Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Curso de Licenciatura Plena em Matemática
Alailson João Ribeiro Formento
Miguel Trócolis Lemos dos Santos
Uma investigação Bibliográfica acerca do Ensino
de Trigonometria no Triângulo Retângulo
Belém
2014
Alailson João Ribeiro Formento
Miguel Trócolis Lemos dos Santos
Uma investigação Bibliográfica acerca do Ensino de Trigonometria
no triângulo Retângulo
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como
requisito parcial para obtenção do grau de
Licenciatura em Matemática, Universidade do Estado
do Pará.
Orientador: Prof. Me. Carlos Alberto Miranda Pinheiro.
Belém
2014
Dados Internacionais de Catalogação na publicação
Biblioteca do Centro de Ciências Sociais e Educação da UEPA
Formento, Alailson João Ribeiro
Uma investigação bibliográfica acerca do ensino de trigonometria no triângulo retângulo. /
Alailson João Ribeiro Formento, Miguel Trócolis Lemos dos Santos. Belém, 2014.
Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Universidade do Estado
do Pará, Belém, 2014.
Orientação de: Carlos Alberto Miranda Pinheiro
1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Geometria. I. Santos, Miguel Trócolis Lemos dos. II.
Pinheiro, Carlos Alberto Miranda (Orientador). III. Título.
CDD: 21 ed. 510.7
Alailson João Ribeiro Formento
Miguel Trócolis Lemos dos Santos
Uma investigação Bibliográfica acerca do Ensino de Trigonometria
no triângulo Retângulo
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como
requisito parcial para obtenção do grau de
Licenciatura em Matemática, Universidade do Estado
do Pará.
Orientador: Prof. Me. Carlos Alberto Miranda Pinheiro.
Data de aprovação:
Banca examinadora:
____________________________________, Orientador
Profº Carlos Alberto Miranda Pinheiro
Me. em
Universidade
___________________________________________
___________________________________________
RESUMO
FORMENTO, Alailson; TRÓCOLIS, Miguel. Uma investigação Bibliográfica acerca
do Ensino de Trigonometria no triângulo Retângulo. 2012. 178 p. Trabalho de
Conclusão de Curso (Licenciatura Plena em Matemática) – Universidade do Estado
do Pará, Belém, 2014.
Este trabalho apresenta o resultado de uma investigação bibliográfica, afim de
ressaltar o desenvolvimento de cursos de trigonometria no triângulo retângulo, por
meio de sínteses de teses e dissertações referentes ao tema. A investigação é dada
em 13 bancos de teses e/ou dissertações de instituições variadas, sendo contabilizado
apenas arquivos disponíveis para download em formato de pdf; após a coleta das
teses e dissertações foi realizado uma síntese de cada um dos documentos com
intuito principal de ressaltar os curso de trigonometria no triângulo retângulo aplicados.
Como resultado têm-se 6 dissertações e nem uma tese, sendo apenas duas
exclusivas para trigonometria no triângulo retângulo, tal que o restante são relativas
ao trigonometria no triângulo retângulo e trigonometria no ciclo trigonométrico. Os
trabalhos investigados são os seguintes: Lidegger, que explora um curso de
trigonometria no triângulo retângulo através de uma didática iniciada em problemas
simples, concretos e contextualizados; Nascimento que dá ênfase em seu curso para
o desenvolvimento de uma tabela trigonométrica a partir de situações problemas; Silva
que dá ênfase a um curso com ensino a partir de problemas que revelam construções
geométricas e tratamento figural; Borges que manifestou seu curso através do uso do
Software de geometria dinâmica Geogebra; Silva, que apresentou um curso utilizado
materiais manipulativos e também o uso de Geogebra; e Klein, que apresenta um
curso através dos campos conceituais, levando em conta os conhecimentos prévios e
gradualmente adquirido pelo aluno ao decorrer do curso. Entendeu-se que as
atividades sugeridas nos cursos em maioria ainda carecem de criatividade e
tratamento estrutural, entretanto, este estudo tornou-se relevante pois, ainda sim tais,
cursos nos dão uma referência de um trabalho mais construtivista, e apontam em seus
resultados aspectos satisfatórios e relevantes.
Palavras-chave: Educação Matemática, Trigonometria no triângulo retângulo;
Revisão da literatura.
ABSTRACT
FORMENTO, Alailson; TRÓCOLIS, Miguel. A Bibliographical Research on teaching of
Trigonometry in triangle. 2012. 178 p. monography (Full Licensure in mathematics)Universidade do Estado do Pará, Belém, 2014.
This paper presents the result of a bibliographical research, in order to emphasize the
development of trigonometry courses in triangle, through summaries of theses and
dissertations pertaining to the topic. Research is given in 13 banks of theses and/or
dissertations from institutions varied, being counted only files available for download
in pdf format; After the collection of the theses and dissertations was carried out a
summary of each of the documents in order to highlight the main course in trigonometry
right triangle applied. As a result there are 6 dissertations and even a thesis, being only
two unique to trigonometry in the triangle, such that the remainder are concerning
trigonometry in right triangle trigonometry and trigonometric cycle. The work
investigated are the following: Lidegger that explores a trigonometry course in triangle
through a didactic started in simple, concrete and contextualized problems; Birth which
gives emphasis on its course for the development of a trigonometric table from
situations problems; Silva (2005) that gives emphasis to a course with teaching from
problems that reveal geometric constructions and figural treatment; Borges who
expressed its course through the use of the dynamic geometry Software Geogebra;
Silva who presented a course used manipulative materials and also the use of
Geogebra; and Klein (2009) which features a course through the conceptual fields,
taking into account the previous knowledge and gradually acquired by the student
during the course. You understand that the activities suggested in most courses still
lack creativity and structural treatment, however, this study has become relevant since,
yet such courses give us a reference of a constructivist work, and stick out in their
results satisfactory and relevant aspects.
Keywords: mathematics education, in Trigonometry right triangle; Review of the
literature.
LISTA DE ILUSTRAÇÃO
Fotografia 1 - Maquete com escala não informada
37
Fotografia 2 - Dispositivo de tabela trigonométrica dinâmica
38
Fotografia 3 - Arquivo 1 do Geogebra da síntese 4
120
Fotografia 4 - Arquivo 1 do Geogebra da síntese 4
121
Gráfico 1 - Resultado de acertos por questão corrigida do pós-teste da
51
síntese 1
Gráfico 2 - Resultado de acertos por questões do pós-teste da síntese
52
1
Gráfico 3 - Resultado de acertos por aluno do pós-teste da síntese 1
52
Gráfico 4 - Ocorrência de cada tipo de erro do pós-teste da síntese 1
54
Gráfico 5 - Número de acertos por questões corrigidas no pós-teste da
93
síntese 2
Gráfico 6 - Número de acertos por questão no pós-teste da síntese 2
93
Gráfico 7 - Número de acertos por questão no pós-teste da síntese 2
94
Figura 1 - Esquema de um astrolábio
167
Figura 2 - Esquema de um teodolito formado com astrolábio e uma
168
alidade
LISTA DE QUASROS
Quadro 1 - Referente a atividade 1 da síntese 1
27
Quadro 2 - Referente a atividade 2 da síntese 1
27
Quadro 3 - Referente a atividade 3 da síntese 1
28
Quadro 4 - Referente a atividade 4 da síntese 1
28
Quadro 5 - Referente a atividade 5 da síntese 1
29
Quadro 6 - Referente a atividade 6 da síntese 1
29
Quadro 7 - Referente a atividade 7 da síntese 1
30
Quadro 8 - Referente a atividade 8 da síntese 1
30
Quadro 9 - Referente a atividade 9 da síntese 1
31
Quadro 10 - Referente a atividade 10 da síntese 1
31
Quadro 11 - Referente a atividade 11 da síntese 1
31
Quadro 12 - Referente a atividade 12 da síntese 1
32
Quadro 13 - Referente a atividade 13 da síntese 1
32
Quadro 14 - Referente a atividade 14 da síntese 1
33
Quadro 15 - Referente a atividade 15 da síntese 1
33
Quadro 16 - Referente a atividade 16 da síntese 1
33
Quadro 17 - Referente a atividade 17 da síntese 1
34
Quadro 18 - Referente a atividade 18 da síntese 1
34
Quadro 19 - Referente a atividade 19 da síntese 1
35
Quadro 20 - Referente a atividade 20 da síntese 1
35
Quadro 21 - Referente a atividade 21 da síntese 1
35
Quadro 22 - Referente a atividade 22 da síntese 1
36
Quadro 23 - Referente a atividade 23 da síntese 1
36
Quadro 24 - Referente a atividade 24 da síntese 1
36
Quadro 25 - Referente a atividade 25 da síntese 1
37
Quadro 26 - Referente a atividade 26 da síntese 1
37
Quadro 27 - Referente a aula 1 da síntese 1
39
Quadro 28 - Referente a aula 2 da síntese 1
41
Quadro 29 - Referente a aula 3 da síntese 1
42
Quadro 30 - Referente a aula 4 da síntese 1
42
Quadro 31 - Referente a aula 5 da síntese 1
43
Quadro 32 - Referente a aula 6 da síntese 1
44
Quadro 33 - Referente a aula 7 da síntese 1
45
Quadro 34 - Referente a aula 8 da síntese 1
46
Quadro 35 - Referente a aula 9 da síntese 1
47
Quadro 36 - Referente a aula 10 da síntese 1
48
Quadro 37 - Referente a aula 11 da síntese 1
48
Quadro 38 - Configuração do pós-teste da síntese 1
50
Quadro 39 - Referente a atividade 1 da síntese 2
63
Quadro 40 - Referente a atividade 2 da síntese 2
63
Quadro 41 - Referente a leitura complementar para atividade 2 da
63
síntese 2
Quadro 42 - Referente a continuação da atividade 2 da síntese 2
64
Quadro 43 - Referente a continuação da atividade 2 da síntese 2
65
Quadro 44 - Referente a continuação da atividade 2 da síntese 2
66
Quadro 45 - Referente a continuação da atividade 2 da síntese 2
67
Quadro 46 - Referente a atividade 3 da síntese 2
68
Quadro 47 - Referente a continuação da atividade 3 da síntese 2
70
Quadro 48 - Referente a continuação da atividade 3 da síntese 2
71
Quadro 49 - Referente a continuação da atividade 3 da síntese 2
71
Quadro 50 - Referente a continuação da atividade 3 da síntese 2
72
Quadro 51 - Referente a leitura complementar da atividade 4 da síntese
72
2
Quadro 52 - Referente a atividade 4 da síntese 2
74
Quadro 53 - Referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
75
Quadro 54 - Referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
75
Quadro 55 - Referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
76
Quadro 56 - Referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
77
Quadro 57 - Referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
78
Quadro 58 - Referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
78
Quadro 59 - Referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
79
Quadro 60 - Referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
79
Quadro 61 - Referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
83
Quadro 62 - Referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
83
Quadro 63 - Referente a atividade 5 da síntese 2
84
Quadro 64 - Referente a aula 1 da síntese 2
85
Quadro 65 - Referente a aula 2 da síntese 2
86
Quadro 66 - Referente a aula 3 da síntese 2
88
Quadro 67 - Referente a aula 4 da síntese 2
89
Quadro 68 - Referente a aula 5 da síntese 2
89
Quadro 69 - Referente a aula 6 da síntese 2
90
Quadro 70 - Referente a aula 7 da síntese 2
91
Quadro 71 - Referente a aula 8 da síntese 2
92
Quadro 72 - Referente a atividade 1 da síntese 3
101
Quadro 73 - Referente a atividade 2 da síntese 3
102
Quadro 74 - Referente a atividade 3 da síntese 3
103
Quadro 75 - Referente a atividade 4 da síntese 3
104
Quadro 76 - Referente a aula 1 da síntese 3
107
Quadro 77 - Referente a aula 2 da síntese 3
107
Quadro 78 - Referente a aula 3 da síntese 3
108
Quadro 79 - Referente a aula 4 da síntese 3
109
Quadro 80 - Referente a atividade 1 da síntese 4
119
Quadro 81 - Referente a atividade 2 da síntese 4
120
Quadro 82 - Referente a atividade 3 da síntese 4
121
Quadro 83 - Referente a atividade 4 da síntese 4
122
Quadro 84 - Referente a aula 1 da síntese 4
123
Quadro 85 - Referente a atividade preparatória 1 da síntese 5
129
Quadro 86 - Referente a atividade preparatória 2 da síntese 5
131
Quadro 87 - Referente a atividade 1 da síntese 5
132
Quadro 88 - Referente a atividade complementar 1 da síntese 5
132
Quadro 89 - Referente a atividade 2 da síntese 5
134
Quadro 90 - Referente a atividade complementar 2 da síntese 5
135
Quadro 91 - Referente a atividade 3 da síntese 5
136
Quadro 92 - Referente a atividade complementar 3 da síntese 5
137
Quadro 93 - Referente a atividade desafio da síntese 5
137
Quadro 94 - Referente a atividade projeto da síntese 5
139
Quadro 95 - Referente ao anexo da atividade 3 da síntese 5
136
Quadro 96 - Referente ao anexo da atividade preparatória 2 e atividade
147
desafio da síntese 5
Quadro 97 - Referente a aula 1 da síntese 5
149
Quadro 98 - Referente a aula 2 da síntese 5
149
Quadro 99 - Referente a aula 3 da síntese 5
150
Quadro 100 - Referente a aula 4 da síntese 5
150
Quadro 101 - Referente a aula 5 da síntese 5
151
Quadro 102 - Descrição do teste 1 da síntese 5
156
Quadro 103 - Descrição do teste 2 da síntese 5
158
Quadro 104 - Referente ao questionário inicial da síntese 6
164
Quadro 105 - Referente a atividade 1 da síntese 6
165
Quadro 106 - Referente ao teste 1 da síntese 6
167
Quadro 107 - Referente a aula 1 da síntese 6
169
Quadro 108 - Referente a aula 2 da síntese 6
169
Quadro 109 - Referente a aula 3 da síntese 6
170
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Resultados da coleta de teses e dissertações
20
Tabela 2 - Acertos e erros de alunos do GE dados em cada questão do
53
pós-teste da síntese 1
Tabela 3 - Acertos e erros de alunos do GR dados em cada questão do
54
pós-teste da síntese 1
Tabela 4 - Acertos e erros das questões por aluno no pós-teste da síntese
94
2
Tabela 5 - Erro ou dificuldade na apreensão discursiva na atividade 1 da
110
síntese 3
Tabela 6 - Erro ou dificuldade na apreensão sequencial na atividade 1 da
111
síntese 3
Tabela 7 - Erro ou dificuldade na apreensão perceptiva na atividade 1
112
síntese 3
Tabela 8 - Estratégias de resolução da atividade 1 da síntese 3
112
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO: PROBLEMATIZAÇÃO E OBJETIVOS
12
2 METODOLOGIA
15
2.1 DAS TESES E DISERTAÇÕES SELECIONADAS
2.2 DAS SÍNTESES DAS DISSERTAÇÕES E TESES
15
15
3 DOS RESULDADOS DA COLETA DE TESES E DISSERTAÇÕES
20
4 DOS RESUTADOS DAS SÍNTESE DAS TESES E DISSERTAÇÕES
22
4.1 SÍNTESE 1
4.1.1 INTRODUÇÃO
4.1.2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
4.1.3 METODOLOGIA
4.1.4 ANÁLISE DOS RESULTADOS
4.2 SÍNTESE 2
4.2.1 INTRODUÇÃO
4.2.2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
4.2.3 METODOLOGIA
4.2.4 ANÁLISE DOS RESULTADOS
4.3 SÍNTESE 3
4.3.1 INTRODUÇÃO
4.3.2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
4.3.3 METODOLOGIA
4.3.4 ANÁLISE DOS RESULTADOS
4.4 SÍNTESE 4
4.4.1 INTRODUÇÃO
4.4.2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
4.4.3 METODOLOGIA
4.4.4 ANÁLISE DOS RESULTADOS
4.5 SÍNTESE 5
4.5.1 INTRODUÇÃO
4.5.2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
4.5.3 METODOLOGIA
4.5.4 ANÁLISE DOS RESULTADOS
4.1 SÍNTESE 6
4.6.1 INTRODUÇÃO
4.6.2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
4.6.3 METODOLOGIA
4.6.4 ANÁLISE DOS RESULTADOS
22
22
24
25
50
58
58
59
61
93
98
98
99
100
110
116
116
117
118
124
125
126
126
127
152
161
161
161
162
172
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
175
6 REFERÊNCIAS
177
12
1 INTRODUÇÃO: PLOBLEMATIZAÇÃO E OBJETIVOS
Tomando nossa pouca experiência como discente e docente no ensino de
matemática, somados a relatos informais de inúmeros professores que mantivemos
contato, em especial nossos mentores ao decorrer da nossa graduação em
Licenciatura em Matemática, podemos compreender superficialmente como encontrase o ensino de Matemática em nossa região.
O Ensino de Matemática vem mostrando-se cheio de vícios e dificuldades
em algumas instituições. Caracteriza-se como um ensino mecânico e monótono, de
tal forma que o aluno é um mero espectador, visto que muitas vezes resume-se em
decorar algoritmos e repeti-los em problemas similares. Entretanto, existem diversas
obras e tendências de ensino que já vem a algum tempo querendo modificar este
quadro. Logo, cabe aos futuros educadores a escolha de se acomodar ao sistema, ou
recuperar todo o poder da aprendizagem Matemática. De forma a concordar com as
mudanças que devem ser feitas apresenta-se esta citação de Sadovsky (2010):
“O ensino de matemática hoje – Enfoques, sentidos e desafios nos alerta para a
necessidade urgente de avaliar, questionar e repensar os métodos de ensino da
disciplina [...]”
De pleno acordo com mudanças metodológicas está também a formação
de Licenciatura que nos encontramos ao decorrer destes últimos anos, isto é
evidenciado principalmente pelo currículo do curso que apresenta inúmeras
metodologias que se diferenciam do método tradicional (conceito - exemplos exercício de fixação). Ao estudarmos estas tendências notamos a existência de um
consenso entre os muitos pensadores. Em destaque temos Piaget, que dedicou
inúmeras obras para tratar do estudo da interação entre conhecimento e sujeito,
buscando a análise de como se dá a construção desse conhecimento no sujeito, obras
como: “O nascimento da inteligência na criança” em 1936 e “A construção do Real”
em 1937. Com isso criou-se a corrente construtivista. Essa corrente aponta e investiga
à construção do conhecimento atribuída pela interação sujeito e realidade (meio).
Piaget não aplicou sua teoria diretamente ao ensino-aprendizagem, contudo serviu
como referência para vários outros autores que abordam tal processo, como Bruner.
Bruner (apud BOCK, 1999) defende, em sua teoria de aprendizagem, que
o aluno, deve construir o conhecimento através da situação imposta pelo educador,
13
sendo este agora um “mediador”. Ressaltamos na análise de Bruner citado por
Bock(1999):
“Bruner concebeu o processo de aprendizagem como ‘captar as relações
entre os fatos’, adquirindo novas informações, transformando-as e
transferindo-as para novas situações. Partindo daí, ele formulou uma teoria
de ensino. (...) Bruner sugere que se utilize o método da descoberta como
método básico do trabalho educacional. O aprendiz tem plenas condições de
percorrer o caminho da descoberta científica, investigando, fazendo
perguntas, experimentando e descobrindo”. (BOCK, 1999, p. 113)
Quando Bruner fala de descoberta seu discurso é similar ao método de
Sócrates: maiêutica¹. Sócrates não revelava diretamente a resposta da questão
principal, e sim questionava mais ainda seus discípulos, com questões chaves, que
os guiariam a resposta pretendida, assim constitui-se a maiêutica. A proposta de
Bruner tem a mesma finalidade: a elaboração de situações que invoquem no aluno as
questões chaves, ou pelo questionamento direto, para ele mesmo chegar à resposta
da questão principal, ou seja, em sua descoberta. Assim como Bruner a maioria dos
pensadores que estudamos ao decorrer do curso apresentam seus métodos com
essas mesmas perspectivas básicas. Esses métodos viriam desenvolver todo um lado
cognitivo do aluno indo contra o atua sistema de ensino de Matemática que sufoca a
criatividade do discente.
Segundo
Augusto
Cury (2008),
muito
dos
processos
cognitivos
relacionados ao processo de ensino e aprendizagem depende da situação emotiva do
indivíduo, ou seja, em determinadas situações, geralmente situações apreensiva e/ou
monótonas, o indivíduo tende a fechar suas “janelas de habilidades cognitivas”
dificultando a compreensão e memorização do conhecimento. Logo, entende-se que
uma situação que pretenda construir o conhecimento tem de ser o mais agradável
possível sendo dinâmica; motivadora e curiosa.
Este trabalho não pretende se aprofundar nos autores acima. Vemos esses
autores apenas como indicadores de um consenso que aponta para um ensino de
descobertas e motivação.
Em contra partida da exigência demonstrada para o desenvolvimento de
_____________
¹ Maiêutica significa dar à luz, este nome foi dado ao método por causar uma referência metafórica ao
mesmo.
14
novas metodologias, temos nosso entusiasmo quanto o ensino de trigonometria, que
apresenta possibilidade de tratamento quanto o uso de software e aplicações
intrigantes como na astronomia.
Esse entusiasmos fora aumentado ao vermos a pesquisa de Nascimento
(2005), que realizou um teste com 625 alunos da rede municipal de São Paulo, um
teste apresentando a única questão: “Explique por que seno de 30° é ½”. O resultado
da pesquisa fora assustador, para os quais 305 indivíduos deixaram em branco a
questão; 225 escreveram que não sabiam; 86 tiveram resposta do tipo “vi na
calculadora ou no livro” ou “o professor falou”, somente 35 alunos tentaram responder
e desses apenas um obteve êxito.
Tal experiência nos revela muitos fatos, como indícios que não é somente
em nossa região que há uma falta de significado na transmissão de conceitos
matemáticos. Mais o fato concreto é que tais alunos apresentam uma deficiência muito
grande em conceitos básicos da trigonometria. De forma análoga criamos a hipótese
de que muitos outros municípios apresentam a mesma situação, assim como o nosso.
A exigência de novas metodologias que atendem uma perspectiva
construtivista somadas as dificuldades em conceitos básicos da trigonometria e nossa
afinidade com este conteúdo Matemático nos motivou a criar nossa questão
norteadora:
Quais os principais resultados apresentados pelas pesquisas que investigaram
a trigonometria no triangulo retângulo?
Com esta questão que nos norteia, restringimos este trabalho a uma
pesquisa bibliográfica que objetiva investigar os principais resultados apresentados
pelas pesquisas que investigaram a trigonometria no triangulo retângulo a partir de
levantamento realizado com algumas dissertações e teses que pudemos, dentro de
nosso limite, alcançar.
Esse objetivo torna-se relevante por apresentar estratégias de ensino que
serviram como inspiração para alunos como nós, que estão findando o curso de
Matemática e desejam materiais de apoio e que incentivem a criatividade na
elaboração de novas abordagens metodológicas que propiciem uma melhora no
processo de ensino e aprendizagem da trigonometria, na Educação Básica.
15
2 METODOLOGIA
2.1 DAS TESES E DISERTAÇÕES SELECIONADAS
Foram selecionadas todas as teses e dissertações que estiverem
disponíveis nas bibliotecas virtuais das seguintes instituições:
i) Universidade de Franca (UNIFRAN);
ii) Universidade Cruzeiro do Sul (UNICSUL);
iii) Universidade Bandeirante de São Paulo (UNIBAN);
iv) Universidade Federal de Santa Catarina (UFSC);
v) Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ);
vi) Universidade Estadual Paulista (UNESP);
vii) Universidade Federal de Ouro Preto (UFOP);
viii) Universidade federal de Juiz de Fora (UFJF);
ix) Pontifícia Universidade Católica - Minas Gerais (PUC-MG);
x) Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES);
xi) Pontifícia Universidade Católica – Rio Grande do Sul (PUC-RS);
xii) Pontifícia Universidade Católica – São Paulo (PUC-SP);
xiii)Universidade Luterana do Brasil (ULBRA).
Tais instituições apresentam os respectivos sites, os quais serão
explorados afim de encontrar seus bancos de teses e dissertações (acesso realizado
no dia primeiro de Dezembro):
i)
http://www.unifran.edu.br
ii)
http://www.cruzeirodosul.edu.br
iii)
http://www.uniban.br
iv)
http://ufsc.br
v)
http://www.ufrj.br
vi)
http://www.unesp.br
vii)
http://www.ufop.br
viii)
http://www.ufjf.br
16
ix)
http://www.pucminas.br
x)
http://www.capes.gov.br
xi)
http://www.pucrs.br
xii)
http://www4.pucsp.br
xiii)
http://www.ulbra.br/
Logo, não é difícil de deduzir que o critério de seleção das teses e
dissertações foi devido a facilidade de acesso virtual.
2.2 DAS SINTESES DAS DISSERTAÇÕES E TESES
Selecionadas as teses e dissertações foi realizada uma síntese de cada
uma delas, conforme descrito nos objetivos do trabalho. Lembrando que esta pesquisa
bibliográfica que apresentamos foca na elaboração dos cursos, logo, não
apresentaremos todos os resultados obtidos e nem exploraremos por completo o
referencial teórico utilizado.
Os trabalhos foram categorizados seguindo a seguinte ordem que servirá
como padrão de síntese:
A) INTRODUÇÃO:

Tema

Problematização

Questões norteadoras
Apesar deste tópico não ser colocado como citação, será escrito segundo as
próprias palavras do autor. Estabelecemos desde já este contrato com o leitor.

Objetivos
Apesar deste tópico não ser colocado como citação, será escrito segundo as
próprias palavras do autor. Estabelecemos desde já este contrato com o leitor.
17
B) FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

Pensadores
Neste tópico será exposto, um por um, os autores ou ideias tomados como
referência na pesquisa em questão. Destaca-se, desde já, que tudo que
escrevermos neste tópico relacionado a um pensador abordado é segundo o
autor da pesquisa em questão, apesar de não ser descrito com as própria
palavras do autor.

Observações quanto ao referencial teórico
Neste tópico caberá, se necessário, algumas observações quanto ao uso dos
autores por parte dos que escrevem.
C) METODOLOGIA
Metodologia da pesquisa:
Este macro tópico oferece uma visão superficial do desenvolvimento da pesquisa
revelada através dos seguintes sub tópicos:

Amostra da pesquisa

Tempo do experimento

Experimento
Um breve resumo do experimento

Coleta de dados
Este tópico reserva-se para descrever como o autor apurou os dados, quais
ferramentas.
Metodologia das aulas
Este macro tópico trata-se de uma visão mais detalhada do experimento e é
dividido nos seguintes sub tópicos:

Padrão da metodologia das aulas

Padrão de Avaliação
18

Materiais relevantes
Aqui será colocado tanto Materiais por sua relevância tanto aqueles que sua
apresentação,
podendo
ser
até
mesmo
visual,
faz-se
necessário
posteriormente para facilitar a síntese da aula. Contudo, no caso de pesquisas
mistas, ou seja, aquelas que falam de trigonometria no triângulo retângulo e no
ciclo trigonométrico, não será exposto quaisquer materiais que fogem do ensino
da trigonometria no triângulo retângulo, respeitando assim os nossos objetivos.

Aula por aula
Este tópico abordará aula por aula, sintetizando-as em tabelas que conterão os
seguintes aspectos da aula: Tempo estimado; Objetivo; Material didático;
metodologia; e se necessário Avaliação. Contudo, não apresentaremos aulas
que não se referem a trigonometria no triângulo Retângulo.

