caderno do
ensino médio
1ª- SÉRIE
volume 3 – 2009
MATEMÁTICA
PROFESSOR
Coordenação do Desenvolvimento dos
Conteúdos Programáticos e dos Cadernos dos
Professores
Ghisleine Trigo Silveira
AUTORES
Ciências Humanas e suas Tecnologias
Filosofia: Paulo Miceli, Luiza Christov, Adilton
Luís Martins e Renê José Trentin Silveira
Geografia: Angela Corrêa da Silva, Jaime Tadeu
Oliva, Raul Borges Guimarães, Regina Araujo,
Regina Célia Bega dos Santos e Sérgio Adas
Governador
José Serra
Vice-Governador
Alberto Goldman
Secretário da Educação
Paulo Renato Souza
Secretário-Adjunto
Guilherme Bueno de Camargo
Chefe de Gabinete
Fernando Padula
Coordenadora de Estudos e Normas
Pedagógicas
Valéria de Souza
Coordenador de Ensino da Região
Metropolitana da Grande São Paulo
José Benedito de Oliveira
Coordenador de Ensino do Interior
Rubens Antonio Mandetta
Presidente da Fundação para o
Desenvolvimento da Educação – FDE
Fábio Bonini Simões de Lima
EXECUÇÃO
Coordenação Geral
Maria Inês Fini
Concepção
Guiomar Namo de Mello
Lino de Macedo
Luis Carlos de Menezes
Maria Inês Fini
Ruy Berger
GESTÃO
Fundação Carlos Alberto Vanzolini
Presidente do Conselho Curador:
Antonio Rafael Namur Muscat
Presidente da Diretoria Executiva:
Mauro Zilbovicius
Diretor de Gestão de Tecnologias
aplicadas à Educação:
Guilherme Ary Plonski
Coordenadoras Executivas de Projetos:
Beatriz Scavazza e Angela Sprenger
COORDENAÇÃO TÉCNICA
CENP – Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas
História: Paulo Miceli, Diego López Silva,
Glaydson José da Silva, Mônica Lungov Bugelli e
Raquel dos Santos Funari
Sociologia: Heloisa Helena Teixeira de Souza
Martins, Marcelo Santos Masset Lacombe,
Melissa de Mattos Pimenta e Stella Christina
Schrijnemaekers
Ciências da Natureza e suas Tecnologias
Biologia: Ghisleine Trigo Silveira, Fabíola Bovo
Mendonça, Felipe Bandoni de Oliveira, Lucilene
Aparecida Esperante Limp, Maria Augusta
Querubim Rodrigues Pereira, Olga Aguilar
Santana, Paulo Roberto da Cunha, Rodrigo
Venturoso Mendes da Silveira e Solange Soares
de Camargo
Ciências: Ghisleine Trigo Silveira, Cristina
Leite, João Carlos Miguel Tomaz Micheletti Neto,
Julio Cézar Foschini Lisbôa, Lucilene Aparecida
Esperante Limp, Maíra Batistoni e Silva, Maria
Augusta Querubim Rodrigues Pereira, Paulo
Rogério Miranda Correia, Renata Alves Ribeiro,
Ricardo Rechi Aguiar, Rosana dos Santos Jordão,
Simone Jaconetti Ydi e Yassuko Hosoume
Linguagens, Códigos e suas Tecnologias
Arte: Gisa Picosque, Mirian Celeste Martins,
Geraldo de Oliveira Suzigan, Jéssica Mami Makino
e Sayonara Pereira
Educação Física: Adalberto dos Santos Souza,
Jocimar Daolio, Luciana Venâncio, Luiz Sanches
Neto, Mauro Betti e Sérgio Roberto Silveira
LEM – Inglês: Adriana Ranelli Weigel Borges, Alzira
da Silva Shimoura, Lívia de Araújo Donnini Rodrigues,
Priscila Mayumi Hayama e Sueli Salles Fidalgo
Língua Portuguesa: Alice Vieira, Débora Mallet
Pezarim de Angelo, Eliane Aparecida de Aguiar,
José Luís Marques López Landeira e João Henrique
Nogueira Mateos
Matemática
Matemática: Nílson José Machado, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore
Mello, Roberto Perides Moisés, Rogério Ferreira da
Fonseca, Ruy César Pietropaolo e Walter Spinelli
Caderno do Gestor
Lino de Macedo, Maria Eliza Fini e
Zuleika de Felice Murrie
Equipe de Produção
Coordenação Executiva: Beatriz Scavazza
Assessores: Alex Barros, Beatriz Blay, Carla de Meira
Leite, Eliane Yambanis, Heloisa Amaral Dias de
Oliveira, José Carlos Augusto, Luiza Christov, Maria
Eloisa Pires Tavares, Paulo Eduardo Mendes, Paulo
Roberto da Cunha, Pepita Prata, Renata Elsa Stark,
Solange Wagner Locatelli e Vanessa Dias Moretti
Equipe Editorial
Coordenação Executiva: Angela Sprenger
Assessores: Denise Blanes e Luis Márcio Barbosa
Física: Luis Carlos de Menezes, Estevam
Rouxinol, Guilherme Brockington, Ivã Gurgel, Luís
Paulo de Carvalho Piassi, Marcelo de Carvalho
Bonetti, Maurício Pietrocola Pinto de Oliveira,
Maxwell Roger da Purificação Siqueira, Sonia
Salem e Yassuko Hosoume
Projeto Editorial: Zuleika de Felice Murrie
Química: Maria Eunice Ribeiro Marcondes,
Denilse Morais Zambom, Fabio Luiz de Souza,
Hebe Ribeiro da Cruz Peixoto, Isis Valença de Sousa
Santos, Luciane Hiromi Akahoshi, Maria Fernanda
Penteado Lamas e Yvone Mussa Esperidião
FDE – Fundação para o Desenvolvimento da
Educação
Edição e Produção Editorial: Edições Jogo de
Amarelinha, Conexão Editorial e Occy Design
(projeto gráfico)
APOIO
CTP, Impressão e Acabamento
Esdeva Indústria Gráfica
A Secretaria da Educação do Estado de São Paulo autoriza a reprodução do conteúdo do material de sua titularidade pelas demais
secretarias de educação do país, desde que mantida a integridade da obra e dos créditos, ressaltando que direitos autorais protegidos*
deverão ser diretamente negociados com seus próprios titulares, sob pena de infração aos artigos da Lei nº 9.610/98.
* Constituem “direitos autorais protegidos” todas e quaisquer obras de terceiros reproduzidas no material da SEE-SP que não
estejam em domínio público nos termos do artigo 41 da Lei de Direitos Autorais.
Catalogação na Fonte: Centro de Referência em Educação Mario Covas
S239c
São Paulo (Estado) Secretaria da Educação.
Caderno do professor: matemática, ensino médio - 1ª- série, volume 3 /
Secretaria da Educação; coordenação geral, Maria Inês Fini; equipe, Carlos
Eduardo de Souza Campos Granja, José Luiz Pastore Mello, Nílson José
Machado, Roberto Perides Moisés, Walter Spinelli.– São Paulo : SEE, 2009.
ISBN 978-85-7849-360-8
1. Matemática 2. Ensino Médio 3. Estudo e ensino I. Fini, Maria Inês.
II. Granja, Carlos Eduardo de Souza Campos. III. Mello, José Luiz Pastore.
IV. Machado, Nílson José. V. Moisés, Roberto Perides. VI. Spinelli, Walter.
VII. Título.
CDU: 373.5:51
Caras professoras e caros professores,
Tenho a grata satisfação de entregar-lhes o volume 3 dos Cadernos do Professor.
Vocês constatarão que as excelentes críticas e sugestões recebidas dos profissionais da rede estão incorporadas ao novo texto do currículo. A partir dessas
mesmas sugestões, também organizamos e produzimos os Cadernos do Aluno.
Recebemos informações constantes acerca do grande esforço que tem caracterizado as ações de professoras, professores e especialistas de nossa rede para
promover mais aprendizagem aos alunos.
A equipe da Secretaria segue muito motivada para apoiá-los, mobilizando
todos os recursos possíveis para garantir-lhes melhores condições de trabalho.
Contamos mais uma vez com a colaboração de vocês.
Paulo Renato Souza
Secretário da Educação do Estado de São Paulo
Sumário
São Paulo faz escola – Uma proposta curricular para o Estado
Ficha do Caderno
5
7
Orientação geral sobre os Cadernos
Situações de Aprendizagem
8
11
Situação de Aprendizagem 1 – As potências e o crescimento/decrescimento
exponencial: a função exponencial 11
Situação de Aprendizagem 2 – Quando o expoente é a questão, o logaritmo é a
solução: a força da ideia de logaritmo 19
Situação de Aprendizagem 3 – As funções com variável no expoente: a exponencial
e sua inversa, a logarítmica 36
Situação de Aprendizagem 4 – As múltiplas faces das potências e dos logaritmos:
problemas envolvendo equações e inequações em diferentes contextos 43
Orientações para Recuperação
52
Recursos para ampliar a perspectiva do professor e do aluno
para a compreensão do tema 54
Considerações finais
55
Conteúdos de Matemática por série/bimestre do Ensino Médio
56
SãO PAUlO FAz ESCOlA – UMA PROPOStA
CURRiCUlAR PARA O EStAdO
Prezado(a) professor(a),
É com muita satisfação que lhe entregamos mais um volume dos Cadernos do Professor,
parte integrante da Proposta Curricular de 5ª- a 8ª- séries do Ensino Fundamental – Ciclo II e
do Ensino Médio do Estado de São Paulo. É sempre oportuno relembrar que esta é a nova
versão, que traz também a sua autoria, uma vez que inclui as sugestões e críticas recebidas
após a implantação da Proposta.
É também necessário relembrar que os Cadernos do Professor espelharam-se, de forma
objetiva, na Base Curricular, referência comum a todas as escolas da rede estadual, e deram
origem à produção dos Cadernos dos Alunos, justa reivindicação de professores, pais e famílias para que nossas crianças e jovens possuíssem registros acadêmicos pessoais mais organizados e para que o tempo de trabalho em sala de aula pudesse ser melhor aproveitado.
Já temos as primeiras notícias sobre o sucesso do uso dos dois Cadernos em sala de
aula. Este mérito é, sem dúvida, de todos os profissionais da nossa rede, especialmente seu,
professor!
O objetivo dos Cadernos sempre será o de apoiar os professores em suas práticas de
sala de aula. Podemos dizer que este objetivo está sendo alcançado, porque os professores
da rede pública do Estado de São Paulo fizeram dos Cadernos um instrumento pedagógico
com bons resultados.
Ao entregar a você estes novos volumes, reiteramos nossa confiança no seu trabalho e
contamos mais uma vez com seu entusiasmo e dedicação para que todas as crianças e jovens da nossa rede possam ter acesso a uma educação básica de qualidade cada vez maior.
Maria Inês Fini
Coordenadora Geral
Projeto São Paulo Faz Escola
5
6
FiChA dO CAdERnO
Expoentes e logaritmos: uma linguagem adequada para a compreensão
do crescimento ou decrescimento exponencial
nome da disciplina:
Matemática
área:
Matemática
Etapa da educação básica:
Ensino Médio
Série:
1a
Volume:
3
temas e conteúdos:
As potências e o crescimento/decrescimento
exponencial: a função exponencial
Quando o expoente é a questão, o logaritmo
é a solução: a força da ideia de logaritmo
As funções com variável no expoente: a exponencial e sua inversa, a logarítmica
Problemas envolvendo expoentes e logaritmos
em diferentes contextos: equações e inequações
7
ORiEntAÇãO gERAl SObRE OS CAdERnOS
Os temas escolhidos para compor o
conteúdo disciplinar de cada bimestre não se
afastam, de maneira geral, do que é usualmente ensinado nas escolas ou do que é apresentado pelos livros didáticos. As inovações
pretendidas referem-se à forma de abordagem, sugerida ao longo dos Cadernos de cada
um dos bimestres. Em tal abordagem, busca-se
evidenciar os princípios norteadores do presente currículo, destacando-se a contextualização dos conteúdos, as competências pessoais
envolvidas, especialmente as relacionadas
com a leitura e a escrita matemática, bem
como os elementos culturais internos e externos à Matemática.
Em todos os Cadernos, os conteúdos estão organizados em oito unidades de extensão aproximadamente igual, que podem corresponder a oito semanas de trabalho letivo.
De acordo com o número de aulas disponíveis por semana, o professor explorará cada
assunto com mais ou menos aprofundamento. A critério do professor, em cada Situação
específica, o tema correspondente a uma das
unidades pode ser estendido para mais de uma
semana, enquanto o de outra unidade pode
ser tratado de modo mais simplificado.
É desejável que o professor tente contemplar as oito unidades, uma vez que, juntas,
compõem um panorama do conteúdo do
bimestre e, muitas vezes, uma das unidades
contribui para a compreensão das outras.
Insistimos, no entanto, no fato de que somente
8
o professor, em sua circunstância particular
e levando em consideração seu interesse e o
de seus alunos pelos temas apresentados,
pode determinar adequadamente quanto tempo
dedicar a cada uma das unidades.
Ao longo dos Cadernos, são apresentadas,
além de uma visão panorâmica do conteúdo
do bimestre, quatro Situações de Aprendizagem (1, 2, 3 e 4), que pretendem ilustrar a forma de abordagem sugerida, instrumentando
o professor para sua ação em sala de aula. As
Situações de Aprendizagem são independentes e podem ser exploradas pelo professor com
mais ou menos intensidade, segundo seu interesse e de sua classe. Naturalmente, em razão
das limitações no espaço dos Cadernos, nem
todas as unidades foram contempladas com
Situações de Aprendizagem, mas a expectativa
é que a forma de abordagem dos temas seja explicitada nas que foram oferecidas.
São apresentados também, em cada Caderno, sempre que possível, materiais de apoio
(textos, softwares, sites, vídeos, entre outros)
em sintonia com a forma de abordagem proposta, que podem ser utilizados pelo professor
para o enriquecimento de suas aulas.
Compõem o Caderno, ainda, algumas considerações sobre a avaliação a ser realizada,
bem como o conteúdo considerado indispensável ao desenvolvimento das competências
esperadas no presente bimestre em cada Situação de Aprendizagem apresentada.
Matemática – 1ª- série – Volume 3
Conteúdos básicos do bimestre
O conteúdo básico do 3o bimestre da 1a série é a ideia de crescimento ou decrescimento
exponencial, com a consolidação da linguagem das potências e a introdução da ideia
de logaritmo.
As potências já foram apresentadas aos
alunos no Ensino Fundamental (na 5a série, as
primeiras noções; na 7a série, as potências com
expoentes inteiros; na 8a série, expoentes racionais e reais). Trata-se, agora, de consolidar
seu significado, sintetizando os fatos conhecidos na apresentação da função exponencial,
com destaque para sua forma peculiar de crescimento ou decrescimento.
Já os logaritmos, uma invenção genial do início do século XVII, cuja motivação primeira era
a simplificação dos cálculos em uma época de
limitados instrumentos para tal, a despeito
da abundância de recursos atuais, permanecem
como um tema especialmente relevante, não
em razão de tais simplificações, mas pela sua
adequação para a descrição de fenômenos em
que as variáveis aparecem no expoente. Apresentar seu significado mais profundo, o que
contribuiu para que sua importância se conservasse, juntamente com as propriedades mais
relevantes para seu uso em diferentes contextos,
é um dos objetivos do bimestre. De modo análogo ao utilizado com a função exponencial, a
apresentação da função logarítmica significará
o coroamento das informações amealhadas
sobre logaritmos.
Naturalmente, buscaremos uma articulação entre as funções exponencial e logarítmica, uma vez que o que as distingue é apenas
uma troca de posição entre as variáveis:
f se y = ax, considerando x a variável independente, escrevemos y = f(x) = ax, e temos
uma função exponencial;
f quando y é a variável independente, escrevemos x = g(y) = loga y, e temos uma função logarítmica.
Ou seja, as funções exponencial e logarítmica são inversas uma da outra.
Ao longo de todo o bimestre, serão apresentadas diversas situações concretas envolvendo exponenciais e logaritmos, incluindo
escalas logarítmicas (papéis logarítmicos) para
a construção de gráficos, o que possibilita a linearização de gráficos de funções não lineares.
É muito importante que o professor conheça
as diversas contextualizações dos logaritmos
(graus de terremotos, acidez de líquidos, intensidade sonora, magnitude de estrelas, cálculo
de juros, etc.) como possibilidades de enriquecimento de seu curso, e não como uma obrigação de tratar todas elas em suas aulas, o que
provavelmente não será possível, em razão do
tempo disponível.
Para a organização dos trabalhos ao longo
do bimestre, as atividades são distribuídas em
oito unidades, associadas à proposta de quatro Situações de Aprendizagem, conforme a
sugestão a seguir:
9
Quadro geral de conteúdos do 3º– bimestre da 1ª– série do Ensino Médio
Unidade 1 – Consolidação da ideia de potência – significado e operações com expoentes
inteiros, racionais e reais.
Unidade 2 – A função exponencial – crescimento, decrescimento e gráficos.
Unidade 3 – A ideia de logaritmo – uma ideia brilhante do século XVII cada vez mais importante no século XXI.
Unidade 4 – Propriedades dos logaritmos – logaritmos em diferentes bases.
Unidade 5 – Logaritmos em diferentes contextos: acidez, escala Richter e decibéis.
Unidade 6 – As funções com variável no expoente: a exponencial e sua inversa, a logarítmica.
Unidade 7 – Problemas envolvendo expoentes e logaritmos em diferentes contextos – equações e inequações.
Unidade 8 – Uma aplicação importante: o uso de gráficos com escala logarítmica.
10
Matemática – 1ª- série – Volume 3
SitUAÇõES dE APREndizAgEM
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
AS POTÊNCIAS E O CRESCIMENTO/DECRESCIMENTO
EXPONENCIAL: A FUNÇÃO EXPONENCIAL
A ideia de potenciação como um recurso
para representar um produto em que os fatores são iguais já é conhecida pelos alunos
desde o Ensino Fundamental, assim como as
extensões de tal noção para o caso em que os
expoentes são negativos, racionais, ou mesmo irracionais.
O objetivo desta Situação de Aprendizagem é consolidar tais noções, na apresentação da função exponencial y = ax, ou
f(x) = ax, sendo a base a um número positivo e diferente de 1. Assim como as funções
f(x) = ax + b constituem um padrão para
o estudo dos fenômenos lineares, em que o
crescimento ou decrescimento acontece a taxas constantes, as funções exponenciais constituirão um novo padrão para a descrição e a
compreensão de uma nova classe de fenômenos, de natureza não linear.
Ao estudar tais funções, os alunos estarão
ampliando consideravelmente sua capacidade
de expressão e de modelagem de diversos fenômenos naturais, o que favorecerá uma compreensão mais ampla nos diversos contextos
em que eles surgem.
Sugere-se que o professor utilize duas semanas na consolidação dessa ideia de potência e apresentação da função exponencial.
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: significado da potenciação com expoentes naturais, inteiros, racionais e reais; função exponencial, com a construção de seu gráfico e o destaque para suas
propriedades relativas ao crescimento e decrescimento; funções exponenciais em diferentes contextos.
Competências e habilidades: expressar e modelar diversos fenômenos naturais envolvendo
potências, compreendendo-os nos diversos contextos em que eles surgem; enfrentar e resolver situações-problema envolvendo expoentes e funções exponenciais.
Estratégias: articulação das noções sobre potências já estudadas em séries anteriores;
destaque de alguns fatos fundamentais, considerados especialmente importantes para a
compreen são da natureza da função exponencial; apresentação de exemplos ilustrativos
e proposição de exercícios exemplares.
11
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 1
Antes de iniciar o estudo das funções exponenciais, é importante que o professor proponha
uma revisão dos conhecimentos sobre potências já apresentados no Ensino Fundamental.
Nesta Situação de Aprendizagem, partindo-se
de uma situação concreta, serão destacados
apenas fatos fundamentais para a compreensão da natureza da função exponencial.
Alguns fatos fundamentais sobre potências
Suponhamos que no país X a produção de
determinado alimento foi igual a 1 tonelada
no final do ano 2000 e, em razão de incentivos
econômicos, passou a triplicar anualmente a
partir daí. Conforme ilustra a tabela a seguir:
Ano
Produção P
(em toneladas)
Potência
correspondente
2000
1
30
2001
3
31
2002
9
32
2003
27
33
2004
81
34
2005
243
35
2006
729
36
2007
2 187
37
2008
6 561
38
2009
19 683
39
...
...
...
2015
14 348 907
3
2000 + n
12
15
3
n
A regularidade da multiplicação pelo fator 3,
a cada ano, conduz naturalmente à representação da produção correspondente de modo
simplificado, por meio de uma potência de 3:
n anos após o ano 2000, o valor da produção P
será 3n toneladas.
Ao iniciarmos o estudo das potências, os
valores atribuídos ao expoente n somente podiam ser números naturais: em an, n representava o número de fatores a, presentes no cálculo
indicado. A partir daí, propriedades como
am . an = am + n e am ÷ an = am – n pareciam naturais, contando-se o número de fatores resultantes ao efetuar as operações indicadas.
Posteriormente, observou-se que, excluindo-se o caso em que a = 0, a notação an poderia ser estendida para o expoente 0 e para os
expoentes negativos, uma vez que:
a0 =
1
a0
an
−n
0−n
e
a
=
a
=
= n,
=
1
n
n
a
a
a
para todo n natural.
Mais adiante, ao tratar dos números racionais, as potências de expoente racional
também foram consideradas: no caso da tabela inicialmente apresentada, calcular 30,5,
por exemplo, significaria estimar a produção
do alimento na metade do ano de 2001, ou
seja, 0,5 ano após o momento em que a produção começou a triplicar ano a ano. Uma
interpretação natural para 30,5, portanto, foi
a seguinte:
0,5
0,5
0,5 + 0,5
f como se espera que 3 . 3 seja igual a 3
1
0,5
,
ou seja, 3 , segue daí que 3 é uma nova ma1
neira de escrever
3 , ou seja, 30 ,5 = 32 = 3 .
Matemática – 1ª- série – Volume 3
Dessa maneira, 31,5 representaria a produção no meio do ano, entre 2001 e 2002, e
3
1,5
1
0 ,5
teríamos: 3 = 3 2 = 3 . 3 = 3 3 .
De forma análoga ao procedimento realiza1
Naturalmente, qualquer número irracional, como 2, pode ser aproximado, por falta
ou por excesso, a um número racional, sendo
que a aproximação sempre pode ser melhorada, se desejarmos:
do para a n , sendo n natural e a > 0, resulta que:
1
n
1
n
1
n
1
n
a . a . a . ... a = a
n.
1
n
1
n
= a , ou seja, a = a
1
n
Aproximação
por falta
Raiz
quadrada
de 2
Aproximação
por excesso
1,4
2
1,5
1,41
2
1,42
1,414
2
1,415
1,4142
2
1,4143
1,41421
2
1,41422
1,414213
2
1,414214
1,4142135
2
1,4142136
n fatores iguais
A restrição a > 0 é necessária para nos
resguardar dos casos em que o índice n
da raiz é par, uma vez que, como sabemos,
no conjunto dos números reais não existem raízes quadradas, ou quartas, ou sextas, etc. de números negativos.
De modo geral, portanto, para m e n natum
n
rais, sendo a potência a , temos a convenção:
mm
(( ))
mm
 1 1
aa == aan n == n naa == n naamm
mm
nn
(a > 0)
Na tabela apresentada anteriormente, por
exemplo, para calcular o valor da produção
em 4,25 anos (ou seja, quatro anos e três meses) após o início do processo, teríamos:
17
P = 34,25 = 3 4 = 4 317 ≅
106, 60 toneladas
(usando-se uma calculadora científica).
Para complementar esse percurso com as
potências, registremos que é possível calcular
os valores de 3x mesmo que x não seja um número racional. Consideremos, por exemplo, o
caso em que x = 2 . Como se pode interpretar a potência 3 2 ?
Cada um dos números nas colunas da
esquerda ou da direita é racional, podendo
m
ser escrito na forma , com m e n inteiros.
n
Logo, podemos calcular a potência 3 2 por
meio de aproximações sucessivas em que os
expoentes sejam números racionais. O número 3 2 representa o valor do qual as sum
cessivas aproximações 3 n , com expoentes
racionais, aproximam-se, quando aproximamos 2 por m .
n
13
Em consequência, sendo a > 0, podemos
outro real ax, ou seja, podemos definir a função
atribuir significado para ax, para a > 0 e para
y = ax, ou seja, f(x) = ax. Construímos, a seguir,
todo número real x. Quando a = 1, as potên-
algumas tabelas com diversos valores de x
cias são todas iguais a 1; sendo a > 0 e a ≠ 1,
e os correspondentes valores de f(x), para al-
então, a cada número real x corresponde um
guns valores de a:
1
2
1
3
x
x
2
3
1
2
3
1
2
2
2
2 =4
3 =9
1
1
  =
2
4
1
1
  =
3
9
3
3
2 =8
3 = 27
1
1
  =
2
8
1
1
  =
3
27
0
0
2 =1
3 =1
1
  =1
2
1
  =1
3
3
x
2
2
3
3
0
2 −3 =
1 1
=
23 8
0
3−3 =
1
 
