Álgebra como lenguaje
para expresar
generalizaciones
Escuela de Invierno en
Didáctica de la Matemática
Salto – Uruguay
agosto 2006
Prof. Luiz Márcio P. Imenes
[email protected]
Nomenclatura relativa a la escolaridad
básica
Edades
Uruguay
1a2
3a5
Inicial
6 a 11
Primaria
12 a 14
Secundaria o
Media
Bachillerato
15 a 17
Brasil
Educação
infantil
Ensino
fundamental
Ensino médio
Sumario
1. ¿Por qué álgebra?
2. El tratamiento tradicional del álgebra
3. Críticas al tratamiento tradicional
4. Una propuesta alternativa al tratamiento
tradicional
5. Bibliografía
1. Por que álgebra?
• Aclaración: se hará referencia al álgebra
enseñada en la educación fundamental
(primaria y secundaria o media).
En la visión del alumno, de modo ingenuo, ella
puede ser caracterizada como “cálculo con
letras”.
• A veces, en diarios, revistas o folletos, aparece
una fórmula. Mas, son raras las situaciones de
la vida cotidiana que utilizan lenguaje
algebraico. En ese sentido, es irrelevante la
importancia social del álgebra.
• Entretanto, el álgebra está en todos los campos
de la Matemática siendo, por tanto, esencial
para los avances en sus estudios.
• Por otra parte, es herramienta indispensable y
poderosa en Física, Biología, Química,
Astronomía, Geografía, Ingeniería, Economía,
Arquitectura, Medicina, Administración, etc.
2. Tratamiento tradicional del álgebra
El contacto con el álgebra se inicia alrededor de los
12 años, intensificándose en los dos años siguientes.
El foco es el desarrollo de habilidades de cálculo
escrito mecánico. La resolución de problemas es
secundaria.
Se enseñan los siguientes tópicos:
•
•
•
•
•
Expresiones algebraicas
Ecuaciones de 1º grado
Inecuaciones de 1º grado
Sistemas de ecuaciones de 1º grado
Adición, sustracción, multiplicación y división de polinomios.
• Productos notables: (a + b)2, (a – b)2, (a + b)(a – b), (a + b)3 e (a – b)3
• Factorización: fator común, agrupamiento, diferencia de fracciones,
trinomio cuadrado perfecto, trinomio de 2º grado (caso particular),
suma de cubos, diferencia de cubos
• MDC e MMC de polinomios
• Simplificación de operaciones con fracciones algebraicas
• Ecuaciones de 2º grado: fórmula y relaciones entre coeficientes y
raíces
• Factorización de trinomios de 2º grado
• Ecuaciones fraccionarias
• Ecuaciones bicuadradas
• Ecuaciones irracionales
• Sistemas de ecuaciones de 2º grado
• Funciones: plano cartesiano, dominio e imagen, gráfico
• Función afín
• Función cuadrática
• Inecuaciones de 2º grado
• Después de esos tres años, tales contenidos
pasan a ser considerados pre-requisitos para el
estudio de funciones, logaritmos, progresiones,
matrices, determinantes, sistemas lineales,
números complejos, ecuaciones polinómicas,
análisis combinatorio, estadística, probabilidad,
matemática comercial y financeira, geometría
métrica, geometría analítica, trigonometría,
derivadas, ...
3. Críticas al tratamiento tradicional
• La experiencia vivida en las escuelas ha
demostrado que los alumnos aprenden muy
poco de esa álgebra que les enseñamos. La
mayoría fracasa.
• Interesantes testimonios como los de C. G.
Jung y los del matemático brasileño L.
Nachbin, señalan unas de las causas de ese
fracaso.
• C. G. Jung así se expresó sobre sus relaciones con la
matemática escolar:
“O colégio me aborrecia. (...) A álgebra parecia tão
óbvia para o professor, enquanto que para mim os
próprios números nada significavam (...) A minha
grande confusão era saber que as quantidades
podiam ser substituídas por letras, que são sons (...)
Com grande espanto descobri que ninguém entendia a
minha dificuldade. (...) Reconheço que o professor se
esforçava consideravelmente no sentido de me
explicar a finalidade de singular operação que
consiste em transpor em sons quantidades
compreensíveis” (...)
“O que mais me irritava era o princípio: “se
a = b e se b = c, então a = c”. Tendo sido
dado, por definição, que a é diferente de b, por
conseguinte não pode ser igual a b, e ainda
menos de c. Quando se trata de uma
igualdade, diz-se que a = a, b = b etc. Mas
dizer que a = b me parecia uma fraude
evidente, uma mentira. Minha honestidade
intelectual revoltava-se contra esses jogos
inconseqüentes que me barravam o caminho à
compreensão das matemáticas.” (...)
“Foi penosamente, portanto, que me equilibrei
nessa matéria, copiando as fórmulas
algébricas cujo conteúdo permanecia
misterioso para mim (...)
As aulas de Matemática tornaram-se o meu
horror e o meu tormento.” (...)
