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RENATA DA SILVA MATOS
A UTILIZAÇÃO DOS VALORES EXTREMOS DAS FUNÇÕES DE UMA
VARIÁVEL REAL NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
JUSSARA – GO
2008
2
RENATA DA SILVA MATOS
A UTILIZAÇÃO DOS VALORES EXTREMOS DAS FUNÇÕES DE UMA
VARIÁVEL REAL NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS
Monografia aprovada como requisito parcial para obtenção do grau de
Licenciado em Matemática na Universidade Estadual de Goiás – UEG, pela Banca
Examinadora:
________________________________________________________
Orientador: Prof. Ms. Márcio Lemes de Sousa – UEG
________________________________________________________
Prof. Dr. Romildo da Silva Pina - UFG
________________________________________________________
Profa. Esp. Rejane Alves de Souza Tiago - UEG
Jussara, ____/____/2008.
3
Dedico aos meus pais João e Divina, à minha irmã Patrícia e ao meu orientador
Márcio.
4
AGRADECIMENTOS
Primeiramente a Deus pela dádiva da vida, e pelas inúmeras bênçãos que a mim foram
concedidas não somente nessa etapa, como em toda minha vida.
Aos meus pais João da Silva Matos e Divina Antônia de Matos, por serem a razão da
minha vida e a motivação dos meus estudos. Por me apoiarem durante todo o tempo. E
principalmente, por me concederem as bases para que eu me tornasse a pessoa que sou.
À minha irmã Patrícia da Silva Matos, que mesmo distante durante esse ano de
pesquisa, esteve sempre com apoio constante, e presente durante todas as outras etapas da
minha vida acadêmica.
Ao meu orientador Márcio Lemes de Sousa, que sempre demonstrou seu
profissionalismo e dedicação durante todo o trabalho. E principalmente, pela amizade e apoio
durante
cada
etapa
dessa
pesquisa,
contribuindo
significativamente
para
meu
desenvolvimento.
À minha amiga Andréia Cardoso pelo companheirismo, auxílio e por passar comigo os
momentos mais difíceis da graduação.
Ao professor Álvaro Moreira Neto que no início deste curso me fez compreender os
meus valores de forma a me encontrar nessa ciência apaixonante chamada Matemática.
À coordenadora do curso de Matemática da UEG - Unidade de Jussara, profa. Rejane
Alves de Souza Tiago
Aos professores e colegas de curso, com os quais compartilhei momentos
inesquecíveis da minha vida, momentos de felicidade e dificuldade, porém essenciais para a
concretização desta etapa. Todos estarão sempre no meu coração.
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A toda minha família e amigos que direta ou indiretamente colaboraram para a
conclusão desta pesquisa.
6
A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os
curiosos como, também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens.
Descartes
7
RESUMO
Num mundo capitalista, buscam-se sempre as melhores ofertas, onde se gaste menos e lucre
mais. Busca-se sempre o melhor, mais rápido, mais eficiente. Mas, às vezes para conseguir
chegar a esses valores deve-se lançar mão de algumas ferramentas importantes para que se
tenha êxito na resolução de problemas. São exatamente estas as ferramentas que buscaremos
nesse trabalho, visando sempre unir teoria e prática, levando a matemática às situações mais
corriqueiras da vida quotidiana e mostrando assim a amplitude do Cálculo Diferencial e
Integral.
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LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 - Definição da derivada
22
Figura 2 - Valores extremos
25
Figura 3 - Pontos de máximo e mínimo locais
26
Figura 4 - Valor mínimo
26
Figura 5 - Valores extremos inexistentes
27
Figura 6 - Valores extremos em intervalo fechado
29
Figura 7 - Teorema de Fermat
30
Figura 8 - Ponto crítico
32
Figura 9 - Extremos inexistentes em um ponto crítico
33
Figura 10 - Extremos absolutos em intervalo fechado
35
Figura 11 - Pontos Críticos
37
Figura 12 - Teorema do Valor Médio
Figura 13 - Intervalos de crescimento e decrescimento
42
Figura 14 - Extremos relativos
44
Figura 15 - Concavidade
47
Figura 16 - Valores extremos absolutos
48
Figura 17 - Distância de um ponto à parábola
51
Figura 18 - Maior área de um retângulo inscrito em um semicírculo
52
Figura 19 - Maior área de um retângulo inscrito em um semicírculo
53
Figura 20 - Campo retangular
54
Figura 21 - Maior caixa a ser construída
56
9
Figura 22 - Lucro máximo
60
Figura 23 - Galpão e área retangular
61
Figura 24 - Receita máxima
63
Figura 25 - Soma mínima
66
Figura 26 - Área de piquenique
67
10
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
10
1 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – HISTÓRIA E
12
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
1.1 – Um pouco de História
12
1.2 – Alguns conceitos fundamentais
20
2 - VALORES EXTREMOS DAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
27
2.1 – Valores máximos e mínimos
27
2.2 - Aplicação de derivadas em construção de gráficos
39
3 – APLICAÇÕES
48
11
INTRODUÇÃO
Há milhares de anos o homem já via na Matemática a chave para que fossem
resolvidos seus problemas da vida quotidiana. Esse pode ter sido o principal motivo para o
desenvolvimento dessa ciência sabendo que a busca por melhora é constante em qualquer
área. Foi pensando desta forma que muitos estudiosos se dedicaram durante anos, décadas e
até mesmo durante uma vida inteira para que fossem acrescidos os conhecimentos
matemáticos. Alguns se destacaram, outros nem tanto, mas o importante é que cada um
desempenhou o seu papel e deu sua contribuição para que o progresso acontecesse.
Nessa pesquisa procura-se trazer as contribuições do Cálculo Diferencial e Integral em
diversas áreas, tentando colocá-lo mais próximo das pessoas, de forma a torná-lo um aliado na
resolução de vários problemas. Para isso buscar-se-á o estudo do Cálculo Diferencial e
Integral de forma prazerosa e que levem-nos a resultados realmente eficazes.
Os valores extremos das funções de uma variável real serão trabalhados na resolução
de problemas que envolvam máximos e mínimos, sendo então indispensável o estudo de
importantes Teoremas que darão o suporte necessário durante o trabalho e serão de
fundamental importância no estudo do comportamento das funções, sendo esta uma forma
clara de se verificar os resultados obtidos numa aplicação.
No primeiro capítulo tem-se a trajetória dos principais precursores do Cálculo
Diferencial e Integral, onde será feita uma abordagem de suas importantes contribuições no
âmbito das derivadas, que é o foco dessa pesquisa. Também no primeiro capítulo faz-se
necessário a apresentação de alguns conceitos que serão de fundamental importância para o
bom entendimento dos capítulos posteriores.
12
O capítulo dois baseia-se no estudo de vários Teoremas e métodos que serão
ferramentas essenciais durante a resolução dos problemas apresentados nas aplicações, dos
quais destacam-se pela extrema importância, o Teorema de Weierstrass e o Teorema de
Fermat que serão fortes aliados na busca dos resultados esperados. Estes e todos os outros
Teoremas elencados no trabalho virão acompanhados de demonstrações e exemplos, visando
sempre uma forma clara de se trabalhar o Cálculo Diferencial e Integral.
Ainda no capítulo dois será reservada uma seção para trabalhar mais profundamente as
aplicações das derivadas nas construções de gráficos, o que será de grande importância
durante as aplicações.
O capítulo três traz situações naturais, do dia-a-dia e também puramente matemáticas,
onde o principal objetivo será a utilização dos métodos explorados nos capítulos um e dois
desta pesquisa, para uma resolução eficiente.
13
CAPÍTULO 1 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL – HISTÓRIA E
CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Neste primeiro capítulo abordaremos, a trajetória de alguns matemáticos que deram
grandes contribuições no que diz respeito ao estudo do Cálculo Diferencial e Integral,
contaremos um pouco da história de cada um deles e quais foram suas principais
contribuições no desenvolvimento dessa área. Em seguida, teremos a exposição de alguns
conceitos que nos serão de fundamental importância durante toda a pesquisa.
1.1 Um pouco de história
Durante toda a História, muitos estudiosos contribuíram para que a matemática fosse
desenvolvida. Em cada fase vivida aperfeiçoaram-na um pouco mais, e ainda hoje continuam
trilhando novos caminhos através do que já foi desenvolvido. Portanto, é de fundamental
importância que conheçamos um pouco melhor essa história, e principalmente, os precursores
dessa ciência.
14
No entanto, não podemos citar o criador, ou mesmo o pai do Cálculo. Veremos que
cada um deles contribuiu grandemente para o aperfeiçoamento dessa ciência, deixando sua
marca na História da Matemática.
Começaremos por Pierre Fermat, que nasceu em 17 de agosto de 1601, na França,
filho de um bem sucedido vendedor de peles, teve boa educação, provavelmente estudou no
mosteiro franciscano de Gandselve, próximo à Beaumont-de-Lomagne, sua cidade natal.
Estudou em duas Universidades, primeiramente na Universidade de Toulouse, mudando-se
depois para Bordeaux, onde iniciou seus estudos matemáticos, que apesar de não terem sido
publicados na época, foram de grande relevância para estudos posteriores.
Anos depois, Fermat se deslocou para Orleans, onde estudou direito, atuou como
advogado e também no parlamento, como oficial do governo, o que o levou a mudar seu
nome de Pirre Fermat para Pierre de Fermat, devido aos cargos que ocupava.
Mas mesmo se ocupando de outros afazeres, Fermat, sempre estudava matemática em
suas horas vagas. Portanto, seu trabalho em Orleans não influenciou seu gosto por essa
ciência, não perdendo também os contatos matemáticos que havia deixado em Bordeaux.
“Fermat foi verdadeiramente “o príncipe dos amadores” em matemática .
Nenhum matemático profissional de seu tempo fez maiores descobertas ou
contribuiu mais para o assunto, no entanto Fermat era tão modesto que quase
nada publicou.” (BOYER, 2002, p. 259.)
Com tamanha inteligência para a matemática, Fermat, perdeu muito não publicando
suas obras, posto que assim, outros matemáticos que tinham conhecimento de suas pesquisas
e apresentavam um pouco mais de organização nos trabalhos acabavam melhorando os
estudos de Fermat e publicando-os.
Em Toulouse encontrou Carcavi, um amigo advogado, que compartilhava com ele o
gosto pela matemática e a quem Fermat contou suas descobertas. Carcavi auxiliou-o a entrar
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em contato com a sociedade científica da época. Assim ele teve o primeiro contato com os
estudos sobre queda livre, apesar de não se interessar muito por aplicações físicas.
A comunicação entre esses matemáticos era feita basicamente através de cartas, e em
uma delas Fermat enviou aos matemáticos de Paris dois problemas sobre máximos e mínimos,
a fim de que eles pudessem resolvê-los. Era o que ele gostava de fazer. Desafiar os outros
