UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
SIRLENE NEVES DE ANDRADE
EXPECTATIVAS INSTITUCIONAIS RELACIONADAS À TRANSIÇÃO
ENTRE O ENSINO MÉDIO E ENSINO SUPERIOR PARA O CASO DA
NOÇÃO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL
SÃO PAULO
2012
UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
CONSELHO DA PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA
SIRLENE NEVES DE ANDRADE
EXPECTATIVAS INSTITUCIONAIS RELACIONADAS À TRANSIÇÃO
ENTRE O ENSINO MÉDIO E ENSINO SUPERIOR PARA O CASO DA
NOÇÃO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL
Tese submetida à banca examinadora da
Universidade Bandeirante de São Paulo, como
exigência para defesa de Tese para obtenção
do título de Doutora em Educação Matemática,
sob a orientação da Professora Doutora
Marlene Alves Dias.
SÃO PAULO
2012
SIRLENE NEVES DE ANDRADE
EXPECTATIVAS INSTITUCIONAIS RELACIONADAS À TRANSIÇÃO
ENTRE O ENSINO MÉDIO E ENSINO SUPERIOR PARA O CASO DA
NOÇÃO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL
TESE APRESENTADA A UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO
PAULO COMO EXIGÊNCIA DO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO
EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
Presidente e Orientador
Nome: Marlene Alves Dias
Titulação: Doutora em Matemática – Universidade Dennis Diderot – Paris 7
Instituição: Universidade Bandeirante de São Paulo
Assinatura: _____________________________________________________
2º Examinador
Nome: Maria Helena Palma de Oliveira
Titulação: Doutora em Psicologia Aprendizagem e Desenvolvimento Humano
- USP
Instituição: Universidade Bandeirante de São Paulo
Assinatura: _____________________________________________________
3º Examinador
Nome: Nielce Meneguelo Lobo da Costa
Titulação: Doutora em Educação - USP
Instituição: Universidade Bandeirante de São Paulo
Assinatura: _____________________________________________________
4º Examinador
Nome: Maria Elisabette Brisola Brito Prada
Titulação: Doutora em Educação (Currículo) – PUC - SP
Instituição: Universidade Bandeirante de São Paulo
Assinatura: _____________________________________________________
5º Examinador
Nome: Elias Estevão Goulart
Titulação: Doutor em Engenharia Elétrica - USP
Instituição: USCS
Assinatura: ____________________________________________________
6º Examinador
Nome: Éder Mateus de Souza
Titulação: Doutor em Matemática - UFPE
Instituição: UFS
Assinatura: _____________________________________________________
NOTA FINAL: _______________
Biblioteca
Bibliotecário:___________________________________________________
Assinatura:____________________________________ DATA ___/___/___ .
São Paulo, ___ de __________ de ____.
AGRADECIMENTOS
A Deus, que me permitiu chegar até aqui.
A Professora Doutora Marlene Alves Dias, pela amizade e consideração, pela
orientação segura, dedicação incansável e oportunidades que me proporcionou.
A Professora Doutora Michèle Artigue, pelas valiosas contribuições oferecidas a esta
pesquisa.
A todos os professores e colegas do Programa de Mestrado e Doutorado em
Educação Matemática pelo apoio e troca de experiências, em especial ao Guilherme
Galvão de Menezes, pelos serviços prestados aos estudantes e aos professores.
Ao Programa Mestrado & Doutorado, que integra o Programa de Formação
Continuada de Educadores da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, em
especial ao funcionário Eduardo Silva da Diretoria de Ensino Sul 3, pelo competente
trabalho realizado.
A minha família, em especial, ao meu esposo Augusto pelo incentivo, compreensão
e estímulo.
RESUMO
O objetivo deste trabalho é caractrerizar a transição para o caso da noção de função exponencial na transição
entre o Ensino Médio e o Ensino Superior para compreender os diferentes processos de estudo e ajuda ao
estudo que sobrevivem e se reconstroem atualmente nessas etapas escolares, de forma que os professores
disponham de material para reflexão e, quando os mesmos tiverem acesso aos conhecimentos prévios de seus
estudantes, possam realizar escolhas mais conscientes, a fim de conduzir esse processo de maneira satisfatória,
permitindo que os estudantes sejam capazes de mobilizar seus conhecimentos e mesmo utilizá-los de forma
disponível quando necessário, podendo, desse modo, enriquecê-los no momento em que forem usados como
ferramentas explícitas para a introdução de novos conceitos e novas noções. Sendo assim, para o
desenvolvimento desta pesquisa, primeiramente, destacamos pontos fundamentais de alguns estudos
relacionados à transição do Ensino Médio ao Ensino Superior, em particular, daqueles que analisam as práticas
e propostas de trabalho com o objeto função nas etapas escolares citadas. Elegemos como referencial teórico
central a abordagem sobre a Teoria Antropológica do Didático – TAD. Para tanto, consideramos as noções de
relações institucionais e pessoais, praxeologia, ostensivos e não ostensivos e os níveis de co-determinação,
conforme definição de Chevallard e Bosch e Chevallard. Como referencial teórico de apoio, utilizamos a
abordagem teórica em termos dos três níveis de conhecimento esperados dos estudantes, segundo definição de
Robert e a noção de quadro e mudança de quadros de Douady. Em um primeiro momento, analisamos, como a
Lei de Diretrizes e Bases da Educação, os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental e
Médio e a Proposta Curricular do Estado de São Paulo, propõem a evolução para a introdução da noção de
função exponencial no Ensino Médio brasileiro. Em seguida, foram selecionados quatro livros para a análise das
relações institucionais existentes, dois são livros didáticos avaliados pelo Ministério da Educação e Cultura para
o Programa Nacional do Livro Didático, um destinado aos professores e estudantes de licenciatura e outro
destinado a estudantes dos anos iniciais do Ensino Superior. Na análise desses livros, focamos no modo como
os mesmos apresentam a noção de função exponencial e que tipos de tarefas são oferecidos para os estudantes
com base em uma grade de análise construída para esse fim, segundo Dias. Nessa análise, tentamos, ainda,
colocar em evidência que nível de conhecimento pode ser esperado dos estudantes que terminam o Ensino
Médio e iniciam o Ensino Superior, em relação às necessidades em termos de articulação de quadros,
manipulação de ostensivos e evocação de não ostensivos em relação à própria noção de função exponencial e
outras noções em jogo, considerando a relação institucional que se pode desenvolver por meio dos livros
didáticos escolhidos. A análise da coerência entre as propostas institucionais e as relações pessoais esperadas
dos estudantes foram analisadas por meio das avaliações institucionais ENEM, UNICAMP e ENADE, e que
evidenciou a necessidade de um trabalho mais refinado, o qual pode ser desenvolvido pelo professor ou pelo
próprio estudante. Finalmente, na tentativa de analisar as práticas usuais, construímos um questionário para
identificar as escolhas dos professores em relação ao trabalho a ser desenvolvido sobre a noção de função
exponencial e suas propriedades, seja no final do Ensino Médio ou no início do Ensino Superior. Devido ao
reduzido número de questionários recolhidos, não tivemos dados para identificar como as relações institucionais
esperadas e existentes estão interferindo nas práticas usuais, mas consideramos que, em particular, as relações
institucionais existentes mostram um trabalho matemático que poderia ser utilizado de modo melhor articulado e
contextualizado na própria matemática pelos professores do Ensino Superior.
Palavras-chave: Matemática. Função exponencial. Transição entre Ensino Médio e Ensino Superior. Ostensivos
e não ostensivos. Níveis de conhecimento. Quadros.
RÉSUMÉ
Le but de ce travail est d'étudier la notion de fonction exponentielle dans la transition entre l`enseignement
secondaire et l`enseignement supérieur afin qu`on comprenne les différents processus d'étude et aide à l'étude
qui survivent et se reconstruisent maintenant dans ces deux étapes scolaires ; et également pour que les
enseignants disposent de matériel à la réflexion. Ces derniers ayant accès à la connaissance préalable des
étudiants pourront donc faire des choix conscients et ainsi conduire ce processus d’une manière plutôt
satisfaisante, permettant à ces étudiants de mobiliser et d`utiliser leurs connaissances de façon disponible en cas
de besoin, les enrichir en les utilisant en tant qu`outils explicites pour l’introduction de nouveaux concepts et
notions. Pour le développement de la recherche nous présentons, tout d`abord, une étude de certains travaux liés
à la transition entre l`enseignement secondaire et l`enseignement supérieur, tout particulièrement ceux qui
portent sur les pratiques et les propositions de travail avec l’objet fonction dans ces deux étapes scolaires. Nous
avons choisi en tant que cadre théorique central la Théorie Anthropologique du Didactique – TAD. Nous
considérons, par conséquent, les notions de relations institutionnelles et personnelles, praxéologie, ostensifs et
non ostensifs et les noveaux de co-détermination selon la définition de Chevallard et Bosch et Chevallard. En tant
que cadre théorique d’appui nous avons utilisé l’approche théorique sur les trois niveaux de connaissances
attendues des étudiants, selon la définition de Robert et les notions et changements de cadres selon Douady.
Dans un premier temps, nous avons analysé via « Lei de Diretrizes e Bases da Educação », « Parâmetros
Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental e Médio » et « Proposta Curricular do Estado de São Paulo »
comment ces documents proposent l’évolution à l’introduction de la notion de fonction exponentielle dans
l’enseignement secondaire au Brésil. Puis, nous avons choisi quatre manuels pour analyser les relations
institutionnelles y existantes, deux entre eux évalués par le Ministère de l’Education et de la Culture à travers le
« Programa nacional do Livro Didático », l`un pour les enseignants et les étudiants de premier cycle et l`autre
pour les premières années de l’enseignement supérieur. Dans l’analyse de ces livres nous avons observé
comment ils présentent la notion de fonction exponentielle et quels types de tâches sont offerts aux étudiants à
partir d’une grille d’analyse construite à cet effet. Dans cette analyse nous essayons également de mettre en
évidence le niveau de connaissance peut-être attendu des étudiants qui terminent leurs études secondaires et
commencent le supérieur en relation avec les besoins en termes d’articulation de cadres, manipulation
d`ostensifs et évocation de non ostensifs par rapport à la notion de fonction exponentielle et d’autres notions en
jeu lorsque nous considérons le rapport institutionnel que nous pouvons développer à travers les manuels
choisis. La cohérence entre les propositions institutionnelles et les rapports personnels attendus des étudiants ont
été estimés à travers des évaluations institutionnelles ENEM, UNICAMP et ENADE qui montrent le besoin d’un
travail plus effectif qui peut être développé par l’enseignant ou par l’étudiant lui-même. Enfin, dans le but
d’analyser les pratiques habituelles, nous avons construit un questionnaire pour identifier les choix des
enseignants par rapport au travail à être développé sur la notion de fonction exponencielle et ses propriétés, soit
à la fin de l’enseignement secondaire ou au début du supérieur. En raison du nombre limité de questionnaires
collectés, nous n’avons pas assez de données pour identifier comment les relations institutionnelles attendues et
existentes interfèrent dans les pratiques usuelles. Mais nous considérons plus particulièrement que les relations
institutionnelles présentent un travail mathématique qui pourrait être mieux articulé et contextualisé dans la
mathématique elle-même par les enseignants de l’enseignement supérieur.
Mots-clés: Mathématiques. Fonction exponentielle. Transition entre l'enseignement secondaire et supérieur.
Ostensifs et non ostensifs. Cadres.
SUMMARY
This labor has the objective to study a basic exponential function in transaction between high school methodology
and university methodology, that, help understanding in some different process of studying and helping in exist
study in fact this process currently reconstruct in school steps, so that the teachers offer material for thought, and
when they have access in prior knowledge of their students, so they can to realize conscious choices, in other
that, they can lead this process in the midst of satisfactory way, they are allowing the students can be capacity to
mobilize their knowledge and they use in able way when necessary, can be, this way, enriches at the moment
they will use how new tools for introductions new ideas and new notions. Is face of, for development this survey,
to begin with, we will show some reviews destined in transaction high school methodology and University
methodology, in special, the people or teachers, who analysis practices and proposes to work with objective in
steps cited. We chose center referential theory for the approach about the anthropology theory of didactic – ATD.
In fact, we are considering the notions relations of institutions and people, for example, praxeology, ostentatious
and not ostentatious, with that the co-determinations of levels, in accordance in definition of Chevallard and
Bosch. Regarding support theory, we can use the approach theory in terms of three level of knowledge their
students expected, according to Roberty definition and the notion of change Duady. In the first of time, we
analyzed, by guideline law and education base, National curriculum parameters of Sao Paulo State, how these
documents can offer the evolution in the introduction of notion exponential function in Brazilian High School. After
that, we can chose four books with the proposal to analyze institutional relations existing, two books are didactics
books evaluated by Education and Culture Ministry for the Book Didactics National program, the one with
destined to teachers and students of graduated and another book are indicated to initial University students.
When we analyzed this books, we can observed in mode the books have the notion exponential function and they
have types of tasks, which, are offered for students after analyze step will be construction for this result. In this
analyze, we also can try to show in highlights how level of knowledge, we hope in the students able to finish High
School and they start in University, considering the needs of step articulation terms, manipulations in ostensible
and call up of not ostensible in exponential function and other notions in play, considering the institutional relation
and people relation propose in students, we could analyze by institutional rating ENEM, UNICAMP and ENADE,
we can show needs of a great job, which can be to develop by teacher and basic student. Finally, we tried of
analyze the usual practices, we could construction one survey to indentify the teachers choices in job relationship,
who will be develop about the notion exponential function and their properties, in the finally high school or begin
University. Due to reduce of caught survey, we could not have information for identify
how expected and existed institutional relations, that are interfering in usual practice, but we considered in
special, exist institutional relations, how that show mathematic job, which, can be to use in better articulation and
contextualized in mathematic to University teachers.
Key Words: Mathematic. Exponential function. Action in between High School and University. Ostensible and not
ostensible. Knowledge level and steps.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Estágios de ação, processo, objeto.................................................
26
Figura 2 - Exemplo Vestibular FUVEST 2011..................................................
56
Figura 3 - Elementos da Teoria Antropológica do Didático..............................
72
Figura 4 - Exemplo 1 Nível técnico da atividade matemática..........................
75
Figura 5 - Exemplo 2 Nível técnico da atividade matemática..........................
76
Figura 6 - Exemplo 3 Nível técnico da atividade matemática..........................
76
Figura 7 - Exemplo 1 Nível mobilizável da atividade matemática....................
77
Figura 8 - Exemplo 2 Nível mobilizável da atividade matemática....................
77
Figura 9 - Exemplo 3 Nível mobilizável da atividade matemática....................
77
Figura 10 - Exemplo 1 Nível disponível da atividade matemática...................
78
Figura 11 - Exemplo 2 Nível disponível da atividade matemática...................
79
Figura 12 - Gráfico da função exponencial......................................................
128
Figura 13 – Introdução.....................................................................................
139
Figura 14 - Propriedades da função exponencial............................................
142
Figura 15 - Definição do número irracional e...................................................
146
Figura16 - Introdução Stocco e Diniz...............................................................
150
Figura 17 - Exercício 6.....................................................................................
151
Figura 18 - Gráfico Cartesiano dos casos da função crescente e
descrecente......................................................................................................
153
Figura 19 - Exercícios resolvidos.....................................................................
154
Figura 20 - Exercícios resolvidos.....................................................................
154
Figura 21 - Atividade........................................................................................
156
Figura 22 - Definição Stewart...........................................................................
167
Figura 23 - Exemplo 1 Stewart.........................................................................
167
Figura 24 - Exemplo 2 Stewart.........................................................................
168
Figura 25 - Exemplo Vestibular FUVEST 2011................................................
261
Figura 26 - Resposta do cursinho da Poli da questão vestibular.....................
262
Figura 27 - Resposta do cursinho Objetivo da questão vestibular...................
263
Figura 28 - Resposta esperada da questão 9..................................................
264
Figura 29 - Resposta acima da média da questão 9.......................................
264
Figura 30 - Resposta abaixo da média da questão 9......................................
265
Figura 31 - Resposta esperada da questão 7..................................................
266
Figura 32 - Resposta acima da média da questão 7.......................................
266
Figura 33 - Resposta abaixo da média da questão 7......................................
267
Figura 34 - Resposta esperada da questão 7..................................................
268
Figura 35 - Resposta acima da média questão 7............................................
268
Figura 36 - Resposta abaixo da média questão 7...........................................
269
Figura 37 - Resposta esperada questão 6.......................................................
270
Figura 38 - Resposta acima da média questão 6............................................
270
Figura 39 - Resposta abaixo da média questão 6...........................................
271
Figura 40 - Resposta esperada questão 10.....................................................
272
Figura 41 - Resposta acima da média da questão 10.....................................
272
Figura 42 - Resposta abaixo da média da questão 10....................................
273
Figura 43 - Resposta esperada questão 7.......................................................
274
Figura 44 - Resposta acima da média da questão 7.......................................
274
Figura 45 - Resposta abaixo da média da questão 7......................................
275
Figura 46 - Resposta esperada da questão 7..................................................
276
Figura 47 - Resposta acima da média da questão 7.......................................
277
Figura 48 - Resposta abaixo da média da questão 7......................................
278
Figura 49 - Resposta esperada da questão 12................................................
278
Figura 50 - Resposta acima da média da questão 12.....................................
278
Figura 51 - Resposta abaixo da média da questão 12....................................
279
Figura 52 - Resposta esperada da questão 17................................................
280
Figura 53 - Resposta acima da media da questão 17.....................................
280
Figura 54 - Resposta abaixo da media da questão 17....................................
281
Figura 55 - Resposta esperada da questão 21................................................
282
Figura 56 - Resposta acima da média da questão 21.....................................
282
Figura 57 - Resposta abaixo da média da questão 21....................................
283
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Questionamentos...........................................................................
44
Quadro 2 - Escopo para o desenvolvimento da matemática no ensino
fundamental ....................................................................................................
82
Quadro 3 - Extrato da grade curricular do curso de Licenciatura em
Matemática da USP.........................................................................................
92
Quadro 4 - Extrato plano de ensino da disciplina Cálculo para funções de
uma variável real I............................................................................................
93
Quadro 5 - Extrato grade curricular do curso de licenciatura em Matemática
do Mackenzie...................................................................................................
95
Quadro 6 - Extrato grade curricular do curso de licenciatura em
Matemática.......................................................................................................
96
Quadro 7 - Extrato do plano de ensino da disciplina Cálculo Diferencial e
Integral I...........................................................................................................
97
Quadro 8 - Extrato do plano de ensino da disciplina Matemática Básica II.....
98
Quadro 9 - Extrato das disciplinas obrigatórias do curso de Licenciatura em
Matemática da UNB.........................................................................................
101
Quadro 10 - Extrato do Plano de ensino da disciplina Cálculo 1.....................
102
Quadro 11 - Extrato do Plano de ensino da disciplina Álgebra para o Ensino
1 e 2.................................................................................................................
103
Quadro 12 - Disciplinas do Núcleo comum......................................................
105
Quadro 13 – Ementa da disciplina Básica.......................................................
106
Quadro 14 - Ementa da disciplina Cálculo I....................................................
106
Quadro 15 - Extrato da grade curricular do Curso de Licenciatura em
Matemática.......................................................................................................
107
Quadro 16 - Extrato do plano de ensino da disciplina Cálculo Diferencial e
Integral I...........................................................................................................
109
Quadro 17 - Habilidades 19 à 23....................................................................
176
Quadro 18 - Habilidades 10 a 14.....................................................................
178
Quadro 19 - Habilidades 24 a 26.....................................................................
181
Quadro 20 - Habilidade 15 à 18.......................................................................
183
Quadro 21 - Habilidades 19 à 23.....................................................................
185
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Efetivo Frequência e Porcentagem sobre etapas escolares de
atuação dos professores..................................................................................
219
Tabela 2 - Professores que trabalham a noção de função exponencial..........
220
Tabela 3 - Escolha das definições dadas para introduzir função
exponencial......................................................................................................
222
Tabela 4 - Materiais utilizados nas aulas.........................................................
224
Tabela 5 - Materiais utilizados nas avaliações.................................................
225
Tabela 6 - Momentos do uso da calculadora...................................................
226
Tabela 7 - Quantidade de aulas.......................................................................
226
Tabela 8 - Tipo de exercício segundo professores Ensino Médio...................
228
Tabela 9 - Tipo de exercício segundo professores Ensino Médio e Superior
e Superior.........................................................................................................
229
Tabela 10 - Conhecimentos consolidados e a consolidar segundo
professores do Ensino Médio...........................................................................
230
Tabela 11 - Conhecimentos consolidados e a consolidar segundo
professores do Ensino Médio e Superior e Superior.......................................
231
Tabela 12 - Conhecimentos consolidados e a consolidar segundo
professores do Ensino Médio e Superior e Superior.......................................
232
Tabela 13 - Motivos de não trabalhar a noção de função exponencial
segundo professores do Ensino Médio............................................................
233
Tabela 14 - Motivos de não trabalhar a noção de função exponencial
segundo professores do Ensino Médio e Superior e Superior.........................
233
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO..............................................................................................
16
2 ESTADO DA ARTE......................................................................................
22
2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS.....................................................................
26
2.2 AS PESQUISAS TEÓRICAS SOBRE A TRANSIÇÃO ENSINO MÉDIO
E ENSINO SUPERIOR....................................................................................
26
2.3 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES.................................................................
40
3 PROBLEMÁTICA, OBJETIVOS E METODOLOGIA...................................
41
3.1 TRAJETÓRIA E CONTEXTO DA PESQUISA...........................................
41
3.2 PROBLEMÁTICA DA PESQUISA.........................................................
42
3.3 OBJETIVOS DA PESQUISA......................................................................
45
3.3.1 Objetivo geral........................................................................................
45
3.4 METODOLOGIA DA PESQUISA...............................................................
48
4 REFERENCIALTEÓRICO DA PESQUISA..................................................
52
4.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS.....................................................................
52
4.2 ARTICULAÇÃO DE QUADROS EM FUNÇÃO DAS TÉCNICAS
UTILIZADAS.....................................................................................................
54
4.2.1 A noção de quadro................................................................................
54
4.2.2 A noção de quadro e mudança de quadros em função da técnica
utilizada...........................................................................................................
55
4.3 A TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO – TAD..............................
60
4.4
OS
TRÊS
NÍVEIS
DE
CONHECIMENTO
ESPERADOS
DOS
ESTUDANTES
75
5 A EVOLUÇÃO DAS RELAÇÕES INSTITUCIONAIS ESPERADAS
ANALISADAS POR MEIO DOS DOCUMENTOS OFICIAIS DO ENSINO
MÉDIO E ENSINO SUPERIOR.......................................................................
80
5.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ....................................................................
80
5.2 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA O ENSINO
FUNDAMENTAL..............................................................................................
82
5.3 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA O ENSINO
MÉDIO..............................................................................................................
84
5.4 PROPOSTA DO ESTADO DE SÃO PAULO.............................................
89
5.5 ANÁLISE DAS RELAÇÕES INSTITUCIONAIS ESPERADAS PARA O
ESTUDO DA NOÇÃO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL NO ENSINO
SUPERIOR.......................................................................................................
91
5.5.1 Análise das relações institucionais esperadas para o curso de
licenciatura em matemática da Universidade de São Paulo – USP..........
92
5.5.2 Análise das relações institucionais esperadas para o curso de
licenciatura em matemática da Universidade Presbiteriana Mackenzie...
94
5.5.3 Análise das relações institucionais esperadas para o curso de
licenciatura em matemática da Universidade de Brasília – UNB..............
100
5.5.4 Análise das relações institucionais esperadas para o curso de
licenciatura
em
matemática
da
Universidade
de
Campinas
–
UNICAMP.........................................................................................................
104
5.5.5 Análise das relações institucionais esperadas para o curso de
licenciatura em matemática do Centro Universitário Fundação Santo
André – FSA....................................................................................................
107
5.6 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES...........................................................
111
6 GRADE DE ANÁLISE..................................................................................
113
6.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS.....................................................................
113
6.2 A GRADE DE ANÁLISE.............................................................................
115
6.3 EXEMPLOS DE FUNCIONAMENTO DA GRADE.....................................
116
6.4 EXEMPLOS DE FUNCIONAMENTO DA GRADE.....................................
135
7 ANÁLISE DAS RELAÇÕES INSTITUCIONAIS EXISTENTES VIA
LIVROS DIDÁTICOS.......................................................................................
132
7.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS.....................................................................
135
7.2 A OBRA DE LUIZ ROBERTO DANTE INTITULADA MATEMÁTICA
“CONTEXTO E APLICAÇÕES” (VOLUME 1)..................................................
137
7.3 A OBRA DE KÁTIA STOCCO SMOLE E MARIA INEZ DINIZ
INTITULADA MATEMÁTICA “ENSINO MÉDIO” (VOLUME 1)........................
148
7.4 A OBRA DE ELON LAGES LIMA, PAULO CEZAR PINTO CARVALHO,
EDUARDO WAGNER, AUGUSTO CÉSAR MORGADO INTITULADA
MATEMÁTICA “MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO” (VOLUME 1)...............
158
7.5 A OBRA DE JAMES STEWART INTITULADA “CÁLCULO” (VOLUME 1)
166
7.6 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES.................................................................
170
8 MACROAVALIAÇÕES E A TRANSIÇÃO ENSINO MÉDIO E SUPERIOR
173
8.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS.....................................................................
173
8.2 ENEM.........................................................................................................
174
8.2.1 ENEM 2009 – Função Exponencial......................................................
175
8.2.2 ENEM 2010 - Função Exponencial.......................................................
178
8.2.3 ENEM 2011 - Função exponencial.......................................................
180
8.3 UNICAMP...................................................................................................
189
8.3.1 UNICAMP 2002.................................................................................
189
8.3.2 UNICAMP 2003......................................................................................
189
8.3.3 UNICAMP 2004......................................................................................
190
8.3.4 UNICAMP 2005......................................................................................
193
8.3.5 UNICAMP 2006......................................................................................
195
8.3.6 UNICAMP 2007......................................................................................
199
8.3.7 UNICAMP 2008......................................................................................
200
8.3.8 UNICAMP 2009......................................................................................
200
8.3.9 UNICAMP 2010......................................................................................
202
8.3.10 UNICAMP 2011....................................................................................
206
8.4 ENADE.......................................................................................................
208
8.4.1 As tarefas que envolvem a noção de função exponencial do
ENADE – 2005.................................................................................................
209
8.4.2 As tarefas que envolvem a noção de função exponencial do
ENADE – 2008.................................................................................................
209
8.4.3 As tarefas que envolvem a noção de função exponencial do
ENADE – 2011.................................................................................................
211
8.5 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES.................................................................
212
9 ANÁLISE DAS PRÁTICAS INSTITUCIONAIS ASSOCIADAS À NOÇÃO
DE FUNÇÃO EXPONENCIAL VIA QUESTIONÁRIO DE INFORMAÇÕES...
217
9.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS.....................................................................
217
9.2 RESULTADOS...........................................................................................
217
9.3 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES.................................................................
233
10 CONCLUSÃO.............................................................................................
235
REFERÊNCIAS...............................................................................................
243
ANEXOS..........................................................................................................
257
16
1 INTRODUÇÃO
Sabemos que a deficiência do ensino em todos os níveis tem várias causas.
No entanto, nesta pesquisa, analisaremos apenas as deficiências relativas ao
trabalho com a matemática, tanto do ponto de vista do que é esperado do estudante
quanto do professor, quando se considera a passagem do Ensino Médio para o
Ensino Superior no que diz respeito à noção de função exponencial.
Observamos que, na passagem de uma etapa escolar para a outra, como, por
exemplo, Ensino Fundamental I para o Ensino Fundamental II, Ensino Fundamental
II para o Ensino Médio, Ensino Médio para o Ensino Superior, tanto os professores
quanto os estudantes sempre tentam justificar as dificuldades encontradas em
função da abordagem dada nas etapas anteriores à determinadas noções que se
supõem mobilizáveis ou disponíveis na nova etapa da escolaridade.
Sabemos também que a questão das diferentes possibilidades de abordagem
de uma mesma noção não está necessariamente associada apenas à questão dos
conhecimentos mobilizáveis ou disponíveis, mas depende também de outros fatores
como, por exemplo, as escolhas culturais, as restrições dos diferentes sistemas
educativos e as expectativas em relação ao trabalho dos estudantes, que são
diferentes entre uma etapa escolar e a outra. Nas diferentes etapas escolares,
podemos trabalhar uma mesma noção de forma diferente, mas, para tal, é preciso
encontrar os meios adequados que possam ajudar os estudantes a compreender as
formas de pensamento próprias do Ensino Médio e as encontradas no Ensino
Superior.
Artigue (2001) mostra a importância de se tratar a matemática em suas
múltiplas faces no nível universitário, variando em função do desempenho que se
deseja que os estudantes tenham com a matemática, ou seja, a matemática formal
ou a matemática que serve de ferramenta para um determinado setor de atividade.
Essa necessidade do Ensino Superior coloca em evidência a diferença entre
a matemática desenvolvida no Ensino Médio e aquela a ser trabalhada no Ensino
Superior que exige que os estudantes, qualquer que seja sua bagagem inicial,
devam aprender a matemática relativamente sofisticada. Isso nos mostra a
importância de estudar e questionar sobre os possíveis processos de aprendizagem
entre essas duas etapas da escolaridade. Isto também pode nos ajudar a
17
compreender melhor esses mesmos processos para as etapas mais elementares,
uma vez que os conhecimentos desenvolvidos nas etapas anteriores servem de
ferramentas para a introdução de novos conhecimentos.
O questionamento sobre a questão da transição entre as diferentes etapas
escolares, em particular, entre o Ensino Médio e o Ensino Superior, conduziu-nos à
identificação da existência de trabalhos sobre esse tema. Verificamos que existem
poucas pesquisas nesse sentido e que, tanto no Ensino Médio quanto no Ensino
Superior, os estudantes têm grandes dificuldades, pois, muitas vezes, não mobilizam
e/ou
não
dispõem
dos
conhecimentos
prévios
necessários
para
o
seu
desenvolvimento escolar e profissional e os professores têm, em geral, poucos
recursos para auxiliar os discentes.
Normalmente, essas dificuldades estão associadas a não mobilização dos
conhecimentos matemáticos apropriados anteriormente. Isto conduz a uma situação
de desinteresse por parte dos estudantes, difícil de ser ultrapassada, uma vez que a
falta de conhecimentos mobilizáveis tende a aumentar no decorrer das diferentes
etapas da escolaridade, tornando cada vez mais difícil a identificação de recursos
para auxiliar no processo de estudo e ajuda ao estudo, dificultando, assim, a
aprendizagem.
Essa situação se reflete na qualidade de ensino da matemática em todas as
etapas escolares, mais especificamente, no Ensino Médio e Ensino Superior. Dessa
forma, neste trabalho, propomo-nos a estudar a transição entre o Ensino Médio e
Ensino Superior, escolhendo a noção matemática de função exponencial como
objeto matemático central para o presente estudo. A escolha dessa noção
matemática está associada a sua importância tanto no desenvolvimento da própria
matemática como para as aplicações em outras ciências.
Além disso, consideramos que, ao se elaborar um planejamento ou um plano
de ensino, devemos ter claras as questões referentes à organização dos conteúdos
com os quais desejamos trabalhar, assim como a escolha de uma bibliografia
adequada. Dessa forma, o estudo da transição entre o Ensino Médio e o Ensino
Superior, quando se considera a noção de função exponencial, poderá auxiliar a
fazer uma seleção das noções associadas a esse conteúdo e a escolher quais
devem ser aprofundadas e/ou direcionadas para as necessidades de interesse da
escola, da comunidade ou de um determinado curso. Após a superação deste
momento, há ainda a dificuldade de desenvolvê-lo em sala de aula.
18
Para melhor compreender como os possíveis processos de ensino e
aprendizagem podem funcionar nas diferentes etapas da escolaridade e que tipos
de articulações entre as noções associadas aos conceitos de função exponencial
são possíveis de serem levadas em conta pelo ensino, estudamos nesta pesquisa
as expectativas institucionais relacionadas à transição entre o Ensino Médio e
Ensino Superior. Tal escolha está baseada no fato de que o conceito de função
exponencial aparece nos três últimos anos da escola básica e é de considerável
importância para o curso de Matemática e de outras ciências no Ensino Superior.
Em geral, a noção de função exponencial é introduzida no Ensino Médio e
sua utilização como ferramenta na matemática e na solução de aplicações das
outras ciências é trabalhada no Ensino Superior. Neste momento, supõe-se que os
estudantes já tenham certa familiaridade com a manipulação das diferentes
representações da função exponencial e da aplicação de suas propriedades para
que possam utilizá-las em situações de diferentes contextos.
Dessa forma, vale ressaltar a importância da noção de função exponencial
tanto para os futuros matemáticos como para aqueles que utilizam a matemática
como ferramenta para desenvolver suas atividades. Fazemos tal afirmação porque
essa função permite integrar matemática, física, química, biologia e outras ciências,
ou seja, trata-se de uma função importante quando se deseja trabalhar a
interdisciplinaridade.
Ademais, em geral, os professores tanto do Ensino Médio como do Ensino
Superior relatam a dificuldade de encontrar meios que conduzam os estudantes a
aplicarem de forma eficaz seus conhecimentos prévios sobre as propriedades de
potência e operações com números racionais.
Esses mesmos professores, em geral, possuem poucas alternativas de
trabalho, pois não refletiram sobre a questão da transição entre uma etapa escolar e
a outra e não compreendem porque os estudantes não são capazes de resolver
determinadas tarefas se já se encontram em uma determinada etapa escolar. Logo,
os docentes tendem a pensar que os alunos já deveriam dominar determinadas
noções, não apresentando dificuldades em mobilizá-las quando necessário.
Considerando as justificativas mencionadas para a nossa escolha de estudar
a transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior no que diz respeito à noção de
função exponencial, passamos à identificação dos estudos e das análises em seus
respectivos capítulos.
19
No segundo capítulo, apresentamos um estudo de alguns trabalhos
relacionados à transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior. Em particular,
mostramos pesquisas que analisam as práticas e as propostas de trabalho com o
objeto matemático função nessas etapas escolares, foco da presente investigação.
No capítulo 3, descrevemos a problemática, os objetivos e a metodologia da
pesquisa anunciadas após delinear minha trajetória, meus questionamentos o
contexto em que a pesquisa está inserida.
No capítulo 4, apresentamos o referencial teórico central da pesquisa, ou
seja, a abordagem sobre a Teoria Antropológica do Didático – TAD, em particular, as
noções de relações institucionais e pessoais, praxeologia, ostensivos e não
ostensivos e os níveis de co-determinação, conforme definição de Chevallard (1992,
1994, 1998, 2002, 2002a, 2007, 2007a) e Bosch e Chevallard (1999). Ainda nesse
capítulo, fazemos uma breve descrição da abordagem teórica em termos dos três
níveis de conhecimento esperados dos estudantes, segundo definição de Robert
(1997, 1998), assim como da noção de quadro e mudança de quadros de Douady
(1984, 1992).
No capítulo 5, expomos as considerações feitas nos documentos oficiais para
melhor compreender, por meio do olhar sobre as novas propostas institucionais, as
mudanças necessárias para implementar esses novos contextos institucional e
cultural, isto é, o que a Lei de Diretrizes e Bases da Educação nº 9394/96, os
Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental (PCN, 1997), os
Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM, 2000), o Plano
Nacional de Educação (complementação da Lei de Diretrizes e Base, 2001), o
Ensino Médio Orientações Educacionais (PCN +), as Orientações Curriculares para
o Ensino Médio (2006) e a Proposta Curricular do Estado de São Paulo (2008). Por
meio da noção de níveis de co-determinação, analisamos as necessidades de novas
orientações para auxiliar os professores a introduzir a noção de função exponencial
no Ensino Médio brasileiro, observando, em função dos níveis de co-determinação,
se houve evolução nessas novas propostas.
No capítulo 6, estudamos, primeiramente, as diferentes tarefas usualmente
encontradas nos livros didáticos de matemática, destinados aos primeiros anos do
Ensino Médio e Ensino Superior para a introdução e aplicação da noção de função
exponencial. Em seguida, construimos uma grade de análise com o propósito de
servir de instrumento que permite analisar, sem exaustividade, a articulação de
20
quadros em função dos ostensivos a serem manipulados e dos não ostensivos a
serem evocados e os níveis de conhecimento necessários para a introdução e
aplicação dos conhecimentos sobre a noção de função exponencial e suas
propriedades tanto no Ensino como no Ensino Superior.
No capítulo 7, analisamos a relação institucional esperada para o estudo da
noção exponencial tanto no Ensino Médio como no Ensino Superior. Essas análises
foram desenvolvidas em quatro livros didáticos escolhidos para essa pesquisa, dos
quais um é destinado aos estudantes dos cursos de introdução ao Cálculo
Diferencial e Integral, um destinado a professores de Matemática do Ensino Médio e
para estudantes de licenciatura em Matemática e os outros dois são dedicados aos
estudantes do Ensino Médio.
Buscamos, no capítulo 8, analisar as relações pessoais esperadas sobre o
ensino e a aprendizagem da noção de função exponencial, tanto no Ensino Médio
como no Ensino Superior, considerando as macroavaliações institucionais.
Escolhemos três macroavaliações institucionais duas que representam as
expectativas institucionais para o final do Ensino Médio, isto é, o Exame Nacional do
Ensino Médio – ENEM (2009, 2010, 2011), o vestibular da Universidade de
Campinas – UNICAMP (2002 à 2011) e o Exame Nacional de Desempenho dos
Estudantes – ENADE para o Ensino Superior. As tarefas analisadas são aquelas
que tratam especificamente da noção de função exponencial ou dos conhecimentos
a ela associados.
Após as análises das relações institucionais e pessoais por meio de
documentos oficiais e das avaliações institucionais, apresentamos, no capítulo 9, um
questionário cujo objetivo era identificar as escolhas dos professores, que
participassem da pesquisa, em relação ao trabalho realizado com a noção de função
exponencial e suas propriedades, assim como das expectativas dos mesmos em
relação aos conhecimentos prévios disponíveis de seus estudantes seja no final do
Ensino Médio ou no início do Ensino Superior. No entanto, os resultados
encontrados não nos permitiram avançar na discussão, apenas apontar novas
questões que poderão servir para futuras pesquisas.
Finalmente, na conclusão, retomamos as questões iniciais, uma vez que as
que apareceram no decorrer desta pesquisa foram discutidas nos respectivos
capítulos. Em razão das análises efetuadas, apresentamos reflexões e indícios para
o desenvolvimento da noção de função exponencial e suas propriedades de forma a
21
atingir as expectativas institucionais apresentadas nos diferentes documentos
considerados para esta pesquisa.
22
2 ESTADO DA ARTE
2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Esta pesquisa tem por objetivo estudar a noção de função exponencial na
transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior para compreender os diferentes
processos de estudo e de ajuda ao estudo1 que sobrevivem e se reconstroem2
atualmente nas etapas escolares mencionadas. Com este estudo, pretende-se
oferecer material que auxilie os professores em suas reflexões quanto aos
conhecimentos prévios de seus estudantes, o que lhes permitirá realizar escolhas
mais conscientes e, assim, conduzir o processo de maneira satisfatória. Busca-se
ainda possibilitar aos estudantes que mobilizem seus conhecimentos prévios para
que possam utilizá-los quando necessário, a fim de que sirvam como ferramentas
explícitas para a introdução de novos conceitos e novas noções.
O que nos conduziu à escolha da noção de função exponencial como domínio
de estudo e ao interesse especial pelas possibilidades oferecidas por essa noção
matemática para tratar as questões de articulação entre os diferentes sistemas de
representação simbólica desse objeto matemático nas diferentes áreas em que ela
pode ser aplicada.
Sendo assim, neste primeiro capítulo, apresentaremos um estudo de alguns
trabalhos relacionados à transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior. Em
particular, mostraremos pesquisas que analisam as práticas e as propostas de
trabalho com o objeto matemático função nessas etapas escolares foco da presente
investigação.
1
Na perspectiva da “Teoria Antropológica do Didático”, segundo Chevallard (2002, 2002a), o
processo de estudo e ajuda ao estudo corresponde, de uma maneira geral, ao “topos” dos
estudantes, ou seja, ao conjunto de gestos destes, que os conduz à autonomia didática. Tais gestos
variam conforme o tipo de dispositivo de estudo (aula expositiva, seminário, palestra, etc.) e o objeto
de estudo que, por sua vez, são propostos pelo professor. A compreensão do objeto estudado
corresponde ao moderno critério de aprendizagem cujo efeito deixa em aberto a questão da
responsabilidade de quem ajuda a estudar e do que é estudado.
2
A Teoria Antropológica do Didático, segundo Chevallard (2002, 2002a), considera a noção de
ecologia dos saberes, ou seja, a pesquisa da vida dos mesmos nas instituições, pois esses
dependem de adaptações às restrições que, muitas vezes, estão associadas à economia de saberes.
No capítulo 3, apresentaremos algumas referências sobre a noção de ecologia.
23
Por meio de uma revisão da literatura, foi possível identificar trabalhos que
tratam mais especificamente da noção de função e outros, cujo objeto de estudo é a
geometria analítica, a álgebra linear, as matrizes e os sistemas lineares.
Encontramos, ainda, pesquisas mais teóricas sobre a transição, como a de Gueudet
(2008).
Na sequência, primeiro, demonstraremos as pesquisas teóricas seguidas dos
trabalhos sobre geometria analítica, álgebra linear, matrizes e sistemas lineares. Por
fim, traremos considerações a respeito da existência de poucas pesquisas que
tratam especificamente do objeto matemático função, sobretudo, da noção de
função exponencial.
2.2 AS PESQUISAS TEÓRICAS SOBRE A TRANSIÇÃO ENSINO MÉDIO E
ENSINO SUPERIOR
O estudo sobre a transição entre o Ensino Médio e Ensino Superior tem sido
uma preocupação constante de diversos pesquisadores em didática da matemática.
A seguir, apresentaremos alguns trabalhos teóricos associados a essa problemática
para localizar nossa proposta em relação às pesquisas existentes.
Consideramos, inicialmente, o trabalho de Artigue (2004) que aborda a
questão do desafio imposto pelas questões associadas à transição entre o Ensino
Médio e o Ensino Superior. No estudo citado, a autora identifica os seguintes
desafios como sendo os enfrentados quanto ao ensino da matemática na transição
do Ensino Médio ao Ensino Superior: a massificação do ensino, que segundo a
autora já vem sendo considerada tanto no ensino como pelas pesquisas sobre o
mesmo para o Ensino Médio, mas que apresenta ainda grandes dificuldades, já em
relação ao Ensino Superior esse desafio ainda não é levado em conta; a introdução
das mudanças tecnológicas que precisam ser adaptadas ao trabalho com a
matemática; o desgaste da imagem da ciência que atrai cada vez menos estudantes
e o fato da educação, apesar de ter um valor fundamental, levar à uma concepção
que a torna uma mercadoria, submetendo, assim, os sistemas educativos às regras
de mercado.
24
Artigue (2004) salienta também que os desafios ultrapassam o tratamento
matemático e didático, mas ela afirma só ter condições de tratar algumas questões
sob esta ótica. Após observar que a Matemática é apresentada como um edifício
bem estruturado que possibilita um desenvolvimento e uma expansão constante, a
autora considera esta imagem como parcial, pois a Matemática pode ser vista
também como uma cultura.
Seguindo essa reflexão, a escritora cita o trabalho de Hall (1998 apud
ARTIGUE 2004) que pondera sobre a existência de três níveis na cultura
matemática, a saber:
- o nível formal que corresponde às crenças sobre o que é a matemática, quais são
suas ferramentas e os métodos que a legitimam;
- o nível informal que está associado aos esquemas de ação e de pensamento, às
formas não explícitas de desenvolver, de pensar e raciocinar em matemática que
estão associadas à experiência e à prática;
- o nível técnico que corresponde às técnicas institucionalizadas e às teorias, isto é,
à parte explícita do conhecimento matemático.
Na sequência, Artigue (2004) avalia que as fontes que permitem compreender
como funcionam essas culturas são os programas, os textos oficiais e livros
didáticos. Além destes, há ainda as ferramentas de avaliação e as observações
diretas de estudantes e do funcionamento das diferentes classes. Isso lhe permite
considerar a cultura dominante no Ensino Médio (lycée) como sendo a francesa e
identificar os problemas encontrados quando se leva em conta a realidade das
classes.
Artigue (2004) observa que existem restrições relativas aos momentos e à
introdução dos conceitos que fazem com que os estudantes tenham diferentes
meios para que possam experimentar e conjecturar em função das situações que
lhes são propostas e das especificidades de seus cursos.
Existe
ainda
uma
diversidade de dispositivos de ensino que tornam mais difícil a estruturação dos
saberes, aliados com a peculiaridade de diferentes professores para cada
dispositivo. A autora salienta a dificuldade enfrentada pelos professores, em função
de sua formação universitária e da necessidade de conduzir um ensino
pluridisciplinar.
Isso conduz Artigue (2004) a ponderar que, para os estudantes, a cultura se
caracteriza pelo encontro de diversos domínios e problemas de forma superficial, o
25
que não permite que os discentes operacionalizem, estabilizem e estruturem seus
conhecimentos. Ela observa ainda quais práticas pedagógicas que contribuem para
fortalecer essas dificuldades.
A partir dessas reflexões, Gueudet (2008), ao propor sua habilitação 3 para
orientar pesquisas, faz uma síntese de pesquisas em didática da matemática sobre
a transição entre Ensino Médio e Ensino Superior, estudando especialmente aquelas
associadas à entrada na universidade. Gueudet (2008) restringe-se à identificação
de trabalhos associados ao domínio da álgebra linear nos primeiros anos do Ensino
Superior e às pesquisas relativas ao emprego de fontes “on line” 4 para o ensino e a
aprendizagem de matemática em todos os níveis escolares.
Gueudet (2008) inicia o primeiro capítulo de sua habilitação, esclarecendo
que as pesquisas em didática da matemática conduzem a considerar vários quadros
teóricos e a escolher modos de coleta e análise de dados que geram um
determinado olhar do pesquisador sobre seu objeto de pesquisa. A autora indica
seu artigo “Investigating the secondary-tertiary transition” de 2008a, em que discute
a transição Ensino Médio e Superior por meio da perspectiva descrita acima, isto é,
dos diferentes olhares e das diversas perspectivas que se pode utilizar como filtro
para compreender as dificuldades encontradas pelos estudantes nas diferentes
etapas escolares.
Segundo Gueudet (2008a), conforme o olhar eleito no início da pesquisa, é
que iremos diagnosticar as dificuldades e interpretá-las, no intuito de obter diferentes
visões da transição e, consequentemente, chegar à proposta de ações didáticas
distintas.
Isso conduz Gueudet (2008a) a considerar quatro formas diferentes de olhar a
questão da transição entre o Ensino Médio e Superior, as quais detalharemos na
sequência:
- olhar sobre o modo de pensar, que corresponde aos saberes
intrinsecamente mais complexos os quais necessitam de novos modos de pensar.
Em relação a esse olhar, a autora cita o trabalho de Gray et al. (1999 apud
GUEUDET, 2008a) que parte de um conjunto de propriedades que serão utilizadas
3
Habilitação corresponde a um trabalho de pesquisa, orientado por um pesquisador habilitado e
apresentado para um júri, que qualifica o doutor para se tornar orientador. Trata-se de uma
complementação da pesquisa que é realizada pelo candidato após o doutorado.
4
Fontes “on line”: curso gratuito para estudantes da escola elementar, do Ensino Fundamental e do
Ensino Médio. Exemplo: Académie en ligne: <http://www.academie-en-ligne.fr/default.aspx>.
26
para construir um objeto e deduzir outras propriedades desse objeto, necessitando,
assim, de um pensamento matemático avançado. Segundo Gueudet (2008a), os
estudantes, em geral, não têm uma representação clara de determinada noção,
quando não são capazes de fornecer exemplos e dar contra exemplos.
Ainda nesse artigo, a autora traz como exemplo a noção de função de uma
variável real a valores reais, salientando que os estudantes têm dificuldades de ver
essa função como uma ação que transforma um número em outro, em seguida,
como um processo e finalmente como um objeto sobre o qual podemos agir. Em
outras palavras, os discentes não conseguem fazer somas, compor e considerá-las
como um conjunto que satisfaz determinadas propriedades.
Para o olhar “modo de pensar”, a autora identifica o trabalho de Dubinsky
(1991) que considera os diferentes estágios na percepção de um conceito pelos
estudantes. Isso conduz o autor a propor um ensino cuja percepção de um conceito
segue os estágios de ação, processo e objeto, os quais são sucessões de
momentos de transição como podemos verificar na figura 1.
Ação
Interiorização
PROCESSO
OBJETO
Encapsulação
Coordenação
Inversão
Generalização
Figura 1 - Estágios de ação, processo, objeto.
Fonte: Dias, p. 18
Para construir sua teoria e aplicá-la a conceitos matemáticos específicos,
Dubinsky (1991) se apoia sobre os conhecimentos dos matemáticos e as
observações do trabalho realizado pelos estudantes. O autor propõe-se a determinar
para alguns conceitos matemáticos um modo de descrição que evidencie os
processos de abstração refletida conforme definição encontrada na teoria de Piaget.
27
Isso conduz Dubinsky (1991) a desenvolver o que ele denomina decomposição
genética do conceito, considerando que ela possibilita a construção de estratégias
de aprendizagem.
Observamos
que
a
análise
dos
exemplos
de
abstração
refletida
desenvolvidos por Piaget conduziram Dubinsky (1991) a isolar cinco tipos de
métodos de construção dos conhecimentos. Isto foi realizado através da abstração
refletida no pensamento matemático avançado, a saber:

A interiorização que corresponde à tradução de uma sucessão de ações
materiais em um sistema de operações interiorizadas. É a interiorização que criará o
processo.

A coordenação geral das ações que corresponde à composição de
coordenações de dois ou mais processos para a construção de um novo processo.

A encapsulação ou a conversão de um processo dinâmico em um objeto
estático.

A generalização expansional que corresponde à aplicação de um esquema
existente a uma coleção de fenômenos mais amplos.

