Arquivo: lsencos.pdf Page 1/14 Triângulos Quaisquer – algumas questões resolvidas leicos.htm Num triângulo ABC, a=2, Resolução:` (lei dos cosssenos) ( 2) = ( 2 ) ( 2 e . Calcular o ângulo B. Resp. B=300 ) 3 − 1 + 2 2 − 2. 3 − 1 . cos B ( ) 2 = 3 − 2 3 + 1 + 4 − 2. 3 − 1 . cos B ( ) (3 − 3 )(. cos B = 2. 3 − 1 . cos B = 6 − 2 3 → 2 ( ) 3 − 1 . cos B = 3 − 3 ↔ cos B = ) 3− 3 2.( 3 − 1) 3 +1 3 = → B = 30 0 2.(3 − 1) 2 leicos1.htm Num triângulo ABC, a=2, b=4 e c=600. Calcular o lado c. Resp. Resolução: (lei dos cossenos) c2=22+42-2.2.4.cos600 à c2=4+16-8=12 à c = 2. 3 leicos2.htm Num triângulo ABC, sendo B um ângulo agudo, , b=2 e c=300. Calcule c, os ; B=450 e A=1050 ângulos A e B. Resp. Resolução: (lei dos cossenos) ( ) ( 2 ) c 2 = 2 2 + 2 + 3 − 2.2. 2 + 3 . cos 30 0 ( ) c2 = 4 + 4 + 4 3 + 3 − 4 2 + 3 . 3 3 ↔ c 2 = 3 + 4 3 − 4 3. 2 2 c2 = 4 3 − 3 leicos3.htm Num triângulo, a=7 cm, b= 5 cm e c=3 cm. Calcule o ângulo A. Resp. A=1200 Resolução: (lei dos cossenos) 1 7 2 = 5 2 + 3 2 − 2.5.3. cos α ↔ cos α = − ↔ α = 120 0 2 leicos4.htm Sendo a= 1 cm, b=2 cm e C=600, calcule o lado c do triângulo ABC. Resp. Resolução: 2 c = 2 2 + 12 − 2.1.2. cos 60 0 ↔ c 2 = 5 − 2 = 3 ↔ c = 3 Arquivo: lsencos.pdf Page 2/14 leicos5.htm Determine o maior ângulo de um triângulo, cujos lados são proporcionais aos números 7, 8 e 13. (Obs: e usar a lei dos cossenos) Resp. c=1200 Resolução: 2 c = a 2 + b 2 − 2.a.b. cos C ↔ 2.a.b. cos C = a 2 + b 2 − c 2 2.7 k .8k . cos C = 49k 2 + 64k 2 − 169k 2 1 cos C = − ↔ Cˆ = 120 0 2 leicos7.htm cm, cm e A=600. Calcule o lado c e os Num triângulo ABC, ângulos B e C. (Usar: a2=b2+c2-2.b.c.cosA) R. c= 2 cm Resolução: 3 2 − 6 2 3 −1 sen 60 0. 2. 3 − 1 2 = ↔ senB = ↔ senB = 0 senB 2 sen60 3 2− 6 ↔ Bˆ = 45 0 → 60 0 + 45 0 + C = 180 0 → C = 75 0 ( [( ) ( ) ( 2 Cálculo do lado c: c 2 = 2. 3 − 1 + 3 2 − 6 )] ) 2 ( )( ) − 2.2. 3 − 1 . 3 2 − 6 . cos 75 0 c=2 cm leisecoaárea.htm Um triângulo tem lados a=6 cm e b=4 cm. Sendo C=450, calcular a áárea do triângulo. R. cm leisecoaárea1.htm Determine c em um triângulo de lados a=b=1 cm e áárea ângulo C agudo. R. C=450 cm2, sabendo que o leisecos01.htm (Cesgranrio) Um dos ângulos internos de um paralelogramo de lados 3 e 4 mede 1200. A maior diagonal desse paralelogramo mede: a) 5 b) 6 c) d) e) 6,5 Arquivo: lsencos.pdf Page 3/14 leisecos02.htm (Mack-SP) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 8 e 12 e formam um ângulo de 600. As diagonais medem: a) 4 e 4 b) 4 e4 c) 4 e4 d) 4 e4 e) 4 e 4,5 leisecos03.htm (ITA-SP) Num losango ABCD, a soma das medidas dos ângulos obtusângulos o triplo da soma das medidas dos ângulos agudos. Se a sua diagonal menor mede d cm, então sua aresta medir: a) b) c) d) e) leisecos04.htm (FGV-SP) A áárea do triângulo da figura : a) 9 b) 10 c) 18 d) 36 e) 40 Arquivo: lsencos.pdf Page 4/14 leisecos05.htm (FGV-SP) Qual a área do triângulo da figura a) b) c) 4 d) 2. e) 8. Resolução: 3 2 1 2 1 A = .8.4 2 .sen 105 0 = 16. 2 .sen 60 0 + 45 0 = 16 2 . . + . 2 2 2 2 2 2 3 + 1 3 +1 A = 16 2. . = 16. = 8 3 +1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) leisecos06.htm (FGV-SP) Considere o triângulo retângulo da figura seguinte e indique por S a sua área. Qual das seguintes afirmações verdadeira? Resolução: a) S=a.senB b) S= c) S= 1 1 b S = .a.c.senB = .a.