Variáveis aleatórias – Distribuições de Probabilidade Distribuições de probabilidade O que é uma distribuiç distribuição de probabilidade? Uma distribuição de probabilidade é essencialmente um modelo de descriç descrição probabilí probabilística de uma populaç população. ão Distribuições de probabilidade de variáveis discretas Distribuições de probabilidade de variáveis contínuas População é o conjunto de todos os valores de uma variável aleatória. populaç população X=x 0 1 2 Σ P(X=x) 0,1 0,6 0,3 1 Distribuiç Distribuição de probabilidade 1 2 Populaç População e distribuiç distribuição de probabilidade → indissociáveis Distribuiç Distribuições discretas Modo como as probabilidades se distribuem aos valores 1. Distribuiç Distribuição de Bernoulli 2. Distribuiç Distribuição Binomial Parâmetros: caracterizações numéricas que permitem a individualização de um modelo (distribuição) em determinado contexto 3. Distribuiç Distribuição Hipergeomé Hipergeométrica 4. Distribuiç Distribuição de Poisson No estudo de uma variável aleatória é importante saber: 5. Distribuiç Distribuição Multinomial 1. O tipo de distribuiç distribuição, ão que é determinado pela funç função de probabilidade da variável 6. Distribuiç Distribuição Geomé Geométrica 2. Os parâmetros da distribuição 8. Distribuiç Distribuição Hipergeomé Hipergeométrica Negativa 3. As medidas descritivas da distribuição (média, variância, ...) 9. Distribuiç Distribuição Uniforme 7. Distribuiç Distribuição Binomial Negativa 3 4 1 Distribuições de probabilidade de variáveis discretas Distribuiç Distribuições contí contínuas 1. Distribuiç Distribuição Uniforme 2. Distribuiç Distribuição Normal 1. Distribuiç Distribuição de Bernoulli 3. Distribuiç Distribuição Gama Definiç Definição: Modelo que descreve probabilisticamente os resultados de um experimento de Bernoulli. 4. Distribuiç Distribuição Exponencial 5. Distribuiç Distribuição Beta 6. Distribuiç Distribuição Lognormal O experimento (ou ensaio) de Bernoulli é definido como o experimento aleatório que possui apenas dois resultados possí possíveis. veis 7. Distribuiç Distribuição Seminormal 8. Distribuição Weibull 9. Distribuiç Distribuição Gumbel 5 Experimento: Uma semente é colocada para germinar 6 Se for conhecido o poder germinativo do lote de sementes, por exemplo, 87%, podemos concluir que a probabilidade de a semente germinar é 0,87. S = {germinar, não germinar} Consideramos um dos resultados como sucesso: O evento {não germinar} é complemento do evento {germinar}, {germinar} então sua probabilidade será 1– 0,87. 0,87 sucesso = germinar fracasso = não germinar Definimos a variável X como número de sucessos em uma repetição do experimento. X = nú número de sucessos X= 0 1 Σ P(X = x) 0,13 0,87 1 probabilidade de fracasso 0 , se não germinar 1 , se germinar X=x SX = {0,1} 7 probabilidade de sucesso 8 2 Representaç Representação analí analítica π = probabilidade de sucesso P(X = x) = π x . (1− π )1− x, 1-π = probabilidade de fracasso para SX = {0, 1} parâmetro Funç Função de probabilidade Parâmetro De modo geral, se X é uma variável que tem distribuição de Bernoulli, sua função de probabilidade será: A distribuição de Bernoulli tem apenas um parâmetro: X=x 0 1 Σ P(X = x) 1-π π 1 π = probabilidade de sucesso Representaç Representação tabular X ~ Ber (π) X tem distribuiç distribuição de Bernoulli com parâmetro π 9 Medidas descritivas Variância