DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO | Fernando Mori
DISTRIBUIÇÃO
AMOSTRAL DA MÉDIA E
PROPORÇÃO
ESTATISTICA AVANÇADA
Resumo
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Fernando Mori
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DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO | Fernando Mori
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E
PROPORÇÃO
Unidade 1 – Definição
Inicialmente vamos considerar alguns conceitos básicos sobre estimação.
População é o conjunto formado por indivíduos ou objetos que tem pelo menos uma variável
comum e observável.
Amostra: fixada uma população, qualquer subconjunto formado exclusivamente por seus
elementos é denominado amostra dessa população. (n) é o número de elementos da amostra.
Amostragem: é o processo de seleção de uma amostra, que possibilita o estudo das
características da população.
Erro amostral: é o erro que ocorre justamente pelo uso da amostra.
Parâmetro: é a medida usada para descrever uma característica numérica populacional.
Genericamente representamos por  . A média (), a variância (2) e o coeficiente de
correlação () são alguns exemplos de parâmetro populacionais.
Estimador: também denominado estatística de um parâmetro populacional; é uma
característica numérica determinada na amostra, uma função dos seus elementos.


Genericamente representamos por  . A média amostral x , a variância amostral ( s 2 ) e o
coeficiente de correlação amostral (~) são exemplos de estimadores.
Estimativa: é o valor numérico determinado pelo estimador, que genericamente
representamos por  0 .
O erro amostral que designamos por  é :

   

O valor de  varia em cada uma das
N
n
amostras do tamanho n, tiradas da população:

1  1
amostra

amostra 2   2


amostra 3   p



Logo  é uma variável aleatória e como tal podemos determinar E (  ) e VAR (  ).
1
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Unidade 2 – Tipos de Amostragem
2.1. Amostragem Casual Simples
Considere uma população x1 , x2 ,, xn com elemento genérico x j , com 1  j  N e a
amostra x1 , x2 ,, xn com elemento genérico xi ,1  i  n .
Definição: uma amostra se diz casual simples quando Px j  xi  
i  1,2,, n e j  1,2,, N
1
quaisquer que sejam
N
Isto significa que em uma amostra casual simples, todos os elementos da população têm a
mesma probabilidade de serem selecionados.
a) Quando a amostragem é feita com reposição para n =2, temos:
1
P  X 1  x1 , X 2  x1   2
e
N
1
2
1
P  X 2  x1 , X 1  x1   N 
1
N
N
b) Quando a amostragem é sem reposição para n =2 temos:
1
P  X 1  x1 , X 2  x1   0
e
sendo
P  X 1  x1  
N
1
P  X 2  x 2 , X 1  x1  
por tan to
N 1
1
P  X 1  x1 , X 2  x 2  
N  N  1) 
2.1.1 Exemplo:
Considere a população formada por 1,2,3,4,......,7,8 e 9.
  1  2  3    7  8  9 / 9
A média da população é
 5
Retiramos dessa população amostras de tamanho 3.
a) com reposição.
 1,1,1  x  1
a1) amostra com os menores valores:
  1  5  4
  x   
2
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a2 ) amostra com os maiores valores:
 9,9,9  x  9
  95  4
  x 4
 portanto
b) sem reposição
b1) amostra com os menores valores
 1,2,3  x  2
  2  5  3
 7,8,9  x  8
b2) amostra com os maiores valores
Portanto:
 85  3
 3
Concluímos que o erro amostral é menor quando se usa amostragem sem reposição.
2.3. Amostragem por estratificação
Considere o exemplo anterior. Vamos usar um variável critério para separar a população em
estratos.
No exemplo, o critério de estratificação será :
E1: grupo formado pelos 3 menores valores
E2: grupo formado pelos 3 valores centrais
E3: grupo formado pelos 3 maiores valores
E1 = 1, 2, 3
E2 = 4, 5, 6
E3 = 7, 8, 9
Selecionamos um elemento de cada estrato para formar amostras de tamanho 3.

x4
- amostras com menores elementos  1,4,7 
  1


x6
- amostras com maiores elementos  3,6,9 
 1

 1
Portanto:
3
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2.3.1 Exemplo:
Dada a população de 50.000 operários, formar uma amostra de 5% de operários para estimar
seu salário médio.
Usando a variável critério “cargo” para estratificar essa população e considerando amostras
de 5% de cada estrato obtido temos:
Cargos
Chefe de seção
Operários especializados
Operários não especializados
População
5.000
15.000
30.000
50.000
Amostra
250
750
1.500
2.500
A amostragem por estratificação tem as características:


Dentro de cada estrato há uma grande homogeneidade ou então uma pequena
variabilidade.
Entre os estratos há uma grande heterogeneidade ou então uma grande variabilidade.
Assim no primeiro exemplo foi retirado o mesmo número de elementos de cada estrato e no
segundo fizemos uma partilha proporcional.
4
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Unidade 3 – Distribuição Amostral da média
De uma população x, tiramos uma amostra de tamanho n constituído pelos elementos
1 n
x1 , x2 ,, xn . O estimador da média  populacional na amostra é x   xi
n i 1
3.1 Proposição 1:
A média das médias amostrais ou E ( x ) é igual a média  populacional ou E( x ) =x
1 n  1  n  1 n
E ( x )  E   xi   E   xi    E  xi 
 n i 1  n  i 1  n i 1
1
1
1


E x       n    

n
n
n
Temos que:
E x   
Ex 
n
n
i 1
i 1
Quando E( ˆ ) =  o estimador ˆ é não viciado ou não tendencioso. Logo x é um estimador
não tendencioso de .
3.1 Proposição 2:
A variância da média amostral é igual a variância populacional dividida pelo tamanho da
2
2
amostra VAR x   x 
n



Portanto, se x : N  ,  2 e se dessa população retiramos amostras de tamanho n, então:
 2 
 isto é a distribuição da variável x por amostragem casual simples será sempre
x : N   ,
n 

normal com a mesma média da população x e a variância n vezes menor. Isso significa que
quanto maior o tamanho da amostra, menor será a variância de x , ou o estimador x será
mais preciso a medida que o tamanho da amostra aumenta.
5
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
f x
f (x)

f x 
1
x
 1  x   2 
 
exp   

 2   x  
2


Como  x 
2
n


n


1 x
exp   

 2 
2  


n
concluímos que : f x 

n



2




Se x é normal então x também é normal.
Se a população x não é normal, a variável x não será “exatamente” normal, mas sim
x  x
aproximadamente normal isto é, a variável z 
limite a distribuição N (0, 1).
x
Se x é uma população não normal com parâmetros  e  2 se retirarmos dela uma amostra
2


de tamanho n suficientemente grande, então x  N   ,   .

n 
Se a população for finita e de tamanho N conhecido, e se a amostra de tamanho n dela

N n

retirada for sem reposição então:  x 
N 1
n
3.2 Resumo:
A média das médias é igual à média populacional,  x  
O desvio padrão das médias é o desvio padrão populacional dividido por
x 
3.3 Teorema:
6

n
n
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Ao selecionar amostras aleatórias de tamanho n de uma população com média µ e o desvio
padrão , a distribuição das médias amostrais x tende a uma distribuição normal quando o
tamanho da amostra é grande independente da distribuição da população. A distribuição
normal terá média e desvio padrão dadas por:

 
x
x


n
Se a população for finita e do tamanho N conhecido:
x 

N n
N 1
n
3.4. Exemplos de Aplicação:
3.4.1) Temos uma população de 5.000 alunos de uma faculdade. Sabemos que a altura média
dos alunos é de 1,75cm e o desvio padrão 5cm. Retiramos uma amostra sem reposição de
tamanho n =100.
  175
x : N 175,25
  5
 x  E ( x)  175
Então:
x 

n

N n
5 5000  25

 0,49880
N  1 10 5000  1
Logo, a média das médias amostrais é 175cm e o desvio padrão da média amostral é 0,5cm.
O número de amostras sem reposição é  N  , no caso presente  1000  .
 100 
n
Calculando sem o fator de correção, temos  x 

n

5
 0,5 e, portanto:
10
Quando tiramos uma amostra grande de uma população de tamanho muito maior que o da
amostra (pelo menos o dobro) é indiferente usar o fator de correção para populações finitas,
para se calcular
 x , porque o erro é muito pequeno.
7
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3.4.2) Seja x : N 80,26  . Dessa população retiramos uma amostra de n =25.
Calcular:
a) a) P  x  83
b) b) P  x  82
c) c) P  x  2 x    x  2 x






a) Como :
  80


x : N  80, 26  
26  5,10

 
 x  80
z 
P
x
x
2
x 
e
n
26 

x : N  80,

25 



n

5,10
 1, 02
5
x  x  80
1, 02
 x  83  P  z  2, 94   0, 5  0, 498359  0, 001641
z1 
83  80
 2, 94
1, 02
80

83
x

b) P x  82  Pz  1,96  0,5  0,475002  0,975002
80
8
82
x
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c)


