POLÍCIA MILITAR DE SANTA CATARINA
DIRETORIA DE INSTRUÇÃO E ENSINO
COLÉGIO POLICIAL MILITAR “FELICIANO NUNES PIRES”
PRISMAS
1. Complete a seguinte tabela referente a cubos. (Considere cm, cm2, cm3)
a
Ab
Al
At
V
D
Df
5
81
144
864
343
6
4√2
2. (FAFI-MG) As dimensões de uma piscina olímpica são: 50m de comprimento, 25m de largura e 3m de
profundidade. O seu volume, em litros, é:(D)
a) 3750
b) 37500
c) 375000
d) 3750000
e) 37500000
3.
a)
b)
c)
d)
e)
(CESCEA-SP) Se a soma das arestas de um cubo é igual a 72cm, então o volume do cubo é igual a:(E)
100cm3
40cm3
144cm3
16cm3
216cm3
4.
a)
b)
c)
d)
e)
Uma face de um cubo tem área 81cm2. Seu volume é:(E)
9 cm3
81 cm3
180 cm3
243 cm3
729 cm3
5. A piscina de um clube tem 1,80m de profundidade, 14m de largura e 20m de comprimento. Calcule quantos
litros de água são necessários para enchê-la.(A)
a) 504 000
b) 340 000
c) 250 000
d) 300 000
e) 420 000
6.
a)
b)
c)
d)
e)
Quantas viagens deverão fazer para transportar 136 m³ de areia nesse caminhão?(C)
10
15
20
25
30
7.
a)
b)
c)
d)
e)
A diagonal de um cubo é 6√3m, sua área total e seu volume valem, respectivamente: (A)
216 m² e 216 m³
36 m² e 216 m³
36 m² e 36 m³
144 m² e 18 m³
n.d.a.
8. As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 5cm, 4cm e 3cm. Calcule o volume, a área total e o
comprimento da diagonal desse sólido. (60cm3; 94cm2; 5√𝟐cm)
9. As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 12cm, 10cm e 4cm. Calcule a área total
paralelepípedo.(416cm2)
desse
10. Um paralelepípedo retângulo tem arestas medindo 5, 4 e k. Sabendo que sua diagonal mede 3√10, calcule o
valor de k. (7)
11. Um paralelepípedo retângulo de altura 9dm tem por base um quadrado com perímetro 40dm. Calcule:
a) A medida da diagonal desse sólido (√𝟐𝟖𝟏𝒅𝒎)
b) A área da superfície total
(560dm2)
12. A diagonal de uma face de um cubo mede 5√2dm. Calcule a diagonal, a área total e o volume desse cubo.
(5√𝟑dm; 150dm2; 125dm3)
13. A soma das medidas das arestas de um cubo é de 60dm. Calcule a área total e o volume desse cubo. (150dm2;
125dm3)
14. As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 9m, 6m e 4m. Calcule a medida da aresta de um cubo cujo
volume é igual ao volume do paralelepípedo dado. (6m)
15. Calcule a medida da terceira dimensão de um paralelepípedo, sabendo que duas delas medem 4 cm e 7 cm e
que sua diagonal mede 3√10cm. (5cm)
16. O triângulo ABC está contido num plano que passa por três vértices do cubo, conforme ilustração abaixo:
a) Calcule a área do triângulo ABC.
b) Obtenha a área total do cubo.
17. Quanto mede a diagonal de um paralelepípedo reto retangular no qual as dimensões são 10 cm, 6cm e 8cm?
18. (ITA-SP) Considere P um prisma reto de base quadrada, cuja altura mede 3m e que tem área total de 80m 2. O
lado dessa base quadrada mede:
19. Enche-se um recipiente cúbico de metal com água, dado que um galão do líquido tem um volume de 21 600
cm³ e sendo 120cm a aresta do recipiente, calcule o número de galões que o recipiente pode conter
20. As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 5 cm, 8 cm e 12 cm. Uma cavidade, em forma de prisma
reto de base triangular de 3 cm de lado, estende-se da base inferior à base superior do paralelepípedo.
Determine a área total da figura resultante (dentro e fora).
21. Quantas caixas do tipo e tamanho abaixo podem ser feitas com 41 000 cm² de papelão?
(Dado: √3 = 1,7).
22. Para se fazer uma caixa de papelão com o formato e as medidas da figura abaixo, foram usados 4000 cm² de
papelão. Qual é o volume da caixa?
23. A base de um prisma reto é um hexágono regular de lado 8 cm. As faces laterais desse prisma são quadrados.
Calcule o volume e a área total do prisma
24. (UDESC-SC) Aumentando-se de 1m a aresta de um cubo, sua área lateral aumenta de 164m2. Então, qual era
o volume do cubo original em metros cúbicos?
25. O que o corre com a área e com o volume de um cubo quando:
a) a aresta dobra;
b) a aresta é reduzida a
c) a aresta é reduzida a metade;
1
;
3
d) sua aresta é multiplicada por k.
26. A diferença entre as áreas totais de dois cubos é de 164, 64cm 2. Calcule a diferença entre as suas diagonais,
sabendo que a aresta do menor mede 3,5cm (use √3=1,7). (4,76cm)
27. (PUCCAMP-SP) Usando uma folha de latão, deseja-se construir um cubo com volume de 8dm3. A área da
folha utilizada para isso será, no mínimo:(E)
a) 20cm2
b) 40cm2
c) 240cm2
d) 2000cm2
e) 2400cm2
28. (UDESC-SC) Aumentando-se de 1m a aresta de um cubo, sua área lateral aumenta de 164m 2. Então, o volume
do cubo original em metros cúbicos era:(B)
a) 1000
b) 8000
c) 27000
d) 3375
e) 9261
19. (FATEC-SP) Um prisma quadrangular reto, cujas arestas medem x, x e 2x possui uma diagonal medindo 3𝑎√2.
