Modelagem de Sistemas Hídricos
Modelos de Reservatórios
Carlos Ruberto Fragoso Jr.
CTEC - UFAL
Regularização
A variabilidade temporal da precipitação e, conseqüentemente, da
vazão dos rios freqüentemente origina situações de déficit hídrico, quando
a vazão dos rios é inferior à necessária para atender determinado uso. Em
outras situações ocorre o contrário, ou seja, há excesso de vazão.
A solução encontrada para
reduzir a variabilidade temporal
da vazão é a regularização
através da utilização de um ou
mais
reservatórios.
Os
reservatórios têm por objetivo
acumular parte das águas
disponíveis
nos
períodos
chuvosos para compensar as
deficiências nos períodos de
estiagem, exercendo um efeito
regularizador
das
vazões
naturais.
Reservatório
Os reservatórios tem por objetivo acumular
parte das águas disponíveis nos períodos chuvosos
para compensar as deficiências nos períodos de
estiagem, exercendo um efeito regularizador das
vazões naturais.
Em geral os reservatórios são formados por
meio de barragens implantadas nos cursos d‘água.
Suas características físicas, especialmente a
capacidade de armazenamento, dependem das
características topográficas do vale em que estão
inseridos.
Itaipu
Usina de Xingó
vertedor
casa de força
Níveis e volumes característicos
Um reservatório pode ser descrito por
seus níveis e volumes característicos:
•
Nível mínimo operacional
•
Nível máximo operacional
•
Volume máximo
•
Volume morto
•
Volume útil
Volume morto
Volume morto
nível mínimo
operacional
Volume morto
O Volume Morto é a parcela de volume do
reservatório que não está disponível para uso.
Corresponde ao volume de água no reservatório
quando o nível é igual ao mínimo operacional. Abaixo
deste nível as tomadas de água para as turbinas de
uma usina hidrelétrica não funcionam, seja porque
começam a engolir ar além de água, o que provoca
cavitação nas turbinas (diminuindo sua vida útil), ou
porque o controle de vazão e pressão sobre a turbina
começa a ficar muito instável.
nível máximo
operacional
Volume útil
Volume morto
nível mínimo
operacional
Nível máximo operacional
O nível máximo operacional corresponde à cota
máxima permitida para operações normais no
reservatório. Níveis superiores ao nível máximo
operacional
podem
ocorrer
em
situações
extraordinárias, mas comprometem a segurança da
barragem.
O nível máximo operacional define o volume
máximo do reservatório.
nível máximo
maximorum
nível máximo
operacional
Volume útil
Volume morto
nível mínimo
operacional
Volume útil
A diferença entre o volume máximo de um
reservatório e o volume morto é o volume útil,
ou seja, a parcela do volume que pode ser
efetivamente utilizada para regularização de
vazão.
Altimetria da área de um possível
reservatório no Rio Gravataí - RS
Sistema WGS 84
Diferença +/- 5 m
Cota: 6,5 m
Área inundada: 32 ha
Volume: 0,1 Hm3
Vazão regularizada: ?
Cota: 7 m
Área inundada: 200 ha
Volume: 0,7 Hm3
Vazão regularizada: ?
Cota: 8 m
Área inundada: 815 ha
Volume: 5,7 Hm3
Vazão regularizada: 1,0 m3/s
Cota: 9 m
Área inundada: 1.569 ha
Volume: 17,6 Hm3
Vazão regularizada: 1,5 m3/s
Cota: 10 m
Área inundada: 3.614 ha
Volume: 43,6 Hm3
Vazão regularizada: 3,5 m3/s
Cota: 11 m
Área inundada: 7.841
Volume: 101 Hm3
Vazão regularizada: 5,0 m3/s
Cota: 12 m
Área inundada: 10.198 ha
Volume: 191 Hm3
Vazão regularizada: 7,0 m3/s
Cota: 13 m
Área inundada: 12.569 ha
Volume: 305 Hm3
Vazão regularizada: 8,0 m3/s
Cota: 14 m
Área inundada: 14.434 ha
Volume: 440 Hm3
Vazão regularizada: 8,0 m3/s
Cota: 15 m
Área inundada: 16.353 ha
Volume: 594 Hm3
Vazão regularizada: 8,5 m3/s
Relação Cota - Área - Volume
700
Volume (Hm3) ou Área (km2)
600
Volume Hm3
500
Área (km2)
400
300
200
100
0
6
7
8
9
10
11
12
Cota (m WGS84)
13
14
15
16
Curva Cota - Área - Volume
Cota (m)
Área (km2)
Volume (hm³)
772,00
0,00
0,00
775,00
0,94
0,94
780,00
2,39
8,97
785,00
4,71
26,40
790,00
8,15
58,16
795,00
12,84
110,19
800,00
19,88
191,30
805,00
29,70
314,39
810,00
43,58
496,50
815,00
58,01
749,62
820,00
74,23
1.079,39
825,00
92,29
1.494,88
830,00
113,89
2.009,38
835,00
139,59
2.642,00
840,00
164,59
3.401,09
845,00
191,44
4.289,81
Outras Características
Outras características importantes são as
estruturas de saída de água, eclusas para
navegação, escadas de peixes, tomadas de
água para irrigação ou para abastecimento, e
eventuais estruturas de aproveitamento para
lazer e recreação.
