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UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA PARA INTRODUÇÃO DA
TRIGONOMETRIA NO ENSINO MÉDIO
Marlizete Franco da Silva
Maria Clara Rezende Frota
PUC Minas
Belo Horizonte- 2011
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LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Organização das atividades em grupos....................................................13
Quadro 2: Implementação da sequência de atividades.............................................71
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SUMÁRIO
1INTRODUÇÃO...........................................................................................................5
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA................................................................................5
3 ORGANIZAÇÃO DA SEQUÊNCIA.........................................................................11
4 DESCRIÇÃO DOS BLOCOS E DAS ATIVIDADES...............................................13
4.1 Bloco 1: Atividades Preparatórias....................................................................15
4.1.1 Atividade A: Investigando propriedades de polígonos de três lados.......15
4.1.2 Atividade B: Explorando a planta baixa de uma casa.................................18
4.2 Bloco 2: Semelhança de triângulos e trigonometria no triângulo
retângulo...................................................................................................................20
4.2.1 Atividade 1: Medida da Altura da Parede......................................................21
4.2.2 Atividade Complementar 1: Semelhança de triângulos..............................22
4.2.3 Atividade 2: Medindo o ângulo usando transferidor, simulando o uso do
teodolito....................................................................................................................25
4.2.4 Atividade Complementar 2: Formalização das razões trigonométricas....26
4.2.5 Atividade 3: Problemas aplicados.................................................................30
4.2.6 Atividade Complementar 3: Problema Aplicado..........................................31
4.2.7 Desafio da Planta do Telhado........................................................................32
4.2.8 Projeto: Enxergando e modelando a Trigonometria das construções da
cidade........................................................................................................................34
4.3 Bloco 3: Transição do triângulo para o círculo trigonométrico.....................36
4.3.1 Atividade 4: O círculo trigonométrico...........................................................37
4.3.2 Atividade Complementar 4: Explorando a circunferência e seus arcos....40
4.4 Bloco 4: Trigonometria no círculo trigonométrico e no plano cartesiano....42
4.4.1 Atividade 5: Applets seno e cosseno no círculo trigonométrico...............43
4.4.2
Atividade
Complementar
5:
Fixação
de
conceitos
no
círculo
trigonométrico..........................................................................................................45
4.4.3 Atividade 6: Applets com gráficos de seno, cosseno e tangente..............48
4.4.4 Atividade Complementar 6: Gráficos das funções seno e cosseno –
fixação.......................................................................................................................49
4.4.5 Atividade 7: Applets de simetrias e redução ao primeiro quadrante........52
4
4.4.6 Atividade complementar 7: simetrias e redução ao primeiro quadrante...53
4.4.7 Atividade 8: Arcos complementares e Fórmulas da soma e da diferença
de arcos.....................................................................................................................54
4.4.8 Atividade Complementar 8: Arcos complementares e fórmulas da soma e
da diferença de arcos...............................................................................................56
4.5 Bloco 5: Atividades Avaliativas........................................................................58
4.5.1 Teste 1..............................................................................................................59
4.5.2 Teste 2..............................................................................................................64
4.5.3 Questionário....................................................................................................69
4.5.4 Feira de Matemática........................................................................................70
5 UMA PROPOSTA DE IMPLEMENTAÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA..............71
REFERÊNCIAS..........................................................................................................76
APÊNDICE.................................................................................................................80
ANEXO.......................................................................................................................85
5
1 INTRODUÇÃO
Apresentamos a seguir uma sequência didática que objetiva introduzir os
estudos de Trigonometria no Ensino Médio. Esta sequência pretende ser uma
contribuição para o ensino desse conteúdo, fruto de uma pesquisa desenvolvida no
Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da PUC Minas, por
Marlizete Franco da Silva, sob a orientação de Maria Clara Rezende Frota. (SILVA,
2011).
A
apresentação
da
sequência
foi
estruturada
da
seguinte
forma:
fundamentação teórica da proposta, organização da sequência, com a descrição dos
blocos e das atividades, apresentando os objetivos pretendidos de cada uma delas e
as expectativas de desempenho dos alunos, apontando possíveis dificuldades e ao
final uma proposta de implementação.
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA DA PROPOSTA
A sequência didática aqui apresentada é pensada como uma abordagem da
Trigonometria a partir da modelagem, com referências na realidade, utilizando
material concreto e recursos computacionais, aproveitando as potencialidades de
tipos diferenciados de instrumentos didáticos.
Os objetivos gerais da sequência didática foram: motivar os alunos,
desenvolvendo atividades com referência na realidade, de modo que eles próprios
descobrissem padrões e propriedades trigonométricas; incentivar a redescoberta
através da modelagem, de idéias da trigonometria, reconstruindo modelos abstratos
da trigonometria; propiciar experiências variadas que conduzam o aluno a atribuir
significado ao conteúdo programático de trigonometria, seja através do uso de
material concreto, das tecnologias de lápis e papel, ou utilizando applets de
geometria dinâmica.
A utilização de recursos didáticos diversificados se justifica em Richit e
Maltempi (2010) e Smole e Diniz (2005), ao afirmarem que para atingirmos o maior
número de alunos devemos combinar vários recursos metodológicos (software, lápis,
papel, calculadora, material concreto, medições, plantas, etc.). Por isso utilizamos
material concreto, papel e lápis e recursos computacionais para a compreensão e
representação algébrica e geométrica de modelos abstratos da Trigonometria.
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O uso do material concreto tem como grande vantagem oferecer “referentes”,
símbolos que significam algo para o estudante, que permitem dar significado à
situação como um todo, pois para o estudante, o material concreto já possui uma
utilidade, que por meio de analogias facilitará o processo de abstração e
entendimento do novo conhecimento. No entanto, não será somente a presença do
material concreto que facilitará a compreensão, mas o que ele significa para o
estudante, que o ajudará a conferir significado à linguagem matemática. Por um
lado, o material concreto permite uma manipulação física, palpável da situação, os
“referentes” que este material possui, permitem uma manipulação mental do que
está ocorrendo. (SPINILLO; MAGINA, 2004).
A proposta é fundamentada em alguns princípios destacados por Biembengut
e Hein (2007) quanto à Modelagem em Educação Matemática e na concepção de
Modelagem de Barbieri e Burak (2005). Adotamos a perspectiva de modelagem
educacional citada por Kaiser, Sriraman (2006), na qual os exemplos do mundo real
e suas associações com a Matemática tornam-se um elemento central para a
estruturação e o desenvolvimento do ensino e aprendizagem em Matemática; e
pautamos nosso trabalho adotando os casos 1 e 2 de Barbosa (2001), como
configurações de inserção de atividades de modelagem no currículo escolar. Assim,
são propostos aos alunos situações-problema, com informações para que os alunos
resolvam além de problemas, nos quais, além da resolução, a coleta de dados
também fica sob a responsabilidade dos alunos.
Consideramos que a aprendizagem de novos conceitos matemáticos se
consolida mais rapidamente quando se inicia pela apresentação de uma situação
problema ao aluno, ficando a formalização e generalização do conceito como a
última etapa do processo de aprendizagem. O conteúdo matemático abordado por
meio de Modelagem e investigações é desencadeado no decorrer das atividades
com a formalização posterior a sua utilização. Isso permite que à medida que o
aluno busca ferramentas para resolver a situação problema, ele mobilize
conhecimentos já adquiridos e perceba que novos conteúdos se fazem necessários.
(KATO et al, 2010).
Tal abordagem, concordando com Quinlan (2004), pretende, antes de
introduzir o conteúdo formalizado, mergulhar os alunos num contexto próximo às
situações que desencadearam sua necessidade e, em consequência, o originaram.
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Partimos do pressuposto de que podemos seguir um caminho diferente do usual,
indo de situações particulares para gerais, assim como Lindegger (2000).
O
conhecimento
trigonométrico,
enquanto
conhecimento
matemático
produzido historicamente pela humanidade se desenvolveu de tal forma, que
enquanto conhecimento escolar se distanciou do empirismo do qual se originou.
(AIMI, 2010).
Uma parte considerável de suas ideias são fruto de abstrações de situações
empíricas, que delas se distanciam ao serem generalizadas e aprofundadas.
Aumenta-se o nível de detalhes e sua complexidade, tornando-se menos
significativa e mais complicada para quem está fora desse campo de estudo.
(BASSANEZI, 2009).
No processo ensino-aprendizagem, por que não, reaproximar o conhecimento
trigonométrico escolar do empirismo que lhe deu origem. Pesquisas apontam que os
alunos demonstram mais interesse pela disciplina quando percebem sua aplicação
em seu dia-a-dia. A modelagem cria um ambiente favorável à aprendizagem durante
a implementação das atividades, pois reorienta o ensino dessa disciplina. (SANTOS;
BISOGNIN, 2007).
Podemos
considerar
que
estamos
realizando
aulas
inspiradas
pela
Modelagem Matemática, permitindo que os alunos se envolvam em experiências
educativas, em processos de construção do conhecimento ligados a conhecimentos
práticos. E tendo a oportunidade de perceber que os conhecimentos sistematizados
não surgem por acaso, mas para suprir necessidades humanas, após um árduo
trabalho de observação, coleta de dados, levantamento de hipóteses e muitos
testes. (BARBIERI; BURAK, 2005).
A aprendizagem com modelagem leva em consideração a motivação e a
abstração, objetivando o desenvolvimento da argumentação matemática, na qual a
escolha de problemas vindos de situações concretas funciona como o elemento
motivador inicial, e age de modo a incorporar, por parte do aluno, conhecimentos
necessários ao seu convívio social. (BASSANEZI, 2009). Escolher o tema com o
qual se trabalhará desperta a participação e interesse do aluno, que se vê parte
importante do processo e que este se relaciona com seu contexto. (SANTOS;
BISOGNIN, 2007; BASSANEZI, 2009).
Elaborar os próprios problemas pode, também, ser um bom caminho, pois,
além de permitir a percepção se os estudantes entenderam o conceito matemático
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proposto ou não, também contribui para a ampliação dos conhecimentos dos
mesmos, pois a partir do momento em que são convidados a criar os próprios
problemas, eles deverão se preocupar com a coerência das informações dadas, da
pertinência ao assunto e a criatividade em sua elaboração. (LOSS; BIEMBENGUT,
2010). Trata-se de outra oportunidade de desenvolver nos alunos habilidades que
lhes permitam empregar de forma eficaz os instrumentos que possuem oriundos de
seu meio e cultura. (SANTOS; BISOGNIN, 2007).
Durante a realização das atividades
é interessante que os alunos partilhem idéias, raciocínios, processos,
estabeleçam conexões, comparações e analogias, construam conjecturas e
negociem significados e desenvolvam capacidades de comunicar e
argumentar.Nesse sentido, durante as atividades, o aluno deve observar,
experimentar, comparar, relacionar, analisar, justapor, compor, encaixar,
levantar hipóteses e argumentar.(KFOURI; D’AMBRÓSIO, 2006, p.2).
Debatendo assim com seus pares para resolver o problema o aluno
conseguirá apurar e consolidar seus conhecimentos matemáticos acerca do
conteúdo.
As atividades da sequência foram propostas como exercícios de modelagem
numa linha investigativa (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2006; ERNEST, 1996;
KATO et al, 2010; ALMEIDA; FERRUZZI, 2009), de forma a favorecer a descoberta
de propriedades trigonométricas, bem como a associação entre as formas como a
trigonometria se apresenta: no triângulo, no círculo ou no plano cartesiano. Nessa
perspectiva, lidamos com Modelagem Matemática como prática investigativa, que se
delineou em introdução, realização das atividades e discussão dos resultados.
(PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2006; ALMEIDA; FERRUZZI, 2009).
Como os alunos não estavam habituados ao formato de atividades abertas,
foi necessário elaborar as primeiras atividades seguindo uma linha próxima a de
Ernest (1996), quando se refere a descobertas guiadas. As primeiras atividades
eram guiadas, para motivá-los, em seguida acrescentávamos, gradativamente,
atividades mais abertas.
As atividades, de cunho investigativo, caracterizam-se pela ênfase dada ao
processo, em que as situações de ensino propostas são mais abertas, cabendo aos
alunos o papel de definir atitudes e tomar decisões durante o processo. As
atividades de modelagem podem auxiliar a apropriação de conceitos matemáticos,
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na medida em que contribuem para o desenvolvimento do pensamento matemático
dos alunos. (KATO et al, 2010; FREITAS, 2010).
Optamos por atrelar um projeto às atividades, pelo fato de que, nas escolas, a
pedagogia de projetos tem sido muito aplicada e tem obtido resultados satisfatórios.
Além da motivação inicial que ele apresenta, pois se propõe a resolver um problema
específico cujos resultados são esperados, mas não se tem certeza de que serão
alcançados. Permite “alavancar” processos durante sua execução que são muito
importantes num ambiente de ensino: análise, previsão, proposição, execução e
inovação. (RIPARDO; OLIVEIRA; SILVA, 2009).
Ripardo, Oliveira e Silva (2009), destacam em seu trabalho várias formas de
projetos educacionais. Para os interesses dessa pesquisa, nos ateremos aos
projetos educacionais de ensino e de trabalho.
Projetos de ensino: voltados a uma ou mais disciplinas do currículo escolar
com o propósito de melhorar o processo de ensino-aprendizagem de
conteúdos específicos dessa(s) disciplina(s). É desenvolvida pelo professor;
Projetos de trabalho: tem basicamente os mesmos predicativos dos
projetos de ensino, contudo, é desenvolvido por alunos sob a coordenação
do professor. (RIPARDO; OLIVEIRA; SILVA, 2009, p.93).
O projeto, aqui proposto, se situa como um projeto educacional de trabalho na
visão de Ripardo, Oliveira e Silva (2009), voltado para a melhoria do processo
ensino-aprendizagem de conteúdos trigonométricos, desenvolvido por alunos sob a
orientação da professora pesquisadora.
Além dos motivos já expostos em nosso texto, corroboramos nossa opção por
desenvolver um projeto, à luz de Richit e Maltempi:
concebemos projetos como atividades educativas que geram situações de
aprendizagem reais, diversificadas e interessantes, que devem permitir aos
estudantes decidir, opinar, debater e conduzir seu processo de
conhecimento, favorecendo o desenvolvimento da autonomia e a
participação social. (RICHIT; MALTEMPI, 2010, p.20).
As decisões tomadas pelos alunos e opiniões por eles expressadas,
iniciaram-se na escolha de que construções existentes na cidade eles acreditavam
ser interessantes e que poderiam ser objetos de estudo. Acreditamos que essa
escolha feita pelos alunos é de suma importância dentro da concepção em que
enquadramos nosso trabalho: inspirada em Modelagem Matemática.
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Este projeto foi inspirado no que autores, como Araújo (2009) e Barbosa
(2001), chamam de projetos de modelagem matemática, que, devido a uma tradição
brasileira, aproxima as práticas de modelagem matemática do trabalho com projetos.
Tal proximidade é justificada graças a importância do planejamento desses projetos
e das incertezas que seu desenvolvimento carrega.
Como Franchi (2007) coloca, além da Modelagem Matemática, a Informática,
também pode construir ambientes de aprendizagem muito férteis, permitindo o
desenvolvimento das potencialidades do estudante. Já que atividades relacionadas
a temas de interesse, ainda mais envolvendo recursos tecnológicos, motivam os
estudantes a participarem ativamente de seu processo de aprendizagem.
O uso de tecnologia computacional propicia, dentre outras coisas,
visualização, algo que favorece a apropriação de conhecimento em matemática, já
que a visualização, articulada à dinâmica desse recurso, evidencia propriedades e
relações entre objetos matemáticos, que conduzem à compreensão ampla dos
conceitos. Possibilita testar mudanças associadas a características algébricas ou
geométricas e observar as variações nos aspectos gráficos dos conceitos
matemáticos. (RICHIT; MALTEMPI, 2010; FRANCHI, 2007).
Chamamos de apropriação a ação do estudante ao assimilar determinado
conceito, de retirá-lo da condição de símbolo para instrumento, parte integrante de
seu conhecimento intelectual, que pode ser utilizado quando se fizer necessário.
(RIBEIRO; BITTAR, 2010). Para que tal apropriação se dê, o aluno deve
experimentar o ente carregado de simbologia, manipulá-lo, explorá-lo, até que este
passe de símbolo para conceito adquirido, atingindo a ideia abstrata a que se
propõe.
Nessa perspectiva, o computador torna-se uma ferramenta computacional,
sob a visão de Valente (1999), pela qual o aluno desenvolve uma tarefa, ele aprende
por estar executando algo sob o intermédio do computador. Esta ferramenta facilita
a assimilação de conceitos presentes em diversas atividades.