2
1
1
=
3
3
27
1
1
2
1
2
1
2
2 = 2 ≅ 1, 41 3 = 3 ≅ 1, 73
−3
= 23 = 8
1
1
⎛1⎞2
=
≅ 0, 71
⎜ ⎟ =
2
2
⎝2⎠
Podemos observar que:
f quando x aumenta uma unidade, a partir
de qualquer valor, ax é multiplicado por a.
De fato, ax + 1 = ax . a, ou seja, para cada
unidade a mais no valor de x, o valor de ax
crescerá ou decrescerá, dependendo apenas
do valor de a;
14
x
x
1
3
2
3
0
1
 
3
−3
= 33 = 27
1
1
1
⎛1⎞ 2
=
≅ 0, 58
⎜ ⎟ =
3
3
⎝3⎠
f sendo a > 1, quando o valor de x aumenta, o valor de ax também aumenta, ou seja,
a função f(x) = ax é crescente;
f sendo 0 < a < 1, quando o valor de x aumenta, o valor de ax diminui, ou seja,
a função f(x) = ax é decrescente.
Matemática – 1ª- série – Volume 3
Exemplos ilustrativos
Representaremos adiante o gráfico de
f(x) = ax para diversos valores de a.
Os problemas e exercícios apresentados a seguir são exemplares, pois envolvem conceitos e
procedimentos importantes referentes à função
exponencial. No entanto, nem todos constam
no Caderno do Aluno. Logo, cabe ao professor
analisar as possibilidades de tempo e o grau de
interesse dos seus alunos para propô-los à classe.
Exemplo 1 – Vamos esboçar os gráficos das
funções exponenciais a seguir, observando o
crescimento ou o decrescimento em cada caso:
1
b) y =  
2
a) y = 2x
1
y= 
2
Exemplo 3 – Considerando a função exponenx
1
1
cial f(x) =   e notando que = 2 −1 , podemos
2
 
x
2
1
(–1)x
escrever: f(x) =  2  = 2 = 2–x. De modo ge 
1
ral, sendo 0 < a < 1, então > 1 , ou seja, toda
a
função exponencial f(x) = ax decrescente pode
−x
1
ser representada na forma f(x) =   . Obsera
vemos tal fato no gráfico a seguir:
y = 2–x
y = 3–x y = 5–x
y = 5x y = 3x
y = 2x
x
Exercícios exemplares
x
Exercício 1
y = 2x
Uma população n de micróbios cresce
exponencialmente de acordo com a expressão
N = 5 000 . 3t (t em horas).
Exemplo 2 – Esbocemos, no mesmo sistema de eixos, os gráficos de:
x
1
x
b) y =  
a) y = 3
3
Observando o crescimento ou o decrescimento em cada caso.
1
y= 
3
a) Indique e calcule o valor de n para os seguintes valores de t:
I) t = 2 h
II) t = 0,5 h
 2
III) t =   h
3
IV) t = 1,25 h
Calculando os valores de N, temos:
I) N = 5 000 . 32 = 5 000 . 9 =
= 45 000 micróbios;
x
y = 3x
II) N = 5 000 . 30,5 = 5 000 . 3 ≅
≅ 5 000 . 1,732 = 8 660 micróbios;
2
3 2
III) N = 5 000 . 3 3 = 5 000 . 3 ≅
≅ 5 000 . 2,080 = 10 400 micróbios;
5
x
IV) N = 5 000 . 31,25 = 5 000 . 3 4 ≅
≅ 5 000 . 3,948 = 19 740 micróbios.
15
b) Esboce o gráfico de n como função de t:
N = f(t).
O gráfico de N = f(t) = 5 000 . 3t é como
o gráfico de y = 3t, sendo cada ordenada y
multiplicada por 5 000:
N = 5 000 . 3t
Calculando a potência 1,504, obtemos:
4
4
 3
3
81
1,50 =   = 4 =
16
2
 2
4
Segue que P0 = 162 000 .
16
= 32 000.
81
b) Qual é a produção estimada para o ano de
2010?
A produção estimada para o ano de 2010 é
P(10) = 32 000 . 1,5010 = 32 000 .
≅ 1 845 281 automóveis.
Exercício 2
Em determinado país X, a produção de
automóveis cresce em progressão geométrica, ano após ano, a partir do início do ano
2000, tendo aumentado 50% ao ano, desde
então. Sabendo-se que em 2004 foram produzidos 162 000 automóveis, pergunta-se:
a) Qual foi a quantidade produzida no ano
2000?
Chamando a quantidade produzida em 2000
de P0 , se a cada ano a produção aumenta
em 50%, então, a cada ano, o valor inicial
fica multiplicado por 1,50. Após t anos, o
valor da quantidade produzida P(t) será
igual a:
P(t) = P0 .(1,5)t
Sabendo-se que, em 2004, ou seja, que para
t = 4, o valor da produção foi de 162 000
automóveis, resulta que:
162 000 = P0 . 1,504, ou seja,
P0 = 162 000
4
1,50
16
310
≅
210
Exercício 3
É possível construir o gráfico de uma função do tipo f(x) = 2kx de modo análogo ao de
y = 2x, quando k é positivo, ou ao de y = 2–x,
quando k é negativo. Nos dois casos, ocorrerá apenas uma mudança na escala no eixo x.
Para compreender tal fato, construa o gráfico
de cada par de funções abaixo no mesmo sistema de coordenadas:
a) y = 2x
e
y = 23x
Para construir o gráfico de y = 2x e de y = 23x,
podemos escrever y = (23)x = 8x. Os valores
da seguinte tabela ajudam-nos a relacionar
os dois gráficos a seguir:
x
0
1
2
3
4
–1
–2
2x
1
2
4
8
16
1
2
1
4
23x = 8x
1
8
64 512 4 096
1
8
1
64
Matemática – 1ª- série – Volume 3
y = 23x
y = 2x
 3
 5

( )
b) y = 3−x
e
d) y = 7x
y = 3−0,5x
De maneira análoga, para construir o gráfico
e
1
2
x

y ==

(
125
)
x
y = 5x
y = 7– 0,1x
Finalmente, para y = 7x e y = 7– 0,1x, temos:
x
de y = 3 e y = 3
−x
, podemos escrever:
−0,5x
 1
x
y=7
– 0,1x
x
 1
 –1 1 
10
= (7 )  =  10  , ou seja, é


 7
um gráfico do tipo y = ax com 0 < a < 1:
y = 3−x = (3−1)x =   e
 3
y = 7– 0,1x
 1 
y = 7x
x
y = 3−0,5x = ((30,5)−1)x =   .
 3
Os gráficos dessas funções são representados
desta forma:
 1
y = 3–x =  
 3
 1 
y = 3–0,5x = 
 3 
x
x
c) y = 5x
e
y = 51,5x
Para y = 5x e y = 51,5x, temos y = 51,5x =
 3
= 5

x
(
)
x

 = 125 . Este último gráfico é

x
x
 x 3 12 
do tipo y = a ,5com a = 125 ≅ 11,2.


