Amintas
engenharia
Noções sobre Vetores
Prof. Amintas Paiva Afonso
Noções sobre Vetores
Espaço Vetorial

# Um conjunto E ( ) onde são definidas as seguintes
operações:
+:ExE
composição interna
composição externa
(x,y)
E
+ (x,y) := x + y
.:xE
E
(,y)

(,x) :=  . x
Noções sobre Vetores
Espaço Vetorial









Para x, y, z  E e ,   , temos as seguintes propriedades:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
viii)
x + y = y + x;
x + ( y + z ) = ( x + y ) + z;
 0  E tal que: x + 0 = x x  E;
Dado x  E, existe (-x)  E tal que: x + (-x) = 0;
(x) = ()x;
(x + y) = x + y;
(+)x = x + x;
1.x = x x  E;
Noções sobre Vetores
Espaço Vetorial


Um conjunto que satisfaz essas propriedades é chamado de
espaço vetorial real.
(E, +, , ) é um quatérnio e E pode ser o próprio .
Noções sobre Vetores
Espaço Vetorial


Qualquer elemento de um espaço vetorial chama-se VETOR.
Exemplos de espaços vetoriais:
 o conjunto os números reais;
 o conjunto dos números complexos;
 o conjunto dos vetores da geometria definidos por meio de
segmentos orientados;
n
 o conjunto das matrizes M
mxn (), o espaço  ;
n
 o espaço C , o conjunto dos polinômios reais de grau  n
Pn();
 o conjunto dos polinômios complexos P (C), etc.
n
Noções sobre Vetores
Espaço Vetorial

Para verificar que um determinado conjunto constitui um espaço
vetorial devemos verificar se ele satisfaz cada uma das oito
propriedades apresentadas.
Noções sobre Vetores
Vetores

Um vetor é uma ficção, uma entidade criada para descrever
“coisas” no mundo que têm direção e sentido.
Que coisas são essas?






o vento;
o fluxo de H2O de um rio;
a emissão puntiforme de luz;
um campo elétrico;
a velocidade de um trem bala;
o movimento dos planetas (aliás, a teoria de Newton não
explica por que os planetas se movem todos num mesmo
sentido), etc.
Noções sobre Vetores
Sistema de Coordenadas
Para bem determinar a posição de um vetor é necessário a escolha de
um sistema de coordenadas.
Sistema de coordenadas retangulares ou cartesianas
Define-se um sistema de coordenadas cartesianas quando é dada uma
unidade linear para medir os comprimentos e dois eixos
perpendiculares ordenados numa ordem qualquer.
y
y’
0
. P(x,y)
x’
x
O ponto P(x,y) significa que o ponto P tem por abscissa o nº x e por ordenada o n.º y.
Noções sobre Vetores
Sistema de coordenadas polares
Um sistema de coordenadas polares é definido quando se dá um
ponto O, chamado pólo, uma semi-reta OA que parte desse ponto O,
chamado eixo polar, e um segmento arbitrário com unidade de
comprimento.
Convém, nesse sistema, definir o sentido positivo de rotação em
redor do ponto O. (Geralmente, é o sentido anti-horário).
P


O
A
Chama-se coordenadas polares de um ponto P qualquer aos números =OP e =ang AOP.
O símbolo P(, ) significa que o ponto P tem coordenadas polares  e .
Noções sobre Vetores
Passagem das coordenas polares para as coordenadas
cartesianas
Sejam (x,y) as coordenadas de um ponto no sistema de coordenadas
cartesianas e (, ) as coordenadas de um ponto no sistema de
coordenadas polares:
x = . cos 
y = . sen 
Noções sobre Vetores
Representação gráfica


A representação gráfica de um vetor é a de uma flecha apontando
para algum lugar.
Propriedades
- direção;
- sentido;
- magnitude.


