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A CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL DO CALOR EM REGIME ESTACIONÁRIO
Guilherme Elci Tamiozzo ¹, Lucia Menoncini ², Josiane M. M. de Mello ²
¹ Aluno do curso de Matemática/UNOCHAPECÓ
² Professoras Mestres/ACEA/UNOCHAPECÓ
RESUMO: As equações diferenciais tem grande aplicabilidade nas Engenharias, Física e Matemática.
O estudo realizado abrange uma aplicação das equações diferenciais, especificamente, no que se
refere a um problema que envolve a condução do calor em regime estacionário. Os conceitos que
fundamentam o estudo são compilados a partir do estudo teórico. Por meio destes realizou-se o
balanço de energia térmica em volume de controle, obtendo assim, algumas equações originadas a
partir de certas considerações geométricas e físicas adotadas. Em vista disso, contemplou-se os
processos físicos da condução e da convecção natural visando determinar o perfil de temperatura ao
longo de barras de secção circular uniforme, verificando ainda a transferência de calor entre as barras
e o meio, através da obtenção do coeficiente convectivo natural. A partir disso, foram realizados
diversos cálculos que contemplam inúmeras “especificidades” físicas e propriedades termodinâmicas
dos materiais utilizados, necessárias para o referente estudo. Através dos dados obtidos,
considerou-se e analisou-se o estudo, contemplando possíveis erros obtidos durante a realização do
experimento. Aproveitando o estudo teórico e os dados experimentais obtidos, descreveu-se
analiticamente a distribuição de temperatura ao longo das barras, obtendo assim, o campo de
temperatura T(x), solução do problema proposto. Com a obtenção da curva de temperatura fornecida
pelos dados experimentais comparou-se a curva de temperatura experimental e as curvas descritas
pela solução analítica encontrada, onde apenas uma das correlações empíricas foi adotada para o
cálculo do coeficiente convectivo de transferência de calor por convecção natural. Por fim, analisou-se
o comportamento dos gráficos obtidos, considerando o perfil da curva de temperatura ao longo das
barras, assim como, as propriedades que fundamentam os processos físicos durante a transferência
de calor entre dois sistemas. Através dos resultados comparativos encontrados infere-se que a
solução analítica do problema da condução do calor condiz com os resultados da pesquisa
experimental.
Palavras-chave: Equações diferenciais. Convecção natural. Barras metálicas.
1. Introdução
Uma equação diferencial relaciona uma função incógnita a uma ou mais de
suas derivadas. As equações diferenciais são expressões matemáticas presentes
em diversos modelos físicos, químicos, biológicos, econômicos além de modelos da
engenharia. Compreendendo que o estudo das equações diferenciais é de suma
importância para descrever e solucionar diversas situações do cotidiano, e
objetivando destacar a aplicabilidade destas equações, buscou-se neste estudo
tratar da transferência de calor por condução, que envolve a equação da difusão do
calor, descoberta pelo matemático Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 - 1830), mais
comumente conhecido como Fourier.
Utilizando a teoria das equações diferenciais associada aos aspectos físicos
da condução do calor, foi modelado e resolvido analiticamente o problema
unidimensional da condução do calor em regime estacionário, envolvendo duas
2
barras metálicas de secção uniforme, denominadas aletas, a saber, a barra de cobre
puro e a barra de aço inoxidável AISI 302. Nosso objetivo aqui é a realização de
uma comparação analítica/experimental de um problema clássico da condução
unidimensional do calor em barras de secção reta uniforme em regime estacionário.
O mecanismo físico da condução está associado à atividade atômica e
molecular, uma vez que a condução de calor acontece na direção das partículas
mais energéticas para as partículas de menor energia. A lei de Fourier que define a
equação da taxa de transferência de calor por condução é da forma
A transferência de calor no interior de um sólido e por convecção entre as
fronteiras de um sólido e sua vizinhança é apresentado em superfícies estendidas ou
aletas. Nesse caso, a distribuição de temperatura é representada pela equação:
Por outro lado, a equação da energia para uma aleta com área de secção reta
uniforme é dada por:
Considerando
e realizando alguns cálculos algébricos
juntamente com a teoria das equações diferenciais, chega-se a equação:
onde
,
termopares e
é o comprimento da barra,
é a posição dos
é o coeficiente angular da reta.