matemáticos a chegar aos resultados que ele já havia alcançado.
Em Paris, não conseguiram descobrir os meios que fizeram com que Fermat
desenvolvesse esse estudo, e acharam aqueles problemas muito complexos e sem solução
levando-se em consideração o quanto a matemática havia sido desenvolvida até aquela época.
“Evidentemente Fermat não tinha o conceito de limite, mas por outro lado seu método
para máximos e mínimos se assemelha ao usado no Cálculo hoje, só que agora se usa em
geral o símbolo h ou ∆x em lugar do E de Fermat.” (BOYER, 2002, p.255.)
Foi então que Fermat enviou seu Método para determinar máximos e mínimos e
tangentes à linhas curvas e alguns outros estudos já desenvolvidos por ele.
É possível que Fermat desde 1629 estivesse de posse de sua geometria
analítica, pois por essa época ele fez duas descobertas significativas que se
relacionam de perto com seu trabalho sobre lugares. A mais importante
dessas foi descrita alguns anos depois em um tratado, também não publicado
durante sua vida, chamado Método para achar máximos e
mínimos.(BOYER, 2002, p.255.)
Para a publicação de seus trabalhos Fermat teve muita dificuldade, pois estes, quase
nunca estavam apresentáveis, por sua falta de organização. Estas publicações foram feitas nas
obras de outros estudiosos, que os incluíam em suplementos intitulados métodos de Fermat.
O fato de Fermat sempre desafiar os outros matemáticos, fez com que ele contraísse
várias inimizades. Uma delas com Descartes, porque fez um comentário não muito agradável
sobre um de seus trabalhos. Ao que Descartes, mais que rapidamente contra-atacou Fermat,
16
afirmando que seu método para determinar máximos e mínimos e tangentes à linhas curvas
não era eficaz. No entanto Descartes só fez isso, porque percebeu que Fermat poderia ofuscar
o La Geométrie, trabalho que estava sendo desenvolvido por ele. Mas, outros estudiosos
interviram nessa discussão, para que Fermat comprovasse que estava realmente correto. O que
levou Descartes a afirmar que depois de ter visto o último método usado por Fermat para
encontrar tangentes à linhas curvas, só poderia avaliá-lo de uma única maneira: realmente o
método era muito eficaz. Descartes reconheceu seu erro e disse que nunca o teria contradito se
soubesse como ele funcionava desde o início.
Por anos Fermat se manteve afastado de Paris mesmo depois de todo o equívoco entre
ele e Descartes ter sido solucionado O seu afastamento se deu por motivos de saúde que o
deixou tão debilitado que chegaram a anunciar sua morte.
Mesmo doente ele não poderia perder tempo, aproveitou-se, então, desse momento em
que esteve se recuperando para estudar. Foi quando fez grandes descobertas com relação à
Teoria dos Números e o Teorema de Fermat, de grande importância nessa pesquisa. Além
disso, sua contribuição para com a Física e a Geometria foi de extrema importância para
aqueles que herdaram suas teorias e também para nós matemáticos, que nos valemos delas
ainda hoje.
Isaac Newton foi um dos mais célebres seguidores de Fermat. Apesar dele não ter
nascido com o dom matemático, desde muito cedo foi detectado nele um talento incomum
para a matemática. Ele próprio não se interessava por esse assunto mas não abria mão de seu
gosto pela Química, ciência a qual ele se aprofundou e deixou marcas indeléveis.
Foi justamente devido ao seu interesse pela Química que ele conheceu e começou a se
interessar pela Matemática. Arithmetica infinitorum de Wallis foi provavelmente a mais
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importante de suas leituras, a partir daí o interesse por Galileu, Fermat, Huygens e outros foi
crescente.
Durante alguns anos e com o auxílio de seu mestre Isaac Barrow – que havia sido
indicado à cadeira Lucasiana de Matemática em Cambridge – Newton estudou muito o que já
se havia desenvolvido em matemática, chegando então a alcançar as fronteiras do
conhecimento. Nesse momento, já poderia dar sua própria contribuição nessa área.
É de Newton o mérito da descoberta das séries infinitas, algo que até então
amedrontava muitos matemáticos da época. Porém, esse estudo já estava sendo feito, na Itália,
por Gregory, apesar de que, dificilmente Newton tivesse algum conhecimento disso. Outra de
suas contribuições foram as taxas de variação, unindo os problemas das séries infinitas e das
taxas de variação, e chamando de meu método.
Foi justamente durante o tempo em que o colégio onde Newton estudava teve de estar
fechado por causa de uma epidemia é que ele, assim como Fermat, mesmo em casa, não se
deu ao luxo de parar com suas investigações o que resultou em quatro de seus mais
significativos trabalhos: o teorema binomial, o cálculo, a lei de gravitação e a natureza das
cores.
Com a saída de Barrow da Cadeira Lucasiana de Cambridge, Newton foi nomeado
para ocupá-la como um prêmio pelos trabalhos feitos em Cálculo, onde já havia desenvolvido
um método para se calcular áreas de uma região delimitada por uma curva.
Isaac Newton fez grandes contribuições no desenvolvimento do Cálculo Diferencial e
Integral, motivo pelo qual passou a ser conhecido como “pai do Cálculo”. No entanto, muito
já havia sido desenvolvido por Fermat, e muito ainda se desenvolveu após Newton.
Newton não foi o primeiro a diferenciar ou integrar, nem a ver a relação
entre essas operações no teorema fundamental do cálculo. Sua descoberta
18
consistiu na consolidação desses elementos num algoritmo geral aplicável a
todas as funções, sejam algébricas, sejam transcendentes. (BOYER, 1994, p.
292).
Como professor lucasiano1, ele desenvolveu trabalhos sobre óptica e mecânica celeste,
entre outros. Nessa época desvendou vários fenômenos do universo, publicando-os mais tarde
em Philosophiae naturalis principia mathematica ou Principia, como ficou conhecida.
Além dos estudos já realizados sobre o movimento dos corpos celestes, Newton, a
partir da ação da força centrípeta, demonstrou que os planetas foram atraídos pelo Sol, análise
que legou a seu inventor um grande prestígio.
Infelizmente, ele teve que abandonar a pesquisa devido a um colapso nervoso; então
ele teve que tornar-se guardião da Casa da Moeda Real, em Londres, onde terminou seus dias.
No entanto, para continuar desenvolvendo seus estudos e aperfeiçoando seus métodos
estava Gottfried Wilhelm von Leibniz, que nasceu em primeiro de julho de 1646, em Leipzig,
na Alemanha. Filho de Friedrich Leibniz e Catharina Schmuck, Leibniz, foi criado
praticamente pela mãe, pois seu pai, um professor de filosofia, morreu antes que ele
completasse sete anos de idade.
Ingressou na escola aos sete anos, e por causa do interesse em ler os livros do pai,
Leibniz foi autodidata em Latim e Grego até os doze anos. Aos quatorze entrou na
Universidade de Leipzig onde estudou filosofia, teologia, direito e matemática, graduando-se
bacharel em 1663.
Durante suas férias de verão, após graduar-se, conheceu o professor de matemática
Erhard Weigel, que muito o influenciou com seus estudos sobre lógica e filosofia.
1
Nome dado a uma cátedra de matemática da Universidade de Cambridge, na Inglaterra.
19
Voltando para Leipzig, seguiu em direção ao doutorado. Recebeu o grau de Mestre em
Filosofia, e sua mãe faleceu logo após a apresentação de sua dissertação.
Aos vinte anos de idade, lhe foi recusado o grau de doutor em direito, por causa de sua
idade. Por esse motivo, Leibniz deixou Leipzig e se deslocou para Nuremberg, onde na
Universidade de Altdorf obteve seu doutorado. Lá recusou o cargo de professor de direito,
entrando então no serviço diplomático.
Leibniz em 1672, já havia começado a construir uma máquina de calcular, e pretendia
então ir à Paris para fazer contatos científicos e continuar desenvolvendo sua máquina. Nesta
visita à Paris, feita no mesmo ano, encontrou-se com Christiaan Huygens que o indicou
algumas obras, caso quisesse se tornar um matemático.
Não tardou para que Leibniz comprasse alguns exemplares e fizesse seu estudo,
melhorando assim sua máquina de calcular. Nessa mesma época, visitou a Royal Society2 e
mostrou sua calculadora ainda incompleta. Conversou também com alguns matemáticos e
expôs a eles seu estudo sobre séries, descobrindo assim que tal estudo já estava sendo
desenvolvido. Ouviu também na Royal Society alguns comentários desfavoráveis a respeito
de sua máquina. Tais comentários fizeram com que Leibniz se dedicasse ainda mais em seus
estudos, pois percebeu que ainda não possuía o conhecimento necessário. Ingressou na Royal
Society no mesmo ano, porém com a incumbência de terminar sua calculadora, o que não
aconteceu tão rapidamente.
Mas foi em 1675, que, para ele, o Cálculo Diferencial tomou forma, começando pelo
estudo de séries infinitas, assim como Newton, o que muito o auxiliou no desenvolvimento de
2
A Royal Society de Londres — ou Sociedade Real de Londres — é uma instituição destinada à promoção das
ciências fundada em 1660.
20
novos conhecimentos. No entanto, ainda trabalhou bastante para desenvolver uma notação
adequada, que ajudasse o raciocínio.
“Leibniz sempre teve uma percepção aguda da importância de boas notações como
ajuda ao pensamento, e sua escolha no caso do cálculo foi particularmente feliz.”( BOYER,
1994, p. 295). Leibniz desejava continuar em Paris, mas não recebeu nenhum convite da
Academia de Ciências, motivo pelo qual, passou a trabalhar como bibliotecário na corte de
Hanover. Lá viveu até o fim de sua vida.
Mas seus estudos não pararam. Uma de suas conquistas foi o desenvolvimento do
sistema binário de aritmética. Fez também um estudo aprofundado dos sistemas de equações
lineares, o que o levou a desenvolver bastante o conhecimento a respeito dos determinantes.
Em 1684, foram publicados os detalhes do Cálculo Diferencial desenvolvidos por
Leibniz, e dois anos mais tarde, do Cálculo Integral, aparecendo então pela primeira vez a
notação usual de integral.
No entanto, existia uma disputa entre Newton e Leibniz a respeito da descoberta do
Cálculo. Em 1711, Leibniz foi até mesmo acusado de plágio numa das obras de Keill, que
afirmou que algumas cartas trocadas entre Newton e Leibniz, continham informações
suficientes para que Leibniz chegasse aos seus resultados.
Nessa época, Leibniz visitou a Royal Society para pedir retificações do que foi dito na
obra de Keill, porém não obteve êxito, afinal, nunca fora chamado para dar a sua versão a
respeito dos fatos ocorridos, e o relator da Royal Society era o próprio Newton.
A partir de 1715, Leibniz continuou a estudar, tendo nesse momento, contato com o
patrocinador de Newton, Samuel Clarke, que o auxiliou com informações a respeito do espaço
e atração gravitacional, entre outros.
21
Leibniz estudou e fez grandes descobertas até 1716, quando adoeceu e chegou a
falecer.
Muitos foram os matemáticos que auxiliaram no desenvolvimento do Cálculo, porém,
para nosso trabalho, as mais significativas contribuições vieram de Fermat, Newton e Leibniz,