Grandezas vetoriais: a aceleração, a velocidade e o deslocamento,
força, etc.
Grandezas escalares: a massa, o tempo e a temperatura, densidade,
etc.
Noções sobre Vetores
Representação simbólica

Por convenção, para saber que estamos falando de vetores e não
de variáveis ou outro ente matemático qualquer, designamos o
vetor por uma letra e utilizamos uma flecha sobre a letra.

u

Mas há outras maneiras de representar um vetor. Imagine, por
exemplo, um vetor no plano:
Noções sobre Vetores
Representação simbólica

A sua origem e a sua extremidade podem ser associadas a pontos
no plano xy. Y
B
y2
AB
y1
A
x1
x2
X
Assim, o vetor acima pode ser representado como o segmento orientado e
seu comprimento é dado por B – A. As coordenadas de A são (x1, y1) e as
coordenadas de B são (x2, y2).
Logo, o comprimento do vetor AB é dado por B – A = (x2 - x1 , y2 - y1)
Noções sobre Vetores
Exemplo

Seja

u = [2,2].
Y
B
y2
y1

u
(3,4)
A (1,2)
x1
x2
X
Podemos associar a
o segmento de reta orientado com ponto inicial
A(1,2) e ponto final B(3,4).

u
= B – A = (3-1, 4-2)=(2,2)
Noções sobre Vetores
Operações com vetores 


Considere 2 vetores: u e v .


u
v

u
A resultante
+
paralelogramo”.

v é obtida pela chamada “lei do
Construímos um paralelogramo unindo
 aorigem dos dois
vetores e traçando retas paralelas a u e v a partir de suas
extremidades.
Noções sobre Vetores
Lei do paralelogramo

u
 
u v

v
A lei do paralelogramo foi idéia de Aristóteles quando este
estudava a composição de forças no caso particular do
retângulo.
Noções sobre Vetores

v
Variações

u
 
u v
Mas, além da lei do paralelogramo, a soma de vetores
pode ser obtida unindo-se a extremidade do primeiro vetor
à origem do segundo.
Noções sobre Vetores
Somando mais que dois vetores

d
   
a b c d

a
  
a b c
 

a b
b

c
Noções sobre Vetores


Em termos de suas coordenadas, a soma se dá componente a
componente:

 ( x1 , y1 ) v  ( x2 , y2 ) dois vetores no plano. A
 
 
soma dos vetores u e v é o vetor u  v  ( x1  x2 , y1  y2 ) .

Definição:Sejam u
e
Exemplo:
 


Sejam u  (1,2) e v  (3,4) então, u  v  (1  3,2  (4))  (4,2)
1.ª coordenada
2.ª coordenada
Noções sobre Vetores
Exemplo: Interpretação geométrica
Noções sobre Vetores
Diferença de vetores

 
Representamos o vetor
+ (-1) v por u  v
 
Esse vetor é a diferença de u e v .

u
 
u v

v

u

v
.
Noções sobre Vetores
Produto de um vetor por um escalar

Considere que o vetor w tem a magnitude de uma unidade. Se
multiplicarmos
esse vetor por um número real qualquer, por exemplo, 3, o

vetor w tem sua magnitude aumentada para 3 unidades. A direção é
conservada se o escalar for 0, caso contrário, o vetor assume a direção
oposta.

 2w

w

3w
Noções sobre Vetores
Exemplo

w
Se a = 2, b = -3 e = (1,-2), então:

a.w  2(1,2)  (2,4)
e

b.w  3(1,2)  (3,6)
Noções sobre Vetores
Produto escalar
O produto escalar dos vetores de dimensão n:
a = (a1,a2,...an) e b = (b1,b2,...,bn), é definido por:
n
a.b = a1b1 + a2b2 + ...+ anbn =
a b
i 1
Exemplo
Calcule o produto escalar de
i i


u = (1,-2,3,4) e v = (2,3,-2,1).
 
u . v = 1.2 + (-2).3 + 3.(-2)+ 4.1 = -6
Noções sobre Vetores
Ângulo entre dois vetores
O produto escalar entre dois vetores resulta num número que mede a tendência
de outro vetor apontar na mesma direção e é dado por:
  
u.v  u . v . cos
 
onde  é o ângulo formado por u e v

u


v
.
Noções sobre Vetores
Exemplo


Encontre o ângulo entre os vetores u = (2,4) e v = (-1,2).
  
