1
A ESTATÍSTICA
A Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta,
organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos
mesmos na tomada de decisões.
Exprimindo por meio de números as observações que se fazem de elementos com, pelo
menos, uma característica comum (por exemplo: os alunos do sexo masculino de uma
comunidade), obtemos os chamados dados referentes a esses elementos.
A coleta, a organização e a descrição dos dados estão a cargo da Estatística
Descritiva, enquanto a análise e a interpretação desses dados ficam a cargo da
Estatística Indutiva ou Inferencial.
Em geral, as pessoas, quando se referem ao termo estatística, o fazem no sentido da
organização e descrição dos dados, desconhecendo que o aspecto essencial da
Estatística é o de proporcionar métodos, que permitam conclusões que transcendam os
dados obtidos inicialmente. Assim, a análise e a interpretação dos dados estatísticos
tornam possível o diagnóstico de uma empresa, o conhecimento de seus problemas e a
formulação de soluções para tais problemas.
SÉRIES ESTATÍSTICAS
Um dos objetivos da Estatística é sintetizar os valores que uma ou mais variáveis podem
assumir, para que tenhamos uma visão global da variação dessa variável. E isso ela consegue
inicialmente, apresentando esses valores em tabelas e gráficos, que irão nos fornecer rápidas
e seguras informações a respeito das variáveis em estudo.
TABELAS ESTATÍSTICAS
Uma tabela deve apresentar a seguinte estrutura:
- cabeçalho
- corpo
- rodapé
O cabeçalho deve conter o suficiente para que sejam respondidas as questões:
- o que está representado?
- onde ocorreu?
- quando ocorreu?
O corpo da tabela é representado por colunas e subcolunas dentro dos quais serão registrados
os dados numéricos e informações.
O rodapé é reservado para observações pertinentes à tabela, bem como para o registro e
identificação da fonte dos dados.
Exemplo:
Internautas que fazem transações bancárias on-line – jan/2003
Países
Quantidade(%)
Suécia
51,3
Austrália
39,6
EUA
12,5
Japão
9,6
Brasil
36,2
Espanha
18,6
Fonte: Nielsen/Net Ratings(Revista Época)
2
GRÁFICOS
A representação gráfica das séries estatísticas (tabelas) tem por finalidade representar os
resultados obtidos, permitindo chegar-se a conclusões sobre a evolução do fenômeno ou sobre
como se relacionam os valores da série. Não há uma única maneira de representar
graficamente uma série estatística. A escolha do gráfico mais apropriado ficará a critério do
analista. Contudo, os elementos simplicidade, clareza e veracidade devem ser considerados
quando da elaboração de um gráfico.
GRÁFICO DE COLUNAS
Internautas que fazem transações
bancárias on lina Quantidade(%)
60
40
20
0
EU
A
Br
Es asi
pa l
nh
a
Internautas que
fazem
transações
bancárias on
Fonte:Nielsen/Net Ratings(Revista Época)
GRÁFICO DE BARRAS
É semelhante ao gráfico de colunas, porém os retângulos são dispostos horizontalmente.
Internautas que fazem transações
bancárias on lina Quantidade(%)
Internautas que
fazem
transações
bancárias on
Brasil
EUA
Suécia
0
20
40
60
Fonte:Nielsen/Net Ratings(Revista Época)
3
Obs: A distância entre as colunas (ou barras), por questões estéticas, não deverá ser menor
que a metade nem maior que os dois terços da largura (ou da altura dos retângulos)
GRÁFICO DE LINHA (CURVA)
O gráfico de linha constitui uma aplicação do processo de representação das funções num
sistema de coordenadas cartesianas.
Internautas que fazem transações
bancárias on lina Quantidade(%)
Br
Es asi
pa l
nh
a
EU
A
60
40
20
0
Internautas
que fazem
transações
bancárias on
Fonte:Nielsen/Net Ratings(Revista Época)
GRÁFICO DE SETORES
É a representação gráfica de uma série estatística, em um círculo, por meio de setores. È
utilizado principalmente quando se pretende comparar cada valor da série com o total. Para
construí-lo, divide-se o círculo em setores, cujas áreas serão proporcionais aos valores da
série. Essa divisão poderá ser obtida pela solução da regra de três: total...........360º
Parte.......... xº
Países
Suécia
Austrália
EUA
Japão
Brasil
Espanha
Total
Quantidade(%)
51,3
39,6
12,5
9,6
36,2
18,6
167,8
Graus
110,06
84,96
26,82
20,60
77,66
39,90
360
Graus Acumulados
110,06
195,02
221,84
242,44
320,10
360
4
Internautas que fazem transações
bancárias on lina Quantidade(%)
Suécia
Austrália
EUA
Japão
Brasil
Espanha
Fonte: Nielsen/Net Ratings (Revista Época)
Exercícios:
1 – Represente as séries abaixo usando :
- Gráfico de linhas
- Gráfico de colunas
- Gráfico de setores
Tabela 1:
Venda mensal de produtos
Banco Alfa S.A– Jan/2003
Produtos
Quantidade
Cartão de crédito
57
Seguro de vida
41
Seguro de auto
98
Título de capitalização
61
Título de previdência
12
Fonte: Depto Comercial Banco Alfa SA
Tabela 2:
Produção Empresa Beta Ltda – 1º semestre 2002
Meses
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
Junho
Quantidade
37
41
28
47
68
44
Fonte: Depto Vendas Empresa Beta Ltda
5
DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS
A cada fenômeno corresponde um número de resultados possíveis. Exemplo: Para o
fenômeno “sexo” são dois os resultados possíveis: sexo masculino e sexo feminino.
Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.
POPULAÇÃO E AMOSTRA
População – é um conjunto de indivíduos ou objetos que apresentam pelo menos uma
característica em comum.
Amostra – é um subconjunto finito de uma população.
Suponhamos termos feito uma coleta de dados relativos às idades de 30 pessoas, que
compõem uma amostra dos alunos de uma faculdade “A”:
24 23 22 28 35 21 23 33 34 25 21 25 36 26 22 30 32 25 26 33
34 21 31 25 26 25 35 33 31 31
A este tipo de tabela, cujos elementos não foram numericamente organizados denominamos
tabela primitiva ou dados brutos.
Ao arranjo dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente chamamos de rol. Logo:
21
32
21
33
21
33
22
33
22
34
23
34
23
34
24
35
25
35
25
36
25
25
26
26
26
28
30
31
31
31
Podemos organizar estes dados em uma tabela simples denominada de distribuição de
freqüência com variável discreta. Os dados serão organizados com suas freqüências simples.
Freqüência simples ou absoluta (Fi) – é o número de vezes que o elemento aparece na
amostra ou o nº de elementos pertencentes a uma classe.
Idades
21
22
23
24
25
26
28
30
31
32
33
34
35
36
Total
Fi
3
2
2
1
4
3
1
1
3
1
3
3
2
1
30
6
Podemos ainda agrupar os valores da variável em intervalos, sendo que, chamamos esses
intervalos de classes. Logo a tabela abaixo denominados de distribuição de freqüência com
intervalos de classe.
Idades de 30 alunos da Faculdade “A”
Classes
Idade
1
21 I---- 24
2
24 I---- 27
3
27 I---- 30
4
30 I---- 33
5
33 I---- 36
6
36 I---- 39
Σ
Freqüência
7
8
1
5
8
1
30
Obs: Quando os dados estão organizados em uma distribuição de freqüência, são comumente
denominados dados agrupados.
ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
A construção de uma tabela com dados agrupados em intervalos ou variável contínua requer o
conhecimento de alguns conceitos que vamos fazer em seguida e usaremos a tabela anterior
para exemplificar cada item.
Classes de freqüência – são os intervalos de variação da variável.
As classes são representadas simbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3, ... K (onde k é o nº total
de classes da distribuição).
No nosso exemplo: o intervalo 30 I---- 33 define a quarta classe (i=4). Como a distribuição é
formada de seis classes, temos K = 6.
Limites de classes – são os extremos de cada classe (li I---- Li)
li – limite inferior da classe (onde começa o intervalo)
Li – limite superior da classe (onde termina o intervalo)
Ex: intervalo 30 I---- 33
li – 30
Li – 33
Intervalo de classe ou amplitude do intervalo(h) – é a medida do intervalo que define a
classe.
Ex: intervalo 30 I---- 33, logo h = 33 – 30 = 3
- h = Li – li
Número de classes(k) – Não há uma fórmula exata para o cálculo do nº de classes. As mais
usadas são:1ª)K = 5 para n ≤ 25 ou K ≅ n para n > 25
2ª)Fórmula de Sturges – K ≅ 1 + 3,22 . log n
Range, amplitude total ou amplitude amostral – é a diferença entre o maior e o menor valor
da amostra. No exemplo dado: R = 36 – 21 = 15
Para montar a tabela de distribuição de freqüência com intervalos devemos seguir os
itens abaixo:
1º) Calcular o range (como na definição anterior: 36 – 21 = 15)
2º) Saber quantas classes ou quantos intervalos terá a tabela. No exemplo acima, temos
n=30,
7
portanto n>25. Logo o cálculo será K= 30 = 5,48, ou seja K = 6
3º) Calcular qual será a amplitude do intervalo ou qual a diferença entre o li e o Li.
Logo h ≅ R : K ou seja h = 15 : 6 = 2,5 ou h = 3
Obs: Quando os resultados acima não são exatos, devemos arredondá-los para o maior.
Outros elementos de uma distribuição de freqüência:
Pontos médios das classes (Xi) – é a média aritmética entre o limite superior e o limite
inferior da classe. Ex: 33 – 36
Xi =
33 + 36
= 34,5
2
Freqüência relativa (Fri) – é dada por Fri = Fi/n, ou seja é a porcentagem daquele valor da
amostra.
Freqüência acumulada (Fac) – é a soma das freqüências dos valores inferiores ou iguais ao
valor dado.
Histograma – é a representação gráfica de uma distribuição de freqüência por meio de
retângulos justapostos.
Polígono de freqüência – é um gráfico em linha, sendo as freqüências marcadas sobre
perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas pelos pontos médios dos intervalos de classe.
Polígono de freqüência acumulada – é traçado marcando-se as freqüências acumuladas
sobre perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites
superiores dos intervalos de classe.
Exercícios:
1 – Considere os salários quinzenais de 100 funcionários da Empresa Yasmim Ltda (em US$):
151 152 154 155 158 159 159 160 161 161 161 162 163 163 163 164 165 165
165 166 166 166 166 167 167 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168
168 168 168 169 169 169 169 169 169 169 170 170 170 170 170 170 170
171 171 171 171 172 172 172 173 173 173 174 174 174 175 175 175 175
176 176 176 176 177 177 177 177 178 178 178 179 179 180 180 180 180
181 181 181 182 182 182 183 184 185 186 187 188 190 190
Pede-se determinar:
a) A amplitude amostral
b) O número de classes
c) A amplitude das classes
d) Construir a tabela de distribuição de freqüência com as classes, frequências
absolutas, freqüências relativas, pontos médios e freqüência acumulada.
e) Qual a porcentagem de funcionários que ganham salários com valor igual ou
superior a US$179.
f) Qual a porcentagem de funcionários que ganham salários com valores inferiores
a US$163.
g) O histograma
h) O polígono de freqüência
i) Qual o ponto médio da 3ª classe
j) Qual o fri da 2ª classe.
8
2 - O controle de qualidade de uma indústria selecionou 48 caixas na linha de produção e
anotou em cada caixa o número de peças defeituosas, obtendo os seguintes dados:
2
0
0
4
3
0
0
1
0
0
1
1
2
1
1
1
1
1
1
0
0
0
3
0
0
0
2
0
0
1
1
2
0
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
Determinar:
a) o rol
b) a tabela de distribuição de freqüência sem intervalos
c) qual a porcentagem de caixas que apresentam 2 ou mais peças defeituosas?
3 – Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 40 revendedores
autorizados em todo o Brasil e anotou em determinado mês o número de unidades adquiridas
por estes revendedores. Obteve os seguintes dados:
6
7
9
10 12 14 15 15 15 16 16 17 18 18 18 18 19 19 20 20
20 20 21 21 21 22 22 23 24 25 25 26 26 28 28 30 32 32 35 39
a)Monte a tabela de distribuição de freqüência com intervalos .
Exercícios Extras:
1-Conhecidas as notas de 55 alunos:
33 33 35 35 39 41 41 42 45 45 47 48 50 52 53 54 55 55 56 57
59 60 61 64 65 65 65 66 67 68 68 69 71 73 73 73 74 74 76 77
78 80 81 84 85 85 88 89 91 94 94 98 98 98 98
Obtenha a tabela de distribuição de freqüência com intervalos, a freqüência absoluta, a
freqüência relativa, o ponto médio e a freqüência acumulada.
2 – Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes:
6 5 2 6 4 3 6 2 6 5 1 6 3 3 5 1 3 6 3 4 5 4 3 1 3
5 4 4 2 6 2 2 5 2 5 1 3 6 5 1 5 6 2 4 6 1 5 2 4 3
Forme uma distribuição de freqüência sem intervalos e complete com as colunas do fri e fac.
3 – Considerando as notas de um teste de inteligência aplicado a 55 alunos:
64 64 64 66 66 70 70 73 73 73 73 74 75 76 76 76 78 78 78 78
79 80 80 81 82 82 83 84 84 85 85 85 85 86 86 86 86 86 86 87
87 89 90 90 92 92 93 95 98 101 102 103 103 103 103
Forme uma tabela de distribuição de freqüência com intervalos e complete com as colunas do
Xi, Fri e Fac.
a)Qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota inferior a 79?
b)Qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota igual ou superior a 94?
4 – A amostra abaixo apresenta as vendas diárias de um determinado aparelho elétrico,
durante um mês, por uma firma comercial:
14
12
11
13
14
13
12
14
13
14
11
12
12
14
10
13
15
11
15
13
16
17
14
14
Forme uma distribuição de freqüência sem intervalos com as colunas do fri e fac.
9
Respostas:
1classes notas
1
33 I---- 42
2
42 I---- 51
3
51 I---- 60
4
60 I---- 69
5
69 I---- 78
6
78 I---- 87
7
87 I---- 96
8
96 I---- 105
2faces do dado
1
2
3
4
5
6
fi
7
6
8
10
9
6
5
4
fi
6
8
9
7
10
10
3–
classe
amostra
fi
1
64 I---- 69
5
2
69 I---- 74
6
3
74 I---- 79
9
4
79 I---- 84
7
5
84 I---- 89
14
6
89 I---- 94
6
7
94 I---- 99
2
8
99 I---- 104
6
a)36,36%
b)14,55%
4–
amostra
fi
fri
10
1
4,17
11
3
12,50
12
4
16,67
13
5
20,83
14
7
29,17
15
2
8,33
16
1
4,17
17
1
4,17
xi
37,5
46,5
55,5
64,5
73,5
82,5
91,5
100,5
fri
12
16
18
14
20
20
fri
12,73
10,91
14,55
18,18
16,36
10,91
9,09
7,27
fac
7
13
21
31
40
46
51
55
fri
9,09
10,91
16,36
12,73
25,45
10,91
3,64
10,91
fac
5
11
20
27
41
47
49
55
fac
6
14
23
30
40
50
xi
66,5
71,5
76,5
81,5
86,5
91,50
96,50
101,5
fac
1
4
8
13
20
22
23
24
10
MEDIDAS DE POSIÇÃO
Foi visto no item anterior a sintetização dos dados sob a forma de tabelas, gráficos e
distribuições de freqüências. Dessa forma podemos localizar a maio concentração de valores
de uma dada distribuição.
Agora, vamos ressaltar as tendências características de cada distribuição. Inicialmente
estudaremos as medidas de posição – que são estatísticas que representam uma série de
dados orientando-nos quanto à posição da distribuição no eixo X (eixo dos nº reais).
- Medidas de tendência central – representam os fenômenos pelos seus valores médios,
em torno dos quais tendem a concentrar-se os dados. (média, moda e mediana)
Média
1º CASO: Dados não agrupados
∑x
x =
(onde n é o nº de elementos do conjunto)
n
Ex1: Determinar a média aritmética simples dos valores: 3, 7, 8, 10 e 11
X =
∑x
n
=
3 + 7 + 8 + 10 + 11
= 7,8
5
X
2º CASO: Dados agrupados sem intervalos
Dada a amostra: 2, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8
Xi
Fi
XiFi
2
1
2
5
4
20
6
3
18
8
2
16
Total
10
56
Então a média será :
X =
∑ XiFi = 56 = 5,6
n
10
3º CAS0: Dados agrupados com intervalos
Classe
1
2
3
4
Total
Amostra
2 I---- 5
5 I---- 8
8 I---- 11
11 I---- 14
Fi
1
10
8
1
20
Xi
3,5
6,5
9,5
12,5
XiFi
3,5
65
76
12,5
157
11
Portanto X =
∑ XiFi = 157 = 7,85
n
20
Interpretação: O valor médio desta série é 7,85, isto é, 7,85 é o valor em torno do qual os
elementos desta série se concentram.
Exercícios:
1ª PARTE – MÉDIA
1-Calcule a média aritmética das séries abaixo:
a)1, 2, 8, 10, 12, 16, 21, 30
b)5, 6, 6, 10, 11, 11, 20
2 – Calcule a média para as tabelas abaixo:
xi
fi
2
1
3
4
4
3
5
2
Total
xi
17
18
19
20
21
Total
fi
3
18
17
8
4
3-O salário de 39 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro abaixo.
Calcule o salário médio destes funcionários.
classe
salários(R$)
nº func.
1
400 I---- 500
12
2
500 I---- 600
15
3
600 I---- 700
8
4
700 I---- 800
3
5
800 I---- 900
1
4-Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, segundo o quadro
abaixo.Calcule a média:
classe
aluguel(R$)
nº casa
1
0 I---- 200
30
2
200 I---- 400
52
3
400 I---- 600
28
4
600 I---- 800
7
5
800 I---- 1000
3
Total
5-Em uma empresa temos 4 operários com salário de R$850,00, 2 supervisores com salário de
R$1.200,00, 1 gerente com salário de R$2.000,00 e 6 vendedores com salário de R$1.100,00.
Qual a média salarial dessa empresa?
12
Respostas:
1)a)12,5
b)9,86
2)a)3,6 b)18,84
3)562,82
4)335
5)R$1.107,69
13
~
Mediana ( X )
1º Caso: Dados não agrupados
Os valores têm que ser colocados em ordem crescente. A mediana é o nº que se encontra no
centro de uma série de números, ou seja, divide a amostra em duas partes iguais.
Exemplo: 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16 e 9
Colocar os valores em ordem crescente: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18
Se n=9 logo
n + 1 9 + 1 10
~
=
=
= 5º elemento, logo X = 10
2
2
2
2º exemplo: 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18 e 21 ( já está em ordem)
n +1 8 +1
=
= 4,5 º elemento (está entre o 4º e o 5º elemento)
2
2
~ 10 + 12 22
=
= 11
Logo X =
2
2
Se n=8 logo
2º Caso: Dados agrupados sem intervalos
Dada a amostra: 12, 14, 14, 15, 16, 16, 17, 20 e 20
Xi
12
14
15
16
17
20
Total
Fi
1
2
1
2
1
2
9
Fac
1
3
4
6
7
9
Construindo a coluna da frequência acumulada podemos localizar com facilidade o valor
mediano.
n + 1 9 + 1 10
~
x=
=
=
= 5º elemento, portanto a mediana será o 16.
2
2
2
3º Caso: Dados agrupados com intervalos
Dada a tabela:
Classe
Amostra
fi
1
3 I---- 6
2
2
6 I---- 9
5
3
9 I---- 12
8
4
12 I---- 15
3
5
15 I---- 18
1
Total
19
Fac
2
7
15
18
19
14
1º Passo: Calcula-se a ordem
n
.
2
2º Passo: Pela Fac identifica-se a classe que contém a mediana (classe da Md).
3º Passo: Utiliza-se a fórmula:
n

