Números complexos: uma intervenção com o software GeoGebra.
Felipe Contini1
GD3 – Educação Matemática no Ensino Médio.
Tem-se como objetivo de pesquisa desenvolver a compreensão de que a adição e a multiplicação de números
complexos podem ser respectivamente visualizadas, graficamente, como translação e rotação no plano
cartesiano. Colocam-se duas questões de pesquisa: “Um conjunto de atividades, num ambiente com o software
GeoGebra, desenvolve a visualização da adição de números complexos como uma translação no plano
cartesiano?” e “Um conjunto de atividades, num ambiente com o software GeoGebra, desenvolve a
visualização da multiplicação de números complexos como uma rotação no plano cartesiano?”. Para atingir o
objetivo proposto e responder as questões de pesquisa, pretende-se adaptar, para serem usadas com o software
GeoGebra, as situações de aprendizagem propostas para o 2 o bimestre do 3o ano do Ensino Médio no Caderno
do Aluno da Proposta Curricular do Estado de São Paulo, para o ensino de Números Complexos e aplicar as
atividades resultantes dessa adaptação a um grupo de alunos do Ensino Médio. Em virtude do caráter dinâmico
do software GeoGebra e de sua ferramenta “Janela da Álgebra”, espera-se que com a aplicação dessas situações
os sujeitos consigam fazer a relação entre as expressões algébricas e as respectivas isometrias, no caso da
adição e da multiplicação de números complexos, num movimento que Raymond Duval, na Teoria dos
Registros de Representação Semiótica, chama de conversão e que deverá fazer parte da fundamentação teórica
escolhida, tanto para elaboração das situações como para a análise dos dados. Para gerenciar a aplicação das
atividades, pretende-se utilizar uma abordagem baseada nas ideias do Design Experiment.
Palavras-chave: Números Complexos. Álgebra. Geometria. GeoGebra. Ensino Médio. Conversão.
Introdução
Desde o Ensino Médio, na época em que era aluno, tivemos interesse por Matemática. Ao
chegar no 3º ano do Ensino Médio, após a realização de um teste vocacional que indicou que
nossa maior aptidão seria a área de Exatas, fomos prestando alguns vestibulares e
ingressamos
na Licenciatura em Matemática,
curso
no qual nos realizamos
profissionalmente. Após a formatura, em julho de 2005, na Universidade do Oeste Paulista,
1
Universidade Anhanguera de São Paulo, e-mail: [email protected], orientadora: Vera Helena
Giusti de Souza.
começamos a ministrar aulas na Secretária da Educação do Estado de São Paulo, trabalhando
como professor eventual até 2006, quando ingressamos como professor efetivo.
Em 2007, fomos um professor que buscava despertar nos alunos interesse pela Matemática
e vimos necessidade de uma especialização. Começamos, então, a cursar uma pósgraduação
Latu Sensu em Matemática Estatística, pela Universidade Federal de Lavras. Como trabalho
de conclusão, elaboramos uma monografia com o título “A importância dos Jogos de
processo ensino aprendizagem da Matemática” e todo esse trabalho foi sendo desenvolvido
paralelamente com os alunos em sala de aula.
Em 2009, ingressamos na Secretaria de Desenvolvimento da Ciência e Tecnologia, para
ministrar aulas na ETEC de São Sebastião, o que foi um desafio na nossa vida porque nunca
tinha trabalhado com cursos técnicos concomitantes com o Ensino Médio. Trabalhamos
durante esse ano especificamente com alunos do 3º ano do Ensino Médio e no início do 2º
Bimestre, em meados de Maio, começamos a trabalhar em classe com os Números
Complexos. Foi um dia marcante na nossa vida, pois um aluno perguntou: Para que servem
números complexos? Onde vou usar isso na minha vida? Demos algumas explicações,
tentando mostrar a importância dos números complexos, mas aquela pergunta deixou-nos
inquieto com o assunto e começamos a pesquisá-lo.