V(X) = σ2 = E(X 2 ) − µ2 Média ou valor esperado E(X) = µ = ∑ x p(x) x∈S X Para SX = {0, 1} E(X) = µ = 10 Para SX = {0, 1} X=x 0 1 Σ P(X = x) 1-π π 1 E(X2) = ∑x x∈S X ∑ x p(x) = 0 × (1− π ) + 1× π = π 2 X=x 0 1 Σ P(X = x) 1-π π 1 p(x) = 0 2 × (1− π ) + 12 × π = π V(X) = σ2 = E(X 2 ) − µ2 = π − π 2 = π (1− π ) x∈S X Teorema: E(X) = µ = π Teorema: V(X) = σ2 = π (1(1- π ) 11 12 3 2. Distribuição binomial RESUMO - Distribuição de Bernoulli Descreve probabilisticamente resultados de experimentos que possuem apenas dois resultados possíveis. Funç Função de probabilidade Se X = Y1 + Y2 + ... + Yn onde: Yi ~ Ber (π) e independentes; P(X = x) = π x (1− π )1− x , para SX = {0, 1} Parâmetro: Definiç Definição: Modelo que descreve probabilisticamente os resultados de uma sequência de experimentos de Bernoulli independentes entre si, ou seja, onde a probabilidade de sucesso é constante em todas as repetições do experimento. π = probabilidade de sucesso então, a variável X tem distribuição binomial. Medidas descritivas E(X) = µ = π Distribuiç Distribuição binomial processo finito de Bernoulli n experimentos de Bernoulli independentes, com probabilidade de sucesso π constante para todos eles V(X) = σ2 = π (1-π) É importante no contexto de amostragem com reposiç reposição 13 Experimento: Os bovinos de uma estância foram vacinados contra uma determinada doença e 60% deles ficaram imunes. Se um bovino dessa estância é escolhido ao acaso e sua situação em relação a imunização é registrada, temos um experimento de Bernoulli. S = {imune, não imune} 14 #S = 23 = 8 I = imune N = não imune S = {III, IIN, INI, NII, INN, NIN, NNI, NNN} Sucesso = imune A variável X é definida como o número de sucessos em n experimentos de Bernoulli independentes, com probabilidade de sucesso igual a π. onde: p(imune) = 0,6 p(não imune) = 1 - 0,6 = 0,4 n=3 e π=0,6 Se três bovinos são escolhidos, um a um, e o resultado é registrado, temos uma sequência de três experimentos de Bernoulli independentes, independentes pois, a cada escolha, a probabilidade de sucesso permanecerá inalterada. 15 SX = {0, 1, 2, 3} Qual é a função de probabilidade P(X=x) associada a variável X? 16 4 Representaç Representação tabular S = {III, IIN, INI, NII, INN, NIN, NNI, NNN} SX = {0,1,2,3} P(X=x) = ? 2 3 Σ P(X = x) 0,064 0,288 0,432 0,216 1 P(X = x) = C3x 0,6 x (1− 0,6)3− x P(X=2) = 3 × 0,62 × 0,41 = 3 × π2 × (1 – π)1 = 0,432 Número de casos P(X=3) = 0,63 = 1 × π3 × (1 – π)0 = 0,216 , para SX = {0, 1, 2, 3} Probabilidade de um caso Funç Função de probabilidade Como podemos determinar de quantas maneiras diferentes teremos x sucessos e 3-x fracassos? 3! x! (3 − x)! 1 Representaç Representação analí analítica P(X=1) = 3 × 0,61 × 0,42 = 3 × π1 × (1 – π)2 = 0,288 P3x,3− x = 0 X: nº bovinos imunes P(X=0) = 0,43 = 1 × π0 × (1 – π)3 = 0,064 Permutaç Permutação com repetiç repetição X=x ou C3x = 3! x! (3 − x)! De modo geral, se X é uma variável que tem distribuição binomial, sua função de probabilidade será: P(X = x) = Cnx π x (1− π )n− x , para SX = {0, 1, ..., n} 17 18 Medidas descritivas Parâmetros Bernoulli P(X = x) = Cnx π x (1− π )n− x Média ou valor esperado E(X) = µ = parâmetros µ=π σ2 = π(1-π) ∑ x p(x) x∈S X Teorema: E(X) = µ = nπ A distribuição binomial tem dois parâmetros: n = número de repetiç repetições do experimento de Bernoulli π = probabilidade de sucesso Variância V(X) = σ2 = E(X 2 ) − µ2 X ~ Bin (n,π) X