CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA
DE SANTA CATARINA – CEFET-SC
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ELETRÔNICA
Apostila Básica do Software Matlab
André Luís Dalcastagnê
Florianópolis, agosto de 2008
APRESENTAÇÃO
O Matlab é um software criado pela Mathworks em 1984 destinado à análise e
modelagem de sistemas e algoritmos. Devido à sua praticidade, essa poderosa
ferramenta computacional vem sendo utilizada tanto em universidades quanto em
empresas do mundo todo.
Em relação a uma linguagem de programação tradicional (como C/C++ ou
Fortran), o desenvolvimento de algoritmos no ambiente Matlab é sem dúvida mais fácil
e rápido. A desvantagem é que utilizando uma linguagem de programação tradicional é
possível desenvolver algoritmos mais eficientes.
O objetivo deste curso é fornecer a base necessária para desenvolver programas
no ambiente Matlab. Devido à grande quantidade de funções disponibilizadas pelo
Matlab, é impossível aprender todo o seu conteúdo em um único curso. Entretanto, o
aluno será capaz de entender como o Matlab funciona e descobrir quais funções são
úteis para as suas aplicações.
1 Introdução ao Matlab
O Matlab (Matrix Laboratory) pode ser definido como um ambiente de
computação numérica baseado em matrizes. Dentre as suas principais características,
destacam-se:
•
gráficos e visualização de dados;
•
linguagem de programação de alto nível;
•
toolboxes, que oferecem funcionalidades específicas por área de aplicação.
Como exemplos de toolboxes, podem-se citar:
•
Optimization, Statistics, Financial;
•
Fuzzy Logic, Neural Networks, Control System;
•
Signal Processing, System Identification.
A estrutura de diretórios do Matlab é a seguinte:
•
diretório base: c:\matlab;
•
executáveis: c:\matlab\bin;
•
diretório de trabalho: c:\Matlab\work.
1.1 Ambiente Matlab
a) Área de trabalho
A área de trabalho do Matlab apresenta duas partes principais:
•
Command Window: área na qual os dados e instruções são digitados e os
resultados são apresentados;
•
Workspace: área de memória de trabalho do Matlab, na qual todas as variáveis
são armazenadas.
Como exemplo, digite no Command Window a instrução “ver”. Como resultado, o
usuário recebe as informações acerca das versões do Matlab, do Simulink e de todos os
toolboxes instalados no computador. O sinal de prompt “>>” dessa janela indica que o
sistema está apto a receber comandos.
1
>> ver
-------------------------------------------------MATLAB Version 6.0.0.88 (R12) on PCWIN
MATLAB License Number: 0
-------------------------------------------------MATLAB Toolbox
Version 6.0 (R12)
06-Oct-2000
Simulink
Version 4.0 (R12)
16-Jun-2000
Stateflow
Version 4.0 (R12)
04-Oct-2000
Stateflow Coder
Version 4.0 (R12)
04-Oct-2000
Communications Blockset
Version 2.0 (R12)
01-Sep-2000
Communications Toolbox
Version 2.0 (R12)
01-Sep-2000
Control System Toolbox
Version 5.0 (R12)
01-Sep-2000
DSP Blockset
Version 4.0 (R12)
01-Sep-2000
Filter Design Toolbox
Version 2.0 (R12)
01-Aug-2000
Fixed-Point Blockset
Version 3.0 (R12)
26-May-2000
Image Processing Toolbox
Version 2.2.2 (R12)
10-Mar-2000
MATLAB Compiler
Version 2.1 (R12)
26-Jul-2000
Model Predictive Control Toolbox
Version 1.0.5 (R12)
10-May-2000
Nonlinear Control Design Blockset
Version 1.1.4 (R12)
12-Jun-2000
Optimization Toolbox
Version 2.1 (R12)
07-Jun-2000
Partial Differential Equation Toolbox
Version 1.0.3 (R12)
31-Dec-1999
Robust Control Toolbox
Version 2.0.7 (R12)
10-May-2000
SB2SL (converts SystemBuild to Simu... Version 2.1 (R12)
16-Jun-2000
Signal Processing Toolbox
Version 5.0 (R12)
01-Jun-2000
Simulink Accelerator
Version 1.0 (R12)
01-Mar-2000
Model Differencing for Simulink and...
Version 1.0 (R12)
19-Jul-2000
Simulink Model Coverage Tool
Version 1.0 (R12)
02-Jun-2000
Simulink Report Generator
Version 1.1 (R12)
01-Apr-2000
Statistics Toolbox
Version 3.0 (R12)
01-Sep-2000
Symbolic Math Toolbox
Version 2.1.2 (R12)
11-Sep-2000
System Identification Toolbox
Version 5.0 (R12)
27-Aug-2000
Wavelet Toolbox
Version 2.0 (R12)
16-Jun-2000
b) Janelas
A versão Matlab para ambiente Windows apresenta as seguintes janelas:
2
•
Command Window: ambiente de trabalho;
•
Launch Pad: apresenta informações, textos explicativos e exemplos dos produtos
instalados;
•
Workspace: apresenta as variáveis do ambiente de trabalho;
•
Command History: histórico das instruções já executadas.
c) Menus
O Matlab também possui uma série de menus: File, Edit, View, Web, Window e
Help. Os mais importantes serão vistos ao longo do curso. Alguns menus são bastante
utilizados:
•
File: manipulação de arquivos;
o File/Set Path: configura a lista de diretórios de busca (equivalente ao
comando “pathtool”);
o File/Preferences: configura parâmetros do ambiente Matlab (equivalente
ao comando “preferences”);
•
Edit: recursos de edição;
•
View: configuração de visualização da tela do Matlab;
•
Web: aciona web browser;
•
Window: fecha janelas de figuras (gráficos);
•
Help: aciona textos de ajuda.
d) Barra de ferramentas
A primeira parte da barra de ferramentas do Matlab segue o padrão Windows. As
demais opções são próprias do Matlab:
•
New M-File, Open, Cut, Copy, Paste, Undo e Redo;
•
Simulink: abre um modelo do Simulink;
•
Current Directory: apresenta o diretório de trabalho corrente;
•
Browse for folder: busca um novo diretório de trabalho.
3
1.2 Configuração de Parâmetros do Ambiente Matlab
Os parâmetros do Matlab são configuráveis pelo comando “preferences” ou pelo
menu “File/Preferences”. As principais opções desse menu são:
•
General: parâmetros gerais.
o Habilita/desabilita textos explicativos de ícones;
o Tipo de impressão desejado.