Mas, ressalva-se que, mesmo com todos os recursos que apresenta e as
potencialidades que oferece apenas a presença do computador não garante
promoção de aprendizagem. (VALENTE,1999). Cabe ao professor atuar como
estimulador da investigação e reflexão, enquanto as tecnologias são recursos que
favorecem tais ações. (RICHIT; MALTEMPI, 2010). É sua função investir nas
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potencialidades de cada material utilizado, permitindo ao aluno transferir suas
compreensões para o conceito matemático abstrato. (SOUZA; OLIVEIRA, 2010).
3 ORGANIZAÇÃO DA SEQUÊNCIA
A sequência didática é organizada em cinco blocos de atividades, mesclando
o tipo de tecnologia e a abordagem metodológica adotada, de acordo com um foco
principal estabelecido. Cada bloco é composto por um número específico de
atividades, na forma de atividades em sala de aula e atividades complementares
para casa, a serem resolvidas por vezes em duplas, outras em grupos de 4 a 6
pessoas, dependendo da intencionalidade de cada uma.
No Bloco 1, temos
duas Atividades Preparatórias. No Bloco 2, temos 8
atividades: três Atividades em sala, um Desafio, três Atividades Complementares e
um projeto: Enxergando e Modelando a Trigonometria das construções da cidade.
No Bloco 3, temos 2 atividades:
uma Atividade em sala e uma Atividade
Complementar. No Bloco 4, temos 8 atividades: quatro Atividades na sala de
informática e quatro Atividades Complementares. No Bloco 5, temos 4 Atividades
Avaliativas: dois Testes, um Questionário e a Feira de Matemática.
As Atividades em sala de aula objetivam instigar e desafiar os alunos a
mobilizar conhecimentos prévios e, sob a linha investigativa, solucionar os
problemas propostos. As Atividades Complementares, a serem resolvidas em casa,
objetivam resgatar conhecimentos anteriores dos alunos, fixar conceitos e
procedimentos explorados em sala de aula e iniciar a formalização de conceitos.
O primeiro bloco de atividades pretende retomar alguns conceitos como:
Teorema de Tales, Teorema de Pitágoras, triângulos e escala e consiste de duas
Atividades Preparatórias A e B, a serem resolvidas em casa, prevendo-se um
momento de socialização e sistematização de conceitos, conduzido pela professora.
O segundo bloco de atividades se refere à Trigonometria no triângulo
retângulo. Conta com atividades realizadas em grupos, nas quais os alunos
necessitam medir alturas de paredes, sem delas se aproximar, utilizando alguns
materiais concretos como esquadros, trenas, transferidor, canudos de refrigerante, o
que os remete a origem empírica desse conhecimento trigonométrico. Há atividades
em que os alunos devem escolher, entre vários problemas aplicados de
12
trigonometria, retirados de livros didáticos, três para serem resolvidos. Após esta
atividade são impelidos a elaborar seus próprios problemas. Temos um desafio que
utiliza a planta de uma casa, no qual os alunos são convidados a analisar a
inclinação do telhado nela representado. A Atividade lhes permite empregar
conceitos de escala e associar a forma do telhado com representações abstratas
(formato triangular, representação em plantas, elementos que os formam). A última
atividade desse bloco é o projeto: Enxergando e modelando a Trigonometria das
construções da cidade. Que estimula os alunos a enxergar a Trigonometria nas
construções da cidade, partindo de construções que eles próprios consideram
interessantes.
O terceiro bloco de atividades aborda a transição da trigonometria do triângulo
retângulo
para
o
círculo
trigonométrico.
Contempla
uma
introdução
e/ou
apresentação do que seja um círculo orientado, unidades comumente utilizadas para
representarmos ângulos e arcos e atividades numa perspectiva de descoberta
guiada de Ernest (1996).
O quarto bloco contempla a trigonometria no círculo trigonométrico e no plano
cartesiano, desde as funções seno e cosseno no círculo até o esboço de seus
gráficos no plano cartesiano; reduções ao primeiro quadrante, relações de
complementaridade e fórmulas de soma e diferença de ângulos. Estas atividades
utilizam recursos computacionais, explorando a manipulação de applets, pequenos
programas em linguagem Java feitos no software Geogebra, acessados via web.
Esses applets são de fácil manipulação, proporcionando melhor compreensão dos
conceitos, mediante a associação das dimensões geométrica, algébrica e gráfica
dos conceitos abordados (RICHIT; MALTEMPI, 2010; SANTOS, 2008).
O quinto bloco de atividades prevê Atividades Avaliativas, compreendendo
dois testes, feitos individualmente, ao longo da aplicação da sequência didática; a
aplicação de um questionário em que os alunos avaliam, individualmente, a
experiência vivenciada, ao final da sequência; e uma Feira de Matemática, na qual
os resultados obtidos no projeto, do bloco 2, são apresentados à comunidade
escolar, ocorrendo também ao final da aplicação da sequência didática.
13
4 DESCRIÇÃO DOS BLOCOS E DAS ATIVIDADES
As atividades e seus respectivos objetivos, são expostos a seguir, seguidos
das análises prévias, que comentam algumas soluções que imaginamos serem
apresentadas pelos alunos.
O Quadro 1 mostra de forma concisa como estas atividades foram agrupadas:
Blocos
1
Atividades
Atividades
preparatórias
2
Semelhança
de triângulos
e
trigonometria
no triângulo
retângulo
3
Transição do
triângulo para
o
circulo
trigonométrico
Descrição
Atividade A: Exploração de conhecimentos prévios dos alunos
acerca de triângulos, visando recuperar informações como:
classificação de triângulos quanto aos lados e ângulos, soma de
seus ângulos internos.
Atividade B: Exploração da planta baixa de uma casa e dos
conceitos nela inseridos: escala, perímetro e área de retângulos.
Pretendia estimular a observação e o manejo de plantas baixas,
bem como o uso instrumentos de medida.
Atividade 1: Mobilização de conhecimentos sobre semelhança de
triângulos para encontrar a altura da parede da sala de aula,
dispondo de régua, esquadro e canudo de refrigerante.
Atividade Complementar 1: Atividades de fixação com
semelhança de triângulos para verificar a invariância das relações.
Atividade 2: Busca pelo ângulo de inclinação conhecidos a altura
da parede e a distância até ela, dispondo de um transferidor e um
canudo de refrigerante.
Atividade Complementar 2: Formalização da definição das razões
trigonométricas seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo e
exploração destas relações em triângulos variados, em posições
diversas. Exploração de relações fundamentais na trigonometria.
Desafio da planta do telhado:
Visa conhecer e associar algumas partes do telhado à formação de
triângulos e, possivelmente, aplicar o Teorema de Pitágoras;
Explorou o telhado e sua inclinação a partir de sua planta.
Atividade 3: Pretende que o aluno escolha e resolva três
problemas aplicados, que abordem razões trigonométricas
diferentes, a partir de uma lista de problemas aplicados retirados de
livros didáticos.
Atividade Complementar 3: Pede aos alunos que elaborem
exercícios a partir de situações práticas que envolvam razões
trigonométricas no triângulo retângulo.
Projeto: Enxergando e modelando a trigonometria das construções
da cidade.
Pretende selecionar, junto aos alunos, construções que eles
consideram interessantes na cidade e delas extrair a trigonometria
presente: telhados, escadas, rampas, etc.
Atividade 4: Fixação dos conceitos de círculo trigonométrico e
arco orientado, o que são os quadrantes do círculo trigonométrico e
quais seus intervalos de existência;
Exploração de noções de arcos côngruos e de primeira
determinação positiva e negativa.
Atividade Complementar 4: Exploração do conceito de
comprimento de circunferência e comprimento de arcos de
circunferência.
14
Quadro 1
(Continuação)
Blocos
4
5
Atividades
Descrição
Atividade 5: Utilização de applets de trigonometria feitos no
Geogebra para estimular os alunos a perceberem o que ocorria aos
valores de seno, cosseno e tangente quando aumentamos ou
diminuímos o valor do ângulo em cada quadrante do círculo
trigonométrico;
Encontrar os valores dos ângulos dados seus valores de seno,
cosseno ou tangente, utilizando os applets;
Identificar os eixos correspondentes às funções seno, cosseno e
tangente no círculo trigonométrico.
Atividade Complementar 5: Atividades de fixação dos conceitos
abordados na atividade com recurso computacional.
Atividade 6: Observação de como são formados os gráficos das
funções seno, cosseno e tangente, à medida que completamos uma
volta na circunferência trigonométrica, utilizando applets dinâmicos;
Reconhecimento de o que é uma função periódica, avaliando se as
funções trigonométricas citadas são ou não periódicas, podendo
identificar tal período.
Atividade Complementar 6: Desenho dos gráficos das funções
seno e cosseno a partir da tabela de arcos notáveis, no mesmo
Trigonometria
plano cartesiano, para facilitar a descoberta da defasagem entre as
no círculo
funções;
trigonométrico
Destaque de características dos gráficos e funções trigonométricas,
e no plano
associando-as às partes de um telhado e a aplicações a outras
cartesiano
áreas de conhecimento.
Atividade 7: Análise de situações de simetria no círculo
trigonométrico (vertical, horizontal e em relação à origem) para
estabelecer as expressões de redução ao 1º quadrante,
considerando o quadrante em que os ângulos se encontram.
Atividade Complementar 7: Atividades de fixação dos conceitos
sobre redução ao primeiro quadrante, abordados na atividade com
recurso computacional.
Atividade 8: Percepção de relações de complementaridade entre
ângulos e como isso afeta os valores seno e de cosseno de arcos
num mesmo quadrante;
Exploração das fórmulas de soma e subtração de ângulos através
de abordagem geométrica em software dinâmico.
Atividade Complementar 8: Fixação das relações de
complementaridade entre ângulos e seus reflexos sobre os valores
do seno e do cosseno de ângulos num mesmo quadrante;
Aplicação das fórmulas de soma e subtração de ângulos e sua
utilização para obter alguns modelos abstratos clássicos da
trigonometria numa exploração algébrica.
Os dois Testes: Verificação de aprendizagem dos conteúdos
abordados.
Questionário: Verificação das impressões que os alunos tiveram
acerca da sequência de atividades aplicada.
Atividades
Feira de Matemática: Apresentar à comunidade escolar os
Avaliativas
resultados obtidos no projeto: Enxergando e modelando a
trigonometria das construções da cidade;
Elaborar modelos, como maquetes das construções e desafios com
os dados coletados durante o desenvolvimento do projeto, para
serem expostos durante a Feira.
Quadro 1: Organização das atividades em grupos
Fonte: Dados da pesquisa
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4.1 Bloco 1: Atividades Preparatórias
Objetivos:
Atividade A: revisitar a geometria, investigando padrões de triângulos e
sistematizando propriedades.
Atividade B: investigar a planta baixa de uma casa e atribuir sentido às medidas
utilizadas, relacionando com as medidas reais, a partir do entendimento do que seja
uma escala.
4.1.1 AtividadeA: Investigando propriedades de polígonos de três lados
ATIVIDADE A- Investigando propriedades de polígonos de três lados
1-Desenhe um polígono (uma figura geométrica) de três lados. Você poderia
dizer o nome desse polígono?
2-Escreva algumas propriedades que você observa nesta figura?
3-Num triângulo, dois ângulos medem, respectivamente, 25° e 108°. Qual é a
medida do terceiro ângulo? Como você chegou a este resultado?
4-Observe os triângulos abaixo e destaque as características que você
observa em cada um deles:
Triângulo
Característica
Triângulo
Característica
D
A
B
E
F
C
16
ATIVIDADE A- Investigando propriedades de polígonos de três lados
(Continuação)
5-Dos triângulos que você caracterizou acima, há pares que possuem
características semelhantes. Separe as duplas que apresentam:
Duplas de triângulos
Que nome recebem?
Os três lados iguais
Dois lados iguais e um
diferente
Os três lados diferentes
6-Observando os triângulos abaixo, o que se pode dizer acerca dos ângulos
de cada um desses triângulos?
Características
Características
Triângulos
quanto aos
Triângulos
quanto aos
ângulos
ângulos
7-Dos triângulos que você caracterizou acima, há pares que possuem
características semelhantes. Separe as duplas que apresentam:
Duplas de triângulos
Que nome recebem?
Um ângulo maior que 90°
Três ângulos menores
que 90°
Um ângulo de 90°
17
Orientações/ Sugestões
A primeira tarefa objetiva recuperar o modelo abstrato do polígono de três
lados, triângulo, tanto por meio de um desenho quanto o seu nome. A segunda
pretende recuperar as propriedades de um triângulo qualquer: ter três lados, três
ângulos, três vértices, ter a soma dos ângulos internos igual a 180º etc. A terceira
tarefa explora a aplicação da relação entre os ângulos internos de um triângulo,
suscitando sua recordação pelos alunos.
A quarta e quinta tarefas exploram as classificações dos triângulos quanto a
seus lados. A quarta tarefa oferece modelos de triângulos desenhados para que os
alunos destaquem características relacionadas aos seus lados. Na tarefa 5
sumarizam-se as características, fazendo alusão a que desenhos as apresentam e
como poderiam ser chamados. Esperamos que os alunos associem os triângulos de
três lados iguais ao termo equilátero; o de dois lados iguais e um diferente ao termo
isósceles e o de três lados diferentes ao termo escaleno.
A sexta e sétima tarefas se remetem às classificações dos triângulos quanto a
seus ângulos. A sexta tarefa, como a quarta, oferece desenhos para que os alunos
deles destaquem características associadas a seus ângulos.
Na tarefa 7, em
conformidade com a quinta, oferecem-se as características sistematizadas,
esperando que os alunos destaquem os desenhos a elas associadas e identifiquem
as classificações
obtusângulo.
dos respectivos triângulos: se acutângulo, retângulo ou
18
4.1.2 Atividade B: Explorando a planta baixa de uma casa
Atividade B- Explorando a planta baixa de uma casa
Para resolver esta atividade, leia a folha e consulte a planta em anexo.
A planta baixa de uma casa é a representação gráfica, num plano, da
casa vista de cima, sem o telhado. Onde se evidencia apenas o chão e a
distribuição dos cômodos nesse espaço. Na planta que entregamos a vocês,
temos um projeto de casa popular disponibilizada pela prefeitura de Belo
Horizonte, que apresenta, além da planta baixa da casa, vista das fachadas da
casa, planta do telhado e vista de cortes verticais. Para resolver às questões
abaixo, observe no projeto a planta 1 quarto, que é a planta baixa.
1-O que você poderia dizer sobre os cômodos dessa casa (que formas têm,
quantos são, etc)?
2-Utilizando uma régua para efetuar as medidas, complete o quadro abaixo:
CÔMODOS
LARGURA (cm) COMPRIMENTO (cm) ÁREA (cm2)
Banheiro
Sala
Cozinha
Quarto
3-Considerando os dados até aqui coletados, é possível encontrar a área de
toda a casa? Como?
4-Para que toda a extensão da casa caiba em uma folha, ela precisa ser
reduzida de forma proporcional, para não perder suas formas originais. Para
isso usamos a escala. Nessa planta a escala utilizada é de 1/ 50. O que essa
escala significa?
5-Uma vez que já conhecemos a escala utilizada nessa planta, complete o
quadro, agora informando as medidas reais de cada cômodo, em metros.
CÔMODOS
LARGURA (m)
COMPRIMENTO (m) ÁREA (m2)
Banheiro
Sala
Cozinha
Quarto
6- Qual é a área, em m2, da casa toda?
19
Orientações/ Sugestões
Para o desenvolvimento da Atividade Preparatória B, é disponibilizado aos
alunos uma cópia da planta baixa de uma casa popular da cidade de Belo Horizonte
(ANEXO A). A primeira tarefa pretende que os alunos, a partir da exploração da
planta baixa, destaquem as características geométricas dos cômodos como seu
formato, retangular ou quadrado, e sua quantidade. A segunda tarefa apresenta a
necessidade do uso de régua para medir as distâncias expressas no desenho da
planta em centímetros. Além de estimular o uso de material para desenho esta
atividade pretende mobilizar conhecimentos acerca de áreas de figuras planas. A
tarefa 3 visa analisar como os alunos chegam a área da casa toda desenhada na
planta, se pela soma das áreas dos cômodos, já calculada na tarefa 2, ou pelo
cálculo de área do desenho completa da casa na planta.
A tarefa 4 explora o conceito de escala, o que ele significa. Espera-se que os
alunos associem cada 1cm do desenho a 50cm da casa real, já que a escala dada
foi de 1/50. As tarefas 5 e 6 tem praticamente os mesmos objetivos das tarefas 2 e
3, com a diferença de pedirem as medidas reais, em metros, dos cômodos. Nessas
tarefas faz-se necessário a aplicação dos conhecimentos de escala, já suscitados na
tarefa 4.
