FACULDADE DE PARÁ DE MINAS
Curso de Matemática
Marlise Tatiane Alves Fernandes
ESTRATÉGIAS DE ENSINO PARA MELHORAR A COMPREENSÃO DA
ÁLGEBRA NOS ANOS INICIAIS DO FUNDAMENTAL II
Pará de Minas
2013
Marlise Tatiane Alves Fernandes
ESTRATÉGIAS DE ENSINO PARA MELHORAR A COMPREENSÃO DA
ÁLGEBRA NOS ANOS INICIAIS DO FUNDAMENTAL II
Monografia apresentada à Coordenação de
Matemática da Faculdade de Pará de Minas como
requisito parcial para a conclusão do curso de
Matemática.
Orientador: Ms Anderson Baptista Leite
Para de Minas
2013
Marlise Tatiane Alves Fernandes
ESTRATÉGIAS DE ENSINO PARA MELHORAR A COMPREENSÃO DA
ÁLGEBRA NOS ANOS INICIAIS DO FUNDAMENTAL II
Monografia apresentada à Coordenação de
Matemática da Faculdade de Pará de Minas como
requisito parcial para a conclusão do curso de
Matemática.
Aprovada em: _____/_____/_____
______________________________________________________
Orientador: Ms Anderson Baptista Leite
______________________________________________________
Examinadora: Andréia Fonseca de Aguiar
.
Dedico este trabalho à minha mãe,
por me apoiar nesta caminhada para
que pudesse concretizar este sonho.
AGRADECIMENTOS
Inicialmente agradeço a Deus, que me deu forças durante esta caminhada.
À minha mãe, pelas orações para que eu conseguisse vencer esta etapa.
Ao Prof. Ms. Anderson, por sua orientação e incentivo para a realização deste
trabalho.
Aos professores, por compartilharem seus conhecimentos.
Aos meus amigos, pelo companheirismo.
Aos meus familiares, que torceram por mim para que eu conseguisse realizar este
sonho.
RESUMO
Percebendo a grande dificuldade que os alunos apresentam na aprendizagem da
álgebra, senti a necessidade de fazer esta pesquisa para buscar entender os
motivos dessas dificuldades, analisando os principais erros cometidos por eles. E
propor um ensino baseado em uma das concepções algébricas propostas por
Usiskin (1995), que a Álgebra quando introduzida como aritmética generalizada
proporciona aos alunos uma aprendizagem mais significativa. Aplicando uma
atividade que envolvesse essa concepção, como as sequências de padrões de
regularidades pude comprovar, que os alunos apresentam grandes dificuldades de
generalização e com isso é muito importante que estas atividades sejam trabalhadas
em sala de aula para desenvolver o pensamento algébrico do aluno e assim
minimizar essas dificuldades que os alunos têm em relação a Álgebra.
Palavras-chave: Concepções algébricas, dificuldades, pensamento algébrico,
atividades.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Atividade de concepção da álgebra como aritmética generalizada
16
Figura 2: Atividade de concepção da álgebra como um estudo para resolver
17
certos tipos de problemas
Figura 3: Atividade de concepção da álgebra como estudo das estruturas
Figura 4: Atividade de concepção da álgebra como estudo de relação entre
grandeza
17
18
Figura 5: Borboleta – Padrão Geométrico
Figura 6: Flor – Padrão Geométrico
Figura 7: Protocolo de um aluno referente a atividade 1
Figura 8: Protocolo de um aluno referente a atividade 1
Figura 9: Gráfico atividade 1
Figura 10: Protocolo de um aluno referente a atividade 2
Figura 11: Protocolo de um aluno referente a atividade 2
Figura 12: Gráfico atividade 2
25
25
31
32
33
34
35
36
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Símbolos gregos x Símbolos atuais
12
Tabela 2: Álgebra no Ensino Fundamental
19
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 9
2 CONTEXTO HISTÓRICO....................................................................................... 10
2.1 História da álgebra ............................................................................................ 10
2.2 História do ensino da álgebra no brasil .......................................................... 13
2.3 Concepções da álgebra .................................................................................... 14
3 METODOLOGIA DE ENSINO DA ÁLGEBRA ....................................................... 20
3.1 Técnicas de ensino ........................................................................................... 20
3.2 A álgebra no currículo escolar atual ............................................................... 21
3.3 As principais dificuldades verificadas no ensino aprendizagem da álgebra
no 7º ano .................................................................................................................. 22
3.4 Utilização de padrões de regularidade buscando uma melhor compreensão
para a álgebra .......................................................................................................... 24
4 METODOLOGIA .................................................................................................... 27
5 COLETA E ANÁLISE DE DADOS ......................................................................... 29
CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................................... 37
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 38
9
1 INTRODUÇÃO
A
escolha
da
pesquisa
foi motivada
pela
observação
no
estágio
supervisionado que realizei, onde constatei as imensas dificuldades que os alunos
têm em aprender álgebra e também relembrando a minha experiência enquanto
estudante. Sempre tive muita dificuldade em compreender conceitos ligados a esse
ramo da matemática.
A álgebra é considerada como simples estudo de manipulações
mecanizadas ou como um cálculo utilizando letras e sendo isso a maior contribuição
para o fracasso dos alunos em relação à disciplina de matemática. Porém, segundo
os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN, 1998) o estudo da Álgebra constitui um
espaço bastante significativo para que o aluno desenvolva sua capacidade de
abstração e generalização, além de lhe possibilitar habilidades para resolver
problemas.
Os estudantes ao serem introduzidos no campo conceitual algébrico trazem
de sua vida escolar uma grande carga de conhecimentos aritméticos e já têm
formado mentalmente procedimentos que os ajudam a resolver problemas
matemáticos. Desta forma os alunos são colocados diante de uma nova realidade
que muitas vezes entra em confronto com os conteúdos estudados.
