Uma introdução aos modelos DEA de
eficiência técnica
Paulo Cesar Tavares Souza (Mestre)
Curso de Matemática – Universidade Tuiuti do Paraná
Volmir Eugênio Wilhelm (Doutor)
Curso de Engenharia de Produção – Universidade Federal do Paraná
Resumo
A publicação do modelo CCR por Abraham Charnes, William Cooper e Edward Rhodes (CHARNES et al.,
1978) é reconhecida como o nascimento dos modelos de Análise de Envoltória de Dados (Data Envelopment
Analysis – DEA), que permite determinar a eficiência de uma unidade produtiva comparativamente às demais,
considerando-se os múltiplos insumos utilizados e os múltiplos produtos gerados. Com o advento de novas
tecnologias, tem-se observado uma profissionalização dada vez maior no setor produtivo. Neste contexto, o
processo de gerenciamento da produção, com maiores informações possibilitam o crescimento da produção a
partir de melhorias no processo produtivo baseadas no gerenciamento de informações. Neste trabalho, iniciamos
com a apresentação dos conceitos básicos de Tecnologia de Produção, onde são destacados alguns axiomas e
propriedades. Na seqüência, são apresentadas as medidas de eficiência técnica que deram sustentação matemática
para os modelos DEA clássicos, seguida de uma apresentação estruturada destes modelos.
Palavras-chave: Eficiência técnica; Produtividade; DEA.
Abstract
The release of the CCR model by Abraham Charnes, William Cooper and Edward Rhodes (CHARNES et al.,
1978) is recognized as the birth of Data Envelopment Analysis (DEA), which allows us to determine productive
unit efficiency compared to the others considering the multiple input used and the multiple generated output.
Along with new technologies, one has observed a higher and higher professionalization in the production
sector. In this context, the production managing process, with more information, makes production growth
possible from production process enhancement based on information management. We start this work with
the presentation of basic concepts of Production Technology, where some propositions and properties are
highlighted. Afterwards the technical efficiency measurements which gave mathematical sustainability to the
classical DEA models are presented, followed by a structured presentation of these models.
Key words: Technical Efficiency; productiveness; DEA.
Introdução
A Análise Envoltória de Dados (DEA – sigla em
inglês de Data Envelopment Analysis) é uma ferramenta
não-paramétrica que avalia a eficiência técnica relativa
de unidades produtivas, chamadas de Unidades
tomadoras de decisão (DMU, da sigla em inglês Decision
Making Units), comparando entidades que realizam
tarefas similares e se diferenciam pela quantidade
de recursos utilizados (inputs) e de bens produzidos
(outputs). DEA é uma ferramenta adequada tanto para
avaliar a eficiência relativa das DMUs quanto para o
estabelecimento de metas para DMUs consideradas
ineficientes. As DMUs são comparadas de acordo com
o conceito de eficiência de Farrel (Forsund, 2002), que
consiste na razão entre a soma ponderada dos outputs y
e a soma ponderada dos inputs x de cada DMU.
As variáveis de decisão são o vetor u, que representa
os pesos relacionados aos outputs y, e o vetor v, que
representa os pesos relacionados aos inputs x. Segundo
Lins et all (2000), a história da Análise Envoltória de
Dados começa com a dissertação para obtenção de
grau de PhD de Edward Rhodes, sob a supervisão W.
W. Cooper, publicada em 1978.
Antes de apresentar as medidas de eficiência
técnica, serão feitas algumas considerações a respeito
de tecnologia de produção uma vez que os axiomas
124
Uma introdução aos modelos DEA de eficiência técnica
e propriedades assumidas pela tecnologia definem o
conjunto de possibilidades de produção e o formato
da fronteira de produção em relação a qual a eficiência
é avaliada.
xj ou que xj pode gerar yj . Färe, Grosskopf e Lovel
(1994) representam formalmente a tecnologia de três
modos:
Grafo de uma tecnologia:
Tecnologia de Produção
GR={(x,y); (x,y)
A tecnologia define o conjunto de possibilidades
de produção ou as relações viáveis entre insumos e
produtos. É através da tecnologia que se expressa o
conjunto de regras, métodos e fórmulas que permitem
aos produtores determinar que combinação de insumos
possa ser utilizada para a obtenção de certo nível de
produto.