motivo este que nos leva a tê-los como condutores nesta pesquisa.
1.2 Alguns Conceitos Fundamentais
Serão expostos nesta seção, alguns conceitos de fundamental importância durante todo
o trabalho, tais como: derivada, pontos de máximos e mínimos locais e globais.
Definição 1.2.1 - Derivada - Sejam f uma função real e a um ponto de seu domínio. O
limite da razão incremental
f (a + h ) − f (a )
quando existe e é finito, denomina-se derivada
h
de f em a.
Seja f uma função, f : U → ℜ onde U é um conjunto aberto contido nos reais ℜ , e
sejam o ponto P = (x, f(x)), e o ponto Q = (x + h, f(x + h)) dois pontos quaisquer do gráfico de
f. Consideremos então a reta que passa pelos pontos P e Q. Temos que o coeficiente angular
de PQ é dado por:
f (x + h ) − f (x )
h
22
y
Q
f (x + h )
Q1
f (x )
f (x + h ) − f (x )
Q2
P
Q3
h
x
x+h
x
Figura 1
chamada de razão incremental.
Quando (x + h) tende a x, isto é, quando o ponto Q aproxima-se de P passando pelos
pontos Q1, Q2, etc. (como mostra a figura 1), a razão incremental aproxima-se de um valor
finito que denotaremos por m, ou seja, quando h tende a zero, a razão incremental aproximase desse valor m e escrevemos m como o limite da razão incremental quando h tende a zero,
ou seja,
m = lim
h →0
f (x + h ) − f (x )
h
m é chamada de derivada de f, ou inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P, e
denotada por f’(x). Podemos então reescrevê-la como:
f ' ( x ) = lim
h →0
f (x + h ) − f (x )
h
23
Dizemos que a função f é derivável ou diferenciável se f for derivável em cada ponto
de seu domínio.
Exemplo 1.2.1
Seja f(x) = x². Calcule f’(x).
Solução: Pela definição 1.2.1, temos:
f’(x) = lim
h→0
f (x + h ) − f (x )
=
h
lim
(x + h )² − x ²
h →0
h
Como
(x + h )² − x ²
h
=
2 xh + h ²
= 2 x + h, h ≠ 0
h
Segue que
f’(x) = lim( 2 x + h) = 2 x.
h →0
Portanto, se f(x) = x², então f’(x) = 2x.
Então, é fácil visualizar que f’(x) é também uma função de x, e, dessa forma podemos
considerar sua derivada, chamada de derivada segunda de f caso exista e indicada pelo
símbolo f” e assim por diante.
Definição 1.2.2 - Intervalos de crescimento e decrescimento
Sejam f(x), uma função, I um intervalo contido no domínio de f. Temos:
f(x) é dita crescente em I se e somente se, para quaisquer dois valores a e b no
intervalo I, verifica-se que:
24
Se a < b, então f(a) < f(b).
Uma função é dita crescente se for crescente em todo o seu domínio.
f(x) é dita estritamente crescente em I se e somente se, para quaisquer dois valores a e
b no intervalo I, verifica-se que:
Se a < b, então f(a) < f(b).
f(x) é dita decrescente se e somente se, para quaisquer dois valores a e b no intervalo I,
verifica-se que:
Se a < b, então f(a) > f(b).
Uma função é dita decrescente se for decrescente em todo o seu domínio.
f(x) é dita estritamente decrescente se e somente se, para quaisquer dois valores a e b
no intervalo I, verifica-se que:
Se a < b, então f(a) > f(b).
f(b)
f(a)
f(a)
a
f(b)
b
Função crescente
a
b
Função decrescente
Definição 1.2.3 - Máximos e mínimos: Sejam f uma função, A contido no Df e p ∈ A.
Dizemos que f(p) é o valor máximo de f em A ou que p é um ponto de máximo de f em A se
25
f(x) ≤ f(p) para todo x em A. Se f(x) ≥ f(p) para todo x em A, dizemos então que f(p) é o valor
mínimo de f em A ou que p é um ponto de mínimo de f em A.
y
P1
x
P2
A
Figura 2
f(p1) é o valor máximo de f em A;
f(p2) é o valor mínimo de f em A (como mostra a figura 2).
Definição 1.2.4: Sejam f uma função e p ∈ Df. Dizemos que f(p) é o valor máximo
global de f ou que p é um ponto de máximo global de f se, para todo x em Df, f(x) < f(p). Se,
para todo x no Df, f(x) ≥ f(p), diremos então que f(p) é o valor mínimo global de f ou que p é
um ponto de mínimo global de f.
Definição 1.2.5: Sejam f uma função e p ∈ Df. Dizemos que p é um ponto de máximo
local de f se f(x) ≤ f(p) para todo x em algum intervalo aberto contendo p. Por outro lado,
dizemos que p é ponto de mínimo local de f se f(x) ≥ f(p) para todo x em algum intervalo
aberto contendo p.
26
y
P1
P2
P3
P4
P5
P6
x
Figura 3
p1, p3 e p5 são pontos de máximo local; f(p5) é o valor máximo global de f;
p2, p4 e p6 são pontos de mínimo local; f(p2) é o valor mínimo global de f (como mostra a
figura 3).
Exemplo 1.2.2: Seja f(x) = x², temos que:
O gráfico da função f é uma parábola. O ponto mais baixo dessa parábola está na
origem (0,0) e sua concavidade está voltada para cima. Essa função tem valor mínimo
absoluto em x = 0. Não há valor máximo absoluto de f (como mostra a figura 4).
Figura 4
Exemplo 1.2.3: Seja f(x) = x³, temos que:
27
Observando o gráfico da função f, podemos ver que essa função não possui um valor
máximo absoluto nem um valor mínimo absoluto. Essa função não possui nenhum extremo
local (como mostra a figura 5).
Figura 5
Um exemplo claro dos problemas que serão resolvidos durante nossa pesquisa é o
seguinte:
O departamento de estradas de rodagem está planejando construir uma área de
piquenique para motoristas, à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser
retangular, com área de 5.000 metros quadrados, e deve ser cercado nos três lados que não
dão para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca necessária para a obra?
Problemas como este serão resolvidos no capítulo 3.
28
CAPÍTULO 2 – VALORES EXTREMOS DAS FUNÇÕES DE UMA
VARIÁVEL REAL
Daremos início ao nosso estudo enunciando alguns teoremas importantes durante a
pesquisa. Estaremos expondo o Teorema de Fermat, o Teorema do Valor Médio, o Teorema
de Rolle, entre outros. Estaremos também expondo métodos e testes que facilitam nosso
trabalho, bem como a resolução de problemas relacionados a máximos e mínimos.
2.1 Valores Máximos e Mínimos
Interpretando geometricamente a derivada de uma função, podemos ver que ela é a
inclinação da reta tangente ao gráfico dessa função em um ponto qualquer. Por esse motivo, a
derivada nos auxilia na construção de gráficos, o que nos ajudará na interpretação dos
resultados encontrados durante a resolução de nossos problemas.
É através da derivada que encontramos os valores extremos locais de uma função. No
entanto, para que nosso trabalho seja o mais eficiente possível, é necessário que tenhamos em
mãos algumas ferramentas importantes.
29
Já definimos os valores máximos e mínimos de uma função no Capítulo I, definição
1.2.3, e vimos que nem todas as funções possuem esses valores. No entanto o Teorema a
seguir nos dá condições que garantem a existência dos valores extremos.
Teorema 2.1.1 - Teorema do Valor Extremo ou Teorema de Weierstrass – Se f for
contínua em um intervalo fechado [a,b], então f assume um valor máximo absoluto f(c) e um
valor mínimo absoluto f(d), com c e d em [a,b].
O Teorema 2.1.1 nos afirma que existe um valor máximo e mínimo de uma função
contínua em intervalo fechado, mas não afirma como encontrar esses valores. Esse teorema é
um exemplo do que os matemáticos chamam de teorema de existência onde são fixadas
condições para que algo exista, porém não se estabelecem métodos para encontrá-lo.
Exemplo 2.1.1 - A função f(x) = 4x + 2 é contínua e, portanto possui máximo e
mínimo absoluto no intervalo fechado [0, 4]. Nesse intervalo ocorre um mínimo absoluto em
x = 0, cujo valor mínimo é f(0) = 2, e um máximo absoluto em x = 4, cujo valor máximo é
f(4) = 18 (como mostra o gráfico abaixo).
Figura 6
Porém, se pensarmos no intervalo semi-aberto [0, 4), a função passará a ter apenas um
mínimo absoluto, levando-se em consideração que x = 4 foi retirado do intervalo e que f(x)
30
não pode ter o máximo absoluto em um ponto x0 menor que 4. Portanto f não tem máximo
absoluto no intervalo [0, 4). Pelo mesmo motivo f não teria máximo nem mínimo absoluto, se
fosse definida no intervalo aberto (0, 4).
Quando uma função contínua f é definida num intervalo fechado e finito, os extremos
absolutos podem ocorrer nas extremidades do intervalo ou dentro dele. Se esses extremos
ocorrem dentro do intervalo, então o Teorema de Fermat nos afirma que eles devem ocorrer
num ponto c, onde f’(c) = 0.
Observe:
(c, f(c))
(d, f(d))
c
d
Figura 7
Na figura 7, temos uma função f com máximo local em c e mínimo local em d. Nesses
pontos as retas tangentes têm inclinação igual a zero.
Sabendo que a derivada é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f, segue o
seguinte teorema:
Teorema 2.1.2 - Teorema de Fermat – Seja f uma função derivável num ponto c,
onde c pertence ao domínio da função f. Uma condição necessária para que c seja ponto de
máximo ou de mínimo local, é que f’(c) = 0.
31
Demonstração: Suponha que f tenha um máximo local em c. Logo, f(c) ≥f(x) se x
estiver suficientemente próximo de c, o que implica que se h estiver suficientemente próximo
de 0, h sendo positivo ou negativo tal que c + h esteja próximo de c, então
f(c) ≥ f(c + h)
e, portanto,
f(c + h) – f(c) < 0
(i)
Podemos dividir ambos os lados de uma equação por um número positivo. Assim, se
h>0 e h for suficientemente pequeno, temos:
f (c + h) − f (c )
≤0
h
Tomando o limite à direita de ambos os lados dessa desigualdade, obtemos:
= lim
h→0+
f (c + h) − f (c )
≤ lim 0 = 0
h→0+
h
Mas, uma vez que f’(c) existe, temos:
f ' (c) = lim
h→0
f (c + h ) − f ( c )
f ( c + h ) − f (c )
= lim
h→0+
h
h
Assim mostramos que f’(c) < 0.
Se h < 0, então inverte-se o sentido da desigualdade (i) quando dividimos tudo por h:
f ( c + h) − f ( c )
≥0
h
Logo, tomando o limite esquerdo, temos:
h<0
32
f ' (c) = lim
h →0
f (c + h ) − f (c )
f ( c + h ) − f (c )
= lim
≥0
h →0 −
h
h
Assim, mostra-se que f’(c) > 0 e também que f’(c) < 0. Porém, se ambas as
desigualdades devem ser verdadeiras, temos que a única possibilidade é que f’(c) = 0.
▄
O Teorema 2.1.2 foi demonstrado para o caso de máximo local. O caso de mínimo
local tem demonstração análoga.
Definição 2.1.1: Dado um ponto c pertencente ao domínio da função f, onde f’(c) = 0
é chamado de ponto crítico ou ponto estacionário de uma função f.
Exemplo 2.1.2 – Seja a função f(x) = 3x² + 2x + 1.
Sua derivada, f’(x) = 6x + 2, anula-se em x = -1/3, que é o único ponto crítico da
função.
Observe o gráfico:
Figura 8
F(-1/3) = 3(-1/3)² + 2(-1/3) + 1 = 2/3.
33
Vimos então que a função tem mínimo absoluto igual a 2/3 no ponto crítico x = -1/3.
Vale lembrar que se uma função f possui extremos relativos em um intervalo aberto,
então, os únicos pontos onde eles podem acontecer são nos pontos onde a derivada se anula.
Porém, não basta a anulação da derivada para que este seja um ponto de máximo ou mínimo.
Podem existir pontos nos quais f’(x) = 0 e, no entanto, este não ser um extremo da função f.
Assim sendo, o Teorema 2.1.2 é condição necessária para que um ponto x seja um extremo
relativo, mas não é suficiente. Podemos citar o seguinte exemplo:
Exemplo 2.1.3 – Seja a função f(x) = x³.
Sua derivada f’(x) = 3x², anula-se em x = 0, que é o único ponto crítico da função.
Figura 9
