Capítulo 1
Números Complexos
1.1 Unidade Imaginária
O fato da equação
x2 + 1 = 0.
(1.1)
não ser satisfeita por nenhum número real levou à denição dos números complexos. Para
solucionar (1.1) denimos a unidade imaginária, denotada1 por i, como sendo o número
tal que
i2 = −1.
Obviamente este não é um número real, uma vez que seu quadrado é negativo.
1.2 Números complexos
Um número complexo z é um número da forma
z = x + iy.
(1.2)
Em (1.2) observamos que um número complexo é composto de duas partes: dizemos que x
é a parte real de z , e escrevemos Re(z) = x. Por outro lado, y é a parte imaginária de z , e
escrevemos Im(z) = y .
Exemplo 1.1 Dado o número complexo z = 3 + 2i, temos Re(z) = 3 e Im(z) = 2
Ainda em (1.2), se x = 0, dizemos que z é um número imaginário puro; por outro lado,
se y = 0 temos que z é um número real puro (ou simplesmente um número real).
1.3 O Plano Complexo
Os números complexos podem ser representados através de pontos em um plano cartesiano.
Este plano é denominado plano complexo, ou diagrama de Argand2 . No plano complexo grafamos a parte imaginária do número complexo sobre o eixo vertical (chamado eixo
imaginário) e a parte real sobre o eixo horizontal (chamado eixo real). A Figura 1.1
ilustra tal representação.
1 Em textos de Eletricidade a unidade imaginária é normalmente denotada pela letra j , uma vez que a
letra i é geralmente utilizada para representar correntes elétricas.
2 Jean Robert Argand (1768-1822), Matemático francês. Seu artigo sobre o plano complexo apareceu em
1806.
1
eixo imaginário
6
a z = a + bi
µ
¡
b
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
a
eixo real
Figura 1.1: O plano complexo.
Assim, cada número complexo z = a + bi está associado biunivocamente3 ao ponto
(a, b) do plano complexo. Por esta razão, uma outra maneira de se denotar um número
complexo z = x + iy é através de um par ordenado (x, y), onde ca implícito que a primeira
componente é a parte real real do número complexo e a segunda componente é sua parte
imaginária. Também é comum associarmos cada número complexo a um vetor do R2 .
Exemplo 1.2 O número complexo z = 3 + 2i pode ser escrito como z = (3, 2).
1.4 Conjugado de um Número Complexo
Dado z = x + iy , seu conjugado, denotado z , é dado por z = x − iy . Ou seja, conjuga-se
um número complexo simplesmente mudando o sinal de sua parte imaginária. No plano
complexo um número e seu conjugado são simétricos em relação ao eixo real (Figura 1.2).
eixo imaginário
6
a z = a + bi
¡
b
¡
¡
¡
¡
@
a
-
eixo real
@
@
−b
@
@a z = a − bi
Figura 1.2: O conjugado de um número complexo.
3 A cada número complexo está associado um único ponto do plano, e a cada ponto do plano está associado
um único número complexo. Lembre-se que em coordenadas polares tal associação não é biunívoca, uma
vez que um dado ponto do plano possui innitas coordenadas polares.
2
1.5 Operações com Números Complexos
Considerando os números complexos z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2 , temos:
• Igualdade4 : dizemos que z1 = z2 se suas respectivas partes real e imaginária são
iguais, ou seja, se x1 = x2 e y1 = y2 .
• Adição: a soma z1 + z2 é obtida pelas somas das respectivas partes real e imaginária,
ou seja
z1 + z2 = (x1 + x2 ) + i(y1 + y2 ).
• Subtração: de modo análogo à adição, temos
z1 − z2 = (x1 − x2 ) + i(y1 − y2 ).
• Multiplicação: aplicamos a distributividade e agrupamos as partes real e imaginária
(lembrar que i2 = −1)
z1 z2
= (x1 + iy1 )(x2 + iy2 )
= x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y1
= (x1 x2 − y1 y2 ) + i(x1 y2 + x2 y1 )
• Divisão: a razão zz21 é obtida multiplicando-se o numerador e o denominador pelo
conjugado do denominador5 , isto é
z1
z2
=
=
=
=
z1 z2
z2 z2
(x1 + iy1 )(x2 − iy2 )
(x2 + iy2 )(x2 − iy2 )
(x1 x2 + y1 y2 ) + i(x2 y1 − x1 y2 )
x22 + y22
x2 y1 − x1 y2
x1 x2 + y1 y2
+i
2
2
x2 + y2
x22 + y22
(1.3)
Evidentemente não é necessário memorizar a fórmula em (1.3); a razão deve ser obtida
simplesmente multiplicando-se o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador e simplicando-se ao máximo o resultado.
