TESTES DE HIPÓTESES
Spencer Barbosa da Silva
Departamento de Estatística
Teste Bilateral
• A concentração de determinada substância no sangue é uma va (continua)
que segue a distribuição Normal com variância 36.
• Considere uma doença que altera a concentração desta substancia.
• Para pacientes sadios (sem a doença) a concentração média desta
substancia é 18 mg por litro de sangue.
• O tratamento proposto para esta doença é
eficaz?
X = concentração da substância no sangue dos pacientes dos
pacientes doentes após o tratamento
X ~ Normal com média µ e variância σ2 =36
µ = 18
µ ≠ 18
tratamento é eficaz
tratamento não é eficaz
Inferência Estatística
• Uma amostra de n pacientes doentes foi submetida ao tratamento.
• Após o tratamento verificamos a concentração média desta
substancia no sangue destes n pacientes ( x).
• Nossa decisão sobre µ será tomada com base em x , pois
melhor estimador para µ.
x éo
• Se a média amostral for muito diferente de 18, então optaremos por
µ ≠ 18.
Ho: µ = 18
Ha: µ ≠ 18
RC  x  xc1 ou x  xc 2
Região de Rejeição de Ho
ou Região Crítica
Região de Rejeição de Ho
ou Região Crítica
xc1
18
xc 2
Erros associados ao
teste de hipóteses
Situação
Ho verdadeira
Ho falsa
Rejeitar Ho
Erro Tipo I
Sem erro
Não rejeitar Ho
Sem erro
Erro Tipo II
Decisão
α = P(erro Tipo I) = P(rejeitar Ho| Ho verdadeira) = nível de significância
β = P(erro Tipo II) = P(não rejeitar Ho| Ho falsa)
1 - β = 1- P(não rejeitar Ho| Ho falsa) = P(rejeitar Ho| Ho falsa) = poder do teste
Ha: µ ≠ µ0
Ho: µ = µ0
xc1  0  z

2
n
xc 2  0  z
2
n
onde z>0 é um valor da tabela normal padrão associado ao nível de
significância do teste (α).
P(Z < -z) = P(Z > z) = α/2
•
No nosso exemplo:
•
Considerando 5% de significância (α = 0,05):
xc1  18  1,96 36
Ho: µ = 18
30
 15,85
Ha: µ ≠ 18
n=30
xc 2  18  1,96 36
30
 20,15
RC   x  15,85 ou x  20,15 
•
A concentração média da substancia no sangue dos 30 pacientes doentes
submetidos ao tratamento após o tratamento foi de 22,00 mg por litro.
•
Conclusão: Rejeitamos a hipótese nula ao nível de 5% de significância, ou
seja, a amostra fornece evidência de que o tratamento não é eficaz.
• A nossa conclusão foi rejeitar Ho, ou seja, concluímos que a
tratamento não é eficaz.
• É possível que esta conclusão esteja errada, ou seja, é possível
que na verdade o tratamento seja eficaz?
• Sim, é possível. Podemos estar rejeitando Ho quando na verdade
Ho é verdadeira. A probabilidade de estarmos cometendo este erro
(erro do tipo I) é igual ao nível de significância adotado (neste caso
5%).
Exemplo: Um pesquisador deseja estudar o efeito de certa substância
no tempo de reação de seres vivos a um certo estimulo. Cobaias que
fizeram uso desta substancia forneceram os seguintes tempos de
reação (em segundos):
9,1 9,3
7,2
7,5
13,3
10,9
7,2
9,9
8,0 8,6
Sabe-se que o tempo de reação a este estimulo tem distribuição
Normal com desvio padrão de 2 segundos. Sem o uso desta
substancia, o tempo médio de reação é de 8 segundos.
O pesquisador desconfia que o tempo médio é reação é alterado pela
substancia. Teste esta desconfiança ao nível de 10% de significância.
Teste Unilateral
• A concentração de determinada substância no sangue é uma va (continua)
que segue a distribuição Normal com variância 36.
• Considere uma doença que aumenta a concentração desta substancia.
• Para pacientes sadios (sem a doença) a concentração média desta
substancia é 18 mg por litro de sangue.
• O tratamento proposto para esta doença é
eficaz?
X = concentração da substância no sangue dos pacientes dos
pacientes doentes após o tratamento
X ~ Normal com média µ e variância σ2 =36
µ = 18
µ > 18
tratamento é eficaz
tratamento não é eficaz
Inferência Estatística
• Uma amostra de n pacientes doentes foi submetida ao tratamento.