Objetivos das demais aulas
Segue neste tópico o objetivo das aulas não apresentadas no tópico anterior.
Assim o leitor saberá quais assuntos o devido pesquisador deixou para
englobar apenas quando fosse visto o ciclo trigonométrico
D) ANÁLISE DOS RESULDADOS
Devido à grande diferenciação no tratamento de dados, os tópicos nesta
etapa serão variados. Contudo, focaremos bastante nas dificuldades encontradas.
Não deixamos esquecer que esse trabalho é focado na trigonometria do triângulo
retângulo, logo aqui não terá espaço para resultados mais concretos na trigonometria
fora do triângulo retângulo. Cabe também dizer, que os resultados que apresentamos
são segundo a análise do autor, onde não se coloca reflexões próprias dos dados
obtidos.
E) CONSIDERAÇÕES FINAIS

Considerações quanto ao resultado
Neste tópico irá refletir-se sobre as questões e objetivos do trabalho
relacionando-os com os resultados, sempre com a visão do autor do trabalho
em questão.
19

Considerações futuras
Será exposta as expectativas futuras que os resultados e conclusões trouxeram
ao autor.
20
3 DOS RESULDADOS DA COLETA DE TESES E DISSERTAÇÕES
Apresentamos a seguir uma tabela que traz o resultado de nossa pesquisa
de acordo com os banco de dados investigados, cabe lembrar que esses resultados
são para arquivos virtuais, ou seja, existe a possibilidade de adquirir o arquivo para
leitura no computador.
Tabela 1 – Resultados da coleta de teses e dissertações
Dissertações ou teses Encontradas
Nome da instituição
Trigonometria no
referente ao banco
triângulo retângulo
de dados
ou triângulo
qualquer
Trigonometria no
ciclo
trigonométrico ou
funções
trigonométricas
Trigonometria no
triângulo retângulo
e no ciclo
trigonométrico
UNIFRAN
0
0
0
UNICSUL
0
0
0
UNIBAN
0
0
0
UFSC
0
1
0
UFRJ
0
0
0
UNESP
0
1
0
UFPO
0
1
0
UFJF
0
0
0
PUC-MG
0
0
1
PUC-RS
0
0
1
PUC-SP
2
2
2
A CAPES1 não foi mencionada por apresentar seu banco de teses e
dissertações em manutenção. Cabe também dizer que nem uma das pesquisas
encontradas são referentes a trigonometria em triângulos quaisquer, ou seja,
abordando lei do seno e cosseno.
Feita a pesquisa segue abaixo a lista das teses e dissertações exploradas
por esse trabalho:
1
Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior.
21
1- LINDEGGER, Luiz Roberto. Construindo os conceitos básicos da
trigonometria no triângulo retângulo: uma proposta a partir da manipulação
de modelos. 197 pg. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – PUCSP. São Paulo, 2000.
2- NASCIMENTO, Alessandra. Uma sequência de ensino para a construção
de uma tabela trigonométrica. 195 pg. Dissertação (Mestrado Profissional em
Ensino de Matemática) – PUC-SP. São Paulo, 2005.
3- SILVA,
Silvio.
TRIGONOMETRIA
NO
TRIÂNGULO
RETÂNGULO:
Construindo uma aprendizagem significativa. 176 pg. Dissertação (Mestrado
em Educação Matemática) – PUC-SP. São Paulo, 2005.
4- BORGES, Carlos Francisco. Transição das razões trigonométricas do
triângulo retângulo para o círculo trigonométrico: uma sequência de
ensino. 144 pg. Dissertação (Mestrado Profissional em ensino de Matemática)
– PUC-SP. São Paulo, 2009.
5- SILVA, Marlizete. Trigonometria, modelagem e tecnologias: um estudo
sobre uma sequência didática. 233 pg. Dissertação (Mestrado em Ensino de
Ciências e Matemática) – PUC-MG. Belo Horizonte, 2011.
6- KLEIN, Marjúnia. O ensino da trigonometria subsidiado pelas teorias da
aprendizagem significativa e dos campos conceituais. 99 pg. Dissertação
(Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) – PUC-RS. Porto Alegre,
2009.
22
4 DOS RESUTADOS DAS SÍNTESE DAS TESES E DISSERTAÇÕES
Conforme previsto no capítulo 3, segue nas próximas páginas as síntese de
cada uma das dissertações, apresentadas no capítulo 4, conforme o padrão também
visto no capítulo 3.
4.1 SÍNTESE 1
Construindo os conceitos Básico da trigonometria no triângulo retângulo: Um
proposta a partir da manipulação de modelos.
4.1.1 INTRODUÇÃO
Tema: A investigação de um abordagem do ensino de trigonometria no triângulo
retângulo através do uso de modelos matemáticos (situações contextualizadas).
Problematização: Com base empírica o autor acredita que os alunos apresentam
dificuldades na aquisição dos conceitos básicos da trigonometria (seno, cosseno e
tangente). Logo, sem o conceituação apropriada os alunos não compreendem por
completo a notação, verificando erros no uso e interpretação da mesma. O autor
colocou alguns desses erros:
a) Compreender cosx como um produto: cos.x;
b) Considerar valores para senos e cosseno maiores ou menores que 1 e -1
respectivamente;
c) Considerar por exemplo sen(a+b) = sen a +sen b;
d) Não definir ao certo a distinção e os conceitos individuais de arcos e razões
trigonométricas possibilitando notações como tg x = 1 ⟹ tg x = 45°;
e) Problemas na notação apresentando simplificações errôneas como apenas tg
e não tg x, possibilitando notações como tg x = sen/cos x;
Conclui-se que os casos citados acima denunciam a falta de significado do conteúdo.
Além disso os alunos apresentam muita dificuldade com problemas contextualizados
o que demonstra ainda mais o vazio das contas realizadas por eles.
Questões Norteadoras: Como abordar o conteúdo de trigonometria no triângulo
retângulo (seno, co-seno e tangente) de forma a possibilitar que o aluno compreenda
seus conceitos?
23
Objetivos: investigar a abordagem de uma sequência didática baseada em situações
iniciadas em problemas simples, contextualizados e concretos. Tal que, ao resolver
os problemas o aluno irá gradualmente formulando seus conceitos por conta própria,
tendo o professor como mediador e “formalizador”.
4.1.2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
4.1.2.1 PENSADORES:
Vygotsky (1987)
O primeiro aspecto retirado das obras Vygotsky (apud LINDEGGER, 2000)
vem para defender o trabalho em questão, pois Vygotsky ao discutir o processo de
aprendizagem coloca que a exposição direta de conceitos ao aluno para depois utilizálos é infrutífera. Para Vygotsky a forma adequada do ensino de conceitos é colocar o
aluno em uma situação que ele terá de refletir e tirar suas próprias conclusões, o que
proporcionará um desenvolvimento cognitivo muito mais abrangente. É obvio que o
papel do professor mediante esta situação é de mediador, um guia para os alunos, e
posteriormente este irá formalizar os conceitos transferindo-os da linguagem
desajeitada do aluno para uma linguagem mais apropriada.
Outra ideia de Vygotsky que fundamenta o trabalho e a Zona de
Desenvolvimento Proximal (ZDP). Segundo Vygotsky, o desenvolvimento intelectual
é dado por saltos qualitativos, onde existe uma certa distância entre uma fase
intelectual (a que o aluno se encontra no presente) e outra (a que o aluno tem potencial
de alcançar). Essa distância deve ser percorrida por estímulos intelectuais, de tal
forma que a melhor forma é quando o aluno é compelido a analisar e refletir afim de
construir suas conclusões em uma determinada situação, dado o professor como
auxiliador. Esse espaço entre uma etapa intelectual e outra é a própria ZDP.
Para complementar as ideias acima coloca-se a ideia de conceito
espontâneo: é o conceito adquiro intuitivamente sobre um objeto, logo não consegue
se expressar de forma completa; e conceito científico: é o conceito formalizado sobre
um objeto, é expressado de forma completa e consciente, logo podendo ser
expressado com palavras. A passagem do conceito espontâneo ao conceito científico
24
é o método mais natural de apropriação de um conhecimento, logo o caminho da
aprendizagem do intuitivo ao formal está justificado.
Vergnaud (1987)
Para Vergnaut (apud LINDEGGER, 2000) o foco da aprendizagem
encontra-se na resolução de situações problemas. Como Vygotsky, ele acredita na
construção do conceito pelo aluno, para tanto desenvolveu a teoria dos campos
conceituais. A formulação de um conceito seria dada pela soma dos seguintes fatores:
Um conjunto de situações que daria um contexto e significado ao futuro conceito,
sendo possível o aluno caminhar e descobrir nesta trilha com um mínimo de
autonomia; conjunto de Invariantes: é o conjunto de dados do problema somado as
relações, propriedades e conceito secundários dentro da situação, seja aqueles
necessários para o desenvolvimento (conhecimento prévio) seja aqueles descobertos
no caminho; e conjunto de representações simbólicas para se referir aos invariantes
e tratá-los. Os fatores acima formam a definição de campo conceitual: Um conjunto
de situações que precisa de um conjunto de conceitos e símbolos para sua
apropriação.
Vergnaut também acredita que o estudo epistemológico do conceito é muito
valioso. Pois, ao estudar as origens e formação histórica de um conceito é possível
extrair seu significado mais puro e diversos contextos para sua utilização. Logo este
estudo faz-se necessário ao professor afim de lidar lucidez e mais perícia na
elaboração de suas situações problemas.
Brousseau (1988)
Em Brousseau (apud LINDEGGER, 2000), é utilizado a teoria da situação
didática e situação a-didática, que não se difere em fundamentos das teorias citadas
acima. Uma situação didática é o conjunto de instrumentos, objetos, etapas e relações
entre os envolvidos, planejados para a obtenção de conhecimento, ou seja, é todo
controle pedagógico implícito ou explicito. Já a situação a-didática foca no controle
pedagógico implícito, de tal forma, que neste momento quem está trabalhando,
formulado e compartilhando é o aluno. Logo, a situação a-didática deve estar contida
na situação didática, afim que neste momento se busque uma abordagem
construtivista.
25
Dentro dos aspectos do parágrafo anterior, Brousseau propõe uma
situação didática dividida em quatro etapas: ação; formulação; validação;
institucionalização. A ação é a fase em que o aluno opera os materiais fornecidos,
afim de chegar em soluções para o problema também fornecido. A formulação é a
fase em que o aluno tenta repassar suas soluções ou entendimento da situação, de
forma escrita, simbólica ou oral, sem se preocupar com sua validade, eficácia, ou
formalização. A validação é a etapa em que o estudante tenta fundamentar e justificar
seus atos, é um processo onde deve-se confrontar as ideias. Institucionalização é a
última etapa onde, com uma grande participação do professor, são formalizadas as
ideias. Dado as quatro etapas, é necessário comentar que nem sempre estas vão ser
facilmente identificadas e separadas pois, duas etapas ou mais podem acontecer de
forma simultânea, porém a formalização sempre será bem nítida e de certa forma
separada.
4.1.2.2 OBSERVAÇÕES QUANTO AO REFERÊNCIAL TEÓRICO
Notamos que que o trabalho em questão, abordando Vygotsky e Vergnaud
busca uma um apoio e compreensão parcial do fundamento do método utilizado que
teria como essência o construtivismo, de tal forma que na prática isso quer dizer que
o docente deverá partir de uma situação, no caso do trabalho de problemas escritos
ou dialogados, e com uma série de estímulos, no caso discursões com outros alunos
e mediação do professor, construir um novo conceito, ou seja, estabelece neste ponto
uma nova ordem didática: do problema ao conceito. Contudo, é em Brosseau que
nota-se mais influência quanto a metodologia aplicada a cada aula, conforme será
visto na subsecção seguinte.
4.1.3 METODOLOGIA
4.1.3.1 METODOLOGIA DA PESQUISA
Amostra da pesquisa: A experiência é abordada em uma escola, autarquia
municipal, da cidade de Taubaté em São Paulo. Será trabalhada em duas turmas da
8ª série. A primeira turma, no período matutino e com 32 alunos, será chamada de
grupo de referência (GR). A segunda turma, no período vespertino e com 24 alunos,
26
será chamada de grupo experimental (GE). Entretanto, os dados dos resultados serão
apurados apenas com os alunos que participarem de toda a experiência, sem faltar
uma aula, seja no GR ou GE.
Tempo do experimento: Para cada grupo foram disponibilizados aulas, nos horários
normais de estudo, através de encontros de duas ou três hora-aulas (uma hora-aula
constitui 50 minutos) num total de 15 hora-aulas dadas em 7 encontros para o grupo
de referência e 18 hora-aulas dadas em 13 encontros para o grupo experimental.
Visão superficial do experimento:
Grupo Referencial: Neste grupo foi ministrado aulas ditas como tradicionais: uso de
pincel, quadro e livro didático com a metodologia que segue os passos: conceito,
exemplos e exercícios de fixação; o método teve como base o livro didático. Não
houve participação ou controle por parte do pesquisador.
Grupo experimental: As aulas foram dadas de acordo com o objetivo da pesquisa.
Serão mais de 25 Atividades aplicadas ao decorrer dos encontros.
Coleta de dados: Serão ministrados dois testes: pré-teste e pós-teste. Ministrados
aos dois grupos antes e depois das aulas referentes ao conteúdo.
4.1.3.2 METODOLOGIA DAS AULAS
4.1.3.2.1 PADRÃO METODOLÓGICO DAS AULAS
A maioria das atividades da pesquisa são fundamentadas em problemas.
Geralmente a resolução desses problemas é colocada através das seguintes etapas:
Discursão em grupo: Os problemas sempre serão colocados em um primeiro
momento a um grupo, exigindo assim o compartilhamento de ideias e estratégias.
Nesta etapa, entretanto, o educador terá um papel muito presente com as seguintes
tarefas:
- Ajudar de forma sutil quanto a interpretação e coleta de dados se necessário;
- Utilizar questões chaves para que os alunos consigam formular estratégias de
resolução;
- Ajudar os integrantes de um grupo a compartilhar suas ideias.
27
Compartilhamento com os demais grupos: Com a mediação do docente, cada
grupo, já com sua resposta, é compelido a compartilhá-la com a sala, argumentando
e justificando seus processos e resultados em seguida compara-los com os demais,
buscando sempre um consenso. O docente sempre que necessário poderá interferir
para corrigir discrepâncias, tirar dúvidas chaves e abrir comentários relevantes.
Formalização: Neste momento o educador irá colocar a resolução correta na lousa,
reforçando pontos de dúvidas e atribuindo uma linguagem mais formal.
Logo já sabemos que no tópico que descreverá aula por aula quando o
aluno for sujeito a uma atividade significa que passará pelas três etapas acima para
resolvê-la.
Ao termino dos três passos acima, dependendo do problema o professor
poderá incluir junto a formalização um novo conceito pertinente no momento, que
serão descritos no tópico aula por aula.
4.1.3.2.2 AVALIAÇÃO
O trabalho não revela detalhes quanto a avaliação em cada aula, porém
fica implícito que tal avaliação é dada de acordo com o envolvimento do aluno na
situação proposta, somado com a análise do material que retorna ao professor.
Entretanto, como já dito, é realizado ao fim do experimento um teste onde será
fundamentada a análise dos resultados.
4.1.3.2.3 MATERIAIS RELEVANTES
Ficha 1:
Quadro 1 – referente atividade 1 da síntese 1
Como você mediria a altura do ___________?
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
Ficha 2:
Quadro 2 – referente a atividade 2 da síntese 1
(continua)
Complete a tabela a seguir com dados obtido das medições dos modelos de
28
Quadro 2 – referente a atividade 2 da síntese 1
(continuação)
triângulo retângulos.
a
c
b
Grupo
Triângulo
Medida dos lados
a
b
a²
c
b²
c²
b² + c²
c/b
1
2
3
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
Ficha 3:
Quadro 3 – referente a atividade 3 da síntese 1
Construir em papel quadriculado, utilizando régua e transferidos, um triângulo
retângulo com um ângulo agudo de 35ª e obter a razão c/b.
a
c
35º
b
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
Ficha 4:
Quadro 4 – referente a atividade 4 da síntese 1
Determine a altura da árvore dado:
29
35°
1,7m
20m
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
Ficha 5:
Quadro 5 – referente a atividade 5 do da síntese 1
Completara a tabela a seguir com os valores das razões (cateto oposto de
“a”)/(cateto adjacente de “a”) chamada c/b.
a
5°
10°
15°
20°
25°
30°
35°
40°
45°
50°
55°
60°
65°
70°
75°
80°
85°
c/b
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
Ficha 6:
Quadro 6 – referente a atividade 6 da síntese 1
Num certo instante, a sombra de uma vassoura mede 6,36m. A vassoura mede
1,12m. Qual é, neste instante, o ângulo ê de elevação do sol?
1,12m
ê
6,36m
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
30
Ficha 7:
Quadro 7 – referente a atividade 7 da síntese 1
Para medir a largura de um rio, sem atravessá-lo, um observador situado num ponto
A, distante 3m da margem, visa, perpendicularmente a sua margem, um ponto B na
margem oposta. De A, ele traça uma perpendicular à reta AB e marca sobre ela um
ponto C distante 30m de A. Em seguida, ele se desloca para C, visa os pontos A e
B e mede o ângulo ACB obtendo 40°. Qual é aproximadamente a largura do rio?
A
30m
B
3m
40°
l
B
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
Ficha 8:
Quadro 8 – referente a atividade 8 da síntese 1
Qual a distância entre você (numa praia) e uma ilha ou navio?
Na figura, o ponto I representa uma ilha e o ponto F você deitado na praia. Com
trena e teodolito, um topografo pode calcular a distância entre você e a ilha.
Com o teodolito cocado em F, eles obtêm a
I
direção FA, formando 90° com FI. No ponto A,
cravam uma estaca na praia. A distância de F
até A é medida com a tren: 132m. Levando o
teodolito para o ponto A, medem o ângulo
F
formado pelas direções AF e AI: 85°. Com
esses dados, pode-se calcular a distância
A
132m
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
entre você e o navio.
31
Ficha 9:
Quadro 9 – referente a atividade 9 da síntese 1
Um telhado foi construído de tal modo que, para cada 1m na horizontal, sobe-se
0,4m na vertical. Pergunta-se:
a) Qual é o valor do tg î?
b) O ângulo de inclinação î é maior, menor ou igual a 20°? Maior, menor ou igual
a 25°?
c) Qual é, aproximadamente, o valor de î?
0,4m
î
1m
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
Ficha 10:
Quadro 10 – referente a atividade 10 da síntese 1
Numa indústria, deseja-se construir uma rampa de comprimento c para vencer um
desnível de 2,3m. O ângulo de inclinação î da rampa deve ter, no máximo, 20°. Qual
deve ser o comprimento mínimo da rampa? (Atenção para este problema!)
c
2,3m
î
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
Ficha 11:
Quadro 11 – referente a atividade 11 da síntese 1
(continua)
Completar a tabela a seguir com os valores das razões indicadas, utilizando-se das
construções já efetuadas quando do trabalho com a ficha de atividade 5.
32
Quadro 11 – referente a atividade 11 da síntese 1
(continuação)
a
c
Â
b
Â
5°
10°
15°
20°
25°
30°
35°
40°
45°
50°
55°
60°
65°
70°
75°
80°
85°
Tg Â
0,09
0,18
0,27
0,36
0,47
0,58
0,70
0,84
1,00
1,19
1,43
1,73
2,14
2,75
3,73
5,67
11,43
c/a
b/a
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
Ficha 12:
Quadro 12 – referente a atividade 12 da síntese 1
Uma escada de 2,80m de comprimento está apoiada no alto de um muro, formando
com esse muro um ângulo de 60°. Qual é a altura do muro?
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
Ficha 13:
Quadro 13 – referente a atividade 13 da síntese 1
Um barco atravessa um rio num trecho onde a largura é 100m, seguindo uma
direção que forma um ângulo de 40° em relação a margem. Determinar a distância
pelo barco para atravessar o rio.
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
33
Ficha 14:
Quadro 14 – referente a atividade 14 da síntese 1
Uma pipa está presa a uma linha esticada que forma um ângulo de 45° em relação
ao solo. A linha tem 50m de comprimento. Determine em que altura se encontra a
pipa.
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
Ficha 15:
Quadro 15 – referente a atividade 15 da síntese 1
Do ponto mais auto de uma torre de retransmissão de TV, será esticado um cabo
de aço para sustentação da mesma. Sabendo-se que esse cabo será afixado a 15m
da base da torre e que faz um ângulo de 55° com o solo, determine o comprimento
do cabo.
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
Ficha 16:
Quadro 16 – referente a atividade 16 da síntese 1
Calcule as razões trigonométrica sen x, cos x e tg x, nos casos:
a)
20
12
x
16
b)
6
8
x
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
34
Ficha 17:
Quadro 17 – referente a atividade 17 da síntese 1
José Carlo mediu lados e ângulo do triângulo LUA. Depois, fez este cálculo:
cos 40° = 84/96 ≅ 0,87
Quando conferiu com a tabela percebeu que algo estava errado. Descubra o erro
que ele cometeu.
L
96mm
60°
40°
61mm
80°
A
U
84mm
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
Ficha 18:
Quadro 18 – referente a atividade 18 da síntese 1
Consulte a tabela trigonométrica e calcule o valor aproximado de x nos seguintes
casos:
a)
d)
70°
x
10cm
8cm
5,7cm
x
b)
e)
6cm
X
3cm
65°
53mm
x
c)
x
25°
7cm
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
35
Ficha 19:
Quadro 19 – referente a atividade 19 da síntese 1
Determinar a área do triângulo:
3m
30°
6m
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
Ficha 20:
Quadro 20 – referente a atividade 20 da síntese 1
Sabendo que sen a=2/3, determine cos a e tg a.
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
Ficha 21:
Quadro 21 – referente a atividade 21 da síntese 1
Observe as figuras e determine:
a) SenB, cosB, senC e cos C
B
13
B=?
C=?
5
A
12
C
b) senH, cosH, senÎ, cosÎ
H
Î=?
H=?
2
1
I
√3
c) senE, cosE, senF, cosF
D
G
Ê=?
F=?
6
8
F
E
10
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
36
Ficha 22:
Quadro 22 – referente a atividade 22 da síntese 1
Considerando o triângulo:
β
a
c
α
b
Pede-se:
a) Em todo triângulo retângulo, qual é o valor de α+β? Por quê?
b) Quando que dois ângulos são chamados de complementares? Dê exemplos.
c) Determine sen α, cos α, sen β e cos β.
d) Observe os resultados acima e os da ficha de atividade 21, que conclusão
podemos tirar da relação entre ângulos complementares e razões
trigonométricas?
e) Escolha dois ângulos complementares e observe na tabela trigonométrica a
relação entre seno e cosseno desses ângulos?
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
Ficha 23:
Quadro 23: referente a atividade 23 da síntese 1
Determine cos Â, sabendo-se que sen C=0,3675.
C
A
B
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
Ficha 24:
Quadro 24 – referente a atividade 24 da síntese 1
(continua)
Um professor “bolou” a seguinte questão “Dado sen α = 3/2, determine cos α e tg
α”. Não percebeu que havia cometido um engano (uma vez que professor não erra).
37
Quadro 24 – referente a atividade 24 da síntese 1
(continuação)
Durante a prova, um aluno percebeu e chamou a atenção do professor. Qual foi o
erro (digo, o engano) cometido pelo professor?
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
Ficha 25:
Quadro 25 – referente a atividade 25 da síntese 1
Classifique cada afirmação como verdadeiro ou falso:
a) Se um ângulo aumenta sua tangente também aumenta.
b) A tangente de 70° é o dobro da tangente de 35°.
c) A tangente de 60° é o triplo da tangente de 20°.
d) Se um ângulo dobra, sua tangente sempre dobra também.7
e) A tangente de um ângulo é diretamente proporcional ao ângulo
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
Ficha 26:
Quadro 26 – referente a atividade 26 da síntese 1
Classifique cada afirmação a seguir como verdadeiro ou falsa.
a) Se um ângulo aumenta, seu cosseno aumenta.
b) Se um ângulo aumenta, seu seno aumenta.
c) Sen80°=2.sen40°
d) Sen50°=cos40°
e) Cos70°=cos30°+cos40°
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
Material concreto 1: Maquete (ver Fotografia 1).
Fotografia 1 – Maquete com escala não informada
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
38
Material Concreto 2: Dispositivo de tabela trigonométrica (ver Fotografia 2).
Fotografia 2 – Dispositivo de tabela trigonométrica dinâmica.
Fonte: Extraído de LINDEGGER, 2000.
4.1.2.3.4 AULA POR AULA
Segue nas próximas páginas, orientadas em modo paisagem, as tabelas
referentes a cada aula.
39
Aula 1:
Quadro 27 – referente a aula 1 da síntese 1
(continua)
Tempo estimado
Objetivos
Duas horas-aulas
Rever os conceitos de semelhança de triângulos, triângulo Retângulo e Teorema de Pitágoras.
Modelos de conjuntos de triângulos semelhantes em cartolina, fichas 1 e 2, material concreto 1:uma maquete
Materiais didáticos
representando uma árvore uma bastão firmado ao solo (retirável) e suas respectivas sombras (também
retiráveis), em uma escala determinada, réguas com escalas, quadro e pincel.
Os alunos serão divididos em 4 grupos, a cada grupo será entregue a ficha 1. No espaço à
1ª etapa
preencher seria sugerido monumentos conhecidos pelos alunos, monumentos autos tendo, como
finalidade mostrar ao aluno a inacessibilidade de certas medidas. Logo, a ficha geraria uma
discursão em grupo e posteriormente com a sala toda.
2ª etapa
Metodologia
Será realizado uma breve explanação por parte do professor sobre Tales (500 a.C.), e como ele
mediu a altura de uma pirâmide através da sombra.
Será apresentado aos alunos a maquete. Em seguida será aberto uma discursão de como medir
a altura da árvore, depois de algumas ideias acrescentar-se-á o bastão e as sombras à maquete.
Conforme a discursão prossegue a situação será esquematizada na lousa, onde ao fim o
3ª etapa
professor pretende formalizar de forma generalizada que a divisão entre dois lados de um
triângulo é igual a divisão dos dois lados correspondentes de um triângulo semelhante. E por
último a formalização será aplicada as medidas da maquete, que serão fornecidas pelos alunos
com auxílio de um régua com escalas, lembrando sempre a eles que a medida da árvore em
40
Quadro 27 – referente a aula 1 da síntese 1
(continuação)
teoria é inacessível. Após, será medido a altura da árvore, afim de confirmar os fatos. Em seguida
3ª etapa
será explanado que Tales verificou que quando a medida da sombra do bastão é igual a altura
do bastão, a sombra da árvore equivale a sua altura.
Será exposto aos aluno os modelos de triângulos, um aluno de cada grupo escolherá um triângulo
4ª etapa
e terá de identificar seus semelhantes, em seguida expor a turma o porquê de sua escolha, logo
essa discursão se generalizará para toda turma. Ao fim da discursão será formalizado o conceito
de semelhança de triângulo.
Ainda com os modelos de triângulo o professor mostrará um por um, questionando todos os
alunos se é ou não um triângulo retângulo. Após isso, outra discursão será colocada, fundada
Metodologia
5ª etapa
nas perguntas: por que vocês consideram aqueles escolhidos como Triângulo Retângulo? Apôs
a discursão o professor irá formalizar o que é triângulo retângulo. Em seguida, relembrar junto
aos alunos os nomes dados aos seus lados.
O professor questionará se os alunos conhecem o Teorema de Pitágoras, apôs as respostas esse
teorema será exposto no quadro. Em seguida será apresentado aos alunos a ficha 2, uma para
cada grupo, onde terão de escolher três triângulos retângulos dos modelos apresentados
6ª etapa
anteriormente, tirar suas medidas com a régua e preencher a tabela da ficha. Apôs, os alunos
findarem a atividade, eles irão compartilhar suas respostas com o professor e este irá chamar a
atenção para a validação do teorema de Pitágoras e que para cada grupo de triângulos retângulos
semelhantes c/b é constante.
Fonte: Baseado no texto de LINDEGGER, 2000.
41
Aula 2:
Quadro 28 – referente a aula 2 da síntese 1
Tempo estimado
Uma hora-aula.
Perceber a constante entre a razão dos catetos (tangente) de triângulos retângulo com mesmos ângulos;
Objetivos
introduzir a ideia de cateto oposto e adjacente; aprender a trabalhar com régua, transferidor e papel
quadriculado.
Materiais didáticos
Ficha 3, papel quadriculado, régua, transferidor, quadro e pincel.
A sala será dividida em quatro grupos. Será dado a cada grupo uma ficha 3 acompanhada de
1ª etapa
papel quadriculado, transferidor e régua. Esta primeira etapa será utilizada para explorar o
material fornecido, tirando dúvidas quanto ao uso.
Já sabendo operar as ferramentas será requisitado que os alunos façam o que se pede na ficha.
Em seguida, os alunos terão de repetir a atividade com triângulos menores e maiores. Após os
alunos confirmarem a constante, o professor fará alguns questionamentos baseado nas três
Metodologia
2ª etapa
perguntas que segue: e se o ângulo fosse 55° o resultado iria mudar? Para todo o caso em que
que o ângulo é 55° é o mesmo resultado também? Podemos generalizar esta situação? Por fim,
o professor fará a formalização do conceito na lousa através de um desenho generalizado,
dizendo que em todo triângulo retângulo com ângulo “x” teremos c/b constante, aproveitando o
desenho introduzirá o conceito de cateto oposto e adjacente.
Fonte: Baseado no texto de LINDEGGER, 2000.
42
Aula 3:
Quadro 29 – referente a aula 3 da síntese 1
Tempo estimado
Objetivos
Materiais didáticos
Uma hora-aula.
Aplicar o conhecimento de “tangente”.
Ficha 4, quadro e piloto.
1ª etapa
Metodologia
Neste momento teremos uma breve revisão da última aula.
Os alunos serão divididos em quatro grupos. Os grupos receberão a ficha 4, e serão incumbido
2ª etapa
de resolver o problema. Para finalizar o professor fará um breve discurso sobre medidas
inatingíveis e ferramentas para medir ângulos (teodolito e transferidor).
Fonte: Baseado no texto de LINDEGGER, 2000.
Aula 4:
Quadro 30 – referente a aula quatro da síntese 1
(continua)
Tempo estimado
Objetivos
Materiais didáticos
Duas horas-aula.
Construir e conhecer uma tabela trigonométrica de tangente, utilizando-a em uma aplicação da mesma.
Fichas 5 e 6, régua, transferidor, papel quadriculado, quadro e pincel.
Será dividida a turma em dez grupos, onde cada grupo receberá uma ficha 5, afim de preencher
Metodologia
1ª etapa
a tabela. Sendo que os ângulos contidos na tabela serão divididos de tal forma que não falte nem
um, entretanto que possibilite a repetição de alguns e o mesmo número de ângulos pra cada
grupo (2). Ao final o professor irá completar uma mesma tabela na lousa com os resultados das
43
Quadro 30 – referente a aula quatro da síntese 1
(continuação)
1ª etapa
Metodologia
2ª etapa
3ª etapa
equipes, e discutir a finalidade desta tabela. As fichas serão recolhidas e as construções
geométricas serão guardadas pelos alunos avisados de seu uso em uma próxima aula.
Os grupos receberão a ficha 6 e terão de resolver seu problema.
Será entregue aos grupos a ficha 7. O professor abrirá uma breve discursão sobre por que medir
a largura de um rio. Em seguida os alunos terão um tempo para resolver o problema.
Fonte: Baseado no texto de LINDEGGER, 2000.
Aula 5:
Quadro 31 – referente a aula 5 da síntese 1
(continua)
Tempo estimado
Objetivos
Materiais didáticos
Uma hora-aula.
Definir o conceito de tangente e arco-tangente; aplicar tais conceitos em problemas; usar calculadora no
cálculo de tangente e arco-tangente.
Fichas 5 e 6, régua, transferidor, papel quadriculado, quadro e pincel.
1ª etapa
Metodologia
Será realizado um apanhado sobre os problemas já vistos nas aulas anteriores, de tal forma que
ao discutir com os alunos o professor consiga leva-los a definição de tangente.
Dividindo a turma em 4 grupos, será entregue a ficha 8, onde os alunos resolverão seu problema.
2ª etapa
Aproveitando o problema o professor irá demonstrar como calcular tangente de um arco com a
calculadora.
44
Quadro 31 – referente a aula 5 da síntese 1
(continuação)
Com posse da ficha 9, novamente as equipes terão de resolver um problema. Os alunos poderão
usar suas tabela trigonométrica (feita em aula anterior) e/ou calculadora. No processo de
Metodologia
3ª etapa
resolução o docente realizará um discurso sobre aproximação e arredondamento e quando
formalizar, o pesquisador demonstrará como utilizar a função arctg na calculadora, obtendo um
resultado mais preciso.
Fonte: Baseado no texto de LINDEGGER, 2000.
Aula 6:
Quadro 32 – referente a aula 6 da síntese 1
(continua)
Tempo estimado
Objetivos
Materiais didáticos
Duas horas-aulas.
Verificar a existência de mais duas constantes em triângulos retângulos semelhantes (seno e cosseno);
Verificar as vantagens do uso das novas constantes em um problema.
Fichas 5, 10 e 11, régua, calculadora, construções gráficas de triângulos (construídos em aula anterior pelos
próprios alunos, quadro e pincel.
Dividir-se-á os alunos em quatro grupos. Será exposto pelo professor um breve comentário sobre
rampa, sua necessidade e a influência do ângulo de inclinação. Em seguida, cada grupo receberá
Metodologia
1ª etapa
a ficha 10, serão sujeitos a resolver o problema, onde por hipótese sabe-se que muitos não irão
conseguir já outros utilizarão o conceito de tangente somado ao Teorema de Pitágoras. No
processo de compartilhamento e formalização o professor irá introduzir a dúvida: “Será que
45
Quadro 32 – referente a aula 6 da síntese 1
(continuação)
1ª etapa
somente a divisão dos catetos é uma constante?”
Será entregue aos grupos a ficha 11 e devolvido a ficha 5 afim de auxiliar na atividade. Utilizando
as construções da Aula 4, os alunos com réguas iram novamente medir suas construções e
2ª etapa
Metodologia
preencher a nova tabela. Logo os grupos compartilharam seus trabalhos, e o professor irá
completar sua tabela na lousa. Logo uma nova discursão será aberta a respeito de uma análise
da tabela, onde se concluirá a existência de mais duas razões constantes em triângulos
semelhantes, formalizada pelo pesquisador.
A ficha 10 será retomada pelos grupos, querendo-se agora uma nova solução utilizando uma das
3ª etapa
novas constantes descobertas. No compartilhamento e formalização o professor chamará
atenção ao processo de aproximação e o uso da calculadora.
Fonte: Baseado no texto de LINDEGGER, 2000.
Aula 7:
Quadro 33 – referente a aula 7 da síntese 1
(continua)
Tempo estimado
Objetivos
Materiais didáticos
Duas horas-aulas
Formalizar o conceito de seno e cosseno assim como suas notações; Aplicar o conceito de seno e cosseno
em problemas.
Fichas 12, 13, 14 e 15; lousa e pincel.
46
Quadro 33 – referente a aula 7 da síntese 1
(continuação)
A turma será dividida em 4 equipes. Cada aluno receberá a ficha 12. Os alunos resolverão o
1ª etapa
problema (Há duas soluções para o problema, uma utilizando “seno” e outra “cosseno”, o
professor em sua formalização irá colocar as duas).
Ainda em equipe os alunos receberão a ficha 13 e serão incumbidos a resolver o problema (Há
2ª etapa
duas soluções para o problema, uma utilizando “seno” e outra “cosseno”, o professor em sua
formalização irá colocar as duas).
Metodologia
3ª etapa
4ª etapa
5ª etapa
O professor irá formalizar o conceito de seno e cosseno na lousa, até então tidos apenas como
constantes.
Será resolvido o problema da ficha 14. Entretanto, os alunos já podem usar a notação correta de
seno e cosseno. A discursão sobre aproximação e erro deve ser levada em conta mais uma vez.
Será resolvido o problema da ficha 15.
Fonte: Baseado no texto de LINDEGGER, 2000.
Aula 8:
Quadro 34 – referente a aula 8 da síntese 1
(continua)
Tempo estimado
Objetivos
Materiais didáticos
Uma hora-aula.
Aplicar de forma descontextualizada as noções de seno, cosseno e tangente.
Ficha 16, quadro e pincel.
47
Quadro 34 – referente a aula 8 da síntese 1
(continuação)
Os alunos serão divididos em 4 equipes, receberão a ficha 16 e serão incumbidos de resolver o problema.
Metodologia
Nota-se que o item “b” do problema apresenta duas resoluções válidas, uma utilizando o seno de x para
descobrir o valor do último lado do triângulo, e outra utilizado o Teorema de Pitágoras; as duas exploradas
pelo docente no processo de compartilhamento e formalização.
Fonte: Baseado no texto de LINDEGGER, 2000.
Aula 9:
Quadro 35 – referente a aula 9 da síntese 1
Tempo estimado
Duas horas- aulas
Refletir sobre a necessidade de triângulos retângulos no uso das razões trigonométricas e como obter tais
Objetivos
triângulos em uma situação com triângulo comum. Compreender a existência de situações em que o uso de
razões trigonométricas não é o processo mais eficaz.
Materiais didáticos
Ficha 17, ficha 18, ficha 19, tabela trigonométrica (feita pelos alunos em aula anterior), quadro e pincel.
A turma será dividia em 4 grupos, entregue a ficha 17, terão de resolver o problema. No processo
1ª etapa
de compartilhamento e formalização, se não sugerido por um dos grupos, o professor poderá
requisitar o cálculo da altura do triângulo, dividindo o triângulo em dois triângulos retângulos, em
seguida calculando o verdadeiro cosseno de 40°.
Metodologia
2ª etapa
3ª etapa
Ainda em equipes, a turma irá resolver o problema da ficha 18. O professor deve dar atenção ao
item “e” onde o uso das razões trigonométricas não é indicado e sim o Teorema de Pitágoras.
Os grupos irão resolver o problema da ficha 19.
Fonte: Baseado no texto de LINDEGGER, 2000.
48
Aula 10:
Quadro 36 – referente a aula 10 da síntese 1
Tempo estimado
Objetivos
Materiais didáticos
Duas horas-aulas
Investigar ângulos complementares e as características de suas razões trigonométricas.
Fichas 20, 21 e 22, tabela trigonométrica (feita pelos alunos em aula anterior), calculadora, quadro e pincel.
Os alunos divididos em 4 grupos resolverão o problema da ficha 20. No processo de resolução o
1ª etapa
docente irá estimular tanto a resolução através da tábua trigonométrica e/ou calculadora, quanto
a resolução através de uma construção geométrica.
Metodologia
2ª etapa
Nos mesmos grupos será solicitado a resolução do problema da ficha 21.
As equipes terão agora de resolver o problema da ficha 22. Ao final da resolução pretende-se
3ª etapa
introduzir o conceito que o seno de um ângulo é igual o cosseno de seu complementar e viceversa, na formalização o pesquisador questionará o porquê.
Fonte: Baseado no texto de LINDEGGER, 2000.
Aula 11:
Quadro 37 – referente a aula 11 da síntese 1
(continua)
Tempo estimado
Objetivos
Materiais didáticos
Metodologia
Duas aulas-horas
Revisar o objetivo da aula anterior. Analisar a variação do seno, cosseno e tangente.
Fichas 23, 24, 25 e 26, material concreto 2, tabela trigonométrica, calculadora, quadro e pincel.
1ª etapa
Os alunos, em equipes de quatro, resolverão o problema da ficha 23. Ao fim o professor irá
relembrar o conceito da aula anterior.
49
Quadro 37 – referente a aula 11 da síntese 1
(continuação)
Em suas equipes os alunos resolverão o problema da ficha 25. A resposta do problema vem
através da ausência do valor de seno na tabela, onde verificamos o seno de forma crescente; O
professor com auxílio da calculadora pode sugerir senos de arcos cada vez mais próximos de 90°
2ª etapa
verificando que tenderá ao número 1. Através da construção de triângulo retângulo, também notase essa impossibilidade pois teremos uma hipotenusa menor que o cateto o que tornaria o outro
cateto um valor negativo (usando o teorema de Pitágoras), algo a ser debatido também nos
processos de compartilhamento e formalização. E ao fim do problema, o professor concluirá a
Metodologia
ideia de que os valores de seno e cosseno serão sempre menores que 1 e maiores que 0.
Os aluno, em seus grupo, resolverão o problema da ficha 25. Agora terão o auxílio do dispositivo
3ª etapa
para medir razões trigonométricas confeccionado pelo professor e suas tabelas trigonométricas