Observe os gráficos a seguir:
( )
1
2
( )
(
)
De modo geral, dada uma constante k, o
gráfico de uma função do tipo f(x) = akx,
com a > 0 e a ≠ 1, pode ser obtido imaginando-se o gráfico de y = (ak)x. Dependendo do
valor de k, a função poderá ser crescente ou
decrescente. Sendo a > 1, quando k é positivo, a função é crescente; quando k é negativo,
a função é decrescente.
Exercício 4
A população n de determinado município
cresce exponencialmente, desde a sua fundação há 20 anos, de acordo com a expressão
N = 3 000 .100,1t, sendo t em anos. Calcule:
17
a) O valor de n quando o município foi fundado (t = 0).
Quando foi fundado, o município tinha uma
população N0 = 3 000 . 100 = 3 000.
b) O valor de n dez anos após a fundação.
Dez anos após a fundação, a população era
igual a:
N10 = 3 000 . 100,1.10 = 3 000 . 10 = 30 000.
c) O valor de n nos dias atuais.
O valor de N nos dias atuais (t = 20) é igual a
N20 = 3 000 . 100,1.20 = 3 000 . 102 = 300 000
de habitantes.
d) Depois de quanto tempo, após a fundação,
a população atingirá a marca de 3 000 000
de habitantes, se o ritmo de crescimento
continuar assim.
Para termos N = 3 000 000, devemos ter:
3 000 000 = 3 000 . 100,1t, ou seja,
100,1t = 1 000, de onde obtemos 0,1 t = 3,
portanto, t = 30 anos.
e) Depois de quanto tempo, após a fundação,
o valor de n atingirá 600 000.
Para calcular depois de quantos anos a
população atingirá 600 000, devemos ter:
600 000 = 3 000 . 100,1t, ou seja, 100,1t = 200.
Precisamos saber, então, qual o expoente
da potência de 10 que seria igual a 200.
Sabemos que 102 = 100 e que 103 = 1 000.
18
Deve haver um número n, entre 2 e 3, tal que
10 n = 200. Somente descobrindo que número
é esse podemos completar os cálculos, pois
igualando o expoente de 10 a esse número n,
teremos: 0,1t = n, e então, t = 10 n. O número
n tal que 10n = 200 é aproximadamente
igual a 2,30 e o valor de t correspondente
é 23 anos. Para calcular números como
esses, estudaremos os logaritmos nas próximas unidades.
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem,
a expectativa é que os alunos tenham consolidado a noção e o cálculo de potências de
expoente real, sintetizando tal conhecimento
por meio da construção do gráfico da função exponencial y = ax, com a > 0 e a ≠ 1,
reconhecendo tratar-se de uma função crescente quando a > 1, ou decrescente quando
0 < a < 1. Também se espera que os alunos
tenham certa familiaridade com os gráficos de
funções da forma y = y0.akx, em que y0 e k são
constantes, bem como com cálculos envolvendo
potências em situações práticas, em diferentes
contextos. Como foi explicitado inicialmente,
as primeiras noções sobre potências foram
apresentadas aos alunos já na 5a série do Ensino Fundamental. O que aqui se almeja é a
consolidação de tais noções em contextos significativos, ao mesmo tempo que se abrem as
portas para o tema da próxima Situação de
Aprendizagem: os logaritmos.
Matemática – 1ª- série – Volume 3
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
QUANDO O EXPOENTE É A QUESTÃO, O LOGARITMO É A
SOLUÇÃO: A FORÇA DA IDEIA DE LOGARITMO
Na Situação de Aprendizagem anterior,
foram exploradas as ideias de potências e de
expoentes em situações concretas nas quais o
crescimento ou decrescimento nada tinha de
linear ou uniforme. Vimos que, quando uma
grandeza y varia exponencialmente com outra grandeza x, ou seja, quando y = ax, o crescimento ou decrescimento de y, quando x
aumenta, ocorre de modo muito mais acentuado: para cada unidade a mais no expoente, o
valor final de y é multiplicado por a. Isso significa, em outras palavras, que a cada unidade a
mais no expoente, o resultado final das potências é multiplicado por a. Em outras palavras,
se os expoentes constituem uma progressão
aritmética de razão 1, as potências constituem
uma progressão geométrica de razão igual a
a. Atribuindo arbitrariamente valores ao expoente x, podemos determinar os valores da
potência y = ax.
Nesta Situação, continuaremos a explorar
tal vertente, com uma simples e fundamental
diferença: agora, estaremos interessados em
determinar o valor do expoente x para valores arbitrariamente atribuídos à potência
y = ax. Trata-se de um prolongamento natural
do estudo das potências, e os expoentes a serem
determinados serão chamados de logaritmos.
Aprender a operar com tais expoentes quando
eles constituem a variável dependente é o tema
que agora se apresenta.
Compreender e explorar as propriedades
dos logaritmos, como veremos, não passa de
seu reconhecimento como expoentes de potências, nos cálculos já conhecidos. Sem dúvida, a linguagem dos logaritmos amplifica
muito a competência leitora: trata-se da leitura e da compreensão de uma extensa classe de
fenômenos, associados ao crescimento ou ao
decrescimento exponencial.
Sugere-se que o professor utilize três semanas de atividades na apresentação inicial dos
logaritmos. Posteriormente, nas Situações de
Aprendizagem 3 e 4, os alunos terão contato
mais específico com a temática.
tempo previsto: 3 semanas.
Conteúdos e temas: logaritmo como expoente, sua importância na representação de números
muito grandes ou muito pequenos, bem como na realização dos cálculos inversos aos da potenciação; as propriedades dos logaritmos, correspondentes às propriedades similares da potenciação; noção de logaritmo em diferentes contextos.
Competências e habilidades: ler e compreender a classe de fenômenos associados ao crescimento ou decrescimento exponencial; enfrentar e resolver situações-problema contextualizadas
envolvendo logaritmos.
Estratégias: apresentação das propriedades dos logaritmos e da função logarítmica; proposição de exemplos ilustrativos e exercícios exemplares.
19
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 2
Como na atividade anterior, partiremos de
uma situação concreta em que os logaritmos
surgirão de modo natural. A partir daí, serão
apresentadas paulatinamente suas propriedades, que serão enfeixadas, ao final, por meio
da função logarítmica. Exemplos ilustrativos
e exercícios exemplares servirão de indicadores da natureza das atividades a serem desenvolvidas em classe.
A ideia de logaritmo: mais viva e
importante do que nunca
Os logaritmos foram criados no início do
século XVII, com o objetivo de simplificar
cálculos. Comparada com o período atual,
aquela era uma época com poucos recursos
tecnológicos, em que os cálculos eram realizados com instrumentos parcos e muito trabalhosos, sobretudo os referentes à navegação.
Quando surgiram, essa era a principal característica e a grande vantagem dos logaritmos
era simplificar os cálculos, de um modo facilmente compreensível.
Hoje, no entanto, existem muitos instrumentos disponíveis para efetuar os mais intrincados cálculos: das calculadoras eletrônicas
aos computadores com preços cada vez mais
acessíveis. Para que, então, estudar logaritmos?
A história da Matemática, no entanto, revela-nos uma especial surpresa quando o assunto é logaritmo. A despeito de seu enorme
sucesso no século XVII, hoje, em pleno século XXI, os logaritmos são mais importantes
20
do que o foram no momento de sua criação. Já
não precisamos mais deles para simplificar os
cálculos, mas seu significado e a força de sua
linguagem tornaram-se fundamentais para a
expressão e a compreensão de fenômenos em
diferentes contextos, alguns deles surgidos
em pleno século XX: nas medidas da intensidade sonora, da energia destruidora dos terremotos, do índice de acidez de um líquido, da
rapidez com que uma substância radioativa se
desintegra, etc. Sem dúvida, hoje, mais do que
ontem, é fundamental aprender logaritmos.
Para iniciar nosso percurso na aprendizagem dos logaritmos, retornaremos, no entanto, à problemática inicial: a simplificação
dos cálculos.
Simplificação de cálculos: uma ideia
brilhante do século XVii
Para compreender o significado dos logaritmos quando surgiram, imaginemos a seguinte situação: temos que calcular o valor de
E indicado na expressão a seguir:
E = 5
)
381,5 ⋅ ( 20,87 ⋅ ( 4 182
3
(7, 935)
)
4
2
Para realizar as operações indicadas sem
dispor de uma calculadora, o trabalho braçal é
imenso. Uma simplificação muito interessante
foi elaborada por alguns matemáticos no início
do século XVII, entre os quais o inglês Henry
Briggs (1561-1630) e o escocês John Napier
(1550-1617). Cada um propôs uma alternativa a seu modo, mas a ideia central subjacente
era a seguinte:
Matemática – 1ª- série – Volume 3
f é possível escrever qualquer número positin
vo n como uma potência de 10: n = 10 ;
f assim procedendo, o cálculo de uma multiplicação se transforma no cálculo de uma adição (dos expoentes); o cálculo de uma divisão
se transforma no cálculo de uma subtração (dos expoentes); o cálculo de uma raiz
se transforma no cálculo de uma divisão
(do expoente pelo índice da raiz), e assim
por diante.
Na expressão E apresentada anteriormente, se pudermos escrever:
n
Pois bem, quando escrevemos N = 10 e
nos preparamos para simplificar, daqui para
frente, os cálculos envolvendo tal número, estamos entrando na seara dos logaritmos.
n
Se N = 10 , então o expoente n é chamado
“logaritmo de N”: n = log N.
Exemplo ilustrativo
Para uma familiarização com a linguagem,
calculemos os logaritmos de alguns números.
a) Sendo N = 100 = 102,
então o logaritmo de n é 2:
log 100 = 2.
b) Sendo N = 1 000 = 103,
então o logaritmo de n é 3:
log 1 000 = 3.
381,5 = 10a
20,87 = 10b
4182 = 10c
7,935 = 10d
Então, conhecendo os valores de a, b, c e d, e
usando apenas propriedades da potenciação, podemos afirmar que o valor da expressão E será:
(a + 3b + 4c – 2d )
E = 10
5
A chave da questão é a representação de
n
qualquer número positivo n como 10 , o que
é fácil quando se tem n igual a 10, 100, 1 000,
10 000, etc., mas já não parece tão simples
para valores de n como 2, 17, 537 , 30, 200
ou 1 932,5, por exemplo.
Não é simples, mas é possível, e esse é o
grande mérito dos matemáticos que investiram nesse terreno. A possibilidade de se esn
crever n como 10 é equivalente à afirmação
de que é possível calcular o valor da potência
x
10 para qualquer número real x, e não apenas
para os valores inteiros de x.
c) Sendo N = 10 = 101,
então o logaritmo de n é 1:
log 10 = 1.
d) Sendo N = 1 = 100,
então o logaritmo de n é igual a 0:
log 1 = 0.
1
2
e) Sendo N = 10 = 10 ,
1
então o logaritmo de n é :
2
1
log 10 = .
2
f) Sendo N = 0,01 = 10−2,
então o logaritmo de n é –2:
log 0,01 = –2.
g) Sendo N = 13, como 101 < 13 < 102,
então o logaritmo de n é um número n
tal que 1 < n < 2:
1 < log 13 < 2.
h) Sendo N = 751, como 102 < 751 < 103,
então o logaritmo de n é um número n
tal que 2 < n < 3:
2 < log 751 < 3.
21
i) Sendo N = 3,22, como 100 < 3,22 < 101,
então o logaritmo de n é um número n tal
que 0 < n < 1 : 0 < log 3,22 < 1.
j) Sendo n menor ou igual a zero, então n
n
não tem logaritmo, pois 10 é sempre positivo, para todo n.
tabelas de logaritmos
Para facilitar os cálculos, tal como era sugerido pelos criadores dos logaritmos, foram
criadas longas tabelas contendo uma lista dos
valores de n e do logaritmo correspondente,
representado por log n. Tais tabelas (tábuas
de logaritmos) eram disponibilizadas para os
calculadores e constituíram algo que se assemelha aos modernos softwares de hoje.
22
n (n = 10n)
n (n = log n)
10 000
4
6 000
3,77815
3 000
3,47712
2 000
3,30103
1 000
3
600
2,77815
300
2,47712
200
2,30103
100
2
60
1,77815
30
1,47712
20
1,30103
10
1
6
0,77815
3
0,47712
2
0,30103
1
0
Os valores apresentados foram escolhidos
como exemplos, mas são sugestivos de certas regularidades existentes em uma tabela
de logaritmos.
3 000
Por exemplo, como a razão
é igual a 10,
300
a diferença entre seus logaritmos deve ser igual
a 1, ou seja, eles têm a mesma parte decimal,
diferindo apenas na parte inteira. O mesmo
acontece com os logaritmos de 300, de 30 e de 3.
Também notamos que, como 6 = 2 . 3,
então: log 6 = log 2 + log 3 = 0,30103 + 0,47712 =
= 0,77815.
Outras regularidades podem ser ainda observadas na tabela.
Fatos assim constituem indícios de que não
é necessário colocar na tabela os logaritmos
de todos os números, o que seria impossível.
Tabelando-se os logaritmos de alguns números, como os naturais de 1 a 10 000, os demais
podem ser calculados aproximadamente a
partir deles.
Dispondo de uma tabela como a indicada anteriormente, para calcular o valor da expressão E já
citada, o procedimento poderia ser o seguinte:
f localizamos os números 381,5; 20,87; 4 182
e 7,935 na coluna n da tabela e determinamos os valores de a, b, c e d na coluna
dos logaritmos;
f efetuamos os cálculos sobre os valores de
a, b, c e d, obtendo o valor do expoente,
que é o logaritmo de E;
f localizamos tal expoente de E na coluna
dos logaritmos e identificamos o número E
que lhe corresponde na coluna n.
Matemática – 1ª- série – Volume 3
Observações sobre a tabela de logaritmos,
(ou tábua de logaritmos):
f assim, com paciência, as lacunas entre as potências inteiras podem ser preenchidas.
1. Naturalmente, se na tabela aparecem apenas os números naturais de 1 a 10 000, não
vamos encontrar 381,5. Entretanto, sabemos que seu logaritmo situa-se entre 2 e 3
e que sua parte decimal é a mesma de 3 815,
assim, determinamos o logaritmo de 381,5.
Reiteramos, no entanto, que as tábuas de
logaritmos são um instrumento de importância histórica, mas sem interesse no presente,
uma vez que dispomos de muitos outros instrumentos para calcular logaritmos.
2. A construção de uma tabela é um processo longo e trabalhoso. Os logaritmos dos
números que não são potências inteiras da
base são números irracionais e, na prática,
são expressos em termos aproximados, com
um número fixo de casas decimais. Apenas
para se ter uma ideia inicial de como os cálculos poderiam ser feitos, sugerimos que o
professor mostre aos alunos algumas estratégias de cálculo aproximado, no caso dos
logaritmos decimais. Uma delas pode ser
a seguinte:
f o logaritmo de 1 é 0;
f o logaritmo de 10 é 1;
f para preencher as lacunas entre 1 e 10, podemos extrair a raiz quadrada de 10;
1
f como 10 = 10 2 , segue que log 10 = 0,5;
f extraindo a raiz quadrada da raiz quadrada de 10, temos o log 4 10 = 0,25;
f de modo geral, sendo A e b dois números cujos logaritmos conhecemos, extraindo a raiz quadrada de A.b, temos:
log AB =
1
. (log A + log B);
2
Exercícios exemplares
A seguir, serão propostos alguns exercícios
que podem servir de base para o professor
explorar a ideia de logaritmo anteriormente exposta, propiciando um tempo para sua
assimilação. Ao mesmo tempo, servem de
pretexto para que sejam apresentadas as propriedades dos logaritmos, que não passam
das propriedades das potências “vestidas em
outra roupa”. Nesse primeiro momento, tratamos apenas dos logaritmos de base 10, os
logaritmos decimais. Mais adiante, tais noções
serão generalizadas para qualquer base.
Exercício 1
Existem métodos de cálculo para os logaritmos dos números que não são potências inteiras de 10. Tais valores (aproximados, pois são
números irracionais) podem ser obtidos por
meio de calculadoras, ou encontrados em tabelas de logaritmos, e estão disponíveis para o uso
de todos. Como sabemos, os números entre 1 e
10 têm logaritmos entre 0 e 1. Em uma calculadora científica, obtemos: log 2 ≅ 0,30 (ou seja,
2 ≅ 100,30) e log 3 ≅ 0,47 (ou seja, 3 ≅ 100,47).
Com base nesses valores aproximados, calcule:
23
a) log 6
b) log 9
c) log 4
d) log 12
e) log 72
f) log 3 600
d) log 12 = log (2 . 2 . 3) =
= log (100,30 . 100,30 . 100,47) = log 101,07 = 1,07.
Os itens desse exercício constituem os
primeiros usos da linguagem dos logaritmos
para expressar fatos sobre potências.
A partir dos logaritmos de alguns números,
podemos obter os logaritmos de outros,
efetuando cálculos com potências. Dados os
valores dos logaritmos de 2 e de 3, podemos
calcular os logaritmos dos números indicados.
Se log 2 ≅ 0,30 (ou seja, 2 ≅ 100,30) e log 3 ≅ 0,47
(ou seja, 3 ≅ 100,47), então:
a) log 6 = log (2 . 3) = log (100,30 . 100,47) =
= log 100,30 + 0,47 = log 100,77 = 0,77.
(Relembre: log N = n significa que
N = 10n, ou seja, log 10n = n).
b) log 9 = log (3 . 3) = log (10
= log 100,94 = 0,94.
.10
0,47
0,47
)=
c) log 4 = log (2 . 2) = log (100,30 . 10 0,30) =
= log 100,60 = 0,60.
De modo geral, repetindo procedimentos
realizados nos itens a, b e c do exercício 1, sendo A = 10a e B = 10b, podemos escrever:
log A.B = log (10a . 10b) = log 10 a + b =
= a + b = log A + log B;
no caso de A = B, podemos escrever:
log A2 = log A + log A = 2 . log A;
analogamente, sendo n um número natural qualquer, podemos concluir que
log A = n . log A
n
24
Usando a observação do item anterior,
poderíamos escrever:
log 12 = log (2 . 2 . 3) =
= log 2 + log 2 + log 3 = 0,30 + 0,30 +
+ 0,47 = 1,07.
e) log 72 = log (2 . 2 . 2 . 3 . 3) = 3 . log 2 +
+ 2 . log3 = 3 . 0,30 + 2 . 0,47 = 1,84.
f) log 3 600 = log (2 . 2 . 3 . 3 . 10 . 10)=
= 2 . log 2 + 2 . log 3 + 2 . log 10 =
= 2 . 0,30 + 2 . 0,47 + 2 . 1 = 3,54.
(Lembrar que 10 = 101; logo, temos log 10 = 1.
Notar que 103 < 3 600 < 104; logo, o logaritmo
de 3 600 na base 10 é um número entre 3 e 4).
Exercício 2
A população de certa região A cresce exponencialmente de acordo com a expressão
NA = 6 000 . 100,1t (t em anos). Em outra região b,
verifica-se que o crescimento da população
ocorre de acordo com a fórmula NB = 600 . 100,2t
(t em anos). De acordo com esses modelos de
crescimento, responda às questões a seguir:
Nesse exercício, continuamos a praticar
cálculos envolvendo potências e logaritmos.
O contexto é o da análise do crescimento da
população de duas cidades A e B, segundo os
modelos de crescimento NA = 6 000 . 100,1t e
NB = 600 . 100,2t (t em anos).
a) Qual é a população inicial de cada uma das
regiões?
A população inicial de cada região é obtida
fazendo-se t = 0: NA = 6 000 e NB = 600.
Matemática – 1ª- série – Volume 3
b) Depois de quantos anos, a partir do instante inicial, as duas regiões terão a mesma população?
As populações de A e B serão iguais quando t for
tal que 6 000 . 100,1t = 600 . 100,2t; daí concluímos
6 000 10 0 ,2t
que
= 0 ,1t , ou seja, 100,1t = 10; logo,
600
10
0,1t = 1 e t = 10 anos.
c) Qual é a população de cada uma das regiões
15 anos após o instante inicial?
3
2
(Dado: 10 ≅ 31,62)
15 anos após o instante inicial, teremos:
NA = 6 000 . 100,1.15 = 6 000 . 101,5; usando o
 3