20
4.2 Bloco 2: Semelhança de triângulos e trigonometria no triângulo retângulo
Objetivos
Atividade 1: mobilizar conhecimentos sobre semelhança de triângulos para
encontrar a altura da parede da sala de aula, dispondo de régua, esquadro e canudo
de refrigerante.
Atividade Complementar 1: fixar os conceitos sobre semelhança de triângulos
verificando a invariância de relações.
Atividade 2: encontrar o ângulo de inclinação conhecidos a altura da parede e a
distância até ela, dispondo de um transferidor e um canudo de refrigerante.
Atividade Complementar 2: formalizar a definição das razões trigonométricas seno,
cosseno e tangente no triângulo retângulo e explorar estas relações em triângulos
variados, em posições diversas. Introduzir, de forma empírica algumas relações
fundamentais da trigonometria.
Desafio da Planta do Telhado: conhecer e associar algumas partes do telhado à
formação de triângulos e, possivelmente, aplicar o Teorema de Pitágoras. Explorar
o telhado e sua inclinação a partir de sua planta.
Atividade 3: permitir aos alunos aplicar e fixar seus conhecimentos acerca das
razões trigonométricas no triângulo retângulo, desde a
escolha à resolução de
problemas aplicados.
Atividade Complementar 3: verificar o grau de familiaridade dos alunos com o
assunto dado, além de permitir que usem sua criatividade na concepção de
problemas aplicados.
Projeto: Enxergando e modelando a Trigonometria das construções da cidade:
aproximar a Trigonometria do cotidiano dos alunos, à medida em que eles escolhem
as construções que, na opinião deles, são mais interessantes para um estudo
trigonométrico. Aproveitar tal motivação para extrair o máximo de trigonometria que
estas construções têm a oferecer, neste nível de ensino para que posteriormente
seja modelada e transformada em desafios matemáticos pelos alunos.
21
4.2.1 Atividade 1: Medida da Altura da Parede
Atividade 1 – Medida da Altura da Parede
1-Como você faria para medir a altura da parede da sala dispondo apenas de
um esquadro, uma régua e um canudo de refrigerante, sem poder se
aproximar da parede para medi-la diretamente?(Anote todos os passos
realizados para resolver este problema e ao final faça um esboço da situação
apresentada).
*Atenção, indique primeiro o tipo de esquadro que você está utilizando:
( )45/90/45
( )30/90/60 ( )60/90/30
b)Relacione os conteúdos de Matemática que você consegue associar a
atividade desenvolvida.
Orientações/ Sugestões
A primeira tarefa da Atividade 1 envolve o uso de materiais concretos:
esquadros, trenas e canudos de refrigerante. Como não é permitido medir
diretamente a parede, pretende-se que os alunos criem estratégias, usando o
material dado, para encontrar a altura da parede. Espera-se que os alunos utilizem o
esquadro para estabelecer uma situação de semelhança de triângulos, encontrando
uma posição na sala na qual esta situação seja possível. A trena poderá ser utilizada
para medir distâncias no chão e do esquadro. O canudo pode ser utilizado como se
fosse uma luneta, pelo qual enxergamos o ponto mais alto da parede. É pedido aos
alunos que criem desenhos que representem a situação de forma a estimulá-los a
criar modelos abstratos com papel e lápis e facilitem o estabelecimento de relações
e compreensão da situação para que possam resolvê-la.
Abaixo da primeira tarefa é pedido aos alunos que assinalem que tipo de
esquadro está sendo utilizado, o que favorecerá as conjecturas acerca dos
resultados encontrados no momento de socialização. Espera-se que os alunos
associem aos ângulos o fato de utilizando esquadros diferentes, obterem a mesma
altura
Ao final dessa atividade é pedido aos alunos que mencionem toda a
Matemática que eles identificam na atividade desenvolvida. Esperamos que eles
mencionem terem utilizado semelhança de triângulos para resolver esta atividade,
bem como triângulos e distâncias.
22
4.2.2 Atividade Complementar 1: Semelhança de triângulos
Atividade Complementar 1- Semelhança de triângulos
1-Sabendo que os pares de triângulos abaixo são semelhantes encontre os
valores desconhecidos:
a)
b)
c)
d)
e)
2-As figuras abaixo representam dois triângulos sobrepostos, que possuem
um vértice em comum. Determine os valores desconhecidos de x, em cada
caso:
a)C
b) H
J
E
A
D
B
AB= 7cm, BD= 4,5 cm, DE= 2cm, AC= x
F
I
FG= 14cm, GI= 9cm, GJ= 20cm, GH= x
c) M
O
K
N
G
L
KM= 9cm, NO= 6cm, LN= 13,5cm, KL= x
3-No parque de uma cidadezinha havia um pinheiro e uma estaca de 1,10m,
fincada a seu lado. Numa tarde ensolarada, no mesmo instante em que a
sombra da estaca projetada no chão era de 85 cm, a sombra do pinheiro era
de 3,72m.
a) Ilustre esta situação, fazendo um desenho;
b) É possível representar esta situação por meio de dois triângulos
semelhantes imaginários?
c) Você saberia determinar a altura do pinheiro?
23
Atividade Complementar 1- Semelhança de triângulos (Continuação)
4 -Na figura, as retas r, s e t são paralelas e determinam dois triângulos
semelhantes:
1
Nessas circunstâncias, encontre o valor de x, base do triângulo maior:
5-O telhado de uma casa é sustentado por uma estrutura de madeira em
forma de triângulos semelhantes:
E
G
F
A
B
C
D
Considerando as distâncias AB = 1,40m, AC= 2,80m, AD= 4,20m e DE=
1,20m, quanto devem medir as vigas verticais indicadas pelos segmentos: BG
e CF?
1
Atividade retirada de IMENES; LELLIS, 2009, p.26
24
Orientações/ Sugestões
A Atividade Complementar 1 pretende fixar os conceitos de semelhança de
triângulos. As tarefas dessa atividade pretendem que os alunos utilizando
semelhança de triângulos encontrem os valores desconhecidos de x. A tarefa 1 traz
triângulos
semelhantes
separados,
alguns
posicionados
da
mesma
maneira,facilitando suas associações, e outros posicionados de maneira diferente o
que exige mais concentração ao resolvê-los.
As tarefas 2, 4 e 5 trazem triângulos sobrepostos, assim chamados pois se
encontram “um dentro do outro”, situação análoga a enfrentada pelos alunos na
Atividade 1 de sala de aula. Espera-se que os alunos consigam encontrar os valores
desconhecidos.
A tarefa 3 difere das demais tarefas, pois não apresenta desenho, sendo este
uma das ações necessárias a sua resolução. Nesta tarefa pretende-se que, além de
encontrar a distância desconhecida, os alunos sejam capazes de elaborar um
desenho esquemático e saibam explicar como encontrar a medida desconhecida,
relacionando a tarefa sob a forma de uma situação de semelhança de triângulos.
25
4.2.3 Atividade 2: Medindo o ângulo usando transferidor, simulando o uso do
teodolito
Atividade 2 – Medindo o ângulo usando transferidor, simulando o uso do
teodolito.
1-Na Atividade 1 descobrimos a altura da parede da sala, utilizando um
esquadro posicionado a certa distância da parede.
Percebemos que esquadros com ângulos diferentes podem fornecer a mesma
altura da parede, desde que posicionados a distâncias diferentes da mesma.
a) Dispondo de um transferidor e um canudo de refrigerante, conhecidas as
medidas da altura da parede e da distância do transferidor à mesma,
como você determinaria o ângulo de inclinação relacionado a estas
medidas? (Anote todos os passos realizados para resolver este problema,
registre os cálculos e ao final faça um desenho da situação investigada).
b)Relacione os conteúdos de Matemática que você consegue associar a
atividade desenvolvida.
Orientações/ Sugestão
Na Atividade 2, os alunos utilizam as medidas encontrados na Atividade 1: a
altura da parede da sala e a distância, medida no chão da sala, do local onde
posicionaram o esquadro até a parede. Os alunos dispõem de um transferidor, um
canudo de refrigerante e de uma trena. Nesta tarefa o objetivo é encontrar o ângulo
de observação dadas as distâncias mencionadas. Pretende-se que os alunos
encontrem o ângulo, façam desenhos representando suas ações e após
encontrarem o ângulo verifiquem que corresponde aproximadamente ao ângulo do
esquadro utilizado na Atividade 1.
Ao final da Atividade 2, é pedido que os alunos relacionem os conteúdos
matemáticos que eles puderam perceber nesta atividade, esperamos que os alunos
mencionem o uso das razões trigonométricas no triângulo retângulo: seno, cosseno
ou tangente.
26
4.2.4 Atividade Complementar 2: Formalização das razões trigonométricas
Atividade Complementar 2 – Formalização das razões trigonométricas
Num triângulo retângulo podemos relacionar seus lados a seus ângulos.
Estas relações recebem o nome de razões trigonométricas no triângulo
retângulo.
Chamamos de seno de um ângulo agudo do triângulo retângulo a razão
entre o cateto oposto a este ângulo e a hipotenusa do triângulo retângulo.
Chamamos de cosseno de um ângulo agudo do triângulo retângulo a
razão entre o cateto adjacente a este ângulo e a hipotenusa do triângulo
retângulo.
Chamamos de tangente de um ângulo agudo do triângulo retângulo a
razão entre o cateto oposto a este ângulo e o cateto adjacente a este ângulo.
1-Conhecidas as definições de tais razões, responda:
Entre as atividades realizadas em sala, há alguma em que você poderia ter
utilizado alguma dessas razões trigonométricas? Comente.
2-Cada ângulo agudo de um triângulo retângulo apresenta um valor de seno,
cosseno e tangente. A tabela abaixo apresenta três ângulos agudos e suas
respectivas razões trigonométricas.
ângulos
22°
40°
68°
seno
0,375
0,643
0,927
cosseno
0,927
0,766
0,375
tangente
0,404
0,839
2,475
a)Consultando o quadro complete o que se pede para os triângulos dados:
Triângulos
Cite seus
três
ângulos
Encontrem os
valores de x
(explique os
caminhos
matemáticos
utilizados)
x
4cm
22°
y
4cm
x
40°
y
4 cm
y
68°
x
b)Destaque semelhanças entre os triângulos acima:
c)Registre outras observações sobre a tarefa 2?
Encontrem os
valores de y
(explique os
caminhos
matemáticos
utilizados)
27
Atividade Complementar 2 – Formalização das razões trigonométricas(Continuação)
3- No triângulo retângulo representado, são especificados os valores de seus
lados e de dois ângulos agudos α e β.
10
6
8
a)Determine os valores de:
I-sen =
II-cos =
VI-cos =
III-tg =
IV-
V-sen =
VII-tg =
sen
cos
VIII-
sen
cos
b)Considere os resultados encontrados nas letras I, II, V, VI. O que observou?
Como se explica o que você observou?
c)Compare outros resultados da tarefa 3a e registre suas observações;
4-Para os triângulos 1, 2 e 3, calcule os valores de sen2 + cos2 :
1233cm
5cm
4cm
5cm
13cm
8cm
12cm
O que você observa? Isto é sempre verdade? Justifique
6cm
10cm
28
Orientações/ Sugestões
A Atividade Complementar 2 objetiva formalizar os conceitos sobre razões
trigonométricas no triângulo retângulo, por isso traz as definições sistematizadas no
início da folha de atividades. A primeira tarefa dessa atividade pede que os alunos
relacionem as razões trigonométricas recém-sistematizadas às atividades 1 e 2
feitas anteriormente.
A tarefa 2 disponibilizava aos alunos uma tabela com ângulos e suas
respectivas razões trigonométricas. Na letra a dessa tarefa, temos uma tabela com
três triângulos retângulos, que possuem uma das medidas em comum igual 4 cm.
Sobre estes triângulos são feitos alguns questionamentos: quais os valores de seus
três ângulos, qual o valor de suas medidas x e y e como os alunos as encontraram.
Espera-se que nesse ponto os alunos utilizem pelo menos uma das razões
trigonométricas para encontrar a primeira variável, para encontrar a segunda eles
podem utilizar o Teorema de Pitágoras ou outra razão trigonométrica. A letra b pede
que os alunos destaquem semelhanças entre os triângulos, em que esperamos que
os alunos destaquem o fato de que há uma medida igual entre os três triângulos. A
letra c pede que os alunos registrem suas observações. Esperamos que os alunos
identifiquem que utilizaram razões trigonométricas semelhantes apesar de estarem
lidando com ângulos diferentes e que as razões trigonométricas estão ligadas ao
ângulo e não às dimensões do triângulo.
A tarefa 3 apresenta um triângulo retângulo no qual são conhecidos as
medidas dos três lados e dois ângulos α e β. Relativo a este triângulo, na letra a é
dada uma tabela em que os alunos devem completá-la calculando-se os valores de
I-senα, II-cosα, III-tgα; IV-
; V-senβ; VI-cosβ; VII-tgβ; VIII-
.
Na letra b os
alunos são indagados acerca de relações entre situações I, II, V e VI. Esperamos
que os alunos percebam que senα é igual a cos β e que senβ é igual a cos α e
possivelmente associem tal observação ao fato de que α e β sejam ângulos
complementares. Na letra c é pedido que os alunos registrem outras observações
que eles notaram nos elementos da tabela. É esperado que eles relacionem a
situação III com a situação IV e a situação VII com a situação VIII e compreendam
que a razão tangente é equivalente ao quociente da razão seno pela razão cosseno.
29
Na tarefa 4 são dados aos alunos três triângulos retângulos em posições
diferentes e que apresentam medidas de lados e ângulos diferentes. Sobre estes
triângulos é pedido que os alunos apliquem a relação “sen 2α + cos2α” e relatem o
que observam. Esperamos que eles concluam que independente do ângulo ou do
triângulo considerado essa relação sempre terá como resultado o número 1.
30
4.2.5 Atividade 3: Problemas aplicados
Atividade 3 – Problemas aplicados
Escolha três problemas da lista, cuja solução envolva uma das razões
trigonométricas. Você resolverá, assim, um problema envolvendo a razão
trigonométrica seno, um problema envolvendo a razão trigonométrica cosseno
e um problema envolvendo a razão trigonométrica tangente.
I-a) Número do Problema:
b)Razão trigonométrica utilizada:
c)Resolução:
II-a) Número do Problema:
b)Razão trigonométrica utilizada:
c)Resolução:
III-a) Número do Problema:
b)Razão trigonométrica utilizada:
c)Resolução:
Orientações/ Sugestões
Para desenvolverem a atividade três, é entregue aos alunos uma lista de
problemas trigonométricos aplicados retirados de livros didáticos (APÊNDICE A).
Dessa lista os alunos devem escolher três problemas a serem resolvidos, devendo
estes problemas serem de razões trigonométricas diferentes: um deverá abordar a
razão trigonométrica seno, outro o cosseno e outro a tangente. Esperamos que os
alunos
ao
resolver
estes
problemas
apliquem
corretamente
trigonométricas e utilizem esboços para resolver as situações.
as
razões
31
4.2.6 Atividade Complementar 3: Problema Aplicado
Atividade Complementar 3: Problema Aplicado
Elabore um problema cuja solução envolva uma das razões
trigonométricas.
Atenção! Você precisa saber resolver o problema, mas não precisa entregar a
solução do mesmo
Orientações/ Sugestões
Na Atividade Complementar 3 é dada aos alunos a chance de usar sua
criatividade e elaborar um problema aplicado sobre uma das razões trigonométricas.
Esperamos que os alunos redijam e ilustrem um problema que seja coerente, que
necessite de uma das razões trigonométricas: seno, cosseno ou tangente, e seja
passível de resolução.
32
4.2.7 Desafio da Planta do Telhado
Desafio da Planta do Telhado
Para resolver esta atividade, leia a folha e consulte a planta em anexo.
O telhado é uma das partes importantes em uma casa. Há vários tipos
de telhados, cada um composto por partes específicas. Para nosso trabalho
consideremos algumas partes de um telhado de telhas de barro, apoiado
sobre uma estrutura de madeira.
Observe a figura que representa um telhado, especificando algumas
destas partes:
Pendural
Empena
Diagonal
Linha
Na planta entregue a você há o corte AA, que mostra o telhado e suas
partes, e a planta de cobertura, que mostra o telhado visto de cima e sua
inclinação de i=35%. Estas partes obedecem à escala 1/50, escala utilizada na
construção da planta.
1-Observando o Corte AA, complete a tabela abaixo, informando as medidas
da planta, as medidas reais e o método utilizado para obter estas informações:
Medida na planta
Partes do telhado
Medida real (m) Método utilizado
(cm)
Pendural
Linha
Empena
2-Que relações você pode estabelecer entre a linha, o pendural e a empena
de um telhado?