para verificar a variação de tangente.
Ainda com o auxílio do dispositivo e uso da tabela, os alunos resolverão o problema da ficha 26.
4ª etapa
Ao fim, com o dispositivo o pesquisador mostrará o que acontece em um triângulo com hipotenusa
igual a 1.
Fonte: Baseado no texto de LINDEGGER, 2000.
50
4.1.4 ANÁLISE DOS RESULTADOS
4.1.4.1 ANÁLISE QUANTITATIVA
Como já dito, o resultado foi apurado apenas com os alunos que
participaram de toda a experiência, o que totalizou 11 alunos no GE e 16 no GR.
Antes de iniciar, pela sua relevância, segue no quadro 38 a configuração
do pós-teste.
Quadro 38 – Configuração do pós-teste da síntese 1
(continua)
Nº da questão
É contextualizada?
Apresenta ilustração?
01
Sim
Sim
02
Não Sim
03
Não Sim
04
Sim
05
Não Não
Sim
Assunto
Competência
abordado
Teorema de
Pitágoras
Seno, Cosseno
e Tangente
Aplicação direta do teorema de Pitágoras
tendo como incógnita a hipotenusa.
Descobrir as razões trigonométricas de um
dos ângulos de um triângulo com os três lados
dados.
Seno ou
Aplicação direta de seno ou cosseno para
Cosseno
descobrir o cateto adjacente de um ângulo.
Tangente
Seno, cosseno
e tangente
Aplicação direta da tangente, tento um dos
catetos como incógnita
Sabendo-se uma das razões trigonométrica
descobrir as demais sem o uso da tabela.
Relação entre
06
Não Sim
seno e cosseno
de ângulos
Identificar que o cosseno de um ângulo é
igual ao seno de seu complemento.
complementares
07
Não Não
Variação das
Classificar uma razão trigonométrica como
razões
maior, menor ou igual a uma mesma razão,
trigonométricas
entretanto com outro arco.
51
Quadro 38 – Configuração do pós-teste da síntese 1
(continuação)
Variação de
08
Não Não
Seno e
Justificar porquê seno e cosseno de um
ângulo sempre são menores que 1.
Cosseno
Fonte: Baseado no texto de LINDEGGER, 2000.
Além das questões acima, existe a nona questão, que é uma pergunta um
tanto subjetiva: “O que você entendeu por Trigonometria?”. Essa pergunta será
analisada exclusivamente no tópico da análise qualitativa.
Resultados do pré-teste
O pré-teste teve resultado de 0% e 2,27% de acertos em toda turma, no
GR e GE respectivamente. Isso só evidência o desconhecimento do assunto pelos
alunos de ambos os grupos. Sendo assim, este teste torna-se pouco relevante daqui
para frente e não será citado na análises que seguem.
Resultados do pós-teste
a) Resultado Geral:
Gráfico 1 – Resultado de acertos por questão corrigida do pós-teste da síntese 1
80,00%
70,00%
69,32%
60,00%
50,00%
46,09%
40,00%
30,00%
20,00%
10,00%
0,00%
número de acertos/questões
corrigidas
GE
GR
69,32%
46,09%
Fonte: extraído de LINDEGGER, 2000. Layout modificado.
52
b) Resultado de acertos por questões:
Gráfico 2 – resulta de acertos por questões do pós-teste da síntese 1
90%
80%
70%
82%
82%
82%
81%
75%
73%
64%
64%
56%
55% 55%
60%
50%
44%
38%
40%
31%
25%
30%
19%
20%
10%
0%
GE
GR
Questão 1
73%
44%
Questão 2
82%
81%
Questão 3
64%
75%
Questão 4
55%
56%
Questão 5
55%
31%
Questão 6
82%
25%
Questão 7
64%
19%
Questão 8
82%
38%
Fonte: extraído de LINDEGGER, 2000. Layout modificado.
c) Resultado de acertos por aluno
Gráfico 3 – resultado de acertos por aluno do pós-teste da síntese 1
60%
55%
50%
50%
40%
27%
30%
20%
25%
18%
10%
0%
GE
GR
Aluno Fraco (de 0 a 3 acertos)
18%
50%
Aluno Médio (de 4 a 6 acertos)
27%
25%
AlunoBom (de 7 a 8 acertos)
55%
25%
Fonte: extraído de LINDEGGER, 2000. Layout modificado.
25%
53
d) Resultado das questões por aluno
Legenda para as Tabelas:
C – CERTO
E – ERRO
B – EM BRANCO OU NÃO SEI
E1 – Resolução ou resposta incompleta
E2 – Erro relativo as definições das razões trigonométricas (identificação dos catetos
e hipotenusa e relação com a razão trigonométrica apropriada, ou seja, as fórmulas)
E3 – Erro relativo as manipulações algébricas
E4 – Erro relativo quanto a decisão de qual razão trigonométrica utilizar
E5 – Erro relativo a competência quanto a aplicação do teorema de Pitágoras
E6 – Erro quanto o entendimento da variação das razões trigonométricas, pondo de
forma aleatória os sinais <, > e =
E7 - Erro quanto o entendimento da variação das razões trigonométricas, associada
diretamente ao ângulo independente da razão, ou seja, um maior ângulo terá razão
maior.
E8 – Erro quanto a limitação dos valores de seno e cosseno
Tabela 2 – acertos e erros de alunos do GE dados em cada questão do pós-teste da
síntese 1:
Sujeito
SE1
SE2
SE3
SE4
SE5
SE6
SE7
SE8
SE9
SE10
SE11
1
C
C
E5
E5
C
C
C
E5
C
C
C
2
C
C
C
C
C
C
C
E2
C
C
E2
3
C
C
E4
E3
C
C
C
E2
C
C
E2
Fonte: extraído de LINDEGGER, 2000.
Questão
4
5
C
E1
C
E1
E4
C
E2
B
E2
C
C
C
C
C
E2
B
C
C
C
C
E2
E4
6
C
C
C
B
C
C
C
B
C
C
C
7
E6
C
E6
E7
C
C
C
E6
C
C
C
8
B
C
C
B
C
C
C
C
C
C
C
Rendimento
(%)
65,5
87,5
50,0
12,5
87,5
100
100
12,5
100
100
50
54
Tabela 3 – acertos e erros de alunos do GR dados em cada questão do pós-teste da
síntese 1
Sujeito
SR1
SR2
SR3
SR4
SR5
SR6
SR7
SR8
SR9
SR10
SR11
SR12
SR13
SR14
SR15
SR16
1
C
E5
E5
C
C
E5
E5
E5
C
C
E5
B
C
E5
E5
C
2
C
C
E4
C
C
C
C
E4
C
C
C
B
C
C
C
C
Questão
4
5
C
C
E2
E2
E2
E4
C
E3
C
E5
E2
E4
C
E4
C
E4
C
C
C
C
E2
E1
E2
B
C
C
E3
B
E2
B
C
C
3
C
E2
C
C
C
E2
C
C
C
C
C
E2
C
C
E2
C
6
C
E4
E4
B
E4
E4
E4
C
C
B
B
B
C
E4
E4
E4
7
C
E7
E6
E7
E7
E6
E6
E6
E7
C
C
E6
E7
E7
E7
E7
Rendimento
(%)
100
25
12,5
50
65,5
25
37,5
50
75
87,5
37,5
0
75
25
12,5
62,5
8
C
C
B
E4
C
C
B
C
E4
C
E1
B
E8
E8
E4
B
Fonte: extraído de LINDEGGER, 2000.
Com os dados das tabelas acima podemos montar os seguinte gráfico:
Gráfico 4 – ocorrência de cada tipo de erro do pós-teste da síntese 1
Ocorrência de cada tipo de erro
35%
30%
25%
20%
15%
10%
5%
0%
30%
25%
22%
19%
16%
13%
11% 11% 11%
7%
4%
11%
7%
4%
0
3%
GE
3%
3%
GR
E1
7%
3%
E2
30%
16%
E3
4%
3%
E4
11%
25%
E5
11%
13%
E6
11%
7%
E7
4%
11%
E8
0
3%
B
22%
19%
Fonte: extraído de LINDEGGER, 2000. Layout modificado.
55
4.1.4.2 Análise Qualitativa
Do resultado geral
Este primeiro resultado já mostra a eficácia da metodologia, com quase
25% a mais nos acertos, o GE mostra-se com um aproveitamento superior. O que já
obriga a uma investigação mais minuciosa para apurar os fatores. Logo, a introdução
de conceitos a partir de problemas já mostra-se aparentemente proveitosa.
Do resultado por questão
Pode-se dividir as questões do teste em três grupos: grupo 1 - questão de
avalição do conhecimento prévio (questão 1); grupo 2 - questões de aplicação direta
de fórmulas e algoritmos (questões 2, 3 e 4); grupo 3 - questões com exigência de um
conceito mais apurado (questões 5, 6, 7 e 8).
Com isso nota-se que O GE e GR se equiparão no grupo 2, tendo o GE até
mesmo um aproveitamento melhor em tais questões, entretanto o GE mostra-se com
um bom aproveitamento também. Tal fato é decorrido, devido à valorização de
algoritmos estimulado no GR, pois estas questões são comuns e provavelmente foram
repetidas muitas vezes nos exercícios de fixação. O que fortalece a afirmação é que
no grupo de questões 3 o GE se saiu muito superior, tendo o GR um aproveitamento
menor que 50% em todas as questões. Já no grupo 1 o GE saiu-se melhor também,
mostrando que em suas aulas o conhecimentos prévios exigidos tiveram valor e com
isso foram fixados.
Do resultado de acertos por aluno
Levando em consideração a média escolar de aprovação que é maior ou
igual 50%, observa-se que metade dos alunos do GR estariam reprovados
denunciando um evidente fracasso escolar. Enquanto que, apenas 18% dos alunos
do GE estariam reprovado (dois alunos) e 55% com o resultado de bom para
excelente, o que mostra o sucesso e relevância do método adotado.
56
Do resultado de questão por aluno
Analisando as questões, entende-se que um aluno com uma compreensão
completa dos conceitos principais ali envolvidos teria de acerta as seguintes questões:
2, 3 ou 4, 5, 6, 7 e 8. Dado esse critério o GE apresenta 5 alunos (45%) e o GR apenas
1 (6%). O que mostra que uma boa parte dos alunos do GE teve uma entendimento
quase que completo do assunto.
Estipula-se também outro critério, a questão 5 é vista como uma questão
desafiadora e que trabalha com a essência dos conceitos fundamentais, logo ela
também torna-se um parâmetro importante. No GE 55% dos alunos acertarão a
questão enquanto no GR foram 31%.
Nota-se que o maior tipo de erro obtido no GR foi o E4, entendendo-se o
ocorrido como evidência da falta de um conceito concreto. Já no GE temos como
maior ocorrência o E2, ou seja, para esses alunos faltou trabalhar com mais exercícios
de fixação.
Análise da pergunta subjetiva
Dez dos onze alunos do GE responderão a pergunta, onde nove deles
associaram trigonometria diretamente como um estudo dentro do triângulo retângulo,
e quatro, (contando com aquele que não citou triângulo retângulo em sua resposta)
associaram ao uso de razões entre lados de triângulos. Onde a resposta mais
genérica foi:
“Entendo que a trigonometria serve para os cálculos de triângulo retângulo” (Aluno
SE4)
E a resposta mais completa:
“É o estudo das razões entre os lados de triângulos retângulos semelhantes: seno,
cosseno e tangente” (Aluno SE2)
Nota-se que nem um aluno associou diretamente trigonometria como o
estudo de ângulos.
É destaque um aluno que associou sua resposta ao triângulo retângulo
mostrando a utilidade de medir distâncias inacessíveis.
Logo, conclui-se está bem claro para os alunos do GE que a trigonometria
foi fundamentada conceitualmente no triângulo retângulo.
57
No GR um aluno deixo em branco, três deram respostas não relacionas ou
sem sentido. Este grupo teve repostas muito variadas; três alunos relacionaram a
trigonometria como um estudo para encontrar medidas ou números desconhecidos, o
que mostra a força do fator algébrico dentro de sua aprendizagem; três relacionaram
ao estudo dos ângulos; três alunos citaram o triângulo retângulo; somente um citou
razões relacionadas a triângulo; um dos alunos respondeu que trigonometria é o
estudo dos triângulos; três alunos associaram de forma direta ao cálculo de seno,
cosseno e tangente; e assim por diante. Logo, compreende-se que por suas respostas
o GR mostrou-se tendencioso para processo algorítmico, onde o alunos viam
incógnitas, ângulos e triângulos.
Contudo baseado em Vigotsky, entende-se que o aluno sabe muito mais
do que ele pode expressar, fato que deve ser levado em conta, na interpretação do
resulta por parte do leitor.
4.1.5 CONSIDERAÇÕES
4.1.5.1 CONSIDERAÇÕES QUANTO AOS RESULTADOS
A metodologia desenvolvida mostrou-se eficaz para o desenvolvimento de
um curso que coloca em ênfase o entendimento significativo dos conceitos
fundamentais da trigonometria, de forma que comparou-se os resultados com um
curso tradicional e obteve-se resultados superiores.
Acredita-se que um dos fatores mais importantes, para aumentar a
qualidade de ensino, encontra-se nas discursões em grupos que permitiu aos aluno
refletir, organizar e transmitir suas ideias para e com os demais. Outro ponto
contribuinte foi a abordagem do assunto em primeiro momento com uma linguagem
mais informal, para depois formalizá-la, esse processo de refinamento da linguagem
mostrou relevante. Começar o estudo pela função tangente também mostrou-se uma
boa estratégia, pois muitas situações significativas estão relacionadas com esta
função trigonométrica, conforme foram vistos nos problemas aplicados nas aulas.
Um aspecto interessante foi que com apenas 28 problemas aplicados ao
GE contra 78 aplicados ao GR (segundo registros do professor em questão) o primeiro
grupo se saiu-se com vantagem quanto ao desempenho. Logo a resolução de
58
problemas como ponto de partida torna-se mais significativo ao aluno de que como
exercício de fixação.
Compreende-se que a falta de rigor da linguagem na resolução, tanto
simbólica como natural, do pós-teste é fenômeno natural que irá ajustando-se com o
decorrer da vida estudantil do aluno.
4.1.5.2 CONSIDERAÇÕES FUTURAS
a) A introdução de tarefas para casa poderia tornar o trabalho mais contínuo e
sanar algumas dificuldades; logo caberia aqui uma investigação sobre este
recurso;
b) Fazer com que os alunos apropriem-se da linguagem formal foi uma tarefa que
não teve e espaço e análise, logo caberia aqui uma pesquisa de como acontece
essa apropriação e quais são os fatores influentes.
c) A análise do trabalho teve como base, praticamente somente o pós-teste,
entretanto, encontra-se disposto os dados referentes ao decorrer do curso, que
podem ser alvos de uma nova pesquisa.
d) A Resolução de Problemas, como ponto de partida, mostrou-se eficiente, logo
merece um estudo isolado sobre as colocações do professor e aluno nesse
processo.
4.2 SÍNTESE 2
Um sequência de ensino para a construção de uma tabela trigonométrica.
4.2.1 INTRODUÇÃO
Tema: A construção da tabela trigonométrica a partir de um embasamento histórico.
Problematização: O interesse do autor pelo o assunto em questão (trigonometria)
vem de uma pesquisa realizada pelo mesmo, que tem como amostra 652 alunos, de
escolas municipais, estaduais e particulares da cidade de São Paulo. Estes alunos
foram submetidos a uma única pergunta: Explique por que o cosseno de 30° é meio.
Apenas um aluno da amostra gera uma explicação satisfatória, em outro lado 530
59
alunos deixaram em branco ou responderão que não sabiam, 86 responderam coisas
como: “o professor falou”,” eu vi no livro” e etc; já o restante realmente tentou resolver,
entretanto sem muito sucesso. Essa pesquisa fez com que o autor refletisse se
realmente os conceitos básicos da trigonometria estão sendo desenvolvidos de forma
significativa no vida escolar, a pesquisa nos leva a acreditar que não.
Questões Norteadoras:
Questão principal: Como ensinar trigonometria no triângulo retângulo de maneira
significativa?
Questões secundárias: Quais fatores influenciam na aquisição de tal conhecimento?
Como distanciar a utilização da Trigonometria no Ensino Médio da mecanização?
Objetivos: Construir uma tabela trigonométrica, com base em levantamentos
históricos dos trabalhos de Ptolomeu e outros matemáticos da Grécia Antiga, para
investigar a apropriação do significado dos conceitos das razões trigonométricas:
seno, cosseno e tangente, no triângulo retângulo, por estudante do 1º ano do Ensino
Médio.
4.2.2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Vygotsky (1985)
Para Vygotsky (apud NASCIMENTO, 2005) o conhecimento é o produto
entre o indivíduo e o meio que é um ambiente histórico e social. Logo, dependendo
da situação, o conhecimento terá significado ou não. Recriando um ambiente histórico
e social, através de uma análise histórica da síntese do conhecimento, o docente
poderá resgatar o mesmo sentido que levou a criação do conhecimento em questão.
Entretanto, para esse processo torna-se mais eficaz o aluno precisará a partir das
necessidades impostas (o sentido da criação) criar o conhecimento adequado para
facilitar ou resolver a situação, ou seja, ele deve construir o saber, para entender a
fundo os processos envolvidos, e não apenas usar o conhecimento, no caso a tabela
trigonométrica.
Levando em conta este aspecto construtivista, coloca-se também a
importância de um trabalho não individual, em duplas ou grupos. Tais condições
favorecem quanto a reflexão e análise da veracidade dos argumentos, pois neste
momento o aluno terá de materializar suas ideias em palavras, argumentando e
colocando de forma que o outro entenda e aceite.
60
Ainda neste contexto, o diálogo professor e aluno se fortalece, entretanto
com uma relação diferente. O docente passa a ser um mediador, ou seja, passa a
questionar e estimular o aluno para ele construir suas hipótese, soluções e
argumentos. A linguagem é um dos estímulos mais importantes nessa interação,
porém não o único, o auxílio de materiais como astrolábio e teodolito, ou seja
ferramentas, podem promover situações estimuladoras.
Cabe aqui também colocar a teoria do conceito espontâneo, que é um
conceito mais intuitivo e particular, que será adquirido nas aulas através de
observações e experiências. Com os estímulos do professor este conceito ascendera
para um conceito científico, ou seja, mais formalizado e generalizado. Em contra
partida, depois de adquiro, o conceito científico poderá descender para casos mais
particulares. E é nesta ordem que se baseia a metodologia.
Vergnaud (1983)
Vergnaud (apud NASCIMENTO, 2005) teve grande influência de Vygotsky,
logo pensa da mesma forma construtivista. Ele diz que tudo está relacionado a
resolução de problemas. Logo aqui o principal caráter do problema não é mais a
aplicação e fixação do conhecimento e sim a construção de um novo.
Vergnaud acrescenta a teoria dos campos conceituais, onde um conceito
seria a soma de um conjunto de situações, invariantes (propriedades, objetos e
relações dentro da situação) e representações simbólicas (linguagem usada para
expressar a invariantes, ideia e procedimento). De tal forma que um problema ao ser
resolvido e entendido ao máximo implica em adquirir um grupo de conceitos ou campo
conceitual.
Um grupo de situações da sentido a um conceito, e um grupo de esquemas
da sentido a uma situação; esquema é a organização de comportamento para uma
dada situação. Chama-se “conceito-em-ação” os conhecimentos relativos a um
esquema. Cabe ao docente fazer com que um aluno adquira o máximo de esquemas,
de tal forma que estes esquemas funcionem como peças de quebra cabeças se
encaixando de forma diferentes ou com outros esquemas para conseguir raciocinar
em diversas situações. Logo neste caminho cabe ao professor também o papel de
medidor e provedor de tais situações. Conclui-se que este autor é utilizado no trabalho
com o objetivo de entender a situação construtivista.
61
Parzysz (2002)
Parzysz (apud
NASCIMENTO,
2005)
destaca
quatro
etapas no
desenvolvimento do pensamento Geométrico: O G0, onde os elementos geométricos
são visto por seus aspectos gerais, ou seja, é feita uma associação apenas visual da
figura; O G1, neste nível o indivíduo é capaz de identificar as propriedades de uma
figura entretanto sem poder explica-las; O G2, o indivíduo é capaz de explicar as
propriedades entretanto com base em premissas intuitivas; o G3, o indivíduo
consegue demonstrar a propriedade por completo e explicitar axiomas. Essas etapas
são relevantes, pois as atividades aqui planejadas darão a devida atenção ao
processo de desenvolvimento do pensamento Geométrico.
4.2.3 METODOLOGIA
4.2.3.1 METODOLOGIA DA PESQUISA
Amostra da pesquisa: 14 alunos do 1º ano do ensino médio de uma escola da rede
pública Estadual na cidade de São Paulo. Os alunos tinham de 15 à 17 anos, de classe
média baixa. Um indivíduo desistiu ao decorrer do processo, e como as atividades são
predominantes em duplas, eliminou-se das análises finais o outro indivíduo que fazia
par com o primeiro. A partir de agora os alunos serão chamados por letra, sabendo
que os alunos terão duplas fixas até o fim do processo, chamar-se-á os alunos da
dupla 1 de indivíduo A e B e assim sucessivamente até a dupla 6 com os indivíduos
K e L.
Tempo do experimento: a experiência é dada em 8 encontros de 4 horas, totalizando
32 horas. Os encontros são realizados de forma contínua nos dias da semana,
iniciados no dia 30 de novembro.
Visão superficial do experimento: Será realizado um curso com o propósito de
atribuir significado para aluno em relação a seno, cosseno e tangente; com a
perspectiva de desapegar de um cálculo mecânico sem significado. E ao decorrer do
curso será construído a tabela trigonométrica, conforme os objetivos. O curso será
dado em 5 atividades, onde a atividade 5 terá um critério mais avaliativo.
Coleta de dados: Presença de um observador, que exclusivamente observará, que
anota os diálogos (quais os materiais utilizados, suas perguntas e dúvidas) das duplas
62
1 e 6 (escolhida de forma aleatória). Dois gravadores acompanhando as duplas 1 e 6,
e as fichas de atividade.
4.2.3.1 A METODOLOGIA DO EXPERIMENTO
4.2.3.1.1 PADRÃO DE METODOLOGIA DAS AULAS
As atividades são realizadas sempre em grupos, na maioria dos casos em
duplas. O pesquisador não relata de forma direta e específica a metodologia aplicada,
entretanto, através de seus relatos extraímos o seguinte padrão:
A metodologia é baseada na resolução de problemas, onde o docente deixa
livre sua resolução por parte dos alunos, contudo, o professor sempre fica interagindo
com os alunos dupla por dupla, ajudando a interpretar quando necessário,
questionando, apontando erros e hipóteses e etc., ou seja, fazendo um papel de
mediador na resolução. Sua participação pode ser mais acentuada e significativa
dependendo do problema e dificuldade do aluno em questão. Algumas vezes cabe ao
professor uma observação geral a todos.
Contudo, as aulas não serão apenas problemas, terão também leituras e
situações que serão dadas de forma simplesmente expositiva e dialogada, entretanto,
o educador sempre procura estabelecer um diálogo com os alunos através de
perguntas e explorando dúvidas, apesar dele ser o centro da conversa.
4.2.3.1.2 AVALIAÇÃO
O método de avaliação do aluno em cada aula não foi relatado, entretanto,
pode-se concluir que é definido pelo preenchimento de suas fichas e o envolvimento
nas atividades.
5.2.3.1.3 MATERIAIS RELEVANTES
63
Ficha 1:
Quadro 39 – referente a atividade 1 da síntese 2
Atividade 1: Comparando e investigando triângulos
Você receberá quatro triângulos. Observe e manipule para perceber
algumas regularidades (características presentes em todos). Escreva abaixo o que
descobrir.
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
Ficha 2:
Quadro 40 – referente a atividade 2 da síntese 2
Atividade 2: Semelhança de triângulos
2.1 Materiais necessários: régua, compasso, transferidor, esquadro, lápis e
borracha.
Sobreponha os quatro triângulos da atividade 1 do maior para o menor.
Nomearemos os quatro triângulos do maior para o menos de T1, T2, T3, T4.
Observe que nenhuma parte de T2 deve estar fora de T1, nenhuma parte de T3
deve estar fora de T2 e nenhuma parte de T4 deve estar fora de T3. Escolha um
dos ângulo do triângulo maior e ajuste todos os demais a este ângulo. Represente
a imagem obtida no papel.
Escolha outro ângulo e repita o procedimento.
Você pode obter ainda outra representação. Como ficará?
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
Ficha 3:
Quadro 41 – referente a leitura complementar para atividade 2 da síntese 2
(continua)
Leitura
Algumas situações não permitem calcular diretamente a distância entre dois
pontos ou a amplitude de um ângulo.
Imagine que seja necessário medir a altura do ponto mais elevado desta
escola. Ou mesmo medir a distância entre dois pontos, cada um em uma margem
do mesmo rio. Nestes dois casos você deverá pensar em outra maneira, pois a
régua não será possível.
64
Quadro 41 – referente a leitura complementar para atividade 2 da síntese 2
(continuação)
A
B
Os matemáticos da Antiguidade já se preocupavam com problemas deste
tipo, e ao procurar meios menos engenhosos para solucioná-los, descobriram
importantes relações entre as medidas dos ângulo e os lados de um triângulo. Estas
relações mais tarde ficaram conhecidas como Trigonometria. A Trigonometria é útil
para o estudo de qualquer polígono, pois qualquer um deles pode ser dividido em
triângulos.
Na atualidade encontram-se aplicações para a trigonometria nas
telecomunicações, na música, na determinação de distâncias entre estrelas, na
medicina, na física, na sociologia e em muitas outras áreas científicas. Como tal, o
seu estudo é indispensável para engenheiros, físicos, informáticos e praticamente
para todos os cientistas.
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
Ficha 4:
Quadro 42 – referente a continuação da atividade 2 da síntese 2
(continua)
2.2 Material necessário: régua, transferidor, esquadro, calculadora, lápis e borracha.
Construa um triângulo retângulo OGH de catetos OH e GH e ânguloHOG
qualquer. Considere três pontos B, D e F entre O e H e trace por B, D e F três
perpendiculares, encontrando a hipotenusa OG nos pontos A, C e E. Assim serão
determinados quatro triângulos sobrepostos.
Chamaremos T1, o triângulo AOB (de base OB; T2, o triângulo COD (de base
OD); T3, o triângulo EOF (de base OF); e T4,
o triângulo de GOH (de base OH). Essas notações são importantes para o próximo
procedimento.
Conforme as medições forem realizadas complete a tabela seguinte:
65
Quadro 42 – referente a continuação da atividade 2 da síntese 2
(continuação)
Lado do T1
Medida
Lado do T2
Medida
Lado do T3
Medida
Lado do T4
AB
CD
EF
GH
OB
OD
OF
OH
OA
OC
OE
OG
Razão
Resultado Razão
Resultado Razão
Resultado Razão
Medida
Resultado
AB/OA
CD/OC
EF/OE
GH/OG
OB/OA
OD/OC
OF/OE
OH/OG
AO/OB
OC/OD
OE/OF
OG/OH
Você percebeu alguma similaridade com relação aos resultados obtidos
por meio das razões entre lados dos triângulos?
Vamos agora compartilhar os resultados que obtivemos. Cada aluno usou
ângulos diferentes na construção dos seus triângulos. Mas, será mesmo que seus
colegas puderam concluir o mesmo que você? Anote se sim ou se não e o porquê.
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
Ficha 5:
Quadro 43 – referente a continuação da atividade 2 da síntese
22.3
Dado um triângulo retângulo qualquer, o lado oposto ao ângulo reto é a
hipotenusa. Então escolhemos um dos outros dois ângulos. O lado oposto ao ângulo
escolhido será chamado cateto oposto e o lado vizinho (excluindo a hipotenusa)
será chamado de cateto adjacente.
Na ficha anterior, você percebeu que AB/AO=CD/OC=EF/OE=GH/OG (o
valor encontrado chamaremos de seno de α, é um valor associado ao ângulo agudo
α) e que OB/AO=OD/OC=OF/OE=OH/OG (o valor encontrado chamaremos de
cosseno
de
α,
é
um
valor
associado
ao
ângulo
agudo
α)
e
que
AB/OB=CD/OD=EF/OF=GH/OH (o valor encontrado chamaremos de tangente de
α, é um valor associado ao ângulo agudo α.
Em termos de cateto e hipotenusa, como podemos definir o seno, o cosseno e a
tangente de um ângulo de medida α?
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
66
Ficha 6:
Quadro 44 – referente a continuação da atividade 2 da síntese 2
2.4
Você dispõe dos mesmos materiais da atividade 2.2 Observe a figura abaixo
(o procedimento utilizado para a construção, foi o mesmo da atividade 2.2). Aqui
temos quatro triângulos sobrepostos a partir do ângulo de 47°. Determine a medida
dos três lados de cada triângulo, com o auxílio de uma régua quadrada.
G
E
C
A
47°
O
B
D F H
Chamaremos T1, o triângulo AOB; T2, o triângulo COD; T3, o triângulo EOF
e T4, o triângulo GOH. Conforme as medições forem realizadas, complete a tabela
seguinte:
Lado do Medida
Lado do Medida
Lado do Medida
Lado do Medida
T1
T2
T3
T4
AB
CD
EF
GH
OB
OD
OF
OH
OA
OC
OE
OG
Razão
Resultado
Razão
Resultado
Razão
Resultado
Razão
sen47°
sen47°
sen47°
sen47°
cos47°
cos47°
cos47°
cos47°
tg47°
tg47°
tg47°
tg47°
Resultado
Você percebeu alguma similaridade com relação aos resultados obtidos por
meio das razões entre os lados dos triângulos? Compare com os resultados obtidos
na atividade 2.2. O que podemos concluir?
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
67
Ficha 7:
Quadro 45 – referente a continuação da atividade 2 da síntese 2
(continua)
2.5
Nas atividades anteriores, exploramos triângulos com ângulos congruente e
lados proporcionais. Dizemos que triângulos que apresentam estas características
entre si são semelhantes. É por este motivo que por exemplo, o seno de 35° em
qualquer triângulo tem o mesmo valor. Isto permite construir uma tabela de senos,
o que evita fazer os mesmos cálculos todas as vezes que se fizer necessário obter
o seno de um determinado ângulo.
O conceito de homotetia nos ajudará na compreensão da semelhança de
triângulos:
Uma homeotetia de centro O e razão k é uma transformação do plano em si
mesmo que associa a cada ponto A, o ponto A’ tal que:
1. AO’=k.OA;
2. O, A e A’ são alinhados;
3. A’ pertence à semi-reta AO se k>0 e à semi-reta oposta a AO se k>0.
Com base no exposto, responda os exercícios abaixo:
a) Sobre uma reta AO, marque a partir de O, os pontos A’ e A’’, tais que
A’O=1/2AO e O é o ponto médio de AA’’.
b) Para k>1 temos uma ampliação. Construa um triângulo ABC e um ponto O
fora dele. Trace por O, semi-retas passando pelos vértices do triângulo.
Utilize uma razão k, tal que k>1. Construa o triângulo homotético A’B’C’.
c) Parra 0<k<1 temos uma redução. Experimente agora reduzir uma outra figura
geométrica de sua preferência pelo princípio acima.
d) Para k=1 temos uma identidade, ou seja, obtemos a mesma figura.
e) Para k<0 temos uma homotetia inversa. Agora será necessário utilizar retas
passando por O, pois a figura deverá aparecer do lado oposto. Mas se -1<k<0
teremos uma figura homotética reduzida inversa. Escolha um dos três casos
e faça sua representação gráfica.
f) Agora experimente construir dois triângulos homotéticos com k>1 em que o
centro da homotatia é um dos vértices dos triângulos.
68
Quadro 45 – referente a continuação da atividade 2 da síntese 2
(continuação)
O que há de parecido com os triângulos da atividade 2.4?
Verifique se os ângulos correspondentes dos dois triângulos são iguais. Veja
se os lados correspondentes dos dois triângulos são proporcionais e preservam
uma razão k. Registre suas conclusões:
Na homotetia, reduzimos, ampliamos ou mantemos a identidade da figura.
Em figuras poligonais homotética, os ângulos correspondentes são congruentes e
os lados correspondentes são proporcionais. No entanto, nossa construção
somente comprova que: AO/AO’=OB/OB’=1/k. Embora fazendo as medições vemos
que: OA/AO’=OB/OB’=BA/B’A’, será necessário obter uma comprovação deste fato.
Em sua última construção, trace por A, uma paralela ao segmento BB’,
marcando em B’A’, o ponto X.
Identifique a figura formada em BB’XA. Através da homotetia sabemos que:
OB/OB’=AO/AO’ (i). BB’A’A mostra que BA e B’X possuem a mesma medida (ii).
Conclua a demonstração.
Observe a figura da atividade 2.4 novamente. É possível dizer que aquela
construção determinou triângulos semelhantes? Utilize o que vimos a respeito de
homotetia para resolver.
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
Ficha 8:
Quadro 46 – referente a atividade 3 da síntese 2
(continua)
Atividade 3: Os instrumentos e a resolução de problemas.
3.1
Vamos agora construir um Teodolito rudimentar. Trata-se de um instrumento
muito utilizado na engenharia civil para medir ângulos.
Com o teodolito, é possível medir a altura de objetos perpendiculares ou
paralelos ao chão. Um poste por exemplo.
Material necessário: Um copo plástico (a) com tampa (b), xerox de um
transferidor alinhada e colada numa base quadrada de papelão (c), um pedaço de
arame fino com cerca de 15 cm de comprimento (d) e um pedaço com a mesma
69
Quadro 46 – referente a atividade 3 da síntese 2
(continuação)
medida de um tubo de alumínio de antena de TV (e).
Siga os passos a seguir:
1) A tampa do copo servirá de base para a rotação do teodolito e deverá ser
colada, de cabeça para baixo, de modo que seu centro coincida com o centro
do transferidor, o que dará mais precisão ao teodolito. Para encontrar o
centro da tampa, trace nela dois diâmetros. E faça um furo onde eles se
cruzarem. Tampas desse tipo geralmente trazem ranhuras na borda que
podem ajudar a encontrar o ponto certo. Use o arame fino como guia para
alinhar o centro da tampa com o centro do transferidor.
2) O arame fino será o ponteiro do teodolito que permitirá fazer a leitura em
graus no transferidor. Para instalá-lo, faça dois furos diametralmente opostos
na lateral do copo, próximo de sua boca (use o diâmetro marcado na tampa
como guia para fazer esses furos), e passe o arame pelos furos deixando-o
atravessado no copo.
3) O tubo de antena será a mira por onde você avistará os pontos a serem
medidos. Cole o tubo na base do copo, de forma que ele fique paralelo ao
ponteiro (arame fino). Para refinar essa mira, cole na extremidade do tubo
dois pedaços de linha formando uma cruz.
4) Finalize encaixando o copo na tampa. A versão caseira funciona como um
aparelho verdadeiro (conforme a figura). Com ele você mede, a partir da sua
posição, o ângulo formado entre dois outros pontos. Na horizontal ou vertical,
basta alinhar a indicação 0° do transferidor com um dos pontos e girar a mira
até avistar o outro ponto. O ponteiro indica de quantos graus é a variação.
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
70
Ficha 9:
Quadro 47 – referente a continuação da atividade 3 da síntese 2
3.2
Para poder navegar pelos oceanos, as embarcações precisam se localizar.
Os marinheiro da Antiguidade usavam um disco de metal chamado Astrolábio. Sua
invenção é atribuída ao matemático e astrônomo grego Hiparco, por volta do século
II a.C.
A desvantagem em relação ao Teodolito é que com o astrolábio somente é
possível medir ângulos verticais.
Materiais: transferidor de meia volta, tubo vazio de caneta esferográfica (ou
um canudo), 20cm de fio de linha, clipe e fita adesiva.
Procedimento:
1. Cole com fita adesiva o tubo da caneta (ou canudo) sobra a base do
transferidor;
2. No centro do transferidor, no grau zero, prenda verticalmente com fita
adesiva uma das extremidades do fio de linha e, na outra extremidade,
amarre o clipe.
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
71
Ficha 10:
Quadro 48 – referente a continuação da atividade 3 da síntese 2
3.3
Vamos voltar à questão da travessia do rio, mencionada na Atividade 2.2.
Mas, vamos explorá-la de forma mais no pátio da escola. Você vai precisar de uma
fita métrica ou de uma trena, do teodolito ou do astrolábio e dos seus materiais de
anotação.
B
A
O primeiro passo é desenhar no chão do pátio da escola duas margens
paralelas do suposto rio. Determine os pontos A e B, em margens opostas, como
na figura. Consiga um ponto C na mesma margem do ponto A, tal que o ângulo BCA
seja reto. Com o teodolito ou o astrolábio (decida qual desses instrumentos é mais
apropriado) meça o ângulo A. Com a fita métrica ou uma trena meça a distância AC.
Utilizando essas medidas, noções trigonométricas e semelhança de
triângulos, você poderá calcular a largura do rio. Quando concluir a atividade meça
a distância BC com a trena ou com a fita métrica e compare com o resultado anterior.
Relate essa experiência, descrevendo o procedimento, os dados obtidos, os
cálculos e resultado.
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
Ficha 11:
Quadro 49 – referente a continuação da atividade 3 da síntese 2
3.4
Vamos determinar a altura do prédio escolar, com os mesmos materiais da
atividade anterior. Perceba que sem os valores da tabela trigonométrica (obtidos por
meio de uma calculadora) os cálculos podem se tornar um pouco demorados.
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
72
Ficha 12:
Quadro 50 – referente a continuação da atividade 3 da síntese 2
3.5
É possível calcular o raio da terra usando a linha do horizonte, para isso
vamos considerar que um homem esteja sobre uma torre de altura h=703m. Com o
astrolábio, ele mede o ângulo α formado entre o solo, o ponto onde ele está é o
horizonte, encontrado α=89,15°. Como poderia calcular o raio da Terra?
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
Ficha 13:
Quadro 51 – referente a leitura complementar da atividade 4 da síntese 2
(continua)
Atividade 4 - A construção de uma tabela trigonométrica por Ptolomeu
Leitura:
Uma das questões que desafiam os matemáticos e astrônomos da
Antiguidade foi a determinação do tamanho do Sol e da Lua. Para chegar a estas
medidas, era necessário conhecer o tamanho da circunferência da Terra.
Veja um pouco dos feitos de quatro destes matemáticos:
Erastóstenes, (276-196 a.C.), natural de Cirene, mas viveu parte da juventude
em Atenas. – Foi nesta época que também se destacou outro matemático grego:
Arquimedes (287 – 212 a.C.), inventor da alavanca, da roldana, da catapulta, do
parafuso sem fim, das rodas dentadas, entre outros. – Erastóstenes foi um atleta
bastante popular, destacando-se em várias modalidades esportivas. Autor de vários
livro de Astronomia e Geometria, escreveu ainda poesias e textos de teatro. Fez
uma demonstração muito importante a partir da sombra projetada por uma coluna
em duas cidades que ele acreditava estar ao mesmo meridiano. Erastóstenes sabia
que no solstício de verão o Sol ficava completamente a pino Siena (pois esta cidade
está quase sobre o trópico de câncer) e uma vareta fincada verticalmente no solo
não fazia nenhuma sombra neste horário, fazendo com que o fundo de um poço
ficasse completamente iluminado. Aproveitando-se deste fato, Erastóstenes dirigiuse a cidade de Alexandria e, aproximadamente no mesmo horário em que o sol
ficava a pino em Siena, fincou verticalmente uma vareta ao chão. A seguir, mediu o
73
Quadro 51 – referente a leitura complementar da atividade 4 da síntese 2
(continuação/continua)
ângulo formado pela ponta da vareta com a extremidade da sombra (encontrando
1/50 do círculo) e o segmento formado pela sombra. Veja o esquema abaixo:
Naquele tempo, uma unidade comum para medir distâncias grandes era o
estádio. O estádio era o comprimento da pista de corrida utilizada nos jogos
olímpicos da antiguidade (de 776 a 394 a.C.) e era equivalente 1/10 de milha, ou
seja, aproximadamente 161m. Erastóstenes sabia que a distância entre Alexandria
e Siena era de 5000 estádios.
Exercício: Com base nestas informações, calcule o raio da Terra. Compare
com os resultados obtidos na atividade 3.5. Compartilhe suas conclusões sobre o
método de Erastóstenes com seus colegas.
Aristarco de Samos, (320-250 a.C.), natural de Samos, na Grécia. Propôs o
modelo heliocêntrico do Universo, que afirma que a Terra e todos os planetas
giravam em torno do Sol, algo muito ousado para sua época. Calculou também as
distâncias Terra-Sol e Terra-Lua. Aristarco deduziu a partir do tamanho da sombra
da Terra sobre a Lua (durante o eclipse lunar), que o Sol tinha que ser muito maior
que a terra e que a terra é que deveria estar a uma distância muito grande. Pelo fato
do Sol estar muito longe ele longe ele ilumina a Lua praticamente com feixes de
retas paralelas.
74
Quadro 51 – referente a leitura complementar da atividade 4 da síntese 2
(continuação)
Hiparco
de
Nicéia,
(180-125
a.C.),
mais
um
matemático
grego.
Provavelmente foi fortemente influenciado pela Matemática babilônica. Construiu
uma tabela de cordas que equivale a tabela de senos. Calculou a distância TerraLua por meio de contagem de tempo e observações de um eclipse lunar. Trabalhou
principalmente com semelhança de triângulos.
Cláudio Ptolomeu, (85-151 d.C.), natural de Alexandria. Escreveu o
Almagesto, que permaneceu por 14 séculos como a obra de astronomia mais
importante. No Almagesto encontramos uma tabela trigonométrica bem mais
completa que a de Hiparco, onde são fornecidas as medidas das cordas de
circunferência, para ângulos que variam de meio em meio grau, entre 0° e 180°.
Para determinar essas medidas, Ptolomeu utilizou a base sexagesimal, o
mesmo que fez Hiparco. Em todos os seus cálculos, ele usou uma circunferência
com raio de 60 unidades.
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
Ficha 14:
Quadro 52 – referente a atividade 4 da síntese 2
4.1
Vamos seguir os passos de Ptolomeu a fim de construir a tabela
trigonométrica, partindo do ângulo de 45°.
(Materiais: compasso, transferidor, régua)