Vertedores
Os vertedores são o principal
tipo de estrutura de saída de
água. Destinam-se a liberar o
excesso de água que não pode ser
aproveitado para geração de
energia elétrica, abastecimento
ou irrigação. Os vertedores são
dimensionados para permitir a
passagem de uma cheia rara (alto
tempo
de
retorno)
com
segurança.
Vertedores
Um vertedor pode ser livre
ou controlado por comportas.
O tipo mais comum de vertedor
apresenta um perfil de rampa,
para que a água escoe em alta
velocidade, e a jusante do
vertedor é construída uma
estrutura de dissipação de
energia, para evitar a erosão
excessiva.
Comportas
Vazão de Vertedor
A vazão de um vertedor livre
(não controlado por comportas) é
dependente da altura da água
sobre a soleira, conforme a figura e
a equação ao lado.
Q é a vazão do vertedor; L é o
comprimento da soleira; h é a
altura da lâmina de água sobre a
soleira e C é um coeficiente com
valores entre 1,4 e 1,8. É
importante destacar que a vazão
tem uma relação não linear com o
nível da água
Q  C L  h
3
2
Descarregadores de Fundo
Descarregadores de fundo podem ser utilizados como
estruturas de saída de água de reservatórios, especialmente
para atender usos da água existentes a jusante. A equação
de vazão de um descarregador de fundo é semelhante à
equação de vazão de um orifício, apresentada abaixo:
Q  C A  2  g  h
onde A é a área da seção transversal do orifício; g é a
aceleração da gravidade; h é a altura da água desde a
superfície até o centro do orifício e C é um coeficiente
empírico com valor próximo a 0,6.
Semelhante à equação do vertedor, destaca-se que a
vazão de um orifício tem uma relação não linear com o nível
da água.
Geração de Energia
P   Q He
P = Potência (W)
 = peso específico da água (N/m3)
Q = vazão (m3/s)
H = queda líquida (m)
e = eficiência da conversão de energia hidráulica em
elétrica
e depende da turbina; do gerador e do sistema de adução
0,76 < e < 0,87
Energia Assegurada
Energia Assegurada é a energia que pode ser
suprida por uma usina com um risco de 5% de não ser
atendida, isto é, com uma garantia de 95% de
atendimento.
Numa usina com reservatório pequeno, a energia
assegurada é definida pela Q95
A empresa de energia será remunerada pela
Energia Assegurada
Curva de permanência
de vazões
40 m3/s
Exemplo
Uma usina hidrelétrica será construída em um rio
com a curva de permanência apresentada abaixo. O
projeto da barragem prevê uma queda líquida de 27
metros. A eficiência da conversão de energia será de
83%. Qual é a energia assegurada desta usina?
Exemplo
Q95 = 50 m3/s
H = 27 m
e = 0,83
 = 1000 kg/m3 . 9,81 N/kg
P   QHe
P = 9,81.50.27.0,83.1000
P = 11 MW
Importância para
geração de energia
P   Q He
excesso
déficit
Importância para
geração de energia
P   QHe
Vazão Q95 – energia assegurada
Volume útil x
Vazão média afluente
O volume útil está diretamente
relacionado à capacidade de regularizar a
vazão.
Se o volume útil é pequeno, o reservatório
não consegue regularizar a vazão e a usina é
chamada “a fio d’água”
Balanço Hídrico
de reservatórios
• Equação da continuidade
S
 IQ
t
Balanço Hídrico
de reservatórios
• Intervalo de tempo curto: cheias
• Intervalo de tempo longo: dimensionamento
Dimensionamento do reservatório
• Métodos gráficos (antigos)
• Simulação
Método de Rippl
• Método gráfico
Simulação
• Equação de Balanço Hídrico
S
 IQ
t
Discretizada
St  t  St _ _
 IQ
t
_
_
onde I e Q representam valores médios
da vazão afluente e defluente de reservatório
ao longo do intervalo de tempo ∆t.