Ao analisar a Proposta Curricular do Estado de São Paulo (2008), verificamos que no 2º
bimestre da 3ª série do Ensino Médio é proposto aos professores que trabalhem com os
Números Complexos e suas representações geométricas. No Caderno do Aluno (2014),
material utilizado por toda a rede pública estadual paulista, são sugeridas 12 atividades para
a abordagem dos números complexos, todas propostas principalmente na forma algébrica,
sem ênfase para a representação geométrica.
Surgiu-nos então a curiosidade de adaptar tais atividades para realizá-las numa abordagem
diferente – e diríamos complementar – com o uso do software livre GeoGebra, para mostrar
a um grupo de alunos do Ensino Médio que a adição e a multiplicação de números complexos
podem ser “dinamicamente” vistas, respectivamente, como translação e rotação no plano
Argand-Gauss.
Tal visão dinâmica, no nosso entender, pode cumprir dois papéis na aprendizagem dos
números complexos: que o aluno adquira um conhecimento algébrico e principalmente que
ele faça a conexão da Álgebra com a Geometria, aprendendo duas formas importantes e
diferentes de representar a adição e a multiplicação.
Com essa curiosidade em mente, fomos procurar o Programa de Pós-graduação em Educação
Matemática da Universidade Anhanguera de São Paulo (UNIAN), com o intuito de
desenvolver uma Dissertação de Mestrado com esse tema. Fomos aceitos no Programa e o
iniciamos em março de 2014.
O presente projeto é o resultado de um semestre de pesquisa, no qual buscamos teses,
dissertações e artigos para fundamentar a importância de propor uma abordagem mais
“dinâmica” dos números complexos.
Justificativa
Para justificar o trabalho com números complexos, vinculado às transformações isométricas
do plano e com o uso de um software dinâmico, fomos procurar o que dizem: o Currículo de
Matemática2 do Estado de São Paulo (CMESP, 2010); os Parâmetros Curriculares Nacionais
do Ensino Médio Mais (PCN+, 2012); alguns livros didáticos de Matemática indicados pelo
Programa Nacional do Livro Didático (PNLD, 2012); e algumas pesquisas na área de
Educação Matemática.
Pelo CMESP (2010, p. 69), o estudo com Números Complexo deve ser feito de modo a
desenvolver algumas habilidades. Dentre elas, destacamos:
[...] Compreender o significado geométrico das operações com números
complexos, associando-as a transformações no plano [...].
Esta habilidade é exatamente a que desejamos desenvolver com nosso trabalho.
Analisamos três livros de Matemática para o Ensino Médio, utilizados em escolas estaduais
do Estado de São Paulo, portanto indicados pelo Programa Nacional do Livro Didático
(PLND) de 2012, a saber: Matemática: contexto e aplicações, de Luiz Roberto Dante
(DANTE, 2010); Matemática: ciência, linguagem e tecnologia, de Jackson Ribeiro
(RIBEIRO, 2012); e Novo olhar-Matemática, de Joamir Roberto de Souza (SOUZA, 2010)
e percebemos que os números complexos são apresentados de uma forma padrão, ou seja,
um fato histórico é citado, sem estar diretamente relacionado com o conteúdo a ser
desenvolvido e apresenta-se uma revisão dos conjuntos numéricos até chegar aos números
2
Quando nos referirmos ao Currículo de Matemática do Estado de São Paulo abreviaremos para CMESP
complexos; em seguida, são apresentadas três maneiras de representar os números
complexos, quais sejam: por pares ordenados, na forma algébrica e na forma trigonométrica
(que também é algébrica) e, a partir dessas representações, são definidas as operações
básicas, como adição e multiplicação, sem relacioná-las com as transformações geométricas
que podem ser associadas a elas no plano cartesiano complexo. É nossa interpretação que o
conteúdo não é contextualizado, pois há um apego ao uso de fórmulas e definições algébricas
e os exercícios são aplicações diretas dessas fórmulas. Acreditamos que tais abordagens
podem gerar certa insatisfação tanto para os alunos quanto para os professores.