u.v  u . v . cos
 
u . v = 2.(-1) + 4.2 = 6

u  2 2  4 2  20

v  (1) 2  2 2  5
6
 0,6
Portanto, cos 
20. 5
Usando a calculadora, descobrimos que o ângulo é aproximadamente 53º.
Noções sobre Vetores
Ângulo entre dois vetores

u


v
  
u.v  u . v . cos


u0

Se u .v  0 e
v0
então, cosseno   0
Neste caso, os vetores são perpendiculares entre si.
Noções sobre Vetores
Ângulo entre dois vetores
 


u . v  0  cos   0  u  v
O produto escalar entre dois vetores não nulos é zero se, e só se, o cosseno do
ângulo entre eles é zero e, isto só acontece quando os vetores são perpendiculares .
Exemplo


Os vetores u = (2,-4) e v = (4,2)
são ortogonais, já que:

u.v  2.4  (4).2  0
Noções sobre Vetores
Ângulo entre dois vetores


u
u
=>
  
u.u  u . u . cos
 

Mas,   0 , logo u . u  u
Temos então que:
2
 2
u.u  u
2

u  u

.
u
Noções sobre Vetores
Comprimento ou norma de um vetor
O comprimento, tamanho ou norma de um vetor

2
2
u  x1  y1
y

y1
u
0
x1
x
Além disso, dado um escalar , pertencente a :


.u   . u

u = (x1,y1) é:
Noções sobre Vetores
Desigualdade triangular
A norma da soma de dois vetores é sempre menor ou igual à soma das
normas de cada um dos vetores:
 
 
u v  u  v
Desigualdade de Cauchy-Schwarz-Bunyakowski

 
u.v  u . v
Essa desigualdade é conhecida por Desigualdade de Cauchy-Schwarz em
homenagem a Augustin Cauchy e Hermann Amandus Schwarz. Na
realidade é a desigualdade de Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, mas o
pobre Bunyakovski foi sendo esquecido com o tempo.
Noções sobre Vetores
Eis o Bunyakowski, porque aqui todos merecem ser lembrados.
Noções sobre Vetores
Distância entre dois pontos
Além disso, pelo teorema de Pitágoras, podemos obter comprimento do
segmento orientado com ponto inicial P(x1,y1) e ponto final P(x2,y2):
x2  x1    y2  y1 
P1P2 
2
2
y
P2
y2
y1
0
P1
x1
x2
x
Noções sobre Vetores
Exemplo-1


Se u = (2,-5), então o comprimento de u é dado por:

u  2 2  (5) 2  4  25  29
Exemplo-2
A distância entre P(3,2) e Q(-1,5), ou o comprimento do segmento
orientado PQ é dado por:
PQ  (1  3) 2  (5  2) 2  (4) 2  32  25  5
Noções sobre Vetores
Versor ou Vetor unitário
Um vetor unitário é um vetor de comprimento 1. Se
nulo, então o vetor:

x
 1
u   .x
x
é um vetor unitário com a mesma direção e sentido que
é um vetor não-

x.
Noções sobre Vetores
Exemplo
Seja x = (-3,4). Então:

x  (3) 2  4 2  5
Logo, o vetor
 1
1
 3 4
u   .x   3,4  
 
x
5
 5 5
É um vetor unitário, pois:

9  16
 3  4
u  
1
   
25
 5  5
2
2
Noções sobre Vetores
Ponto médio de um segmento
O ponto médio do segmento de reta P1(x1,y1) a P2(x2,y2) é dado por:
 x1  x2 y1  y2 
M ( x, y )  
,