valor aproximado fornecido 10 2 ≅ 31, 62  ,


resulta que NA = 189 720 habitantes;
NB = 600 . 100,2.15 = 600 . 103 = 600 000
habitantes.
logaritmos em qualquer base: significado
e aplicações
Já vimos que é possível escrever cada número positivo n como uma potência de 10: se
n = 10n, então n = log n.
Na verdade, pode-se escrever cada número
positivo n como uma potência de uma base a
(a > 0 e a ≠ 1) que não necessita ser igual a 10.
De modo geral, se n = an, então dizemos
que n é o logaritmo de n na base a, e escrevemos: n = loga n.
Por exemplo, como 16 = 2 , dizemos que
4 é o logaritmo de 16 na base 2, e escrevemos:
4 = log2 16.
4
Quando a base escolhida para expressar
um número n como uma potência é igual a 10,
convenciona-se que ela pode ficar subentendida;
se optarmos por outra base a, diferente de 10,
somos obrigados a registrá-la. Assim, log n representa o logaritmo de n na base 10, também
chamado de logaritmo decimal de n; já o logaritmo de n em qualquer outra base a deverá ser
escrito: loga n.
Potência
logaritmo
8 = 23
3 = log2 8
243 = 35
5 = log3 243
625 = 54
4 = log5 625
81 = 92
2 = log9 81
1
2
9 = 81
1
3 = 814
1
11 = 1212
1
=2−5
32
 1
27 =  
 3
−3
1  1
=
32  2 
 1
−5 = log 2  
 32 
−3 = log 1 27
3
5
1
3
1
= log81 9
2
1 = log 3
81
4
1
= log121 11
2
7 = 73
1
–
1
=5 2
5
 1
5 = log 1  
2  32 
1
= log 7 3 7
3
−
1
1
= log5
2
5
N = N1
1 = logN N
1 = 170
0 = log17 1
N = a7
7 = loga N
N = 13a
a = log13 N
x = 3n
n = log3 x
x = yz
z = logy x
25
Exemplo ilustrativo
Na tabela anterior são apresentados alguns
logaritmos em bases diferentes da base 10.
Observe com atenção, registrando o que muda
quando a base não é mais 10 e o que permanece invariável.
Apenas para ilustrar: o logaritmo de 1 em
qualquer base é igual a zero, e o logaritmo da
base é sempre igual a 1.
Note que, quando a base é maior do que 1,
os números maiores que a base têm logaritmos maiores que 1, e os menores que a base
têm logaritmos menores que 1. Por outro
lado, quando a base é menor que 1 (positiva,
sempre), os números maiores que a base têm
logaritmos menores que 1 e números menores
que a base têm logaritmos maiores que 1.
Note ainda que, quando a base é maior que 1,
os números maiores que 1 têm logaritmos positivos, e os menores que 1 têm logaritmos negativos.
Quando a base é menor que 1, os números maiores que 1 têm logaritmos negativos e os menores que 1 têm logaritmos positivos.
A exploração da tabela deve ser feita com
atenção e pode levar bastante tempo. As informações dela extraídas, registradas na tabela da página anterior, são fundamentais
para a construção dos gráficos da função logarítmica, que será apresentada na Situação
de Aprendizagem 3.
dos logaritmos, agora em diferentes bases.
Vamos praticar?
Exercício 3
Calcule os logaritmos indicados a seguir:
1 
a) log2128
e) log 2 

 256 
1 
f) log3 
b) log3 81

 243 
c) log13169
g) log16913
d) log5 3 125
h) log125 25
Os diversos itens exploram apenas o significado direto dos logaritmos em diferentes bases,
conforme a definição:
N = an significa que n = loga N, ou seja,
loga an = n (com a > 0 e a ≠ 1).
a) log2 128 = log2 27 = 7;
b) log3 81 = log3 34 = 4;
c) log13 169 = log13 132 = 2;
d) log5 3 125 = log5 55 = 5;
 1 
= log 2 2 – 8 = -8
–8;
e)log 2 

 256 
 1 
f) log3 
= log3 3 –5 = – 5;