Exemplo 1.3 Dados z1 = 3 + 2i e z2 = 4 − i, temos
(a) z1 + z2 = (3 + 2i) + (4 − i) = 7 + i
(b) z1 − z2 = (3 + 2i) − (4 − i) = −1 + 3i
(c) z1 z2 = (3 + 2i)(4 − i) = 12 − 3i + 8i − 2i2 = 14 + 5i
(d)
z1
z2
=
3+2i
4−i
=
(3+2i)(4+i)
(4−i)(4+i)
=
12+3i+8i+2i2
16−i2
=
10
17
+ i 11
17
4 Atenção: para números complexos não se dene relações de ordem, ou seja, desigualdades do tipo z < z
1
2
ou z1 ≥ z2 não possuem qualquer signicado.
5 A prova deste resultado será deixada a cargo do leitor.
3
1.6 Propriedades
Dados z1 , z2 e z3 , temos
• comutatividade
• associatividade
• distributividade
z1 + z2 = z2 + z1
(1.4)
z1 z2 = z2 z1
(1.5)
(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 )
(1.6)
(z1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 )
(1.7)
z1 (z2 + z3 ) = z1 z2 + z1 z3
(1.8)
Estas leis seguem imediatamente das correspondentes leis para números reais e das operações
algébricas denidas anteriormente para os números complexos.
1.7 Problemas Propostos
(1) Sejam z1 = 5 + 2i e z2 = 1 + 3i. Reduza cada expressão a seguir à forma a + ib
(g) (z1 + z2 )2
(a) z1 + z2
(d) (2 − 4i)z1
(b) z1 − z2
(e)
z2
z1
(h)
(c) z1 z2
(f) z12
(i)
z1
z2
( zz21 )2
(10) Reduza cada expressão a seguir a forma a + ib
(a) (1 + i)2
1+i 2
(b) ( 1−i
)
1+i 2
2
(c) ( 1−i
) − ( 1−i
1+i )
(4) Resolva as equações
(a) z 2 + 9 = 0
(c) z 2 + 2z + 5 = 0
(b) z 2 − 2z + 2 = 0
(d) z 2 + z + 9 = 0
(5) Prove que
(a) o conjugado da soma é a soma dos conjugados, isto é (z1 + z2 ) = z1 + z2 .
(b) o conjugado da diferença é a diferença dos conjugados, isto é (z1 − z2 ) = z1 − z2 .
(c) o conjugado do produto é o produto dos conjugados, isto é (z1 z2 ) = z1 z2 .
(d) o conjugado da razão é a razão dos conjugados, isto é
(z1
z2 )
=
z1
z2 .
(6) Represente os números z1 = 2 + 4i, z2 = 2 − 4i, z1 = −2 + 4i e z1 = −2 − 4i no plano
complexo.
(7) Calcule
(a) 1i
(b) i3
(c) i4
(d) i5
(e)
(f)
(g)
(h)
i6
i7
i8
i9
(i)
(j)
(k)
(l)
4
i26
i31
i54
i87
(13) Seja z = x + iy . Determine
(a) Re( z1 )
(b) Im( z1 )
(c) Im(z 3 )
(d) Im( z12 )
(e) Re(z 2 + z)
(f) Re(−iz 2 )
(g) Im(4iz 2 −6z +
8i)
1
(h) Re( z−i
)
(9) Prove o resultado em (1.3). Sugestão: faça
resultante em termos de u e v .
z1
z2
= z , onde z = u + iv e resolva a equação
1.8 Valor Absoluto ou Módulo
Dado o número complexo z = x + iy , seu valor absoluto (ou módulo), denotado |z| ou r, é
dado por
p
|z| = r = x2 + y 2
(1.9)
Geometricamente o valor absoluto de um número complexo nos dá a distância do ponto que
o representa à origem do plano complexo (Aplique o Teorema de Pitágoras na Figura 1.3).
É interessante observar que:
• o módulo de um número complexo é igual ao módulo de seu conjugado:
|z| = |z|;
(1.10)
• o produto de um número complexo pelo seu conjugado é igual ao quadrado de seu
módulo:
zz = |z|2 .
(1.11)
As provas destes resultados são imediatas e cam como exercício para o leitor.
1.9 Forma Polar
Introduzindo as coordenadas polares r e θ no plano complexo (Figura 1.3), de modo que
x = rcos(θ) e y = rsen(θ),
o número z = x + iy pode ser reescrito como
z = rcos(θ) + irsen(θ) = r[cos(θ) + isen(θ)]
(1.12)
chamada forma polar ou trigonométrica de um número complexo.
Em (1.12) o valor r é o valor absoluto de z , enquanto o ângulo θ é o argumento de z .