 − fac ant  × h
2

~
x = li + 
ficlasse
Onde: l i = limite inferior da classe da mediana
n = tamanho da amostra
facanterior= freqüência acumulada anterior à classe da mediana( ou soma dos valores de fi
anteriores à classe da mediana)
h = amplitude da classe da mediana
ficlasse = freqüência da classe da mediana
No exemplo da tabela anterior:
1º Passo: Calcula-se
n
. Com n=19, temos 19/2=9,5º elemento
2
2º Passo: Identifica-se a classe da mediana pela Fac. Neste caso, a classe da mediana é a 3ª.
3º Passo: Aplica-se a fórmula:
n

 − fac ant  × h
2

~
x = li + 
ficlasse
9,5 − 7
~
x = 9+
× 3 = 9,93
8
Interpretação: 50% dos valores da série são valores menores ou iguais a 9,93 e 50% dos
valores da série são valores maiores ou iguais a 9,93.
Exercícios: MEDIANA
1-Calcule a mediana das seqüências abaixo:
a)2, 5, 8, 10, 12, 15, 18, 20
b)3, 4, 5, 7, 7, 8, 10, 15
2 – Calcule a mediana das distribuições abaixo:
xi
fi
2
5
4
20
5
10
6
10
8
2
Total
15
xi
17
18
19
20
21
Total
fi
3
18
4
3
1
3-Determine o valor mediano da distribuição a seguir que representa os salários de 23
funcionários selecionados em uma empresa:
classe
salários (R$)
nº funcionários
1
200 I---- 400
2
2
400 I---- 600
6
3
600 I---- 800
10
4
800 I---- 1000
5
4-Uma loja de departamentos selecionou um grupo de 53 notas fiscais, durante um dia e
obteve o quadro abaixo. Pede-se que determine o valor que representa a mediana.
classe
consumo
nº notas
1
0 I---- 50
10
2
50 I---- 100
28
3
100 I---- 150
12
4
150 I---- 200
2
5
200 I---- 250
1
total
Respostas:
1)a)11 b)7
2)a)4 b)18
3)670
4)79,46
Moda
1º Caso: Dados não agrupados:
É o valor de maior frequência em um conjunto de dados ou que aparece mais vezes.
Ex: 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 12, 15.
O elemento de maior frequência é o 10, portanto Mo=10 (unimodal)
Ex: 3, 5, 8, 10, 12 e 13
Todos os elementos da série apresentam a mesma frequência, logo a série é amodal.
Ex: 2, 2, 5, 5, 8, 9
Temos Mo=2 e Mo=5 (bimodal)
16
2º Caso: Dados agrupados sem intervalo
Basta identificar o elemento de maior freqüência.
Xi
Fi
0
2
2
4
3
5
4
3
6
1
Portanto Mo=3
3º Caso: Dados agrupados com intervalos
Dada a tabela:
classe
1
2
3
4
amostra
0 I----- 10
10 I----- 20
20 I----- 30
30 I----- 40
fi
1
3
6
2
1º Passo: Identifica-se a classe modal (aquela que possui maior freqüência)
2º Passo: Aplica-se a fórmula:
Mo = l i +
∆1
×h
∆1 + ∆ 2
Onde
l i = limite inferior da classe modal
∆ 1 = diferença entre a freqüência (fi) da classe modal e a imediatamente anterior
∆ 2 = diferença entre a freqüência (fi) da classe modal e a imediatamente posterior.
h = amplitude da classe
No exemplo da tabela anterior:
1º Passo: Indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3ª classe (maior fi=6)
2º Passo: Aplica-se a fórmula em que
Mo = 20 +
3
x10 = 24,29
3+ 4
Exercícios: MODA
1 – Calcule a moda para as séries abaixo:
a)2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 7
b)3, 4, 4, 5, 9, 12, 12
17
2-Calcule a moda das distribuições abaixo:
xi
fi
2
1
3
7
4
2
5
2
xi
17
18
19
20
21
Total
fi
3
18
17
8
4
3-A distribuição abaixo representa o consumo em Kg de um produto colocado em oferta em um
supermercado. Calcule a moda:
classe
consumo
nº de clientes
1
0 I---- 1
12
2
1 I---- 2
15
3
2 I---- 3
21
4
3 I---- 4
32
5
4 I---- 5
20
4-A distribuição abaixo representa o número de acidentes de trabalho por dia em uma indústria
Petroquímica, verificados durante um mês. Calcule a moda:
classe
nº de acidentes nº de dias
1
0 I----2
20
2
2 I---- 4
6
3
4 I---- 6
3
4
6 I---- 8
1
Respostas:
1)a)5 b)4 e 12
2)a)3 b)18
3)3,48
4)1,18
Exercícios Extras
1-Calcule a média aritmética das distribuições
abaixo:
Notas
fi
salários(R$) fi
2
5
520
18
3
8
780
31
5
14
940
15
8
10
1.240
3
10
7
1.590
1
Total
Total
a)
b)
2 – Calcule a moda para as tabelas acima.
Vendas(R$) fi
145
158
163
175
187
Total
c)
10
9
8
4
2
18
3 – Calcule a mediana para as tabelas acima.
4 – Calcule a média aritmética para as tabelas abaixo:
tabela a
tabela b
Salários(R$)
nº funcionários
Estaturas(cm)
200 I---- 400
15
150 I---- 158
400 I---- 600
12
158 I---- 166
600 I--- 800
8
166 I---- 174
800 I---- 1.000
2
174 I---- 182
1.000 I---- 1.200 1
182 I---- 190
total
total
Notas
0 I---- 2
2 I---- 4
4 I---- 6
6 I---- 8
8 I---- 10
total
tabela c
nº alunos
5
8
14
10
7
pesos (Kg)
145 I---- 151
151 I---- 157
157 I---- 163
163 I---- 169
169 I---- 175
Total
tabela d
5 – Calcule a mediana para as tabelas acima.
6 – Calcule a moda para as tabelas acima.
Respostas:
1- a) 5,77
b) 778,68
2 – a) 5
b) 780
3 – a) 5
b) 780 c) 158
4 – a) 500
5 – a) 466,67
6- a) 366,67
c) 159,09
c) 145
b) 172,40
b) 174
c) 5,27
c) 5,29
b) 176,57 c) 5,20
d)156,91
d)156
d)150,45
fi
5
12
18
27
8
Fi
10
9
8
5
3
19
MEDIDAS SEPARATRIZES
Dado o problema:
Na empresa Mercury Ltda foi observada a distribuição de funcionários do setor de vendas com
relação ao salário semestral (baseado em comissões sobre vendas):
salário semestral(R$) n° de funcionários
1000 I----- 3000
5
3000 I----- 5000
15
5000 I----- 7000
8
7000 I----- 9000
2
Se a empresa divide os funcionários em quatro categorias, com relação ao salário temos:
- 0s 25 % menos produtivos = categoria C;
- Os 25% seguintes = categoria B;
- Os 25% seguintes mais produtivos = categoria A
- Os 25% restantes = categoria especial.
Quais são os salários limites das categorias acima?
QUARTIS
Divide a amostra em quatro partes iguais.
Q1
Q2
Q3
I---------------I--------------I---------------I---------------I
0%
25%
50%
75%
100%
Para determinar Q1:
1° Passo: Calcula-se
n
4
2° Passo: Identifica-se a classe Q1 pela Fac
3° Passo: Aplica-se a fórmula:
n

 − fac ant  × h
4

Qi = li + 
ficlasse
Para determinar Q2:
1º Passo: Calcular
2n
4
2º Passo: Identifica-se a classe Q2 pela coluna do Fac.
3º Passo: Aplica-se a mesma fórmula anterior, substituindo
n
2n
por
4
4
Para determinar Q3:
1° Passo: Calcula-se
3n
4
2° Passo: Identifica-se a classe Q3 pela Fac
3° Passo: Aplica-se a mesma fórmula anterior, apenas substituindo
n
3n
por
.
4
4
20
DECIS
A amostra é dividida em 10 partes iguais.
I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I
0%
10% 20% 30%
40%
50%
60% 70%
80%
90% 100%
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
1° Passo: Calcula-se
in
onde i representa o decil que se quer calcular.(Ex. D4 então 4n)
10
2° Passo: Identifica-se a classe Di pela coluna do FAC
3° Passo: Aplica-se a fórmula:
 i.n

 − fac ant  × h
10

Di = li + 
ficlasse
PERCENTIS
Divide a amostra em 100 partes iguais:
I----------I----------I---------I--------I . . . I---------I-------I
0%
1%
2%
3%
4% 98% 99% 100%
P1
P2
P3
P4 P98 P99
!° Passo: Calcula-se
in
onde i representa o percentil que se quer calcular (Ex:P58 então 58n)
100
2° Passo: Aplica-se a fórmula:
 i.n