A área total desse prisma é:(A)
a) 30a2
b) 24a2
c) 18a2
d) 12a2
e) 6a2
20. (ITA-SP) Considere P um prisma reto de base quadrada, cuja altura mede 3m e que tem área total de 80m 2. O
lado dessa base quadrada mede:(C)
a) 1m
b) 8m
c) 4m
d) 6m
e) 16m
21. (Vunesp) As faces de um paralelepípedo retângulo têm por área 6cm2, 9cm2 e 24cm2. O volume desse
paralelepípedo é, em cm3, igual a: (D)
a) 1296
b) 48
c) 39
d) 36
e) 6√6
22. (Fuvest-SP) Um tanque em forma de ppp-ret horizontal, de lados 0,8m e 1,2m. Um indivíduo, ao mergulhar
completamente no tanque, faz o nível da água subir 0,075m. Então o volume do indivíduo, em m3, é:(B)
a)
b)
c)
d)
0,066
0,072
0,096
1,000
23.
a)
b)
c)
d)
e)
(Fuvest-SP) Qual é a distância entre os centro de 2 faces adjacentes de um cubo de aresta 4?(B)
2
2√2
4
4√2
8
24. (UECE) Um prisma reto tem por base um losango cujas diagonais medem 8cm e 4cm, respectivamente. Se a
altura do prisma é de 6cm, então o volume do prisma, em cm3, é:(D)
a) 72
b) 86
c) 92
d) 96
e) Nra
25. Se o lado da base de um prisma quadrangular regular aumentar de 10% e a altura aumentar de 30%, o volume
do prisma aumentará de:(E)
a) 40%
b) 43%
c) 45,5%
d) 55,2%
e) 57,3%
26. (PUC-96/2) Uma peça é formada por três cubos sobrepostos conforme mostra a figura. Se a medida da aresta
do cubo maior é “2a” e a medida da aresta de cada cubo sobreposto é a metade da medida da aresta do cubo
anterior, então a área total da peça é(D)
a) 126a2
b) 116a2
c)
126 2
a
4
d) 29a2
e)
463 2
a
16
27. A piscina abaixo está cheia d´água. Para que o nível da água baixe 20cm, quantos litros de água devem ser
retirados da piscina? Quantos litros de água restarão dentro da piscina? (4000L; 56000L)
28. (ITA-SP) Dado um prisma hexagonal regular de altura 3cm, sabe-se que sua área lateral é o dobro da área de
sua base. O volume desse prisma, em cm3, é: (D)
a)
b)
c)
d)
e)
27√3
13√2
12
54√3
17√5
29. Cada um dos seis braços tem 5cm de comprimento e são feitos de ferro de 2cm x 2cm. Qual o volume? (128cm3)
30. (UF-CE) Os cinco cubos idênticos e justapostos formam uma cruz, como mostra a figura. Se a área total da
cruz é 198cm2, então volume, em cm3, de cada cubo é igual a:(D)
a) 2√2
b) 3√3
c) 8
d) 27
e) 64
31. Calcule a terceira dimensão de um paralelepípedo retângulo, sabendo que duas delas medem 2cm e 4cm e
que sua diagoinal mede 3√5cm. (5cm)
32. A figura representa um prisma pentagonal reto. Calcule sua área lateral. (196m2)
33. (UFMG) Corta-se cada canto de uma placa quadrada de lado “a”, um quadrado de lado 2, conforme a figura
abaixo. Em seguida, as abas são dobradas para cima ao longo das linhas pontilhadas, formando uma caixa
regular, sem tampa, de volume 32. O valor de “a” é:(B)
a) 6
b) 8
c) 9
d) 10
e) Nra
34. As arestas de um cubo de madeira medem 3cm. Buracos quadrados, de 1cm de lado, cortam o cubo indo de
uma face até a face oposta. As arestas desses buracos são paralelas as arestas do cubo. Veja na figura. Qual
é o volume, em cm3, da peça obtida?(20cm3)
35. (PUC-MG) Um tanque de uso industrial tem a forma de um prisma cuja base é um tra[ezio isósceles. Na figura
abaixo, são dadas as dimensões, em metros, do prisma. O volume desse tanque, em m 3, é:(D)
a) 50
8
b) 60
c) 80
d) 100
e) 120
5
5
2
36. (UF-MG)Um recipiente sem tampa, cuja base inferior tem a forma de um triângulo isósceles, foi desdobrado na
chapa cuja forma se vê na figura. O volume do recipiente era de:(D)
a) 1600
b) 1692
25
25
c) 3200
20
24 20
d) 4800
20
20
37. Um prisma hexagonal regular mede 18√3 cm2 de área da base e 36cm2 de área lateral. Calcule sua
altura.(√𝟑cm)
38. A calha da figura a seguir tem a forma de um prisma triangular reto. O ângulo ABC mede 90 o, e as medidas
citadas são internas e em metros. Calcule o volume máximo de água que a calha poderá conter, em
litros.(90000L)
C
1,5
39. (ULBRA – 97/1) Um depósito para materiais de contrução utiliza um caminhão basculante que mede 2,20m de
largura, 3,20m de comprimento e 0,75m de altura. Em um dia de trabalho de 6h, transportando areia, demorando
36min em cada viagem, este caminhão transportará (B)
a) 5,28 m3 de areia
b) 52,8 m3 de areia
c) 31,68 m3 de areia
d) 3,16 m3 de areia
e) 528 m3 de areia
40. O volume de um prisma quadrangular regular é 108dm3 e sua altura é igual ao diâmetro do círculo circunscrito
à sua base. O raio desse círculo é, em dm, igual a:(D)
a) 27
b) 9
c) 6
d) 3
e) 1
41. (ULBRA-97) De um bloco de madeira em forma de paralelepípedo retângulo de dimensão 8x4x3 obteve-se o
sólido abaixo. O volume de material desperdiçado em unidades de volume, é:(B)
a) 36
b) 27
c) 14
d) 12
e) 9
42. (UFRGS-2003) No cubo ABCDEFGH da figura abaixo. M é o ponto médio de BF e N é o ponto médio de DH.