3-Que associações você consegue estabelecer entre esta tarefa e as
atividades anteriores.
4-Para evitar goteiras, os telhados devem ser projetados com uma
determinada inclinação.
a)Consulte o Corte AA da planta e determine o ângulo de inclinação do
telhado em relação à horizontal. Explique o método utilizado para encontrar
esta resposta.
b)É possível determinar alguma relação entre o tamanho do pendural, o
tamanho da linha e a inclinação do telhado? Explique
33
Orientações/ Sugestões
O Desafio da Planta do Telhado proposto volta a interligar as atividades
trigonométricas com a exploração de plantas baixas. Para o desenvolvimento dessa
atividade é novamente entregue aos alunos a planta baixa utilizada na Atividade
Preparatória B (ANEXO A). Esta atividade se inicia tecendo comentário sobre os
telhados de uma casa e os nomes de suas partes: empena, linha e pendural.
Chama-se a atenção para a inclinação do telhado e para a observação de um corte
específico da planta. Além de mencionar qual a escala em que a planta foi
desenhada.
Na tarefa 1 pede-se que os alunos encontrem as medidas das partes do
telhado na planta (em centímetros), no tamanho real (em metros) e descrevam que
métodos foram utilizados. Espera-se que os alunos utilizem régua para extraírem as
medidas da planta, possivelmente podem utilizar o Teorema de Pitágoras para
encontrar o pendural. Esperamos que utilizem a escala para encontrarem as
medidas em metros.
Nas tarefas 2 e 3 é pedido que os alunos estabeleçam relações entre as
partes do telhado e as associem às atividades desenvolvidas anteriormente. Esperase que os alunos consigam associar a formação de um triângulo e o Teorema de
Pitágoras aos elementos do telhado e perceber que as atividades 1, 2 e 3 têm
relação com este desafio.
A tarefa 4 explora a ideia de inclinação, na letra a analisa a inclinação dada
em porcentagem pela planta e tenta associá-la a um ângulo; espera-se que os
alunos, utilizando possivelmente um transferidor, encontrem o ângulo de inclinação
em graus. Na letra b tentamos associar as partes do telhado e a inclinação do
mesmo. Esperamos que os alunos associem a razão trigonométrica tangente ao
ângulo de inclinação.
34
4.2.8 Projeto: Enxergando e modelando a Trigonometria das construções da
cidade
Projeto: Enxergando e modelando a Trigonometria das construções da
cidade.
Que construções da sua cidade você acha interessante?
Grupos
Construção
Grupo1
Grupo 2
Grupo 3
Grupo 4
Grupo 5
Grupo 6
Cada grupo deverá fotografar a construção, desenhar um croqui (esboço de
uma planta) utilizando a escala 1: 50, informando as devidas medidas e
destacando os elementos geométricos e a trigonometria relacionada.
O trabalho deverá ser entregue em duas vias.
Primeira via: em folha A4 contendo a fotografia (cópia scaneada ou imagem
impressa), o croqui (esboço da planta), informando as devidas medidas e os
cálculos feitos para obtê-las, destacando os elementos geométricos e a
trigonometria relacionada.
Segunda via: em folha AG, na forma de um pôster, informando o nome do
trabalho, os membros do grupo e a turma. Na folha AG será colada uma folha
A4 contendo as mesmas informações da folha A4 da primeira via.
Atenção: Diagramar o pôster e a folha A4, colocando margem e cuidando
para não cometer erros ortográficos.
*A entrega das duas vias do trabalho será dia 15/03, data em que cada grupo
apresentará o seu pôster.
35
Orientações/ Sugestões
No projeto os alunos serão indagados sobre que construções da cidade eles
acham mais interessantes e que trigonometria pode ser associada a estas
construções. Os alunos deverão proceder a uma coleta de dados referente a
construção escolhida e de posse dos dados fazer um croqui da referida construção,
sob determinada escala, efetuando os cálculos que acharem pertinentes para
responder aos questionamentos iniciais. Esperamos que eles escolham construções
de telhados de forma triangular com inclinações diferenciadas, tesouras de terraços,
escadas comuns que lembram modelos triangulares, rampas, escadas que lembram
modelos circulares, etc.
Durante a execução do projeto esperamos que os alunos associem como
trigonometria a estas construções: razões trigonométricas seno, cosseno ou
tangente; triângulo retângulo; Teorema de Pitágoras; círculo trigonométrico;
circunferência; semelhança de triângulos; soma dos ângulos internos de um
triângulo; classificação de triângulos, etc.
36
4.3 Bloco 3: Transição do triângulo para o círculo trigonométrico
Objetivos
Atividade 4: fixar os conceito de círculo trigonométrico e arco orientado, o que são
os quadrantes do círculo trigonométrico e quais seus intervalos de existência.
Explorar noções de arcos côngruos e de primeira determinação positiva e negativa.
Atividade Complementar 4: explorar o conceito de comprimento de circunferência e
comprimento de arcos.
37
4.3.1 Atividade 4: O círculo trigonométrico
Atividade 4- O círculo trigonométrico
Se fixarmos um sentido positivo em uma circunferência pode-se dizer que se
trata de uma circunferência orientada.
Uma circunferência orientada de centro na origem do sistema cartesiano, de
raio unitário e cujo sentido positivo é o anti-horário, é denominado círculo
trigonométrico. Vamos considerar a origem do círculo trigonométrico no ponto
A (1,0), interseção da semirreta Ox com a circunferência c.
O eixo x e o eixo y dividem o círculo trigonométrico em 4 partes iguais,
chamadas quadrantes.
1-Complete a tabela abaixo, indicando os intervalos de variação, em graus e
em radianos, de cada quadrante:
Quadrante
Intervalo em graus
Intervalo em radianos
1º quadrante
2º quadrante
3º quadrante
4º quadrante
2-Observe o círculo trigonométrico:
Marque no círculo trigonométrico os pontos que correspondem aos ângulos:
15°, 75°, 30°, 60°, , 120°, 150°,
750°, 780°,
,
, 240°,
, 330°, 420°, 480°, 540°, 600°,
, - 135°, - 225°.
2-Há arcos que se posicionaram no mesmo ponto? Quais?
3-Há arcos que deram mais de uma volta no círculo trigonométrico? Como
você descobriu?
4-O que podemos dizer sobre os ângulos - 60°, - 135° e - 225°?
5-O que têm em comum os ângulos: 420°, 480°, 540°, 600°, 750°, 780°?
6-Os ângulos de 60° e 420° são côngruos. Observando suas posições no
círculo trigonométrico da tarefa 2, o que isso significa?
7-Um ponto que descreve um ângulo de 1500° dá várias voltas, no sentido
anti-horário de um círculo trigonométrico.
a)Quantas voltas exatamente ele dá?
b)Em que quadrante ele para?
c)Dê exemplos de outros dois ângulos, aos quais ele poderia ser côngruo.
38
Orientações/ Sugestões
A Atividade 4 introduz o círculo trigonométrico, associando a circunferência ao
sistema de coordenadas cartesianas. Orientando e estabelecendo sua origem. Na
tarefa 1 os alunos são indagados acerca dos intervalos em que os quadrantes se
encontram, em graus e em radianos. Esperamos que os alunos identifiquem a
existência de intervalos de 90° em 90° e que estes podem ser representados em
duas unidades diferentes. Na tarefa 2 após definidos os intervalos dos quadrantes, é
pedido que os alunos posicionem alguns ângulos, em graus e radianos, num círculo
trigonométrico.
A tarefa 3 questiona a existência de arcos que se posicionam no mesmo
ponto no círculo. Esperamos que os alunos percebam essa situação e identifiquem
os ângulos 30° e 750°; 60°, 420° e 780; 120° e 480°;
e – 225°; 240° e 600°;
como ângulos que se posicionaram no mesmo ponto.
Na tarefa 3 é pedido que se identifique se há ângulos que deram mais de uma
volta no círculo trigonométrico e como se deu sua descoberta. Esperamos que os
alunos mencionem: 420°, 480°, 540°, 600°, 750° e 780°;
como ângulos que
apresentam mais de uma volta, devido ao fato de serem ângulos maiores que 360°,
o que representaria uma volta. Acreditamos que essa resposta auxiliará na
resolução da tarefa 5, pois é perguntado o que os referidos ângulos têm em comum,
esperamos que seja dito, que todos apresentam mais de 360°.
Na tarefa 4 pedem-se observações acerca dos ângulos – 60°, –135° e –
225°, esperamos que informem que são ângulos negativos e, devido a isso, se
posicionam no sentido horário do círculo trigonométrico.
A tarefa 6 apresenta um exemplo de ângulos côngruos e questiona os alunos,
a partir da observação do posicionamento de dois ângulos, sobre o significado de tal
afirmação. Esperamos que os alunos informem que os ângulos são côngruos pois se
posicionaram no mesmo ponto no círculo trigonométrico, diferindo entre si apenas
pelo número de voltas dadas no círculo.
A tarefa 7 representa uma tarefa de fixação, um ponto percorre no sentido
anti-horário do círculo trigonométrico um ângulo de 1500°, após esta afirmação os
alunos são questionados quanto a quantas voltas foram dadas no círculo, em que
39
quadrante o ângulo se posiciona e pede-se exemplos de outros ângulos côngruos a
esse. Esperamos que os alunos encontrem como número de voltas completas o
valor 4, como quadrante onde se localiza a primeira determinação positiva o primeiro
e como exemplos de ângulos côngruos 420°, 780°, ou qualquer ângulo cuja primeira
determinação positiva seja 60°.
40
4.3.2 Atividade Complementar 4: Explorando a circunferência e seus arcos
Atividade Complementar 4- Explorando a circunferência e seus arcos
Uma circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos que estão
a uma mesma distância de um ponto dado. O ponto fixo dado é o chamado
centro e a distância constante é chamada raio. Seu comprimento pode ser
calculado pela expressão: C = 2. .r.
Nesta expressão o símbolo (pi) representa uma constante que vale
aproximadamente 3,14.
1-Em uma casa, um arquiteto deseja projetar um jardim de forma circular. O
diâmetro desse jardim deverá ser de 2m. Quanto de arame será necessário
para contornar o jardim, a fim de protegê-lo de animais até que ele esteja
totalmente formado? Descreva seu raciocínio.
2-No jardim da tarefa 1 serão plantados 4 tipos de flores, igualmente
distribuídas neste canteiro circular.
a)Represente a situação por meio de um desenho.
b)Considerando que o canteiro tem forma circular e que sua representação
pode ser associada a um círculo trigonométrico, quantos graus desse desenho
são ocupados por este canteiro? Descreva os procedimentos.
c)Entre as flores a serem plantadas, rosas vermelhas serão plantadas em uma
das regiões do círculo. Para cercar com arame, apenas a região com rosas, é
possível encontrar este comprimento, dado em metros? Descreva seus
métodos e faça um desenho esquemático sobre a situação.
3-Se um determinado ponto descrevesse uma trajetória circular em uma
circunferência, no sentido anti-horário, quando ele completasse uma volta,
quantos graus ele teria percorrido? ______________
4-a)Num relógio o ponteiro dos minutos descreve uma circunferência ao longo
de seu movimento. Quantos graus o deslocamento do ponteiro dos minutos
descreve em cada minuto? Descreva como obteve sua resposta.
b)No relógio abaixo, o menor ângulo formado entre os ponteiros das horas e
dos minutos, corresponde a quantos graus? Explique como você encontrou
este valor.
41
Orientações/ Sugestões
A Atividade Complementar 4 explora noções intuitivas de comprimento de
circunferência e comprimento de arcos de circunferência. A tarefa 1 propõe uma
situação problema na qual os alunos devem, conhecido o diâmetro de um canteiro
de flores circular, encontrar a quantidade de arame necessária para cercá-lo.
Espera-se que os alunos associem a quantidade a indagação do problema ao
conceito de comprimento de circunferência, citado no texto inicial, aplicando a
expressão C = 2.π.r para encontrar a solução da tarefa.
A tarefa 2 aproveita a ideia da tarefa 1 e propõe uma situação em que o
canteiro circular precisará ser dividido em quatro partes iguais. Na letra a dessa
tarefa é solicitado um desenho que representa a situação. Na letra b pede-se que
este desenho seja associado a um círculo trigonométrico e pergunta-se quantos
graus essa região ocuparia nesse círculo trigonométrico. Esperamos que os alunos
associem essa região a um quarto do círculo trigonométrico, equivalente a 90°. Na
letra c, temos o pedido para cercar com arame a região equivalente a um quarto do
círculo trigonométrico. Espera-se que os alunos encontrem o comprimento do arco
correspondente ao ângulo de 90°, possivelmente utilizando uma regra de três, e o
adicionem a dois raios, que também limitam a região considerada.
A tarefa 3, por nós considerada simples, pretende fixar o valor em graus de
uma volta no círculo trigonométrico, tomado em seu sentido anti-horário. Esperamos
que os alunos utilizem o valor 360° como resposta.
A tarefa 4 associa o movimento do ponteiro dos minutos de um relógio à
circunferência. Na letra a questiona-se quantos graus o deslocamento do ponteiro
dos minutos descreve em cada minuto. Esperamos que os alunos encontrem o valor
de 6°. Na letra b, sendo dado a figura de um relógio marcando três horas, indaga-se
qual o valor em graus do menor ângulo descrito entre os ponteiros das horas e dos
minutos nesse horário. Esperamos que seja encontrado o valor de um ângulo de
90°, podendo ser encontrado pela multiplicação de 15’x 6° ou dividindo-se 360° por
4.
42
4.4 Bloco 4: Trigonometria no círculo trigonométrico e no plano cartesiano
Objetivos
Atividade 5: perceber o que ocorre com os valores de seno, cosseno e tangente
quando aumentamos ou diminuímos o valor do ângulo em cada quadrante do círculo
trigonométrico. Encontrar os valores dos ângulos dados seus valores de seno,
cosseno ou tangente. E identificar os eixos correspondentes às funções seno,
cosseno e tangente no circulo trigonométrico.
Atividade Complementar 5: fixar os conceitos abordados na atividade com recurso
computacional: comportamento das funções seno e cosseno em cada quadrante, as
variações de sinais dessas funções em cada quadrante, comparar senos e cossenos
de ângulos diferentes e utilizar senos e cossenos de arcos notáveis para resolver
expressões que necessitem desses valores.
Atividade 6: observar como são formados os gráficos das funções seno, cosseno e
tangente, à medida que completamos uma volta na circunferência trigonométrica.
Reconhecer o que é uma função periódica, avaliando se as funções trigonométricas
citadas são ou não periódicas, podendo identificar tal período.
Atividade Complementar 6: desenhar os gráficos das funções seno e cosseno a
partir da tabela de arcos notáveis, no mesmo plano cartesiano, para facilitar a
descoberta da defasagem entre as funções. Destacar características dos gráficos e
funções trigonométricas, associando-as às partes de um telhado e a aplicações a
outras áreas de conhecimento.
Atividade 7: analisar as situações de simetria no círculo trigonométrico (vertical,
horizontal e em relação à origem) para estabelecer as expressões de redução ao 1º
quadrante, considerando o quadrante em que os ângulos se encontram.
Atividade Complementar 7: fixar os conceitos sobre redução ao primeiro
quadrante, abordados na atividade com recurso computacional.
Atividade 8: perceber relações de complementaridade entre ângulos e como isso
afeta os valores seno e de cosseno de ângulos de um mesmo quadrante. Explorar
as fórmulas de soma e subtração de arcos através de abordagem geométrica em
software dinâmico.
Atividade Complementar 8: Fixar as relações de complementaridade entre ângulos
e seus reflexos sobre os valores do seno e do cosseno de ângulos num mesmo
quadrante. Aplicar as fórmulas de soma e subtração de ângulos e utilizá-las para
43
obter alguns modelos abstratos clássicos da trigonometria numa exploração
algébrica.
4.4.1 Atividade 5: Applets seno e cosseno no círculo trigonométrico
Atividade 5- Applets seno e cosseno no círculo trigonométrico
1-Acesse o seguinte endereço eletrônico:
http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_seno.html
a)Registre o que você observa ao movimentar o ponto A.
b)Observe o que ocorre com o valor do seno quando aumentamos ou diminuímos o
valor do ângulo, em cada quadrante. Registre suas observações:
c1)Cada sentença apresenta resultados para o seno de um ângulo desconhecido x.