A introdução da álgebra no cotidiano escolar é um momento de grande
inquietação para muitos alunos, pois eles precisam deixar o raciocínio aritmético e
começar a pensar algebricamente. Eles apresentam muitas dificuldades em relação
à introdução dos conceitos da álgebra: na solução de equações, resolução de
problemas, manipulações das expressões algébricas.
É possível também que as dificuldades que os alunos encontram na
aprendizagem
da
álgebra
sejam
resultado
dos
professores
ensinarem
procedimentos e regras e com isso limitar a capacidade de compreensão do
conteúdo, das atividades e das representações que são importantes neste domínio
do conhecimento.
O objetivo da pesquisa é analisar as dificuldades que os alunos enfrentam no
ensino aprendizagem da álgebra e propor estratégias de ensino para melhorar a sua
9
compreensão por meio de atividades que desenvolvam o pensamento
algébrico, como as sequências de padrões de regularidades.
O trabalho foi dividido em seis capítulos, descritos a seguir:
Neste capítulo da introdução, falei dos motivos que me levaram a fazer esta
pesquisa e seus objetivos, é também feita a descrição de cada capítulo.
No segundo capítulo é feito um estudo do contexto histórico sobre a origem
da álgebra, como se deu a inclusão de seu ensino no Brasil ao longo da história,
procurando entender a sua evolução. Ainda neste capítulo apresento as diferentes
concepções da álgebra proposta por Usiskin (1995).
No terceiro capítulo é apresentada a metodologia de ensino da álgebra, como
está sendo realizadas as técnicas de ensino nos dias atuais e as principais
dificuldades verificadas no ensino aprendizagem da álgebra.
Para minimizar essas dificuldades é destacada como a utilização de padrões
de regularidades pode ser uma importante ferramenta para o desenvolvimento do
pensamento algébrico.
No quarto capítulo, descrevo a metodologia de pesquisa utilizada e o
procedimento para aplicação das atividades propostas.
No quinto capítulo, explico as duas atividades que exploram padrões de
regularidades, apresentando as análises feitas e os dados coletados.
Por fim, as considerações finais com os resultados obtidos no sexto capítulo.
10
2 CONTEXTO HISTÓRICO
2.1 História da álgebra
A origem da palavra “álgebra” não está baseada em uma etimologia clara,
como a palavra “aritmética”, que advém do grego arithmos (“números”).
Segundo Baumgart (1992) álgebra é um termo que vem da palavra árabe aljabr, onde foi utilizada no título do livro Hisab al-jabr w’ al-muqabalah, escrito pelo
matemático árabe Mohammed ibn – Musa al-Khowarizmi, em Bagdá por volta do
ano 825. Esse título pode ser traduzido como “ciência da restauração (ou reunião) e
redução”, mas para a matemática seria “ciência da transposição e cancelamento”.
Assim a álgebra passou a ser o ramo da matemática relativo às equações.
E o seu desenvolvimento se deu em duas fases: Álgebra antiga que estuda as
equações e métodos para resolvê-las. Álgebra moderna que estuda as estruturas
matemáticas como anéis, grupos e corpos entre outras. A álgebra antiga está
compreendida entre o período de 1700 a.C. e 1700 d.C, em que se caracterizou pela
invenção gradual da linguagem simbólica e estudos dos métodos usados nas
operações algébricas. Durante esse período o desenvolvimento da linguagem
algébrica passou por três estágios: o retórico (verbal), o sincopado (abreviações de
palavras) e o simbólico que sofreu várias transformações.
No estilo retórico são descritos os procedimentos, sem abreviações ou
símbolos. Depois vem o estilo sincopado em que se usam abreviações para as
operações e quantidades mais frequentes. E finalmente, o estilo simbólico formado
por símbolos que normalmente não se referem aos entes que os representam.
Na álgebra retórica, segundo Eves (2005) os argumentos da resolução de
problemas eram escritos em “prosa pura”, sem símbolos ou abreviações. Um
problema escrito no estilo retórico, retirado da Antologia Grega: “Democares viveu
um quarto de sua vida como criança, um quinto como jovem, um terço como adulto e
há 13 anos é ancião. Quantos anos ele tem?” (Eves, 2004, p. 225). Para uma
solução retórica era exigido uma atenção maior.
Na álgebra sincopada, é usada algumas abreviações ou símbolos específicos.
O filósofo grego Diofanto (séc. IV), conhecido como “pai da álgebra”, foi o primeiro a
utilizar os símbolos algébricos. De acordo com Guelli (1997, p. 24), não eram usado
somente símbolos, por exemplo: a igualdade era escrita em linguagem usual “é igual
11
a”. Na tabela abaixo, é mostrada a relação entre a linguagem das equações
utilizadas por Diofanto e as dos dias atuais.
Símbolos de Diofanto
Símbolos atuais
X1 u4 é igual a u20
X + 4 = 20
X1 u2 é igual a u15 M X1
X + 2 = 15 – X
Q1 é igual a u9
=9
Tabela 1: Símbolos gregos x símbolos atuais
Fonte: Adaptado de GUELLI, O. (1997, p. 24)
Muitas civilizações continuaram a usar a álgebra retórica por muito tempo,
mesmo com a álgebra sincopada sendo mais desenvolvida. A maior parte da Europa
Ocidental continua retórica até o século XV.
Por volta do século XVI, François Viète introduz o simbolismo moderno, é a
álgebra simbólica, onde ainda se usa algumas formas sincopadas, mas simplifica as
escritas algébricas nomeando alguns símbolos específicos. Segundo Fiorentini,
Miguel e Miorim (1993), o uso da linguagem simbólica se consolida por Descartes,
com a publicação em 1637 do livro “La Géomértia”. Descartes utiliza as últimas
letras do alfabeto (x, y, z, ...) como incógnitas (e, implicitamente como variáveis) e as
primeiras letras (a, b, c, ...) como quantidades fixas.