− fac ant  × h

100

Pi = li + 
ficlasse
21
Exercícios:
1 – A tabela abaixo refere-se às notas de 500 alunos do colégio “x”:
Notas
Fi
0 I----- 2
50
2 I----- 4
170
4 I----- 6
130
6 I----- 8
110
8 I----- 10
40
Se a escola dividir os alunos em quatro grupos conf. suas notas,quais as notas limites de cada
grupo?
2-A distribuição abaixo representa o número de acidentes de trabalho por dia em uma indústria:
nº de acidentes
nº de dias
0 I---- 2
20
2 I---- 4
15
4 I---- 6
12
6 I---- 8
10
8 I---- 10
8
Calcule:
a)Q1
b)Q3
c)P92
d)P48
e)D3
f)D7
3-a tabela abaixo representa o nº de faltas anuais dos funcionários de uma empresa:
nº faltas
nº empregados
0 I---- 2
20
2 I---- 4
125
4 I--- 6
53
6 I--- 8
40
8 I--- 10
14
Se a empresa decidir fornecer no final do ano uma cesta básica para 15% dos funcionários que
menos faltas tiveram, qual a quantidade máxima de faltas para não perder a cesta básica?
4-A tabela abaixo representa a venda de livros didáticos em uma editora:
Preço(R$)
nº livros comercializados
0 I---- 10
4000
10 I---- 20
13500
20 I--- 30
25600
30 I--- 40
43240
40 I--- 50
26800
50 I--- 60
1750
a)Se a editora fizer uma promoção com 25% dos livros de menor preço, qual o preço máximo
do livro que entrará na promoção?
22
b)No mês seguinte a editora fez uma promoção com 45% dos livros de preço mais baixo. Qual
é o preço máximo do livro para entrar na promoção?
c)Para fechar o mês, na última semana, a gerência da editora fez uma promoção com 20% dos
livros de maior valor. A partir de qual valor os livros entraram na promoção?
3-A tabela abaixo representa os salários dos vendedores de uma empresa baseado em
comissões:
salários(R$)
nº funcionários
200 I---- 400
6
400 I---- 600
10
600 I--- 800
24
800 I--- 1000
36
1000 I--- 1200
12
1200 I---- 1400
4
a)A empresa colocou uma meta extra para 5% dos vendedores que pior desempenho tiveram.
Até que valor de vendas o funcionário receberá a meta de vendas?
b)Para premiar os melhores vendedores, a empresa resolveu conceder uma abono para 3%
dos funcionários que tiveram melhor desempenho. A partir de que salário o funcionário
receberá o abono?
Respostas:
1)Q1=2,88
Q2=4,46
Q3=6,45
2)a)1,63 b)6,35 c)8,7 d)3,49 e)1,95
f)5,75
3)os funcionários que tiveram até 2,28 faltas (aproximadamente 3) receberão a cesta básica.
4)a)Os livros que custam até R$24,38 entrarão na promoção.
b)Os livros que custam até R$31,99 entrarão na promoção
c)Os livros que custam a partir de R$42,08 entrarão na promoção.
5)a)Os vendedores que tiveram o valor de vendas até R$353,33 receberão a meta extra.
b)Os vendedores que tiveram o valor de vendas a partir de R$1.262,00 receberão o abono.
23
MEDIDAS DE DISPERSÃO
São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade de dispersão dos
valores em torno da média. Servem para medir a representatividade da média.
--------------------------I-----------------------------
x
Ex: a)10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10
b)12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13
c)13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13
concluiremos que todas possuem a mesma média 13.
No entanto, são seqüências completamente distintas do ponto de vista da variabilidade de
dados.
DESVIO MÉDIO
É a análise dos desvios em torno da média.
Calculamos inicialmente a média da amostra. Em seguida identificamos a distância de cada
elemento da amostra para sua média. Finalmente, calculamos o desvio médio,
di = Ixi - x I, logo o desvio médio será
Exemplo: Dada a amostra:
Xi(amostra) Fi
XiFi
5
4
20
7
3
21
2
5
10
3
4
12
6
2
12
18
75
x=
∑ XiFi = 75 = 4,17
Dm =
n
18
∑ diFi = 31 = 1,72
n
18
∑ di Fi ou ∑ Xi − x Fi
n
IdiI=Ixi-xI
0,83
2,83
2,17
1,17
1,83
n
diFi
3,32
8,49
10,85
4,68
3,66
31
24
DESVIO PADRÃO
Xi
5
7
2
3
6
Fi
4
3
5
4
2
18
XiFi
20
21
10
12
12
75
Desvio padrão amostral – S =
IdiI=Ixi-xI
0,83
2,83
2,17
1,17
1,83
∑ di
2
n −1
fi
=
di2
0,69
8,01
4,71
1,37
3,35
62,52
=
18 − 1
di2.fi
2,76
24,03
23,55
5,48
6,70
62,52
62,52
= 3,68 = 1,92
17
2° exemplo:
classes
Fi
2 I--- 4
4 I--- 6
6 I--- 8
8 I--- 10
10 I---12
2
4
5
4
3
Xi
XiFi
di
difi
di 2
di 2 fi
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para a comparação em termos
relativos do grau de concentração em torno da média (expresso em porcentagens)
CV =
S
X
X 100
Temos:
Baixa dispersão: CV < 10%
Média dispersão: 10% < CV < 20%
Alta dispersão: CV > 20%
25
Exercícios:
1-Calcule o desvio médio das séries abaixo:
a)
xi
Fi
2
3
4
8
5
10
6
6
8
2
10
1
b)
salários
70 I---- 120
120 I---- 170
170 I---- 220
220 I---- 270
270 I---- 320
320 I---- 370
total
nº de vendedores
8
28
54
32
12
6
2 – Calcule o desvio padrão para as tabelas abaixo:
a)
Idade
nº de alunos
17
3
18
18
19
17
20
8
21
4
Total
b)
Xi
0
1
2
3
4
Total
Fi
30
5
3
1
1
3-Calcule o desvio padrão para a distribuição de valores de 54 notas fiscais emitidas na mesma
data, selecionadas em uma loja de departamentos.
Vl. notas
nº de notas
0 I---- 50
10
50 I---- 100
28
100 I---- 150
12
150 I---- 200
2
26
200 I---- 250
250 I---- 300
total
1
1
4-Calcule o desvio padrão para a tabela abaixo:
Alturas (cm)
nº de alunos
150 I---- 160
2
160 I---- 170
15
170 I---- 180
18
180 I---- 190
18
190 I---- 200
16
200 I---- 210
1
Total
5-Qual das disciplinas abaixo apresentou maior dispersão?
a)Matemática: média – 8,5 e desvio padrão – 2
Estatística: média – 9 e desvio padrão – 5
b)Cálculo: média 5 e desvio padrão – 2
Álgebra: média 8 e desvio padrão – 3
Respostas:
1)a)1,13 b)45,20
2)a)1,04 b)0,93
3)49,46
4)11,89
5)a)Estatística
b)Cálculo
Exercícios extras:
1 – Determine a média, moda e mediana nos casos abaixo:
a)
amostra
Fi
7 I---- 10
6
10 I---- 13
10
13 I---- 16
15
16 I---- 19
10
19 I---- 22
5
Total
27
b)
amostra
1 I---- 3
3 I---- 5
5 I--- 7
7 I---- 9
9 I---- 11
11 I---- 13
Total
Fi
3
5
8
6
4
3
c)
Idade
10 I---- 14
14 I---- 18
18 I---- 22
22 I---- 26
26 I---- 30
Total
nº pessoas
15
28
40
30
20
d)
amostra
30 I---- 40
40 I---- 50
50 I---- 60
60 I---- 70
70 I---- 80
Total
fi
10
20
35
25
10
e)
amostra
45 I---- 55
55 I---- 65
65 I---- 75
75 I---- 85
85 I---- 95
Total
fi
15
30
35
15
5
2 – Calcule o desvio médio ,o desvio padrão e o coeficiente de variação para as tabelas acima.
28
Respostas:
Exercício 1:
a)média: 14,37
b)média:6,83
c)média:20,36
d)média:55,5
e)média:66,5
moda:14,5
moda:6,20
moda:20,18
moda:56
moda:67
Exercício 2:
a)desvio médio:2,78
b)desvio médio:2,43
c)desvio médio:3,94
d)desvio médio:8,65
e)desvio médio:8,85
mediana:14,40
mediana:6,63
mediana:20,35
mediana:55,71
mediana:66,43
desvio padrão: 3,58
desvio padrão: 2,95
desvio padrão:4,89
desvio padrão:11,23
desvio padrão:10,67
CV:24,91
CV:43,19
CV:24,02
CV:20,23
CV:16,05
29
CALCULO DAS PROBABILIDADES
As decisões nos negócios são freqüentemente baseadas na análise de incertezas tais como as
seguintes:
a)Quais são as chances das vendas decrescerem se aumentarmos os preços?
b)Qual a chance de um novo método de montagem aumentar a produtividade?
c)Qual a probabilidade do projeto terminar no prazo?
A probabilidade é uma medida numérica da possibilidade de que um evento ocorra. Assim, as
probabilidades podem ser usadas como medidas do grau de incerteza.
EXPERIMENTO ALEATÓRIO
Em uma afirmação do tipo: “é provável que meu time ganhe a partida de hoje” pode resultar:
a) que o time perca;
b) que o time ganhe;
c) que ele empate.
Como vimos, o resultado é imprevisível e depende do acaso. Fenômenos como esse são
chamados fenômenos aleatórios ou experimentos aleatórios.
Experimentos aleatórios são aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições
semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.
ESPAÇO AMOSTRAL
A cada experimento aleatório (E) correspondem em geral a vários resultados possíveis a que
chamamos de Espaço Amostral (S).
Ex: E = jogar um dado e observar o nº da face de cima
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
E = Jogar uma moeda e observar o resultado
S = {cara, coroa}
EVENTO
È qualquer subconjunto do espaço amostral S de um experimento aleatório.
Exemplo:
No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, seja B o evento “obter um nº par na face
superior” temos: B = {2, 4, 6}
PROBABILIDADE
Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os
elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, chamamos de probabilidade de um
evento A o nº real P(A) tal que P(A) = n(A)/n(S)
onde: n(A) = nº de elementos de A ou nº de vezes que o avento A pode ocorrer
n(S) = nº de elementos de S ou nº de vezes em que o Espaço Amostral ocorre.
Exemplos:
Considerando o lançamento de um dado:
- qual a probabilidade do evento A “obter um número par na face superior”.
30
Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, logo n(S) = 6
A = {2, 4, 6}, logo n(A) = 3
Então: P(A) =
-
3 1
=
6 2
qual a probabilidade do evento B “obter um nº menor ou igual a 6 na face superior”
Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(B) = 6
Então : P(B) =
-
6
=1
6
qual a probabilidade do evento C “obter um número 4 na face superior”
Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
C = {4}, n( C ) = 1
Então : P ( C) =
-
1
6
qual a probabilidade do evento D “obter um número maior que 6 na face superior”
Temos: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, n(S) = 6
D = vazio, n(D) = 0
Então: P(D) =
0
=0
6
Pelos exemplos acima temos:
a) A probabilidade do evento certo é igual a 1: P(S) = 1 ou 100%
b) A probabilidade do evento impossível é 0
c) A probabilidade de um evento E qualquer é um nº real P(E) tal que: 0 ≤ P ( E ) ≤ 1
EVENTOS COMPLEMENTARES
Sabemos que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra
(sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso). Então: p + q = 1 ou
q=1–p
Ex: lançamento de um dado: P(4) = 1/6
Logo a probabilidade de não tirar 4 no lançamento é 1 – 1/6 = 5/6(q)
EVENTOS INDEPENDENTES
Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização (não realização) de um dos
eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.
Ex: lançamento de dois dados.
- Probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado = 1/6
- Probabilidade de obtermos 5 no segundo dado = 1/6
31
Logo, a probabilidade de obtermos simultaneamente, 1 no primeiro dado e 5 no segundo dado
é p = 1/6 x 1/6 = 1/36
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um
exclui a realização do outro.
Ex: lançamento de um dado; a probabilidade de se tirar 3 ou 5 em uma jogada é:
p(3) = 1/6
p(5) = 1/6 logo
p(3 ou 5) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
EXERCÍCIOS:
1-Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao acaso da urna.
Qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com número maior ou igual a 11?(Resp:
33,33%)
2-Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Qual a probabilidade
desse número ser:
a)menor que 3?(33,33%)