Desenhe um quadrado inscrito numa circunferência. Trace suas diagonais.

Vamos trabalhar com um dos triângulos formados. Chamaremos a
hipotenusa de L4 (L4 significa lado de um polígono regular de 4 lados).

Determine L4.

Seja α um dos ângulos não retos. Como vimos anteriormente, o seno de um
ângulo α é a razão entre a medida do cateto oposto a este ângulo e a medida
da hipotenusa. Determine o seno α.

Calcule também o cos α e tg α.
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
75
Ficha 15:
Quadro 53 – referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
4.2
Por meio de um hexágono regular determinaremos as razões trigonométricas
para um ângulo de 30° e 60°.

Desenhe um hexágono regular inscrito numa circunferência. Trace as
diagonais do hexágono que passa pelo centro da circunferência.

Na figura anterior, escolha um dos triângulos. Como podemos classifica-lo
quanto aos lados? Quanto mede cada ângulo?

Trace a altura do triângulo escolhido. Quanto mede cada novo ângulo?
Determine a altura do triângulo escolhido.

Calcule o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos: 30° e 60°.
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
Ficha 16:
Quadro 54 – referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
(continua)
4.3
Vamos agora determinar o seno de um ângulo de 18°.

Desenhe o decágono regular inscrito numa circunferência. Trace as
diagonais que passam pelo centro da circunferência.

Tomemos um dos triângulos formados, será chamado OA1A10. O lado do
decágono será indicado por L10. Como podemos classificar A1A10 quanto
aos lados? Quanto medem os ângulos OA10A1 e OA1A10?

Traçamos a bissetriz do ângulo A1A10O, determinaremos o ponto C sobre
OA1. Quais são as medidas dos ângulos internos do triângulo A1CA10?

Quanto aos lados, como podemos classificar A1CA10? Sem medir determine
o comprimento do segmento CA1.

E o triângulo OA10C é isósceles ou equilátero? Quanto mede OC?

Como seria possível exprimir CA1 em função de L10 e do raio da
circunferência?

Compare os triângulos OA1A10 e A1CA10. São semelhantes? Qual seria a
causa imediata de sua conclusão?
76
Quadro 54 – referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
(continuação)

Aproveite-se destas característica e escolha dois segmentos de cada
triângulo que sejam correspondente e encontre a medida de L10.

Trace a bissetriz do ângulo em o. Determine M (ponto médio de A1A10).
Assim estará determinando dois triângulos OA1M e OMA10. São triângulos
retângulos? Comprove.

Como fazer para calcular o seno do ângulo de 18°? Mostre.
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
Ficha 17:
Quadro 55 – referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
(continua)
4.4
“A soma dos produtos das medidas dos lados opostos de um quadrilátero
inscritível é igual ao produto das medidas das diagonais”
AB.CD+BC.AD=AC.BD
Este Teorema ficou conhecido como o Teorema de Ptolomeu, que possibilitou
a obtenção das fórmulas trigonométricas.
Construa um quadrilátero ABCD inscrito numa circunferência e teste o
Teorema de Ptolomeu. Veja se realmente AB.CD+BC.AD=AC.BD. Compare com os
resultados de seus colegas.
Vamos provar que o teorema de Ptolomeu é válido para qualquer quadrilátero
ABCD inscrito numa circunferência. Acompanhe a demonstração.

Desenhe um quadrilátero ABCD, inscrito numa circunferência;

Construir o ponto E sobre a diagonal AC, tal que o ângulo ABE seja igual ao
ângulo DBC;

Veja que os triângulos BCE e BDA são semelhantes pois os ângulos CBD e
ABD são iguais por construção e além disso os ângulos BCA e BDA são
iguais pois subtendem o mesmo arco. Portanto, BC/CE=BD/AD e então
BC.AD=CE.BD*;

Note que os triângulos BAE e BDC também são semelhantes pois os ângulos
ABE e DBC são iguais por construção e observe que os ângulos BAC e BDC
77
Quadro 55 – referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
(continuação)
são iguais pois subtendem o mesmo arco. Assim, AB/BD=AE/DC e então
AB.CD=AE.BD**;

Adicionando
*e**
membro
a
membro
encontramos:
BC.AD+AB.CD=CE.BD+AE.BD

Note que AC=AE+CE e conclua a demonstração.
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
Ficha 18:
Quadro 56 – referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
4.5
Vamos aplicar o Teorema de Ptolomeu num quadrilátero inscrito numa
semicircunferência para encontramos a fórmula do seno da subtração de arcos
conhecidos. As diagonais deste quadrilátero determinam a triângulos retângulos.

Exprima os lados AB, BC, e CD e as diagonais AC e BD em função do seno
ou do cosseno dos ângulos a e b. Observe que o lado AD=2r. Para tanto,
determine seno de a, de b, e de a-b, e o cosseno de a e de b.

Substitua as relações encontradas em: AB.CD+BC.AD=AC.BD, para transpor
a notação de Ptolomeu para a que utilizamos hoje. Você deverá encontrar
sen (a-b) = sen a . cos b – sen b . cos a.
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
78
Ficha 19:
Quadro 57 – referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
4.6
De quais ângulos já conhecemos o seno? Por meio deles quais outros
podemos determinar? Mostre.
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
Ficha 20:
Quadro 58 – referente a continuação da atividade 4 da síntese
(continua)
4.7
Ptolomeu mostrou como dada a corda de um arco, podemos achar a corda
de seu arco metade. Sem esta demonstração, a tabela trigonométrica de Ptolomeu
teria ficado incompleta.
Vamos agora descobrir que fundamentos este matemático usou.

Desenhe um quadrilátero ABCD inscrito numa semicircunferência. AD é o
diâmetro e r é o raio. Traçar as diagonais. BD é a corda dada;

Seja C o ponto médio do arco BD. Traçar a perpendicular de C sobre AD
obtendo o ponto F;

Vamos mostra que FD é projeção de CD sobre AD e é igual a 1/2(AC-AB).
Marque AE=AB;

Note que BAC e EAC são congruentes pois os ângulos em A são iguais (C
bissecta o arco BD). Portanto CE=CB, mas BC=CD. Logo CE=CD. Concluise que o triângulo EDC é isósceles;

Assim CF é a altura e mediana do triângulo EDC, de maneira que EF=FD;

Veja que FD=1/2(AD-AE)=1/2(AD-AB). Isto demonstra o resultado desejado;

Para mostrar que DC pode ser achado; aplicamos ao triângulo ACD um
teorema conhecido por Ptolomeu que diz: “Um lado do triângulo retângulo é
a média proporcional entre sua projeção sobre a hipotenusa e toda a
hipotenusa “. Este teorema nos leva a DC²=AD.FD;