A álgebra originou-se provavelmente na Babilônia e de acordo com Eves
(2005) os babilônios anotavam seus conhecimentos em tabelas de argila, em escrita
e notação sexagesimal cuneiforme. Eles eram ótimos algebristas e tinham bastante
habilidade em cálculos, eram capazes de resolver várias equações, incluindo
cúbicas e quárticas. O surgimento da álgebra no Egito, que era também retórica, se
deu quase ao mesmo tempo que na Babilônia, porém menos sofisticada que a da
álgebra babilônia.
Na álgebra grega conforme foi formulada pelos pitagóricos 540 a.C e por
Euclides 300 a.C era geométrica pois
tinham dificuldades de raciocínio com
números irracionais e fracionários e dificuldades com a prática usada com os
números gregos, por serem difíceis de operar. A matemática grega parou de se
desenvolver com a ocupação romana, e no século III d. C, o matemático grego
Diofanto deu uma nova ascensão à álgebra, introduzindo o estilo sincopado. Em sua
12
obra Arithmetica, faz uma abordagem em relação ao tratamento das equações
indeterminadas, conhecidas como equações diofantinas.
De acordo com Baumgart (1992) a Índia recebeu influências de várias
culturas, devido às inúmeras invasões sofridas. Alguns dos matemáticos hindus,
como Brahmagupta (c. 628) que trabalhou num estilo sincopado, e Bhaskara (c.
1150) foram grandes algebristas hindus. Os hindus resolveram as equações de 2°
grau completando quadrados e obtiveram as primeiras soluções gerais das
equações indeterminadas.
A álgebra arábica teve grande influência dos hindus e gregos, com a
ascensão do islamismo os povos árabes invadiram e conquistaram a Índia, Pérsia,
Mesopotâmia, Norte da África e Espanha, e assim tiveram acessos aos trabalhos
científicos gregos e hindus, entre eles o sistema de numeração hindu, esses
trabalhos foram traduzidos pelos árabes e preservados ao longo da Idade Média da
Europa. O grande escritor árabe matemático foi al-Khowarizmi, e sua obra mais
conhecida “Al-Kitab al-jarb wa‟l Muqabalah” o Livro da Restauração e da Redução foi
traduzida para o latim (c. 1200) influenciando a matemática europeia. Com o acesso
às traduções para o latim dos trabalhos gregos, árabes e hindus, a álgebra europeia
começou a se desenvolver, principalmente através da obra “Liber abaci” (1202) de
Fibonacci.
O simbolismo moderno começou a aparecer em torno de 1500 com a
introdução de alguns símbolos. Foi no ano de 1545 que Girolano Cardano, publicou
sua obra num estilo simbólico Ars magna, onde apresentava as soluções para as
cúbicas de Spicione Del Ferro e as quárticas de Ludovico Ferrari, além de outras
contribuições para a matemática. O francês Francois Viète foi o primeiro a introduzir
letras como coeficientes genéricos em sua logística speciosa.
Com a evolução da notação simbólica foi possível aprofundar o pensamento
algébrico passando da “solução manipulativa de equações” para o estudo de suas
propriedades teóricas. Com a busca da generalização, a construção do simbolismo
algébrico permitiu a evolução da matemática.
13
2.2 História do ensino da álgebra no Brasil
Com as mudanças do ensino da Matemática, a álgebra foi introduzida no
currículo escolar brasileiro pelo governo, e tornou-se uma disciplina essencial para
formação do cidadão (Castro, 2003).
As dificuldades enfrentadas no ensino da álgebra nos dias atuais se devem à
sua evolução, desde a sua inclusão no currículo até os dias de hoje.
Segundo Miguel, Fiorentini e Miorim (1992) a álgebra passou a fazer parte do
currículo brasileiro em 1799 e até o início da década de 60 era um ensino puramente
reprodutivo, era uma aula avulsa assim como a Aritmética, a Geometria e a
Trigonometria que já eram ensinadas na época.
Em 1927, Euclides Roxo propôs uma mudança no ensino da Matemática
acabando com a sua divisão em partes distintas unificando os ramos da Matemática.
De acordo com Valente, em 1930, Francisco Campos assume o Ministério da
Educação e Saúde e no outro ano reformula o ensino e aceita as ideias de Euclides
Roxo e os quatro campos de ensino – Aritmética, Álgebra, Geometria e
Trigonometria passam a receber a denominação Matemática. Com a Reforma de
Francisco Campos a álgebra tinha como objetivo a resolução de equações e
problemas do 1º grau.
Na década de 1960, surgiu o Movimento da Matemática Moderna que tinha
como objetivo a unificação dos três campos da matemática introduzindo elementos
unificadores como a teoria dos conjuntos e as estruturas algébricas. A álgebra então
ganhou destaque e preocupou-se em superar a forma mecânica e reprodutiva de
seu ensino. Com essas alterações, Miorim, Miguel e Fiorentini, destacam que:
[...] há uma tentativa de superar o caráter pragmático, mecânico e nãojustificado do ensino de álgebra, substituindo-o por uma abordagem que
enfatiza a precisão da linguagem matemática, o rigor e a justificação das
transformações algébricas através das propriedades estruturais; [...].
Com o declínio do Movimento da Matemática Moderna na segunda metade da
década de 1970 devido às influências diversificadas que recebeu, os educadores se
dispuseram a recuperar o ensino da Geometria que havia sido deixado de lado e a
Álgebra retorna ao papel exercido antes do Movimento da Matemática Moderna com
a finalidade de resolver equações e problemas.
14
Nos dias de hoje, a Álgebra ocupa um lugar de destaque nos livros didáticos,
mas ainda há muito que refletir sobre o seu ensino para diminuir as dificuldades dos
alunos na compreensão deste conteúdo.