•
Command Window: configura a janela Command Window.
o Formato de exibição de números;
o Formato de exibição de matrizes;
o Cor e tipo de fonte.
•
Editor/Debugger: configura o editor de textos do Matlab (edit).
•
Help: configurações da ajuda do Matlab.
•
Current Directory: configura a opção Current Directory da barra de ferramentas.
•
Workspace: configura parâmetros da janela Workspace.
•
Array Editor: configura parâmetros da janela Array Editor.
•
Guide: configura parâmetros do ambiente de desenvolvimento de interfaces
gráficas guide (Graphical User Interface).
•
Figure Copy Template: configura parâmetros para cópia de figuras.
•
Simulink: configura parâmetros do Simulink.
1.3 Configuração de Diretórios do Matlab
Para que uma função possa ser utilizada por qualquer programa Matlab, o
diretório no qual ela está salva deve estar incluído na lista de diretórios de busca do
Matlab (arquivo pathdef.m). Para realizar tal tarefa, pode-se utilizar a instrução
“pathtoll” ou o menu “File/Set Path” (mais prático). Se isso não for feito, a função
criada só poderá ser utilizada por programas Matlab (.m) que estiverem gravados no
mesmo diretório da função.
4
O Matlab possui algumas funções do sistema operacional, apresentados na tabela
abaixo.
Tabela 1.1: Comandos do sistema operacional
Comando
Função
Exemplo
cd ou pwd
Informa ou altera diretório
cd
dir ou ls
Lista conteúdo do diretório
dir
what
exibe arquivos Matlab salvos no diretório
what
which
Identifica e localiza arquivo
which cos
!
Chama comando do sistema operacional
!del arquivo.m
5
2 Elementos Básicos do Matlab
2.1 Notações
O Matlab utiliza as seguintes notações para representar um número:
Tabela 2.1: Notações adotadas no Matlab
número negativo
sinal “-“
casa decimal
ponto final “.”
notação científica
“e”
−1
“j” ou “i”
Exemplos:
>> -2.5e-3
ans =
-0.0025
>> 1+2j
ans =
1.0000 + 2.0000i
Note que o Matlab atribui o resultado de cada operação a uma variável
denominada ans (de answer). Ela é utilizada pelo Matlab para armazenar o último valor
calculado pelo Matlab, a não ser nos casos em que o usuário explicita o nome de uma
variável juntamente com o comando. Veja o exemplo abaixo.
>> a=-2.5e-3
a=
-0.0025
>> b=1+2j
b=
1.0000 + 2.0000i
2.2 Matrizes
Para o Matlab, qualquer valor numérico é interpretado como uma matriz. Uma
matriz é definida da seguinte forma:
6
•
valores numéricos são definidos entre colchetes (“[...]”);
•
elementos de uma linha são separados por “,” ou por espaço em branco;
•
final de uma linha é informado por “;”.
Alguns exemplos
Tabela 2.2: Tipos de matrizes
tipo de matriz
exemplo
>> 2
escalar
ans =
2
>> [1 2 3]
vetor linha (1× n )
ans =
1
2
3
>> [1;2;3]
ans =
vetor coluna ( n ×1)
1
2
3
>> [1 2 3;4 5 6;7 8 9]
ans =
matriz bidimensional ( m × n )
matriz de dimensão
n1 × n2 × " × nm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
mostrado adiante
2.3 Variáveis
Para criar uma variável no Matlab deve-se seguir algumas regras. Assim, o nome
de uma variável Matlab
•
deve ser alfanumérico e iniciado por uma letra.
•
é case-sensitive;
•
pode conter o caractere “_”;
7
•
pode possuir no máximo 32 caracteres;
•
não pode ser uma palavra reservada, como “for” ou “while”.
As variáveis criadas no Matlab ficam registradas na região Workspace (ver
Capítulo 1). A Tabela 2.3 apresenta alguns comandos para manipular essas variáveis.
Tabela 2.3: Comandos para manipulação de variáveis
comando
descrição
who
lista nomes das variáveis do Workspace
whos
lista os nomes e tipos das variáveis do Workspace
clear
elimina variáveis do Workspace
>> a = 1;
>> b = [1 2; 3 4];
>> texto = 'matlab';
>> who
Your variables are:
a
b
texto
>> whos
Name
Size
Bytes Class
a
1x1
8 double array
b
2x2
32 double array
texto
1x6
12 char array
Grand total is 11 elements using 52 bytes
>> clear b;
>> whos
Name
a
Size
1x1
texto
1x6
Bytes Class
8 double array
12 char array
Grand total is 7 elements using 20 bytes
>> who
Your variables are:
a
texto
8
2.4 Funções Matemáticas
O Matlab possui uma série de funções matemáticas (built-in functions). Além
dessas funções previamente programadas, o usuário também pode criar funções para
atender as suas necessidades. Uma função no Matlab apresenta a seguinte sintaxe:
[saída1, saída2, ... , saídaN] = NomeFunção [entrada1, entrada2, ... ,entradaM],
onde
saída1 a saídaN são os N parâmetros de saída da função;
entrada1 a entradaM são os M parâmetros de entrada da função;
NomeFunção é o nome da função.
Para obter ajuda em alguma função, pode-se utilizar o comando
help NomedaFunção
Exemplo
>> help sin
SIN Sine.
SIN(X) is the sine of the elements of X.
Overloaded methods
help sym/sin.m
>> x = pi/2;
>> a = sin(x)
a=
1.0000
É interessante notar a função do “;” no Matlab. Na definição da variável “x”, o
seu valor não foi apresentado na tela devido à inserção do “;”. Já quando se definiu a
variável “a”, o seu valor foi apresentado na tela porque não se colocou o “;” no final da
instrução. Em termos numéricos, não há diferença alguma; o sinal “;” serve apenas para
informar ao Matlab que não se deseja ver o resultado de uma operação na tela.
9
3. Manipulação de Matrizes
Como mencionado no Capítulo 2, uma matriz é definida da seguinte forma:
•
valores numéricos são definidos entre colchetes (“[...]”);
•
elementos de uma linha são separados por “,” ou por espaço em branco;
•
final de uma linha é informado por “;”.