Usando o applet, encontre valores de x, que satisfaçam as sentenças:
a)sen x= 0.77 x= ____________
c)sen x= 0.50
x= ___________
b)sen x= - 0.34 x=___________
d)sen x= - 0.80 x= ____________
c2)É possível termos mais de um resultado em cada sentença? Explique
2-Acesse o seguinte endereço eletrônico:
http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_cosseno.ht
ml
a)Registre o que você observa ao movimentar o ponto A.
b)Observe o que ocorre com o valor do cosseno quando aumentamos ou
diminuímos o valor do ângulo, em cada quadrante. Registre suas observações:
c)Cada sentença apresenta resultados para o cosseno de um ângulo desconhecido
x. Usando o applet, encontre valores de x, que satisfaçam as sentenças:
a)cos x= 0.77 x= ___________
c)cos x= 0.50
x=___________
b)cos x= - 0.34 x= ___________
d)cos x= - 0.68 x= ___________
3-Acesse o seguinte endereço eletrônico:
http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_tangente.ht
ml
a)Identifique a reta que representa o eixo das tangentes;
b)Registre o que você observa ao movimentar o ponto A.
c)Observe o que ocorre com o valor da tangente quando aumentamos ou
diminuímos o valor do ângulo, em cada quadrante. Registre suas observações:
Orientações/ Sugestões
A Atividade 5 é a primeira atividade que utiliza o recurso computacional. Nela
realizam-se tarefas associadas a manipulação e observação de applets dinâmicos
feitos no Geogebra. A primeira tarefa solicita que os alunos abram um link de
internet que os permitirá acessar o applet da função seno no círculo trigonométrico.
Na letra a dessa tarefa é pedido que os alunos movimentem um ponto do applet,
44
observem o que ocorre e façam registro de suas observações. Espera-se que os
alunos citem, entre suas observações o fato de que o ponto A representa um ângulo
marcado num círculo trigonométrico e no applet está associado a seu seno, que a
medida que o ângulo muda de valor, também se altera. Na letra b, a pergunta é
direcionada para que os alunos observem e mencionem como se dá a variação dos
valores de seno do ângulo, em cada quadrante. Esperamos que além de perceber
que o valor do seno aumenta no 1º e no 4º quadrantes e diminui no 2º e 3º
quadrantes, os alunos associem os sinais assumidos pelo seno nos respectivos
quadrantes. Na letra c, são apresentadas pequenas equações trigonométricas, são
dados os resultados do seno e é pedido o valor dos ângulos associados a cada
resultado. Esperamos que os alunos movimentem o applet e descubram que
ângulos estão associados a cada valor de seno. Complementando esta letra c,
perguntamos se é possível obter mais de um resultado para cada sentença,
esperamos que os alunos identifiquem que dependendo dos quadrantes
investigados, podemos obter resultados diferentes para o mesmo valor de seno.
A tarefa 2 refere-se à função cosseno no círculo trigonométrico e são
propostas tarefas similares à tarefa 1, só que agora referentes ao cosseno.
Esperamos que sejam realizadas observações com o mesmo critério que na tarefa1,
mas associando às características do cosseno: que aumenta no 3º e 4º quadrantes
e diminui no 1º e 2º quadrantes, além de apresentar sinais diferenciados
dependendo do quadrante.
A tarefa 3 analisa a função tangente no círculo trigonométrico. Traz como
diferencial em relação às duas tarefas anteriores o fato de questionar a reta que
representa o eixo da tangente. Esperamos que os alunos identifiquem a reta como
sendo paralela ao eixo y, passando pelo ponto (1,0), ou ainda como sendo uma reta
do tipo x = 1. Pretendemos que eles percebam que diferente das funções seno e
cosseno, a tangente posiciona-se externamente ao círculo e é uma função
crescente, não tendo intervalos de decrescimento, mas pontos nos quais ela não se
define.
45
4.4.2 Atividade Complementar 5: Fixação de conceitos no círculo
trigonométrico
Atividade Complementar 5 – Fixação de conceitos no círculo
trigonométrico
1-Considere o círculo trigonométrico abaixo:
a)Assinale neste círculo os seguintes pares de ângulos:
e
e
; 120° e 150°;
; 300° e 330°. Realizada esta tarefa, complete a tabela:
Pares de
ângulos em
graus
Pares de
ângulos em
radianos
Quadrante
Variação do
seno neste
quadrante
Variação do
cosseno neste
quadrante
e
120° e 150°
e
300° e 330°
b)Que relações é possível estabelecer entre os valores de seno e cosseno em
cada par de ângulos?
2- a)Desenhe uma circunferência de raio 1 cm e assinale nela os ângulos de
0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, 270° e 360°.
b)Observando a posição deste ângulos na circunferência, complete a tabela
com os valores de seno e cosseno dos ângulos do abaixo:
Ângulo
0°
30°
45°
60°
90°
180°
270°
360°
seno
cosseno
3-Você sabe já sabe que o seno está associado ao eixo y e o cosseno ao eixo
x. Preencha, em cada quadrante, os sinais que o seno e o cosseno assumem:
Seno
Explicação para o sinal
1ºQ:
2º Q:
3º Q:
4º Q:
Cosseno
Explicação para sinal
1ºQ:
2º Q:
3º Q:
4º Q:
46
Atividade Complementar 5 – Fixação de conceitos no círculo trigonométrico(Continuação)
4-Complete a tabela seguinte:
Razão
Sinal
Justificativa
Razão
Sinal
Justificativa
sen40°
cos20°
sen140°
cos 130°
cos200°
sen
sen340°
cos
5- Marque os ângulos no círculo trigonométrico e
complete a tabela com o sinal < (menor que) ou >
(maior que), de forma que as sentenças sejam
verdadeiras:
a)sen50° ____sen12°
e)cos60° _____cos240º
b)sen80° ____sen110º f)cos (- 270°)____cos300°
c)sen60º ____sen300º g)sen60°_____ cos (- 300°)
d)cos70° ____cos410°
6-Resolva as expressões abaixo, consultando a tabela de razões trigonométricas de
arcos notáveis, que você completou na tarefa 2, letra a, dessa atividade:
a)Sendo x = , calcule o valor de
sen7x + cos14x.
b)Calcule
Orientações/ Sugestões
A Atividade Complementar 5 visa fixar os conteúdos explorados na Atividade
5, sem utilizar o recurso computacional. A tarefa 1 oferece um círculo orientado, na
letra a dessa tarefa, é pedido que nele sejam assinalados pares de ângulos, alguns
em graus outros em radianos. Após posicionar os pares de ângulos no círculo é
pedido que os alunos completem uma tabela, na qual deverão informar os valores
dos ângulos em graus, se estes forem dados em radianos, ou em radianos, se forem
dados em graus; a que quadrante eles pertencem; que variação sofrem os valores
de seno e de cosseno desses pares de ângulos. Na letra b, pede-se que relações
observadas sejam relatadas. Esperamos que os alunos percebam que dependendo
do quadrante no qual os ângulos se posicionem, à medida que aumentamos ou
diminuímos os valores dos ângulos isso acarretará uma mudança nos valores de
47
seno e cosseno que nem sempre serão diretamente proporcionais e que tal fato está
intimamente relacionado ao quadrante.
A tarefa 2 é uma tarefa de fixação que solicita aos alunos que desenhem um
círculo de raio unitário e nele posicionem os arcos notáveis, depois completem uma
tabela com os valores de seno e cosseno desses ângulos. Consideramos essa
tarefa de simples resolução, pois os alunos poderão consultar livros ou apostilas
para completar tanto a tabela quanto o círculo. Esperamos que os alunos não
apresentem grandes dificuldades para resolvê-la.
A tarefa 3 explora o sinal das funções seno e cosseno em cada quadrante,
pedindo que os alunos justifiquem estes sinais. Esperamos que os alunos associem
os sinais ao posicionamento dos eixos x (cosseno) e y (seno) , do plano cartesiano.
A tarefa 4 complementa a tarefa 3, pois apresenta alguns senos e cossenos de
ângulos em graus ou radianos e solicita o sinal de tais razões trigonométricas.
Esperamos que os alunos, embasados nos quadrantes em que estes ângulos se
posicionam, informem os sinais de cada uma das razões apresentadas.
A tarefa 5 pede que os alunos comparem razões trigonométricas diferentes.
Esperamos que os alunos utilizem o desenho do círculo trigonométrico dado para
posicionar os ângulos e comparar os tamanhos de suas projeções no eixo x, no caso
do cosseno, ou no eixo y, no caso do seno; para então afirmar quais razões são
maiores ou menores em relação as outras.
A tarefa 6 representa expressões comumente encontradas em livros
didáticos, em que se faz necessário substituir e/ou aplicar valores de senos e
cossenos de arcos notáveis para solucionar a expressão. Acreditamos que, como
essa tarefa exige a aplicação de técnicas matemáticas e não somente uma análise,
alguns alunos possam sentir dificuldade em desenvolvê-la, por mais simples que ela
pareça.
48
4.4.3 Atividade 6: Applets com gráficos de seno, cosseno e tangente
Atividade 6 - Applets com gráficos de seno, cosseno e tangente
1- Acesse o seguinte endereço eletrônico:
http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_grafico_seno.html
Movimente o ponto P e analise a função seno:
a)Quando se completa uma volta no círculo, o que ocorre no gráfico?
b)Dizemos que uma função cuja imagem se repete em intervalos regulares de tempo
é periódica. A função seno é periódica? Por quê?
2-Acesse o seguinte endereço eletrônico:
http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_grafico_cosseno.ht
ml
Movimente o ponto P e analise a função cosseno:
a)Quando se completa uma volta no círculo, o que ocorre no gráfico?
b)Dizemos que uma função cuja imagem se repete em intervalos regulares de tempo
é periódica. A função cosseno é periódica? Por quê?
3-Acesse o seguinte endereço eletrônico:
http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_grafico_tangente.html
Movimente o ponto A e analise a função tangente:
a)Quando se completa uma volta no círculo, o que ocorre no gráfico?
b)Dizemos que uma função cuja imagem se repete em intervalos regulares de tempo
é periódica. A função tangente é periódica? Por quê?
4- Que limitações você percebeu ao usar os applets?
Orientações/ Sugestões
A Atividade 6 utiliza um applet que associa as funções seno, cosseno e
tangente no círculo trigonométrico aos gráficos no plano cartesiano. A tarefas 1, 2 e
3 pedem que os alunos observem o que acontece com os gráficos das funções
seno, cosseno e tangente, à medida que é completa uma volta na movimentação de
um ponto específico e analisem se tais funções são periódicas ou não e qual seria o
respectivo valor desse período. Esperamos que os alunos notem que a cada volta
completa no círculo um período do gráfico é desenhado, logo são funções periódicas
e têm como períodos 2π, no caso das funções seno e cosseno, e π, no caso da
tangente. Acreditamos que devido à presença das assíntotas verticais a função
tangente traga um pouco de dificuldade a sua compreensão pelos alunos, no que
achamos que a manipulação do applet minimizará tal situação.
A tarefa 4 questiona os alunos acerca de possíveis limitações dos applets.
Esperamos que os alunos mencionem o fato de que os applets não permitem o
desenho do gráfico além da primeira volta no círculo trigonométrico, ou seja, só
desenha o gráfico em seu primeiro período.
49
4.4.4 Atividade Complementar 6: Gráficos das funções seno e cosseno –
fixação
Atividade Complementar 6- Gráficos das funções seno e cosseno –
fixação
Vamos agora esboçar os gráficos das funções seno e cosseno.
1- Complete as tabelas:
Ângulo
Arco em Seno
Ângulo
Arco em Cosseno
(arco em
graus
(arco em
graus
radiano)
radiano)
0
0
2
2
3
3
4
4
A partir dos dados das tabelas, esboce o gráfico da função seno e da função
cosseno na malha quadriculada:
2-a)Registre suas observações acerca dos gráficos.
b)Os gráficos das funções seno e cosseno representam dois tipos de ondas.
Observando seus desenhos na malha quadriculada percebemos que seus
gráficos são defasados entre si, pois se iniciam em coordenadas diferentes.
Você seria capaz de encontrar o valor dessa defasagem entre as ondas?
Informe o valor dessa defasagem.
50
Atividade Complementar 6- Gráficos das funções seno e cosseno –
fixação- (Continuação)
3- Você conheceu duas novas funções: a função seno e a função cosseno,
complete de acordo com o que você aprendeu:
Função Seno
Função Cosseno
Domínio
Imagem
Intervalo onde é
crescente
Intervalo onde é
decrescente
È par ou ímpar?
4- Você aprendeu que as funções seno e cosseno são periódicas. Diga com
palavras o que isso significa. Se uma função é periódica, de período p,
represente usando a linguagem simbólica o que isso significa.
5- A telha de amianto é muito usada em telhados. Se fizermos um corte
transversal na telha, a que função ela pode ser associada? Justifique.
6-Analisando livros de Física da 2ª série, que assuntos você consideraria ter
alguma relação com os gráficos das funções seno e cosseno? Justifique.
51
Orientações/ Sugestões
A Atividade Complementar 6 visa fixar os conceitos sobre gráficos das
funções seno e cosseno, explorados pelos applets em sala de aula. A tarefa 1 pede
que os alunos montem gráficos das funções seno e cosseno na mesma malha
quadriculada, após preencher duas tabelas acerca dos valores de seno e cosseno
de ângulos notáveis que se posicionam para além de uma volta. Esperamos que os
alunos desenhem os gráficos no mesmo plano, sobrepondo-os, facilitando a
visualização da defasagem entre eles, mas podemos esperar que eles os desenhem
separadamente, já que a malha oferecida é grande.
Na tarefa 2 é pedido que os alunos registrem suas observações referentes
aos dois gráficos e mencionem o valor da defasagem entre os dois. Esperamos que
os alunos indiquem que as formas dos gráficos lembram duas ondas e que sua
defasagem é de um quarto do círculo trigonométrico, ou seja, 90°.
A tarefa 3 é uma tarefa de fixação, e pede que os alunos mencionem valores
de domínio, imagem, intervalos crescentes ou decrescentes e se as funções seno e
cosseno são pares ou ímpares.
A tarefa 4, que consideramos um pouco mais complexa que as demais dessa
atividade, pede que os alunos apresentem um modelo algébrico que represente uma
função periódica. Acreditamos que essa tarefa seja mais complexa, pois exige dos
alunos apresentar uma representação abstrata de um modelo geométrico, algo com
o qual os alunos não estão acostumados. Esperamos que eles apresentem a
representação: f(x) = f(x + p).
A tarefa 5 pede que os alunos observem um corte transversal de uma telha de
amianto e associem este corte a uma das funções trigonométricas: seno ou
cosseno. Esperamos que os alunos associem o formato desse corte ou a função
seno ou a função cosseno.
A tarefa 6 pretende associar as funções seno e cosseno com conteúdos de
Física, pede que os alunos associem tais funções a conteúdos de Física do livro da
2ª série. Pretendemos que os alunos encontrem no livro de Física conteúdos como
Estudo de Ondas, Acústica, Óptica e os associem aos gráficos das funções seno e
cosseno.
52
4.4.5 Atividade 7: Applet de simetrias e redução ao primeiro quadrante
Atividade 7- Applet de simetrias e redução ao primeiro quadrante
1- Acesse o seguinte endereço eletrônico:
http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_1_reducao_quadrante.h
tml
a)Registre o que você observa ao movimentar o cursor .
b) Em que quadrante varia o ângulo ? E o ângulo ?
c)Estabeleça uma relação entre os valores dos ângulos e , e expresse
matematicamente essa relação.
d)Que relação você percebe entre os senos e cossenos de e ?
2- Acesse o seguinte endereço eletrônico:
http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet2_reducao_quadrante.ht
ml
a)Registre o que você observa ao movimentar o cursor .
b)Em que quadrante varia ângulos ? E o ângulo ?
c) Estabeleça uma relação entre os valores dos ângulos e , e expresse
matematicamente essa relação.
d)Que relação você percebe entre os senos e cossenos de e ?
3- Acesse o seguinte endereço eletrônico:
http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_3_reducao_quadrante.h
tml
a)Registre o que você observa ao movimentar o cursor .
b) Em que quadrante varia o ângulo ? E o ângulo ?
c)Estabeleça uma relação entre os valores dos ângulos e , e expresse
matematicamente essa relação.
d)Que relação você percebe entre os senos e cossenos de e ?
Orientações/ Sugestões
A Atividade 7 apresenta applets que exploram as relações de simetria e
redução ao uma primeiro quadrante. As tarefas 1, 2 e 3, cada uma se relacionando
a um dos casos de redução ao 1º quadrante, pedem que os alunos observem e
anotem suas observações acerca do que acontece quando movimentam um cursor
na tela do computador, pedem que informem em que quadrante variam os ângulos
observados e que relação matemática podem estabelecer entre estes ângulos, bem
como qual é a relação entre os senos e os cossenos deles. Esperamos que os
alunos sejam capazes de produzir expressões do tipo: α+ β= 180°; β- α= 180° e α+
β= 360°, para representar as relações entre os ângulos em cada par de quadrantes
e perceber que em cada um desses pares de quadrantes há uma relação diferente
entre senos e cossenos, que podem ser iguais ou simétricos entre si.