(b.tgC ). 2 2 a 2 b .tgC S= 2 d) S= e) S=a.c leisecos07.htm (PUC-SP) A áárea do triângulo ABC em função da altura hA e dos ângulos , que ela forma com os dois lados adjacentes, : Arquivo: lsencos.pdf Page 5/14 a) b) c) d) e) leisecos08.htm (ITA-SP) Num triângulo de lados a=3 m e b= 4 m, diminuindo-se de 600 o ângulo que esses lados formam, obtém-se uma diminuição de 3 m2 em sua área. Portanto, a área do triângulo inicial de: a) 4 m2 b) 5 m2 c) 6 m2 d) 9 m2 e) 12 m2 leisecos09.htm (PUC-SP) Com os dados da figura, qual o valor de cos ? a) b) c) d) e) 0,092 0,125 0,150 0,222 0,375 leisecos10.htm Num triângulo ABC, o ângulo B=105 , ângulos A e ângulo C. leisecos11.htm e . Calcule as medidas dos Arquivo: lsencos.pdf Page 6/14 Num triângulo ABC, , e . Calcule a medida de b. leisecos12.htm Num triângulo ABC, a=3, b=1 e . Calcular o lado c. leisecos13.htm Num triângulo ABC, o lado a=2, o lado triângulo igual a: e o lado . O ângulo B desse a) b) c) d) e) leisecos14.htm Num triângulo ABC, a=2 cm, b=4 cm e A=300. Calcular a medida do ângulo B. R. B=900 leisecos15.htm Um triângulo ABC está inscrito em um círculo de 3 cm de raio. Sabendo que o triângulo tem o lado a medindo 3 cm, determinar a medida do ângulo A. Resp. 300 ou 1500 leisecos16.htm Num triângulo ABC, temos b= Resp. cm, B=300 e C=750. Calcule o lado a e o ângulo A. cm leisecos17.htm Calcule os lados a e c do triângulo ABC, sabendo que A=1200, B=450 e b=8 cm. Resp. cm leisecos18.htm Calcule o raio do crculo no qual est inscrito um triângulo ABC de lado a=12 cm e ângulo A=300. (Lembre-se que leisecos19.htm ) Resp. R=12 cm Arquivo: lsencos.pdf Page 7/14 Calcule o perímetro do triângulo da figura, com aproximação de 0,01. (Dados: AB=10 cm; sen700=0,94; sen500 =0,77). Resp. 2p= 26,63 cm Resolução: leisecos20.htm Determine a medida do lado a de um triângulo inscrito em um círculo cujo diâmetro mede 60 cm, sabendo que A=600. Resp. cm leisecos21.htm Calcule x e y com base nos dados da figura: Resp. x=8 cm e y= 4 cm Resolução: x+ y 3 cos 30 0 = = ↔ x + y = 12 2 8 3 ( ) 2 Lei dos cos senos do triângulo isósceles : 8 3 = x 2 + x 2 − 2.x.x. cos120 0 1 64.3 = 2 x 2 + 2 x 2 . ↔ 3 x 2 = 3.64 ↔ x 2 = 64 ↔ x = 8 2 Como x + y = 12 → y = 4 leisecos22.htm Na figura, AB=3 e BC=2. A : Arquivo: lsencos.pdf Page 8/14 Resolução: 3 2 3 2 1 / 2x2 1 = ↔ = ↔ senα = = 0 senα 1 / 2 senα 3 3 sen30 1 3 A cos sec ante de α : cos ecα = = =3 senα 1 leisecos23.htm Na figura, radianos, radianos e AC mede . A distância de B a C : leisecos24.htm O valor de x no triângulo ao lado igual a: Resolução: x = 5 2 + 10 2 − 2.5.10 cos120 0 1 x 2 = 125 + 100. = 175 → x = 5 2.7 = 5 7 2 2 leisecos25.htm Um triângulo ABC tal que AB=AC=4. Se o ângulo A=1200, a medida do lado BC : Arquivo: lsencos.pdf Page 9/14 leisecos26.htm Para traçar uma circunferência de cm de comprimento usa-se um compasso com pernas de 20 cm cada. O ângulo de abertura do compasso deve ser: a) b) c) d) e) 450 500 550 600 * 750 Resolução: Comprimento da circunferência: C = 2.