243


1
1
g) logg169 113 = log169 169 2 =
2
(Poderíamos também escrever: log169 13 = n,
o que significa que 169 n = 13, ou seja, 132n = 131,
de onde sairia n = 1 );
2
h) se log125 25 = n, então 125n = 25, e segue
Exercícios exemplares
Potências e logaritmos misturam-se naturalmente em contextos práticos: afinal,
o logaritmo nada mais é que um expoente.
Seguem alguns exercícios que podem servir
de base para a assimilação da linguagem
26
que 53n = 52, ou seja, n =
2
.
3
Exercício 4
Se um número n situa-se entre an e an + 1, então
loga N situa-se entre os inteiros n e n + 1. Com
base neste fato, indique dois inteiros consecutivos
entre os quais se situam os logaritmos a seguir:
Matemática – 1ª- série – Volume 3
a) log2 52
b) log3 300
c) log7 400
d) log5 813
Você pode indicar a resposta usando a notação dos logaritmos, sem precisar calculá-los;
indique dois inteiros consecutivos entre os
quais o logaritmo se encontra.
A ideia de logaritmo, em qualquer base, traduz
o fato de que se um número N situa-se entre
an e an + 1, então loga N situa-se entre os inteiros
n e n + 1, ou seja, é sempre possível encontrar
dois inteiros que aproximam o logaritmo de
qualquer número dado, um por falta, outro por
excesso. Os exercícios apenas destacam tal fato.
a) Como 25 < 52 < 26, então 5 < log2 52 < 6.
b) Como 35 < 300 < 36, então 5 < log3 300 < 6.
c) Como 73 < 400 < 74, então 3 < log7 400 < 4.
d) Como 54 < 813 < 55, então 4 < log5 813 < 5.
Exercício 5
Uma população n de micróbios cresce
exponencialmente de acordo com a expressão
N = 5 000 . 3t, t em horas. Indique o valor de t
para o qual se tem:
a) N = 15 000
b) N = 25 000
c) N = 250 000
d) N = 350 000
e) N = 470 000
Nesse exercício, a ideia é expressar as respostas às perguntas formuladas na forma de
logaritmos, sem precisar calculá-los, apenas
reforçando a ideia de que, ao resolver equações,
os logaritmos surgem quando temos incógnitas
nos expoentes. Se a população N de micróbios
cresce exponencialmente de acordo com a expressão N = 5 000 . 3t (t em horas), temos:
a) Para N = 15 000, resulta 5 000 . 3t = 15 000,
ou seja, 3t = 3; logo, t = 1 hora.
b) Para N = 25 000, resulta 5 000 . 3t = 25 000,
ou seja, 3t = 5; logo, t = log3 5 horas.
c) Para N = 250 000, resulta 5 000 . 3t = 250 000,
ou seja, 3t = 50; logo, t = log3 50 horas (podemos dizer que 3 < t < 4).
d) Para N = 350 000, resulta 5 000 . 3t = 350 000,
ou seja, 3t = 70; logo, t = log3 70 horas (podemos dizer que 3 < t < 4).
e) Para N = 470 000, resulta 5 000 . 3t = 470 000,
ou seja, 3t = 94; logo, t = log3 94 horas (podemos dizer que 4 < t < 5).
Exercício 6
A partir de um valor inicial igual a 1 000,
certa população P1 de bactérias dobra a cada
meia hora, ou seja, P1 = 1 000 . 22t (t em horas).
Simultaneamente, partindo de um valor inicial
8 vezes maior, outra população P2 de bactérias
cresce mais lentamente que P1, dobrando de
valor a cada duas horas, ou seja, P2 = 8 000 . 20,5t
(t em horas).
Trata-se de exercício similar ao 2, já apresentado, envolvendo agora o número de bactérias de duas colônias, que dobram de tamanho
em períodos distintos. A população P1 dobra a cada 0,5 hora; logo, seu valor inicial
é multiplicado por 4 a cada hora, e temos:
P1 = 1 000 . 4t = 1 000 . 22t.
De modo análogo, P2 dobra a cada duas
horas, ou seja, seu valor inicial é multiplicado
por 2 a cada 2 horas, ou seja, é multiplicado por 2 a cada hora, e temos:
P2 = 8 000 .
( 2 ) = 8 000 . 2
t
.
0,5t
27
Pergunta-se:
a) Em que instante t as duas populações terão
o mesmo valor?
As populações terão o mesmo valor quando
1 000 . 22t = 8 000 . 20,5t, ou seja, quando
21,5t = 8 = 23; teremos, então: 1,5t = 3 e,
portanto, t = 2 horas.
b) Em que instante t a população P1 será oito
vezes maior que P2?
Teremos P1 oito vezes maior que P2 quando
1 000 . 22t = 8 . 8 000 . 20,5t. Efetuando os
cálculos, temos: 21,5t = 64 = 26; segue que
1,5t = 6 e, portanto, t = 4 horas.
c) Quais serão os valores de P1 e P2 quando t = 3?
3
(Use o valor aproximado 2 2 = 2,83.)
Quando t = 3, teremos:
P 1 = 1 000 . 2
bactérias.
1 a cada 2 horas, ou,
2
1 = 4 1 = 2–0,25
ainda, é multiplicada por
2
2
a cada hora; daí a expressão m = mo . 2–0,25t. Se
multiplicada por
2.3
= 1 000 . 2 = 64 000
6
P2 = 8 000 . 20,5 . 3 = 8 000 . 21,5 = 8 000 . 2,83 =
= 22 640 bactérias
a massa inicial era 60 g, então m = 60 . 2–0,25t.
a) Qual será a massa restante após 8 horas?
A massa restante após 8 horas será
m8 = 60 . 2 –0,25 . 8 = 60 . 2–2 =
60
= 15 g.
4
b) Após quanto tempo a massa restante será
igual a 12 g? (Utilize o valor aproximado
5 ≅ 22,32.)
A massa restante será igual a 12 g quando
tivermos 60 . 2–0,25t = 12, ou seja, 5 = 20,25.t
Utilizando o valor aproximado 5 ≅ 22,32, temos:
2,32 = 0,25t e, portanto, t = 9,28 horas.
(Poderíamos escrever a parte final da solução
da seguinte maneira: 5 = 20,25t equivale a dizer
que 0,25t = log2 5, ou seja, t = 4 . log2 5. O
valor aproximado fornecido é justamente
o logaritmo de 5 na base 2.)
3
(usando a aproximação 2 2 ≅ 2,83.)
Exercício 7
Certa substância radioativa decompõe-se de
tal forma que sua massa m reduz-se à metade do
valor inicial a cada 4 horas, ou seja, m = mo . 2–0,25t,
sendo mo o valor inicial da massa. Partindo-se de
60 g da substância, pergunta-se:
Nesse exercício, com cálculos análogos aos
anteriores, há um decrescimento na massa m
de uma substância radioativa. Se ela reduz-se
à metade a cada 4 horas, então ela é mul1
a cada 4 horas, ou seja, é
tiplicada por
2
28
logaritmos: as propriedades
fundamentais, em qualquer base
Já vimos que os logaritmos nada mais são
que expoentes; suas propriedades mais fundamentais decorrem das correspondentes propriedades das potências.
Quem afirma, por exemplo, que para multiplicar potências de mesma base, mantém-se
a base e somam-se os expoentes, ou seja, que
am . an = am + n está simultaneamente afirmando
que o expoente a que se deve elevar a base a
para se obter o produto (am . an) é igual a
Matemática – 1ª- série – Volume 3
(m + n), o que significa dizer que o logaritmo
de (am . an) é igual a (m + n). Em outras palavras, o logaritmo do produto é igual à soma
dos logaritmos dos fatores.
Podemos observar a relação entre as propriedades das potências e dos logaritmos
na tabela a seguir:
(a > 0, a ≠ 1; m, n e k naturais quaisquer)
Propriedade
Potências
M = am
n = an
logaritmos
n = loga n
m = loga M
Produto
M . N = am + n
loga (M . N) = loga M + loga N
Quociente
M
= am − n
N
 M
log a   = log a M − log a N
 N
Potência
Mk = amk
loga (Mk) = k .loga M
Raiz
1
k
m
M = Mk = a k
Tais propriedades são válidas, portanto,
qualquer que seja a base a em que estamos
calculando os logaritmos. As propriedades relativas a potências também podem ser estendidas para qualquer expoente real k.
Para a determinação dos logaritmos na
base 10, ou seja, dos logaritmos decimais, existem tabelas construídas desde o século XVII,
por meio de aproximações sucessivas. Atualmente, podemos obter os logaritmos utilizando calculadoras eletrônicas científicas.
Uma vez construída uma tabela de logaritmos para uma determinada base, por exemplo,
a base 10, podemos determinar o logaritmo
de um número n em qualquer outra base por
meio de um procedimento simples, descrito
a seguir:
f temos o logaritmo de n na base 10, que é
n
igual a n, ou seja, N = 10 ;
f queremos o logaritmo de n em outra base a,
ou seja, queremos saber o valor de m tal que
N = am;
n
f como N = 10 = am, conhecendo o logaritmo da nova base a, ou seja, sabendo o vak
lor de k tal que a = 10 , podemos escrever:
n
k
N = 10 = am = (10 )m, de onde segue que
km
10n = 10 , e, então, m =
n
;
k
f ou seja, em palavras:
logaritmo de n logaritmo de n na base 10
=
na base a
logaritmo de a na base 10
29
f em notação simbólica, temos:
log N
log a N =
log a
f com um procedimento análogo, poderíamos obter a expressão que permite a mudança de uma base conhecida a para uma
nova base b:
logaritmo de n na base a
logaritmo de n
=
na base b
logaritmo de b na base a
log b N =
log a N
log a b
Exemplo ilustrativo
Dispondo-se de uma tabela de logaritmos
decimais (base 10), para se obter uma tabela
de logaritmos na base 7, basta encontrar na
própria tabela o logaritmo decimal de 7 (que é
aproximadamente 0,845) e dividir todos os valores tabelados por esse valor. Por exemplo:
log10
1
=
= 1,183
log 7 0, 845
log 7 10 =
log 7 100 =
log 7 N =
log100
2
=
= 2, 367
log7
0, 845
log N log N
=
log 7 0, 845
Exercícios exemplares
Exercício 8
Estabelecendo-se que log 2 = 0,30103, calcule:
a) o logaritmo de 10 na base 2;
Temos: log2 10 =
30
log 10
1
=
= 3 , 322.
log 2 0 , 30103
b) o logaritmo de 5 na base 10;
Como 5 = 10 , segue que log 5 =
2
= log 10 – log 2 = 1 – 0,30103 = 0,69897.
c) o logaritmo de 5 na base 2;
Temos, analogamente ao item a:
log 5 0 , 69897
log2 5 =
=
= 2 , 322
log 2 0 , 30103
(Observar a resposta do item a) e notar que,
em razão de termos 10 = 5 . 2, resulta que
log2 10 = log2 5 + log2 2, ou seja, log2 10 =
= log2 5 + 1.)
d) o logaritmo de 64 na base 5.
Como queremos calcular log5 64, podemos
log 2 64
6
=
= 2 , 584
escrever: log5 64 =
log 2 5
2 ,322
logaritmos: uma linguagem sugestiva em
diferentes contextos
O contexto em que surgiram os logaritmos
era o de simplificação de cálculos, no início
do século XVII. Tal significado prático não é,
hoje, especialmente relevante diante dos inúmeros recursos tecnológicos disponíveis para
isso. No entanto, a relevância dos logaritmos
permaneceu e é possível afirmar que ela aumentou. Como explicar tal fato?
A força da ideia de logaritmo provém do
fato de que os logaritmos são expoentes, que
podem ser utilizados para simplificar cálculos, mas que também são especialmente
adequados para representar de modo sugestivo grandezas de valores muito grandes,
Matemática – 1ª- série – Volume 3
como as energias liberadas por ocasião dos
terremotos, ou muito pequenas, como as
quantidades de íons de hidrogênio livres
em um líquido, que são responsáveis pela
acidez, por exemplo. A expressão das grandezas correspondentes a esses fenômenos
por meio de potências de 10 torna os números envolvidos menores (de 0 até por volta
de 9 graus na escala Richter, e de 0 a 14 na
indicação do pH). Como se sabe, a água tem
pH igual a 7, a acidez de um líquido é tanto
maior quanto menor é seu pH, entre 0 e 7, e
o caráter básico, que se opõe ao ácido, significando menos H+ por litro, aumenta quanto
mais o pH se aproxima de 14.
Exercícios exemplares
Nos exercícios seguintes, serão apresentados os elementos fundamentais para a
compreensão dos fatos citados, ilustrando
a importância da ideia de logaritmo em diferentes contextos.
Exercício 9
A energia liberada por ocasião de um terremoto pode ser muito grande, sendo frequentemente expressa por uma potência de
10. Para medir o potencial destrutivo de um
terremoto, utiliza-se a escala Richter, que
leva em consideração apenas o expoente
da potência considerada em cada caso. Esse
expoente indica a magnitude do terremoto.
Existem aparelhos apropriados para medir
tal magnitude: são os sismógrafos. A tabela
a seguir registra o local, o ano de ocorrência e a magnitude de alguns terremotos que
ficaram famosos pelos estragos produzidos.
Ano de
ocorrência
Magnitude
Los Angeles
1994
6,6
Japão
1993
7,8
Irã
1990
7,7
São Francisco
1989
7,1
Armênia
1988
6,9
Cidade do México
1985
8,1
Grã-Bretanha
1984
5,5
Alasca
1964
8,4
Chile
1960
8,3
Ex-União Soviética
1952
8,5
São Francisco
1906
8,3
Colômbia
1906
8,6
Ilha de Krakatoa
1883
9,9
local
Com base nas informações anteriores, responda às seguintes questões:
A competência específica mais mobilizada
no presente exercício é a competência leitora.
Além da compreensão da ideia de logaritmo
como expoente, todas as informações necessárias para a solução encontram-se no texto.
a) Um terremoto de 8 graus na escala Richter
é potencialmente quantas vezes mais destrutivo que um terremoto de 4 graus?
Um terremoto de 8 graus na escala Richter
é potencialmente 10 vezes mais destrutivo
do que um terremoto de 7 graus, uma vez
que o grau representa o expoente de uma
potência de 10 que é usada para expressar
a energia liberada, que produz os estragos.
Analogamente, um terremoto de 8 graus
é 100 vezes mais destrutivo do que um de
31
6 graus, 1 000 vezes mais destrutivo que um
de 5 graus e 10 000 vezes mais destrutivo que
um de 4 graus.
b) Um caminhão muito pesado passou pela
rua e produziu um pequeno tremor. Um
sismógrafo registrou 2,5 graus na escala
Richter. Se 4 caminhões passarem juntos
pela rua, podemos afirmar que o tremor
correspondente será de 10 graus?
Para aumentar 1 grau na escala Richter,
seja de 1 para 2 graus, de 2 para 3, de 2,5
para 3,5, etc., será necessária uma energia
destrutiva 10 vezes maior, uma vez que o
grau é o expoente de uma potência de 10. Se
4 caminhões passarem juntos pela rua, podemos afirmar que o tremor correspondente será de pouco mais de 2,5 graus, uma vez
que a energia correspondente será apenas
4 vezes maior. Se fosse possível termos simultaneamente 10 000 caminhões passando pela
rua, então o sismógrafo registraria 4 graus a
mais, ou seja, 6,5 graus. É possível calcular
que, para atingir 10 graus (nunca existiu um
terremoto desse nível), seriam necessários
cerca de 316 . 10 5 caminhões. (Para fazer
esse cálculo, sabemos que a energia destrutiva é diretamente proporcional a 10n, ou seja,
E
En = K . 10n. Calculando a razão 10 , obteE 2,5
10 10
5
mos 2,5 , ou seja, 316 . 10 (aproximada10
mente). Basta descobrir por quanto é necessário multiplicar E2,5 para se obter E10 .)
Exercício 10
Para caracterizar a acidez de um líquido,
usa-se um indicador chamado de pH (potencial hidrogeniônico). O pH dá uma ideia da
32
quantidade de íons H+ que se encontram livres, no líquido, indicando a concentração
(quantidade por unidade de volume) de tais
íons. A própria água (H2O) tem íons H+ livres:
são relativamente poucos, mas existem. Há, na
água, cerca de 1 íon-grama de H+ para cada
107 litros. Em uma limonada existem mais íons
H+ livres: digamos, 1 íon-grama para cada 102
litros. Em alguns líquidos, há menos íons H+ do
que na água: no leite de magnésia, por exemplo,
cerca de 1 íon-grama de H+ para cada 1010 litros.
Dizemos que o pH da água é 7, o pH da limonada é 2, e o pH do leite de magnésia é 10. A
escala do pH varia de 0 a 14, situando a água
bem no meio. Os líquidos com pH entre 0 e 7
têm um caráter ácido; os que têm pH entre 7 e
14 têm um caráter básico. Para combater a acidez estomacal, por exemplo, costuma-se ingerir
uma colher de leite de magnésia.
A tabela a seguir representa os valores aproximados do pH de alguns líquidos.
líquido
ph
Ácido sulfúrico
0,1
Suco de laranja
3,0
Vinho
3,4
Suco de tomate
4,2
Café
5,0
Leite
6,9
Água
7,0
Sangue humano
7,4
Água do mar
8,2
Leite de magnésia
10,0
Amônia
13,0
Hidróxido de potássio
14,0
Matemática – 1ª- série – Volume 3
Com base nessas informações, responda às
seguintes questões:
f a água tem 1 íon-grama de H+ para 107
litros, ou seja, a razão é
a) O que significa dizer que determinado líquido tem pH igual a 6?
Dizer que determinado líquido tem pH igual
a 6 significa dizer que existe 1 íon-grama de
H+ para cada 106 litros.
b) Se um líquido tem 1 íon-grama de H+ para
cada 100 litros, qual é o seu pH?
Se um líquido tem 1 íon-grama de H+ para
cada 100 litros, seu pH é igual a 2.
c) Se um líquido tem pH igual a 8, ele tem
mais ou menos íons de hidrogênio livres do
que a água? Quantas vezes?
Se um líquido tem pH igual a 8, ele tem 10 vezes
menos H+ do que a água (a razão de 1 para 108
é 10 vezes menor do que a razão 1 para 107).
d) Qual é a diferença entre os valores do pH de
dois líquidos, um deles com mil vezes mais
íons H+ livres do que o outro?
A diferença entre os valores do pH de dois
líquidos, um deles com mil vezes mais íons
H+ livres do que o outro é igual a 3; o de
maior pH tem mil vezes menos íons H+.
Como no exercício anterior, o que se exige aqui, além da ideia de logaritmo como expoente, é a competência leitora. A escala de
pH também é logarítmica, ou seja, os valores
são expoentes. Porém, como se trata de números pequenos, uma vez que a quantidade
de íons H+ por litro é pequena, os expoentes
encontram-se no denominador:
1
e dizemos
10 7
que seu pH é 7;
f um ácido tem mais íons-grama de H+. Por
exemplo, se tem 1 para 103 litros, ou seja,
1
, dizemos que seu pH é 3;
10 3
a razão é
f já um líquido básico, tem menos H+. Por
exemplo, se tem 1 para 1012 litros, ou seja,
a razão é
1
, dizemos que seu pH é 12.
1012
A escala de pH varia de 0 a 14, situando-se a água em seu ponto médio.
Exercício 11
O ouvido humano é muito versátil e percebe
sons de uma gama de intensidades muito ampla. A intensidade sonora é a medida da energia
transportada pelas ondas sonoras por segundo e
por unidade de área (perpendicular à direção da
propagação). Entre o som de baixa intensidade,
quase inaudível, e o ruído que produz dor nos
ouvidos, a intensidade varia em uma escala que
vai de 1 a 1012. Para medir a intensidade sonora, utiliza-se apenas o expoente correspondente
a cada intensidade. Ele corresponde ao número