Já é conhecido FD e como AD=2r, verifique que: DC²=r(2r-AB).
Numa circunferência inscreva um quadrilátero qualquer. Escolha um dos seus
ângulos e observe a corda do arco determinado por ele. Calcule a corda do seu arco
79
Quadro 58 – referente a continuação da atividade 4 da síntese
(continuação)
metade utilizando o que vimos acima. Depois meça com a régua o arco DC e
compare com o que obteve por meio da fórmula do arco metade. Compartilhe seus
resultados com seus colegas.
Vamos agora transpor a notação: DC²=r.(2r-AB) para a atual. Exprima DC em
função do seno de β/2 e AB em função do cosseno de β.
Substitua DC e AJB em DC²=r(2r-AB) para encontrar:𝑠𝑒𝑛
𝛽
2
1−cos 𝛽
=√
2
, depois volte para a nossa tabela e complete o maior número de lacunas que puder.
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
Ficha 21:
Quadro 59 – referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
4.8
Ptolomeu determinou o valor da corda de 1°. A partir desta corda, foi possível
determinar todas as outras que estavam faltando em uma tábua de 1° em 1°.
Seguimos o seu raciocínio para determinar o seno de 1°:
Mostre como podemos chegar no seno de 1,5° e no seno de 0,75°.
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
Ficha 22:
Quadro 60 – referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
(continua)
4.9
Perceba que (sem 1,5°)/2=sen0,75°.
Dessa forma, é possível supor que sem 1°=sen1,5°.2/3.
Ptolomeu percebeu que o valor do sem 0,75° correspondia a metade do
sen1,5°, e observou que 0,75 é metade de 1,5. Então supôs que sem 1° era 2/3 do
valor do sem 1,5° já que 1 é o mesmo que 2/3 de 1,5.
Com um raciocínio análogo, Ptolomeu mostrou geometricamente como
encontrar o valor da corda de 1°, completando assim a sua Tábua de cordas, de ½°
em ½°. Mas, ele não ficou satisfeito com suposições. Então, prosseguiu em seus
estudos para não deixar dúvidas e garantir a exatidão de pelo menos duas casa
80
Quadro 60 – referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
(continuação/continua)
decimais. Para fazer isso demonstrou o Teorema que Arquimedes utilizou na sua
obra sobre os tamanhos e distâncias do Sol e da Lua. O teorema é o segunte:
Se nos forem dadas duas cordas diferentes, com a corda α maior do que a
corda β então: crd α/crd β< α/β.
Vamos considerar somente arcos menores que 180°.
Veja os dois arcos a e b são determinados pelas cordas AB e BC, onde
AB<BC. Desejamos demonstrar que BC/AC<arcoBC/arcoAB.
Em primeiro lugar, dividimos ao meio o ângulo em B, e prolongamos a
bissetriz BE (com E sobre AC) até que ela encontre o círculo em D. Temos então
AD=DC pois são subtendidos por ângulo iguais (traçamos a bissetriz do ângulo
ABC).
Traçamos por C uma paralela a BE. Prolongamos o segmento AB,
determinando na paralela, o ponto C’.
BE e CC’ são segmentos paralelos por construção, cortados pela transversal
BC. Aplicando o Teorema de Tales, obtemos:
81
Quadro 60 – referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
(continuação/continua)
𝐴𝐵 𝐴𝐸
𝐴𝐵
𝐴𝐸
𝐴𝐵
𝐴𝐸 𝐴𝐸 𝐴𝐵
=
⇒
=
⇒ 1+
= 1+
⇒
=
(𝑖)
𝐴𝐶′ 𝐴𝐶 𝐵𝐶 + 𝐵𝐶′ 𝐴𝐸 + 𝐸𝐶
𝐵𝐶′
𝐸𝐶
𝐸𝐶 𝐵𝐶
, que usaremos mais tarde.
O que necessitamos mostrar agora é que AE<EC, e isso segue-se de AB<EC.
De D baixamos a perpendicular DF sobre AC; F é o ponto médio de AC, pois
triângulo ACD é isósceles. Temos agora AD>ED>FD, de maneira que um círculo de
centro D e raio ED cortará AD entre A e D e G e DF (prolongado além de F) em H.
Vemos por tanto ao considerar os dois setores circulares rachurados, que:
Setor DEH>triângulo DEF e setor DEG<triângulo DEA.
𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚,
𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐷𝐸𝐹 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐷𝐸𝐻
<
(𝑖𝑖)
𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐷𝐸𝐴 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟 𝐷𝐸𝐺
Veja que os dois triângulos têm a altura DF comum, de maneira que a razão
de suas áreas é igual a razão de suas bases ((AE.FD/2)/(AF.FD/2)=AE/EF). O lado
esquerdo de (ii) pode ser substituído por EF/EA. Além disso, as áreas dos setores
de um círculo têm mesma razão que os ângulos centrais correspondentes
𝜋𝑟 2 .𝛼 𝜋𝑟 2 .𝛽
( 360° :
360°
𝛼
= 𝛽), de maneira que o lado direito de (ii) pode ser substituído por:
ângulo EDH/ângulo EDG.
𝐸𝐹
Temos assim 𝐸𝐴 <
â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐸𝐷𝐻
â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐸𝐷𝐺
.
Mas se adicionarmos 1 a cada membro da desigualdade segue que:
𝐸𝐹 + 𝐸𝐴 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐸𝐷𝐻 + â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐸𝐷𝐺
𝐴𝐹 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐺𝐷𝐻
<
𝑜𝑢
<
𝐸𝐴
â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐸𝐷𝐺
𝐸𝐴 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐸𝐷𝐺
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜
2𝐴𝐹 2. â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐺𝐷𝐻
𝐴𝐶
â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐴𝐷𝐶
<
𝑜𝑢
<
𝐸𝐴
â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐸𝐷𝐺
𝐸𝐴
â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐸𝐷𝐺
Subtraindo 1 de ambos os lados desta desigualdade obtemos:
𝐴𝐶 − 𝐸𝐴 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐴𝐷𝐶 − â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐸𝐷𝐺
𝐸𝐶 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐶𝐷𝐸
<
𝑜𝑢
<
𝐸𝐴
â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝐸𝐷𝐺
𝐸𝐴 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐸𝐷𝐺
Observe que um ângulo em um círculo é metade do arco que ele subentende.
82
Quadro 60 – referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
(continuação)
Considere a+b=α. Vemos na figura que x+(180°-2ª)+(180°-2b)=360°.
Portanto: x=2(a+b)⇒ x=2.α⇒ α=x/2.
Usando (i) e o fato acima, podemos escrever
𝐵𝐶
𝐴𝐵
𝑎𝑟𝑐𝑜𝐵𝐶
= 𝑎𝑟𝑐𝑜𝐵𝐴 e a prova está
completa.
𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎𝛼
𝑎𝑟𝑐𝑜𝛼
Mas podemos escrever esta relação na forma: 𝑐𝑜𝑟𝑑𝑎𝛽 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝛽, lembrando que
α>β.
Vamos então, transpor a linguagem usada por Ptolomeu para a atual através
de uma relação simples entre a corda que corresponde a um arco de α graus e o
seno do ângulo: crd α=2r.senα/2. Na figura considere a=α.
Basta multiplicar por 2 os dois lados da igualdade r.sen a/2=crd a/2 para
verificar que crd α=2r.sen α/2.
Utiliza crd α=2r.sen α/2 e mostre que crd α/crd β <α/β pode ser escrito em
função de seno de α e de β.
Ptolomeu aplicou este teorema a dois casos:
1. α=1,5°, β=1°
2. α=1°, β=0,75°
Vejamos o primeiro caso: α=1,5°, β=1°. Quanto vale o seno de 1°?
E para o segundo caso: α=1°, β=0,75°, quanto vale o seno de 1°?
É possível que o seno de 1° seja ao mesmo tempo maior e menor ao valor
encontrado? O que é possível concluir a partir desses resultados?
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
83
Ficha 23:
Quadro 61 – referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
4.10
Para finalizar a construção da tabela, vamos utilizar uma importante relação
trigonométrica: sen²α+cos²α=1
O texto a seguir ajudará nesta demonstração.
“Quando a hipotenusa é igual a 1, o seno e o cosseno estão definidos
respectivamente como o lado oposto e o lado adjacente, do ângulo α”
Conclua a demonstração.
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
Ficha 24:
Quadro 62 – referente a continuação da atividade 4 da síntese 2
4.11
Chegamos agora a parte final, que é a construção propriamente dita de uma
tabela de senos, cossenos e tangentes de 0° a 90°. Utilize o que vimos até aqui
para completar a tabela abaixo.
ângulo
seno
1°
2°
3°
4°
5°
6°
7°
8°
...
90°
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
cosseno
tangente
84
Ficha 25:
Quadro 63 – referente a atividade 5 da síntese 2
Atividade 5: Situação de reinvestimento
1) Explique por que sem 30° é igual a ½.
2) Qual a medida do lado de um polígono regular de 20 lado, inscrito numa
circunferência de raio igual a 2? (dado: sen9°=0,1564).
3) Observe o triângulo abaixo:
5cm
4cm
a
3cm
Descreva um método (incluindo os cálculos e instrumentos necessários) para
que se possa determinar a medida do ângulo a, mas não use o transferidor.
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
5.2.3.1.4 AULA POR AULA
Segue nas próximas páginas, orientadas em modo paisagem, as tabelas
referentes a cada aula.
85
Aula 1:
Quadro 64 – referente a aula 1 da síntese 2
(continua)
Tempo estimado
Objetivos
Materiais didáticos
4 horas
Introduzir os conceitos de seno, cosseno e tangente no triângulo retângulo; compreender a importância da
semelhança de triângulos nesse estudo.
Ficha 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; compasso, régua, esquadro, pincel e quadro branco.
1ª etapa
(20min)
1ª Etapa
(20 min)
2ª etapa
Metodologia
(30 min)
3ª etapa
Introdução ao curso: visão geral e apresentações.
As duplas terão em mãos a ficha 1. Em um primeiro momento terão de resolvê-la sem o uso de
instrumentos, em um segundo momento será dado compasso, régua, calculadora e esquadro. Ao
término o professor dará sugestões sobre algumas propriedades do triângulo.
A ficha 2 será entregue as duplas, e será requisitado sua resolução.
A ficha 3 será entregue e realizar-se-á a leitura, e uma breve explanação sobre a importância da
trigonometria. (O tempo desta etapa, por ser pequeno, não foi contabilizado)
4ª etapa
Para exemplificar, o docente construirá um triângulo retângulo na lousa com auxílio de um
(30 min)
transferidor. Em seguida as duplas resolverão a ficha 4.
5ª etapa
As duplas farão o que se pede na ficha 5. Em seguida será realizada a institucionalização local
(20 min)
dos conceitos de seno, cosseno e tangente.
86
Quadro 64 – referente a aula 1 da síntese 2
(continuação)
6ª etapa
(50 min)
Metodologia
7ª etapa
(70 min)
A ficha 6 será resolvida pelas duplas. O professor auxiliará os aluno para compararem as tabelas
dessa ficha, com as da ficha 4, afim de que percebam que as razões trigonométricas dependem
do ângulo.
Com posse da ficha 7, será explicado aos alunos o texto inicial da ficha referente a homotetia de
forma expositiva e dialogada. Em seguida, os alunos terão de fazer o que se pede induzindo-o a
compreender e provar que na atividade da ficha 6 e 4 temos triângulos semelhantes.
Fonte: baseado no texto de NASCIMENTO, 2005.
Aula 2:
Quadro 65 – referente a aula 2 da síntese 2
(continua)
Tempo estimado
4 horas
Construir e manusear um astrolábio e um teodolito; compreender a importância de tais ferramentas através
Objetivos
da aplicação em problemas contextualizados; identificar a necessidade de uma tabela na resolução de certos
problemas.
Tesoura, cola, papel cartão, copo com tampa, arame, cópia de um transferidor, fita adesiva transparente,
Materiais didáticos
transferidor, canudo, etiquetas, fita métrica, gizes coloridos de tonalidade intensa, calculadora, quadro, pincel
e as fichas 8, 9, 10, 11 e 12.
87
Quadro 65 – referente a aula 2 da síntese 2
(continuação)
1ª etapa
(90 min)
pede, ou seja, construir o astrolábio e o teodolito. Afim de dominar o manuseio com o instrumento
pedir-se-á aos alunos que meçam ângulos dentro da sala e posteriormente no pátio da escola.
2ª Etapa
Os quartetos receberam a ficha 10, e irão para o pátio para realizar a atividade conforme relatado
(40 min)
na ficha.
3ª etapa
Metodologia
Os alunos serão disposto em quartetos. Estregado a ficha 8 e 9 aos alunos, eles farão o que se
(50 min)
Ainda no pátio os alunos receberão a ficha 11 e farão o que se pede. Ao final do problema o
professor irá explicar a diferença dos resultados como erros de aproximação ou devido as
ferramentas serem caseiras sem muita precisão.
Voltando à sala, os quartetos receberão a ficha 12 e farão o que se pede. Entretanto, em certo
ponto, quando os alunos estiverem tentando descobrir o seno de 85,15° desenhando um triângulo
4ª etapa
retângulo semelhante, o docente interromperá, e colocará o discurso de como é incomodo ter que
(60 min)
desenhar este outro triângulo toda vez resolvendo os problemas análogos. Logo será sugerido a
importância da tabela. Assim os alunos poderão optar agora pelo uso da calculadora para
terminar o problema.
Fonte: baseado no texto de NASCIMENTO, 2005.
88
Aula 3:
Quadro 66 – referente a aula 3 da síntese 2
(continua)
Tempo estimado
Objetivos
Materiais didáticos
4 horas
Refletir e compreender sobre a função da trigonometria e importância da construção de uma tabela para
auxiliar o estudo; começar a construir uma tabela através de demonstrações generalizadas.
Quadro, pincel e fichas 13, 14 e 15.
A aula iniciar-se-á com a leitura da ficha 13. Em seguida, o docente explica ideias de pensadores
1ª etapa
(120 min)
famosos para calcular medidas astrônomas, também falar-se-á sobre eclipse e duração de um
eclipse. Logo os alunos começarão a participar da conversa e expor dúvidas, sanadas ao decorrer
do diálogo. No meio do diálogo, será pedido aos alunos para encontrarem o raio da terra segundo
o esquema de Eratóstenes disposto na ficha (exercício dentro da ficha de leitura).
Os alunos dispostos em duplas passarão a trabalhar com a ficha 14. O professor criará um diálogo
em cima da diferença entre desenhar um esquema: é a representação simbólica do real, podendo
Metodologia
até mesmo ser de forma generalizada, onde suas medidas não são o que se diz ser ou
2ª Etapa
(60 min)
proporcionais as reais, usa-se a “imaginação”; e construir uma figura: é fazer um desenho capaz
de informar suas características de forma real, ou seja, se eu digo que ali tem 4 cm, lá realmente
terá 4 cm, ou podendo a construção ser proporcional ao real através da utilização de escalas (ou
seja, o processo de construção é mais rígido que o de desenhar). A ficha 24 será entregue para
que os alunos anotem seus resultados de seno, cosseno e tangente na tabela a partir de agora,
(os resultados devem apresentar quatro dígitos depois da vírgula).
89
Quadro 66 – referente a aula 3 da síntese 2
(continuação)
Metodologia
3ª etapa
As duplas trabalharão com a ficha 15.
(60 min)
Fonte: baseado no texto de NASCIMENTO, 2005.
Aula 4:
Quadro 67 – referente a aula 4 da síntese 2
Tempo estimado
Objetivos
Materiais didáticos
4 horas
Continuar as demonstrações das razões trigonométricas afim de construir a tabela; Validar o Teorema de
Ptolomeu, na indicativa de que este servirá como ferramenta na construção da tabela.
Quadro, pincel, régua, transferidor, compasso e fichas 16 e 17.
1ª etapa
Metodologia
(120 min)
2ª Etapa
(120 min)
Os alunos em duplas farão a atividade da ficha 16.
Agora as duplas passarão a trabalhar na demonstração da ficha 17.
Fonte: baseado no texto de NASCIMENTO, 2005.
Aula 5:
Quadro 68 – referente a aula 5 da síntese 2
(continua)
Tempo estimado
4 horas
90
Quadro 68 – referente a aula 5 da síntese 2
(continuação)
Objetivos
Materiais didáticos
Metodologia
Obter através do teorema de Ptolomeu duas formulas relevantes a construção da tabela trigonométrica (seno
da diferença e seno do arco metade); Através das novas fórmulas descobrir senos de novos arcos
Quadro, Pincel, régua, transferidor, compasso e fichas 18, 19 e 20.
1ª etapa
Será esboçado no quadro o princípio da construção da figura da ficha 18, afim de que os alunos
(90 min)
interpretem melhor a questão. Posteriormente os alunos em dupla terão de resolver a ficha 18.
2ª Etapa
(30 min)
3ª etapa
(120 min)
As duplas terão de fazer o que se pede na ficha 19.
Agora os alunos farão o que se pede na ficha 20.
Fonte: baseado no texto de NASCIMENTO, 2005.
Aula 6:
Quadro 69 – referente a aula 6 da síntese 2
(continua)
Tempo estimado
Objetivos
Materiais didáticos
Metodologia
4 horas
Definir o seno de 1°, afim de, através desse definir senos de todos os arcos da tabela que deseja-se montar.
Quadro, pincel e fichas 21 e 22.
1ª etapa
(40 min)
Os aluno serão dispostos em duplas e passarão a fazer o que se pede na ficha 21.
91
Quadro 69 – referente a aula 6 da síntese 2
(continuação)
Metodologia
2ª Etapa
Com a ficha 22 os alunos acompanharão a demonstração do professor no quadro, de forma
(200 min) expositiva e dialogada.
Fonte: baseado no texto de NASCIMENTO, 2005.
Aula 7:
Quadro 70 – referente a aula 7 da síntese 2
Tempo estimado
4 horas
Demonstrar a 1ª lei fundamental da trigonometria afim de extrair o cosseno de um arco sabendo seu seno,
Objetivos
ou vice-versa. Completar a tabela trigonométrica; realizar um retrospectiva geral do curso afim de conceber
uma visão ampla da importância do estudo e dos esforços realizados até aqui.
Materiais didáticos
Quadro, Pincel e todas as fichas.
1ª etapa
(40 min)
Metodologia
2ª Etapa
(90 min)
3ª etapa
(110 min)
As duplas trabalharão na demonstração referente a ficha 23.
Agora os alunos já poderão preencher as lacunas na tabela da ficha 24. Nessa etapa o professor
demonstrará no quadro que a tangente de um arco é a razão entre o seu seno e seu cosseno,
podendo agora os alunos preencherem a parte referente a tangente na tabela.
O docente passa a comentar em ordem de aplicação todas as atividades feitas até agora.
Fonte: baseado no texto de NASCIMENTO, 2005.
92
Aula 8:
Quadro 71 – referente a aula 8 da síntese 2
Tempo estimado
Objetivos
Materiais didáticos
4 horas
Avaliar o aluno quanto ao conteúdo; Compreender a percepção e opinião do aluno diante do curso inteiro.
Ficha 25.
Os alunos resolverão de forma individual a ficha 25. O docente não fornecerá qualquer tipo de
1ª etapa
(150 min)
ajuda. Todos os instrumentos de medidas em desenhos estarão disponíveis ao aluno incluindo a
tabela. Haverá restrição quanto ao uso do transferidor na questão 3. Além da atividade os alunos
estarão sujeitos a questionamentos do professor sobre o porquê da estratégia utilizada e como
foi seu desenrolar.
Metodologia
1ª Etapa
(60 min)
2ª etapa
(30 min)
Será requisitado do aluno através de uma entrevistas solta uma avalição referente ao curso.
Será entregue os certificados e será feito os devidos agradecimentos.
Fonte: baseado no texto de NASCIMENTO, 2005.
93
4.2.4 ANÁLISE DOS RESULTADOS
4.2.4.1 ANÁLISE QUANTITATIVA
O resultado quantitativo será baseado na resolução da ficha 25.
a) Resultado Geral:
Gráfico 5 – número de acertos por questões corrigidas no pós-teste da síntese 2
90,00%
83,33%
80,00%
70,00%
60,00%
50,00%
40,00%
30,00%
20,00%
10,00%
0,00%
Acerto dos alunos
número de acertos/questões
corrigidas
83,33%
Fonte: baseado no texto de NASCIMENTO, 2005.
b) Resultado de acertos por questões:
Gráfico 6 – número de acertos por questão no pós-teste da síntese 2
120%
100%
100%
83%
80%
67%
60%
40%
20%
0%
Acertos na questão
Questão 1
100%
Questão 2
67%
Questão 3
83%
Fonte: baseado no texto de NASCIMENTO, 2005.
94
c) Resultado de acertos por aluno:
Gráfico 7 – número de acertos por aluno no pós-teste da síntese 2
60%
50%
50%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
0%
0%
GE
Aluno com 0 acertos
0%
Aluno com 1 acerto
0%
Aluno com 2 acertos
50%
Aluno com 3 acertos
50%
Fonte: baseado no texto de NASCIMENTO, 2005.
d) Resultado de questões por aluno
Legenda para leitura da tabela 4:
C – CERTO
E – ERRO
Tabela 4 – Acertos e erros das questões por aluno no pós-teste da síntese 2
Sujeito
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
L
M
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
Questão
2
C
C
C
C
C
E
C
E
C
E
C
E
Fonte: extraído de NASCIMENTO, 2005.
Rendimento (%)
3
C
C
C
E
C
C
C
C
E
C
C
C
100
100
100
66,66
100
66,66
100
66,66
66,66
66,66
100
66,66
95
B) Análise Qualitativa
Análise da ficha 25
A análise das tabelas e gráficos acima demonstra que os resultados
perante essas questões foram bastantes satisfatórios, segue uma análise de cada
questão:
Questão 01: Foram dados dois tipos de resposta para essa questão. A primeira, feita
por dois alunos, teve com estratégia desenhar um triângulo equilátero, imaginar um
valor aleatório ao seu lado, como 2, traçar a altura do triângulo obtendo dois triângulos
retângulos e a partir de um deles realizar o cálculo do seno. A outra reposta consiste
em construir um triângulo retângulo com um ângulo de 30° qualquer, com o auxílio
das ferramentas, medir seus lados com uma régua e realizar a conta que define o
seno. Considera-se a primeira resposta mais bem pensada por não usar auxílio de
materiais, utilizando apenas imaginação e o papel, se aproximando da resposta ideal
que é uma demonstração generalizada. Logo a maioria dos alunos não entendeu que
uma demonstração é ideal para se provar algo de forma não local, ou seja, de forma
generalizada, ou por insegurança não quiseram fazer, de qualquer forma isto torna-se
uma evidência de que os alunos ainda não estão aptos a usar demonstrações,
entretanto, os alunos demonstram saber de forma intuitiva o conceito.
Questão 02: Os alunos que acertaram fizeram exatamente o que se esperava, alguns
alunos desenharam a polígono de 20 lados completo, outros apenas um triângulo
isósceles, que foi a alternativa mais esperta. O aluno L errou a questão pois esqueceu
que a medida que obteve não foi a pedida desejada e sim o dobro, um caso simples
de esquecimento e falta de atenção, sobre os demais erros não há mais informações
por parte do autor, apenas sabe-se que houve bastantes erros algébricos na transição
de um lado para outro de números na equação, e que todas as respostas
apresentaram evidências de saberes trigonométricos relevantes. Esses resultados
indicam que a maioria dos aluno soube aplicar o conceito de seno com eficiência na
questão
96
Questão 03: cinco alunos resolveram a questão através do seno, 4 do cosseno e 1
pela tangente. Obtendo a razão trigonométrica desejada o aluno ou usou a
calculadora ou a tabela (alternativa predominante) para obter o arco correspondente.
Os alunos que erraram responderam que bastava usar o transferidor o que contradiz
o comando da questão. Um justificou seu erro dizendo que não reparou a exigência
do comando e outro apenas disse que não lembrava de nada, apenas do transferidor.
Logo conclui-se que os alunos em maioria estão aptos a resolver este tipo de
aplicação.
Principais resultados extraídos no decorrer das atividade através dos meios de
observação:
a) Os alunos mostraram-se débeis no que diz respeito a conhecimentos prévios
de geometria, evidenciando que este ensino foi rarefeito, anteriormente, para a
turma em questão, pois não sabiam, a maioria, das propriedades das figuras,
limitando-se ao nome e identificação intuitiva.
b) A princípio não mostraram habilidades com o manuseio dos instrumentos
fornecidos, necessitando apresentações quanto ao uso, mesmo assim o a
entrosaram-se de forma tímido, entretanto, com o passar do curso o uso tornouse automático. Isso evidência a falta de utilização desses materiais em aulas
comuns.
c) Os aluno apresentarão dificuldades quanto a aritmética e álgebra, como não
saber trabalhar com frações, não saber a ordem para efetuar as operações em
um expressão, erros de sinais em especial em equações.
d) Os alunos mostraram evidências de que estão acostumados com algoritmos
mecanizados, pois muitas vezes faziam procedimentos aleatórios sem
relevância para a situação, ou seja, eles arriscavam a sorte.
e) Uma das principais dificuldades iniciais foi a interpretação dos problemas a qual
o aluno não estava acostumado, entretanto, notou-se um avanço significativo
ao decorrer do curso no que diz respeito análise e reflexão.
f) O trabalho em equipe proporcionou muitos benefícios aos alunos, de tal
maneira que ajudou este a expressar suas ideias de forma mais sólidas, e
refletir em cima de suas justificativas afim de validá-las para o colega.
97
Análise da avaliação dos alunos referente ao curso
O pesquisador forneceu três depoimentos, que acredita-se configurar a
maioria, em resumo os alunos disseram que ficaram satisfeitos com curso,
aprenderam bastante, e gostaram muito das atividades que utilizavam ferramentas
em especial a que eles foram ao pátio.
4.2.5 CONSIDERAÇÕES
A) Considerações quanto aos resultados
Como ensinar trigonometria no triângulo retângulo de maneira significativa?
Como a metodologia mostrou-se de certa forma eficiente de acordo com a
análise do rendimento dos alunos na ficha 25, compreende-se que os principais
aspectos do curso que contribuíram para o sucesso foram:
a) O trabalho em duplas (grupos);
b) A linguagem acessível entre professor e aluno, desenrolando gradativamente
para termos mais formais;
c) Uso de ferramentas que possibilitem o aluno um estado ação e curiosidade,
destacamos em especial o teodolito e astrolábio;
d) Estabelecer a relação entre o conteúdo e outras ramos, em especial
astronomia, assim como investigar a criação do conhecimento, sua
necessidade e desenvolvimento afim de auxiliar na elaboração das aulas e
instigar a curiosidade dos alunos;
e) Metodologia baseada na construção do conceito através de uma situação
problema;
f) Elaborar as atividades de modo que a dificuldade torna-se gradual, refletindo
nos estágios de pensamento geométrico;
Entende-se, entretanto, que ainda há muito o que desenvolver para que
este curso torne-se perfeito.
98
Quais fatores influenciam na aquisição do conhecimento?
Destaca-se aqui que é necessário o educador está avaliando
continuamente o conhecimento do educando, resgatando-os e promovendo-os
sempre que possível.
Como distanciar a utilização da trigonometria no Ensino Médio da
mecanização?
O assunto deve ser apresentado de forma interessante ao aluno,
destacando seus significados e funções, além do mais, deve-se evitar a apresentação
dos conceitos de forma simplesmente expositiva, o educando deve ser instigado a
construir o raciocínio que o leve ao conceito.
B) CONSIDERAÇÕES FUTURAS
a) Devido à dificuldade dos alunos, sugere-se uma pesquisa com o núcleo na
álgebra e outra com o núcleo na geometria elementar;
b) Ainda com o mesmo argumento, sugere-se uma pesquisa para investigar por
que esses alunos apresentavam tal defasagem no ensino da álgebra e
geometria elementar;
c) Ainda com esses alunos caberia uma pesquisa sobre a consolidação do que
foi ensinado no curso e sua defasagem com o tempo;
d) É sugerido também a utilização de um software de geometria dinâmica para
complementar a metodologia.
4.3 SINTESE 3:
Trigonometria no triângulo retângulo: construindo uma aprendizagem significativa.
4.3.1 INTRODUÇÃO
Tema: Um curso de trigonometria a partir de situações problemas e tratamento figural.
Problematização: a preocupação com o ensino de trigonometria deriva da análise
de pesquisas correlatas e livros didáticos, onde após a análise conclui-se que as
99
abordagens de trigonometria no triângulo retângulo não parecem ser elaboradas de
forma que produza um significado concreto para o aluno.
Questão Norteadora: Uma sequência de ensino enfatizando as construções e
transformações geométricas articuladas ao tratamento figural proporciona uma
apreensão significativa para o aluno de 1º ano do Ensino Médio dos conceitos de
trigonometria no triângulo retângulo?
Objetivos: Investigar uma abordagem de ensino de trigonometria no triângulo
retângulo, introduzindo os conceitos fundamentais de seno, cosseno e tangente até a
introdução dos conceitos no ciclo trigonométrico por meio de situações problemas que
articulam construções geométricas e tratamento figural.
4.3.2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Douady (1991)
Segundo Douady (apud SILVA, 2005), qualquer conhecimento já obtido
torna-se em um problema uma possível ferramenta afim de aprender um novo objeto.
Esse processo de descoberta de um novo conhecimento dado por uma situação
problema, se resolverá com as ferramentas que são os conhecimentos antigos e os
dados
fornecidos.
Ao
resolver
um
problema
específico
acontece
uma
institucionalização local, ou seja, um raciocínio específico para aquela situação, tal
raciocínio deve sofrer o processo de institucionalização global, ou seja, uma
generalização do objeto (conhecimento). Em seguida deve sofrer o processo de
familiarização e reutilização para que o indivíduo adquira aptidão e destreza com este
novo objeto, e assim finalmente torna-lo uma nova ferramenta, reiniciando o ciclo. Este
processo será levado em conta para a elaboração das aulas e análise dos resultados.
Duval (1995)
Duval (apud SILVA, 2005) trabalha com o tratamento de figuras na
resolução de problemas, chamado de tratamento figural. O tratamento figural enxerga
na exploração de uma figura complexos processos benéficos para o desenvolvimento
do raciocínio geométrico. Saber como identificar as propriedades e explorar uma
figura são ferramentas consideradas fundamentais no processo de resolução de um
problema ligado à Geometria.
100
Os alunos serão orientados a usar o tratamento figural merelógico, óptico
e posicional, que consistem respectivamente em combinar a figura ou completa-la,
ampliar e reduzir a figura, rotacionar ou translacionar a figura.
Para análise dos resultados será levado em conta as apreensões figurais,
que são como habilidades no tratamento figural, classificadas em quatro tipos:
perspectiva: que permite identificar imediatamente uma forma; discursiva: que permite
interpretar elementos de uma figura; sequencial: que permite a construção ou
descrição da construção de uma figura; operatória: que permite a apreensão de uma
figura dada em suas diferentes modificações possíveis.
4.3.3 METODOLOGIA
4.3.3.1 METODOLOGIA DA PESQUISA
Amostra da pesquisa: 13 alunos do 1º ano do Ensino Médio de uma escola particular
de Ensino Fundamental e Médio da cidade de São Paulo, 7 meninas e 6 meninos com
faixa etária entre 14 e 16 anos.
Tempo do experimento: Será dado em quatro encontros com duas hora aulas, sendo
uma hora aula equivalente a 50 minutos.
Visão superficial do experimento: Será aplicado um curso de trigonometria,
conforme os objetivos, através de 4 atividades, dispondo de uma em cada encontro.
Coleta de dados: Os resultados serão baseado no preenchimento das fichas de
atividades e na observação do pesquisador.
4.3.3.2 METODOLOGIA DAS AULAS
4.3.3.2.1 PADRÃO DE METODOLOGIA DAS AULAS
Todas as atividades serão realizadas em duplas e os alunos poderão
recorrer as estas ferramentas: compasso, transferidor e régua. O professor agirá como
um mediador, apenas sugerindo e questionando, além de tirar dúvidas, ou seja,
induzindo o aluno a tirar suas próprias conclusões. Quando uma questão apresentar
certa dificuldade em âmbito geral, o docente fará uma intervenção, onde será disposto
no quadro sugestões tanto dos alunos como do professor, tais sugestões darão
101
respaldo para uma discursão geral, que terminará até que se chegue em um
consenso. Ao término da atividade o docente realizará uma discursão coletiva, com
intuito de formalizar e institucionalizar os devidos conceitos.
4.3.3.2.2 AVALIAÇÃO
É baseada na entrega das fichas de atividades e observação dos alunos
ao decorrer da atividade.
4.3.3.2.3 MATERIAIS RELEVANTES
Ficha 1:
Quadro 72 – referente a atividade 1 da síntese 3
(continua)
Atividade 1: Relações trigonométricas no triângulo retângulo.
1- Construa triângulo usando régua, compasso e transferidor com as especificações
abaixo, seguindo a ordem entre ângulo e lados dada:
a) 6 cm, 90º, 6 cm
b) 90º, 5 cm, 10 cm
c) 90º, 45º, 10cm
d) 90º, 60], 10 cm
e) 90º, 30º, 10 cm
f) 8 cm, 90º, 45º
g) 8 cm, 90°, 30º
h) 8 cm, 90º, 60º
2- Quantos triângulos nas condições do exercício 1, são possíveis de serem
construídos com as informações de cada item? Justifique.
3- Justifique as medidas obtidas de cada lado e cada ângulo (não fornecidos) do
exercício 1.
4- existe alguma relação entre os lados e os ângulos de um triângulo? Justifique.
Fonte: extraído de SILVA, 2005.
102
Ficha 2:
Quadro 73 – referente a atividade 2 da síntese 3
(continua)
Atividade 2: Relações trigonométricas no triângulo retângulo com ângulos
notáveis e não notáveis.
Dois jogadores de futebol A e B estão alinhados no meio do campo, quando o
jogador A lança a bola em linha reta, formando um ângulo β com a linha do meio
campo. Pergunta-se:
1- Se o ângulo β for de 45º e B correr numa trajetória perpendicular à linha do meio
de campo, quando B percorrerá para apanhar a bola e quantos metros a bola
percorre até B conseguir apanhá-la, se a distância entre A e B for de:
a) 1 metro
b) 2 metros
c) 6 metros
2- Resolva a solução 1, com o ângulo β valendo:
a)
60º
b)
30º
3- Se o ângulo β for de 45º e B correr, em linha reta, a menor trajetória possível,
quanto B percorrerá para apanhar a bola e quantos metros a bola percorre até B
conseguir apanha-la, se a distância entre A e B for de:
a) 1 metro
b) 2 metros
c) 6 metros
4- resolva a solução 3, com o ângulo β valendo.
a) 60º
b) 30º
103
Quadro 73 – referente a atividade 2 da síntese 3
(continuação)
5- Considere a distância entre A e B de 1 metro. Faça o ângulo β variar de 0º a 90º,
de 5º e calcule, para cada um desses ângulos:
a) Qual é a distância mínima que B percorrerá para apanhar a bola.
b) Quantos metros a bola percorre até B conseguir apanhá-la, se B percorrer a
distância mínima.
c) Quantos metros a bola percorre até B conseguir apanhá-la, se B percorrer uma
trajetória perpendicular à linha do meio campo.
6- Com base na situação 5, é verdadeiro afirma que, se B percorre a distância
mínima, quanto maior o ângulo β.
a) Maior a distância mínima que B percorrerá para apanhar a bola?
b) Maior a distância mínima que B percorrerá até apanhá-la?
7- Esboce os gráficos, usando os valores obtidos nos itens a e b da situação 5.
Fonte: extraído de SILVA, 2005.
Ficha 3:
Quadro 74 – referente a atividade 3 da síntese 3
(continua)
Atividade 3: Relações entre perímetros de polígonos regulares e o
comprimento da circunferência.
1- Para ter uma boa estimativa do comprimento de uma circunferência, os
matemáticos antigos calculavam o perímetro e a área de polígonos regulares
inscritos e circunscritos na circunferência. Calcule o perímetro dos seguintes.
a) Um hexágono (circunferência de raio 3)
b) Um octógono (circunferência de raio 4 cm)
c) Um hexágono (circunferência de raio r)
d) Um octógono (circunferência de raio r)
e) Um decágono (circunferência de raio r)
104
Quadro 74 – referente a atividade 3 da síntese 3
(continuação)
f) Um dodecágono (circunferência de raio r)
g) De 20 lados (circunferência de raio r)
h) De n lados (circunferência de raio r)
2- Com base no itens c a g e com base na expressão obtida no item h do exercício
anterior, preencha a seguinte tabela e responda:
Perímetro do
Perímetro do
N (nº de
polígono
n.sen(180º/n)
polígono
n.tg(180º/n)
lados)
inscrito
circunscrito
6
8
10
12
20
100
1000
10000
a) O que ocorre com o valor de n.sen(180º/n) e n.tg(180ª/n)?
b) O que ocorre com o perímetro dos polígonos inscritos e circunscrito e o
comprimento da circunferência?
c) Qual é a expressão que define o comprimento de uma circunferência?
(Dados:
sen100º=0,031411,
tg100º=0,031426,
sen1000º=0,0031416,
tg1000º=0,0031416, sen10000º=0,000314159, tg10000º=0,000314159)
Fonte: extraído de SILVA, 2005.
Ficha 4:
Quadro 75 – referente a atividade 4 da síntese 3
(continua)
Atividade 4: Relações trigonométricas na circunferência trigonométrica.
1- Dois pontos A e B (por exemplo) de uma circunferência dividem-na em duas
partes chamadas arcos, que são indicados por AB (veja a figura abaixo).
105
Quadro 75 – referente a atividade 4 da síntese 3
(continuação/continua)
Sabemos, da atividade anterior, que o comprimento da circunferência é 2πr.
Considerando que o raio da circunferência seja 10 m, calcule os arcos de
circunferência formados pelos seguintes ângulos centras.
a) 30º
f) 180º
b) 45º
g) 270º
c) 60º
h) 360º
d) 90º
i) 450º
e) 135º
j) 720º
2 - Um ângulo central, em uma circunferência, pode ser medido pelo arco que ele
forma numa circunferência de raio unitário (r=1). Essa unidade de medida é
chamada de radianos e é representada pela abreviatura rad.
a) Calcule quantos radianos tem um arco cujo ângulo central é de 360º.
b) Calcule quantos radianos tem cada ângulo do exercício anterior.
3- Dados os seguintes ângulos em radianos, transforme-se para graus:
a) π rad
b) 2π rad
c) π/2 rad
d) π/3 rad
e) π/6 rad
f) 15π rad
g) 45π rad
4- Circunferência trigonométrica é a circunferência de raio unitário. No caso da figura
abaixo, significa que OE mede 1 unidade. Com base nas informações apresentadas
e na figura abaixo, responda:
106
Quadro 75 – referente a atividade 4 da síntese 3
(continuação)
a) calcule as projeções horizontal e vertical do segmento OE (ou seja, OF e OD) e
calcule AB.
b) Mostre que sen²α+cos²α=1.
c) Calcule, nesta situação, o seno, o cosseno e a tangente de 30º, 45º e 60º.
d) Calcule o seno, o cosseno e a tangente de 135º, 225º, 315º e 360º.
e) Calcule o seno, o cosseno e a tangente de 150º, 210º, 330º e 360º.
f) Calcule o seno, o cosseno e a tangente de 120º, 240º, 300º e 360º.
g) Calcule o seno, o cosseno e a tangente de 90º, 180º, 270º e 360º.
h) Monte uma tabela para seno, cosseno e tangente e analise o sinal e o
crescimento em cada uma das tabelas no 1º,2º,3º e 4º quadrantes.
i) Faça um gráfico para seno, cosseno e tangente usando valores obtidos acima.
5- Transforme em radianos os ângulos do exercício 6º e em seguida esboce os
gráficos da função seno, cosseno e tangente usando esses valores.
Fonte: extraído de SILVA, 2005.
4.3.3.2.4 AULA POR AULA
Segue nas próximas páginas, orientadas em modo paisagem, as tabelas
referentes a cada aula.
107
Aula 1:
Quadro 76 – referente a aula 1 da síntese 3
Tempo utilizado
Objetivos
Materiais didáticos
3 horas-aulas.
Construir triângulos retângulos com ângulos notáveis a fim de perceber as relações existentes entre os
ângulos e os lados.
Régua, compasso, transferidor, quadro, pincel e a ficha 1.
Os alunos terão de fazer o que se pede na ficha 1. Para resolver a questão 3 da ficha, não será permitido
Metodologia
usar os materiais de medir (régua e transferidor). A questão 4 levará à discursão coletiva onde no final haverá
a institucionalização dos conceitos por parte do professor, tal que o principal conceito é que triângulos
retângulos semelhantes têm seus lados proporcionais.
Fonte: baseado no texto de SILVA, 2005.
Aula 2:
Quadro 77 – referente a aula 2 da síntese 3
(continua)
Tempo estimado
2 horas-aulas.
Apresentar o seno, cosseno e tangente com uma constante de proporção para lados de triângulos
Objetivos
semelhantes; estabelecer que as razões trigonométricas estão diretamente relacionadas com os ângulos.
Estudar a variação das razões trigonométricas.
Materiais didáticos
Compasso, transferidor, régua, quadro, pincel e ficha 2.
108
Quadro 77 – referente a aula 2 da síntese 3
(continuação)
Os alunos resolverão a ficha 2. Na questão 5 da ficha o professor irá intervir e colocará os resultados em
forma de tabela afim de facilitar a resolução da questão 6 e 7. Na discursão coletiva será chamada a atenção
para a proporcionalidade entre lados de triângulos semelhantes. Será pedido a obtenção da constante de
proporção, em seguida, irá se formalizar as constantes referentes ao seno, cosseno e tangente. O docente
Metodologia
irá construir uma tabela relacionando as constantes descobertas com os ângulos. Com a tabela construída
será fácil chamar a atenção dos alunos para a variação das razões trigonométricas de acordo com o ângulo.
Outros fatos também são esperados com a análise da tabela, como perceber que seno de um ângulo é igual
ao cosseno de seu complemento e que quando o triângulo retângulo tem hipotenusa igual a 1 seus catetos
são os próprios valores de seno e cosseno.
Fonte: baseado no texto de SILVA, 2005.
Aula 3:
Quadro 78 – referente a aula 3 da síntese 3
Tempo estimado
Objetivos
Materiais didáticos
2 horas-aulas
Apresentar aos alunos a fórmula do comprimento de uma circunferência.
Compasso, transferidor, régua, quadro, pincel e ficha 3.
Os alunos terão de fazer o que se pede na ficha 3. Na questão será discutido a elaboração de formulas
Metodologia
para facilitar o cálculo do perímetro. A discursão coletiva tenderá a fazer os alunos deduzirem o
comprimento de uma circunferência.
Fonte: baseado no texto de SILVA, 2005.
109
Aula 4:
Quadro 79 – referente a aula 4 da síntese 3
Tempo estimado
Objetivos
Materiais didáticos
2 horas-aulas
Apresentar os conceitos de trigonometria no ciclo trigonométrico; analisar os gráficos das funções
trigonométricas.
Compasso, transferidor, régua, quadro, pincel e ficha 4.
Será aplicada a ficha 4. Ao decorrer da resolução da ficha, o professor irá integrando conceitos de
trigonometria no ciclo trigonométrico, conhecimentos como quadrante, sentido positivo, sinais do seno,
Metodologia
cosseno e tangente e etc. Na discursão coletiva o professor manterá o foco nos seguintes tópicos: variação
das funções trigonométricas em especial período e amplitude; funções de ângulos maiores que 360°;
intercepção entre as diferentes funções trigonométricas.
Fonte: baseado no texto de SILVA, 2005.
110
4.3.4 RESULTADOS
4.3.4.1 ATIVIDADE 1
4.3.4.2 ACONTECIMENTOS E AÇÕES NA APLICAÇÃO DA ATIVIDADE

Houve dúvidas frequentes de alunos sobre como seguir a ordem de construção
dos triângulos na questão 1. Essas dúvidas foram esclarecidas quando o
professor explanou de forma coletiva um exemplo na lousa.