Porém, observando o gráfico de f acima, veremos que esse não é um ponto de máximo
nem um ponto de mínimo. Mostramos dessa forma, que nem todo ponto crítico é extremo de
uma função.
Devemos sempre buscar métodos que facilitem o nosso trabalho quando estamos
lidando com funções contínuas em um intervalo fechado, de forma que nosso trabalho se
34
torne o mais claro possível. Para isso existe o método do intervalo fechado. São passos que
devem ser seguidos para que cheguemos sem complicações aos resultados esperados.
Método do intervalo fechado
Para encontrar valores extremos de uma função contínua f em um intervalo fechado
[a,b]:
1.
Encontre os valores de f nos números críticos de f em (a, b).
2.
Encontre os valores de f nos extremos do intervalo.
3.
O maior valor das etapas 1 e 2 é o valor máximo absoluto no intervalo
fechado, ao passo que o menor desses valores é o valor mínimo absoluto no
intervalo fechado.
Exemplo 2.1.4 – Ache os extremos absolutos de f em [-2, ½] se f(x) = x³ + 7x² - 5x.
1.
f’(x) = 3x² + 14x – 5.
Portanto os números críticos de f são x = -5 e x = 1/3.
De modo que o único valor que nos interessa é x = 1/3. Pois x = -5 não faz parte do
intervalo definido.
Em x = 1/3, f(x) = (1/3)³ + 7(1/3)² - 5(1/3) = -23/27.
2.
Os extremos do intervalo são x = -2 e x = ½.
Em x = -2, f(x) = (-2)³ + 7(-2)² - 5(-2) = 30.
Em x = ½, f(x) = (1/2)³ + 7(1/2)² - 5(1/2) = -5/8.
3.
Em x = -2, f assume o maior valor. Esse é o ponto de máximo absoluto de f
no intervalo [-2, 1/2].
35
Em x = ½, f assume o menor valor. Esse é o ponto de mínimo absoluto de f no
intervalo [-2, 1/2].
Observe o gráfico:
Figura 10
É correto afirmar que os valores encontrados com o auxílio do método do intervalo
fechado estão em conformidade com o gráfico da função f(x). De modo que este se mostra um
método eficaz.
Trataremos agora do Teorema de Rolle, que também é de grande importância no
estudo dos valores extremos das funções.
Teorema 2.1.3 – Teorema de Rolle
Seja f uma função contínua em [a, b], diferenciável em (a, b) e f (a) = f (b). Então
existe um número c em (a, b) tal que f’(c) = 0.
Demonstração: Existem três casos:
Caso 1 – f(x) é uma constante.
Então f’(x) = 0, assim o número c pode ser tomado como qualquer número em (a, b).
36
Caso 2 – f(x) > f(a) para algum x em (a, b).
Pelo Teorema 2.1.1 o qual podemos aplicar pela hipótese 1, f tem um valor máximo
em algum ponto de [a,b]. Uma vez que f(a) = f(b) ela deve assumir esse valor máximo em um
número c no intervalo aberto (a,b). Então f tem um máximo local em c e pela hipótese 2, f é
diferenciável em c. Portanto, pelo Teorema 2.1.2. f’(c) = 0.
Caso 3 – f(x) < f(a) para algum x em (a,b)
Pelo Teorema 2.1.1, f tem um valor mínimo em [a,b] e como f(a) = f(b), ele assume
esse valor mínimo em um número c em (a,b). Novamente, pelo Teorema 2.1.2. f’(c) = 0.
▄
Exemplo 2.1.5 – Dada f(x) = 4x³ - 9x comprove se as condições (1), (2) e (3) do
Teorema 2.1.3 estão satisfeitas em cada um dos seguintes intervalos: [-3/2,0], [0, 3/2] e [-3/2,
3/2]. Ache então um valor de c em cada um desses intervalos para os quais f’(c) = 0 (caso
possível).
Solução: Temos que f’(x) = 12x² - 9, então f’(x) existe para todos os valores de x,
portanto, f é derivável em (-∞, +∞). Logo, as condições 1 e 2 do Teorema 2.1.3 são válidas
em qualquer intervalo. Precisamos agora determinar os valores em que a condição 3 se
verifica, para isso, tomamos f(x) = 0. Assim:
4x³ - 9x = 0 ou 4x(x² - 9/4) = 0
Resolvendo chegamos em:
x = -3/2, x = 0, x = 3/2
Sendo a = -3/2 e b = 0, verificamos que o Teorema 2.1.3 é válido em [-3/2, 0], e
analogamente é válido em [0, 3/2] e [-3/2, 3/2]. Como mostra a figura 11.
37
Figura 11
Precisamos agora encontrar os valores de c tal que f’(c) = 0.
Tomando f’(c) = 0, temos: 12x² - 9 = 0
Resolvendo encontramos:
x=−
1
2 3
e x=
1
2 3
Então, quando tomamos o intervalo [-3/2, 0], a escolha adequada para c é -1/2√3.
Quando tomamos o intervalo [0, 3/2], a melhor escolha para c é ½√3. Já no intervalo [-3/2,
3/2] podemos tomar dois valores para c, que pode ser -3/2 ou 3/2.
Como conseqüência do Teorema de Rolle temos o Teorema do Valor Médio, que
estudaremos a seguir:
Teorema 2.1.4 – Teorema do Valor Médio
Seja f uma função contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existirá pelo
menos um número c em (a,b) tal que
38
f ' (c ) =
f (b) − f (a )
b−a
ou, de maneira equivalente,
f (b) − f (a) = f ' (c)(b − a)
Demonstração: Seja f uma função definida em [a,b]. Consideraremos a função S como
S ( x) = f ( a ) +
f (b) − f (a)
( x − a).
b−a
O gráfico da função S é uma reta que passa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Como
mostra a figura 12:
Figura 12
Utilizaremos aqui a função g(x) dada por
g ( x) = f ( x) − S ( x), x em [a, b]
Sabemos que g é contínua em [a,b], derivável em (a,b) e g(a) = g(b), então, pelo
Teorema 2.1.3, existe um c em (a,b) de forma que g’(c) = 0. Portanto:
39
g ' ( x) = f ' ( x) − S ' ( x) e S ' ( x) =
f (b) − f (a)
(b − a)
Substituindo, temos:
g ' ( x) = f ' ( x) −
f (b) − f (a)
(b − a)
Daí
g ' (c) = f ' (c) −
f (b) − f (a)
=0
(b − a)
Portanto, f (b) − f (a) = f ' (c)(b − a)
▄
Exemplo 2.1.6 - Dada f(x) = x³ - 5x² - 3x comprove que as hipóteses do Teorema
2.1.4 estão satisfeitas para a = 1 e b = 3. Daí encontre os números c no intervalo (1, 3)
tais que
f ' (c ) =
f (3) − f (1)
3 −1
Solução: A função f é contínua e derivável em todos os valores de x, pois f é uma
função polinomial. Portanto, as hipóteses do Teorema 2.1.4 já estão satisfeitas para todo a e
b.
f ' ( x) = 3 x ² − 10 x − 3
f (1) = −7 e
f (3) = −27
Então:
f (3) − f (1) − 27 − (−7)
=
= −10
3 −1
2
40
Fazendo f’(c) = -10, temos:
3c ² − 10c + 7 = 0
E assim:
(3c − 7)(c − 1) = 0
c = 7/3 c =1
Porém, 1 não está no intervalo aberto (1, 3) e desta forma, o único valor possível para
c é 7/3.
1.2
Aplicação de Derivadas em Construção de Gráficos.
É razoável falarmos sobre a ligação das derivadas, com o comportamento do gráfico
de uma função, levando em consideração que a derivada da função f nos mostra a direção que
a curva de f segue a cada ponto. Dessa forma, podemos perceber a relação entre f(x) e f’(x).
No entanto, para que possamos visualizar geometricamente essa relação, temos alguns
teoremas e testes que nos levam a esboçar um gráfico com mais precisão, lembrando que o
esboço de gráficos é uma ferramenta fundamental quando se quer resolver um problema
aplicado a máximos e mínimos.
Utilizando-se do Teorema 2.1.4, podemos chegar a resultados que nos mostram o
comportamento das funções. Como é o caso do Teorema a seguir, que nos ajuda a encontrar
os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função.
41
Teorema 2.2.1 - Seja f uma função contínua no intervalo I e f’(x) > 0 para todo x
interior a I, então f é estritamente crescente em I;
Demonstração: É necessário provar que quaisquer que sejam s e t em I, s < t => f(s) <
f(t). Sejam então, s e t em I, com s < t.
Da hipótese, segue que f é contínua em [s, t] e derivável em (s, t); pelo Teorema 2.1.4
existe X pertencente a (s, t) tal que
f (t ) − f (s) = f ' (X)(t − s).
De f’(X) > 0, pois X está no interior de I, e de t – s > 0 segue
f (t ) − f ( s) > 0 ou
f (s) < f (t )
Portanto,
Para qualquer s, t em I, s < t, então f(s) < f(t).
Observação: x interior a I significa que x pertence a I, mas x não é extremidade de I.
▀
Da mesma forma, podemos afirmar que se f’(x) < 0 para todo x interior a I, então f é
estritamente decrescente em I.
A demonstração é análoga.
Exemplo 2.2.1:
Seja f(x) = 2x² + 3x + 2, encontre os intervalos de crescimento e decrescimento dessa
função.
Resolução:
Sabemos que f’(x) = 4x + 3.
42
Como f é continua em todo seu domínio, pelo Teorema 2.2.1, temos que onde f’(x) > 0
a função é crescente, e onde f’(x) < 0, a função é decrescente.
Portanto, f(x) é crescente para todo x > -3/4 e decrescente para todo x < -3/4.
Observe o gráfico:
Figura 13
Seguindo o estudo da f’, temos o Teorema 2.2.2, que é uma conseqüência do Teorema
2.2.1 . Vejamos:
Teorema 2.2.2 - Seja f uma função contínua em (a, b) e c um ponto interior ao
intervalo, tal que f’(c) = 0.
(a)
Se o sinal de f’ mudar de positivo para negativo em c, então f tem um
máximo local em c.
(b)
Se o sinal de f’ mudar de negativo para positivo em c, então f tem um
mínimo local em c.
(c)
Se f’ não mudar de sinal em c, (isto é, se em ambos os lados de c o sinal de
f’ for positivo ou negativo), então f não tem máximo ou mínimo locais em c.
Demonstração: a) Precisamos mostrar que f(c) > f(x), para qualquer que seja x em
(a,b).
43
Temos por hipótese, que:
f ' (c ) = 0
f ' ( x) > 0 ∀ x em (a, c)
f ' ( x) < 0 ∀ x em (c, b)
Podemos afirmar com a ajuda do Teorema 2.2.1, que, como f’ é crescente em (a, c] e
decrescente em [c, b), logo:
f (c) ≥ f ( x) ∀ x em ( a, c]
f (c) ≥ f ( x) ∀ x em [c, b).
Portanto, podemos afirmar que x = c é ponto de máximo local.
A demonstração da parte b é análoga à da parte a.
c) Sem perder a generalidade, suponhamos que f’(x) > 0 para qualquer x em (a, b),
com x ≠ c, pelo Teorema 2.2.1 f é crescente em (a, c) e (c, b)
Então temos:
f (c ) ≥ f ( x) ∀ x em ( a, c]
f (c ) ≤ f ( x) ∀ x em [c, b)
Daí, temos que f é crescente em (a, b). Logo, f não possui máximo nem mínimo local.
▀
Então, para utilizar esse Teorema, devemos achar f’(x), depois encontrar os números
críticos de f e aplicar o Teorema 2.2.2.
Exemplo 2.2.2:
Dada f(x) = x² - 2x - 1, ache os extremos relativos de f (caso existam) utilizando o
Teorema 2.2.2.
44
Resolução:
Sabemos que sua derivada é 2x – 2.
f’(x) = 2x – 2, ou 2(x – 1),
Assim sendo, f’(x) se anula em x = 1. A função é negativa à esquerda de x = 1 e
positiva à direita de x = 1. Logo, utilizando o Teorema 2.2.2, fazemos a seguinte análise:
A reta tangente ao gráfico de f tem declive positivo para todo x > 1 e negativo para
todo x < 1. Vimos então que o sinal de f’(x) é negativo até x = 1, passando então a ser
positivo daí em diante, o que nos leva à conclusão de que x = 1 é ponto de mínimo absoluto,
pois é o único ponto crítico.
Observe o gráfico:
Figura 14
Definição 2.2.1 - Se o gráfico de f está acima de todas as suas tangentes num intervalo
I, então ele é chamado côncavo para cima em I. Se o gráfico de f estiver abaixo de todas as
suas tangentes num intervalo I, então ele é chamado côncavo para baixo em I.
45
Definição 2.2.2 - O ponto p onde a curva de f deixa de ser côncava para baixo e passa
a ser côncava para cima, ou vice-versa, chama-se ponto de inflexão.
Teorema 2.2.3 – Seja f uma função que admite derivada até a segunda ordem, no
intervalo aberto I, se f”(x) > 0 para todo x em I, então o gráfico de f é côncavo para cima em
I.
Demonstração: Seja p um número real qualquer em I. Precisamos provar que, para
todo x em I, x ≠ p, f(x) > T(x), onde T(x) = f(p) + f’(p)(x – p).
Considerando a função g(x) = f(x) – T(x), com x pertencente a I, vamos provar que
g(x) > 0 para todo x em I, x ≠ p.
Portanto, temos:
 g ' ( x) = f ' ( x) − T ' ( x)