de “béis” (plural de bel, unidade escolhida em
homenagem ao físico Alexandre Graham Bell).
Assim, se ao som fracamente audível corresponde 0 bel, ao som que produz dor corresponderá 12 béis. Como o bel se revelou uma unidade
muito grande para distinguir os diversos níveis
de som, em situações práticas, costuma-se usar o
decibel, que corresponde à décima parte do bel.
A tabela a seguir registra as intensidades
sonoras correspondentes a algumas situações cotidianas:
33
intensidade
(watts/m2)
números
proporcionais
Medida
em bel
Medida
em decibel
Som fracamente
audível
10−12
1
0
0
Ruído das folhas
de uma árvore
10−11
10
1
10
Sussurro humano
10−10
102
2
20
Conversa comum
10−6
106
6
60
Barulho dos
carros no tráfego
pesado
10−5
107
7
70
Britadeira manual
usada na rua
10−2
1010
10
100
1
1012
12
120
tipo de som
Som que produz
dor e dano
Com base nas informações anteriores, responda às seguintes questões:
a) Um som de intensidade de 90 decibéis é
quantas vezes mais intenso que outro de
intensidade de 80 decibéis?
Um som de 90 decibéis, ou seja, 9 béis, é
10 vezes mais intenso do que um de 8 béis,
ou seja, 80 decibéis, uma vez que o
número de béis corresponde ao expoente
de uma potência de 10 que representa a
intensidade.
Logo, o valor de n será o logaritmo de
2 . 1010 na base 10, ou seja: n = log (2 . 1010) =
= log 2 + 10 = 10,30 (usando o valor
aproximado log 2 ≅ 0,30).
b) Quantos decibéis correspondem a uma britadeira defeituosa, que emite um som com
intensidade 100% maior do que o normal
(tabela)?
c) Qual fórmula relaciona o número n de
béis de um som com sua intensidade
sonora i?
O som emitido por uma britadeira é de
10 béis, que corresponde à intensidade
1010 vezes maior do que a do som fracamente
34
audível. Se a intensidade se tornar 100%
maior, será igual a 2 . 1010 vezes maior do
que a do som fracamente audível. Para saber
a quantos béis tal intensidade corresponde,
será necessário escrever tal número como
uma potência de 10: 2 . 1010 = 10n
O som terá, portanto, 10,3 béis, ou seja,
103 decibéis.
Para calcular o número n de béis, expressamos a razão entre a intensidade I e a intensidade do som fracamente audível por meio
de uma potência de 10:
Matemática – 1ª- série – Volume 3
I
= 10 n .
−12
10
 I 
Daí segue que: n = log  −12 
 10 
(n em béis).
d) Qual fórmula relaciona o número n de
decibéis de um som com sua intensidade
sonora I?
 I 
Segue que n = 10 .log  −12 
 10 
(n em decibéis).
Considerações sobre a avaliação
Ao final desta Situação de Aprendizagem,
a expectativa é que os alunos tenham compreen dido a importância da ideia de logaritmo. A despeito de não se ter mais a
simplificação dos cálculos no centro das
atenções, a linguagem dos logaritmos é
fundamental, como foi visto, em diferentes
contextos em que os expoentes das grandezas envolvidas estão em questão. Espera-se
que o professor tenha levado os alunos a
perceber que a mudança do olhar da potência para o expoente, que caracteriza a ideia
de logaritmo, é um recurso muito poderoso
para a apreensão do significado de grandes
números, escrevendo-os como potências de
uma base conveniente e reduzindo-os aos
seus expoentes. As operações com logaritmos, bem como suas propriedades fundamentais, correspondem a propriedades
similares já conhecidas sobre potências,
e tal paralelismo merece destaque. Talvez
a única relação específica a ser mencionada seja a relativa à mudança de base:
log a N
. A plena compreensão deslog a b
sa relação, qual seja, o fato de que conhelogb N =
cendo os logaritmos de todos os números
em uma base a, para termos todos os logaritmos em outra base b, basta dividir os
logaritmos conhecidos pelo logaritmo da
nova base b, pode ser muito útil, inclusive
na utilização de calculadoras ou softwares.
As observações de tabelas de valores de
potências e logaritmos, levadas a efeito ao longo da atividade, podem constituir momentos
especialmente importantes para o professor
recordar e praticar cálculos, ao mesmo tempo
que prepara o terreno para o estudo das funções logarítmicas, que será realizado na Situação de Aprendizagem seguinte. Considera-se
imprescindível que, ao concluir esta Situação
de Aprendizagem, os alunos tenham:
f incorporado a linguagem dos logaritmos
como expoentes, aprendendo a utilizá-la
em diferentes contextos;
f aprendido as propriedades básicas dos logaritmos, associando-as às propriedades
correspondentes das potências, sabendo
utilizá-las para realizar cálculos envolvendo incógnitas nos expoentes;
f compreendido que é possível expressar os
logaritmos em diferentes bases, sabendo
efetuar os cálculos necessários para a mudança de uma base para outra, quando isso
for conveniente.
35
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
AS FUNÇÕES COM VARIÁVEL NO EXPOENTE:
A EXPONENCIAL E SUA INVERSA, A LOGARÍTMICA
As ideias sobre potências, que já vinham
sendo apresentadas desde o Ensino Fundamental, foram enfeixadas na Situação de
Aprendizagem 1, na qual a função exponencial foi apresentada aos alunos. Agora, tendo sido apresentados aos logaritmos e suas
propriedades, aprendendo a reconhecê-los
em diferentes contextos, vamos procurar, de
modo análogo ao que foi feito com as potências, enfeixar tais ideias por meio da apresentação da função logarítmica. Ao mesmo
tempo, buscaremos explicitar a aproximação
entre tais funções, uma vez que uma delas remete imediatamente à outra, examinada de
um ponto de vista invertido: se y = ax, então
x = loga y. Tais funções serão exploradas mais
detidamente, sobretudo na perspectiva do
crescimento/decrescimento.
Se, na Situação de Aprendizagem anterior, a
compreensão leitora e a aprendizagem de uma
escrita expressiva para descrever fenômenos
envolvendo expoentes estavam no centro das
atenções, agora mantemos os mesmos interesses anteriores, mas voltamos as atenções mais
especificamente para o tratamento matemático
das funções envolvidas. Afinal, queremos o instrumental dos logaritmos para utilizá-los em
contextos práticos, mas precisamos cuidar bem
de nosso instrumento, o que significa, às vezes,
ter que limpá-lo e lubrificá-lo, preparando-o
para futuros usos.
Sugerimos ao professor que utilize uma semana para o estudo das funções exponenciais
já realizado na Situação de Aprendizagem 1,
e aqui apenas retomado, e logarítmica, aqui
apresentada aos alunos.
tempo previsto: 1 semana.
Conteúdos e temas: função logarítmica: fixada uma base a (a > 0, a ≠ 1), qualquer número real
positivo x tem um logaritmo y, representado por y = loga x; a relação direta entre a função
logarítmica e a função exponencial; gráfico da função logarítmica, com o reconhecimento de
sua relação com o já conhecido gráfico da função exponencial.
Competências e habilidades: descrever matematicamente fenômenos referentes a crescimento
ou decrescimento de grandezas com variáveis nos expoentes, utilizando-se para isso da
compreensão leitora e de uma escrita expressiva das funções logarítmicas e exponenciais.
Estratégias: estabelecimento das relações entre as funções exponencial e logarítmica, bem
como de seus gráficos por meio do paralelismo entre as propriedades das potências e dos
logaritmos; proposição de exemplos ilustrativos e exercícios exemplares envolvendo tais
funções em diferentes contextos.
36
Matemática – 1ª- série – Volume 3
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 3
Como já se destacou, o contexto inicial
será interno à própria Matemática, uma vez
que estaremos, aqui, apenas limpando, afiando e lubrificando o instrumental dos logaritmos para ampliar seu significado e seu uso.
O paralelismo entre as propriedades das
potências e as dos logaritmos servirá de base
para o estabelecimento das relações entre as
funções exponencial e logarítmica, bem como
de seus gráficos.
Exemplos ilustrativos e exercícios exemplares servirão de indicadores da natureza das
atividades que são sugeridas para a realização
em classe.
Potências e logaritmos: das tabelas às
funções
Já sabemos que, ao calcular os valores da
potência ax, se tivermos a < 0, algumas potências não poderão ser calculadas: não pode1
mos, por exemplo, calcular a potência (–3) 2 ,
uma vez que não existe um número real que
seja a raiz quadrada de um número negativo.
Também não interessa muito o caso em que
a = 1, uma vez que 1x = 1 para todo x.
Portanto, sendo a > 0 e a ≠ 1, podemos calcular a potência ax para todo x real. Isto significa que a função y = ax, ou seja, f(x) = ax está
definida para todo número real x, assumindo
valores sempre positivos, uma vez que ax > 0
para todo x real.
Sabemos ainda que, sempre que aumentamos os valores de x: os valores de ax aumentam
correspondentemente, quando a > 1; os valores de ax diminuem correspondentemente,
quando 0 < a < 1.
Esses fatos podem ser comprovados construindo-se tabelas de valores para x e ax para
diferentes valores de a, maiores ou menores do
que 1, como foi feito na Situação de Aprendizagem 1, e podem ser sintetizados nos gráficos
da função exponencial, apresentados a seguir,
para diferentes valores de a:
 1
y= 
 3
 1
y= 
 5
x
x
y = 5x
y = 3x
y = 2x
 1
y= 
 2
x
funções crescentes
(a > 1)
funções decrescentes
(0 < a < 1)
De modo análogo, sabemos que a igualdade
y = ax equivale a x = loga y. Observemos tal fato
no gráfico da função exponencial (caso a > 1):
x = loga y
y = ax
Portanto, a cada número positivo y corresponde um número real x, que é o seu logaritmo
na base a. É possível, então, estabelecer uma
correspondência entre cada número positivo
e seu logaritmo em uma determinada base a,
ou seja, é possível definir uma função que,
37
a cada número positivo, associa seu logaritmo.
Essa função será chamada de função logarítmica e representada por f(x) = loga x.
y
f(x) = loga x
a>1
Observando o nome das variáveis:
x
f na função exponencial, x é a variável independente, à qual atribuímos qualquer valor
real, positivo, nulo ou negativo, e y = ax é
a variável dependente do valor de x, que
será, no caso em questão, sempre positiva;
f na função logarítmica, a variável independente é um número positivo y, que escolhemos livremente, e a variável dependente é
o logaritmo x desse número, que poderá
assumir qualquer valor real, positivo, nulo
ou negativo.
Notamos, no caso a > 1, que a função exponencial f(x) = ax é crescente, bem como a
correspondente função logarítmica. Representando os dois gráficos em um mesmo sistema
de coordenadas, obtemos:
y
a>1
y = ax
y = logax
Temos, portanto, a função logarítmica
x = loga y. Construindo o gráfico de x como
função de y, situando o eixo y na horizontal,
como fazemos para a variável independente, e
representando os valores de x na vertical, temos o gráfico abaixo (caso a > 1):
x
x
Analogamente, no caso em que 0 < a < 1,
a função exponencial de base a será decrescente, assim como a correspondente função logarítmica. Os gráficos são representados a seguir:
y = ax
x = loga y
y
y
y = ax
Naturalmente, se nomearmos a variável
independente de x, como é usual, então a variável dependente y será tal que y = loga x, ou
seja, a função logarítmica é representada por
f(x) = loga x. Nessas condições, seu gráfico, no
caso a > 1, é esboçado a seguir:
38
y = loga x
x
0<a<1
Matemática – 1ª- série – Volume 3
Tanto no caso em que a base a é maior
que 1, quanto no caso em que é menor, existe
uma relação interessante entre os gráficos de
y = ax e y = loga x, quando representados no
mesmo sistema de coordenadas.
De fato, consideremos o caso concreto
em que y = 3x e y = log3 x. Os pontos (2; 9) e
(5; 243), por exemplo, pertencem ao gráfico de
y = 3x, ao mesmo tempo que os pontos (9; 2)
e (243; 5) pertencem ao gráfico de y = log3 x.
De modo geral, a cada par (m; n) do primeiro gráfico corresponde um par (n; m) do segundo gráfico.
y
a>1
y = ax
x
y = loga x
y=x
y = ax
Observe a figura a seguir e note que pontos
como (m; n) e (n; m) são simétricos em relação
à reta y = x, que é bissetriz dos quadrantes
ímpares:
y
0<a<1
n
y=x
(m; n)
x
y = loga x
y=x
(n; m)
m
Funções como y = ax e x = loga y são chamadas funções inversas uma da outra.
m
n
Podemos concluir, então, que a cada ponto
do gráfico de y = ax corresponde um ponto do
gráfico de y = loga x que é simétrico ao primeiro em relação à reta y = x. Em outras palavras,
os gráficos das funções y = ax e y = loga x são
simétricos em relação à reta y = x (bissetriz
dos quadrantes ímpares). Podemos observar
tal fato nos gráficos a seguir:
De fato, se substituirmos em x = loga y o
valor de y calculado em y = ax, obtemos:
x = loga (ax) = x
Simetricamente, se substituirmos em y = ax,
o valor x = loga y, obtemos:
x
y = aloga y = alogaa = ax = y
ou seja, acontece algo similar ao que ocorre
quando multiplicamos um número por k, e, em
seguida, dividimos o resultado por k: a segunda
39
operação desfaz o que a primeira fez e retornamos ao valor inicial.
Em outras palavras, as funções f(x) = ax e
g(x) = loga x são chamadas inversas uma da outra, e é verdade que g(f(x)) = x, e que f(g(x)) = x.
Exemplos ilustrativos
b) y = x (x ≥ 0) e x =
2
7
1
y
3
y +8
d) y = 5x 8 e x =
5
1
1
(y ≠ 0)
e) y =
(x ≠ 0) e x =
y
x
3
y
x – 11
e x = 4y + 11
4
3x − 1
7y + 1
h) y =
e x=
7
3
Observe que, em cada caso, as operações indicadas em uma delas são as inversas
das que aparecem na outra, na ordem inversa
em que surgem. Por exemplo, a função y = 5x 8
estabelece que partimos de x, multiplicamos
seu valor por 5 e depois subtraímos 8 do resultado; na inversa, partimos de y, somamos 8,
e depois dividimos por 5 o resultado.
g) y =
Exemplo 2 – As funções f(x) e g(x), representadas abaixo, são inversas uma da outra:
a) f(x) = x
40
5
g(x)
f(g(x)) = x
f(x)
f(x) e g(x) são funções inversas uma da outra
Exercícios exemplares
y (y ≥ 0)
c) y = 3x e x =
f) y = x3 e x =
g(x)
x
Exemplo 1 – As funções y = f(x) e x = g(y), representadas adiante, são inversas uma da outra:
a) y = x + 7 e x = y
Observe, em cada exemplo, que f(g(x)) = x,
ou seja, partindo-se de x, chegamos ao valor g(x); partindo-se de g(x) e calculando o
valor de f(x) em g(x), obtemos x. O esquema
abaixo traduz o que foi dito:
e
g(x) = x + 5
b) f(x) = x3 + 1
e
3
g(x) = x – 1
c) f(x) = 7x
e
g(x) = log7 x
d) f(x) = log3 x
e
g(x) = 3x
Alguns exercícios são oferecidos para que
o professor explore o que foi anteriormente
apresentado.
Exercício 1
Considere as funções f(x) = 10x e g(x) = log x.
a) Esboce seus gráficos no mesmo sistema de
coordenadas.
Os gráficos de f(x) e g(x) são representados
abaixo:
11 y
D
10
9
8
7
f(x) = 10x
6
5
4
3
2
A
1
B
g(x) = log x
C
x
–1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
–1
b) Determine os pontos A, B, C e D dos gráficos, tais que A = (0; f(0)), B = (1; g(1)),
C = (10; g(10)) e D = (1; f(1)).
Para determinar os pontos A, B, C e D, basta
notar que:
f(0) = 1, f(1) = 10, g(1) = 0 e g(10)= 1.
Matemática – 1ª- série – Volume 3
Segue que: A = (0; 1), B = (1; 0), C = (10; 1)
e D = (1; 10). Tais pontos são simétricos em
relação à reta y = x.
c) Use o teorema de Pitágoras e calcule o perímetro do quadrilátero ABCD.
d) Mostre que o quadrilátero ABCD é um trapézio isósceles.
c e d Para calcular o perímetro de ABCD,
temos:
f o lado AB é a diagonal de um quadrado
de lado 1, ou seja, mede 2;
f os lados BC e AD são hipotenusas
de um triângulo retângulo de catetos
1 e 9; logo, temos BC = AD (trapézio
isósceles) e cada um desses lados mede
=
12 + 9 2 = 82 ;
f o lado CD é a hipotenusa de um triângulo
retângulo de catetos iguais a 9, ou seja,
é 9 2;
f logo, o perímetro do trapézio é
p= 2
9 2
A função exponencial f(x) = ax é crescente
se a > 1 e é decrescente se 0 < a < 1; o
mesmo ocorre com a função logarítmica.
A inspeção direta mostra, então, que temos
funções crescentes em a, b e e, e funções
decrescentes em c, d e f.
Note que, em f, a função j(x) = 5–x pode
x
 1
ser escrita assim: j(x) = (5–1)x =   .
 5
Logo, ela é decrescente.
Exercício 3
As funções exponencial e logarítmica representam padrões de crescimento/decrescimento muito distintos. Sendo a > 1, a função
f(x) = ax cresce cada vez mais rapidamente, enquanto a função g(x) = loga x cresce cada vez
mais lentamente. É possível compreender tal
fato observando os gráficos das duas funções:
comparando com o padrão de crescimento da
função linear y = x, vemos que a exponencial
cresce mais depressa e a logarítmica cresce
mais devagar. Para caracterizar tal fato matematicamente, responda às questões seguintes:
2 82 ≅ 32, 25 .
f(x) = ax
Exercício 2 – Quais das seguintes funções
são crescentes? Quais são decrescentes?
1
d) m( x ) =  
3
a) f(x) = log11 x
b) g( x ) =
( 11 )
x
c) h( x ) = log 1 x
x
x
e) n( x ) = log 3 x
2
y=
g(x) = loga x
f) j(x) = 5−x
3
41
a) Quando o valor da variável independente x
aumenta em 1 unidade, a partir de um valor qualquer x0 , qual o aumento E no valor
da função f(x) = ax?
Calculando E, temos:
E = f(x0+1) – f(x0) = ax0+1 – a x0 = ax0.(a – 1)
b) Quando o valor da variável independente x
aumenta em 1 unidade, a partir de um valor qualquer x0, qual o aumento l no valor
da função g(x) = loga x?
Calculando L, temos:
L = g(x0 + 1) – g(x0) = loga (x0 + 1) – loga x0 =
 x + 1