Considerando a existência de n planos de produção
(x
(xjj,y, yj)j )∈ ℜs + m definindo duas matrizes:
M = (xi j ), com i = 1,..., m e j = 1,..., n (1)
S= (yr j ), com r = 1,..., s e j = 1,..., n
(2)
Onde xi j refere-se à quantidade do i-ésimo insumo
da unidade j-ésima e yr j refere-se à quantidade do r-ésimo
produto da j-ésima unidade de produção. A relação
entre os vetores x e y é descrita pela tecnologia de
produção adotada pela unidade de produção J, ou
seja, pela tecnologia que permite obter yj a partir de
, x e y são viáveis }
(3)
A expressão GR indica o conjunto de todos
os planos de operação viáveis para os insumos e
produtos considerados. Nesta representação, não há
um foco específico em direção aos insumos ou aos
produtos e nos dois casos os espaços são tratados
simultaneamente.
Conjunto das possibilidades de produção para o
recurso x :
P (x)={y ; (x , y)
, x pode produzir y }
(4)
Esta representação é voltada ao espaço dos
produtos focando as possibilidades de produção para
o nível de insumos x.
Conjunto de alternativas de consumo x que podem
gerar y:
L(y)={x ; (x , y)
, y pode ser gerado por x} (5)
Neste caso, a tecnologia é representada no espaço
dos insumos, focando o conjunto das possibilidades
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Paulo Cesar Tavares Souza e Volmir Eugênio Wilhelm
de consumo de insumos capazes de gerar o nível de
produção y.
Propriedades da Tecnologia
As propriedades de tecnologia expressam as
características do conjunto de possibilidades de
produção que levam à configuração de diferentes
Considerando uma dada tecnologia de produção, formatos para a fronteira empírica de produção
voltada ao espaço dos produtos, a função P(x) tal e, portanto, a diferentes valores de eficiência para
que:
as unidades observadas. Estas propriedades estão
associadas ao tipo de descarte permitido aos produtos
P (x)= max {y : x L (y) y
}
(6) e insumos e ao tipo de retorno de escala exibido pela
tecnologia. Deste modo, para diferentes combinações
Neste caso, (6) indica a chamada função de de características de escala e descarte, temos diferentes
produção ou fronteira de produção e expressa o nível tecnologias. Färe, Grosskopf e Lovel (1994) expressam
máximo de produtos que pode ser alcançado por um as propriedades e descrevem as tecnologias bem
dado conjunto de insumos.
como as medidas de eficiência relativa de acordo com
Nestas condições, Aguilar (1988) define um sistema o tipo de retorno e descarte assumido. Propõem,
de axiomas para P(x), com destaque para:
ainda, na ausência de melhores informações, o uso
diferentes medidas para traçar o conjunto de
m
A0 ∃ yy ∈ ℜs ee ∃∃x y∈∈ℜℜms tal
) y = P (destas
tal
e ∃que
que
x ∈y ℜ
y= =mP(x)
tal
P (xque
x)
possibilidades de produção e, com isto identificar e
A PP(P(x)
⇔yyy===000∉∉PPP(x),
(x(x),)∀, ∀xx≠≠0;00Isto significa explorar as propriedades exibidas pela tecnologia.
x(x))===000⇔
Alguns Axiomas de Tecnologia
1
que para um dado conjunto de x > 0, existe pelo menos
um produto y > 0.
A2 P(x) é finito e limitado, para todo x.
y0 ∉
P (x ) = 0 ⇔ yA∉
x y≠≠00 .
( xPP(x=0)
=(x0)), ∀∀
3= P
A4 ∀x ∈ ℜ mm ,,,ll >
⇒ PPP(((ëë xx)
x))>
≥≥111⇒
≥≥ P(x).
PP((xx))
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Propriedades de escala
As definições das propriedades do descarte e de
escala são apresentadas segundo Färe, Grosskopf e
Lovel (1994), na sequência e caracterizadas no enfoque
voltado ao espaço dos produtos.
