
c) não praticar nenhum desses esportes resp: 1/8
22) De um lote de 14 peças das quais 5 são defeituosas, escolhemos aleatoriamente duas.
Determine:
a) a probabilidade de que ambas sejam defeituosas. resp: 10/91
b) a probabilidade de que ambas não sejam defeituosas. resp: 36/91
c) a probabilidade de que uma seja defeituosa. resp: 55/91
23) Considere duas caixas, I e II. Na caixa I há 4 bolas pretas e 6 azuis e na caixa II há 8
bolas pretas e 2 azuis. Escolhi ao acaso uma caixa e, em seguida, tirei uma bola. Qual a
probabilidade desta bola ser:
a) preta resp: 3/5 b) azul resp: 2/5
24) Um grupo de 30 pessoas apresenta a seguinte composição: 20 italianos e 10
portugueses; 15 homens e 15 mulheres; 5 casados e 25 solteiros. Determine a
probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja um homem casado e português .
resp: 1/36
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