tem distribuiç distribuição binomial com parâmetros n e π Teorema: V(X) = σ2 = n π (1(1-π) 19 20 5 RESUMO - Distribuição binomial Exercício proposto: Descrição probabilística de uma sequência de experimentos de Bernoulli independentes. independentes Importante no contexto de amostragem com reposiç reposição. ão Funç Função de probabilidade Num determinado processo de fabricação 10% das peças são consideradas defeituosas. As peças são acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma. (a) Qual a probabilidade de haver exatamente 1 peça P(X = x) = Cnx π x (1− π )n− x , para SX = {0, 1, ..., n} defeituosa numa caixa? (32,81%) Parâmetros: n = número de repetições no experimento π = probabilidade de sucesso (b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais peças Medidas descritivas (c) Se a empresa paga uma multa de R$ 10,00 por caixa E(X) = µ = n π defeituosas numa caixa? (8,14%) em que houver alguma peça defeituosa, qual o valor V(X) = σ2 = n π (1-π) esperado da multa num total de 1000 caixas? (R$ 4.100) 21 1 1 4 (a) P(X = 1) = C5 .(0,10) (0,90) = 0,3281 = 32,81% 3. Distribuição hipergeométrica (b) P(Duas ou mais defeituosas) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) Ao invés de calcular desta forma é mais conveniente utilizar o complementar. Assim: 22 P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)] = 1 - (0,5905 + 0,3281] = 8,14% (c) A probabilidade de uma caixa pagar multa é: P(PM) = P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,5905 = 40,95% Definiç Definição: Modelo que descreve probabilisticamente os resultados de uma sequência de experimentos de Bernoulli dependentes. dependentes Refere-se a experimentos que se caracterizam por retiradas sem reposiç reposição, ão onde a probabilidade de sucesso se altera a cada retirada. A Distribuiç Distribuição hipergeomé hipergeométrica se difere da Distribuiç Distribuição binomial porque a probabilidade de sucesso muda de um experimento para o outro Neste caso tem-se uma nova Binomial com n = 1000 e π = 0,41. O número esperado de caixas que vão pagar multa, isto é, com uma ou mais peças defeituosas será: E(PM) = µ = nπ = 1000 . 0,41 = 410 caixas Essa distribuição é extremamente importante no contexto de amostragem sem reposiç reposição Como cada uma paga R$ 10,00 de multa, o valor total da multa será: PM = R$ 10,00 . 410 = R$ 4 100,00 23 24 6 subsub-populaç populações N2 N1 (sucesso) (fracasso) populaç população N =N1+N2 π = N1 N 1-π = N2 N X= nú número de sucessos em n retiradas n elementos (sem reposiç reposição) Experimento: Uma bandeja contém 10 xícaras de cafezinho, sete com açúcar e três com adoçante. Três pessoas se aproximam da bandeja e se servem. Se a variável aleatória X é definida como o número de xícaras de café com açúcar, construa a distribuição de probabilidade de X. Açúcar çúcar N1=7 Xícaras Adoç Adoçante N2 =3 N =10 Do ponto de vista probabilístico não faz diferença considerar retiradas individuais sem reposição ou retirada conjunta de grupos 3 xícaras (n=3 n=3) X = número de xícaras de café com açú car açúcar SX = {0, 1, 2, 3} 25 S = {A1A2A3, A1A2a1,A1A2a2, ..., a5a6a7} 3 = 120 # S = C10 a = açúcar A = adoçante X = número de xícaras de café com açú car açúcar SX = {0, 1, 2, 3} P(X =0) = P(X =1) = P(X =2) = C07 C33 3 C10 C17 C32 3 C10 C27 C13 3 C10 = 1×1 1 = = 0,0083 120 120 = 7 × 3 21 = = 0,175 120 120 = 21× 3 63 = = 0,525 120 120 26 