b)maior ou igual a 3?(66,67%)
3-Uma moeda é lançada três vezes sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos:
a)exatamente uma cara?(37,5%)
b)no máximo duas caras?(87,5%)
4-Um experimento consiste em sortear um aluno em uma classe pela lista de chamada(1 a 20):
Determine a probabilidade dos eventos abaixo:
a)Ser sorteado um número par.(50%)
b)Não ser sorteado múltiplo de 5.(80%)
c)Ser sorteado um número maior de 12.(40%)
d)Ser sorteado um múltiplo do 8.(10%)
e)Ser sorteado um número maior que 12 e múltiplo de 3.(10%)
f)Ser sorteado um número par ou número maior que 15.(60%)
5-Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça do lote, calcule:
a)A probabilidade de essa peça ser defeituosa (33,33%)
b)A probabilidade dessa peça não ser defeituosa.(66,67%)
6-Serão sorteados dois alunos de uma classe pela lista de chamada.(nº 1 ao nº 25)
Determine a probabilidade de:
a)Serem sorteados dois números pares.(22%)
b)Serem sorteados dois múltiplos do 7.(1%)
32
7-Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, sendo retiradas 2 peças do lote,
calcule:a)probabilidade de ambas serem defeituosas.(9,09%)
b)probabilidade de ambas não serem defeituosas.(R:42,42%)
8-Uma classe tem 20 meninos e 25 meninas. Deseja-se formar uma comissão de cinco alunos
para representantes de classe. Qual a probabilidade dessa comissão vir a ser formada
exclusivamente por meninos?(1,26%)
9-Numa comunidade residem 100 pessoas. Uma pesquisa sobre os hábitos alimentares dessa
comunidade revelou que:
25 pessoas consomem carnes e verduras;
83 pessoas consomem verduras;
39 pessoas consomem carnes.
Uma pessoa da comunidade é escolhida ao acaso. Qual a probabilidade da pessoa:
a)consumir exclusivamente carnes?(14%)
b)ter o hábito de não consumir nem carne nem verdura?(3%)
10-Uma urna contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Uma bola é extraída ao acaso dessa
urna.
a)Qual a probabilidade do número sorteado ser múltiplo do 2 ou do 3?(64%)
b)Qual a probabilidade do número da bola sorteada ser múltiplo do 5 ou do 7?(32%)
Exercícios:
1-Um dado honesto é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Qual a
probabilidade desse número ser maior que 4?(33,33%)
2-Uma urna contém 10 bolas identificadas pelas letras A, B, ...,J. Uma bola é extraída ao acaso
da urna e sua letra é observada. Qual a probabilidade da bola sorteada ser:
a)A?(10%)
b)F?(10%)
c)vogal? (30%)
d)consoante?(70%)
3-Paulo quer telefonar para convidar uma colega para sair. Ele sabe que o telefone dela é 852473__, mas não consegue se lembrar do último algarismo. Se Paulo só possui uma ficha
telefônica e decide “chutar” o último algarismo, qual a probabilidade dele acertar o telefone da
colega?(10%)
4-Numa quermesse, há uma barraca onde funciona o jogo do coelho. O coelho é solto no
centro de um círculo, onde se distribuem 12 casinhas, numeradas de 1 a 12. Qual a
probabilidade do coelho escolher uma casinha com um número múltiplo de 3?(33,33%)
5-Uma moeda é lançada três vezes sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos
pelo menos duas caras?(50%)
6-Uma loja dispõe de 12 geladeiras do mesmo tipo, das quais 4 apresentam defeitos.
33
a)Se um freguês vai comprar uma geladeira, qual a probabilidade de levar uma
defeituosa?(33,33%)
b)Se comprar duas geladeiras, qual a probabilidade de levar duas defeituosas?(9,09%)
7-Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de:
a)a soma ser menor que 4;(8,33%)
b)a soma ser nove;(11,11%)
c)o primeiro resultado ser maior que o segundo.(41,67%)
8–Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos e 2 com defeitos graves. Uma peça é
escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que:
a)ela não tenha defeitos graves;(87,5%)
b)ela seja boa ou tenha defeitos graves.(75%)
9 – Considere o mesmo lote do problema anterior.
Retiram-se 2 peças ao acaso. Qual a probabilidade de que ambas sejam perfeitas?(37,5%)
10–Uma urna contém 5 bolas brancas e 6 pretas. Três bolas são retiradas, sem reposição.
Calcular a probabilidade de:
a)Todas as bolas retiradas sejam pretas.(12,12%)
b)Todas as bolas retiradas sejam brancas(6,06%)
c)As duas primeiras bolas sejam brancas e a terceira preta.(12,12%)
d)Duas pretas e uma branca.(45,45%)
11-Numa classe de 55 alunos, 21 praticam vôlei e basquete, 39 praticam vôlei e 33 praticam
basquete. Um aluno da classe é escolhido ao acaso.
a)Qual a probabilidade do aluno escolhido praticar somente um desses esportes?(54,54%)
b)Qual a probabilidade do aluno sorteado não praticar nenhum esporte?(7,27%)
12-Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Determine a
probabilidade de observarmos um número par ou múltiplo de 3.(66,67%)
13-Dois dados são lançados simultaneamente. Qual a probabilidade de se obter soma dos
pontos igual a 8 ou dois números iguais?(27,78%)
Exercícios extras:
1-Um nº é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. Qual a probabilidade do nº
escolhido ser:
a)par?(50%)
b)ímpar?(50%)
2-Uma urna contém 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 5 azuis. Uma bola é escolhida ao acaso.
Qual a probabilidade da bola escolhida ser:
a)branca?(30%)
b)vermelha?(20%)
c)azul?(50%)
d)vermelha ou azul?(70%)
e)não ser azul?(50%)
3-Uma urna contém 6 bolas pretas, 2 bolas brancas e 10 bolas amarelas. Retiram-se duas
bolas da urna, com reposição. Qual a probabilidade das bolas retiradas serem:
a)pretas(11,11%)
b)amarelas(30,86%)
34
c)uma branca e uma amarela.(12,34%)
4-Uma moeda é lançada três vezes. Ache a probabilidade de se obterem:
a)três caras;(12,5%)
b)nenhuma cara.(12,5%)
c)duas coroas.(37,5%)
5-São lançados dois dados. Qual a probabilidade de:
a)obter-se um par de pontos iguais.(16,67%)
b)a soma dos pontos ser par.(50%)
c)a soma dos pontos ser igual a 6.(13,89%)
6-De um lote de 14 peças, das quais 5 são defeituosas, escolhemos 2 peças aleatoriamente.
Determine:
a)a probabilidade de que ambas sejam defeituosas.(10,99%)
b)a probabilidade de que ambas não sejam defeituosas.(39,56%)
c)a probabilidade de que uma seja defeituosa.(49,44%)
7-Qual a probabilidade de um casal ter 4 filhos e todos do sexo feminino?(6,25%)
8-Numa caixa estão 8 peças com pequenos defeitos, 12 com grandes defeitos e 15 perfeitas.
a)Uma peça é retirada ao acaso. Qual a probabilidade de que esta peça seja perfeita ou tenha
pequenos defeitos.(65,71%)
b)Quatro peças são retiradas ao acaso, sem reposição. Qual a probabilidade de que as quatro
tenham grandes defeitos.(0,95%)
c)Cinco peças são retiradas ao acaso, com reposição. Qual a probabilidade de que as cinco
sejam perfeitas.(1,45%)
9-Em um grupo de 500 estudantes, 80 estudam Engenharia, 150 Matemática e 10 estudam
Engenharia e Matemática. Se um aluno é escolhido ao acaso, qual a probabilidade de que:
a)ele estude Engenharia e Matemática.(2%)
b)ele estude somente Engenharia(14%)
c)ele estude somente Matemática(28%)
d)ele não estude Engenharia nem Matemática(56%)
e)ele estude Engenharia ou Matemática(44%)
10-De um grupo de 200 pessoas, 160 têm fator RH positivo, 100 têm sangue tipo O e 80 têm
fator RH positivo e sangue tipo º Se uma dessas pessoas for selecionada ao acaso, qual a
probabilidade de:
a)seu sangue ter fator RH positivo?(80%)
b)seu sangue não ser do tipo O?(50%)
c)seu sangue ter fator RH positivo ou ser tipo O?(90%)
11-Dispõe-se de duas urnas, sendo que na 1ª temos 5 bolas azuis, 3 pretas e 4 brancas. Na 2ª
urna temos 6 azuis, 4 pretas e 10 brancas.
a)Se uma bola é retirada de cada urna, qual a probabilidade de termos a 1ª bola preta e a 2ª
bola azul.
b)Formar um par de bolas azuis.
c)Qual a probabilidade de que ambas sejam da mesma cor?
d)Formar um par de bolas brancas.
12-Um número inteiro é escolhido ao acaso entre os números de 1 a 30.Qual a probabilidade
de que:
35
a)O número seja divisível por 3.(33,33%)
b)O número seja divisível por 5 ou por 3.(46,67%)
c)O número seja divisível por 5 e por 3.(6,67%)
13-Uma urna contém 5 bolas verdes, 8 azuis, 4 pretas e 2 brancas. Calcular a probabilidade
de:
a)Sair 3 bolas verdes.(1,03%)
b)Sair 4 bolas azuis(1,81%)
c)Sair 2 bolas pretas.(3,51%)
1
Distribuição Binomial
Vamos imaginar fenômenos cujos resultados só podem ser de dois tipos, um dos quais é
considerado como sucesso e o outro insucesso. Este fenômeno pode ser repetido tantas vezes
quanto se queira (n vezes), nas mesmas condições. As provas repetidas devem ser
independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os resultados das sucessivas. No
decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade de q (q=1- p) do
insucesso, manter-se-ão constantes. Resolveremos problemas do tipo: determinar a
probabilidade de se obter x sucessos em n tentativas. Nessas condições X é uma variável
aleatória discreta que segue uma distribuição binomial.
Fórmula:
P(x) =
 n  x n− x
 .p .q
x
P(x) = é a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n provas.
n = nº de vezes que o experimento aleatório é repetido
x = nº de sucessos em n tentativas
p = é a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova = sucesso.
q = é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova = insucesso.
n
x
é o coeficiente binomial de n sobre x, igual a
n!
x! (n − x)!
OBS: O nome binomial é devido à fórmula, pois representa o termo geral do desenvolvimento
do binômio de Newton.
Exemplo:
1- Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de serem
obtidas 3 caras nessas 5 provas.
1
Profa.Roseli Nunes
36
n=5
P( x = 3) =
x=3
p=50%(0,5)
q=50%(0,5)
5!
x0,5 3 x0,5 5−3 = 10 x0,125 x0,25 = 31,25%
3!(5 − 3)!
EXERCÍCIOS
1- Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de o time A
ganhar 4 jogos.(8,23%)
2- Um exame do tipo teste é constituído de 10 questões do tipo certo e errado. Se um
estudante responde as questões ao acaso, qual a probabilidade de que ele acerte 5
questões?(24,61%)
3- Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade do time A:
a- ganhar dois ou três jogos;(54,87%)
b- ganhar pelo menos um jogo;(91,22%)
4- A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 2/3. Se ele atirar 5 vezes, qual a
probabilidade de acertar exatamente 2 tiros?(16,46%)
5- Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de certa máquina, que apresenta 10%
de peças defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos dois deles?(9,84%)
6- Num hospital 5(cinco) pacientes devem submeter-se a um tipo de operação, da qual 80%
sobrevivem. Qual a probabilidade de que todos os pacientes sobrevivam?(32,77%)
7- Se 30% das canetas de certa marca são defeituosas, achar a probabilidade de que numa
amostra de 10 canetas, escolhidas ao acaso, desta mesma marca tenhamos nenhuma caneta
defeituosa.(2,82%)
8- Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na Universidade de se formar é 0,3.