 P    2  x    2  
x
x
P  80  2 1, 02   x  80  2 1, 02   
 P  77, 96  x  82, 04   P  2  z  2  
P x  2
x
   x  2
x
 2  0, 477250   0, 954500
77,96%
80
82,94
x
Temos 95,45% de confiança de que se retiramos dessa população normal uma amostra de 25
elementos, a média da amostra estará no intervalo (77,96; 82,04) ou então se selecionamos
100 amostras de tamanho 25, em 95 delas o valor da média pertencerá ao intervalo e em 5
delas a média não pertencerá ao intervalo.
9
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3.4.3) Seja x : N 100,85 . Retiramos uma amostra de tamanho n =20. Determinar:


a) P 95  x  105


b) P x  z . x    x  z . x  0,95
   100
x : N 100,85 2

  85
 x  100
z

e
x 
85 

x : N 100, 
20 

2
n

85
 4,25  2,06
20
x  100
2,06
 

a) P 95  x  105  P  2,43  x  2,43  2.0,492451  0,984902
95
100
105
x
A probabilidade de x pertence ao intervalo (95, 105) é de 98,4% e a de não pertencer a esse
intervalo, que seria o risco de se retirar um valor de x < 95 ou x > 105 é de 1,6%.
10
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b) A probabilidade neste caso já está dada. Precisamos determinar o valor de z tal que 0,95
seja a probabilidade de que a média  esteja entre os dois limites x  z  x e 0,05 seja a
probabilidade de que a média esteja fora deste intervalo.


P x  z . x    x  z . x  0,95
0,475
- z
0
z
Pela tabela: z  z0,475  1,96


Logo: P x  1,96.2,06  100  x  1,96.2,06  0,95
Assim:
x  1, 96  2, 06   100  x  104, 04
100  x  1, 96  2, 06   95, 96  x  104, 4


P 95,96  x  104, 04  0,95
A probabilidade de que x  ao intervalo acima é de 95% o que significa que temos confiança
de 95% de que retirada uma amostra de n =20, a média dela estará entre 95,96 e 104,04 ou
então um risco de 5% de que esta média seja < 95,96 ou > 104,04.
11
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3.4.4) Seja x : N 1200,840  . Qual deverá ser o tamanho de uma amostra de tal forma que
P(1196 < x <1204) =0,90.
   1200
x : N 1200,840 2
  840
 x  1200
x 
x 
z
2
n
28,98

840
n
n
x
x
1196
1200
1216
x
z  z0,45  1, 64
 1,64 

n 
1196  1200
28,98
n
1,64  28,98 
4

1,64 
ou
1204  1200
28,98
n
n  11,88  n  141,13  n  141
0,45
z
- z
0
z
Portanto se retirarmos uma amostra de 141 elementos da população x, teremos 95% de
confiança que x estará no intervalo (1196, 1216) e P( x >1216)=0,025, o que significa que o
risco que corremos de que o valor da média caia fora do intervalo anterior é de 5%.
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Unidade 4 – Distribuição Amostral das Proporções
1. Introdução
Veremos a distribuição amostral da proporção p de sucessos, características que se estuda na
população.
Seja p conhecida. A população pode ser definida como uma variável x tal que:

 x  1 se o elemento da população tem a característica


 x  0 se o elemento não tem a característica
P  x  1  p
P  x  0  q
p  q 1
  E  x   p

Sabemos que: 
2

  VAR  x   pq  p 1  q 
Retiramos uma grande amostra, n  , x1 , x2 ,, xn dessa população com reposição e
definimos x como o número de sucessos na amostra, isto é, o número de elementos da
amostra com a característica que se quer estudar.
x
O estimador de p é definido por pˆ  : proporção de sucessos na amostra.
n
x : B(n, p)
e
E ( x)  np
VAR( x)  npq
Calculando a esperança e variância de p̂ temos:
1
 x 1
E ( pˆ )  E    E ( x)  .np  p  E ( pˆ )  p ,
n
n n
o que garante que para grandes amostras a proporção amostral se distribui com média igual a
proporção populacional.
1
 x 1
VAR( pˆ )  VAR   VAR( x)  2 .npq
n
n n
VAR( pˆ ) 
pq
n
ou  pˆ 
pq
n
A variância da proporção amostral é a variância da população dividida pelo número de
 pq 
elementos da amostra. Quando n   pˆ  N  p,
 , p̂ é aproximadamente normal.
n 