125
126
Uma introdução aos modelos DEA de eficiência técnica
(i) Retornos Constantes de Escala (CRS): Uma
tecnologia T apresenta retorno constante de escala se
dada uma expansão/contração, em todos os insumos
por um fator , a produção pode ser expandida/
contraída por este mesmo fator.
(x , y)
T
P(x), então,
( y,
x)
yj P ( (
T,
x)
> 0, ou seja, se y
>0
(7)
(ii) Retornos não Crescentes de Escala (NIRS): Uma
tecnologia apresenta retorno não crescente de escala
se, ao multiplicarmos todos os insumos por um fator
> 1 os produtos são multiplicados por um fator
´< .
(iii) Retornos não Decrescentes de Escala (NDRS):
Uma tecnologia apresenta retorno não decrescente
de escala se, ao multiplicarmos todos os insumos
por um fator > 1 os produtos são multiplicados
por um fator ´> .
(iv) Retornos Variáveis de Escala (VRS): Esta
tecnologia é resultante da composição de tecnologias
que expressam os retornos anteriores em segmentos
diferentes da fronteira de produção.
Propriedades quanto ao Descarte
O descarte refere à propriedade de combinar os
fatores de modo a alterar as proporções entre insumos
ou entre produtos em um determinado conjunto de
possibilidades de produção. Diz que se a decisão
de descartar produtos ou insumos não implicar em
custos tem-se uma tecnologia que apresenta forte
descartabilidade, do contrário, diz-se que a tecnologia
exibe descarte fraco.
(i) Descarte Fraco: O conjunto P(x) exibe descarte
fraco se uma redução qualquer de yr só for viável
com uma redução de igual proporção em todos os
demais produtos de r. Esta propriedade pode ser
expressa como:
Se yj
P(x), então
P(x), então y
yj
P( x),
P( x),
0<
>1
< 1; Se y
(8)
Este pressuposto raramente é assumido em
mensurações empíricas de eficiência, aplicandose a situações onde há pouca possibilidade de
substituição entre insumos ou onde a produção de
um produto implica também a produção de outro
em proporção aproximadamente fixa, como por
exemplo, a geração de subprodutos.
(ii) Descarte Forte: Diz-se que o conjunto de
possibilidades de produção apresenta descarte forte
se for possível livrar-se de parte dos produtos ou dos
insumos. Esta propriedade pode ser expressa por:
Se y
P(x), então y´
P(x),
y´ < y
(9)
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127
Paulo Cesar Tavares Souza e Volmir Eugênio Wilhelm
Com a definição dos axiomas da tecnologia, bem
como suas propriedades, têm-se condições para
estabelecer uma medida de eficiência técnica na
produção.
Medidas de eficiência técnica
Segundo Toresan (1998), o conceito de função
distância, como medida de eficiência técnica, foi
proposto por Debreu (1951), Shephard (1953) e
Malmquist (1953). Porém, Farrel (1957) estabeleceu
uma medida empírica de eficiência relativa com base
na função distância. Veja a figura:
Figura 1: Função distância como medida de eficiência.
Na figura 1, x 1 e x 2 representam os insumos
necessários para produzir y, L(y) é a combinação de
insumos viáveis para a produção de y. A Isoq L(y)
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expressa a combinação linear de x1 e x2 necessária para
produzir y. O ponto B representa um vetor de insumos
observado a ser avaliado em relação a Isoq L(y). À
distância D(y,x) é o inverso da razão AO/OB; que é a
proporção pela qual os insumos podem ser reduzidos
em B para alcançar o ponto eficiente da isoquanta em
A. D(y,x)-1 é a medida de eficiência relativa definida
por Farrel em relação à combinação de insumos em B
para a produção de y.
De modo formal, uma tecnologia de produção
focada no aumento de produção possui a isoquanta:
), ∀x>≠1}0
Isoq P(x)={y
P (x ) = 0 P⇔(x):y = 0y ∉ P(x)
P (x se
(10)
Pertencem a isoquanta os planos de produção
em que os produtos não podem ser ampliados
em igual proporção com o mesmo vetor insumo.