53
4.4.6 Atividade complementar 7: simetrias e redução ao primeiro quadrante
Atividade complementar 7- simetrias e redução ao primeiro quadrante
As tabelas de razões trigonométricas apresentam senos, cossenos e
tangentes de ângulos de 1° a 89°. O motivo para só constarem nestas tabelas
os valores de seno, cosseno e tangente de ângulos do primeiro quadrante está
no fato de existirem relações de simetria entre estes ângulos e os demais
quadrantes do círculo trigonométrico. Estas relações simétricas permitem
descobrir as razões trigonométricas nos demais quadrantes, por meio de
associações geométricas no círculo trigonométrico.
A partir das associações geométricas podemos estabelecer relações
que nos permitem determinar as razões trigonométricas para todo o círculo
trigonométrico.
Observe:
*arcos de 2º quadrante(x), compreendidos entre 90° e 180°, podem ser
reduzidos ao 1º, encontrando-se o seu suplemento, ou seja, subtraindo-os de
180°( ): - x;
*arcos de 3º quadrante(x), compreendidos entre 180° e 270°, podem ser
reduzidos ao 1º, encontrando-se o seu explemento, ou seja, subtraindo deles
180°( ): x - ;
*arcos de 4º quadrante(x), compreendidos entre 270° e 360°, podem ser
reduzidos ao 1º, encontrando-se o seu replemento, ou seja, subtraindo-os de
360°(2 ): 2 - x;
Os valores das razões trigonométricas serão iguais aos seus simétricos,
modificando-se apenas os sinais, que respeitam o quadrante do arco original.
Conhecendo estas relações, resolva as atividades abaixo:
1-Determine os valores de:
a)sen300°:
d)cos510°
b)cos(-60°):
e)cos225°
c)sen
2-Calcule o valor de sen
f)sen450°
+ cos
+ cos
+ sen
Orientações/ Sugestões
A Atividade Complementar 7 pretende fixar as técnicas de redução ao
primeiro quadrante. A primeira tarefa explora situações em que estas técnicas
devem ser aplicadas. A segunda tarefa associa estes conceitos com a resolução de
expressões. Esperamos que os alunos apliquem corretamente as técnicas de
redução ao primeiro quadrante e, especialmente, que resolvam a expressão da
tarefa 2, que consideramos mais complexa, mas que já foi debatida anteriormente.
54
4.4.7 Atividade 8: Arcos complementares e Fórmulas da soma e da diferença
de arcos
Atividade 8- Arcos complementares e Fórmulas da soma e da diferença de
arcos
1-Acesse o endereço eletrônico:
http://www.marlizetefrancomatematicateacher.com/painel/applets/applet_arcos_complem
entares.htmlF:\home\aluno\Marlizete\appletarcoscomplementares.html
a)Registre o que você observa ao movimentar o cursor . Que relações é possível
estabelecer entre os ângulos α e β?
b)Em que quadrante variam os dois ângulos?
c)Estabeleça uma relação entre os valores dos ângulos e , e expresse
matematicamente essa relação.
d)Que relação você percebe entre os senos e cossenos de e ?
2- Acesse o endereço eletrônico:
http://www.iep.uminho.pt/aac/hsi/a2001/2001/trig/funcoes2.htm2
No applet presente nessa página, há dois ângulos desenhados em um círculo
trigonométrico. Externamente ao círculo, temos três segmentos azul, vermelho e
verde.
2.1. Clique na caixa sin(A + B) e na caixa “characters”:
a) Seguindo esses comandos, que expressões são associadas a cada uma dos
segmentos?
Azul: ______________________ Vermelha: _____________________
Verde: _____________________
b)Clicando nos símbolos + ou - é possível aumentar ou diminuir os ângulos A e B.
Complete então a tabela abaixo informando o que acontece aos segmentos quando
aumentamos ou diminuímos um desses ângulos:
Semirreta
Azul
Vermelha
Verde
Aumentamos A
Diminuímos A
Aumentamos B
Diminuímos B
c)O que você percebe após analisar a tabela acima?
2.2.Clique na caixa cos(A + B) e na caixa “characters”:
a) Seguindo esses comandos, que expressões são associadas a cada uma dos
segmentos?
Azul: ______________________ Vermelha: _____________________
Verde: _____________________
b)Clicando nos símbolos + ou - é possível aumentar ou diminuir os ângulos A e B.
Complete então a tabela abaixo informando o que acontece aos segmentos quando
aumentamos ou diminuímos um desses ângulos:
Semirreta
Azul
Vermelha
Verde
Aumentamos A
Diminuímos A
Aumentamos B
Diminuímos B
c) O que você percebe após analisar a tabela acima?
2
O site esteve disponível na época da aplicação da atividade, mas se encontra fora do ar desde
13/05/2011.
55
Orientações/ Sugestões
A Atividade 8 explora tanto relações de complementaridade quanto fórmulas
de soma de ângulos. A tarefa 1 pede que os alunos observem e anotem suas
observações acerca do que acontece quando movimentam um cursor na tela do
computador, pede que informem em que quadrante variam os ângulos observados e
que relação matemática podem estabelecer entre estes ângulos, bem como qual é a
relação entre os senos e os cossenos deles. Esperamos que os alunos sejam
capazes de produzir expressões do tipo: α + β= 90° para representar a relação de
complementaridade entre os ângulos e que o seno de um dos ângulos é igual ao
cosseno do outro.
A tarefa 2 explora as fórmulas de soma entre os ângulos. A tarefa 2.1 e 2.2
analisam, respectivamente, a fórmula do seno e do cosseno da soma de dois
ângulos. Nessas tarefas é pedido que os alunos observem o applet durante o
movimento e anotem o que ocorre a cada ângulo e com seu somatório à medida que
estes são manipulados e estabeleçam relações entre estes comportamentos.
Esperamos que os alunos observem e destaquem que à medida que aumentam o
valor da soma do ângulo o seno da soma aumenta, mas seu cosseno diminui e viceversa e que somar os ângulos não significa somar diretamente os senos e cossenos
pois estamos lidando com uma combinação gráfica de informações.
56
4.4.8 Atividade Complementar 8: Arcos complementares e fórmulas da soma e
da diferença de arcos
Atividade Complementar 8 – Arcos complementares e fórmulas da soma
e da diferença de arcos
Ângulos complementares são ângulos cuja soma é 90°. A complementaridade
interfere nas razões trigonométricas. O seno de um ângulo representa o
cosseno de seu complemento e vice-versa. Com esta informação percebe-se
que não precisamos conhecer o seno e o cosseno de todos os ângulos do
primeiro quadrante, basta conhecer os valores de 1° a 45°, os demais poderão
ser obtidos partindo da complementaridade.
1-Complete a tabela com as razões trigonométricas ausentes.
Ângulo ( )
sen
35°
0,57
25°
0,42
cos
Complemento
de
(ângulo )
sen
cos
0,82
0,91
0,59
0,81
2- Você aprendeu que há fórmulas para a soma e para a diferença de senos e
cossenos de ângulos no círculo trigonométrico:
sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa
sen(a – b) = sena.cosb – senb. Cosa
cos(a + b) = cosa.cosb – sena.senb
cos(a – b) = cosa.cosb + sena.cosb
Conhecidas as fórmulas da soma e da diferença e os valores de seno e
cosseno dos ângulos abaixo:
Ângulos ( )
20°
sen
0,34
cos
0,94
30°
0,5
0,87
45°
0,71
0,71
55°
0,82
0,57
60°
0,87
0,5
70°
0,94
0,34
Encontre os valores de seno e de cosseno de:
Ângulo
a)50°
b)75°
c)90°
d)100°
Seno
Cosseno
57
Atividade Complementar 8 – Arcos complementares e fórmulas da soma
e da diferença de arcos (Continuação)
3-Sabendo que sen(a + b) = sena.cosb + senb.cosa e
cos(a + b) = cosa.cosb – sena.senb, estabeleça expressões matemáticas
que representem: o sen(2 ) e o cos(2 ).
sen(2 )
cos(2 )
4-É possível afirmar que cos2 = ½ [ 1+cos(2 )]?Verifique se a afirmativa é
verdadeira.
5-Use as relações estabelecidas para cos(a+b) e cos(a – b) para expressar
sen2 em função de cos(2 ).
Orientações/ Sugestões
A
Atividade
Complementar
8
objetiva
fixar
conceitos
acerca
de
complementaridade e de soma e diferença de ângulos. A tarefa 1 aborda
especificamente ângulos complementares. É dada uma tabela em que dois ângulos
estão associados, numa relação de complementaridade. Esperamos que os alunos
utilizem os conhecimentos adquiridos para completá-la, calculando ângulos
complementares e percebendo que os senos desses ângulos são iguais aos
cossenos de seus complementos e vice-versa.
A tarefa 2 explora o conceito de soma e diferença de ângulos, são dadas as
fórmulas de seno e cosseno e uma tabela de senos e cossenos de alguns ângulos e,
baseados nessas informações, é solicitado aos alunos que completem uma tabela
com senos e cossenos de ângulos obtidos pela soma ou diferença dos ângulos
iniciais.
As tarefas 3, 4 e 5, consideramos as mais complexas até aqui propostas, pois
pedem que os alunos elaborem expressões algébricas a partir de outras expressões
algébricas. Consideramos tarefas mais complexas, pois nossos alunos não estão
habituados a lidar com este nível de abstração.
58
4.5 Bloco 5: Atividades Avaliativas
Objetivos
Dois testes: verificar a aprendizagem dos conteúdos abordados.
Teste 1: resolver problemas aplicados que envolvessem razões trigonométricas no
triângulo retângulo. Interpretar e converter informações em graus e radianos. Saber
operar com ângulos maiores que 360°, obtendo sua 1ª determinação positiva, o nº
de voltas feitas e o quadrante em que esta determinação positiva se encontra.
Saber encontrar o comprimento de uma ou mais voltas na circunferência orientada,
bem como o comprimento de um arco menor que 360°.
Teste 2: comparar senos e cossenos de ângulos diferentes, no mesmo quadrante ou
em quadrantes diferentes. Ser capaz de encontrar os valores de seno e cosseno de
arcos fora do 1º quadrante, utilizando a redução ao primeiro quadrante. Analisar e
extrair propriedades de gráficos das funções seno e cosseno. Resolver expressões
que utilizem valores de seno e cosseno de ângulos notáveis.
Questionário: verificar que impressões os alunos tiveram acerca da sequência de
atividades aplicada, tanto das atividades que utilizaram materiais de medição quanto
as que utilizaram recursos computacionais.
Feira de Matemática: apresentar à comunidade escolar os resultados obtidos no
projeto: Enxergando e modelando a trigonometria das construções da cidade.
Elaborar modelos, como maquetes das construções e desafios com os dados
coletados durante o desenvolvimento do projeto, para serem expostos durante a
Feira.
59
4.5.1 Teste 1
Para a verificação da aprendizagem do conteúdo pensou-se dois tipos testes,
chamados de Teste 1(A) e Teste 1(B)
Teste 1(A)
1-(IMENES; LELLIS, 2009, p. 278) Para vencer o desnível de 3,15m será
construída uma rampa com inclinação de 15°. Com que comprimento a rampa
ficará? (Dados: sen15° = 0,26; cos 15°=0,97; tg 15° = 0,27)
2-Observe o telhado:
x
Sabendo que o pendural (viga vertical) mede 0,90 metros e que a empena e a
linha (viga horizontal) formam um ângulo de 15° entre si, determine o valor da
linha, representada pela variável x. (Dados sen15°= 0,26; cos15°=0,96 ;
tg15°=0,27)
3-(DANTE, 2005, 199) na construção de um telhado foram usadas telhas
francesas e o “caimento” do telhado é de 20° em relação ao plano horizontal.
Sabendo que, em cada lado da casa, foram construídos 6m de telhado e que,
até a laje do teto, a casa tem 3m de altura, determine a que altura se encontra
o ponto mais alto do telhado dessa casa. (Dados: sen20°= 0,34; cos20°= 0,94;
tg20°=0,36.)
4-Uma pessoa numa bicicleta dá 6 voltas em torno de uma pista circular de
diâmetro 8 m.
a)Determine o comprimento da circunferência descrita pelo movimento deste
ciclista, em uma volta completa. (Use: = 3, 14)
b)Determine a distância percorrida ao final das 6 voltas.
c)Se o ciclista percorresse um trecho que correspondesse a um arco de 45°
de uma circunferência, quantos metros ele teria percorrido?
60
Teste 1(A)
(Continuação)
5-Um ângulo de 4° em radianos corresponde a um ângulo de
rad. Esta
afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta.
6- Se transformarmos
rad em graus, obteremos quantos graus?
7- Marque no plano cartesiano abaixo os ângulos:
,
,
8-(M11305MG) A figura abaixo representa uma pista de corrida perfeitamente
circular. Sobre a mesma foram assinalados um sistema de eixos ortogonais xy
e alguns pontos. Veja a representação:
Um atleta parte de A, correndo no sentido anti-horário. Ao correr o equivalente
a um ângulo de 230°, ele estará entre os pontos:
a)A e B
b)B e C c)C e D d)D e E e)A e C
9-Um móvel, partindo da origem dos arcos percorreu um arco de - 4750°.
a)Quantas voltas completas ele deu?
b)Em qual quadrante ele parou?
c)Qual a 1ª determinação positiva desse arco?
10-Qual a questão que você mais gostou de resolver?
61
Orientações/ Sugestões
Esta primeira Atividade Avaliativa será por nós chamada de Teste 1 (A).
Nesta Atividade, as tarefas 1, 2 e 3 abordam as razões trigonométricas no triângulo
retângulo. Esperamos que os alunos apliquem corretamente a razão seno na tarefa
1 e a razão tangente nas tarefas 2 e 3. A tarefa 4 explora a ideia de comprimento de
circunferência e comprimento de arco de circunferência. A letra a espera o cálculo
do comprimento de uma volta na circunferência, utilizando a expressão C= 2.π. r; a
letra b explora a descoberta do comprimento da circunferência quando são dadas
mais voltas, esperando que o resultado seja obtido multiplicando-se o resultado da
letra a, pelo número de voltas. A letra c pede o comprimento de um arco de 45°
dessa mesma circunferência, para encontrar este valor esperamos certa criatividade,
pois além da regra de três que pode ser aplicada a este caso, o aluno pode dividir a
circunferência em oito partes e encontrar o comprimento desse arco a partir do
resultado da letra a.
As tarefas 5 e 6 exploram as conversões de unidades em graus e radianos,
esperando que os alunos expliquem como chegaram aos respectivos resultados. As
tarefas 7 e 8 pedem o posicionamento de alguns ângulos no círculo trigonométrico,
tarefas que consideramos mais simples.
A tarefa 9 explora a ideia de arcos côngruos apresentando um arco bem
maior que 360° solicitando o número de voltas dadas além de 360°, em que
quadrante sua determinação positiva parou e qual era seu valor. Considerando que
o arco da tarefa é um arco negativo, acreditamos que os alunos podem ter
dificuldade em encontrar a 1ª determinação positiva, mas não a negativa e o número
de voltas dadas.
A tarefa 10 pede que os alunos escolham que tarefa mais gostaram de
resolver, na qual pretendemos perceber que impressões os alunos obtiveram da
atividade avaliativa e se coincidem o acerto e a atividade escolhida.
62
Teste 1 (B)
1-(DANTE, 2005, p.197) Uma rampa lisa de 10m de comprimento faz ângulo
de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe essa rampa inteira
eleva-se quantos metros verticalmente? (Dados: sen30°= 0,5; cos30°= 0,87;
tg30°= 0,58.)
2-(DANTE, 2005, p. 199) na construção de um telhado foram usadas telhas
francesas e o “caimento” do telhado é de 20° em relação ao plano horizontal.
Sabendo que, em cada lado da casa, foram construídos 6m de telhado e que,
até a laje do teto, a casa tem 3m de altura, determine a que altura se encontra
o ponto mais alto do telhado dessa casa. (Dados: sen20°= 0,34; cos20°= 0,94;
tg20°=0,36.)
3-Sabendo que metade da linha (viga horizontal) do telhado abaixo mede
3,80m e que o ângulo de inclinação é de 17°. Qual é o tamanho do pendural?