2.3 Concepções da álgebra
Na literatura da Educação Matemática há vários pesquisadores que
apresentam diversas concepções algébricas. No trabalho, me basearei nas
concepções algébricas propostas por Usiskin (1995): Álgebra como aritmética
generalizada, Álgebra como estudo de procedimentos para se resolver certos tipos
de problemas, Álgebra como estudo de relação entre grandezas e a Álgebra como
estudo de suas estruturas. No ponto de vista dos alunos, as variáveis são letras que
representam números, pois a maioria dos professores apresenta a variável sobre
uma única concepção. De acordo com Usiskin (1995):
[...] as concepções que temos da Álgebra e a utilização de variáveis
estão intrinsecamente relacionadas. As finalidades da Álgebra são
determinadas por, ou relacionam-se com concepções diferentes da
Álgebra, que correspondem à diferente importância relativa dada aos
diversos usos das variáveis. (USISKIN, 1995, p.12-13)
Irei,
então,
descrever
e
analisar
as
quatro
diferentes
concepções
apresentadas por Usiskin.
1ª) Álgebra como aritmética generalizada
Nessa concepção, a Álgebra pode ser trabalhada nos primeiros anos da
educação básica, iniciando o processo de construção do pensamento algébrico
(Fiorentini, Miguel e Miorim 1993).
Segundo Usiskin (1995), a Álgebra, introduzida como aritmética generalizada
proporciona ao aluno uma aprendizagem mais significativa e trabalhando de forma
intuitiva. Exemplo, os números pares, 2 = 2 x 1, 4 = 2 x 2, 6 = 2 x 3, 8 = 2 x 4,
podemos representar por 2 x n, em que n é um número par. Assim, o exemplo
mostrou a generalização de padrões, as “variáveis” e o aluno estará começando a
pensar algebricamente.
15
Nessa concepção da Álgebra como aritmética generalizada, as variáveis
(letras) são tratadas como generalizadoras de modelos, cuja finalidade é substituir
números.
Exemplo de atividade como aritmética generalizada:
FIGURA 1: Atividade da concepção de álgebra como aritmética generalizada.
FONTE: Andrini (2002, p.76)
2ª) Álgebra como estudo para resolver certos tipos de problemas
Para poder entender essa concepção, Usiskin (1995) propõe um problema:
adicionando -3 ao quíntuplo de certo número, a soma é 43. Achar o número. O
problema é traduzido para a linguagem algébrica:
Depois que
traduzimos esse problema para a linguagem algébrica segundo a concepção 1,
resolvemos a equação segundo a concepção 2.
Assim, o número do problema é 8, testando
16
Nesse caso, a letra deixa de ser apenas algo que substitui um número e é
denominada incógnita, o valor a ser encontrado é a variável. Como o exemplo que
se segue:
FIGURA 2: Atividade da concepção de álgebra como um estudo para resolver certos
tipos de problema.
FONTE: Andrini (2002, p. 57)
3ª) Álgebra como estudo das estruturas
De acordo com Usiskin (1995) nos cursos superiores o estudo envolve
estruturas como grupos, anéis, domínios de integridade, corpos e espaços vetoriais.
Entretanto, reconhecemos a álgebra como estudo das estruturas pelas propriedades
que atribuímos às operações com números reais e polinômios.
Exemplificando:
1) Determine
2) Fatorar a expressão
Nos dois exemplos, as variáveis não têm uma referência numérica. Nessa
concepção, a variável é caracterizada pelo fato de ser pouco mais do que um
símbolo arbitrário. Situam-se nessa concepção as atividades de cálculo algébrico,
por exemplo, produtos notáveis, fatoração, operações com monômios e polinômios.
Exemplo:
17
FIGURA 3: Atividade da concepção de álgebra como estudo das estruturas.
FONTE: Andrini (2002, p.113)
Para Usiskin (1995) é necessário abordar o cálculo algébrico de maneira
significativa e que estimule o aluno a manipular estruturas.
4ª) Álgebra como estudo de relação entre grandezas
Nesta concepção as variáveis realmente variam, sendo um modelo a ser
generalizado fundamentalmente algébrico.
De acordo com Usiskin (1995), os modelos e leis funcionais descrevem ou
representam as relações entre duas ou mais grandezas variáveis. A variável é um
argumento que representa os valores do domínio de uma função ou um parâmetro,
representando um número dependente de outros números. Como mostra o exemplo
a seguir:
18
FIGURA 4: Atividade da concepção de álgebra como estudo de relações entre
grandezas.
FONTE: Andrini (2002, p. 104)
No PCN (Brasil, 1998, p. 116) é apresentada as concepções em relação à
álgebra apresentando os vários conceitos de variáveis e sua finalidades.
Tabela 1
Álgebra no Ensino Fundamental
Dimensões da
Uso das Letras e
Conceitos e
Álgebra
Conteúdos
Procedimentos
Aritmética
Uso das letras como
Propriedades das
Generalizada
generalizações de modelos
operações e
aritméticos
generalizações de
padrões aritméticos
Funcional
Uso das letras como
Variação de grandezas
variáveis para expressar
relações e funções
Equações
Uso das letras como
Resolução de equações
19
incógnitas
Estrutural
Uso das letras como
Cálculos algébricos.
símbolos abstratos
Obtenção de expressões
equivalentes
Fonte. Brasil (1998, p. 116)
A aprendizagem da Álgebra possibilita que o aluno amplie sua capacidade de
resolução de problemas tanto no campo matemático quanto na sua vida cotidiana.
20
3 METODOLOGIA DE ENSINO DA ÁLGEBRA
3.1 Técnicas de Ensino
A construção do conhecimento está diretamente ligada à prática pedagógica
no ensino da álgebra.
O ensino da álgebra nos dias atuais não vai muito além de manipulações de
símbolos que não possuem nenhum significado e seu estudo é desenvolvido de
forma mecânica, mas para que se construa o conhecimento algébrico é fundamental
que se consiga dar significados para o seu estudo.
O papel do aluno vem se restringindo à memorização de regras com este
ensino que não relaciona os procedimentos algébricos com as situações de seu diaa-dia. De acordo com os PCNs:
[...] para que a aprendizagem possa ser significativa é preciso que os
conteúdos sejam analisados e abordados de modo a formarem uma rede de
significados. Se a premissa de que compreender é apreender o significado, e
de que para apreender o significado de algum objeto ou acontecimento é
preciso vê-lo em suas relações com outros objetos ou acontecimentos, é
possível dizer que a ideia de conhecer assemelha-se a ideia de tecer uma
teia (BRASIL, 1998, p. 75).