Ao fazer a leitura das dissertações de Rosa (1998) e de Oliveira (2010) e ao analisar os livros
didáticos do PNLD de 2012, percebemos a necessidade de trabalhar a rotação e a translação
de números complexos no plano cartesiano utilizando um software, pois acreditamos que
iremos despertar nos alunos interesse sobre os números complexos e o uso de um software
como o GeoGebra poderá ajudar na compreensão e na visualização da multiplicação e da
adição de números complexos, respectivamente como rotação e translação no plano
cartesiano, além de permitir trabalhar, concomitantemente, os registros algébrico e gráfico.
Nos PCN+ (2012, p.120), os números complexos são apresentados no tema1: Álgebra:
números e funções e os procedimentos básicos desse tema são calcular, resolver, identificar
variáveis, traçar e interpretar gráficos e o tema possui fortemente o caráter de linguagens e
códigos (números e letras), o que implica num estudo que faça uso de representações
algébricas e gráficas. Mais uma razão para um trabalho voltado para o uso de um software
dinâmico, que “mostre” a rotação e a translação no plano como uma aplicação da
multiplicação e da adição de números complexos e vice versa e ainda permita “ver” as
expressões algébricas correspondentes.
A PROPOSTA CURRICULAR DE SÃO PAULO
A nova Proposta Curricular de São Paulo foi lançada com o objetivo de unificar o currículo
das escolas da rede pública do Estado de São Paulo. De acordo com a Secretaria de
Educação do Estado de São Paulo 3 – SEE/SP – “seu dever é garantir a todos uma base
comum de conhecimentos e competências, para que nossas escolas funcionem de fato como
uma rede” (SEE/SP, 2008, p.8).
Ressaltamos que a Proposta Curricular enfatiza a importância de se desenvolver a
competência leitora e escritora, uma vez que acredita que “só por meio dela será possível
concretizar a constituição das demais competências, tanto as gerais como aquelas associadas
a disciplinas ou temas específicos” (SEE/SP, 2008, p.18).
No caso dos números complexos, vemos que a visualização das operações com números
complexos pode enriquecer o repertório de imagens dos alunos e, assim, permitir que se
desenvolva tanto a competência leitora , como a escritora.
MATERIAL DE APOIO
O material de apoio fornecido pela SEE/SP, que integra a nova Proposta Curricular do Estado
de São Paulo, é composto por 76 cadernos, multisseriados, para cada disciplina do currículo,
de 5ª a 8ª séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e do Ensino Médio, intitulados Caderno
do Professor e Caderno do Aluno. Em cada caderno e para cada assunto são apresentadas
algumas situações de aprendizagem, que devem ser desenvolvidas e discutidas pelo
professor.
O Caderno do Professor4 – Matemática apresenta a resolução das situações de aprendizagem
e, para cada uma delas, são indicados: o tempo estimado para sua realização; conteúdos e
temas abordados; competências e habilidades que se devem mobilizar; estratégias e roteiro
para aplicação das atividades; e considerações sobre avaliação. Ao final do caderno, são
dadas algumas orientações para a recuperação dos alunos que não conseguiram atingir os
níveis de conhecimento esperado. Em particular, no caso dos números complexos, é
solicitado ao professor “Trabalhar o significado dos complexos e das operações” (2014), que
é a preocupação nossa com o tema.
O Caderno do Aluno 5 traz as situações de aprendizagem, com mapas, tabelas, gráficos,
exercícios ou textos que abordam os conteúdos propostos pelo currículo. Algumas dessas
situações, que envolvem os números complexos, serão selecionadas e adaptadas para o uso
3
Quando citarmos a Secretaria de Educação do Estado, abreviaremos para SEE/SP.
Quando nos referirmos ao caderno do Professor, da disciplina Matemática, abreviaremos para CPM.
Quando nos referirmos ao caderno do Aluno, da disciplina Matemática, abreviaremos para CAM.
4
5
com o software GeoGebra e irão compor o conjunto de atividades de nossa intervenção junto
a um grupo de 8 alunos do 3º ano do Ensino Médio.
As atividades do CAM, volume 1, foram elaboradas para serem trabalhadas apenas num
ambiente papel & lápis. Nele, não se faz menção para a utilização de um recurso tecnológico.