Um plano de produção é dito fracamente eficiente
quando não é possível ampliar a produção de todos
os produtos para um dado conjunto de insumos.
Este subconjunto compõe o conjunto de unidades
eficientes definido por Farrel (1957). O conjunto de
eficiência fraco é definido por:
x ) = y´>
0⇔
x ), ∀x ≠(11)
0
EFf P(x)={y P (P(x):
y y =y´0 ∉ P
P ((x)}
O subconjunto de planos de produção fortemente
eficientes é definido por:
128
Uma introdução aos modelos DEA de eficiência técnica
(x ) =y´ 0>⇔y y =y´0 ∉ PP ((x)}
x ), ∀x ≠
0
EFf P(x)={y PP(x):
(12)
No caso descrito em (11), o conjunto EFf P(x)
geralmente é chamado de Conjunto de Eficiência
Fraco, enquanto que no caso descrito em (12), EFf
P(x) é chamado apenas de Conjunto de Eficiência.
Um plano de produção é dito fortemente eficiente
se pertencer ao conjunto em que não é possível ampliar
a produção de nenhum produto, dado o vetor de
insumos. A eficiência forte corresponde ao conceito de
eficiência técnica de Koopmans e define o subconjunto
de unidades de eficiência não dominada. Observe que
EFf P(x)
Isoq P(x).
Segundo Wilhelm (2000), a função distância de
Shephard, definida como:
Esta medida indica a taxa pela qual a produção
poderia ser multiplicada para um dado nível de insumos.
É obtida projetando-se radialmente o vetor de produtos
sobre a fronteira. Veja a figura:
Figura 2 – Expansão radial até a fronteira
Observando a figura, tem-se que yA pode ser
Do (x,y|prop. tecnologia=min{ : (y/ ) P(x)} (13) expandida radialmente mantendo-se constantes os
insumos x. Além disso, yB e yC pertencem a Isoq
Onde (13) apresenta uma representação funcional P(x).
da tecnologia de produção. Do (x,y) < 1, logo: Isoq
P(x)={v: Do (x , y)=1}. A medida de eficiência técnica Mensuração da Produtividade e da Eficiência Técnica
de Debreu-Farrel, orientada à produção, é definida
como:
Pode-se encontrar na literatura três abordagens
básicas para a mensuração multidimensional da
DFo (x , y) = max{ ; y P(x)}, DFo (x , y) > 1
produtividade e da eficiência técnica: a construção de
(14) índices de produtividade total dos fatores, a abordagem
DFo (x , y) = 1/ Do (x,y); e por consequência,
econométrica e a abordagem de programação linear.
Isoq P(x)= y: DFo (x , y) = 1}
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Paulo Cesar Tavares Souza e Volmir Eugênio Wilhelm
Esta abordagem de programação linear será objeto
de estudo no presente trabalho.
A abordagem de programação linear é concebida
para cumprir dois objetivos principais: construir
fronteiras de produção a partir de dados empíricos e
computar uma medida de produtividade relacionandose dados de observação com as fronteiras de
produção.
A partir de pontos observados, que são combinações
de insumos e produtos de um conjunto de unidades,
estabelece como medida de eficiência à distância de
um ponto à sua projeção na função fronteira. Esta
função é chamada de função de produção eficiente e
é usada como referência para comparar a eficiência,
ou a ineficiência, das várias unidades em relação a
esta fronteira.
A fronteira de produção estimada consiste
na combinação de atividades de uma ou mais
unidades de produção extremas, que são unidades
tecnicamente eficientes em relação a outras unidades
observadas, formando uma envoltória linear por
parte para as unidades de produção observadas da
amostra. Färe, Grosskopf e Lovel (1994) fornecem
uma apresentação técnica detalhada da abordagem
de programação matemática para a análise da
tecnologia de produção e formulação de medidas
de eficiência.
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Algumas das características que tornam a
programação linear atrativa são:
(i) Não requer dados sobre os preços para a construção
da fronteira de produção empírica, bastando dados
sobre as quantidades;
(ii) A ineficiência técnica de unidades individuais se
manifesta pela distância radial relativa à fronteira
de produção (A fronteira de produção será, ou
o conjunto de eficiência fraco ou o conjunto de
eficiência forte);
(iii) Por não ser paramétrica, é menos propensa a erros
de especificação.