pˆ   pˆ
pˆ  p
será assintoticamente N (0, 1) ou seja: z 
 N (0,1)
 pˆ
pq
n
13
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO | Fernando Mori
Quando p é desconhecido e a amostra com reposição é grande determinamos pˆ 0 
pˆ 0 .qˆ 0
.
n
Para alguns autores uma amostra é suficientemente grande quando np  5
x
n
estimativa de p  pˆ 
e nq  5
1.1. Resumo:
Considere a distribuição amostral da proporção p de sucessos.
p  q 1
   n. p

então: 
 2  p.q.n

n é a amostra e x é o número de sucessos na amostra, então:
p
x
n.
Quando p é desconhecido e a amostra com reposição é grande, temos uma estimativa para p:
p0 
x
n
p0 .q0
n
p 
Para população finita usamos o fator de correção:

p 
p0 .q0

n
14
N n
N 1
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2. Exemplos de Aplicação:
2.1) Em uma população, a proporção de pessoas favoráveis a uma determinada lei é de 40%.
Retiramos uma amostra de 300 pessoas dessa população. Determinar:
ˆ  p  z .. p
P( p  z . p
ˆ  p
ˆ )  0,95
95%
2,5%
Zα
2,5%
0
Zα
n  300
p
 0, 4
q
 1- p

ˆ 
p
 0, 6
p.q
n

0, 4  0, 6 
z  z0,475  1, 96
p
ˆ  0, 0283
P (0,4 - 1,96(0,0283)  p̂  0,4 + 1,91 (0,0283)= 0,95
P (0,4 – 0,0555 p̂  0,4 +0,0555) = 0,95
P (0,3445  p̂  0,4555) = 0,95
P (34,45%  p̂  45,55%) =0,95
15
300
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2.2) Desejamos saber qual a proporção de pessoas da população portadoras de determinada
doença. Retira-se uma amostra de 400 pessoas, obtendo-se 8 portadores da doença. Definir
limites de confiabilidade de 99% para a proporção populacional.
p0 
x
8

 0, 02
n
400
p 0  0, 02
q 0  0, 98
99%
0,5%
- Zα
p 
0



Zα
0, 02  0,98 
p 0 .q 0

n
400
Como Z  Z 0,495  2, 57 temos:
P p 0  z  p
0,5%

p  p0  z  p
  p  0, 007
   0, 99


P 0, 02  2, 57  0, 007   p  0, 02  2, 57  0, 007   0, 99
P  0, 02  0, 018  p  0, 02  0, 018   0, 99
P  0, 002  p  0, 038   0, 99
P  0, 2%  p  0, 38%   0, 99
Podemos garantir com confiança de 99% que a proporção de pessoas portadoras da doença na
população varia de 0,2% a 3,8%.
16
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EXERCICIOS
1) A população das importâncias das compras em um certo supermercado 24 horas tem
média $5,20 e desvio padrão $4,10.
a) Qual a probabilidade de o total de 100 compras (uma amostra aleatória)
exceder $53,00?