A equação (3) fornece o perfil de temperatura ao longo da aleta e, portanto
representa a solução analítica para o problema da condução unidimensional do calor
em regime estacionário, com secção circular uniforme.
Para se obter o coeficiente convectivo, também conhecido como
teórico,
partiu-se de duas correlações empíricas. A primeira, utilizada para cilindros
horizontais isotérmicos, foi descrita por Morgan, o qual sugere uma expressão do
tipo:
onde
e
são tabelados, conforme Tabela 1 e o valor da condutividade térmica
é tabelado para cada material.
3
Tabela 1. Constantes para a convecção livre sobre um cilindro circular horizontal.
0, 675
0, 058
1, 020
0, 148
0, 850
0, 188
0, 480
0, 250
0, 125
0, 333
Fonte: (INCROPERA, DEWITT, 2003, p.385.)
A segunda correlação, de acordo com Bejan (1996), foi sugerida por Churchill
e Chu, os quais recomendam uma única correlação para uma ampla faixa do
número de Rayleigh:
A equação acima é valida sempre que Rayleigh
número de Prandtl (
), Rayleigh (
) e Nusselt (
e para qualquer
) são fornecidos de acordo
com o diâmetro do cilindro. E ainda Prandtl é um valor tabelado e Rayleigh é obtido
através da seguinte equação:
Onde a difusividade térmica
tabelados,
e a viscosidade cinemática
é a aceleração da gravidade,
coeficiente de expansão,
são valores
o diâmetro da secção e
é o
.
Para calcular o erro experimental, para ambas as correlações utilizou-se a
equação:
onde
representa o coeficiente convectivo encontrado via dados da pesquisa
experimental.
2. Materiais e métodos
As barras de cobre puro e aço inoxidável AISI 302 utilizadas neste estudo
apresentam ambas 0.4 polegadas de diâmetro e comprimento de 1 metro. Uma de
suas extremidades estava isolada com isopor e a outra extremidade em contato com
o banho termostático de água, onde a temperatura podia ser regulada, o que
4
caracterizou as barras como aletas. Os instrumentos experimentais estavam
dispostos em uma espécie de caixa fechada com uma tampa de vidro, a fim de que
não houvesse contato com o meio, evitando desta forma, possíveis erros no calculo
do coeficiente convectivo experimental, bem como, alterações nas temperaturas das
barras.
O experimento apresentava oito termopares fixos nas barras, dispostos da
seguinte forma: entre o banho e o primeiro termopar 2 cm, entre o primeiro e o
segundo termopar 5 cm, entre o segundo e o terceiro, o terceiro e quarto, o quarto e
quinto, o quinto e sexto, o sexto e o sétimo intervalos de 7 cm e por fim, o oitavo no
final da barra.
A Figura 1 dispõe a visualização do aparato experimental utilizado.
Figura 1. Aparato Experimental. 1-8: termopares; 9: banho termostático com resistência; 10:
termômetro 11: medidores de temperatura; 12: termostato; 13: barra de aço inoxidável; 14: barra de
alumínio; 15: barra de cobre.
O experimento iniciou-se com a leitura das temperaturas dos termopares
antes que o banho fosse ligado. Após isso, regulou-se a temperatura do banho
termostático a 58°C e realizou-se a monitoração das temperaturas das barras
através dos termopares, aguardando a estabilização das mesmas até que entrassem
em regime estacionário. A temperatura do banho registrada no momento em que as
barras entraram em regime estacionário foi de 55°C.
De forma análoga, regulou-se a temperatura a 88°C e leu-se a temperatura no
momento que as barras atingiram o estado estacionário, a saber, 85º C, conforme
Tabela 2.
Tabela 2. Dados experimentais.
Posição dos termopares (m)
0,02
0,07
0,14
0,21
0,28
0,35
0,42
1,00
Temperatura barra A (°C)
47,50
45,00
42,00
38,00
36,00
35,00
33,00
28,00
Temperatura barra B (°C)
44,00
37,00
31,50
29,00
28,00
28,00
28,00
28,00
Temperatura barra A (°C)
73,00
65,00
58,00
52,00
48,00
44,00
41,00
33,00
Temperatura barra B (°C)
60,00
45,00
35,00
32,00
30,00
30,00
30,00
30,00
5
A presente pesquisa foi realizada no período de 4 de março de 2011 à 20 de
junho de 2011 na cidade de Chapecó.