Houve dúvidas nas construções de ângulos retos e uso do transferidor. Os
alunos foram auxiliados de forma individual.

Alguns alunos perceberam que os itens d e e da questão 1 tratavam do mesmo
triângulo. O professor sugeriu que explicassem por que os triângulos são
congruentes.

Houve dificuldade em justificar a resposta da questão 2, sendo necessário a
intervenção do professor.

Houve dificuldade no item b, c e d da questão 3, sendo necessário novamente
a intervenção do professor.
4.3.4.3 ERROS E DIFICULDADES NA ATIVIDADE 1
Tabela 5 - erro ou dificuldade na apreensão discursiva na atividade 1 da síntese 3
(continua)
Erro ao segui a ordem pedida no
Erro na interpretação do que está sendo
enunciado
pedido
Questão
Nº de alunos
Questão
Nº de alunos
1a
0
3a
1
1b
1
3b
1
1c
0
3c
1
1d
1
3d
1
1e
1
3e
1
1f
2
3f
1
111
Tabela 5 - erro ou dificuldade na apreensão discursiva na atividade 1 da síntese 3
(continuação)
1g
2
3g
1
1h
2
3h
1
Fonte: extraído de SILVA, 2005.
Tabela 6 - erro ou dificuldade na apreensão sequencial na atividade 1 da síntese 3
Erro na interpretação da construção do
Dificuldade na manipulação dos
triângulo
instrumentos
Questão
Nº de alunos
Questão
Nº de alunos
1a
0
1a
1
1b
3
1b
1
1c
0
1c
1
1d
7
1d
1
1e
1
1e
1
1f
3
1f
0
1g
2
1g
0
1h
1
1h
0
Fonte: extraído de SILVA, 2005.
Os erros de manipulação de material estão presentes somente no uso dá
régua onde um aluno utilizou-a começando de 1cm e não de 0. A maioria dos erros
de construção de triângulos foi a imprecisão dos ângulos dos triângulos e deu-se
devido à dificuldade em manter o compasso com uma mesma abertura ou manter sua
ponta fixa.
Tabela 7 - erro ou dificuldade na apreensão perceptiva na atividade 1 síntese 3
(continua)
Dificuldade na identificação da
Imaginar a autossuficiência da figura:
estratégia de solução
não há o que ser provado.
Questão
Nº de alunos
Questão
Nº de alunos
3a
2
4a
3
3b
2
4b
3
3c
2
4c
3
112
Tabela 7 - erro ou dificuldade na apreensão perceptiva na atividade 1 síntese 3
(continuação)
3d
2
4d
3
3e
2
4e
3
3f
3
4f
3
3g
2
4g
3
3h
3
4h
3
Fonte: extraído de SILVA, 2005.
Cabe destacar que os alunos que tiveram dificuldade na identificação da
estratégia não fizeram a questão 4, imagina-se que por falta de tempo. Chama-se
também a atenção na quarta questão, que 4 alunos não a fizeram e dois concluíram
parcialmente.
Tabela 8 - estratégias de resolução da atividade 1 da síntese 3
Congruência
Questão
entre lados e
ângulos
Reflexão de
Rotação de
triângulos
triângulo
Erro ou
exercício
sem fazer
3a
7
-
-
3
3b
-
8
-
2
3c
7
-
-
3
3d
-
7
1
2
3e
-
8
-
2
3f
7
-
-
3
3g
-
8
-
2
3h
-
7
1
4
Fonte: extraído de SILVA, 2005.
Depois de escolhida a estratégias os alunos, dependendo da questão,
também aplicaram o teorema de Pitágoras e usaram o fato da soma dos ângulos de
triângulo ser 180°. Apesar dos índices não tão ruins, isso só foi possível devido a
intervenção do professor.
113
Tabela 9 - erros e dificuldades na estratégia de solução da atividade 1 da síntese 3
Erro na estratégia de
Erro ou dificuldade na
solução
aplicação da fórmula
3a
1
-
3b
-
-
3c
-
-
3d
-
1
3e
-
-
Questão
3f
-
3g
-
-
3h
1
-
Fonte: extraído de SILVA, 2005.
O erro no item 3a foi dado devido a conjectura de que se eu dobro o ângulo,
também dobro o lado oposto, sendo assim o aluno não considerou os elementos
figurais, afim de medir e testar sua hipótese. O erro no item 3h foi devido um erro ao
usar o compasso o que tornou sua figura semelhante a do item b, e prejudicou sua
resposta. O erro no item 3d foi quanto a aplicação do teorema de Pitágoras.
4.3.4.2 ATIVIDADE 2
4.3.4.2.1 ACONTECIMENTOS E AÇÕES NA APLICAÇÃO DA ATIVIDADE

Os alunos apresentarão dificuldades na interpretação da questão 3, no que
refere-se a distância mínima, necessário então a intervenção do professor para
explicar qual seria essa distância mínima;

Houve dificuldades na resolução da questão 5, necessário novamente a
intervenção do professor, que resultou no uso da semelhança de triângulos.
4.3.4.2.2 ERROS E DIFICULDADES NA ATIVIDADE 2
As dúvidas de interpretação foram retiradas de forma coletiva, logo sobraram
os erros de apreensão operatória (solução do problema). Os alunos resolveram a
114
questão 1 e 4 através do processo de transformação geométrica (utilizando os
conhecimentos adquiridos na atividade 1), o que foi de certa forma satisfatório. Na
questão 5, a estratégia foi o uso da semelhança de triângulos. Quatro alunos deixaram
de copiar a tabela esboçada pelo professor após a questão 5, imagina-se devido à
falta de tempo, o que prejudicou o desempenho nas questões 6 e 7. Também houve
dificuldade na transformação dos registros em tabelas para gráficos. Três alunos
erraram ao fazer a proporcionalidade entre os triângulos (questão 5) e três alunos não
terminaram a atividade.
4.3.4.3 ATIVIDADE 3
4.3.4.3.1 ACONTECIMENTOS E AÇÕES NA APLICAÇÃO DA ATIVIDADE

Os alunos encontraram dificuldades na apreensão discursiva: saber o que
significa circunscrito e inscrito. Havendo então a intervenção do docente.

Houve dificuldades em calcular o perímetro do octógono, pois necessitava de
uma estratégia diferente, logo, novamente houve a intervenção do professor.
4.3.4.3.2 ERROS E DIFICULDADES NA ATIVIDADE
Devido as dificuldades terem aumentado nesta atividade, o professor
adotou uma metodologia em que houve uma interação mais coletiva entre todos os
alunos. Mesmo assim, três alunos não fizeram a questão 2, imagina-se que devido à
dificuldade em generalizar uma fórmula para o perímetro.
4.3.4.4 ATIVIDADE 4
4.3.4.4.1 ACONTECIMENTOS E AÇÕES NA APLICAÇÃO DA ATIVIDADE

Houve intervenção do professor para explicar o que é projeção ortogonal.

Houve uma intervenção do professor, quanto a representação no ciclo
trigonométrico.
115
4.3.4.4.2 ERROS E DIFICULDADES NA ATIVIDADE
Apresentou-se vários erros ligados a projeção dos ângulos de 90°, 180°,
270° e 360°, devido não formarem nada similar a um triângulo. Dois alunos não
tiveram cuidado de desenhar os gráficos de forma mais convincente, por exemplo,
enquanto a altura de uma linha representa o valor ½ unidade de medida, quatro linhas
simbolizava o valor de 1 unidade de medida. Um aluno inverteu os gráficos de seno e
cosseno, por ter invertido as projeções horizontais e verticais.
4.3.4.5 DAS DISCURSÕES COLETIVAS
Devido as inúmeras dificuldades a participação do professor nas discursões
coletivas foram bem mais intensa do que o esperado. Entretanto, os alunos
mostraram-se envolvidos, e apresentaram indícios de que compreenderam o que
estava sendo exposto, chegando muitas vezes a opinar e sugerir.
4.4.5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
4.4.5.1 CONSIDERAÇÕES QUANTO AOS RESULTADOS
Partindo da teoria de Duval, encontramos uma percepção diferenciada
sobre o tratamento de um problema Geométrico, que mostrou-se uma ferramenta
capaz de potencializar o raciocínio do indivíduo. Os processos de translação, reflexão,
rotação e semelhança (ampliação e redução) fornecerão elementos interessantes
para arquitetar as situações didáticas. Entretanto, os alunos apresentaram
dificuldades ao trabalhar com tratamento figural de forma autônoma, afim de elaborar
estratégias que o permitissem resolver os problemas.
A falta da elaboração de um contexto para os problemas é considera fator
de desmotivação para o aluno em sua apreensão perceptiva sobre o problema e
operação, cria-se então a hipótese de que trabalhar com problemas interdisciplinares
e com experiências, criaria um ambiente mais suscetível ao sucesso do curso.
Também deixa-se em evidência o método de coleta de dados para extrair
os resultados. Este poderia ser mais eficaz se fosse dado um período de tempo para
que o aluno descreve-se suas estratégias através de uma ficha.
116
Entretanto, o tratamento figural e a concepção ferramenta-objeto, dados na
fundamentação teórica, foram capazes de estabelecer a evolução dos conceitos de
trigonometria no triângulo retângulo.
4.4.5.1 CONSIDERAÇÕES QUANTO A PESQUISAS FUTURAS
a) Testar a eficácia de materiais concretos (como maquetes) atribuindo um
contexto experimental ao curso, materiais de construção de figuras (régua,
compasso,
transferidor),
e
problemas
interdisciplinares
(em
especial
Matemática-Física) e o uso de software; podendo ter até mesmo a perspectiva
de complementar o curso aqui trabalhado;
b) Deve-se investigar também que contexto contribui para uma melhor apreensão
sequencial e se, a partir dessa há uma transferência para a apreensão
perspectiva, discursiva e operatória.
4.4 SINTESE 4:
Transição das razões trigonométricas do triângulo retângulo para o círculo
trigonométrico: Uma sequência para o ensino.
4.4.1 INTRODUÇÃO
Tema: Um curso de trigonometria com o uso do Geogebra, e materiais manipulativos.
Problematização: Realizando uma revisão bibliográfica acerca do ensino de
trigonometria a pesquisadora destaca as seguintes dissertações através de uma breve
síntese: Lidegger (2000); Nascimento (2005); Martins (2003); Costa (1997); Oliveira
(2006); Gernman (2004). Apoiada pelas dissertações, é fácil notar várias dificuldades
no processo de ensino. Entretanto, metodologias, sobre tudo construtivistas, nestas
mesmas pesquisas mostram uma certa eficiência. Logo torna-se valido investigar
métodos construtivistas que favoreçam o ensino da trigonometria.
Questão Norteadora: Atividades com material manipulativo e com computador
podem favorecer a aprendizagem de alunos na transição das razões trigonométricas
do triângulo retângulo para o ciclo trigonométrico?
117
Objetivos: Verificar se as atividades manipulativas e o computador contribuem para
a aprendizagem da transição das razões trigonométricas do triângulo retângulo para
o círculo trigonométrico.
4.4.2 REFERENCIAL TEÓRICO
Brousseau
Segundo Almouloud (apud BORGES, 2009), apoiado na teoria de
Brosseau, o meio é o ponto de partida, ou seja o meio deve ser intencionalmente
criado e trabalhado pelo professor com o intuito de induzir o aluno a refletir diante das
dificuldades apresentadas, fazer estratégias para vencê-las e geralmente extrair um
novo conhecimento da situação. Logo, temos ai uma situação didática onde existe
relações explicitas e implícitas entre aluno e professor. Com isso, o aluno está sendo
induzido à resposta, refletindo e construindo, tal que o professor trabalha como um
mediador, questionando e sugerindo com intuito de ajudar de forma sutil, deixando o
mérito para o aluno.
Logo, Freitas (apud BORGES, 2009) aponta um esquema, baseado em
Brossueu, que facilita no processo de elaboração de situação didática, em outras
palavras a situação didática foi dividida em etapas, que são as seguintes:

Situação de ação: Como o próprio nome sugere é momento em que o aluno
está operando, analisando os dados e utilizando os instrumentos fornecidos na
busca de resultado.

Situação de formulação: é o momento de apresentação e desenvolvimento da
estratégia de solução, o aluno pode muitas vezes nesta fase trocar ideias e
dúvidas com os demais.

Situação de validação: é a etapa em que o aluno valida seu processo de
solução, justificando e comprovando seu método.

Situação
de
institucionalização:
é
processo
de
universalização
do
conhecimento, aquele conhecimento local passa a se transformar em um
conceito geral. Na maioria dos métodos o professor é o sujeito que tem a
participação mais ativa neste processo, e assim será neste trabalho.
118
Note que as etapas acima estão intimamente ligadas e muitas vezes são
impossíveis de distinguir o fim de uma e o início de outra, pois podem até mesmo
acontecer simultaneamente, excerto pela institucionalização.
4.4.3 METODOLOGIA
4.4.3.1 METODOLOGIA DA PESQUISA
Amostra da pesquisa: oito alunos do segundo ano do Ensino Médio do turno da noite
da Escola Estadual Professor Rogério Levorin na periferia da cidade de São Paulo.
Tempo do experimento: uma aula piloto mais 4 encontros de aulas duplas, sendo
uma hora-aula 50 minutos.
Visão superficial do experimento: Será realizado um curso de trigonometria
conforme os objetivos. Para iniciar o curso será realizado uma aula piloto com apenas
dois alunos fora do horário de aula habitual do aluno. Tal aula consistirá na
manipulação do software de geometria dinâmica (Geogebra) por parte dos alunos,
afim de investigar possíveis ajustes nas atividades. Após os ajustes, o curso iniciará,
em primeiro momento através de uma conversa com os participantes sobre os
objetivos e métodos da experiência, logo o curso iniciará realmente com 8 alunos e
12 atividades. Será aplicado no primeiro encontro quatro atividades referentes ao
triângulo retângulo, no segundo encontro mais quatro atividades onde já haverá o
estudo da trigonometria no ciclo trigonométrico, no terceiro mais duas e no último
encontro as duas últimas atividades.
Coleta de dados: Os resultados serão baseados na observação por meio do aplicador
das atividades, pela entrega das fichas de atividades resolvidas e por material de
áudio (não especificado como foi a coleta desse material).
4.4.3.2 METODOLOGIA DAS AULAS
4.4.3.2.1 PADRÃO DE METODOLOGIA DAS AULAS
O professor baseia sua metodologia de acordo com teoria de situações
didáticas criada por Brosseau. Ou seja, a cada problema apresentado ao aluno, o
pesquisador considera as fases de ação, formulação e validação; de tal forma que o
119
mesmo agi como mediador e arquitetos das situações impostas, tirando dúvidas
questionando e sugerindo afim que o aluno por ele mesmo tire suas conclusões.
Quando o educador vê uma dúvida de âmbito geral ele intervém tirando a dúvida em
forma de uma discursão coletiva. O educador nunca tira dúvidas no âmbito de
raciocínio, neste caso agi sempre como mediador, entretanto quando são dúvidas de
notação e conhecimentos prévios este intervém de forma mais direta. Depois de
problemas chaves (e não após todos os problemas) o educador realiza o processo de
institucionalização, onde generaliza os conceitos encontrados, e expõem a notação
correta e formal convencionada pela matemática.
4.4.3.2.2 AVALIAÇÃO
A avaliação será dada de acordo com o preenchimento das fichas e a
observação do educador.
4.4.3.2.3 MATERIAIS RELEVANTES
Ficha 1:
Quadro 80 – referente a atividade 1 da síntese 4
Atividade 1:
1. Abra o arquivo triânguloret.ggb.
a) Movimente o ponto B e observe a medida do ângulo α.
b) O que você observou?
c) O que aconteceu com as medidas dos lados do triângulo?
d) Movimente os pontos A e C, registre suas observações.
Fonte: extraído de BORGES, 2009.
120
Arquivo triângulo.ggb:
Fotografia 3 – Arquivo 1 do Geogebra da síntese 4
Fonte: extraído de BORGES, 2009.
A figura foi construída de tal forma que ao mover os vértices A e B obtémse uma infinidade de triângulos retângulos semelhantes. E ao mover o vértice C os
ângulos variam junto com os lados.
Ficha 2:
Quadro 81 – referente a atividade 2 da síntese 4
Atividade 2:
1. Na parte inferior da tela há uma janela onde está escrito entrada. Aperte o botão
esquerdo do mouse dentro dela e digite c/d, depois dê “enter” e observe na janela
algébrica que aparece a letra f com o resultado da divisão da medida do lado c pela
medida do lado d.
a) Arraste o ponto B e observe o resultado da razão c/d representada pela letra f .
O que você observou?
b) A medida do ângulo α alterou?
c) Movimente o ponto A observe o resultado da razão c/d. O que você observou?
d) A medida do ângulo α alterou?
e) Movimente o ponto C observe o resultado da razão c/d. O que você observou?
f) A medida do ângulo α alterou?
Fonte: extraído de BORGES, 2009.
121
Fotografia 4 – Arquivo 1 do Geogebra da síntese 4
Fonte: extraído de BORGES, 2009.
Será utilizado o mesmo arquivo da atividade 1 porém com a janela algébrica
visível, conforme mostra a fotografia, assim como na atividade 3 e 4.
Ficha 3:
Quadro 82 – referente a atividade 3 da síntese 4
Atividade 3:
1. Na janela de entrada, digite a/d e depois de “enter” aparecerá na janela algébrica
a letra g que representa a razão da medida do lado a pela medida do lado d.
a) Arraste o ponto B e observe o resultado da razão a/d representada pela letra g.
O que você observou?
b) A medida do ângulo α alterou?
c) Movimente o ponto A observe o resultado da razão a/d. O que você observou?
d) A medida do ângulo α alterou?
e) Movimente o ponto C observe o resultado da razão a/d. O que você observou?
f) A medida do ângulo α alterou?
Fonte: extraído de BORGES, 2009.
122
Ficha 4:
Quadro 83 – referente a atividade 4 da síntese 4
Atividade 4:
1. Digite na janela de entrada c/a. Dê “enter”. Aparecerá na janela algébrica, a letra
h que representa a razão da medida lado c pela medida do lado a.
a) Arraste o ponto B e observe o resultado da razão c/a representada pela letra h.
O que você observou?
b) A medida do ângulo α alterou?
c) Movimente o ponto A observe o resultado da razão c/a. O que você observou?
d) A medida do ângulo α alterou?
e) Movimente o ponto C observe o resultado da razão c/a. O que você observou?
f) A medida do ângulo α alterou?
Fonte: extraído de BORGES, 2009.
4.4.3.2.3 AULA POR AULA
Segue nas próximas páginas, orientadas em modo paisagem, as tabelas
referentes a cada aula.
123
Aula 1:
Quadro 84 – referente a aula 1 da síntese 4
Tempo estimado
Objetivos
Materiais didáticos
Metodologia
2 horas aulas
Apresentar os nomes dos lados de um triângulo retângulo e as razões trigonométricas seno, cosseno e
tangente.
Computador (trabalho com o software Geogebra), lousa, pincel e fichas 1, 2, 3 e 4.
1ª etapa
Será feito o que se pede na ficha 1.
2ª etapa
Será feito o que se pede na ficha 2.
3ª etapa
Será feito o que se pede na ficha 3.
4ª etapa
Será feito o que se pede na ficha 4.
O professor irá institucionalizar os fatos, apresentará os nomes dos lados de triângulo retângulo,
5ª etapa
nomeará as razões estudadas como seno, cosseno e tangente, e as colocará em função dos
lados, utilizando os nomes padrões.
Fonte: baseado no texto de BORGES, 2009.
124
4.4.3.2.4 OBJETIVOS DOS DEMAIS ENCONTROS
Aula 2: Introduzir o conceito de seno e cosseno no ciclo trigonométrico; estender os
conceitos de seno e cosseno para ângulos não agudos; estudar as transformações
trigonométricas de seno e cosseno para o primeiro quadrante;
Aula 3: Introduzir o conceito de tangente no ciclo trigonométrico; estudar a variações
e os sinais nas funções seno, cosseno e tangente;
Aula 4: Introduzir o conceito de radiano; estudar a conversão de radianos para graus;
Construir um dispositivo que funcione como um tipo de tabela dinâmica para os
valores de seno, cosseno e tangente (10° em 10°).
4.4.4 RESULTADOS
4.4.4.1 RESULTADOS DAS ATIVIDADES COM TRIÂNGULO RETÂNGULO
Esta atividade apresentou um resultado quase perfeito, na medida do
possível. Os alunos interagiram bem em duplas, e devido a simplicidade do conteúdo
e tarefa, favorecida pelo uso do software, não houve problemas em chegar no objetivo
proposto.
4.4.4.2 RESULTADOS SUPERFICIAIS DAS ATIVIDADES FORA DO TRIÂNGULO
RETÂNGULO
Não há muito o que se falar quanto os resultados também nesta fase, pois
também apresentaram-se satisfatórios e previsto, entretanto devido ao aumento da
complexibilidade dos problemas as dificuldades (narradas no próximo tópico)
apresentaram-se com mais ênfase.
4.4.4.3 PRICIPAIS DIFICULDADE QUANTO A APLICAÇÃO DO CURSO

Os alunos não apresentavam muitos dos conhecimento prévios necessários,
como
semelhança
de
triângulos,
coordenadas
cartesianas,
retas
125
perpendiculares, entre outros; sendo assim necessário várias intervenções da
parte do educador.

Os alunos não apresentaram destreza quanto ao uso dos instrumentos:
compasso, régua e transferidor.

Falta de autoconfiança e autonomia, para refletir e analisar as atividades por si
mesmo, o que os levavam a consultar o professor com frequência, esta
dificuldade é explicada pela falta de costume com atividades deste tipo.