A inversão que corresponde à construção de um novo processo pela inversão
do processo original.
Dubinsky (1991) utiliza os cinco métodos acima, que visualizamos no
esquema apresentado, para descrever como os novos objetos, processos e
esquemas podem ser construídos.
Seguindo com a explanação sobre os diferentes olhares, temos:
- olhar sobre a organização dos conhecimentos: corresponde à nova
organização em rede dos conhecimentos. Aqui, Gueudet (2008a) considera como
um exemplo sobre esse olhar o trabalho de Rey et al. (2003 apud GUEUDET,
2008a). Este coloca em evidência a necessidade de fazer alusão às novas práticas
de referência, isto é, ao trabalho dos matemáticos de profissão e às novas
necessidades em relação ao que se espera que possa ser desenvolvido pelos
estudantes.
Quanto às novas práticas de referência, podemos citar a pesquisa de Robert
(1997, 1998) que apresenta os seguintes exemplos para o trabalho esperado dos
estudantes: em relação às demonstrações em matemáticas, ela observa que, no
28
Ensino Superior, essas se tornam mais longas e podem levar em conta dois tipos de
raciocínios análogos, para uma mesma demonstração, existem vários argumentos
mais ou menos interligados que podem dificultar a identificação de seu papel na
mesma.
Robert (1997, 1998) ressalta ainda que o implícito do verdadeiro ou falso
corresponde a uma dificuldade incontornável e os quantificadores podem tornar-se
indispensáveis; mas não é fácil saber anteriormente se é o caso de utilizá-los. Ela
salienta que não podemos demonstrar tudo, uma vez que é preciso considerar o
nível de conceituação que nos encontramos, pois cada nível pode ser visto como
uma prateleira em um campo conceitual de conhecimentos matemáticos, que
corresponde a uma organização coerente de uma parte desse campo. Esta é
caracterizada pelo objeto matemático apresentado de uma determinada forma pelos
teoremas sobre esses objetos e pelos métodos a eles associados que possibilitam a
solução de problemas e situações que os estudantes encontram em diferentes
momentos do processo de ensino e aprendizagem.
Dessa forma, dependendo do nível de conceituação, podemos ser conduzidos
a mudar o que deve ser justificado, a considerar as diferenças de tempo de trabalho
dos estudantes, a escolher uma ou mais aplicações para um mesmo teorema e a
considerar certa disponibilidade dos conhecimentos esperada dos estudantes, a qual
deve ser explicitada pelos professores.
Robert (1997, 1998) explicita ainda que, entre as práticas dos especialistas,
isto é, dos matemáticos de profissão, as que podem ser consideradas como
necessárias para o desenvolvimento dos estudantes são: o caráter disponível de um
grande número de conhecimentos, de sua organização e da relação entre eles. O
especialista dispõe notadamente de vários tipos de questionamentos, pois, para ele,
existem sistemáticas, mesmo que implícitas como, por exemplo, as questões de
estrutura, homogeneidade, coerência, integração sobre o caráter local ou global,
finito ou infinito, questões de existência, unicidade, exaustividade, a diferença, entre
outras.
Robert (1997,1998) observa ainda que os especialistas recorrem a situações
de referência que lhes são suficientemente familiares, possibilitando observar as
anomalias, testar hipóteses e conjecturar. Além disso, a autora ressalta que a escrita
em matemática é uma atividade importante do trabalho do matemático, pois gera
uma dinâmica de questionamentos mais precisos imposta pelas exigências de rigor.
29
Em função das práticas dos especialistas, Robert (1997, 1998) faz algumas
considerações sobre as atividades esperadas dos estudantes na transição entre o
Ensino Médio e o Ensino Superior, a saber: a atividade de escrever torna-se
primordial e conduz a exigências suplementares da parte dos professores; e o
trabalho pessoal exige do estudante um tempo considerável para o trabalho em casa
e para as demonstrações em matemática que variam de acordo com os diferentes
cursos.
As práticas dos especialistas apresentadas por Robert (1997,1998) e as
atividades esperadas dos estudantes na transição entre o Ensino Médio e o Ensino
Superior permitem considerar a observação abaixo, feita por Gueudet (2008a), que
ressalta as dificuldades encontradas pelos estudantes para iniciar, controlar e validar
seu raciocínio quando enfrentam um novo problema ou uma nova situação.
Como exemplo, a autora cita a pesquisa de Battie (2003 apud ROBERT,
1997) que ao propor a tarefa aos estudantes: “demonstrar que raiz de 2 não é
racional”, observa que para os mesmos faltam automatismos, iniciativas e eles têm
ainda dificuldade em raciocinar por absurdo. Segundo Gueudet (2008a), o que falta
para os estudantes em relação ao raciocínio aritmético são as dimensões
organizadoras e operatórias e os meios de controle dos resultados encontrados. Ela
observa ainda que, nesse caso, o processo de transição seja longo, pois necessita
que se construa uma rede de situações de referência, e que se adquira experiência
matemática, como foi possível identificar na proposta de Robert (1997, 1998) sobre
as práticas a serem desenvolvidas pelos estudantes.
Gueudet (2008a) propõe como ação didática para auxiliar os estudantes fazer
com que esses últimos encontrem situações variadas que lhes sirvam de referência
e que lhes permitam adquirir os meios de controle necessários. É preciso ainda
considerar problemas que exigem autonomia dos estudantes, mas é também
necessário respeitar o tempo de pesquisa indispensável para a realização do
trabalho proposto.
- olhar sobre a linguagem e os modos de comunicação: corresponde a
empregar uma linguagem matemática diferente, que exige novos símbolos e um
novo tipo de discurso. Ademais, significa utilizar novas regras de comunicação, isto
é, as demonstrações e as exigências de rigor são necessárias.
Gueudet (2008a) após observar que, em geral, os estudantes não empregam
corretamente essa nova linguagem e não respeitam as novas regras de
30
comunicação, escolhe o exemplo abaixo, que permite visualizar essa dificuldade,
retirado de Nardi e Lannone (2005 apud GUEUDET, 2008a), no qual as autoras
observam que: ao responder a questão “Seja x  IR tal que x  0 e  n  IN, x < 1/n.
Qual o valor de x?”, os estudantes consideram que x = 0, o que corresponde a uma
resposta que “soa matemática”.
Gueudet (2008a) considera ainda o trabalho de Berger (2004 apud
GUEUDET, 2008a) que observa que os estudantes aprendem um novo símbolo
como uma nova palavra e que testam por analogia até utilizá-lo conforme a
expectativa da instituição. Assim, a escrita se torna progressivamente mais produtiva
a partir da entrada no Ensino Superior.
A autora refere-se ainda ao trabalho de Durand-Guerrier e Arsac (2003 apud
GUEUDET, 2008a) o qual mostra que os estudantes não utilizam as regras da lógica
para explicitar o trabalho realizado nas demonstrações. Então, quando essas são
falsas, o professor é capaz de localizá-las por meio dos conhecimentos matemáticos
e não pela lógica.
Em relação ao trabalho de Dreyfus (1999 apud GUEUDET, 2008a), a autora
retira as seguintes argumentações: não existe um ensino explícito do que é um
argumento matemático válido. Existem variações de rigor nos livros didáticos e não
existem critérios de validade para uma produção escrita dos estudantes que sejam
os mesmos para todos os professores.
O levantamento dessas pesquisas conduz Gueudet (2008a) a considerar que
a transição em relação ao modo de comunicação corresponde à chegada a um novo
país, portanto, ao encontro de uma nova língua e de novas leis e regras. Para tal, a
ação didática proposta pela autora seria ensinar essa nova língua e essas novas leis
e regras de forma explícita, o que, muitas vezes, exige uma adaptação do conteúdo
de ensino.
Finalmente, Gueudet (2008a) considera como modo de analisar a transição
aquele para o qual o olhar é centrado na instituição, observando que a matemática
praticada no Ensino Médio é diferente daquela que será trabalhada no Ensino
Superior. Isto deve ocorrer, ultrapassando a simples consideração dos conteúdos
em jogo, uma vez que o mesmo conteúdo será tratado de forma diferente, a mesma
tarefa será efetuada com outra técnica e as técnicas ensinadas são explicadas de
outra forma.
31
Se nos referimos às organizações praxeológicas de Chevallard (2002, 2002a),
o bloco prático (tipos de tarefas e técnicas) será explicitado, justificado e controlado
por meio de um novo bloco teórico (tecnologia e teoria). Gueudet (2008a) indica que
o estudo da transição sob esse novo modo de observá-la, em geral, conduz a
identificar dificuldades de emprego de novas técnicas pelos estudantes que utilizam
aquelas desenvolvidas no Ensino Médio e que não são suficientes para responder
as tarefas propostas no Ensino Superior.
Para melhor explicitar essas dificuldades encontradas pelos estudantes
Gueudet (2008a) refere-se ao trabalho de Bosch et al.(2004 apud GUEUDET,
2008a), uma vez que este observa que, nas instituições de Ensino Médio
espanholas, em geral, cada tipo de tarefa corresponde à uma técnica, existindo
poucas atividades de modelagem ou interpretação. Os diferentes tipos de tarefas
não são articulados entre eles e quase não se propõem tarefas abertas.
Ao considerar a transição, Boch et al.(2004) ressaltam que não é previsto um
retorno aos tipos de tarefas encontradas no Ensino Médio, o que corresponde a uma
expectativa institucional afastada do trabalho que já foi realizado anteriormente.
Gueudet (2008a) discute ainda o trabalho de Castela (2004 apud GUEUDET,
2008a), cujo olhar sobre duas diferentes formas de ensino encontradas na França,
que correspondem a expectativas institucionais diferentes, mostra que os estudantes
que seguem seus cursos universitários são confrontados a exames frequentes, os
quais são preparados pelos próprios professores para um conjunto limitado de
conteúdo e, em geral, com exercícios próximos aos trabalhados em aula e que
exigem a aplicação das técnicas desenvolvidas no curso. Segundo Castela (2004
apud GUEUDET, 2008a), as expectativas em relação ao trabalho dos estudantes é
que eles reproduzam as técnicas sobre exercícios já vistos.
Castela (2004) observa que os estudantes seguem durante dois anos o curso
de forma a passar no concurso final ao término desses estudos. Essa nova
abordagem favorece o trabalho sobre novos problemas. Portanto, cabe aos
estudantes tomar as iniciativas necessárias, aqueles que devem levá-los ao trabalho
autônomo em relação a qualquer tipo de tarefa que se possa exigir ao final de dois
anos de estudo após o Ensino Médio (lycée).
Observamos aqui que nossa pesquisa se insere nesse último modo de olhar a
transição. Em outras palavras, mostramos que as análises apresentadas têm por
centro as diferentes expectativas institucionais, onde se considera as mudanças de
32
culturas entre o Ensino Médio e o Ensino Superior e, mais especificamente, os
conhecimentos prévios sobre a noção de função exponencial que podem ser
considerados como mobiliáveis e disponíveis pelos estudantes que iniciam o Ensino
Superior.
Na sequência, consideraremos uma breve discussão de outros trabalhos que
vêm sendo publicados em congressos e revistas internacionais nesses últimos anos,
em particular, aqueles que tratam a questão da transição para as disciplinas de
álgebra linear e análise matemática.
Em relação às pesquisas em álgebra linear ou geometria analítica,
destacamos
os
trabalhos
de
Dorier
(1993a),
que
apresenta
um
estudo
epistemológico da emergência do conceito de posto no estudo dos sistemas de
equações lineares. Observamos ainda que Dorier (1990) apresenta em sua tese de
doutorado um estudo epistemológico e didático sobre o ensino da álgebra linear nos
primeiros anos da universidade e estudos posteriores levam o autor a concluir, em
seu artigo Dorier (2002), que, em educação matemática, não se pode dar uma
solução milagrosa para vencer todas as dificuldades em aprender e ensinar álgebra
linear. Vários trabalhos diagnosticaram as dificuldades dos alunos, análises
epistemológicas e experimentais, propondo ensinos que oferecem apenas uma
remediação local. No entanto, esses trabalhos conduziram a novas dúvidas, novos
problemas e a dificuldades que não devem ser interpretadas como uma falha.
Dorier (2002) ressalta que para melhorar o ensino e a aprendizagem da
matemática não se pode recorrer apenas a uma remediação válida para todos os
processos cognitivos e matemáticos, pois estes são muito mais complexos que tal
visão idealista/simplista. Segundo o autor, é necessário um conhecimento mais
profundo da natureza dos conceitos e das dificuldades cognitivas que eles provocam
para que se possa auxiliar os professores a tornar o ensino mais rico, sem recorrer
às formas rígidas e dogmáticas, mas sim à flexibilidade.
O estudo de Dorier (2002) lhe permitiu concluir que, em vários países,
investigações em educação matemática têm influenciado reformas curriculares como
é o caso do Linear Algebra Curriculum Study Group na América do Norte.
Encontramos ainda no caderno destinado a um ensino diferenciado da
matemática para os primeiros anos da universidade na França, os trabalhos de:
- Rogalski (1990) que discute as mudanças em termos de novo tipo de estudante e
diferentes objetivos para o ensino. O autor observa a existência de mudanças
33
sociais constantes que conduzem a um Ensino Médio científico mais democrático,
aumentando o número de estudantes que têm acesso a este, mas, ao mesmo
tempo, alguns discentes surgem menos preparados, o que conduz a um
empobrecimento dos conteúdos matemáticos, pois a sociedade espera que o estudo
deva preparar para um trabalho específico. Assim, os aspectos culturais ou gerais
do ensino parecem cada vez mais um valor por si mesmo que não auxilia os
estudantes em suas expectativas futuras.
Esse quadro conduz Rogalski (1990) a apontar uma necessidade de
transformação do Ensino Superior que leve em conta as dificuldades observadas
pelos professores, quais sejam: preferência por copiar ao invés de compreender,
falta de interesse pelos comentários epistemológicos ou históricos, os estudantes
geralmente aceitam o que é proposto sem questionamentos próprios, não se
interessam por obras matemáticas, procuram receitas para as avaliações no lugar
de compreender a profundidade dos diferentes conceitos, possuem conhecimentos
compartimentados em pequenas fatias que não possibilitam que se operem as
relações entre eles, não pensam jamais nos erros ou contradições como fontes de
questões que conduzam a uma melhor compreensão. Segundo Rogalski (1990), os
estudantes possuem uma epistemologia escolar no lugar de uma epistemologia
científica.
As constatações acima levam Rogalski (1990) a considerar os elementos que
seguem como aqueles que podem ser utilizados pelos professores para auxiliar os
estudantes a compreender a matemática que se pretende desenvolver no Ensino
Superior: problematizar o ensino, isto é, responder questões que são colocadas
pelos próprios estudantes; alterar a forma de trabalho dos estudantes; ensinar
conhecimentos que conduzam ao sentido ao invés de aplicar receitas; considerar
novos meios de cálculos para dar acesso a novas maneiras de trabalhar alguns
conceitos e para diminuir o peso das tarefas repetitivas; construir e implementar
cenários de ensino e de atividades que façam com que os estudantes trabalhem
esses novos objetivos.
Já em 1990, encontramos, no trabalho de Rogalski (1990), reflexões sobre a
transição entre o Ensino Médio e Ensino Superior que podem auxiliar professores e
estudantes a modificar as condições dos estudantes que iniciavam o Ensino
Superior.
34
- Uma proposta de ensino de métodos em matemática inspirada em trabalhos
de Robert, Rogalski, Samurcay (1990 apud ROBERT,1990), Robert e Tenaud (1989
apud ROBERT,1990), Rogalski (1989 apud ROBERT,1990), Rogalski (1990) apud
ROBERT,1990) em que é considerada a questão da resolução de problemas
trabalhados por Polya (1965 apud ROBERT, 1990), Larson (1983 apud ROBERT,
1990) e Schoenfeld (1988 apud ROBERT, 1990).
No artigo “Enseigner des méthodes en mathématiques”, Robert (1990)
esclarece que “método ou conjunto de métodos” sobre um campo dado é a
descrição de um conjunto de atividades do tópico. Estas são identificadas por meio
da análise e classificação dos problemas que se pode resolver em um quadro bem
preciso, utilizando as ferramentas e técnicas disponíveis, as estratégias e táticas
possíveis, a gestão do tempo para a escolha das estratégias e seus
desenvolvimentos, a consciência dessas escolhas, os meios de controle e o retorno,
quando necessário, para novas escolhas.
Na sequência, a autora apresenta um plano com algumas etapas, na tentativa
de instruir como elaborar e ensinar um método. Para isso, ela considera as
experiências de Robert e Tenaud (1989 apud ROBERT,1990) e Schoenfeld (1980
apud ROBERT,1990).
A escritora mostra ainda que existem alguns questionamentos que devem ser
considerados quando da elaboração de um ensino baseado no método por ela
proposto, a saber: em que domínios matemáticos podemos detectar a existência de
métodos úteis e aqueles que são suscetíveis de ser ensinados?; Podemos encontrar
ou elaborar um encaminhamento metódico para os domínios da fronteira
matemática/física?;
Os
diferentes
aspectos
de
um
método
são
sempre
indispensáveis?; Quando podemos iniciar um ensino de métodos?; Como ter certeza
que um método não é utilizado de maneira formal, como um algoritmo, ou como um
simples respeito ao contrato com o professor?; Quais restrições devem respeitar as
situações de ensino para assegurar que os casos considerados na questão anterior
não se produzam?; Qual parte da elaboração de um método será devolvida ao
estudante?; Como avaliar um método, de um lado, no que concerne a sua eficácia
operacional (interna à matemática), de outro lado, quanto à utilidade de seu ensino?
A autora conclui que “um dos objetivos do ensino de um método é que esse
seja completamente esquecido, isto é torne-se um automatismo [...]” (ROBERT,
1990, p.79).
35
- Rogalski (1990) discute as dificuldades encontradas pelos estudantes de um
curso de introdução à Álgebra Linear. Trata-se de uma pesquisa mais ampla,
desenvolvida por Rogalski, Robert, Dorier e Robinet para a qual Rogalski (1992a,
1992b,1992c, 1995) construiu e implementou um curso de introdução à Álgebra
Linear centrado no estudo dos espaços vetoriais de IRn.
Encontramos ainda alguns trabalhos sobre o ensino e a aprendizagem de
Álgebra Linear que são os considerados no estudo de Dorier (2002), para os quais
ponderamos os questionamentos envolvidos.
- Hillel et Sierpinska (1994), que, referindo-se ao trabalho de Piaget e Garcia
(1983), interrogam-se sobre os três níveis de desenvolvimento das ações cognitivas
(intra, inter e trans) em jogo num curso de introdução à Álgebra Linear.
No livro “Enseignement de L’Algèbre Lineaire en Question”, organizado por
Dorier et al (1997), destacamos :
- Sierspinska, Defense Khatcherien e Saldanha (1997) sobre o que eles
denominam os três modos de pensar em Álgebra Linear: o modo sintético
geométrico, o modo analítico e aritmético e o modo analítico estrutural.
- Harel (1997) trata dos três princípios de aprendizagem e ensino para o caso
da álgebra linear. Foi desenvolvido no grupo de estudo do currículo de álgebra linear
composto por dezesseis professores do departamento de matemática de todo
Estados Unidos. Os três princípios são: o princípio da concretização, o princípio da
necessidade, o princípio da generalização.
- Hillel (1997) discorre sobre os níveis de descrição e o problema da
representação em Álgebra Linear. O autor considera os três níveis de descrição ou
tipos de linguagem: a linguagem da teoria geral, a linguagem da teoria mais
específica em IRn e a linguagem geométrica do espaço para duas ou três
dimensões.
- Pavlopoulou (1997) trata da coordenação de registros de representação
semiótica.
- Dias (1995) sobre os problemas de articulação entre diferentes sistemas de
representações simbólicas em Álgebra Linear.
- Bardy, Bellac, Le Roux, Memin e Saby (1993) analisam, considerando os
textos oficiais dos programas de matemática do “terminale” (corresponde ao último
ano do Ensino Médio da França), o que poderia ser conectado ao ensino
universitário de álgebra linear.
36
- Behaj (1997) foca a sua tese sobre a estruturação do saber.
Ainda sobre geometria e álgebra linear, destacamos a tese de Gueudet
(2000) sobre o papel do geométrico no ensino e na aprendizagem de álgebra linear.
Em relação às pesquisas sobre análise matemática, observamos que, na
França, a partir de 1970, já existia uma preocupação em propor novas abordagens.
Isto deveria ocorrer de forma a considerar as dificuldades enfrentadas pelos novos
estudantes cujas características foram apresentadas acima, quando nos referimos
ao trabalho de Rogalski (1990).
Legrand (1990) propõe uma atividade para a transmissão da regra do debate
científico em um curso de matemática. Esta, segundo o autor, é uma ferramenta
didática à disposição dos professores para incentivar os estudantes no
desenvolvimento das noções e dos métodos que possa tratar dos conhecimentos
científicos classicamente ensinados, despertando a curiosidade, interesse e até
mesmo entusiasmo dos discentes.
A atividade proposta por Legrand (1990) visava confrontar os rudimentos da
lógica matemática com os hábitos herdados da gestão cotidiana. Mais precisamente,
a atividade abordava o problema do sentido que os estudantes conferem ao
verdadeiro e ao falso em matemática.
Artigue e Rogalski (1990) apresentam uma engenharia didática para o ensino
de equações diferenciais realizada na Universidade de Lille1 cujo objetivo é de não
reduzir o ensino das equações diferenciais à aprendizagem de técnicas de resolução
algébrica. Para tal, os autores consideraram o quadro algébrico da resolução “exata”
por meio de fórmulas explícitas, expressões finitas, desenvolvimentos em série e
expressões integrais, o quadro numérico da resolução numérica aproximada e o
quadro geométrico do estudo global, qualitativo do retrato de fase da equação.
Rogalski (1990) apresenta um exemplo de aplicação em trabalho dirigido
antes da construção dos números reais, cujo objetivo era problematizar essa
construção.
As dificuldades também aparecem em outros países e atualmente
encontramos os seguintes trabalhos que procuram novos meios para tratar dessas
dificuldades, em particular com os estudantes dos primeiros anos da universidade:
- González-Martín et al (2009), sobre o conceito de soma infinita e sua complexidade
epistemológica, que torna difícil sua aceitabilidade, podendo ser a causa de sua
redução aos aspectos algorítmicos.
37
- Kidron (2002), que identifica as dificuldades de se compreender a dualidade
processo-objeto referente ao conceito de série.
- Mamoma (1990), que identifica a existência da confusão entre os conceitos de
sequências e séries e a resistência em enxergar as sequências como um tipo de
função.
- Bortoloti et al (2010), que discutem alguns resultados sobre análise de erros nas
respostas de um teste de matemática sobre conteúdos de matemática básica
associados à noção de função. Tais testes foram aplicados em 450 estudantes de
graduação da Universidade da Bahia e seu referencial teórico está baseado em
Pinto (2000), Borasi (1996) e Cury (2007) que apresentam ferramentas teóricas para
análise dos erros dos estudantes.
-
Gerofsky
(2010),
que
propõe
uma
intervenção
pedagógica
sobre
o
desenvolvimento da noção de função polinomial por meio de gestos, movimentos e
sons com um grupo de 8 estudantes em uma escola de Vancouver, no Canadá.
- Nasser (2010), cujo trabalho está focado na dificuldade da construção do conceito
de função, limite e derivada na aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral. Oito
alunos foram acompanhados na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral, o
referencial teórico da pesquisa foi baseado na Teoria Epistemológica de Obstáculo
conforme Brousseau e Sierpinska.
- Egin et al (2010), que mostram a importância da utilização da tabela de valores no
ensino da noção de função e está baseado na teoria dos registros de representação
semiótica (Duval,1993) e na noção de contrato didático segundo definição de
Brosseau (1998). Foi aplicado um questionário para 23 professores e três questões
para 120 alunos do Ensino Médio.
Os trabalhos acima correspondem a uma rápida demonstração da
importância do estudo da transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior e a
atenção que vem sendo dada pelos pesquisadores de Educação Matemática nos
diferentes países em relação à investigação das funções na etapa que antecede os
primeiros anos da universidade. Observamos ainda que a noção de função, em
geral, quando considerada, restringe-se apenas à introdução geral ou às funções
polinomiais e que a relação entre o trabalho desenvolvido no Ensino Médio e no
Superior não é levada em conta nessas pesquisas. No entanto, podemos verificar
que esses trabalhos possibilitaram compreender as questões associadas às
dificuldades dos estudantes que iniciam o Ensino Superior, as quais, portanto, estão
38
relacionadas à transição entre as duas etapas escolares consideradas em nossa
pesquisa.
Dessa forma, a escolha dos trabalhos acima demonstrados está centrada
naqueles que têm mais afinidade com a nossa pesquisa seja pelo objeto de estudo,
seja por tratar da transição ou de novas propostas de trabalho com os estudantes
que iniciam o Ensino Superior. Todavia, cabe-nos considerar que não se pretendeu
realizar um estudo exaustivo, mas sim apresentar um levantamento que mostrasse a
importância da questão da transição e a preocupação dos educadores matemáticos
em encontrar novos meios para auxiliar os estudantes a ultrapassar suas
dificuldades.
Após o estudo de publicações sobre a transição entre o Ensino Médio e o
Ensino Superior, traçaremos uma breve discussão sobre dissertações e teses
brasileiras que tratam dessa problemática ou que se referem ao estudo da noção de
função e, mais particularmente, da noção de função exponencial.
Assim, começamos destacando o estudo foi realizado por Azzolini (2012) em
sua dissertação de mestrado sobre as relações institucionais esperadas e existentes
na transição entre os ensinos fundamental, médio e superior. Este trabalho
considera a noção de função quadrática. A autora realizou uma pesquisa
bibliográfico/documental que lhe permitiu concluir que as relações institucionais
esperadas e existentes são coerentes, mas é preciso que professores e estudantes
desenvolvam um processo de estudo e ajuda ao estudo, utilizando o material
analisado que poderá auxiliá-los a melhorar as condições atuais do Ensino Médio e,
consequentemente, do Ensino Superior.
Por meio de material disponível na internet, Azzolini (2012) identificou
dissertações e teses das universidades: Pontifícia Universidade Católica de São
Paulo - PUC-SP, Universidade Luterana do Brasil – ULBRA, Universidade Federal de
Pernambuco
-
UFPE,
Universidade
Estadual
de
Campinas
-
UNICAMP,
Universidade Estadual Paulista - UNESP, Universidade Cruzeiro do Sul - UNICSUL,
Universidade Bandeirante do Brasil – UNIBAN.
As disseetações e teses brasileiras compiladas no trabalho de Azzolini (2012)
mostram que os estudos sobre funções está centrado nas funções polinomiais, em
particular, nas funções afim e quadrática com ênfase no estudo das questões de
representações desses objetos matemáticos por meio da teoria dos registros de
representação semiótica de Duval. Dentre as quatorze pesquisas encontradas sobre
39
funções, oito correspondem às funções afim e quadrática e oito usam a teoria dos
registros de representação semiótica como referencial, mesmo que, em algumas
dessas pesquisas, essa teoria sirva de referencial teórico de apoio para o
desenvolvimento das investigações realizadas.
Apenas uma pesquisa trata do conteúdo função exponencial que é o trabalho
de Souza (2010). Há ainda a pesquisa de Mariani (2006) que explicita tratar sobre a
transição Ensino Médio e Superior, mas que não usa como objeto matemático de
estudo a função exponencial. O objetivo do trabalho sobre transição, de Mariani
(2006), é analisar os conhecimentos sobre a noção de função mobilizados pelos
estudantes de um curso de “Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral”.
A tese de doutorado de Mariani (2006), cujo título é “Transição da educação
básica para o ensino superior: a coordenação de registros de representação e os
conhecimentos mobilizados pelos alunos no curso de cálculo” traz elementos que
permitem compreender quais conhecimentos sobre a noção de função são
mobilizados pelos estudantes de um curso de introdução ao Cálculo. A autora
centrou suas análises nos registros de representação semiótica utilizada pelo grupo
de estudantes que participaram da pesquisa.
Em relação à noção matemática objeto de estudo da nossa pesquisa,
encontramos apenas o trabalho de Souza (2010), cujo objetivo foi analisar a
eficiência das atividades apresentadas no caderno do professor de 2008 da
Secretaria do Estado de São Paulo, segundo o desempenho de 14 alunos da 2º
série do Ensino Médio de uma escola pública de São Paulo em relação à noção de
função exponencial. Para tal pesquisa, foi usada a metodologia da Engenharia
Didática segundo Artigue (1990) e o referencial teórico para a construção dos
elementos da engenharia está baseado na teoria dos registros de representação
semiótica de Duval (1993).
Azzolini (2012) identifica ainda as pesquisas de Andrade (2006) e Gouveia
(2007), as quais, mesmo não tratando especificamente a questão da transição entre
o Ensino Médio e Superior, apresentam elementos que permitem a reflexão sobre os
conhecimentos desenvolvidos pelos estudantes do Ensino Médio e as reais
possibilidades de trabalho com as noções de função afim e intervalos sobre IR.
Existem ainda três dissertações desenvolvidas no âmbito do projeto em que
se insere nossa pesquisa por Simião (2010), Faro (2011) e Jammal (2011), mas que
correspondem a estudos sobre matrizes e sistemas lineares e geometria analítica.
40
O estudo apresentado não é exaustivo, mas mostra a importância e o
ineditismo da nossa proposta em relação aos trabalhos existentes, pois trata da
transição entre o Ensino Médio e Superior, considerando como objeto matemático
de estudo a noção de função exponencial. Em particular, no Brasil, notamos que é
preciso dar mais atenção à questão da transição entre as diferentes etapas
escolares e que a noção de função exponencial é pouco explorada nas pesquisas, o
que nos incentivou a propor esse tema para o nosso estudo.
2.3 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
O estudo das pesquisas teóricas, em particular a de Gueudet (2008) e
Gueudet (2008a), auxiliou-nos a situar nossa pesquisa em relação às pesquisas
existentes sobre transição entre Ensino Médio e Ensino Superior.
As pesquisas associadas às disciplinas de Geometria Analítica, Álgebra
Linear, Análise Matemática e Cálculo Diferencial e Integral colocam em evidência
que, mesmo existindo grupos constituídos que tratam das dificuldades dos
estudantes do Ensino Superior, ainda há necessidade de novas pesquisas, em
particular as associadas aos problemas culturais de cada país onde são
desenvolvidas, pois foram realizadas diversas pesquisas para determinados
conteúdos, mas o aspecto cultural foi pouco considerado. Observamos, nesse
sentido, que o trabalho de Dias et al. (2010) coloca em evidência as diferenças
culturais existentes nas propostas de ensino da noção de função entre a França e o
Brasil, quando se considera a transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior.
As pesquisas representadas pelo estudo de Azzolini (2012), que representam
algumas das dissertações e teses brasileiras, mostram que o estudo das funções
está centrado nas funções polinomiais, em particular nas funções afim e quadrática
com ênfase no estudo das questões de representações desses objetos matemáticos
por meio da teoria dos registros de representação semiótica de Raymond Duval.
No capítulo que segue, apresentaremos a problemática, os objetivos e a
metodologia da nossa pesquisa.
41
3 PROBLEMÁTICA, OBJETIVOS E METODOLOGIA
3.1 TRAJETÓRIA E CONTEXTO DA PESQUISA
Em 2004, iniciei o mestrado (ANDRADE, 2006), o qual conclui em 2006.
Nessa época, já considerava a questão da identificação dos conhecimentos
adquiridos no Ensino Médio, tendo em vista que eles podem servir como
conhecimentos prévios para a introdução de novas noções no Ensino Superior.
Na dissertação, observei quais as expectativas institucionais para o
desenvolvimento da noção de função afim para um grupo restrito de estudantes de
uma escola pública de São Paulo. Esse estudo teve como base a análise das
respostas do SARESP 2005 e me conduziu a concluir que, apesar dos documentos
oficiais e livros didáticos indicarem uma proposta na qual se articulavam os
conhecimentos sobre a noção de função afim tanto para situações intramatemáticas
como para situações extramatemáticas, em geral, os estudantes apenas
identificavam a função e seu gráfico quando essa era dada explicitamente no
enunciado da situação.
Considerando que a noção de função afim, em geral, corresponde à primeira
função numérica já tendo sido trabalhada no último ano do Ensino Fundamental II e
sido revisitada no primeiro ano do Ensino Médio, acreditávamos que os estudantes
fossem capazes de aplicar o conceito de função e, em particular, a noção de função
afim em qualquer tipo de situação em que fosse necessária a utilização dessa noção
tendo ela sido pedida explicitamente ou não. No entanto, com os resultados
encontrados, observamos que existe um grande trabalho a ser desenvolvido tanto
em relação ao conceito de função como de função afim para os estudantes que
terminam o Ensino Médio.
Em 2008, ao iniciar o doutorado, retomei a pesquisa anterior e, considerando
o fato de existir um projeto específico que tratava da transição entre o Ensino Médio
e Ensino Superior, escolhi estudar os problemas associados às expectativas
institucionais relacionadas a essa transição para o caso da noção de função
exponencial.
42
A escolha da noção de função exponencial está associada à prática docente,
pois notamos que, nas aulas de Cálculo Diferencial e Integral, em geral, quando se
introduz a noção de derivada, os estudantes são capazes de reconhecer as funções
afim e quadrática, mesmo que nem sempre sejam capazes de utilizá-las quando não
são dadas explicitamente. Ainda assim, os estudantes têm dificuldades com a
definição e as propriedades das potências, consequentemente, muitas vezes, eles
não reconhecem a função exponencial, suas propriedades e seu gráfico.
Considerando como conceito matemático norteador da nossa pesquisa a
noção de função exponencial, iniciamos o trabalho com o seguinte questionamento:
“Quais conhecimentos sobre a noção de função exponencial desenvolvidos no
Ensino Médio podem ser considerados como conhecimentos prévios disponíveis
para o trabalho com essa mesma noção no Ensino Superior?”.
Essa questão nos conduz a uma reflexão sobre a possibilidade de
identificação das expectativas institucionais e dos professores dessas duas etapas
escolares para melhor compreender as questões associadas a essa transição.
Dessa forma, após várias discussões e estudos, resolvemos dar ênfase ao trabalho
desenvolvido no Ensino Médio e, por meio de um questionário, verificar como
reagem os professores do Ensino Médio e do Ensino Superior em relação aos
conhecimentos prévios supostos adquiridos e àqueles que os estudantes são
realmente capazes de utilizar espontaneamente.
Assim, nosso questionamento ultrapassa a identificação das expectativas
institucionais indicadas na questão inicial, procurando coligar a ela a ideia dos
professores das duas etapas escolares em relação às reais possibilidades de
trabalho dos estudantes com a noção de função exponencial, suas propriedades e
seu gráfico.
Apresentado o contexto e o questionamento que orientou nossas escolhas,
descrevemos, a seguir, a problemática da pesquisa.
3.2 PROBLEMÁTICA DA PESQUISA
A questão inicial e a reflexão a que ela conduziu possibilitam descrever nossa
problemática como a identificação das expectativas institucionais e das ideias dos
43
professores do Ensino Médio e Ensino Superior quanto às reais possibilidades de
trabalho dos estudantes com a noção de função exponencial. Tal problemática pode
nos auxiliar a mostrar que as dificuldades encontradas pelos estudantes dependem
das abordagens dadas a uma determinada noção matemática e não ao trabalho
desenvolvido pelo professor da etapa anterior, pois o mesmo segue as orientações
para aquele público determinado.
O exemplo de Gueudet (2008), ao considerar o olhar sobre o modo de
pensar, refere-se ao exemplo de Dubinsky (1991) para o caso da noção de função
de uma variável real, que é inicialmente trabalhada como uma ação que transforma
um número em outro, em seguida, podendo ser abordada como um processo. Em
outras palavras, significa que a função é trabalhada como uma transformação global
e, finalmente, como um objeto sobre o qual se pode agir como, por exemplo, a soma
de funções e o conjunto de funções. Ao retomar essas considerações, observamos
que essa última abordagem é introduzida apenas nas disciplinas de Álgebra, Cálculo
Diferencial e Integral e Álgebra Linear no Ensino Superior.
Além disso, as diferentes possibilidades de abordagem para uma mesma
noção não está necessariamente associada apenas à questão dos conhecimentos
disponíveis. Segundo Artigue (2001), ela depende também de outros fatores como,
por exemplo, culturais, restrições dos diferentes sistemas educativos e expectativas
em relação ao trabalho dos estudantes, os quais são diferentes entre uma etapa
escolar e a outra e que parecem permitir a pesquisa de novas experiências que
possam ajudar os estudantes na transição entre as formas de pensamento próprias
do Ensino Médio e as encontradas no Ensino Superior.
Observamos ainda que Artigue (2001) procura mostrar a importância de se
tratar a matemática em suas múltiplas faces no nível universitário, estando ela
dirigida aos futuros matemáticos ou àqueles cujas relações futuras com a
matemática serão menos centrais. Deseja-se, assim, que os estudantes tenham
acesso à matemática formal ou às necessidades matemáticas de um determinado
setor de atividade, o que exige que os discentes do Ensino Superior, qualquer que
seja sua bagagem inicial, devam aprender uma matemática relativamente
sofisticada.
Isso nos mostra a importância de estudar e questionar os possíveis processos
de aprendizagem dessa etapa da escolaridade. Isto porque esse aprofundamento
pode nos ajudar a compreender melhor esses mesmos processos para as etapas
44
mais elementares. No capítulo 1, apresentamos pesquisas sobre a transição entre o
Ensino Médio e Ensino Superior e verificamos que no Brasil existem poucos
trabalhos nesse sentido.
Esse estudo preliminar e os resultados das macroavaliações nos conduzem a
considerar que, tanto no Ensino Médio quanto no Ensino Superior, os estudantes
têm grandes dificuldades, pois, muitas vezes, eles não dispõem das competências e
habilidades necessárias para o seu desenvolvimento escolar e profissional e os
professores dispõem de poucos recursos para auxiliá-los. Nesse sentido, alertamos
para o fato de que muitas dessas dificuldades estão associadas a não mobilização
dos conhecimentos matemáticos adquiridos anteriormente. Isto, por sua vez, conduz
a uma situação de desinteresse por parte dos estudantes, difícil de ser ultrapassada,
uma vez que a falta de conhecimentos mobilizáveis tende a aumentar no decorrer
das diferentes etapas da escolaridade. Essa situação se reflete na qualidade de
ensino da matemática no Ensino Médio e Ensino Superior.
Dessa forma, nosso estudo pretende encontrar novos meios de reflexão que
possam conduzir a uma melhora no nível do ensino e aprendizagem de matemática,
pois as análises das relações institucionais e pessoais esperadas e existentes
servirá como meio de identificação de elementos para a construção de cenários de
ensino e aprendizagem específicos aos diferentes grupos em função dos
conhecimentos prévios de seus integrantes. Melhora esta, em particular, quanto à
noção de função exponencial, suas propriedades e seu gráfico tanto no Ensino
Médio como em relação às noções trabalhadas nas outras etapas da escolaridade
em que essa noção, seu gráfico e suas propriedades serão considerados como
ferramentas disponíveis no Ensino Superior.
Para
isso,
damos
continuidade
ao
trabalho
com
os
seguintes
questionamentos:
1) Quais os conhecimentos matemáticos necessários para compreender a
noção de função exponencial no Ensino Médio e no Ensino Superior e para poder
aplicá-la de forma eficaz?
2) Sobre que níveis de conhecimento é possivel fundamentar essas
necessidades: técnicos, mobilizáveis ou disponíveis?
3) Em que sistema de tarefas e práticas podem ser desenvolvidos esses
três níveis de conhecimento?
45
4) Quais as relações institucionais esperadas e existentes para o
desenvolvimento da noção de função exponencial no Ensino Médio e Ensino
Superior?
5) Quais as expectativas institucionais sobre as relações pessoais
desenvolvidas pelos estudantes para a noção de função exponencial? Elas estão em
conformidade com as relações institucionais existentes?
6) Qual a expectativa dos professores do Ensino Médio e Ensino Superior
sobre a noção de função exponencial em relação aos conhecimentos prévios dos
estudantes que ingressam na universidade?
Quadro 1: Questionamentos
Fonte: A pesquisa.
Na sequência, consideraremos o objetivo geral e os objetivos específicos da
pesquisa.
3.3 OBJETIVOS DA PESQUISA
3.3.1 Objetivo geral
O objetivo geral desta pesquisa é estudar a noção de função exponencial na
transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior para compreender os diferentes
processos de estudo e ajuda ao estudo que sobrevivem e se reconstroem
atualmente nessas etapas escolares. Pretende-se, com isto, possibilitar que os
professores disponham de material para reflexão a fim de que, quando os mesmos
tiverem acesso aos conhecimentos prévios de seus estudantes, possam realizar
escolhas mais conscientes e, assim, conduzir esse processo de maneira satisfatória,
permitindo que os estudantes sejam capazes de mobilizar seus conhecimentos
prévios e utilizá-los de forma disponível quando necessário, podendo, assim,
enriquecê-los quando esses são usados como ferramentas explícitas para a
introdução de novos conceitos e novas noções.
46
Assim, a escolha do estudo sobre a noção de função exponencial na
transição entre o Ensino Médio e Ensino Superior justifica-se por visar compreender
os diferentes processos de estudo e ajuda ao estudo que sobrevivem e se
reconstroem atualmente nessas etapas escolares. Dessa forma, os professores
podem ter material para reflexão e acesso aos conhecimentos prévios de seus
estudantes e assim realizar escolhas mais conscientes que conduzam a um
processo de estudo e ajuda ao estudo satisfatório que finalmente permita aos
estudantes serem capazes de mobilizar seus conhecimentos e mesmo utilizá-los de
forma disponível quando necessário.
No caso da noção de função exponencial, por exemplo, os estudantes que
dispõem dos conhecimentos sobre o gráfico dessa função desenvolvidos no Ensino
Médio poderão utilizá-los no estudo do crescimento e decrescimento da função e de
assíntotas horizontais. Isto permite compreender melhor as variações da função em
relação aos seus coeficientes, estudo este que nos parece mais simples quando se
dispõe da noção de derivada e suas propriedades, o que permite justificar as
propriedades das funções.
Dessa maneira, a escolha de centrar o domínio de estudo na noção de função
exponencial, como mostra o exemplo citado, tem interesse especial, pois se trata de
uma noção matemática que oferece possibilidades para discutir as questões de
articulação entre os diferentes sistemas de representação simbólica desse objeto
matemático nos diferentes domínios em que ele pode ser aplicado tanto no Ensino
Médio como no Ensino Superior.
Isto nos conduziu aos seguintes objetivos
específicos:
- Estudar a noção de função exponencial no Ensino Médio para compreender
melhor quais os conhecimentos podem ser considerados como mobilizáveis ou
disponíveis pelos estudantes quando ingressam no Ensino Superior.
- Analisar em que sistema de tarefas e práticas se inserem esses
conhecimentos.
- Analisar as exigências institucionais para o ensino e a aprendizagem da
noção de função exponencial, tanto no Ensino Médio como no Ensino Superior, via
documentos oficiais.
- Analisar as propostas existentes para desenvolver a noção de função
exponencial tanto no Ensino Médio como no Ensino Superior, via livros didáticos
analisados e indicados para esses níveis.
47
- Analisar, por meio das avaliações institucionais, quais relações pessoais se
supõem que os estudantes deva desenvolver no decorrer do Ensino Médio e do
Ensino Superior para o objeto matemático função exponencial.
- Estabelecer um conjunto de tarefas que possam ser utilizadas no Ensino
Médio de forma que essas sirvam de referência para o desenvolvimento da noção
de função exponencial e que possam servir ainda como base para a identificação de
conhecimentos prévios que os estudantes são capazes de mobilizar ao iniciar o
Ensino Superior.
Centralizamos, assim, o estudo da função exponencial, inicialmente, no
Ensino Médio, para:

Compreender sobre quais conhecimentos relativos à noção de função
exponencial é possível construir as bases para introdução das noções Cálculo
Diferencial e Integral.

Mostrar a importância de um trabalho que permita, por meio de certo número
de tarefas usuais, considerar os conhecimentos prévios dos estudantes.
Consideramos como conhecimentos prévios dos estudantes em relação à noção de
função exponencial:
- Definir e calcular potência de expoente inteiro e de expoente racional;
- aplicar as propriedades de potência;
- representar um número sob a notação científica;
- calcular as raízes exatas, por meio da definição e das propriedades de radicais;
- operar com radicais, simplificando-os quando possível;
- aproximar potências com expoente irracional;
- definir função exponencial, construir seu gráfico e classificá-la como crescente ou
decrescente;
- aplicar o conceito de função exponencial na resolução de problemas;
- aplicar as propriedades de função exponencial na resolução de equações e
inequações exponenciais;
- resolver problemas por meio de equações e inequações exponenciais.
Para desenvolver este trabalho, consideramos a metodologia descrita na sequência.
48
3.4 METODOLOGIA DA PESQUISA
A fim de alcançar os objetivos descritos anteriormente, realizamos uma
pesquisa documental com análise de conteúdo sobre a transição Ensino Médio e
Superior. Destacamos trabalhos que considerem a noção de função e, mais
especialmente, o conceito de função exponencial.
Assim, desenvolvemos uma análise das propostas institucionais para o ensino
e a aprendizagem da noção de função exponencial no Ensino Médio via documentos
oficiais do Estado de São Paulo. Quanto à análise das propostas institucionais para
o Ensino Superior, baseamo-nos em planos de ensino para universidades públicas e
privadas do Estado de São Paulo. Além disso, elaboramos uma sondagem sobre as
práticas “Questionário de informações sobre as práticas institucionais associadas à
noção de função exponencial no Ensino Médio e Ensino Superior” (ANEXO A). A
amostra final é de vinte questionários de professores do Ensino Médio e Ensino
Superior, embora este material tenha sido distribuído para um conjunto de cento e
cinquenta professores.
Efetuamos um levantamento dos tipos de tarefas usuais trabalhadas tanto no
Ensino Médio como no Ensino Superior, quando se considera a noção de função
exponencial. Para organizar esse processo, construímos uma grade de análise,
conforme modelo utilizado por Dias (1998) em sua tese sobre a articulação de ponto
de vista cartesiano e paramétrico no ensino de Álgebra Linear. As tarefas foram
identificadas nos diferentes materiais didáticos destinados aos dois segmentos
escolhidos para realizar a pesquisa: o Ensino Médio e o Ensino Superior.
Por se tratar de uma pesquisa cuja essência é documental com análise de
conteúdo, escolhemos analisar as relações institucionais existentes por meio de
livros didáticos indicados nos documentos oficiais e planos de ensino das
universidades às quais tivemos acesso, bem como investigar as relações pessoais
esperadas dos estudantes por meio de macroavaliações aplicadas ao final do
Ensino Médio. Estão são as seguintes: as provas dos 3 últimos anos do Exame
Nacional do Ensino Médio – ENEM; as provas dos 10 últimos anos do vestibular da
UNICAMP e as 3 provas da macroavaliação Exame Nacional de Desempenho de
Estudantes – ENADE, aplicada para os estudantes do primeiro e último ano do
Ensino Superior.
49
Para a análise das relações institucionais esperadas, elegemos um total de
quatro livros didáticos. Assim, o material analisado é composto de dois livros
indicados pelo Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio – PNLEM,
um livro destinado aos professores do Ensino Médio e um livro didático que tem sido
indicado na bibliografia básica da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral para a
maioria dos cursos do Ensino Superior cuja grade contempla essa disciplina.
As obras escolhidas para análise são:
Ensino Médio
- Matemática Contexto e Aplicações, de Luiz Roberto Dante (2010).
- Matemática - Ensino Médio, de Kátia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz (2010).
- A Matemática do Ensino Médio, de Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho,
Eduardo Wagner e Augusto César Morgado (2006).
Ensino Superior
- Cálculo, Volume 1, de James Stewart (2011).
Algumas condições foram determinantes na escolha dos livros, a saber:
Analisamos o material descrito acima por meio da grade de análise construída
com esse propósito e fundamentada no quadro teórico que será apresentado no
capítulo que segue.
Os documentos oficiais analisados correspondem àqueles que foram
publicados a partir do decreto de 1996 (Lei de Diretrizes e Bases 9394/96) que
estabeleceu as diretrizes e bases para a Educação Nacional que foi complementada
em 2001 por meio do Plano Nacional da Educação (Lei 10172, BRASIL, 2001). Este
delineou os objetivos e as prioridades da educação no Brasil e considerou a
necessidade da avaliação nacional desse plano cujo objetivo é levar em conta a
redução das desigualdades sociais e regionais e a democratização da gestão do
ensino público. Para tanto, foram implementados os Parâmetros Curriculares
Nacionais.
Assim, a escolha dos documentos oficiais foi realizada em função das novas
orientações que foram sendo desenvolvidas com a intenção de atingir o objetivo
indicado na avaliação nacional. Observamos aqui que os Parâmetros Curriculares
Nacionais (BRASIL, 1997, 2000, 2002, 2002a, 2006) e os livros didáticos, indicados
pelo Programa Nacional do Livro Didático – PNLD, correspondem aos documentos
indicados pelo Ministério da Educação. Tais documentos salientam a necessidade
50
de preparar os estudantes para que tenham oportunidades iguais tanto na
continuidade de seus estudos quanto nos seus desenvolvimentos profissionais.
Após as análises dos documentos oficiais e dos livros didáticos elegidos
considerando a noção de função exponencial, buscamos compreender quais as
relações pessoais esperadas dos estudantes que terminam o Ensino Médio e
iniciam e terminam o Ensino Superior. Dessa forma, para o estudo das exigências
institucionais para o ensino e a aprendizagem da noção função exponencial, tanto
no Ensino Médio como no Ensino Superior, escolhemos analisar que conhecimentos
são considerados como disponíveis por meio de duas macroavaliações do final do
Ensino Médio e uma macroavaliação do início e fim do Ensino Superior.
As macroavaliações institucionais escolhidas como representantes das
relações pessoais esperadas ao final do Ensino Médio foram: o Exame Nacional do
Ensino Médio – ENEM, que avalia as condições do Ensino Médio e atualmente
serve como meio para acesso a diversas universidades públicas e é fundamental
para obter bolsas de estudo nas universidades privadas do país; o Vestibular da
Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP, pois a avaliação para acesso à
universidade de Campinas apresenta no site da Comissão Permanente para os
Vestibulares - COMVEST as respostas esperadas, isto é, a relação pessoal
esperada e exemplos de respostas que correspondem a resultados acima da média
e abaixo da média, dando, assim, uma noção do funcionamento dos estudantes que
participaram dessa prova e que correspondem a um extrato da população que
terminou o Ensino Médio e pretende continuar seus estudos.
Para o Ensino Superior, optamos analisar as provas para o curso de
Licenciatura em Matemática do Exame Nacional de Desempenho de Estudantes–
ENADE cujo objetivo é avaliar os cursos oferecidos pelas instituições de Ensino
Superior, podendo, dessa maneira, nos auxiliar a compreender qual a relação
pessoal esperada dos professores de matemática e se essas estão em
conformidade com as relações pessoais esperadas dos estudantes que terminam o
Ensino Médio. Observamos que são alguns desses professores que irão trabalhar
com os estudantes do Ensino Médio, portanto, eles devem estar preparados para
desenvolver as relações institucionais esperadas e existentes com seus estudantes.
Isso nos conduziu a cruzar as relações institucionais esperadas e existentes
assim como as relações pessoais esperadas dos estudantes para verificar se as
mesmas estão em conformidade e qual o nível de conhecimento esperado dos
51
estudantes para o seu desenvolvimento, isto é, quais os conhecimentos prévios
exigidos dos estudantes para que se possam desenvolver as diferentes propostas
analisadas.
Finalmente, consideramos a sondagem sobre as práticas “Questionário de
informações sobre as práticas institucionais associadas à noção de função
exponencial no Ensino Médio e Ensino Superior” e cruzamos os resultados
encontrados com as expectativas institucionais tanto para o desenvolvimento do
processo de estudo e ajuda ao estudo quanto para as exigências encontradas nas
macroavaliações escolhidas, pois esses documentos nos dão uma visão mais ampla
das possibilidades de trabalho com os conhecimentos matemáticos desenvolvidos
no Ensino Médio e mesmo no Ensino Superior.
No capítulo que segue, apresentaremos uma breve descrição do referencial
teórico utilizado na presente pesquisa.
52
4 REFERENCIAL TEÓRICO DA PESQUISA
4.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Neste capítulo, desenvolveremos o referencial teórico da pesquisa, que está
centrada na abordagem sobre a Teoria Antropológica do Didático – TAD. Para tanto,
consideramos as noções de relações institucionais e pessoais, praxeologia,
ostensivos e não ostensivos e os níveis de co-determinação, conforme definição de
Chevallard (1992, 1994, 1998, 2002, 2002a, 2007, 2007a) e Bosch e Chevallard
(1999), os três níveis de conhecimento esperados dos estudantes, segundo
definição de Robert (1997, 1998), bem como a noção de quadro e mudança de
quadros de Douady (1984, 1992).
Observamos que a Teoria Antropológica do Didático possibilita a identificação
das praxeologias existentes nas propostas institucionais assim como as expectativas
institucionais e dos professores dos Ensinos Médio e Superior sobre os
conhecimentos prévios dos estudantes relativos à noção de função exponencial na
transição entre essas duas etapas escolares. A abordagem em termos de níveis de
conhecimento esperados dos estudantes permite estudar a articulação entre as
diferentes formas de conhecimento associadas a essa noção assim como as
variações em termos de exigências institucionais na transição entre as etapas
escolares em foco.
A noção de quadro e mudança de quadros auxilia na assimilação dos
possíveis domínios intramatemáticos e extramatemáticos que podem ser articulados
na transição Ensino Médio e Ensino Superior. Além disso, tais definições evidenciam
aqueles conceitos com os quais os estudantes tiveram um contato, o que ultrapassa
a simples caracterização não ostensiva dos conteúdos a eles associados, isto é,
trata-se de domínios para os quais os conhecimentos associados foram evocados e
manipulados por meio de diferentes representações associadas ao conceito em jogo
nas tarefas propostas aos estudantes.
Sendo assim, considerando que a pesquisa está centrada na TAD, na
abordagem teórica sobre os três níveis de conhecimento esperados dos estudantes
e na noção de quadro e mudança de quadros, apresentaremos, primeiramente, uma
53
breve descrição da teoria e das abordagens teóricas que escolhemos como
elementos chave para nosso estudo.
Iniciamos, então, considerando a articulação entre as diferentes formas de
conhecimento quando se estuda a noção de função exponencial na transição entre
os Ensinos Médio e Ensino Superior. Para tanto, distinguimos diferentes quadros,
conforme definição de Douady (1984, 1992), que possibilitam o tratamento flexível
dos conhecimentos matemáticos e das outras ciências em que a matemática serve
como ferramenta explícita do trabalho a ser realizado.
Colocamos assim em evidência, por meio da abordagem escolhida, as
diferentes necessidades de articulação quando se deseja uma formação que leve
em conta a capacidade de um trabalho flexível no desenvolvimento de uma
determinada tarefa em ciências ou matemática, em particular, quando se
consideram os estudantes que iniciam o Ensino Superior. Isto porque, espera-se
destes discentes que, ao término do terceiro grau, sejam capazes de desenvolver
com autonomia as diferentes tarefas que lhes são propostas e que exigem a
aplicação de uma noção matemática, no caso, a noção de função exponencial.
Cabe-nos destacar que essa autonomia está associada à flexibilidade
cognitiva que, em matemática, está relacionada à capacidade de trabalhar em
diversos quadros em que é necessário manipular diferentes ostensivos e evocar os
não ostensivos que lhe são associados, podendo mudar de quadro quando
necessário, sem que para isso seja feito algum apelo explícito. Em outras palavras,
significa saber utilizar os ostensivos de representação mais adequados e evocar os
não ostensivos associados para a resolução de uma tarefa, sabendo planejar,
analisar, desenvolver, justificar e controlar o trabalho matemático desenvolvido
nessa mesma tarefa seja escolar ou profissional.
Certamente, para alcançar essa autonomia de trabalho articulando diferentes
quadros, o nível de conhecimento esperado dos estudantes é o disponível, pois lhes
cabe identificar os conhecimentos matemáticos em jogo numa determinada tarefa.
Então, para tornar mais clara a importância da teoria e das abordagens teóricas
escolhidas para o desenvolvimento de um sujeito capaz de trabalhar de forma
flexível, quando lhe é proposta uma tarefa na qual a noção de função exponencial
deve ser utilizada, daremos exemplos que associam essa noção matemática com as
escolhas teóricas acima enunciadas.
54
Dessa maneira, iniciaremos com a exposição da abordagem teórica em
termos de quadros, ressaltando sua importância na formação para a autonomia em
relação à utilização da noção de função exponencial nas tarefas que podem ser
propostas no início do Ensino Superior, considerando os conhecimentos prévios
adquiridos no Ensino Médio, conforme se pode verificar na sequência deste capítulo.
4.2 ARTICULAÇÃO DE QUADROS EM FUNÇÃO DAS TÉCNICAS UTILIZADAS
Na sequência, apresentaremos um breve estudo da relação entre a
abordagem teórica em torno da noção de quadro em função das abordagens
utilizadas para o desenvolvimento de um tipo de tarefa, mostrando sua importância
no desenvolvimento de atividades matemáticas associadas à noção de função
exponencial. Isto sempre com o objetivo de formar indivíduos que possam dispor
dos conceitos associados a esta noção de forma a aplicá-los quando necessário,
não ficando presos a determinados quadros e sabendo escolher a técnica mais
adequada quando houver necessidade.
4.2.1 A noção de quadro
No decorrer deste texto, apresentaremos uma breve descrição das noções de
quadro e mudança de quadros, conforme definição de Douady (1984,1992) que
introduz essas noções em sua tese, em 1984, em uma perspectiva de teorização
didática, baseada sobre uma análise epistemológica sobre o trabalho do matemático
profissional. Isso conduz a autora a colocar em evidência a dualidade dos conceitos
matemáticos, os quais, em geral, funcionam como ferramentas implícitas e em
seguida explícitas da atividade matemática antes de adquirirem o status de objeto e
de serem trabalhados como tal; o papel desempenhado pelas mudanças de quadros
nas atividades e na produção matemática.
Douady (1984, 1992) descreve a noção ferramenta implícita como aquela que
corresponde a um conceito em elaboração, podendo durar vários anos. Como
55
exemplo, podemos considerar a noção de potenciação e suas propriedades, a qual é
desenvolvida desde o sexto ano do ensino fundamental uma vez que se consideram
os conjuntos numéricos em que essa operação é definida.
Douady (1984, 1992) descreve ferramenta explícita como aquela que
corresponde a um conceito ou a uma noção que é utilizada intencionalmente para
resolver um problema. Consideramos como exemplo para a nossa pesquisa a
utilização da noção de potência e suas propriedades para resolver problemas de
juros compostos, em que, muitas vezes, utiliza-se a fórmula sem associá-la à noção
de função exponencial. Nesse caso, é a operação de potenciação e suas
propriedades que é usada como ferramenta explícita do trabalho em jogo.
Finalmente, Douady (1984, 1992) define objeto como componente cultural
que ocupa um lugar bem determinado no complexo edifício do saber matemático,
sendo reconhecido socialmente. Para Douady, o objeto é matematicamente definido
não dependendo de seu uso, o que permite assim a capitalização do saber não
importando qual a utilização que dele se faça. Dessa forma, ele possibilita a
extensão do corpo de conhecimentos, o reinvestimento em novos contextos que
podem ser distintos do original. Como exemplo de objeto associado à operação de
potenciação e suas propriedades, podemos considerá-la como objeto no momento
em que, ao definir função exponencial, utilizamos a operação de potenciação e suas
propriedades como elemento que permite mostrar a existência da função
considerada.
4.2.2 A noção de quadro e mudança de quadros em função da técnica utilizada
Para melhor ilustrar as noções de ferramenta implícita e explícita e de objeto
definidas por Douady, escolhemos os exemplos que seguem relacionados à noção
de função exponencial desenvolvidos no Ensino Médio e revisitados no Ensino
Superior. Assim, mostramos um exemplo do vestibular da FUVEST – 2011, primeira
fase, em que duas instituições diferentes, conforme Anexo C, propõem respostas
nas quais a noção de função exponencial é trabalhada apenas no quadro algébrico,
mas exige uma variedade de representações para encontrar a resposta correta.
56
Seja f(x) = a+2bx+c, em que a, b e c são números reais. A imagem de f é a semireta ]–1,
o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos (1, 0) e (0,
[
e
). Então o produto
a.b.c vale:
a) 4
b) 2
c) 0
d) –2
e) –4
Figura 2 - Exemplo Vestibular FUVEST 2011.
Fonte: FUVEST – 1ª fase (2011).
Para solucionar a questão, pode-se determinar que a = –1, observando que
imagem de f é a semireta ]–1,
 [,
isto é, que a reta y = –1 é a assíntota horizontal da
função dada, para tanto, é necessário dispor de conhecimentos do quadro analítico.
Uma vez determinado o valor de a, utiliza-se o quadro algébrico e, após identificar
que f(1) = 0 e f(0) =
, constrói-se um sistema de duas equações exponenciais e
determina-se os valores de b e c. Nesse caso, as noções de intervalo e sua
representação geométrica, assíntota horizontal e sistema de equações exponenciais
são ferramentas explícitas para solucionar a questão em que a ferramenta implícita
função exponencial é dada explicitamente.
Outra técnica para a solução da questão apresentada é representar
graficamente os pontos dados, o conjunto imagem e a assíntota horizontal y= –1, o
que permite determinar o valor de a, visualizando o deslocamento da função em
relação ao
eixo y. Na sequência, utiliza-se a mesma técnica da solução enunciada
acima.
Com base nesse exemplo, quando o professor define a função exponencial e
suas representações, ao discutir a variação da função com a de seus coeficientes,
por meio das representações fórmula e gráfica, ele deve ficar atento para mostrar
como o objeto matemático função exponencial varia e qual sua relação com outras
noções associadas à noção de função, como é o caso do conjunto imagem e sua
representação enquanto um intervalo cuja representação geométrica é a semireta
]–1,
[
imaginada sobre o eixo das ordenadas.
O objeto matemático, tal como definido por Douady (1984, 1992), é parte de
um edifício mais amplo que é o saber matemático, constituindo assim o que ela
denomina quadro, que corresponde a um ramo da matemática, das relações entre
os objetos, de suas formulações eventualmente diversas e das imagens mentais que
lhes são associadas. As imagens mentais são essenciais, pois funcionam como
57
ferramentas dos objetos do quadro. Dois quadros podem conter os mesmos objetos,
mas diferem pelas imagens mentais e problemáticas desenvolvidas.
No exemplo mostrado, observamos que a primeira técnica é desenvolvida
diretamente quando se dispõe de conhecimentos do quadro analítico, mas a
segunda técnica, além de não exigir conhecimentos relacionados a esse quadro,
permite uma melhor visualização da variação da função em relação a todos os seus
coeficientes. Nesse caso, a utilização da representação gráfica pode servir de
facilitador para a criação das imagens mentais necessárias para melhor
compreender a tarefa proposta.
Para a noção de função exponencial, quando esse conteúdo é trabalhado no
Ensino Médio, observa-se que, em geral, ele é desenvolvido em pelo menos dois
quadros: o quadro da álgebra e o quadro da análise matemática. O primeiro deles é
utilizado quando a função exponencial é definida por um conjunto formado por pares
ordenados e, normalmente, não se utiliza a representação da função por meio de um
conjunto de pontos representados entre parênteses, sendo mais comum representálos por uma tabela, o que facilita a sua representação gráfica em um sistema
cartesiano ortogonal. Já o segundo, ou seja, o quadro da análise matemática a é
utilizado quando a função é definida por uma fórmula.
Douady define as mudanças de quadros, ressaltando que são atividades
constantes no trabalho diário dos matemáticos. Segundo Douady (1992), mudar de
quadro é um meio para se obter formulações diferentes de um problema, que podem
ou não ser equivalentes, mas que possibilitam um novo acesso às dificuldades
encontradas e permitem utilizar novas ferramentas e técnicas que não eram
adequadas para a formulação inicial. As traduções de um quadro em outro terminam
sempre em resultados desconhecidos, em novas técnicas, permitindo, assim, a
criação de novos objetos matemáticos, enriquecendo tanto o quadro original como
os quadros auxiliares de trabalho.
Considerando o exemplo FUVEST (2011), primeira fase, observamos que, na
primeira técnica para determinar o valor de a, usamos apenas conhecimentos
associados ao quadro analítico, enquanto que, para a segunda, apesar da tarefa ter
sido enunciada no quadro analítico, recorremos ao quadro algébrico por meio da
representação gráfica do conjunto imagem da função e de dois de seus pontos.
Visualizamos sua forma e pudemos, então, determinar o valor de a por meio da
58
aproximação da reta y = – 1, sem utilizar a noção de assíntota horizontal, que
poderá ser introduzida a partir da interpretação do gráfico encontrado.
Esse tipo de processo conduz Douady a transpor as características do
trabalho dos matemáticos para o domínio da didática, na qual as mudanças de
quadro serão denominadas jogos de quadros.
A autora enfatiza a questão da
dialética entre as noções de ferramenta e objeto definidas acima.
Os jogos de quadros, organizados pelos professores, são transposições
didáticas das mudanças de domínios e são vistos na teoria de Douady como meios
privilegiados para suscitar desequilíbrios cognitivos e permitir a ultrapassagem
desses desequilíbrios em um novo equilíbrio de nível superior.
O exemplo FUVEST (2011) – primeira fase pode ser utilizado pelos
professores para constituir um jogo de quadros e a noção de assíntota horizontal,
que funciona como ferramenta para a determinação de a. Esta poderá ser
introduzida no Ensino Superior
e permitirá revisitar noções, conceitos e ideias
desenvolvidas no Ensino Médio que podem servir de suporte para o tratamento de
uma determinada noção enquanto objeto matemático.
Assim, a noção de quadro é centrada no fato de que uma mesma noção pode
funcionar em diferentes ambientes conceituais e técnicos e que ela pode apresentar
características específicas para cada um desses ambientes, sendo as diferenças
existentes um dos motores e das ferramentas da criação matemática.
No caso da noção de função exponencial, a sua introdução, geralmente é
feita via exemplos numéricos contextualizados por meio de dobraduras de um
retângulo, da meia vida de substâncias radioativas, pelo desenvolvimento de uma
cultura de bactérias ou pela determinação de juros compostos. Esses exemplos
servem como motivadores para a introdução da noção de função exponencial que é
generalizada de duas maneiras, primeiro, após uma revisão sobre potenciação e
suas propriedades sobre os diferentes conjuntos numéricos, é considerada a
condição de existência da função exponencial, isto é, dado um número real a
(a > 0 e a ≠ 1), denomina-se função exponencial de base a uma função f de IR em
IR
*

definida por f(x) = ax ou y = ax ou defini-se a função exponencial como a
função f, de IR em IR, que a cada número x associa o número a x, com a > 0 e a ≠ 1,
é denominada função exponencial de base a f: IR → IR, x ├→ a x, com a > 0 e a ≠ 1
59
e na sequência faz-se uma revisão da potenciação para os conjuntos numéricos N,
Z, Q e IR.
Essa descrição da noção de função exponencial ou a consideração da
condição de existência permite estudar as propriedades dessa função e suas
diferentes representações, assim como seus casos particulares. Dessa forma, tornase possível fazer as articulações com outros quadros, sejam eles intramatemáticos
como a geometria ou a matemática financeira ou extramatemáticos como a física, as
ciências sociais, a economia, etc.
No exemplo demonstrado, podemos verificar como funciona o processo
denominado por Douady de dialética ferramenta-objeto. Trata-se de um processo
cíclico que organiza as funções do professor e dos alunos e para o qual os conceitos
matemáticos podem desempenhar o papel de ferramenta para resolver um
problema, como é o caso da função exponencial quando utilizada, por exemplo, para
resolver problemas de geometria, matemática financeira, progressões geométricas
ou aplicada em física, biologia ou em outro quadro, ou de objeto, quando definimos a
função
exponencial.
Assim,
podemos
considerar
suas
propriedades
e
representações, permitindo a construção de um saber organizado.
Na dialética ferramenta-objeto, em determinado momento, certo conceito
matemático é objeto de estudo e, em outro, ele é utilizado como ferramenta explícita
na construção de um novo conceito. Por exemplo, se o objeto função exponencial é
conhecido dos estudantes, ele poderá ser utilizado como ferramenta explícita na
introdução da noção de progressão geométrica ou de juros compostos.
Outro exemplo é o caso da função exponencial enquanto objeto matemático
de estudo, em geral, no quadro algébrico por meio de suas representações e da
variação de seus coeficientes no Ensino Médio. No entanto, ela terá “status” de
ferramenta explícita em Física quando se estuda a desintegração de uma substância
radioativa.
É importante observar que, para Douady (1992), o objeto e sua representação
se confundem, mas é preciso reconhecer que diferentes representações apontam
para um mesmo objeto e, apenas ao se articular essas diferentes representações, é
que se pode obter uma melhor concepção do objeto em questão. O exemplo
FUVEST (2011) – primeira fase coloca em evidência a importância das
representações
exponenciais.
no
desenvolvimento
das
situações
envolvendo
funções
60
Mesmo levando em conta a questão das diferentes representações de um
mesmo objeto matemático, as noções de ostensivos e não ostensivos introduzidas
por Chevallard (1994) e Bosch e Chevallard (1999) possibilitam compreender a
importância das diferentes representações externas para a manipulação das
representações internas que serão evocadas durante o desenvolvimento das
técnicas que permitem resolver um determinado tipo de tarefa.
Observamos, nesse sentido, que os ostensivos ou as representações
externas dependem da técnica escolhida ou desenvolvida. Estas estão associadas
aos possíveis níveis de conceituação conforme definição de Robert (1997), isto é,
uma determinada fase em um campo de conhecimentos matemáticos (campo
conceitual) correspondendo a uma organização coerente de uma parte do campo,
caracterizada por objetos matemáticos apresentados de certa maneira, dos
teoremas sobre esses objetos, dos métodos associados a esses teoremas e dos
problemas que os estudantes podem resolver com os teoremas do nível considerado
e utilizando os métodos propostos para serem trabalhados em uma determinada
etapa escolar.
Antes de definir e considerar alguns exemplos sobre as noções de ostensivos
e não ostensivos, faremos uma breve introdução da Teoria Antropológica do
Didático – TAD, considerando as noções de praxeologia e relações institucionais e
pessoais que são utilizadas para a análise das relações institucionais esperadas via
documentos oficiais, das relações institucionais existentes via livros didáticos e das
relações pessoais esperadas dos estudantes via macroavaliações.
4.3 A TEORIA ANTROPOLÓGICA DO DIDÁTICO – TAD
Chevallard (1998) inicia seu artigo, explicitando que a Teoria Antropológica do
Didático – TAD situa a atividade matemática, consequentemente, o estudo da
matemática, no conjunto das atividades humanas e das instituições sociais. Isto,
segundo o autor, conduz a várias direções e mesmo a ignorar algumas delas.
Ainda conforme Chevallard (1998), falar de legitimidade da didática da
matemática exige que se considerem objetos distintos. Em primeiro lugar, a
matemática e, na sequência, os estudantes, os professores, os livros didáticos, etc.,
61
isto é, todos os objetos necessários para tratar das questões a ela associadas.
Assim, segundo Chevallard (1998), a premissa básica da TAD aceita que toda
atividade regular humana pode ser entendida por meio de um modelo único
denominado praxeologia.
O autor define o conceito de praxeologia por meio das noções de tarefa, t, e
de tipo de tarefas, T. Quando uma tarefa t está relacionada com um tipo de tarefa T,
escrevemos: t
 T. Salientando que, na maioria dos casos, uma tarefa (bem como o
tipo de tarefa relacionada) é expressa por um verbo, o autor considera os seguintes
exemplos: varrer o cômodo, desenvolver uma expressão literal dada, dividir um
inteiro por outro, cumprimentar um vizinho, ler um manual de instruções, subir
escadas, integrar a função x → xlnx entre x = 1 e x = 2, etc.
Além disso, Chevallard (1998), por meio de exemplos cotidianos e
matemáticos, explicita a noção de tipo de tarefa, isto é, para considerar um tipo de
tarefa, é preciso que se tenha um objeto relativamente preciso. Como exemplo o
autor indica: subir escadas é um tipo de tarefa, mas subir simplesmente não é. Do
mesmo modo, calcular o valor de uma função em um ponto é um tipo de tarefa, mas
calcular somente é o que o autor denomina gênero de tarefa, que demanda uma
determinação.
Segundo Chevallard (1998), um gênero de tarefas é apresentado sob a forma
de diferentes tipos de tarefas, incluindo o conteúdo intimamente relacionado.
Calcular... é um gênero de tarefas, calcular o valor (exato) de uma expressão
numérica contendo um radical é um tipo de tarefa, bem como calcular o valor
numérico de uma expressão que contém a letra x quando o valor de x é dado.
Durante os anos de faculdade, o gênero Calcular... é enriquecido com novos tipos
de tarefas; será o mesmo da época da escola, em que os estudantes irão primeiro
aprender a calcular com vetores, e depois, mais tarde, a calcular uma integral ou
uma primitiva e assim por diante. O mesmo ocorre, naturalmente, para os gêneros
Demonstrar ..., Construir..., ou Expressar ... em função de ...
Finalmente, o autor conclui que as tarefas, os tipos de tarefas e os gêneros de
tarefas não são dados pela natureza: eles são os "artefatos", as "obras", as
construções institucionais, cuja reconstrução em tal instituição, por exemplo, em uma
classe, é um problema em si, sendo assim objeto de estudo da didática. Após definir
tarefa, tipo de tarefa e gênero de tarefas, Chevallard (1998) observa que tratará
62
primeiro a estática das praxeologias, ignorando sua dinâmica e, em particular, sua
gênese.
Para tal fim, considera que uma praxeologia relativa a um tipo de tarefa T.
precisa, em princípio, de uma maneira de fazer, de realizar as tarefas de tipo T, logo,
t
T
. Essa maneira de fazer é indicada por

e denominada técnica (do grego
tekhnê, saber-fazer). Assim, uma praxeologia relativa ao tipo de tarefa T contém
uma técnica
técnico [T,

relativa à T. Logo, a praxeologia é composta de um bloco prático-
 ], que o autor identifica como um saber-fazer. Dessa forma, saber fazer
certo tipo de tarefa T é dispor de certa maneira