(Dados: sen17°= 0,29; cos17° = 0,96; tg17°= 0,31)
x
17°
3,80m
4-Uma pessoa numa bicicleta dá 7 voltas em torno de uma pista circular de
diâmetro 6 m .
a)Determine o comprimento da circunferência descrita pelo movimento deste
ciclista, em uma volta completa. (Use: = 3, 14)
b)Determine a distância percorrida ao final das 7 voltas.
c)Se o ciclista percorresse um trecho que correspondesse a um arco de 45°
de uma circunferência, quantos metros ele teria percorrido?
5- Um ângulo de 36° em radianos corresponde a um ângulo de
rad. Esta
afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta.
6-Se transformarmos
rad em graus, obteremos quantos graus?
63
Teste 1 (B) (Continuação)
7- Marque no plano cartesiano abaixo os arcos:
,
,
,
8-(M11305MG) A figura abaixo representa uma pista de corrida perfeitamente
circular. Sobre a mesma foram assinalados um sistema de eixos ortogonais xy
e alguns pontos. Veja a representação:
Um atleta parte de A, correndo no sentido anti-horário. Ao correr o equivalente
a um ângulo de 130°, ele estará entre os pontos:
a)A e B
b)B e C c)C e D d)D e E e)A e C
9-Um móvel, partindo da origem dos arcos percorreu um arco de - 4250°.
a)Quantas voltas completas ele deu?
b)Em qual quadrante ele parou?
c)Qual a 1ª determinação positiva?
10-Qual a questão que você mais gostou de resolver?
O Teste 1 (B) possui as mesmas características que o Teste 1(A)
anteriormente comentado, com análises análogas.
64
4.5.2 Teste 2
Para a verificação da aprendizagem do conteúdo pensou-se em dois tipos
testes, chamados de Teste 2 (A) e Teste 2(B).
Teste 2 (A)
1-Marque os ângulos de 35°, 72°, 120°, 100°, 200°, 250°, 280° e 320°, no
círculo trigonométrico:
Associe a cada sentença abaixo o sinal de > ou <, de forma que cada
sentença seja verdadeira:
a)sen 35° ______sen72°
c)cos250° ______cos200°
b)cos 280°______cos320°
d)sen120°______sen100°
2-Sabendo que o ângulo x vale
determine o valor da expressão:
sen(6x) – cos(12x)
3- Calcule o valor da expressão utilizando senos e cossenos de ângulos
notáveis:
4-Determine o sinal da expressão:
x
x
5- 1560° é um ângulo bem maior que 360°.
a)Após algumas voltas completas no círculo trigonométrico, em que quadrante
ele pára?
b)Considerando o quadrante em que este ângulo parou, o valor do sen1560°
vale:
a) positivo
b)
negativo c)
negativo
d)
positivo e)
positivo
6-Considerando as regras de redução ao primeiro quadrante que você
aprendeu, encontre os valores abaixo:
a)sen135°:
b)cos240°
c)sen300°
65
Teste 2 (A)
(Continuação)
7-O gráfico abaixo representa uma função trigonométrica:
Esta função possui certas características. Assinale V(verdadeiro) ou F(falso)
para as sentenças abaixo, conforme elas pertençam ou não a esta função.
a)( )Esta função é uma função par.
b)( )Esta função é crescente nos intervalos de 0 a
decrescente no intervalo de
e de
a 2π; e é
.
c)( )Esta função é uma função ímpar
d)( )Esta função é crescente no intervalo de π a 2π; e decrescente no intervalo
de 0 a π.
e)( )este gráfico é da função y = senx.
f)( )este gráfico é da função y = cosx.
8-Observe o gráfico de função trigonométrica dado abaixo:
1
–3
–2
π 5
–
6
7 8
–1
I.Qual o seu domínio?__________
II-Qual a sua imagem?_________
III-Qual o seu período?_________
IV-Assinale a opção que representa a função associada a este gráfico:
a)y= cosx
b)y= 2cosx c)y= cos
d)y= senx
e)y= sen
9-Que exercício você mais gostou de resolver? Justifique.
66
Orientações/ Sugestões
Esta segunda Atividade Avaliativa é por nós chamada de Teste 2 (A). A
primeira tarefa explora, como na Atividade Complementar 5, as relações entre senos
e cossenos de alguns ângulos, inicialmente, oferecemos um círculo trigonométrico
para que posicionem os ângulos e depois possam comparar se seus senos ou
cossenos são maiores ou menores. As tarefas 2 e 3, como envolvem resolução de
expressões já abordadas na Atividade Complementar 5, esperamos que os alunos
sintam menos dificuldades ao resolvê-las. A tarefa 4 consideramos simples, pois
solicita apenas o sinal da expressão envolvendo senos e cossenos de alguns
ângulos, visto que não é necessário saber os valores de seno e de cosseno dos
ângulos.
As tarefas 5 e 6 abordam as reduções ao primeiro quadrante, diferindo
apenas pelo fato de que a tarefa 5 oferece um ângulo maior que 360°.
As tarefas 7 e 8 referem-se aos gráficos das funções seno e cosseno,
pedindo que os alunos analisem os gráficos prontos, que apresentam mais de um
período em seus desenhos, para depois destacarem suas características. A tarefa 7
apresenta sentenças prontas, pedindo a associação de V, para sentenças
verdadeiras em relação ao gráfico dado, e F, em relação a sentenças falsas em
relação ao gráfico dado. A tarefa 8, um pouco mais complexa, pede informações
acerca do domínio, imagem, período e da função algébrica relacionada ao gráfico
dado.
A tarefa 9 pede que os alunos escolham que tarefa mais gostaram de
resolver, na qual pretendemos perceber que impressões os alunos obtiveram da
atividade avaliativa e se coincidem o acerto e a atividade escolhida.
67
Teste 2 (B)
1-Marque os ângulos de 35°, 72°, 120°, 100°, 200°, 250°, 280° e 320°, no
círculo trigonométrico:
Associe a cada sentença abaixo o sinal de > ou <, de forma que cada
sentença seja verdadeira:
a)cos 35° ______cos72°
c)sen250° ______sen200°
b)sen 280°______sen320° d)cos120°______cos100°
2-Sabendo que o ângulo x vale
determine o valor da expressão:
sen(6x) – cos(3x)
3- Calcule o valor da expressão utilizando senos e cossenos de ângulos
notáveis:
4-Determine o sinal da expressão:
x
x
5- 1560° é um ângulo bem maior que 360°.
a)Após algumas voltas completas no círculo trigonométrico, em que quadrante
ele pára?
b)Considerando o quadrante em que este ângulo parou, o valor do cos1560°
vale:
a) positivo
b)
negativo c)
negativo
d)
positivo e)
positivo
6-Considerando as regras de redução ao primeiro quadrante que você
aprendeu, encontre os valores abaixo:
a)cos135°:
b)sen240°
c)cos300°
68
Teste 2 (B) (Continuação)
7-O gráfico abaixo representa uma função trigonométrica:
Esta função possui certas características. Assinale V(verdadeiro) ou F(falso)
para as sentenças abaixo, conforme elas pertençam ou não a esta função.
a)( )Esta função é uma função par.
b)( )Esta função é crescente nos intervalos de 0 a
decrescente no intervalo de
e de
a 2π; e é
.
c)( )Esta função é uma função ímpar
d)( )Esta função é crescente no intervalo de π a 2π; e decrescente no intervalo
de 0 a π.
e)( )este gráfico é da função y = senx.
f)( )este gráfico é da função y = cosx.
8-Observe o gráfico de função trigonométrica dado abaixo:
2
– 2π
π
–π
2π
3π
4π
–2
I.Qual o seu domínio?__________
II-Qual a sua imagem?_________
III-Qual o seu período?_________
IV-Assinale a opção que representa a função associada a este gráfico:
a)y= senx
b)y= sen2x c)y= 2senx d)y= cosx
e)y= 2cosx
9-Que exercício você mais gostou de resolver? Justifique.
O Teste 2 (B) possui as mesmas características que o Teste 2 (A)
anteriormente comentado, com análises análogas.
69
4.5.3 Questionário
Avaliação das atividades integrantes do projeto de modelação em
trigonometria- questionário
1-O que você achou das atividades que envolveram as medições em sala de aula,
utilizando trena, esquadros, transferidor e canudo? (Descreva todas as suas
impressões, com detalhes)
2-Destaque os pontos positivos e negativos do trabalho realizado durante as
medições em sala de aula;
3-O que você achou do trabalho sobre a trigonometria das construções da cidade?
(Descreva todas as suas impressões, com detalhes)
4-Destaque pontos positivos e negativos durante a execução do projeto:
Trigonometria das construções da cidade;
5-Que sugestões você daria para melhorar as atividades desenvolvidas em sala,
efetuando as medições, e do projeto?
6-O que você achou das atividades realizadas com applets na sala de informática?
(Descreva todas as suas impressões, com detalhes)
7-Destaque pontos positivos e negativos do trabalho realizado na sala de
informática com o uso dos applets.
8-Que sugestões você daria para melhorar as atividades desenvolvidas na sala de
informática?
Orientações/ Sugestões
O Questionário avaliativo pretende analisar todo o percurso da sequência
didática. As perguntas 1 e 2 referem-se às Atividades 1 e 2 aplicadas em sala de
aula, em que os alunos efetuavam medições, utilizando materiais concretos
e
tinham que encontrar a altura da parede da sala de aula e/ou um ângulo de
inclinação. Estas perguntas visam perceber quais impressões os alunos tiveram
dessa forma de abordagem.
As perguntas 3 e 4 pretendem avaliar o projeto que relacionava os
conhecimentos trigonométricos aprendidos em sala de aula com as construções
existentes na cidade. Objetivamos saber que impactos este trabalho teve na
concepção dos alunos.
As perguntas 6 e 7 referem-se às atividades realizadas na sala de informática
e analisam como estas atividades influenciaram a visão dos alunos sobre sua
aprendizagem utilizando esse recurso.
As perguntas 5 e 8 pedem aos alunos sugestões para posteriores melhorias
nas atividades, visamos aproveitar o envolvimento dos alunos para enriquecer estas
atividades.
70
4.5.4 Feira de Matemática
Ao final da aplicação da sequência didática uma Feira de Matemática pode
ser proposta. Como um instrumento avaliativo, visa apresentar à comunidade
escolar os resultados obtidos pelos alunos no desenvolvimento do projeto do bloco
2. Com o uso da pesquisa realizada durante o projeto pode-se sugerir que os alunos
elaborem desafios, problemas associados aos dados coletados e maquetes,
obedecendo a uma determinada escala, acerca das construções escolhidas.
71
5 UMA PROPOSTA DE IMPLEMENTAÇÃO DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA
Para implementar a sequência apresentamos uma proposta, desenvolvida
num conjunto de 18 aulas3, distribuídas ao longo de 5 semanas, num regime de 4
aulas semanais.
Na última aula de aplicação da sequência, pode ser proposto o questionário
para que os alunos avaliem a sequência de atividades. A possibilidade de uma Feira
de Matemática pode ocorrer após o término da aplicação da sequência.
O Quadro 2 apresenta uma possibilidade de desenvolvimento da sequência
didática de forma sintética, apresenta o tipo de atividades, objetivos
e como o
trabalho poderia ser desenvolvido junto aos alunos;
Atividades
Preparatória A
Casa
Preparatória B
Casa
Atividade 1
Sala
Aula 1
Complementar
1
Casa
Atividade 2
Sala
Aula 2
Complementar
2
Casa
Sala
Aula 3
Desafio
Casa
Sala
Aula 4
3
Objetivos
Recuperar os conhecimentos anteriores dos alunos
acerca de triângulos: classificação quanto aos lados,
ângulos, soma dos ângulos de seus ângulos internos.
Explorar a planta baixa de uma casa e os conceitos
nela inseridos: escala, perímetro e área de retângulos.
Estimular a observação e o manejo de plantas baixas,
bem como o uso instrumentos de medida.
Mobilizar conhecimentos sobre semelhança de
triângulos para encontrar a altura da parede da sala de
aula, dispondo de régua, esquadro e canudo de
refrigerante.
Atividades de fixação com semelhança de triângulos
para verificar a invariância das relações.
Encontrar o ângulo de inclinação conhecidos a altura
da parede e a distância até ela, dispondo de um
transferidor e um canudo de refrigerante.
Formalizar a definição das razões trigonométricas
seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo e
explorar estas relações em triângulos variados, em
posições diversas;
Explorar relações fundamentais na trigonometria.
Sistematização e socialização das atividades 1 e 2
(correção, comentários e formalização dos conceitos).
Conhecer e associar algumas partes do telhado à
formação de triângulos e, possivelmente, aplicar o
Teorema de Pitágoras;
Explorar o telhado e sua inclinação a partir de sua
planta.
Discutir o desafio e explicar o projeto: Enxergando e
modelando a trigonometria das construções da cidade.
Tempo
Disposição
1h/a
Dupla
1h/a
Dupla
1h/a
Grupos de 4 a 6
pessoas
1h/a
Dupla
1h/a
Grupos de 4 a 6
pessoas
1h/a
Dupla
1h/a
Individual
1h/a
Dupla
1 h/a
Individual
Para aulas em laboratório de informática pode ser necessário dividir a turma em dois grupos, para
evitar tumulto e permitir aproveitar melhor as potencialidades das atividades. Um desses grupos
poderá realizar as atividades em 4 aulas extraturno.
72
Quadro 2
Atividades
Projeto
Casa
Atividade 3
Sala
Aula 5
Complementar
3
Casa
Sala
Aula 6
Atividade 4
Sala
Aula 7
Complementar
4
Casa
Teste-Sala
Aula 8
Atividade 5
Sala de
informática
Aula 9
Complementar
5
Casa
Atividade 6
Sala de
informática
Aula 10
Complementar
6
Casa
Objetivos
Enxergando e modelando a trigonometria das
construções da cidade.
Selecionar, junto aos alunos, construções que eles
achavam interessantes na cidade e delas extrair a
trigonometria presente: telhados, escadas, rampas,etc.
Escolher e resolver três problemas aplicados, que
abordem razões trigonométricas diferentes, a partir de
uma lista de problemas aplicados retirados de livros
didáticos.
Pedir aos alunos que elaborem exercícios a partir de
situações práticas que envolvam razões
trigonométricas no triângulo retângulo.
Retomar a atividade de casa;
Introduzir o conceito de circunferência, visualizando
nela outro campo para o estudo de ângulos e razões
trigonométricas;
Introduzir o conceito de radiano e conversões de
unidade de arcos;
Formalizar conceitos de comprimento de arco e de
circunferência.
Fixar os conceito de círculo trigonométrico e arco
orientado, o que são os quadrantes do círculo
trigonométrico e quais seus intervalos de existência;
Explorar noções de arcos côngruos e de primeira
determinação positiva e negativa.
Explorar o conceito de comprimento de circunferência
e comprimento de arcos.
Verificação de aprendizagem do conteúdo trabalhado.
Perceber o que ocorre com os valores de seno,
cosseno e tangente quando aumentamos ou
diminuímos o valor do ângulo em cada quadrante do
círculo trigonométrico;
Encontrar os valores dos ângulos dados seus valores
de seno, cosseno ou tangente;
Identificar os eixos correspondentes às funções seno,
cosseno e tangente no círculo trigonométrico.
Atividades de fixação dos conceitos abordados na
atividade com recurso computacional.
Observar como são formados os gráficos das funções
seno, cosseno e tangente, à medida que completamos
uma volta na circunferência;
Reconhecer o que é uma função periódica, avaliando
se as funções trigonométricas citadas são ou não
periódicas, podendo identificar tal período.
Desenhar os gráficos das funções seno e cosseno a
partir da tabela de arcos notáveis, no mesmo plano
cartesiano, para facilitar a descoberta da defasagem
entre as funções. Destacar características dos gráficos
e funções trigonométricas, associando-as às partes de
um telhado e a aplicações a outras áreas de
conhecimento.
Tempo
(Continuação)
Disposição
8h/a
Grupos de 4 a 6
pessoas
1h/a
Dupla
1h/a
Dupla
1h/a
Dupla
1h/a
Dupla
1h/a
Dupla
1h/a
Individual
1h/a
Duplas
1h/a
Dupla
1h/a
Duplas
2h/a
Dupla
73
Quadro 2
Atividades
Sala
Aula 11
Sala
Aula 12
Atividade 7
Sala de
informática
Aula 13
Complementar
7
Casa
Sala
Aula 14
Teste
Aula 15
Sala
Aula 16
Atividade 8
Sala de
informática
Aula 17
Complementar
8
Casa
Sala
Aula 18
Feira de
Matemática
Objetivos
Tempo
Sistematização e retomada das atividades 5 e 6 da
sala de informática
1h/a
Construção de gráficos das funções seno e cosseno
em papel quadriculado;
Apresentação dos resultados do projeto: Enxergando
e modelando a trigonometria das construções da
1h/a
cidade.