O número de computadores que não possibilitou um aluno por computador.
4.4.5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
4.4.5.1 CONSIDERAÇÕES QUANTO AOS RESULTADOS
Os resultas revelaram-se muito satisfatórios. Como suposto nas hipóteses
e priori a utilização do software de geometria dinâmica foi um fator motivador aos
alunos. Os alunos chegaram aos objetivos propostos através do uso das situações
didáticas sem muitos percalços. Com isso entende-se que sim, que as atividades com
materiais manipulativos e o uso do software de geometria dinâmica favoreceu em
muito o curso em questão.
4.4.5.2 CONSIDERAÇÕES QUANTO A PESQUISAS FUTURAS
a) Dar continuação ao trabalho, tendo como perspectiva a transição do ciclo
trigonométrico para os gráficos das funções trigonométricas.
b) Realizar uma pesquisa similar entretanto contextualizando as atividades com
questões de astronomia.
4.5 SINTESE 5:
Trigonometria, Modelagem e tecnologias: um estudo sobre uma sequência
didática.
126
4.5.1 INTRODUÇÃO
Tema: Uso da modelagem e tecnologias visando a melhoria do ensino de
Trigonometria do triângulo retângulo e círculo trigonométrico.
Problematização: A partir de sua prática docente, a pesquisadora relata que o
processo de aprendizagem da trigonometria enfrenta dificuldades. E embasado em
Costa (1997) e Kedal e Stacey (1998), o pesquisador vê nas metodologias aplicadas
o grande fator de diferenciação. Tendo esta perspectiva a autora realizara um estudo,
apresentado como relato de experiência, que apresentou, como resultado, atividades
com modelos matemáticos como alternativa ampliadora do significado dos conceitos
trigonométricos.
Questões Norteadoras: Uma abordagem de ensino envolvendo modelagem e
diferentes tecnologias de comunicação e informação pode contribuir para a
aprendizagem da trigonometria no triângulo retângulo e no círculo trigonométrico?
Objetivos: Analisar as possibilidades de abordagem da trigonometria no Ensino
Médio, através da modelagem, com tecnologia, visando à mobilização do interesse
dos alunos para melhorar compreensão dos conceitos abordados e a aplicação dos
conceitos trigonométricos a situações com referência na realidade.
4.5.2 REFERENCIAL TEÓRICO
Engenharia didática
Segundo Coutinho (apud SILVA, 2011) A engenharia Didática é um tipo de
metodologia de pesquisa, presente em uma pesquisa experimental, diz respeito a
criação e desenvolvimento de um curso.
Segundo Carneiro (apud SILVA, 2011) na Engenharia didática em primeiro
momento é realizado o que é chamado de análises preliminares, um tipo de
diagnóstico dos indivíduos envolvidos, do conteúdo e do meio. Em seguida vem o
desenvolvimento das atividades e simultaneamente a análise da priori, que tenta criar
hipóteses sobre as respostas comportamentais decorridas da atividade afim de que
haja um planejamento e controle maior no desenvolvimento do curso. Depois, seguese a implementação da experiência, que é a aplicação do planejado sendo modificado
para modelar-se a realidade, ou seja, o curso sai da teoria e vai para a ação. Logo
127
resta apenas a análise da posteriori que nada mais é que os resultados. O presente
curso foi criado de acordo com essas etapas.
Modelagem Matemática
A sequência didática presente tem como abordagem a modelagem.
Segundo Spinillo, Magina (apud SILVA, 2011) a modelagem é o processo de dar
significado aos conceitos relacionando-os com objetos que já significam algo para o
aluno, ou seja, oferece um “referente”.
Em outras palavras é o processo de
contextualização dos conceitos matemáticos.
Segundo Kaiser, Sriraman (apud SILVA, 2011) o contexto é o pondo
principal no ensino e aprendizagem de Matemática. O que quer dizer que deve existir
uma situação contextualizada, ao qual os alunos terão de resolver de forma autônoma,
tendo o professor como mediador. Segundo Kato et al (apud SILVA, 2011) a
aprendizagem de novos conceitos se consolida mais rápido quando parti de um
problema, seguido de generalização e formalização. Nesse processo de resolução o
aluno relaciona e opera conteúdos antigos e identifica a necessidade de um novo.
4.5.3 METODOLOGIA
4.5.3.1 METODOLOGIA DA PESQUISA
Amostra da pesquisa: Duas turmas do 2º ano do Ensino Médio, do período da noite,
da Escola Estadual Frei Marcelino de Milão presente no município de Iapu do estado
de Minas Gerais. As turmas apresentam 70 alunos com faixa etária de 15 a 16 anos.
Passaremos a nos referir a partir de agora como turma A, com 36 alunos, e turma B,
com 34 alunos.
Tempo do experimento: O experimento será realizado 22 horas-aulas distribuída em
13 encontros.
Visão superficial do experimento: Será ministra um mesmo curso para as duas
turmas, tal curso de acordo com os objetivos propostos. O curso começará com duas
atividades preparatórias entregues aos alunos para resolverem em casa, onde o
assunto será conhecimentos prévios para o ensino de trigonometria no triângulo
retângulo. Após, ocorrerá 5 encontros com atividades referentes a trigonometria do
triângulo retângulo, cada encontro fornecerá uma atividade. O 6º e 7º encontro será
128
acerca da introdução de trigonometria no ciclo trigonométrico e propriedades da
circunferência. O oitavo encontro será um teste. Os encontros posteriores dizem
respeito ao ciclo trigonométrico, e terão aulas na sala de informática contando com 4
atividades com o uso de Geogebra. No entanto, devido problemas na estrutura escolar
as aulas com atividades no Geogebra serão aplicadas apenas para metade de cada
turma, tendo a outra metade que fazer tais atividades como tarefas para casa, ou seja
sem a orientação do professor. Entre esses últimos encontros haverá uma feira de
Matemática e um outro teste. Ao decorrer de todo o curso o professor sempre contará
com atividades para casa.
Coleta de dados: Os resultados serão baseados nas fichas de atividades
preenchidas pelos alunos, complementados por anotações oriundas de observações;
dois teste avaliativos; e na observação da feira Matemática realizada ao final do curso,
que por sua vez será complementa por cartazes.
4.5.3.2 METODOLOGIA DAS AULAS
4.5.3.2.1 METODOLOGIA PADRÃO
O pesquisador não deixa realmente claro sua metodologia, porém entendese sua metodologia é baseada na iniciação por um problema e que todo os problemas
resolvidos em sala são trabalhados de acordo com as seguintes etapas:
1ª etapa: Deixa-se o aluno trabalhar com o problema, tendo o professor como
mediador, questionando e sugerindo para assim os alunos conseguirem desenvolver
a questão. Contudo, dependendo da situação o professor pode intervir de forma mais
direta e coletiva.
2ª etapa: É realizado a socialização, onde os alunos confrontam seus resultados e
tentam justifica-los.
3ª etapa: é feita a formalização da resolução pelo professor, e quando necessária a
formalização de um novo conceito matemático. Muitas vezes esta etapa ocorre de
forma simultânea com a etapa anterior.
Logo quando for dito que o aluno irá resolver um problema, a partir de
agora, entende-se que ele passará por essas etapas.
129
4.5.3.2.2 AVALIAÇÃO
Os critérios de avalição não são dados de forma minuciosa, entretanto
sabe-se que são baseados nas observações mediante a execução das atividades, na
entrega das fichas que propõem as atividades, nos dois testes que serão executados
e na observação da feira de Matemática (apresentação da atividade “projeto”).
4.5.3.3.2.3 MATERIAIS RELEVANTES
Ficha 1:
Quadro 85 – referente a atividade preparatória 1 da síntese 4
(continua)
ATIVIDADE A – Investigando propriedades de polígonos de três lados
1- Desenhe um polígono (uma figura geométrica) de três lados. Você poderia
dizer o nome desse polígono?
2- Escreva algumas propriedades que você observa nesta figura?
3- Num triângulo, dois ângulos medem, respectivamente, 25º e 108º. Qual é a
medida do terceiro ângulo? Como você chegou a este resultado?
4- Observe os triângulos abaixo e destaque as características que você observa
em cada um deles.
130
Quadro 85 – referente a atividade preparatória 1 da síntese 4
(continuação)
1- Dos triângulos que você caracterizou acima, há pares que possuem
caraterísticas semelhantes. Separe as duplas que apresentam:
Duplas de triângulos Que nome recebem?
Os três lados iguais
Dois lados iguais e um
diferente
Os três lados diferentes
5- Observando os triângulos abaixo, o que se pose dizer acerca dos ângulos
de cada um desse triângulos?
7- Dos triângulos que você caracterizou acima, há pares que possuem
características semelhantes. Separe as duplas que apresentam:
Duplas de triângulos Que nome recebem
Um ângulo maior que 90°
Três ângulos menores que 90°
Um ângulo de 90°
Fonte: extraído de SILVA, 2011.
131
Ficha 2:
Quadro 86 – referente a atividade preparatória 2 da síntese 4
ATIVIDADE B- Explorando a planta baixa de uma casa.
Para resolver esta atividade, leia a folha e consulte a planta em anexo.
A planta baixa de uma casa é a representação gráfica, num plano, da casa
vista de cima, sem o telhado. Onde se evidencia apenas o chão e a distribuição dos
cômodos nesse espaço. Na planta que entregamos a vocês, temos um projeto de
casa popular disponibilizada pela prefeitura de Belo Horizonte, que apresenta, além
da planta baixa da casa, vista das fachadas de casa, planta do telhado e vista de
cortes verticais. Para resolver ás questões abaixo, observe no projeto a planta 1
quarto, que é planta baixa.
1- O que você poderia dizer sobre os cômodos dessa casa (que formas têm
quantos são, etc.)?
2- Utilizando uma régua para efetuar as medidas, complete o quadro abaixo.
CÔMODOS
LARGURA (cm)
COMPRIMENTO (cm)
ÁREA (cm²)
Banheiro
Sala
Cozinha
Quarto
3- Considerando os dados até aqui coletados, é possível encontrar a área de
toda a casa? Como?
4- Para que toda a extensão da casa caiba em um folha, ela precisa ser
reduzida de forma proporcional, para não perder suas formas originais. Para
isso usamos a escala. Nessa planta a escala utilizada é de 1/50. O que essa
escala significa?
5- Uma vez que já conhecemos a escala utilizada nessa planta, complete o
quadro, agora informando as medidas reais de cada cômodo, em metros.
CÔMODOS
LARGURA (m)
COMPRIMENTO (m)
Banheiro
Sala
Cozinha
Quarto
6- Qual é a área, em m2, da casa toda?
Fonte: extraído de SILVA, 2011.
ÁREA (m2)
132
Ficha 3:
Quadro 87 – referente a atividade 1 da síntese 4
ATIVIDADE 1- Medida da Altura da Parede.
1- Como você faria para medir a altura da parede da sala dispondo apenas de um
esquadro, uma régua e um canudo de refrigerante, sem poder se aproximar da
parede para medi-la diretamente? (Anote todos os passos realizados para
resolver este problema e ao final faça um esboço da situação apresentada).
a) Atenção, indique primeiro o tipo de esquadro que você está utilizando:
( )45/90/45 ( )30/90/60 ( )60/90/30
b) Relacione os conteúdos de Matemática que você consegue associar a
atividade desenvolvida.
Fonte: extraído de SILVA, 2011.
Ficha 4:
Quadro 88 – referente a atividade complementar 1 da síntese 4
(continua)
ATIVIDADE COMPLEMENTAR 1- Semelhança de triângulos.
1- Sabendo que os pares de triângulos abaixo são semelhantes encontre os
valores desconhecidos:
a)
c)
b)
d)
e)
133
Quadro 88 – referente a atividade complementar 1 da síntese 4
(continuação/continua)
2- As figuras abaixo representam dos triângulos sobrepostos, que possuem um
vértice em comum. Determine os valores desconhecidos de x, em cada caso:
AB=7 cm, BD=4,5 cm, DE=2 cm, AC=x
FG=14 cm, GI=9 cm, GJ=20cm, GH=x
KM=9 cm, NO=6 cm, LN=13,5 cm, KL=x
3- No parque de uma cidadezinha havia um pinheiro e uma estaca de 1,10m,
fincada a seu lado. Numa tarde ensolarada, no mesmo instante em que a sombra
da estaca projetada no chão era de 85 cm, a sombra do pinheiro era de 3,72m.
a) Ilustre esta situação, fazendo um desenho.
b) É possível representar esta situação por meio de dois triângulos semelhantes
imaginários?
c) Você saberia determinar a altura do pinheiro?
4- Na figura, as retas r, s e t são paralelas e determinam dois triângulos
semelhantes:
134
Quadro 88 – referente a atividade complementar 1 da síntese 4
(continuação)
Nessas circunstâncias, encontre o valor de x, base do triângulo maior.
5- O telhado de uma casa é sustentado por ema estrutura de madeira em
forma de triângulos semelhantes:
Considerando as distâncias AB= 1,40m, AC= 2,80m, AD= 4,20 e DE= 1,20m,
quanto devem medir as vigas verticais indicadas pelos segmentos BG e CF?
Fonte: extraído de SILVA, 2011.
Ficha 5:
Quadro 89 – referente a atividade 2 da síntese 4
ATIVIDADE 2- Medindo o ângulo usando transferidor, simulando o uso
de teodolito.
1- Na atividade 1 descobrimos a altura da parede da sala, utilizando um
esquadro posicionado a certa distância da parede.
a) Dispondo de um transferidor e um canudo de refrigerante, conhecidos as
medidas da altura da parede e da distância do transferidor a mesma, como
você determinaria o ângulo de inclinação relacionado a estas medidas?
(Anote todos os passos realizados para resolver este problema, registre os
cálculos e ao final faça um desenho da situação investigada).
b) Relacione os conteúdos de Matemática que você consegue associar a
atividade desenvolvida.
Fonte: extraído de SILVA, 2011.
135
Ficha 6:
Quadro 90 – referente a atividade complementar 2 da síntese 4
(continua)
ATIVIDADE COMPLEMENTAR 2- Formalização das razões trigonométricas.
Num triângulo podemos relacionar seus lados a seus ângulos. Estas relações
recebem o nome de razões trigonométricas no triângulo retângulo.
Chamamos de seno de ângulo agudo do triângulo retângulo a razão entre o
cateto oposto a este ângulo e a hipotenusa do triângulo retângulo.
Chamamos de cosseno de ângulo agudo do triângulo retângulo a razão entre
o cateto adjacente a este ângulo e a hipotenusa do triângulo retângulo.
Chamamos de tangente de ângulo agudo do triângulo retângulo a razão entre
o cateto oposto a este ângulo e a hipotenusa do triângulo retângulo.
1- Conhecidas as definições de tais razões, responda:
Entre as atividades realizadas em sala, há alguma em que você poderia ter
utilizado alguma dessas razões trigonométricas? Comente.
2- Cada ângulo agudo de um triângulo retângulo apresenta um valor de seno,
cosseno e tangente. A tabela abaixo apresenta três ângulos agudos e suas
respectivas razões trigonométricas.
Ângulos
Seno
Cosseno
Tangente
22º
≈0,375
≈0,927
≈0,404
40º
≈0,643
≈ 0,766
≈0,839
68º
≈0,927
≈0,375
≈2,475
a) Consultando o quadro complete a que se pede para os triângulos dados.
136
Quadro 90 – referente a atividade complementar 2 da síntese 4
(continuação)
b) Destaque semelhanças entre os triângulos acima:
c) Registre outras observações sobre a tarefa 2?
3- No triângulo retângulo representado, são especificados os valores de seus
lados e de dois ângulos agudos α e β.
a) Determine os valores de:
b) Considere os resultados encontrados nas letras I, II, V e VI. O que observou?
Como se explica o que você observou?
c) Compare outros resultados da tarefa 3a e registre suas observações:
4- Para triângulos 1, 2 e 3, calcule os valores de sen2α+cos2α:
O que você observa? Isto é sempre verdade? Justifique.
Fonte: extraído de SILVA, 2011.
137
Ficha 7:
Quadro 91 – referente a atividade 3 da síntese 4
ATIVIDADE 3- Problemas aplicados.
Escolha três problemas da lista, cuja solução envolva uma das razões
trigonométricas. Você resolverá, assim, um problema envolvendo a razão
trigonométrica seno, um problema envolvendo a razão trigonométrica cosseno e um
problema envolvendo a razão trigonométrica tangente.
I- a) Número do problema:
b) Razão trigonométrica utilizada:
c) Resolução:
II- a) Número do problema:
b) Razão trigonométrica utilizada:
c) Resolução:
III- a) Número do problema:
b) Razão trigonométrica utilizada:
c) Resolução:
Fonte: extraído de SILVA, 2011.
Ficha 8:
Quadro 92 – referente a atividade complementar 3 da síntese 4
ATIVIDADE COMPLEMENTAR 3- Problemas aplicados.
Elabore um problema cuja solução envolva uma das razões trigonométricas.
Atenção! Você precisa saber resolver o problema, mas não precisa entregar a
solução do mesmo.
Fonte: extraído de SILVA, 2011.
Ficha 9:
Quadro 93 – referente a atividade desafio da síntese 4
(continua)
Desafio da Planta do Telhado.
Para resolver esta atividade, leia a folha e consulte a planta em anexo.
O telhado é uma das partes importantes em uma casa. Há vários tipos de
telhados, cada um composto por partes específicas. Para nosso trabalho
consideremos algumas partes de um telhado de telhas de barro, apoiado sobre uma
estrutura de madeira.
138
Quadro 93 – referente a atividade desafio da síntese 4
(continuação)
Observe a figura que representa um telhado, especificando algumas destas
partes:
Na planta entregue a você há o corte AA, que mostra o telhado e suas partes, e a
planta de cobertura, que mostra o telhado visto de cima e sua inclinação de i=35%.
Estas partes obedecem á escala 1/50, escala utilizada na construção da planta.
1- Observando o Corte AA, complete a tabela abaixo, informando as medidas
da planta, as medidas reais e o método utilizado para obter estas
informações.
2- Que ralações você pode estabelecer entre a linha, o pendural e a empena
de um talhado?
3- Que associações você consegue estabelecer entre esta tarefa e as
atividades anteriores.
4- Para evitar goteiras, os telhados devem ser projetados com uma determinada
inclinação.
a) Consulte o corte AA da planta e determine o ângulo de inclinação do telhado
em relação á horizontal. Explique o método utilizado para encontrar esta
resposta.
b) É possível determinar alguma relação entre o tamanho do pendural, o
tamanho da linha e a inclinação do telhado? Explique.
Fonte: extraído de SILVA, 2011.
139
Ficha 10:
Quadro 94 – referente a atividade projeto da síntese 4
Projeto: Enxergando e modelando a Trigonometria das construções da cidade.
Que construções da sua cidade você acha interessante?
Cada grupo deverá fotografar a construção, desenhar um croqui (esboço de uma
planta) utilizando a escala 1: 50, informando as devidas medidas e destacando os
elementos geométricos e a trigonometria relacionada.
O trabalho deverá ser entregue em duas vias:
Primeira via: em folha A4 contendo a (cópia scaneada ou imagem impressa), o
croqui (esboço da planta), informando as devidas medidas e os cálculos feitos para
obtê-las, destacando os elementos geométricos e a trigonometria relacionada.
Segunda via: em folha AG, na forma de um pôster, informando o nome do trabalho,
os membros do grupos e a turma. Na folha AG será colada uma folha A4contendo
as mesmas informações da folha A4 da primeira via.
Atenção: Diagramar o pôster e a folha A4, colocando margem e cuidando para não
cometer erros ortográficos.
*A entrega das duas vias do trabalho será dia 15/03, data em que cada grupo
apresentará o seu pôster.
Fonte: extraído de SILVA, 2011.
Ficha 11:
Quadro 95 – referente ao anexo da atividade 3 da síntese 4
(continua)
1- (IMENES, LELLIS,2009, p.165) Numa indústria, deseja-se construir uma
rampa de comprimento c para vencer um desnível de 2,3m. o ângulo de
inclinação da rampa deve ter 20º. Qual deve ser o comprimento c da rampa,
sabendo que o ângulo de i=20º, possui razões trigonométricas iguais a:
sen20º=0,34, cos20º= 0,94, tg20º=0,36.
140
Quadro 95 – referente ao anexo da atividade 3 da síntese 4
(continuação/continua)
2- (IMENES,
LELLIS,2009,
p.168)
Para
instalar
um
teleférico,
os
engenheiros mediram o ângulo  e o desnível entre os pontos A e B.
Sabendo que sen35º=0,57, cos35º=0,82, tg35º=0,70. Calcule a medida de
AB, segmento que representa a medida do cabo do teleférico a ser instalado.
3- (IMENES, LELLIS,2009, p.164 modificado). Um rapaz observa um poste de
uma determinada rua utilizando um transferidor e um canudo de refrigerante.
O ângulo de inclinação sob o qual o rapaz vê o ponto mais alto do poste em
relação á horizontal é de 15º. Considerando que este rapaz possui 1,5m de
altura e que está a 22,5m do poste, qual é a altura aproximada do poste?
(Dados: sen15º=0,26, cos15º=0,97, tg15º=0,27).
4- (IMENES, LELLIS,2009, p.277). Qual é a altura aproximada da torre? (Dados
sen35º=0,57, cos35º=0,82, tg35º=0,70)
.
5- (IMENES, LELLIS,2009, p.277). Qual é a altura aproximada do mastro da
bandeira? (Dados sen25º=0,42, cos25º=0,91, tg25º=0,47).
141
Quadro 95 – referente ao anexo da atividade 3 da síntese 4
(continuação/continua)
6- (GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR, 1994, p. 323). Uma escada apoiada
em uma parede, num ponto distante 4m do solo, forma com essa parede um
ângulo de 60º. Qual é o comprimento da escada em m? (Dados sen60º=0,87,
cos60º=0,5, tg60º=1,73).
7- (FERREIRA, 2001, p. 9). Um barco atravessa um rio num trecho ode a largura
é 100m, seguindo uma direção que forma um ângulo de 30º com uma das
margens. Calcule a distância percorrida pelo barco para atravessar o rio.
(Dados sen30º=0,5, cos30º=0,87, tg30º=0,58).
8- (GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR, 1994, p. 324). Um avião levanta vôo
sob um ângulo constante de 20º. Após percorrer 2000m em linha reta, a altura
atingida pelo avião será de, aproximadamente: (Dados: sen20º0,34, cos20º=
0,94, tg20º=0,36)
a)728m
b)1880m
c)1000m
d)1720m
e)684m
9- (GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR, 1994, p. 324). Na situação do
mapa abaixo, deseja e construir uma estrada que ligue a cidade A á estrada
BC. Essa estrada medirá: (Dados sen30º=0,5, cos30º=0,87, tg30º=0,58).
a)15km
b)20km
c)25km
d)30km
e)40km
142
Quadro 95 – referente ao anexo da atividade 3 da síntese 4
(continuação/continua)
10- (GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR, 1994, p. 324). A fim de medir a
largura de um rio, num certo local, adotou-se o seguinte procedimento:
marcou-se um ponto B numa margem; 30m a direita marcou-se um ponto C,
de tal forma que AB seja perpendicular à BC, e do ponto C mediu-se o ângulo
BCA, encontrando-se 30º. Dessa forma concluiu-se que a
1
largura AB do rio é:(Dados: sen30º= 2, cos30º=
3
a)10 𝑚
10√3
b)
3
𝑚
c)5√3𝑚
d)10√3 m
√3
,
2
tg30º=
√3
).
3
e)50√3m
11- (IEZZI et al, 2002, p. 220). Observe a figura abaixo e determine a altura h do
edifício, sabendo que AB mede 25m e senθ=0,8; cosθ=0,6; tgθ=1,3.
a)h=22,5m
b)h=15m
c)h=18,5m
d)h=20m
12- (RUBIO, FREITAS, 2005, p. 209). Uma escada de 2m de comprimento está
apoiada no topo de um muro, em terreno plano. Ela faz ângulo de 40º com o
solo. Obtenha a altura do muro e a distância do pé da escada a base do muro.
(Dados sen40º=0,64, cos40º=0,77, tg40º=0,84).
13- (IMENESE, LELLIS, 2009, p. 165, modificado). Para conhecer a largura de
um rio o esquema abaixo ilustrado foi montado. Sabendo que sen63º=0,89;
cos63º=0,45; tg63º=1,96; calcule a largura aproximada do rio?
143
Quadro 95 – referente ao anexo da atividade 3 da síntese 4
(continuação/continua)
14- (IMENES, LELLIS,2009, p.292). Em certo momento do dia, um poste de 5m
de altura projeta uma sombra de 1,8m. De acordo com a tabela, qual é,
aproximadamente,
o
ângulo
de
inclinação do Sol nesse momento?
a)68º
b)69º
c)70º
d)71º
e)n.d.a.
15- (IMENES, LELLIS,2009, p.308). Na tarde em que Cicero foi pela primeira
vez ao cinema, encantou-se com a grande tela da sala de projeção. O garoto
ficou em pé a 15m da tela, com os olhos a 1,20m do piso horizontal, conforme
mostra a figura. Nessa posição, Cicero via o ponto mais baixo da tela na
altura AB de seus olhos e ponto mais alto sob um ângulo de 30º. Qual é,
aproximadamente, a altura AB da tela? (Dados: sen30º=
tg30º=
1
, cos30º=
2
√3
,
2
√3
,√3=1,7)
3
16- (FERREIRA, 2001, p. 10, modificado) Uma pessoa de 1,70m de altura
observa o topo de uma árvore sob um ângulo 40º. Conhecendo a distância
de 6m do observador até a árvore, determinar a altura da árvore. (Dados
sen40º=0,64, cos40º=0,77, tg40º=0,84).
17- (RUBIO, FREITAS, 2005, p. 210) Um avião levanta voo sob um ângulo
constante de 20º com a horizontal. Após percorrer 1 km e m linha reta, em
que altitude ele estará? (Dados: sen20º0,34, cos20º= 0,94, tg20º=0,36).
18- (RUBIO, FREITAS, 2005, p. 210). Um carro sobe uma ladeira de inclinação
constante, que faz ângulo de 15º em relação á horizontal. Quantos metros
ele terá percorrido sobre a rampa, quando a elevação vertical for de 20m?
(Dados: sen15º=0,26, cos15º=0,97, tg15º=0,27).
19- (DANTE, 2005, p. 198) Um caminhão sobre uma rampa inclinada de 10º em
relação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30m de comprimento, a quantos
metros o caminhão se eleva, verticalmente, após percorrer toda a rampa?
(Dados: sen10º=0,17; cos10º=0,98; tg10º=0,18).
144
Quadro 95 – referente ao anexo da atividade 3 da síntese 4
(continuação/continua)
20- (SMOLE, DINIZ, 2005, p. 281). Observe o desenho. O vento conserva o fio
esticado formando um ângulo de 60º com a horizontal. Quando se
desenrolam 70m de fio, a que altura fica a pipa? (As mãos do menino estão
a 1,80m do chão, aproximadamente). (Dados: sen60º=0,87; cos60º=0,5;
tg60º=1,73).
21- (GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR, 1994, p. 320) Um avião levanta voo
em B e sobe fazendo um ângulo constante de 15º com a horizontal. A que
altura estará e qual a distância percorrida quando alcançar a vertical que
passa por uma igreja situada a 2 km do ponto de partida? (Dados:
sen15º=0,26, cos15º=0,97, tg15º=0,27).
22- 0(GIVANNI, BONJORNO, GIOVANNI JR, 1994, p. 321) Uma torre vertical de
altura 12m é vista sob olhos de 30º por uma pessoa que se encontra a uma
distância x da sua base e cujos olhos estão no mesmo plano horizontal dessa
base. Determinar a distância x. (Dados: sen30º=0,5; cos30º= 0,87, tg30º=
0,58).
145
Quadro 95 – referente ao anexo da atividade 3 da síntese 4
(continuação/continua)
23- (DANTE, 2005, p. 197) Do alto da torre de uma plataforma marítima de
petróleo, de 45m de altura, o ângulo de depressão em relação a proa de um
barco é de 60º. A que distância o barco está da plataforma? (Dados:
sen60º=0,87; cos60º=0,5; tg60º=1,73).
24- (DANTE, 2005, p. 198) Queremos saber a largura I de um rio sem atravessálo. Para isso, adotamos o seguinte processo:
*marcamos dos pontos, A (uma estaca) e B (uma árvore), um em cada
margem;
*marcamos um ponto C, distante 8m de A, onde fixamos o aparelho de medir
ângulos (teodolito), de tal modo que o ângulo no ponto A seja reto;
*obtemos
uma
medida
de
70º
para
o
ângulo
ACB.
Nessas condições, qual a largura I do rio? (Dados: sen70º=0,94;
cos70º=0,34; tg70º=2,75).
25- (IMENES, LELLIS,2009, p.277). Num certo instante, um muro de 1,82m de
altura projeta uma sombra de 6,80 de largura.
Qual é, nesse instante a medida aproximada do ângulo é de elevação do Sol?
146
Quadro 95 – referente ao anexo da atividade 3 da síntese 4
(continuação)
26- (DANTE, 2005, p. 199) Do alto de uma torre de 50m de altura, localizada em
ilha, avista-se um ponto de praia sob um ângulo de depressão de 30º. Qual
é a distância da torre até esse ponto? (Desconsidere a largura da torre).
(Dados: sen30º=0,5; cos30º=0,87; tg30º=0,58).
27- (DANTE, 2005, p. 199) Um avião levanta voo em A e sobre fazendo um
ângulo constante de 15º com a horizontal. A que altura estará e qual a
distância percorrida quando sobrevoar uma torre situada a 2 km do ponto de
partida? (Dados: sen15º=0,26, cos15º=0,97, tg15º=0,27).
28- (FERREIRA, 2001, p. 9) Um poste na vertical de 4m de altura projeta uma
sombra de 4√3m sobre o solo. Qual a inclinação dos raios luminosos que
originaram a sombra?
Fonte: extraído de SILVA, 2011.
147
Ficha 12:
Quadro 96 – referente ao anexo da atividade preparatória 2 e atividade desafio da
síntese 4
Fonte: extraído de SILVA, 2011.
148
4.5.3.3.2.4 AULA POR AULA
Segue nas próximas páginas, orientadas em modo paisagem, as tabelas
referentes a cada aula.
149
Aula 1:
Quadro 97 – referente a aula 1 da síntese 5
Tempo estimado 1 hora-aula
Objetivos
Materiais didáticos
Rever conhecimentos prévios necessários ao curso; aplicar semelhança de triângulos na resolução de um
problema.
Lousa, pincel, esquadros, canudos, trenas e as fichas 1, 2, 3, 4 e 12.
O professor começará formalizando na lousa os conceitos explorados nas fichas 1, 2 e 12, dadas
1ª etapa
anteriormente (7 e 5 dias atrás respectivamente), que são conhecimentos prévios de triângulos,
retângulos e leitura de plantas com escala.
Metodologia
Os alunos, divididos em 7 grupos e acompanhados da ficha 3, disponibilizarão do material citado
2ª Etapa
na ficha e intenderão o problema para o caso particular da parede da sala de aula, tendo assim
que resolvê-lo. Ao final da aula será dado a ficha 4 para ser resolvida em casa.
Fonte: baseado no texto de SILVA, 2011.
Aula 2:
Quadro 98 – referente a aula 2 da síntese 5
Tempo estimado
Objetivos
Materiais didáticos
Metodologia
1 hora-aula
Relacionar o ângulo ao assunto de semelhança de triângulos, através da atividade proposta, afim de fazer
uma transição para o conceito de seno, cosseno e tangente.
Transferidos, canudo, trena, lousa, pincel e fichas 3, 5 e 6.
Os alunos, nas mesmas equipes da aula passada e com mesmos materiais acrescentado transferidor e ficha
5, resolverão o problema da nova ficha. Ao final da aula será entregue a ficha 6 para ser resolvida em casa.
Fonte: baseado no texto de SILVA, 2011.
150
Aula 3:
Quadro 99 – referente a aula 3 da síntese 5
Tempo estimado
1 hora-aula
Apresentar a relação fundamental da trigonometria (ficha 6); apresentar a relação que diz que seno de um
Objetivos
ângulo é igual o cosseno de seu complemento e vice-versa (ficha 6). Apresentar os conceitos de seno,
cosseno e tangente.
Materiais didáticos
Lousa, pincel e fichas 6, 9 e 12.
1ª etapa
Metodologia
2ª etapa
O educador retomará os problemas deixados para casa nas aulas passadas, socializado as
respostas e formalizando os devidos conceitos
O educador irá formalizar de forma expositiva e dialogada os conceito de seno, cosseno e
tangente. Ao final da aula será entregue as ficha 9 e 12 para ser resolvida em casa.
Fonte: baseado no texto de SILVA, 2011.
Aula 4:
Quadro 100– referente a aula 4 da síntese 5
Tempo estimado
Objetivos
Materiais didáticos
Metodologia
1 hora-aula
Relacionar os conceitos já aprendidos com atividades concretas.
Lousa, pincel e fichas 9, 10 e 12.
1ª etapa
Será discutido a atividade da ficha 9 (socialização e formalização).
2ª etapa
Será apresentado e explicado a proposta de projeto (ficha 10)
Fonte: baseado no texto de SILVA, 2011.
151
Aula 5:
Quadro 101 – referente a aula 5 da síntese 5
Tempo estimado
Objetivos
Materiais didáticos
Metodologia
1 hora-aula
Aplicar em problemas os conceitos de seno, cosseno e tangente.
Lousa, pincel e fichas 7, 8 e 11.
Os alunos, em duplas, farão o que se pede na ficha 7, com auxílio da ficha 11. Ao final da aula será
entregue a ficha 8 para ser feita em casa.
Fonte: baseado no texto de SILVA, 2011.
152
4.5.3.3.2.4 OBJETIVOS DOS DEMAIS ENCONTROS
Aula 6: Introduzir os conceitos de seno, cosseno e tangente no círculo trigonométrico;
Introduzir o conceito de radiano e conversões de unidade de unidade de arco.
Introduzir conceitos referentes a circunferência: comprimento de arco, diâmetro e
outros.
Aula 7: Fixar os conceitos de círculo trigonométrico e arco orientado. Explorar noções
de arcos côngruos e primeira determinação positiva e negativa.
Aula 8: Aplicação dos teste 1.
Aula 9 (aula na sala de informática): Estudar a variação das funções trigonométricas
no ciclo trigonométrico; estudar os eixos no ciclo trigonométrico; estudar a
identificação dos ângulos de acordo com suas devidas funções trigonométricas.
Aula 10 (aula na sala de informática): Estudar os gráficos da função seno, cosseno
e tangente.
Aula 11: Reestudar os gráficos das funções trigonométricas com papel quadriculado.
Aula 12: Aplicação dos teste 2.
Aula 13: Apresentação do projeto.
4.5.4 RESULTADOS
4.5.4.1
OBSERVAÇÕES
DAS
ATIVIDADES
RELATIVAS
AO
TRIÂNGULO
RETÂNGULO
4.5.4.1.1 ATIVIDADE 1
Os alunos apresentaram dificuldades na resolução, imagina-se que devido
não estarem acostumados com atividades investigativas. Começaram tirando
medidas desnecessárias, como o perímetro da sala, somente depois de sugestões e
questionamentos do professor é que os alunos começaram a refletir sobre
semelhança de triângulos. A maior dificuldade estava em saber qual conteúdo utilizar
para resolver o problema, ou seja, do que se tratava a questão. Nem um aluno da
turma A, conseguiu acabar a atividade em sala, sendo assim incumbidos para
terminarem em casa, na turma B, 5 grupos concluíram a atividade em sala, 11 dos 14
grupos realizaram a tarefa toda (mesmo alguns sendo em casa), onde 10 grupos
153
conseguiram solucionar o problema da forma esperada. Entretanto, alguns grupos,
apesar de terem feito o problema com o raciocínio correto, obtiverão medidas que não
condizem com a realidade, provavelmente devido ao mal uso do esquadro. Esse fato
mostra que os alunos estão acostumados com problemas abstratos e que não
conseguem associar e refletir com a realidade, pois estavam olhando para parede, e
era obvio que não teria por exemplo 5 metros, que foi uma resposta encontrada.
Entretanto, os alunos conseguiram relacionar o ângulo do esquadro a distância
necessária para visualizar o topo da parede, o que foi uma observação satisfatória na
socialização dos resultados.
4.5.4.1.2 ATIVIDADE 2
Sabe-se que a atividade 2 é um complemento da atividade 1, pois já com a
resposta correta da atividade 1, os alunos deveriam calcular o ângulo formado pelo
horizonte estabelecido pela mesa de posicionamento do esquadro e o segmento
formado pelo ponto de observação e o ponto mais alto da parede, ou seja, se desse
o mesmo ângulo do esquadro, os alunos iriam confirmar que a distância que estavam
fornecia o ponto de observação correto. Cinco grupos concluíram que tinham se
posicionado corretamente, enquanto outros cinco verificaram o erro de posição; e os
demais não conseguiram verificar seus erros. Ao perguntar a que assunto referia-se
aquele problema três grupos citaram figuras semelhantes, três grupos mencionaram
triângulo retângulo e teorema de Pitágoras e quatro grupos associaram a razões
trigonométricas. Estes quatro últimos grupos deram a “deixa” para a formalização das
razões trigonométricas.
4.5.4.1.3 ATIVIDADE PREPARATÓRIA B
Quanto ao reconhecimento das figuras na planta e cálculo de área os
alunos não apresentaram dificuldades. Entretanto, tiveram dificuldades em apresentar
o significado de escala e fazer a conversão adequada, 14 das 34 duplas apresentaram
erros quanto ao significado e 18 apresentaram erros na conversão. Observa-se que
os erros desta atividade foram corrigidos e discutidos na aula 1.
154
4.5.4.1.4 ATIVIDADE DESAFIO
Já nesta atividade o problema no uso de escala foi amenizado, 22 das 35
duplas realizaram a conversão de forma adequada. Para calcular o ângulo de
inclinação pedido, 10 duplas utilizaram as funções trigonométricas, o que chamou a
atenção por ainda não ter sido trabalhado com um problema desse tipo, enquanto
doze duplas usaram o transferidor.
4.5.4.1.5 ATIVIDADE COMPLEMENTAR 1
Foi de interesse analisar apenas a terceira questão desta atividade, pois
essa tratava-se de um problema contextualizado e bem clássico. Das 35 duplas
apenas 7 não conseguiram resolver a tarefa, os erros em maioria derivaram da
interpretação, onde os alunos não conseguiam encontrar a ilustração correta, alguns
fizeram um tipo de associação com as imagens da questão 2 da atividade.
4.5.4.1.6 ATIVIDADE COMPLEMENTAR 2
Para fins de análise será considerado apenas as questões 3 e 4
consideradas mais pertinentes. Na questão 3, 15 das 32 duplas que realizaram a
atividade, completaram corretamente o quadro e 7 completaram parcialmente. As
duplas que completaram parcialmente ou erraram tiveram erros variados, como não
saber identificar os lados corretos do triângulo, ou não saber operar uma divisão entre
frações (fato muito ocorrido). Isso impediu algumas duplas a chegarem a conclusão
pedidas na tarefa 3b e 3c. Entretanto, todas as duplas notaram as coincidências
devidas, Contudo não conseguiram associar a igualdade do seno e cosseno com
ângulos complementares. Fato que só ficou explícito na formalização do professor em
sala. A 4ª questão foi realizada com êxito por 17 duplas descobrindo as devidas
consciências que seriam formalizadas como relação fundamental da trigonometria.
4.5.4.1.7 ATIVIDADE 3
Os alunos não apresentaram muitas dificuldades nesta atividade. Chamase a atenção para o fato de escolherem em maioria problemas que tinham ilustrações,
155
imagina-se, que por facilitar o processo de interpretação. Por aparecer em menor
quantidade os problemas que envolviam cosseno tiveram certa dificuldade em sua
identificação. Outros fatos curiosos:

O problema 8 foi escolhido por 12 de 33 duplas (seno);

O problema 22 foi escolhido por 19 de 33 duplas (tangente);

O problema 27 foi escolhido por 10 de 33 duplas (9 para cosseno e 1 para
tangente);

O problema 7 foi escolhido por 6 de 33 duplas (cosseno).
4.5.4.1.8 ATIVIDADE COMPLEMENTAR 3
Dos 31 grupos que realizaram essa atividade, 29 grupos se referem à
razões trigonométricas, 1 grupo a lei do seno e cosseno, e o 1 à ralações métricas.
Os dois últimos não foram problemas aplicados o que levou a crer que foram
problemas simplesmente copiados de algum livro. Tivemos 15 relacionados à
tangente, 11 ao seno e 3 ao cosseno.
4.5.4.1.9 ATIVIDADE PROJETO
As construções escolhidas para as atividades foram: uma escada circular,
uma tesoura de terraço, a escada da igreja Matriz, uma das rampas da escola, telhado
de um chalé e telhado de uma sala de aula. Os trabalhos podem ser resumidos com
apresentações de esquemas desenhados e maquetes com escalas, apresentações
de medições diretas e cálculos para medir ângulos ou lados de uma figura.
4.5.4.1.10 ANÁLISE DOS TESTES
Foram aplicados dois testes, onde um deles apresentava 3 questões de
trigonometria no triângulo retângulo, questões a quais manteremos o foco de acordo
com a metodologia do trabalho de quem aqui escreve. Entretanto, com o intuito de
apresentar resultados superficiais do restante do curso, abordaremos com menos
ênfase o desempenho dos alunos nas demais questões.
156
Teste 1

Descrição do teste:
Cabe observar que o teste apresenta a seguinte pergunta final: “Qual
questão você gostou mais?”. Para as demais questões segue a descrição:
Quadro 102 – descrição do teste 1 da síntese 5
(continua)
03
Sim
Sim
Sim
Apresenta ilustração?
02
É contextualizada?
Nº da questão
01
Sim
Sim
Sim
04 a Sim Não
04 b Sim Não
04 c
Sim Não
05
Não Não
Assunto
Competência
abordado
Seno
Aplicação direta do conceito de seno no
(Triângulo
triângulo retângulo afim de descobrir um
Retângulo)
cateto
Seno
Aplicação direta do conceito de seno no
(Triângulo
triângulo retângulo afim de descobrir um
Retângulo)
cateto.
Tangente
Aplicação direta do conceito de tangente no
(Triângulo
triângulo retângulo afim de descobrir um
Retângulo)
cateto
Comprimento
de arco
Comprimento
de arco
Descobrir o comprimento do um arco de uma
volta dado o diâmetro.
Descobrir o comprimento do um arco de sete
voltas dado a mesma situação da questão
anterior.
Comprimento
Descobrir o comprimento de um arco de 45°
de arco
dado a mesma situação da questão anterior.
Conversão
radiano - graus.
Provar a veracidade de uma conversão.
157
Quadro 102 – descrição do teste 1 da síntese 5
(continuação)
06
Conversão
Não Não
Converte um ângulo em radiano para graus
radiano - graus.
Ângulos no
07
Não Sim
Expressar 4 ângulos em radiano no ciclo
ciclo
trigonométrico.
trigonométrico
Ângulos no
08
Sim
Sim
Identificar em que quadrante está um ângulo.
ciclo
trigonométrico
Ângulos no
09 a Não Não
Calcular o número de voltas de um ângulo.
ciclo
trigonométrico
Ângulos no
09 b Não Não
Identificar em que quadrante está o mesmo
ciclo
ângulo.
trigonométrico
Ângulos no
09 c Não Não
Calcular a primeira determinação positiva do
ciclo
mesmo ângulo
trigonométrico
Fonte: baseado no texto de SILVA, 2011.