Denota-se arg(z) = θ. Geometricamente, o argumento é o ângulo formado pelo semi-eixo
real positivo e pelo segmento de reta que representa r, e pode ser obtido pela expressão
µ ¶
y
, x 6= 0, y 6= 0.
(1.13)
θ = arctg
x
Evidentemente o argumento de um número complexo é denido a menos de múltiplos
inteiros de 2π , no sentido que, se arg(z) = α, então arg(z) = α + 2kπ , k ∈ Z.
Se a parte real x ou a parte imaginária y de um número complexo z = x + iy for nula, a
determinação de sua fase torna-se um pouco mais sutil. Vejamos as possibilidades
(a) Se x = 0 nosso número complexo é da forma z = 0 + iy = iy , ou seja é um número
imaginário puro e o ponto que o representa está sobre o eixo imaginário. O valor de
sua fase depende do sinal da parte imaginária y :
5
eixo imaginário
6
a z = x + iy = r [cos(θ) + isen(θ)]
µ
¡
y
¡
¡
r ¡
....¡
.
¡ ........
...
¡
...
...
.
¡ θ
x
eixo real
Figura 1.3: A forma polar.
(i) se y > 0, então arg(z) = θ = π2 (veja o número z1 na Figura 1.4);
(ii) se y < 0, então arg(z) = θ = − π2 (veja o número z2 na Figura 1.4).
(b) Se y = 0 nosso número complexo é da forma z = x + i0 = x, ou seja é um número real
puro e o ponto que o representa está sobre o eixo real. O valor de sua fase depende do
sinal da parte real x:
(i) se x > 0, então arg(z) = θ = 0 (veja o número z3 na Figura 1.4);
(ii) se x < 0, então arg(z) = θ = −π (veja o número z4 na Figura 1.4).
eixo imaginário
6
b z1 = i, θ =
π
2
zb 4 = −7, θ = π
zb 3 = 4, θ = 0
- eixo real
b z2 = −2i, θ = − π
2
Figura 1.4: Alguns números complexos e seus respectivos argumentos.
Agrupando estes resultados com a equação (1.13), a fase de um número complexo z =
x + iy é dada por:

¡y¢
, se x 6= 0 e y 6= 0

x
 arctg

π

, se x = 0 e y > 0

2
, se x = 0 e y < 0 .
− π2
(1.14)
θ=


0
,
se
y
=
0
e
x
>
0



π
, se y = 0 e x < 0
√
Exemplo 1.4 Dado z = 1 + i, temos |z| = 2 e arg(z) = arctg 11 = π4 + 2kπ , onde k ∈ Z.
Assim
¶
µ
¶¸
· µ
√
π
π
± 2kπ + isen
+ 2kπ , k ∈ Z,
z = 1 + i = 2 cos
4
4
ou simplesmente
µ ¶¸
· µ ¶
√
π
π
z = 1 + i = 2 cos
+ isen
.
4
4
6
Multiplicação e divisão
A forma polar é particularmente útil para a multiplicação e divisão dos números complexos.
Consideremos os números
£
¤
£
¤
z1 = x1 + iy1 = r1 cos(θ1 ) + isen(θ1 ) e z2 = x2 + iy2 = r2 cos(θ2 ) + isen(θ2 ) .
• O produto z1 z2 ca
z1 z2
=
r1 cos(θ1 ) + isen(θ1 ) r2 cos(θ2 ) + isen(θ2 )
=
r1 r2 cos(θ1 ) + isen(θ1 )
=
r1 r2 cos(θ1 )cos(θ2 ) + icos(θ1 )sen(θ2 ) + isen(θ1 )cos(θ2 ) − sen(θ1 )sen(θ2 )
=
r1 r2
cos(θ2 ) + isen(θ2 )
cos(θ1 )cos(θ2 ) − sen(θ1 )sen(θ2 ) + i cos(θ1 )sen(θ2 ) + sen(θ1 )cos(θ2 ) ,
e nalmente, utilizando as identidades trigonométricas
cos(θ1 + θ2 ) = cos(θ1 )cos(θ2 ) − sen(θ1 )sen(θ2 )
sen(θ1 + θ2 ) = cos(θ1 )sen(θ2 ) + sen(θ1 )cos(θ2 ),
obtemos
£
¤
z1 z2 = r1 r2 cos(θ1 + θ2 ) + isen(θ1 + θ2 )
(1.15)
A partir de (1.15), observamos que o módulo do produto é o produto dos módulos, ou
seja,
|z1 z2 | = r1 r2 = |z1 ||z2 |,
e que o argumento do produto é a soma dos argumentos, ou seja,
arg(z1 z2 ) = θ1 + θ2 = arg(z1 ) + arg(z2 ).