Como o livro didático é o principal recurso da sala de aula, trazendo
conteúdos sem significação em que apresenta uma explicação (técnica) e uma lista
de exercícios (prática), reforça essa proposta chamada de letrista por Lins e
Gimenez (1997), reduzindo a álgebra ao aspecto simbólico:
Por um lado, é verdade que ainda precisamos que as editoras e as
universidades colaborem mais, para produzir material que ofereça alternativa
ao que domina hoje, mas, por outro lado, é mais do que provável que a
repetição dessa prática por tanto tempo, aliada ao fato de que o livro
representa uma voz que se reveste de autoridade, termine por constituir, para
a maioria dos professores, a noção de que atividade algébrica é “cálculo
literal”[...] (LINS E GIMENES, 1997, p.106).
O professor precisa ter a consciência de que o uso apenas do livro didático
pode ser limitador e cabe a ele decidir o tipo de atividade e intervenções que mais se
adéquam ao estudo da álgebra para a construção do conhecimento.
21
3.2 A Álgebra no currículo escolar atual
Atualmente a álgebra ocupa um lugar de destaque na área da Matemática,
mas mesmo com este espaço os alunos possuem uma grande deficiência à
aprendizagem do contexto algébrico.
O início do estudo algébrico se dá no 7º ano, com ênfase no 8º ano, depois de
muitos anos dedicados aos estudos aritméticos. De acordo com os PCNs:
Para uma tomada de decisões para o ensino da Álgebra, deve-se ter,
evidentemente, clareza de seu papel no currículo, além da reflexão de como
a criança e o adolescente constroem o conhecimento matemático,
principalmente quanto à variedade de representações. Assim é mais
proveitoso propor situações que levem o aluno a construir noções algébricas
pela observação de regularidades em tabelas e gráficos, estabelecendo
relações, do que desenvolver o estudo da Álgebra apenas enfatizando as
“manipulações” com expressões e equações de forma meramente mecânica
(BRASIL, 1998, p. 116).
A álgebra, por muitas vezes, é trabalhada de forma linear, sem fazer relações
com que o aluno já tem conhecimento em outros contextos. Na maioria dos livros
didáticos encontram-se atividades que dão destaque ao trabalho mecânico,
explicando a técnica e propondo uma lista de exercícios e professores que enfatizam
o estudo do cálculo algébrico e das equações, sem nenhuma problematização.
Dessa maneira, não há nenhuma relação com a vida real do aluno, não
facilitando o estudo algébrico. Assim o aluno não consegue perceber as diferentes
funções da álgebra e as suas utilidades.
Segundo os PCNs, para que se possa garantir o desenvolvimento do
pensamento algébrico é necessário que sejam oferecidas aos alunos atividades que
inter-relacionam as diferentes concepções da álgebra, permitindo que o aluno
analise as suas diferentes funções:
Pela exploração de situações-problema, o aluno reconhecerá diferentes
funções da Álgebra (generalizar padrões aritméticos, estabelecer relações
entre duas grandezas, modalizar, resolver problemas aritmeticamente
difíceis), representará problemas por meio de equações e inequações
(diferenciando parâmetros, variáveis, incógnitas, tomando contato com
fórmulas), compreenderá a “sintaxe” (regra para a resolução) de uma
equação (BRASIL, 1998, p. 50 e 51).
22
É muito importante propor uma interligação entre os conteúdos estudados,
assim o aluno conseguirá ampliar seu conhecimento de forma gradativa, com um
aprendizado mais efetivo.
Iniciando o estudo da álgebra nas séries iniciais do Ensino Fundamental de
maneira informal, trabalhando junto com a aritmética, o aluno chegará às séries
finais com mais facilidade para ampliar e formalizar seu conhecimento algébrico. De
acordo com os PCNs, para que o aluno entenda a álgebra simbólica é necessário
que os professores considerem o estudo da álgebra já nas séries iniciais (BRASIL,
1998).
Quando é proposto o início do ensino algébrico antes, não terá a abordagem
formal com o simbolismo algébrico, mas sim situações que propiciam ao aluno a
percepção de regularidades, assim o aluno entenderá mais facilmente o formalismo
algébrico ao chegar no 7º ano.
3.3 As principais dificuldades verificadas no ensino aprendizagem da álgebra
no 7º ano
Segundo Socas et al (1996, p. 91) há uma enorme variedade de dificuldades
no ensino-aprendizagem da álgebra. A primeira dificuldade relacionada à origem da
álgebra e também às dificuldades que surgem com o desenvolvimento cognitivo.
A segunda dificuldade é relacionado com a natureza do currículo, como é
organizada as aulas e os métodos de ensino utilizados pelos professores, que na
maioria das vezes focam nas manipulações mecânicas com símbolos.
Um estudo sobre os tipos de erros cometidos pelos alunos foi analisado por
Booth (1995) destacando a origem dos erros nas ideias que eles tinham sobre:
1º) O foco da atividade algébrica e a natureza das “respostas”. Booth (1995) destaca
a diferença entre o foco de uma atividade aritmética e o foco de uma atividade
algébrica.
Em aritmética, o foco da atividade é encontrar determinadas respostas
numéricas particulares. Na álgebra, porém, é diferente. Na álgebra o foco é
estabelecer procedimentos e relações e expressá-los numa forma
simplificada geral. Uma razão para se estabelecerem essas afirmações
gerais é usá-las como „regras de procedimento‟ para a resolução de
problemas adequados e, então, achar respostas numéricas, mas o foco
imediato é o estabelecimento, a expressão e a manipulação da própria
afirmação geral (BOOTH, 1995, p.24).