Se a aresta do cubo mede 1, a área do quadrilátero AMGN é:(A)
a)
5
4
b) 2
c)
√6
2
d) 3
e)
√5
2
43. (UFRGS-2003) Se num paralelepípedo o comprimento é reduzido 10%, a largura é reduzida em 5% e a altura
é aumentada em 15% então o volume: (E)
a) Não se altera
b) Aumenta em 0,75%
c) Se reduz em 0,75%
d) Aumenta em 1,675%
e) Se reduz em 1,675%
44. Um prisma reto tem por base um triângulo isósceles de 8cm de base por 3cm de altura. Sabendo que a altura
do prisma é igual a 1/3 do perímetro da base, calcule sua superfície total. (132cm2)
45. Calcule o volume de um prisma quadrangular regular de 25cm² de base sabendo que a medida de sua altura é
igual ao dobro da medida da aresta da base.(250cm3)
46. (UFMT) Em um paralelepípedo retângulo com 4cm de altura, a base tem comprimento cuja medida é igual ao
dobro da medida da largura. Se esse sólido tem 64cm2 de área total, o seu volume, é?(C)
a) 24
b) 30
c) 32
d) 40
e) 48
CILINDROS
1.
a)
b)
c)
d)
e)
(UFRGS) Num cilindro circular reto de volume 36π, a altura mede 4. Então o raio da base mede: (C)
1
2
3
6
9
2. Um cilindro reto, cuja base é um circulo de raio 3 metros, tem 108π m3 de volume. Então, a área total desse
cilindro é: (D)
a) 126π m2
b) 81π m2
c) 72 π m2
d) 90 π m2
e) 108 π m2
3. (PUC-SP) Se triplicarmos o raio da base de um cilindro, mantendo a altura, o volume do cilindro fica multiplicado
por: (C)
a) 3
b) 6
c) 9
d) 12
e) 15
4. (PUC-RS) Uma caixa d’água de forma cilíndrica com 2m de altura contém 2000 litros quando totalmente cheia.
Então o raio da base da caixa d’água é, em metros, igual a: (E)
a) 2√𝜋
b) (√10)⁄𝜋
c) 10⁄√𝜋
d) √𝜋
e) 1⁄√𝜋
5. (PUC-RS) O raio da base de um cilindro é “r” e sua altura “2r”. Um outro cilindro tem altura “r” e raio da base
“2r”. Nessas condições, a soma de seus volumes é: (B)
a) 8 πr3
b) 6 πr3
c) 4 πr3
d) 3 πr3
e) 2 πr3
6. (UFMG) A razão entre a área total de um cubo e a do cilindro reto nele inscrito, nessa ordem é: (faça o desenho)
(C)
a) 2⁄𝜋
b) 3⁄𝜋
c) 4⁄𝜋
d) 5⁄𝜋
e) 6⁄𝜋
7. Num tonel em forma cilíndrica, está depositada uma quantidade de vinho que ocupa a metade de sua
capacidade. Retirando-se 40 litros de seu conteúdo, a altura do nivel do vinho baixa de 20%. O número que
expressa a capacidade desse tonel, em litros é: (C)
a) 200
b) 300
c) 400
d) 500
e) 800
8. Um retângulo mede 15cm por 10cm. Ache o volume do cilindro obtido ao fazer a rotação completa em torno:
a) Do maior lado (1500π cm3)
b) Do menor lado (2250π cm3)
9.
a)
b)
c)
d)
(PUC-RS) A área lateral de um semi-cilindro de revolução de raio da base 2 e altura π é: (B)
2π2
2 π (π + 2)
3 π (π + 2)
2 π2 (π + 2)
e) 3 π2 (π + 2)
10. (PUC-RS) Num cilindro de revolução a medida da altura é o triplo da medida do raio da base e o número que
mede o volume é o mesmo que mede a área total. A altura do cilindro mede: (C)
a) 8/3
b) 4
c) 8
d) 4π
e) 8π
11. (PUC-RS) Corta-se um cilindro de revolução de raio igual a 5cm por um plano paralelo ao eixo e distante 3cm
deste. Se a área da secção obtida é 1/25 da área da base do cilindro, então o volume deste, em cm2 é: (A)
a) 25π2/8
b) 25π/8
c) 5π2/8
d) 5π/8
e) 3π/8
12. (UFRGS/2002) Um sólido é totalmente mergulhado em um cilindro contendo água, causando a elevação do
nível da água em 1,5cm. Se o raio da base do cilindro mede 5cm, o volume do sólido é de: (E)
a) 6,5π cm3
b) 10 π cm3
c) 15 π cm3
d) 25 π cm3
e) 37,5 π cm3
13. (UFRGS) A área total de um cubo é igual a área total de um cilindro equilátero. A razão do raio “r” do cilindro e
a aresta “a” do cubo é: (A)
a) (√𝜋)⁄𝜋
b) (√6𝜋)⁄2𝜋
c) 𝜋𝑟 2 ⁄6
d) (√𝜋𝑅2 )⁄𝜋
e) 𝜋𝑟 2 ⁄𝑎2
14. Uma barra de ferro de 60cm de comprimento tem todas as secções transversais iguais a um quadrado de lado
4cm de lado. No torno se faz dela a maior barra cilíndrica circular reta possível. Qual o volume mais aproximado
em cm3, do material desperdiçado? (B)
a) 200
b) 206
c) 250
d) 256
e) 270
15.