Resolvemos, então, que vale a pena tentar adaptá-las para o uso num ambiente informático,
com o software GeoGebra, num caminho de pesquisa similar ao desenvolvido por Felipe
(2013), que adaptou as situações de ensino do assunto função, também para uso com o
software GeoGebra e aplicou as atividades adaptadas a um grupo de 6 alunos de uma 1ª série
do Ensino Médio e concluiu que o ambiente utilizado, com auxílio do software para
resolução das atividades, proporcionou aos alunos melhor visualização dos gráficos das
funções e contribuiu para uma mudança na postura do aluno, que saiu da condição passiva e
assumiu uma postura ativa na construção do conhecimento.
Acreditamos ter justificado a realização de nossa pesquisa de Mestrado com os números
complexos. Assim, colocamos como objetivo de nosso trabalho
Desenvolver a compreensão de que a adição e a multiplicação de números complexos podem
ser respectivamente visualizadas, graficamente, como translação e rotação no plano
cartesiano.
Com esse objetivo, colocamos nossas questões de pesquisa.
Um conjunto de atividades, num ambiente com o software GeoGebra, desenvolve a
visualização da adição de números complexos com uma translação no plano cartesiano?
Um conjunto de atividades, num ambiente com o software GeoGebra, desenvolve a
visualização da multiplicação de números complexos com uma rotação no plano cartesiano?
Para atingir nosso objetivo e responder nossas questões de pesquisa, pretendemos adaptar,
para uso em um ambiente informático, com o software GeoGebra e aplicar o conjunto de
situações de ensino proposto no Caderno do Aluno da Proposta Curricular do Estado de São
Paulo (2014), para trabalhar os Números Complexos. Em virtude do caráter dinâmico do
software GeoGebra e de sua ferramenta “Janela da Álgebra”, espera-se que com a
aplicação dessas situações os sujeitos consigam fazer a relação entre as expressões algébricas
e as respectivas isometrias, no caso da adição e da multiplicação de números complexos,
num movimento que Raymond Duval, na Teoria dos Registros de Representação Semiótica,
chama de conversão e que deverá fazer parte da fundamentação teórica escolhida, que
também servirá de base para a análise dos dados.
Fundamentação teórica
Pretendemos utilizar as ideias da Teoria dos Registros de Representação Semiótica
(DUVAL, 1995, 2013), segundo as quais, para aprender Matemática, comunicá-la, trabalhar
com ela e não confundir um objeto matemático com suas representações, um sujeito precisa
discriminar e utilizar pelo menos dois sistemas semióticos de representação, bem como
conhecer as regras que permitem modificar um registro, dentro de um mesmo sistema
semiótico (chamado tratamento na teoria) e transformar um registro em um sistema
semiótico em um registro em outro sistema semiótico (chamado conversão na teoria). Duval
(1995, 2013) afirma também que a conversão não é espontânea e precisa ser ensinada, em
sala de aula, sob responsabilidade do professor de Matemática.
Por essas razões, acreditamos que podemos contribuir para a aprendizagem dos números
complexos se utilizarmos o software GeoGebra para explorar um tipo de registro gráfico
dinâmico, na tela do software, associado ao registro algébrico, com a ferramenta “Janela da
Álgebra”
Revisão de Literatura
Apresentamos um resumo das leituras realizadas até o presente momento e que retratam a
importância de trabalhar os números complexos e de utilizar um software, no caso o
GeoGebra, para mostrar aos alunos que o produto de números complexos pode ser
visualizado como uma rotação no plano cartesiano de Argand – Gauss. Pretendemos, com
estas leituras, que são pertinentes ao nosso tema e nos dão subsídios para desenvolver nossa
Dissertação de Mestrado, colocar nossa pesquisa no cenário das já realizadas na área de
Educação Matemática.