JUNG, C.G. Memórias, sonhos e reflexões.
Rio de Janeiro, Editora Nova Fronteira, 1983.
• Leopold Nachbin, reconocido matemático brasileño,
así registró sus dificultades con el álgebra:
(...) “Foi nesse estado psicológico de ser considerado
um bom aluno, acima da média, que me tornei
estudante do Ginásio Pernambucano, um dos
melhores estabelecimentos de ensino secundário de
Recife, na época. Ainda assim, logo no primeiro ano
de Ginásio, tive um sério tropeço no estudo da
Matemática, saindo-me mal em uma prova. Uma de
minhas dificuldades de então consistia em não
compreender o raciocínio de “por uma problema em
equação”. (...)
NACHBIN, L. Talento, criatividade e expressão.
Anais do 5º Congresso Interamericano de Educação
Matemática, 1979.
• Estudios y prácticas en Educación Matemática
confirman que, en ese tratamiento tradicional,
el álgebra carece de significado para los
alumnos.
• Los principales obstáculos de su aprendizaje
residen en una total ausencia de sentido de los
cálculos algebraicos.
4. Una propuesta alternativa al
tratamiento tradicional
• Para atribuir significado al álgebra, vamos a
entenderla esencialmente como lenguaje.
• En un primer plano, lenguaje para expresar
(comunicar) generalizaciones. Eso lleva a las
funciones y sus variables.
• En un segundo plano, letras son usadas en la
resolución de problemas para representar
cantidades desconocidas. Eso lleva a las
ecuaciones y sus incógnitas.
Detalle de la propuesta
Como referencia aproximada, serán
consideradas las siguientes fases de trabajo:
• 6 – 10 años
• 11 – 12 años
6 – 10 años
• Desde el inicio, se busca desarrollar en el
alumno la percepción de la expresión de
patrones (regularidades).
• Se exploran patrones geométricos y numéricos
en mosaicos, en secuencias de figuras y en
secuencias numéricas, en la escritura de los
números, en el cálculo mental, en la
multiplicación, ...
• Alrededor de los 10 años, las expresiones
numéricas son tratadas como forma de expresar
un razonamiento en la resolución de ciertos
problemas que involucran números.
• Paralelamente van siendo construídas las
relaciones de las inversas entre adición y
sustracción, multiplicación y división.
11 – 12 años
• Prosigue el trabajo con observaciones y
expresiones de patrones en diferentes
situaciones, como en el estudio de múltiplos y
divisores.
• La observación de regularidades es usada para
atribuir significado a la multiplicación de
números negativos y a las potencias de
exponente entero menor que 2.
• Paralelamente, tiene continuidad en el trabajo
con expresiones numéricas.
• La generalización de las regularidades
observadas lleva a las fórmulas, en las cuales
las letras representan cantidades variables.
• En situaciones contextualizadas, se usan las
expresiones “depende de”, “varía como”, “en
función de”.
• Se inicia la construcción del otro significado
para el álgebra: la resolución de problemas,
cantidades desconocidas son representadas por
letras. Eso lleva a las ecuaciones y sus
incógnitas. Al inicio, esas ecuaciones son
resueltas con base en las operaciones inversas.
En un segundo momento, se hace analogía con
la balanza de dos platos.
5. Bibliografía
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares
Nacionais: matemática. Brasília: SEF/MEC, 1998.
DINIZ, M. I. de S. V.; SOUZA, E. R. de. Álgebra: das variáveis às
equações e funções. São Paulo: CAEM/IME-USP, 1996.
IMENES L. M.; LELLIS, M.; MILANI E. Matemática Paratodos: 1ª a 4ª
séries. São Paulo: Scipione, 2004.
IMENES L. M.; LELLIS, M. Matemática Paratodos: 5ª a 8ª séries. São
Paulo: Scipione, 2001.
JAKUBOVIC, J.; IMENES L. M.; LELLIS, M. Álgebra. Coleção Pra que
serve Matemática? São Paulo: Atual, 1992.
______. Equação do 2º grau. Coleção Pra que serve Matemática? São
Paulo: Atual, 1992.
LINS, R. C.; GIMENEZ, J. Perspectivas em aritmética e álgebra para o
século XXI. Campinas: Papirus, 1997.
•
MASON, J.; GRAHAM, A.; PIMM, D.; GOWAR, N. Routes
to/Roots of Algebra. London: The Open University, 1985
•
NCTM. Normas para o Currículo e a Avaliação em Matemática
Escolar. Lisboa: APM, 1991.
•
TINOCO L. A. A. (coord.) Construindo o conceito de função no
ensino fundamental. Rio de Janeiro: Projeto Fundão/IM-UFRJ, 1996.
Presentación realizada en la
“Escuela de Invierno de Didáctica de la Matemática”
Salto 2006
por el profesor brasileño
Marcio Iménes
Traducida al español por Uruguay Educa
Montevideo
agosto - 2009