3. Resultados e discussão
3.1. Perfil de temperatura ao longo das barras
Esta subseção objetiva determinar o perfil de temperatura ao longo das barras
de cobre puro (Barra A) e aço inoxidável AISI 302 (Barra B), visto que há um
gradiente de temperatura, de acordo com os dados da Tabela 2. Para tal, plotou-se
o gráfico da temperatura versus posição dos termopares, conforme os dados da
Tabela 2, para a temperatura inicial
C (ou
Figura 2. Perfil de temperatura ao longo das barras com
em Kelvin).
.
Também plotou-se o gráfico de temperatura versus posição dos termopares
com os dados da Tabela 2 para
°C (ou
Figura 3. Perfil de temperatura ao longo das barras com
em Kelvin).
.
Observando a Figura 2 e a Figura 3, percebe-se que o cobre puro e o aço
inoxidável apresentaram perfis de temperaturas distintos à medida que o calor se
distribuiu ao longo das barras. Este “comportamento” pode ser caracterizado devido
6
à diferença do coeficiente de condutividade térmica do cobre e do aço inoxidável, o
qual está relacionado à estrutura física da matéria, atômica e molecular, que
depende do estado no qual a matéria se encontra (INCROPERA e DEWITT, 2003).
Os valores dos coeficientes de condutividade térmica para o cobre puro e
para o aço inoxidável estão dispostos na Tabela 3.
Tabela 3. Valores da condutividade térmica
Barra de cobre puro
400, 66550
Barra de aço inoxidável AISI 302
15, 16510
Barra de cobre puro
400, 11800
Barra de aço inoxidável AISI 302
15, 21850
Este coeficiente foi encontrado utilizando a temperatura do filme
e
interpolação por meio de tabelas, como a encontrada em Incropera e DeWitt (2003,
p. 643 e 644).
3.2. Obtenção do coeficiente angular da reta
O coeficiente angular da reta ( ) é utilizado para o cálculo do coeficiente
convectivo experimental (
) de transferência de calor. Para obter o coeficiente
angular da reta utilizou-se a linearização da equação (1), ou seja:
Os valores obtidos via equação (8) estão dispostos nas Tabelas 4 e 5, sendo
e
.
Tabela 4. Dados para a obtenção do coeficiente angular da reta para
=55°C=328,15K.
Posição dos
termopares (m)
Temperatura da
Barra A (°C)
Temperatura da
Barra B (°C)
0,02
47,5
0, 276986783
44,0
0, 521661643
0,07
45,0
0, 389464766
37,0
1, 094003986
0,14
0,21
0,28
42,0
38,0
36,0
0, 543615446
0, 794929874
0, 949080554
31,5
29,0
28,0
2, 027686460
3, 237524384
6, 070737728
0,35
0,42
1,00
35,0
33,0
28,0
1, 036091932
1, 236762627
2, 047692843
28,0
28,0
28,0
6, 070737728
6, 070737728
6, 070737728
7
Tabela 5. Dados para a obtenção do coeficiente angular da reta para
=85°C=358,15K.
Posição dos
termopares (m)
Temperatura da
Barra A (°C)
Temperatura da
Barra B (°C)
0,02
73
0, 219053566
60
0, 576460035
0,07
0,14
0,21
65
58
52
0, 397301797
0, 584513339
0, 778669354
45
35
32
1, 207264085
2, 089348062
2, 642348611
0,28
0,35
0,42
48
44
41
0, 932820033
1, 115141591
1, 277660520
30
30
30
3, 320228319
3, 320228319
3, 320228319
1,00
33
1, 913649287
30
3, 320228319
Utilizando os dados da Tabela 4 foram construídos os gráficos de
versus posição dos termopares, obtendo-se assim o coeficiente angular, conforme
Figura 4 e Figura 5.
Figura 4. Curva para obtenção do coeficiente
angular da reta para a barra de cobre, para
C.
Figura 5. Curva para obtenção do coeficiente
angular da reta para a barra de aço inoxidável
AISI 302, para
C.
De acordo com os dados da Tabela 5 obteve-se o coeficiente angular,
conforme visualização nas Figuras 6 e 7.