23
2º) O uso da notação e da convenção em álgebra. Segundo Booth (1995), em
aritmética os símbolos “+ e =” são interpretados como ações a serem efetuadas, de
maneira que “+” significa efetivamente realizar uma soma e “=” encontrar uma
resposta.
Na álgebra, por exemplo, o símbolo de igualdade pode representar uma
relação de equivalência e não uma resposta fechada.
Ponte (2005), destaca as dificuldades dos alunos com os símbolos
operatórios em álgebra:
Outra dificuldade, ainda, é compreender as mudanças de significado, na
Aritmética e na Álgebra, dos símbolos + e =, bem como das convenções
adotadas; assim, em Aritmética, 23 tem um significado aditivo (20 + 3),
enquanto que em Álgebra 2x tem um significado multiplicativo (2 x x); em
Aritmética 3 + 5 significa uma “operação para fazer” (cujo resultado é 8),
mas em Álgebra x + 3 representa uma unidade irredutível (enquanto não se
concretizar a variável x) (PONTE, 2005, p. 39).
Com a complexidade da linguagem algébrica, essas dificuldades são
entendidas, segundo Booth (1995), a álgebra é mais exigente que a aritmética.
Essa precisão, é claro, também é importante na aritmética, mas as
consequências de impropriedades nesse aspecto podem ser menores se o
aluno sabe o que se pretende e efetua a operação correta,
independentemente do que está escrito. Em aritmética faz pouca diferença
o aluno escrever 12 : 3 ou 3 : 12, desde que ele efetue corretamente o
cálculo. Em álgebra, porém, é crucial a diferença entre p : q e q : p (p.29).
O aprendizado de álgebra está relacionado ao conhecimento da aritmética
que o aluno possui.
3º) O significado das letras e das variáveis. Booth (1995) afirma que é a diferença
mais evidente entre aritmética e álgebra.
As letras também aparecem em aritmética, mas de maneira bastante
diferente. A letra m, por exemplo, pode ser utilizada em aritmética para
representar „metros‟, mas não para representar o número de metros, como
em álgebra. A confusão decorrente dessa mudança de uso pode resultar
numa „falta de referencial numérico‟, por parte do aluno, ao interpretar o
significado das letras em álgebra (p. 30).
De acordo com as concepções algébricas, a variável pode assumir variados
papéis dentro do contexto algébrico. Com o conhecimento dos vários significados
24
que as letras podem assumir, ficará mais fácil para os alunos aceitarem uma
expressão algébrica como resposta.
4º) Os tipos de relações e métodos usados em aritmética. A álgebra é uma
continuidade da aritmética, e dentro das concepções é uma aritmética generalizada.
De acordo com Booth (1995):
É preciso primeiro que tais relações e procedimentos sejam aprendidos
dentro do contexto aritmético. Se não forem reconhecidos, ou se os alunos
tiverem concepções erradas a respeitos deles, seu desempenho em álgebra
poderá ser afetado. (p. 33)
As dificuldades dos alunos em álgebra vêm da defasagem do aprendizado da
aritmética. Gil (2008), destaca que “algumas barreiras se configuram na álgebra
pelo fato do aluno trazer para o contexto algébrico, dificuldades herdadas do
aprendizado no contexto aritmético ou por estenderem para o estudo algébrico,
procedimentos aritméticos errados.”
3.4 Utilização de Padrões de Regularidade buscando uma melhor compreensão
para a Álgebra
Os padrões de regularidades são uma importante ferramenta para o
desenvolvimento do pensamento algébrico, segundo os PCNs (1998).
De acordo com Devlin (2002), a Matemática pode ser denominada como a
“ciência dos padrões”, pois suas atividades baseiam-se na análise de padrões, na
procura de regularidades, são exemplos os padrões numéricos, padrões de formas e
padrões de movimento.
O documento NCTM (Normas para o currículo e a avaliação em matemática
escolar) defende que os padrões desenvolve a capacidade de: Resolver problemas;
Compreender
conceitos
e
relações
importantes;
Investigar
relações
entre
quantidades num padrão; Generalizar padrões através do uso de palavras ou
variáveis; Continuar e relacionar padrões e Compreender o conceito de função.
Como os PCNs propõe um ensino aprendizagem mais significativo, o estudo
de padrões sendo presentes no cotidiano do aluno contribui para a construção de
seu pensamento algébrico. Para Vale et al (2007):
25
Quando apelamos aos padrões no ensino da Matemática é normalmente
porque queremos ajudar os alunos a aprender uma Matemática significativa
e/ou a envolver-se na sua aprendizagem facultando-lhes um ambiente que
tenha algo a ver com sua realidade e experiências. O estudo de padrões vai
de encontro a esse aspecto, apoiando a aprendizagem dos estudantes para
descobrirem relações, encontrarem conexões e fazerem generalizações e
também precisões (VALE et al, 2007, p. 6).
Não há uma definição precisa para padrão, encontramos padrões na
natureza, na Biologia, na Arte, etc. As asas de uma borboleta, as pétalas de uma flor
são exemplos de padrão geométrico.
FIGURA 5 – Borboleta - Padrão geométrico
FIGURA 6 – Flor – Padrão geométrico
Na Matemática, encontramos vários tipos de padrões, que podem ser
categorizados em numéricos, visuais, geométricos, figurativo-numérico, geométriconumérico, etc.
Segundo Fiorentini, Miguel e Miorim (1993), o aluno desenvolve seu
pensamento algébrico quando consegue estabelecer alguma relação em padrões
geométricos ou numéricos, resolve uma situação problema com vários modelos
26
matemáticos, consegue generalizar, desenvolve uma linguagem mais clara para a
solução de um problema. E assim consegue compreender a linguagem algébrica.
Os Standarts (NCTM, 200) destacam a importância das atividades com
padrões desde a educação básica:
[...] Padrões são uma maneira para os alunos reconhecerem ordem e
organizarem seu mundo e são importantes em todos os aspectos
matemáticos. [...] Assim que os alunos generalizam através de observação
sobre números e operações, eles estão formando a base do pensamento
algébrico (NCTM, 2000, p. 91-95).