z1
z2
• A razão
z1 z 2
z2 z 2
=
=
=
ca
r1 r2 cos(θ1 ) + isen(θ1 ) cos(θ2 ) − isen(θ2 )
r22
r1 cos(θ1 )cos(θ2 ) − icos(θ1 )sen(θ2 ) + isen(θ1 )cos(θ2 ) + sen(θ1 )sen(θ2 )
r2
r1 r2
cos(θ1 )cos(θ2 ) + sen(θ1 )sen(θ2 ) + i sen(θ1 )cos(θ2 ) − cos(θ1 )sen(θ2 ) ,
e nalmente, utilizando as identidades trigonométricas
cos(θ1 − θ2 ) = cos(θ1 )cos(θ2 ) + sen(θ1 )sen(θ2 )
sen(θ1 − θ2 ) = sen(θ1 )cos(θ2 ) − cos(θ1 )sen(θ2 ),
obtemos
r1
z1
= [cos(θ1 − θ2 ) + isen(θ1 − θ2 )
z2
r2
(1.16)
A partir de (1.16), observamos que o módulo da razão é a razão dos módulos, ou seja,
|
z1
|z1 |
|=
,
z2
|z2 |
e que o argumento da razão é a diferença dos argumentos, ou seja,
arg(
z1
) = arg(z1 ) − arg(z2 ).
z2
7
Potências
Utilizando (1.15) e indução matemática, observamos que
z n = rn [cos(nθ) + isen(nθ)],
(1.17)
expressão válida para todo n ∈ Z. A partir de (1.17) podemos escrever
©
ªn
r[cos(θ) + isen(θ)] = rn [cos(nθ) + isen(nθ)]
da qual, fazendo r = 1, obtemos a fórmula de de Moivre 6
[cos(θ) + isen(θ)]n = cos(nθ) + isen(nθ)
(1.18)
1.10 Problemas Propostos
(1) Prove as equações 1.10 e 1.11.
(2) Escreva os seguintes números complexos na forma polar
(a) 2 − 2i
(b) i
(c) 3 + 4i
(d) 5 + 5i
(e) −5 + 5i
(f) −5 − 5i
(7) Dados os números z1 = 1 + i, z2 = 1 − i e z3 = −2i, efetue as operações a seguir e
represente os resultados no plano complexo.
(a)
z1
z2 z3
(b)
z18
z24
(c)
z3
z1 +z3
(4) Mostre que arg(z) = −arg(z) (a menos de múltiplos inteiros de 2π ).
(5) Mostre que arg(1/z) = −arg(z) (a menos de múltiplos inteiros de 2π ).
(6) Encontre o valor absoluto dos seguintes números
√
√
(a) 1 + 3i
(c) 2 + i 5
√
(b) −9i
(d) 2 − i 5
(e) 2 + 3i
(f) (4 + i)3
(7) Encontre o valor absoluto e o argumento dos seguintes números
√
1+i 8
√
) .
(a) (−1 + i)(1 − 3i)
(e) ( 1−i
(c) (3+3i)(−2i)
2− 3i
(b)
1+i
√
2+ 3i
(d)
(4−3i)( 12 +i)4
.
2
(1− 3i
4 ) (−3+4i)
(f) (3 + 4i)3 (−1 − i)6 .
(8) Represente no plano complexo a região representada pelas seguintes equações e inequações
(a) |z| = 1.
(b) |z − 1| = 1.
(c) Re(z 2 ) = −1.
(d) Im(2z) = −1.
(e)
π
4
≤ arg(z) ≤
π
4.
(9) Utilize a fórmula de de Moivre para estabelecer as seguintes identidades
(a) cos(3θ) = cos3 (θ) − 3cos(θ)sen2 (θ).
(b) sen(3θ) = 3cos2 (θ)sen(θ) − sen3 (θ).
(10) Encontre identidades similares às do problema anterior para cos(2θ) e cos(4θ).
6 Abraham de Moivre (1667-1754) - Matemático francês.
trigonometria.
8
Introduziu quantidades imaginárias na
Capítulo 2
Funções complexas
2.1 Problemas Propostos
(1) Dada f (z) = z 2 − 3z determine
(a) f (2 − i)
(2) Dada f (z) =
z−1
z+i
z 2 −1
z 2 +1
(c) f (−4 + 2i)
(b) f (−i)
(c) f (−4 + 2i)
(b) f (−i)
(c) f (−4 + 2i)
determine
(a) f (2 − i)
(3) Dada f (z) =
(b) f (−i)
determine
(a) f (2 − i)
(4) Determine as partes real e imaginária das funções a seguir
(a) f (z) = z 2 − 3z + 4 − i
(d) f (z) =
(b) f (z) = 3z 2 − 2z
(e) f (z) =
(c) f (z) = z 3 − z 2
(f) f (z) =
1
z−1
z
z+1
z−1
z+1
(5) Suponha que z varie em uma região R do plano complexo. Determine a região S correspondente às imagens de w = f (z). Esboce as duas regiões sobre o plano complexo.