O autor observa ainda que, se uma técnica
para realizar as tarefas desse tipo.

corresponde a uma maneira de
fazer, ela só pode ser bem sucedida para uma parte ( ) de tarefas do tipo T às
quais ela está relacionada, parte que ele denomina de âmbito de aplicação da
técnica. Portanto, a técnica pode falhar para o complementar T\ ( ) , isto é,não
sabemos executar todas as tarefas de tipo T. Como exemplos, o autor considera
que qualquer técnica de cálculo para os números naturais falha a partir de certa
magnitude desses números e o fato que não sabemos, em geral, fatorar um inteiro
dado, principalmente quando essa fatoração depende de certas técnicas
criptográficas. Isso o conduz a ressaltar que, muitas vezes, em matemática
esquecemos que uma mesma técnica não permite executar todas as tarefas do
mesmo tipo.
Além disso, Chevallard (1998) observa que uma técnica pode ser superior a
outra, mesmo sobre o tipo de tarefa T como um todo, pelo menos para uma
determinada parte de T.
Nesse momento, antes de tratar da natureza das técnicas, nos parece
interessante apresentar um exemplo de técnica associada a um tipo de tarefa. Para
tanto, utilizamos a tarefa FUVEST– primeira fase (2011).
Considerado o tipo de tarefa dado nesse exemplo que corresponde a
identificar a translação da função em relação ao eixo das ordenadas, calcular o valor
numérico dos pontos dados e resolver um sistema de equações exponenciais.
Mesmo se tratando do tipo de tarefa: Determinar o valor dos coeficientes de uma
função exponencial dada por meio de sua representação algébrica. Se trabalhamos
apenas com funções do tipo f(x) = abx, com a= 2, , 3 e , não dispomos das técnicas
63
necessárias para calcular o valor numérico dos coeficientes da função dada, mesmo
se as técnicas de cálculo do valor numérico da função e método de solução de
sistemas de equações exponenciais são conhecidas. No caso, observamos que a
representação do conjunto imagem por meio de um intervalo aberto, em geral, não é
tratada no Ensino Médio assim como a translação da função em relação ao eixo das
ordenadas.
Nesse sentido, cabe considerar a ressalva feita por Chevallard (1998) de que
nem toda técnica tem natureza algorítmica ou quase algorítmica, mas, em
matemática, existe uma tendência para a algoritmização, embora dependa do tipo
de tarefa normalmente mais complexa.
O exemplo escolhido para ilustrar o nosso referencial teórico mostra que, na
tarefa da FUVEST– primeira fase (2011), a técnica não depende apenas dos
algoritmos geralmente desenvolvidos no Ensino Médio, mas é preciso analisar o
conjunto imagem seja esboçando o gráfico da função seja apenas considerando a
translação da função em relação ao eixo das ordenadas. Para tal, basta interpretar o
conjunto imagem, que é dado por meio de uma representação em intervalos.
Portanto, não existe uma técnica algorítmica para desenvolver essa parte da tarefa.
Observamos ainda que a tarefa possa ser considerada mais complexa justamente
por essa necessidade de interpretar as representações da função sem que para isso
seja necessário desenvolver cálculos algorítmicos.
Chevallard (1998) enfatiza ainda que, em uma dada instituição, para um
determinado tipo de tarefa T, é desenvolvida apenas uma técnica ou um número
reduzido das mesmas, excluindo algumas alternativas possíveis, mas que podem
existir em outras instituições. Segundo o autor, essa exclusão está associada aos
atores da instituição e os conduz a uma verdadeira paixão institucional pelas
técnicas naturalizadas na instituição.
Após definir técnica como uma maneira de fazer e dar exemplos que mostram
que as diferentes técnicas não são algoritmos e dependem dos atores das
instituições, Chevallard (1998) introduz a noção de tecnologia, denotada por
corresponde a um discurso racional (logos) sobre a técnica (tekhnê -


que
). Segundo o
autor, esse discurso é focado inicialmente na justificativa racional da técnica

de
forma a garantir que a mesma permita que muitos sejam capazes de realizar as
64
tarefas de tipo T. Essa definição de tecnologia leva o autor a esclarecer que o estilo
da racionalidade varia segundo a instituição.
Chevallard admite como fato da observação que em uma instituição I, seja
qual for o tipo de tarefas T, a técnica

relativa a T está sempre acompanhada de
pelo menos um embrião ou, mais frequentemente, de um vestígio de tecnologia

.
Em muitos casos, até mesmo certos elementos tecnológicos são integrados à
técnica.
Como exemplo, o autor considera a aritmética elementar, em que o mesmo
discurso tem uma dupla função, técnica e tecnológica, na medida em que permite
tanto encontrar o resultado exigido (função da técnica) como justificar que este é o
resultado esperado (função da tecnológica), como quando alguém diz: “Se 8 pirulitos
custam 10 Francos, 24 pirulitos, são 3 vezes 8 pirulitos, custarão 3 vezes mais, logo,
3 vezes 10 Francos”. Assim, o fato de existir uma técnica canônica, em princípio
somente
reconhecida
e
aplicada,
confere
a
esta
técnica
uma
virtude
"autotecnológica": fazer assim, não exige uma justificativa, uma vez que esta é a
maneira correta de fazer em I.
O autor destaca ainda que uma segunda função da tecnologia é de explicar,
tornar inteligível, esclarecer a técnica. Assim, se a primeira função justificar
corresponde a fornecer o que é pretendido, a segunda consiste em explicar por que
isso ocorre. Segundo Chevallard (1998), essas duas funções são assumidas de
maneira desigual e, em matemática, a função justificar prevalece tradicionalmente
por meio da exigência da demonstração, sobre a função explicar. As tecnologias têm
ainda uma terceira função que é produzir técnicas.
Chevallard (1998) esclarece ainda que o discurso tecnológico contém
afirmações mais ou menos explícitas para as quais podemos perguntar o porquê
desse discurso. Isso conduz a um nível superior de justificativa-explicaçãoprodução, que Chevallard (1998) denota  e denomina teoria, que corresponde ao
discurso tecnológico ou à tecnologia da tecnologia.
Isso permite a Chevallard (1998) considerar que, em torno de um tipo de
tarefa T, está, em princípio, um trio constituído por uma técnica (pelo menos uma)

, uma tecnologia de

,  , e uma teoria de  ,  . O todo constitui uma
praxeologia pontual denotada [T/  /  /  ], isto é, uma praxeologia relativa a um
65
único tipo de tarefa T. Tal praxeologia ou organização praxeológica é constituída de
um bloco prático técnico [T/  ] e de um bloco tecnológico-teórico [  /  ]. O bloco
[  /  ] é, normalmente, identificado com um saber e o bloco [T/  ] com um saber
fazer. Segundo o estudioso, vulgarmente designamos uma praxeologia [T/  /  /  ]
inteira ou mesmo parte dela como sendo um saber, o que incentiva a redução do
saber fazer e, assim, a produção de divulgação de praxeologias, pois existem
tecnologias que esperam ser empregadas pela primeira vez e outras que não são
mais utilizadas.
Chevallard (1998) justifica a ênfase dada ao saber, explicitando que
raramente encontramos praxeologias pontuais. Geralmente, em uma instituição
dada I, uma teoria propicia várias tecnologias, cada uma das quais, por sua vez,
justifica e torna inteligível várias técnicas, correspondentes a todos os tipos de
tarefas. As organizações pontuais vão então se agregar, primeiramente em
organizações locais, centradas em uma determinada tecnologia, em seguida, em
organizações regionais, formadas no entorno de uma teoria.
As organizações globais são praxeologias complexas obtidas, em uma
instituição dada, para agregar as várias organizações regionais correspondentes às
várias teorias. Assim, a passagem de uma praxeologia pontual para uma
praxeologia local centra-se na tecnologia, da mesma maneira que a subsequente
praxeologia regional terá como primeiro plano a teoria. Dessa forma, em ambos os
casos, a visibilidade do bloco dos saberes aumenta em detrimento daquele do
saber-fazer. Tal desequilíbrio, sem dúvida, pode ser justificado porque, em muitos
casos, os tipos de tarefas T precedem o bloco teórico, que foi construído como meio
para justificar uma técnica relacionada a um tipo de tarefa, mas, estruturalmente, o
saber pode gerar uma técnica para um dado tipo de tarefa, o que pode conduzir à
apresentação do saber fazer, nos livros didáticos, como uma simples aplicação do
saber.
Como exemplos no ensino da matemática, Chevallard (1998) considera que
um tema de estudo é frequentemente identificado com uma determinada tecnologia,
por exemplo, teorema de Pitágoras, teorema de Tales, ou melhor, implicitamente,
com o bloco teórico ou do saber correspondente, pois essa tecnologia permite
produzir e justificar, por meio de aplicações, as técnicas relativas a vários tipos de
tarefas. Convém notar, entretanto, que outros temas de estudo, tais como fatoração
66
e resolução de equações, são expressos tradicionalmente em termos de tipos de
tarefas.
Chevallard (1998) ressalta que a noção de praxeologia como foi apresentada
mostra-se bastante genérica, exigindo que se aprofundem os estudos sobre as
mesmas. Isso pode ser efetuado por meio da investigação empírica e da análise de
dados observacionais recolhidos. Para tanto, é importante observar que, antes de
definir praxeologia, Chevallard (1992, 2007) introduz a noção de relação de uma
pessoa X a um objeto O, R(X, O), ou de uma instituição I a esse mesmo objeto,
RI(O).
Segundo Chevallard (1992), os objetos ocupam uma posição privilegiada,
pois são o “material e base” da construção teórica. Assim, para ele, tudo é objeto,
logo, as pessoas X e as instituições I são objetos de um tipo particular. Desse modo,
um objeto existe no momento em que uma pessoa X ou uma instituição I reconhece
esse objeto como existente. Assim, diremos que o objeto O existe se existe pelo
menos uma pessoa X ou uma instituição I que tem uma relação com este objeto.
Isso conduz o autor a considerar que conhecer um objeto O, no sentido da teoria
apresentada, é tanto para uma pessoa como para uma instituição ter uma relação
com O. A pessoa X (ou a instituição I) conhece O se existe R(X,O) (respectivamente,
RI(O)). Podemos dizer que um objeto existe se ele é conhecido por pelo menos uma
pessoa ou uma instituição, mas ele poderá existir apenas para esta pessoa ou para
esta instituição.
Chevallard (2007) explicita que a escolha de introduzir esses elementos na
teoria deve-se, por um lado, ao fato de subordinar sob uma única entidade toda a
cultura que, no seu frenesi “psicológico”, foi desenvolvida em torno da vida da mente
e, por outro lado, objetivar a infinidade heterogênea de posturas pessoais ou
institucionais que podem coexistir dentro de um espaço cognitivo culturalmente
compartilhado. Como exemplo, o autor cita a noção de logaritmo, a qual, em sua
opinião, nenhuma insitituição pode ”possuir”, mas existe a relação que ele,
pessoalmente, tem com essa noção, assim como aquela que ele deveria ter quando
ocupasse tal posição em determinada instituição. Essa relação não é a mesma para
o professor de matemática e física de uma determinada etapa escolar. A noção
assumida é aquela que evocamos quando, por exemplo, tal sujeito de determinada
instituição pergunta se conhecemos essa noção, ou seja, trata-se da noção que
supomos em conjunto, uma vez que fazemos parte de uma cultura comum.
67
Chevallard (2007) esclarece que a noção de relação permite formular
facilmente diversos problemas, pois ela fornece uma linguagem que possibilita
precisar certas descrições. Como exemplo, o autor apresenta a questão da
avaliação, ou seja, se consideramos que, em uma instituição, a relação de um
sujeito, em determinada posição, com um objeto para o qual existe uma relação
institucional não vazia, somos levados a supor que as pessoas que estão numa
determinada posição e se sujeitam a essa instituição devem ter certo conhecimento
desse objeto, ou seja, o descrito pela relação institucional. Quando esse
conhecimento é avaliado por um especialista da instituição, supõe-se que ele
apreciará o grau de conformidade da relação pessoal com a relação institucional
para o mesmo objeto.
A partir do exemplo acima, Chevallard (2007) enfatiza a relatividade dos
conteúdos e das formas de conhecimento que eles inspiram e alimentam. Assim, a
definição de relação a um objeto faz aparecer nessa relação tudo o que a pessoa é
conduzida a fazer com esse objeto, incluindo o que ela pensa ou mesmo sonha em
realizar. Isso conduz à noção de praxeologia que possibilita o estudo mais refinado
dessa relação. Assim, para observar o nascimento ou a evolução de uma relação a
um objeto, seja ela institucional ou pessoal, devemos observar o indivíduo ou a
instituição em atividades nas quais eles ativam esse objeto. Isso conduz
progressivamente às noções de tipo de tarefas, técnicas, tecnologias e teorias.
Para melhor explicitar a relação a um objeto por meio da noção de
praxeologia, Chevallard (2007) considera o exemplo de uma instituição na qual os
sujeitos em determinada posição tenham somente que resolver equações da forma
ln b
ax= b utilizando a seguinte técnica: Escrever a equação dada sob a forma x  ln a ,
em seguida, utilizar a calculadora para efetuar a operação indicada. Ao usar essa
técnica, podemos considerar que a relação com o objeto “logaritmo” corresponde
apenas à tecla da calculadora utilizada para resolver equações do tipo ax= b. Para o
autor, isso conduz à dinâmica cognitiva, estilizando o objeto em função do emprego
que dele fazemos.
O exemplo acima conduz Chevallard (2007) a considerar as noções de
ostensivos e não ostensivos que possibilitam explicitar, para o exemplo
demonstrado, o papel do objeto logaritmo em função dos ostensivos manipulados e
68
das regras de manipulação utilizadas que por sua vez existem por meio dos não
ostensivos que as sustentam.
Para melhor compreender essa relação entre as noções de ostensivos e não
ostensivos com as noções de relação a um objeto e praxeologia, definimos a seguir
ostensivos e não ostensivos e seu papel na Teoria Antropológica do Didático nos
referindo a Chevallard (1994) e Bosch e Chevallard (1999).
Após considerar que em toda atividade humana, somos chamados a realizar
diferentes tipos de tarefas e que para cada uma delas existe uma técnica,
Chevallard (1994) coloca as seguintes questões:
 Do que é feita uma técnica?
 De que ingredientes ela é composta?
 Em que consiste a “execução” de uma técnica?
Para responder a essas questões, Chevallard (1994) estabelece uma
distinção fundamental entre dois tipos de objetos: os objetos ostensivos e os objetos
não ostensivos.
Chevallard (1994) define ostensivos como sendo os objetos que têm para nós
uma forma material, sensível. Exemplos:
• Um objeto material (uma caneta, um compasso, etc.) é um ostensivo.
• Também são objetos ostensivos:
• Os gestos: ostensivos gestuais;
• As
palavras,
e,
mais
genericamente,
o
discurso :
ostensivos
discursivos;
• Os esquemas, desenhos, grafismos: ostensivos gráficos;
• As escritas e os formalismos: ostensivos escriturais.
A característica dos ostensivos é que eles podem ser manipulados. Essa
manipulação sendo considerada no sentido amplo, isto é, a manipulação no sentido
estrito (compasso, caneta, etc), mas também pela voz, olhar, etc. Ao contrário dos
objetos ostensivos, os objetos não ostensivos, que denominamos usualmente de
noções, conceitos, ideias, etc., não podem ser manipulados, eles só podem ser
evocados por meio da manipulação dos ostensivos associados.
Como exemplo dos objetos ostensivos e não ostensivos, Chevallard (1994)
utiliza a noção de logaritmo e, por meio da equação exponencial 2 x = 10, explicita
que, na sua solução, utilizamos tanto ostensivos como não ostensivos, tal como é
possível observar no texto a seguir.
69
Consideramos que, ao dizer que “tomamos o logaritmo dos dois membros”,
estamos utilizando os ostensivos gestuais, discursivos e escriturais, mas existe
também o conceito de logaritmo que é mencionado por meio do não ostensivo
escritural ou discursivo quando esses são disponíveis. Os ostensivos escriturais
permitem escrever, por exemplo: 2x = 10 ↔ ln2x = ln10 ↔ x ln2 = ln10 ↔ x =
(ln10)/(ln2). Assim, a técnica para resolver equações da forma a x = b supõe um
sistema de ostensivos conectados e articulados a certo número de não ostensivos
(por exemplo: o conceito de logaritmo).
Observamos que, ao mencionar a palavra logaritmo, estamos nos referindo
ao não ostensivo enquanto que, ao dizer que “tomamos o logaritmo dos dois
membros”, trata-se do ostensivo que será aplicado à equação exponencial para
desenvolver a técnica que permite resolvê-la. Isso conduz Chevallard (1994) a
observar que existe uma dialética necessária entre ostensivos e não ostensivos, pois
os ostensivos são manipulados por meio de regras, cuja distinção é feita pelos não
ostensivos, enquanto que os não ostensivos são evocados por meio da manipulação
dos ostensivos.
Dessa forma, a resposta para as três questões colocadas inicialmente sobre a
composição de uma técnica e como executá-la é que toda técnica supõe a ativação
de um complexo de objetos, uns ostensivos, os que serão manipulados, e outros
não ostensivos, os que serão evocados. Logo, a manipulação dos ostensivos é
regrada com a ajuda dos não ostensivos e estes, inversamente, são evocados com
a ajuda dos ostensivos.
Considerando o exemplo sobre logaritmo e a composição das técnicas,
Chevallard (1994) ressalta que os ostensivos discursivos são essenciais. Em
conjunto com os ostensivos gestuais e gráficos, eles constituem o material mais
primitivo de toda atividade humana.
Chevallard (1994) adverte que a atividade matemática, em geral, conduz a
esquecer o papel dos ostensivos, o que corresponde a uma visão idealista da
atividade humana, pois essa visão leva a considerar os não ostensivos como
necessários e essenciais, enquanto que os ostensivos seriam apenas contingentes e
não essenciais. Por exemplo, o conceito de logaritmo sendo essencial para a
solução das equações do tipo ax = b, enquanto que a notação ln seria apenas
contingente.
70
Por outro lado, Chevallard (1994) mostra ainda como uma visão materialista
da atividade matemática se opõe à visão idealista por meio das noções de
ostensivos e não ostensivos, pois a visão materialista corresponde a considerar a
atividade matemática como material e, assim, os não ostensivos não poderiam
existir sem os ostensivos e nem estes últimos sem os primeiros.
Assim, essa mudança de visão da atividade matemática tem consequências
imediatas. Como exemplo Chevallard (1994) considera “o sinal de equivalência, que
foi banido do atual ensino secundário (ensino médio) francês até um nível
relativamente elevado”. O motivo para retirá-lo é que os estudantes não
compreendem a noção de equivalência e seriam conduzidos apenas a utilizar esse
símbolo sem compreendê-lo, o que corresponde a uma visão idealista.
Isso conduz Chevallard (1994) a contrapor essa justificativa por meio da
dialética entre ostensivos e não ostensivos. Segundo o autor, a ideia subjacente é
que convém compreender primeiro (“abstratamente”) a noção de equivalência antes
de utilizar (“concretamente”) o sinal de equivalência. No entanto, inversamente,
podemos sustentar que a noção de equivalência e o emprego regrado do sinal de
equivalência se elaboram em conjunto, em uma dialética na qual o sinal tem um
papel tão importante quanto o conceito: a noção de equivalência emerge do
emprego, cada vez retificado, do sinal de equivalência.
Chevallard (1994) conclui, afirmando que a “compreensão” de um conceito
matemático depende da técnica em que esse conceito é utilizado. Ela depende de
todo o sistema de objetos não ostensivos e ostensivos ativados por essa técnica.
Como exemplo ele utiliza a noção de proporcionalidade, pois, na opinião do autor,
para compreender a noção de proporcionalidade, deve-se executar de maneira
pertinente
pelo
menos
uma
técnica
de
resolução
de
problemas
de
proporcionalidade.
Além disso, Chevallard (1994) considera que a compreensão de uma noção
difere segundo a técnica utilizada. Como exemplo ele apresenta o seguinte
problema de proporcionalidade: 5 balas custam 6 reais. Quanto custará 7 balas?
Esse problema pode ser resolvido por uma das seguintes técnicas:
• Técnica do século XVIII. Temos: 5 : 6 : : 7 : x.
• Técnica do século XX. Temos: f(5) = 6 com f linear.
Logo , f(7) = f(7.1) = 7f(1) =7.(1/5) f(5) = (7/5) x 6 = ...
71
Apresentamos a seguir um organograma por nós construído que resume a
relação entre as noções de praxeologia, relações institucionais e pessoais e
ostensivos e não ostensivos enquanto elementos da Teoria Antropológica do
Didático que servem de ferramenta para análise das atividades matemáticas:
72
RELAÇÃO INSTITUICIONAL
compor
compor
BLOCO PRÁTICO-TÉCNICO
(SABER FAZER)
BLOCO TEÓRICOTECNOLÓGICO (SABER)
-  TECNOLOGIA DAS
TÉCNICAS
- t TAREFAS T TIPO DE
TAREFAS
resolver
-

justificar,explicar,
Justificar,
explicar,
produzir
produzir
-  TEORIA DAS TÉCNICAS
TÉCNICAS
manipular
evocar
OSTENSIVOS
NÃO OSTENSIVOS
Intervir
RELAÇÃO PESSOAL
Figura 3 - Elementos da Teoria Antropológica do Didático.
Fonte: a pesquisa.
73
Ainda com relação à Teoria Antropológica do Didático, consideramos as
noções de ecologia e os níveis de co-determinação que também são ferramentas de
análise utilizadas nessa pesquisa. Isto porque, nos diferentes momentos, o saber e o
saber fazer sobrevivem e se reconstroem em função das expectativas institucionais,
o que nos conduziu a levar em conta essas duas noções associadas à Teoria
Antropológica do Didático.
A noção de ecologia dos saberes corresponde à pesquisa da vida dos
mesmos nas instituições, pois esses dependem de adaptações às restrições que
muitas vezes estão associadas à economia de saberes. Chevalard (2002, 2002a),
ao considerar a noção de ecologia, define habitat como o lugar onde vivem os
objetos matemáticos considerados, nicho correspondendo à função que esses
objetos ocupam em cada um de seus habitats e milieu como o conjunto dos objetos
para os quais a relação institucional é estável e não problemática.
Assim, para o caso do estudo das funções exponenciais no Brasil, podemos
supor que seu primeiro habitat é o estudo das funções numéricas no Ensino Médio e
seu segundo habitat é o das disciplinas em que ela pode ser utilizada para a
introdução de novas noções, como Cálculo Diferencial e Integral ou para a aplicação
à modelagem de situações de outras ciências como a Física, o que supõe uma
sobrevivência que deve se adaptar às condições e restrições de vida em cada
habitat. Essas possibilidades de viver em diferentes lugares fazem com que, no
Ensino Médio, a função exponencial tenha um papel de assimilação por meio de
seus ostensivos de representação, podendo ser aplicada em determinadas
situações contextualizadas, e, no Ensino Superior, sua função é servir de ferramenta
explícita na introdução de novos conhecimentos matemáticos ou na modelagem de
situações das outras ciências. Dessa maneira, podemos considerar que os
ostensivos de representação algébrico (fórmula) e gráfico da função exponencial
correspondem ao milieu em ambos os habitats em que ela sobrevive no sistema de
ensino brasileiro.
As praxeologias são os componentes dos diferentes habitats e, segundo
Chevallard (2007a), as condições e restrições que determinam o processo de
difusão praxeológico são exploradas e localizadas com a ajuda de uma escala que
contém diferentes níveis de co-determinação uma vez que elas podem se situar em
determinado nível da escala, mas podem se exprimir em outro. Assim, não podemos
isolar o que se passa em uma classe do conjunto do sistema de ensino. Para a
74
análise das condições e restrições de difusão do processo de difusão praxeológico,
Chevallard (2007a) define os seguintes níveis de co-determinação: tópicos ↔ temas
↔ setores ↔ domínios ↔ disciplinas ↔ pedagogia ↔ escola ↔ sociedade ↔
civilização.
Esses níveis descrevem as relações recíprocas entre os níveis mais
específicos e os mais gerais do sistema didático.
Assim, para as organizações
matemáticas, podemos considerar o tema associado a uma tecnologia e a uma
organização matemática local como, por exemplo, a representação gráfica da função
exponencial cujos tópicos podem estar associados a um tipo de tarefa e ligado a um
setor que corresponde a uma teoria, por exemplo, o estudo das funções numéricas.
Esse setor podendo estar mergulhado em um domínio, como o da álgebra que, por
sua vez, faz parte de uma disciplina, a matemática, para a qual existem indicações
de estratégias e técnicas para desenvolvê-la, isto é, a pedagogia a ser considerada,
que pode ser escolhida pelo grupo de professores de uma determinada escola que
segue as orientações de documentos construídos pela sociedade que, por sua vez,
está mergulhada em determinada civilização.
Chevallard (2007a) introduz os diferentes níveis e os denomina níveis de codeterminação porque seus efeitos são sentidos nos dois sentidos, como podemos
evidenciar por meio do exemplo citado e do esquema: tópicos ↔ temas ↔ setores
↔ domínios ↔ disciplinas ↔ pedagogia ↔ escola ↔ sociedade ↔ civilização.
Desse modo, o que podemos fazer em determinado nível depende das
condições e restrições criadas pelas escalas superiores que iniciam por civilização.
Além disso, ao modificar as condições e restrições de um nível inferior, teremos
repercussões sobre os níveis superiores.
Chevallard (2007a) ressalta que tradicionalmente os estudantes se limitam
aos tópicos, os professores aos temas, os setores, domínios e mesmo as disciplinas
são da responsabilidade dos responsáveis pela construção dos programas e os
didatas se limitam à disciplina. Ainda segundo o autor, a Teoria Antropológica se
interessa necessariamente pelos níveis superiores, ou seja, pedagogia, escola,
sociedade e civilização.
Portanto, deve-se considerar a importância das análises didáticas e das
ferramentas que possibilitam a construção de cenários de aprendizagem para que
os estudantes construam seus conhecimentos. Além disso, é preciso permitir que os
dicentes possam edificar seus saberes por meio de uma organização que lhes
75
auxiliem a tratar de situações variadas, já que dispõem de, pelo menos, uma parte
das noções visadas.
Para tanto, Robert (1997, 1998) propõe a abordagem em torno dos três níveis
de conhecimento esperados dos estudantes que, segundo a autora, podem auxiliar
o professor a construir esses cenários de aprendizagem. Esse trabalho poderá
também auxiliar o professor na escolha dos saberes visados, conforme tentamos
mostrar na breve apresentação da abordagem proposta por Robert.
4.4 OS TRÊS NÍVEIS DE CONHECIMENTO ESPERADOS DOS ESTUDANTES
Robert (1997, 1998) apresenta um estudo sobre algumas ferramentas de
análise epistemológica e didática para organizar os conhecimentos matemáticos a
serem ensinados no Ensino Médio e na Universidade. Então, ao tratar da construção
de cenários de aprendizagem, a pesquisadora introduz uma nova ferramenta
denominada os três níveis de conhecimento esperados dos estudantes. Esses níveis
são:
O nível técnico corresponde a um trabalho isolado, local e concreto. Está
relacionado principalmente aos procedimentos e definições utilizadas em uma
determinada tarefa. Para o caso das funções exponenciais, definidas dos reais nos
reais, podem-se considerar os seguintes exemplos como correspondentes a um
nível técnico da atividade matemática:
Figura 4 - Exemplo 1 Nível técnico da atividade matemática.
Fonte: Dante (2010, p. 241).
76
Figura 5 - Exemplo 2 Nível técnico da atividade matemática.
Fonte: Dante (2010, p. 241).
Figura 6 - Exemplo 3 Nível técnico da atividade matemática.
Fonte: Souza (2010, p.162).
Observamos nos exemplos demonstrados que as tarefas exigem apenas a
aplicação da definição de valor numérico (exemplo 1), construção de gráfico e
determinação do conjunto imagem (exemplo 2) e identificação de funções
exponenciais dadas por meio de sua fórmula, o que subentende a utilização da
definição (exemplo 3).
O nível mobilizável corresponde a um início de justaposição de saberes de
certo domínio, podendo até corresponder a uma organização. Vários métodos
podem ser mobilizados. O caráter ferramenta e objeto do conceito estão em jogo,
mas o que se questiona é explicitamente pedido. Se um saber é identificado, ele é
considerado mobilizado, se acessível, isto é, se o estudante o utiliza corretamente.
77
Exemplos:
Figura 7 - Exemplo 1 Nível mobilizável da atividade matemática.
Fonte: Dante (2010, p. 256).
Figura 8 - Exemplo 2 Nível mobilizável da atividade matemática.
Fonte: Dante (2010, p.257).
Figura 9 - Exemplo 3 Nível mobilizável da atividade matemática.
Fonte: Dante (2010, p. 241).
78
Podemos observar que, nos exemplos considerados, identificamos o nível
mobilizável, pois, no exemplo 1, trata-se de uma situação contextualizada para a
qual a função é definida explicitamente. No exemplo 2, é dada a função e a equação
exponencial e o estudante precisa relacioná-las. Já no exemplo 3, o estudante deve
mobilizar a condição para que uma função exponencial seja crescente ou
decrescente.
O nível disponível corresponde a saber responder corretamente o que é
proposto sem indicações de poder, por exemplo, dar contra-exemplos (encontrar ou
criar), mudar de quadro (fazer relações) e aplicar métodos não previstos. Esse nível
de conhecimento está associado à familiaridade, ao conhecimento de situações de
referência variadas que o estudante sabe que as conhece (servem de terreno de
experimentação), ao fato de dispor de referências, de questionamentos, de uma
organização, podendo funcionar para um único problema ou possibilitando fazer
resumos.
Exemplos:
Figura 10 - Exemplo 1 Nível disponível da atividade matemática.
Fonte: Paiva (2009, p.180).
79
Figura 11 - Exemplo 2 Nível disponível da atividade matemática.
Fonte: Dante (2010, p. 256).
Nos exemplos, não existem representações nem algébrica, nem gráfica que
auxiliem os estudantes a identificar qual a função em jogo. Esse tipo de tarefa deve
apresentar maior dificuldade do que as apresentadas como nível mobilizável. Os
dois exemplos que correspondem ao nível disponível e representam situações
denominadas de “problemas cotidianos” ou “problemas contextualizados” são os que
apresentam maior dificuldade, pois nem sempre fazem parte do cotidiano ou do
contexto dos estudantes, exigindo que os discentes reconheçam nelas alguma
situação familiar para que possam buscar em suas estruturas cognitivas os
elementos necessários para sua solução. Sendo assim, parece interessante verificar
que tipos de situação são propostas aos estudantes, isto é, que tipo de relação
institucional existe para que seja possível compreender melhor as relações pessoais
que podem ser desenvolvidas.
No capítulo que segue, apresentamos as relações institucionais esperadas
para o processo de estudo e ajuda ao estudo dos estudantes dos Ensinos Médio e
Superior quando se introduz a noção de função exponencial ou quando é preciso
utilizá-la como ferramenta explícita para a solução de novas tarefas ou na introdução
de novos conhecimentos.
80
5 A EVOLUÇÃO DAS RELAÇÕES INSTITUCIONAIS ESPERADAS ANALISADAS
POR MEIO DOS DOCUMENTOS OFICIAIS DO ENSINO MÉDIO E ENSINO
SUPERIOR
5.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
O desenvolvimento das relações institucionais esperadas tanto para o Ensino
Médio como para o Ensino Superior obedecem a dinâmicas complexas que
dependem das condições e restrições impostas pelos vários atores que agem nos
diferentes níveis de co-determinação que compõem o sistema de ensino. As
questões associadas a esse desenvolvimento podem ser abordadas de diversas
formas, mas trataremos apenas das questões didáticas associadas a uma noção
matemática específica que é a noção de função exponencial, suas propriedades e
representações tendo em vista que é este o foco de nossa investigação.
Assim, neste capítulo, demonstramos alguns resultados sobre a evolução das
propostas institucionais para a introdução da noção de função exponencial no
Ensino Médio brasileiro, observando que as mudanças estão associadas ao decreto
de 1996, o qual estabeleceu as diretrizes e bases para a educação nacional. Essa
lei foi complementada em 2001, com o Plano Nacional de Educação cujos objetivos
são: elevar o nível de escolaridade da população, melhorar a qualidade de ensino
em todos os níveis, reduzir as desigualdades sociais e regionais em relação ao
acesso e à permanência na educação pública e democratizar a gestão do ensino
público prevendo a participação dos profissionais da educação na elaboração do
projeto pedagógico da escola e a participação da comunidade escolar e local nos
conselhos escolares e equivalentes.
Para atingir esses objetivos, foi priorizado o ensino obrigatório dos 7 aos 14
anos, que foi estendido para dos 6 aos 14 anos a partir de 2004, a ampliação do
atendimento nos Ensinos Médio e Ensino Superior, a valorização dos profissionais
da educação e desenvolvimento de sistemas de informação e avaliação em todos os
níveis e modalidades de ensino.
81
Observamos assim que a Lei de Diretrizes e Bases da Educação nº 9394/96 e
o Plano Nacional de Educação (complementação da Lei de Diretrizes e Bases) em
2001, consideram a necessidade de ampliar o atendimento tanto do Ensino Médio
como do Ensino Superior. Para tanto, novas propostas curriculares foram
introduzidas na tentativa de melhorar o ensino desde a Educação Básica até o
Ensino Superior.
Certamente, essas propostas impactaram em todas as etapas escolares, em
particular, na transição entre o Ensino Médio e Ensino Superior, pois as mudanças
propostas para o Ensino Médio precisam ser consideradas quando se elaboram os
currículos dos diferentes cursos do Ensino Superior. Isto especialmente em relação
aos cursos de licenciatura em matemática cujo objetivo é a formação inicial dos
futuros professores, como é o caso do curso de licenciatura em matemática, objeto
deste estudo.
Assim, além do estudo da evolução das propostas institucionais para o Ensino
Médio, analisamos também os planos de ensino de 3 universidades públicas, 1
universidade privada e 1 centro universitário que correspondem às propostas
curriculares para o desenvolvimento das diferentes disciplinas dos cursos do Ensino
Superior. Nesse trabalho, consideramos apenas os planos de ensino para as
disciplinas em que a noção de função exponencial é tomada como um objeto de
estudo, uma ferramenta explícita para a introdução de novos conhecimentos ou para
a aplicação em tarefas intra ou extramatemáticas.
Verificamos que, ao mesmo tempo em que se delinearam os objetivos e as
prioridades da educação no Brasil por meio da Lei de Diretrizes e Bases da
Educação nº 9394/96 e o Plano Nacional de Educação (complementação da Lei de
Diretrizes e Bases) em 2001, considerando que a avaliação nacional deve levar em
conta a redução das desigualdades sociais e regionais e a democratização da
gestão do ensino público, iniciou-se a implementação dos Parâmetros Curriculares
Nacionais em 1997. Nestes, encontramos referenciais para a renovação e
reelaboração da proposta curricular, que fica a cargo de cada escola, pois o Plano
Nacional da Educação prevê a participação de todos os profissionais da educação
na construção dessa proposta.
Iniciaremos, portanto, nossa exposição por meio de uma breve apresentação
dos objetivos e da proposta de tratamento dos conteúdos matemáticos a partir do
82
Ensino Fundamental, dando ênfase ao tratamento da noção de função. Este estudo
é feito nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental.
5.2
PARÂMETROS
CURRICULARES
NACIONAIS
PARA
O
ENSINO
Curriculares
Nacionais
FUNDAMENTAL
Em
1997,
foram
publicados
os
Parâmetros
(BRASIL,1997) para o Ensino Fundamental, em que se encontram os objetivos em
termos das capacidades que se espera que os estudantes desenvolvam durante
essa etapa escolar. Isso conduz à indicação dos objetivos gerais a seguir como
escopo para o desenvolvimento da matemática no Ensino Fundamental.
- identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e
transformar o mundo à sua volta [...]
- fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos do ponto
de vista do conhecimento e estabelecer o maior número possível de relações entre
eles [...]
- resolver situações-problema, sabendo validar estratégias e resultados [...]
- comunicar-se matematicamente [...]
- estabelecer conexões entre temas matemáticos de diferentes campos [...]
- sentir-se seguro da própria capacidade de construir conhecimentos matemáticos
[...]
- interagir com seus pares de forma cooperativa [...] respeitando o modo de pensar
dos colegas e aprendendo com eles.
Quadro 2 - Escopo para o desenvolvimento da matemática no Ensino Fundamental.
Fonte: BRASIL (1997, p. 37).
Em relação aos conteúdos a serem desenvolvidos, salienta-se que o estudo
dos números e das operações deve ser contemplado e trabalhado no campo da
Aritmética e da Álgebra, o estudo do espaço e a forma no campo da Geometria e o
estudo das grandezas e medidas por meio da articulação entre os campos da
Aritmética, Álgebra e Geometria. Isto significa que é importante que o professor
83
possa agir nas escolhas relacionadas a esses campos, os quais, em nossa
pesquisa, correspondem à articulação de quadros.
Nesse sentido, podemos destacar que a ação do professor depende de sua
formação inicial e contínua e que se insere no nível de co-determinação escola, isto
é, o professor deve ser capaz de identificar, nos diferentes quadros, as formas de
tratamento dos conteúdos com seus estudantes.
Para auxiliar os docentes nessa tarefa, o documento apresenta uma breve
discussão sobre a forma de trabalho relacionada aos domínios que são introduzidos
no Ensino Fundamental. A ênfase para o final do segundo ciclo dessa etapa escolar
deve ser dada à Álgebra para a qual se propõe o trabalho com situações-problema
que ajudem os estudantes a modelar, demonstrar e representar problemas por meio
de equações, identificando parâmetros, variáveis e relações e conhecendo as regras
para a solução de uma equação.
O documento ressalta ainda que existe uma variedade de conexões entre os
diferentes campos, ficando a cargo dos professores as escolhas de articulação entre
esses campos. Em outras palavras, o professor é chamado a participar do nível de
co-determinação pedagogia uma vez que suas escolhas estão associadas à visão
que o docente tem da aprendizagem e ao papel que se deseja exercer no processo
de estudo e ajuda ao estudo.
Para isso, o trabalho deve ser desenvolvido por meio de diferentes recursos,
entre os indicados estão: resolução de problemas, história da matemática,
tecnologias da informação e jogos. Observamos que essa proposta vem ao encontro
de vários estudos desenvolvidos nos programas de pós-graduação em Educação
Matemática, o que pode ser considerado como incentivo ao desenvolvimento desse
campo de pesquisa no Brasil.
No que se refere à introdução da noção de função no Ensino Fundamental, a
proposta indica que o estudo da proporcionalidade permite articular diferentes
noções, tais como a resolução de problemas multiplicativos, o estudo de
porcentagem, de semelhança de figuras, de matemática financeira e a análise de
tabelas, gráficos e funções. A proposta é que se dê ênfase aos fenômenos do
mundo real, abordando os problemas por vários pontos de vista.
Assim, se nos referirmos aos níveis de co-determinação (sociedade ↔ escola
↔ pedagogia ↔ disciplina ↔ domínio ↔ setor ↔ tema ↔ tópico), conforme
Chevallard (2007a), observaremos que a responsabilidade do professor de
84
matemática não se limita ao setor, que corresponde à escolha dos conteúdos a
serem trabalhados, mas os docentes desempenham um papel essencial nos níveis
escola e pedagogia, pois lhes cabe escolher tanto a organização curricular como a
forma de trabalho com os estudantes.
As expectativas institucionais em relação ao desenvolvimento da noção de
função linear ao final do Ensino Fundamental são que os estudantes tenham
desenvolvido uma relação pessoal com esse objeto matemático que lhes permita
aplicá-lo em situações contextualizadas por meio dos ostensivos de representações
fórmula, tabela e gráfico. Espera-se ainda que os discentes sejam capazes de
articular esse conhecimento com a noção de proporcionalidade.
Verificamos que esse estudo centrado em situações contextualizadas e do
mundo real é proposto também nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o
Ensino Médio (PCNEM) publicados em 2000, (BRASIL, 2000). Na sequência,
apresentamos uma breve discussão sobre as propostas para o Ensino Médio
implementadas por meio dos Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino
Médio.
5.3 PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS PARA O ENSINO MÉDIO
O documento que contém as propostas institucionais indicadas nos
Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (BRASIL, 2000) estabelece
um novo perfil para o currículo. Os elaboradores dessa proposta se apoiaram em
competências básicas que possibilitem a inserção dos jovens na vida adulta.
Além disso, o documento esclarece que é preciso dar significado ao
conhecimento escolar por meio da contextualização, da interdisciplinaridade e do
incentivo ao raciocínio e à capacidade de aprender de forma a conduzir o estudante
à autonomia. O documento não faz sugestão de conteúdo, indicando apenas os
princípios da reforma curricular de maneira a orientar o professor a buscar novas
abordagens e metodologias.
Logo, quando nos referimos aos níveis de co-determinação, verificamos que
cabe à escola a organização de sua pedagogia, a ênfase a ser dada à disciplina
matemática, assim como as escolhas em relação ao momento de considerar o
85
domínio e setor, ficando a cargo do professor encontrar novos meios para o
desenvolvimento dos temas dos diferentes domínios e setores propostos pelo grupo.
Nesse caso, o professor também tem sua ação a partir do nível escola e pedagogia,
pois se espera que esse profissional participe ativamente tanto da organização
curricular como das escolhas em relação à aprendizagem e ao papel que ele deve
desempenhar no sistema de ensino.
Diante dessas considerações, salientamos a importância da formação do
professor para que o mesmo possa desempenhar as funções que lhe são atribuídas
no documento analisado. Afinal, espera-se que o professor possa agir sobre os
níveis de co-determinação escola e pedagogia, o primeiro estando associado às
organizações curriculares e ao sistema de formação dos professores e o segundo se
referindo,
mais
particularmente,
à
percepção
da
aprendizagem
e,
consequentemente, ao papel do professor no processo de estudo e ajuda ao estudo.
Essa ampla responsabilidade deixada a cargo dos professores e das
instituições de ensino conduziram a uma diversidade de projetos para o
desenvolvimento de um determinado conteúdo que deve ser avaliado ao final das
diferentes etapas escolares conforme prescrição da Lei de Diretrizes e Bases da
Educação nº 9394/96 e o Plano Nacional de Educação (complementação da Lei de
Diretrizes e Bases) em 2001. A referida lei e o plano mencionados consideram a
necessidade de avaliação em todos os níveis e modalidades de ensino.
Desse modo, as dificuldades apresentadas nessas avaliações podem ter sido
causadas pela diversidade de projetos para o desenvolvimento de um mesmo
conteúdo, conduzindo, assim, a um novo documento: os Parâmetros Curriculares
Nacionais do Ensino Médio (BRASIL, 2000a). Nesse novo documento, enfatiza-se
que o saber matemático, científico e tecnológico deve ser desenvolvido como
condição de cidadania e não como prerrogativa de especialistas.
Por isso, cabe à matemática do Ensino Médio desenvolver os instrumentos de
expressão e raciocínio de forma articulada com as disciplinas de biologia, física e
química e as competências essenciais que envolvem habilidades associadas aos
quadros algébrico, geométrico, estatístico e probabilístico, mostrando a importância
de suas diferentes representações.
Nos PCNEM (BRASIL, 2000a), são explicitadas as competências e
habilidades que se espera desenvolver, sendo as mesmas classificadas em três
grandes
grupos,
a
saber:
representação
e
comunicação,
investigação
e
86
compreensão, contextualização sócio-cultural. Essas competências e habilidades
devem ser trabalhadas de forma interdisciplinar e contextualizada entre as
disciplinas de matemática, física, química e biologia e fica a cargo dos professores
encontrar os meios para desenvolver essa proposta. Assim, referindo-nos aos níveis
de co-determinação, cabe aos professores das quatro disciplinas a escolha dos
diferentes domínios a serem trabalhados no Ensino Médio.
Como exemplo, consideramos os domínios da Álgebra e da Geometria
Analítica e, mais particularmente, o setor das funções para o qual se destaca, nos
PCNEM (BRASIL, 2000a), a importância de tratá-lo de forma articulada, citando
como exemplo para o domínio da Álgebra a questão da articulação das sequências
e funções e, para o domínio da Geometria Analítica, a articulação das propriedades
de
retas
e
parábolas
com
as
propriedades
dos
gráficos
das
funções
correspondentes, isto para as articulações internas, mas é preciso não esquecer o
trabalho interdisciplinar. Enfatiza-se ainda o papel das funções como ferramenta
para descrever e estudar o comportamento de determinados fenômenos tanto das
ciências como do cotidiano.
Assim, o documento destaca que o objetivo do ensino da Matemática em
relação à introdução do conceito de função é garantir a flexibilidade para tratar esse
conceito por meio de diferentes situações intra e extramatemáticas. No entanto,
somente essas indicações não são suficientes para auxiliar os educadores na
construção de seus projetos, o que conduz à publicação do documento Orientações
Educacionais complementares, em 2002, denominado PCN+ Ensino Médio
(BRASIL, 2002).
Nesse novo documento, são retomadas as competências e habilidades para
as quatro disciplinas com exemplos para auxiliar educadores e professores na
construção dos projetos escolares. Encontramos ainda nesse documento a
estruturação da matemática em três domínios, álgebra: números e funções,
geometria e medidas, e análise de dados, como sugestão para organizar os
conteúdos a serem desenvolvidos.
Para o estudo das funções, são dadas orientações sobre como trabalhá-lo
com exemplos para auxiliar os professores a desenvolver esse domínio de forma
interdisciplinar e flexível, levando em conta a proposta anterior. A proposta para a
introdução do estudo das funções indica a exploração qualitativa das relações entre
duas grandezas em diferentes situações, em que os exemplos sugeridos
87
consideram situações extramatemáticas, como a relação idade e altura, e
intramatemáticas, como área do círculo e raio. Indica-se ainda que se apresentem
outras relações funcionais e que se utilizem diferentes representações que
possibilitem estudar as propriedades das funções como, por exemplo, o
crescimento.
Utilizando apenas a palavra representação, solicita-se ainda que se expresse
em palavras, o que para nós corresponde aos ostensivos discursivos ou escritos, a
forma algébrica representada por uma função. Como exemplo, é dada a função
f(x) = 2x + 3, na qual lemos que a mesma associa a um dado valor x o seu dobro,
acrescido de três unidades. Segundo o documento, esse discurso pode facilitar a
identificação da ideia de função em outras situações.
Explicita-se ainda que o estudo das funções deve progredir com diferentes
modelos – linear, quadrático, exponencial e periódico. Para o modelo exponencial, o
exemplo considerado é o do crescimento de uma colônia de bactérias, que deve ser
trabalhado por meio dos diferentes ostensivos de representação escrita, em
particular, dos ostensivos algébrico, tabela e gráfico e suas respectivas
interpretações.
São dadas ainda indicações sobre o desenvolvimento do modelo linear
(f(x) = ax) associado à noção de proporcionalidade direta, e essa discutida como
modelo de crescimento. Isso deve permitir tratar o modelo de decrescimento com a
proporcionalidade inversa (f(x) =
apresentem
situações
do
. Para evitar equívocos, propõe-se que se
cotidiano
que
ilustrem
diferentes
tipos
de
crescimento/decrescimento de grandezas em relação.
Indica-se ainda que se tratem situações que necessitam da noção de função
afim e que se introduza a função quadrática por meio dos problemas clássicos de
determinação de área máxima, bem como que se desenvolvam suas propriedades e
representações. Para as funções trigonométricas, ressalta-se que se priorizem as
relações métricas no triângulo retângulo e as leis do seno e co-seno. As funções
trigonométricas devem ser entendidas como extensões das razões trigonométricas
então definidas para ângulos com medida entre 0º e 180º. É indicado ainda o estudo
das funções polinomiais, em particular aquelas que podem decompor-se em
produtos de funções afim, o que permite associar esse estudo ao da divisão
polinomial por x – a, em que a corresponde a um dos zeros da função.
88
Finalmente, em relação ao estudo das funções exponenciais indica-se:
[...] As funções exponencial e logarítmica, por exemplo, são usadas para
descrever a variação de duas grandezas em que o crescimento da variável
independente é muito rápido, sendo aplicada em áreas do conhecimento
como matemática financeira, crescimento de populações, intensidade
sonora, pH de substâncias e outras [...] (BRASIL, 2002, p. 118).
Em relação às propostas de articulação com outros conhecimentos
matemáticos a serem introduzidos no mesmo ano do Ensino Médio, identificamos as
progressões geométricas associadas ao estudo das funções exponenciais cujo
domínio é o conjunto dos números naturais. Assim, o documento de 2002, apesar de
dar exemplos do trabalho matemático a ser desenvolvido no Ensino Médio, não foi
suficiente para auxiliar educadores e professores nas dificuldades encontradas.
Em 2006, foi publicado um novo documento, Orientações Curriculares para o
Ensino Médio, no qual se mantém a proposta inicial, com a matemática estruturada
em quatro blocos: números e operações, funções, geometria, análise de dados e
probabilidade. Nesse documento, observamos que, no domínio da álgebra, para o
setor das funções, são dados exemplos mais específicos para o desenvolvimento do
trabalho articulado e flexível proposto nos documentos anteriores, mas ainda fica a
cargo dos educadores e professores a construção do projeto de suas respectivas
escolas. O texto abaixo permite compreender a ampliação das orientações em
relação aos textos anteriores.
É pertinente discutir o alcance do modelo linear na descrição de fenômenos
de
crescimento,
para
então
introduzir
o
modelo
de
x
crescimento/decrescimento exponencial (f(x) = a ). É interessante discutirem
as características desses dois modelos, pois enquanto o primeiro garante
um crescimento à taxa constante, o segundo apresenta uma taxa de
variação que depende do valor da função em cada instante. Situações reais
de crescimento populacional podem bem ilustrar o modelo exponencial.
Dentre as aplicações da Matemática, tem-se o interessante tópico de
Matemática Financeira como um assunto a ser tratado quando do estudo da
função exponencial [...] Nos problemas de aplicação em geral, é preciso
resolver uma equação exponencial, e isso pede o uso da função inversa – a
função logaritmo. O trabalho de resolver equações exponenciais é
pertinente quando associado a algum problema de aplicação em outras
áreas de conhecimento, como Química, Biologia, Matemática Financeira,
etc. Procedimentos de resolução de equações sem que haja um propósito
maior devem ser evitados. Não se recomenda neste nível de ensino um
estudo exaustivo dos logaritmos (BRASIL, 2006, p.74 – 75).
Apesar das sucessivas orientações, como já anunciado acima, os estudantes
do Ensino Médio, ao serem avaliados pelas macroavaliações institucionais, têm
89
mostrado muitas dificuldades. Um dos fatores que pode estar associado a essa
constatação é que as provas são construídas levando em conta as orientações dos
documentos acima discutidos.
Observamos ainda que, em geral, os professores utilizam o livro didático
como elemento para discussão e proposta de trabalho. Todavia, mesmo se os livros
didáticos são avaliados pelo Programa Nacional do Livro Didático – PNLD e
distribuídos para os estudantes após escolha pelos professores, não se verifica uma
melhora nos resultados dos estudantes do ensino público nas macroavaliações a
que são submetidos no final do Ensino Médio. Em função de uma macroavaliação
específica do Estado de São Paulo, o Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar
do Estado de São Paulo - SARESP, a secretaria de Educação do Estado de São
Paulo implementou, a partir de 2008, a Proposta Curricular do Estado de São Paulo.
Essa nova proposta mantém as orientações dos documentos oficiais nacionais, mas
traz um trabalho específico para o desenvolvimento dos conteúdos.
5.4 PROPOSTA DO ESTADO DE SÃO PAULO
A Proposta do Estado de São Paulo, lançada em 2008, indica os conteúdos a
serem desenvolvidos em cada bimestre e os mesmos são introduzidos, por meio do
“Cadernos do Professor” e do “Caderno do Aluno”, nos quais o conteúdo relacionado
ao setor das funções é proposto para ser trabalhado a partir do segundo bimestre do
primeiro ano do Ensino Médio, em que as funções afim e quadrática são supostas
como trabalhadas no segundo bimestre, as funções exponencial e logarítmica no
terceiro bimestre e as funções trigonométricas no primeiro bimestre do segundo ano
do Ensino Médio.
Além de determinar domínio e setor, os diferentes temas associados a cada
setor
já
vêm
organizados
por
meio
de
situações
que
possibilitam
a
interdisciplinaridade e a flexibilidade dos conteúdos. A Proposta do Estado de São
Paulo, como o próprio nome indica, é uma proposta que pode ou não ser
implementada pelos professores, mas é importante observar que esse documento
serve de base para a construção da macroavaliação SARESP, a qual avalia o
rendimento dos estudantes e está associada à progressão funcional do professor.
90
O reflexo desse documento nos parece positivo porque outras secretarias
estão seguindo o modelo de São Paulo na tentativa de garantir a nova formação dos
estudantes indicadas nos diferentes documentos oficiais. Trata-se de um documento
que visa à proposição de um currículo mínimo, o que poderá auxiliar a melhorar os
resultados da macroavaliação SARESP. Ainda assim, no Relatório Pedagógico de
2010 do SARESP (SEE,2010), quando apresentadas as porcentagens de alunos
distribuídas nos níveis de proficiência na 3ª série do Ensino Médio, temos 42,1% dos
alunos no nível suficiente, apenas 0,3% no nível avançado, sendo que ainda 57,7%
dos alunos encontram-se no nível insuficiente. Com base nestas porcentagens,
podemos perceber que uma significativa parcela de alunos não possuem
conhecimentos básicos de matemática esperados como conhecimentos prévios
disponíveis para o final dessa etapa escolar.
As análises apresentadas mostram a tentativa de mudar a situação do Ensino
Médio brasileiro, em particular, do Ensino Médio público do Estado de São Paulo, o
que vem conduzindo os responsáveis pelas propostas educacionais a procurar
novos meios que auxiliem professores e estudantes a uma melhor interação.
Consequentemente, busca-se atingir a construção de um melhor processo de estudo
e ajuda ao estudo, pois professores e estudantes devem desenvolver em conjunto
seus projetos de forma que os estudantes possam adquirir os conhecimentos
necessários para entrar no Ensino Superior e realizar seus estudos de forma eficaz.
Assim, as dificuldades apresentadas pelos estudantes nas macroavaliações e
a experiência enquanto professora dos Ensinos Médio e Superior nos conduziu à
análise dos planos de ensino de cursos de licenciatura em matemática de 3
universidades públicas (USP, UNICAMP, UNB), 1 universidade privada (Mackenzie)
e 1 centro universitário (FSA) para: identificar se existe uma preocupação em
revisitar conhecimentos sobre a noção de função exponencial, suas propriedades e
suas representações de forma que as mesmas são tratadas da mesma forma como
foram introduzidas no Ensino Médio; ou se um trabalho mais específico, em que a
noção de função exponencial é trabalhada enquanto ferramenta explícita para a
introdução de novas noções em outros contextos ou para a aplicação em diferentes
tipos de situações contextualizadas.
Na sequência, evidenciaremos a análise das relações institucionais
esperadas para o trabalho com a função exponencial, suas propriedades e
91
representações para instituições que tratam especificamente essa noção para os
cursos de licenciatura em Matemática.
5.5 ANÁLISE DAS RELAÇÕES INSTITUCIONAIS ESPERADAS PARA O ESTUDO
DA NOÇÃO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL NO ENSINO SUPERIOR
A análise das expectativas institucionais em relação à noção de função
exponencial, suas propriedades e representações no Ensino Superior foram
analisadas via planos de ensino, considerando as seguintes questões:
- Em que disciplina(s) é(são) tratada(s) a(s) noção(ões) de função
exponencial?
- Em que nível de co-determinação podemos considerar a atuação do
professor do Ensino Superior quando do trabalho com a noção de função
exponencial?
- A função exponencial é tratada como um novo objeto matemático a ser
introduzido de forma diferente da proposta para o Ensino Médio, na qual ela é
considerada como ferramenta explícita para solução de situações contextualizadas?
- Quais os ostensivos de representação considerados?
- Quais os não ostensivos em jogo?
- Que quadro(s) é (são) considerado(s) quando do tratamento da função
exponencial no Ensino Superior?
Considerando essas questões, apresentamos, a seguir, os resultados das
análises para as instituições nos quais foi possível encontrar dados que nos dessem
indícios sobre a forma de tratamento da noção de função exponencial no Ensino
Superior. Dessa forma, começamos pela análise das relações institucionais
esperadas associadas ao tratamento da noção de função exponencial para o curso
de licenciatura em Matemática da Universidade de São Paulo.
92
5.5.1 Análise das relações institucionais esperadas para o curso de
licenciatura em matemática da Universidade de São Paulo – USP
O curso de licenciatura em Matemática da Universidade de São Paulo – USP
dispõe de uma grade curricular em que as disciplinas estão distribuídas em oito
semestres para o curso diurno e dez semestres para o noturno. A noção de função
exponencial é revisitada na disciplina Cálculo para funções de uma variável real, no
primeiro semestre do curso, conforme extrato da grade.
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA DIURNO
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA NOTURNO
Código 45024-1
Código 45024-4
o
o
1 semestre
MAT01
1 semestre
Geometria Analítica (4)
MAT0105 Geometria Analítica (4)
MAT13
Cálculo p/funções de 1variável real I
MAT1351 Cálculo p/funções de 1variável real I
51
(6) + 1 créd.trab.
05
MAE15 Estatística para Licenciatura I (4)
(6) + 1 créd.trab.
MAT1513 Laboratório de Matemática (4)
11
MAT15
Laboratório de Matemática (4)
4300160
Ótica (2)
13
430016 Ótica (2)
0
Quadro 3 - Extrato da grade curricular do curso de Licenciatura em Matemática da USP.
Fonte: USP (2010).
Na sequência, apresentamos o plano de ensino da disciplina que nos
permitiu considerar os elementos de respostas para as questões que nos colocamos
inicialmente.
93
1.1.1.1 MAT1351 CÁLCULO PARA FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL I
OBJETIVOS: Estudo da variação de uma grandeza em relação à variação de outra grandeza: a idéia
de função. O conceito de taxa de variação média e instantânea: a derivada de uma funções. Técnicas
do Cálculo; estudo das aplicações clássicas do Teorema do Valor Médio. Desenvolver atividades de
Prática como Componente Curricular.
CONTEÚDO: Equações e inequações; definição de função e gráficos; funções polinomiais de
primeiro e segundo graus; funções modulares; funções inversíveis; funções exponenciais e
logarítmicas; funções trigonométricas e suas inversas.Taxa de variação, velocidade, coeficiente
angular da reta tangente; o conceito de derivada em um ponto; a função derivada; aproximações e
linearidade local; conceitos intuitivo e definições de limite, de continuidade e de diferenciabilidade;
regras de derivação. O Teorema do Valor Médio e suas aplicações. O comportamento de uma
função: um estudo qualitativo; o gráfico de uma funções, comportamento no infinito, regras de
L'Hospital. Problemas de otimização. Aproximação de funções: fórmula de Taylor com resto de
Lagrange.
CARGA HORÁRIA SEMANAL E NÚMERO DE CRÉDITOS: 6 horas-aula, 6 créditos-aula; 2 horastrabalho, 1 crédito-trabalho.
BIBLIOGRAFIA BÁSICA: D. Hughes-Hallett et alii, Cálculo, volume I, Editora Edgard Blücher Ltda,
São Paulo, 1999; G.F. Simmons, Cálculo com Geometria Analítica, volume 1, MacGraw-Hill, São
Paulo, 1987; L. Leithold, O Cálculo com Geometria Analítica, volume 1, Harbra, São Paulo, 1977; J.
Stewart. Cálculo, volume I, Editora Pioneira - Thomson Learning, São Paulo, 2001. P. Boulos,
Introdução ao Cálculo, volume I.
Quadro 4 - Extrato plano de ensino da disciplina Cálculo para funções de uma variável real I.
Fonte: USP (2010).
Observamos, em função dos objetivos da disciplina, do conteúdo previsto, das
horas-aula e das referências bibliográficas, que se propõe revisitar a noção de
função, em particular, as funções exponenciais. A forma de desenvolvimento da
disciplina fica a cargo do professor, o que corresponde à atuação do mesmo no nível
setor, o que, em geral, corresponde à sua responsabilidade.
Considerando a bibliografia básica indicada, verificamos que a noção de
função exponencial é tratada enquanto ferramenta explícita para o desenvolvimento
das noções de limite e derivada de uma função. Isto nos leva a considerar que essa
função corresponde a um conhecimento prévio disponível.
Assim, os ostensivos de representação algébrico (fórmula) e gráfico da função
exponencial e os não ostensivos propriedades das potências, conceito de função
exponencial e suas propriedades são considerados como os conhecimentos prévios
adquiridos no Ensino Médio e servem de apoio para a introdução de novos
94
conhecimentos, em particular, para o estudo das noções de limite e derivada de uma
função.
Dessa forma, o estudo da noção de função exponencial desenvolvido no
quadro algébrico no Ensino Médio serve como ferramenta explícita para a introdução
da noção de limite e derivada no Ensino Superior.
Logo, para a noção de função exponencial, espera-se que os estudantes que
iniciam o curso de licenciatura em matemática sejam capazes de defini-la e aplicar
suas propriedades no estudo da noção de limite e derivada uma vez que podem
considerar suas representações e as propriedades de crescimento e decrescimento,
assíntota horizontal, aproximação do eixo das abscissas e deslocamento em relação
ao eixo das ordenadas. Os ostensivos de representação, em particular, o ostensivo
de representação gráfica poderão ser justificados por meio das noções de limite e
derivada de uma função, facilitando a compreensão da variação dos gráficos quando
se varia os coeficientes da função. Por exemplo, a questão do vestibular da FUVEST
2011, primeira fase, discutida no capítulo 4, ilustra como os conhecimentos
adquiridos no Ensino Médio podem auxiliar na introdução de novas noções no
Ensino Superior.
Na sequência, apresentamos os resultados da análise das relações
institucionais esperadas para o curso de licenciatura da Universidade Presbiteriana
Mackenzie.
5.5.2 Análise das relações institucionais esperadas para o curso de
licenciatura em matemática da Universidade Presbiteriana Mackenzie
O curso de licenciatura em Matemática da Universidade Presbiteriana
Mackenzie - Mackenzie dispõe de uma grade curricular em que as disciplinas estão
distribuídas em seis semestres denominados etapas. A noção de função
exponencial é revisitada na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I e
Matemática Básica II, no primeiro e segundo semestres do curso, conforme extrato da
grade onde são consideradas as cargas horárias (CH) e a quantidade semanal de aulas
teeóricas (T) e práticas (P).
95
Matriz Curricular para o curso de licenciatura em Matemática
1ª Etapa
Cód.
Disc.
100.11
97.8
093.11
70.1
070.11
76.8
070.11
75.1
070.11
82.2
100.11
98.6
100.11
12.9
110.11
84.1
Nome da Disciplina
CH
T
P
Cálculo Diferencial e Integral I
090
06
-
Ética e Cidadania I
030
02
-
Fisica Experimental I
030
-
02
Física Geral I
060
04
-
Fundamentos de Física I
060
04
-
Geometria Analítica e Vetores I
060
04
-
Matemática Básica I
060
04
-
Métodos Computacionais I
060
02
02
450
26
04
Total
Quadro 5 - Extrato da grade curricular do curso de licenciatura em Matemática do Mackenzie.
Fonte: MACK (2009).
96
2ª Etapa
Cód. Disc.
Nome da Disciplina
CH
T
P
100.1271.0
Cálculo Diferencial e Integral II
060
04
-
100.1283.4
Cálculo Numérico
060
04
-
221.2202.8
Didática
060
04
-
093.1271.4
Ética e Cidadania II
030
02
-
070.1276.4
Física Experimental II
030
-
02
070.1271.3
Física Geral II
060
04
-
221.2201.1
Fundamentos da Educação
060
04
-
070.1290.1
Fundamentos de Física II
030
02
-
100.1208.7
Geometria Analítica e Vetores II
030
02
-
100.1217.6
Matemática Básica II
030
02
-
Total
450
28
02
Quadro 6 - Extrato grade curricular do curso de licenciatura em Matemática.
Fonte: MACK (2009).
Na sequência, apresentamos os planos de ensino das disciplinas de Cálculo
Diferencial e Integral I e Matemática Básica II que nos permitiram considerar os
elementos de respostas para as questões que nos colocamos inicialmente.
Objetivos:
GERAIS: Familiarizar os alunos com funções de uma variável real e
seus gráficos, explorando os conceitos de limite, continuidade,
derivadas e suas diversas aplicações.
ESPECÍFICOS: Após a conclusão da Disciplina, o acadêmico deverá
ser capaz de utilizar os conceitos acima descritos para resolver
problemas e para prosseguir seus estudos.
Ementa:
Funções elementares e seus gráficos. Limite e continuidade.
Derivadas. Teorema do Valor Médio e algumas de suas aplicações.
Aplicações da Derivada. Noções de primitiva
97
Conteúdo
1. Funções elementares e seus gráficos. – Recordação superficial
Programático:
das funções elementares vistas no ensino médio e seus gráficos.
1.2 – Estudo de outras funções dadas por leis, gráficos ou tabelas.
1.3 – Exercícios do livro texto.
2. Limites e continuidade.
2.1 – Noção intuitiva de limite.
2.2 – Propriedades operatórias dos limites. Exercícios do livro texto.
2.3 – Limites envolvendo. Assíntotas. Exercícios do livro texto.
2.4 – Limites fundamentais.
3. Derivadas.
3.1 – Definição; interpretações geométrica e cinemática. Exercícios da
página 154.
3.2 – Regras de derivação e derivada de algumas funções
elementares. Exercícios do livro texto.
3.3 – Regra da cadeia. Exercícios do livro texto.
3.4 – Derivadas implícitas e derivadas de funções inversas. Exercícios
do livro texto.
4. Teorema do Valor Médio.
4.1 – Teoremas de Fermat, de Rolle e do valor médio e corolários.
4.2 – Regra de L’HOSPITAL. Exercícios do livro texto.
4.3 – Problemas de máximo e mínimo. Exercícios do livro texto.
4.4 – Estudo da variação de funções. Exercícios do livro texto.
5. Regras de primitivação- se houver tempo suficiente Noções
primeiras de integral. Integral definida: Regra de Barrow.
Bibliografia:
Básica:
STEWART, J., - Cálculo, Volume I, 5a Edição, Pioneira, São Paulo,
2005.
Complementar:
ÁVILA, G. S. S., Cálculo, Volume 1, 7a Edição, LTC, Rio de Janeiro,
2003
GUIDORIZZI, H. L., Um Curso de Cálculo, Volume l, 5a Edição, LTC,
Rio de Janeiro, 2001.
LEITHOLD, L., Cálculo com Geometria Analítica, Harper & Row, 1977
SIMMONS, G. F., Cálculo com Geometria Analítica, McGraw-Hill,
1987
SWOKOWSKI, E. W., Cálculo com Geometria Analítica, Makron
Books, 2a ed., 2000
Quadro 7 - Extrato do plano de ensino da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I.
Fonte: MACK (2009).
98
Objetivos:
Gerais: Resgatar o conteúdo do ensino fundamental e médio, com
a finalidade de preparar o aluno para a licenciatura.
Específicos: Números complexos. Funções exponenciais e
logarítmicas.
Geometria plana.
Ementa:
Operações com números complexos – interpretação geométrica,
extração de raízes.
Funções exponenciais, propriedades, equações e inequações
exponenciais
Funções logarítmicas, propriedades, equações e inequações
logarítmicas
Geometria Plana
Conteúdo
Operações com números complexos – interpretação geométrica.
Programático:
Extração de raízes. Função exponencial, construção de gráficos e
propriedades.
Equações e inequações exponenciais. Função
logarítmica, construção de gráficos e propriedades. Equações e
inequações
Geometria
logarítmicas.
plana
(ponto,
reta,
plano,
ângulo,
triângulos,
quadriláteros, teorema de Tales, etc.)
Bibliografia:
Básica:
IEZZI, G; MURAKAMI, C. Fundamentos de Matemática Elementar.
Volume 2 – Logaritmos e exponenciais. São Paulo: Atual Editora,
2004.
DOLCE,
O.;POMPEO
J.N.
Fundamentos
de
Matemática
Elementar. Volume 9 – Geometria Plana. São Paulo: Atual Editora,
2004.
Complementar:
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de Cálculo. Volume 1. Rio de
Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora, 2001.
MACHADO, A.S. Matemática - Temas e Metas. Volume 1 e 2. São
Paulo:
Atual Editora, 1998.
Quadro 8 - Extrato do plano de ensino da disciplina Matemática Básica II.
Fonte: MACK (2009).
A noção de função exponencial é tratada tanto na disciplina de Cálculo
Diferencial e Integral I como na disciplina de Matemática Básica II, no entanto, na
disciplina de Cálculo, ela não é considerada explicitamente. Observamos pelas
ementas e pelo conteúdo programático indicados nos planos de ensino que, na
disciplina de Cálculo, a noção de função exponencial é trabalhada enquanto objeto
99
matemático que pode funcionar como ferramenta explícita para a introdução das
noções de limite e derivada.
Apesar de ser considerada como uma ferramenta disponível no primeiro
semestre do curso, ela é revisitada por meio dos ostensivos de representação
algébrico e gráfico na disciplina de Matemática Básica II do segundo semestre e, em
função da bibliografia indicada, não se propõe explicitamente um trabalho com
situações contextualizadas, mesmo se a proposta é preparar o estudante para a
licenciatura. Isso nos conduz a pensar que a ênfase é dada aos ostensivos de
representação escrita na forma algébrica e gráfica e aos não ostensivos,
propriedades das potências, conceito de função exponencial e suas propriedades.
Mesmo utilizando a função exponencial como ferramenta explícita para o estudo das
noções de limite e derivada, em função da bibliografia indicada, o trabalho de
articulação entre os quadros algébrico e analítico fica a cargo do professor.
Percebemos ainda que, para a disciplina de Cálculo, a noção de função
exponencial é tratada enquanto conhecimento prévio disponível e, para a disciplina
de Matemática Básica II, a mesma função deve ser revisitada da forma em que já se
supõe tenha sido trabalhada no Ensino Médio conforme planos de ensino dessas
disciplinas apresentado nas páginas 99 e 100.
Causa-nos estranheza que a proposta de revisitar a noção de função
exponencial não seja tratada na disciplina de Matemática Básica I, no mesmo
semestre em que é introduzida a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, pois,
em Matemática Básica, poderia ser retomado o trabalho desenvolvido no Ensino
Médio e, na disciplina de Cálculo I, seria possível considerar a contextualização
intramatemática da função em jogo.
Ressaltamos que o professor tem poucas escolhas, em função do conteúdo
programático definido na ementa e que sua participação nos diferentes níveis de codeterminação fica restrita ao tema. Porém, o docente pode reconsiderar o seu
trabalho e, por meio de um discurso tecnológico adequado, indicar para seus
estudantes as possibilidades de articulação entre os quadros algébrico e analítico e
ainda mostrar a importância dos conhecimentos de cálculo para os futuros
professores que poderão introduzir de forma consciente a noção de derivada no
Ensino Médio.
Na sequência, demonstraremos os resultados das análises efetuadas para o
curso de licenciatura em Matemática da Universidade de Brasília – UNB.
100
5.5.3 Análise das relações institucionais esperadas para o curso de
licenciatura em matemática da Universidade de Brasília – UNB
O curso de licenciatura em Matemática de Brasília – UNB não dispõe de uma
grade curricular fixa, mas de um elenco de disciplinas obrigatórias e seletivas que
possibilitam diversas escolhas desde que se observem os pré-requisitos indicados.
O curso normalmente deve ser concluído em quatro anos.
O quadro a seguir corresponde às disciplinas obrigatórias do referido curso.
DISCIPLINAS OBRIGATÓRIAS
Depto/Disciplina
Créditos
Área
113611 - ÁLGEBRA PARA ENSINO 1 E 2
006 000 000 006
AC
113107 - ÁLGEBRA 1
004 000 000 006
AC
113204 - ANÁLISE 1
006 000 000 006
AC
113034 - CÁLCULO 1
004 002 000 006
AC
113042 - CÁLCULO 2
004 002 000 006
AC
113051 - CÁLCULO 3
004 002 000 006
AC
113417 - CÁLCULO NUMÉRICO
004 000 000 006
AC
192015 - DIDÁTICA 1
002 002 000 004
AC
113301 - EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 1
004 000 000 006
AC
118001 - FÍSICA 1
004 000 000 000
AC
118010 - FÍSICA 1 EXPERIMENTAL
000 002 000 000
AC
118028 - FÍSICA 2
004 000 000 000
AC
118036 - FÍSICA 2 EXPERIMENTAL
000 004 000 000
AC
124966 - FUND DESENV E APRENDIZAGEM
004 002 000 006
AC
117161 - GEOMETRIA 1
004 000 000 006
AC
117170 - GEOMETRIA 2
004 000 000 004
AC
113093 - INTRODUCAO À ALGEBRA LINEAR
004 000 000 006
AC
101
113913 - INTRODUCAO À CIEN. COMPUTACAO
002 002 000 004
DC
194221 – ORGAN. DA EDUCACAO BRASILEIRA
003 001 000 004
AC
115045 - PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
004 002 000 006
DC
191027 - PSICOLOGIA DA EDUCAÇÃO 1
004 000 000 002
AC
113115 - TEORIA DOS NÚMEROS
004 000 000 006
AC
113069 - VARIÁVEL COMPLEXA 1
004 002 000 006
AC
Quadro 9 - Extrato das disciplinas obrigatórias do curso de Licenciatura em Matemática da UNB.
Fonte: UNB (2010).
A noção de função exponencial é revisitada na disciplina de Cálculo 1 e e
novamente estudada na disciplina Álgebra para o ensino 1 e 2. Nesta última, as
disciplinas de Cálculo 1 e 2 são pré-requisitos, logo, os estudantes só poderão
cursar Álgebra para o ensino 1 e 2 no terceiro semestre do curso.
Na sequência, apresentamos extratos dos planos de ensino dessas duas
disciplinas, pois são eles que nos permitiram responder às questões inicialmente
colocadas.
Ementa:
1. Função de uma variável real
2. Limites e Continuidade
3. Derivada
4. Integral
5. Aplicações da integral
Programa:
1. Funções: conceito de função; exemplo de funções de uma variável real;
tipos de funções; gráficos; função composta; função inversa; funções
trigonométricas e suas inversas; função exponencial; função logaritmo
2. Limite e continuidade: conceito de limite; propriedades dos limites; limites
laterais; limites envolvendo o infinito; continuidade; Teorema do Valor
Intermediário
3. Derivadas: conceito de derivada; reta tangente e reta normal; derivadas
laterais; regras básicas de derivação; regra da cadeia; taxas relacionadas;
derivada da função inversa; derivação implícita; comportamento de funções;
máximos e mínimos; Teorema do Valor Médio; regras de l’Hospital;
concavidade, inflexão e gráficos; problemas de otimização
4. Integrais: primitivas; integrais indefinidas e suas propriedades; integral
definida e suas propriedades; Teorema Fundamental do Cálculo; integração
102
por substituição; integração por partes; integração por frações parciais;
integração de produtos de funções trigonométricas; integração por
substituição inversa; integração por substituições especiais.
5. Aplicações da integral: aplicações da integral ao cálculo de áreas planas,
comprimento de curvas, volumes e áreas de sólidos.
Bibliografia: Bibliografia Básica:
G.B. THOMAS, 11a ed., CÁLCULO - VOLUME 1, Pearson Education do
Brasil.
J. STEWART, 5a ed., CÁLCULO - VOLUME 1, Pioneira/Thomson Learning.
Bibliografia Complementar:
H. L. GUIDORIZZI, 5a ed., Um curso de cálculo, vol. 1, LTC, 2001.
G.S.S. AVILA, 4ª ed., Cálculo 1, LTC
MUNEN-FOULIS, Cálculo – Vol. 1, Guanabara Dois
S. LANG, 1a ed., Cálculo de uma variável, LTC
DEMIDOVICH, Problemas e exercícios de análise, Ed. MIR.
Quadro 10 - Extrato do Plano de ensino da disciplina Cálculo 1.
Fonte: UNB (2010).
Ementa:
- IDENTIFICAR. DESENVOLVER E RESOLVER PROBLEMAS
ALGÉBRICOS.
- DESENVOLVER O PROCESSO DE DESCOBERTO MATEMÁTICA.
- ESCOLHER NÍVEIS DE RIGOR E METODOS DE DESENVOLVER O
ENSINO DA ÁLGEBRA.
- ESTABELECER INTERPRETACÕES ALGÉBRICAS E GEOMETRICAS
PARA PROBLEMAS.
Programa:
- DESENVOLVER O APROFUNDAMENTO E APRECIAÇÃO DE
CONTEÚDOS DE ÁLGEBRA ELEMENTAR.
- RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E ENFASE A APLICAÇÕES.
- QUESTIONAMENTO SOBRE A IMOPORTÂNCIA DE TÓPICOS NOS
CURRICULOS DE 1º. E 2º. GRAUS.
- PESQUISA, ELABORAÇÃO E APRESENTAÇÃO DE PROPOSTAS
ALTERNATIVAS PARA O ENSINO - APRENDIZAGEM DA ÁLGEBRA:
TÓPICOS A SEREM ABORDADOS;
- SISTEMA DE NUMERACAO DECIMAL E INTERPRETAÇÃO LÓGICA
PARA OS ALGORITMOS DAS 4 OPERAÇÕES BÁSICAS.
- EXTENSÃO DOS NATURAIS AS FRAÇÕES POSITIVAS.
INTERPRETACOES LÓGICAS DAS 4 OPERAÇÕES.
- EXTENSÃO DOS NATURAIS AOS INTEIROS,
- SIGNIFICADOS FÍSICOS E MATEMÁTICOS PARA ESTA EXTENSÃO.
- INTERPRETAÇÕES LÓGICAS DAS REGRAS DE SINAIS PARA
OPERAÇÕES.
- EXTENSÃO DOS INTEIROS AOS RACIONAIS. REPRESENTAÇÃO
DECIMAL DOS RACIONAIS.
- NÚMEROS IRRACIONAIS. CARDINALIDADE DO CONJUNTO DOS
RACIONAIS E O IRRACIONAIS.
- INTRODUCAO A LINGUAGEM ALGEBRICA. EQUACOES DE 1º. E 2º.
GRAUS.
SISTEMAS DE EQUAÇÕES.
- APRESENTAÇÃO DE DADOS EM TABELAS E GRÁFICOS
DIVERSOS.
103
- PLANO ALGEBRIZADO: CORRELAÇÃO ENTRE REGIÕES DO PLANO
E EXPRESSÕES ALGÉBRICAS.
- INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÕES.
- FUNCOES DE 1º. E 2º. GRAUS. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.
IDENTIDADES E EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS.
- FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARÍITMO.
- ANÁLISE COMBINATÓRIA: ARGUMENTO E ORGANIZAÇÃO DE
CONTAGEM. ARRANJOS,
COMBINAÇÕES E PERMUTAÇÕES.
Bibliografia: TROTTA, IMENES & JAKOBOVIC, MATEMATICA APLICADA; VOL 1, 2
E3
FREMONT, HERBERT, TEACHING SEC. MATH THROUGH
APPLICATIONS
E. WILLIAMS & H. STWARD HARLOW 3a. EDICAO, PRIMARY
MATHEMATICS TODAY ED. LONGMAN 1982
Quadro 11: Extrato do Plano de ensino da disciplina Álgebra para o Ensino 1 e 2.
Fonte: UNB (2010).
Observando os extratos dos planos de ensino das disciplinas em que a noção
de função exponencial aparece explicitamente, podemos considerar que a atuação
do professor se limita ao nível setor, o que corresponde à forma clássica de ação do
professor quando se leva em conta os diferentes níveis de co-determinação.
É possível identificar, por meio das referências bibliográficas indicadas nos
dois planos de ensino, que a função exponencial é tratada como objeto matemático
desenvolvido por meio de seus ostensivos de representação na forma algébrica
(fórmula), na forma de tabela e gráfica, considerando como não ostensivos as
propriedades das potências, a definição de função exponencial, suas propriedades e
seu gráfico, manipulados por meio dos ostensivos indicados acima.
Ressaltamos ainda que a noção de função exponencial e seus ostensivos de
representação são usados como ferramentas explícitas para a introdução de novas
noções na disciplina de Cálculo 1, em que se privilegia o quadro analítico. Como não
há nenhuma indicação, a articulação entre o quadro analítico a ser desenvolvido e o
quadro algébrico já trabalhado no Ensino Médio fica totalmente a cargo do professor
e a bibliografia indicada não auxilia na realização desse trabalho.
Na disciplina Álgebra para o ensino 1 e 2, fazendo jus ao seu nome, o
desenvolvimento proposto privilegia o quadro algébrico, que será o usado para o
estudo das funções no Ensino Médio. Em relação aos ostensivos e não ostensivos,
são considerados os mesmos da disciplina de Cálculo 1.
Na bibliografia, não é possível encontrar elementos que indiquem a
articulação entre o quadro algébrico e analítico, mesmo se a disciplina Cálculo 1 é
104
pré-requisito para a disciplina Álgebra para o ensino 1 e 2. Isto nos leva a concluir
que essa articulação fica a cargo do professor, mas a utilização da função
exponencial para modelar situações contextualizadas é implicitamente considerada,
uma vez que os livros indicados na bibliografia propõem esse tipo de tarefa para os
estudantes.
Nas duas disciplinas consideradas, foi possível observar que a noção de
função exponencial serve de conhecimento prévio disponível para a introdução de
novas noções ou para a modelagem de situações contextualizadas, todavia, esse
trabalho fica a cargo de professores e estudantes.
Na sequência, mostramos os resultados das análises efetuadas para o curso
de licenciatura em Matemática da Universidade de Campinas – UNICAMP.
5.5.4 Análise das relações institucionais esperadas para o curso de
licenciatura em matemática da Universidade de Campinas – UNICAMP
O curso de licenciatura em Matemática de Campinas – UNICAMP não dispõe
de uma grade curricular fixa, mas de um elenco de disciplinas obrigatórias (núcleo
comum) e seletivas que possibilitam diversas escolhas. O curso normalmente deve
ser concluído em quatro anos.
O quadro a seguir corresponde às disciplinas do núcleo comum:
Núcleo Comum ao Curso:
EL211 Política Educacional: Estrutura e Funcionamento da Educação Brasileira
EL284 Educação Matemática Escolar I
EL511 Psicologia e Educação
EL683 Escola e Cultura
EL684 Educação Matemática Escolar II
EL774 Estágio Supervisionado I
EL874 Estágio Supervisionado II
EL883 Práticas Pedagógicas em Matemática
F 128 Física Geral I
F 228 Física Geral II
MA044 Matemática IV
MA109 Matemática Básica
105
MA111 Cálculo I
MA141 Geometria Analítica e Vetores
MA148 Fundamentos da Matemática
MA211 Cálculo II
MA220 Matemática Discreta
MA224 Resolução de Problemas Matemáticos
MA311 Cálculo III
MA327 Álgebra Linear
MA502 Análise I
MA520 Geometria Plana e Desenho Geométrico
MA553 Teoria Aritmética dos Números
MA673 Elementos de Álgebra
MA770 Geometria
MA811 Cultura Matemática I
MA812 Cultura Matemática II
MA813 Cultura Matemática III
MA901 Estágio Supervisionado I
MA902 Estágio Supervisionado II
MC102 Algoritmos e Programação de Computadores
ME951 Estatística e Probabilidade I
MS211 Cálculo Numérico
Quadro 12 - Disciplinas do Núcleo Comum.
Fonte: UNICAMP (2010).
Entre as disciplinas do núcleo comum, identificamos que a noção de função
exponencial é explicitamente indicada para ser trabalhada na disciplina de
Matemática Básica e implicitamente em Cálculo I, pois, nos extratos dessas
ementas, os quais serão apresentados a seguir, encontramos apenas indicações
sobre o domínio a ser desenvolvido no caso de Cálculo I e o setor para Matemática
Básica como é possível observar nos quadros que seguem.
106
MA091 - Matemática Básica
OF:S-1 T:004 P:002 L:000 O:000 D:000 HS:006 SL:006 C:006 AV:N EX:S FM:75%
Pré-Req.: Não há
Ementa: Conjuntos de números (naturais, inteiros, racionais, reais e complexos), sequências reais.
Estudo elementar de funções reais: gráficos, operações com funções, tipos de funções. Funções
trigonométricas: definições, gráficos. Função exponencial e função logarítmica. Polinômios: raízes.
Sequências reais. Progressões. Noções de limite e continuidade.
Quadro 13 - Ementa da disciplina Básica.
Fonte: UNICAMP, 2010.
MA151 - Cálculo I
OF:S-5 T:004 P:000 L:000 O:000 D:000 HS:004 SL:004 C:004 AV:N EX:S FM:75%
Pré-Req.: Não há
Ementa: Funções reais de uma variável real. Limite. Continuidade. Derivada. Integral. Técnicas de
integração.
Quadro 14 - Ementa da disciplina Cálculo I.
Fonte: UNICAMP (2010).
Com base nas disciplinas, podemos supor que fica a cargo do professor
articular os conhecimentos algébricos adquiridos no Ensino Médio com os novos
conhecimentos a serem introduzidos no Ensino Superior, em particular, na disciplina
Cálculo 1. Mesmo contando com poucos elementos para responder nossas
questões, podemos considerar que os ostensivos privilegiados são os na forma de
representações algébrica (fórmula) e gráfica e que os não ostensivos em jogo são as
propriedades das potências, a definição de função exponencial e de suas
propriedades.
O quadro privilegiado é o analítico, mas o professor pode assumir a
responsabilidade que em geral lhe é atribuída e articular os quadros algébrico e
analítico. Além disso, considerando que a ênfase dada às tarefas do vestibular da
UNICAMP é a aplicação dos conceitos e das noções introduzidos no Ensino Médio
em situações contextualizadas, espera-se que esse trabalho seja retomado no
Ensino Superior, isto é, que se utilize a função exponencial como ferramenta
explícita para a modelagem de situações da própria matemática, das outras ciências
e do cotidiano, ampliando as situações de referência que os estudantes
desenvolveram no Ensino Médio.
Na sequência, trazemos os resultados das análises efetuadas para o curso de
licenciatura em Matemática da Fundação Santo André – FSA.
107
5.5.5 Análise das relações institucionais esperadas para o curso de
licenciatura em matemática do Centro Universitário Fundação Santo André –
FSA
O curso de licenciatura em Matemática do Centro Universitário Fundação
Santo André – FSA dispõe de uma grade curricular em que as disciplinas estão
distribuídas em quatro séries. Logo, o curso se desenvolve em quatro anos.
A grade curricular da primeira série do curso é apresentada a seguir:
DISCIPLINAS / SÉRIES
Carga
Carga
horária
horária
semanal
anual
Cálculo Diferencial e Integral I
04
144
Álgebra I
04
144
Geometria I
04
144
Geometria Analítica
04
144
Tecnologias e Laboratório de Ensino de
02
72
Políticas Públicas em Educação
02
72
Educação Física
02
72
1ª SÉRIE
Matemática
Quadro 15 - Extrato da grade curricular do Curso de Licenciatura em Matemática.
Fonte: UNICAMP (2010).
A partir das disciplinas indicadas na grade e após a análise de seus planos de
ensino, identificamos, na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, a proposta de
revisar conteúdos dos Ensinos Fundamental e Médio. Para tanto, nos objetivos
específicos da disciplina, explicita-se a forma de trabalho com esses conteúdos.
Na sequência, mostramos um extrato da grade de análise da disciplina de
Cálculo Diferencial e Integral I, da qual retiramos ementa, programa detalhado e
bibliografia:
108
2
Ementa
-Revisão do Ensino Fundamental e Ensino Médio(detalhado abaixo)
-Limite e Continuidade de Funções de Uma Variável ;
-Estudo da Função Derivada e suas Aplicações ;
-Integrais e suas aplicações.
-Ao longo do ano desenvolveremos atividades relativas às Práticas Pedagógicas , leitura e
interpretação de problemas.
Programa detalhado da Disciplina
Revisão:
a)
Conjuntos Numéricos (N , Z , Q , I , R )
b)
Intervalos
c)
Funções de uma variável real (domínio, imagem, gráfico de funções
elementares e funções definidas por mais de uma sentença )
d)
Fatoração, potenciação, radiciação(racionalização)
e)
Polinômios (divisão de polinômios)
Limite de Funções: ( função de uma variável real )
•
Conceitos e significados
•
Limites finitos e propriedades operatórias
•
Limites indeterminados
•
Continuidade de funções
•
Limites infinitos
•
Limites no infinito
•
Limites fundamentais
Função Derivada: ( função de uma variável real )
•
A derivada ( conceitos- significado geométrico-reta tangente)
•
Função Derivada ( definição e propriedades)
•
Derivada de Função Composta
•
Derivabilidade e Continuidade de Funções
•
Derivação Logarítmica
•
Regra de L'Hospital
Estudo da Variação de Funções: (função de uma variável real )