St  t  St  entradas saídas
sujeita às restrições 0 < St+∆t < Vmáx;
onde Vmáx é o volume útil do reservatório.
Simulação em planilha
• Balanço Hídrico num reservatório
V  I  t  Q  t
Vi 1  Vi  I  t  Q  t
V = volume (m3)
I = vazão afluente ao reservatório (m3/s)
Q = vazão defluente do reservatório (m3/s)
Q inclui vazão que atende a demanda e vazão vertida
Simulação em planilha
• Equação de Balanço Hídrico do reservatório pode
ser aplicada recursivamente
Vi 1  Vi  tI  Q
conhecidos
Q é considerado igual à demanda
• Com a equação recursiva de balanço podem ocorrer
duas situações extremas:
Vi 1  Vmax
É necessário verter água
Vi 1  Vmin
A demanda é excessiva
ou o volume é insuficiente
Dimensionamento de reservatório
1. Estime um valor de Vmax
2. Aplique a equação abaixo para cada mês do
período de dados de vazão disponível (é desejável que
a série tenha várias décadas). As perdas por
evaporação (E) variam com o mês e podem ser
estimadas por dados de tanque classe A. A demanda D
pode variar com a época do ano. A vazão vertida Qt é
diferente de zero apenas quando a equação indica que
o volume máximo será superado.
St  t  St  I t  Dt  Et  Qt
Dimensionamento de reservatório
3. Em um mês qualquer, se St+t for menor que zero,
a demanda Dt deve ser reduzida até que St+t seja igual
a zero, e é computada uma falha de entendimento.
4. Calcule a probabilidade de falha dividindo o
número de meses com falha pelo número total de
meses. Se esta probabilidade for considerada
inaceitável, aumente o valor do volume máximo Vmax
e reinicie o processo.
Exemplo
Um reservatório com volume
útil de 500 hectômetros cúbicos
(milhões de m3) pode garantir
uma vazão regularizada de 55
m3.s-1, considerando a seqüência
de vazões de entrada da tabela
abaixo? Considere o reservatório
inicialmente cheio, a evaporação
nula e que cada mês tem 2,592
milhões de segundos.
mês
Vazão (m3/s)
Jan
60
Fev
20
Mar
10
Abr
5
Mai
12
Jun
13
Jul
24
Ago
58
Set
90
Out
102
Nov
120
Dez
78
mês
Vazão (m3/s)
jan
60
fev
20
mar
10
abr
5
mai
12
jun
13
jul
24
ago
58
set
90
out
102
nov
120
dez
78
Volume
I (hm3)
D (hm3)
500
156
143
Supondo que não será necessário verter
St+dt=St+It-Dt = 500 + 156 – 143 = 513
Volume
Q (hm3)
mês
Vazão (m3/s)
Volume
I (hm3)
D (hm3)
Volume
Q (hm3)
jan
60
500
156
143
513
13
fev
20
500
mar
10
abr
5
mai
12
jun
13
jul
24
ago
58
set
90
out
102
nov
120
dez
78
Supondo que não será necessário verter
St+dt=St+It-Dt = 500 + 156 – 143 = 513
Volume máximo excedido!
É necessário verter 13 hm3
mês
Vazão (m3/s)
Volume
I (hm3)
D (hm3)
Volume
Q (hm3)
jan
60
500
156
143
513
13
fev
20
500
52
143
409
0
mar
10
409
abr
5
mai
12
jun
13
jul
24
ago
58
set
90
out
102
nov
120
dez
78
Supondo que não será necessário verter
St+dt=St+It-Dt = 500 + 52 – 143 = 409
No início do mês de agosto o volume calculado é
negativo, o que rompe a restrição, portanto o
reservatório não é capaz de regularizar a vazão de 55
m3.s-1
Mês
S (hm3)
I (hm3)
D (hm3)
Q (hm3)
Jan
500
156
143
13
Fev
500
52
143
0
Mar
409
26
143
0
Abr
293
13
143
0
Mai
163
31
143
0
Jul
52
34
143
0
Ago
-57
62
143
0
Exemplo: dimensionamento de
reservatório com simulação em planilha
Vazões do rio Tainhas de 1970 a 1980
Exemplo: dimensionamento de reservatório
com simulação em planilha
Qual é a vazão que pode ser regularizada no
rio Tainhas com um reservatório de 100 milhões de
m3?