π .r = 40π ↔ r = 20 cm logo o ângulo α = 60 0 . leisecos27.htm Num triângulo ABC, os segmentos BC e CE são alturas, BD=CE e o ângulo A=400. O ângulo CBD vale: a) 100 b) 150 c) 200 * d) 250 e) 300 leisecos28.htm A figura representa a trajetória ABC de um helicóptero que percorreu 12 km em AB, 14 km em BC, paralelamente ao solo, ficando distante 20 km de A. O cosseno da inclinação : Arquivo: lsencos.pdf Page 10/14 Resolução: 12 2 = 14 2 + 20 2 − 2.14.20. cos α → cos α = 113 140 leisecos29.htm Num triângulo ABC, tem-se que a medida do ângulo de vértice A 600, AB=4 e BC= Então, AC igual a: leisecos30.htm leisecosaárea2.htm Num triângulo issceles, , b=1 e A=1200. Determine os ângulos B e C, o lado c e a área desse triângulo. R. B=C=300 e c=1 leisecosaárea3.htm . Arquivo: lsencos.pdf Page 11/14 Calcule a área do triângulo ABC, sabendo que a=3 cm, b=2 cm e C=450. R. cm2 leisecosaárea4.htm cm, b= 2 cm e C=300, calcule a área do triângulo ABC. Sendo R. cm2 leisecosaárea5.htm Num triângulo ABC, triângulo. R. m, me . Calcule a área desse m2 leisecosaárea6.htm Calcule a área do triângulo ABC da figura: ® 1 dm2 Resolução: 1 1 2 Area = .2. 2 .sen 45 0 = .2. 2 . = 1 dm 2 2 2 leisecosaárea7.htm O triângulo ABC tem lados a=3 e b=2 e o ângulo C mede 300 . Se triplicarmos o ângulo C, o que acontecer com a área do triângulo. Resp. S1=3/2 e S2=3, portanto a área do triângulo duplica. leisecosaárea8.htm A área de um triângulo ABC cm2. Calcule as medidas do ângulo A e do lado a, sabendo que b=8 cm e c=4 cm. R. Para A=600 temos cm. leisecosaárea9.htm cm; para A=1200, temos Arquivo: lsencos.pdf Page 12/14 No triângulo da figura, o valor do a) ,: razaotrigo17.htm Resolução: ( 4) 2 6 2 6 12 Sabendo-se que, na figura, BA CA, o ângulo C=600, MB=MC e AB= 12 = 2 + 3 − 2. 2 . 3. cos α ↔ 2 6 cos α = 1 ↔ cos α = (Mack-SP) cm, então: 1 = a) AM=4 m b) AM=6 m c) AM=7,5 m d) 6 m e) 8 m Resolução: 12 3 24 3 24 3 = ↔ BC = . = = 8 3 , M é ponto médio da hipotenusa, BC 2 3 3 3 logo AM é a mediana, assim: AM=MC=MB= 4 3 . cos 30 0 = razaotrigo22.htm (Cesgranrio) O trapézio retângulo MNPQ tem as medidas indicadas na figura. O cosseno do ângulo QMN vale: Arquivo: lsencos.pdf Page 13/14 a) b) c) -1 d) e) Resolução: NP=4; usando o teorema de Pitágoras: QN2=82+42 à QN = 4 5 cos α = ? 2 30 3 2.5.5. cos α = − 4 5 + 5 2 + 5 2 ↔ 50 cos α = −30 ↔ cos α = − =− 50 5 ( ) razaotrigo23.htm (Cesgranrio) Em um triângulo ABC, o lado AB=3, o lado BC=4 e o ângulo B=600. O lado AC mede: a) b) c) 2 d) 5 e) Código: razaotrigo24.htm (Univ.Fed. GO) No triângulo abaixo, os valoes de x e y, nesta ordem, são: a) 2 e b) e2 c) d) e) 2 e Resolução: Arquivo: lsencos.pdf Page 14/14 2 x y = = 0 0 sen30 sen135 sen15 0 2 2 2 2 x x x .2 2 = 2 = ↔ = ↔ =2 2↔x= 0 0 1/ 2 1 2 sen135 sen 45 2 2 2 2 y y y = ↔ =2 2↔ =2 2 0 0 0 1 sen15 sen 45 − 30 2 3 1 2 . − . 2 2 2 2 6− 2 12 − 2 2 3 − 2 = = = 3 −1 y = 2 2 4 2 2 ( ) razaotrigo25.htm (ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o valor do ângulo interno deste triângulo , oposto ao lado que mede a centímetros, se forem satisfeitas as relações: 3a=7c e 3b=8c. a) 300 b) 450 c) 600 d) 1200 e) 1350