3.1 Criação de Matrizes
a) Matrizes numéricas: formadas por qualquer número ou operação numérica:
>> m = [-2.8 sqrt(2) (5+4)/8 1; sin(0.4) exp(0.7) fix(4.5) 100]
m=
-2.8000
1.4142
1.1250
1.0000
0.3894
2.0138
4.0000 100.0000
b) Acrescendo valores em uma matriz: é possível acrescentar apenas um valor em
uma matriz; os demais novos componentes são considerados iguais a zero:
>> m(1,6) = 666
m=
-2.8000
1.4142
1.1250
1.0000
0.3894
2.0138
4.0000 100.0000
0 666.0000
0
0
c) Criação de vetores linearmente espaçados: através do símbolo “:”. Veja o exemplo
abaixo, no qual x é um vetor que varia entre 1 e 5 com incremento 1 (valor padrão).
>> x = 1:5
x=
1
2
3
4
5
Se o incremento for diferente de 1, o seu valor deve ser incluído na instrução.
Veja o exemplo a seguir, no qual o incremento do vetor x é 0,5 e o do vetor y é −0,5 .
> x = 1:0.5:5
x=
1.0000
1.5000
2.0000
2.5000
3.0000
3.5000
4.0000
4.5000
5.0000
4.0000
3.5000
3.0000
2.5000
2.0000
1.5000
1.0000
>> y = 5:-0.5:1
y=
5.0000
4.5000
10
d) Principais instruções relacionadas com matrizes.
Tabela 3.1: Comandos para criação de matrizes elementares
função
descrição
Exemplo
>> eye(3)
eye
cria matriz identidade
cria matriz com todos os
zeros
elementos nulos
ans =
1
0
0
0
1
0
0
0
1
>> zeros(2,3)
ans =
0
0
0
0
0
0
>> ones(2,3)
cria matriz com todos os
ones
elementos iguais a um
cria matriz com números pseudorand
randômicos com distribuição
uniforme entre 0 e 1
ans =
1
1
1
1
1
1
>> rand(2,3)
ans =
0.9501
0.6068
0.8913
0.2311
0.4860
0.7621
e) Concatenação de matrizes: criação de matrizes a partir de outras matrizes:
>> A = [1 2 3];
>> B = [4 5 6];
>> C = [A B]
C=
1 2 3 4
>> D = [A ; B]
D=
1 2 3
4 5 6
>> E = [A' B']
E=
1 4
2 5
3 6
5
6
11
3.2 Operações com Matrizes
É muito importante notar que o Matlab pode realizar uma operação matricial (em
uma ou entre duas matrizes) como também uma operação elemento a elemento (em uma
ou entre matrizes). Para exemplificar, considere as matrizes
1 2
5 6 
A= 
e B= 

.
3 4 
7 8 
A Tabela 3.2 apresenta as principais operações realizáveis com essas duas matrizes.
Tabela 3.2: Operações com matrizes
Operação
Operador
Exemplo
soma
+
 1+ 5 2 + 6   6 8 
A + B= 
=

3 + 7 4 + 8  10 12
subtração
-
 1− 5 2 − 6   −4 −4 
A − B= 
=

3 − 7 4 − 8   −4 −4 
multiplicação vetorial
*
19 22
A * B= 

 43 50 
multiplicação escalar
.*
 1× 5 2 × 6   5 12 
A .* B= 
=

3 × 7 4 × 8  21 32
/
3 −2
A / B= 

2 −1
./
 1/ 5 2 / 6   0, 2 0, 333 
A ./ B= 
=

3 / 7 4 / 8  0, 428 0, 5 
\
 −3 − 4 
A \ B= 

4 5
potência matricial
^
 7 10 
A^2=A*A= 

15 22
potência escalar
.^
transposta
‘
divisão matricial
(equivale a A × B-1 )
divisão escalar
divisão esquerda
(equivale a A -1 × B )
 12
A .^2=  2
3
22   1 4 
=

42  9 16 
1 3
A'= 

2 4 
12
Exemplo 1: Considere o seguinte sistema de equações lineares
y1 = − x1 + x2 + 2 x3
 y1   −1 1 2   x1 
y2 = 3 x1 − x2 + x3 ⇒  y2  =  3 −1 1   x2  ou Y = AX
 y3   −1 3 4   x3 
y3 = − x1 + 3 x2 + 4 x3
a) Qual o valor de Y se X = [1 −1 2] ?
T
Nesse caso, utiliza-se diretamente a operação matricial Y = A * X :
>> A = [-1 1 2 ; 3 -1 1; -1 3 4]
A=
-1
1
2
3
-1
1
-1
3
4
>> Y = A*[1 ; -1 ; 2]
Y=
2
6
4
b) Qual o valor de X se Y = [ 0 2 1] ?
T
Nesse caso, pode-se deduzir que X=A -1Y . No Matlab, esse operação é
equivalente a X=A\Y (divisão esquerda, ver tabela 3.2).
>> Y = [0 ; 2 ; 1];
>> X = A\Y
X=
0.7000
0.3000
0.2000
Exemplo 2: Utilizando o Matlab, plote a função y = x 2 + 2 x − 3 , para −5 ≤ x ≤ 5 .
Note que nesse caso deve-se utilizar a operação de potência escalar, e não a
matricial, pois para cada elemento de x deve-se calcular um valor de y. Veja como fica
o código Matlab:
>> x=[-5:0.1:5];
>> y = x.^2 + 2*x -3;
>> plot(x,y)
13
35
30
25
20
15
10
5
0
-5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Figura 3.1: Gráfico de y = x 2 + 2 x − 3 .
3.3 Tratamento de Matrizes por Funções
Uma característica muito importante do Matlab é a forma como uma função
manipula matrizes. Uma função no Matlab trata uma matriz como um todo, e não
elemento a elemento. Tal característica é conhecida na literatura como bulk processing.
Para entender tal característica, veja o seguinte exemplo. No primeiro caso, x é um
escalar de valor 2. A variável a é simplesmente e 2 = 7,3891 . No segundo caso,
considera-se uma matriz m de dimensão 2 × 3 . Nesse caso, B também é uma matriz
a
2 × 3 , no qual cada elemento Bij é dado por e ij .