Representaç Representação tabular X=x 0 1 2 3 Σ P(X = x) 0,0083 0,175 0,525 0,2917 1 Representaç Representação analí analítica P(X = x) = C7x C33- x 3 C10 , para SX = {0, 1, 2, 3} Funç Função de probabilidade De modo geral, se X é uma variável que tem distribuição hipergeométrica, sua função de probabilidade será: 3 0 P(X =3) = C7 C3 = 35 ×1 = 35 = 0,2917 3 C10 120 120 P(X = x) = 27 CNx CNn- x 1 CNn 2 , para SX = {0, 1, ..., n} 28 7 Medidas descritivas Parâmetros P(X = x) = CNx 1 CNn-2x C Média ou valor esperado parâmetros n N E(X) = µ = ∑ x p(x) x∈S X A distribuição hipergeométrica tem três parâmetros: Teorema: E(X) = µ = n n = número de repetiç repetições do experimento N = tamanho da populaç população N1 = tamanho da subsub-populaç população de interesse probabilidade de sucesso N1 N Variância V(X) = σ2 = E(X 2 ) − µ2 X ~ Hip (n,N,N1) X tem distribuiç distribuição hipergeomé hipergeométrica com parâmetros n, N e N1 Teorema: V(X) = σ 2 = n probabilidade de fracasso N1 N 2 N-n N N N-1 Fator de correç correção 29 RESUMO - Distribuiç Distribuição hipergeomé hipergeométrica Descrição probabilística de uma sequência de experimentos de Bernoulli dependentes. dependentes Importante no contexto de amostragem sem reposiç reposição. ão Funç Função de probabilidade P(X = x) = Parâmetros: CNx CNn- x 1 CNn 2 , para SX = {0, 1, ..., n} n = número de repetições do experimento N = tamanho da população N1 = tamanho da sub-população de interesse Medidas descritivas N E(X) = µ = n 1 N V(X) = σ 2 = n N1 N 2 N-n N N N-1 30 Exercício proposto: Pequenos motores são guardados em caixas de 50 unidades. Um inspetor de qualidade examina cada caixa testando 5 motores. Se nenhum for defeituoso, a caixa é aceita. Se pelo menos 1 for defeituoso, todos 50 são testados. Há 6 motores defeituosos numa caixa. Qual a probabilidade de que seja necessário examinar todos os motores desta caixa? Tem-se N1 = 6 , N = 50 , n = 5, P(X = 0) = P(X ≥ 1) = ? C06C544 1086008 = = 0,51257 2118760 C550 P(examinar tudo) = 1 - P(X = 0) =0,48743 31 32 8 Exemplos: 4. Distribuição de Poisson Definiç Definição: descreve probabilisticamente a sequência de um grande nú número de fenômenos independentes entre si, cada um com probabilidade de sucesso muito pequena. pequena número de peças defeituosas observadas em uma linha de produção num determinado período de tempo; número de acidentes de trabalho ocorridos numa grande empresa num determinado período de tempo; Ocorre naturalmente quando se deseja contar o número de um tipo particular de eventos que ocorrem por unidade de tempo, tempo de superfí superfície ou de volume. volume número de ciclones ocorridos em certa região num determinado período de tempo; Pode ser considerada como uma binomial onde o número de experimentos (n n) é grande, π é pequeno (sucesso raro) e nπ (média de sucessos) é constante. número de bactérias por unidade de área em uma lâmina com extratos de uma planta; Distribuiç Distribuição de Poisson processo infinito de Bernoulli A distribuição de Poisson tem inúmeras aplicações na simulaç simulação de sistemas modelando o número de eventos ocorridos num intervalo de tempo, quando os eventos ocorrem a uma taxa constante. número de formigueiros por unidade de área em uma região; 33 Parâmetros Funç Função de probabilidade De modo geral, se X é uma variável que tem distribuição de Poisson, sua função de probabilidade será: P(X = x) = e −λ 34 λ x , para S = {0, 1, 2, ...