• Após o tratamento verificamos a concentração média desta
substancia no sangue destes n pacientes ( x).
• Nossa decisão sobre µ será tomada com base em x , pois
melhor estimador para µ.
x éo
• Se a média amostral for muito maior que 18, então optaremos por
µ > 18.
Ho: µ = 18
Ha: µ > 18
RC  x  xc
RC
18
xc
Ho: µ = µ0
xc  0  z
Ha: µ > µ0
2
n
onde z > 0 é um valor da tabela normal padrão associado ao nível de
significância do teste (α).
P(Z > z) = α
•
No nosso exemplo:
•
Considerando 5% de significância (α = 0,05):
xc  18  1,64 36
Ho: µ = 18
30
Ha: µ > 18
n=30
 19,79
RC   x  19,79

•
A concentração média da substancia no sangue dos 30 pacientes doentes
submetidos ao tratamento após o tratamento foi de 22,00 mg por litro.
•
Conclusão: Rejeitamos a hipótese nula ao nível de 5% de significância, ou
seja, a amostra fornece evidência de que o tratamento não é eficaz.
• A nossa conclusão foi rejeitar Ho, ou seja, concluímos que a
tratamento não é eficaz.
• É possível que esta conclusão esteja errada, ou seja, é possível
que na verdade o tratamento seja eficaz?
• Sim, é possível. Podemos estar rejeitando Ho quando na verdade
Ho é verdadeira. A probabilidade de estarmos cometendo este erro
(erro do tipo I) é igual ao nível de significância adotado (neste caso
5%).
Exemplo: Um pesquisador deseja estudar o efeito do álcool no tempo
de reação de seres vivos a um certo estimulo. Cobaias que
fizeram uso de bebida alcoólica substancia forneceram os seguintes
tempos de reação (em segundos):
9,1 9,3
7,2
7,5
13,3
10,9
7,2
9,9
8,0 8,6
Sabe-se que o tempo de reação a este estimulo tem distribuição
Normal com variância 6. O tempo médio de reação sem efeito de
álcool é de 9 segundos.
O pesquisador desconfia que o álcool aumenta o tempo médio de
reação. Teste esta desconfiança ao nível de 1% de significância.
Teste Unilateral
• A concentração de determinada substância no sangue é uma va (continua)
que segue a distribuição Normal com variância 36.
• Considere uma doença que diminui a concentração desta substancia.
• Para pacientes sadios (sem a doença) a concentração média desta
substancia é 18 mg por litro de sangue.
• O tratamento proposto para esta doença é
eficaz?
X = concentração da substância no sangue dos pacientes dos
pacientes doentes após o tratamento
X ~ Normal com média µ e variância σ2 =36
µ = 18
µ < 18
tratamento é eficaz
tratamento não é eficaz
Inferência Estatística
• Uma amostra de n pacientes doentes foi submetida ao tratamento.
• Após o tratamento verificamos a concentração média desta
substancia no sangue destes n pacientes ( x).
• Nossa decisão sobre µ será tomada com base em x , pois
melhor estimador para µ.
x éo
• Se a média amostral for muito menor que 18, então optaremos por
µ < 18.
Ho: µ = 18
Ha: µ < 18
RC  x  xc
RC
RC
xc
18
Ho: µ = µ0
xc  0  z
Ha: µ < µ0
2
n
onde z > 0 é um valor da tabela normal padrão associado ao nível de
significância do teste (α).
P(Z > z) = α
•
No nosso exemplo:
•
Considerando 5% de significância (α = 0,05):
xc  18  1,64 36
Ho: µ = 18
30
Ha: µ < 18
n=30
 16,21
RC   x  16,21 
•
A concentração média da substancia no sangue dos 30 pacientes doentes
submetidos ao tratamento após o tratamento foi de 22,00 mg por litro.
•
Conclusão: Não rejeitamos a hipótese nula ao nível de 5% de significância,
ou seja, a amostra fornece evidência de que o tratamento é eficaz.
• A nossa conclusão foi não rejeitar Ho, ou seja, concluímos que a
tratamento é eficaz.
• É possível que esta conclusão esteja errada, ou seja, é possível
que na verdade o tratamento não seja eficaz?