Determine a probabilidade de que entre 6 estudantes escolhidos aleatoriamente, 1(um) se
forme.(30,25%)
9 – Uma moeda é jogada 10 vezes. Calcular as seguintes probabilidades:
a) de ocorrer 6 caras.(20,51%)
b) de dar pelo menos 2 caras(98,92%)
c) de não dar nenhuma coroa.(0,098%)
10 – Se 3% das calculadoras de certa marca são defeituosas, achar a probabilidade de que
numa amostra de 10 calculadoras escolhidas ao acaso seja encontrada:
a)Nenhuma defeituosa.(73,74%)
b)5 canetas defeituosas.(0,0005%)
c)Pelo menos 2 defeituosas.(3,45%)
d)No máximo 3 defeituosas.(99,95%)
11 – Uma moeda não viciada é lançada 8 vezes. Encontre a probabilidade de:
a) dar 5 caras;(21,88%)
b) pelo menos 1 cara;(99,6%)
c) no máximo 2 caras.(14,46%)
37
Exercícios extras:
1-Um estudante tem probabilidade p = 0,8 de acertar cada problema que tenha que resolver.
Numa prova de 8 problemas, qual a probabilidade de que ele acerte exatamente 6.(R:29,36%)
2-Uma pessoa tem probabilidade 0,2 de acertar num alvo toda vez que atira, Supondo que as
vezes que ele atira, são ensaios independentes, qual a probabilidade dele acertar no alvo
exatamente 4 vezes, se ele dá 8 tiros? (R:4,6%)
3-A probabilidade de que um homem de 45 anos sobreviva mais 20 anos é 0,6. De um grupo
de 5 homens, com 45 anos qual a probabilidade de que exatamente 4 cheguem aos 65 anos?
(R:25,9%)
4-Um exame consta de 20 questões tipo certo ou errado. Se o aluno “chutar” todas as
respostas, qual a probabilidade dele acertar exatamente 10 questões?(R:17,6%)
5-Na manufatura de certo artigo, é sabido que um entre dez dos artigos é defeituoso. Qual a
probabilidade de que uma amostra casual de tamanho quatro contenha:
a)nenhum defeituoso? (65,61%)
c)no máximo um defeituoso?(94,77%)
b)exatamente um defeituoso?(29,16%)
6-Uma universidade descobriu que 20% de seus estudantes retiram-se sem completar o
primeiro ano. Considere que 20 estudantes tenham se matriculado este semestre.
a)Qual a probabilidade de que pelo menos 2 se retirem?(93,08%)
b)Qual a probabilidade de que no máximo 5 se retirem?(80,42%)
7-Os registros de uma empresa indicam que 30% das faturas expedidas são pagas após o
vencimento. De 10 faturas emitidas, qual a probabilidade de:
a)exatamente 3 serem pagas com atraso?(R:26,68%)
b)no máximo 2 serem pagas com atraso?(38,28%)
c)pelo menos 3 serem pagas com atraso?(61,72%)
8-Uma pequena loja aceita cheques para pagamento de compras e sabe que 12% dos
cheques apresentam algum tipo de problema (falta de fundos, roubado, etc).Se numa
determinada semana ela recebeu 15 cheques, qual a probabilidade de que todos os cheques
sejam bons?(14,70%)
9-Um exame do tipo teste é constituído de 20 questões, cada uma delas com 5 respostas
alternativas, das quais apenas uma é correta. Se um estudante responde as questões ao
acaso, qual a probabilidade de que:
a)Acerte pelo menos 1 questão.(98,84%)
b)Erre pelo menos 19 questões.(6,92%)
DISTRIBUIÇÃO NORMAL
Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas é a
distribuição Normal.
Muitas das variáveis analisadas na pesquisa sócio-econômica correspondem à distribuição
normal ou dela se aproximam.
Fórmula:
Z=
Propriedades da distribuição normal:
X−X
S
38
1ª - A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real.
2ª - A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em
torno da média, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss.
3ª - A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área
corresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real.
4ª - A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se
indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo.
5ª - Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior que a
média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as
probabilidades são iguais a 0,5 ou 50%. Cada metade da curva representa 50% de
probabilidade.
Quando temos em mãos uma variável aleatória com distribuição normal, nosso principal
interesse é obter a probabilidade de essa variável aleatória assumir um valor em um
determinado intervalo. Vejamos com proceder, por meio de um exemplo concreto.
Exemplo: Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos
por certa máquina. Vamos supor que essa variável tenha distribuição normal com média = 2 cm
e desvio padrão = 0,04 cm. Qual a probabilidade de um parafuso ter o diâmetro com valor entre
2 e 2,05 cm ?
P ( 2 < X < 2,05) = ?
Com o auxílio de uma distribuição normal reduzida, isto é, uma distribuição normal de média =
0 e desvio padrão = 1. Resolveremos o problema através da variável z , onde z = (X -µ ) / σ
Utilizaremos também uma tabela normal reduzida, que nos dá a probabilidade de z tomar
qualquer valor entre a média 0 e um dado valor z, isto é: P ( 0 < Z < z)
No nosso problema queremos calcular P(2 < X < 2,05). Para obter essa probabilidade,
precisamos, em primeiro lugar, calcular o valor de z que corresponde a x = 2,05.
z = (2,05 - 2) / 0,04 = 1,25
Utilização da Tabela Z
Procuremos, agora, na tabela Z o valor de z = 1,25.
Na primeira coluna encontramos o valor até uma casa decimal = 1,2. Em seguida,
encontramos, na primeira linha, o valor 5, que corresponde ao último algarismo do número
1,25. Na intersecção da linha e coluna correspondentes encontramos o valor 0,3944, o que nos
permite escrever:
P (0 < Z < 1,25 ) = 0,3944 ou 39,44 %, assim a probabilidade de um certo parafuso apresentar
um diâmetro entre a média = 2cm e x = 2,05 cm é de 39,44 %.
39
EXERCÍCIOS
1- Determine as probabilidades:
a) P(-1,25 < Z < 0) =
b) P(-0,5 < Z < 1,48) =
c) P(0,8 < Z < 1,23) =
d) P(-1,25 < Z < -1,20) =
e) P( Z < 0,92) =
f) P(Z > 0,6) =
2- Os salários dos executivos são distribuídos normalmente, em torno da média R$
10.000,00, com desvio padrão de R$ 800,00. Calcule a probabilidade de um executivo
ter o salário situado entre R$ 9.800,00 e R$ 10.400,00.(29,02%)
3- Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média = 100 e
desvio padrão = 10. Determine a probabilidade de um aluno submetido ao teste ter
nota:
a) maior que 120 (2,28%)
b) maior que 80 (97,72%)
c) entre 85 e 115 (86,64%)
d) maior que 100 (50%)
4) As alturas dos alunos de determinada escola são normalmente distribuídas com média
de 1,60m e desvio-padrão 0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno medir:
a) entre 1,50 e 1,80 m; (37,47%)
b) mais de 1,75 m; (30,85%)
c) menos de 1,48 m; (34,46%)
5) Faça Z uma variável com distribuição normal padronizada e encontre (use a tabela):
a. P (0 ≤ Z ≤ 1,44)(42,51%)
b. P (-0,85 < Z < 0)(30,23%)
c.
d.
e.
f.
P (-1,48 < Z < 2,05)(91,04%)
P (0,72 < Z < 1,89)(20,64%)
P (Z ≥ 1,08)(14,01%)
P (Z ≥ -0,66)(74,54%)
6) A duração de um certo componente eletrônico tem em média 850 dias e desvio-padrão
de 45 dias. Calcular a probabilidade desses componentes durar:
a. entre 700 e 1000 dias(99,92%)
b. mais que 800 dias(86,65%)
c. menos que 750 dias(1,32%)
7) Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e
verificou que ele obedecia a uma distribuição normal, de média 48000 km e desviopadrão 2000 km. Calcular a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso:
a. durar mais que 46000 km(84,13%)
b. dure entre 45000 e 50000 km(77,45%)
8) O salário semanal dos operários industriais são distribuídos normalmente em torno de
uma média de R$ 180,00 com desvio-padrão de R$ 25,00. Pede-se:
a) encontre a probabilidade de um operário ter salário semanal situado entre R$ 150,00 e
R$ 178,00 (35,30%)
40
b) encontre a probabilidade de um operário ter o salário semanal maior que
R$200,00.(21,19%)
c) encontre a probabilidade de um operário ter o salário semanal menor que R$140,00.
(5,48%)
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON
Na distribuição binomial, a variável definida era o número de sucessos em um certo
intervalo(repetição do experimento). Entretanto, em muitas situações, poderemos estar
interessados no número de sucessos em um certo intervalo (tempo, comprimento, superfície,
etc) ou então o n (tamanho da amostra) se torna muito grande.
Ex: a)Número de defeitos por metro em determinado tecido.
d) Número de defeitos na impressão de certo livro.
e) Número de pessoas que chegam ao caixa de um supermercado no intervalo de tempo
de 3 minutos.
f) Número de carros que passam por um pedágio no intervalo de 30 minutos, etc.
P(X = x) =
e − np × (np ) x e − λ × λ x
=
x!
x!
onde n.p = λ - representa o nº médio de eventos ocorrendo no intervalo considerado
P(X = x) – é a probabilidade de ocorrência do evento desejado
x = nº de sucessos
e = base do logaritmo natural (2.718281...)
Exemplo: Um posto telefônico recebe em média, 10 chamadas por minuto. Pede-se:
a) Qual a probabilidade de não ocorrer nenhuma chamada em 1 minuto?
b) Qual a probabilidade de ocorrer 1 chamada em meio minuto?
Exercícios:
1 – Uma loja atende em média 2 clientes por hora. Calcular a probabilidade de em uma hora:
a) atender 2 clientes (27,07%)
b) atender 3 clientes (18,04%)
2 – Suponha que 2% dos itens produzidos por uma fábrica sejam defeituosos. Encontre a
probabilidade de existirem 3 defeituosos em uma amostra de 100.(18,04%)
41
3 – Certo posto de bombeiros recebe em média 3 chamadas por dia. Calcular a probabilidade
de receber 4 chamadas num dia. (16,80%)
4 – Suponha que haja em média 2 suicídios por ano numa população de 50.000 hab. Em uma
cidade de 100.000 hab, encontre a probabilidade de que em um dado ano tenha havido:
a) 0 suicídio (1,83%)
b) 1 suicídio (7,32%)
c) 2 suicídios (14,65%)
5 – Sabendo-se que a probabilidade de um indivíduo acusar reação negativa à injeção de
determinado soro é 0,001, determine a probabilidade de que, em 3000 indivíduos, exatamente
dois acusem reação negativa (22,40%).
6 – Supondo que o nº de carros que chegam a uma fila de guichê de um pedágio possua
distribuição de Poisson a uma taxa de 3 carros por minuto, determine a probabilidade de
chegarem 4 carros nos próximos 2 minutos. (13,39%)
CORRELAÇÃO E REGRESSÃO
1- Diagrama de Dispersão
Você provavelmente já ouviu dizer que o aumento do número de crimes está relacionado com
o aumento da taxa de desemprego. Você também deve ter ouvido falar que os preços sobem
quando a procura determinado produto aumenta. Estes exemplos mostram que, muitas vezes,
o pesquisador procura uma relação entre duas variáveis.É através do gráfico denominado
diagrama de dispersão, que ele busca visualizar a relação entre as duas variáveis.
2- Coeficiente de Correlação
O coeficiente de correlação é uma medida do grau de associação linear entre duas variáveis.
Símbolos:
r: coeficiente de correlação para uma amostra
p: coeficiente de correlação para a população
Dada uma amostra com n pares de valores X e Y, para medir o grau de correlação entre
elas, calcula-se o coeficiente de correlação de Pearson.
Fórmula do Coeficiente de Correlação:
42
r=