Figura 6. Curva para obtenção do
coeficiente angular da reta para a barra de
cobre, para
C
Figura 7. Curva para obtenção do coeficiente
angular da reta para a barra de aço inoxidável
AISI 302, para
C.
Os gráficos da Figura 5 e 7 foram construídos com apenas os 5 primeiros
valores obtidos via equação (8). Isso porque os valores encontrados para
são constante nas posições
,
,
e
da barra B, o que
8
indica que, não houve transferência de calor da barra para o meio.
3.3 Determinações do coeficiente convectivo experimental e teórico
Com o coeficiente angular (
) obtido, e a partir das magnitudes da
condutividade térmica, pode-se encontrar o coeficiente convectivo experimental
(
) através da equação:
sendo
o perímetro da seção circular,
a área da seção circular e
a
condutividade térmica do material.
Para o cálculo do coeficiente convectivo teórico ( ) de transferência de calor
por convecção natural utilizou-se algumas propriedades físicas do ar obtidas através
da temperatura do filme
e da interpolação de valores por meio de tabelas, como
a encontrada em Incropera e DeWitt (2003, p. 654).
Com os valores da difusividade térmica
e da viscosidade cinemática do ar
, calculou-se o número de Rayleigh de acordo com a equação (6). Realizou-se
ainda o cálculo do número de Nusselt, utilizando as correlações de Morgan e de
Churchill e Chu via equações (4) e (5) respectivamente. Com os valores de
obtidos pelas duas correlações anteriores, obteve-se
pela correlação de Morgan e
para Churchill e Chu e seus respectivos erros, como sintetizam as Tabelas 6 e 7.
Tabela 6. Valores experimentais e teóricos do
coeficiente convectivo natural
e erros.
Material
Cobre
Aço
3, 2899
Tabela 7. Valores experimentais e teóricos do
coeficiente convectivo natural
e erros.
Material
Cobre
Aço
15, 7953
2, 8924
4, 2124
7, 1775747
5, 48434793
8, 2779781
6, 46582986
8, 5119916
6, 46470059
9, 6700411
7, 75941048
54, 164
188, 007
65, 059
34, 851
61, 386
137, 630
70, 089
84, 204
Observando as Tabelas 6 e 7 percebe-se que o coeficiente convectivo teórico
aumenta com a temperatura e que este coeficiente é maior para o cobre do que para
9
o aço inoxidável. Isso acontece por que ele depende das condições da camada
limite e de uma série de propriedades termodinâmicas e de transporte do fluido
(INCROPERA e DEWITT, 2003).
De acordo com Bejan (1996), na convecção natural o fluido escoa
“naturalmente”, pois o movimento é devido às forças de empuxo no interior do fluido.
Contudo a diferença de temperatura gera diferença de densidade no interior do
fluido, garantido que um gradiente de massa específica é devido a um gradiente de
temperatura e a força gravitacional (INCROPERA e DEWITT, 2003).
Percebe-se ainda que por meio dos coeficientes convectivos obtidos para
, os erros obtidos são relativamente altos. A calibração
inadequada dos termopares assim como, a não estabilização das temperaturas com
o passar do tempo são fatores que podem ter influenciado o experimento e, portanto
este resultado.
3.4 Resolução da solução analítica
A partir da solução particular do problema da condução do calor em aletas
com área de secção reta, dada pela equação (3), determinou-se o perfil de
temperatura das barras.
Usando os valores dos coeficientes convectivos experimentais (
) e o
teórico de Churchill e Chu ( ), obteve-se o perfil de temperatura do cobre puro,
conforme Figura 8.
Figura 8. Perfil de temperatura ao longo da barra de cobre puro,
.
Temperatura experimental.
Temperatura obtida pela equação (3) com h experimental (
Temperatura obtida pela equação (3) com
).
de Churchill e Chu.
10
A Figura 8 foi criada via dados da Tabelas 8.
Tabela 8. Valores de
Posição
dos
Termopares
para a Barra A quando
e
.
Temperatura
(°C) barra A
C
(m)
(°C) com
(°C) com
0,02
47,5
53, 96458796
53, 41260057
0,07
45,0
51, 54279173
49, 79798474
0,14
42,0
48, 52245789
45, 49008633
0,21
38,0
45, 89109098
41, 92699991
0,28
36,0
43, 60695314
38, 98523462
0,35
35,0
41, 63381415
36, 56283357
0,42
33,0
39, 94037675
34, 57584022
1,00
28,0
33, 99485736
28, 33403642
De forma semelhante, usando os valores dos coeficientes convectivos
experimentais (
) e o teórico de Churchill e Chu ( ), obteve-se o perfil de
temperatura do aço inoxidável AISI 302, conforme Figura 9.