• Sim, é possível. Podemos não estar rejeitando Ho quando na
verdade Ho é falsa. A probabilidade de estarmos cometendo este
erro (erro do tipo II) é igual a β.
• O calculo de β depende do valor de µ.
Exemplo: Um pesquisador deseja estudar o efeito de uma bebida
energética no tempo de reação de seres vivos a um certo
estimulo. Cobaias que fizeram uso de bebida alcoólica forneceram os
seguintes tempos de reação (em segundos):
9,1 9,3
7,2
7,5
13,3
10,9
7,2
9,9
8,0 8,6
Sabe-se que o tempo de reação a este estímulo tem distribuição
Normal com variância 6. Sem efeito de energético, o tempo médio de
reação é de 10 segundos.
O pesquisador desconfia que energético diminui o tempo médio de
reação. Teste esta desconfiança ao nível de 10% de significância.
Etapas de um teste de hipóteses
1.
Estabelecer as hipóteses nula e alternativa.
2.
Definir a forma da região crítica, com base na hipótese
alternativa.
3.
Fixar α e obter a região crítica.
4.
Concluir o teste com base na média amostral.
Exemplo: Deseja-se investigar se uma certa doença que ataca o rim
aumenta o consumo de oxigênio deste órgão. O consumo de oxigênio
segue a distribuição Normal com desvio padrão de 9 cm3/min. Para
indivíduos sadios o consumo médio é de 13 cm3/min. Uma
amostra de 5 pacientes doentes forneceu os seguintes valores para o
consumo (em cm3/min):
14,4 12,9 15,0 13,7 13,5
a) Com base nesta amostra, forneça uma estimativa pontual para o
consumo médio em pacientes doentes.
b) A amostra fornece evidencia de que a doença aumenta o consumo?
Faça um teste com 2% de significância?
Exemplo: Uma associação de defesa do consumidor desconfia que
embalagens de 450 gramas de um biscoito estão abaixo do peso. O
peso destas embalagens segue a distribuição Normal com desvio
padrão de 10 gramas. Para verificar esta suspeita foram coletados 81
pacotes do biscoito, de vários supermercados, obtendo-se peso médio
de 447 gramas. Existe evidencia amostral de que as embalagens estão
abaixo do peso? Use α=7%.
Exemplo: O tempo de duração de lâmpadas segue a distribuição
Normal com desvio padrão de 002 anos. Um fabricante de lâmpadas
afirma que o tempo médio de duração de suas lâmpadas é 2,3 anos.
Para verificar esta afirmação 49 lâmpadas foram testadas. O tempo
médio de duração destas lâmpadas foi de 2,5 anos. Existe evidencia
amostral de a informação do fabricante esteja errada? Use 12% de
significância.
- Podemos também realizar testes de hipóteses para a proporção
populacional.
- Hipóteses:
H0: p = p0
Ha: p ≠ p0 ou p > p0 ou p > p0
- A decisão neste caso é baseada na proporção amostral.
- Ha: p ≠ p0
^
^
RC  p  xc1 ou p  xc 2
p0 (1  p0 )
xc1  p  z
n
^
p0 (1  p0 )
xc 2  p  z
n
^
-
Ha: p > p0
^
RC  p  xc
p0 (1  p0 )
xc  p z
n
^
- Ha: p < p0
^
RC  p  xc
p0 (1  p0 )
xc  p z
n
^
Exemplo: Uma companhia afirma que 40% da água obtida em poços
artesianos no nordeste é salobra. Para testar esta hipótese, 400 poços
foram sorteados e em 120 deles observou-se água salobra. Teste a
afirmação da companhia ao nível de 10% de significância.
Exemplo: A LG afirma que apenas 5% de suas televisões LCD dão
algum tipo de problema antes de 1 ano de uso. Para testar esta
hipótese, 500 televisões LCD novas da marca LG foram usadas
durante 1 ano. 40 delas apresentaram algum tipo de problema.
Suspeita-se que a porcentagem de televisões LCD da marca LG que
apresenta problema antes de 1 ano de uso seja maior do que o
informado pelo fabricante. Teste esta suspeita ao nível de 1% de
significância.
Exemplo: Um pré-vestibular afirma que 90% de seus alunos são aprovados no
Vestibular, mas desconfia-se que esta proporção seja menor. Para testar esta
desconfianca100 alunos deste pré vestibular foram selecionados. Destes 100,
76 disseram ter sido aprovado. Verifique se a desconfiança procede ao nível
de 5% de significância.