O método mais conhecido da abordagem de
programação linear é a Análise por Envoltória
de Dados (Data Envelopment Analysis – DEA),
desenvolvido por Charnes, Cooper e Rhodes (1978).
DEA generaliza as medidas de Farrel (1957) e busca
medir a eficiência produtiva de unidades de produção
com múltiplos insumos e múltiplos produtos. A
abordagem DEA consiste na resolução de problemas
de programação linear com o objetivo de projetar os
produtores ineficientes tecnicamente até o conjunto
de eficiência forte ou o conjunto de eficiência
fraco. Os tipos de retornos de escala, geralmente
considerados, são os retornos constantes de escala,
retornos não crescentes de escala e retornos variáveis
de escala.
129
130
Uma introdução aos modelos DEA de eficiência técnica
O conjunto produção considerando os três tipos
mais comuns de retornos de escala são gerados por
inequações lineares. Ou seja:
PCRS(x) = {y: y ≤ λM, λN ≤ x, λ∈ℜ+n}
Figura 3 – Retornos de Escala
O índice da eficiência técnica pode então, ser
mensurado considerando-se diferentes fronteiras de
produção (conjunto de eficiência fraco e conjunto de
eficiência) e diferentes retornos de escala (constantes
- CRS, não crescentes - NIRS e variáveis - VRS).
Além disso, o que difere um índice do outro é a
orientação da projeção, que pode ser orientação
insumo, orientação produto e orientação insumoproduto.
A eficiência técnica orientação consumo é
calculada em relação ao conjunto consumo L.
A mensuração consiste na contração do vetor
insumo (redução equiproporcional dos insumos)
até a fronteira inferior de L. A eficiência técnica
orientação produto consiste na expansão do vetor
produto até a fronteira de P, enquanto que a medida
orientação insumo-produto consiste na contração do
vetor consumo e expansão do vetor produto. Esta
contração e expansão ocorrem simultaneamente.
(15)
PNIRS(x) = {y: y ≤ λM, λN ≤ x, λ ≤ 1, λ∈ℜ+n} (16)
PVRS(x) = {y: y ≤ λM, λN ≤ x, λ = 1, λ∈ℜ+n} (17)
Os programas lineares utilizados para calcular os
índices da eficiência técnica, orientação produto, para
o j-ésimo plano de produção:
EfcP CRS (x j ,y j ) = max{θ: θy j ≤ λM, λN ≤ x j ,
λ∈ℜ+n}
(18)
EfcPNIRS(xj,yj) = max{θ: θyj ≤ λM, λN ≤ xj, λ ≤ 1,
λ∈ℜ+n}
(19)
EfcPVRS(xj,yj) = max{θ: θyj ≤ λM, λN ≤ xj, λ = 1,
λ∈ℜ+n}
(20)
Aspectos gerais do DEA
Criado para avaliar o desempenho de unidades de
produção em que não são disponíveis informações de
preços de mercado de insumos e produtos, chamadas
genericamente de Unidades de Tomadas de Decisão
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(Decision Making Units - DMUs), o método calcula
uma medida máxima de desempenho para cada
DMU relativa a todas as demais, com a restrição
de que todas as DMUs se encontrem na fronteira
externa ou abaixo dela. Toda DMU observada que
se encontre abaixo da fronteira de produção tem
seu grau de ineficiência medido em relação a uma
combinação de DMUs com melhores práticas e que
compõem a faceta de fronteira mais próxima. A
análise DEA gera como resultado:
(i) Caracterização de cada DMU por um escore único
que resume a eficiência relativa;
(ii) Para cada DMU são feitas projeções de melhorias
sobre referências observadas, revelando aquela de
melhor prática;
(iii) A Análise por Envoltória de Dados se coloca
como alternativa para as abordagens indiretas de
especificação de modelos estatísticos abstratos que
fazem inferências baseadas na análise de resíduos e
dos coeficientes-parâmetros.