>> x = 2;
>> a = exp(2)
a=
7.3891
>> M = rand(2,3)
M=
0.9501
0.6068
0.8913
0.2311
0.4860
0.7621
>> B = exp(m)
B=
2.5860
1.8346
2.4383
1.2600
1.6258
2.1428
14
Tal propriedade facilita bastante o desenvolvimento de programas. Por
exemplo, se for desejado plotar o seno de x, para x variando entre 0 e 2π . No Matlab, o
código seria o seguinte:
>> x = 0:0.1:2*pi;
>> plot(x,sin(x));
Em uma linguagem de programação sem bulk processing, o código seria algo desse
tipo:
inc = 0.1
xi = 0
i=1
while xi <= 6.28
x(i) = xi
yi = sin(xi)
xi = xi + inc
end
plot(x,y)
O gráfico fornecido pelo Matlab é mostrado na figura abaixo.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
Figura 3.2: Gráfico de sen(x) para 0 ≤ x ≤ 2π .
3.4 Indexação de Matrizes
Uma tarefa que aparece com freqüência em programas é a necessidade de
utilizar apenas determinados elementos de uma matriz, e não a matriz como um todo.
Para isso, realiza-se uma indexação matricial. Considere a matriz M definida abaixo:
15
>> M = [1 2 3 4 ; 5 6 7 8 ; 9 10 11 12]
M=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
a) Indexação de apenas um elemento. Se apenas um elemento for desejado, deve-se
informar a posição que tal elemento ocupa na matriz (linha e coluna).
>> a = M(3,2)
a=
10
No Matlab, os elementos também são indexados seqüencialmente. Essa indexação segue
por linha e depois por coluna. Assim, a matriz anterior é indexada da seguinte forma:
1( elem. 1) 2( elem. 4) 3( elem. 7 ) 4( elem. 10) 
 elem. 2)

elem. 5 )
elem. 8)
elem. 11)
M = 5(
6(
7(
8(
.
 ( elem. 3)
elem. 6 )
elem. 9 )
elem. 12 ) 
10(
11(
12(
9

>> b = M(6)
b=
10
>> c = M(10)
c=
4
b) Indexação de mais de um elemento. Se for desejado indexar uma faixa de
elementos de uma matriz, pode-se utilizar o símbolo “:“. Dessa forma, cria-se
submatrizes. Por exemplo, considere que se deseja criar uma matriz Z = [ 6 7 8] .
Nesse caso, a matriz Z deve receber os elementos da 2a linha de M, começando da
coluna 2 até a coluna 4. Veja o exemplo:
>> Z = M(2,2:4)
Z=
6
7
8
16
A mesma operação pode ser realizada com a ajuda de um “end”, que representa o final
de um intervalo. Por exemplo:
>> Z = M(2,2:end)
Z=
6
7
8
c) Indexação de uma linha ou coluna completa. Outra ferramenta útil consiste em
utilizar “:” sem números. Nesse caso, “:” representa todos os números de uma linha ou
coluna. Por exemplo, se for desejado criar uma matriz Y formada pela primeira coluna
de M. Nesse caso, define-se:
>> Y = M(:,1)
Y=
1
5
9
3.5 Matrizes Multidimensionais
O Matlab permite a criação de matrizes com mais de duas dimensões. A
forma de criação é idêntica a de matrizes bidimensionais.
Exemplo: Criação de uma matriz de dimensão 2 × 2 × 2 .
>> A = [1 2 ; 3 4]
A=
1 2
3 4
>> B = [5 6 ; 7 8]
B=
5 6
7 8
>> C(:,:,1) = A;
>> C(:,:,2) = B
C(:,:,1) =
1 2
3 4
C(:,:,2) =
5 6
7 8
17
3.5 Funções Matriciais Básicas
Tabela 3.3: Funções matriciais básicas
função
descrição
Exemplo
>> X = [1 2 ; 4 5];
det (X)
determinante da matriz quadrada X
>> det(X)
ans =
-3
>> inv(X)
inv (X)
matriz inversa da matriz
ans =
-1.6667
0.6667
1.3333 -0.3333
>> diag(X)
diag (X)
retorna a diagonal principal de X
ans =
1
5
>>>> v = [1 2 3];
>> diag(v)
diag (v)
se v é um vetor, cria matriz diagonal
utilizando elementos de v
ans =
1
0
0
0
2
0
0
0
3
>> x = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 0];
reshape(x,n,m)
cria matriz de dimensão n × m a partir
da matriz x
>> reshape(x,2,5)
ans =
1
3
5
7
9
2
4
6
8
0
3.6 Outros Tipos de Dados
Além de matrizes, o Matlab trabalha com outros três tipos de dados:
•
cadeias de caracteres (strings);
•
células (cell arrays);
•
estruturas (structus).
a) Cadeias de caracteres (strings)
18
Cadeias de caracteres são dados tipo texto, formados por cadeias de caracteres
ASCII (American Standard Code for Information Interchange). Cada caractere ocupa
dois bytes de memória. No Matlab, uma string é definida entre ‘ ‘. Veja o exemplo.
>> texto1 = 'Curso'
texto1 =
Curso
Através do comando “whos” pode-se verificar as informações acerca da variável texto1.
Ela é um vetor de dimensão 1× 5 , do tipo char array, que ocupa 10 bytes de memória.
>> whos texto1
Name
Size
texto1
1x5
Bytes Class
10 char array
Grand total is 5 elements using 10 bytes
Internamente, os caracteres são armazenados através dos respectivos códigos
ASCII. Para obter a string em formato numérico, pode-se utilizar a função “double”:
>> double(texto1)
ans =
67 117 114 115 111
A operação inversa que transforma um código ASCII em uma string é efetuada pela
função “char”:
>> a = [84 101 120 116 111];
>> char(a)
ans =
Texto
A indexação de uma string é idêntica a de uma matriz. Veja o exemplo.
>> a = texto1(1:3)
a=
Cur
Da mesma forma, pode-se realizar a concatenação de strings:
>> texto2 = ' de Matlab';
>> textototal = [texto1 texto2]
textototal =
Curso de Matlab
19
b) Células (cell arrays)
Uma célula é um tipo de variável que permite armazenar matrizes de
naturezas diferentes (escalares, vetores, matrizes, strings) em uma única estrutura. Para
criar uma célula, utiliza-se a função “cell”. Células utilizam {} ao invés de []. Veja o
exemplo abaixo, de uma célula de dimensão 2 × 2 .
>> celula = cell(2)
celula =
[]
[]
[]
[]
>> celula{1,1} = eye(2);
>> celula{1,2} = 'matriz identidade 2x2';
>> celula{2,1} = 2;
>> celula{2,2} = [1 2 3]
celula =
[2x2 double] [1x21 char ]
[
2] [1x3 double]
>> whos celula
Name
Size
celula
2x2
Bytes Class
474 cell array
Grand total is 33 elements using 474 bytes
Costuma-se utilizar células em bancos de dados que mesclam elementos
numéricos e alfanuméricos. Por exemplo, uma lista de alunos e suas respectivas
matrículas.
c) Estruturas (structs)
É um tipo de dado que permite o armazenamento de matrizes de naturezas
diferentes (escalares, vetores, matrizes, strings) identificáveis por nomes de campos.