} X x! P(X = x) = e −λ λx parâmetro x! A distribuição de Poisson tem apenas um parâmetro: espaç espaço amostral infinito onde: X: número de sucessos e = 2,718 (base dos logaritmos neperianos) λ = nú número mé médio de sucessos X ~ Poi (λ) λ: nú número mé médio de sucessos (sempre maior que zero) 35 X tem distribuiç distribuição de Poisson com parâmetro λ 36 9 Solução: Neste caso, tem-se: Exercício proposto: λ = 1 (taxa de defeitos a cada 2000 metros) Em um certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem defeitos a uma taxa de 1 a cada 2000 metros. Qual a probabilidade de que um rolo com 2000 metros de fita magnética: X = nº de defeitos a cada 2000 metros Então: P(X = x) = e−λ λ x , para x = 0, 1, 2, 3, ... x! −1 0 (a) P(X = 0) = e 1 = e-1 = 36,79% (a) Não tenha defeitos? 0! −1 0 e−112 5e −1 e−111 (b) P(X ≤ 2) = e 1 + + = 2 = 91,97% 1! 2! 0! (b) Tenha no máximo dois defeitos? (c) Tenha pelo menos dois defeitos? −1 0 −1 1 0! 1! (c) P(X≥2) = 1-P(X≤1) = 1- [ e 1 + e 1 ]=1- 2e-1 = 26,42% 37 Medidas descritivas 38 RESUMO - Distribuição de Poisson Média ou valor esperado: E(X) = µ = ∑ x p(x) Descrição probabilística da sequência de um grande nú número de fenômenos independentes, independentes todos com probabilidade de sucesso constante e muito pequena. pequena x∈S X Teorema: E(X) = µ = λ Funç Função de probabilidade Variância: V(X) = σ 2 P(X = x) = e −λ = E(X ) − µ 2 2 λ x , para S = {0, 1, 2, ...} X x! Parâmetro: λ = número médio de sucessos Teorema: V(X) = σ2 = λ Medidas descritivas Na Poisson mé média e variância são iguais!! E(X) = µ = λ 39 V(X) = σ2 = λ 40 10 Exercício proposto: (a) Qual a probabilidade de uma determinada face apresentar exatamente 2 defeitos? Um dado é formado por chapas de plástico de 10x10 cm. Em média aparecem 50 defeitos por m2 de plástico, segundo uma distribuição de Poisson. Em média aparecem 50 defeitos/m2 = (50/10000) defeitos/cm2 Como cada face tem 10cm x 10 cm = 100 cm2, tem-se então: (a) Qual a probabilidade de uma determinada face λ = (50/10000) defeitos/cm2 x 100 cm2 = 0,5 defeitos por face. apresentar exatamente 2 defeitos? (7,58%) (b) Qual a probabilidade de o dado apresentar no mínimo A probabilidade de uma face apresentar dois defeitos será: dois defeitos? (80,08%) P(X = 2) = (c) Qual a probabilidade de que pelo menos 5 faces sejam e−0,5 (0,5) 2! 2 = 7,58% perfeitas? (24,36%) 41 (b) Qual a probabilidade de o dado apresentar no mínimo dois defeitos? 42 (c) Qual a probabilidade de que pelo menos 5 faces sejam perfeitas? No dado inteiro, a área total será a = 6x100 cm2 = 600 cm2 e o número médio de defeitos será então: A probabilidade de uma face ser perfeita é a probabilidade de ela não apresentar defeitos, isto é: −0,5 ( 0,5) P (X = 0) = e = 60,65% 0 λ = (50/10000) defeitos /cm2 x 600 cm2 = 3 defeitos 0! A probabilidade de o dado apresentar no mínimo 2 defeitos será: dado) e π = 60,65%(probabilidade de uma face ser perfeita) P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + ... = 1 - P(X ≤ 1) Então a probabilidade de pelo menos 5 perfeitas, será: = 1 - [P(X = 0) + P(X =1)] = =1-[ e −3 0 3 0! + e Tem-se então uma binomial Y com n = 6 (número de faces do −3 1 1! P(Y ≥ 5) = P(Y = 5) + P(Y = 6) 3 ]= 6 5 6 6 = . (0,6065)5 .(0,3935)1+ .( 0,6065)6 .