Vi1  Vi  t I  Q
Vazões afluentes do
rio Tainhas
demanda
(ou vazão
regularizada)
Vi1  Vi  t I  Q
Vazão de antendimento da
demanda
Vi1  Vi  t I  Q
Vazão vertida para
V < Vmax
Vi1  Vi  t I  Q
Vazão total de saída
Teste com Q = 20m3/s
usando o Solver do Excel
Resposta
Qual é a vazão que pode ser regularizada no rio
Tainhas com um reservatório de 100 milhões de m3?
A máxima vazão regularizável é de 11,13 m3/s.
Qual é o volume necessário para regularizar a
vazão de 15 m3/s?
Hidrogramas de entrada e saída
Curvas de Permanência
regularizado
natural
Curvas de Permanência
regularizado
Q95 passa de ~3 para 15 m3/s
natural
• Limite teórico:
Q regularizada = I média
Propagação de cheias
em reservatórios
Considerando um reservatório com vertedor livre,
em que a vazão de saída é uma função do nível da
água no reservatório, a equação abaixo pode ser
aplicada recursivamente.
S t  t  S t I t  I t  t Q t  Q t  t


t
2
2
Propagação de cheias
em reservatórios
Nesta equação, em cada intervalo de tempo são
conhecidas as vazões de entrada no tempo t e em
t+t; a vazão de saída no intervalo de tempo t; e o
volume armazenado no intervalo t. Não são
conhecidos os termos St+t e Qt+t , e ambos
dependem do nível da água.
Como tanto St+t e Qt+t são funções não lineares
de ht +t , a equação de balanço pode ser resolvida
utilizando a técnica iterativa de Newton, ou ‘outro
método numérico.
S t  t  S t I t  I t  t Q t  Q t  t


t
2
2
Método de Puls
Uma forma mais simples de calcular a propagação
de vazão num reservatório é o método conhecido
como Puls modificado. Neste método a equação
acima é reescrita como:
2  S t  t
2  St
 Q t  t  I t  I t  t 
 Qt
t
t
Método de Puls
Uma tabela da relação entre Qt+t e 2.(St+t )/t
pode ser gerada a partir da relação cota – área –
volume do reservatório e através da relação entre a
cota e a vazão, por exemplo para uma equação de
vertedor.
2  S t  t
2  St
 Q t  t  I t  I t  t 
 Qt
t
t
Método de Puls
• Equação da continuidade
dS
 IQ
dt
Q t 1 
St 1  St I t  I t 1 Q t  Q t 1


t
2
2
2St 1
2S
 I t  I t 1  Q t  t
t
t
incógnitas
Variáveis conhecidas
Relação volume x vazão
Q = f(S/t )
Q  f 1(Q  2S / t )
Q
Q+ 2S/ t
S/ t
Metodologia
1. Estabeleça as condições iniciais So (volume inicial).
Este valor depende do problema simulado e dos cenários
previstos;
2. Calcule o valor G = I(t) + I(t+1) +2 S(t)/ t
3. Este valor é igual a 2S(t+1)/ t + Q(t+1)
4. No gráfico Q  G(Q  2S / t ) é possível
determinar Q (t+1) e S(t+1)
5. Repete-se os itens 2 a 4 até o último intervalo de
tempo.
Método de Puls
Cálculo de Q e S
Q=f(S/DT)
Q=G(Q+2s/DT)
Q(t+1)
S(t+1)/ t
Curva Q = f(S)
Estravazores
Q  CL(Z  Zw)3 / 2
Q  C' A 2gZ
Relação
z
z
z1
z1
S1
S
Q
Q1
S
S1
Q1
Q
Exemplo
• Determine a capacidade de um reservatório
amortecer uma cheia, considerando que o
volume inicial do reservatório deve garantir uma
demanda de irrigação de 0,1 m3/s e 60 dias a
demanda de abastecimento (0,2 m3/s). Considere
também as seguintes relações:
Exemplo
Tempo
(12 hrs)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Vazão de entrada
(m³/s)
10
15
30
70
50
35
25
18
10
10
Cota
Volume Vertedor D. Fundo
m
10^6 (m³)
m³/s
m³/s
319
0.01
0
0
320
0.5
0
0
321
0.8
0
2
322
2
0
4
323
2.5
5
13
324
4
18
32
325
7
32
60
326
10
50
70
Exercício Pulz
Calcule o hidrograma de saída de um reservatório com
um vertedor de 25 m de comprimento de soleira, com
a soleira na cota 120 m, considerando a seguinte
tabela cota –volume para o reservatório e o
hidrograma de entrada apresentado na tabela abaixo,
e considerando que nível da água no reservatório está
inicialmente na cota 120 m.