Rosa (1998) analisou 6 livros didáticos da época e percebeu que em nenhum deles se
abordam os números complexos por meio de uma equação de 3º grau: em alguns, a
abordagem inicial é feita por pares ordenados, inclusive para definir a adição e a
multiplicação, enquanto outros abordam os números complexos na forma
pertencendo a
e
com
e em seguida introduzem as operações algebricamente.
e
Em sua pesquisa, Oliveira (2010) abordou os “Números complexos: um estudo dos registros
de representação e de aspectos gráficos” com um trabalho dos aspectos gráficos no plano
cartesiano de Argand – Gauss.
Historicamente esses números surgiram quando Bombeli, ao tentar resolver uma
equação do terceiro grau usando a fórmula de Cardano-Tartaglia, depara-se com
a raiz quadrada de um número negativo e começa a operar com essas raízes, não
considerando-as como números, mas sim, com uma representação [...] A ideia é
propor aos alunos que resolvam uma equação do terceiro grau, pelo método de
Cardano- Tartaglia, ao resolvê-la poderão se deparar com a raiz quadrada de um
número[...](Rosa, 1998, p. 118, apud OLIVEIRA, 2011)Esta resolução utilizando
o método do Cardano-Tartaglia é utilizada no caderno do aluno da Secretária do
Estado de São Paulo bem como é apresentada nos livros. Porém acreditamos que
podemos ir mais longe, trabalhando como os alunos as propriedades de
potenciações demostrando a eles por interpretações gráficas as rotações.
[...] Quais seriam as possiblidades e consequências de se apresentar os números
complexos, com enfoque em aspectos geométricos, a alunos que veriam pela
primeira vez? Como se estruturaria uma sequencia com esses objetivos?[...]
(OLIVEIRA, 2010, P.171)
Ardenghi (2008) sugere que se apliquem sequências de ensino que proporcionem uma
participação mais ativa do aluno na construção do conhecimento, levando em consideração
as concepções prévias dele sobre o conceito; que se utilize a informática como ferramenta
facilitadora no estudo do gráfico; e que se trabalhe com problemas contextualizados e com
situações mais próximas do cotidiano do aluno, para que ele possa “compreender o conceito
de função como ferramenta de resolução de problemas” (ARDENGHI, 2008, p.71). no nosso
caso, esperamos que isso ocorra, no caso dos números complexos.
Com o avanço da tecnologia, ambientes computacionais estão sendo utilizados como recurso
para auxiliar alunos na aprendizagem de conceitos matemáticos. Verificamos essa
preferência pelo tema no estado da arte feito por Ardenghi (2008) que, num curto período
analisado, aponta 32,5% de adeptos ao uso da tecnologia em sala de aula. Entendemos que
talvez seja esse o caminho para que os alunos apreendam conceitos matemáticos de maneira
significativa.
Por essa razão, queremos adaptar as situações de aprendizagem do CAM, no caso dos
números complexos, para trabalhá-las num ambiente informático, com o software
GeoGebra, numa tentativa de verificar se o uso dessa ferramenta pode alavancar a
aprendizagem da relação entre: a adição de números complexos e a translação no plano
cartesiano; a multiplicação de números complexos e a rotação no plano cartesiano.
Considerações metodológicas
Pretendemos desenvolver uma pesquisa interventiva, com análise qualitativa dos dados, num
grupo de 8 alunos do 3ºano do Ensino Médio, num trabalho em duplas, que deverão ser
acompanhadas por um observador neutro, num ambiente informático com o software
GeoGebra.
Para a aplicação das atividades, escolhemos como metodologia o Design Experiment
(COBB, 2003), cuja principal característica é o caráter cíclico, que permite sucessivas
iterações das atividades. Com isso, é possível corrigir o percurso à medida que se aplicam as
atividades, pois muitas vezes o que é claro para nós, em relação às questões propostas, não
o é para o aluno, que pode acabar optando por um caminho que não permite que chegue ao
lugar desejado pela atividade. De acordo com essa metodologia, podemos reformular as
questões para que os alunos possam fazê-las novamente e, assim, atingir o objetivo proposto.