(0,3935)0 = 24,36% = 1 - [0,0498 + 0,1494] = 80,08% 43 44 11 Distribuições de probabilidade de variáveis contínuas Distribuição Normal É importante tanto no aspecto teórico como nas aplicações. Essa importância se deve a um conjunto de aspectos: É difícil identificar o tipo de distribuição de probabilidade de uma variável contínua pesquisa bibliográfica observação do campo de variação da variável Existem vários tipos de distribuições contínuas: Propriedades matemáticas É útil para descrever uma grande quantidade de fenômenos naturais físicos, ambientais, etc. Distribuições de um grande número de variáveis aleatórias convergem para a distribuição normal Muitas variáveis não normais podem ser tratadas como normais após transformações simples Distribuiç Distribuição gama: descrição probabilística de variáveis que assumem valores positivos. Distribuiç Distribuição beta: descrição probabilística de variáveis que assumem valores no intervalo [0, 1]. Distribuiç Distribuição normal → mais importante Uma grande quantidade de métodos e procedimentos de inferência estatística são derivados tendo-a como pressuposição básica O conjunto de métodos desenvolvidos para tratar variáveis que têm distribuição normal forma a chamada Estatí Estatística Clá Clássica ou Estatí Estatística Paramé Paramétrica. trica 45 46 Funç Função densidade de probabilidade Distribuição normal Definiç Definição: É uma distribuição teórica de frequências, onde a maioria das observações se situa em torno da média (centro) e diminui gradual e simetricamente no sentido dos extremos. A distribuição normal é representada graficamente pela curva normal (curva de Gauss) que tem a forma de sino e é simé simétrica em relação ao centro, onde se localiza a média µ. De modo geral, se X é uma variável contínua que tem distribuição de normal, sua função densidade de probabilidade será: − 1 f(x) = e σ 2π (x −µ)2 parâmetros 2 σ2 , para SX = (-∞ ∞,+∞ ∞) Parâmetros A distribuição normal tem dois parâmetros: µ = média (determina o centro da distribuição) σ2 = variância (determina a dispersão da distribuição) X ~ N (µ, σ2) X tem distribuiç distribuição normal com parâmetros µ e σ2 47 48 12 Populaç Populações normais com mé médias diferentes e mesma variância Populaç Populações normais com variâncias diferentes e mesma média Existe um nú número infinito de curvas normais 49 50 Propriedades da distribuiç distribuição normal 2. A distribuição é simétrica em relação ao centro onde coincidem a média, a moda e a mediana. 1. O máximo da função densidade de probabilidade se dá no ponto x=µ . máximo Md=µ=Mo µ 51 52 13 3. Os pontos de inflexão são exatamente µ-σ e µ+σ. 4. Verifica-se na distribuição normal que: P(µ P(µ-σ < X < µ+σ) = 0,6825 P(µ P(µ-2σ < X < µ+2σ +2σ) = 0,9544 µ-σ µ µ+σ P(µ P(µ-3σ < X < µ+3σ +3σ) = 0,9974 Ponto de inflexão: ponto onde a concavidade à direita tem sinal diferente ao da concavidade à esquerda 53 Cálculo de áreas 54 Distribuição normal padrão Para cada valor de µ e de σ, existe uma distribuição normal diferente Definiç Definição: é a distribuição normal de uma variável Z que tem média igual a zero (µ µ=0) σ=1). =0 e desvio padrão igual a um (σ =1 O cálculo de áreas sob a curva normal, deverá ser feito sempre em função dos valores particulares de µ e σ Para evitar a trabalhosa tarefa de calcular as áreas foi determinada uma distribuição normal padrão ou reduzida As áreas sob a curva normal padrão foram calculadas e apresentadas numa tabela A curva normal padrão foi dividida em pequenas tiras, cujas áreas