T ' ( x) = f ' ( p)
Segue que,
g ' ( x) = f ' ( x) − f ' ( p), x ∈ I
Como f”(x) > 0 em I, segue que f’ é estritamente crescente em I. Então,
 g ' ( x) > 0

 g ' ( x) < 0
para x > p
para x < p.
Segue que g é estritamente decrescente em todo x pertencente a I, tal que x < p, e
estritamente crescente em todo x pertencente a I, tal que x > p. Como g(p) = 0, resultado
g ( x) > 0
para todo x em I, x ≠ p.
▀
46
Da mesma forma, se f”(x) < 0 para todo x em I, então o gráfico de f é côncavo para
baixo em I.
A demonstração para esse caso é análoga.
Exemplo 2.2.3:
Seja f(x) = 4x³ - 12x² + 5, encontre os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para
cima e os intervalos em que o gráfico de f é côncavo para baixo com o auxílio do Teorema
2.2.3.
Resolução:
Sabemos que f’(x) = 12x² - 24x.
Logo, f”(x) = 24x – 24, ou 24(x – 1).
Fazendo f”(x) = 0, temos x = 1.
Desta forma, f”(x) > 0 se x > 1, e f”(x) < 0 se x < 1.
Analisando essas informações e utilizando o Teorema 2.2.3, temos que o gráfico de f
será côncavo para baixo até x = 1, daí em diante, passará a ser côncavo para cima. Logo, pela
definição 2.2.2 podemos afirmar que x = 1 é o ponto de inflexão.
Observe o gráfico:
47
Figura 15
Teorema 2.2.4 – Sejam f uma função que admite derivada de 2ª ordem, contínua no
intervalo aberto I e p pertencente a I, se f’(p) = 0 e f”(p) > 0, então f tem um mínimo
local em p.
Demonstração: Como f” é contínua em I e f”(p) > 0, pelo Teorema da conservação de
sinal ( Para maiores detalhes, ver Guidorizzi), existe r > 0 (tal r pode ser tomado de modo que
]p – r, p + r[ esteja contido em I, pois estamos supondo I intervalo aberto e p pertencente a I)
tal que
f”(x) > 0 em ]p – r, p + r[.
Segue que f’ é estritamente crescente nesse intervalo; como f’(p) = 0, resulta:
 f ' ( x) < 0 em ] p − r , p[