Figura 9. Perfil de temperatura ao longo da barra de aço inoxidável AISI 302,
.
Temperatura experimental.
Temperatura obtida pela equação (3) com h experimental (
Temperatura obtida pela equação (3) com
).
de Churchill e Chu.
Os dados utilizados na construção da Figura 9 estão contidos na Tabelas 9.
Tabela 9.
Valores de
Posição
dos
Termopares
para a barra B quando
e
Temperatura
(°C) barra B
C
(m)
(°C) com
(°C) com
0,02
44,0
45, 98755994
49, 25447373
0,07
37,0
34, 49525951
39, 67619019
0,14
31,5
29, 52657011
33, 02930037
11
0,21
29,0
28, 32256197
30, 14613067
0,28
28,0
28, 03080785
28, 89552058
0,35
28,0
27, 96011027
28, 35305320
0,42
28,0
27, 94297890
28, 11775142
1,00
28,0
27, 93750009
27, 93785586
Também foram construídos os gráficos do perfil da temperatura das barras de
cobre puro e aço inoxidável com temperatura inicial
.
A Figura 10 mostra o perfil de temperatura para o cobre puro.
Figura 10. Perfil de temperatura ao longo da barra de cobre puro,
.
Temperatura experimental.
Temperatura obtida pela equação (3) com h experimental (
Temperatura obtida pela equação (3) com
).
de Churchill e Chu.
Os dados utilizados para a construção da Figura 10 estão dispostos na Tabela 10.
Tabela 10. Valores de
Posição
dos
Termopares
para a Barra A quando
e
.
Temperatura
(°C) barra A
C
(m)
(°C) com
(°C) com
0,02
73
83, 11254236
81, 63870106
0,07
65
78, 68382035
74, 03480146
0,14
58
73, 13110676
65, 07321988
0,21
52
68, 26433521
57, 75639349
0,28
48
64, 01555848
51, 79132389
0,35
44
60, 32545743
46, 93914304
0,42
41
57, 14251285
43, 00554794
1,00
33
45, 83124592
31, 00570686
Já a Figura 11 traz o perfil da temperatura para o aço inoxidável, com base nos
dados da Tabela 11.
12
Figura 11. Perfil de temperatura ao longo da barra de aço inoxidável AISI 302,
.
Temperatura experimental.
Temperatura obtida pela equação (3) com h experimental (
Temperatura obtida pela equação (3) com
Tabela 11.
Valores de
Posição
dos
Termopares
para a barra B quando
).
de Churchill e Chu.
e
.
Temperatura
(°C) barra B
C
(m)
(°C) com
(°C) com
0,02
60
74, 24700163
71, 99436373
0,07
45
55, 41444148
51, 01403161
0,14
35
41, 16829641
37, 26982404
0,21
32
34, 30844128
31, 71157057
0,28
30
31, 00525939
29, 46376435
0,35
30
29, 41470004
28, 55473354
0,42
30
28, 64880971
28, 18711425
1,00
30
27, 94083692
27, 93777575
Analisando as Figuras 8 e 10, conclui-se que a solução analítica encontrada
condiz com as proximidades da curva de temperatura experimental. No entanto,
usando o
teórico, percebe-se que o perfil de temperatura obtido via equação (3),
está mais adjacente aos dados experimentais fornecidos pela Tabela 2 quando
comparado com o uso do
. Analogamente pode-se basear esta conclusão para
a Figura 9 e a Figura 11.
4. Considerações
A busca pelo conhecimento científico e a ânsia de comprovar a teoria com a
prática pode ser considerado um dos suportes para o desenvolvimento deste estudo.
Conhecer um pouco da vasta gama de aplicações das equações diferenciais
envolvida no processo de condução do calor foi um diferencial da vida acadêmica
13
que se levará para a vida profissional.