©
ª
(a) f (z) = iz , onde R = z ∈ C | Re[z] ≥ 0
©
ª
(b) f (z) = 3z − 1, onde R = z ∈ C | − 1 < Re[z] < 1
©
ª
(c) f (z) = z 2 , onde R = z ∈ C | 0 ≤ arg[z] ≤ π/4, |z| ≤ 1
©
ª
(d) f (z) = z 2 , onde R = z ∈ C | 0 ≤ arg[z] ≤ π/2, 1 ≤ |z| ≤ 2
(6) Determine todos os valores das raízes a seguir e represente-as no plano complexo.
(a)
√
i
√
3
(b) −1
√
(c) −i
(d)
√
(g)
−25
√
3
(e) i
√
(f) 4 1
(h)
(i)
√
3
√
8
√
7
−i
1
−128
(j)
√
1+i
√
3
(k) 1 + i
p
√
(l)
1 − 3i
(7) Determine todos as soluções das equações a seguir e represente-as no plano complexo.
9
(a) z 4 + 81 = 0
(c) z 2 − 6z + 13 = 0
(e) z 6 − 7z 3 − 8 = 0
(b) z 3 − 64 = 0
(d) z 4 + 5z 2 − 36 = 0
(f) z 4 −(1−4i)z 2 +4i = 0
2.2 A derivada de uma função complexa
Dizemos que f é diferenciável (derivável) em z se existir o limite
f (z + ∆z) − f (z)
.
∆z→0
∆z
f 0 (z) = lim
(2.1)
Exemplo 2.1 Usando a denição (2.1) a derivada da função complexa f (z) = z 2 ca
(z + ∆z)2 − z 2
∆z→0
∆z
z 2 + 2z∆z + (∆z)2 − z 2
= lim
∆z→0
∆z
2z∆z + (∆z)2
= lim
= 2z
∆z→0
∆z
∆Z(2z + ∆z)
= lim
= 2z.
∆z→0
∆z
f 0 (z) = lim
É importante observar que ∆z pode tender a zero por qualquer caminho (Figura 2.1); logo
a existência da derivada em (2.1) implica que o valor deste limite é o mesmo, independente
do caminho tomado.
Im
y + ∆y 6
y
............................
......
.
.....
..........r
.
.
.
......... ....
..
...... ...... ....
.
...
.
.
.
.
.
.
. .
..
.....
... ....
... ........
...
.
.
..
...
..
... .........
.
.
.
.
..
.. ..
...
..
.
.
.
.... .....
.
..
. .
...
.. ...
..
...
.. ...
..
...
.
.
.... .....
.
.
...
...
. .
...
.. ...
....
.. ...
....
....
.
.
.
.
.
.
........
.
.
.
.....
..
.......
.......
.....
.........
..r..............................................................
z + ∆z = (x + ∆x) + i(y + ∆y)
z = x + iy
x
x + ∆x
Re
Figura 2.1: ∆z → 0 por vários caminhos diferentes.
Observação: todas as regras familiares de derivação - derivada de uma constante, derivada
da soma (diferença), regra da potência, regra do produto, regra do quociente e regra da
cadeia - são válidas para a derivação das funções complexas.
Por outro lado algumas funções complexas relativamente simples não são deriváveis. O
Exemplo 2.2 ilustra uma função não derivável
Exemplo 2.2 Usando a denição (2.1) a derivada da função complexa f (z) = z = x − iy
ca
f 0 (z) =
∆x − i∆y
(x + ∆x) − i(y + ∆y) − (x − iy)
= lim
∆x,∆y→0 ∆x + i∆y
∆x,∆y→0
∆x + i∆y
lim
Pelo caminho I da Figura 2.2 inicialmente ∆y → 0 e a derivada da equação (2.2) ca
f 0 (z) = lim
∆x→0
10
∆x
= 1.
∆x
(2.2)
Pelo caminho II da Figura 2.2 inicialmente ∆x → 0 e a derivada da equação (2.2) ca
−i∆y
= −1.
∆y→0 i∆y
f 0 (z) = lim
Logo, como o limite por caminhos diferentes resulta em valores diferentes a derivada não
existe.