 f ' ( x) > 0 em ] p, p + r[.
Logo f é estritamente decrescente em ]p – r, p] e estritamente crescente em [p, p + r[.
Portanto, p é ponto de mínimo local
▀
Podemos também afirmar que se f’(p) = 0 e f”(p) < 0, então f tem um máximo local
em p.
48
A demonstração nesse caso é análoga.
Exemplo 2.2.4:
Vamos analisar a função f(x) = x³ - 3x, no intervalo [-2,2].
f’(x) = 3x² - 3 = 3(x² - 1) = 3(x + 1)(x – 1)
Sua derivada se anula em x = -1 e x = 1. Esses são os pontos críticos da função.
Como f”(x) = 6x, vemos que f”(-1) < 0 e f” (1) > 0.
Logo, pelo Teorema 2.2.4, podemos chegar à conclusão que x= -1 é ponto de máximo
local e x = 1 é ponto de mínimo local. Podemos também afirmar, pelo Teorema 2.2.1 que
estes são pontos de máximo e mínimo absolutos.
Observe o gráfico:
Figura 16
Vale lembrar que a função tem pontos de máximo e mínimo se considerada num
intervalo fechado. A mesma função considerada em toda a reta não possui pontos de máximo
ou mínimo, pois ela tende a ± ∞ quando x tende a ± ∞.
49
CAPÍTULO 3 – APLICAÇÕES
Em nossa vida estamos sempre buscando os maiores lucros, os menores custos ou
mais ainda, buscando obter o máximo de lucro com o mínimo de esforço. Existem também
situações naturais, onde podemos nos utilizar dos valores máximos e mínimos para resolver
nossos problemas. Essas e outras situações serão expostas neste capítulo, que visa mostrar de
forma bem clara, como o Cálculo Diferencial e Integral pode nos auxiliar na resolução de
nossos problemas quotidianos.
Aplicações
Antes de iniciar nossos problemas, é interessante que tenhamos uma idéia de como
resolvê-los para sabermos de que forma os teoremas e métodos vistos anteriormente podem
nos ajudar. Assim, temos aqui uma série de procedimentos que nos auxiliam na resolução
desses problemas e nos levaram de maneira mais eficiente ao resultado esperado.
Aqui montaremos um esquema para solução de problemas relacionados à máximos e
mínimos.
1
Ler o problema cuidadosamente várias vezes, meditando sobre os fatos e as
quantidades incógnitas que devem ser determinadas.
2
Se possível, esboçar um diagrama para identificar as quantidades dadas e
pedidas. Expressões, tais como “o que”, “determine”, “quanto”, “quão”, “longe” ou “quando”
devem alertar o leitor para as quantidades incógnitas.
50
3
Fazer uma lista de fatos conhecidos juntamente com quaisquer relações que
envolvam as variáveis. Uma relação em geral pode ser escrita por uma equação de um certo
tipo.
4
Após analisar a lista no 3º item, determinar a variável que deve ser extremada,
e exprimir essa variável em função de uma das outras variáveis.
5
Determinar os valores críticos da função obtida no 4º item e testá-los quanto a
máximos e mínimos.
6
Verificar se ocorrem máximos ou mínimos nos pontos extremos do intervalo
de domínio da função obtida no 4º item.
7
Não se desencorajar se não conseguir resolver determinado problema. A
proficiência na resolução de problemas aplicados exige considerável esforço e prática.
Continuar tentando!
Observação: Não é necessário seguir a risca cada uma das etapas expostas aqui. Um
problema pode ser resolvido da forma mais conveniente.
Vamos agora para a prática!
Aplicação 3.1
Encontre o ponto sobre a parábola y² = 2x mais próximo de (1, 4).
Solução: Podemos escrever a distância entre o ponto (1, 4) e o ponto desconhecido (x,
y) como:
d = ( x − 1)² + ( y − 4)²
Veja a figura 17:
51
Figura 17
Sabemos que o ponto (x, y) está sobre a parábola, e então x = y²/2. Sendo assim,
podemos reescrever a expressão acima da seguinte forma:
1