- Uma superfície envoltória que identifica as DMUs
eficientes e ineficientes;
- Uma medida de eficiência métrica para cada DMU
(à distância da fronteira, a fonte e o grau de
ineficiência);
- Uma projeção da DMU sobre a fronteira;
- Um conjunto-referência (unidades específicas
contra as quais uma DMU particular está sendo
comparada).
Na sequência, será feita uma abordagem aos
modelos DEA clássicos.
Devido à flexibilidade e à aplicabilidade na
análise da eficiência em organizações não voltadas ao
mercado, um grande número de aplicações de DEA em
instituições públicas e privadas se seguiu à divulgação
do modelo inicial de Charnes, Cooper e Rhodes (1978).
O grande interesse pelo método deve-se a suas três
características:
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DEA – uma metodologia de avaliação da Eficiência Técnica
A publicação do modelo DEA-CCR por Abraham
Charnes, William Cooper e Edward Rhodes (CHARNES
et al., 1978), modelo desenvolvido por baseados
nos trabalhos de Debreu (1951) e Farrell (1957), é
reconhecida como o nascimento dos modelos de
Análise de Envoltória de Dados (Data Envelopment
Analysis –DEA), que permite determinar a eficiência de
uma unidade produtiva comparativamente às demais,
considerando-se os múltiplos insumos utilizados e os
múltiplos produtos gerados (Gomes, 2008).
A Análise Envoltória de Dados (DEA – Data
Envelopment Analysis) é uma ferramenta não-paramétrica
131
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Uma introdução aos modelos DEA de eficiência técnica
que avalia a eficiência de unidades tomadoras de
decisão (DMU, sigla em inglês de Decision Making Units),
comparando entidades que realizam tarefas similares e
se diferenciam pela quantidade de recursos utilizados
(inputs) e de bens produzidos (outputs). DEA é uma
ferramenta adequada tanto para avaliar a eficiência
relativa das DMUs quanto para o estabelecimento
de metas para DMUs consideradas ineficientes. As
DMUs são comparadas de acordo com o conceito de
eficiência de Farrel, que consiste na razão entre a soma
ponderada dos outputs y e a soma ponderada dos inputs
x de cada DMU. As variáveis de decisão são o vetor
u, que representa os pesos relacionados aos outputs y,
e o vetor v, que representa os pesos relacionados aos
inputs x.
O conjunto de DMUs a ser avaliado deve ser
homogêneo, isto é, deve ter em comum a utilização dos
mesmos inputs e outputs, realizarem as mesmas tarefas,
com os mesmos objetivos, trabalhar nas mesmas
condições de mercado e ter autonomia na tomada de
decisões (LINS, et al, 2000).
A Análise Envoltória de Dados permite analisar
a eficiência de unidades produtivas (DMUs) com
múltiplos insumos (inputs) e múltiplos produtos
(outputs) através da construção de uma fronteira de
produção, também denominada de fronteira eficiente,
linear por partes, de tal forma que as empresas que
possuírem a melhor relação “produto/insumo” serão
consideradas mais eficientes e estarão situadas sobre
esta fronteira e, as menos eficientes estarão situadas
numa região inferior à fronteira, conhecida como
envelope (envoltória).
A medida da eficiência de cada DMU é obtida
através da divisão da soma ponderada dos insumos
pela soma ponderada dos produtos, onde os pesos
atribuídos às variáveis de entrada (Inputs) e de saída
(Outputs) são calculados através de um problema de
programação linear, que atribui às DMUs pesos que
maximizem sua eficiência (GOMES, 2008).
A Análise Envoltória de Dados pode ser considerada
uma abordagem que mede excelência, uma vez que
premia as DMU’s com as melhores práticas observadas.
A classificação de uma unidade como eficiente ou
ineficiente só depende do seu desempenho em
transformar os inputs em outputs quando comparada
com as outras unidades observadas (GONZALESARAYA, 2003).