Teorema de Rolle-( Teorema do Valor Médio )

Gráfico de Funções

intervalo de crescimento/decrescimento da função

concavidade e ponto de inflexão

ponto máximo e ponto mínimo

pontos de descontinuidade

assíntotas

Problemas de máximo e mínimo de funções ( aplicações )
109

Diferenciais ( conceitos e aplicações simples)
Integrais:
a)
A Integral como área:

conceitos, significados, definições

a integral definida- teorema fundamental do cálculo

propriedades operatórias

cálculo de integrais definidas imediatas
b)
A Integral Indefinida ( definição e notação)
c)
Métodos de Integração
1)
método de integração por substituição
2)
método de integração por partes
3)
método de integração para funções racionais por frações parciais
d)
Aplicações da Integral Indefinida
1)
cálculo da área de uma região plana limitada por curvas dadas por uma
função
2)
cálculo do comprimento de arco de uma curva dada por uma função
Bibliografia
Básica:

BOULOS, Paulo e ABUD, Zara Issa - Cálculo Diferencial e Integral. São Paulo:Makron Books,
1999.
FLEMING, Diva M. Cálculo A .São Paulo: Editora Atlas,1992.
CATTARUZZI, Antonio e ROCHA, Helenice D.M. e DONATTO, Wladimir- Notas de Aula. São
Paulo:[s.n.],1992
Complementar:
ROCHA, Luiz Mauro. Cálculo I. São Paulo: Editora Atlas,9ª.ed.,1987
AYRES , Frank Jr. Cálculo. São Paulo: McGraw-Hill,1981
PISKUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral. São Paulo: Ao Livro Técnico
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um Curso de Cálculo.São Paulo: Livros Técnicos e Científicos
Editora S.A.
Quadro 16 - Extrato do plano de ensino da disciplina Cálculo Diferencial e Integral I.
Fonte: UNICAMP (2010).
A citação a seguir, que corresponde aos objetivos específicos da disciplina,
coloca em evidência a preocupação em utilizar os conhecimentos desenvolvidos nos
Ensinos Fundamental e Ensino Médio como conhecimentos prévios de apoio à
introdução de novos conhecimentos, em particular, das noções de limite, derivada e
integral.
110
Sendo uma disciplina do Curso de Licenciatura em Matemática, pretende-se
reforçar os conceitos adquiridos no Ensino Fundamental e Ensino Médio,
bem como eliminar distorções apreendidas, insistindo sempre na
necessidade de formalizar. Com os conceitos adquiridos principalmente em
Limite de Funções e Função Derivada, aplicar no estudo e comportamento
de funções, resolvendo pequenos problemas de Máximo e Mínimo de
Funções e construir um esboço do gráfico de algumas funções. Com o
cálculo de Integrais pretende-se que saiba calcular áreas e aplicar estes
conhecimentos em Mecânica e Economia. Os pré-requisitos necessários e
fundamentais para o fluxo de entendimento normal do Cálculo Diferencial e
Integral, remontam a todos os conhecimentos que foram adquiridos ao
longo do Ensino Fundamental e Ensino Médio, dando-se ênfase ao
mecanismo operacional da matemática, e cujo desconhecimento, mesmo
em parte, acarreta todas as dificuldades sentidas pelo aluno. (Plano de
Ensino FSA, 2012).
A análise da ementa, do programa detalhado e da bibliografia nos permitiu
encontrar elementos de resposta às questões consideradas para a análise da
relação institucional esperada para o tratamento da noção de função exponencial no
Ensino Superior.
Assim, observamos que a noção de função exponencial é
introduzida na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I, possibilitando ao
professor atuar no nível de co-determinação domínio, pois espera-se que o
estudante articule os conhecimentos sobre a noção de função exponencial adquirida
no Ensino Médio com os conhecimentos de Cálculo a serem introduzidos no Ensino
Superior.
Dessa forma, a função exponencial é tratada enquanto objeto matemático e
se espera que seja utilizada como ferramenta implícita para a introdução de novos
conhecimentos em situações intramatemáticas. Em função do trabalho a ser
realizado e da bibliografia indicada, podemos supor que os ostensivos de
representação algébrico (fórmula) e gráfico são privilegiados e que os não
ostensivos em jogo são as propriedades das potências, a definição de função
exponencial e suas propriedades.
A indicação para que se revisitem os conteúdos dos Ensinos Fundamental e
Ensino Médio conduz à articulação entre os quadros algébrico e analítico. Isto supõe
uma contextualização intramatemática da noção de função exponencial que é
introduzida no Ensino Médio apenas no quadro algébrico e que, pela proposta, deve
ser articulada com as noções de limite, derivada e integral do quadro analítico.
111
5.6 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
Lembrando que as praxeologias são os componentes dos diferentes habitats,
que são os lugares onde vivem os objetos matemáticos, no nosso estudo, sobre a
noção de função exponencial, observamos que a escala correspondente aos
diferentes níveis de co-determinação é que determina o processo de difusão
praxeológico. Dessa maneira, ressaltamos que a noção de níveis de codeterminação é introduzida, pois as condições e restrições desse processo de
difusão podem ser exploradas e localizadas em um nível, mas se exprimir em outro.
Retomando a escala: tópicos ↔ temas ↔ setores ↔ domínios ↔ disciplinas
↔ pedagogia ↔ escola ↔ sociedade ↔ civilização, conforme a definição de
Chevallar (2007a), observamos que as relações institucionais esperadas para os
Ensinos Fundamental e Médio não limitam o professor no nível setor, isto é, a ação
apenas sobre estudo das propriedades algébricas ou analíticas das funções, pois o
docente pode agir no nível escola, participando da organização curricular, o que
supõe a participação nos outros níveis.
Já com a Proposta Curricular do Estado de São Paulo, implementada em
2008, a ação do professor se limita ao nível tema, uma vez que ele pode ampliar a
proposta, utilizando os livros didáticos indicados pelo Programa Nacional do Livro
Didático – PNLD. Apesar dos educadores e professores ficarem limitados apenas
aos temas, quando fazem uso apenas dos Cadernos do Professor e do Aluno, os
mesmos podem servir de material de apoio e auxiliar no desenvolvimento da
interdisciplinaridade e flexibilidade quando integrados aos seus respectivos projetos.
As análises das grades curriculares e dos planos de ensino das universidades
públicas, da universidade privada e do centro universitário mostraram uma tendência
de utilizar a função exponencial enquanto objeto matemático, que será usado como
ferramenta implícita para o desenvolvimento das noções de limite em derivada na
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral. Em geral, a noção de função exponencial
é utilizada como ferramenta na disciplina de Cálculo e supõe-se que os ostensivos
de representação algébrico e gráfico, assim como os não ostensivos propriedades
das potências, definição de função exponencial e suas propriedades, correspondem
aos conhecimentos prévios disponíveis, nos quais podemos nos apoiar para
introduzir novas concepções.
112
Apesar da noção de função exponencial estar indicada como conteúdo a ser
desenvolvido na disciplina de Cálculo para todos os cursos das instituições
consideradas nesta pesquisa, apenas no plano de ensino da referida disciplina para
o Curso de Licenciatura em Matemática do Centro Universitário Fundação Santo
André existe uma orientação para articular os conhecimentos sobre as funções
exponenciais desenvolvidos no Ensino Médio por meio do quadro algébrico com os
novos conhecimentos a serem introduzidos no Ensino Superior por meio do quadro
analítico. Assim, somente para um curso encontramos a indicação explícita da
necessidade de articular os conhecimentos adquiridos no Ensino Médio com os
novos conhecimentos a serem introduzidos no Ensino Superior, o que corresponde à
articulação entre os quadros algébrico e analítico.
Para os Cursos de Licenciatura em Matemática da UNICAMP, Mackenzie e
UNB são propostas disciplinas cujo objetivo é revisitar conteúdos dos Ensinos
Fundamental e Médio. Todavia, nenhuma orientação explícita é dada, ficando assim
a cargo dos professores e estudantes efetuar as articulações necessárias.
Observamos ainda que as referências bibliográficas dos planos de ensino
considerados não indicam obras recentes, mesmo do Ensino Médio, em que essa
articulação se faz presente por meio de tarefas contextualizadas.
Na sequência, demonstramos a grade de análise por nós construída que
serve como ferramenta de análise para as relações institucionais existentes, quais
foram aqui examinadas via livros didáticos indicados no Programa Nacional do Livro
Didático – PNLD e das relações pessoais esperadas dos estudantes ao final do
Ensino Médio e início e final do Ensino Superior, aqui analisadas via as
macroavaliações ENEM, vestibular UNICAMP e ENADE.
113
6 GRADE DE ANÁLISE
6.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Neste capítulo, estudamos os diferentes tipos de tarefas associados à noção
de função exponencial quando de sua introdução no Ensino Médio e aplicação na
apresentação de novos conhecimentos no Ensino Superior. Mostramos, por meio
dessas tarefas, que a função exponencial pode ser usada para modelar
matematicamente.
Para a introdução dessa nova função é importante resgatar o conceito de
potência nos diferentes conjuntos numéricos e suas propriedades, portanto, é
preciso revisitar noções já estudadas nas séries anteriores, tendo em vista que elas
são consideradas conhecimentos prévios à introdução da noção de função
exponencial. Esses conhecimentos já trabalhados em diferentes níveis precisam ser
revisitados e retrabalhados por meio da articulação de quadros em função dos
ostensivos que permitem manipulá-los e dos não ostensivos evocados durante esse
processo.
Por exemplo, após definir a função exponencial por meio do ostensivo de
representação algébrica (fórmula), consideram-se as potências com expoente
natural, inteiro, racional, irracional, sendo que nessa última é importante utilizar uma
calculadora para determinar o valor aproximado do expoente e as respectivas
potências. Considerando que os números reais são a reunião dos racionais e
irracionais, defini-se a potência com expoente real que corresponde ao domínio da
função exponencial. Assim, observamos que, para a definição dessa função, é
necessário recorrer aos não ostensivos potenciação, às suas propriedades e aos
conjuntos numéricos introduzidos no Ensino Fundamental e revisitados no Ensino
Médio que correspondem aos ostensivos escriturais ou orais associados para a
explicitação da manipulação efetuada.
O desenvolvimento das diferentes tarefas que podem aparecer tanto no
Ensino Médio como Superior exige que se disponha de conhecimentos prévios em
relação às noções que servem de ferramentas explícitas para o desenvolvimento do
trabalho matemático em jogo, bem como a escolha da representação adequada, ou
114
seja, do ostensivo de representação a ser utilizado que auxilia em uma melhor
interpretação da tarefa proposta. Certamente, essas tarefas envolvem ainda
mudanças de quadros que dependem da etapa escolar em que a noção de função
exponencial está sendo trabalhada.
Considerando as necessidades anteriormente apresentadas, observamos
ainda que a noção de função exponencial é indispensável para o estudo de Cálculo
Diferencial e Integral, outros domínios da própria Matemática assim como para as
mais diversas ciências. Podemos considerar como exemplo, para mostrar a
importância do estudo da função exponencial, a noção matemática de progressão
geométrica proposta para ser desenvolvida no Ensino Médio com a devida
articulação com a função exponencial e a noção de juros compostos. Além disso, a
função exponencial serve como ferramenta explícita para modelar fenômenos de
outras ciências como a física, a biologia, a economia, isto é, a função exponencial e
as noções a ela associadas devem ser uma ferramenta matemática disponível para
o trabalho em diferentes disciplinas ou áreas tanto no Ensino Médio como no Ensino
Superior.
Para melhor precisar essa necessidade, podemos considerar a noção de
juros compostos em Matemática Financeira que, em geral, é desenvolvida no Ensino
Médio e revisitada no Ensino Superior, em particular para os cursos de
Administração nos quais a ênfase é dada à utilização de novas tecnologias para o
cálculo de juros, supondo que os estudantes dispõem de conhecimentos sobre a
função exponencial que possibilitam a aplicação sem necessidade de explicitar suas
propriedades, tal como mostra o trabalho de Cabello (2010). O mesmo ocorre para o
modelo matemático associado à desintegração radioativa que, em geral, é
trabalhado nos cursos de Física no Ensino Superior.
Assim, quando se considera a introdução da noção de função exponencial no
contexto escolar, verificamos que, normalmente, ela é trabalhada com uma ênfase
sobre os ostensivos de representação algébrico e gráfico nos dois primeiros anos do
Ensino Médio e espera-se que os estudantes possam aplicar essas representações
nos diferentes contextos, em especial, para alguns cursos específicos do Ensino
Superior. Então, para melhor compreender algumas necessidades associadas à
noção de função exponencial expostas, construímos uma grade de análise, na qual
identificamos os diferentes tipos de tarefas que sobrevivem atualmente nos Ensinos
Médio e Superior no Brasil.
115
6.2 A GRADE DE ANÁLISE
Construímos a seguinte grade de análise com o propósito de servir de
instrumento que permitisse analisar a articulação de quadros em função dos
ostensivos a serem manipulados e dos não ostensivos a serem evocados. Além
disso, nossa grade possibilita a identificação do nível de conhecimento esperado dos
estudantes para a própria noção de função exponencial assim como dos
conhecimentos prévios associados para a sua introdução e aplicação enquanto
ferramenta explícita para o desenvolvimento do trabalho matemático na introdução
de novos conhecimentos intramatemáticos e extramatemáticos.
Dessa forma, nossa grade de análise segue o modelo proposto por Dias
(1998) em sua tese, e foi desenvolvida:

Em função dos diferentes tipos de tarefas associadas à noção de
função exponencial encontrada no Ensino Médio e no Ensino Superior;

Em função das variáveis dessas tarefas, para as quais se deu ênfase
ao nível de conhecimento pedido explicitamente no enunciado e os diferentes níveis
de conhecimento que podem ser identificados em relação a outras noções que
devem ser utilizadas para a solução da tarefa. Certamente, a explicitação dos
diferentes níveis de conhecimento esperados dos estudantes exige que se considere
a articulação de quadros, a manipulação dos ostensivos e a evocação dos não
ostensivos associados.
Primeiramente, estudamos as diferentes tarefas usualmente encontradas nos
livros didáticos de matemática, destinados aos primeiros anos do Ensino Médio e
Superior para a introdução e aplicação da noção de função exponencial e, em
seguida, os diferentes níveis de conhecimento exigidos dos estudantes na solução
dessas tarefas.
Para a noção de função exponencial, consideramos cinco classes de
noções:
e)
A noção de potência e suas propriedades
f)
A noção de equações exponenciais
g)
A definição da função exponencial
h)
A noção de gráfico da função exponencial
i)
A noção de limite no infinito para a função exponencial
116
Para cada uma dessas noções, selecionamos as diferentes tarefas
encontradas em livros didáticos destinados ao Ensino Médio e ao Ensino Superior.
As tarefas a seguir correspondem àquelas, em geral, encontradas nos livros
didáticos indicados pelo Programa Nacional do Livro Didático para 2012, 2013 e
2014 – PNLD e nos dois livros didáticos do Ensino Superior, objeto de estudo nesta
pesquisa.
Para a análise das tarefas, consideramos as seguintes variáveis das tarefas:
•
Técnicas e tecnologias associadas à tarefa
•
Teorias associadas às tecnologias
•
Quadro(s) em que a tarefa é enunciada
•
Quadro(s) de solução da tarefa
•
Ostensivos de representação escrita
•
Não ostensivos associados
•
Nível de conhecimento esperado dos estudantes
Na sequência, apresentamos exemplos de funcionamento da grade para os
diferentes tipos de tarefas encontradas.
6.3 EXEMPLOS DE FUNCIONAMENTO DA GRADE
Nos exemplos de funcionamento da grade de análise, consideramos a tarefa
geral e, em seguida, apresentamos um ou mais exemplos para ilustração. Esses
exemplos são casos particulares e escolhemos apresentar as tarefas, retiradas de
livros didáticos destinados ao Ensino Médio e ao Ensino Superior, pois, ao mesmo
tempo em que se tenta apresentar os diferentes tipos de tarefas, que podem ser
trabalhadas em um curso de introdução da noção de função exponencial, é possível
mostrar as necessidades em termos de articulação de quadros, manipulação de
ostensivos e evocação de não ostensivos assim como das necessidades em função
do nível de conhecimento esperado dos estudantes em relação à própria noção de
função exponencial e as outras noções em jogo.
Em outras palavras, isso significa que, por meio dos exemplos, podemos
identificar as diferentes formas de conhecimento que permitem compreender melhor
quais as margens de manobra existentes para que os estudantes sejam capazes de
117
identificar os diferentes conhecimentos em jogo. Assim, os discentes podem
responder corretamente a tarefa proposta em função da etapa escolar em que eles
se encontram.
Na sequência, iniciamos, apresentando os possíveis quadros de trabalho para
cada classe de noção, assim como os diferentes ostensivos de representação
utilizados na manipulação do trabalho matemático em jogo e os não ostensivos
respectivamente evocados. Em seguida, demonstraremos a tarefa geral e os
respectivos exemplos para os quais aplicamos a grade de análise.
1 - Noção de potência e suas propriedades
Para essa classe de noção, identificamos os seguintes quadros:
Quadro numérico: Quando trabalhamos apenas com números para aplicar as
propriedades de potências e/ou para desenvolver cálculos com expressões que
envolvem potências. Exemplo: Efetue, utilizando as propriedades das potências:
60,8. 60,5
Quadro algébrico: Quando trabalhamos com letras e números para aplicar as
propriedades de potências e/ou para desenvolver cálculos com expressões que
envolvem potências. Exemplo: Reduza a expressão a uma única potência:
Para essa classe de noção, identificamos os seguintes ostensivos de
representação escrita e não ostensivos associados:
Ostensivo de Representação em forma de potência explícita: Exemplo: 128 = 27. O
não ostensivo associado é a noção de potência.
Ostensivo de Representação em forma de potência algébrica explícita: Exemplo: 2x
e x2. O não ostensivo associado é a noção de potência.
Ostensivo de Representação em forma de potência simbólica: transformar um
número real em potência. Exemplo: ax. O não ostensivo associado é a noção de
potência.
Ostensivo de Representação decimal de um número real: O número é dado na
forma decimal. Os não ostensivos associados são as noções de número decimal e
potência de base 10. Exemplo: 0,000005 = 5x10–6 (notação científica).
118
Ostensivo de Representação fracionária explícita: O número é dado na forma
fracionária explícita. O não ostensivo associado é a noção de fração. Exemplo: .
Ostensivo de Representação fracionária simbólica: O número é dado na forma
fracionária simbólica. O não ostensivo associado é a noção de fração.
Exemplo: . , com b diferente de zero.
Identificamos duas tarefas associadas a essa classe de noção que, em geral,
são trabalhadas no Ensino Médio, revisitadas no Ensino Superior ou apenas
introduzidas no Ensino Superior conforme identificação EM, ES ao lado da tarefa.
Tarefa 1: Aplicar as propriedades de potência de mesma base. (EM, ES)
Exemplo: Determinar o número real que representa o produto: 60,8.60,5
Técnicas e tecnologias associadas: A técnica consiste em aplicar as propriedades
da potência e/ou utilizar uma calculadora científica para efetuar o cálculo pedido.
A tecnologia depende da resposta esperada:
- quando o resultado deve ser dado na forma de potência com expoente decimal,
basta justificar pela propriedade “na multiplicação de potências de mesma base
conserva-se a base e somam-se os expoentes”.
- quando o resultado deve ser dado na forma de expoente fracionário, após utilizar a
propriedade, é preciso fazer a passagem da representação decimal para a
representação fracionária.
- pode-se ainda representar a potência na forma de multiplicação de um número
inteiro por uma potência com expoente decimal e este pode ser convertido na forma
de fração ou por meio da raiz de expoente fracionário.
- ao utilizar uma calculadora, para encontrar o número real que representa o produto
dado, basta calcular cada potência e efetuar o respectivo produto, podendo também
aplicar a propriedade e fazer o cálculo no final.
Teorias associadas às tecnologias: Noção de potência de expoente real e suas
propriedades e noção de conjunto dos números reais, suas operações e
propriedades.
Quadro(s) em que a tarefa é enunciada: numérico.
Quadro(s) de solução da tarefa: numérico.
119
Ostensivos de representação escrita: representação em forma de potência,
representação fracionária, representação de radicais, representação decimal,
representação algébrica explícita.
Não ostensivos associados: a noção de potência de expoente real, operações com
potências e propriedades das potências, a noção de número real, suas operações e
propriedades, a noção de radiciação, suas operações e propriedades.
Nível
de
conhecimento
esperado
dos
estudantes:
É
preciso
dispor
de
conhecimentos sobre as propriedades das potências de mesma base e operações
com números reais, em particular com decimais e frações.
Tarefa 2: Reduzir expressões que envolvem potências. (EM)
Exemplo: Reduza a expressão a uma única potência:
·
Técnicas e tecnologias associadas: Uma primeira técnica consiste em transformar os
números em potências 2, 5 e 10 e aplicar as propriedades das potências de mesma
base e potência de quociente.
A tecnologia associada corresponde a converter os números decimais na
forma de fração decimal, fatorar numeradores e denominadores das frações
encontradas e aplicar as propriedades de potência de mesma base. Após esse
desenvolvimento, encontra-se uma fração elevada a um expoente negativo, na qual
se aplica a propriedade da potência de um número negativo que, para o caso da
base ser um número fracionário, inverte-se a fração, encontrando uma potência de
base 5. Convertendo-se os números inteiros em potências de base 5, aplica-se a
propriedade da potência de potência e multiplicação e divisão de potências de
mesma base.
Uma segunda técnica corresponde a efetuar a divisão dos números decimais
e em seguida utilizar as propriedades das potências de mesma base.
A tecnologia associada a esta técnica depende da possibilidade de utilizar ou
não a calculadora, pois, para os que não dispõem desse instrumento, é necessário
dividir dois decimais, o que corresponde a acertar as casas decimais e efetuar a
divisão. Após encontrar como resultado da divisão o número 5, recaímos na
tecnologia descrita no final da técnica anterior.
120
Teorias associadas às tecnologias: Noção de potência de expoente real e suas
propriedades e noção de conjunto dos números reais, suas operações e
propriedades.
Quadro(s) em que a tarefa é enunciada: algébrico.
Quadro(s) de solução da tarefa: algébrico.
Ostensivos de representação escrita: representação em forma de potência,
representação fracionária, representação de radicais, representação decimal,
representação algébrica explícita.
Não ostensivos associados: a noção de potência de expoente real, operações e
propriedades das potências, a noção de número real, suas operações e
propriedades, a noção de radiciação, suas operações e propriedades.
Nível
de
conhecimento
esperado
dos
estudantes:
É
preciso
dispor
de
conhecimentos sobre as propriedades das potências de mesma base e operações
com números reais, em particular com decimais e frações.
Em relação à classe de noção de equações exponenciais, identificamos as
tarefas que seguem.
2 – Noção de equações exponenciais
Para essa classe de noção, identificamos os seguintes quadros:
Quadro numérico: Quando trabalhamos apenas com números para aplicar a
definição e/ou as propriedades de potências para resolver equações nas quais a
incógnita aparece no expoente.
Exemplo: Determine o expoente da base 7 para que a potência formada seja
igual a 343.
Quadro algébrico: Quando trabalhamos com letras e números para aplicar a
definição e/ou as propriedades de potências para resolver equações nas quais a
incógnita aparece no expoente.
Exemplo: Resolva a equação: 2x = 0,25
Para essa classe de noção, identificamos os seguintes ostensivos de representação
escrita e não ostensivos associados:
Ostensivo de Representação em forma de potência numérica explícita: transformar
uma frase em uma potência.
121
Exemplo: A potência de base 5 elevada a certo expoente resulta em 625.Qual
é o expoente? O não ostensivo associado é a definição de potência.
Ostensivo de Representação em forma de potência algébrica explícita: resolver uma
equação na qual a incógnita aparece no expoente. Exemplo: 32x - 12.3x + 27 = 0. O
não ostensivo associado é a noção de potência e suas propriedades para
transformar a equação dada em uma equação do segundo grau.
Tarefa 3: Determinar o expoente de uma base dada para que a potência seja igual a
um número conhecido. (EM)
Exemplo: Determine o expoente da base 7 para que a potência formada seja
igual a 343.
Técnicas e tecnologias associadas: A técnica consiste em calcular o expoente da
potência de 7 que é igual a 343.
Teorias associadas às tecnologias: Decomposição de um número em forma de
produto de números primos e definição de potência.
Quadro em que a tarefa é anunciada: numérico.
Quadro(s) de solução da tarefa: numérico se a opção for a construção de uma tabela
que mostre o aumento de 71 para 73 e algébrico se a opção for uma equação
exponencial.
Ostensivos de representação escrita: representação na forma de potência numérica
explícita.
Não ostensivos associados: noção de potência de expoente natural.
Nível
de
conhecimento
esperado
dos
estudantes:
É
preciso
dispor
de
conhecimentos sobre a definição de potência e decomposição de um número real
em forma de produto de fatores primos. Em relação à resolução da equação na qual
a incógnita encontra-se no expoente, trata-se de desenvolver as técnicas e fórmulas
associadas à resolução das equações exponenciais.
Tarefa 4: Resolver as equações nas quais a incógnita aparece no expoente. (EM)
Exemplo: Resolver a equação exponencial em IR:
=
Técnicas e tecnologias associadas: Reduzir o 1º e o 2º membros às potências de
mesma base, utilizando a definição de potência e suas propriedades.
Teorias associadas às tecnologias: Definição de potência de expoente real e suas
propriedades e técnicas de resolução de equações do 1º e 2º graus.
122
Quadro(s) em que a tarefa é enunciada: algébrico.
Quadro(s) de solução da tarefa: algébrico.
Ostensivos de representação escrita: representação em forma de potência,
representação fracionária, representação de radicais, representação decimal,
representação algébrica explícita.
Não ostensivos associados: resolução de equação do 1º e 2º grau, definição de
potência de expoente real e suas operações e propriedades, operações no conjunto
dos números reais e suas propriedades, radiciação e suas operações e
propriedades.
Nível de conhecimento esperado dos estudantes: Em relação à resolução de
equações nas quais a incógnita encontra-se no expoente, trata-se de desenvolver as
técnicas e fórmulas associadas à resolução das equações do 1º e 2º graus,
acompanhadas das técnicas de propriedades das potências.
Quanto à classe de noção definição de função exponencial, identificamos as
tarefas apresentadas no item a seguir.
3 – A noção de função exponencial
Para essa classe de noção, constatamos os seguintes quadros:
Quadro numérico: Quando trabalhamos apenas com os dados numéricos da tarefa e
calculamos o que é pedido por meio de uma sequência de cálculo em que um
resultado depende do anterior, tal como mostra o exemplo a seguir:
Exemplo: Uma amostra de 4 kg de uma substância radioativa se desintegra à razão
de 0,25% ao ano. Qual é a equação que expressa a massa M dessa amostra, em
quilograma, em função do tempo t, em ano?
Quadro algébrico: Quando trabalhamos com letras e números para identificar e ou
classificar (crescente ou decrescente) uma função exponencial dada por meio da lei
de sua formação, por meio de uma tabela ou da língua natural.
Exemplo1: Identifique as funções exponenciais:
a) f(x) = (0,3)2x
b) f(x) = (-4)x
c) f(x) = 123x
Exemplo 2: Certo banco oferece um investimento que rende uma taxa de 6% ao ano
de juros compostos. Observe a simulação de um investimento de R$ 1.500,00 em
um período de três anos.
123
Ano (n)
Juro (j)
Montante (M)
1
1.500,00. 0,06 = 90,00
1.500,00 + 90,00 = 1.590,00
2
1.590,00. 0,06 = 95,40
1.590,00 + 95,40 = 1.695,40
3
1.695,40. 0,06 = 101,12
1.500,00 + 101,12 = 1.786,52
f)
Qual das funções a seguir determina o montante M obtido ao final do ano n,
ao se investir R$ 1.500,00?
M = 1500 (6)n ou
g)
M = 1500 (1,06)n
Qual será o montante ao final de 4 anos? E de 6 anos?
Exemplo 3: Determine m
 IR para que a função f(x) = (2m – 1)x seja crescente em
IR.
Para essa classe de noção, identificamos os seguintes ostensivos de representação
escrita e não ostensivos associados:
Ostensivo de Representação em forma de potência algébrica explícita: Determinar o valor
de y correspondente ao valor de x, dada a lei de formação de uma função exponencial.
Exemplo: Sendo f(x) = 3x, determine f(-4). O não ostensivo associado é a noção de função
exponencial e definição de potência.
Ostensivo de Representação em forma de tabela (numericamente):
Exemplo:
x
y
-2
-1
0
1
2
1
3
9
O não ostensivo associado é a noção de função exponencial.
Ostensivo de Representação em forma de língua natural: Determinar o valor da
variável dependente correspondente ao valor da variável independente, dado um
problema que envolve a noção de função exponencial. Exemplo: Para analisar o
efeito de um remédio no extermínio de determinada bactéria, cientistas fizeram
experimentos expondo uma população desse microorganismo ao remédio e
verificando o tempo necessário para que fosse exterminada. Ao final, verificou-se
que a população da bactéria d dias após a exposição ao remédio poderia ser
124
estimada por meio da função p(d) = 6000.(0,25)d. Dois dias após a exposição ao
remédio, a população da bactéria reduziu-se a quantos por cento da população
inicial?
Tarefa 5: Classificar em crescente ou decrescente a função definida por uma
função exponencial explícita. (EM)
Exemplo: Identifique a função exponencial f(x) = (0,01) x como crescente ou
decrescente:
Técnicas e tecnologias associadas: A técnica consiste em verificar por meio da
definição função exponencial y = ax com a > 0 e a ≠ 1, que se trata de uma função
decrescente, pois 0,001 é um número entre 0 e 1.
A tecnologia consiste em escolher valores para a variável x, constatando-se
que na medida em que o valor de x aumenta, o valor de f(x) diminui.
Uma segunda tecnologia consiste em construir o gráfico da função
exponencial e constatar visualmente que a função em questão é decrescente.
Teorias associadas às tecnologias: Noção de função exponencial, noção de potência
de expoente real, noção de construção de gráfico cartesiano de uma função.
Quadro(s) em que a tarefa é enunciada: algébrico.
Quadro(s) de solução da tarefa: algébrico.
Ostensivos de representação escrita: representação na forma de potência algébrica
explícita.
Não ostensivos associados: a noção de função exponencial, a noção de potência de
expoente real, a noção de número real, suas operações e propriedades, a noção de
plano cartesiano, a noção de coordenadas cartesianas, a noção de construção de
gráfico cartesiano.
Nível
de
conhecimento
esperado
dos
estudantes:
É
preciso
dispor
de
conhecimentos sobre as noções de função crescente e decrescente, função
exponencial e noção de construção de gráfico cartesiano de uma função.
Tarefa 6: Identificar e /ou determinar a lei de formação da função exponencial de
uma situação enunciada por meio do ostensivo de representação em língua natural.
(EM)
125
Exemplo: Devido ao declínio da qualidade de vida em um bairro, prevê-se
que, durante os próximos quatro anos, um imóvel sofrerá desvalorização de 10% ao
ano.