Im
y + ∆y 6
r z + ∆z = (x + ∆x) + i(y + ∆y)
II¾
?
r¾
y
z = x + iy
?I
x
x + ∆x
Re
Figura 2.2: ∆z → 0 por dois caminhos poligonais.
2.3 Equações de Cauchy-Riemann
Um conceito importante na teoria das funções complexas é o de analiticidade.
Denição 1 (Analiticidade) Um função complexa f é dita analítica em um domínio D
se ela é denida e diferenciável em cada ponto deste domínio.
Estabeleceremos agora um critério simples para vericar se uma dada função complexa
f (z) = u(x, y) + iv(x, y) é analítica, isto é, se possui derivada. Inicialmente supomos que
nossa função f é analítica em um certo domínio D, logo sua derivada
f 0 (z) = lim
∆z→0
f (z + ∆z) − f (z)
∆z
existe para todos os pontos em D. Reescrevendo esta derivada usando as partes real e
imaginária de f obtemos
f 0 (z) =
lim
∆x,∆y→0
u(x + ∆x, y + ∆y) + iv(x + ∆x, y + ∆y) − u(x, y) − iv(x, v)
.
∆x + i∆y
(2.3)
Pelo caminho I da Figura 2.2 inicialmente ∆y → 0 e a derivada dada pela equação (2.3) ca
u(x + ∆x, y) + iv(x + ∆x, y) − u(x, y) − iv(x, v)
∆x
u(x + ∆x, y) − u(x, y)
v(x + ∆x, y) − v(x, v)
= lim
+i
∆x→0
∆x
∆x
∂v
∂u
+i .
=
∂x
∂x
f 0 (z) =
lim
∆x→0
11
(2.4a)
Pelo caminho II da Figura 2.2 inicialmente ∆x → 0 e a derivada dada pela equação (2.3)
ca
f 0 (z) =
=
=
u(x, y + ∆y) + iv(x, y + ∆y) − u(x, y) − iv(x, v)
∆y→0
i∆y
u(x, y + ∆y) − u(x, y)
v(x, y + ∆y) − v(x, v)
lim
+i
∆y→0
i∆y
i∆y
∂u
∂v
−i .
∂y
∂y
lim
(2.4b)
Pela hipótese de f ser analítica f 0 existe e é única, independente do caminho tomado, logo
os resultados dados pelas equações (2.4a) e (2.4b) são iguais. Igualando as partes real e
imaginária de (2.4a) e (2.4b) obtemos
∂v
∂u
=
∂x
∂y
e
∂v
∂u
=−
∂x
∂y
e
vx = −uy
ou, usando uma notação mais econômica,
ux = vy
(2.5)
chamadas equações diferenciais de Cauchy-Riemann. Observe que o raciocínio que
acabamos de desenvolver nos mostra que as partes real e imaginária de uma função complexa
f (z) = u(x, y)+iv(x, y) satisfazem as equações de Cauchy-Riemann em todos os pontos onde
f é analítica.
A grande importância das equações de Cauchy-Riemann é no sentido recíproco: elas nos
fornecem um critério simples sobre as partes real e imaginária de uma função complexa para
vericar sua analiticidade. Este fato é formalizado no Teorema 2.
Teorema 2 Para todos os pontos onde as funções reais u = u(x, y) e v = v(x, y) possuem
derivadas parciais de primeira ordem contínuas e satisfazem as equações de Cauchy-Riemann
a função complexa f (z) = u(x, y) + iv(x, y) é analítica.
Exemplo 2.3 Vericar a analiticidade da função complexa f (z) = z 2 .
Decompondo f em suas partes real e imaginária obtemos f (z) = z 2 = x2 − y 2 + 2ixy ,
logo u(x, y) = x2 − y 2 e v(x, y) = 2xy . Assim temos:
e
ux = 2x
vx = 2y
e
vy = 2x,
uy = −2y.
Uma vez que as derivadas parcias ux , vy , vx e uy são contínuas para todo ponto (x, y) ∈ R2
e também satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, ux = vy e vx = −uy , a função
f (z) = z 2 é analítica para todo z ∈ C.
Exemplo 2.4 Vericar a analiticidade da função complexa f (z) = z = x − iy .
Como u(x, y) = x e v(x, y) = −y , temos:
ux = 1
e
vy = −1.
Uma vez que ux 6= vy todo ponto (x, y) ∈ R2 a função f (z) = z não é analítica para todo
z ∈ C.