foram calculadas e apresentadas numa tabela. Na tabela da distribuição normal padrão, podemos encontrar as áreas correspondentes aos intervalos de 0 a z. 55 56 14 Tabela - Área sob a curva normal padrão de 0 a z, P(0 ≤ Z ≤ z). P(0 < Z < z) Os valores negativos não são apresentados na tabela porque a curva é simétrica; assim, as áreas correspondentes a esses valores são exatamente iguais às dos seus simétricos positivos, por exemplo P(P(-1<Z<0)= 1<Z<0)=P(0<Z<1). P(0<Z<1) Na tabela da distribuição normal padrão, os valores de Z vão de 0 a 3,9 . Este limite é estabelecido com base na quarta propriedade da distribuição normal. P(0 < Z < 0,62) = ? P(0 < Z < 0,62) = 0,2324 57 58 P(-2,17 < Z < 0) = ? 0,4850 0,4850 Exercício proposto: = -∞ -2,17 +∞ 0 -∞ 0 +∞ 2,17 Seja Z uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Determine as seguintes probabilidades: P(-1 < Z < 2) = ? 0,4772+0,3413 = 0,8185 0,4772 = -∞ -1 0 2 +∞ 0,3413 a) P(0 < Z < 1,73) 0,4582 b) P(Z > 0,81) 0,2090 c) P(-1,25 ≤ Z ≤ -0,63) 0,1587 + -∞ 0 +∞ 2 -∞ 0 1 +∞ P(Z > 1,5) = ? 0,5-0,4332 = 0,0668 = -∞ 0 1,5 +∞ 0,5 -∞ 0 0,4332 _ +∞ -∞ 0 1,5 +∞ 59 60 15 Através da distribuição normal padrão é possível estudar qualquer variável X que tenha distribuição normal, com quaisquer valores para µ e σ. Para utilizarmos os valores da tabela, devemos padronizar a variável X, ou seja, transformar X em Z. A transformação muda as variáveis, mas não altera a área sob a curva. X ~ N (µ (µ, σ2) X ~ N (µ (µ, σ2) transformar → Z= X −µ σ Z ~ N (0 (0, 1) Z ~ N (0 (0, 1) Após a transformação, procuramos na tabela a área compreendida entre 0 e z, que corresponderá a área entre µ e x. P(x1 < X < x2) = P(z1 < Z < z2) 61 62 Para encontrar essa área, vamos utilizar a tabela da distribuição normal padrão. Inicialmente, fazemos a transformação da variável X para a variável Z. Exemplo: Sabendo que as notas de 450 alunos estão normalmente distribuídas, com média µ = 3,9 e desvio padrão σ = 0,28, determine: a) a probabilidade de um aluno ter nota maior que 4,27; b) o número de alunos que têm nota superior a 4,27. z= 63 4,27 − 3,9 = 1,32 0,28 64 16 b) o número de alunos que têm nota superior a 4,27. P(Z > 1,32) = P(Z > 0) – P(0<Z<1,32) = 0,5 – 0,4066 = 0,0934 P(X > 4,27) = 0,0934 No item (a), vimos que este percentual é de 9,34%. Sendo assim, através de uma regra de três simples, podemos determinar quantos estudantes correspondem a 9,34% de uma população de 450 estudantes. Esse valor pode ser obtido facilmente multiplicando o tamanho da população pela probabilidade de ocorrer uma nota maior que 4,27. Assim, temos: 450 × 0,0934 = 42,03 Concluímos, então, que, dos 450 estudantes, 42 têm nota superior a 4,27. 65 66 Exercício proposto: Uma fábrica de carros sabe que os Solução: motores de sua fábrica tem duração normal com média de a) P(X < 170.000) = P(Z < (170.000-150.000)/5.000) = P(Z < 4) = 1 = 100% 150.000km e desvio padrão de 5.000km. Qual a probabilidade de que um carro escolhido ao acaso, tenha um b) P(140.000<X<160.000) = P(-2<Z<2) = motor que dure: = 0,4772+0,4772 = 0,9544 = 95,44% a) menos de 170.000km? b) entre 140.000 e 160.000km? c) Seja G o valor de garantia c) Se o fabricante deseja oferecer uma garantia, tal que ele tenha que substituir no máximo 1% dos motores, qual deve ser o valor desta garantia? 67 P(X<G) = P(Z < (G-150)/5) = 0,01 = P(Z < -2,33) G − 150 = −2,33 ⇒ Garantia tem que ser de 138.350km. 5 68 17