Se hoje o valor do imóvel é de R$ 200.000,00, escreva uma equação que
expresse o valor do imóvel V, em real, em função do tempo t, em ano, para os
próximos quatro anos.

Qual será o valor daqui a quatro anos?
Técnicas e tecnologias associadas: Para a primeira questão, a técnica consiste em
representar o valor do imóvel como uma função exponencial do tipo y = ka x com a >
0 e a ≠ 1, usando a função y como V (valor do imóvel), k como valor inicial do imóvel,
a como (1 – 0,1 ), ou seja, 0,9 (taxa de desvalorização do imóvel) e x como t
(tempo), ficando com a equação V = 200.000 (0,9)t, onde t varia em quatro anos, isto
é,
0 ≤ t ≤ 4.
Para a segunda questão, uma primeira técnica é calcular o valor relativo ao
quarto ano, por meio de uma sequência, onde se calcula para cada ano a
desvalorização correspondente ao ano anterior. Uma segunda técnica é aplicar o
valor de tempo igual a 4 na equação encontrada na primeira questão.
Teorias associadas às tecnologias: para a técnica em que se utiliza o cálculo
sequencial do desconto a teoria associada é a noção de conjunto numérico (real) e
suas operações e propriedades.
Para a utilização da fórmula de montante, a teoria associada é a noção de
função exponencial mesmo se esta muitas vezes é apresentada aos estudantes de
forma articulada com a noção de matemática financeira.
Quadro(s) em que a tarefa é enunciada: numérico e algébrico.
Quadro(s) de solução da tarefa: numérico e algébrico.
Ostensivos de
representação escrita:
representação
em
língua
natural e
representação na forma de potência algébrica explícita.
Não ostensivos associados: a noção de função exponencial, a noção de potência de
expoente real, a noção de número real, suas operações e propriedades, a noção de
intervalos reais e a noção de porcentagem.
126
Nível
de
conhecimento
esperado
dos
estudantes:
É
preciso
dispor
de
conhecimentos sobre a noção porcentagem, a noção de desconto e a noção de
intervalos reais.
Tarefa 7: Calcular o valor numérico de uma função exponencial. (EM)
Exemplo: Em pesquisa realizada, constatou-se que a população P de uma
determinada bactéria cresce segundo a expressão P(t) = 25.2 t, em que t representa
o tempo em horas. Qual é a população de bactérias, após duas horas?
Técnicas e tecnologias associadas: A técnica consiste representar o valor do
número de bactérias como uma função exponencial do tipo y = Ka x com a > 0 e
a≠ 1, usando a função y como P (número da população de bactérias), k como valor
inicial da população, a como 2 e x como t (tempo) , ficando com a equação V = 25.2 t,
onde t varia em duas horas.
A tecnologia consiste em calcular o valor numérico da função exponencial
para t = 2.
Teorias associadas às tecnologias: Noção de função exponencial, noção de cálculo
numérico de uma função e potência de expoente real.
Quadro(s) em que a tarefa é enunciada: numérico e algébrico.
Quadro(s) de solução da tarefa: algébrico.
Ostensivos de representação escrita: representação na forma de potência algébrica
explícita.
Não ostensivos associados: a noção de função exponencial, a noção de potência de
expoente real, a noção de número real, suas operações e propriedades.
Nível
de
conhecimento
esperado
dos
estudantes:
É
preciso
dispor
de
conhecimentos sobre a noção de função exponencial, noção de cálculo numérico de
uma função e noção da potência e suas propriedades.
4 – A noção de gráfico da função exponencial
Para essa classe de noção, identificamos os seguintes quadros:
127
Quadro numérico: Quando trabalhamos apenas com números para aplicar a
definição e/ou as propriedades de potência com o objetivo de elaborar uma tabela a
fim de determinarmos pontos num plano cartesiano que leve à construção de um
gráfico que represente uma função exponencial.
Exemplo: Esta tabela representa uma função exponencial de IR  IR.
Preencha os valores da tabela abaixo e, a partir dela, trace um gráfico usando o
plano cartesiano bem como dê o conjunto imagem da função.
x
-2
-1
y
0
1
1
2
2
Quadro algébrico: Quando trabalhamos com letras e números para esboçar ou
reconhecer um gráfico que represente uma função exponencial como crescente ou
decrescente em IR.
Exemplo1: Esboce o gráfico cartesiano da função exponencial y = 3x de domínio IR.
Para essa classe de noção identificamos os seguintes ostensivos de
representação escrita e não ostensivos associados:
Ostensivo de Representação em forma de tabela (numericamente):
Exemplo:
x
-2
y
-1
0
1
2
1
3
9
O não ostensivo associado é a noção de função exponencial.
Ostensivo de Representação na forma de potência algébrica explícita: Exemplo:
y = ax com a > 0 e a≠ 1. O não ostensivo associado é a noção de função
exponencial.
Ostensivo de Representação em língua natural: a função exponencial é descrita por
meio de um texto em língua portuguesa. Exemplo: Numa cultura, há 100 bactérias
num determinado instante. Após dez minutos, existem 900 bactérias. Sabendo-se
128
que elas aumentam segundo uma função exponencial f(t) = a t, onde a é o número de
bactérias e t é o tempo em horas, quantas bactérias existirão em 1 hora?
Ostensivo de Representação gráfica: a função exponencial é representada pelo
conjunto de todos os pontos (x, y) (curva contínua acima do eixo x que passa pelo
ponto (0,1)) com x e y real em um referencial cartesiano, cujos pontos satisfazem à
equação y= ax com a > 0 e a ≠ 1,onde x
D(f).
A curva contínua destacada é o gráfico da função exponencial.
Figura 12 - Gráfico da função exponencial.
Fonte: Stocco e Diniz (2010, p.178).
Para a classe de noção gráfico da função exponencial, identificamos as tarefas
apresentadas a seguir.
Tarefa 8: Esboçar o gráfico cartesiano da função exponencial de domínio IR. (EM)
Exemplo: Esboce o gráfico cartesiano de domínio IR de y = 3x.
Técnicas e tecnologias associadas: A técnica consiste em aplicar a definição de
potência para determinar as coordenadas dos pontos pertencentes ao sistema
cartesiano, os quais, unidos, formam a curva do gráfico solicitado.
A tecnologia consiste em elaborar uma tabela de dupla entrada, escolhendo
valores para a variável x e determinando y de forma que os mesmos satisfaçam à
função y = 3x, onde x pertence ao domínio da função. Em seguida, é preciso
representar num plano cartesiano os pontos encontrados.
Teorias associadas às tecnologias: Noção de definição de potência, noção de
sistemas de coordenadas cartesianas ortogonais, noção de abscissa e ordenada,
129
noção de domínio, contradomínio e imagem de uma função, noção de gráfico de
uma função.
Quadro(s) em que a tarefa é enunciada: numérico e algébrico.
Quadro(s) de solução da tarefa: numérico.
Ostensivos de representação escrita: representação na forma de potência algébrica
explícita e representação gráfica.
Não ostensivos associados: a noção de potência de expoente real, a noção de
número real, suas operações e propriedades, a noção de plano cartesiano, as
noções de abscissa e ordenada e a noção de coordenadas cartesianas.
Nível
de
conhecimento
esperado
dos
estudantes:
É
preciso
dispor
de
conhecimentos sobre definição de potência e construção de gráficos no plano
cartesiano.
Tarefa 9: Classificar em crescente ou decrescente a função definida pela sua
representação gráfica cartesiana. (EM)
Exemplo: Classifique a função exponencial como crescente ou decrescente.
Técnicas e tecnologias associadas: A técnica consiste em verificar visualmente por
meio do gráfico dado que se trata de função crescente.
130
A tecnologia consiste em considerar valores para a variável x, constatando-se
que na medida em que o valor de x aumenta, o valor de y aumenta, o mesmo pode
ser feito de forma visual por meio do ostensivo gestual. Trata-se de uma tarefa onde
é preciso associar abscissa e ordenada mesmo que de forma aproximada, isto é,
devem-se localizar alguns pontos no gráfico da função.
Teorias associadas às tecnologias: Noção de função exponencial, noção de potência
de expoente real, noção de localização de pontos no gráfico cartesiano.
Quadro(s) em que a tarefa é enunciada: numérico e algébrico.
Quadro(s) de solução da tarefa: numérico.
Ostensivos de representação escrita: representação em forma de tabela,
representação gráfica.
Não ostensivos associados: a noção de função exponencial, a noção de função
crescente e decrescente, a noção de ponto em um sistema cartesiano ortogonal.
Nível
de
conhecimento
esperado
dos
estudantes:
É
preciso
dispor
de
conhecimentos sobre a noção de função crescente e decrescente, noção de função
exponencial e a noção de localização de pontos no gráfico cartesiano de uma
função.
Tarefa 10: Identificar a lei de formação de uma função exponencial do tipo y = a x
com a > 0 e a ≠ 1 por meio de uma representação gráfica cartesiana. (EM)
Exemplo: O gráfico a seguir representa uma função exponencial, determine a
equação que representa essa função.
131
y




x













Técnicas e tecnologias associadas: A técnica consiste em aplicar a representação
na forma de potência algébrica explícita y = a x para os valores de x e determinar os
valores correspondentes de y. Em seguida, deve-se achar o valor de a por meio da
resolução da equação exponencial encontrada.
A tecnologia consiste em utilizar os pontos dados no gráfico e aplicá-los na
função y = ax com a > 0 e a ≠ 1, determinando, assim, o valor de a.
Teorias associadas às tecnologias: Noção de função exponencial, noção de
resolução de equação exponencial, noção de coordenadas cartesianas, localização
de pontos em gráficos cartesianos.
Quadro(s) em que a tarefa é enunciada: numérico.
Quadro(s) de solução da tarefa: numérico e algébrico.
Ostensivos de representação escrita: representação gráfica e representação na
forma de potência algébrica explícita.
Não ostensivos associados: a noção de função exponencial, noção de coordenadas
cartesianas e noção de resolução de equação exponencial.
Nível
de
conhecimento
esperado
dos
estudantes:
É
preciso
dispor
de
conhecimentos sobre a noção de função exponencial, noção de coordenadas
cartesianas, noção de localização de pontos em gráficos cartesianos e a noção de
equação exponencial.
132
Para a classe de noção limite no infinito à função exponencial,
destacamos uma tarefa na próxima seção .
5 - A noção de limite no infinito para a função exponencial
Para essa classe de noção, identificamos os seguintes quadros:
Quadro analítico: A função é dada por meio da notação algébrica associada à noção
de limite de uma função, supondo-se, assim, a utilização da definição e das
propriedades de limite de uma função.
n
a  
Tarefa: Suponha a > 1. Mostre que: nlim

(ES)
Técnicas e tecnologia associadas: A técnica corresponde a fazer uma mudança de
variável para a base a e utilizar o binômio de Newton para determinar uma
sequência e, em seguida, calcular o limite da sequência encontrada.
Teorias associadas às tecnologias: Trata-se de encontrar a mudança de variável
adequada para desenvolver a base a representada na nova variável por meio do
binômio de Newton. Na sequência, é preciso mostrar que a função exponencial é
sempre maior do que uma parte do desenvolvimento do binômio, o que conduz a
uma função afim, permitindo determinar diretamente o limite no infinito.
Quadro(s) em que a tarefa é enunciada: quadro analítico (quadro da análise
matemática).
Quadro(s) da solução da tarefa: quadro analítico.
Ostensivos de representação escrita: representação de limite de uma função.
Não ostensivos associados: noções de função exponencial e limite no infinito.
Nível de conhecimento esperado dos estudantes: É preciso dispor do conceito de
binômio de Newton, das noções de função exponencial e afim e da noção de limite
no infinito.
6.4 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
Apesar do número reduzido de tarefas apresentadas, observamos que, em
geral, as tarefas identificadas exigem que se disponha de conhecimentos sobre as
133
propriedades das potências de mesma base, das operações com números reais e
das representações fracionárias e decimais, bem como de suas respectivas
conversões, as quais podemos considerar como as técnicas associadas à noção de
potência desenvolvida no Ensino Fundamental. Além disso, é preciso ainda dispor
de conhecimentos sobre fatoração, resolução de equações e inequações, em
particular, as equações e inequações exponenciais que correspondem ao trabalho a
ser realizado no Ensino Médio.
De modo geral, as tarefas associadas às propriedades de função exponencial
exigem que se disponha de conhecimentos sobre sua definição, suas propriedades
e seus gráficos. Esses conhecimentos também são desenvolvidos no Ensino Médio,
ou seja, as tarefas que necessitam da utilização da função exponencial e das
equações e inequações exponenciais exigem o nível mobilizável ou disponível em
relação às técnicas associadas às referidas noções.
Quando consideramos as tarefas contextualizadas, observamos que, além
dos conhecimentos associados à própria função exponencial, às suas propriedades
e a seu gráfico, é preciso dispor de conhecimentos específicos do contexto utilizado.
Nesse sentido, cabe ressaltar que, quando os estudantes dispõem de
conhecimentos sobre a noção de função exponencial, suas propriedades e seu
gráfico, eles podem utilizá-los, por exemplo, para introduzir a noção de juros
compostos. Caso contrário, dificilmente, nos cursos gerenciais, eles irão trabalhar
dessa forma. Por isso, o que é trabalhado no Ensino Médio acaba parecendo não ter
interesse para os estudantes dessa área, o que não corresponde à realidade. Temos
aqui um tema interessante para ser desenvolvido tanto no Ensino Médio como no
Ensino Superior, tendo em vista que os professores podem aproveitar os
conhecimentos prévios de seus estudantes e introduzir novas noções de forma a
torná-los mais ricos, diferenciados e elaborados em termos de significado, tal como
mostra Moreira (2005). Observamos ainda que é importante associar aumento ou
desconto por meio do ostensivo de representação gráfica, o que permite aos
estudantes compreender melhor a velocidade do crescimento ou decrescimento do
valor em questão. As funções exponenciais são úteis na modelagem de muitas
aplicações nas diferentes áreas do Ensino Superior. Nesta etapa escolar, não
encontramos tarefas específicas, mas o estudante é levado a utilizar tabelas,
expressões algébricas e gráficos que denominamos ostensivos de representação
escrita. Estes são supostos como conhecimentos suficientes para identificar a
134
função exponencial como modelo matemático para a solução de diferentes tarefas
em diversos contextos ou ainda usar essas representações para manipular e
explicar a variação da função exponencial para diferentes bases e em relação aos
possíveis valores que podemos atribuir aos seus coeficientes.
Em geral, a função exponencial é utilizada como ferramenta explícita para o
desenvolvimento das noções de limite, derivada e integral no Ensino Superior.
Nesse caso, observamos que, se os estudantes dispõem de conhecimentos sobre a
função exponencial, suas propriedades e seus gráficos, podemos utilizá-los como
conhecimentos prévios de base para a introdução de novos conhecimentos.
No próximo capítulo, apresentamos os resultados da análise das relações
institucionais existentes, aqui estudadas via livros didáticos indicados no PNLD ou
nos planos de ensino dos Cursos de Licenciatura em Matemática das Universidades.
135
7 ANÁLISE DAS RELAÇÕES INSTITUCIONAIS EXISTENTES VIA LIVROS
DIDÁTICOS
7.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
O livro didático é um instrumento de grande importância no desenvolvimento
e na elaboração das aulas pelo professor. O livro didático de matemática, em
particular, é um importante aliado para o estudante como fonte de acesso à
matemática fora do ambiente escolar. Apesar de existirem outros materiais didáticos,
o livro, após ser distribuído gratuitamente em todas as escolas públicas do país,
tornou-se para muitos uma extraordinária fonte de estudo e ajuda ao estudo.
Sendo assim, elegemos analisar de que forma os livros didáticos apresentam
a noção de função exponencial e que tipos de tarefas são oferecidas para os
estudantes. Em outras palavras, buscamos averiguar qual a relação institucional
para o estudo da noção de função exponencial que é desenvolvida nos livros
didáticos escolhidos para esta pesquisa.
Dessa forma, decidimos analisar um conjunto de quatro livros didáticos de
matemática, dos quais um é destinado aos estudantes dos cursos de introdução ao
Cálculo Diferencial e Integral, um destinado a professores de Matemática do Ensino
Médio e para estudantes de licenciatura em Matemática e os outros dois são
dedicados aos estudantes do Ensino Médio.
Os livros elegidos para o estudo das relações institucionais existentes no
Ensino Médio são: “Matemática Contexto e Aplicações” (DANTE, 2010) e
Matemática: Ensino Médio (STOCCO; DINIZ, 2010), ambos avaliados e aprovados
pelo Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio – PNLEM/2010. Esses livros
foram escolhidos por se tratarem de obras cujas explicitações dos diferentes níveis
de conhecimento esperados dos estudantes, a articulação de quadros e a
manipulação dos ostensivos e evocação dos não ostensivos associados, estavam
mais bem adaptadas às ferramentas de análise propostas neste trabalho, mesmo se
estas termologias não são tratadas com a mesma nomenclatura aqui utilizada.
A eleição dos livros do Ensino Médio foi fundamentada nos que ofereceram
maior gama de articulação de quadros intra e extramatemáticos e que, dessa forma,
136
favorecem uma análise em termos e níveis de conhecimento, pois diferentes noções
são trabalhadas em diferentes níveis.
Elegemos o livro “A matemática do Ensino Médio” Lima e al,(2006) por se
tratar de uma obra destinada a professores e estudantes de licenciatura de
matemática, bem como porque, para este livro, a questão da articulação entre as
diferentes formas de conhecimento tem um papel central, ainda que os autores não
tratem dessas questões da mesma maneira como se propõe neste trabalho.
Com relação ao livro didático de matemática do Ensino Superior, elegemos o
livro “Cálculo” (STEWART, 2010) que é atualmente é utilizado em cursos em que a
disciplina de Cálculo Diferencial e Integral é uma dos componentes curriculares e
que trata da questão da articulação entre as diferentes formas de conhecimento,
fazendo uma observação sobre as distintas maneiras de representar uma função,
mostrando a importância da passagem de uma representação para outra como meio
para alcançar um melhor entendimento da noção de função.
Uma vez elegidas as obras, estruturamos a análise em torno das seguintes
questões:
1 - Quais os conhecimentos supostos disponíveis para introduzir a noção de função
exponencial?
2 - Como é introduzida a noção de função exponencial, quais ostensivos de
representações são utilizados e como eles se articulam?
3 - Existe um discurso tecnológico e/ou teórico que justifica as noções consideradas
no curso e o tratamento dos exemplos que as acompanham de forma a auxiliar os
estudantes no desenvolvimento dos níveis mobilizável e disponível?
4 - Quais são os quadros (numérico, algébrico ou analítico) necessários para o
desenvolvimento das tarefas propostas aos estudantes?
5 - Que pesos respectivos ocupam os níveis técnicos, mobilizáveis ou disponíveis
(ROBERT,1997,1998), nas tarefas propostas aos estudantes?
Com base nas questões expostas, iniciamos nossas análises com um
comentário que permite mostrar a apresentação geral das noções associadas ao
conceito de função exponencial.
Para as análises dos livros didáticos elegidos, consideramos como parte do
professor, a introdução teórica da noção de função exponencial, ou seja, o discurso
tecnológico ou teórico e os exercícios resolvidos, isto é, o tratamento dos exemplos.
Como parte do estudante, verificamos os exercícios propostos aos estudantes.
137
Além disso, são analisadas as articulações entre os diferentes ostensivos de
representação e quadros introduzidos para o estudo da noção de função
exponencial tanto para o trabalho suposto do professor como do estudante.
Verificamos ainda quais os níveis de conhecimentos técnicos, mobilizáveis ou
disponíveis (ROBERT, 1997,1998), são privilegiados nas tarefas propostas aos
estudantes quando se consideram as aplicações das noções de função exponencial
e as outras noções a ela associadas.
Primeiramente, apresentamos a obra Matemática “Contexto e Aplicações”
(DANTE, 2010). Em seguida, está a análise da obra Matemática: Ensino Médio
(STOCCO; DINIZ, 2010) e, finalmente, a obra “Cálculo” (STEWART, 2010).
7.2 A OBRA DE LUIZ ROBERTO DANTE INTITULADA MATEMÁTICA “CONTEXTO
E APLICAÇÕES” (VOLUME 1)
Trata-se de uma obra de três volumes destinados aos estudantes do Ensino
Médio, cuja finalidade, segundo o autor, é contribuir para o trabalho do professor em
sala de aula e para o processo de aprendizagem dos estudantes, consolidando e
aprofundando o que foi visitado no Ensino Fundamental.
O primeiro volume é dividido em 12 capítulos, sendo os dois primeiros
capítulos destinados a temas, em geral, trabalhados no Ensino Fundamental, o
domínio das “Funções” é introduzido no capítulo 3, seguido dos setores Função
Afim, Função Quadrática e Modular. A Função Exponencial, nosso objeto de estudo,
é introduzida no capítulo 5, os demais capítulos são dedicados aos domínios:
Logaritmo
e
Função
Logarítmica,
Progressões,
Matemática
Financeira,
Trigonometria no Triângulo Retângulo e Geometria Plana.
Os temas sobre “Função Exponencial” foram divididos em 10 tópicos, a saber:
•
Introdução
•
Revisão de potenciação
•
Simplificação de expressões
•
Função Exponencial
•
Equações exponenciais
•
Inequações exponenciais
138
•
Aprofundamento do estudo da função exponencial
•
As funções f(x) = ax e g(x) = a-x
•
O número irracional e e a função exponencial ex
•
Aplicações da função exponencial
Observamos que o autor, de modo geral, apresenta cada tópico de forma
detalhada, com definições e exercícios resolvidos, para os quais existe um discurso
tecnológico sobre as noções e técnicas necessárias para o seu desenvolvimento,
explicitando
os
conhecimentos
prévios
supostos
disponíveis
do
Ensino
Fundamental, tal como é recomendado nas propostas governamentais.
Desse modo, comentamos e analisamos, a seguir, os dez tópicos para melhor
compreender a proposta dos autores.
O tópico: Introdução
A introdução do livro é apresentada, considerando uma situaçãoproblema que corresponde a uma cultura de bactérias, cuja população dobra a cada
hora, isto é, o número de bactérias está relacionado com o tempo. Em seguida, o
autor associa a resolução da situação mencionada ao modelo matemático “função”
do tipo “exponencial”, f(x) = b.2x, onde b representa o número inicial de bactérias, x é
o tempo decorrido e f(x) o número de bactérias para um determinado tempo x.
139
Figura 13 - Introdução.
Fonte: Dante (2010, p.230).
O tópico: Revisão de potenciação
A revisão de potenciação é introduzida com o seguinte questionamento: Será
que a expressão ax tem sentido para todo número real x?
Potência com expoente natural
O autor define uma potência de base a e expoente n como um produto de n
fatores iguais a a. Usando definição, o autor mostra a propriedade fundamental
(multiplicação de potência de mesma base) am . an = am + n .
Com base na propriedade fundamental, são demonstradas as outras
propriedades de potência, obedecendo à ordem dos conjuntos numéricos do
expoente da potência, ou seja, potência com expoente inteiro, potência com
expoente racional, potência com expoente irracional e potência com expoente real.
Para essa primeira apresentação de revisita às noções já trabalhadas no
Ensino Fundamental, os ostensivos de representação utilizados são:
Ostensivo de Representação em forma de potência explícita: Exemplo: 35 = 243. O
não ostensivo associado é a noção de potência.
Ostensivo de Representação fracionária explícita: O número é dado na forma
fracionária explícita. O não ostensivo associado é a noção de fração.
140
Exemplo:
= 32 = 9
Ostensivo de Representação decimal de um número real: O número é dado na
forma decimal. Os não ostensivos associados são as noções de número decimal e
notação científica. Exemplos: 32,45 = 3,245.10 = 3,245 .101 (notação científica).
A definição de potência e suas propriedades são justificadas por meio de um
discurso tecnológico associado às técnicas e aos procedimentos que correspondem
à aplicação dessas noções. No entanto, esse trabalho do livro não explora a
contextualização no tratamento dos exemplos e o desenvolvimento dos níveis
mobilizável e disponível está associado às articulações e operações nos conjuntos
numéricos.
Observamos, assim, que, para definir potência de expoente real, o autor
introduz a noção de potência de expoente irracional, explicitando a necessidade da
utilização de uma calculadora científica, uma vez que a mesma é determinada por
meio de aproximações racionais. Nesse sentido, é importante ressaltar a
necessidade de um discurso tecnológico específico que auxilia a compreender a
noção de número irracional e a questão da aproximação.
Para o desenvolvimento das tarefas propostas aos estudantes, é
necessário apenas o quadro numérico, algumas exigem que se mobilize ou
disponha de conhecimentos associados às operações e propriedades para um
determinado conjunto numérico, como podemos observar no exemplo que segue:
Calcule as potências com expoente inteiro em IR (DANTE, 2010, p. 232):
.
Trata-se da Tarefa 1 (Aplicar as propriedades de potência de mesma base). A
técnica consiste em aplicar as propriedades da potência e espera-se que o
estudante dê o resultado na forma fracionária. A tecnologia consiste em, após
representar o número dado na forma de fração mista em uma única fração, utilizar a
propriedade da potência. É preciso que o estudante disponha de conhecimentos
sobre as propriedades das potências e operações com números reais, em particular
com os números racionais representados na forma de fração.
141
O tópico: Simplificação de Expressões
Este tópico é apresentado com 6 exemplos (exercícios resolvidos), em que as
técnicas e os procedimentos associados às propriedades das potências são
aplicados para simplificação de expressões. Nesse momento, são articulados os
ostensivos de representação escrita (representação em forma de potência,
representação fracionária, representação de radicais, representação decimal,
representação algébrica explícita) e também os não ostensivos associados (a noção
de potência de expoente real, operações e propriedades das potências, a noção de
número real, suas operações e propriedades, a noção de radiciação, suas
operações e propriedades).
A técnica associada a esses exemplos consiste em transformar os números
em potências e aplicar as propriedades das potências de mesma base e a
tecnologia correspondente exige que se disponha de conhecimentos sobre a
conversão de números decimais na forma de fração decimal, fatoração de
numeradores e denominadores das frações encontradas e aplicação das
propriedades de potência de mesma base. Essas tecnologias são justificadas por
um discurso cujo objetivo é auxiliar o leitor a seguir tais transformações tanto para o
quadro numérico ou algébrico.
Para tarefas propostas aos estudantes, podemos considerar que as mesmas
exigem apenas o nível técnico, pois se trata de aplicações das técnicas e dos
procedimentos apresentadas nos exemplos.
O tópico: Função exponencial
A definição, que na realidade é uma condição de existência, é apresentada
por meio do ostensivo de representação em forma de potência algébrica explícita
(fórmula), isto é, f(x) = ax, seguido do ostensivo de representação em forma de
tabela e do ostensivo de representação gráfica.
Os exemplos são acompanhados de um discurso teórico que os justificam e
podem auxiliar o leitor a reconhecer a função exponencial por meio de suas
propriedades, em particular, das associadas à sua definição e ao seu gráfico. Por
exemplo: o gráfico da função exponencial f(x) = ax tem por imagem o semieixo y > 0.
142
O autor explicita que as propriedades da função exponencial são observadas
por meio de seu gráfico, ou seja, ele utiliza uma tecnologia centrada nos ostensivos
de representação da função exponencial para justificar suas propriedades, uma vez
que não dispõe de recursos teóricos, como mostra o exemplo que segue.
Figura 14 - Propriedades da função exponencial.
Fonte: Dante ( 2010, p. 238).
As propriedades apresentadas acima e visualizadas por meio do ostensivo de
representação gráfica podem ser revisitadas no Ensino Superior, quando os
estudantes dispõem das noções de limite e derivada, pois, nesses casos, os
estudantes podem compreender melhor as propriedades e estudar novamente a
função exponencial num contexto intramatemático. Dessa forma, não se repete o
que foi feito no Ensino Médio, articulam-se conhecimentos prévios com novos
conhecimentos e se justificam utilizando, por meio do Cálculo, as propriedades que
se supõem verdadeiras apenas pela visualização do gráfico da função exponencial.
As tarefas propostas para os estudantes articulam os quadros numéricos e
algébricos e exigem o nível técnico, no momento em que se reproduz o exemplo e o
nível mobilizável, quando se espera que o estudante mobilize o cálculo numérico
nos diferentes conjuntos e as passagens do ostensivo de representação na forma de
143
potência algébrica explícita para o ostensivo de representação gráfica ou a
passagem do registro de representação gráfica para o registro de representação na
forma de potência algébrica explícita de uma função exponencial. A expectativa é a
de que os estudantes disponham das formas de descrições algébricas entre
grandezas e suas representações introduzidas e apresentadas no capítulo 3, o qual
é destinado ao estudo de funções.
Para as tarefas de construção de gráfico no plano cartesiano, seu
desenvolvimento exige que se disponha de conhecimentos associados à definição
de potência, pois, após determinar as coordenadas de alguns pontos, os mesmos
são representados no sistema cartesiano ortogonal, chegando-se, assim, à curva do
gráfico solicitado. Assim, os conhecimentos supostos disponíveis são a definição de
potências e a representação de pares ordenados no sistema cartesiano ortogonal
plano.
Para as tarefas que classificam em crescente ou decrescente a função
exponencial definida pela sua representação na forma de potência algébrica, a
técnica consiste em verificar visualmente, por meio do valor numérico da base da
potência, os dois casos possíveis, isto é, se a base da função exponencial está entre
0 e 1 a função é decrescente e, quando é maior do que 1, a função é crescente.
Aqui, novamente, observamos que o autor associa a função a seu gráfico e
visualmente estabelece o discurso tecnológico que justifica a propriedade da função.
Para as tarefas que identificam a lei de formação de uma função exponencial
do tipo y = ax com a > 0 e a ≠ 1, por meio de uma representação gráfica cartesiana,
é necessário o quadro numérico e o quadro algébrico para a sua solução e a técnica
consiste em aplicar a representação na forma de potência algébrica explícita y = a x
para os valores de x e determinar os valores correspondentes de y, em seguida,
deve-se achar o valor de a por meio da resolução da equação exponencial
encontrada. Nesse caso, é preciso dispor de conhecimentos sobre potenciação e suas
propriedades e um método de solução de equações exponenciais.
O tópico: Equações Exponenciais
Este tópico é apresentado dos quadros numérico e algébrico, utilizando os
ostensivos de representação escrita (representação em forma de potência,
144
representação fracionária, representação de radicais, representação decimal,
representação algébrica explícita).
Os exemplos são acompanhados de um discurso tecnológico que justifica as
articulações de quadros e ostensivos de representação que auxiliam o leitor no
desenvolvimento desses exercícios resolvidos.
Para a resolução das tarefas propostas para o estudante, são necessários o
quadro numérico e quadro algébrico, bem como mobilizar os conhecimentos sobre a
definição de potência e decomposição de um número real em forma de produto de
fatores primos e desenvolver as técnicas e fórmulas associadas à resolução
equações exponenciais desenvolvidas nos exemplos. Faz-se preciso ainda dispor
dos conhecimentos de métodos de resolução de equação do 1º e 2º grau e sistemas
de duas equações com duas incógnitas.
O tópico: Inequações Exponenciais
Este tópico relaciona o crescimento e decrescimento da função exponencial
com a resolução das inequações por meio de gráficos, isto é, faz a articulação entre
os ostensivos de representação escrita e o ostensivo de representação gráfica.
Existe um discurso tecnológico que justifica as noções de inequações do 1º e
2º grau consideradas no curso e tratamento das técnicas e procedimentos que
auxiliarão o estudante no desenvolvimento das tarefas propostas.
As tarefas propostas aos estudantes exigem o nível técnico em relação à
resolução de equações nas quais a incógnita encontra-se no expoente, pois se trata
de desenvolver as técnicas e fórmulas associadas à resolução equações do 1º e 2º
graus, acompanhadas das técnicas de propriedades das potências, conforme os
exemplos dados. O nível mobilizável só aparece nas inequações em que no
enunciado é dada uma desigualdade sem explicitar que se trata de uma inequação
exponencial. Finalmente, consideramos que o nível disponível só está em jogo nas
tarefas que exigem que se observe o domínio da função.
Para a solução das tarefas propostas aos estudantes, são necessários os
quadros algébrico e numérico, além dos ostensivos de representação escrita
(representação em forma de potência, representação fracionária, representação de
radicais, representação decimal, representação algébrica explícita) e não ostensivos
associados (resolução de equação do 1º e 2º grau, definição de potência de
145
expoente real e suas operações e propriedades, operações no conjunto dos
números reais e suas propriedades, radiciação e suas operações e propriedades)
para aplicar as técnicas e os procedimentos como reduzir o 1º e o 2º membros às
potências de mesma base, utilizando as noções de definição de potência e suas
propriedades.
O tópico: Aprofundando o Estudo da Função Exponencial
Neste tópico, o autor faz uma conexão entre função exponencial e progressão
geométrica (PG) por meio de um exemplo contextualizado no quadro da matemática
financeira.
Os ostensivos de representação utilizados são o ostensivo de representação
em forma de potência algébrica explícita, o ostensivo de representação em forma de
tabela e o ostensivo de representação em língua natural.
Existe um discurso tecnológico que justifica a articulação da noção de função
exponencial do tipo y = ka x com a > 0 e a ≠ 1, com as noções progressões
geométricas e de juros compostos consideradas no tratamento dos exemplos em
que o ostensivo de representação em língua natural e ostensivo de representação
na forma de potência algébrica explícita são utilizados para mostrar a relação entre
funções exponenciais, progressões geométricas e juros compostos.
Para a resolução das tarefas propostas aos estudantes, é necessário o
quadro numérico e o quadro algébrico, mobilizar a noção de função como a relação
de duas variáveis e dispor dos conhecimentos de progressão geométrica e juros
compostos.
O tópico: As funções f(x) = ax e g(x) = a-x
Mostra graficamente a reciprocidade da função exponencial por sua lei de
formação e pelo seu gráfico, isto é, o ostensivo de representação na forma de
potência algébrica explícita e o ostensivo de representação gráfica.
Existe um discurso tecnológico que justifica a noção de simetria considerada
e o tratamento com o exemplo que acompanha essa noção pode auxiliar o
estudante no desenvolvimento do nível mobilizável exigido na tarefa proposta ao
estudante.
146
O tópico: O número irracional e e a função exponencial ex
O autor define o número irracional e como limite da sequência
n
com
{1,2,3,4,...}, isto é, articula os ostensivos de representação em forma de
potência, ostensivos de representação na forma
fracionária, ostensivo de
representação na forma decimal e ostensivo de representação na forma algébrica
explícita, conforme figura a seguir:
Figura 15 - Definição do número irracional e.
Fonte: Dante (2010, p. 249).
147
Existe um discurso tecnológico que justifica as considerações apresentadas
pelo autor que determina alguns valores da sequência
e conclui que e é um
número irracional que tende lentamente a 2,7182818284... quando n aumenta
indefinidamente. A tabela construída para as funções f(x) = e x e f(x) = e-x permite
visualizar a reciprocidade dessas duas funções.
Para o desenvolvimento da tarefa proposta ao estudante, são necessários os
quadros algébricos e numéricos, além das articulações das noções de valor
numérico de uma função e gráfico de uma função. Além disso, podemos ainda
considerar que essa tarefa exige o nível técnico em relação ao uso da tabela e
mobilizável em relação à noção de função exponencial e sua representação gráfica.
O tópico: Aplicações da função exponencial
Nesse tópico, o autor mostra que a função exponencial, além da lei de
formação f(x) = ax, também pode ser representada por f(x) = C.a kx que é a
característica para certos tipos de fenômenos.
O exemplo é trabalhado por meio de um problema que relaciona o número
esperado de habitantes de uma cidade com o tempo dado em anos pela função
dada f(t) = K. 20,05t.
Existe um discurso tecnológico que justifica a aplicação da noção de função
exponencial por meio de cinco etapas para a resolução deste problema: lendo e
compreendendo, planejando a resolução, executando o que foi planejado, emitindo a
resposta e aplicando o problema.Em outras palavras, mostra-se que o discurso não
trata apenas da aplicação da noção matemática em jogo, mas da técnica e do
procedimento necessário para a resolução de uma situação contextualizada.
É necessária a articulação entre os quadros numérico e algébrico para
resolução das tarefas que exigem o nível mobilizável em relação à aplicação da
noção de função exponencial e disponível em relação às técnicas e aos
procedimentos que envolvem essa noção. Isto, nessa etapa, já é considerado
conhecimento prévio disponível.
Na sequência, apresentamos a obra de Kátia Stocco Smole e Maria Inez Diniz
(2010).
148
7.3 A OBRA DE KÁTIA STOCCO SMOLE E MARIA INEZ DINIZ INTITULADA
MATEMÁTICA “ENSINO MÉDIO” (VOLUME 1)
A obra de Kátia Stocco Smole e Maria Inez Diniz é composta de três volumes
destinados aos estudantes do Ensino Médio, cuja finalidade, segundo as autoras, é
desenvolver os temas selecionados de forma que o estudante possa usufruir do
valor científico, informativo e instrumental da Matemática. Isto significa que a obra
deve servir tanto para aqueles que necessitam da Matemática para continuar seus
estudos assim como para a utilização da mesma à leitura de textos cotidianos e à
aplicação em tarefas da vida diária.
O primeiro volume é dividido em duas partes, a primeira, intitulada “Números,
Estatística e Funções”, contém as nove primeiras unidades e a segunda,
“Trigonometria”, contém as duas últimas unidades, em um total de 11 unidades,
sendo a primeira unidade destinada a temas, em geral, trabalhados no Ensino
Fundamental, a segunda unidade destinada à análise de dados (estatística). O
domínio das ralações entre grandezas “Funções” é introduzido na unidade 3,
seguido dos setores Função Afim, Função Quadrática, Sequências (Progressão
Aritmética e Progressão Geométrica).
A Função Exponencial, nosso objeto de estudo, é introduzida na unidade 7,
as demais unidades são dedicadas aos domínios: Logaritmo e Função Logarítmica,
Operações entre Funções, Trigonometria no Triângulo Retângulo e Relações
Trigonométricas em um Triângulo qualquer.
Os temas sobre “Função Exponencial” foram divididos em 03 tópicos, a saber:
•
Função Exponencial.
•
Equações Exponenciais.
•
Inequações.
Observamos que as autoras, em geral, apresentam cada tópico de forma
detalhada, com definições e exercícios resolvidos, para os quais existe um discurso
tecnológico sobre as noções e técnicas necessárias para o seu desenvolvimento,
explicitando conhecimentos prévios supostos disponíveis do Ensino Fundamental,
tal como é recomendado nas propostas governamentais.
Comentamos e analisamos os três itens, a seguir, para melhor compreender a
proposta das autoras.
149
O tópico: Função Exponencial
A definição da função exponencial é apresentada por meio do ostensivo de
representação em língua natural, ostensivo de representação gráfica, ostensivo de
representação na forma de tabela, ostensivo de representação na forma de potência
algébrica explícita (fórmula), isto é, f(x) = a x.
A introdução da função exponencial é apresentada, considerando uma
situação-problema, que corresponde ao crescimento de uma folha com forma
circular de uma planta aquática, cujo diâmetro triplica a cada mês, isto é, o diâmetro
está relacionado com o tempo em meses. Em seguida, as autoras representam o
crescimento dessa folha em um gráfico, mostrando, assim, que o diâmetro aumenta
aproximadamente 80 vezes em 4 meses. Além disso, por meio do ostensivo de
representação na forma de tabela, que contém a variação do diâmetro em função do
tempo, as autoras generalizam, utilizando o ostensivo de representação forma de
potência para finalmente associar a situação ao modelo matemático “função” do tipo
“exponencial”, f(x) = 3x ou y =3x, onde 3 representa o triplo do diâmetro da folha, x é
o tempo decorrido em meses e y o tamanho da folha para um determinado tempo x,
conforme podemos observar na figura a seguir:
150
Figura 16 - Introdução Stocco e Diniz.
Fonte: Stocco e Diniz (2010, p.173).
Os exemplos são acompanhados de um discurso tecnológico que os
justificam, como na Figura16, na qual as autoras apresentam a função por meio de
sua representação gráfica, observando que se trata de uma função contínua e que,
para o caso considerado, o diâmetro cresce exponencialmente. As autoras justificam
ainda as restrições à base a, ou seja, a > 0 e a ≠ 1, utilizando a definição de função
exponencial através do ostensivo de representação algébrico intrínseco, isto é, f: IR
→IR dada por x ├→ y = ax, com a >0 e a ≠ 1.
Depois de mostrar como podem ser obtidos os valores de ax, quando x é
irracional, a partir de potências de ar, com r assumindo valores racionais que se
aproximam de x, na “seção para saber mais”, as autoras apresentam um quadro que
contém todas as propriedades da potência, mas esse trabalho não explora o
151
tratamento de exemplos numéricos. Observamos, então, que fica a cargo do
professor exemplificar numericamente as propriedades da potência de expoente
real, em particular, determinar as potências de expoente fracionário e irracional, que
supõem a utilização de uma calculadora.
Para o desenvolvimento das tarefas propostas aos estudantes, é necessário
articular os quadros numérico e algébrico, algumas exigem que se mobilize ou
disponha de conhecimentos associados às operações e propriedades da
potenciação e radiciação para um determinado conjunto numérico, como podemos
observar no exemplo que segue:
Observe a seqüência 10 100 1000 10000

Indique o 5º, o 18º e o 100º termos dessa sequência

Explique como essa sequência é formada.