∑ X 2

∑ X .∑ Y
∑ X.Y − n
(∑ X)  . Y − (∑ Y ) 
−
∑
n  
n 
2
2
2
 

Exemplo:
Taxa de mortalidade infantil e taxa de analfabetismo no Brasil em 1997, segundo a região.
Região
Taxa de
Mortalidade
Infantil(Xi)
35,6
59,0
25,2
22,5
25,4
167,7
Norte
Nordeste
Sudeste
Sul
Centro Oeste
∑
Taxa de
Analfabetismo
(Yi)
12,7
29,4
8,6
8,3
12,4
71,4
X.Y
452,12 1267,36
1734,60 3481,00
216,72
635,04
186,75
506,25
314,96
645,16
2905,15 6534,81
(∑ X) = (167,7 ) = 28123,29
(∑ Y ) = (71,4) = 5097,96
2
2
2
2
Substituindo na fórmula, os somatórios pelos totais já calculados:
r=
r=
r=
r=
167,7.71,4
5
28123,29  
5097,96 

.1322,26 −

6534,81 −
5
5 

 
2905,15 −
2905,15 − 2394,756
[6534,81 − 5624,658].[1322,26 − 1019,592]
510,394
910,152 . 302,668
510,394
524,856
r = 0,9724
X2
Y2
161,29
864,36
73,96
68,89
153,76
1322,26
43
Exercício 1 : Considere as variáveis (X,Y) onde as variáveis representam
respectivamente
Y : indica nota de uma prova de matemática
X : Tempo de estudo para encarar essa prova (em horas)
tempo
nota
3,0
4,5
7,0
6,5
2,0
3,7
1,5
12,0
4,0
9,3
Ache o coeficiente de correlação e monte o diagrama de dispersão.
44
O valor do r varia entre –1 e + 1, inclusive se o valor absoluto de r for maior do que 1,
você errou nos cálculos. Valores iguais a –1 ou a + 1 indicam que os pontos estão sobre uma
reta, isto é, a correlação é perfeita. Valores de r próximos de –1 ou + 1 indicam correlação
forte e valores de r próximos de zero indicam correlação fraca. O sinal r indica se a correlação
é positiva ou negativa.
No caso do exemplo, o valor calculado de r é positivo e muito próximo de 1. Então
existe alta correlação positiva entre as variáveis. Isto significa que ocorrem mais mortes de
menores nas regiões que existem maior número de analfabetos.
REGRESSÃO
1- Ajustamento da Reta
A análise de Regressão tem como resultado uma equação matemática que descreve o
relacionamento entre duas variáveis, partindo de n observações das mesmas. Essas equações
são usadas em situações em que se deseja:
- estimar valores de uma variável com base em valores conhecidos de outra;
- explicar valores de uma variável em termos de outra;
- predizer valores futuros de uma variável.
A variável sobre a qual desejamos fazer uma estimativa recebe o nome de variável
dependente e a outra recebe o nome de variável independente.
Assim supondo X a variável independente e Y a variável dependente, vamos procurar
determinar o ajustamento de uma reta à relação entre essas variáveis, ou seja, vamos obter
uma função definida por:
Y = aX + b,
Onde a e b são os parâmetros.
Sejam duas variáveis X e Y, entre as quais exista uma correlação acentuada, embora
não perfeita, como, por exemplo a tabela a seguir:
5
6
Xi
Yi
8
9
7
8
10
10
6
5
7
7
9
8
3
4
8
6
2
2
Cujo diagrama de dispersão é dado por:
12
10
8
6
4
2
0
0
5
10
15
45
Podemos concluir, pela forma do diagrama, que se trata de uma correlação retilínea, de
modo a permitir o ajustamento de uma reta, imagem da função definida por:
Y = aX + b,
Vamos, então, calcular os valores dos parâmetros a e b com a ajuda das fórmulas:
a=
n.∑ x.y − ∑ x.∑ y
n ∑ x 2 − (∑ x )
2
e
b = y − a.x
onde:
n é o número de observações