A exploração com padrões no ensino da Matemática é uma maneira de tornálo mais significativo, fazendo com que o aluno construa seu conhecimento.
O professor precisa proporcionar ao aluno o desenvolvimento do pensamento
algébrico, despertando o pensamento intuitivo, a observação deste aluno, e aos
poucos alcançar a linguagem abstrata da Álgebra.
27
4 METODOLOGIA
Com este trabalho, realizo uma pesquisa qualitativa, para compreender as
dificuldades
encontradas
e
sugerir
alternativas
que
permita
uma
melhor
compreensão da aprendizagem da Álgebra. Segundo Borba (2004) a pesquisa
qualitativa tem ganhado destaque, devido as suas contribuições, e ainda ressalva
que:
[...] pesquisa qualitativa deve ter por trás uma visão de conhecimento que
esteja em sintonia com procedimentos como entrevistas, análises de
vídeos, etc. e interpretações. O que se convencionou chamar de pesquisa
qualitativa, prioriza procedimentos descritivos à medida que sua visão de
conhecimento explicitamente admite a interferência subjetiva, o
conhecimento como compreensão que é sempre contingente, negociada e
não é verdade rígida. O que é considerado "verdadeiro", dentro desta
concepção, é sempre dinâmico e passível de ser mudado. Isso não quer
dizer que se deva ignorar qualquer dado do tipo quantitativo ou mesmo
qualquer pesquisa que seja feita baseada em outra noção de conhecimento.
(p.2)
Neste trabalho analiso dados que serão coletados para tentar responder à
problemática.
Os
dados
que
serão
coletados
nesta
pesquisa
serão
predominantemente descritivos, pois, de acordo com Bogdan e Biklen (1994) a
pesquisa qualitativa envolve a obtenção de dados que são obtidos no contato direto
do pesquisador com a situação estudada.
Nesta pesquisa também apresentarei dados quantitativos com os resultados
obtidos no teste proposto a esses alunos, fazendo uma combinação de dados
quantitativos e qualitativos. De acordo com Flick (2004):
[...] a análise da frequência de determinadas respostas nas entrevistas pode
acabar oferecendo insights1 adicionais para essas entrevistas, a explicação
suplementar quanto às razões que fazem com que determinados padrões
de resposta possam ser encontrados em grande quantidade nos
questionários requer a coleta e o envolvimento de novos tipos de dados
(entrevista, observação de campo) (p. 276).
As atividades propostas foram baseadas em um caderno de atividades
elaborado pela pesquisadora Leila Mondanez (2003), onde notei que estas eram
interessantes, pois desenvolvem um pensamento intuitivo e os alunos não estão
acostumados com esse tipo de atividade.
28
A turma escolhida foi uma turma do 7° ano do Ensino Fundamental da Escola
Estadual “Viriato Melgaço” em Pequi. A atividade foi realizada no dia 25 de outubro
de 2013 com a participação de 29 alunos. As atividades foram xerografadas e
distribuídas aos alunos. Pedi para que eles resolvessem em duplas, para que
possam trocar ideias e discutir a resolução das atividades.
Expliquei as atividades para os alunos e eles começaram a resolver, ao final
recolhi as atividades e as corrigi.
29
5 COLETA E ANÁLISE DE DADOS
Na aprendizagem da Álgebra, o seu objetivo é estabelecer relações e
representá-las com expressões. Segundo Lins e Gimenes (1997, p. 137), a
“atividade algébrica consiste no processo de produção de significados para a
álgebra.” Onde se dá a construção do conhecimento.
O desenvolvimento dos conceitos algébricos através de situações-problemas
é bastante eficaz, onde o aluno busca suas ideias para resolvê-las. Essas situaçõesproblemas podem ser bastante diversificadas, como a investigação de padrões
numéricos ou geométricos; análise de gráficos; cálculo de área, volume e perímetro.
De acordo com Ponte:
[...] no pensamento algébrico dá-se atenção não só aos objetos, mas
também às relações existentes entre eles, representando e raciocinando
sobre estas relações tanto quanto possível de modo geral e abstrato. Por
isso, uma das vias privilegiadas para promover este raciocínio é o estudo de
padrões e regularidades (PONTE, 2005).
Com essas atividades, os alunos reconhecem as regularidades, fazem as
generalizações e com isso desenvolvem a linguagem e seu pensamento algébrico
que é caracterizado por Fiorentini, Miorim e Miguel (1993) como:
[...] a percepção de regularidades, a percepção de aspectos invariantes em
contraste de outros que variam, as tentativas de expressar ou explicar a
estrutura de uma situação-problema e a presença do processo de
generalização (p.87).
Os alunos através do problema, podem argumentar sobre suas ideias, ouvir
as ideias dos outros e assim entender as possíveis diferentes soluções ou
explicações de um problema, que o ajudará no desenvolvimento do pensamento
algébrico. E o professor tem um papel muito importante neste processo, que é
intervir com questionamentos, despertando a curiosidade dos alunos.
Os tipos de atividades e as intervenções propostas pelo professor são
decisivos para um aprendizado efetivo dos alunos, tornando a álgebra significativa.
Acredito que as atividades com padrões de regularidades ajudam neste processo de
aprendizagem.
30
No processo de ensino aprendizagem da álgebra, os alunos apresentam
muitas dificuldades para compreender os conceitos algébricos. Essas atividades
podem minimizar essas futuras dificuldades
Nestas atividades o principal objetivo foi promover o contato dos alunos com
sequências geométricas. Visando a familiarização com as sequências repetitivas e
com a correspondência entre a posição da figura na sequência e sua forma na
posição, revisando também os conceitos de múltiplo e divisor.
Estas foram as duas atividades escolhidas de sequência geométricas para
aplicar na turma.