a)
b)
c)
d)
e)
(PUC-RS) Um cilindro equilátero que tem 128π dm3 de volume, tem área total em dm2 igual a: (D)
32 π
48 π
64 π
96 π
128 π
16. A área total de um cilindro circular reto é 108π cm2. Calcule a medida do raio e da altura sabendo que a altura
é a metade do raio. (R = 6 cm; H = 3 cm)
17. A área da base de um cilindro equilátero é 9π cm2. Calcule a área lateral, área total e o volume desse cilindro.
(Al = 36π cm2; At = 54π cm2; V = 54π cm3)
18. Calcule a razão entre o volume de um cilindro circunscrito a um cubo de aresta 4cm e o cilindro inscrito nesse
mesmo cubo. (2)
19. A área da base de um cilindro circular reto é igual a área lateral do mesmo. Sabendo que o volume do cilindro
é 256π cm3, calcule o raio e a altura. (R = 8cm; H = 4cm)
20. O líquido contido em uma lata cilíndrica deve ser distribuido em potes também cilíndricos cuja altura é ¼ da
altura da lata e cujo diâmetro da base é 1/3 do diâmetro da base da lata. Quantos potes serão necessários? (36
potes)
21. Uma das dimensões de um retângulo é o triplo da outra. Obtenha as dimensões, sabendo que, ao girar e m
torno do maior lado. O retângulo gera um cilindro de volume 24π cm3. (2cm e 6cm)
22. Uma ponte de concreto tem a forma da figura abaixo. Suas dimensões estão assinaladas na figura. Qual é o
volume de concreto usado para construir a ponte? (886 m3)
30 m
5m
8m
10 m
23. A área lateral de um cilindro de revolução é a metade da área da base. Se o perímetro de sua secção meridiana
é 18m, calcule seu volume. (16π m3)
24. O que acontece como volume de um cilindro circular reto, se reduzirmos seu raio a metade e quadruplicarmos
sua altura? (Não altera)
25. A figura mostra uma peça de alumínio que tem a forma de um prisma reto. Essa peça apresenta um furo circular,
de 4cm de diâmetro, que a atravessa do centro de uma das bases até o centro da outra. Calcule o volume dessa
peça. (π = 3,14) (351,6 cm3)
6 cm
6 cm
15 cm
26. Calcule o volume do baú representado na figura: (104(6 + π) cm3)
30 cm
20 cm
50 cm
27. Uma peça metálica é feita abrindo-se um canal num cilindro reto, conforme mostra a figura. Qual é o volume da
peça? (112,5π cm3)
6 cm
15 cm
600
28. A embalagem de um certo produto era uma lata cilíndrica de 4cm de altura e 12cm de diâmetro da base. O
fabricante substituiu essa embalagem por uma lata cilíndrica de mesmo material e com mesmo volume da lata
antiga. Se o diâmetro da base da nova embalagem é de 6cm, calcule:
a) A sua altura (H = 16 cm)
b) O percentual de economia de material na fabricação da nova embalagem (5%)
CONES
1. (PUC/2000) Um cilindro reto e um cone circular reto tem o mesmo raio da base, medindo 3m, e a mesma altura
, medindo 4m. A razão entre as áreas laterais do cilindro e do cone é: (B)
a) 3/4
b) 8/5
c) 9/25
d) 8π/5
e) 9π/25
2.
a)
b)
c)
d)
e)
(UCS) O volume de um cone equilátero de altura igual a 3√3 cm é: (E)
9√3 cm3
6√3 cm3
18π cm3
9π cm3
9√3𝜋cm3
3. (UCS) A figura abaixo mostra a superfície lateral de um cone circular reto, desenvolvida num plano. O raio do
cone mede: (C)
a) 2 cm
b) 3 cm
c) 4 cm
d) 5 cm
e) 6 cm
4. (PUC – RS) Num cubo com área total igual a 864dm2 está inscrito em um cone. O volume desse cone, em dm2
é: (D)
a) 12π
b)
c)
d)
e)
36 π
48 π
144 π
432 π
5. (PUC – RS) Um triângulo equilátero de 12cm de lado faz uma rotação de 180 o em torno de uma de suas alturas.
O volume do sólido gerado é, em cm3, igual a: (C)
a) 16 π√2
b) 48 π√2
c) 72 π√3
d) 216 π√3
e) 432 π
6. (UFRGS) A superfície lateral de um cone de altura “h”, quando planificada gera um semi-círculo de raio 10. O
valora de “h” é: (D)
a) √3
b) 3
c) 5
d) 5√3
e) 20
7. (UFRGS) Duplicando a altura e reduzindo à metade o raio da base de um cone de volume V1, obtém-se um
cone de volume V2.O valor de V1/V2 é: (D)
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
8. (PUC – RS) O sólido gerado por um quadrado de lado 6, que gira em torno de sua diagonal, tem volume igual
a: (B)
a) 27π√2
b) 36π√2
c) 72π√2
d) 81π√2
e) 10π√2
9. (UFRGS) o cone e o cilindro da figura têm a mesma base e área lateral. Se a geratriz do cone mede 4, então a
medida da altura é: (B)
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
10. (PUC – RS) Numa peça metálica com a forma da figura, o raio da borda circular superior mede 5cm. Sendo
9cm a altura da peça completa e 3cm a altura do cone, o volume da peça, em cm 3, é: (D)
a) 75 π
b) 115 π
c) 125 π
d) 175 π
e) 225 π
11. (PUC – RS) Um triângulo retângulo isósceles tem catetos iguais a “x”. A área do sólido gerado pela rotação
desse triângulo ao redor de sua de sua hipotenusa é igual a: (A)
a) π𝑥 2 √2
b) 2π𝑥 2 √2
c) 4π𝑥 2 √2
d) (π𝑥 2 √2) / 2
e) (π𝑥 2 √2 ) / 4
12. (UFRGS) Um cone de revolução está inscrito em um cilindro de revolução de mesma base, de raio R, e de