Para criar uma estrutura, utiliza-se a função “struct”. Como exemplo, considere que se
deseja criar uma estrutura para armazenar a Tabela 3.4.
Tabela 3.4: Exemplo de tabela para ser utilizada em uma estrutura
Aluno
Matrícula
Nota
João
001
1,0
Maria
002
10,0
José
003
7,0
20
>> s = struct('Aluno',{'Joao'},'Matricula',{001},'Nota',{1.0})
s=
Aluno: 'Joao'
Matricula: 1
Nota: 1
>> s(2).Aluno = 'Maria';
>> s(2).Matricula = 002;
>> s(2).Nota = 10;
>> s(3).Aluno = 'Jose';
>> s(3).Matricula = 003;
>> s(3).Nota = 7;
>> whos s
Name
s
Size
1x3
Bytes Class
998 struct array
Grand total is 28 elements using 998 bytes
Os conteúdos de uma estrutura são acessados da seguinte forma:
>> s
s=
1x3 struct array with fields:
Aluno
Matricula
Nota
>> s(1)
ans =
Aluno: 'Joao'
Matricula: 1
Nota: 1
>> s(2)
ans =
Aluno: 'Maria'
Matricula: 2
Nota: 10
21
4. Programação no Matlab
4.1 Editor de programas
Existe um ambiente próprio do Matlab para edição de programas. Para abri-lo,
digita-se o comando “edit”. Tal editor apresenta algumas características interessantes:
•
linhas numeradas, o que é útil principalmente para a localização de erros de
programação;
•
o caractere “%” indica comentário;
•
o caractere “...” indica que o comando continua na próxima linha. Tal recurso
permite deixar o texto mais “organizado”;
•
a cor atribuída pelo editor a um texto indica a sua classe. O padrão de cores varia
de acordo com a versão do Matlab.
4.1 Tipos de arquivos Matlab
Um programa em Matlab possui a extensão “.m” e é chamado de m-file.
Existem dois tipos de arquivos Matlab: script e função.
a) Script
Um script é simplesmente uma seqüência de comandos Matlab. Qualquer
seqüência de comandos pode ser implementada diretamente na janela de comando do
Matlab. Entretanto, se for desejado alterar algum parâmetro ou simplesmente repetir a
operação, os comandos devem ser digitados novamente. Tal situação não é prática. Para
solucionar esse tipo de problema existe o script. Se a seqüência de comandos for salva
em um script, basta digitar o seu nome na janela de comando para repetir o processo.
Exemplo: script denominado scriptEq2Grau.m, que plota uma equação do segundo grau
do tipo y = ax 2 + bx + c , com a = 1 , b = 2 e c = −3 :
x = [-10:0.1:10];
a = 1;
b = 2;
c = -3;
y = x.^ 2 + b*x + c;
plot(x,y);
22
Note que o script não apresenta parâmetros de entrada nem de saída. Ele
apenas realiza as operações desejadas e utiliza variáveis do workspace. Isso significa
que todas as variáveis de um script são salvas no workspace (digite comando whos).
b) Função
Uma função também realiza uma seqüência de comandos. Diferentemente de
um script, uma função possui parâmetros de entrada e pode retornar parâmetros de
saída. Por exemplo, considere que se deseje criar um arquivo Matlab que calcule uma
função do segundo grau para valores variáveis de a, b e c. Nesse caso, um script não
serve; deve-se criar uma função. Veja o exemplo.
Exemplo: Função denominada FuncaoEq2Grau.m.
% Apresenta o gráfico de uma equação do segundo grau
function y = FuncaoEq2Grau(a,b,c)
x = [-10:0.1:10];
y = x.^ 2 + b*x + c;
plot(x,y);
Para que a função tenha os mesmos parâmetros do script anterior, digita-se
z = FuncaoEq2Grau(1,2,-3);
Note que a única variável criada no workspace (digite comando whos) é z.
Todas as variáveis utilizadas por uma função são internas, o que significa que não são
salvas no workspace (diferentemente do caso de um script0). Uma característica
interessante é a possibilidade de criar um texto explicativo para uma função, que é
apresentado ao se utilizar a função help do Matlab. Esse texto deve ser escrito como
comentário (através de %) no início do m-file.
4.2 Tipos de funções
O Matlab reconhece três tipos de função:
•
built-in functions: são funções internas do Matlab, cujo código não é acessível
ao usuário (por exemplo, digite which cos);
•
Matlab m-files: funções escritas em arquivos m-file. O código é acessível ao
usuário, podendo inclusive ser modificado (por exemplo, digite which roots);
•
User m-files: funções escritas em arquivos m-file pelo próprio usuário, como a
FuncaoEq2Grau.m descrita anteriormente.
23
4.3 Operadores lógicos
O Matlab possui operadores utilizáveis em expressões lógicas (Booleanas),
que são utilizadas em tomadas de decisões. Para o Matlab, considera-se que
•
0 (zero) ou nil indica condição falsa;
•
1 (um) ou diferente de zero indica condição verdadeira.
A Tabela 4.1 apresenta os símbolos adotados para os operadores lógicos.
Tabela 4.1: Operadores lógicos
Operador
Verdadeiro se
Exemplo
= = ou eq
A igual a B
A = = B ou eq(A,B)
~= ou ne
A diferente de B
A ~= B ou ne(A,B)
< ou lt
A menor do que B
A < B ou lt(A,B)
> ou gt
A maior do que B
A > B ou gt(A,B)
<= ou le
A menor ou igual a B
A <= B ou le(A,B)
>= ou ge
A maior ou igual a B
A >= B ou ge(A,B)
~ ou not
lógica not
~A ou not(A)
& ou and
lógica and
>> A = 2;
>> B = 4;
>> A == B
ans =
0
>> A < B
ans =
1
>> A > B & A ~= B
ans =
0
O Matlab também possui funções para teste de matrizes
24
Tabela 4.2: Funções matriciais
Função
verdadeiro se matriz M for
isempty(M)
vazia
isequal(M,M2)
igual a matriz M2
isnumeric(M)
numérica
ischar(M)
alfanumérica
issparse(M)
esparsa
Existem também as funções any e all. Veja o seu funcionamento no exemplo.