b) Qual o tamanho da amostra para que tenhamos P 3,9  x  6,5  0,90 ?
2) Um fabricante afirma que sua vacina contra gripe imuniza 80% dos casos. A vacina
foi aplicada em 400 pessoas e uma amostra de 25 indivíduos que tomaram a vacina
foi sorteada. Testes foram feitos para verificar a imunização ou não desses indivíduos.
Se o fabricante estiver correto, qual é a probabilidade de proporção de imunizados na
amostra ser inferior a 0,75%? E inferior a 0,85%?
3) O tempo de acesso a um site de um banco é distribuído normalmente com média de
10 minutos e desvio padrão de 5 minutos. Suponha que o número de clientes que
desejam consultar a internet desse banco seja 1000. Supondo que 20 clientes desse
banco estejam usando o serviço desse site, pergunta-se:
a) Qual é a probabilidade da média dos tempos do acesso desses clientes ser
menor que 8 minutos? E se o número de clientes fosse 10, qual seria essa
probabilidade?
b) Qual a probabilidade de um cliente desse banco ficar mais de 17 minutos no
site?
4) Observou-se que dos 2000 clientes de uma loja que pagaram com cartão de crédito,
30% são realizadas para quantias acima de $100,00. Se forem tomadas amostras
aleatórias de 100 compras de cartão de crédito;
a) Qual a probabilidade da proporção amostral estar entre 20% e 30% das
compras acima de $100,00?
b) E se a amostra tivesse tamanho 400?
5) Em uma população a proporção de pessoas favoráveis a uma determinada lei é 40%.
Retiramos uma amostra de 300 pessoas dessa população. Determinar:
a) A probabilidade da proporção de pessoas favoráveis a lei nessa amostra ser
superior a 35%?
b) A probabilidade da proporção de pessoas favoráveis a lei na amostra estar
entre 36% e 44%?
17
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO | Fernando Mori
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE MÉDIAS
Distribuição
amostral
de médias
(i) Erro padrão
População infinita
x 
x
n
População finita
x 
x
n
Nn
N 1
N : população ; n : amostra ; p : proporção média.
Nn
n
 5% .
Usa-se o Fator de Correção Finita:
se
N 1
N
1) A distribuição dos salários dos funcionários de uma grande empresa tem média de 6
salários mínimos e desvio padrão de 1 salário mínimo. Qual a probabilidade da média dos
salários de 36funcionários dessa empresa ser inferior a 6,5 salários mínimos?
2) Numa escola, a nota média dos alunos é 5,5, com desvio padrão 1,0. Qual a
probabilidade de uma amostra de 50 alunos da escola apresentar nota média entre 5,0 e
6,0?
3) Deve-se extrair uma amostra de 36 observações de uma máquina que cunha moedas
comemorativas. A espessura média das moedas é de 2 mm, com desvio padrão de 0,1 mm.
Qual a probabilidade de se obter uma média amostral que se afaste por mais de 0,05 mm
da média do processo?
4) Se a vida média de operação de um flash é 24 horas, com distribuição normal e desvio
padrão de 3 horas, qual é a probabilidade de uma amostra aleatória de 100 flashes
apresentar vida média que difira por mais de 30 minutos da média?
5) Uma empresa fabrica sofás de 2 lugares com comprimento médio de 1,68 m e desvio
padrão de 5 cm segundo uma distribuição normal. Se retirarmos uma amostra de 35 sofás
da produção de um mês da fábrica, qual a probabilidade do comprimento médio dessa
amostra ser inferior a 1,65 m?
6) Uma máquina de recobrir cerejas com chocolate é regulada para produzir um revestimento
de 3 mm de espessura. O processo tem distribuição normal, com desvio padrão de 1 mm. Se
o processo funciona como o esperado, qual seria a probabilidade de extrair uma amostra de
25 de um lote de 169 e encontrar uma média amostral superior a 3,4 mm?
7) Um auditor toma uma amostra de tamanho 36 de uma população de 1.000 contas a
receber. Sabendo que as contas a receber seguem uma distribuição normal de média $ 260,00
e desvio padrão $ 43,00, qual é a probabilidade de que a média amostral seja menor ou igual
a $ 250,00?
18
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO | Fernando Mori
8) Um analista financeiro tem 300 clientes, cujos saldos de aplicação seguem uma
distribuição normal de média $ 138,00 e desvio padrão $ 35,75. Numa amostra de 30
clientes, qual é a probabilidade de a aplicação média ser igual ou superior a $ 148,50?
9) Uma população muito grande tem média 20 anos e desvio padrão 1,4 ano . Extrai-se uma
amostra de 49 observações.
a) Qual a média da distribuição amostral?
b) Qual o desvio padrão da distribuição amostral?
c) Qual a percentagem das médias amostrais que diferirão por mais de 0,2 ano da
média da população?