mesma altura h. O volume do espaço compreendido entre o cilindro e o cone é: (A)
2
a) 3 𝜋𝑅2 ℎ
b)
c)
d)
e)
2
3
1
3
1
3
1
6
𝜋𝑅ℎ2
𝜋𝑅2 ℎ
𝜋𝑅ℎ2
𝜋𝑅2 ℎ
13. Desenvolvendo-se a superfície lateral de um cone reto, obtemos um setor circular de 20cm de raio e ângulo
central 216o. Calcule a área total do cone. (384πcm2)
14. (UFRGS) A figura abaixo representa um recipiente cônico com um metro de altura. O volume de água será a
metade da capacidade do recipiente quando o medidor de nível marcar, com erro inferior a 1cm. (A)
a) 80 cm
b) 70 cm
c) 60 cm
d) 50 cm
e) 40 cm
15. (UFRGS) Considere um copinho em forma de cone reto cujo raio é r = 2cm e a altura é h = 2√3cm. Cortandose esse copinho ao longo de uma geratriz, obtém-se um setor circular cuja medida do ângulo em radianos, é
(A)
a) π
b) π / 2
c) π / 3
d) π / 6
e) π / 12
16. (UFRGS) O sólido da figura é um cone equilátero. A intersecção de um plano com este sólido NUNCA será um
(D)
a) Círculo
b) Ponto
c) Triângulo
d) Trapézio
e) Segmento de reta
17. Um copo tem a forma de um cone com altura 8cm e raio da base 3cm. Queremos enchê-lo com quantidades
iguais de suco e água. Para que isso seja possível a altura “x” atingida pelo primeiro líquido colocado deve ser,
em cm (E)
a) 8 / 3
b) 6
c) 4
d) 4√3
3
e) 4 √3
18. Um chope é servido num copo cônico de modo que o líquido atinge 2/3 da altura interna do copo. O volume
restante é ocupado por espuma. Com relação à capacidade total do copo, qual é, aproximadamente, a
porcentagem do volume ocupado pelo líquido? (E)
a) 20%
b) 40%
c) 50%
d) 15%
e) 30%
19. (PUC – RS) Os catetos de um triângulo retângulo medem 3cm e 4cm. A área total do sólido gerado pela rotação
deste triângulo em torno da hipotenusa, em cm2, é: (C)
a) (32𝜋)/ 3
b) 14𝜋
c) (84𝜋)/ 5
d) 20𝜋
e) 25𝜋
20. (PUC – RS) Seja ABC o triângulo representado abaixo. Girando esse triângulo em torno do seu maior cateto,
obtém-se um cone circular reto. O volume desse cone é: (E)
a) 96 𝜋√2 u.v.
b) 72𝜋√2 u.v.
c) 32𝜋√2 u.v.
d) 30𝜋√2 u.v.
e) 24𝜋√2 u.v.
21. (UFRGS- 2001) O volume do sólido de revolução gerado pela rotação de um triângulo equilátero de lado
medindo 2cm em torno de um eixo contendo um vértice e sendo perpendicular a um lado é: (C)
a) 6
b) 𝜋√3
c) (𝜋√3)/ 3
d) (2𝜋√3)/ 3
e) (𝜋4√3)/ 3
22. (UFES) Considere as proposições abaixo: (E)
I) A área lateral do cilindro de raio R e altura h é Al = 2πRh
II) O volume do cilindro de raio R e altura h é V = πR 2h
III) A área lateral do cone de raio R e geratriz g é Al = πR2g
IV) O volume do cone de raio R e altura h é V= πR2h / 3
Diga qual das afirmações abaixo é verdadeira:
a) Todas as proposições são verdadeiras
b) As proposições I e III são verdadeiras
c) Apenas a proposição I é verdadeira
d) As proposições III e IV são verdadeiras
e) Apenas a proporção III é falsa
23. Um cone circular reto tem raio 2m e altura 4m. Qual a área da secção transversal, feita por um plano distante
1m do seu vértice? (π/4)
24. Sabe-se que um cone circular reto tem 24cm de altura e 8 cm de raio. Determine a que distância do vértice ele
deve ser interceptado por um plano paralelo ao plano da base, para que a área da secção obtida seja 25π cm 2.
(15cm)
25. Um quebra luz é um cone de geratriz 17cm e altura 15cm. Uma lâmpada acesa no vértice do cone projeta no
chão um círculo de 2 m de diâmetro. A que altura do chão se encontra a lâmpada? (1,875m)
26. Um cone tem 12cm de altura e um volume de 16πcm2. A que distância do vértice devemos seccioná-lo por um
plano paralelo à base para destacar um cone cujo volume é 2πcm3? (6cm)
27. Um tanque subterrâneo tem a forma de um cone invertido, de eixo vertical, e está completamente cheio (até o
nivel do solo) com 27000 litros de água e 37000 litros de petóleo (o qual é menos denso que a água). Sabendose que a profundidade total do tanque é 8m e que os dois líquidos são imiscíveis, calcule a altura da camada
de petróleo. (2m)
28. A geratriz de um cone circular reto mede 8√3cm e forma com o plano da base do cone um ângulo de 60 o. O
volume desse cone, em metros, é igual a: (D)
29. (F.C.M.S.Casa – SP) Uma firma vai utilizar recipientes cônicos de papel para colocar sorvetes. Os cones terão
geratriz e diâmetro da base de comprimento R. O número máximo de recipientes que poderão ser feitos a partir
de uma folha de papel de raio R é: (B)
a) 1
b) 2
c) 3
d) 6
e) 12
PIRÂMIDES
1.
a)
b)
c)
d)
e)
A medida do apótema da pirâmide regular, cuja aresta lateral mede 15m e a aresta da base, 18m vale: (A)
12 m
13/15 m
15/4 m
14 m
Nda
2. (FCM – MG) Uma prirâmide com 12cm de altura e base formada por um quadrado com 10cm de lado tem a
a)
b)
c)
d)
e)
área lateral, em “cm2”, igual a: (E)
169
130
420
312
260
3.