>> A = [0 2 4 6 8];
>> isempty(A)
ans =
0
>> any(A)
ans =
1
>> all(A)
ans =
0
>> all(A>=0)
ans =
1
4.4 Controladores de fluxo
O Matlab possui estruturas para tomada de decisões, iguais às existentes em
linguagens de programação estruturadas. As principais são as estruturas for, if e while.
A tomada de decisão se baseia no resultado de uma expressão booleana. Se uma
expressão retorna 0, o Matlab interpreta condição falsa. Se uma expressão retorna um
valor diferente de zero, o Matlab considera como condição verdadeira.
a) For
for variável = <valor inicial> : <incremento> : <valor final>
comandos
end
25
Exemplo: Criação de um vetor formado por 10 múltiplos de 3.
for i = 1:10
v(i) = 3*i;
end
b) While
O laço while permite que uma seqüência de comandos seja repetida enquanto
uma certa condição for verdadeira. Apresenta a seguinte estrutura:
while <expressao>
comandos
end
Por exemplo, considere que se deseja determinar o maior valor de n tal que
n ! < 10100 . Pode-se utilizar o seguinte código.
n = 1;
while prod(1:n) < 1e100
n = n + 1;
end
c) If, elseif, else.
O laço if, elseif, else estabelece diversos caminhos para a fluência de um
programa. A sua estrutura é mostrada abaixo.
if <expressao1>
comandos
elseif <expressao2>
comandos
.
elseif <expressaon>
comandos
else
comandos
end
Veja um exemplo de utilização da estrutura. O valor da variável b depende do valor da
variável a, que varia entre 0 e 10.
26
a = round(10*rand(1)); % a eh uma variavel com valor entre 0 e 10
if a > 5
b = 3*a;
elseif a < 5
b = a/3;
else
b = a;
end
4.5 Implementação do algoritmo de Gauss
O algoritmo de Gauss é útil para resolver um sistema de equações lineares de
ordem n , do tipo AX = Y , com A singular ( det(A) ≠ 0 ). O método possui duas etapas:
1
Triangularização: consiste em transformar A numa matriz triangular superior,
mediante permutações e combinações lineares de linhas;
2
Retrossubstituição: cálculo de X, solução de AX = Y , a partir da solução do último
componente de X, e então substituindo regressivamente nas equações anteriores.
1a etapa: triangularização da matriz A
1. Entrada { n , aij , yi | i = 1(1)n , j = 1(1)n }
2. Para k = 1(1)n − 1
2.1. Para i = k + 1(1)n
2.1.1. mik = − aik / akk
2.1.2. Para j = k + 1(1)n
2.1.2.1. aij = aij + mik * akj
2.1.3. yi = yi + mik * yk
3. Saída { n , aij , yi | i = 1| n , j = 1| n }
2a etapa: Retrossubstituição
1. Entrada {{ n , aij , yi | i = 1(1)n , j = 1(1)n , aij são coefic. de uma matriz triang. sup.}
2. xn = yn / ann
3. Para k = n − 1(−1)1
3.1. xk ← yk
3.2. Para i = k + 1(1)n
3.2.1. xk ← xk − aki * xi
3.3. xk ← xk / akk
4. Saída { xi | i = 1(1)n }
27
O algoritmo implementado em Matlab pode ser o seguinte:
% Triangularizacao
% Passo 1.
A=[3 2 0 1 ; 9 8 -3 4 ; -6 4 -8 0 ; 3 -8 3 -4];
Y=[3 ; 6 ; -16 ; 18];
n=length(A);
for k=1:n-1
for i = k+1:n
% Passo 2
% Passo 2.1
mik = -A(i,k)/A(k,k);
% Passo 2.1.1
A(i,:) = A(i,:) + mik*A(k,:);
% Passos 2.1.2 e 2.1.2.1.
Y(i) = Y(i) + mik*Y(k);
% Passo 2.1.3
end
end
% Retrossubstituicao
x(n)=Y(n)/A(n,n);
% Passo 2
for k = n-1:-1:1
% Passo 3
x(k)=Y(k);
% Passo 3.1
for i = k+1:n
% Passo 3.2
x(k) = x(k) - A(k,i)*x(i);
% Passo 3.2.1
end
x(k)=x(k)/A(k,k);
% Passo 3.3
end
disp('Vetor x=');
% Passo 4
disp(x');
28
5. Gráficos no Matlab
O Matlab possui sofisticados recursos para a visualização de dados na forma
gráfica. Ele trabalha com objetos gráficos, tais como linhas e superfícies. As
propriedades de tais objetos podem ser controladas através das propriedades dos
objetos. Entretanto, o Matlab disponibiliza diversas funções que facilitam a
configurações das propriedades de objetos. As principais funções com esse fim são
vistas neste capítulo.
5.1 Cor, linha e marcador de uma curva (clm)
Antes de apresentar as funções de plotagem, é interessante apresentar as
propriedades de cor, tipo de linha e tipo de marcador de uma curva. A Tabela 5.1
apresenta as diferentes possibilidades.
Tabela 5.1: Cores, tipos de linha e marcadores
Cor
Tipo de linha
Marcador
y (amarela)
- (sólida)
. (ponto)
m (magenta)
: (pontilhada)
o (círculo)
c (azul-claro)
-. (ponto-traço)
x (marcador x)
r (vermelha)
-- (tracejada)
+ (cruz)
g (verde)
* (estrela)
b (azul)
s (quadrado)
w (branca)
d (losango)
k (preta)
h (hexagrama)
p (pentagrama)
v ou ^ (triângulo p/ baixo ou cima)
< ou > (triângulo p/ esquerda ou direita)
5.2 Principais funções relacionadas com gráficos
A Tabela 5.2 apresenta algumas das principais funções relacionas com
gráficos Matlab.
29
Tabela 5.2: Funções relacionadas com gráficos
title
título
ylabel
nome do eixo y
text
texto em local especificado
grid
desenha linhas de grade
gtext
texto usando mouse
axis
intervalo dos eixos
xlabel
nome do eixo x
legend
legendas no gráfico
5.3 Funções utilizadas para plotagem
A Tabela 5.3 apresenta as principais funções utilizadas para gerar gráficos 2D.