10) Um fabricante de baterias alega que seu artigo de primeira categoria tem uma vida
esperada de 50 meses . Sabe-se que o desvio padrão correspondente é de 4 meses .
a) Que percentagem de amostras de 36 observações acusará vida média no intervalo
de 1 mês em torno de 50 meses admitindo-se ser de 50 meses a verdadeira vida média
das baterias ?
b) Qual será a resposta para uma amostra de 64 observações ?
11) Se se extrai uma amostra de uma distribuição normal, qual a probabilidade de a média
amostral estar compreendida em cada um dos intervalos:
a)   1,96  , ou seja, P (  - 1,96      + 1,96  ) b)   2,00 
12) Constatou-se que as faturas de certa firma têm desvio padrão de $ 45. Tomada uma
amostra de 225 faturas, qual a probabilidade de a média amostral se afastar por $ 7,50 ou
mais da média de todas as 2.000 faturas ?
13) Um fabricante de lâmpadas atesta que essas duram em média 2 anos com desvio padrão
de 6 meses.
a) Calcule o tempo máximo de limite de durabilidade para que a lâmpada esteja nos
9% cobertos pela garantia.
b) Tomando uma amostra de 50 lâmpadas dentre uma produção de 750, qual é a
probabilidade de a média amostral ser menor que 2,2 anos?
c) Considerando os dados de b), qual a probabilidade de que a média amostral se
afaste por mais de um mês da média?
14) A população das importâncias das compras em um certo supermercado 24 horas tem
média $ 5,20 e desvio padrão $ 4,10.
a) Qual a probabilidade de o total de 100 compras (uma amostra aleatória) exceder
$53,00?
b) Qual o tamanho da amostra para que tenhamos P ( 3,9  x  6,5 ) = 0,90?
15) O tempo de acesso a um site de um banco é distribuído normalmente com média de 10
minutos e desvio padrão de 5 minutos. Suponha que o número de clientes que desejam
consultar a internet desse banco seja 1.000. Supondo que 20 clientes desse banco estejam
usando o serviço desse site, pergunta-se:
19
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO | Fernando Mori
a) Qual é a probabilidade da média dos tempos do acesso desses clientes ser menor
que 8 minutos? E se o número de clientes fosse 10, qual seria essa probabilidade?
b) Qual a probabilidade de um cliente desse banco ficar mais de 17 minutos no site?
16) A duração do “tonner” de uma máquina de fotocópias pode ser modelado como Normal
com média 15 e desvio padrão de 2 ( em milhares de cópias). A empresa vende 200 desses
“tonners” e uma amostra de 12 desses “tonners” será observada. Pergunta-se a probabilidade
da média dessa amostra ser:
a) Menor que 16 mil cópias.
b) Maior que 13 mil cópias.
c) Entre 14 e 16 mil cópias.
17) A quantidade de tempo que uma caixa de banco gasta com cada cliente tem uma média
aritmética de população  = 0,40 minutos e variância de 0,04. Se uma amostra aleatória de 16
clientes for selecionada,
a) Qual é a probabilidade de que o tempo médio gasto por cliente seja de pelo menos
0,3 minutos?
b) E se a amostra fosse de 25 clientes, qual seria a resposta do item a?
18) O tempo de acesso ao site de um banco pelos seus clientes é distribuído normalmente
com média de 10 minutos e desvio padrão de 5 minutos. Suponha que o número de clientes
que consultam a internet desse banco seja de 1000. Supondo que 20 clientes desse banco
estejam utilizando os serviços do banco no site. Pergunta-se:
a) Qual é a probabilidade da média dos tempos de acesso desses clientes ser menor
que 8 minutos? E se o número de clientes fosse 10, qual seria essa probabilidade?
b) Qual é a probabilidade de um cliente desse banco ficar mais de 17 minutos
acessado nesse site ?
19) Certos amortecedores fabricados por uma empresa têm uma vida média de 800 dias e um
desvio-padrão de 60 dias. Determinar a probabilidade de uma amostra aleatória de 16
amortecedores, retirados do grupo, ter a vida média:
a) entre 770 e 830 dias
c) superior a 820 dias
b) menor que 785 dias
d) entre 770 e 820 dias
20) Um produtor de suco de laranja compra todas as suas laranjas de uma grande plantação.
A quantidade de suco extraída de cada fruta se distribui de maneira aproximadamente normal
com uma média de 140 ml e um desvio padrão de 12 ml. Qual é a probabilidade de que uma
laranja escolhida ao acaso contenha:
a) entre 140 e 150 ml?
b) acima de 150 ml?
c) Qual é a probabilidade da média de uma amostra de 10 laranjas seja inferior a 135 ml?
d) Qual é a probabilidade da média de uma amostra de 20 laranjas seja superior a 135 ml?
20
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO | Fernando Mori
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE PROPORÇÕES