Encontre o termo geral da sequência.
Figura 17 - Exercício 6.
Fonte: Stocco e Diniz (2010, p.175).
O exemplo da Figura 17 corresponde à Tarefa 1 (Aplicar as propriedades de
potência de mesma base). Para resolver o item a, a técnica empregada consiste em
aplicar a definição da potência, pois se espera que o estudante dê o resultado na
forma de potência. Assim, é preciso que o estudante disponha de conhecimentos
sobre a transformação de um número inteiro em forma de potência de base 10, isto
é, o estudante deve dispor da noção de notação científica, estudada na unidade 1.
Nos itens b e c, a técnica empregada consiste em identificar a sequência
onde cada termo é encontrado, elevando 10 a um expoente igual à posição do termo
na sequência. É preciso que o estudante disponha da noção de sequência e termo
geral de uma sequência, estudadas na unidade 6.
Antes de introduzir o gráfico da função exponencial, há uma segunda seção
“para saber mais”, na qual as autoras fazem a articulação entre as noções de
progressão geométrica e função exponencial por meio de exemplos que articulam os
ostensivos, ostensivo em língua natural, ostensivo de representação em forma de
152
tabela, ostensivo de representação gráfica e ostensivo de representação em forma
de potência algébrica explícita.
Neste ponto, observamos que, para a solução das tarefas propostas aos
estudantes, é preciso que o professor explicite a articulação entre os diferentes
ostensivos de representação e que, por se tratarem de tarefas que exigem o nível
disponível, alguns conhecimentos considerados como conhecimentos prévios
poderão ser revisitados ou até introduzidos pelo professor em função dos diferentes
grupos de estudantes com os quais está desenvolvendo esse trabalho.
Assim, o gráfico da função exponencial é introduzido por meio de exemplos,
que são acompanhados de um discurso tecnológico que justifica a passagem do
quadro numérico para o quadro algébrico e do ostensivo de representação na forma
algébrica explícita para ostensivo de representação em forma de tabela e, na
sequência, para o ostensivo de representação gráfica.
Em seguida, as autoras justificam, por meio da representação gráfica, os
casos em que há a função crescente e decrescente, com dois exemplos que são
acompanhados de um discurso teórico, uma vez que, a partir da definição de função
exponencial, elas consideram a condição de existência, isto é, a função exponencial
é aquela cujo gráfico está acima do eixo Ox para todo x pertencente a IR e tem por
imagem o conjunto dos números reais positivos e diferentes de zero, Im(f) =
corta o eixo Oy no ponto (0,1), como podemos observar na figura a seguir:
IR* , e
153
Figura 18 - Gráfico Cartesiano dos casos da função crescente e descrecente.
Fonte: Stocco e Diniz (2010, p.178)
Após a discussão sobre a propriedade de crescimento e decrescimento da
função exponencial, as autoras apresentam dois exemplos (exercícios resolvidos). O
primeiro envolve a construção e interpretação de gráfico e a classificação em
crescente ou decrescente da função exponencial definida pela sua representação na
forma de potência algébrica explícita. A técnica consiste em verificar visualmente,
por meio do valor numérico da base da potência, os dois casos possíveis, isto é, se
a base da função exponencial está entre 0 e 1, a função é decrescente e, quando é
maior do que 1, a função é crescente.
Observamos que as autoras associam a função dada a seu gráfico e
visualmente estabelecem o discurso tecnológico que justifica a propriedade de
crescimento e decrescimento da função dada, assim como a identificação do
domínio e imagem da mesma. Nesse momento, elas introduzem ostensivamente,
por meio da representação gráfica da função dada, a variação do conjunto imagem,
que corresponde à função f(x) = b + ax e que poderá servir de apoio para o estudo
das assíntotas horizontais no Ensino Superior.
A figura 19, a seguir, coloca em evidência o trabalho sobre os ostensivos de
representação algébrico e explícito, tabela e gráfico, sendo que o ostensivo na forma
de representação gráfica permite visualizar as propriedades das funções dadas.
154
Figura 19 - Exercícios resolvidos.
Fonte: Stocco e Diniz (2010, p.178).
Figura 20 - Exercícios resolvidos.
Fonte: Stocco e Diniz (2010, p.179).
155
O segundo exemplo enfoca uma situação-problema do vestibular da FUVEST
2007, na qual se relaciona o número de bactérias com o tempo para a reprodução
das mesmas. Trata-se de uma tarefa que, por estar associada à noção de função
exponencial, exige o nível mobilizável, mas que, ao ser dada em uma avaliação,
será considerada disponível. As autoras apresentam sua solução, desenvolvendo
um discurso tecnológico que permite encontrar a função exponencial a partir do
cálculo de alguns casos particulares. Assim, a noção de função exponencial e a
definição de potência são os elementos teóricos considerados no discurso que
acompanha esse exemplo. A explicitação do trabalho matemático a ser realizado
pode auxiliar o estudante na aplicação dessa forma de raciocínio nas tarefas que lhe
são propostas a seguir.
Assim, consideramos que, para as tarefas de construção de gráfico no plano
cartesiano, o desenvolvimento proposto exige que se disponha de conhecimentos
associados à definição de potência, pois, após determinar as coordenadas de alguns
pontos, os mesmos são representados no sistema cartesiano ortogonal, chegandose à curva do gráfico solicitado. Neste momento, os conhecimentos supostos
disponíveis são a definição de potência e suas propriedades e a representação de
pares ordenados no sistema cartesiano ortogonal plano.
Para as tarefas de classificação da função exponencial em crescente ou
decrescente, sendo esta definida pela sua representação na forma de potência
algébrica explícita, a técnica consiste em verificar visualmente, por meio do valor
numérico da base da potência, os dois casos possíveis, isto é, se a base da função
exponencial está entre 0 e 1, a função é decrescente e, quando é maior do que 1, a
função é crescente.
Para as tarefas que consistem em identificar a lei de formação de uma função
exponencial do tipo y = ax, com a > 0 e a ≠ 1, quando esta é dada por meio de uma
situação problema, é necessário articular os quadros numérico algébrico para sua
resolução. Assim, observamos que este tipo de tarefa exige o nível mobilizável em
relação à aplicação da noção de função exponencial e disponível em relação às
técnicas e aos procedimentos que envolvem essa noção, em particular, a definição
de potência e suas propriedades e a representação de pontos no sistema cartesiano
ortogonal plano.
Existe ainda uma secção “no computador” para a qual é proposta uma
atividade de construção gráfica, usando o “software” Winplot. Trata-se de uma tarefa
156
interessante, pois consiste em comparar e analisar os gráficos da função afim
f(x) = 2x, da função quadrática g(x) = x2 e da função exponencial h(x) = 2x, em uma
primeira etapa e, na etapa seguinte, verificar como se comporta o gráfico da função
exponencial quando se adiciona uma constante à sua lei de formação.
Figura 21 - Atividade.
Fonte: Stocco e Diniz (2010, p. 180).
Observamos que as autoras têm uma preocupação com a confusão que os
estudantes fazem com o uso da representação algébrica e que, na falta do
computador, o professor pode propor esta atividade em malha quadriculada.
Ressaltamos ainda que, na análise das questões da segunda fase do vestibular da
UNICAMP dos últimos dez anos, que é apresentada no capítulo 7, é possível
157
observar que alguns estudantes, mesmo tendo sido aprovados na primeira fase,
apresentam esse tipo de dificuldade na solução de tarefas que envolvem a noção de
função exponencial.
As equações exponenciais são apresentadas, utilizando os ostensivos de
representação escrita (representação em forma de potência, representação
fracionária, representação de radicais, representação decimal, representação
algébrica explícita) e a noção de potência e suas propriedades. Em alguns casos,
espera-se que os estudantes disponham de conhecimentos de métodos de
resolução de equações do primeiro e segundo graus.
Para as inequações exponenciais, as autoras relacionam o crescimento e
decrescimento da função exponencial com a resolução das inequações por meio dos
gráficos correspondentes, isto é, faz-se a articulação entre os ostensivos de
representação escrita e o ostensivo de representação gráfica.
Os
exemplos
sobre
equações
e
inequações
exponenciais
são
acompanhados de um discurso tecnológico que justifica as articulações de quadros
e dos ostensivos de representação necessários para o desenvolvimento da tarefa.
Em geral, os conhecimentos sobre os métodos de resolução de equações do
primeiro e segundo graus são tratados como conhecimentos prévios disponíveis,
não sendo discutidos pelas autoras.
Assim, para a resolução das tarefas propostas aos estudantes, é necessária a
articulação dos quadros numérico e algébrico, a mobilização de conhecimentos
sobre a definição de potência e decomposição de um número real em forma de
produto de fatores primos e o desenvolvimento das técnicas e fórmulas associadas à
resolução equações exponenciais desenvolvidas nos exemplos. É preciso, ainda,
dispor dos conhecimentos dos métodos de resolução de equações do 1º e 2º grau e
sistemas de duas equações com duas incógnitas.
Observamos também que, para as tarefas que exigem a aplicação da noção
de função exponencial em situações contextualizadas, o estudante precisa dispor do
conceito, das técnicas e dos procedimentos associados a essa noção. Ressaltamos
ainda que esses conhecimentos são desenvolvidos ao longo do capítulo destinado
ao estudo da função exponencial e que, após sua explicitação, utilizando, em geral,
três tipos de tarefas, espera-se que os estudantes disponham dos conhecimentos
prévios necessários, uma vez que as tarefas propostas no livro exigem apenas os
níveis técnico e mobilizável, com já destacamos anteriormente.
158
Na sequência, apresentamos uma breve análise da obra Matemática do
Ensino Médio de Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner,
Augusto César Morgado.
7.4 A OBRA DE ELON LAGES LIMA, PAULO CEZAR PINTO CARVALHO,
EDUARDO
WAGNER,
AUGUSTO
CÉSAR
MORGADO
INTITULADA
“MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO” (VOLUME 1)
Trata-se de uma obra que, segundo os autores, cobre o programa sobre
funções do Ensino Médio, uma vez que o tema central dessa etapa escolar são as
funções reais de uma variável real do ponto de vista elementar, isto é, sem o uso do
Cálculo Infinitesimal.
A obra foi concebida a partir de um curso de aperfeiçoamento para
professores de Matemática, iniciado no segundo semestre de 1996, no Instituto de
Matemática Pura e Aplicada – IMPA, cujos instrutores são o autor Elon Lages Lima e
seus colaboradores Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto César
Morgado. Ainda segundo os autores, a obra visa dar apoio bibliográfico ao professor
que, em geral, conta praticamente com o livro texto que adota como única fonte de
referência.
Trata-se de uma obra de três volumes destinados, conforme afirmam os
autores, a dar apoio a professores de matemática e contribuir para o seu trabalho
em sala de aula, bem como apoiar o processo de aprendizagem de estudantes do
curso de Licenciatura em Matemática, solidificando e aprofundando o que foi visitado
no Ensino Médio.
O primeiro volume, o qual analisaremos, é dividido em 09 capítulos, sendo os
quatro primeiros capítulos destinados a temas, em geral, trabalhados no Ensino
Fundamental, Conjuntos, Números Naturais, Números Cardinais e Números Reais, o
domínio das “Funções” é introduzido no capítulo 5. A Função Exponencial, nosso
objeto de estudo, é introduzida no capítulo 8, o último capítulo é dedicado às
Funções Trigonométricas.
Os autores iniciam a obra, introduzindo a noção de conjunto no primeiro
capítulo e ressaltam sua importância atual para expressar os conceitos matemáticos,
159
pois, segundo eles, a linguagem dos conjuntos permite dar aos conceitos e às
proposições a precisão e a generalidade que são características da Matemática.
No segundo capítulo, os autores passam à noção de número, observando
que, se os conjuntos auxiliam a Matemática, os números são junto com o espaço os
principais objetos de que se ocupa a Matemática e terminam a descrição do
conjunto dos números naturais definindo a relação de ordem entre os naturais e
suas propriedades.
No capítulo 3, os autores, antes de introduzirem a noção de números
cardinais, ressaltam a importância dos números naturais, justificando sua utilização
no processo de contagem. Eles articulam essa noção com a noção de função,
introduzindo, assim, este conceito.
Dessa forma, os autores introduzem a noção de função de um conjunto X em
um conjunto Y definindo domínio, contra-domínio e imagem de uma função. Nesse
momento, os autores aproveitam para fazer algumas recomendações que, na
realidade, são justificativas para as representações atualmente utilizadas para a
noção de função.
A partir da noção de função e bijeção, os autores definem número cardinal e
apresentam exemplos e contra-exemplos, articulando conhecimentos nos domínios
da álgebra e da geometria, buscando fatos históricos para ilustrar a definição e
introduzir novas noções associadas à noção do que está sendo trabalhado.
A noção de números reais é introduzida no capítulo 4, articulando domínios
como a álgebra, a geometria, a história da matemática, a análise matemática e,
quando possível, outros domínios, tais como a física, considerando também
situações cotidianas.
Ainda neste capítulo sobre os números reais, os autores tratam a questão das
desigualdades e dos intervalos para introduzir a noção de valor absoluto que é
articulada com a noção de distância entre dois pontos. Para finalizar o capítulo, os
autores introduzem a noção de sequência, articulando essa noção com as definições
de funções anteriormente introduzidas e as noções de números naturais e números
reais e como exemplos de sequências, eles consideram as progressões aritmética e
geométrica que, em geral, são os exemplos de sequências trabalhados no Ensino
Médio e que podem ser articulados com outras noções da própria matemática ou
com outros domínios, como a biologia, a física e a economia.
160
Nos capítulo 5, 6 e 7 os autores introduzem a noção de Funções Afins,
Funções Quadráticas e Funções Polinomiais. Eles retomam as definições de produto
cartesiano e consideram sua representação algébrica simbólica intrínseca e sua
representação gráfica, mesmo se não utilizam esta terminologia, mas certamente
não tratam das conversões entre elas, pois esse trabalho não faz parte do objetivo
de sua obra.
O capítulo 8 “Funções Exponenciais e Logarítmicas” foi dividido em 11
tópicos, a saber:
1.
Introdução
2.
Potências de expoentes racional
3.
A Função Exponencial
4.
Caracterização da Função Exponencial
5.
Funções Exponenciais e progressões
6.
Função Inversa
7.
Funções Logarítmicas
8.
Caracterização das Funções Logarítmicas
9.
Logaritmos Naturais
10.
Função Exponencial de base e
11.
Como verificar que
depende apenas de h.
Observamos que o autor, em geral, apresenta cada tópico de forma
detalhada, com definições e demonstrações, para os quais existe um discurso
tecnológico sobre as noções e técnicas necessárias para o seu desenvolvimento.
Certamente, o trabalho desenvolvido é para professores e não para estudantes do
Ensino Médio, supondo que o leitor tenha certa familiaridade com as noções que
estão sendo tratadas e suas diferentes representações.
Comentamos e analisamos os onze itens para melhor compreender a
proposta dos autores, conforme se pode verificar na sequência.
O tópico: Introdução
Os autores aproveitam um exemplo apresentado no capítulo 5 para mostrar a
diferença entre uma função afim e uma função exponencial. Trata-se da abordagem
em que uma quantia x, investida durante um prazo fixo e determinado, gerou, no
161
final desse período, o valor f(x), constatando que, se uma determinada quantia é
aplicada a juros fixos, capitalizados continuamente, a função c(t) é uma função
crescente de t. Isso permite mostrar que a função c(t) não é uma função afim de t,
pois c(t+h) – c(t) não depende apenas do acréscimo h, mas também de t, o que
conduz à procura de um novo modelo matemático essa segunda situação.
O problema é analisado mais detalhadamente por meio de um discurso
tecnológico justificado teoricamente pela noção de proporção. Entretanto, as
representações e o conhecimento algébrico associados à noção de função são
supostos conhecidos. Finalmente, conclui-se que o modelo matemático conveniente
para descrever a variação de um capital aplicado a juros fixos, em função do tempo,
deve ser uma função crescente da forma c(t) = co. at.
Observamos aqui que os autores consideram o exemplo de aplicação de um
capital a juros fixos, capitalizados continuamente como um conhecimento prévio
disponível para os leitores. Eles salientam que este mesmo modelo matemático
pode ser empregado em outras situações em que ocorrem as funções exponenciais
como, por exemplo, quando se estuda a desintegração radioativa, a qual também é
um exemplo utilizado pelos autores dos livros do Ensino Médio.
A diferença entre a introdução desses exemplos no Ensino Médio e a
proposta da obra em questão pode ser explicada pela escolha de trabalhar o saber
fazer (tarefas e técnicas) no Ensino Médio e justificar (tecnologia e teoria) o mesmo
no Ensino Superior, considerando que os estudantes dispõem dos conhecimentos
prévios sobre números reais e suas propriedades.
O tópico: Potências de expoente racional
Os autores definem uma potência de base a e expoente n como um produto
de n fatores iguais a a. Usando esta definição, os autores mostram a propriedade
fundamental (multiplicação de potência de mesma base) am . an = am + n . Com base
nesta propriedade fundamental demonstram outras propriedades da potência.
Em seguida, mostram que a sequência cujo n-ésimo termo é an é crescente
quando a > 1, decrescente se 0 < a < 1 e constante para a = 1.
Para essas demonstrações, os ostensivos de representação utilizados são:
162
Ostensivo de Representação em forma de potência algébrica explícita:
Exemplo:
, ou seja,
O não ostensivo
associado é a noção de potência.
Ostensivo de Representação fracionária simbólica: O número é dado na
forma fracionária simbólica. O não ostensivo associado é a noção de fração.
Exemplo:
onde se tem
para todo n
A definição de potência e as suas propriedades são justificadas por meio de
um discurso tecnológico associado às demonstrações que justificam as técnicas e
os procedimentos. Mas esse trabalho não explora a contextualização no tratamento
dos exemplos e o desenvolvimento dos níveis mobilizável e disponível está
associado às articulações e operações nos conjuntos numéricos, à noção de
sequência e à noção de limite.
Observamos aqui que as noções anteriormente consideradas são supostas
disponíveis pelos autores.
O tópico: A Função Exponencial
Os autores definem função exponencial, demonstrando que a mesma
deve satisfazer às seguintes propriedades:
Seja a um número real positivo, que suporemos sempre diferente de 1. A
, indicada pela notação f(x) = ax, deve ser
função exponencial de base a,
definida de modo a ter as seguintes propriedades, para quaisquer x,y
1)
ax . ay = ax + y;
2)
a1 = a
3)
x<y
4)
A função
5)
A função exponencial é contínua.
6)
A função exponencial
ax < ay, quando a > 1 e x < y
IR:
ay < ax, quando 0 < a < 1.
, definida por f(x) = ax, é ilimitada superiormente.
, f(x) = ax, a
1, é sobrejetiva.
Novamente, observamos que os autores trabalham com os ostensivos de
representação intrínsecos, uma vez que o objetivo dos mesmos é demonstrar as
propriedades anunciadas. Além disso, é evidente que o nível de conhecimento
163
esperado dos leitores em relação às noções de Álgebra e Introdução ao Cálculo
Diferencial e Integral são supostas disponíveis.
Finalmente, nesse capítulo, os autores mostram, por meio de um exemplo,
para o qual eles utilizam os ostensivos de representação algébrico explícito e
gráfico, que o crescimento exponencial supera o crescimento de um polinômio. Esse
trabalho é realizado pelos autores dos livros didáticos do Ensino Médio analisados
nesta pesquisa, a diferença está no exemplo escolhido, pois, no Ensino Médio, os
autores comparam a função exponencial apenas com a função y = x2.
O tópico: Caracterização da Função Exponencial
Os autores colocam em evidência a importância da função exponencial, em
particular, para os estudantes do Ensino Superior, pois esta definição é essencial
para trabalhar problemas intra e extramatemáticos. Para tal, os autores enfatizam a
necessidade de distinguir, por meio de suas propriedades, as funções afim,
quadrática e exponencial.
Isso os conduz a enunciar e demonstrar os seguintes teoremas que
caracterizam uma função exponencial:
Teorema: (caracterização da função exponencial) Seja
uma
função monótona injetiva (isto é, crescente ou descrecente). As seguintes
afirmações são equivalentes:
1)
f(nx) = f(x)n para todo n
2)
f(x) = ax para todo x
3)
f(x+y) = f(x) . f(y) para quaisquer x,y
Z e todo x
IR;
IR;onde a = f(1);
IR.
Teorema: (Caracterização das funções de tipo exponencial) Seja g:
uma função monótona injetiva (isto é, crecente ou decrescente) tal que, para x,h
quaisquer, o acréscimo relativo
Então, se b = g(0) e a =
IR
dependa apenas de h, mas não de x.
, tem-se g(x) = bax para todo x
IR.
Nos tópicos função exponencial e progressões, função inversa, funções
logarítmicas, caracterização das funções logarítmicas e logaritmos naturais, os
autores articulam conhecimentos prévios e novos conhecimentos em que a noção
de função exponencial serve de ferramenta explícita para as demonstrações dos
164
teoremas considerados. Além disso, quando possível, os autores ilustram os
resultados desses teoremas por meio do ostensivo de representação gráfico.
Observamos aqui que os teoremas apresentados permitem compreender as
articulações entre função exponencial, progressões aritméticas e geométricas e
exemplos contextualizados indicados nos Parâmetros Curriculares Nacionais para o
Ensino Médio. Mais uma vez, os autores consideram as tecnologias e teorias do
saber associadas ao saber fazer trabalhado no Ensino Médio.
Destacamos ainda que é proposto um tópico específico para a função
exponencial de base e. As considerações e os exemplos utilizados demandam o
emprego das noções de limite no infinito, derivada de uma função de uma variável
real num ponto x.
Essa obra é destinada à formação contínua de professores de matemática ou
de estudantes dos últimos anos dos cursos de licenciatura e bacharelado em
matemática, uma vez que seu desenvolvimento supõe que se disponha de
conhecimentos de Álgebra e Cálculo Diferencial e Integral.
Finalmente, observamos que se trata de uma obra que os professores
deveriam consultar no momento em que aparecessem dúvidas sobre como ensinar
determinados conceitos matemáticos e, mais particularmente, como articulá-los.
Na sequência, apresentamos as expectativas institucionais sobre os
conhecimentos necessários para o trabalho com a noção de função exponencial no
Ensino Superior.
7.5 A OBRA DE JAMES STEWART INTITULADA “CÁLCULO” (VOLUME 1)
A obra de James Stewart DAE a 6º edição da versão de “Cálculo”, uma obra
de dois volumes destinados aos estudantes do Ensino Superior, cuja finalidade,
segundo o autor, é auxiliar o estudante em sua descoberta do Cálculo.
O primeiro volume é dividido em 08 capítulos, sendo o primeiro capítulo
destinado ao domínio das funções, seguido das noções de Limites e Derivadas,
Regras de Derivação, Aplicações de Derivação, Integrais, Aplicações de Integração,
Técnicas de Integração e aplicações de Integração.
O tema “Funções e Modelos” foi dividido em 6 tópicos, a saber:
165
1.1Quatro Maneiras de Representar uma Função
1.2
Modelos Matemáticos: uma lista de funções essenciais
1.3
Novas Funções a partir de Antigas
1.4
Calculadoras Gráficas e Computadores
1.5
Funções Exponenciais
1.6
Funções Inversas e Logaritmos
Observamos que o autor, em geral, apresenta esse tema de forma detalhada,
valorizando as quatro maneiras de representação das funções: verbal, a qual, neste
trabalho, denominamos ostensivo de representação na língua natural, numérica ou
ostensivo de representação na forma de tabela, visual ou ostensivo de
representação gráfico e algébrico ou ostensivo de representação na forma algébrica
intrínseca ou explícita. A consideração das diferentes representações o auxilia na
revisão das funções numéricas por meio de tarefas contextualizadas, as quais
devem ser modeladas por tais funções. Neste momento, o autor utiliza um discurso
tecnológico que articula o conceito de função com suas diferentes representações.
Contudo, as técnicas e os procedimentos dessa revisão são considerados
conhecimentos prévios supostos disponíveis e as passagens de uma representação
para outra são não são trabalhadas explicitamente, ficando a cargo de professores e
estudantes. Podemos supor, assim, que o autor propõe este capítulo como um meio
de orientação ao estudo para aqueles que não dispõem dos conhecimentos
esperados como disponíveis para a introdução das noções de limite, derivada e
integral de uma função.
O tópico: Funções Exponenciais
A função exponencial é introduzida no tópico 1.2 Modelos Matemáticos: uma
Lista de Funções Essenciais, com ênfase nas duas representações, a representação
algébrica intrínseca e explícita ou ostensivo de representação algébrica intrínseco ou
explícito e visual ou ostensivo de representação gráfica, por meio de dois exemplos
do quadro numérico, que correspondem à escolha da maioria dos autores, conforme
podemos observar na figura a seguir:
166
Figura 22 - Definição Stewart.
Fonte: Stewart (2011, p.24).
No tópico 1.5, Funções exponenciais, o autor retoma as representações
algébricas explícitas das funções exponencial e quadrática e faz uma breve
discussão sobre a questão da confusão entre as funções f(x) = 2x e g(x) = x2,
destacando que, na função exponencial, a variável está no expoente. Esse tipo de
dificuldade também foi notado nas macroavaliações brasileiras, o que nos conduz a
pensar que se trata de uma dificuldade recorrente.
Em seguida, retoma-se à função exponencial representada na forma
geralmente desenvolvida nos diferentes materiais analisados - f(x) = ax, e estuda,
para os diferentes conjuntos numéricos, a definição de potência e suas
propriedades, dando ênfase, como já havia sido feito pelos autores dos livros
didáticos do Ensino Médio, à necessidade de aproximações quando se deseja
determinar potência de expoente irracional.
A partir do gráfico da função exponencial, o autor considera uma família de
funções y = ax, variando a, para visualizar as propriedades de crescimento e
decrescimento desta função, as quais passam todas pelo ponto (0,1), possuem
167
domínio real e cuja imagem é definida no intervalo (0,
 ).
Ainda por meio da
representação gráfica das funções é que o autor estabelece um discurso tecnológico
para justificar que a é diferente de 1.
Da mesma forma, usando a representação gráfica da função y = 3 – 2x, o
autor determina seu domínio e sua imagem do gráfico y = 3 – 2x. Nesse momento,
seu discurso está associado à construção do gráfico da função y = 2 x, da reflexão do
mesmo em relação ao eixo x e da translação deste considerando a reta (assíntota
horizontal) y = 3, isto lhe permite determinar intervalo sobre IR que representa o
conjunto imagem. Na figura 21, a seguir, é possível verificar o trabalho proposto pelo
autor.
Figura 23 - Exemplo 1 Stewart.
Fonte: Stewart (2011, p.45).
Apesar de haver uma revisão sobre as reflexões e translações de gráficos na
secção 1.3, observamos que esse tipo de solução requer a introdução de novos
conhecimentos, pois, em geral, não se considera essa forma de raciocínio sobre os
gráficos das funções quando estas são introduzidas no Ensino Médio. Em geral, nos
livros do Ensino Médio, a mudança da representação algébrica da função
exponencial para a representação visual (gráfico) consiste em elaborar uma tabela
de dupla entrada, escolhendo valores para a variável x e determinando y de forma
que os mesmos satisfaçam à função y = ax, onde x pertence ao domínio da função,
168
em seguida, representa-se esta curva no plano cartesiano e infere-se sobre suas
propriedades por meio da análise do gráfico.
Para o exemplo 2, o autor sugere o uso de uma ferramenta gráfica
(calculadora ou software) para comparar e analisar os gráficos da função
exponencial f(x) = 2x e da função quadrática g(x) = x2, conforme figura a seguir.
Figura 24 - Exemplo 2 Stewart.
Fonte: Stewart (2011, p.45).
Observamos que há uma preocupação do autor no uso da ferramenta gráfica
que poderá auxiliar na compreensão da leitura das propriedades das funções dadas
por meio de seu gráfico, o que pode ser considerado como uma forma visual de
distinguir o conceito e as diferenças entre os tipos de funções dadas.
Para as aplicações das funções exponenciais, o autor enfatiza que função
exponencial é um modelo matemático que permite descrever diversos tipos de
fenômenos.
O exemplo que é apresentado corresponde a uma população de bactéria que
dobra a cada hora, isto é, o número de bactérias está relacionado com o tempo. Em
seguida, o autor associa a resolução desta situação ao modelo matemático “função”
do tipo “exponencial”, f(t) = 2t, onde t é o tempo decorrido e f(t) o número de
bactérias para um determinado tempo t. Este mesmo exemplo aparece nos materiais
do Ensino Médio. O autor utiliza um discurso tecnológico semelhante ao já
169
encontrado no Ensino Médio para identificar e especificar as variáveis dependentes
e independentes na aplicação da noção de função exponencial como um modelo
matemático para o estudo de situações contextualizadas.
O autor introduz o número irracional e por meio da determinação do
coeficiente angular da reta tangente à curva n ponto (0,1). Após considerar que o
coeficiente angular da reta tangente à curva y = 2 x é aproximadamente igual 0,7 e
que o coeficiente angular da reta tangente à curva y = 3 x é aproximadamente igual a
1,1, o autor observa que existe uma função exponencial cujo coeficiente angular da
reta tangente à sua curva no ponto (0,1) é igual a 1. Isso o conduz a considerar que
o valor da base a para tal função é igual a e, que é um número entre 2 e 3. Ao
introduzir a derivada da função exponencial, o autor utiliza esta propriedade para
mostrar que o
eh1
lim 1. Este resultado é justificado por meio de um discurso
h
0 h
tecnológico centrado na propriedade, que o coeficiente angular da reta tangente ao
gráfico da função f(x) = ex no ponto (0, 1) é igual a 1. Mais uma vez, o autor utiliza o
ostensivo de representação gráfica como meio para mostrar que
eh1
lim 1e
h
0 h
para destacar o interesse de utilizar a função f(x) = ex na descrição de fenômenos
que dependem do modelo exponencial.
As tarefas propostas aos estudantes seguem os exemplos propostos pelo
autor e, para as tarefas contextualizadas, os conhecimentos desenvolvidos no
Ensino Médio são suficientes. É importante observar que o autor utiliza os
conhecimentos sobre a função exponencial revisitados no capítulo 1 como
conhecimentos prévios para introduzir novas noções como, por exemplo, o cálculo
de limite e as regras de derivação no capítulo 3.
170
7.6 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
A análise da obra de Dante (2010) permitiu identificar conhecimentos prévios
supostos disponíveis para a introdução da noção de função exponencial no Ensino
Médio, a saber: as noções de conjuntos numéricos, suas operações e propriedades,
em especial, as noções de potenciação, radiciação e propriedades de potências de
mesma base e dos radicais. Além disso, espera-se que os estudantes compreendam
a diferença entre números racionais e irracionais e possam utilizá-los em diferentes
situações, podendo interpretar os resultados encontrados.
Dante (2010) introduz a noção de função exponencial por meio de uma
situação contextualizada, mesmo que artificial, para, em seguida, considerar a
definição de potência nos diferentes conjuntos numéricos e dar uma definição de
função exponencial que, na realidade, trata-se da condição de existência para a
função f(x) = ax.
A introdução dos ostensivos de representação tabela e gráfico assim como
das propriedades da função exponencial são feitas por meio de um discurso
tecnológico que justifica técnicas e procedimentos considerados. Da mesma forma,
as tarefas resolvidas são tratadas por meio desse mesmo discurso e, quando
necessário, o autor explicita a necessidade da utilização de uma calculadora
científica para o desenvolvimento do trabalho em jogo.
As tarefas propostas aos estudantes exigem que se articulem os quadros
algébrico e numérico e, em geral, exigem o nível mobilizável no que se refere à nova
noção introduzida, isto é, a noção de função exponencial. No entanto, os
conhecimentos sobre conjuntos numéricos e suas operações e propriedades,
equações do primeiro e segundo grau, sistemas de duas equações e duas
incógnitas e fatoração são considerados como conhecimentos prévios disponíveis
no desenvolvimento do curso e nas propostas de trabalho para os estudantes.
Na obra de Dante (2010), observamos que, nas tarefas propostas aos
estudantes, as que demandam o nível disponível, em geral, são aquelas em que se
considera uma situação contextualizada, onde se espera que os estudantes
identifiquem a função a ser utilizada. Ressaltamos que mesmo essas tarefas, por se
encontrarem no capítulo que trata da noção de função exponencial, podem também
171
ser consideradas como tipos de tarefas que exigem nível mobilizável em relação à
nova noção que está sendo introduzida.
Assim, as expectativas institucionais em relação às tarefas que demandam o
nível disponível, em geral, ficam associadas às avaliações, onde nenhuma indicação
sobre a noção em jogo é dada.
A análise da obra de Stocco e Diniz (2010) apresenta uma distinção inicial em
relação à obra de Dante (2010), ao definir a função exponencial somente na
sequência por meio do ostensivo de representação gráfica para considerar a
condição de existência.
Os exemplos e as tarefas propostas aos estudantes são semelhantes aos de
Dante (2010), mas existe um diferencial que é a proposta de comparação entre os
três tipos de funções introduzidas no início do Ensino Médio, isto é, a função afim,
quadrática e exponencial. Esse trabalho permite enriquecer conhecimentos prévios e
coloca em evidência as diferenças entre os três modelos matemáticos que, em
geral,
apresentam
dificuldade
quando
da
sua
aplicação
em
situações
contextualizadas que exigem o nível disponível.
Observamos que os estudantes que dispõem dos conhecimentos sobre
função exponencial desenvolvidos em uma das duas obras aqui analisadas, que
correspondem às relações institucionais existentes para o Ensino Médio, devem
estar preparados para enfrentar as diferentes macroavaliações. Consequentemente,
pode-se supor que os discentes podem identificar essa função assim como algumas
de suas representações e propriedades, o que pode ainda auxiliar o professor do
Ensino Superior, uma vez que o mesmo pode se referir a esta função como
conhecimento prévio, o que possibilita a introdução de novas noções, em particular,
na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral.
Um exemplo de um trabalho deste tipo é encontrado na obra de Stewart
(2011). A análise da obra que, em geral, é usada na disciplina de Cálculo Diferencial
e Integral, no Ensino Superior, mostra que o autor revisita a noção de função
exponencial retomando alguns tópicos já trabalhados no Ensino Médio, mas
introduzindo uma nova proposta quando do estudo da função exponencial f(x) = e x, o
que permite a articulação de conhecimentos prévios com os novos conhecimentos a
serem introduzidos na disciplina de Cálculo.
Encontramos no livro de Stewart (2011) uma proposta de trabalho onde os
conhecimentos desenvolvidos no Ensino Médio são reformulados e articulados para
172
servirem de apoio à introdução de novas noções no Ensino Superior. Assim, o
trabalho, segundo esta proposta, possibilita revisitar conhecimentos prévios de
forma que estes não representem apenas uma reprodução do que já foi
desenvolvido no Ensino Médio.
Vimos, assim, que a obra de Stocco e Diniz (2010) nos parece a mais
adequada
para
a
introdução
da
definição
de
função
exponencial,
suas
representações e propriedades quando se considera as expectativas institucionais
tanto para o Ensino Médio (documentos oficiais) como para o Ensino Superior
(planos de Ensino de universidades públicas e privadas). A escolha desta obra como
a mais apropriada se deve ao fato das autoras definirem função exponencial e não
introduzirem a mesma por meio de sua condição de existência como ocorre na obra
de Dante (2010).
A obra de Stewart (2011) confirma a necessidade de um estudo mais
detalhado da função exponencial e articulado com as noções de Cálculo que se
introduz no início do Ensino Superior. Além disso, os professores que desejarem
ampliar seus conhecimentos ou de seus estudantes podem utilizar a obra de Lima e
tal (2006) a qual mostra que, para resolução de situações sejam elas
intramatemática ou extramatemática, é necessário conhecer as propriedades
características de cada função.
As obras são construídas de acordo com as propostas institucionais e exigem
um bom escalonamento de tempo para que possam ser trabalhadas de forma
planejada, organizada e estruturada. Ademais, as avaliações de passagem do
Ensino Médio para o Ensino Superior podem supor os conhecimentos desenvolvidos
nas obras de Stocco e Diniz (2010) e Dante (2010) como disponíveis.
Na sequência, apresentamos os resultados das análises das relações
pessoais esperadas dos estudantes estudadas via macroavaliações.
173
8 MACROAVALIAÇÕES E A TRANSIÇÃO ENSINO MÉDIO E SUPERIOR
8.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Buscamos, neste capítulo, fazer uma análise das expectativas institucionais
em relação à aprendizagem dos estudantes, isto é, das relações pessoais
esperadas sobre o ensino e aprendizagem da noção de função exponencial, tanto
no Ensino Médio como no Ensino Superior, considerando as macroavaliações
institucionais. Para tanto, escolhemos três macroavaliações institucionais, duas na
transição do Ensino Médio para o Ensino Superior e uma para o final do Ensino
Superior.
Primeiramente, para o Ensino Médio, escolhemos analisar as três últimas
edições do ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio), que avalia o desempenho
dos estudantes ao fim da escolaridade básica. Em seguida, averiguamos as dez
últimas edições da prova da segunda fase do vestibular da UNICAMP, que classifica
e seleciona candidatos para a matrícula inicial na Universidade Estadual de
Campinas. Finalmente, para o Ensino Superior, escolhemos o Exame Nacional de
Desempenho dos Estudantes – ENADE que avalia os cursos oferecidos pelas
instituições de Ensino Superior em nosso país.
Desse modo, temos por objetivo verificar quais as relações pessoais
esperadas dos estudantes em relação ao nosso objeto de estudo, função
exponencial, com base nas relações institucionais existentes, sem qualquer
julgamento de valor sobre as tarefas retiradas das provas. Assim, iniciaremos,
apresentando os resultados encontrados para as três últimas edições do ENEM, que
são aquelas que classificam os estudantes para entrada nas universidades federais
e para as bolsas do Prouni nas instituições particulares de Ensino Superior.
174
8.2 ENEM
Desde 1998, o Ministério da Educação do Brasil - MEC realizou quatorze
edições do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), cujo objetivo principal é
avaliar o desempenho do estudante ao fim da escolaridade básica, para conferir o
desenvolvimento de competências fundamentais ao exercício pleno da cidadania, tal
como é proposto nos documentos oficiais apresentados no capítulo 5.
Em 2009, o ENEM foi modificado por várias razões, entre elas: a necessidade
de reformular o currículo do Ensino Médio e democratizar as oportunidades de
acesso às vagas federais no Ensino Superior, possibilitando a mobilidade acadêmica
e induzindo a reestruturação dos currículos do Ensino Médio. No entanto, essa
recomendação ainda não corresponde à realidade, pois algumas universidades
públicas federais utilizam o resultado do ENEM apenas como um dos elementos que
compõem a nota classificatória para o acesso à universidade.
Com essa mudança de objetivo para a macroavaliação ENEM, as provas das
edições 2009, 2010 e 2011 foram reformuladas. Dessa maneira, elas correspondem
a um objeto importante para as nossas análises, pois possuem elementos que
permitem identificar as tarefas usualmente pedidas nesse tipo de avaliação, em
particular, aquelas associadas à noção de função exponencial.
Observamos que o Exame Nacional do Ensino Médio ENEM está baseado
nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) do Ensino Fundamental e Médio, dos
quais estudamos, no quarto capítulo deste trabalho, os objetivos e as finalidades, na
tentativa de identificar as necessidades de mudanças de quadros, a ênfase dada
aos ostensivos de representação escrita e não ostensivos associados, mesmo se
essas articulações não são tratadas por meio dessa terminologia. Assim, este
estudo permite verificar se existe conformidade entre as expectativas institucionais
de trabalho com os estudantes e as exigências sobre o que se supõe como
conhecimento prévio disponível.
A prova do ENEM é constituída de 180 questões objetivas e uma redação,
formuladas com base na Matriz de Referência divulgada pelo MEC, sendo 45
questões para a área de conhecimento Matemática e suas Tecnologias (Álgebra e
Geometria).
175
Na matriz de referência para a prova de Matemática e suas Tecnologias,
estão descritas as competências e habilidades (indicadas por H) que se esperam do
estudante do Ensino Médio. Para compreender como funciona essa macroavaliação,
primeiro, consideramos a matriz de referência de Matemática e suas Tecnologias
indicada para essa macroavaliação, com o respectivo gabarito relacionado à
resposta correta para a tarefa proposta, identificando apenas aquelas em que a
noção de função exponencial está em jogo.
Assim, consideramos para as análises os seguintes itens:
I – Nível de conhecimento esperado dos estudantes: técnico, mobilizável e
disponível (segundo definição de Robert,).
II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa.
III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial.
Na sequência, apresentamos uma discussão em relação a cada tarefa.
8.2.1 ENEM 2009 – Função Exponencial
No ano de 2009, apenas a questão de número 139 do caderno amarelo está
relacionada à noção de função exponencial. Ela foi identificada entre as 45 de
matemática para um total de 90 questões que compunham a prova de redação e
linguagens, códigos e suas tecnologias e matemática e suas tecnologias.
Questão 139
Matriz de referências de Matemática e suas Tecnologias
Em relação às competências desenvolvidas no Ensino Médio, espera-se que
os estudantes sejam capazes de modelar e resolver tarefas, usando representações
algébricas, o que corresponde à competência de área 5 enunciada a seguir:
Competência de área 5 - Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis
socioeconômicas
ou
técnico-científicas,
usando
representações
algébricas.
(BRASIL, 2009).
Segundo o mesmo documento, a competência de área 5 está associada às
habilidades apresentadas a seguir:
176
H19 - Identificar representações algébricas que expressem a relação entre
grandezas.
H20 - Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.
H22 - Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a
construção de argumentação.
H23 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos
algébricos.
Quadro 17 - Habilidades 19 à 23.
Fonte: Portal do MEC. Brasil. 2009. Disponível em: <http://www.portal.mec.gov.br>. Acesso em: 16
dez. 2011.
Ao identificar as habilidades relacionadas à competência de área 5,
observamos que as mesmas correspondem a relacionar os ostensivos de
representação escrita com a representação da lei de formação de uma função e os
não ostensivos associados à noção de função de uma variável real a valores reais,
articular quadros numérico e algébrico para resolver situações contextualizadas da
própria matemática, das outras ciências ou do cotidiano. Essa interpretação nos
auxilia a compreender qual o nível de conhecimento esperado dos estudantes na
solução desse tipo de tarefa, mesmo se as habilidades não são enunciadas por meio
das ferramentas didáticas por nós utilizadas.
Tarefa
Suponha que o modelo exponencial y = 363 e 0,03x, em que x = 0 corresponde
ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a
população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa
população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre
2010 e 2050. Desse modo, considerando e0,3 = 1,35, estima-se que a população
com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre:
A) 490 e 510 milhões.
B) 550 e 620 milhões.
C) 780 e 800 milhões.
D) 810 e 860 milhões.
E) 870 e 910 milhões.
177
Gabarito: E
I – Nível de conhecimento esperado dos estudantes: técnico, mobilizável e
disponível (segundo definição de Robert,):Técnico.
II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: Noção de cálculo do
valor numérico de uma função exponencial, propriedades das potências, produto de
números decimais.
III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial
apresentada na grade de análise: Tarefa 1 (aplicar as propriedades de potência de
mesma base); tarefa 6(identificar e /ou determinar a lei de formação da função
exponencial de uma situação enunciada por meio do ostensivo de representação em
língua natural) e tarefa 7 (calcular o valor numérico de uma função exponencial).
Discussão:
Podemos identificar claramente os dados e a variável do problema, já que é
dada a representação algébrica da função exponencial. Isto permite, através de uma
verificação, checar a resposta aproximada da apresentada por meio do cálculo do
valor numérico da função. Na realidade, a técnica a ser utilizada em relação à
função exponencial é a da determinação do valor numérico de uma função para um
valor dado de x, a qual é uma técnica que se repete para os diferentes tipos de
funções estudadas no Ensino Médio.
Observamos que o contexto dado não auxilia no desenvolvimento da questão
nem para estimular os estudantes sobre a importância da noção em jogo. Trata-se
apenas de uma contextualização dispensável, pois bastaria pedir para calcular o
valor numérico da função representada por meio do ostensivo de representação
algébrica considerando os dados da tarefa. Esse tipo de tarefa já era bastante
utilizado antes das propostas de mudanças para o Ensino Médio.
Além disso, a tarefa exige que o estudante reconheça que o valor encontrado
se encontra entre dois valores dados de um intervalo sobre IR. A maior dificuldade
encontrada nessa questão poderá estar associada aos cálculos que devem ser
efetuados sem uso de calculadora, os quais necessitam de tempo, embora o
candidato não disponha de muito, pois não podemos nos esquecer de que a prova
é composta de 90 questões e uma redação.
178
8.2.2 ENEM 2010 - Função Exponencial
No ano de 2010, apenas a questão de número 177 do caderno amarelo pode
ser considerada como uma aplicação da noção de função exponencial e suas
propriedades, pois ela exige que se mobilizem as propriedades da potência que, em
geral, é um dos temas tratados quando se introduz a noção de função exponencial e
suas propriedades no Ensino Médio. A referida questão foi identificada entre as 45
de matemática para um total de 90 questões que compunham a prova de redação e
linguagens, códigos e suas tecnologias e matemática e suas tecnologias.
Questão 177
Em relação às competências desenvolvidas no Ensino Médio, espera-se que
os estudantes sejam capazes de modelar e resolver tarefas usando representações
algébricas que corresponde à competência de área 3 enunciada a seguir:
Competência de área 3 - Construir noções de grandezas e medidas para a
compreensão da realidade e a solução de problemas do cotidiano. (BRASIL, 2009)
Segundo o mesmo documento, a competência de área 3 está associada às
habilidades apresentadas a seguir:
H10
-
Identificar
relações
entre
grandezas
e
unidades
de
medida.
H11 - Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do
cotidiano.
H12
-
Resolver
situação-problema
que
envolva
medidas
de
grandezas.
H13 - Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento
consistente.
H14 - Avaliar proposta de intervenção na realidade utilizando conhecimentos
geométricos relacionados a grandezas e medidas.
Quadro 18 - Habilidades 10 a 14.
Fonte: Portal do MEC. Brasil. 2009. Disponível em: <http://www.portal.mec.gov.br>. Acesso em: 16
dez. 2011
Observamos que as habilidades relacionadas à competência de área 3
correspondem a relacionar os ostensivos de representação escrita com a
representação em forma, medidas de grandezas, e os não ostensivos associados à
notação científica para resolver situações contextualizadas da própria matemática,
179
das outras ciências ou do cotidiano. Essa interpretação nos auxilia a compreender
qual o nível de conhecimento esperado dos estudantes na solução desse tipo de
tarefa, mesmo se as habilidades não são enunciadas por meio das ferramentas
didáticas por nós utilizadas.
A tarefa está diretamente associada ao conteúdo grandezas e medidas,
necessitando da noção de proporcionalidade para resolver uma situação cotidiana,
envolvendo apenas a noção de potência para a sua solução. Apesar de articular
grandezas e medidas, não se exige mudança de quadros e apenas os ostensivos de
representação numérica dos dados são necessários. É preciso dispor de
conhecimentos sobre a transformação das grandezas e medidas em potências de
dez para resolução da atividade.
Tarefa
Um dos grandes problemas da poluição dos mananciais (rios, córregos e
outros) ocorre pelo hábito de jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que
estão interligados com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada 10 litros de óleo
poderão contaminar 10 milhões (107) de litros de água potável.
Manual de etiqueta. Parte integrante das revistas Veja (ed. 2055), Cláudia (ed. 555),
National Geographic (ed. 93) e Nova Escola (ed. 208) (adaptado).
Suponha que todas as famílias de uma cidade descartem os óleos de frituras
através dos encanamentos e consomem 1 000 litros de óleo em frituras por semana.
Qual seria, em litros, a quantidade de água potável contaminada por semana nessa
cidade?
a) 10-2
b) 103
c) 104
d) 105
e) 109
Gabarito: E
I – Nível de conhecimento esperado dos estudantes: técnico, mobilizável e
disponível (segundo Robert): Técnico.
II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: Noção de produto de
números inteiros e/ou propriedades da potência, em especial a propriedade do
180
produto de potências de mesma base. Para a resposta da tarefa é preciso dispor de
conhecimentos sobre transformação de números decimais em potência de dez.
III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial apresentada na
grade de análise: Tarefa 1 (aplicar as propriedades de potência de mesma base).
Discussão:
É preciso identificar claramente os dados e o que se pede, isto é, relacionar
10 litros de óleo que contaminam 10 milhões de litros d’água com os 1000 litros de
óleo que são consumidos por famílias de uma cidade em uma semana. Apesar disto,
essa relação poderá ser feita por meio de uma regra de três simples ou utilizando a
noção de função linear, que é um conhecimento desenvolvido já no Ensino
Fundamental e que é revisitado no Ensino Médio.
Essa tarefa foi considerada como um tipo que poderia ser trabalhado no
Ensino Médio em função da necessidade de utilizar a noção de potência de base
dez e as propriedades das potências de mesma base. Todavia, podemos considerar
que esses conhecimentos são apenas revisões de conteúdos desenvolvidos no
Ensino Fundamental.
8.2.3 ENEM 2011 - Função exponencial
As questões de números 161, 173 e 177 do caderno amarelo foram
identificadas entre as 45 de matemática para um total de 90 questões mais uma
redação que compõem tal caderno. Essas questões podem ser consideradas como
uma aplicação da noção de função exponencial, potência e suas propriedades, pois
elas exigem que se mobilizem as propriedades da potência, o cálculo de
porcentagem e juros compostos, os quais, em geral, são temas tratados quando se
introduz a noção de função exponencial e suas propriedades no Ensino Médio.
Questão 161
Matriz de referências de Matemática e suas Tecnologias
Em relação às competências desenvolvidas no Ensino Médio, espera-se que
os estudantes sejam capazes de modelar, resolver e interpretar tarefas, usando
181
representações algébricas e gráficas, o que corresponde à Competência de área 6 Interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e
tabelas,
realizando
previsão
de
tendência,
extrapolação,
interpolação
e
interpretação. (BRASIL, 2011).
Segundo o mesmo documento, a competência de área 3 está associada
às habilidades apresentadas a seguir:
H24 - Utilizar informações expressas em gráficos ou tabelas para fazer inferências.
H25 - Resolver problema com dados apresentados em tabelas ou gráficos.
H26 - Analisar informações expressas em gráficos ou tabelas como recurso para a
construção de argumentos.
Quadro 19 - Habilidades 24 a 26
Fonte: Portal do MEC. Brasil. 2011. Disponível em: <http://www.portal.mec.gov.br> Acesso em: 16
dez. 2011.
Tal como para as tarefas das avaliações anteriores, as habilidades
relacionadas à competência de área 6 correspondem a relacionar os ostensivos de
representação escrita com a representação tabela e os não ostensivos associados à
noção de definição de função de uma variável real a valores reais, articular quadros
numérico e algébrico quando necessário para modelar situações contextualizadas
da própria matemática, das outras ciências ou do cotidiano. Essa interpretação nos
auxilia a compreender qual o nível de conhecimento esperado dos estudantes na
solução desse tipo de tarefa, mesmo se as habilidades não são enunciadas por meio
das ferramentas didáticas por nós utilizadas.
Tarefa
Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior
retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o
rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB
(certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no
quadro:
182
Rendimento mensal (%) IR (imposto de renda)
POUPANÇA
0,560
ISENTO
CDB
0,876
4% (sobre o ganho)
Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é:

A poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80.

A poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56.

O CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38.

O CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,20.

O CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87.
Gabarito: D
I – Nível de conhecimento esperado dos estudantes: técnico, mobilizável e
disponível (segundo Robert): Disponível.
II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: Noção da porcentagem,
noção de números racionais e suas operações, noção de definição da função
exponencial, noção de cálculo de valor numérico da função exponencial.
III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial apresentada na
grade de análise: Tarefa 6 (identificar e /ou determinar a lei de formação da função
exponencial de uma situação enunciada por meio do ostensivo de representação em
língua natural) e tarefa 7 (calcular o valor numérico de uma função exponencial).
Discussão:
Como uma primeira estratégia, podemos chamar montante M a quantia que
uma pessoa deve receber após aplicar um capital C, a juros compostos, a uma taxa i
durante um tempo t. O montante pode ser calculado pela fórmula M = C (1 + i) t,
essa fórmula corresponde à função exponencial do tipo y = ka x com a > 0 e a ≠ 1,
usando a função y como M ( montante), K como valor C (capital), a como (1 + i)
(valor inicial da aplicação mais a taxa) e x como t (tempo). Para uma segunda
estratégia, um pouco mais simples do que a anterior, porém que exige mais cálculo
mental, basta aplicar a noção de porcentagem ao valor de aplicação inicial, já que o
tempo t corresponde a apenas um mês.
183
Questão 173
Matriz de referências de Matemática e suas Tecnologias
Em relação às competências desenvolvidas no Ensino Médio, espera-se que
os estudantes sejam capazes de modelar e resolver tarefas usando representações
algébricas aplicadas a situações cotidianas, o que corresponde à Competência de
área 4 - Construir noções de variação de grandezas para a compreensão da
realidade e a solução de problemas do cotidiano (BRASIL, 2011).
Segundo o mesmo documento, a competência de área 4 está associada
às habilidades apresentadas na figura a seguir:
H15 – Identificar a relação de dependência entre grandezas.
H16 – Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta
ou inversamente proporcionais.
H17 – Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como recurso
para a construção de argumentação.
H18 – Avaliar propostas de intervenção na realidade envolvendo variação de
grandezas.
Quadro 20 – Habilidade 15 à 18
Fonte: Portal do MEC. Brasil. 2011. Disponível em: <http://www.portal.mec.gov.br>. Acesso em: 16
dez. 2011.
Mais uma vez, as habilidade relacionadas à competência de área 6
correspondem a relacionar os ostensivos de representação escrita com a
representação em língua natural e tabela e os não ostensivos associados à noção
de definição de variação de grandezas. Não há necessidade de articular quadros
para resolução de situações contextualizadas da própria matemática, das outras
ciências ou do cotidiano. Essa interpretação nos auxilia a compreender qual o nível
de conhecimento esperado dos estudantes na solução desse tipo de tarefa, mesmo
se as habilidades não são enunciadas por meio das ferramentas didáticas por nós
utilizadas.
184
Tarefa
A cor de uma estrela tem relação com a temperatura em sua superfície.
Estrelas não muito quentes (cerca de 3000 K) nos parecem avermelhadas. Já as
estrelas amarelas, como o sol, possuem temperatura em torno de 6000 K; as mais
quentes são brancas ou azuis porque a temperatura fica acima dos 10 000K.
A tabela apresenta uma classificação espectral e outros dados para as estrelas
dessas classes.
Estrelas da Sequência Principal
Classe
Temperat
Luminosid
Mas
Rai
Espectral
ura
ade
sa
o
O5
40 000
5 x 105
40
18
B0
28 000
2 x 10
4
8
7
A0
9 900
80
3
2,5
G2
5 770
1
1
1
M0
3 480
0,06
0,5
0,6
Temperatura em Kelvin
Luminosidade, massa e raio, tomando o Sol como unidade.
Disponível em: HTTP:// zenite.nu Acesso em 01 de maio de 2010 (adaptado)
Se tomarmos uma estrela que tenha temperatura 5 vezes maior do que a
temperatura do Sol, qual será a ordem de grandeza de sua luminosidade?
a) 20 000 vezes a luminosidade do sol.
b) 28 000 vezes a luminosidade do sol.
c) 28 850 vezes a luminosidade do sol.
d) 30 000 vezes a luminosidade do sol.
e) 50 000 vezes a luminosidade do sol.
Gabarito: A
I – Nível de conhecimento esperado dos estudantes: técnico, mobilizável e
disponível (segundo Robert): Técnico.
II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: Noção de potência e suas
propriedades.
185
III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial apresentada na
grade de análise: Tarefa 1 (aplicar as propriedades de potência de mesma base).
Discussão:
As grandezas e medidas aparecem como instrumento de contextualização
com as ciências. É dada uma tabela que relaciona essas medidas em classe
espectral, temperatura, luminosidade, massa e raio de algumas estrelas e a
temperatura das estrelas relacionadas com sua cor, por exemplo, o sol com 6 000 k.
Há a necessidade de relacionar o sol com G2 (primeira coluna e quinta linha da
tabela), multiplicar essa temperatura por 5 e relacioná-la com BO (primeira coluna e
terceira linha da tabela) e, nos dados encontrados, aplicar a multiplicação de
números inteiros.
Questão 177
Matriz de referências de Matemática e suas Tecnologias
Em relação às competências desenvolvidas no Ensino Médio, espera-se que
os estudantes sejam capazes de modelar e resolver tarefas usando representações
algébricas aplicadas a exemplos cotidianos que correspondem à competência de
área 5 enunciada a seguir: Competência de área 5 - Modelar e resolver problemas
que
envolvem
variáveis
socioeconômicas
ou
técnico-científicas,
usando
representações algébricas. (BRASIL, 2011)
Segundo o mesmo documento, a competência de área 5 está associada às
habilidades apresentadas a seguir:
H19 - Identificar representações algébricas que expressem a relação entre
grandezas.
H20 - Interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas.
H21 - Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos
algébricos.
H22 - Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a
construção de argumentação.
H23 - Avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos
algébricos.
Quadro 21 - Habilidades 19 à 23.
Fonte: Portal do MEC. Brasil. 2011. Disponível em: <http://www.portal.mec.gov.br>. Acesso em: 16
dez. 2011.
186
Tal como para os exemplos acima considerados, ao identificar as habilidades
relacionadas à competência de área 5, observamos que as mesmas correspondem
a relacionar os ostensivos de representação escrita com a representação tabela e a
representação da lei de formação de uma função e os não ostensivos associados à
noção de função de uma variável real, articular quadros algébrico e geométrico é
necessário para modelar situações contextualizadas da própria matemática, das
outras ciências ou do cotidiano. Essa interpretação nos auxilia a compreender qual o
nível de conhecimento esperado dos estudantes na solução desse tipo de tarefa,
mesmo se as habilidades não são enunciadas por meio das ferramentas didáticas
por nós utilizadas.
Tarefa
Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que
lhe sejam apresentadas três possibilidades de investimento, com rentabilidades
liquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas:
Investimento A: 3% ao mês
Investimento B: 36% ao ano
Investimento C: 18% ao semestre
As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período
anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades:
n
1,03n
3
1,093
6
1,194
9
1,305
12
1,426
Para escolher o investimento com maior rentabilidade anual, essa pessoa
deverá:
a) Escolher qualquer um dos investimentos A,B, ou C, pois suas rentabilidades
anuais são iguais a 36%.
b) Escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a
39%.
187
c) Escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as
rentabilidades anuais dos investimentos B e C.
d) Escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as
rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C.
e) Escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a
rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B.
Gabarito C
I – Nível de conhecimento esperado dos estudantes: técnico, mobilizável e
disponível (segundo Robert): Disponível.
II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: Noção de porcentagem,
noção de números racionais e suas operações, noção de taxa de juros
compostos, noção da potência e suas propriedades.
III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial apresentada na
grade de análise: Tarefa 1 (aplicar as propriedades de potência de mesma base),
tarefa 6(identificar e /ou determinar a lei de formação da função exponencial de uma
situação enunciada por meio do ostensivo de representação em língua natural) e
tarefa 7 (calcular o valor numérico de uma função exponencial).
Discussão:
São dados três tipos de investimentos A, B e C e uma tabela que relaciona n
com as aproximações da taxa de 3 % ao mês para 3, 6, 9 e 12 meses. Solicita-se o
melhor tipo de investimento ao longo de um ano. Há apenas a necessidade de
calcular a taxa do investimento C por meio de (1 + i)t, usando (1 + i) como (1 + 0,18)
e t como 2, (1 ano igual a dois semestres). Para o investimento A, que é dado em
meses, basta relacionar a última linha da tabela, pois um ano tem 12 meses; para o
investimento B, é dado no enunciado que os juros são de 36% ao ano.
188
8.3 UNICAMP
A Unicamp - Universidade de Campinas - realiza anualmente um vestibular
próprio cujo objetivo é selecionar e permitir o acesso de estudantes aos seus cursos
de graduação.
O Vestibular Nacional da Unicamp tem duas fases constituídas de provas
comuns a todas as áreas que avaliam a aptidão e o potencial dos candidatos para o
curso em que pretendem ingressar. Para compor a nota final da 1°fase, é utilizada a
nota do ENEM - Exame Nacional do Ensino Médio (parte de Conhecimentos Gerais).
Os candidatos aprovados para a 2ª fase fazem todas as provas
independentemente do curso escolhido. As provas de Matemática acontecem no 1º
dia junto com as provas de Língua Portuguesa e Literaturas de Língua Portuguesa.
As questões de Matemática do Vestibular Unicamp, na segunda fase,
procuram identificar se os candidatos dispõem de conhecimentos da Matemática do
Ensino Fundamental e Médio. Em relação à noção de função exponencial, espera-se
que o candidato saiba resolver situações matemática relacionadas à noção de
potência, sua definição e suas propriedades, à noção de função exponencial e suas
representações, em particular seu gráfico e à noção de equações exponenciais e,
em alguns casos, estas noções estão associadas à definição de logaritmo e suas
propriedades.
A prova da segunda fase do Vestibular da UNICAMP mostra um grande
número de aplicações que necessitam de diferentes níveis de conhecimento em
relação à noção de função exponencial. Tais aplicações são relacionadas às noções
matemáticas em jogo por meio da articulação de quadros em função dos ostensivos
que permitem manipulá-los e dos não ostensivos evocados na sua solução.
O desenvolvimento das diferentes tarefas relacionadas à noção de função
exponencial que aparecem nesta prova exige do candidato uma boa capacidade de
leitura de textos, formulação de problemas e bom raciocínio abstrato. A expectativa
é que os candidatos identifiquem e formulem os modelos capazes de resolver
matematicamente a situação proposta. Além da escolha da representação
adequada, isto é, do ostensivo de representação a ser utilizado que auxilia na
manipulação e em uma melhor interpretação da situação proposta, é preciso que se
disponha de conhecimentos prévios em relação às noções que servem de
189
ferramenta explícita para o desenvolvimento da resposta mais adequada, mesmo se
essas articulações não são tratadas utilizando essa terminologia.
Desse modo, consideramos os seguintes itens para a análise das questões:
I – Nível de conhecimento esperado dos estudantes: técnico, mobilizável e
disponível (segundo Robert).
II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa.
III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial.
Em seguida, apresentamos uma discussão em relação a cada questão e
indicamos o anexo correspondente à resposta esperada, a resposta acima da média
e a resposta abaixo da média indicada pela equipe responsável pelo vestibular. A
escolha de colocar esse material em anexo está associada à rápida visualização das
relações pessoais esperadas e daquelas que são, em geral, desenvolvidas pelos
estudantes.
8.3.1 UNICAMP 2002
Não encontramos qualquer questão relacionada à noção de função
exponencial entre as 12 questões de Matemática para um total de 48 questões que
compunham a prova de Língua Portuguesa e Literaturas de Língua Portuguesa e
Matemática no 1º dos três dias consecutivos de provas.
8.3.2 UNICAMP 2003
Uma tarefa relacionada à noção de função exponencial foi identificada entre
as 12 questões de Matemática para um total de 48 questões que compunham a
prova de Língua Portuguesa e Literaturas de Língua Portuguesa e Matemática no 1º
dos três dias consecutivos de provas.
190
Questão 09 - Tarefa
O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por:T (t) = T A
+ α3βt, onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em
minutos, TA é a temperatura ambiente, suposta constante, e α e β são constantes. O
referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de –18ºC. Um
termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0ºC após 90 minutos e chegou a –16ºC
após 270 minutos.
a) Encontre os valores numéricos das constantes α e β.
b) Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no congelador é
apenas 2/3 °C superior à temperatura ambiente.
I – Nível de conhecimento esperado dos estudantes: técnico, mobilizável e
disponível (segundo Robert); disponível para a interpretação que a temperatura
ambiente corresponde à temperatura do congelador, isto é, - 18 °C.
II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: noção de sistemas de
equações exponenciais, noção de equações exponenciais, noção de potência e
suas propriedades e noção do cálculo do valor numérico de uma função
exponencial.
III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial: Tarefa 4
(resolver as equações nas quais a incógnita aparece no expoente); tarefa 6
(identificar e/ou determinar a lei de formação da função exponencial de uma situação
enunciada por meio do ostensivo de representação em língua natural) e tarefa 7
(cálculo do valor numérico de uma função exponencial).
Discussão:
É dada uma função exponencial, que relaciona o processo de resfriamento de
um determinado corpo com o tempo, indicada por T (t) = T A + α3βt, onde T(t) é a
temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, T A é a
temperatura ambiente, suposta constante, e α e β são constantes. Entretanto, a
função não é inteiramente conhecida, pois existem os parâmetros α e β a serem
determinados e que são pedidos no item a, os quais poderão ser encontrados por
meio de um sistema de equações exponenciais com a utilização da definição das
propriedades das potências. Para o item b, a função é conhecida, uma vez que os
parâmetros α e β foram determinados no item a, assim, pode-se obter o valor de t,
191
substituindo os valores na função exponencial, para o qual a temperatura do corpo
no congelador é apenas 2/3 °C superior à temperatura ambiente.
Nas análises, observamos que o exemplo de resposta acima da média
corresponde à expectativa institucional. Todavia, o exemplo abaixo da média, que foi
dado por um estudante que tinha sido classificado na primeira fase, mostra que o
mesmo não domina o cálculo do valor numérico de uma função exponencial, pois faz
confusão entre temperatura e tempo. No Anexo D, podemos visualizar as respostas
esperadas e as consideradas abaixo e acima da média segundo análise
desenvolvida pela equipe responsável pelo vestibular.
Os dois tipos de resposta mostram que, quando se dispõe de situações de
referência, é possível responder a questão conforme as expectativas institucionais.
Contudo, aqueles candidatos que, mesmo conhecendo a noção de função
exponencial, não trabalharam com situações contextualizadas, podem apresentar
dificuldades do tipo da que aparece no exemplo abaixo da média, onde o estudante
não é capaz de associar corretamente os dados com as variáveis T (temperatura) e
t(tempo).
8.3.3 UNICAMP 2004
Encontramos uma questão relacionada à noção de função exponencial entre
as 12 questões de Matemática para um total de 48 questões que compunham a
prova de Língua Portuguesa e Literaturas de Língua Portuguesa e Matemática no 1º
dos três dias consecutivos de provas.
Questão 07 - Tarefa
A função L (x) = aebx fornece o nível de iluminação, em luxes, de um objeto situado a
x metros de uma lâmpada.
a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1
metro de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 metros de
distância recebe 30 luxes.
b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distância entre a lâmpada
e esse objeto.
192
I – Nível de conhecimento esperado dos estudantes: técnico, mobilizável e
disponível (segundo Robert): Mobilizável.
II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: Noção de cálculo do valor
numérico de uma função exponencial, noção de sistemas de duas equações
exponenciais, definição de logaritmos e suas propriedades e noções de equações
logarítmicas e de logaritmo neperiano (ln).
III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial: tarefa 4
(resolver as equações nas quais a incógnita aparece no expoente); tarefa 6
(identificar e ou determinar a lei de formação da função exponencial de uma situação
enunciada por meio do ostensivo de representação em língua natural) e tarefa 7
(cálculo do valor numérico de uma função exponencial).
Discussão:
É dada uma função exponencial que relaciona o nível de iluminação de um
objeto, em luxes, com sua distância pela função exponencial, onde L (x) é o nível de
iluminação, x a distância entre um objeto e uma lâmpada e a e b são constantes.
Entretanto, a função não é inteiramente conhecida, pois existem os parâmetros a e b
a serem determinados e que são pedidos no item a. Esses parâmetros poderão ser
encontrados por meio de um sistema de equações exponenciais. O cálculo do valor
de a poderá ser encontrado por meio da resolução de uma equação do 2º grau,
podendo ou não usar uma mudança de variável, já, para determinação do valor de b,
será necessário o uso da definição de logaritmo, logaritmo natural e/ou logaritmo
neperiano (ln), dependendo da escolha a ser considerada.
Para o item b, a função é conhecida uma vez que são determinados os
parâmetros a e b no item a. Assim, a distância entre o objeto e a lâmpada será
determinada através do cálculo do valor de x, com a resolução de uma equação
logarítmica obtida com a substituição dos valores de a e b encontrados no item a.
Sobre a constante e, ela poderá ser usada como o número irracional se o
candidato assim a conhecer ou apenas como outra constante qualquer, sem a
necessidade do cálculo do logaritmo neperiano (ln). Isso mostra que fica a cargo do
professor de matemática do Ensino Médio introduzir a noção do número irracional e,
e que o candidato que dispõe deste conhecimento poderá desenvolver a tarefa de
uma forma mais econômica.
193
O exemplo de resposta acima da média corresponde à expectativa
institucional. O exemplo abaixo da média, por sua vez, mostra a importância do
trabalho de sistemas de equações com duas variáveis que é iniciado no Ensino
Fundamental e revisitado com mais aprofundamento no Ensino Médio, pois o
candidato, apesar de montar o sistema com as duas equações, não o resolveu, o
que podemos interpretar como a falta de conhecimento que deu método para a
resolução de sistemas de equações exponenciais. No Anexo E, podemos visualizar
as respostas esperadas e as consideradas abaixo e acima da média segundo
análise desenvolvida pela equipe responsável pelo vestibular.
Observamos que esse tipo de questão avalia se o candidato é capaz de
resolver um problema contextualizado que envolve a noção de função exponencial e
indica a importância de se trabalhar esta noção de forma mais aprofundada no
Ensino Médio. Isto deve ser feito principalmente com a formulação do sistema de
equações exponenciais e da explicitação de um método de resolução para estes
sistemas, onde o conceito da função exponencial está em jogo.
Tarefas desse tipo, em geral, são trabalhadas no Ensino Superior e, em
momentos de avaliação, tal como o do vestibular, espera-se que os estudantes
disponham dos conhecimentos a elas associados. Lembramos que apenas a noção
de função exponencial, sistemas de equações exponenciais e logaritmos foram
introduzidas no Ensino Médio, as outras noções em jogo, em particular a noção de
potência e suas propriedades são consideradas como conhecimentos prévios
disponíveis, uma vez que foram introduzidas no Ensino Fundamental e deveriam ser
revisitadas no Ensino Médio, tornando-se, assim, mais ricos, elaborados e
diferenciados em termos de significado, conforme ressalta Moreira (2005).
8.3.4 UNICAMP 2005
Encontramos uma questão relacionada à noção de função exponencial entre
as 12 questões de Matemática para um total de 48 questões que compunham a
prova de Língua Portuguesa e Literaturas de Língua Portuguesa e Matemática no 1º
dos três dias consecutivos de provas.
194
Questão 7 - Tarefa
Um capital de R$12.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros
capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou
retiradas, encontre:
a) O capital acumulado após 2 anos.
b) O número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja
maior que o dobro do capital inicial.
Se necessário, use log10 2 = 0,301 e log10 3 = 0,477
I – Nível de conhecimento esperado dos estudantes: técnico, mobilizável e
disponível (segundo Robert): disponível.
II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: noção de juros compostos
por meio da relação da fórmula de montante M = C. (1 + i)n, onde M é montante, c
capital, i taxa e n tempo ou noção de progressão geométrica por meio da fórmula da
progressão geométrica an = a1. qn – 1 em que an é o a1, termo inicial, e q razão com a
lei de formação da noção de função exponencial, noção da definição de potência e
suas proriedades,noção de inequações exponenciais, noção da definição de
logaritmo e suas propriedades.
III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial: tarefa 4
(resolver as equações nas quais a incógnita aparece no expoente); tarefa 6
(identificar e ou determinar a lei de formação da função exponencial de uma situação
enunciada por meio do ostensivo de representação em língua natural) e tarefa 7
(cálculo do valor numérico de uma função exponencial).
Discussão:
A função exponencial que relaciona o capital acumulado com o tempo de
aplicação desse capital é inteiramente desconhecida, pois não é dada nenhuma
fórmula relacionada com juros compostos ou sequência, nem a lei de formação da
função exponencial. Para resolução do item a, pode-se usar a fórmula de juros
compostos (montante) ou a fórmula do termo geral de uma progressão geométrica;
para o item b, é necessário fazer a resolução de uma inequação exponencial que
envolve definição, mudança de base e propriedades de logaritmo, onde a definição e
as propriedades da potência são fundamentais.
195
Observamos que esse tipo de tarefa aparece com frequência em livros
didáticos, onde o conhecimento de juros compostos está associado à noção de
função exponencial. Ainda assim, quando ultrapassada esta associação, que é
pedida no item a, essa questão alerta para a importância da definição de logaritmo,
suas propriedades e mudança de base, exigidas para resolução do item b.
Além disso, a relação de juros compostos com a noção função exponencial
ficou caracterizada no item a onde aparece “capital acumulado”, isto mostra como é
importante trabalhar a diferença entre a relação de juros simples com a noção de
função afim e a relação de juros compostos com a noção de função exponencial no
Ensino Médio.
Notamos que, no exemplo de resposta acima da média, o candidato usa a
fórmula do termo geral de uma progressão geométrica – PG, que mostra a escolha
de modelagem matemática para a situação-problema dada. No entanto, o exemplo
abaixo da média, que foi dado por um candidato que tratou a questão como juros
simples, o que é muito comum em questões que envolvem juros, mostra a
importância do trabalho com resolução de problemas que envolvem as noções de
juros simples e compostos no Ensino Fundamental e Médio de forma articulada para
que os estudantes possam compreender a diferença entre eles. No Anexo F,
podemos visualizar as respostas esperadas e as consideradas abaixo e acima da
média segundo análise desenvolvida pela equipe responsável pelo vestibular.
Os dois tipos de resposta mostram que, quando se dispõe de situações de
referência, é possível responder a questão conforme as expectativas institucionais.
Porém, aqueles candidatos que, mesmo conhecendo a noção de juros, não
trabalharam com situações contextualizadas podem apresentar dificuldades do tipo
da que aparece no exemplo abaixo da média, onde o estudante não é capaz
distinguir corretamente as noções de juros simples e juros compostos.
8.3.5 UNICAMP 2006
Encontramos uma questão relacionada à noção de função exponencial entre
as 12 questões de matemática para um total de 48 questões que compunham a
196
prova de Língua Portuguesa e Literaturas de Língua Portuguesa e Matemática no 1º
dos três dias consecutivos de provas.
Questão 06 - Tarefa
A concentração de CO2 na atmosfera vem sendo medida, desde 1958, pelo
Observatório de Mauna Loa, no Havaí. Os dados coletados mostram que, nos
últimos anos, essa concentração aumentou, em média, 0,5% por ano. É razoável
supor que essa taxa anual de crescimento da concentração de CO2 irá se manter
constante nos próximos anos.
a) Escreva uma função C(t) que represente a concentração de CO2 na atmosfera em
relação ao tempo t, dado em anos. Considere como instante inicial — ou seja,
aquele em que t = 0 — o ano de 2004, no qual foi observada uma concentração de
377,4 ppm de CO2 na atmosfera.
b) Determine aproximadamente em que ano a concentração de CO 2 na atmosfera
será 50% superior àquela observada em 2004. Se necessário, use log10 2 ~ 0,3010 ,
log10 2,1 ~ 0,3032 e log10 3 ~ 0,4771.
I – Nível de conhecimento esperado dos estudantes: técnico, mobilizável e
disponível (segundo Robert): disponível.
II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: Noção de porcentagem,
noção da definição de função exponencial, noção de conjunto dos números racionais
e suas operações, noção de equações exponenciais, definição de logaritmo, suas
proriedades e mudança de base.
III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial: tarefa 4
(resolver as equações nas quais a incógnita aparece no expoente); tarefa 6
(identificar e ou determinar a lei de formação da função exponencial de uma situação
enunciada por meio do ostensivo de representação em língua natural) e tarefa 7
(cálculo do valor numérico de uma função exponencial).
Discussão:
A função exponencial que relaciona concentração de CO2 na atmosfera em
relação ao tempo t, dado em anos, não é conhecida, pois não é dada nenhuma
fórmula relacionada com a lei de formação da função exponencial.
197
Para resolução do item a, são necessárias as noções de taxa e porcentagem,
pois é dada a taxa anual de 0,5%, ou seja, (1 + i)t, onde i é a taxa e t o tempo,
resultando em 1,005. Observamos que essa noção geralmente é abordada no final
Ensino Fundamental e pode ser revisitada no Ensino Médio, em particular, quando
se introduz a noção de função exponencial. Enfim, para se chegar à função
esperada, é preciso ainda associar a concentração inicial de CO 2 relacionada com o
tempo t a uma função exponencial do tipo f(x) = b. ax, onde b é o coeficiente 377,4, a
é a taxa anual 1,005 e t o tempo, ficando, assim, a função: C(t) = 377,4 (1,005) t.
Visualizamos ainda aqui que, além de identificar a função que modela a situação
contextualizada, é preciso considerar f(x) como C(t) e a variável x igual a t, o que
necessita de uma abordagem explícita durante o processo de estudo e ajuda ao
estudo.
Para o item b, é indispensável a resolução de uma equação exponencial que
envolve definição, mudança de base e propriedades de logaritmo, onde a operação
com números racionais e a definição e propriedades da potência são fundamentais.
O exemplo de resposta acima da média corresponde à expectativa
institucional. Porém, o exemplo abaixo da média mostra que o candidato não
emprega corretamente o conceito de função exponencial, pois faz confusão entre
função afim e função exponencial. No Anexo G, podemos visualizar as respostas
esperadas e as consideradas abaixo e acima da média segundo análise
desenvolvida pela equipe responsável pelo vestibular.
Os dois tipos de resposta mostram que, quando se dispõe de situações de
referência, é possível responder a questão conforme as expectativas institucionais.
Por outro lado, aqueles canddatos que, mesmo conhecendo a noção de função
exponencial seus procedimentos algébricos e suas representações, não trabalharam
com situações contextualizadas podem apresentar dificuldades do tipo da que
aparece no exemplo abaixo da média, no qual o estudante não é capaz de associar
corretamente os dados com o conceito de função exponencial, fazendo inclusive
confusão entre esta função e a função afim.
Vemos que esse tipo de questão mostra a importância de modelar
fenômenos naturais usando a noção de função exponencial, bem como algumas
noções que são vistas no Ensino Fundamental e pouco revisitadas no Ensino Médio,
como as de porcentagens e taxa anual de crescimento que são essenciais para o
desenvolvimento do problema.
198
8.3.6 UNICAMP 2007
Encontramos uma questão relacionada à noção de função exponencial entre
as 12 questões de matemática para um total de 48 questões que compunham a
prova de Língua Portuguesa e Literaturas de Língua Portuguesa e Matemática no 1º
dos três dias consecutivos de provas.
Questão 10 - Tarefa
O decaimento radiativo do estrôncio 90 é descrito pela função P(t) = P0 .2-bt, onde t é
um instante de tempo, medido em anos, b é uma constante real e P 0 é a
concentração inicial do estrôncio 90, ou seja, a concentração no instante t = 0.
a) Se a concentração do estrôncio 90 cai pela metade em 29 anos, isto é, meia vida
do estrôncio 90 é 29 anos, determine o valor da constante b.
b) Dada uma concentração inicial P0, de estrôncio 90, determine o tempo necessário
para que a concentração seja reduzida a 20% de P0. Considere log2 10 ~ 3,32.
I – Nível de conhecimento esperado dos estudantes: técnico, mobilizável e
disponível (segundo Robert): mobilizável.
II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: noção de porcentagem,
noção de equação exponencial, definição de logaritmo e suas propriedades.
III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial: tarefa 4
(resolver as equações nas quais a incógnita aparece no expoente) e tarefa 6
(identificar e ou determinar a lei de formação da função exponencial de uma situação
enunciada por meio do ostensivo de representação em língua natural).
Discussão:
A função P(t) = P0 .2-bt, onde t é um instante de tempo, medido em anos, b é
uma constante real e P0 é a concentração inicial do estrôncio 90, ou seja, a
concentração no instante t = 0 relaciona decaimento radiativo do estrôncio 90 com o
tempo t. Dada no enunciado da questão a função está associada com a lei de
formação da função exponencial do tipo f(x) = b. a x, onde b é o coeficiente P0, a é
igual a 2, b uma constate e t o tempo.
199
Para o item a, é necessária a resolução de uma equação exponencial
associada à noção de porcentagem e para o item b a função fica conhecida uma vez
que foi determinado valor da constante b no item a. Assim, o tempo necessário para
que a concentração seja reduzida a 20% de P0 será determinado por meio do
cálculo do valor de x, com a resolução de uma equação exponencial em que é
necessário aplicar a noção de logaritmo.
Observamos que o exemplo de resposta acima da média corresponde à
expectativa institucional. Porém, o exemplo abaixo da média mostra a importância
do trabalho de resolução de problemas no Ensino Médio e Fundamental que
envolvam situações do mundo científico, pois, apesar do candidato empregar
corretamente os procedimentos algébricos, o mesmo confundiu um número que
aparecia no enunciado do problema com o dado do problema. No Anexo H,
podemos visualizar as respostas esperadas e as consideradas abaixo e acima da
média segundo análise desenvolvida pela equipe responsável pelo vestibular.
Os dois tipos de resposta mostram que, quando se dispõe de situações de
referência, é possível responder a questão conforme as expectativas institucionais.
Todavia, aqueles candidatos que, mesmo conhecendo a noção de função
exponencial seus conceitos e procedimentos algébricos, não trabalharam com
situações contextualizadas podem apresentar dificuldades do tipo da que aparece
no exemplo abaixo da média.
8.3.7 UNICAMP 2008
Não encontramos questão relacionada à noção de função exponencial entre
as 12 questões de matemática para um total de 48 questões que compunham a
prova de Língua Portuguesa e Literaturas de Língua Portuguesa e Matemática no 1º
dos três dias consecutivos de provas.
200
8.3.8 UNICAMP 2009
Encontramos uma questão relacionada à noção de função exponencial entre
as 12 questões de matemática para um total de 48 questões que compunham a
prova de Língua Portuguesa e Literaturas de Língua Portuguesa e Matemática no 1º
dos três dias consecutivos de provas.
Questão 07 - Tarefa
O sistema de ar condicionado de um ônibus quebrou durante uma viagem. A função
que descreve a temperatura (em graus Celsius) no interior do ônibus em função de t,
o tempo transcorrido, em horas, desde a quebra do ar condicionado, é
T(t) = (T0 – Text).10–t/4 + Text , onde T0 é a temperatura interna do ônibus enquanto a
refrigeração funcionava, e Text é a temperatura externa (que supomos constante
durante toda a viagem). Sabendo que T0 = 21ºC e Text = 30ºC, responda às questões
abaixo.
a) Calcule a temperatura no interior do ônibus transcorridas 4 horas desde a quebra
do sistema de ar condicionado. Em seguida, esboce abaixo o gráfico de T(t).
b) Calcule o tempo gasto, a partir do momento da quebra do ar condicionado, para
que a temperatura subisse 4ºC. Se necessário, use log10 2 ~ 0,3010, log10 3 ~ 0,48 e
log10 5 ~ 0,70
I – Nível de conhecimento esperado dos estudantes: técnico, mobilizável e
disponível (segundo Robert): Mobilizável.
II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: Noção de cálculo do valor
numérico de uma função exponencial, noção de construção de gráfico de uma
função no plano cartesiano, noção de equação exponencial, definição de logaritmo e
suas propriedades.
III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial: tarefa 4
(resolver as equações nas quais a incógnita aparece no expoente); tarefa 6
(identificar e ou determinar a lei de formação da função exponencial de uma situação
enunciada por meio do ostensivo de representação em língua natural); tipo 7
(cálculo do valor numérico de uma função exponencial) e tarefa 9 (esboçar o gráfico
cartesiano da função exponencial de domínio IR).
201
Discussão:
A função T(t) = (T0 – Text).10–t/4 + Text relaciona a temperatura (em graus
Celsius) no interior do ônibus em função de t, o tempo transcorrido, em horas, onde
T0 = 21ºC é a temperatura interna do ônibus enquanto a refrigeração funcionava, e
Text = 30ºC constante.
Para o item a, é necessário o cálculo do valor numérico da função dada que
envolve a manipulação da potência com expoente inteiro negativo e suas
propriedades, operação com números racionais e a construção do gráfico de uma
função tipo exponencial com expoente negativo em um plano cartesiano. É preciso
observar também que a temperatura é a variável dependente e o tempo a variável
independente.
Para o item b, é preciso resolver a equação exponencial associada à
definição e às propriedades de logaritmos. Esta equação é determinada quando se
substitui a temperatura inicial acrescida de 4 graus, a temperatura interna e externa
do ônibus na lei de formação da função do tipo exponencial dada.
Observamos que o exemplo de resposta acima da média corresponde à
expectativa institucional. Porém, o exemplo abaixo da média coloca em evidência a
importância das articulações entre as representações algébricas e gráficas, pois
estas são importantes para desenvolver as estratégias de resolução da situaçãoproblema relacionada dada. Ressaltamos aqui que o candidato, apesar de empregar
corretamente os procedimentos algébricos, na construção do gráfico, tratou a função
exponencial como uma função afim. Novamente notamos, portanto, a confusão entre
esses dois tipos de função, o que merece uma atenção especial no processo de
estudo e ajuda ao estudo tanto do Ensino Médio como do Ensino Superior. No
Anexo I, podemos visualizar as respostas esperadas e as consideradas abaixo e
acima da média segundo análise desenvolvida pela equipe responsável pelo
vestibular.
Os dois tipos de resposta mostram que, quando se dispõem e articulam os
conceitos e procedimentos algébricos da noção de função e suas representações, é
possível responder a questão corretamente. No entanto, aqueles candidatos que,
mesmo conhecendo os conceitos, os procedimentos e as representações da noção
de função seja ela do tipo exponencial ou outros tipos como função afim, não
trabalharam
com
situações
contextualizadas,
onde
estas articulações são
202
necessárias, podem apresentar dificuldades do tipo da que aparece no exemplo
abaixo da média.
8.3.9 UNICAMP 2010
Encontramos duas questões relacionadas à noção de função exponencial
entre as 12 questões de matemática para um total de 48 questões que compunham
a prova de Língua Portuguesa e Literaturas de Língua Portuguesa e Matemática no
1º dos três dias consecutivos de provas.
Questão 07 - Tarefa
Sejam dadas as funções f(x) =
e g(x) = 4x .
a) Represente a curva y = f(x) no gráfico abaixo, em que o eixo vertical fornece
log2(y).
b) Determine os valores de y e z que resolvem o sistema de equações:
Dica: converta o sistema acima em um sistema linear equivalente.
I – Nível de conhecimento esperado dos estudantes: técnico, mobilizável e
disponível (segundo Robert): Mobilizável.
II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: noção de equação
exponencial, noção de função afim, definição de logaritmo e suas propriedades,
noção de construção de gráfico no plano cartesiano.
III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial: tarefa 4
(resolver as equações nas quais a incógnita aparece no expoente) e tarefa 8
(esboçar o gráfico cartesiano da função exponencial de domínio IR).
203
Discussão:
Para o item a, a função f(x) =
está relacionada com y = f(x) onde o eixo y
representa uma escala logarítmica. É necessário realizar a resolução de uma
equação exponencial que envolve a definição de logaritmo e suas propriedades,
chegando a log2(y) = 3 – 4x. Como o eixo y está na escala logarítmica log2(y), a
representação gráfica da função será uma reta.
Para o item b, é preciso mobilizar a mudança de variáveis e articular com a
noção de resolução de um sistema de equação exponencial associado à definição
de logaritmo e suas propriedades que, dependendo do conhecimento prévio do
candidato, poderá ser resolvido de diferentes formas, em diferentes quadros.
No exemplo de resposta acima da média (ANEXO J), o candidato usou
corretamente as propriedades da potência de mesma base para construir um
sistema de duas equações com duas incógnitas e aplicou o método de GaussJordan para a resolução do sistema linear, que mostra a articulação entre diferentes
formas de conhecimento e representações e indica a importância de se levar em
conta, explicitamente no ensino, diferentes formas de articulação dos conhecimentos
associados a uma determinada noção. Todavia, mesmo aqueles que compreendem
os conceitos, os procedimentos algébricos e as representações algébricas e gráficas
da noção de função podem apresentar dificuldades do tipo da que aparece no
exemplo abaixo da média, pois não trabalham as diferentes formas de articulação
dos conhecimentos no desenvolvimento de uma mesma tarefa, que são
considerados conhecimentos prévios para o estudante que termina o Ensino Médio.
Observamos ainda que esse tipo de tarefa, em que se considera uma nova
escala e esta depende da noção de logaritmo, não é tratado habitualmente no
Ensino Médio, podendo causar dificuldades para os estudantes. Isto pode ser
evidenciado no exemplo abaixo da média, onde o estudante utiliza propriedades dos
logaritmos e das potências de uma forma totalmente desorganizada.
Questão 12 - Tarefa
Dois sites de relacionamento desejam aumentar o número de integrante
usando estratégias agressivas de propaganda.
O site A, que tem 150 participantes atualmente, espera conseguir 100 novos
integrantes em um período de uma semana e dobrar o número de novos
204
participantes a cada semana subsequente. Assim, entrarão 100 internautas na
primeira semana, 200 na segunda, 400 na terceira e assim por diante.
Por sua vez, o site B, que já tem 2200 membros, acredita que conseguirá mais 100
associados na primeira semana e que, a cada semana subsequente, aumentará o
número de internautas novos em 100 pessoas. Ou seja, 100 novos entrarão no site
B na primeira semana, 200 entrarão na segunda, 300 na terceira, etc.
a) Quantos membros novos o site A espera atrair daqui a 6 semanas? Quantos
associados o site A espera ter daqui a 6 semanas?
b) Em quantas semanas o site B espera chegar a marca de 10000 membros?
I – Nível de conhecimento esperado dos estudantes: técnico, mobilizável e
disponível (segundo Robert): Disponível.
II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: noção de progressão
geométrica, noção de soma dos termos da progressão geométrica, noção de
progressão aritmética, noção de soma dos termos da progressão aritmética, noção
de equação exponencial, noção de função afim, definição de potência.
III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial: Tarefa 6
(Identificar e /ou determinar a lei de formação da função exponencial de uma
situação enunciada por meio do ostensivo de representação em língua natural) e
Tarefa 7 (Calcular o valor numérico de uma função exponencial).
Discussão:
Trata-se
de
uma
tarefa
e
sua
resolução
exige
que
se
modele
matematicamente a situação-problema proposta. Nenhuma indicação sobre a noção
matemática em jogo é dada ao estudante, ficando a cargo do mesmo identificar no
enunciado, cujas informações são apresentadas em língua natural, qual a
ferramenta matemática que permite modelar a situação.
É dado que o site A tem 150 participantes atualmente e espera conseguir 100
novos participantes em um período de uma semana, bem como dobrar esse número
a cada semana subsequente, no item a são demandadas duas perguntas.
Na primeira pergunta, é pedido o número de membros novos daqui a 6
semanas. O número de membros que o site A admitirá na semana n é o n-ésimo
termo de uma progressão geométrica – PG com razão igual a 2 e primeiro termo
100, ou seja an = 100.2n-1, que é uma característica da função exponencial do tipo
205
f(x) = b.ax . A função relaciona o número de membros que o site admitirá daqui a 6
semanas com o número de semanas.
Na segunda pergunta, é pedido a números de membros que o site espera ter
daqui a 6 semanas. Como o número de semanas é igual a 6, temos a sexto termo
da PG igual a 3200, e o número total de membros do site A será a soma dos seis
primeiros termos com o número inicial de habitantes. Para a resolução deste item é
necessário o uso da fórmula da soma dos termos de uma PG finita que, em geral, é
pouco trabalhada no Ensino Médio.
No item b, é dado o número de 2200 membros do site B, e acredita-se que, a
cada semana, esse número aumente em 100 novos membros. É pedido o número
de semanas n necessário para o site B atingir 10000 membros, o qual pode ser
obtido por meio do cálculo da soma dos termos de uma progressão aritmética – PA
com primeiro termo igual a 100 e razão igual a 100. Para a resolução deste item
também é necessário o uso de fórmula da soma dos termos de uma PA.
Observamos que o exemplo de resposta acima da média corresponde à
expectativa institucional. Porém, o exemplo de resposta abaixo da média mostra que
o estudante confundiu a fórmula dos termos de uma PG com a fórmula dos termos
de uma PA, indicando que o candidato se apropria, mas não com significado, da
noção de Progressão Aritmética e Geométrica, pois ele não é capaz de associar
corretamente essas duas noções e não utiliza a soma dos termos no
desenvolvimento da questão. No Anexo K, podemos visualizar as respostas
esperadas e as consideradas abaixo e acima da média segundo análise
desenvolvida pela equipe responsável pelo vestibular.
Os dois tipos de resposta mostram que, quando se dispõe de situações de
referência, é possível responder a questão conforme as expectativas institucionais.
Contudo, aqueles canditatos que, mesmo conhecendo à noção de Progressão
Aritmética e Progressão Geométrica e os ostensivos de representação que lhe são
associados, necessitam de um trabalho específico com situações contextualizadas
para que possam ultrapassar as dificuldades do tipo das que aparecem no exemplo
abaixo da média.
206
8.3.10 UNICAMP 2011
Encontramos apenas uma questão relacionada à noção de função
exponencial entre as 12 questões de matemática para um total de 48 questões que
compunham a prova de Língua Portuguesa e Literaturas de Língua Portuguesa e
Matemática no 1º dos três dias consecutivos de provas.
Questão 21 - Tarefa
Para certo modelo de computadores produzidos por uma empresa, o percentual dos
processadores que apresentam falhas após T anos de uso é dado pela seguinte
função:
P(T) = 100(1− 2-0,1T)
a) Em quanto tempo 75% dos processadores de um lote desse modelo de
computadores terão apresentado falhas?
b) Os novos computadores dessa empresa vêm com um processador menos
suscetível a falhas. Para o modelo mais recente, embora o percentual de
processadores que apresentam falhas também seja dado por uma função na forma
Q(T) = 100(1− 2cT ) , o percentual de processadores defeituosos após 10 anos de
uso equivale a 1/4 do valor observado, nesse mesmo período, para o modelo antigo
(ou seja, o valor obtido empregando-se a função P(T) acima). Determine, nesse
caso, o valor da constante c. Se necessário, utilize log2(7) ≈ 2,81.
I – Nível de conhecimento esperado dos estudantes: técnico, mobilizável e
disponível (segundo Robert): mobilizável.
II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: noção de função exponencial,
noção de porcentagem, noção de equação exponencial, noção de definição de
logaritmo e suas propriedades.
III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial: Tarefa 4
(Resolver as equações nas quais a incógnita aparece no expoente) e Tarefa 7
(Calcular o valor numérico de uma função exponencial).
207
Discussão:
A função P(T) = 100(1− 2-0,1T) relaciona o percentual dos processadores com
o número T que representa o anos transcorridos até que esses processadores
apresentem falhas.
Para a resolução do item a, é necessário o cálculo do número de anos por
meio da resolução da equação exponencial formada quando P(T) for igual a 75.
Observamos que é necessário disponibilizar a noção de porcentagem, não basta
que o candidato saiba manipular a noção de porcentagem, aqueles que não
analisam e interpretam criticamente os dados de um problema devem apresentar
dificuldades como mostra o exemplo abaixo da média, em que o candidato usa P(T)
como 75%, não se atentando ao enunciado que já apresentava o número de anos
em percentual.
Para o item b, é preciso resolver a equação exponencial associada à
definição logaritmo e suas propriedades, que fica conhecida quando se igualam as
duas funções dadas, sendo a primeira ¼ da segunda e calculando o seus
respectivos valores numéricos para T igual a 10 anos. Observamos no exemplo de
resposta abaixo da média um erro muito comum no emprego da propriedade de
logaritmo de um quociente, em que numa mesma base o logaritmo do quociente de
dois números é igual à diferença entre os logaritmos desses dois números e não ao
quociente entre os logaritmos desses dois números. Esta propriedade está
associada à noção da propriedade da divisão de potência de mesma base, o que
mostra a importância de demonstrar as propriedades dos logaritmos utilizando as
propriedades das potências.
Como as propriedades das potências são trabalhadas em todos os anos do
Ensino
Fundamental,
espera-se
que
os
estudantes
disponham
desses
conhecimentos e, no Ensino Médio, possam utilizá-los não apenas como
ferramentas
explícitas
para
a
solução
de
diferentes
tipos
de
tarefas
contextualizadas, mas também na introdução de novos conhecimentos, como é o
caso das propriedades dos logaritmos.
Os dois tipos de resposta encontradas na avaliação da UNICAMP mostram
que, quando se dispõe dos conceitos de função exponencial e se emprega
corretamente procedimentos da noção de potência e suas propriedades, é possível
responder a questão corretamente. Porém, aqueles candidatos que, mesmo
conhecendo os conceitos, os procedimentos e as representações da noção de
208
função exponencial, não se apropriaram desses conhecimentos matemáticos com
significado podem apresentar dificuldades do tipo da que aparece no exemplo
abaixo da média.
Nesse
matemáticos
sentido,
com
consideramos
significado
que
se
corresponde
apropriar
à
dos
possibilidade
conhecimentos
de
articular
conhecimentos prévios, no exemplo, as propriedades das potências, com novos
conhecimentos que, para esta tarefa específica, correspondem a associar as
propriedades dos logaritmos às propriedades das potências.
No Anexo M, podemos visualizar as respostas esperadas e as consideradas
abaixo e acima da média segundo análise desenvolvida pela equipe responsável
pelo vestibular.
8.4 ENADE
O ENADE – Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – é uma prova
escrita que avalia o rendimento dos alunos de graduação em relação aos conteúdos
programáticos previstos nas diretrizes curriculares do respectivo curso de graduação
desses estudantes. Tal prova é usada para análise dos cursos de ensino superior
brasileiro e um dos procedimentos de avaliação do Sistema Nacional de Avaliação
da Educação Superior – SINAES, o exame é realizado pelo Instituto Nacional de
Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira - INEP, autarquia vinculada ao
Ministério da Educação, segundo diretrizes estabelecidas pela Comissão Nacional
de Avaliação da Educação Superior - CONAES, órgão colegiado de coordenação e
supervisão do SINAES.
O exame é destinado a estudantes ingressantes e concluintes do Ensino
Superior, a participação de estudantes selecionados é obrigatória sendo uma
condição necessária para a emissão do histórico escolar.
A primeira edição do ENADE ocorreu em 2004 e as provas de cada área do
conhecimento ocorrem no máximo a cada três anos, substituindo assim o antigo
Exame Nacional de Cursos (Provão) criado em 1996.
Para compreender melhor os conhecimentos desenvolvidos sobre a noção de
função exponencial que foram solicitados nas últimas edições do ENADE para
209
estudantes de licenciatura em matemática, identificamos apenas as tarefas em que
essa noção está em jogo.
Para nossas análises, identificamos os seguintes itens:
I – Nível de conhecimento esperado dos estudantes: técnico, mobilizável e
disponível (segundo definição de Robert).
II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa.
III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial.
Na sequência, apresentamos uma discussão em relação a cada questão.
Apresentamos, na sequência, as tarefas que envolvem a noção de função
exponencial encontradas no Exame Nacional de Desempenho de Estudantes.
8.4.1 As tarefas que envolvem a noção de função exponencial do ENADE - 2005
Não encontramos quaestões relacionadas à noção de função exponencial
entre as 10 questões da licenciatura em matemática para um total de 40 questões
que compunham a prova, sendo as 10 primeiras de formação geral, seguidas de 10
questões comuns à licenciatura e ao Bacharelado e, finalmente, 10 questões
específicas da Licenciatura.
8.4.2 As tarefas que envolvem a noção de função exponencial do ENADE - 2008
Encontramos uma questão relacionada à noção de função exponencial entre
as 10 questões da licenciatura em matemática para um total de 40 questões que
compunham a prova, sendo as 10 primeiras de formação geral seguidas de 20
questões comuns à licenciatura e ao Bacharelado e, finalmente, 10 questões
específicas da Licenciatura (9 objetivas e 1 discursiva).
210
Questão 31 - Tarefa
Na discussão relativa a funções exponenciais, um professor propôs a seguinte
questão: Para que valores não-nulos de k e m a função f(x) = mekx é uma função
crescente?
Como estratégia de trabalho para que os alunos respondam à questão resposta, é
adequado e suficiente o professor sugerir que os alunos
A. considerem m = 1 e k = 1, utilizem uma planilha eletrônica para calcular valores
da função f em muitos pontos e comparem os valores obtidos.
B. considerem m = 1 e k = 1, m = – 1 e k = 1 esbocem os gráficos da função f e, em
seguida, comparem esses dois gráficos.
C. formem pequenos grupos, sendo que cada grupo deve esboçar o gráfico de uma
das funções y = mekx, para m = 1, 2, 3, 4 ou 5, e comparem, em seguida, os gráficos
encontrados.
D. esbocem os gráficos das funções y = e x e y = e–x e analisem o que acontece com
esses gráficos quando a variável e a função forem multiplicadas por constantes
positivas ou negativas.
E. construam uma tabela com os valores de f para x número inteiro variando de –5 a
5, fixando m = 1 e k = 1 e, em seguida, comparem os valores encontrados.
I – Nível de conhecimento esperado dos estudantes: técnico, mobilizável e
disponível (segundo Robert): mobilizável.
II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: Noção de função
exponencial, definição da potência de expoente real, noção de localização de pontos
no sistema cartesiano ortogonal, noção de sistemas de coordenadas cartesianas
ortogonais, noção de domínio, contra-domínio e imagem de uma função, noção de
gráfico de uma função, noção de cálculo do valor numérico de uma função e
potência de expoente real.
III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial: Tarefa 7
(calcular o valor numérico de uma função exponencial), Tarefa 8 (esboçar o gráfico
cartesiano da função exponencial de domínio IR) e Tarefa 9 (classificar em
crescente ou decrescente a função definida pela sua representação gráfica
cartesiana).
211
Discussão:
Trata-se de uma questão mais genérica em que os conhecimentos
desenvolvidos no Ensino Médio são pedidos explicitamente. Para resolvê-la,
utilizam-se o ostensivo de representação da função exponencial na forma de
potência algébrica explícita e o ostensivo de representação gráfica. As dificuldades
que podem aparecer estão associadas à base irracional que não é trabalhada no
Ensino Médio e, em geral, não se desenvolve o estudo da noção de função
exponencial e a análise de seu gráfico no Ensino Superior.
Além disso, é necessário que se disponha de conhecimentos sobre a análise
da variação do gráfico de uma função e de seus parâmetros, o que atualmente é
deixado a cargo do Ensino Superior, mas que, em geral, como mostram as análises
apresentadas no capítulo 5, não é trabalhada nesta etapa escolar, mesmo nos
cursos onde é prevista uma disciplina de nivelamento, que quase sempre revisita a
noção de função exponencial da mesma forma que a desenvolvida no Ensino Médio,
sem contextualizar nas novas disciplinas.
Desse modo, observamos a possibilidade de mostrar a variação dos
coeficientes da função exponencial, quando se trabalha com as noções de limite e
derivada de uma função e suas propriedades, para a construção de na disciplina de
Cálculo. Mais uma vez, tem-se a oportunidade de revisitar conhecimentos prévios
quando são introduzidos novos conhecimentos.
8.4.3 As tarefas que envolvem a noção de função exponencial do ENADE - 2011
Encontramos apenas uma questão relacionada à noção de função
exponencial entre as 10 questões para os estudantes dos cursos de Licenciatura em
Matemática para um total de 40 questões que compunham a prova, sendo as 10
primeiras de formação geral seguidas de 20 questões comuns à Licenciatura e ao
Bacharelado e, finalmente, 10 questões específicas da Licenciatura.
Questão 19 - Tarefa
Sob certas condições, o número de colônias de bactérias, t horas após ser
preparada a cultura, é dada pela função B(t) = 9t – 2.3t + 3, t  0 .
212
O tempo mínimo necessário para esse número ultrapassar 6 colônias é de
A. 1 hora.
B. 2 horas.
C. 3 horas.
D. 4 horas.
E. 6 horas.
I – Nível de conhecimento esperado dos estudantes: técnico, mobilizável e
disponível (segundo Robert): mobilizável.
II - Conhecimentos disponíveis para solução da tarefa: Definição de potência de
expoente real e suas propriedades, noção de equação do 1º grau e suas técnicas de
resolução, noção de equação do 2º grau suas técnicas de resolução.
III – Tipo(s) de tarefa(s) associada(s) à noção de função exponencial: Tarefa 4
(resolver as equações nas quais a incógnita aparece no expoente).
Discussão:
Encontramos uma inequação exponencial que, para determinar sua solução,
necessita de uma mudança de variável, usando artifícios de cálculo. Isto a
transformará em uma inequação quadrática ou do segundo grau, portanto,
corresponde ao tipo de inequação trabalhada no Ensino Médio, podendo, assim, ser
considerada como conhecimento prévio para os estudantes do Ensino Superior.
8.5 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
Nas tarefas relacionadas à noção de função exponencial encontradas nas
avaliações
institucionais
governamentais
ou
analisadas,
vestibulares,
sejam
elas
podemos
preparadas
verificar
que
pelos
as
órgãos
situações
contextualizadas foram as mais privilegiadas e que nem todos os 11 diferentes tipos
de tarefas trabalhados no capítulo 5 foram tratados.
Essas diferentes tarefas foram retiradas dos livros do Programa Nacional do
Livro para Ensino Médio – PNLEM, isto é, os recomendados e distribuídos pelo
Ministério da Educação. Os dois livros analisados são aqueles que tinham o maior
213
número de exemplos e articulações tanto intramatemática como extramatemática
referentes à noção de função exponencial.
Em relação ao trabalho em termos de conceitos, procedimentos e
representações, as tarefas elaboradas pelos órgãos governamentais são diferentes
das tarefas dos vestibulares, lembrando que as provas de vestibulares são
eliminatórias, enquanto as governamentais são usadas para avaliar e estabelecer
novos caminhos tanto para o Ensino Médio como para o Superior.
As tarefas elaboradas pelos órgãos governamentais, que correspondem às
questões do ENEM e ENADE, apesar de representarem, na sua maioria, noções
matemáticas por meio de situações contextualizadas, em particular a noção de
função exponencial, o estudante precisa dispor de conhecimentos associados à
conversão do texto em língua natural para a representação de uma função
exponencial. Nesse caso, podemos considerar que aqueles que dispõem de um
discurso tecnológico adequado estão mais preparados para reconhecer o tipo de
função no enunciado e na sequência, em geral, aplica-se a definição de função
exponencial e as propriedades de potência, o que corresponde a uma tarefa que
exige o nível técnico em relação à noção matemática em jogo.
A análise das cinco tarefas encontradas nas provas do ENEM mostrou que o
trabalho em termos de conceitos, procedimentos e representações em relação à
noção de função exponencial exige apenas que o estudante reconheça o tipo de
função e utilize os conhecimentos associados às tarefas 1, 6 e 7 identificadas no
capítulo 6:
• Tarefa 1 (aplicar as propriedades de potência de mesma base): quatro
questões, 139 do ano de 2009, 177 do ano de 2010 e 173 e 177 do ano de 2011.
• Tarefa 6 (identificar e /ou determinar a lei de formação da função
exponencial de uma situação enunciada por meio do ostensivo de representação em
língua natural): três questões, 139 do ano 2009, 161 e 177 do ano de 2011.
• Tarefa 7 (calcular o valor numérico de uma função exponencial): três
questões, 139 do ano de 2009, 161 e 177 do ano de 2011.
Se considerarmos os três níveis de conhecimento esperado dos estudantes:
técnico, mobilizável e disponível:
• Nível técnico: três questões, 139 do ano de 2009, 177 do ano de 2010
e 173 do ano de 2011.
• Nível disponível: duas questões, 161 e 177 do ano de 2011.
214
As tarefas elaboradas por vestibulares também privilegiam as situações
contextualizadas, mas, depois de ultrapassada a fase em que o estudante precisa
interpretar o problema identificando o que é pedido, é preciso dispor dos conceitos e
das noções que envolvem a noção de função exponencial e assim mobilizar essas
noções, procedimentos, representações e respectivas conversões, quadros e
mudança de quadros.
Observamos aqui que alguns desses conhecimentos envolvem outros
conhecimentos, tais como as definições e propriedades das potências de mesma
base, a definição de logaritmo e suas propriedades, o que corresponde a dispor de
conhecimentos prévios adquiridos nos Ensinos Fundamental e Médio, ditos
mecânicos como a memorização de definições e propriedades, mas que
correspondem às técnicas necessárias e que precisam ser disponíveis quando se
deseja resolver tarefas em que elas fazem parte dos procedimentos a serem
utilizados.
A utilização ágil, rápida e consciente desses conhecimentos pode ser muito
eficaz para enriquecer conhecimentos prévios e adquirir novos conhecimentos, por
exemplo, quando se articulam diferentes ostensivos de representação e é
necessário efetuar uma mudança de quadros.
Esse trabalho, mesmo se não tratando explicitamente e com os termos
indicados acima, é exigido quando se utilizam as situações contextualizadas. Assim,
cabe ao professor fazer a mediação e ajudar o estudante a reconhecer esses
conhecimentos prévios, muitas vezes naturalizados e utilizados de maneira
autônoma. Dessa forma, fica ainda a cargo do professor auxiliar seus estudantes a
compreender, interpretar e resolver situações do cotidiano ou do mundo tecnológico
e científico, que é um dos objetivos do ensino de Matemática no Ensino Médio.
A mediação entre os conhecimentos prévios dos estudantes e a resolução de
tarefas deve ser feita pelo professor por meio da manipulação dos ostensivos de
representação e evocação dos não ostensivos associados. Isto subentende a
utilização de um discurso tecnológico adequado para cada grupo de estudantes.
Sendo assim, o professor precisa estar preparado para escolher um material
didático que esteja de acordo com os documentos oficiais e que atenda às
necessidades específicas de seus estudantes em termos dos conteúdos propostos
para serem trabalhados nas diferentes etapas escolares. Em geral, o material
atualmente privilegiado é o livro didático, pois este é indicado e ofertado pelo
215
Ministério da Educação no caso do Ensino Médio e exigido como material de apoio
pelas Comissões de Avaliação no caso do Ensino Superior.
O trabalho com os três níveis de conhecimento é responsabilidade
profissional do professor e, para isso, é necessário sua capacitação e valorização.
Devemos lembrar que, em função das restrições que lhe são impostas, muitas vezes
o professor só trabalha no nível técnico.
Ao analisar as tarefas do ENADE, observamos que, mais uma vez, a ênfase é
dada à modelagem matemática, o que supõe a articulação dos ostensivos de
representação e as mudanças de quadros, que é recomendado pelos documentos
oficiais, mesmo se não se utiliza esta nomenclatura.
Observamos aqui que o tipo de tarefa sobre a noção de função exponencial
pedido no ENADE corresponde às tarefas já encontradas no Ensino Médio, portanto,
os professores do Ensino Superior podem utilizar os livros indicados pelo PNLEM
como material de apoio para os estudantes com dificuldade, pois os mesmos podem
revisitar conteúdos do Ensino Médio sem que para isso seja necessário um trabalho
específico em sala de aula. Nesse caso, o professor poderia auxiliar em diferentes
momentos atividades extra classe. Nesse sentido, cabe-nos lembrar que Robert
(1997, 1998) indica que os estudantes sabem “coisas”, algumas precisam ser
retrabalhadas em sala de aula, mas nem tudo pode ser revisto.
Assim, a prova do ENADE, no que se refere à noção de função exponencial,
não deveria apresentar dificuldades para os estudantes que tiveram um primeiro
encontro com essa noção no Ensino Médio e que deveriam apenas enriquecê-las ao
aplicá-las no estudo de novas noções durante o Ensino Superior.
A análise das provas do ENEM e, em particular, da UNICAMP, mostram que,
em geral, os estudantes têm dificuldades para resolver tarefas que envolvem
conhecimentos das outras
ciências
e situações contextualizadas.
Quando
consideramos, por exemplo, a tarefa da UNICAMP 2003, podemos supor que a nova
representação onde y corresponde à T e x corresponde à t pode ter sido um
obstáculo para a solução da tarefa, pois, normalmente, os estudantes não fazem
sozinhos
essa relação que deve ser explicitada pelo professor. Esse tipo de
trabalho está associado ao que Duval (1995) denomina tratamento de um registro de
representação semiótica e deve ser revisitado no Ensino Superior para que o futuro
professor possa estar preparado para escolher um bom material didático. Nesse
sentido, Moreira (2005) adverte para o fato de que uma das condições para a
216
aprendizagem significativa é a construção ou utilização de um material
potencialmente significativo.
As macroavaliações ENEM, UNICAMP e ENADE colocam em evidência as
diferenças entre os estudantes que passam no vestibular da UNICAMP e,
consequentemente, dispõem dos conhecimentos prévios necessários para seguir
seus cursos no Ensino Superior, e aqueles que, mesmo tendo sido aprovados no
ENEM, muitas vezes, não têm sucesso no ENADE, ainda que os tipos de tarefas
solicitadas nessas duas provas sejam muito próximos.
Esta constatação nos conduziu a concluir que os resultados das
macroavaliações indicam que os estudantes, em sua maioria, não atribuem o
significado esperado para os conceitos matemáticos, os quais, por sua vez, são
trabalhados no Ensino Médio e revisitados no Ensino Superior.
No próximo capítulo, apresentamos os resultados do questionário sobre as
práticas institucionais associadas à noção de função exponencial trabalhadas no
Ensino Médio e Ensino Superior conforme resposta de alguns professores que
ministram aulas em uma dessas etapas de ensino ou nas duas.
217
9 ANÁLISE DAS PRÁTICAS INSTITUCIONAIS ASSOCIADAS À NOÇÃO DE
FUNÇÃO EXPONENCIAL VIA QUESTIONÁRIO DE INFORMAÇÕES
9.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS
Após as análises das relações institucionais e pessoais por meio de
documentos oficiais, para melhor compreender o funcionamento do processo de
estudo e ajuda ao estudo da noção de função exponencial e suas propriedades tanto
no Ensino Médio como no Ensino Superior, elaboramos um questionário que permite
identificar as escolhas dos professores, que participaram da pesquisa, em relação
ao trabalho realizado com a noção de função exponencial e suas propriedades
assim como das expectativas dos mesmos em relação aos conhecimentos prévios
disponíveis de seus estudantes seja no final do Ensino Médio ou no inicio do Ensino
Superior.
A apresentação dos resultados será efetuada questão por questão, seguida
por meio de uma tabela, seguida de um comentário relacionando as respostas do
professores para as questões.
Foram distribuídos 150 questionários e só retornaram 20, pois existem
professores que atualmente trabalham apenas no Ensino Fundamental e outros que
não se sentiram a vontade para responder o questionário, pois não ministram
disciplinas em que a função exponencial e suas propriedades são utilizada como
objeto de estudo ou ferramenta para a solução de problemas relacionados a outros
conteúdos como, por exemplo, a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral. Os
professores do Ensino Médio introduzem essa noção no primeiro ano e não é
previsto uma revisita nos outros anos.
9.2 RESULTADOS
Iniciamos apresentando cada questão, seguida de uma tabela com o efetivo,
a frequência, a porcentagem e um comentário. Quando possível relacionamos o
resultado das questões já apresentadas com a que está sendo analisada.
218
Questão 1: Você atua em que níveis:
- Médio.
- Superior.
- Médio e Superior.
- Outros.
Tabela 1– Efetivo Freqüência e Porcentagem sobre etapas escolares de atuação
dos professores
Nível de
Efetivo
Frequência Porcentagem
Atuação
Médio
12
0,6
60%
Superior
3
0,15
15%
Médio e
3
0,15
15%
Outros
2
0,1
10%
Total
20
1
100%
Superior
Fonte: a pesquisa.
Discussão:
Entre os 20 professores que responderam o questionário identificamos 12
professores do Ensino Médio, 3 do Ensino Superior, 3 do Ensino Médio e Superior e
2 de outros cursos não informados. A predominância de professores do Ensino
Médio está associada ao grupo que entregou os questionários, pois muitos desses
professores se sensibilizaram com a pesquisa por fazer parte do Programa de Pós
Graduação em Educação Matemática.
Observamos ainda, que os professores do Ensino Médio, em geral, trabalham
com o conteúdo função exponencial e suas propriedades e que somente os
professores do primeiro ano do Ensino Superior, que ministram Cálculo Diferencial e
Integral ou uma Matemática de nivelamento, algumas vezes revisitam as funções
numéricas já introduzidas no Ensino Médio.
219
Questão 2: Você introduz a noção de função exponencial ou apenas utiliza essas
funções no desenvolvimento de outros conteúdos matemáticos que as envolvam?
(
) Sim
(
) Não
Tabela 2 – Professores que trabalham a noção de função exponencial
Introdução
Efetivo
Porcentagem
Sim
15
75%
Não
5
25%
Total
20
100%
Fonte: a pesquisa.
Discussão:
Entre os 20 professores que responderam ao questionário 15 professores
responderam sim para a questão. Sendo 10 sobre 12 do Ensino Médio, 2 sobre 3 do
Ensino Superior, 3 sobre 3 do Ensino Médio e Superior, 1 sobre 2 de outras etapas
escolares.
Ressaltamos aqui, que para os professores que participaram da pesquisa,
85% dos atuantes no Ensino Médio responderam sim, entre eles apenas 2 observam
que introduzem esta noção e 1 a utiliza enquanto ferramenta. Podemos supor que
os outros 7 também introduzem a noção e não sentiram necessidade de explicitar o
trabalho realizado.
Para os 75% dos professores do Ensino Superior, apenas 1 explicitou o
trabalho realizado, ou seja, introduz a noção e aplica em outros conteúdos.
É importante ressaltar que entre os 3 professores que atuam no Ensino Médio
e Superior, 100% responderam sim, mas não especificaram se a introduzem ou
utilizam como ferramenta.
Questão 3: Dadas as definições abaixo de função exponencial, qual você escolheria
para definir essa noção com os seus estudantes? Justifique.
220
Definição 1:
Revisão de potenciação
Potência com expoente natural: Dados um número real positivo a e um número
natural diferente de zero, chama-se potência de base a e expoente n o número an
que é igual ao produto de n fatores iguais a a : an= a.a.a.a...a
Potência com expoente inteiro: Como a igualdade a0.a1 = a0+1 deve ser válida,
teremos a0 = 1. Assim, a única possibilidade que temos é definir a 0 = 1, com a ≠
0.Em seguida, dado qualquer n
N*, devemos ter, para a ≠ 0: a-n.an = a-n + n = a0 = 1.
n
Portanto a-n.an = 1, ou seja, a 
1
.
an
Potência com expoente racional:
um número real positivo cuja n-ésima potência
é igual a a. Pela definição de raiz, esse número é , a raiz n-ésima de a. Logo: =
com a real positivo e n = 2,3,4,...
Potência com expoente irracional: A potência ax, com x irracional e a real positivo
é determinada por meio de aproximações de racionais. Em geral, para isso
utilizamos uma calculadora científica. Exemplo: . Tomamos as aproximações
racionais do número irracional
2 , que são:
1; 1,4; 1,41; 1,414;... e temos
definidas as potências com expoente racional 21, 21,4, 21,41, 21,414....
A medida que 1; 1,4; 1,41; 1,414;... se aproximam de
aproximam de 2
2
2 e 21, 21,4, 21,41, 21,414, se
.
Usando a calculadora, obtemos: 21 = 2, 21,4 = 2,639015, 21,41 = 2,657371, 21,414 =
2,664749; ...; = 2,665144...
Obtemos assim, por aproximação de racionais, a potência a x, com x irracional e a
real positivo.
Potência com expoente real: Basta lembrar que os números reais resultam da
reunião dos números racionais com os números irracionais, portanto, as potências
com números reais correspondem aos dois últimos casos acima.
Definição de função exponencial: Dado um número real a (a> 0 e a ≠ 1)
*
denomina-se função exponencial de base a a uma função de f de IR em IR
definida por f(x) = ax ou y =ax .
221
Definição 2:
Definição de função exponencial: A função f ,de IR em IR, que a cada número x
associa o número ax, a>0 e a≠1, é denominada função exponencial de base a. f :
com a> 0 e a ≠ 1
Na seqüência apresentar a seguinte revisão de potenciação:
Potência de expoente negativo: Por exemplo, 32 
an 
1 1
 . De modo geral,
32 9
1
, com a ≠ 0.
an
Potência com expoente fracionário ou racional: Por exemplo:
3
2
2  2 23  8  2 2 . De modo
m
n
n m
geral, a  a , para a > 0 , m Z e n  N*.
Potência com expoente irracional: para determiná-la devemos considerar
potências de expoentes racionais e fazer aproximações por falta e excesso.
Exemplo: 2
2
tem expoente irracional e, para chegar ao seu valor, devemos
considerar as potências de expoentes racionais. Tomando valores racionais
aproximados de
2 , por falta e por excesso, temos: por falta: 1; 1,4; 1,41; 1,414;...
por excesso 2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143... Construímos, então, as sequências. 2 1,
21,4, 21,41, 21,414... e 22, 21,5, 21,42, 21,415. Os valores dessas potências tendem para um
único valor, que é definido por 2
2
= 21,414..
Tabela 3 – Escolha das definições dadas para introduzir função exponencial
Nível de
Definição 1
Definição 2
Médio
8
4
Superior
2
0
Médio e
1
1
Outros
2
0
Total
13
5
Atuação
Superior
Fonte: a pesquisa.
222
Discussão:
Dentre os 20 professores que participaram da pesquisa, apenas 02 não
responderam a questão. Observamos que 13 professores que trabalham esta noção
sejam no Ensino Médio, Superior ou outra etapa escolar escolheu a primeira
definição que, em geral, é a mais empregada nos livros didáticos tanto os anteriores
aos Parâmetros Curriculares Nacionais quanto os editados após PCN.
Ressaltamos que não se trata de uma definição, mas da condição de
existência da função exponencial. Em geral, quando se considera esta condição
como definição não se estuda a variação do conjunto imagem da função.
Ao utilizar a definição 2, os autores, mesmo ao explicitando que se trata da
condição de existência, apresentam um estudo da função f(x) = b + a x mostrando o
deslocamento da função em relação ao eixo y e a variação do conjunto imagem.
Dessa forma, a escolha da definição 2, que é realmente a definição de função
exponencial, exige que se estude a condição de existência e a variação do conjunto
imagem da função. Este trabalho poderá ser revisitado no Ensino Superior, quando
se introdução da noção de assíntota horizontal.
Questão 4: Que material didático você utiliza no seu curso:
3
Apostila ( )
Qual?____________________________________
4
Caderno da nova proposta do ensino público ( )
5
Livro didático. Quais? ____________________________________
6
Material próprio.
7
Outros.
223
Tabela 4 – Materiais utilizados nas aulas
Tipo de material
Efetivo
Material próprio
2
Livro Didático
4
Apostila
4
Caderno
2
Caderno + livro didático
4
Caderno + material próprio
2
Outros
2
Total
20
Fonte: a pesquisa.
Discussão:
A tabela acima mostra a importância do livro didático sobre os outros
materiais considerados, pois 8 professores utilizam o livro didático. Dos 6
professores que usam o Caderno da Proprosta Curricular do Estado de São Paulo, 4
utilizam outro material como complemento.
Em geral, os professores escolhem um material para trabalhar com seus estudantes,
mas 4 dos 6 professores que usam o Caderno parecem indicar a necessidade de
complementar o trabalho proposto no mesmo.
Questão 5: Que material didático você utiliza para avaliação:

Apostila ( )

Caderno da nova proposta do ensino público ( )

Livro didático Qual?____________________________________

Macro-avaliações (FUVEST, ENADE, SARESP, ENEM, etc) ( )
Qual?_____________________________________
Quais? ___________________________________________________