Mostra de pôster.
Analisar as situações de simetria no círculo
trigonométrico (vertical, horizontal e em relação à
origem) para estabelecer as expressões de redução
1h/a
ao 1º quadrante, considerando o quadrante em que os
ângulos se encontram.
Atividades de fixação dos conceitos sobre redução ao
primeiro quadrante, abordados na atividade com
1h/a
recurso computacional.
Retomada das atividades 7 e complementar 7,
sistematização e fixação.
Verificação de aprendizagem dos conteúdos
1h/a
abordados.
Aula expositiva: Identidades trigonométricas, relações
1h/a
fundamentais e outras funções trigonométricas.
Perceber relações de complementaridade entre
ângulos e como isso afeta os valores de seno e de
cosseno de arcos num mesmo quadrante;
1h/a
Explorar as fórmulas de soma e subtração de ângulos
através de abordagem geométrica em software
dinâmico.
Fixar as idéias sobre complementaridade de ângulos e
sua influência sobre os valores de seno e cosseno;
Fixar as fórmulas de soma e diferença de ângulos;
1h/a
Permitir aos alunos a recriação de alguns modelos
algébricos abstratos clássicos em trigonometria.
Retomada e sistematização da atividade
complementar 8.
1h/a
Questionário de avaliação dos alunos.
Expor os resultados do projeto para a comunidade
escolar, apresentando modelos representativos das
construções estudadas a luz da matemática e desafios
4h/a
elaborados a partir de dados obtidos ao longo do
desenvolvimento do projeto.
Quadro 2: Implementação da sequência de atividades
Fonte: Dados da pesquisa
(Continuação)
Disposição
individual
Grupos de 4 a 6
pessoas
Duplas
Dupla
Individual
Individual
Individual
Dupla
Dupla
Individual
Grupo
4a6
pessoas
Propomos algumas recomendações acerca da aplicação da sequência
didática. Na primeira aula da aplicação da sequência, pode-se apresentar a
proposta, proceder à divisão dos grupos, conforme a necessidade de cada atividade.
Todas as atividades, tanto de sala quanto complementares, podem ser feitas
em duas vias: ao grupo de alunos é entregue duas folhas, onde os alunos resolvem
74
os questionamentos colocando as observações que achem pertinentes. Ao terminar
as atividades, uma folha é entregue à professora, a outra folha fica com o grupo que
pode utilizá-la em momentos de discussão e socialização de descobertas e como
parte do conteúdo escolar.
O primeiro bloco de atividades retoma alguns conceitos como: Teorema de
Tales, Teorema de Pitágoras, triângulos e escala. Consistindo de duas atividades
preparatórias A e B, que são propostas para serem resolvidas em casa e
socializadas em sala de aula, momento em que o conteúdo nelas abordado é
sistematizado. Sugerimos ao professor que faça um estudo sobre os assuntos
mencionados para melhor orientar os alunos. Para realizar a Atividade Preparatória
B, será necessário o uso da planta baixa de uma casa (ANEXO A), sugerimos
imprimi-la em papel tamanho A3, que oferece melhor visualização.
O segundo bloco de atividades se refere à Trigonometria no triângulo
retângulo. Conta com atividades diversificadas: duas a serem realizadas em grupos,
nas quais os alunos necessitam medir alturas de paredes, sem delas se aproximar,
utilizando alguns materiais concretos. Uma em que os alunos escolhem, entre vários
problemas aplicados de trigonometria, retirados de livros didáticos, três para serem
resolvidos e depois elaborem seus próprios problemas aplicados. Um desafio com a
planta de uma casa em que os alunos analisam a inclinação do telhado nela
representado, empregando conceitos de escala e associando o telhado a modelos
abstratos. E o projeto: Enxergando e modelando a Trigonometria das construções da
cidade. No qual os alunos são estimulados a enxergar a trigonometria nas
construções da cidade. Os alunos listam construções que eles consideram
interessantes; a partir da enumeração dessas construções, os alunos são divididos
em grupos de até 6 pessoas cada um, cada grupo analisa uma das construções
enumeradas. Os alunos têm que fotografar a construção e desenhar um croqui,
utilizando um modelo matemático que expresse a construção fotografada, numa
escala de 1:50, informando nesse desenho as medidas correspondentes e
destacando a trigonometria presente, com cálculos, descrições, desenhos auxiliares
ou o que o grupo achar necessário para expressar suas conclusões. O trabalho é
entregue em duas vias: uma escrita em folha A4 e uma em forma de pôster, em
papel AG, para apreciação da comunidade escolar.
Antes da aplicação das atividades do terceiro bloco, são introduzidos
conceitos como: circunferência, comprimento de circunferência, ângulos medidos em
75
graus e em radianos, arcos de circunferência, comprimento de arcos de
circunferência, círculo trigonométrico orientado. Após essas considerações, as
atividades do bloco três são aplicadas como atividades de fixação necessárias para
a estruturação do conteúdo. Abordam a transição da trigonometria do triângulo
retângulo para o círculo trigonométrico.
O quarto bloco contempla a trigonometria no círculo trigonométrico e no plano
cartesiano, desde as funções seno e cosseno no círculo até o esboço de seus
gráficos no plano cartesiano; reduções ao primeiro quadrante, relações de
complementaridade e fórmulas de soma e diferença de ângulos. Estas atividades
utilizam recursos computacionais, explorando a manipulação de applets. A
sistematização das atividades em sala e complementares ocorre nas aulas
posteriores à atividade em laboratórios de informática. Sugerimos ao professor fazer
um estudo preliminar acerca dos applets que pretende utilizar para melhor orientar
os alunos e aproveitar as potencialidades do recurso, contornando possíveis
limitações.
Durante o desenvolvimento da sequência didática, são previstos dois testes,
para verificação da aprendizagem do conteúdo ministrado. Ao final da sequência, é
aplicado aos alunos um questionário, para que os próprios registrem suas
impressões acerca da sequência didática. O questionário é analisado de forma a
indicar os pontos positivos e negativos, destacados pelos alunos, da aplicação da
sequência e da forma como as atividades foram conduzidas. Finalizando a
sequência, uma Feira de Matemática pode ser proposta na qual os resultados
obtidos no projeto: Enxergando e Modelando a trigonometria das construções,
podem ser apresentados à comunidade escolar sob a forma de desafios, problemas
aplicados elaborados a partir dos dados coletados e maquetes das construções
pesquisadas.
76
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processo de generalização matemática. In: ENCONTRO BRASILEIRO DE
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em: 19 jan. 2011.
80
APÊNDICE A – Lista de problemas aplicados
1-(IMENES, LELLIS, 2009, p.165) Numa indústria, deseja-se construir uma rampa de
comprimento c para vencer um desnível de 2,3m. O ângulo de inclinação da rampa deve ter
20°. Qual deve ser o comprimento c da rampa, sabendo que o ângulo de i = 20°, possui
razões trigonométricas iguais a: sen20°= 0,34; cos20°= 0,94; tg20° = 0,36.
2-(IMENES, LELLIS, 2009, p. 168) Para instalar um teleférico, os engenheiros mediram o
ângulo  e o desnível entre os pontos A e B.
x
Sabendo que sen35° = 0,57; cos35°= 0,82; tg 35°= 0,70. Calcule a medida de AB,
segmento que representa a medida do cabo do teleférico a ser instalado.
3-(IMENES, LELLIS, 2009, p.164, modificado) Um rapaz observa um poste de uma
determinada rua utilizando um transferidor e um canudo de refrigerante. O ângulo de
inclinação sob o qual o rapaz vê o ponto mais alto do poste em relação à horizontal é de
15°. Considerando que este rapaz possui 1,5m de altura e que está a 22, 3 m do poste,
qual é a altura aproximada do poste? (Dados: sen15° = 0,26; cos15°=0,97; tg 15° = 0,27)
4-(IMENES, LELLIS, 2009, p.277) Qual é a altura aproximada da torre? (Dados:
sen35° = 0,57; cos35°= 0,82; tg 35°=0,70)
5-(IMENES, LELLIS, 2009, p.277) Qual é a altura aproximada do mastro da bandeira?
(Dados: sen 25°= 0,42; cos25°= 0,91; tg 25°= 0,47)
81
APÊNDICE A – Lista de problemas aplicados
(Continuação)
6-(GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR., 1994, p.323) Uma escada apoiada em uma
parede, num ponto distante 4m do solo, forma com essa parede um ângulo de 60°. Qual é o
comprimento da escada em m? (Dados: sen60°= 0,87; cos60°= 0,5; tg60°= 1,73)
7-(FERREIRA, 2001, p. 9) Um barco atravessa um rio num trecho onde a largura é 100m,
seguindo uma direção que forma um ângulo de 30° com uma das margens. Calcule a
distância percorrida pelo barco para atravessar o rio. (Dados: sen30°= 0,5; cos30°= 0,87;
tg30°= 0,58)
8-(GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR., 1994, p.324)Um avião levanta vôo sob um
ângulo constante de 20°. Após percorrer 2000m em linha reta, a altura atingida pelo avião
será de, aproximadamente: (Dados: sen20°= 0,34;
cos20°= 0,94; tg20°= 0,36)
a)728m b)1880m c)1000m d)1720m e)684m
9-(GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR., 1994, p.324) Na situação do mapa abaixo,
deseja-e construir uma estrada que ligue a cidade A à estrada BC. Essa estrada medirá:
(Dados: sen30°= 0,5; cos30°= 0,87; tg30°= 0,58)
a)15km b)20km c)25km d)30km e)40km
10-(GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR., 1994, p.324) A fim de medir a largura de um
rio, num certo local, adotou-se o seguinte procedimento: marcou-se um ponto B numa
margem; 30m à direita marcou-se um ponto C, de tal forma que AB seja perpendicular a
BC, e do ponto C mediu-se o ângulo BCA, encontrando-se 30°. Dessa forma, concluiu-se
que a largura AB do rio é: (Dados: sen30°= ; cos30°=
a) m
b)
m
c)5
m
d)10
m e)50
; tg30°=
)
m
11-(IEZZI et al, 2002, p. 220) Observe a figura abaixo e determine a altura h do edifício,
sabendo que AB mede 25m e senθ= 0,8; cosθ = 0,6; tgθ= 1,3.
a)h= 22,5m
b)h= 15m c)h= 18,5m
d)h= 20m
82
APÊNDICE A – Lista de problemas aplicados
(Continuação)
12-(RUBIÓ, FREITAS, 2005, p.209) Uma escada de 2m de comprimento está apoiada no
topo de um muro, em terreno plano. Ela faz ângulo de 40° com o solo. Obtenha a altura do
muro e a distância do pé da escada à base do muro. (Dados: sen40°= 0,64; cos40°= 0,77;
tg40°= 0,84)
13-( IMENES, LELLIS, 2009, p. 165, modificado) Para conhecer a largura de um rio o
esquema abaixo ilustrado foi montado. Sabendo que sen63° = 0,89; cos63° = 0,45;
tg63°= 1,96; calcule a largura aproximada do rio?
14-(IMENES, LELLIS, 2009, p. 292) Em certo momento do dia, um poste de 5m de altura
projeta uma sombra de 1,8m. De acordo com a tabela, qual é, aproximadamente, o ângulo
de inclinação do Sol nesse momento?
a)68° b)69°
c)70° d)71° e)n.d.a.
68°
69°
70°
71°
Seno
0,92
0,93
0,94
0,95
Cosseno
0,37
0,35
0,34
0,32
Tangente
2,4
2,6
2,7
2,9
15-(IMENES; LELLIS, 2009, p.308)Na tarde em que Cícero foi pela primeira vez ao cinema,
encantou-se com a grande tela da sala de projeção. O garoto ficou em pé a 15m da tela,
com os olhos a 1,20m do piso horizontal, conforme mostra a figura. Nessa posição, Cícero
via o ponto mais baixo da tela na altura AB de seus olhos e o ponto mais alto sob um
ângulo de 30°. Qual é, aproximadamente, a altura AB da tela? (Dados: sen30°= ;
cos30°=
; tg30°=
;
= 1,7)
16-(FERREIRA, 2001, p. 10, modificado) Uma pessoa de 1,70m de altura observa o topo
de uma árvore sob um ângulo 40°. Conhecendo a distância de 6m do observador até a
árvore, determinar a altura da árvore. (Dados: sen40°= 0,64; cos40°= 0,77; tg40°= 0,84)
17-(RUBIÓ; FREITAS, 2005, p.210) Um avião levanta vôo sob um ângulo constante de 20°
com a horizontal. Após percorrer 1 km em linha reta, em que altitude ele estará? (Dados:
sen20°= 0,34; cos20°= 0,94; tg20° = 0,36)
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APÊNDICE A – Lista de problemas aplicados
(Continuação)
18-(RUBIÓ; FREITAS, 2005, p.210) Um carro sobe uma ladeira de inclinação constante,
que faz ângulo de 15° em relação à horizontal. Quantos metros ele terá percorrido sobre a
rampa, quando a elevação vertical for de 20m? (Dados: sen15° = 0,26; cos 15°=0,97;
tg 15° = 0,27)
19-(DANTE, 2005, p. 198) Um caminhão sobe uma rampa inclinada de 10° em relação ao
plano horizontal. Se a rampa tem 30m de comprimento, a quantos metros o caminhão se
eleva, verticalmente, após percorrer toda a rampa? (Dados: sen10° = 0,17; cos10° = 0,98;
tg10°= 0,18)
20-(SMOLE, DINIZ, 2005, p. 281) Observe o desenho. O vento conserva o fio esticado
formando um ângulo de 60° com a horizontal. Quando se desenrolam 70m de fio, a que
altura fica a pipa? (As mãos do menino estão a 1,80m do chão, aproximadamente.)
(Dados: sen60°= 0,87; cos60°= 0,5; tg60°= 1,73)
21-(GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR., 1994, p.320) Um avião levanta vôo em B e
sobe fazendo um ângulo constante de 15° com a horizontal. A que altura estará e qual a
distância percorrida quando alcançar a vertical que passa por uma igreja situada a 2 km do
ponto de partida? (dados: sen15°= 0,26; cos15°= 0,97; tg15° = 0,27)
22-(GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR., 1994, p.321) Uma torre vertical de altura 12m
é vista sob um ângulo de 30° por uma pessoa que se encontra a uma distância x da sua
base e cujos olhos estão no mesmo plano horizontal dessa base. Determinar a distância
x.(Dados: sen30°= 0,5, cos30°= 0,87, tg30° = 0,58.)
23-(DANTE, 2005, p. 197) Do alto da torre de uma plataforma marítima de petróleo, de 45
m de altura, o ângulo de depressão em relação à proa de um barco é de 60°. A que
distância o barco está da plataforma? (Dados: sen60°= 0,87; cos60°= 0,5; tg60°= 1,73)
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APÊNDICE A – Lista de problemas aplicados
(Continuação)
24-(DANTE, 2005, p. 198)Queremos saber a largura l de um rio sem atravessá-lo. Para
isso, adotamos o seguinte processo:
*marcamos dois pontos, A(uma estaca) e B(uma árvore), um em cada margem;
*marcamos um ponto C, distante 8m de A, onde fixamos o aparelho de medir ângulos
(teodolito), de tal modo que o ângulo no ponto A seja reto;
*obtemos uma medida de 70° para o ângulo ACB.
Nessas condições, qual a largura l do rio? (Dados: sen70°= 0,94; cos70° = 0,34;
tg70° = 2,75)
25-(IMENES, LELLIS, 2009, 277) Num certo instante, um muro de 1,82m de altura projeta
uma sombra de 6,80m de largura.
Qual é, nesse instante, a medida aproximada do ângulo ê de elevação do Sol?
26-(DANTE, 2005, p. 199) Do alto de uma torre de 50m de altura, localizada em uma ilha,
avista-se um ponto da praia sob um ângulo de depressão de 30°. Qual é a distância da
torre até esse ponto? (Desconsidere a largura da torre.) (Dados: sen30°= 0,5; cos30°= 0,87;
tg30°= 0,58)
27-(DANTE, 2005, p. 199) Um avião levanta vôo em A e sobe fazendo um ângulo constante
de 15° com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando sobrevoar
uma torre situada a 2 km do ponto de partida? (Dados: sen15°= 0,26; cos15°= 0,97;
tg15°= 0,27)
28-(FERREIRA, 2001, p. 9) Um poste na vertical de 4m de altura projeta uma sombra de
4
m sobre o solo. Qual a inclinação dos raios luminosos que originaram a sombra?
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ANEXO A – Planta baixa de uma casa