d =  y ² − 1² + ( y − 4)²
2

Observação: Poderíamos sem nenhum problema obter d em termos somente de x.
Teríamos então y = 2x .
No entanto, temos agora a distância d em função somente de y. Mas não
minimizaremos d, mas sim seu quadrado. E reescrevemos:
1

d ² = f ( y) =  y ² − 1² + ( y − 4)²
2

Derivando temos:
1

f ' ( y) = 2 y ² − 1 y + 2( y − 4)
2

f ' ( y) = y ³ − 8
Portanto, é fácil notarmos que f’(y) = 0 quando y = 2.
Certificamo-nos de que f’(y) < 0 quando y < 2 e f’(y) > 0 quando y > 2. Logo, pelo
Teorema 2.2.2, o mínimo absoluto ocorre quando y = 2, sendo que seu valor correspondente
em x é x = y²/2 = 2. Desta forma, o ponto da parábola mais próximo de (1, 4) é (2, 2).
52
Vale lembrar que a natureza geométrica do problema nos permite afirmar que existe
um ponto mais próximo, porém não existe um ponto mais distante.
Aplicação 3.2
Encontre a área do maior retângulo que pode ser inscrito em um semicírculo de raio r.
Solução:
Considerando este semicírculo como a metade superior do círculo x² + y² = r² com
centro na origem, para o retângulo estar inscrito nele, é necessário que ele tenha dois vértices
sobre o semicírculo e dois vértices sobre o eixo x, como mostra a figura 18:
Figura 18
Tomando o ponto (x, y) como o vértice que se encontra no primeiro quadrante, temos
que o retângulo terá lados de comprimento 2x e y. Desta forma, sua área (A) é:
A = 2xy
É necessário obtermos a área em função apenas de x ou de y. Como o ponto (x, y) está
sobre o círculo x² + y² = r², podemos utilizar esse fato para expressar y em função de x. E
obtemos:
y = r ² − x²
Agora podemos reescrever a área como:
A = 2 x r ² − x²
53
Analisando o domínio da função podemos ver que é 0 ≤ x ≤ r. E que a derivada da
função área é:
A' = 2 r ² − x ² −
A' =
2 x²
r ² − x²
2(r ² − 2 x²)
r ² − x²
Daí podemos ver que A’ será 0 quando 2x² = r², ou seja, quando:
x=
r
2
e
y = r² −
r²
2
Esse valores de x dá um valor máximo de A, pois A(0) = 0 e A(r) = 0. Portanto a área
do maior retângulo inscrito é:
r
r²
 r 
A
r² − = r²
= 2
2
2
 2
Outra solução mais simples mais simples é obtida quando usamos um ângulo como
uma variável, como mostra a figura 19:
Figura 19
Seja θ o ângulo mostrado na figura acima. Logo, podemos escrever a área do retângulo
como:
A(θ ) = (2r cos θ )(r senθ )
O que resulta, que a área do retângulo é
A(θ ) = r ² sen2θ
54
Sabemos que sen 2θ pode assumir o valor máximo de 1, e que esse valor ocorre
quando 2θ = π/2. Assim, A(θ) tem um valor máximo de r², que ocorre quando θ = π/4.
Utilizamos aqui apenas conhecimentos de trigonometria, tornando assim, mais simples
a resolução do problema.
Aplicação 3.3
Um campo retangular à margem de um rio deve ser cercado, com exceção do lado ao
longo do rio. Se o custo do material for de R$. 12,00 por metro linear no lado paralelo ao rio e
de R$. 8,00 por metro linear nos dois extremos, ache o campo de maior área possível que
possa ser cercado com R$. 3.600,00 de material.
Solução:
Chamaremos de x o comprimento de cada extremidade do campo, e de y o
comprimento do lado paralelo ao rio. Contudo a área a ser cercada será A.
Veja a figura 20:
Figura 20
Assim sendo, temos que
A = xy.
(3.1)
Sabemos que o custo do material em cada extremidade é de R$. 8,00 por metro linear,
e que o comprimento de cada extremidade é x. Logo, o custo de cada uma das extremidades
da cerca será de R$. 8x. Da mesma forma, o custo da cerca para o lado paralelo ao rio será
R$. 12y. Então temos:
55
8x + 12y + 8x = 3.600
(3.2)
Obtendo y em função apenas de x, temos:
y=
3600 − 16 x
4
= 300 − x
12
3
(3.3)
Substituindo (3.3) em (3.1), obtemos:
4 

A( x) = x 300 − x 
3 

(3.4)
De (3.2), se y = 0, x = 225 e se x = 0, y = 300. Como ambos, x e y devem ser não
negativos, o valor de x que irá tornar A um máximo absoluto está no intervalo fechado [0,
225]. Como A é contínua em [0, 225], podemos afirmar pelo Teorema 2.1.1 que A terá um
máximo absoluto nesse intervalo. De (3.4) temos:
8
A' ( x) = 300 − x
3
Como A’(x) existe para todo x, podemos encontrar os pontos críticos de A, fazendo
A’(x) = 0. E obtemos:
x = 112,5
Sendo este o único número crítico de A que está no intervalo [0, 225]. Dessa forma, o
valor máximo absoluto deve ocorrer em 0, 112,5 ou 225. Como A(0) = 0 e A(225) = 0 e
A(112,5) = 16875, então tal valor ocorre em [0, 225] quando x = 112,5. Assim, y = 150.
Portanto, a maior área possível que poderá ser cercada com R$. 3.600,00 de material
será 16.875 m², o que é obtido quando as extremidades do terreno tiverem 112,5m cada um, e
o lado paralelo ao rio tiver 150 m.
Aplicação 3.4
56
Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelão medindo 16 por 30 cm,
destacando-se quadrados iguais dos cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos
quadrados para se obter uma caixa com o maior volume?
Solução:
Chamaremos de x o comprimento dos lados dos quadrados que serão cortados, e de V
o volume da caixa
Para a confecção da caixa é necessário que se retire quadrados de seus lados, e dessa
forma, cada lado do papelão terá dimensões (16 – 2x) por (30 -2x) por x. Observe a figura 21:
Figura 21
Sendo estas as dimensões da caixa, podemos afirmar que seu volume será:
V(x) = (16 – 2x).(30 – 2x) x = 480x – 92x² + 4x³
(3.5)
Porém, como a variável x está representando comprimento, não pode ser negativa, e
como a largura do papelão é de 16 cm, não se pode também cortar quadrados com lados
maiores que 8 cm de comprimento. Dessa forma, os valores de x estão restritos entre 0 e 8, e
então, reduzimos o problema a fim de encontrar o valor em x para os quais o volume (V) da
caixa é máximo.
Derivando a equação (3.5), temos:
V ' ( x) = 12x ² − 184x + 480
Devemos agora equacionar V’(x) = 0, para descobrir o(s) candidato(s) a extremos.
Fazendo isso, obtemos:
57
12 x² − 184 x + 480 = 4(3x ² − 46 x + 120)
3x ² − 46 x + 120 = 0
x=
10
e x = 12
3
Devemos nos lembrar que x = 12 está fora do intervalo e que portanto, o valor máximo
de V ocorre quando x = 10/3, ou em um dos extremos dos intervalo [0, 8]. Substituindo esses
valores de x em (3.5), obtemos o seguinte:
V(0) = 0, V(10/3) = 726 e V(8) = 0.
Observando esses valores, podemos ver que o maior volume ocorre quando x = 10/3.
Dessa forma, o volume será máximo se cortarmos quadrados com 10/3 cm de lado.
Aplicação 3.5
Quando uma pessoa tosse o raio da traquéia diminui, afetando a velocidade do ar na
traquéia. Se r0 é o raio normal da traquéia, a relação entre a velocidade v do ar e o raio da
traquéia é dada por uma função da forma v(r) = ar2(r0 – r), onde a é uma constante positiva.
Determine o raio r para o qual a velocidade do ar é máxima.
Solução:
Lembrando que o raio da traquéia contraída não pode ser menor que zero, nem maior
que r0, temos como objetivo encontrar o máximo absoluto de v(r) no intervalo 0 < r < r0.
Como a função v(r) já foi dada no problema, devemos primeiramente derivar esta
função e logo em seguida fatorar o resultado convenientemente. (Não esquecendo que a e r0
são constantes.)
v’(r) = -ar² + 2ar(r0 - r) = ar(2 r0 – 3r)
58
Utilizando o Teorema 2.1.2, igualamos a derivada à zero, e obtemos os pontos críticos
da função.
Assim:
ar(2 r0 – 3r) = 0, então r = 0, ou r = 2/3r0.
Os dois valores estão no intervalo 0 < r < r0, sendo que um deles é o extremo do
intervalo. Calcularemos então v(r) para os pontos críticos e também para o valor
correspondente ao outro extremo do intervalo, donde chegamos ao seguinte:
v(0) = 0
 2  4a
v r0 =
r0³
 3  27
v(r0) = 0
Analisando os resultados, podemos afirmar que a velocidade do ar é máxima quando o
raio da traquéia contraída é igual a 2/3 do raio normal da traquéia.
Aplicação 3.6
Um fabricante produz uma fita de vídeo virgem a um custo de R$. 2,00 a unidade. As
fitas vêm sendo vendidas a R$. 5,00 a unidade; por esse preço, são vendidas 4.000 fitas por
mês. O fabricante pretende aumentar o preço da fita e calcula que para cada R$.1,00 de
aumento no preço, menos 400 fitas serão vendidas por mês. Qual deve ser o preço de venda
das fitas para que o lucro do fabricante seja máximo?
Solução:
Chamaremos de x o novo preço de venda e P(x) o lucro correspondente. Nosso
objetivo é maximizar o lucro.
Sabendo que Lucro = (número de fitas vendidas)(lucro por fita)
(3.6)
59
Como 4.000 fitas são vendidas por mês quando o preço é R$. 5,00 e menos 400 fitas
são vendidas para cada R$. 1,00 de aumento no preço, temos:
Número de fitas vendidas por mês= 4.000 – 400 (número de aumentos de R$. 1,00)
(3.7)
O número de aumentos de R$. 1,00 no preço é a diferença entre o preço novo e o
antigo, logo: x – 5.
Portanto:
Número de fitas vendidas = 4.000 – 400 (x – 5), ou seja
Número de fitas vendidas = 400 (15 – x)
O lucro por fita vendida é a diferença entre o preço de venda e o custo, assim:
Lucro por fita = (x – 2)
(3.8)
Substituindo (3.7) e (3.8) em (3.6), teremos:
Lucro = P(x) = [400 (15 – x)] (x – 2), isto é
P(x) = -x² + 17x – 30
Queremos encontrar o máximo absoluto dessa função de lucro. Para isso precisamos
reconhecer o intervalo relevante para o problema.
Temos que x é o novo preço de venda, e sabemos que o novo preço de venda será
maior que o antigo, então, x > 5.
Temos também que o número de fitas vendidas é 400 (15 – x), que se torna negativo
para x > 15.
Podemos então restringir o problema ao intervalo 5 ≤ x ≤ 15.
60
Agora, determinaremos os pontos críticos, derivando a função lucro:
P’(x) = -2x + 17
Tal derivada anula-se em x = 8,5.
Vamos agora comparar os valores da função de lucro nos extremos do intervalo e no
ponto crítico:
P(5) = 12.000
P(8,5) = 16.900
P(15) = 0
Logo, podemos afirmar que o lucro máximo ocorre quando x = 8,5.
Então, o fabricante terá lucro máximo se as fitas forem vendidas a R$. 8,50,
totalizando um lucro de R$. 16.900,00. Como mostra a figura 22:
Figura 22
61
Aplicação 3.7
Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12.100m2. A prefeitura
exige que exista um espaço livre de 25m na frente, 20m atrás e 12m em cada lado. Encontre
as dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão.
Solução:
Figura 23
Observando a figura 23, e sabendo que a área de um retângulo é dada por
A = b.h
Onde b = base e h = altura, podemos perceber que:
A = 12.100m² = x . y.
Logo:
y=
12.100
x
A função que define a área do lote é
S = (x + 12 + 12) (y + 25 + 20)
(3.9)
62
ou seja,
S = (x + 24) (y + 45)
Substituindo o valor de y dado na equação 3.9, teremos:
S ( x) =
 12.100