Resultados:
Gráfico 8 - acerto dos alunos por questão no teste 1 da síntese 5
35
25
20
25
19
25
23
19
12
15
11
8
10
5
30
28
30
7
7
3
0
0
3
0
0
Q 01 Q 02 Q 03
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Q 04 Q 04 Q 04
Q 09 Q 09 Q 09
Q 05 Q 06 Q 07 Q 08
a
b
c
a
b
c
Acerto total
19
19
12
8
7
3
25
28
23
30
25
11
7
Acerto parcial
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Fonte: extraído de SILVA, 2011. Layout modificado.
Observação: o teste foi feito por 34 alunos
158

Avaliação dos resultados quanto as questões de trigonometria no triângulo
retângulo:
Alguns dos alunos que erraram até utilizaram o conceito geométrico
adequado, entretanto se confundiam em fazer a substituição, utilizando valores
incorretos ou não conseguiam distinguir os catetos. Os alunos que acertaram
parcialmente a questão três, somente esqueceram de somar um simples valor ao
resultado encontrado para obter o resultado final.
Teste 2

Descrição do teste:
Cabe observar que o teste apresenta a seguinte pergunta final: “Qual
questão você gostou mais?”. Para as demais questões segue a descrição:
Quadro 103 – descrição do teste 2 da síntese 5
(continua)
Apresenta ilustração?
É contextualizada?
Nº da questão
Assunto
Ângulos no
ciclo
01
Não Sim
Competência
abordado
Expressar 8 ângulos dados em graus no ciclo
trigonométrico.
Definir
se
uma
função
trigonométrico e trigonométrica é maior ou menor que outra,
variação das
dado os ângulos sendo os mesmos 8.
funções
trigonométricas
02
Não Não
Expressão
trigonométrica
Resolver uma subtração entre duas funções
trigonométricas estando os ângulos em função
de um x dado em radiano
159
Quadro 103 – descrição do teste 2 da síntese 5
(continua)
03
04
Não Não
Não Não
Expressão
trigonométrica
uma
trigonométrica,
grande
expressão
envolvendo
soma,
multiplicação e divisão.
Estudo do sinal
Descobrir o sinal de uma multiplicação entre
das funções
três funções trigonométricas sabendo os
trigonométricas
Ângulos no
05 a Não Não
Resolver
ciclo
ângulos
Descobrir qual quadrante está um ângulo bem
maior que 360°
trigonométrico
05 b Sim Não
06
Não Não
Cosseno
Cosseno e
seno
Calcular o cosseno do mesmo ângulo.
Calcular cosseno e seno de ângulos maiores
que 90°.
Determinar, sem justificar, de acordo com o
gráfico se:
a) A função é par;
07
Não Sim
Gráficos de
b) Se em um determinado intervalo é
funções
crescente e em outro decrescente;
trigonométrica
c) Se é ímpar;
(seno ou
d) Se em um determinado intervalo é
cosseno)
crescente e em outro decrescente;
e) Se é a função y=senx
f) Se é a função y=cosx
Gráficos de
funções
08
Não Sim
trigonométrica
Determina de acordo com o gráfico a imagem,
domínio
e
trigonométrica
período
e
por
de
fim
uma
função
definir
sua
(seno ou
representação algébrica (está última etapa é
cosseno)
de múltipla escolha)
Fonte: baseado no texto de SILVA, 2011.
160

Resultados:
Gráfico 8 - acerto dos alunos por questão no teste 2 da síntese 5
Título do Gráfico
16
14
14
12
10
10
8
13
12
8
6
6
4
4 4
2
0
0
1
77
5
4
2
12
11
10
8
8
4
13
3
1
3
1
0
1
Q
01
Q
02
Q
03
Q
Q Q Q Q Q Q Q Q
08
04 05 a 05 b 06 a 06 b 06 c 07 08 I
III
Q
08
III
Q
08
IV
Alunos que realizaram as
atividades computacionais
auxiliados pela professora
2
8
4
0
14
13
12
4
3
13
7
11
5
3
Alunos que realizaram as
atividades computacionais em casa
4
4
8
1
10
6
10
1
1
8
7
12
0
1
Fonte: extraído de SILVA, 2011. Layout modificado.
4.5.5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
4.5.5.1 CONSIDERAÇÕES QUANTO OS RESULTADOS OBTIDOS
Conclui-se que as atividades que utilizam materiais manipulativos, recursos
computacionais e aquelas que fazem referência a realidade e meio em que o aluno
está inserido contribuem diretamente com a motivação dos alunos. Assim como,
destaca-se a ordem estabelecida pela metodologia colocando as situações problemas
antecedendo os conceitos contribuiu para um desenvolvimento do significado de
forma valiosa. A de se apontar em especial o uso de recursos computacionais que
facilitaram a visualização de propriedades e conceitos. A utilização de casos
particulares para formalizar e em seguida generalização e aplicação para os demais
problemas apresentou-se como uma estratégia que permite compreender os
processos de formalização de um conceito Matemático. Ou seja, validou-se o curso e
as hipóteses que havia sobre o mesmo.
161
4.5.5.2 CONSIDERAÇÕES QUANTO A PESQUISAS FUTURAS
É fato que o estudo da álgebra é dado com mais ênfase no currículo
escolar, enquanto a Geometria é deixada de lado. Contudo, diferente do esperado, os
alunos tiveram mais dificuldades em questões que requeriam conhecimentos
algébricos. Logo, deixa-se a investigação deste fato como um possível estudo futuro.
4.6 SÍTESE 6:
O ensino da trigonometria subsidiado pelas teorias da aprendizagem
significativa e dos campos conceituais.
4.6.1 INTRODUÇÃO:
Tema: Uma investigação dos conceitos prévios dos alunos baseada nas teorias dos
campos conceituais Teoria da Aprendizagem Significativa (TAS) de Ausubel e a
Teoria dos Campos Conceituais (TCC) de Vergnaud.
Problematização: A pesquisa surgiu, segundo a autora, em função da inquietude em
as dificuldades de compreender e de conceituar dos alunos e da falta de interesse em
relação ao tema.
Questões norteadoras: Será que os conhecimentos anteriores dos discentes, o uso
de materiais relevantes e o trabalho em grupo facilitam o ensino e aprendizagem?
Objetivos: Propor uma metodologia de ensino que possa contribuir para uma
construção significativa dos conceitos envolvidos no campo conceitual da
trigonometria.
4.6.2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Ausubel
A teoria da aprendizagem significativa proposta por David P. Ausubel (apud
KLEIN, 2009) e continuada. Interpretada e complementada por outros autores tem
como ideia mais importante considerar aquilo que o aprendiz já sabe. Ao dizer isso,
Ausubel quer enfocar a estrutura cognitiva do indivíduo, ou seja, as ideias e o
conteúdo que ele tem a respeito de determinado assunto. De posse dessa informação
162
é possível fazer um mapeamento das ideias prévias do aluno com o objetivo de
ensiná-lo de acordo, identificando os conceitos organizadores básicos e utilizando
recursos que facilitem a aprendizagem de maneira significativa.
Vergnald
As teorias de Ausubel e de Vergnald (apud KLEIN, 2009) em muitos
aspectos se completam. Existe a premissa de que para Vergnald, o conhecimento
está organizado em campos conceituais.
A teoria dos campos conceituais é uma teoria psicológica cognitivista que
busca propiciar uma estrutura coerente e alguns princípios básicos ao estudo do
desenvolvimento, sobretudo, às que dependem da ciência e da técnica. Sua principal
finalidade é propor uma estrutura que permita compreender as filiações e rupturas
entre conhecimentos, em crianças e adolescentes. Entende-se por “conhecimentos”,
tanto as habilidades quanto as informações expressas.
4.6.3 METODOLOGIA
4.6.3.1 METODOLOGIA DA PESQUISA
Amostra da pesquisa: a experiência teve com amostra uma turma de segunda série
do Ensino Médio, composta por 28 alunos, de uma escola da rede particular de Novo
Hamburgo. O grupo de alunos era composto por 16 meninas e 12 meninos, com
idades entre 16 e 17 anos, da segunda série do Ensino Médio.
Tempo do experimento: As atividades aconteceram no período de abril de 2008 até
setembro de 2008, sempre nos períodos destinados à disciplina de Matemática, que
eram quatro horas semanais e respeitaram o conteúdo programático da série. Houve
a aplicação de um questionário com o tempo de duração de uma hora-aula, que
corresponde a cinquenta minutos.
Visão superficial do experimento: Houve a confecção de um mapa conceitual do
campo conceitual da trigonometria que teve como objetivo organizar, de forma
hierárquica, a estrutura conceitual do objeto de análise. A próxima etapa foi construir
e aplicar um questionário, cujo objetivo era de realizar um levantamento das
concepções prévias que os alunos tinham a respeito de triângulo retângulo e de como
identificar seus catetos e hipotenusa. Houve também, as ditas situações 1 e 2 para o
163
melhor desenvolvimento do trabalho e dos discentes. Foram usados, também,
materiais concretos.
Coleta de dados: Foram usados registro oral e escrito dos conhecimentos prévios
dos alunos, o registro das observações feitas em sala de aula, o registro escrito de
várias situações problema, além das avaliações formais.
4.6.3.2 METODOLOGIA DAS AULAS
4.6.3.2.1 PADRÃO DA METODOLOGIA DAS AULAS
Aplicação de questionário: A professora aplica questionários, onde, ela verifica os
conceitos prévios para poder aproveitar esta estrutura construída para trabalhar
construindo cada vez mais e lapidando melhor este conhecimento através de
materiais concretos e trabalhos em grupos e outros tipos de trabalhos.
Formação e discussão em grupo: A formação em grupos é provocada, através das
atividades para socializar a discussão de como fazer melhor os trabalhos em materiais
concretos e determinados exercícios no caderno.
Formalização: Será esclarecida algumas dúvidas através de perguntas feitas pelos
alunos tanto do questionário inicial quanto na situação 1 e 2 e também, verificado
alguns erros das atividades escritas, será exposto no quadro.
4.6.3.2.2 AVALIAÇÃO
Não ficou clara que seria feita a avaliação no desenvolvimento das
atividades, somente houve avaliação escolar, porém foi feita análise das respostas do
questionário e das chamadas situações.
Avaliação escolar aconteceu de uma forma tradicional, pois ficou enfatizado
de que não poderia haver, no decorrer da mesma, fatos que interferissem no
andamento regular da escola.
A avaliação, continha 10 questões envolvendo as razões trigonométricas.
Ocupou o tempo de duas horas-aula. O resultado foi categorizado e analisado pela
autora.
164
4.6.3.2.3 MATERIAIS RELEVANTES:
Ficha 1:
Quadro 104 – referente ao questionário inicial da síntese 6
Questionário inicial
1.O que você entende por triângulo retângulo? Existe alguma característica que o
diferencia dos demais triângulos?
_______________________________________________________________
2. Num triângulo retângulo, como você identifica os catetos e a hipotenusa?
Catetos:_________________________________________________________
Hipotenusa:______________________________________________________
3. Com o auxílio de um transferidor e de uma régua, faça o desenho de dois
triângulos retângulos, ambos com hipotenusa medindo 5,0 cm de comprimento: em
um deles, um dos ângulos internos deve ser 30º e, o outro, um dos ângulos internos
deve ser 45º.
4. Identifique, em cada desenho, do item 3:
- o cateto adjacente (CA) ao ângulo de 30º e o cateto oposto (CO) ao ângulo de 30º;
- o cateto adjacente (CA) ao ângulo de 45º e o cateto oposto ao ângulo de 45º (CO);
5.Utilizando a régua, meça (em cm) cada um dos catetos dos desenhos do item 3 e
anote as medidas encontradas na tabela abaixo: (utilize uma casa decimal)
6. Responda: O cateto pode ser maior do que a hipotenusa? ( ) Sim ( ) Não
Justifique:_______________________________________________________
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
Fonte: extraído de KLEIN, 2009.
165
Ficha 2:
Quadro 105 – referente a atividade 1 da síntese 6
(continua)
Situação organizada com o objetivo de definir as razões trigonométricas no
triângulo retângulo.
1. Meça os ângulos internos do triângulo que você tem e anote as medidas abaixo:
Ângulos: __________ Catetos:________ Hipotenusa:________
__________
________
________
2. Procure o(s) colega(s) que tenha(m) os mesmos valores para ângulos internos
do triângulo retângulo que você tem e forme com ele(s) um grupo.
3. No grupo, discuta e responda as perguntas abaixo:
3.1.Compare os triângulos e escrevam abaixo, quais são as suas diferenças e quais
são as suas semelhanças (o que eles têm em comum).
Diferenças:______________________________________________________
Semelhanças:____________________________________________________
3.2. Faça um desenho (não necessariamente no tamanho real), que demonstre as
conclusões acima, referentes à comparação entre os triângulos.
4. O grupo deve escolher um dos ângulos agudos (para os três triângulos deve ser
o mesmo) e anota-lo abaixo. Em seguida, identificar e anotar as medidas do cateto
adjacente ao ângulo (CA) escolhido, do cateto oposto (CO) ao ângulo escolhido e
da hipotenusa.
Triângulo pequeno
Triângulo Médio
Triângulo Grande
Ângulo:______
Ângulo:_____
Ângulo:______
Cateto oposto(CO):_____
Cateto oposto(CO):____
Cateto oposto(CO)___
Cateto adjacente(CA):____Cateto adjacente(CA):___Cateto adjacen.(CA):____
Hipotenusa:________
Hipotenusa:________
5. Efetuar, para cada triângulo, as razões sugeridas:
Triângulo pequeno =
Triângulo médio =
Hipotenusa:______
166
Quadro 105 – referente a atividade 1 da síntese 6
(continuação)
Triângulo grande =
6. Observe e discuta com o seu grupo, procurando escrever abaixo a(s)
conclusão(ões) a(s) qual(is) vocês chegaram. Conclusão(ões):____________
_______________________________________________________________
Fonte: extraído de KLEIN, 2009.
Ficha 3:
Quadro 106 – referente ao teste 1 da síntese 6
(continua)
Primeira avaliação, envolvendo as razões trigonométricas, seno, cosseno e
tangente.
Responda as questões abaixo, justificando a tua resposta pelo cálculo
correspondente:
1) Vamos imaginar um projétil que foi lançado formando com o solo um ângulo de
45° e que não há ação da gravidade sobre o mesmo. Depois de percorrer 1500 m
em linha reta, a que altura estava do chão?
2) Um barco parte para fazer a travessia mais curta possível de um rio. No entanto,
a correnteza o arrastou para 48 m além do local previsto para a sua chegada. De
onde chegou avista-se o ponto de partida sob um ângulo de 60° com a margem em
que está. Qual é a largura do rio?
3) Um cabo de aço está amarrado no topo de um poste, Ele se encontra preso ao
chão a 6 m do pé do poste, formando um ângulo de 30°. Qual é o comprimento do
cabo de aço ? Qual é a altura do poste?
4) Um triângulo equilátero tem 12 m de altura. Determine a medida aproximada de
seus lados. (Lembre-se que um triângulo equilátero tem lados e ângulos iguais).
167
Quadro 106 – referente ao teste 1 da síntese 6
(continuação)
5) Uma escada de 6 m de comprimento está encostada em uma parede. A distância
entre o pé da escada e parede é de 3m. Determine o ângulo formado entre a escada
e a parede.
6) O mestre de uma obra estava descarregando areia de um caminhão. Sabendo
que a tábua que ele colocou, apoiada na caçamba do caminhão, tem 4m e que a
inclinação da rampa é de 30°, calcule a altura que a caçamba está do solo.
7) Uma antena de 18m de altura é presa ao chão por 4 cabos de aço. O ângulo
formado por cada um deles com a ponta da antena mede 45°. Quantos metros de
cabo de aço foram usados, aproximadamente, para prender essa antena?
8) Um avião que está a 6 500 m de altura inicia o procedimento de aterrissagem sob
um ângulo constante de 10°. Se o aeroporto está no nível do mar, qual a distância
entre o avião e o início da aterrissagem?
9) Se para prender um poste de 18 3 m de altura utilizarmos um cabo de aço
(esticado) com 36 m, qual será o ângulo de inclinação do cabo de aço em relação
ao solo?
10) Um poste vertical projeta uma sombra de 10 m sobre o solo. Se o poste tem 10
m de altura, determine a inclinação dos raios solares em relação ao solo.
Fonte: extraído de KLEIN, 2009.
Material concreto 1:
Figura 1: Esquema de um astrolábio
Fonte: extraído de KLEIN, 2009.
168
Material concreto 2:
Figura 2 – Esquema de um teodolito formado com astrolábio e uma alidade
Fonte: extraído de KLEIN, 2009.
4.6.3.3.4 AULA POR AULA
Segue nas próximas páginas, orientadas em modo paisagem, as tabelas
referentes a cada aula.
169
Aula 1:
Quadro 107 – referente a aula 1 da síntese 6
Tempo estimado
Objetivos
Materiais didáticos
Metodologia
Uma hora-aula
Realizar um levantamento sobre os conhecimentos prévios dos alunos a respeito do triângulo retângulo e
como identificar seus catetos e hipotenusa, bem como da habilidade de representá-lo com ângulos e
comprimentos de lados específicos, usando transferidor e régua.
Questionário (ficha 1), régua e transferidor.
Questionário para os alunos responderem de forma individual com uso da régua e transferidor.
Fonte: baseado no testo de KLEIN, 2009.
Aula 2:
Quadro 108 – referente a aula 2 da síntese 6
(continua)
Tempo estimado
Objetivos
Materiais didáticos
Não informado pela autora
Introduzir as definições de razões trigonométricas
Questionário (apêndice C), Triângulos retângulos feitos de material E.V.A., Transferidor e régua.
Trinta triângulos retângulos serão distribuídos aos alunos da turma de forma individual, logo após
Metodologia
1ª etapa
a pesquisadora fará perguntas sobre quem tem triângulos retângulos de ângulos internos de dez
graus, vinte graus e assim por diante até que os alunos se reúnam formando seus grupos de
trabalho.
170
Quadro 108 – referente a aula 2 da síntese 6
(continuação)
Os grupos formados responderão ao questionário utilizando os triângulos semelhantes por meio
2ª etapa
dos materiais concretos para medir ângulos e medir os lados, realizando aproximações sempre
que necessário.
Metodologia
Discussão, com toda a turma, sobre as conclusões obtidas pelos grupos e definir as razões seno,
3ª etapa
cosseno e tangente para um triângulo retângulo, bem como os ângulos chamados de ângulos
notáveis, além de os valores das razões trigonométricas para esses ângulos e cada aluno fazer
as devidas anotações, no seu caderno.
Fonte: baseado no testo de KLEIN, 2009.
Aula 3:
Quadro 109 – referente a aula 3 da síntese 6
(continua)
Tempo estimado
Não informado pela autora
- Construção de astrolábio;
Objetivos
- Identificação das razões o trigonométricas conveniente para determinar a altura da cesta de basquete,
localizada na escola.
Uma caneta esferográfica “bic” sem o refil, para servir de ponto de mira; um transferidor de meia-volta ou
Materiais didáticos
volta inteira; um peso, poderia ser a própria borracha, para dar prumo; um pedaço de cordão ou fio onde seria
amarrado o peso; fita métrica ou trena para realizar as medições.
171
Quadro 109 – referente a aula 3 da síntese 6
(continuação)
Os alunos serão divididos em grupos de 4 alunos, logo em seguida será passada a eles algumas
1ª etapa
informações históricas sobre o instrumento que irão confeccionar, o astrolábio, logo após, eles o
construirão.
Será dada informações sobre seu uso e, com as informações dada pela professora, os discentes
Metodologia
2ª etapa
irão para o pátio da escola com o desfio de medir a altura da cesta de basquete, utilizando o
astrolábio, e a trena ou fita métrica.
Entrega de um relatório para a pesquisadora contendo título (a ser discutido pelo grupo) e em
3ª etapa
seguida, promover também exercícios de fixação do assunto sobre as razões trigonométricas no
livro-texto e por meio de questões de vestibular.
Fonte: baseado no testo de KLEIN, 2009.
6
172
4.6.3.3.5 OBJETIVOS DOS DEMAIS ENCONTROS
Aula 4: Chamada de situação 3, cujo objetivo era estabelecer uma relação entre o
grau e o radiano.
Aula 5: Com nome de situação 4, foi planejada para que os alunos pudessem dar
significado ao raio unitário e à representação das funções trigonométricas no Círculo
Trigonométrico (CT).
Aula 6: Situação 5 cujo o principal objetivo era a tarefa de redução ao primeiro
quadrante, utilizando o CT construído na situação 4.
Aula 7: O objetivo era a visualização dos gráficos das funções seno, cosseno e
tangente nos eixos coordenados.
4.6.4 ANÁLISE DOS RESULDADOS
4.6.4.1 QUESTIONÁRIO INICIAL
A questão 1 apresentou 6 categorias no qual, os alunos acertaram somente
3. A questão de número dois, de quatro categorias, houve acerto de duas. A questão
de número 3, possui 4 categorias, porém acertaram somente uma. Conforme a autora,
em outras categorias os alunos tinham os conceitos exigido, porém, haviam
representado os triângulos de forma incorreta. A Questão de número 5, segundo
autora, apenas 25% dos alunos completaram o que foi pedido. E a questão 6,
aparentemente não foi feito categorias. A maioria errou.
Percebe-se que os alunos possuem vários conceitos sobre o triângulo
retângulo, porém não tem um conceito formal, percebendo essa falha a professora
esclareceu os conceitos de catetos e hipotenusa, o motivo de o triângulo ser retângulo
e de como usar o transferidor. Partindo dos conceitos formalizados para os alunos,
ela elaborou as próximas atividades.
4.6.4.2 SITUAÇÃO 1
Não houve categorização e nem comentários sobre as questões de número 1
e 2. A questão 3 que se subdividiu em 3.1 e 3.2, os 10 grupos acertaram a 3.1 e
somente nove acertam a 3.2 houve categorização. As questões de número quatro e
173
cinco não foram categorizadas, pois o de número seis faria retorno a ela. Essa questão
foi respondida por oito grupos e dois não fizeram o que foi pedido. Na situação de
número dois, toda a turma acertou o cálculo do trabalho. O uso de material concreto
foi amplamente proveitoso no trabalho sobre razões trigonométricas.
4.6.4.3 SITUAÇÃO 2
Com os conceitos já formalizados, outra vez, o uso do material concreto foi
útil para o trabalho. Eles usaram a razão tangente e procederam de forma correta na
montagem da razão e no cálculo. Pelo que se percebe é que o teodolito foi construído
de forma correta, pois foi dada uma série de informações de como manuseá-lo.
4.6.4.4 AVALIAÇÃO ESCOLAR
Somente a segunda questão teve resultado, menos que 50% de acerto. No
geral a média de alunos que acertaram as questões foi de 18,9 para uma turma de 27
alunos.
Apesar de os alunos passarem por 3 etapas anteriores sendo esclarecidos
sobre o triângulo retângulo, a minoria ainda tinha dificuldade em identificar os catetos
e hipotenusa trocando um pelo outro, fez erros de cálculo, alguns não souberam
representar os dados e conceituou equivocadamente as razões, porém no geral a
prova foi muito boa, havendo muitos acertos.
4.6.5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
4.6.5.1 CONSIDERAÇÕES QUANTO AO RESULTADO
O objetivo geral desta pesquisa era propor uma metodologia de ensino
baseada na TAS de Ausubel e na TCC de Vergnaud, que pudesse contribuir para a
construção significativa dos conceitos envolvidos no campo conceitual da
trigonometria. Os objetivos específicos auxiliaram na delimitação das etapas da
pesquisa.
174
Pelo envolvimento dos alunos e da pesquisadora, pode-se afirmar que uma
metodologia baseada na Teoria da Aprendizagem Significativa de Ausubel (TAS) e na
Teoria dos Campos Conceituais (TCC) de Vergnaud provoca uma significativa
mudança no processo de ensino e aprendizagem. Contribui para uma educação
inovadora, mais humana, que desperta, no estudante, o interesse em participar da
aula, transforma a sala de aula num rico laboratório, provocando o seu crescimento
pessoal e cognitivo, considerando o aluno como um ser ativo, durante todo o processo.
4.6.5.2 CONSIDERAÇÕES FUTURAS
Usar a essa metodologia da pesquisadora baseada na Teoria da
Aprendizagem Significativa de Ausubel (TAS) e na Teoria dos Campos Conceituais
(TCC) de Vergnaud em sala de aula, pois pareceu bem simples e proveitosa, porém
readequando o tempo, pois aparentemente os alunos iria ter um proveito muito
melhor.
175
5 CONSIDERAÇÕES FINAL
Neste trabalho procuramos investigar teses e dissertações desenvolvidos
com intuito de explorar novas abordagens no campo do ensino da Trigonometria.
Através de sínteses de cada um dos estudos vimos referencias de cursos que
tratavam uma abordagem mais significativa aos olhos do pesquisador.
Observamos que conforme nossas expectativas, todas as pesquisas
encontradas, tratavam explicita ou implicitamente da investigação de um curso com
perspectiva construtivista. Ou seja, tal indício aponta uma corrente que está sendo
fortemente defendida.
Contudo, vimos que são apresentadas poucas pesquisas
referentes ao assunto do trabalho, sendo que não fora encontrado nem uma tese e
fora apresentada 6 dissertações, número muito abaixo da expectativa inicial.
Notamos que todas as pesquisas usaram problemas como principal
proposta para investigação inicial do conceito, e todas elas apresentam este aspecto
como um fator potencializado do ensino de Matemática. A pesquisa de Lindegger
(2000) chega até mesmo a comparar a metodologia tradicional com a proposta, e
mostra em seus resultados evidências que indicam que seu curso estabeleceu um
padrão de aprendizagem mais elevado.
Contudo, entendemos que em todas as pesquisas houve uma falta de
padrão científico na coleta e tratamento de dados, por exemplo, no teste exibido por
Lindegger (2000), para a apuração dos resultados, não notamos que este avaliava de
forma proposital e bem dirigida competências específicas compreendidas ao decorrer
de seu curso, assim como outro exemplo, temos Silva (2011) que em um de seus
testes apresenta apenas 4 questões de trigonometria no triângulo retângulo, e as
quatro avaliam praticamente a mesma competência. Assim como, nos autores que
trabalharam apenas com observação das aulas onde notou-se, um certo desleixo
similar no tratamento dos dados.
Também notou-se a falta de orientação quanto a avalição continua do aluno
ao decorrer do curso, por exemplo, não houve em momento algum a apresentação de
fichas avaliativas preenchidas de acordo com as observações nas atividades para
estabelecer um padrão de tratamento de dados e avaliação do discente.
Entendemos também que as atividades apresentadas não são realmente
perfeitas, estando carente de mais criatividade e estruturação apropriada. Por
exemplo algumas atividades poderiam apresentar mais etapas, de modo a torná-las
176
mais dirigidas e simples, tendo assim um processo de indução mais suave, em
especial esta crítica cabe nas atividades que o professor teve de intervir de forma mais
significativa.
Com todas essas críticas, ainda assim, vemos na elaboração dos cursos
apresentados uma fonte de inspiração com poder de auxiliar o educador. Entretanto
compreendemos que ainda é preciso desenvolver muitas características para alcançar
uma perfeição.
Deixamos como objetivo para uma futura pesquisa uma análise e avaliação
fundamentada e bem dirigida das dissertações aqui apresentadas, e não somente a
exposição, como foi feito neste trabalho.
O suposto sucesso da pesquisa de Borges (2009), nos deixou intrigados e
maravilhados quanto ao uso do software de Geometria dinâmica. Logo, uma pesquisa
que trata da investigação do poder deste Software como ferramenta contribuinte para
o ensino de trigonometria no triângulo retângulo é bem-vinda.
Nem um pesquisador, apesar de todos usarem essa metodologia, deixo
claro o processo de indagação que induz o aluno a resposta do problema. Com isso
cabe aqui uma pesquisa com o foco no diálogo aluno e professor.
177
6 REFERÊNCIAS
BOCK, Ana Mercês. Psicologias: uma introdução ao estudo da Psicologia. São
Paulo: Saraiva, 1999.
BORGES, Carlos Francisco. Transição das razões trigonométricas do triângulo
retângulo para o círculo trigonométrico: uma sequência de ensino. 144 pg.
Dissertação (Mestrado Profissional em ensino de Matemática) – PUC-SP. São Paulo,
2009.
CURY, Augusto. O código da inteligência: a formação de mentes brilhantes e a
busca pela excelência emocional e profissional. Thomas Nelson Brasil/Ediouro: Rio
de Janeiro, 2008.
KLEIN, Marjúnia. O ensino da trigonometria subsidiado pelas teorias da
aprendizagem significativa e dos campos conceituais. 99 pg. Dissertação
(Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) – PUC-RS. Porto Alegre, 2009.
LINDEGGER, Luiz Roberto. Construindo os conceitos básicos da trigonometria
no triângulo retângulo: uma proposta a partir da manipulação de modelos. 197 pg.
Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – PUC-SP. São Paulo, 2000.
NASCIMENTO, Alessandra. Uma sequência de ensino para a construção de uma
tabela trigonométrica. 195 pg. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de
Matemática) – PUC-SP. São Paulo, 2005.
SADOVSKY, P. O ensino de Matemática de Hoje: Enfoques, sentidos e desafios.
São Paulo: Ática, 2010.
SILVA, Marlizete. Trigonometria, modelagem e tecnologias: um estudo sobre uma
sequência didática. 233 pg. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e
Matemática) – PUC-MG. Belo Horizonte, 2011.
178
SILVA, Silvio. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO: Construindo uma
aprendizagem significativa. 176 pg. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática)
– PUC-SP. São Paulo, 2005.