Distribuição
amostral
de proporções
Erro padrão
População infinita
p 
População finita
p. 1  p 
p 
n
p. 1  p 
n
Nn
N 1
N : população ; n : amostra ; p : proporção média.
Nn
n
 5% .
Usa-se o Fator de Correção Finita:
se
N 1
N
1) Uma máquina de encher latas de refrigerante costuma produzir 5% das latas com
conteúdo fora do limite estabelecido. Se escolhermos uma amostra de 64 latas, qual a
probabilidade de a proporção amostral de latas com conteúdo fora do limite estabelecido
ser superior a 6%?
2) Uma empresa de pesquisa concluiu que 30% dos funcionários públicos de certo Estado
estão insatisfeitos com seus salários. Qual a probabilidade de encontrarmos no máximo
32% de funcionários públicos insatisfeitos com seus salários numa amostra de 200
funcionários públicos do Estado?
3) Os ovos da produção de uma granja são classificados em grandes ou pequenos,
conforme seu diâmetro. Verificou-se que 45% dos ovos são considerados grandes. Numa
caixa com 60 ovos, qual a probabilidade de pelo menos 50% dos ovos serem classificados
como grandes?
4) Cerca de 10% dos armazéns de propriedade de famílias de certa região oferecem
descontos a seus clientes. Determine a probabilidade de, numa amostra aleatória de 100
armazéns,
a) 16% oferecerem descontos;
b) de 6% a 16% oferecerem descontos;
c) mais de 18% oferecerem descontos.
5) Certa marca de creme dental detém 45% do mercado consumidor de uma cidade. Se
escolhermos 40 consumidores da cidade, qual a probabilidade de encontrarmos mais de
50% comprando outra marca de creme dental?
6) Um instituto de pesquisa utilizou uma amostra de 300 indivíduos para realizar um
estudo sobre a prática de esportes. Supondo que 15% da população da qual a amostra foi
retirada pratica esportes, qual é a probabilidade de encontrarmos entre 82% e 86% de
indivíduos na amostra que não praticam esportes?
7) Uma agência do governo extrai uma amostra aleatória de 400 operários de uma grande
fábrica, para ter uma indicação dos que favorecem o sindicalismo. Determine a
21
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO | Fernando Mori
probabilidade de obter uma proporção amostral que difira por mais de 3% da verdadeira
proporção de operários que apóiam o sindicalismo, se esta proporção é 80%.
8) Um processo de encher garrafas de cola dá em média 10% mal cheias. Extraída uma
amostra de 225 garrafas de uma seqüência de 625, qual a probabilidade de que a
proporção amostral de garrafas mal cheias esteja entre 9% e 11%?
9) Uma zona eleitoral tem 2500 eleitores, sendo 48% do sexo feminino. Numa amostra de
250 eleitores dessa zona, qual é a probabilidade de encontrarmos no mínimo 50% de
eleitores do sexo masculino?
10) Um varejista compra copos diretamente da fábrica em grandes lotes . Os copos vêm
embrulhados individualmente . Periodicamente o varejista inspeciona os lotes para
determinar a proporção dos quebrados ou lascados . Se um grande lote contém 10% de
quebrados ou lascados , qual a probabilidade de o varejista obter uma amostra de 100 copos
com 17% ou mais defeituosos ?
11) Suponha que uma pesquisa recente tenha revelado que 60% de uma população de adultos
do sexo masculino consista de não-fumantes . Tomada uma amostra de 600 , calcule a média
e o desvio padrão da distribuição amostral de proporção e da distribuição amostral do número
de adultos do sexo masculino não-fumantes.
12) Supondo uma amostra suficientemente grande , determine a percentagem de proporções
amostrais que poderemos esperar nesses intervalos :
a) p  1   P ( p – 1  < X < p + 1  )
b) p  1,96 
13) Determine z , se a percentagem de proporções amostrais que podemos esperar no
intervalo p  z  é :
a) 90% (ou seja, P( p – z  < P < p + z  ) = 0,90) b) 95%
14) Duas em cada doze pessoas que votam em urna eletrônica, têm algum tipo de dificuldade.
Num certo posto eleitoral com 10.000 eleitores, selecionam-se 600 pessoas para saber se
tiveram dificuldades para votar. Qual é a probabilidade de que no máximo 15 %
apresentaram alguma dificuldade ?
15) Numa população de 1.000 universitários, constatou-se que 10 % eram fumantes.
Analisando-se 100 pessoas, qual é a probabilidade de que haja no mínimo 12 % de
fumantes?
16) Um fabricante afirma que sua vacina contra gripe imuniza 80% dos casos. A vacina foi
aplicada em 400 pessoas e uma amostra de 25 indivíduos que tomaram a vacina foi sorteada.
Testes foram feitos para verificar a imunização ou não desses indivíduos. Se o fabricante
estiver correto, qual é a probabilidade de proporção de imunizados na amostra ser inferior a