( x + 24).
+ 45 
 x

Encontrada a função que queremos minimizar, iremos agora encontrar os pontos
críticos dessa função. Assim:
S ' ( x) =
45 x ² − 290.400
x²
Igualando S’(x) a zero, temos que:
x=
44 30
3
Este é o ponto crítico dessa função. Sabemos que S’(x) também se anula num ponto
negativo. Pela natureza do problema, consideraremos apenas x positivos.
Sabemos que este é um ponto crítico da função, mas não sabemos se ele é um ponto de
máximo ou de mínimo. Para descobrir, usaremos então Teorema 2.2.4.
Temos que:
580.800
e
x³
 44 30 
>0
S" 

3


S " ( x) =
Então, o Teorema 2.2.4 nos afirma que o ponto crítico encontrado é ponto de mínimo.
63
Portanto, fazendo
 44 30 
12.100
 ≅ 80,33 ⇒ y =
x = 
≅ 150,62

44 30
 3 
3
Logo, a área mínima será obtida quando as dimensões do lote forem:
x = 80,33m e y = 150,62m.
Aplicação 3.8
Uma empresa apurou que sua receita total (em dólares) com a venda de um produto
admite como modelo R = -x3 + 450x2 + 52.500x, onde x é o número de unidades produzidas
(e vendidas). Qual é o nível de produção que gera receita máxima?
Solução:
Figura 24
64
O gráfico acima mostra a função receita. Como ela já é dada em função de uma
variável, então precisamos apenas derivar tal função para que igualando sua derivada à zero,
obtenhamos os pontos críticos. Precisamos também nos preocupar com o domínio desta
função para este problema. Podemos afirmar que o domínio plausível é 0 < x <546, que pode
ser facilmente observado no gráfico acima posto que os valores de x devem ser sempre
positivos.
Derivando temos:
R' ( x) = −3x² + 900x + 52.500
Igualando a zero, obtemos:
− 3 x² + 900 x + 52.500 = 0
− 3( x − 350)( x + 50) = 0
Então, R’(x) = 0 para x = 350 ou x = -50.
Estes são os pontos críticos da função, mas x = -50 não faz parte do domínio restrito
para este problema. Logo, pelo gráfico da função, podemos afirmar que a receita será máxima
quando o nível de produção for de 350 unidades.
Aplicação 3.9
O produto de dois números positivos é 288. Minimize a soma do segundo número com
o dobro do primeiro.
Solução:
Chamaremos o primeiro número de x, o segundo de y e a soma que deve ser
minimizada de S.
65
Sabemos que:
S = 2x + y
Temos também que:
xy = 288
288
y=
x
Podemos agora escrever S como função de uma variável. Assim:
S = 2x +
288
x
Como os números são positivos, o domínio plausível é 0 < x.
Agora, que já temos uma função de uma variável, precisamos encontrar seus pontos
críticos. Para isso, derivamos e obtemos:
S ' ( x) = 2 −
288
x²
Igualando S’(x) à zero, temos:
288
=0
x²
x = ±12
2−
Observe agora o gráfico de S(x):
66
Figura 25
Tomando o valor positivo de x, podemos concluir com a ajuda do Teorema 2.2.1, e
observando o gráfico, que S é decrescente em (0, 12) e crescente em (12, ∞). Portanto,
podemos afirmar que x = 12 é ponto de mínimo da função.
Portanto, os números que minimizam a soma são:
x = 12 e
y=
288
= 24.
x
Aplicação 3.10
O departamento de estradas de rodagem está planejando construir uma área de
piquenique para motoristas, à beira de uma rodovia movimentada. O terreno deve ser
retangular, com área de 5.000 metros quadrados, e deve ser cercado nos três lados que não
dão para a rodovia. Qual o menor comprimento da cerca necessária para a obra?
Solução:
67
Figura 26
Seja C o comprimento total da cerca, e conforme podemos perceber através da figura
26, então
C = x + 2y
Como a área deve ser igual a 5.000m², temos:
x. y = 5000
ou
y=
5.000
x
Substituindo o valor de y em C, teremos:
10.000
 5000 
C ( x ) = x + 2.
= x +
x
 x 
Derivando C(x), obtemos:
C ' ( x) = 1 −
10.000
x²
Igualando C’(x) à zero, encontraremos os pontos críticos da função, que acontecem em
x = + 100. Assim:
1−
10.000
= 0 x ² = 10.000 ou
x²
x = ±100.
68
Porém, os únicos valores que nos interessam são os valores positivos (pela natureza do
problema). Temos então um único ponto crítico, que ocorre em x = 100. Mas não sabemos se
esse é um ponto de máximo ou de mínimo.
Usando então o Teorema 2.2.4, temos:
C" ( x) =
20.000
20.000
e C" (100) =
>0
x³
100³
Portanto, como C’(100) = 0 e C”(100) > 0, o Teorema 2.2.4 nos afirma que x = 100 é
ponto de mínimo.
Logo, o menor comprimento de cerca necessário é C(100) = 200 metros de cerca.
C”(x) = 20.000
69
CONCLUSÃO
Considerando todos os estudos feitos durante esse ano de pesquisa, podemos afirmar
que o Cálculo Diferencial e Integral está intimamente ligado aos acontecimentos mais simples
de nossa existência. Pode-se perceber que é ele o responsável por dar respostas à muitas de
nossas perguntas, e principalmente, que ele pode ser o responsável pela escolha correta e que
nos levará ao sucesso.
Afirmamos ao término dessa pesquisa que tivemos um grande desenvolvimento
durante a mesma, ampliando muito os conhecimentos a respeito dos valores extremos das
funções de uma variável real, fato que me auxiliará de forma significativa em atividades
posteriores.
Esperamos que esta pesquisa auxilie e sirva de estímulo para outros estudantes que
tenham a curiosidade de conhecer um pouco mais a Matemática, essa ciência que está
presente em tudo à nossa volta.
70
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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1994.
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BUENO, Francisco da Silveira. Minidicionário da Língua Portuguesa. 3ª edição. São
Paulo: FTD, 1997.
EDWARDS, Larson Hostetler. Cálculo com aplicações. 4ª edição. Rio de Janeiro: LTC,
1998.
FERREIRA, Aurélio Buarque de Holanda. Minidicionário Aurélio. 4ª edição. Rio de
Janeiro: Nova Fronteira, 2000.
FLEMMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limites,
derivação, integração. 5ª edição. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2006.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de Cálculo. 5ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
HOFFMANN, Laurence D. Cálculo – Um curso moderno e suas aplicações. 7ª edição. Rio
de Janeiro: LTC, 2002.
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. 3ªedição. São Paulo: Harbra,
1994.
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VERAS, Lilia Ladeira. Matemática aplicada à economia. 3ª edição. São Paulo: Atlas, 2006.