2 
 2
P2(x2,y2)
P1(x1,y1)
M (x,y)
Noções sobre Vetores
Exemplo
Determine o ponto médio M do segmento P1(-2,3) a P2(4,-2).
  2  4 3  (2)   1 
M ( x, y)  
,
  1, 
2   2
 2
Noções sobre Vetores
Produto vetorial
Diferentemente do produto escalar, que dá como resultado um número, o
produto vetorial tem como resultado, um outro vetor.
Definição: Sejam = a1î + b1ĵ + c1k e = a2î + b2ĵ + c2k dois vetores em 3.
Seu produto vetorial é o vetor x definido por:
i
 
u  v  a1
a2
j
k
b1
b2
c1
c2
Noções sobre Vetores
Produto vetorial
A igualdade anterior também pode ser escrita da seguinte forma:
  b1
u v 
b2
c1
c2
.i 
a1
c1
a2
c2
.j 
a1
b1
a2
b2
.k
Exemplo:
Sejam =2î + j + 2k e = 3î –j – 3k, então:
i
j
k
 
u v  2 1
2  1i  12 j  5k  (1,12,5)
3 1  3
Noções sobre Vetores
Produto vetorial
O produto vetorial de um vetor consigo mesmo não forma ângulo. Eles
são coincidentes. Logo, î x î = j x j = k x k = 0
Por outro lado,
î x j = k;
j x k = î;
k x î = j.
Noções sobre Vetores
Norma do produto vetorial
Vimos que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor ortogonal
ao plano que contém os vetores originais. O comprimento desse
terceiro vetor, ou seja, sua norma, é numericamente igual à área do
paralelogramo formado por esses vetores.
uxv
v
|u x v| = área do
paralelogramo
 
 
u  v  u . v .sen
u
Noções sobre Vetores
Norma do produto vetorial
Quando dois vetores forem paralelos
entre

no plano, então não há ângulo

eles. Neste caso, em que u = λ. v , o produto vetorial u x v = 0.
Já que o produto de dois vetores resulta num terceiro vetor perpendicular
aos vetores originais, como saber a orientação desse vetor? Em outras
palavras: para onde ele aponta?!
Uma regra prática conhecida como “regra da mão direita” estabelece que se posicionarmos o indicador
da mão direita na direção e sentido do vetor u e o dedo médio na direção e sentido de v , o polegar
apontará o sentido do terceiro vetor.
Noções sobre Vetores
Exemplo-1
Calcule a área do paralelogramo ABCD, sendo AB=(1,1,-1) e AD=(2,1,4).
B
A
Área = || AB x AD ||
AB x AD =
i
j
C
D
k
1 1  1  (4  1)i  (4  2) j  (1  2)k  5i  6 j  k  (5,6,1)
2 1 4
Noções sobre Vetores
Exemplo-1) continuação
|| AB x AD || =
25  36  1  62  7,87
Exemplo-2


A medida em radianos do ângulo entre u e v é
Sendo ||
||

u
||=1 e ||

v
||=7, calcule ||
 x  || = ||  ||.||  ||. sen
u v
u
v
=
1
=
1
=
3,5
. 7 . sen 
. 7 . 0,5 6

u
x
.
6

v
||.
Noções sobre Vetores
Produto misto
 
u ,v

e w . O produto misto é o número real
Considere os vetores
obtido como resultado da seguinte operação:
  
u  v .w
O volume do paralelepípedo é dado por :
 
V  u  v.w
Noções sobre Vetores
Exemplo
Calcule o volume de um paralelepípedo definido pelos
vetores:



u = (2,2,0);
=
(0,1,0)
e
w = (-2,-1,-1)
v
 
V  u  v .h
 
V  u  v.w

mas, h=||proj w || 
i
j
k
 
u  v  2  2 0  0i  0 j  2k  (0,0,2)
0 1 0
  
(u  v ).w  (0,0,2).(2,1,1)  0  0  2 
V  2  2
seguintes
Noções sobre Vetores
Título: The Cauchy-Schwarz Master Class : An Introduction to the Art of
Mathematical Inequalities
Autor: J. Michael Steele
Editora: Cambridge University Press
Métodos de Cálculo II

Bibliografia utilizada:





Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person
Education. São Paulo, 1992.
Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São
Paulo, 2006.
Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006.
Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. SpringerVerlag. New York, 1979.
Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of
Mathematics. Dover, 1990.
www.matematiques.com.br
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