0,75%? E inferior a 0,85%?
17) Observou-se que dos 2000 clientes de uma loja que pagaram com cartão de crédito, 30%
são realizadas para quantias acima de $100,00. Se forem tomadas amostras aleatórias de 100
compras de cartão de crédito;
a) Qual a probabilidade da proporção amostral estar entre 20% e 30% das compras
acima de $100,00?
b) E se a amostra tivesse tamanho 400?
22
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO | Fernando Mori
18) Em uma população a proporção de pessoas favoráveis a uma determinada lei é 40%.
Retiramos uma amostra de 300 pessoas dessa população. Determinar:
a) A probabilidade da proporção de pessoas favoráveis a lei nessa amostra ser superior a
35%?
b) A probabilidade da proporção de pessoas favoráveis a lei na amostra estar entre 36% e
44%?
19) Historicamente, 10% das peças fabricadas numa máquina são defeituosas. Se forem
escolhidas amostras de 400 peças, qual a probabilidade da proporção amostral estar :
a. Entre 9% e 10% de peças defeituosas?
b. Menos de 8% de peças defeituosas?
c. Se um tamanho de amostra de somente 100 fosse selecionado, quais teriam
sido suas respostas em (a) e (b)?
d. O que é mais provável ocorrer: um percentual de defeitos abaixo de 8% em
uma amostra de 100 ou numa amostra de 400?
e. O que é mais provável ocorrer: um percentual de defeitos abaixo de 10% em
uma amostra de 100 ou numa amostra de 400?
20) Um instituto de pesquisa de opinião sobre políticos está conduzindo uma análise de
resultados de amostras de modo a fazer previsões na noite das eleições. Pressupondo uma
disputa entre dois candidatos,se determinado candidato receber pelo menos 55% dos votos na
amostra, então esse candidato será tido como o vencedor da eleição.Se for tomada uma
amostra aleatória de 100 eleitores, qual a probabilidade de que um candidato seja anunciado
como vencedor quando
a) Seu verdadeiro percentual de votos for de 50,1%?
b) Seu verdadeiro percentual de votos for de 60%?
c) Seu verdadeiro percentual de votos for de 49% (e ele irá, na verdade, perder a
eleição)?
21) Um fabricante afirma que sua vacina contra gripe imuniza 80% dos casos. A vacina foi
aplicada em 400 pessoas e uma amostra de 25 indivíduos que tomaram a vacina foi sorteada.
Testes foram feitos para verificar a imunização ou não desses indivíduos. Se o fabricante
estiver correto, qual é a probabilidade da proporção de imunizados na amostra ser inferior a
0,75? E inferior a 0,85?
22) Observou-se que dos 2000 clientes de uma loja que pagaram com cartão crédito, 30% são
realizadas para quantias acima de $100. Se forem tomadas amostras aleatórias de 100
compras de cartão de crédito.
a) Qual a probabilidade da proporção amostral estar entre 20% e 30% das compras
acima de $100?
b) E se a amostra tivesse tamanho 400?
23
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO | Fernando Mori
23) Historiacamente, 93% das entregas de um serviço de correio noturno chegam antes das
10:30 da manhã seguinte. Se forem tomadas amostras aleatórias de 500 entregas, que
proporção das amostras terá
a) Entre 93% e 95% das entregas chegando antes da 10h30min da manhã seguinte?
b) Mais de 95% das entregas chegando antes das 10h30min da manhã seguinte?
c) Se a amostra fosse de tamanho 1000 quais seriam suas repostas dos itens a e b?
RESPOSTAS
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE MÉDIAS
1)
0,9987
2)
0,9996
3)
0,0026
4)
0,0950
5)
0,0002
6)
0,0154
7)
0,0778
8)
0,0455
9)
a) 20
b) 0,2
c) 0,3174
10) a) 0,8664
b) 0,9544
11) a) 0,95
b) 0,9544
12) 0,0080
13) a) 1,33 ano ~ 1 ano
b) 0,9983
c) 0,2224
14) a) 0,4052
b) 27
15) a) 0,1003 b) 0
16) a) 0,9633
b) 1
c) 0,9265
17) a) 0,9772
b) 0,9938
18) a) 0,0359 e 0,1020 b) 0,081
19) a) 0,9544
b) 0,1587 c) 0,0918
d) 0,8854
20) a) 0,2967
b) 0,2033
c) 0,0934
d) 0,9686
24
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO | Fernando Mori
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DE PROPORÇÕES
1) 0,3557
2) 0,7324
3) 0,2177
4) a) 0
5) 0,7389
6) 0,6158
7) 0,1336
8) 0,4648
b) 0,8854
c) 0,0038
9) 0,7486
10) 0,0099
11) 0,6 e 0,02 ; 360 e 12
12) a) 0,6826
b) 0,95
13) a) 1,65
b) 1,96
14) 0,1271
15) 0,2420
a) 0,2611 b) 0,7389
16) a) 0,4870
b) 0,5
17) a) 0,9616
b) 0,8414
18) a) 0,2486 b) 0,0918
probabilidades iguais
19) a) 0,1635 b) 0,8461
c) 0,1293 e 0,2514
c) 0,1151
20) a) 0,2611 b) 0,7389
21) a) 0,4874 b) 0,5
22) a) 0,4599 b) 0,0401
c) 0,4932 e 0,0068
25
d) numa amostra de 100
e)
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA E PROPORÇÃO | Fernando Mori
26