Tabela 5.3: Funções para plotagem 2D
Função
Descrição
plot(x1,y1,clm1,...,xN,yN,clmN)
eixos X e Y em escala linear
semilogx(x1,y1,clm1,...,xN,yN,clmN)
eixo X logarítmico e eixo Y linear
semilogy(x1,y1,clm1,...,xN,yN,clmN)
eixo X linear e eixo Y logarítmico
loglogy(x1,y1,clm1,...,xN,yN,clmN)
eixos X e Y logarítmicos
plotyy(x1,y1,clm1,x2,y2,clm2)
duas curvas com escalas em Y diferentes
stem(x,y)
plota seqüências discretas
5.4 Propriedades de textos
Textos em gráficos possuem propriedades que podem ser alteradas, tais como
tipo e tamanho da fonte. A Tabela 5.4 apresenta comandos que realizam essas tarefas.
Tabela 5.4: Propriedades de textos em gráficos Matlab
Propriedade
Comando
Exemplo
Tipo de fonte
\fontename
\fontname{Arial}
Tamanho da fonte
\fontesize
\fontsize{14}
Texto em negrito
\bf
\bfTexto
Texto em itálico
\it
\itTexto
Subscrito
_
X_n
Sobrescrito
^
X^n
Letras gregas
'\nomeletra'
'\pi'
30
5.5 Exemplos
a) Plotar a função y = e − x sen( x) , para 0 < x < 10 .
% Exemplo a
clear
close all
x = 0:0.1:10;
y = exp(-x).*sin(x);
plot(x,y,'r');
% Plota curva em vermelho
title('\fontsize{18}f(x)=e^{-x}*sen(x)');
% Titulo em fonte 18
xlabel('Eixo X');
ylabel('Eixo Y');
axis([0 10 -0.1 0.4]);
% escala de x varia entre 0 e 10; de y entre -0.1 e 0.4
% insere texto em fonte times 16
gtext('\fontname{timesnewroman}\fontsize{16}ponto de maximo local');
b) Plotar as funções f1 ( x) = e − x sen( x) e f 2 ( x) = sen( x) , para 0 < x < 10 , no mesmo
gráfico.
% Exemplo b
clear
close all
x = 0:0.1:10;
y1 = exp(-x).*sin(x);
y2 = exp(-x);
y3 = sin(x);
plot(x,y1,'r',x,y2,'b',x,y3,'k');
title('\fontsize{18}f(x)=e^x*sen(x)');
% Titulo em fonte 18
legend('f_1(x)=e^{-x}*sen(x)','f_2(x)=e^{-x}','f_3(x)=sen(x)');
xlabel('Eixo X');
ylabel('Eixo Y');
axis([0 10 -1 1]);
% escala de x varia entre 0 e 10 e a de y entre -1 e 1
31
c) Função semilogx e comando figure: Diagramas de Bode de H ( jω) = jω /(10 + jω) .
% Exemplo c
clear
close all
w = logspace(-2,3,1000); % w vetor logaritmicamente espacado entre 10^-1 e 10^2,
com 1000 pontos
H = j*w./(j*w+10);
magH = 20*log10(abs(H)); % Magnitude em dB
fasH = angle(H)*180/pi; % Fase em graus
figure(1) % Grafico de magnitude
semilogx(w,magH);
% Eixo X em escala logaritmica
title('Magnitude');
xlabel('\omega (rad/s)');
ylabel('dB');
grid
figure(2) % Grafico de fase
semilogx(w,fasH);
% Eixo X em escala logaritmica
title('Fase');
xlabel('\omega (rad/s)');
ylabel('graus');
grid
d) Função subplot: Diagramas de Bode de H ( jω) = jω /(10 + jω) na mesma figura.
% Exemplo d
clear
close all
w = logspace(-2,3,1000); % w vetor logaritmicamente espacado entre 10^-1 e 10^2,
com 1000 pontos
H = j*w./(j*w+10);
magH = 20*log10(abs(H)); % Magnitude em dB
fasH = angle(H)*180/pi; % Fase em graus
subplot(1,2,1) % Figura com 1 linha, 2 colunas, grafico 1
32
semilogx(w,magH);
% Eixo X em escala logaritmica
title('Magnitude');
xlabel('\omega (rad/s)');
ylabel('dB');
grid
subplot(1,2,2) % Figura com 1 linha, 2 colunas, grafico 2
semilogx(w,fasH);
% Eixo X em escala logaritmica
title('Fase');
xlabel('\omega (rad/s)');
ylabel('graus');
grid
e) Função stem: plotar y (k ) = a k * u (k ) em função de k.
% Exemplo e
k = -10:10;
% Criacao do degrau unitario u(k)
for i = 1:length(k)
if k(i) >= 0
u(i) = 1;
else
u(i) = 0;
end
end
% alternativa ao for:
% u = (k >= 0)
% Criacao de y(k) = a^k*u(k)
a = 0.5;
y = (a).^k.*u;
stem(k,y);
Gráficos 3D
O Matlab possui diversas funções destinadas à criação de gráficos em 3D. A
Figura 5.1 apresenta apenas algumas delas. Quem desejar se aprofundar no assunto deve
ler a documentação do próprio Matlab.
33
Gráfico 3D
Curvas
Superfícies
plot3
curvas em 3D
surf
superfícies 3D
contour
curvas de nível
mesh
malhas 3D
Figura 5.1: Tipos de gráficos e funções 3D.
a) Exemplo de uma curva em 3D (função plot3)
t = 0:pi/50:10*pi;
x = sin(t);
y = cos(t);
z = t;
plot3(x,y,z);
xlabel('sin(t)'); ylabel('cos(t)'); zlabel('t');
Se for desejado plotar uma função de duas variáveis z = f ( x, y ) é necessário
gerar matrizes X e Y contendo linhas repetidas, que definem o domínio da função. A
função Malab que define X e Y a partir de vetores x e y é a meshgrid. Feito isso,
pode-se utilizar a função desejada para plotar a função z. Veja o exemplo abaixo, no
qual se deseja obter as curvas de superfície (função surf) e de malha (função mesh) de
z = f ( x, y ) =
sen
(
x2 + y 2
)
x2 + y 2
clear
close all
x = -8:0.5:8;
y = -8:0.5:8;
[X,Y] = meshgrid(x,y); % Geracao de matrizes X e Y a partir de x e y
r = sqrt(X.^2 + Y.^2);
Z = sin(r)./r;
figure(1)
% Grafico de superficie
surf(X,Y,Z);
figure(2)
% Grafico de malha
mesh(X,Y,Z);
34
6. Funções relacionadas com arquivos de dados
O Matlab possui diversas funções para leitura e gravação de arquivos de
dados (texto, imagem e som). Algumas das principais são apresentadas neste capítulo.