Analisando o desenrolar da pesquisa, os cálculos efetuados e os resultados
comparativos, infere-se que a solução analítica para o problema proposto da
condução do calor unidimensional em regime estacionário para aletas, dada pela
equação (3) está em conformidade com os dados da pesquisa experimental. Desta
forma, pode-se garantir que o modelo matemático foi bem estruturado e que a
solução analítica descreve satisfatoriamente o modelo proposto.
As diferenças entre os dados experimentais e os dados obtidos pela solução
analítica via coeficiente convectivo teórico de Churchill e Chu e via coeficiente
experimental podem ser justificadas por dois aspectos. O primeiro diz respeito ao
fato de que a pesquisa experimental leva em conta a existência de um gradiente de
temperatura, o que não ocorre para o cálculo do coeficiente convectivo teórico. O
segundo
aspecto
pode
estar
relacionado
ao
aparato
experimental,
mais
especificamente ao fato de que os termopares podiam estar descalibrados.
5. Cálculos realizados via dados experimentais
5.1 Temperatura Ambiente
A temperatura ambiente
é resultado da média aritmética de temperatura
de todos os pontos da barra, obtidos durante a primeira leitura dos termopares.
Tabela 12. Dados experimentais.
Temperatura do ar = 24°C
Posição dos termopares (m)
0,02
0,07
0,14
0,21
0,28
0,35
0,42
1,00
Temperatura barra A (°C)
24,00
24,00
24,00
24,00
24,00
24,00
24,00
24,00
Temperatura barra B (°C)
28,00
28,00
27,50
28,00
28,00
28,00
28,00
28,00
e
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5.2 Obtenção da temperatura média de superfície
Barra de Cobre (A),
, então
e
.
e temperatura de filme
:
14
Analogamente encontraram-se a
com os dados da Tabela 2. A partir da
térmica
e
para ambas as barras, de acordo
obteve-se o coeficiente de condutividade
usando interpolação linear e a temperatura do filme. Os resultados são
fornecidos pela Tabela 13:
Tabela 13: Valores de
.
Barra de cobre puro
311, 2125
304, 18125
400, 66550
Barra de aço inoxidável AISI 302
304, 8375
302, 96250
15, 16510
Barra de cobre puro
324, 9000
311, 02500
400, 11800
Barra de aço inoxidável AISI 302
309, 6500
305, 36875
15, 21850
5.3 Cálculo de
Com
de transferência de calor por convecção natural
obtido a partir dos gráficos das Figuras 4, 5, 6 e 7, determinou-se o
valor do coeficiente convectivo experimental via equação:
Os resultados encontram-se na Tabela 14.
Tabela 14: Valores dos coeficientes conectivos experimentais.
Para
Materiais
(W/m²K)
5.4 Obtenção de
Para
Cobre
Aço inoxidável
Cobre
Aço inoxidável
3, 2899
15, 7953
2, 8924
4, 2124
teórico de transferência de calor por convecção natural
Cálculo do número de Rayleigh
Para obter o número de Rayleigh utilizamos a equação (6).
A Tabela 15 dispõe os valores de
Tabela 15. Valores calculados para
obtidos para
.
Para
Material
.
Para
Cobre
Aço inoxidável
Cobre
Aço inoxidável
1260, 08
342, 60
2235, 43
752, 99
15
Cálculo de
pela correlação de Churchill e Chu e por Morgan
Para calcular o número de Nusselt pela correlação de Churchill e Chu,
partiu-se da equação (5), onde Rayleigh
. Por outro lado, para calcular
pela correlação de Morgan, usou-se a equação (4), onde
Com o valor de
encontrado calculou-se
e
.
teórico via equação (4), fazendo
. A Tabela 16 traz os valores de
e
teórico pela correlação
de Churchill e Chu e por Morgan.
Tabela 16. Valores calculados para
teórico pela correlação de Churchill e Chu e por Morgan.
Para
Material
Para
Cobre
Aço inoxidável
Cobre
Aço inoxidável
2, 740540000
2, 101153975
3, 101664085
2, 460655654
7, 177574737
5, 484347935
8, 277978157
6, 465829865
3, 253072720
2, 546589530
3, 623254229
2, 952944584
8, 519916728
6, 647005976
9, 670041161
7, 759410486
6. Referências
BEJAN, Adrian. Transferência de Calor. São Paulo: E. Blücher, 1996.
INCROPERA, Frank P.; DEWITT, David P. Fundamentos de transferência de
calor e de massa. 5ª Ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003.