x
x = ∑ 
x é a média dos valores x 
n 

y
y = ∑ 

y é a média dos valores y 
n 
Nota: Como estamos fazendo uso de uma amostra para obtermos os valores dos parâmetros, o
resultado, na realidade, é uma estimativa da verdadeira equação de regressão. Sendo assim,
escrevemos: Ŷ = aX + b
Onde Ŷ é o valor Y estimado.
Formemos então a tabela de valores:
n = 10
x
5
8
7
10
6
7
9
3
8
2
∑
y
6
9
8
10
5
7
8
4
6
2
65
x.y
30
72
56
100
30
49
72
12
48
4
473
x2
25
64
49
100
36
49
81
9
64
4
481
46
Temos assim:
10x473 − 65x65 4.730 − 4.225 505
=
=
= 0,8632
4.810 − 4.225 585
10x481 − (65) 2
como :
65
65
x=
= 6,5 e y =
= 6,5
10
10
vem :
b = y − a.x
b = 6,5 − 0,8632 x 6,5 = 6,5 − 5,6108 = 0,8892
a=
donde :
a = 0,86 e b = 0,89
logo :
Ŷ = 0,86X + 0,89
Para traçarmos a reta no gráfico, basta determinar dois de seus pontos:
X = 0 ⇒ Ŷ =0,89
X = 5 ⇒ Ŷ =0,86 x 5 + 0,89 = 5,19
Assim, temos:
12
y = 0,8631x + 0,89
10
8
6
4
2
0
0
Exercícios
5
10
15
47
1) Forme o esquema de cálculo do Coeficiente de correlação, para os valores das
variáveis Xi e Yi(Resp:r=0,416)
4
6
8
10
12
Xi
Yi
12 10 8
12
14
2) Forme o esquema para o ajustamento de uma reta aos dados(R:y=-1,7x + 32,31)
2
4
6
8
10
12
14
Xi
Yi
30
25 22 18 15
11
10
3) Um grupo de pessoas faz uma avaliação de alguns objetos. Com o peso real e a média
dos pesos aparentes, dados pelo grupo, obteve-se a tabela:
Peso Real
Peso Aparente
18
10
30
23
42
33
62
60
73
91
97
98
120
159
a) Verifique, pelo diagrama, se existe correlação retilínea.
b) Em caso, afirmativo, calcule o coeficiente de correlação.(R:r=0,981)
c) Escreva, em poucas linhas, as conclusões a que chegou sobre a relação entre essas
variáveis.
4) Certa empresa, estudando a variação de demanda de seu produto em relação à variação
de preço de venda, obteve a tabela:
Preço (xi)
Demanda (yi)
38
42 50
350 325 297
56
270
59
256
63
246
70
238
80
223
a) Determine o coeficiente de correlação.(r=-0,902)
b) Estabeleça a equação da reta ajustada.(y= -1.87x + 386.78)
c) Estime Y para X=60 e X= 120 (y = 274,58 e y=162,38)
95
215
110
208
48
TABELAS
PROBABILIDADE (ÁREAS) DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA
z
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,0000
0,0398
0,0793
0,1179
0,1554
0,0040
0,0438
0,0832
0,1217
0,1591
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0,1915
0,2257
0,2580
0,2881
0,3159
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
0,08
0,09
0,0080
0,0478
0,0871
0,1255
0,1628
0,0120
0,0517
0,0910
0,1293
0,1664
0,0160
0,0557
0,0948
0,1331
0,1700
0,0199
0,0596
0,0987
0,1368
0,1736
0,0239
0,0636
0,1026
0,1406
0,1772
0,0279
0,0675
0,1064
0,1443
0,1808
0,0319
0,0714
0,1103
0,1480
0,1844
0,0359
0,0753
0,1141
0,1517
0,1879
0,1950
0,2291
0,2612
0,2910
0,3186
0,1985
0,2324
0,2642
0,2939
0,3212
0,2019
0,2357
0,2673
0,2967
0,3238
0,2054
0,2389
0,2704
0,2995
0,3264
0,2088
0,2422
0,2734
0,3023
0,3289
0,2123
0,2454
0,2764
0,3051
0,3315
0,2157
0,2486
0,2794
0,3078
0,3340
0,2190
0,2518
0,2823
0,3106
0,3365
0,2224
0,2549
0,2852
0,3133
0,3389
0,3413
0,3643
0,3849
0,4032
0,4192
0,3438
0,3665
0,3869
0,4049
0,4207
0,3461
0,3686
0,3888
0,4066
0,4222
0,3485
0,3708
0,3907
0,4082
0,4236
0,3508
0,3729
0,3925
0,4099
0,4251
0,3531
0,3749
0,3944
0,4115
0,4265
0,3554
0,3770
0,3962
0,4131
0,4279
0,3577
0,3790
0,3980
0,4147
0,4292
0,3599
0,3810
0,3997
0,4162
0,4306
0,3621
0,3830
0,4014
0,4177
0,4319
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
0,4332
0,4452
0,4554
0,4641
0,4713
0,4345
0,4463
0,4564
0,4649
0,4719
0,4357
0,4474
0,4573
0,4656
0,4726
0,4370
0,4484
0,4582
0,4664
0,4732
0,4382
0,4495
0,4591
0,4671
0,4738
0,4394
0,4505
0,4599
0,4678
0,4744
0,4406
0,4515
0,4608
0,4686
0,4750
0,4418
0,4525
0,4616
0,4693
0,4766
0,4429
0,4535
0,4625
0,4699
0,4761
0,4441
0,4545
0,4633
0,4706
0,4767
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
0,4772
0,4821
0,4861
0,4893
0,4918
0,4778
0,4826
0,4864
0,4896
0,4920
0,4783
0,4830
0,4868
0,4898
0,4922
0,4788
0,4834
0,4871
0,4901
0,4925
0,4793
0,4838
0,4875
0,4904
0,4927
0,4798
0,4842
0,4878
0,4906
0,4929
0,4803
0,4846
0,4881
0,4909
0,4931
0,4808
0,4850
0,4884
0,4911
0,4932
0,4812
0,4854
0,4887
0,4913
0,4934
0,4817
0,4857
0,4890
0,4936
0,4936
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,4938
0,4953
0,4965
0,4974
0,4981
0,4940
0,4955
0,4966
0,4975
0,4982
0,4941
0,4956
0,4967
0,4976
0,4983
0,4943
0,4957
0,4968
0,4977
0,4983
0,4945
0,4959
0,4969
0,4977
0,4984
0,4946
0,4960
0,4970
0,4978
0,4984
0,4948
0,4961
0,4971
0,4979
0,4985
0,4949
0,4962
0,4972
0,4979
0,4985
0,4951
0,4963
0,4973
0,4980
0,4986
0,4952
0,4964
0,4974
0,4981
0,4986
3,0
0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990
3,1
0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993
3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995
3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997
3,4 0,4997 0,4997 0,4997
4,0
0,4999
Exemplo: Para z = 1,96 a área sombreada é 0,4750 da área total de 1,0000
49
TABELA – VALORES DE ε-λλ
λ
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0
1,0000
0,9048
0,8187
0,7408
0,6703
0,6065
0,5488
0,4966
0,4493
0,4066
1
0,9900
0,8958
0,8106
0,7334
0,6636
0,6005
0,5434
0,4916
0,4449
0,4025
2
0,9802
0,8869
0,8025
0,7261
0,6570
0,5945
0,5379
0,4868
0,4404
0,3985
3
0,9704
0,8781
0,7945
0,7189
0,6505
0,5886
0,5326
0,4819
0,4360
0,3946
4
0,9608
0,8694
0,7866
0,7118
0,6440
0,5827
0,5273
0,4771
0,4317
0,3906
5
0,9512
0,8607
0,7788
0,7047
0,6376
0,5770
0,5220
0,4724
0,4274
0,3867
6
0,9418
0,8521
0,7711
0,6977
0,6313
0,5712
0,5169
0,4677
0,4232
0,3829
7
0,9324
0,8437
0,7634
0,6907
0,6250
0,5655
0,5117
0,4630
0,4190
0,3791
8
0,9231
0,8353
0,7558
0,6839
0,6188
0,5599
0,5066
0,4584
0,4148
0,3753
9
0,9139
0,8270
0,7483
0,6771
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