6.1 Leitura e gravação de arquivos de dados
a) Funções dlmread e dlmwrite
Para ler ou gravar um arquivo ASCII delimitado utiliza-se as funções dlmread
e dlmwrite, respectivamente. O arquivo possui um caractere delimitador, que separa os
dados uns dos outros. Veja os exemplos.
A função dlmread(‘NomeArquivo’,’delimitador’) lê um arquivo ASCII com
determinado delimitador. Por exemplo, considere um arquivo dados.txt, cujo
delimitador é um espaço em branco. O exemplo abaixo mostra como ler este arquivo e
salvar o seu conteúdo em uma variável denominada “a”.
>> type dados.txt
1234
5678
9 10 11 12
>> a = dlmread('dados.txt',' ')
a=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A função dlmwrite(‘NomeArquivo’,matriz,’delimitador’) permite gravar os
dados de uma matriz em um arquivo ASCII com determinado delimitador. O exemplo
abaixo mostra salva a matriz M no arquivo gravar.txt, cujo delimitador é a “,”.
>> M = [1 3 5 7;2 4 6 8]
M=
1
3
5
7
2
4
6
8
>> dlmwrite('gravar.txt',M,',');
>> type gravar.txt
1,3,5,7
2,4,6,8
35
b) Funções load e save
As funções load e save servem para ler/gravar variáveis armazenadas em
arquivos com extensão .mat, que é um formato binário proprietário do Matlab. A sintaxe
é a seguinte:
load(‘NomeArquivo’)
save(‘NomeArquivo’,’var1’,’var2’,...,’varN’)
save(‘NomeArquivo’,’var1’,’var2’,...,’varN’,’-ASCII’)
No comando save, se nenhuma variável for especificada, o Matlab salva todas
as variáveis do worspace no arquivo especificado. A opção ‘-ASCII’ salva o arquivo no
formato ASCII. Veja alguns exemplos.
>> a = [1 2];
>> b = 3;
>> texto = 'teste';
>> save('arquivo1','a','texto');
>> clear
>> whos
>> load('arquivo1')
>> whos
Name
a
Size
1x2
texto
1x5
Bytes Class
16 double array
10 char array
Grand total is 7 elements using 26 bytes
Existem diversas outras funções para carregar arquivos de dados. Elas podem
ser acessadas pelo comando importdata (help importdata).
6.2 Leitura e gravação de arquivos de imagem
Para ler ou gravar um arquivo de imagem, utiliza-se as funções imread e
imwrite, respectivamente. A sintaxe é a seguinte:
A = imread(‘NomeArquivo’)
imwrite(Matriz,‘NomeArquivo’)
As extensões permitidas são: bmp, cur, gif, hdf, iço, jpg, jpeg, pcx, png, tif,
tiff e xwd
36
6.3 Leitura e gravação de arquivos de imagem
Para ler arquivo de som, utilizam-se as funções auread (som NeXT/SUN) e
wavread (som Microsoft wave). Para gravar um arquivo de som, utilizam-se as funções
auwrite (som NeXT/SUN) e wavwrite (som Microsoft wave).
37
7. Polinômios
a) Raízes de um polinômio: função roots
Dado um vetor p com n elementos, a função roots retorna as raízes do
polinômio P definido por P = p(1) x n + p(2) x n −1 + " + p(n − 1) x + p(n) . Veja o exemplo,
onde se considera um polinômio P = 6 x 5 − 15 x 4 + 3 x 2 + 4 x + 1 .
>> p = [6 -15 0 3 4 1];
>> roots(p)
ans =
2.3531
0.9461
-0.2579 + 0.4447i
-0.2579 - 0.4447i
-0.2833
b) Coeficiente de um polinômio a partir de suas raízes: função poly
Dado um vetor r contendo as raízes de um polinômio, a função poly retorna
um vetor contendo os coeficientes do polinômio. Veja o exemplo, no qual se deseja um
polinômio com raízes –1 e 2. O resultado é P = x 2 − x − 2 .
> >> r = [-1 2];
>> P = poly(r)
P=
1
-1
-2
c) Valor de um polinômio: fução polyval
A função polyval calcula o valor de um polinômio P(X) para cada valor de um
vetor X. Por exemplo, considere que se deseja calcula o valor de P = x 2 − x − 2 para
−3 < x < 3 . Veja o exemplo.
>> p = [1 -1 -2];
>> x = -3:0.1:3;
>> resultado = polyval(p,x);
>> plot(x,resultado);
d) Ajuste de curvas por polinômio de grau n: fução polyfit
38
Dados vetores x e y, a função polyfit retorna os coeficientes de um polinômio
de grau n que melhor aproxima os pontos definidos por (x,y). Veja o exemplo, no qual a
curva
é
aproximada
por
um
polinômio
de
grau
3,
dado
por
P = 0, 0046 x 3 − 0, 7995 x 2 + 3,5478 x + 99,8667 .
>> x = 1:10;
>> y = [100 110 105 98 102 107 103 100 99 103];
>> p = polyfit(x,y,3);
>> p = polyfit(x,y,3)
p=
0.0466 -0.7995
3.5478 99.8667
>> aprox = polyval(p,x);
>> plot(x,y,x,aprox,'r');
e) Multiplicação/divisão de polinômios: fuções conv/deconv
Dados dois vetores p1 e p2, contendo os coeficientes de dois polinômios, as
funções conv e deconv retornam os coeficientes de um vetor dado pela multiplicação e
divisão entre p1 e p2, respectivamente. Veja o exemplo.
>> p1 = [2 1 3 4];
>> p2 = [1 -1 2];
>> p3 = conv(p1,p2)
p3 =
2
-1
6
3
2
8
>> p4 = deconv(p1,p2)
p4 =
2
3
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8. Bibliografia
MATSUMOTO, E. Y. MATLAB 6 – Fundamentos de Programação. 1. ed. São
Paulo: Editora Érica Ltda., 2001.
Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas. Matlab – Curso Introdutório. Disponível
em:
<http://mesonpi.cat.cbpf.br/e2002/cursos/NotasAula/Tutorial_matlab.pdf>
Acesso em: 06 jul. 2005.
Apostila do II Workshop Internacional de Ensino de Engenharia. Mini-curso Uso do
Matlab no Ensino de Engenharia.
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