O Design Experiment é uma metodologia utilizada para “desenvolver teorias e, não apenas,
para ajustar ‘o que funciona’” (COBB et al., 2003, p.9, tradução nossa), uma vez que surgem
da prática e estão relacionadas a um domínio matemático específico. Sendo assim, se faz
necessária uma busca na literatura para identificar dificuldades, lacunas existentes,
resultados descobertos por meio das pesquisas sobre o objeto matemático que se pretende
estudar e o domínio específico esperado que o aluno desenvolva.
A escolha do GeoGebra se deve ao fato de ser um software livre de geometria dinâmica, e
pode ser utilizado como recurso auxiliador no estudo dos conteúdos matemáticos do Ensino
Médio, por oferecer uma interface amigável, que conversa com o usuário de maneira fácil e
prática, por meio de comandos disponíveis no software como, por exemplo, os seletores, que
ao serem manipulados, permitem que se faça diversas simulações da representação gráfica
de funções de maneira rápida e dinâmica, explorando características visuais, articulando a
escrita algébrica e a representação gráfica.
Pretendemos executar, ao menos, os seguintes procedimentos metodológicos: familiarização
com as ferramentas do GeoGebra; escolha e adaptação das situações de ensino do CAM
(SEESP, 2014); elaboração das atividades a serem aplicadas; análise didática dessas
atividades; aplicação da atividade 1; análise dos protocolos e das observações escritas,
obtidos com a atividade 1; readaptação da atividade 1 ou da atividade 2, à luz dos resultados
obtidos com a atividade 1; e assim por diante, até a aplicação de todas as atividades
elaboradas; análise dos dados e das observações escritas, feitas pelo observador neutro;
conclusões; considerações finais.
Esperamos que as análises tragam resposta às nossas questões de pesquisa e tragam novas
questões, que possam ser exploradas em pesquisas posteriores, por nós ou por qualquer um
que se interesse pelo nosso trabalho.
Referências
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periodo de 1970 a 2005 no Brasil. Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. São
Paulo, p. 182. 2008.
BRASIL. Ministério da Educação (MEC), Secretaria de Educação Média e Tecnológica
(Semtec). Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio Mais. Brasília:MEC/
Semtec, 2012.
COBB, P.; CONFREY, J., DISESSA, A.; LEHRER, R., SCHAUBLE, L. Design
Experiments in education research. Educational Researcher, v. 32, n. 1, p. 9-13, 2003.
DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. São Paulo: Ática, 2010.
DUVAL, Raymond. Semiósis e Pensamento Humano. São Paulo: Livraria da Física, 2009.
FELIPE, P. A Proposta Curricular do Estado de São Paulo e o Software GeoGebra:
Uma Análise de atividades sobre funções Exponecial e Logarítima à Luz dos três
Mundos da Matemática. Universidade Bandeirante Anhanguera. São Paulo, p. 240. 2013.
OLIVEIRA, C. N. C. NÚMEROS COMPLEXOS - Um estudo dos registros de
representações e de aspectos gráficos. Pontifícia Universidade Católica de São Paulo PUC/SP. São Paulo, p. 190. 2010.
Proposta Curricular do Estado de São Paulo. SEE/SP. São Paulo (Estado). 2014.
RIBEIRO, J. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia. São Paulo: Scipione, v. 3, 2012.
ROSA, M. S. NÚMEROS COMPLEXOS "Uma Abordagem Histórica Para Aquisição
do Conceito". Pontifícia Universidade Católica de São Paulo - PUC-SP. São Paulo, p. 173.
1998.
SÃO PAULO (ESTADO). Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática –
Ensino Fundamental – Ciclo II e Ensino Médio. São Paulo: SEE, 2008.
_________. Caderno do Aluno: Matemática, Ensino Médio – 3ª série, volume 1.
Coordenação Geral Maria Inês Fini; São Paulo: SEE, 2014.
_________. Caderno do Professor: Matemática, Ensino Médio – 3ª série, volume 1.
Coordenação Geral Maria Inês Fini; São Paulo: SEE, 2014
SOUZA, J. R. D. Novo olhar - Matemática. São Paulo: FTD, v. 3, 2010.