2.3.1 Equações de Cauchy-Riemann - Forma Polar
Seja f (z) = u(x, y) + iv(x, y) analítica, onde x = r cos(θ) e y = r sen(θ). Usando a regra da
cadeia obtemos
∂u
∂u ∂x ∂u ∂y
∂u
∂u
=
+
=−
r sen(θ) +
r cos(θ)
∂θ
∂x ∂θ
∂y ∂θ
∂x
∂y
12
(2.6a)
∂v
∂v ∂x ∂v ∂y
∂v
∂v
=
+
=−
r sen(θ) +
r cos(θ)
∂θ
∂x ∂θ
∂y ∂θ
∂x
∂y
(2.6b)
∂u
∂u ∂x ∂u ∂y
∂u
∂u
=
+
=
cos(θ) +
sen(θ)
∂r
∂x ∂r
∂y ∂r
∂x
∂y
(2.6c)
∂v
∂v ∂x ∂v ∂y
∂v
∂v
=
+
=
cos(θ) +
sen(θ)
∂r
∂x ∂r
∂y ∂r
∂x
∂y
(2.6d)
Fazendo (2.6a) + r(2.6d) obtemos
∂v
∂u
+r
∂θ
∂r
∂u
∂u
∂v
∂v
r sen(θ) +
r cos(θ) +
r cos(θ) +
r sen(θ)
∂x
∂y
∂x
∂y
·
¸
·
¸
∂u ∂v
∂u ∂v
= r sen(θ) −
+
+ r cos(θ)
+
= 0,
∂x ∂y
∂y
∂x
= −
pois ux = vy e vx = −uy . Logo
1 ∂u
∂v
=−
∂r
r ∂θ
∴
1
vr = − u θ .
r
(2.6e)
Fazendo (2.6b) - r(2.6c) obtemos
∂v
∂u
−r
∂θ
∂r
∂v
∂v
∂u
∂u
r sen(θ) +
r cos(θ) −
r cos(θ) −
r sen(θ)
∂x
∂y
∂x
∂y
·
¸
·
¸
∂v
∂u
∂v
∂u
= r sen(θ) −
−
+ r cos(θ)
−
= 0,
∂x ∂y
∂y ∂x
= −
pois ux = vy e vx = −uy . Logo
∂u
1 ∂v
=
∂r
r ∂θ
∴
ur =
1
vθ .
r
(2.6f)
As equações (2.6e) e (2.6f) são as Equações de Cauchy-Riemann na forma polar.
Exemplo 2.5 Vericar a analiticidade da função complexa
f (z) = z 6 .
£
¤
Reescrevendo f na forma polar obtemos f (z) = r6 cos(6θ) + isen(6θ) , onde r = |z| e
θ = Arg(z). Temos u(r, θ) = r6 cos(6θ) e v(r, θ) = r6 sen(6θ), donde:
ur = 6r5 cos(6θ)
uθ = −6r6 sen(6θ)
e
e
vθ = 6r6 cos(6θ),
vr = 6r5 sen(6θ).
Uma vez que as derivadas parcias ur , vθ , uθ e vr são contínuas para todo ponto (r, θ) ∈ R2
e também satisfazem as equações de Cauchy-Riemann, ur = 1r vθ e vr = − 1r uθ , a função
f (z) = z 6 é analítica para todo z ∈ C.
2.4 Funções harmônicas
Denição 3 (Laplaciano) Seja u = u(x, y) uma função real com derivadas parciais de
segunda ordem contínuas. Dene-se seu laplaciano, denotado ∇2 u, como
∇2 u =
∂2u ∂2u
+ 2 = uxx + uyy .
∂x2
∂y
(2.7)
Teorema 4 As partes real e imaginária de uma função complexa f (z) = u(x, y) + iv(x, y)
analítica em um domínio D têm laplaciano nulo em D, isto é, se f é analítica, então
∇2 u = uxx + uyy = 0
e
13
∇2 v = vxx + vyy = 0 .
Prova: pelas equações de Cauchy-Riemann temos
logo
ux = vy
∴
uxx = vyx ,
uy = −vx
∴
uyy = −vxy ,
∇2 u = uxx + uyy = vyx − vxy = 0
pela igualdade das derivadas parciais mistas. A prova para v é análoga.
Denição 5 Uma função u = u(x, y) é dita harmônica se ∇2 u = 0.
Observe que pelo Teorema 4 as partes real e imaginária de uma função complexa f (z) =
u(x, y) + iv(x, y) analítica são funções harmônicas. Neste caso dizemos que v = v(x, y) é a
função harmônica conjugada1 de u = u(x, y).
Dada uma função harmônica podemos encontrar sua conjugada utilizando as equações
de Cauchy-Riemann. o Exemplo 2.6 ilustra este processo.
Exemplo 2.6 Consideremos a função u(x, y) = x2 − y 2 + 1.
(a) Verique se u é harmônica.
ux = 2x
∴
logo
uxx = 2
;
uy = −2y
∴
uyy = −2
∇2 u = uxx + uyy = 2 − 2 = 0.