a)
b)
c)
d)
e)
A área total de um tetraedro regular é √12. A medida de sua aresta vale: (C)
1
(√3)/2
√2
2
Nda
4. Uma pirâmide regular de base quadrada tem aresta da base medindo 6cm e altura 4cm. Calcule:
a) Apótema da base (3cm)
b) Apótema da pirâmide (5cm)
c) Aresta lateral (√𝟑𝟒cm)
d) Área da base (36cm2)
e) Área lateral (60cm2)
f)
Área total (96cm2)
g) Volume (48cm3)
h) Perímetro das arestas (4(6+√𝟑𝟒)cm)
5. (UCS) A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular é igual ao dobro da área de sua base. Se a aresta
da base mede 3cm, então o apótema da pirâmide mede: (A)
a) 3 cm
b) 6 cm
c) 9 cm
d) 12 cm
e) 15 cm
6. (PUC-RS) A área da base de uma pirâmide quadrangular regular é 36m2. Se a altura da pirâmide mede 4m,
sua área total é, em m2, igual a: (C)
a) 38
b) 48
c) 96
d) 112
e) 144
7. (UCS) Se o lado da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 3cm, e sua aresta lateral mede 6cm, então
sua altura mede: (A)
a) 3√3 cm
b) √3 cm
c) 3 cm
d) √5 cm
e) 5 cm
8. (PUC – RS) Se a altura de uma pirâmide regular mede 12cm e a altura de uma face lateral é 5/4 da altura da
pirâmide, então o apótema dessa pirâmide é, em cm, igual a: (C)
a) 9
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25
9. (UFRGS) Um plano paralelo à base de uma pirâmide regular reta de altura H, divide-a em dois sólidos de mesmo
volume. A distância do plano ao vértice da pirâmide é: (E)
a) H/2
b) H2/√2
c) H3/2
d) H/3
𝐻3
e) 2 √4
10. (PUC-RS) A base de uma pirâmide é um triângulo equilátero de lado 36dm e a altura é 6dm. A área total, em
dm2, é: (D)
a)
b)
c)
d)
e)
36√3
72√3
324√3
324(2 + √3)
324(6 + √3)
11. (PUC – RS) O raio do círculo circunscrito à base de uma pirâmide quadrangular regular é 2√2. Se a altura da
pirâmide é 2, seu volume é: (A)
a) 32/3
b) 16/3
c) 8/3
d) 4/3
e) 2/3
12. (PUC – RS) Numa pirâmide quadrangular, a secção feita a 3dm do vértice tem área igual a 45dm 2. Se a altura
da pirâmide é 6dm, então seu volume é, em dm3, igual a: (C)
a) 90
b) 180
c) 360
d) 540
e) 1080
13. (PUC – RS) Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as arestas congruentes com medida “a”. O volume
dessa pirâmide é: (C)
a) (𝑎3 √2)/2
b) (𝑎3 √3)/2
c) (𝑎3 √2)/6
d) (𝑎3 √3)/6
e) 𝑎3 /3
14.
a)
b)
c)
d)
e)
A área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de altura 4 m e de área da base 64m 2 vale, em m2: (B)
128
64√2
135
60√5
32(√2 + 1)
15. A aresta da base de uma pirâmide triangular regular mede 2√3cm. Sabendo que a altura da pirâmide mede
2cm, calcule:
a) a área total (3√𝟑(√𝟓+1)cm2)
b) o volume (2√𝟑cm3)
16. Considerando um tetraedro regular, calcule:
a) Seu volume, sabendo que a área total dele é 4√3cm2((2√𝟐)/𝟑cm3)
b) Sua altura sabendo que seu volume é (9√2)/4cm3(√𝟔cm)
17. A área lateral de uma pirâmide hexagonal regular mede 192cm 2 e a área da base mede 96√3cm2. Calcule o
volume e a aresta lateral. (128√𝟑cm3; (4√𝟓cm)
18. (PUC – RS) A base de uma pirâmide regular é um quadrado cujo lado mede 8√2cm. Se as arestas laterais da
pirâmide medem 17cm, o seu volume, em cm3, é: (B)
a) 520
b) 640
c) 680
d) 750
e) 780
19. O volume de um tetraedro regular mede (√2)/96. Calcule:
a) A área lateral ((3√𝟑)/16)
b) O perímetro das arestas (3)
c) A altura ((√𝟔)/6)
20. Considere uma pirâmide hexagonal regular de 9cm de altura e 8√3cm de aresta da base. Calcule:
a) O apótema da pirâmide (15)
b) A aresta lateral (√𝟐𝟕𝟑cm)
c) A área da base (288√𝟑cm2)
d) A área lateral (360√𝟑cm2)
e) A área total (648√𝟑cm2)
f)
O volume (864√𝟑cm3)
21. Uma pirâmide quadrangular regular, tem 2√3cm de diagonal da base. Se a aresta lateral também mede 2√3cm,
então o volume da pirâmide, em cm3 é: (A)
a) 6
b) 12√3
c) 8√3
d) 4√3
e) 12
22. A base de uma pirâmide regular é um quadrado de 6m de lado, a sua área lateral é 10 vezes de área da base.
Sua altura, em metros, é um número entre: (C)
a) 0 e 10
b) 10 e 20
c) 20 e 30
d) 30 e 40
e) 40 e 50
23.
a)
b)
c)
d)
e)
O perímetro da base de um tetraedro regular de área lateral igual a 3√3 é: (A)
6
√3
6√3
9√3
12√3
ESFERAS
1. O diâmetro de uma esfera é 12cm. Calcule a área e o volume da esfera. (144π e 288π)
2. Determine o raio de uma esfera quando o volume dela for 288π cm3. (6 cm)
3.
a)
b)
c)
d)
e)
Se o raio de uma esfera inscrita em um cubo é 4cm, a diagonal do cubo mede: (B)
8 cm
8√3 cm
8√2cm
4√3 cm
4√2 cm
4.
a)
b)
c)
d)
e)
Uma esfera de 15cm de raio é seccionada por um plano a 9cm do centro. A área da secção plana obtida é: (E)
225 π cm2
135 π cm2
81 π cm2
27 π cm2
144 π cm2
5. (PUC-RS) A secção meridiana de um cilindro em um quadrado com 576cm 2 de área. O raio da esfera
circunscrita a esse cilindro vale, em cm, (B)
a) 12
b) 12√2
c) 24
d) 24√2
e) 48
6.