Cota x Volume
Cota (m)
Volume (104 m3)
115
1900
120
2000
121
2008
122
2038
123
2102
124
2208
125
2362
126
2569
127
2834
128
3163
129
3560
130
4029
Tabela 8. 2: Relação cota
volume do reservatório do
exemplo.
Tempo (h)
Vazão (m3.s-1)
0
0
1
350
2
720
3
940
4
1090
5
1060
6
930
7
750
8
580
9
470
10
380
11
310
12
270
13
220
14
200
15
180
16
150
17
120
18
100
19
80
20
70
Tabela 8. 3: Hidrograma de
entrada no reservatório.
Solução
O primeiro passo da solução
é criar uma tabela relacionando
a vazão de saída com a cota.
Considerando um vertedor livre,
com coeficiente C = 1,5 e soleira
na cota 120 m, a relação é dada
pela tabela que segue:
Q  C L  h
3
2
H (m)
Q (m3/s)
120
0.0
121
37.5
122
106.1
123
194.9
124
300.0
125
419.3
126
551.1
127
694.5
128
848.5
129
1012.5
130
1185.9
Esta tabela pode ser combinada à tabela cota –
volume, acrescentando uma coluna com o valor do
termo 2.(St+t)/t , considerando o intervalo de tempo
igual a 1 hora:
No primeiro intervalo de tempo o nível da água no
reservatório é de 120 m, e a vazão é zero. O volume
acumulado (S) no reservatório é 2000.104m3. O valor
2.S-Q para o primeiro intervalo de tempo é 11111
m3.s-1. Para cada intervalo de tempo seguinte a vazão
de saída pode ser calculada pelos seguintes passos:
a) Calcular It + It+∆t
b) com o resultado do passo (a) e com base no valor
de 2.(St)/t + Qt para o intervalo anterior, calcular
2.(St+t)/t + Qt+t equação
2.S t  t
2.S t
 Q t  t  I t  I t  t 
 Qt
t
t
c) obter o valor de Qt+t pela tabela B, a partir da
interpolação com o valor conhecido de 2.(St+t)/t +
Qt+t calculado no passo (b)
d) calcular o valor de 2.(St+t)/t + Qt+t a partir da
equação abaixo e seguir para o próximo passo de
tempo, repetindo os passos de (a) até (b)
 2.S t  t
  2.S t  t

 Qt  t   
 Qt  t   2(Qt  t )

 t
  t

Os resultados são apresentados na tabela abaixo:
Gráfico – Propagação
em reservatórios
O exemplo mostra que o reservatório tende a suavizar
o hidrograma, reduzindo a vazão de pico, embora sem
alterar o volume total do hidrograma. É interessante
observar que no caso do exemplo, em que o reservatório
tem um vertedor livre, a vazão máxima de saída ocorre no
momento em que a vazão de entrada e de saída são iguais.
O cálculo de propagação de vazões em reservatórios,
como apresentado neste exemplo, pode ser utilizado para
dimensionamento de reservatórios de controle de cheias, e
para análise de operação de reservatórios em geral.
Mediante algumas adaptações o método pode ser aplicado
para reservatórios com vertedores controlados por
comportas e para outras estruturas de saída.
Exercícios Puls
Calcule o hidrograma de saída de um reservatório
com um vertedor de 10 m de comprimento de soleira,
com a soleira na cota 120 m, considerando a seguinte
tabela cota–volume para o reservatório e o hidrograma
de
entrada
apresentado
na
tabela
abaixo,
e
considerando que nível da água no reservatório está
inicialmente na cota 120 m.
Cota x Volume
Cota (m)
Volume (104 m3)
115
0
120
100
121
118
122
168
123
262
124
408
125
562
126
869
127
1234
128
2263
129
3000
130
4000
Tempo (h)
Vazão (m3.s-1)
0
0
1
350
2
720
3
940
4
1090
5
1060
6
930
7
750
8
580
9
470
10
380
11
310
12
270
13
220
14
200
15
180
16
150
17
120
18
100
19
80
20
70
Hidrograma de entrada no
reservatório.
Exercício
• Qual deveria ser o comprimento do
vertedor para que a vazão de saída não
superasse 600 m3/s?
Trabalho da disciplina
• Definir temas para os trabalhos