1
= loga  0  = loga  1 +  .
x0 

 x0 
Depois de apresentada a ideia de logaritmo
com toda a sua força e riqueza de linguagem,
buscamos, na Situação de Aprendizagem 3,
consolidar tal noção, apresentando a função
logarítmica y = loga x. O paralelismo com a
função exponencial y = ax é destacado desde
o início. A expectativa é que, tal como as noções de potência e logaritmo não podem ser
apreendidas senão de maneira interconectada,
as funções exponencial e logarítmica sejam
sempre consideradas de maneira conjunta e
numa perspectiva complementar: em y = ax,
quando a variável independente é o expoente, temos a função exponencial; quando a variável dependente é o expoente, escrevemos
x = loga y e temos a função logarítmica.
d) O que acontece com o valor de l quando x0
se torna cada vez maior? Explique.
Os gráficos de tais funções devem ter sido
compreendidos e assimilados, com destaque
para a característica básica de cada um deles:
quando a > 1, a exponencial y = ax é crescente,
e cresce cada vez mais rapidamente, tendo o
gráfico encurvado para cima; já a função logarítmica y = loga x, cresce cada vez mais lentamente, tendo o gráfico a concavidade voltada
para baixo. Observações similares devem ser
feitas para 0 < a < 1.
Quando x0 se torna cada vez maior, os
valores de L aumentam cada vez menos,
aproximando-se de zero, uma vez que
1
aproxima-se cada vez mais de 1, e o
1+
x0
logaritmo de 1 em qualquer base é zero.
A construção dos gráficos das funções
y = ax e y = loga x em um mesmo sistema de
coordenadas, tendo em vista a percepção da
relação de simetria em relação à bissetriz dos
quadrantes ímpares, também é um fato notável, que deve ser bem compreendido.
c) O que acontece com o valor de E quando x0
se torna cada vez maior? Explique.
Quando x0 se torna cada vez maior, os
valores de E aumentam cada vez mais, uma
vez que os valores de ax0 tornam-se cada vez
maiores.
42
Considerações sobre a avaliação
Matemática – 1ª- série – Volume 3
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
AS MÚLTIPLAS FACES DAS POTÊNCIAS E DOS LOGARITMOS:
PROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES EM
DIFERENTES CONTEXTOS
Após a consolidação das ideias de potências e logaritmos, com suas propriedades
permanentemente entrelaçadas, por meio da
definição das funções exponencial e logarítmica e da construção de seus gráficos, com
destaque para as propriedades fundamentais
dos mesmos, a expectativa agora é a da apresentação de um panorama de contextos em
que tais ideias encontram-se presentes. As
situações práticas envolverão cálculos em que
equações e inequações deverão ser resolvidas
em contextos significativos.
articular os conhecimentos já estudados, tendo
em vista a intervenção direta na realidade.
Nesta quarta Situação de Aprendizagem do
bimestre, a ênfase será dada, portanto, à contextualização dos conteúdos e temas já estudados
ao longo das situações anteriores. A competência maior a ser desenvolvida é a capacidade de
Sugerimos que o professor utilize duas semanas na apresentação e na exploração de tal
panorama de contextos práticos em que as
potências e os logaritmos são um instrumental importante.
Como sempre, os exercícios apresentados
são apenas exemplares do que o professor
pode abordar em suas aulas. Não existem exercícios de fixação, nem múltiplas reiterações de
situações já estudadas. É muito importante
que o professor explore as ideias apresentadas
nos exercícios e crie novos exercícios, ou então
utilize aqueles que são usualmente apresentados em livros didáticos para promover a fixação dos conteúdos.
tempo previsto: 2 semanas.
Conteúdos e temas: significado e relevância das noções de expoentes e logaritmos em diferentes contextos.
Competências e habilidades: expressar e compreender fenômenos naturais de diversos tipos;
enfrentar e resolver situações-problema envolvendo expoentes e logaritmos em diferentes
contextos.
Estratégias: proposição de exercícios exemplares sobre o tema.
43
Roteiro para aplicação da Situação
de Aprendizagem 4
inteiro maior do que 1 seguido de 19 zeros e
menor do que 1 seguido de 20 zeros.
Em razão do que foi anteriormente registrado, os conteúdos/temas da presente Situação
de Aprendizagem serão apresentados diretamente, na forma de exercícios exemplares. Os
enunciados são, algumas vezes, longos, tendo
em vista fornecer todas as informações necessárias para o enfrentamento das situações-problema. Mais do que nunca, a competência
leitora é imprescindível e deverá ser explorada
pelo professor, em cada exercício.
Calculando com um instrumento adequado,
obtemos, de fato:
Exercícios exemplares
Exercício 1
É muito conhecida a lenda do tabuleiro de xadrez: para retribuir o jovem inventor pela criação do jogo, o rei concede-lhe
qualquer coisa que desejasse, e o jovem pede
“apenas” um grão de trigo pela primeira
casa, 2 grãos pela segunda, 4 pela terceira,
8 pela quarta, e assim por diante, até chegar a
263 grãos pela sexagésima quarta casa.
Como se sabe, a soma de todos os grãos
(1 + 2 + 22 + 23 + ... + 263) é igual a 264 – 1
grãos, e esse número, apesar de não parecer,
é tão grande que seria impossível atender ao
inocente pedido. Quantos algarismos tem o
número 264 ? (Dado: log 2 ≅ 0,30)
Para determinar o número de algarismos de
264, basta calcular seu logaritmo decimal.
Como log 264 = 64 . log 2 ≅ 64 . 0,30 = 19,2,
deduzimos que 264 situa-se entre 1019 e 1020,
pois: 1019 < 1019,2 < 1020.
Logo, concluímos que 264 é um número com
20 algarismos, uma vez que é um número
44
264 = 18 446 744 073 709 551 616
Exercício 2
Qual dos dois números é maior: 107 ou 710 ?
(Dado: log 7 ≅ 0,845)
Para comparar os dois números citados,
basta comparar seus logaritmos decimais: o
maior será o que tiver maior logaritmo.
Imediatamente, vemos que log 107 = 7;
calculando log 710, obtemos:
log 710 = 10 . log 7 = 10 . 0,845 = 8,45.
Logo, concluímos que 710 > 107.
Exercício 3
Considere uma folha de papel comum, com
espessura de cerca de 0,08 mm.
a) Suponha que a folha é dobrada ao meio
dez vezes, sem rasgar. Qual seria a espessura do papel dobrado?
A espessura do papel será 8 . 10−2 mm. A
cada dobradura, o papel duplica a espessura.
Após 10 dobraduras, sua espessura será:
E10 = 210. 23. 10−2 mm = 213 . 10−2 mm = 81,92 mm.
b) Suponha agora que a folha tivesse tamanho suficiente para ser dobrada ao meio
50 vezes, sem rasgar. Qual seria a espessura
do papel dobrado?
Matemática – 1ª- série – Volume 3
Analogamente, a espessura do papel dobrado
após 50 dobraduras será:
E50 = 250 . 23 . 10-2 mm = 253 . 10-2 mm =
= 9,0071992 . 1013 mm ≅ 90 milhões de km.
Trata-se, sem dúvida, de um resultado
surpreendente, tão inesperado quanto o do
tabuleiro de xadrez do exercício 1.
c) Nas condições do item b, após quantas
dobraduras a espessura do papel dobrado
ultrapassaria a distância da Terra à Lua?
(Dados: a distância aproximada da Terra à Lua
é de 384 000 km; log 2 ≅ 0,30; log 3 ≅ 0,48.)
Podemos generalizar e escrever que (se
fosse possível realizar na prática) após
n dobraduras, a espessura do papel seria
En = 2n . 23 . 10−2 mm = 2n+3 . 10−2 mm
Sabendo que a distância da Terra à Lua
é aproximadamente 384 000 km, ou seja,
384 . 109 mm, temos a seguinte inequação
para resolver: 2n . 23 . 10−2 > 384 . 109.
 384 
 . 1011, ou seja,
Temos, então: 2n > 
 8 
2n > 48 . 1011
Calculando os logaritmos de ambos os
membros na base 10, temos:
log 2n > log (48 . 1011)
n . log 2 > (log 48) + 11
n . log 2 > 11 + log (24 . 3) = 11 + 4 log 2 + log 3
n . 0,30 > 11 + 1,20 + 0,48 = 12,68
n>
12, 68
= 42,3
0, 30
Logo, a partir da 43a dobradura, a espessura
do papel dobrado ultrapassaria a distância
da Terra à Lua.
d) Nas condições do item b, após quantas
dobraduras a espessura do papel dobrado
ultrapassaria a distância da Terra ao Sol?
(Dados: a distância aproximada da Terra
ao Sol é de 150 000 000 km.)
Analogamente, sendo a distância da Terra ao
Sol aproximadamente igual a 150 . 106 km,
ou seja, 150 . 1012 mm, teríamos a inequação:
2n . 23 . 10−2 > 150 . 1012
Podemos escrevê-la na forma:
2n+3 > 15 . 1015.
Calculando os logaritmos dos dois membros
na base 10, obtemos:
(n + 3) . log 2 > log (3 . 5) + 15,
(log 3 + log 5 + 15)
,
log 2
Usando o fato de que
 10 
log 5 = log   = log 10 – log 2 ≅ 0,70,
 2
resulta:
(n + 3) >
n+3>
(0,48 + 0,70 + 15)
n + 3 > 53,9
0,30
n > 50,9.
Logo, a partir da 51a dobradura, seria
ultrapassada a distância da Terra ao Sol.
Exercício 4
Algumas estimativas sugerem que a população máxima que o planeta Terra pode acolher,
em função das terras cultiváveis disponíveis, seja
45
da ordem de 45 bilhões de pessoas. Atualmente,
a população da Terra é de cerca de 6,7 bilhões,
e os censos revelam que a população tem
dobrado a cada 30 anos. Com base nessas
suposições, calcule em quantos anos, a partir
de agora, a população da Terra atingiria o limite suportável.
Sendo N a população da Terra, sabendo
que ela dobra a cada 30 anos, podemos
t
30
escrever: N(t) = No . 2 , (N em bilhões de
habitantes, t em anos, No = 6,7).
(Observe que, para t = 30 temos N(30) = 2 No ;
para t = 60, temos N(60) = 4No )
O valor C2 do capital ao final do segundo ano
será: C2 = C1 . (1 + 0,12) = Co . (1,12)2.
O valor C(t) do capital ao final de t anos
será: C(t) = Co . (1,12)t.
O capital dobrará de valor
C(t) = 2Co, ou seja, quando
Calculando o logaritmo dos dois membros
dessa igualdade, temos:
t . log 1,12 = log 2, ou seja, t =
Calculando log 1,12, obtemos:
6,7 . 230 = 45.
log
t
30
45
= 6 ,72 e, porIsso significa que 2 =
6 ,7
t
= log2 6,72 ≅ 2,75.
tanto,
30
Logo, t ≅ 30 . 2,75 ≅ 82,5 anos, ou seja,
a população da Terra atingirá o limite
máximo suportável daqui a 82 anos e meio,
aproximadamente, segundo as estimativas*.
*Certamente há controvérsias sobre o fato de
que a população dobraria a cada 30 anos.
Exercício 5
Um capital Co é aplicado a uma taxa de
juros simples de 12% ao ano (os juros são incorporados ao capital apenas ao final de cada
ano). Calcule em quantos anos o capital dobrará seu valor inicial (dados: log 2 = 0,301 e
log 7 = 0,845).
O valor C1 do capital ao final do primeiro
ano será: C1 = Co + 12% de Co , ou seja,
quando
Co . 1,12t = 2 Co, o que significa que 1,12t = 2.
A questão a ser respondida é para qual valor
de t temos N(t) = 45; temos, portanto:
t
46
C1 = Co (1 + 0,12) = 1,12 Co.
112
log2
log1,12
.
= log112 – log100 = log(24.7)– 2 =
100
= 4 . log2 + log7 – 2 ≅ 0,049
0,301
=
O valor de t, portanto, será: t =
0,049
= 6,14 anos ≅ 6 anos e 2 meses.
Como os juros são incorporados ao capital
apenas ao final de cada ano, somente após sete
anos será possível dispor do capital dobrado.
Exercício 6
Um capital Co é aplicado a uma taxa de
juros de 1% ao mês (os juros são incorporados ao capital apenas ao final de cada
mês). Calcule em quantos anos o capital
dobrará seu valor inicial e compare com o
resultado do exercício anterior.
(Dados: log 2 = 0,301 e log 101 ≅ 2,004)
O valor C1 do capital ao final do primeiro
mês C1 = Co + 1% de Co , ou seja,
C1 = Co (1 + 0,01) = 1,01Co.
Matemática – 1ª- série – Volume 3
O valor C2 do capital ao final do segundo mês
será: C2 = C1 . (1 + 0,01) = Co . (1,01)2.
O valor C(t) do capital ao final de t meses
será: C(t) = Co . (1,01)t.
O capital dobrará de valor quando C(t) = 2 Co ,
ou seja, quando
Co . 1,01t = 2Co, o que significa que 1,01t = 2.
Calculando o logaritmo dos dois membros
dessa igualdade, temos:
log2
=
t . log 1,01 = log 2, ou seja, t =
log1,01
log2
0,301
=
=
= 75,25 meses ≅
log101 – log100 0,004
≅ 6 anos, 3 meses e 1 semana.
O capital dobrará após aproximadamente
6 anos, 3 meses e 1 semana; como os juros
são incorporados ao capital apenas ao final
de cada mês, isso significa que o capital dobrado estará disponível apenas após 6 anos
e 4 meses; antes, portanto, dos 7 anos do
exercício anterior.
Exercício 7
Para estimar a idade de um fóssil, o químico norte-americano W. F. Libby criou o
chamado Método do carbono 14, pelo qual
recebeu o Prêmio Nobel de Química de 1960.
O método consiste no seguinte:
f o elemento químico carbono 14 forma-se
nas camadas superiores da atmosfera, por
efeito da radiação cósmica sobre o nitrogênio, e admite-se que sua presença na superfície da Terra ocorre numa proporção
constante relativamente ao carbono 12,
que é o carbono comum;
f os animais e as plantas absorvem o carbono 14
pela respiração e pela alimentação e, enquanto estão vivos, mantêm uma proporção fixa
do mesmo. Depois de mortos, a absorção do
carbono 14 deixa de existir e a quantidade
que possuíam começa a se desintegrar, transformando-se no carbono comum;
f o carbono 14 desintegra-se em uma proporção constante em relação ao valor inicial:
a cada 5 730 anos, a massa inicial reduz-se
à metade (em outras palavras, a meia-vida
do carbono 14 é igual a 5 730 anos);
f em consequência, se determinarmos a
proporção do carbono 14 em relação ao
carbono normal em um fóssil (um peixe
incrustado em uma pedra, um osso, uma
planta ressecada, um pedaço de madeira,
etc.), podemos estimar há quanto tempo tal
fóssil existe, ou seja, há quanto tempo a vida
deixou de existir nele.
Fóssil
idade estimada
Carvão da caverna de
Lascaux, França
15 516 ± 900 anos
Carvão nos
monumentos de
Stonehenge, Inglaterra
3 789 ± 275 anos
Linho encontrado em
uma caverna do Mar
Morto
1 917 ± 200 anos
Pinturas rupestres em
São Raimundo Nonato,
no Piauí
cerca de 60 000 anos
Suponhamos, então, que um fóssil foi encontrado e que desejamos estimar sua idade.
a) Se a análise laboratorial determinou que
50% do carbono 14 inicial já se desintegrou, qual a idade estimada do fóssil?
47
Se a quantidade desintegrada de carbono 14
foi de 50%, isso significa que sua massa se
reduziu à metade da massa inicial. Portanto, o tempo decorrido desde que deixou de
viver é justamente a sua meia-vida, ou seja,
5 730 anos.
b) Se o laboratório indicar que a porcentagem
do carbono 14 que se desintegrou foi de
75%, qual a idade estimada do fóssil?
Se a quantidade desintegrada foi de 75%, ou
seja, se restou apenas 25% da massa inicial,
isso significa que se passaram duas meias-vidas desde que deixou de viver: na primeira,
sua massa reduziu-se a 50% da inicial, e, na
segunda, reduziu-se novamente à metade,
atingindo 25% da massa inicial. A idade estimada do fóssil é, portanto, 2 . 5 730 anos,
ou seja, 11 460 anos.
–t
= log2 0,1, ou seja,
5 730
 log 0 ,1 
.
– t = 5 730 . log2 0,1 = 5 730 . 
 log 2 
Concluímos, portanto, que:
Logo:
t = – 5 730 .
–1
0,301
f a massa m de carbono 14 varia com o tempo
de acordo com a expressão
t
 1  5 730
m(t) = mo .  
 2
(cada vez que t assume um valor múltiplo de
5 730, a massa reduz-se à metade);
f sendo m(t) = 10% de mo , ou seja,
m(t) = 0,1 mo, segue que
 1
0,1 mo = mo .  
 2
–t
5
730
0,1 = 2
48
t
5 730
5 730
0,301
≅ 19 036 anos.
Crescimento exponencial e papéis
logarítmicos
Já vimos que, para a > 1, o gráfico de y = ax
cresce cada vez mais rapidamente, enquanto
o gráfico de y = loga x cresce cada vez mais
lentamente.
y
y = ax
c) Se for constatada que a massa de carbono 14
restante no fóssil é apenas 10% da massa
inicial, qual a idade estimada do fóssil?
(Dado: log 2 ≅ 0,301)
Se a massa restante de carbono 14 é apenas
10% da massa inicial, temos o seguinte
raciocínio:
=
y = loga x
x
Tal fato pode dificultar, em alguns casos,
a construção do gráfico, devido à grande diferença na ordem de grandeza dos valores
representados nos dois eixos. Por exemplo,
vamos fazer o gráfico de y = 10x com base na
tabela seguinte:
x
y = 10x
1
101
2
102
3
103
4
104
5
105
6
106
7
107
A escala a ser escolhida no eixo x deve ser
suficiente para representar valores de 1 a 7; já
a escala no eixo y deve ser suficiente para representar valores até 10 milhões.
Matemática – 1ª- série – Volume 3
Uma maneira de contornar tal dificuldade prática é a seguinte: vamos “comprimir”
a escala no eixo y representando os valores
dos expoentes das potências de 10, em vez
de representá-los usando intervalos de mesmo tamanho para representar as variações
nas potências. Assim, cada unidade no eixo y
significa 10 vezes a anterior, e não o sucessor
da anterior, como no eixo x. Começamos na
vertical com 1, depois 10, depois 100, depois
1 000; para baixo, temos 0,1, 0,01, 0,001 (...) e
assim por diante. Em outras palavras, vamos
escrever no eixo y o valor da potência 10x,
mas cada quadrinho representa, na verdade,
uma unidade a mais no expoente. É como se
estivéssemos fazendo o gráfico de y = X, com
X = 10x. Assim, o gráfico obtido para y = 10x
será a reta y = X. Observando o gráfico é possível compreender o que foi dito:
Exemplo ilustrativo
1000
valores de 10x
100
y = 10x
10
y=X
1
(sendo X = 10x)
0,1
0,01
0,001
–2
–1
a construção de gráficos em situações como a
descrita. Tais papéis são chamados de monolog .
A figura ilustra uma folha de um papel