Atividade 1
Observe a sequencia abaixo, descubra sua regra e continue desenhando:
a) Qual é o 12º termo da sequencia?
b) Qual é o 23° elemento da sequencia?
c) E o 54º elemento?
d) Como você descreveria a regra de formação desta sequencia?
O objetivo desta atividade é que os alunos percebam a partir das sequências
de figuras as generalizações, familiarizando-se com sequências repetitivas e que
possa identificar a correspondência entre a posição do “pirulito” na sequência e
indicando se o “pirulito” está para cima ou para baixo.
A atividade é uma sequência em que a primeira figura está em um sentido e a
segunda em outro sentido, e assim por diante. Os alunos são levados a associarem
as posições pares com o pirulito voltado para baixo e as posições ímpares com o
pirulito voltado para cima.
31
Nesta atividade não é necessário o uso de letras, como variáveis em suas
soluções.
Participaram desta atividade 29 alunos, com a formação de 14 duplas e 1
aluno. Os próprios alunos escolheram suas duplas.
Analisando os resultados desta sequência, pude perceber que 16 alunos
fizeram a associação corretamente. Dos que acertaram, a maioria escreveu como
resposta: “Quando o número for par ele (pirulito) vai estar para baixo e quando for
impar deve estar para cima”. Conforme o protocolo abaixo:
FIGURA 7 – PROTOCOLO DE UM ALUNO REFERENTE À ATIVIDADE 1.
32
Dos 29 alunos, 13 não conseguiram fazer a generalização e responder
corretamente
a
regra
de
formação
desta
sequência.
Eles
responderam:
“Continuando a sequência dos pirulitos”. Veja no protocolo abaixo:
FIGURA 8 – PROTOCOLO DE UM ALUNO REFERENTE À ATIVIDADE 1.
Eles não associaram o pirulito para baixo às posições pares e o pirulito para
cima às posições ímpares da sequência. A maioria escreveu “continuando o
desenho”, não conseguiram estabelecer a regra de formação da sequência.
Enquanto os alunos resolviam a atividade, as duplas discutiam suas ideias
para se chegar na resposta e não interferi nas discussões.
33
O gráfico a seguir mostra o percentual em relação as respostas dadas sobre a
percepção entre o pirulito para baixo e as posições pares e a do pirulito para cima
com as posições ímpares.
Atividade 1
Correta
Errada
45%
55%
FIGURA 9 – GRÁFICO ATIVIDADE 1
Atividade 2
Observe a sequencia abaixo, descubra sua regra e continue desenhando:
a) Qual o 12º elemento da sequencia?
b) Qual o elemento que ocupa a 18º posição da sequencia?
c) E o que ocupa a 21º posição?
d) O que você observa em relação ao losango e as posições ocupadas por ele?
e) Como você descreveria a regra de formação desta sequencia?
34
Na atividade 2 é proposta uma sequência de figuras geométricas repetitivas
como retângulos, círculos e losangos. Nesta sequência é importante que os alunos
percebam a relação entre os múltiplos de um número e a posição ocupada pela
figura na sequência.
Esta atividade tem como objetivo que o aluno perceba que as posições
ocupadas pelo losango são múltiplas de três, pela generalização.
Participaram desta atividade, 29 alunos formando 14 duplas e um aluno.
Analisando os resultados, somente 10 alunos conseguiram perceber a regra
de formação da sequência, com a figura do losango. As respostas foram “São
múltiplos de três”, como mostra o protocolo abaixo.
FIGURA 10 – PROTOCOLO DE UM ALUNO REFERENTE À ATIVIDADE 2.
35
Dos 19 alunos que não conseguiram estabelecer a regra de formação da
sequência, um deles respondeu “Cada um desses elementos aparecerá de dois em
dois números”. Veja:
FIGURA 11 – PROTOCOLO DE UM ALUNO REFERENTE À ATIVIDADE 2.
36
Atividade 2
Correta
Errada
34%
66%
FIGURA 12 – GRÁFICO ATIVIDADE 2
O gráfico acima mostra o percentual em relação as respostas dadas sobre a
percepção entre as posições múltiplas de 3 e o losango da sequência.
Ao final da pesquisa, pude perceber a grande dificuldade dos alunos em
generalizar.
37
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este trabalho teve como objetivo entender as dificuldades dos alunos na
aprendizagem da Álgebra e apresentar estratégias ensino, como atividades de
sequências
de
padrões
geométricos,
para
minimizar
essas
dificuldades
posteriormente.
Com a análise das respostas, pude verificar que os alunos têm muitas
dificuldades em relação a generalização e não compreendendo essa generalização,
que é o princípio fundamental da Álgebra, não terão um aprendizado satisfatório
neste ramo da Matemática.
As atividades de sequências de padrões geométricas levam os alunos a
raciocinar e assim desenvolver o pensamento algébrico. No início da aplicação das
atividades percebi que os alunos estavam bastante agitados, por ser uma atividade
diferente do que eles estavam acostumados a fazer na sala de aula. Eles
demonstraram interesse e todos os alunos fizeram as atividades.
Muitas vezes, os alunos não aprendem o conteúdo por não serem motivados
e ficam na repetição dos exercícios mecanizados. É fundamental que os professores
desenvolvam este tipo de atividade com os alunos, pois despertam neles um
interesse maior e que o livro didático não é o único material que pode ser utilizado
em sala de aula.
Percebi que os alunos tiveram muitas dificuldades na interpretação das
perguntas. Analisando as respostas, vimos que grande parte dos alunos não
conseguiram estabelecer a regra de formação da sequência devido ao fato de não
serem levados a pensar intuitivamente, por estarem presos aos exercícios
mecânicos.
Considerando que os alunos demonstraram interesse em realizar esse tipo de
atividade, sugiro outras pesquisas sejam realizadas em mais aulas, com mais
atividades para dar sequência à construção do conhecimento algébrico.
Vejo que a utilização de padrões de regularidades é muito importante na
introdução do ensino da Álgebra, levando o aluno a pensar e dar significado à
Álgebra.
38
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