Outros
224
Tabela 5 – Materiais utilizados nas avaliações
Tipo de material
Efetivo
Apostila
1
Caderno
2
Livro Didático
1
Macroavaliações
2
Macroavaliações + outros
1
Livro Didático + outros
1
Apostila + outros
1
Apostila + Livro Didático + Macroavaliações
1
Caderno + Macroavaliações + outros
1
Caderno + Macroavaliações + Livro Didático
2
Caderno + Material Próprio
1
Outros
6
Total
20
Fonte: a pesquisa.
Discussão:
Os resultados apresentados na tabela acima mostram uma grande
diversidade de escolha para as avaliações, mas, em geral, os professores são
coerentes com as escolhas feitas para suas aulas. Apenas as macroavaliações são
mais constantes, o que é compreensível uma vez que os estudantes do Ensino
Médio são avaliados anualmente e os do Ensino Superior a cada três anos.
Questão 6: Seus alunos podem utilizar calculadora em:
 aula;
 prova;
 aula e prova;
 nem aula, nem prova.
Que tipo de calculadora: ________________________________________
225
Tabela 6 – Momentos do uso da calculadora
Momentos do uso da calculadora
Efetivo
Aula
6
Prova
0
Aula e prova
7
Nem aula, nem prova
7
Total
20
Fonte: a pesquisa.
Discussão:
Observamos que ainda existem professores que não utilizam a calculadora
em aula, o que pode dificultar o trabalho com os números decimais e irracionais.
Ressaltamos ainda, que entre os professores que permitem o uso da
calculadora apenas 5 identificam a necessidade que a calculadora seja cientifica.
Quando os autores Dante (2010), definição 1 e Stocco e Diniz (2010),
definição 2, revisitam a noção de potenciação para os diferentes conjuntos
numéricos, os mesmos colocam em evidência a necessidade do uso de uma
calculadora científica para determinar por aproximação a potência de expoente
irracional.
Questão 7: Quantas aulas você utiliza para desenvolver a noção de função
exponencial? Você define logaritmo e função logarítmica?
Tabela 7 – Quantidade de aulas
Quantidade de aulas
Efetivo
1 aula
1
de 2 a 4 aulas
7
de 5 a 7 aulas
3
12, 14, 15 e 21
4
2 meses
1
Não responderam
4
Total
20
Fonte: a pesquisa.
226
Discussão:
Os resultados indicados na tabela acima mostram uma grande diversidade da
quantidade de aulas para se desenvolver o conteúdo associado à noção de função
exponencial. Podemos supor que esta variação está relacionada às necessidades
em termos de revisita de conhecimentos prévios dos estudantes e as exigências em
termos do estudo das propriedades da função exponencial, da introdução da noção
de logaritmos e das aplicações consideradas no curso e finalmente do tempo
estipulado pela instituição.
Questão 8: Escolha os tipos de exercícios você trabalha com seus estudantes:
- reconhecimento de uma função exponencial; (a)
- construção e interpretação do gráfico da função exponencial; (b)
- situações contextualizadas envolvendo a noção de função exponencial; (c)
- calcular o valor numérico para funções com base natural positiva e expoentes
inteiros; (d)
- calcular o valor numérico para funções com base racional e irracional positiva e
diferente da unidade e expoentes racionais e/ou irracionais; (e)
- relação entre função exponencial, progressão geométrica e juros compostos; (f)
- definição de logaritmo; (g)
- definição e propriedades de logaritmos; (h)
- função logarítmica e sua representação gráfica; (i)
- limite, derivada e integral envolvendo funções exponenciais e logarítmicas. (j)
- Outros (k)
227
Tabela 8 – Tipo de exercício segundo professores Ensino Médio
Tipo de exercício Ensino Médio
Efetivo
(a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), (h), (i), (j), (k)
2
(a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), (h), (i)
3
(a), (b), (c), (d), (f), (g), (h), (i)
2
(b), (c), (e), (f), (g), (h), (i)
1
(a), (b), (c), (d), (g), (h), (i)
1
(a), (c), (f), (g), (h)
1
(b), (c), (h), (i)
1
(c), (f), (g)
1
Total
12
Fonte: a pesquisa.
Discussão:
Os resultados apresentados na tabela acima mostram que os professores do
Ensino Médio procuram abranger a maioria dos tipos de exercícios que, em geral,
são propostos nos livros didáticos do Ensino Médio.
Considerando as respostas dadas, observamos que a ênfase é dada as
situações contextualizadas conforme proposta dos Parâmetros Curriculares
Nacionais, além disso, podemos considerar que a escolha se centraliza nas
aplicações da função exponencial com as noções de juros progressão geométrica.
Como podíamos esperar, o cálculo do valor numérico com base natural
positiva e expoentes inteiros, a construção de gráfico e a noção de logaritmo, suas
propriedades e função logarítmica e sua representação gráfica são tarefas inseridas
no trabalho dos professores do Ensino Médio.
O trabalho com as funções com base racional e irracional positiva e diferente
da unidade e expoentes racionais e/ou irracionais é considerado apenas por 6
professores do Ensino Médio e o estudo do limite, derivada e integral por 2
professores.
Na realidade, para o trabalho com as funções com base racional e irracional,
podemos ponderar que alguns professores não tratam esta questão por
considerarem que seus estudantes não estão devidamente preparados para
compreender a representação dos números reais.
228
Observamos aqui a questão da introdução do conjunto dos números reais,
que não é bem compreendida pelos estudantes, conforme dissertação de Gouveia
(2007) que mostra a dificuldade dos estudantes de determinarem valor de x, a partir
do gráfico de uma função que representa uma situação contextualizada, num
determinado intervalo sobre IR.
Em relação às noções de limite, derivada e integral, não existe orientação
para o trabalho com as funções exponenciais no Ensino Médio nos Parâmetros
Curriculares Nacionais. Logo, trata-se de uma escolha do professor em função dos
estudantes com os quais está trabalhando.
Tabela 9 – Tipo de exercício segundo professores Ensino Médio e Superior e
Superior
Tipo de exercício Ensino Médio e Superior e
Efetivo
Superior
(a), (b), (c), (d), (e), (f), (g), (h), (i)
1
(a), (b), (c), (f), (g), (h), (i), (j)
1
(a), (b), (c), (d), (f), (g), (h), (i), (j)
3
Não respondeu
1
Total
6
Fonte: a pesquisa.
A análise das respostas dos professores dos Ensinos Médio e Superior e
Superior mostra mais uma vez que a maior dificuldade está no trabalho com a
função exponencial para o caso em que a base é racional e irracional positiva e
diferente da unidade e os expoentes racionais e/ou irracionais.
Todos os tipos de tarefas trabalhadas pelos professores do Ensino Médio são
revisitadas pelos professores do Ensino Superior que também utilizam a função
exponencial como ferramenta explicita para o desenvolvimento das noções de limite,
derivada e integral, mesmo se apenas um dos professores que responderam o
questionário trabalha as potências de base irracional.
229
Tabela 10 – Conhecimentos consolidados e a consolidar segundo professores do
Ensino Médio
Conhecimentos consolidados e a consolidar –
Efetivo
professores do Ensino Médio
Potenciação e propriedades
6
Construção e Análise do gráfico
2
Situações contextualizadas
2
Definição de função exponencial e suas
1
propriedades e gráfico
Não respondeu
1
Total
12
Fonte: a pesquisa.
Discussão:
Dos 12 professores do Ensino Médio, apenas 1 não respondeu a questão.
A análise das respostas coloca em evidência a necessidade de revisitar a noção de
potenciação e suas propriedades, a definição de função exponencial e o estudo de
suas propriedades, a construção e análise de seu gráfico.
Apenas 2 professores, dos 11 que responderam a questão, propõem que
se trabalhe com situações contextualizadas. Neste caso, estas situações podem
corresponder a utilização da função exponencial como ferramenta explicita para a
solução de tarefas intramatemáticas e extramatemáticas.
Questão 9: O que você supõe conhecido, o que deve ser introduzido e o que
é preciso consolidar no início do ensino superior quando se deseja utilizar a noção
de função exponencial? (apenas para professores do ensino médio)
230
Tabela 11 – Conhecimentos consolidados e a consolidar segundo professores do
Ensino Médio
Conhecimentos consolidados e a consolidar –
Efetivo
professores do Ensino Médio
Potenciação e propriedades
6
Construção e Análise do gráfico
2
Situações contextualizadas
2
Definição de função exponencial e suas
1
propriedades e gráfico
Não respondeu
1
Total
12
Fonte: a pesquisa.
Discussão:
Dos 12 professores do Ensino Médio, 01 não respondeu a questão. A análise
das respostas coloca em evidência a necessidade de revisitar a noção de
potenciação e suas propriedades, a definição de função exponencial e o estudo de
suas propriedades, a construção e análise de seu gráfico.
Apenas 2 professores, dos 11 que responderam a questão, propõem que se
trabalhe com situações contextualizadas. Neste caso, estas situações podem
corresponder a utilização da função exponencial como ferramenta explicita para a
solução de tarefas intramatemáticas e extramatemáticas.
Questão 10: O que você supõe conhecido, o que deve ser introduzido e o que é
preciso consolidar no início do ensino superior quando se deseja utilizar a noção de
função exponencial? (apenas para professores do ensino superior)
231
Tabela 12 – Conhecimentos consolidados e a consolidar segundo professores do
Ensino Superior
Conhecimentos consolidados e a consolidar –
Efetivo
professores do Ensino Médio Superior
Potenciação e propriedades
1
Definição de função exponencial suas
1
propriedades e gráfico
Não respondeu
4
Total
6
Fonte: a pesquisa.
Discussão:
Dos 6 professores do Ensino Superior que responderam o questionário,
apenas 2 consideram necessário revisitar a noção de função exponencial e suas
propriedades.
Os três professores do Ensino Superior não responderam a questão,
podemos supor aqui que os mesmos ou não trabalham com este conteúdo e suas
aplicações ou que não têm claro quais os conhecimentos sobre a função
exponencial e suas propriedades são desenvolvidos no Ensino Médio.
Observamos ainda que, dos dois professores que trabalham em outras etapas
escolares apenas 1 respondeu a questão e considerou a necessidade de revisitar a
noção de potenciação, de definir função exponencial, seu gráfico e suas
propriedades.
Questão 11: Por quais motivos você não trabalha ou não trabalharia a noção
de função exponencial e/ou logarítmica ?
232
Tabela 13 – Motivos de não trabalhar a noção de função exponencial segundo
professores do Ensino Médio
Motivos de não trabalhar a noção de função
Efetivo
exponencial e/ou logarítmica – professores do
Ensino Médio
Para estudantes da área de humanas
1
Sem motivos
7
Não respondeu
4
Total
12
Fonte: a pesquisa.
Discussão:
Os professores parecem considerar a noção de função exponencial
importante e que a mesma deve ser trabalhada no Ensino Médio, pois mesmo
aquele que responde que para os estudantes da área de humanas poderia não
introduzir esta noção, termina fazendo uma ressalva que a considera importante
mesmo neste caso.
Tabela 14 – Motivos de não trabalhar a noção de função exponencial segundo
professores do Ensino Médio e Superior e Superior
Motivos de não trabalhar a noção de função
Efetivo
exponencial e/ou logarítmica – professores do
Ensino Médio e Superior e Superior
Não estar no programa
1
Sem motivos
2
Não respondeu
3
Total
6
Fonte: a pesquisa.
233
Discussão:
Os professores do Ensino Superior confirmam os resultados encontrados para
os estudantes do Ensino Médio, isto é, para eles a noção de função exponencial é
importante e só não a utilizam quando não fizer parte do programa.
Para os dois professores da categoria outros, encontramos as mesmas
respostas indicadas pelos professores do Ensino Médio.
9.3 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
Apesar do número reduzido de questionários, podemos supor que a noção de
função exponencial, seu gráfico e suas propriedades, em geral, podem provocar
dificuldades para os estudantes que iniciam o Ensino Superior, pois a mesma é
tratada com maior ou menor profundidade dependendo do tempo de lhe é dedicado.
Os professores do Ensino Médio reconhecem a necessidade de revisitar esta
noção quando de sua utilização no Ensino Superior, mesmo se eles já a
introduziram seguindo as orientações oficiais e fizeram o possível para que os
estudantes se apropriassem desta noção da melhor forma possível.
Mas, a escolha, pela maioria, dos professores que responderam ao
questionário, da condição de existência para a definição de função exponencial, nos
permite ressaltar que as tarefas do tipo FUVEST 2011 ou de provas do vestibular da
UNICAMP devem representar bastante dificuldade para alguns estudantes, em
particular, para aqueles que tiveram apenas 6 ou 7 aulas dedicadas ao estudo de
noção exponencial.
As respostas dos professores ao questionário colocam em evidência a
diversidade de relações institucionais e mesmo que não tenha sido explicitado pelos
professores, o trabalho por eles realizado está sujeito à restrições que limitam o seu
desenvolvimento.
Observamos ainda que os professores, em geral, utilizam diferentes meios
para auxiliar seus estudantes no processo de estudo e ajuda ao estudo relacionado
à noção de função exponencial.
234
O uso da calculadora precisa ser discutido, pois torna-se uma ferramenta
facilitadora para a introdução da noção de função exponencial, principalmente em
relação ao cálculo de potência com expoente irracional.
235
10 CONCLUSÃO
Apresentamos neste capítulo algumas considerações conclusivas, a partir das
informações obtidas nos capítulos anteriores desta tese. Buscamos, assim,
responder as seguintes questões que, conforme anunciado na introdução,
conduziram a presente pesquisa.
1)
Quais os conhecimentos matemáticos necessários para compreender a
noção de função exponencial no Ensino Médio e no Ensino Superior a fim de
poder aplicá-la de forma eficaz ?
2)
Sobre que níveis de conhecimento é possível fundamentar essas
necessidades: técnicos, mobilizáveis ou disponíveis?
3)
Em que sistema de tarefas e práticas podem ser desenvolvidos esses
três níveis de conhecimento?
4)
Quais as relações institucionais esperadas e existentes para o
desenvolvimento da noção de função exponencial no Ensino Médio e Ensino
Superior?
5)
Quais as expectativas institucionais sobre as relações pessoais
desenvolvidas pelos estudantes para a noção de função exponencial? Elas
estão em conformidade com as relações institucionais existentes?
6)
Qual a expectativa dos professores do Ensino Médio e Ensino Superior
sobre a noção de função exponencial em relação aos conhecimentos prévios
dos estudantes que ingressam na universidade?
Ao longo deste trabalho, ancoramo-nos na tentativa de melhor justificar as
escolhas e compreender os diferentes processos de estudo e ajuda ao estudo que
sobrevivem e se reconstroem atualmente na transição entre o Ensino Médio e
Ensino Superior, quando se considera a noção de função exponencial. Tal escolha
de pesquisa visou possibilitar que os professores disponham de material para
reflexão a fim de que, quando os mesmos tiverem acesso aos conhecimentos
236
prévios de seus estudantes, possam realizar escolhas mais conscientes e, assim,
conduzir o processo de ensino e de aprendizagem de maneira satisfatória.
Uma forma dessa pesquisa chegar aos professores seria sua utilização em
cursos de formação inicial e continuada em que se discutisse diferentes formas de
trabalho com a noção de função exponencial. Nesse momento, pode-se dar ênfase
às diferentes técnicas e tecnologias em jogo e as possibilidades de aplicação das
mesmas para grupos de estudantes distintos.
Dessa maneira, permitir-se-á que os estudantes sejam capazes de mobilizar
seus conhecimentos prévios e utilizá-los de forma disponível quando necessário,
podendo, assim, enriquecê-los quando esses são usados como ferramentas
explícitas para a introdução de novos conceitos e novas noções. Para tanto,
escolhemos um referencial teórico que foi sendo utilizado durante o trabalho,
auxiliando a encontrar indícios para esclarecimento das questões anteriormente
apresentadas e de outras indagações que apareceram naturalmente.
Após a revisão de alguns trabalhos que tratam mais especificamente da
noção de função, outros cujo objeto de estudo é a geometria analítica, a álgebra
linear, as matrizes, os sistemas lineares e as pesquisas mais teóricas sobre a
transição, como a de Gueudet (2008), situamos esta pesquisa, mais particularmente,
sobre o olhar centrado na instituição. Isto porque concordamos com a observação
apresentada por Gueudet (2008) que ressalta a diferença entre a matemática
praticada no Ensino Médio e a praticada no Ensino Superior.
Essa seleção nos conduziu a centrar nosso referencial teórico na Teoria
Antropológica do Didático – TAD, para a qual consideramos as noções de relações
institucionais e pessoais, praxeologia, ostensivos e não ostensivos e os níveis de codeterminação, conforme definição de Chevallard (1992), 1994, 1998, 2002, 2002a,
2007, 2007a) e Bosch e Chevallard (1999), nos três níveis de conhecimento
esperados dos estudantes, segundo definição de Robert (1997, 1998), bem como a
noção de quadro e mudança de quadros de Douady (1984, 1992).
O referencial teórico escolhido nos auxiliou, em primeiro lugar, a analisar a
evolução das relações institucionais esperadas, cujo trabalho foi desenvolvido por
meio da identificação dos níveis de co-determinação nos documentos oficiais do
Ensino Médio e Superior que compõem o sistema de ensino. A análise desses
documentos colocou em evidência a liberdade da escola para a construção de seu
projeto pedagógico do Ensino Médio, essa nova forma de trabalho é proposta a
237
partir Lei de Diretrizes e Bases da Educação nº 9394/96 e do Plano Nacional de
Educação (complementação da Lei de Diretrizes e Bases), lei n° 10122 de 2001. Isto
permite que os professores tenham liberdade para atuar já no nível escola e não no
nível setor como indicam os estudos de Chevallard (2007, 2007a).
Observamos que para o Ensino Médio esta liberdade não foi bem
compreendida pelos diferentes educadores em nível nacional, em particular, pelos
professores que não dispunham de material suficiente para compreendê-la. Assim,
foram publicados novos documentos onde se encontravam exemplos específicos
para a construção de material que possibilitasse a articulação dos conteúdos
matemáticos na própria matemática e nas outras ciências.
Nesse sentido, ressaltamos o caso de São Paulo que, a partir de 2008,
introduziu uma Proposta Curricular em que os temas associados a cada setor
fossem organizados por meio de situações que possibilitam a interdisciplinaridade e
a flexibilidade de conteúdos. Em outras palavras, isto significa que o professor fica
limitado ao nível tópico.
Essa Proposta foi transformada em Currículo Oficial do Estado de São Paulo
a partir de 2010. É importante ressaltar que o trabalho proposto nos Cadernos do
Professor e do Aluno, os quais compõem a Proposta, não nos parece suficiente para
a introdução da noção de função exponencial. Isto porque é exigida a
complementação do material pelo professor, o qual, muitas vezes, não recebe o
material em tempo hábil, ficando a seu cargo a escolha da abordagem a ser
considerada.
Em relação ao Ensino Superior, verificamos que, para as universidades
analisadas, os planos de ensino deixam evidente a falta de articulação entre a noção
de função exponencial e sua utilização como ferramenta explícita para o
desenvolvimento de questões da própria matemática e das outras ciências.
Para os cursos analisados, apenas o curso de Licenciatura em Matemática do
Centro Universitário da Fundação Santo André considera a revisita de conteúdos, os
quais se supõe que tenham sido desenvolvidos no Ensino Médio, articulada com os
novos conhecimentos a serem introduzidos na disciplina de Cálculo Diferencial e
Integral. Consideramos este modo de trabalho como a forma mais adequada para
essa revisita, pois associa conhecimentos prévios a novos conhecimentos, o que,
segundo Moreira (2005), faz com que o novo conhecimento adquira significado para
238
o aprendiz e o conhecimento prévio fica mais rico, diferenciado, elaborado em
termos de significados, o que dá mais estabilidade aos discentes.
Após a identificação das relações institucionais esperadas, construímos uma
grade de análise, a qual constituiu o instrumento que permitiu responder as três
primeiras questões que colocamos inicialmente.
Assim, para a primeira questão, identificamos que as noções de conjuntos
numéricos, suas operações e propriedades, de potência e suas propriedades,
equações do primeiro e segundo grau e equações exponenciais, inequações
exponenciais, definição de função, domínio, contra-domínio e imagem de uma
função, definição de função exponencial, a noção de gráfico da função exponencial
e sua interpretação, as propriedades de continuidade, monotonicidade e sobrejetora,
injetora e bijetora para as funções de uma variável real a valores reais, e a noção de
limite no infinito como as funções que correspondem aos conhecimentos
necessários para compreender a noção de função exponencial no Ensino Médio e
Ensino Superior, a fim de que os alunos possam ser capazes de aplicá-la enquanto
conhecimento prévio disponível quando necessário.
Ressaltamos ainda que desenvolver as técnicas associadas à noção de
potência e suas propriedades facilita a passagem da representação algébrica
explícita (fórmula) de uma função exponencial para a representação gráfica, uma
vez que os estudantes dispõem das regras e leis do cálculo numérico em relação ao
conjunto dos naturais, inteiros, racionais e irracionais. Isto permite aplicar os valores
numéricos na variável independente para determinação da variável dependente na
fórmula da função exponencial e, assim, construir o gráfico da mesma. Esse
conhecimento também serve como ferramenta explícita para a resolução de
equações e inequações exponenciais e situações-problema que envolvem essa
função. Desse modo, articular diferentes sistemas de representação e reconhecer
relações entre várias representações da função exponencial são conhecimentos
necessários para poder identificar sua similaridade com novos conceitos.
A grade nos auxiliou ainda a determinar um sistema de tarefas e práticas que
podem ser consideradas como as técnicas que permitem solucionar essas tarefas.
Encontramos um número reduzido de tarefas, isto é, 11 tarefas, para as quais as
técnicas associadas estão relacionadas à aplicação da noção de potência e suas
propriedades, resolução de uma equação exponencial, reconhecer uma função
exponencial,
efetuar
a
conversão
de
suas
representações,
identificar
as
239
propriedades de uma função exponencial por meio de sua representação algébrica
e/ou gráfica, determinar o valor numérico de uma função exponencial dada por meio
de sua representação algébrica e representar graficamente uma função exponencial.
Ressaltamos aqui que o trabalho com a noção de função exponencial
desenvolvido no Ensino Médio é centrado na definição de potência, na definição de
função exponencial e suas representações, sendo considerada como conhecimento
prévio disponível ao final do Ensino Médio a passagem da representação na forma
algébrica (fórmula) para a representação gráfica. Como se pôde perceber, não é
dada ênfase à passagem do gráfico para a fórmula, apenas considera-se necessário
dispor de conhecimentos sobre a interpretação do gráfico de uma função
exponencial.
Em geral, no Ensino Superior, supõe-se que os conhecimentos dos
estudantes sobre a noção de função exponencial, suas representações e
propriedades, possibilitem a identificação da mesma como modelo matemático para
resolver questões intra e extramatemáticas.
Em relação às obras analisadas, as quais correspondem às relações
institucionais existentes, observamos que os livros didáticos de Dante (2010) e
Stocco e Diniz (2010) estão de acordo com as propostas institucionais esperadas,
pois os mesmos dão ênfase à definição e às propriedades de uma função
exponencial assim como a suas representações algébrica e gráfica. Observamos
ainda que esses livros permitem uma seleção mais adequada ao nível dos
estudantes das estratégias de trabalho com a noção de função exponencial.
Dos dois livros analisados para o Ensino Superior, constatamos que a obra de
Stewart (2011) corresponde a um estudo que não deveria colocar muitas
dificuldades para os estudantes que dispõem dos conhecimentos desenvolvidos nas
obras analisadas para o Ensino Médio. Fazemos esta afirmação porque se trata de
uma utilização das ferramentas introduzidas no Ensino Médio para a ampliação de
conhecimentos associados à noção de função exponencial no Ensino Superior.
Já a obra de Lima et al. (1997) nos parece mais adequada aos estudantes
que dispõem dos conhecimentos sobre a noção de função exponencial
desenvolvidos no Ensino Médio, da sua utilização enquanto ferramenta para a
introdução das noções de Cálculo Diferencial e Integral, para aplicação em outros
contextos matemáticos e extramatemáticos de forma que propriedades da mesma
possam ser justificadas por meio da articulação com outros conhecimentos. Trata-se
240
de uma obra importante para aqueles que procuram esclarecer algumas dúvidas no
momento de preparar suas aulas, uma vez que as propriedades das funções, em
particular da função exponencial, são demonstradas por meio de teoremas.
Observamos aqui que o ostensivo de representação mais utilizado pelos autores é o
ostensivo de representação algébrico intrínseco (y = a x), o que está de acordo com
sua proposta de trabalho. Em alguns momentos, os autores fazem uso do ostensivo
de representação gráfico para visualização das propriedades demonstradas.
Em relação às expectativas institucionais para as relações pessoais
desenvolvidas pelo estudantes que terminam o Ensino Médio e aqueles que
terminam o Ensino Superior, verificamos que as mesmas são coerentes com as
propostas institucionais quando se consideram as tarefas do Exame Nacional do
Ensino Médio – ENEM, do vestibular da Universidade de Campinas – UNICAMP e
do Exame Nacional de Avaliação do Ensino Superior – ENADE.
Destacamos que, para o ENEM (2009, 2010, 2011), são encontradas cinco
questões que correspondem às tarefas habituais identificadas na grade de análise,
sendo que entre essas cinco questões três exigem o nível técnico e duas o nível
disponível em relação às noções identificadas como necessárias para a introdução
da noção de função exponencial.
Para o vestibular da UNICAMP, entre 2002 e 2011, encontramos nove
questões que correspondem às tarefas usuais identificadas na grade de análise,
sendo que, em uma mesma questão, podemos associar mais de uma das tarefas
apresentadas na grade de análise. Além disso, constatamos que, das nove questões
identificadas, cinco exigem o nível mobilizável e quatro o nível disponível em relação
às noções identificadas como necessárias para a introdução da noção de função
exponencial.
Finalmente, para o ENADE (2005, 2008, 2011), encontramos duas questões
relativas aos anos de 2008 e 2011 que tratam das noções que envolvem a noção de
função exponencial. Esses dois exemplos exigem o nível mobilizável em relação à
noção de função exponencial e o nível disponível em relação às propriedades e
representações da função exponencial e a resolução de equações e inequações.
Quanto às expectativas dos professores do Ensino Médio e Ensino Superior,
para as quais construímos um questionário que foi discutido com a pesquisadora
Michèle Artigue, o número de questionários avaliados não nos permitiu determinar
241
os conhecimentos prévios supostos adquiridos e aqueles que os estudantes são
realmente capazes de utilizar espontaneamente.
Podemos considerar que o baixo número de questionários avaliados parece
ao momento em que se introduz a noção de função exponencial no Ensino Médio.
Assim, seria mais interessante repensar quais conteúdos são importantes para
serem desenvolvidos no Ensino Médio de forma que os estudantes sejam capazes
de aplicá-los de forma autônoma.
Assim, voltamos à questão da autonomia das escolas na construção de seus
projetos pedagógicos, pois, nesse caso, os professores poderiam identificar os
conhecimentos prévios de seus estudantes nas diferentes séries do Ensino Médio e
propor a introdução da noção de função exponencial no momento mais adequado.
Essa mesma proposta vale para o Ensino Superior.
Na realidade, o baixo número de respostas nos conduz a colocar a seguinte
questão: “Como resolver o problema atualmente muito divulgado pela imprensa que
é o baixo desempenho dos estudantes que terminam o Ensino Médio, em particular,
em relação aos conhecimentos matemáticos que se supõem disponíveis ao final
dessa etapa escolar?”.
Assim, duas novas questões se colocam para serem estudadas “Quais
conteúdos matemáticos podem ser desenvolvidos plenamente no Ensino Médio e
quais seriam deixados para serem trabalhados no Ensino Superior?” e “Devemos
dar ênfase à quantidade ou à qualidade dos conteúdos matemáticos propostos para
serem desenvolvidos no Ensino Médio?”. Essas questões servem como reflexão
para professores e educadores no momento em que realizam seus planejamentos e
planos de ensino e para considerá-las é preciso que os mesmo tenham um
levantamento detalhado dos conhecimentos prévios dos diferentes grupos de
estudantes de forma a desenvolver um trabalho que tenha sentido e interesse para
cada grupo considerado.
Observamos, por fim, que a determinação de mecanismos específicos para o
desenvolvimento da noção de função exponencial não está dissociada dos
conhecimentos prévios disponíveis dos grupos de estudantes com os quais
trabalhamos. Esses mecanismos podem variar de uma classe para a outra em uma
mesma escola.
Diante dessas constatações, compreendemos que é preciso garantir a
utilização de diferentes meios no processo de estudo e ajuda ao estudo por parte
242
dos professores, bem como é necessário que os estudantes cumpram o seu papel,
isto é, que eles participem das diferentes atividades propostas pelo grupo no qual
estão inseridos.
243
REFERÊNCIAS
ANDRADE, S. N. Possibilidades de articulação entre as diferentes formas de
conhecimento: a noção de função afim. 2006. 211 f. Dissertação (Mestrado em
Ensino de Ciências e Matemática) — UNICSUL, São Paulo, 2006.
ARTIGUE, M. Le défi de la transition secondaire-supérieur. Que peuvent nous
apporter les recherches en didactique des mathématiques?’. Actes du premier
congrès franco-canadien de sciences mathématiques, Toulouse, 2004.
ARTIGUE, M.. Apprendre les mathématiques: ce qui nous enseignent les recherches
dans ce domaine. Cahier de Didactique des Mathématiques, Paris, v. 7, 2004a.
ARTIGUE, M. First Joint Canada-France meeting of the mathematical sciences.
Tolouse. [S.l.]: [S.n.], 2004b.
ARTIGUE, M. Learning mathematics in a CAS environment: The genesis of a
reflection about instrumentation and the dialectics between technical and conceptual
work. International Journal of Computers for Mathematical Learning, Paris, v.7, p.
245–274, 2002.
ARTIGUE, M. Learning mathematics in a CAS environment: the genesis of a
reflection about instrumentation and the dialectics between technical and conceptual
work. In: P., KENT (ed.) Proceedings of the 2nd. biennial symposium of the
Computer Algebra in Mathematics Education Group, 2. Disponível em:
<http://ltsn.mathstore.ac.uk/came/events/freudenthal/1-Presentation-Artigue.pdf>.
Acesso em: 12 mar. 2001.
ARTIGUE, M. Ingénierie didactique. Recherches en didactique des mathématiques,
vol. 9, n°3, pp.281-307, 1990.
ARTIGUE, M.; ROGALSKI, M. Enseigner autrement les equations differentielles en
DEUG. In: Enseigner Autrement les mathemaiques en DEUG A premiere année.
Brochure de la commission NTERr-IREM. França: IREM, 1990.
AZZOLINI, A. A noção de função quadrática na transição entre os ensinos
fundamental, médio e superior. 176 f. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática) — UNIBAN, São Paulo, 2012.
244
BARDY et al. Un ensemble d’enquêtes en deug à vannes. In : DORIER, J. L.
L’enseignement de l’algèbre linéaire en question. 1993. Grenoble: La Pensée
Sauvage. a IX école d’été de didactique des mathématiques. Houlgate. França:
[S.n.], 1997.
BATTIE, V. Spécificités et potentialités de l'arithmétique élémentaire pour
l'apprentissage du raisonnement mathématique. Thèse (Doctorat)- l'Université Denis
Diderot, Paris 7, 2003.
BEHAJ, A. La structuration du savoir. In: DORIER, J. L. et al. L’enseignement de
l’algébre lineaire en question. França: La Pensée Sauvage Éditions, 1997.
BERGER, M. The functional use of a mathematical sign. Educational Studies in
Mathematics, v. 55, p. 81-102, 2004.
BORASI, R. Reconceiving mathematics instrutions: A focus of erros. EUA: Ablex
Publishing Coorporations. 1996.
BORTOLOTI, R.M. et al. Analysis of answers of mathematics undergradutate
students about functions. In: PINTO, M. F.; KAWASAKI, T.F. (Eds.). PROCEEDINGS
OF THE 34TH CONFERENCE OF THE INTERNATIONAL GROUP FOR THE
PSYCHOLOGY OF MATHEMATICS EDUCATION, 34. Belo Horizonte: PME, 2010.
BOSCH, M., FONSECA, C., GASCON, J. A Incompletud de las organizaciones
matematicas locales en las instituciones escolares. Recherches en Didactique des
Mathématiques, Paris, v. 24, n.2-3, p.205-250, 2004.
BOSCH, M.; CHEVALLARD, Y. La sensibilité de l'activité mathématique aux
ostensifs. Objet d'étude etproblématique. Recherches en Didactique des
mathématiques,Paris, v. 19, n. 1, p. 77-123, 1999.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação. Catálogo do programa Nacional
do Livro para o Ensino Médio PNLEM/2011: Matemática. Brasília: MEC, 2010.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Básica. Orientações
Curriculares Nacionais para o Ensino Médio: Ciências da Natureza Matemática e
suas tecnologias. Brasília: MEC/SEB, 2006. V. 2.
245
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio +: Ciências da Natureza e suas
tecnologias. Brasília: MEC/SEMTEC, 2005. Disponível em:
<http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/CienciasNatureza.pdf> Acesso em: 25 fev.
2010.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação. Catálogo do programa Nacional
do Livro para o Ensino Médio PNLEM/2005: Matemática. Brasília: MEC, 2004.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
Parâmetros Curriculares Nacionais: Ciências da Natureza Matemática e suas
tecnologias: PCN + Ensino Médio: Orientações Educacionais complementares aos
Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília: MEC/SEMTEC, 2002. .
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília: MEC/ SEMTEC, 2002a.
BRASIL. Lei n. 10.172, de 09 de janeiro de 2001: Plano Nacional de Educação
(PNE). Brasília: Diário Oficial da União, 2001.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio: Parte I: Bases Legais. Brasília:
MEC/SEMTEC, 2000.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Média e Tecnológica.
Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio: Parte III: Ciências da Natureza
Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC/SEMTEC, 2000.
BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros
Curriculares Nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, 1997.
BRASIL. Lei n. 9.394, de 20 de dezembro de 1996: Das Diretrizes e Bases da
Educação Nacional. Brasília: Diário Oficial da União, 1996.
BROUSSEAU, G. Théorie des situations didactiques. Grenoble : La Pensée
Sauvage. 1998.
246
CABELLO, C.A.S. Relações Institucionais para o Ensino da noção de Juros na
Transição Ensino Médio e Ensino Superior. 2010. 162 f. Dissertação (Mestrado em
Educação Matemática) — UNIBAN, São Paulo, 2010.
CASTELA, C. Institutions influencing mathematics students’ private work: a factor of
academic achievement. Educational Studies in Mathematics, Paris, v. 57, p. 33-63,
2004.
CHEVALLARD, Y. Le développement actuel de la TAD: pistes et jalons. Notes pour
un exposé donné le 6 juin 2007 au Séminaire DIDIREM. 2007, p.1-19. Ct. Disponível
em:
<http://yves.chevallard.free.fr/spip/spip/IMG/pdf/TAD_-_Pistes_Jalons__Didirem.pdf> Acesso em: 12 mar. 2001.
CHEVALLARD, Y. Les mathématiques dans les formations universitaires: un schéma
alternative. Notes pour exposé présenté au séminaire. Mathématiques et sciences
humaines de la Faculté des sciences de Luminy, Méditerranée, 2007a.
CHEVALLARD, Y. Rapport au savoir et didactiques. Paris: Éditions Fabert, 2003.
CHEVALLARD, Y. Organiser l’étude: 1. Structures & fonctions: Actes XIe école d’été
de didactique des mathématiques. Grenoble: La Pensée Sauvage, 2002.
CHEVALLARD, Y. Organiser l’étude: 3. Ecologie & regulation: Actes XIe école d’été
de didactique des mathématiques. Grenoble: La Pensée Sauvage, 2002a.
CHEVALLARD, Y. Analyse des pratiques enseignantes et didactique des
mathématiques: l’approche anthropologique. Cours donné à l’université d’été
Analyse des pratiques enseignantes et didactique des mathématiques, La Rochelle,
4-11 juillet 1998 ; paru dans les actes de cette université d’été, IREM de ClermontFerrand, p. 91-120.1998.
CHEVALLARD, Y. Ostensifs et non-ostensifs dans l’activité mathématique. Actes du
Séminaire de l’Associazione Mathesis pour l’année. [S.l.]: [S.n.], 1993-1994.
CHEVALLARD, Y. Concepts fondamentaux de la didactique: perspectives apportées
par une approche anthropologique . Recherches en didactique des mathématiques.
Grenoble : La Pensée Sauvage, 1992.
247
COSTA, M. C. Possibilidade de articulação dos ostensivos e não ostensivos no
ensino da noção de sistemas de duas equações lineares e duas incógnitas. 2008.
179 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) — Uniban, São Paulo,
2008.
CURY, H.N. Análise de erros: O que podemos aprender com as respostas dos
alunos. Belo Horizonte. Autêntica. 2007.
DANTE, L. R. Matemática: Contexto e Aplicações. São Paulo : Ática, 2010. V.1.
DIAS M. A.; CAMPOS, T. M. M.; PIETROPAOLO R. C. Possibilities for
articulationsamong different representations of the notion of affine function. In: THE
INTERNATIONAL CONGRESS ON MATHEMATICAL EDUCATION — ICME, 11.,
2008, Monterrey: [S.n.], 2008. (no prelo).
DIAS, M. A. et al. As articulações necessárias para trabalhar os conceitos
matemáticos nas diferentes etapas da escolaridade. In: ENCONTRO NACIONAL DE
APRENDIZAGEM SIGNIFICATIVA, 1., 2005, Campo Grande. Anais...Campo
Grande, UCDB: Programa de Mestrado em Educação, 2005.
DIAS, M. A. et al. Níveis de conhecimento esperado dos estudantes e flexibilidade
cognitiva: A noção intuitiva de conjunto e o conceito de função. In: ENCONTRO
BAIANO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA,11., 2005, Salvador. Anais.... Salvador:
[S.n], 2005. CD-ROM.
DIAS, M. A. Problèmes d’articulation entre points de vue “cartésien” et
“paramétrique”dans l’enseignement de l’algèbre linéaire. 1998. 510 f. Thèse
(Doctorat en Mathematiques) — Université Paris VII, 1998.
DIAS, M. A. Problèmes d’ articulation entre différents systems de representations
symboliques en algebra linéaire. 1995. In: DORIER, J. L. et al. L’enseignement de
l’algébre lineaire en question. França: La Pensée Sauvage Éditions, 1997.
DORIER, J. L. Interations enre recherches en histoire et en didactique des
mathématiques pour l’élaboration d’une refléxion épistémologique sur les questions
d’enseignement et d’apprentissage: l’exemple de l’algèbre linéaire. Note de synthèse
de l’habilitation à diriger des recherches. Grenoble: Université de Grenoble, 1997.
248
DORIER, J. L. État de l’Art de la recherche en didactique. A propos de
l’enseignement de l’Algèbre Linéaire à l’université. Recherches en Didactique des
Mathématiques.França, v.18, n. 2, p. 191-230, 1998.
DORIER, J. L. Première approches pou l’étude de I’enseignement de I’algèbre
linéaire à I’Universite: Annales de Didactique et de Sciences Cognitives. Strasbourg:
IREM, 1993.
DORIER, J. L. Contribuition à l’étude de l’enseignement à l’université des premiers
concepts d’algèbre linéaire: Approches historique et didactique. 1990. 520 f. Thèse
(Doctorat) - l’Université J. Fourier, GrenobleI, 1990.
DORIER, J.L. ROBERT, A., ROBINET, J., ROGALSKI, M. L’enseignement de
l’algèbre linéaire en DEUG première année, essai d’évaluation d’une engénierie
longue et questions. In: Vingt ans de Didactique des Mathématiques en France.
Grenoble, La pensée Sauvage, p.328-342. 1994.
DORIER, J.L. ROBERT, A., ROBINET, J., ROGALSKI, M. The teaching of linear
algebra in first year of French science university. In: Proceeding of the 18 th
conference of international group for the Psychology of Mathematics Education.
Lisboa, v.4, p.137-144. 1994a.
DORIER, J.L; COPPÈ, S.; YAVUZ, I.De l1usage dês tableaux de valeurs ET dês
tableaux de variations dans l’enseignement. De La notion de fonction em France em
second. Recherches em didactique des mathématiques, France, v. 27, n. 2, p. 151186, 2007.
DORIER, J. L. et al. Teaching Linear Algebra at University. ICM – INTERNATIONAL
CONGRESS OF MATHEMATICIANS, 2002, Beijin, Anais… Beijin: [S.n.], 2002.
DORIER, J. L. et al. Epistemological Analysis of the Genesis of the Theory of Vector
Spaces: On the Teaching of Linear Algebra. France: Kluwer Academic Publishers,
2002a.
DORIER, J. L. et al. L’enseignement de l’algèbre linéaire en question. Grenoble: La
Pensée.Sauvage, 1997.
DOUADY, R. Des apports de la didactique des mathématiques à l’enseignement.
Repères, IREM, [S.l.], n. 6, p.132-158, 1992.
249
DOUADY, R.. Jeux de cadre et dialectique outil objet dans l’enseignement des
mathématiques. Thèse (Doctorat) — Université de Paris VII, Paris, 1984.
DREYFUS, T. Why Johnny can’t prove. Educational Studies in Mathematics, [S.l.], v.
38, p.85-109, 1999.
DUBINSKY, E. Action, Processus, Objet, Schéma 1991. In : GUEUDET, G. La
transition secondaire-supérieur : différents regards, différentes vues. Intervention au
Centre de Didactique Supérieur. Liège : Université de Liège, 2008b.
DURAND-GUERRIER, V.; ARSAC, G. Méthodes de raisonnement et leurs
modélisations logiques. Spécificité de l’analyse. Quelles implications didactiques?
Recherches en Didactique des Mathématiques, Paris, v. 23, n. 3, p. 295-342, 2003.
DUVAL, R. Sémiosis et pensée humaine. Peter Lang, Paris.1995.
DUVAL, R. Registre de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la
pensée, Annales de Didactiques et de Sciences Cognitives, Strasbourg, v.5, p.37-65,
1993.
EGIN, M. et al. Using the table of values in teaching notion of function. In: PINTO, M.
F.; KAWASAKI, T.F. (Eds.). PROCEEDINGS OF THE 34TH CONFERENCE OF THE
INTERNATIONAL GROUP FOR THE PSYCHOLOGY OF MATHEMATICS
EDUCATION, 34., Belo Horizonte: PME, 2010.
ENADE. Disponível em: <http://enade.inep.gov.br> Acesso em: 15 set. 2011.
ENEM. PORTAL Ministério da Educação. Disponível em:
<http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=12371&Ite
mid=582>. Acesso em: 12 nov. 2010.
ENEM. Disponível em: <http://enem.inep.gov.br> Acesso em: 15 set. 2011.
FARO, S. D. Os conhecimentos supostos disponíveis na transição entre o ensino
médio e o ensino superior: o caso da noção de sistemas de equações lineares.
2010. 224 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) – Uniban, São Paulo,
2010.
250
GRAY et al. On part d’un ensemble de propriétés qui vont être utilisées pour
construire un objet et déduire d ’autres propriétés de cet objet. In: La Transition
secondaire-supérieur: différents regards, différentes vues. Intervention au Centre de
Didactique Supérieur. Liège: Université de Liège, 2008b.
GEROFSKY, S. Teaching polynomial functions through gesture, movement and
sound. In: PINTO, M. F.; KAWASAKI, T.F. (Eds.). PROCEEDINGS OF THE 34TH
CONFERENCE OF THE INTERNATIONAL GROUP FOR THE PSYCHOLOGY OF
MATHEMATICS EDUCAT ION, 34., Belo Horizonte: PME, 2010.
GONZÁLES, M. et al. The Os Series In The Textbooks: A Meaningful Introdution? In:
TZEKAKI, M., KALDRIMIDOU, M., SAKONIDIS, H. (Eds). PROCEEDINGS OF THE
33RD CONFERENCE OF THE INTERNATIONAL GROUP FOR THE PSYCHOLOGY
OF MATHEMATICS EDUCATION, 33., [S.l.], v. 3, p. 105-112, 2009.
GOUVEIA, J. Estudo de intervalo sobre IR² a partir de situações contextualizadas ao
ensino médio e superior. 2007. 231 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências
e Matemática) — UNICSUL, São Paulo, 2007.
GUEUDET, G. Investigating secondary-tertiary transition. Educational Studies in
Mathematics, [S.l.], v. 67, n. 3, p. 237-254, 2008.
GUEUDET, G. La transition secondaire-supérieur: différents regards, différentes
vues: Intervention au Centre de Didactique Supérieur. Liège : Université de Liège,
2008a.
GUEUDET, G. Emploi de Mathenpoche et apprentissage. Repères IREM, v.66, p. 525, 2007.
GUEUDET, G.. Rôle du géométrique dans l'enseignement et l'apprentissage de
l'algèbre linéaire. 2000. Thèse (Doctorat) - l'Université Joseph Fourier, Grenoble,
2000.
GUEUDET G.; TROUCHE L. Vers de nouveaux systèmes documentaires dês
professeurs de mathématiques. In: BLOCH, I.; CONNE, F. In: ECOLE D'ÉTÉ DE
DIDACTIQUE DES MATHÉMATIQUES — ARDM.14e., França. Actes… Grenoble:
La Pensée Souvage Éditions, 2007.
GUIDORIZZI. Um curso de cálculo. 5.ed. São Paulo: LTC, 2001. V. 1.
251
HAREL, G. Sur trois principes d’apprentissage et d’enseignement: le cas de l’algèbre
linéaire. In : DORIER, J. L. L’enseignement de l’algèbre linéaire en question.
Grenoble: La Pensée Sauvage, 1997.
HILLEL, J. Des niveaux de description et du problème de la représentation en
algèbre linéaire. In: DORIER, J. L. L’enseignement de l’algèbre linéaire en question.
Grenoble: La Pensée Sauvage, 1997.
HILLEL, J.; SIERPINSKA, A. On one persistent mistake in linear algebra. In:
Proceedings pf the XVIII International Conference pf PME, v. II, Portugal, p. 6572.1994.
IMAFUKU, R. S. Sobre a passagem do estudo de função de uma variável real para o
caso de duas variáveis. 2008. 186 f. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática) — PUC, São Paulo, 2008.
ROBINET. J. Les réeles: quels modeles em ont lês eleves?, Cahiers de
Mathématiques, n. 21, Paris-Sud, 1990.
JAMMAL, E. F. Os ostensivos e não ostensivos utilizados no estudo das noções de
ponto e reta no plano no ensino médio. 244 f. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática) — Uniban, São Paulo, 2011.
KIDRON, I., Concept definition concept image, and the notion of infinite sum in old
and new environments. In: PROCEEDINGS OF THE 26YH CONFERENCE OF THE
INTERNATIONAL GROUP FOR PSYCHOLOGY OF MATHEMATICS EDUCATION,
26., Norwich (UK): [S.n.], 2002.
LARSON, L. C. Problem-Solving Trough Problems, Springer. [S.l.]: [S.n.], 1983.
LEBESGUE. H. La mesure des grandeurs. (Monografie de L’Enseignement
mathématique)- [S.l.], 1956.
LEGRAND, M. Le débat scientifique em cours de mathématiques. In: ENSEIGNER
AUTREMENT LES MATHEMATIQUES EM DEUG A PREMIÈRE ANNÉE. Brochure
de la commission INTER-IREM. França: IREM, 1990.
LIMA, E. L. et. al. A Matemática no Ensino Médio. Rio de Janeiro: Sociedade
Brasileira de Matemática, 2006. V. 1.
252
MAIA, D. Função Quadrática: um estudo didático de uma abordagem computacional.
2006. 141 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) - PUC, São Paulo,
2006.
MAMONA, J. Sequences and series – Sequences and functions: Students’
confusions. International Journal of Mathematical Education in Science and
Technology, [S.l], v. 21, p. 333-337, 1990.
MARIANI, R.C.P. Transição da educação básica para o ensino superior: a
coordenação de registros de representação e os conhecimentos mobilizados pelos
alunos no curso de cálculo. 2006. 233 f. Dissertação (Mestrado em Educação
Matemática) – PUC, São Paulo, 2006.
MOREIRA, M. A. Aprendizaje significativo critico. Indivisa, Boletin de Estúdios e
Investigación, Lisboa, n. 6, p. 83-101, 2005.
NARDI, E.; IANNONE, P. To appear and to be: acquiring the « genre speech » of
university mathematics, In: BOSCH, M., PROCEEDINGS OF THE FOURTH
CONGRESS OF THE EUROPEAN SOCIETY FOR RESEARCH IN MATHEMATICS
EDUCATION CERME, 4., San Feliu de Guixols, Espagne, 2005.
PIAGET, J., GARCIA, R. Psychogenesis and the history of science. New York:
Columbia University Press, 1983.
ROGALSKI, M. 2 brochures: Comment chercher une primitive?, et Comment étudier
la convergence d’une suite réelle, Université de Lille 1, UFR de Mathématiques.
1990.
ROGALSKI, M. Les nombres Reels: Comment em faire parler en T.D. avant de les
enseigner en cours? In: ENSEIGNER AUTREMENT LES MATHEMATIQUES EM
DEUG A PREMIÈRE ANNÉE. Brochure de la commission INTER-IREM. França:
IREM, 1990.
ROGALSKI, M. Quels etudiant, quels objectifis d’enseignement? In: ENSEIGNER
AUTREMENT LES MATHEMATIQUES EM DEUG A PREMIÈRE ANNÉE. Brochure
de la commission INTER-IREM.. França: IREM, 1990.
NASSER, L. The performance of calculus’ students in graphs. In: PINTO, M. F.;
KAWASAKI, T.F. (Eds.). PROCEEDINGS OF THE 34TH CONFERENCE OF THE
INTERNATIONAL GROUP FOR THE PSYCHOLOGY OF MATHEMATICS EDUCAT
ION, 34., Belo Horizonte: PME, 2010.
253
PAVLOPOULOUl, K. Des niveaux de description du problème de la représentation
en algèbre linéaire. In: DORIER, J. L. L’enseignement de l’algèbre linéaire en
question. Grenoble: La Pensée Sauvage, 1997.
PINTO, A. R. et al. Manual de normalização de trabalhos acadêmicos. 2011.
Disponível em:<http://www.bbt.ufv.br/>. Acesso em: 02 jul. 2012.
PINTO, N.B. O erro como estratégia Didática: estudo do erro no ensino da
matemática elementar. Campinas. Papirus. 2000.
PIRES, R. F. O uso da modelação matemática na construção do conceito de função.
2009. 176 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) — PUC, São Paulo,
2009.
PLANO de Ensino Fundação Santo André. Disponível em:
<http://www.fsa.br/conteudo/index> Acesso em: 09 jul. 2009.
PLANO de Ensino IME – USP. Disponível em:
<http://www.ime.usp.br/mat/licenciatura/projeto-pedagogico> Acesso em:
10 ago. 2010.
PLANO de Ensino Mackenzie. Disponível em:
<http://mackenzie.br/12432.html> Acesso em: 19 nov. 2010.
PLANO de Ensino UNICAMP. Disponível em:
<http://www.ime.unicamp.br/ma111/ > Acesso em: 10 ago. 2010.
PLANO de Ensino Universidade De Brasília UNB. Disponível em:
<http://www.mat.unb.br//index.php?option=com_content&task=view&i> Acesso em:
09 jul. 2009.
POLYA, G. Comment poser et résoudre un problem, Dunod, Paris. 1965.
REIS, A. M. (2010). Uma proposta dinâmica para o ensino de função afim a partir de
erros dos alunos no primeiro ano do Ensino Médio. 2010. 171 f. Dissertação
(Mestrado em Educação Matemática) — PUC, São Paulo, 2010.
REY, B. et al. Les caractéristiques des savoirs enseignés dans les universités et les
hautes écoles. Bruxelles: Université Libre de Bruxelles/Service des Sciences de
l'Education, 2003.
254
ROBERT, A. Outils d’analyse des contenus mathématiques à enseigner au lycée et
à l’université. Recherches en Didactique des Mathématiques, [S.l.], v. 18, n. 2, p.139190, 1998.
ROBERT, A. Quelques outils d’analyse épistemologique et didactique de
connaissances mathématiques à enseigner au lycée et à l’université. Actes de la IX
école d’ete de didactique dês mathématiques. França: Houlgate, 1997.
ROBERT, A. Rapports Enseignement-aprentissage (Débuts de l’analyse sur IR)
Cahiers de Recherches en Didactique des Mathématiques, Paris, n. 180 et 181,
1990.
ROBERT A., ROGALSKI J., SAMURCAY R. Enseigner des méthodes, Cahiers de
Didactique des Mathématiques, Paris, n. 38, 1990.
ROBERT A., TENAUD I. Une experience d’enseignement de la géométrie en
terminale. Cahiers de Recherches en Didactique des Mathématiques, Paris, n. 9.1,
p. 31-70. 1989.
ROGALSKI, J. Enseignement de méthodes de programmation dans l’initiation à
l’informatique. In: COLLOQUE FRANCOPHONE DE DIDACTIQUE DE
L’INFORMATIQUE, 1., [S.l.]: l’EPI éditeur, 1989.
ROGALSKI, M. et al. Actes de la journée en hommage à Régine Douady. Organisée
par l´équipe Didirem. DIDIREM. França, 2001.
ROGALSKI, M. Notas du seminaire à São Paulo. [S.l.] : [S.n.], 1995.
ROGALSKI. M. 2 brochures: Comment chercher une primitive?, et Comment étudier
la convergence d’une suite réelle, Université de Lille 1, UFR de Mathématiques.
1990.
ROGALSKI. M. Les nombres Reels: Comment em faire parler en T.D. avant de les
enseigner en cours? In: ENSEIGNER AUTREMENT LES MATHEMATIQUES EM
DEUG A PREMIÈRE ANNÉE. Brochure de la commission INTER-IREM. França:
IREM, 1990.
ROGALSKI. M. Quels etudiants, quels objectifis d’enseignement? In: ENSEIGNER
AUTREMENT LES MATHEMATIQUES EM DEUG A PREMIÈRE ANNÉE. Brochure
de la commission INTER-IREM.. França: IREM, 1990.
255
SANTOS, A. S. Ambiente informatizado: para o aprofundamento da função
quadrática por alunos da 2ª série do Ensino Médio. 2009. 162 f. Dissertação
(Mestrado Mestrado em Educação Matemática) — PUC, São Paulo, 2009.
SÃO PAULO Secretaria de Estado da Educação. Coordenadoria de Estudos e
Normas Pedagógicas. Caderno do professor da Proposta Curricular do Estado de
São Paulo. 2. ed. São Paulo: SEE/CENP, 2010.
SÃO PAULO. Relatório Pedagógico 2009 SARESP: Matemática. São Paulo: SEE,
2010.
SÃO PAULO Secretaria de Estado da Educação. Coordenadoria de Estudos e
Normas Pedagógicas. Caderno do professor da Proposta Curricular do Estado de
São Paulo. 2. ed. São Paulo: SEE/CENP, 2008.
SÃO PAULO. Secretaria de Estado da Educação. Coordenadoria de Estudos e
Normas Pedagógicas. Proposta Curricular do Estado de São Paulo. São Paulo:
SEE/CENP, 2008.
SÃO PAULO Secretaria da Educação. Coordenadoria de Estudos e Normas
Pedagógicas. Proposta Curricular para o ensino de matemática: 2º grau. 3. ed. São
Paulo: SE/CENP, 1992.
SCANO, F. C. Função afim: uma sequência didática envolvendo atividades com
geogebra. 2009. 150 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) — PUC,
São Paulo, 2009.
SCHOENFELD, A. H. Mathematical Problem Solving. [S.l.]: Academic Press, 1988.
SCHOENFELD, A. H. Teaching Problem Solving skills. Amer. Math. Monthly, v.87, p.
794-805. 1980
SIERPINSKA, A. et al. A propos de trois modes de raisonnement en algèbre linéaire.
In : DORIER, J. L. L’enseignement de l’algèbre linéaire en question.. Grenoble: La
Pensée Sauvage, 1997.
SILVA L. M. O tratamento dado ao conceito de função em livros didáticos da
Educação Básica. 2010. 186 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) —
PUC, São Paulo, 2010.
256
SIMIÃO, F. A noção de matriz na transição entre o ensino médio e o superior. 2010.
263 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) — UNIBAN, São Paulo,
2010.
SOUZA, C. V. A função exponencial no caderno do professor 2008 da Secretaria do
Estado de São Paulo, análise de atividades realizadas por alunos da segunda série
do Ensino Médio. 2010. 179 f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) —
PUC, São Paulo, 2010.
STEWART, J. Cálculo. São Paulo. Cengage Learning, 2011.
STOCCO, K. S.; DINIZ, M. I. Matemática: Ensino Médio. 6.ed. São Paulo: Saraiva,
2010.
VESTIBULARES anteriores UNICAMP. Disponível em:
<http://www.comvest.unicamp.br/vest_anteriores/vest_ant.html> Acesso em: 05 dez.
2010.
VESTIBULARES anteriores FUVEST. Disponível em:
< http://www.fuvest.br/vest2011/provas/provas.stm> Acesso em: 05 dez. 2010.
257
ANEXOS
ANEXO A – Questionário de informações sobre as práticas institucionais associadas
à noção de função exponencial e logarítmica no Ensino Médio e Superior.
Questionário de informações sobre as práticas institucionais associadas à noção de
função exponencial e logarítmica no Ensino Médio e Superior.
1) Você atua em que níveis:
a)
Médio;
b)
Superior;
c)
Médio e Superior.
d)
Outros
2)
Você introduz a noção de função exponencial e/ou logarítmica ou apenas
utiliza essas funções no desenvolvimento de outros conteúdos matemáticos que as
envolvam?
(
3)
) Sim
(
) Não
Dadas as definições abaixo de função exponencial, qual você escolheria para
definir essa noção com os seus estudantes? Justifique.
Definição 1:
Revisão de potenciação
Potência com expoente natural: Dados um número real positivo a e um número
natural diferente de zero, chama-se potência de base a e expoente n o número an
que é igual ao produto de n fatores iguais a a : an= a.a.a.a...a
Potência com expoente inteiro: Como a igualdade a0.a1 = a0+1 deve ser válida,
teremos a0 = 1. Assim, a única possibilidade que temos é definir a 0 = 1, com a ≠
0.Em seguida, dado qualquer n
N*, devemos ter, para a ≠ 0: a-n.an = a-n + n = a0 = 1.
Portanto a-n.an = 1, ou seja, a n 
1
an
.
258
Potência com expoente racional:
um número real positivo cuja n-ésima potência
é igual a a. Pela definição de raiz, esse número é
, a raiz n-ésima de a. Logo:
=
com a real positivo e n = 2,3,4,...
Potência com expoente irracional: A potência ax, com x irracional e a real positivo
é determinada por meio de aproximações de racionais. Em geral, para isso
utilizamos uma calculadora científica. Exemplo:
racionais do número irracional
2 , que são:
. Tomamos as aproximações
1; 1,4; 1,41; 1,414;... e temos
definidas as potências com expoente racional 21, 21,4, 21,41, 21,414....
A medida que 1; 1,4; 1,41; 1,414;... se aproximam de
se aproximam de 2
2
2 e
21, 21,4, 21,41, 21,414,
.
Usando a calculadora, obtemos: 21 = 2, 21,4 = 2,639015, 21,41 = 2,657371, 21,414 =
2,664749; ...;
= 2,665144...
Obtemos assim, por aproximação de racionais, a potência ax, com x irracional e a
real positivo.
Potência com expoente real: Basta lembrar que os números reais resultam da
reunião dos números racionais com os números irracionais, portanto, as potências
com números reais correspondem aos dois últimos casos acima.
Definição de função exponencial: Dado um número real a (a> 0 e a ≠ 1)
denomina-se função exponencial de base a a uma função de f de
IR em IR*
definida por f(x) = ax ou y =ax .
Definição 2:
Definição de função exponencial: A função f ,de IR em IR, que a cada número x
associa o número ax, a>0 e a≠1, é denominada função exponencial de base a. f :
com a> 0 e a ≠ 1
Na seqüência apresentar a seguinte revisão de potenciação:
Potência de expoente negativo: Por exemplo, 3 2 
a n 
1
, com a ≠ 0.
an
Potência
3
1 1

. De modo geral,
32 9
com
expoente
fracionário
ou
racional:
Por
exemplo:
m
2 2  2 2 3  8  2 2 . De modo geral, a n  n a m , para a > 0 , m Z e n  N*.
259
Potência com expoente irracional: para determiná-la devemos considerar
potências de expoentes racionais e fazer aproximações por falta e excesso.
Exemplo: 2
2
tem expoente irracional e, para chegar ao seu valor, devemos
considerar as potências de expoentes racionais. Tomando valores racionais
aproximados de
2 , por falta e por excesso, temos: por falta: 1; 1,4; 1,41; 1,414;...
por excesso 2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143... Construímos, então, as sequências .2 1,
21,4, 21,41, 21,414... e 22, 21,5, 21,42, 21,415. Os valores dessas potências tendem para um
único valor, que é definido por
4)
2 2 = 21,414..
Que material didático você utiliza no seu curso:
a)
Apostila ( )
b)
Caderno da nova proposta do ensino público ( )
c)
Livro didático Quais? ____________________________________
d)
Material próprio.
e)
Outros.
5)
Qual?____________________________________
Que material didático você utiliza para avaliação:
a)
Apostila ( )
Qual?_____________________________________
b)
Caderno da nova proposta do ensino público ( )
c)
Livro didático Qual?____________________________________
d)
Macro-avaliações (FUVEST, ENADE, SARESP, ENEM, etc) ( )
Quais? ___________________________________________________
e)
6)
Outros.
Seus alunos podem utilizar calculadora em:
a)
aula;
b)
prova;
c)
aula e prova;
d)
nem aula, nem prova.
Que tipo de calculadora:
260
7)
Quantas aulas você utiliza para desenvolver a noção de função exponencial?
Você define logaritmo e função logarítmica?
8)
Escolha os tipos de exercícios você trabalha com seus estudantes:
- reconhecimento de uma função exponencial;
- construção e interpretação do gráfico da função exponencial;
- situações contextualizadas envolvendo a noção de função exponencial;
- calcular o valor numérico para funções com base natural positiva e expoentes
inteiros;
- calcular o valor numérico para funções com base racional e irracional positiva e
diferente da unidade e expoentes racionais e/ou irracionais;
- relação entre função exponencial, progressão geométrica e juros compostos;
- definição de logaritmo;
- definição e propriedades de logaritmos;
- função logarítmica e sua representação gráfica;
- limite, derivada e integral envolvendo funções exponenciais e logarítmicas.
- Outros
9)
O que você supõe conhecido, o que deve ser introduzido e o que é preciso
consolidar no início do ensino superior quando se deseja utilizar a noção de função
exponencial? (apenas para professores do ensino médio)
10)
O que você supõe conhecido, o que deve ser introduzido e o que é preciso
consolidar no início do ensino superior quando se deseja utilizar a noção de função
exponencial? (apenas para professores do ensino superior)
11)
Por quais motivos você não trabalha ou não trabalharia a noção de função
exponencial e/ou logarítmica ?
261
ANEXO B – Exemplo Vestibular FUVEST 2011
Seja f(x) = a+2bx+c, em que a, b e c são números reais. A imagem
de f é a semireta ]–1,
[
e o gráfico de f intercepta os eixos coordenados nos pontos
(1, 0) e (0, -3/4). Então o produto a.b.c vale:
a) 4
b) 2
c) 0
d) –2
e) –4
Figura 25 - Exemplo Vestibular FUVEST 2011.
Fonte: FUVEST –1 ª fase (2011).
262
ANEXO C - Resposta questão vestibular FUVEST 2011 - º fase
Figura 26 - Resposta do cursinho da Poli da questão vestibular.
Fonte: FUVEST – 1ª fase (2011).
263
Figura 27 - Resposta do cursinho Objetivo da questão vestibular.
Fonte: FUVEST – 1ª fase (2011).
264
ANEXO D - Questão 9 2º Fase UNICAMP 2003
Resposta esperada, resposta acima e resposta abaixo da média
Figura 28 - Resposta esperada da questão 9.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2003).
Figura 29 - Resposta acima da média da questão 9.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2003).
265
Figura 30 - Resposta abaixo da média da questão 9.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2003).
266
ANEXO E - Questão 7 2º Fase UNICAMP 2004
Resposta esperada, resposta acima e resposta abaixo da média
Figura 31 - Resposta esperada da questão 7.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2004).
Figura 32 - Resposta acima da média da questão 7.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2004).
267
Figura 33 - Resposta abaixo da média da questão 7.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2004).
268
ANEXO F - Questão 7 2º Fase UNICAMP 2005
Resposta esperada, resposta acima e resposta abaixo da média
Figura 34 - Resposta esperada da questão 7.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2005).
Figura 35 - Resposta acima da média questão 7.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2005).
269
Figura 36 - Resposta abaixo da média questão 7.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2005).
270
ANEXO G - Questão 6 2º Fase UNICAMP 2006
Resposta esperada, resposta acima e resposta abaixo da média
Figura 37 - Resposta esperada questão 6.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2006)
Figura 38 - Resposta acima da média questão 6.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2006).
271
Figura 39 - Resposta abaixo da média questão 6.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2006).
272
ANEXO H - Questão 10 2º Fase UNICAMP 2007
Resposta esperada, resposta acima e resposta abaixo da média
Figura 40 - Resposta esperada questão 10.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2007).
Figura 41 - Resposta acima da média da questão 10.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2007).
273
Figura 42 - Resposta abaixo da média da questão 10.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2º fase (2007).
274
ANEXO I - Questão 07 2º Fase UNICAMP 2009
Resposta esperada, resposta acima e resposta abaixo da média
Figura 43 - Resposta esperada questão 7.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2009).
Figura 44 - Resposta acima da média da questão 7.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2009).
275
Figura 45 - Resposta abaixo da média da questão 7.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2009).
276
ANEXO J - Questão 07 2º Fase UNICAMP 2010
Resposta esperada, resposta acima e resposta abaixo da média
Figura 46 - Resposta esperada da questão 7.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2010).
Figura 47 - Resposta acima da média da questão 7.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2010).
277
Figura 48 - Resposta abaixo da média da questão 7.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2010).
278
ANEXO K - Questão 12 2º Fase UNICAMP 2010
Resposta esperada, resposta acima e resposta abaixo da média
Figura 49 - Resposta esperada da questão 12.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2010).
Figura 50 - Resposta acima da média da questão 12.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2010).
279
Figura 51 - Resposta abaixo da média da questão 12.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2010).
280
ANEXO L - Questão 17 2º Fase UNICAMP 2011
Resposta esperada, resposta acima e resposta abaixo da média
Figura 52 - Resposta esperada da questão 17.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2011).
Figura 53 - Resposta acima da media da questão 17.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2011).
281
Figura 54 - Resposta abaixo da media da questão 17.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2011).
282
ANEXO M - Questão 21 2º Fase UNICAMP 2011
Resposta esperada, resposta acima e resposta abaixo da média
Figura 55 - Resposta esperada da questão 21.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2011).
Figura 56 - Resposta acima da média da questão 21.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2011).
283
Figura 57 - Resposta abaixo da média da questão 21.
Fonte: Prova comentada UNICAMP – 2ª fase (2011).
284
ANEXO N – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Título da Pesquisa: “AS POSSÍVEIS ARTICULAÇÕES DAS NOÇÕES DE FUNÇÃO EXPONENCIAL
NA TRANSIÇÃO ENSINO MÉDIO E SUPERIOR”
Pesquisadora: Sirlene Neves de Andrade
Orientadora: Marlene Alves Dias
O sra (sr.)____________________________________________ está sendo convidada (o) a
participar desta pesquisa que tem como objetivo é estudar a noção de função exponencial na
transição entre o Ensino Médio e o Ensino Superior para compreender os diferentes processos de
estudo e ajuda ao estudo que sobrevivem e se reconstroem atualmente nessas etapas escolares.
Pretende-se, com isto, possibilitar que os professores disponham de material para reflexão a fim de
que, quando os mesmos tiverem acesso aos conhecimentos prévios de seus estudantes, possam
realizar escolhas mais conscientes e, assim, conduzir esse processo de maneira satisfatória,
permitindo que os estudantes sejam capazes de mobilizar seus conhecimentos prévios e utilizá-los de
forma disponível quando necessário, podendo, assim, enriquecê-los quando esses são usados como
ferramentas explícitas para a introdução de novos conceitos e novas noções.
Ao participar deste estudo a sra (sr) permitirá que a pesquisadora realize seu trabalho. A sra
(sr.) tem liberdade de se recusar a participar e ainda se recusar a continuar participando em qualquer
fase da pesquisa, sem qualquer prejuízo para a sra (sr.). Sempre que quiser poderá pedir mais
informações sobre a pesquisa através do telefone da pesquisadora do projeto e, se necessário
através do telefone do Comitê de Ética em Pesquisa.
Riscos e desconforto: a participação nesta pesquisa não traz complicações legais. Os
procedimentos adotados nesta pesquisa obedecem aos Critérios da Ética em Pesquisa com Seres
Humanos conforme Resolução no. 196/96 do Conselho Nacional de Saúde. Nenhum dos
procedimentos usados oferece riscos à sua dignidade.
Confidencialidade: todas as informações coletadas neste estudo são estritamente
confidenciais. Somente a pesquisadora e a orientadora terão conhecimento dos dados.
Benefícios: ao participar desta pesquisa a sra (sr.) não terá nenhum benefício direto.
Entretanto, esperamos que este estudo traga informações importantes sobre os conhecimentos
associados à noção de função exponencial supostos disponíveis pelos professores do Ensino Médio
e Superior, de forma que o conhecimento que será construído a partir desta pesquisa possa servir de
apoio para a aplicação dessa mesma noção na introdução de novos conhecimentos matemáticos no
Ensino Superior em função dos conhecimentos prévios dos estudantes. Este estudo será publicado
285
em congressos e revistas nacionais e internacionais e, além disso, o pesquisador se compromete a
divulgar os resultados obtidos aos participantes da pesquisa.
Pagamento: a sra (sr.) não terá nenhum tipo de despesa para participar desta pesquisa, bem
como nada será pago por sua participação.
Após estes esclarecimentos, solicitamos o seu consentimento de forma livre para participar
desta pesquisa. Portanto preencha, por favor, os itens que se seguem: Confiro que recebi cópia deste
termo de consentimento, e autorizo a execução do trabalho de pesquisa e a divulgação dos dados
obtidos neste estudo.
Obs: Não assine esse termo se ainda tiver dúvida a respeito.
Tendo em vista os itens acima apresentados, eu, de forma livre e esclarecida, manifesto meu
consentimento em participar da pesquisa
______________________________
Nome e Assinatura do Participante da Pesquisa
__________________________________
Sirlene Neves de Andrade
___________________________________
Marlene Alves Dias
Pesquisador: Sirlene Neves de Andrade, RG 20. 496. 692, TELEFONE PARA CONTATO: (11) 3442
4242
e-mail: [email protected]
Orientador: Marlene Alves Dias, RG 6.148.297, TELEFONE PARA CONTATO: (11) 5631 9002
e-mail: [email protected]
Telefone da Comissão de Ética: (11) 2972-9000
E-mail: [email protected]