monolog:
0
1
2
3
Existem papéis impressos com as escalas
assim transformadas na vertical, para facilitar
O gráfico a seguir representa a produção
industrial do Brasil, Estado por Estado.
Devido à grande diferença nos níveis de produção, a escala adotada no eixo y é logarítmica. Note que na base do eixo y está assinalado
“MONOLOG”. Um segmento do mesmo tamanho representa, no eixo y, tanto o intervalo
de 0 a 1 quanto o intervalo de 1 a 10 e o intervalo de 10 a 100. No eixo y são representadas,
portanto, as potências de 10 em segmentos
proporcionais aos seus expoentes.
49
Produção
industrial por Estado
No caso, a escala a ser comprimida é a do
eixo x, onde representamos as potências, mas
cada unidade representa a passagem de uma
potência de 10 a outra potência de 10, ou seja,
representa o logaritmo de x. Assim, o gráfico
de y = log x torna-se o gráfico da reta y = X,
onde X = log x.
Naturalmente, poderíamos utilizar, para o
gráfico anterior, o mesmo papel monolog, apenas trocando as posições dos eixos x e y.
Escalas logarítmicas nos dois eixos
É possível ainda que desejemos comprimir as escalas nos dois eixos. Isso pode ser
especialmente conveniente quando queremos representar funções em que tanto os
valores de x quanto os de y variam em intervalos muito amplos e queremos concentrar as atenções nos expoentes de x e de y.
Existem papéis que já trazem a representação de tal “contração” nos dois eixos,
sendo apropriados para uma representação
proporcional dos expoentes de x e de y, em
vez de uma representação proporcional aos
valores de x e y.
Fonte: IBGE, 2000.
Escala logarítmica no eixo x
Algo análogo poderia ser feito para a função y = log x, se tivéssemos que fazer o gráfico a
partir de uma tabela como a apresentada
a seguir:
x
y = log x
50
101 102 103 104 105 106 107
1
2
3
4
5
6
7
Exemplo ilustrativo
Para fazer o gráfico de y = x7, calculando
os logaritmos dos dois membros da igualdade, temos: log y = 7 . log x. Usando um papel
que represente o logaritmo nos dois eixos, é
como se fizéssemos o gráfico de Y = 7 X, onde
Y = log y e X = log x. Uma folha de papel desse
tipo, chamado de papel dilog, é mostrada a seguir:
Matemática – 1ª- série – Volume 3
1000
y = 5x
100
valores de 10x
10
1
Y = (log5).x
0,1
0,01
(sendo Y = log y)
0,001
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
b) Como fica o gráfico da função y = log5 x
se usarmos o papel monolog descrito anteriormente, sendo as unidades do eixo x
representativas não dos valores de x, mas
dos logaritmos de x?
Sendo y = log5 x, então
 1 
log x
X. log x
= 
 log 5 
log 5
Se o papel for tal que, no eixo x, em vez de
x, as unidades representarem log x, então
y =
Exercícios exemplares
Exercício 8
Tendo por base as informações anteriores
sobre papéis monolog e dilog, pergunta-se:
a) Como fica o gráfico da função y = 5x se
usarmos o papel monolog descrito anteriormente, sendo as unidades do eixo y representativas não dos valores de x, mas dos
logaritmos de x?
Sendo y = 5x, calculando o logaritmo de
ambos os membros, obtemos:
log y = x . log 5.
Se os valores representados no eixo y são
os de log y, então é como se estivéssemos
fazendo o gráfico de Y = (log 5) . x, onde
Y = log y. Tal gráfico é, pois, o de uma reta
com inclinação igual a log 5:
 1 
teremos o gráfico da função y = 
X,
 log 5 
onde X = log x.
O gráfico será uma reta de inclinação igual
a 1 .
log 5
c) Como fica o gráfico da função y = x5 se usarmos um papel dilog, cuja escala, tanto no
eixo x quanto no eixo y, representa os logaritmos de x e de y, e não os valores de x e de y?
Para fazer o gráfico da função y = x5
calculando o logaritmo de ambos os membros
da igualdade, temos: log y = 5 . log x
Se utilizarmos um papel dilog, nos dois
eixos serão representados os logaritmos dos
valores de x e de y; logo, teremos o gráfico
da relação:
51
Y = 5 . X, onde Y = log y
e X = log x
Tal gráfico será uma reta de inclinação
igual a 5.
100
y = x5 ou Y = 5.X
sendo Y = log y
X = log x
10
1
1
10
100
Considerações sobre a avaliação
Esperamos que, ao final deste percurso, a
linguagem dos expoentes e dos logaritmos tenha sido incorporada pelos alunos para a expressão e a compreensão de diversos tipos de
fenômenos naturais, aumentando, assim, os
instrumentos disponíveis para a contextualização dos conhecimentos escolares e a intervenção consciente na realidade.
A sensibilização para a importância do que
foi aprendido e o conhecimento de propriedades básicas das potências e dos logaritmos, fundamentais para operar com eles em situações
concretas como as que foram apresentadas
na presente Situação de Aprendizagem foram
os objetivos principais.
Ao operar com expoentes e com logaritmos,
os alunos devem ser capazes de compreender
plenamente as ações realizadas, tendo o discernimento de recorrer a tábuas de logaritmos
ou a calculadoras com a consciência de estar
delegando a tais recursos uma tarefa técnica,
importante, mas subsidiária, conhecendo suficientemente e conscientemente o significado
daquilo que realizam.
Esta quarta Situação de Aprendizagem não
trouxe conhecimentos novos sobre o tema,
mas apenas novas articulações entre o que já
havia sido aprendido nas situações anteriores
e os contextos práticos. Assim, os conteúdos
esperados coincidem com os referidos nas situações anteriores.
ORIENTAÇÕES PARA RECUPERAÇÃO
A aprendizagem da linguagem das potências e dos expoentes, explorada na Situação de
Aprendizagem 1, é fundamental para a contextualização de conhecimentos sobre potências,
bem como para o desenvolvimento de competências, como a compreensão de fenômenos que
envolvem crescimento ou decrescimento exponencial. Caso sinta que as metas não tenham
sido plenamente atingidas, o professor deve
52
buscar caminhos alternativos para complementar o desenvolvimento de tais competências por
meio de uma das seguintes estratégias:
f explorar mais profundamente os cálculos
com potências de expoentes naturais, inteiros e racionais antes de tratar das funções
exponenciais, buscando maior assimilação
das técnicas, em diferentes contextos;
Matemática – 1ª- série – Volume 3
f procurar construir os gráficos das funções
exponenciais recorrendo mais frequentemente às tabelas com os valores das variáveis antes de buscar uma assimilação mais
global da sua compreensão, em decorrência
das características das funções envolvidas.
Caso sinta que as metas propostas na
Situação de Aprendizagem 2 não tenham sido
plenamente atingidas, o professor deve buscar rotas alternativas para a apresentação dos
temas, como:
f concentrar-se mais detidamente na exploração das tabelas com os valores das potências e dos expoentes, fazendo com que
os alunos aumentem significativamente seu
número de linhas, inserindo novos valores
e verbalizando o significado das operações
representadas;
f apresentar mais explicíta e permanentemente ao longo da Situação de Aprendizagem o paralelismo existente entre as
operações e as propriedades das potências e
as correspondentes dos expoentes, que são
os logaritmos.
Da mesma forma, sugerem-se duas estratégias alternativas para a retomada dos conteúdos/temas da Situação de Aprendizagem 3:
f a apresentação de modo independente da
função exponencial y = ax e da função logarítmica y = loga x, a partir de tabelas com
os valores de x e de y calculados para diferentes valores da base a, destacando-se
o crescimento, se a > 1, e o decrescimento, se 0 < a < 1. Somente após a reiteração
independente das características das duas
funções, seria feita a apresentação conjunta
das duas, explorando-se as mútuas relações
de interdependência;
f a concentração das atenções no fato
de que, dada uma base a (a > 0 e a ≠ 1),
sempre é possível calcular ax, seja x natural, inteiro, racional ou irracional, sendo
ax > 0 para todo x real. Isso é que significa
a possibilidade de definição de uma função
f(x) = ax para todo x real. Da mesma forma, todo número real positivo x pode
ser escrito como uma potência de base a,
ou seja, tem um logaritmo y, e isso é que
significa a possibilidade de definição de
uma função g (x) = loga x.
Por fim, se o aproveitamento dos conteúdos tratados na Situação de Aprendizagem 4
não for o esperado, sugerimos as seguintes
estratégias, tendo em vista a recuperação
dos alunos:
f concentrar-se em um número menor de tipos de exercícios exemplares, explorando
mais detidamente os tipos escolhidos por
meio da formulação de exercícios similares,
usando ainda como degrau os numerosos
exercícios de fixação encontrados em livros
didáticos sobre o tema;
f deixar de lado alguns dos exercícios que exigem mais maturidade no conteúdo/tema,
como os referentes aos gráficos em papéis
monolog e dilog, que podem ser deixados
para outro momento, possivelmente na
3a série do Ensino Médio, quando se buscarão novos olhares para a construção de
gráficos de funções.
53
RECURSOS PARA AMPLIAR A PERSPECTIVA DO
PROFESSOR E DO ALUNO PARA A COMPREENSÃO
DO TEMA
ÁVILA, Geraldo. Introdução às funções e à
derivada. São Paulo: Atual, 1994.
Esse livro é especialmente útil pela riqueza
das ideias apresentadas em cada página. Apesar de o título sugerir tratar-se de conteúdo
avançado para o Ensino Médio, a maneira
como os temas são abordados é extremamente estimulante, parecendo-nos adequada para
a formação cultural do professor.
Graphmatica. Disponível em: <http://
graphmatica.apoioamatematica.net>. Acesso
em: 12 maio 2009.
O software Graphmatica, que pode ser baixado gratuitamente no site indicado, pode ser
de grande valia para a construção de gráficos,
como o das funções exponenciais, ajudando
a sua visualização por meio da escolha de
uma escala adequada.
LIMA, Elon Lages; CARVALHO, Paulo Cezar
Pinto; WAGNER, Eduardo; MORGADO,
Augusto César. A Matemática do Ensino Médio, v. 1. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1999. (Coleção do Professor
de Matemática.)
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Esse livro, apesar de não ser muito simples,
traz uma abordagem interessante das funções
exponenciais, destacando seu papel juntamente às funções do primeiro grau, como
definidoras de padrões de crescimento ou
de crescimento.
Revista do Professor de Matemática. Rio
de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1982.
Os artigos dessa revista são um permanente
material de apoio ao trabalho do professor em
sala de aula. Trata-se de uma revista inicialmente semestral, hoje quadrimestral, que sempre
traz contribuições interessantes e instigantes,
tanto do ponto de vista do conteúdo matemático, quanto da abordagem didática sugerida. Os
números 4 e 18 contêm artigos sobre a ideia de
logaritmo que podem alimentar algumas pesquisas a serem realizadas pelos alunos. Alguns
momentos de investigação sobre o índice de tal
revista podem alimentar substancialmente o trabalho do professor, em praticamente todos os
conteúdos. Existe um número-índice, que traz
os temas e os autores dos artigos dos 44 volumes iniciais da RPM. O índice também pode ser
consultado pelo site <http://www.rpm.org.br>.
Matemática – 1ª- série – Volume 3
COnSidERAÇõES FinAiS
No presente bimestre, buscamos uma retomada de um tema que vem sendo apresentado aos poucos aos alunos desde a 5a série do
Ensino Fundamental, quando foram estudadas as primeiras ideias sobre potências de
expoente natural. Depois, nas séries seguintes, a noção foi ampliada para os expoentes
inteiros e racionais. Aqui, vimos que a noção
de potência pode ser estendida para qualquer
expoente real, guardadas certas restrições
sobre a base. Daí à definição da função exponencial foi um passo.
Em seguida, foi apresentada a noção
de logaritmo, uma ideia nova para os alunos, mas inteiramente articulada com os conhecimentos sobre potências e expoentes,
como se procurou demonstrar, a cada etapa.
A despeito do contexto histórico em que surgiram os logaritmos conduzir a uma associação destes com a simplificação de cálculos,
pretendemos ter demonstrado amplamente
que, hoje, os logaritmos são mais importantes
do que quando surgiram, em novos contextos, que pouco ou nada têm a ver com a ideia
original. É muito importante para o professor destacar tal fato, uma vez que ele é revelador `da fecundidade e da riqueza do pensamento e da linguagem matemática.
É importante reiterar aqui que, como já se
anunciou nas considerações iniciais, a extensão
do material apresentado deve ser considerada
como uma possibilidade de enriquecimento do
trabalho do professor e não um motivo de preocupação, no sentido de fazê-lo sentir-se obrigado a procurar ensinar tudo o que foi posto à
sua disposição. Foram apresentadas aplicações
dos logaritmos em múltiplos contextos: escala
Richter, potencial hidrogeniônico (pH), decibéis, cálculo de juros, entre outros. Não se pode
esperar que o professor tenha disponibilidade
de tempo para todas essas ilustrações: o mais
razoável é que ele escolha uma ou duas delas
(o cálculo de juros costuma ser muito atraente
para alguns docentes) e explore-as da maneira
que achar mais conveniente, estendendo-se em
exemplos e exercícios, a seu gosto, deixando as
outras para um eventual interesse dos alunos em
pequenos trabalhos de pesquisa.
Para que se tenha uma ideia mais nítida
das múltiplas inter-relações entre os diversos
conteúdos, apresentamos, a seguir, a grade
curricular com os conteúdos de Matemática
de todas as séries do Ensino Médio, destacando com um sombreado os conteúdos de outros bimestres e de outras séries diretamente
relacionados aos conteúdos apresentados no
presente bimestre.
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COntEúdOS dE MAtEMátiCA POR SéRiE/biMEStRE
dO EnSinO MédiO
4o bimestre
3o bimestre
2o bimestre
1o bimestre
1a série
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2a série
3a série
NÚMEROS E SEQUÊNCIAS
- Conjuntos numéricos.
- Regularidades numéricas:
sequências.
- Progressões aritméticas;
progressões geométricas; ocorrências
em diferentes contextos; noções de
Matemática Financeira.
TRIGONOMETRIA
- Arcos e ângulos; graus e radianos
- Circunferência trigonométrica:
seno, cosseno, tangente.
- Funções trigonométricas e
fenômenos periódicos.
- Equações e inequações
trigonométricas.
- Adição de arcos.
GEOMETRIA ANALÍTICA
- Pontos: distância, ponto médio e
alinhamento de três pontos.
- Reta: equação e estudo dos
coeficientes, retas paralelas e
perpendiculares, distância de ponto a
reta; problemas lineares.
- Circunferências e cônicas:
propriedades, equações, aplicações em
diferentes contextos.
FUNÇÕES
- Relação entre duas grandezas.
- Proporcionalidades: direta,
inversa, direta com o quadrado.
- Função de 1o grau, função de 2o
grau; significado e ocorrência em
diferentes contextos.
MATRIZES, DETERMINANTES E
SISTEMAS LINEARES
- Matrizes: significado como tabelas,
características e operações.
- A noção de determinante de uma
matriz quadrada.
- Resolução e discussão de sistemas
lineares: escalonamento.
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS,
POLINÔMIOS E NÚMEROS
COMPLEXOS
- Equações polinomiais: história,
das fórmulas à análise qualitativa.
- Relações entre coeficientes e raízes
de uma equação polinomial.
- Polinômios: identidade, divisão
por x − k e redução no grau de uma
equação.
- Números complexos: significado
geométrico das operações.
FUNÇÕES EXPONENCIAL E
LOGARÍTMICA
- Crescimento exponencial.
- Função exponencial: equações e
inequações.
- Logaritmos: definição, propriedades,
significado em diferentes contextos.
- Função logarítmica: equações e
inequações simples.
ANÁLISE COMBINATÓRIA E
PROBABILIDADE
- Raciocínio combinatório: princípios
multiplicativo e aditivo.
- Probabilidade simples.
- Arranjos, combinações e
permutações.
- Probabilidades; probabilidade
condicional.
- Triângulo de Pascal e Binômio de
Newton.
ESTUDO DAS FUNÇÕES
- Panorama das funções já estudadas:
principais propriedades.
- Gráficos: funções trigonométricas,
exponencial, logarítmica e
polinomiais.
- Gráficos: análise de sinal,
crescimento, decrescimento, taxas de
variação.
- Composição: translações, reflexões,
inversões.
GEOMETRIA–
TRIGONOMETRIA
- Razões trigonométricas nos
triângulos retângulos.
- Polígonos regulares: inscrição,
circunscrição; pavimentação de
superfícies.
- Resolução de triângulos não
retângulos: lei dos senos e lei dos
cossenos.
GEOMETRIA MÉTRICA
ESPACIAL
- Organização do conhecimento
geométrico: conceitos primitivos,
definições, postulados, teoremas.
- Prismas e cilindros: propriedades,
relações métricas.
- Pirâmides e cones: propriedades,
relações métricas.
- Esfera e suas partes; relações
métricas; a esfera terrestre.
ESTATÍSTICA
- Cálculo e interpretação de índices
estatísticos.
- Medidas de tendência central: média,
mediana e moda.
- Medidas de dispersão: desvio médio e
desvio padrão.
- Elementos de amostragem.