Assim, como ∇2 u = 0, temos que u é harmônica.
(b) Determine sua harmônica conjugada v = v(x, y).
Como ux = vy temos que vy = 2x, donde
Z
v(x, y) =
2x ∂y = 2xy + H(x).
Por outro lado vx = −uy , donde
2y + H 0 (x) = −(−2y)
∴
H 0 (x) = 0
∴
H(x) = c.
Assim v(x, y) = 2xy + c.
2.5 Problemas Propostos - Derivadas de funções complexas
(1) Calcule a derivada da função
(a) f (z) = z 3 +8z 2 −4z+2
(b) f (z) = z 4 − z 2 + 3 − i
(c) f (z) = (z 2 − 3z)3
√
(d) f (z) = z 2 − z + 3i
(e) f (z) =
1
1−z
(f) f (z) =
z 2 −1
z 2 +1
(2) Determine a derivada da função no ponto zo
1 O termo conjugada empregado aqui não tem nhenhuma relação com o conjugado de um número complexo
14
(a) f (z) = 3iz 2 + 8z + 4i, zo = 1 + 2i
(c) f (z) =
1
1−z ,
zo = 1
(b) f (z) = (z 2 − i)2 , zo = 3 − 2i
(d) f (z) =
z−1
z+1 ,
zo = 2 − 4i
(3) Para cada função a seguir calcule a derivada usando (2.4a) e também usando (2.4b).
Verique se os resultados coincidem.
(a) f (z) = 3z + 2i
(b) f (z) = z +
1
z
(c) f (z) = z 3 − 32 + z
(d) f (z) =
(e) f (z) =
1
1−z
z+1
z−1
(f) f (z) = (z 2 + 3z)2
(4) Verique quais funções são analíticas
(a) f (z) = z 2 + 2Re[z]
(b) f (z) =
1
1−z ,
(d) f (z) = |z|2
(e) f (z) = Im[z] + z 2
£
¤
(f) f (z) = ex cos(y) + isen(y)
z 6= 1
(c) f (z) = z + z
(5) Determine uma função analítica f (z) = u(x, y) + iv(x, y) para a qual
(a) u(x, y) = x
(c) v(x, y) = xy
(e) u(x, y) = 2x3 − 6xy 2
(b) v(x, y) = y
(d) u(x, y) = xy
(f) u(x, y) = ex cos(y)
(6) Mostre que cada função a seguir é harmônica e determine a função analítica f (z) =
u(x, y) + iv(x, y) correspondente
(a) v(x, y) = 2xy + 2y
(b) u(x, y) = ln(x2 + y 2 )
(c) v(x, y) = cos(x)senh(y)
(7) Mostre que as funções são analíticas (sugestão: use a forma polar das Equações de
Cauchy-Riemann)
(a) f (z) = z 4
(b) f (z) =
1
z4 ,
z 6= 0
(c) f (z) = ln(r) + iθ
(8) Para quais valores da constante k a função u(x, y) = sen(x)cos(ky) é harmônica? Para
cada um destes valores determine uma função complexa analítica tal que
f (z) = u(x, y) + iv(x, y).
15
Capítulo 3
Função exponencial complexa
3.1 Problemas Propostos
(1) Use as Equações de Cauchy-Riemann para mostrar que a função exponencial complexa
f (z) = ez é analítica para todo z ∈ C.
(2) Calcule ez para
(a) z = i π4
(b) z =
(c) z = i 3π
4
−i π4
(d) z =
(e) z = −i π3
i π3
(f) z =
(g) z = 1 + i
2+iπ
4
(h) z = 2 + i5π
(3) Determine as partes real e imaginária da função
(a) f (z) = e3z
(b) f (z) = ez
2
(c) f (z) = ez
3
(d) f (z) = ee
z
(4) Mostre que ez e ez são conjugadas.
(5) Escreva cada número complexo a seguir na forma exponencial
£
¤
z = r cos(θ) + isen(θ) = reiθ .
(a) z = i
(c) z =
(b) z = −i
(d) z =
√
√
i
(e) z = 1 + i
−i
(f) z = 1 − i
√
(g) z = 2 + i 3
√
(h) z = −2 + i 2
£
¤
(6) Mostre que f (z) = f (x + iy) = ex cos(ky) + isen(ky) é analítica se somente se k = 1.
(7) Verique se a função é harmônica. Caso seja determine sua conjugada.
(a) u(x, y) = 2ex cos(y)
(b) u(x, y) = e
x2 − y 2
2
cos(xy)
¶
µ
x2 − y 2
xy
(c) u(x, y) = e cos
2
16