a)
b)
c)
(PUC-RS) A razão entra a aresta de um cubo e o raio da esfera a ele circunscrito é (C)
1
2
√3
2
2√3
3
d) √3
e) 2√3
7. (PUC-RS) Uma esfera e um cilindro reto que têm o mesmo raio “r” e a altura do cilindro é o dobro do raio da
base. Sendo “A” a área da superfície esférica e B a área lateral do cilindro, então:(E)
a)
b)
c)
d)
e)
B = 2A
B=½A
A=½B
A = 2B
A=B
8.
f)
g)
h)
i)
j)
(UFRGS) A razão entre o volume e a área de uma esfera de raio 2π é: (C)
3/π
π/3
2π/3
2π
π/2
9.
a)
b)
c)
d)
e)
(UFRGS) O volume da metade de uma bola é 18π. A área de sua superfície, incluindo a base, é(C)
15π/2
18π
27π
36π
45π
10. (UFRGS) Os raios AO e OB de uma esfera de centro O formam um ângulo de 60 o. Se AB=4, então o volume
da esfera é (E)
a) 4π/3
b) 32π/3
c) 16π
d) 64π
e) 256π/3
11. (UFRGS) Duas bolas concêntricas têm raios medindo √2 e √6. A intersecção da bola maior com um plano
tangente à bola menor determina uma região plana de área (C)
a) π
b) 2π
c) 4π
d) 6π
e) 8π
12. (UFRGS)Uma esfera de raio R circunscreve duas outras menores, iguais e tangentes entre si. Sendo V1 o
volume da maior e V2 o volume das duas menores juntas, temos (B)
a) V1 = 3V2
b) V1 = 4V2
c) 2V1 = 3V2
d) V1 = 5V2
e) 3V1 = 4V2
13. (PUC-RS) Num frasco, que tem a forma de um cilindro de revolução, com água, coloca-se uma esfera e o nível
da água sobe 4cm. O raio da base do frasco mede 3cm. Desse fato conclui-se que o raio da esfera mede (D)
a) 3√3 cm
3
b) √18 cm
c) 3√2 cm
d) 3 cm
e) Nda
14.
a)
b)
c)
d)
e)
Inscreve-se numa esfera um cubo cuja aresta mede √3cm. O volume da esfera, em cm3, é (A)
9π/2
144 π
36π
4π/3
(32π√3)/3
15. (CESCEM) Duas esferas, de 4cm e 3cm de raio, têm centros no eixo de um cone, como mostra a figura. Calcule
a altura do cone (32)
h
16. Uma esfera de volume 36πcm3está inscrita em um cilindro equilátero. Calcule o volume do cilindro. (54πcm3)
17. Calcule a área total de uma semi-esfera de volume 250π/3 cm3.(75π cm2)
18. A soma de todas as arestas de um cubo mede 24cm. Calcule o volume da esfera inscrita no cubo.((4π)/3cm3)
19. O raio de uma esfera mede 20cm. Um plano que a secciona determina um círculo de área 256π cm 2. Pergunta-
se:
a) A que distância do centro se encontra a secção?(12cm)
b) Qual o volume da esfera?(32000π/3)
c) Quais são as distâncias polares?(8√𝟓 e 16√𝟓)
Tomando a sesção S numa esfera e um ponto B de sua circunferência, chamamos d BP ou dBP’ de distância
polar. (P e P’ são os pólos)
P’
B
O
P
20. Uma esfera tem 450π cm2 de área de superfície. Para que essa superfície dobre, qual deve ser a medida do
raio? (15cm)
21. Uma esfera está inscrita em um cubo de aresta “4”. Calcule:
a) A razão entre a área da superfície esférica e a área total do cubo (π/6)
b) O volume do cubo (64)
22. Um cubo está inscrito em uma esfera de raio 10√3cm. Calcule:
a) A razão entre a área da superfície esférica e a área total do cubo (π/2)
b) A razão entre o volume da esfera e o volume do cubo ((π√𝟑)/2)
23. Um plano intercepta uma superfície esférica numa circunferência de comprimento 8π cm. Determine a área
dessa superfície esférica sabendo que a secção foi feita a 3cm do centro. (100π)
24. Calcule o volume de uma esfera cujo raio mede 6cm. (904,32 cm3)
25. Qual é o volume de uma esfera cujo equador tem 9,42cm de comprimento. (14,13 cm3)
26. Uma bola de basquete que pode ser de couro, sintético ou borracha não deve ter sua circunferência máxima
menor que 749 mm e maior que 780 mm, em qualquer categoria masculina. Quais são os volumes, máximo e
mínimo, aproximados, que uma bola de basquete masculino deve ter? (7 108 692,5 mm3 ; 8 021 086 mm3)
27. Calcule o volume de uma esfera cujo círculo máximo tem 706,5 cm2 de área. (14 130 cm3)
28. Uma esfera de vidro utilizada como objeto decorativo é embalada em uma embalagem cúbica cuja medida da
aresta corresponde ao diâmetro da esfera. A fim de proteger essa esfera durante o transporte, o fabricante
ocupa as partes vazias da caixa com espuma. Sabendo que a aresta da caixa mede 24 cm, qual é o volume
aproximado de espuma utilizado em cada caixa? (6 589,44 cm3)
29. Uma esfera com volume igual a 36π cm3 está inscrita em um cilindro equlátero. Qual é o volume desse cilindro?
(54 π cm3)
30. Qual a área da superfície de uma esfera cujo raio mede 2,5 cm? (78,5 cm2)
31. Calcule a área da superfície de uma esfera cujo volume é de
1570
3
dm3. (314 dm2)
32. Uma fábrica de enfeites natalinos produz bolas decorativas para árvores de Natal, cujo custo de produção de
cada modelo é diretamente proporcional à área da superfície da bola. Se um modelo A dessas bolas tem custo
unitário de R$ 0,08, quantos reais custará a produção de cada bola de um modelo B, cujo raio é o triplo do raio
A? (R$ 0,72)
33. Em um recipiente cilíndrico com 10cm de raio e 15cm de altura, contendo 1212π cm 3 de água, uma esfera de
aço maciça é colocada de maneira a ficar totalmente submersa e não transbordando líquido do recipiente.
Dessa maneira, qual é, no máximo, a área da superfície dessa esfera? (144𝝅 cm2)
TRONCO DE CONE
1. Os raios das bases de um tronco de cone são respectivamente 9cm e 5cm. Sabendo que a altura é 5cm,
determine o volume deste tronco. (755π/3 cm³)
2. As áreas das bases de um tronco de cone reto são 25π cm² e 9π cm². Sabendo que o volume do tronco é de
49π cm³, calcule a altura k do tronco. (3cm)
3. Um copo tem a forma de um tronco de cone. Suas bases tem diâmetros de 8 cm e 6 cm, enquanto que sua
altura é de 10 cm. Qual é o volume máximo de água, em ml, que esse copo pode conter? (370π/3 ml ou 387,26
ml aproximadamente)
4. Considere um tronco de cone reto cuja área lateral é 405π cm2, a geratriz mede 15cm e o raio da base maior é
o dobro do raio da base maior.
a) Qual a medida do raio da base maior? (18cm)
b) Qual a medida do raio da base menor? (9cm)
c) Calcule a área total da superfície desse tronco de cone.(810π cm2)
5. Um marceneiro cortou uma peça de madeira em forma de cone com 48cm de diâmetro e 45cm de altura
paralelamente à base a 15cm do vértice, obtendo um cone menor e um tronco de cone.
a) Calcule a medida do raio menor do tronco de cone. (8cm)
b) Qual a área total da superfície do cone menor? E do tronco de cone? (628cm2; 5.425,92cm2)
6. O rebolo cônico é um instrumento musical de percussão cuja forma é de um tronco de cone reto vazado na
base menor e geralmente revestido de couro na base maior. Para confeccionar um instrumento desses com
50cm de altura e raios da base menor e maior medindo, respectivamente, 10cm e 15cm, quantos centímetros
quadrados de madeira ou alumínio são necessários para confeccionar sua superfície lateral? ( 4.388,15cm2)
7. Sabendo que a geratriz de um tronco de cone reto mede 25cm e as bases têm raios medindo 6cm e 13cm,
calcule o volume desse tronco. (7.108,96cm3)
8. Um reservatório de água tema forma de tronco de cone reto, com diâmetro de 70dm na base maior e 48dm na
base menor. Sabendo que sua capacidade é 165.854,8 litros, qual é a altura desse reservatório? (60dm)
9. Uma forma de bolo tem o formato de um tronco de cone reto, em que o fundo corresponde à base menor. A fim
de reservar espaço para que a massa de certo bolo cresça ao assar, é acondicionada na forma uma quantia de
massa correspondente a 75% de sua capacidade. Medidas: diâmetro base menor: 20cm, diâmetro base maior:
26cm, altura da forma: 6cm.
a) Qual a capacidade dessa forma? (2.505,72cm3)
b) No preparo do bolo citado, qual é o volume máximo de massa, em mililitros, que deve ser acondicionado na
forma? (1879,28 ml)
10. Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de um triângulo retângulo, cujos catetos medem 16 cm e 12 cm,
em torno da hipotenusa.
11. Ao submergir totalmente uma peça maciça com forma de tronco de cone reto num recipiente cilíndrico de 26
cm de diâmetro, o nível da água aumenta 4 cm. Determine a altura da peça mergulhada sabendo que os raios
das bases medem 13 cm e 3√13 cm.(12cm)
TRONCO DE PIRÂMIDE
1. Dois triângulos equiláteros, um com lados medindo 9m e o outro com lados medindo 3m, são as bases de um
tronco de pirâmide reta de aresta lateral 5m. Calcule a área total desse tronco de pirâmide. (9.(𝟖 +
𝟓√𝟑
𝟐
)m2).
2. Um tronco de pirâmide quadrangular regular possui diagonal da base maior igual a 12√2 cm e aresta da base
menor com 4cm. Sabendo que o apótema do tronco forma um ângulo de 45° com a base determine
a) A altura do tronco da pirâmide (4cm)
b) Área lateral(128√𝟐 cm2)
c) Área total(32.(4√𝟐 + 𝟓) cm2
d) Volume
3. Sabendo que a área total de um tronco de pirâmide hexagonal regular possui 924√3 cm2 e que as áreas das
bases menor e maior possuem, respectivamente, 150√3 cm2 e 384√3 cm2, quais são as medidas das arestas
da base maior, das arestas da base menor e a altura desse tronco de pirâmide? (10cm, 16cm, 4√𝟑 cm2)
4. (UTFPR-PR) Uma embalagem de papelão tem o formato de um tronco de pirâmide hexagonal regular. A altura
do tronco é 12cm e as arestas das bases maior e menor medem, respectivamente, 8cm e 6cm. Uma jovem
deseja encapar a base maior e as laterais dessa embalagem com papel decorativo autocolante. De quantos
a)
b)
c)
d)
e)
centímetros quadrados desse papel ela precisará aproximadamente? (B)
508
492
663
768
387
5. Uma forma de alumínio tem o formato de um tronco de pirâmide hexagonal regular com bases medindo 10cm
e 8 cm e altura medindo 6cm. Qual é a capacidade, em litros, dessa forma? (considere √3 = 1,7) (1,2444L)
6. Uma pirâmide hexagonal regular foi secionada por um plano paralelo à base, de modo que o tronco dessa
pirâmide e a pirâmide, obtidos após a seção, possuem a mesma altura. Sabendo que a aresta da piêmide
original é a e a altura é 2a, determine em função de a:
a) A área da base da pirâmide obtida (
b) O volume da pirâmide obtida(
𝒂𝟑 √𝟑
𝟖
𝟑𝒂𝟐 √𝟑
𝟖
)
)
c) O volume do tronco de pirâmide obtido(
𝟕𝑎 3 √𝟑
𝟖
)