A equação seguinte mostra o índice de eficiência
da k-ésima DMU, para o caso de múltiplos inputs
e múltiplos outputs proposto por Farrell (1957). Nesta
equação, uj e vi representam, respectivamente, os pesos
de cada output j e de cada input i, yk representa a output
j da unidade k e, xik indica o input i da unidade k. Esses
pesos são normalmente arbitrados:
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Paulo Cesar Tavares Souza e Volmir Eugênio Wilhelm
(21)
Em sua versão original, o modelo descrito por
Charnes, Cooper e Rhodes - 1978, orientado aos
produtos, é apresentado como um problema de
programação fracionária tipo:
(22)
insumos e produtos com a restrição de que, com os
mesmos pesos, todas as DMUs, inclusive a DMU0,
não apresentam esta relação maior que 1. O problema
de programação fracionária acima possui infinitas
soluções ótimas, sendo necessário fixar um valor
constante para o denominador da função objetivo.
Além disto, podem-se linearizar as restrições do
problema, de modo a transformá-lo em um problema
de programação linear (PPL). Charnes, Cooper e
Rhodes linearizaram estas equações, transformando-o
no PPL representado a seguir:
(23)
Onde ykj e xij são os produtos e insumos da j-ésima
DMU, uk e vi representam os pesos (coeficientes de
ponderação ou importância relativa de cada variável) a
serem determinados pela solução do problema.
Os pesos uk e vi obtidos são correspondentes a
DMU atual. Este processo é repetido para cada uma
das DMUs, obtendo-se diferentes valores para uk e
vi. Este problema busca otimizar a relação insumo
produto da DMU0, atribuindo livremente pesos aos
Tuiuti: Ciência e Cultura, n. 42, p. 121-139, Curitiba, 2009.
Este problema é conhecido como o problema
dos multiplicadores ou de razão de eficiência, em que
transformam os produtos e insumos em medidas únicas
chamadas produto virtual e insumo virtual. A medida
de desempenho de cada DMU é otimizada através de J
rodagens do programa, sendo uma para cada DMUj.
Os conceitos de dualidade são fundamentais
para a compreensão dos modelos DEA, fornecendo
134
Uma introdução aos modelos DEA de eficiência técnica
interpretações complementares. Charnes, Cooper
e Rhodes (1978) apresentam a formulação dual do
PPL como o problema da envoltória. Este modelo é
representado a seguir:
(24)
Em forma vetorial, este programa linear pode ser
escrito sob a forma:
EfcP CRS (x j ,y j ) = max{θ: θy j ≤ λM, λN ≤ x j ,
λ∈ℜ+n}
(25)
Esta formulação implica em: 0 < 1, se a expansão
radial nos produtos for possível, enquanto que 0 =
1 é a condição necessária, mas não suficiente para que
a DMU possa ser considerada tecnicamente eficiente
no sentido de Pareto – Koopmans.
Para a DMU avaliada,
é o indicador de
0
eficiência, baseado na possibilidade de redução insumos
para obter-se a eficiência máxima. Dentro desta ótica
de orientação de insumos, temos um rendimento
constante de escala.
O modelo original DEA-CCR, bem como suas
formulações lineares: Primal e Dual impõe como
restrições à tecnologia que define a fronteira envoltória
de produção:
(i) Retorno constante de escala;
(ii) Descarte forte de insumos e produtos;
(iii) Convexidade no conjunto de combinações viáveis
de insumos e produtos.
Principais Modelos DEA
Essencialmente, os modelos DEA procuram
estabelecer quais subconjuntos de DMUs determinam
partes de uma superfície envoltória, sendo que a
forma geométrica desta superfície definida pelo
modelo específico empregado. As diferentes
formulações DEA diferem, fundamentalmente:
quanto o tipo de orientação, esta será dada pela
direção da projeção na fronteira, e quanto a
suposições sobre o retorno de escala exibido, pela
tecnologia de produção.
Os modelos orientados são diferenciados,
especificamente, em relação ao foco da medida
de eficiência: ou voltado ao espaço dos produtos
ou voltado ao espaço dos insumos. Isto implica
que as projeções dos pontos observados sobre a
fronteira são diferentes na orientação à produção
comparada às projeções na orientação ao consumo
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135
Paulo Cesar Tavares Souza e Volmir Eugênio Wilhelm
dos insumos. Logo, os escores de eficiência relativa
não são os mesmos nos dois modelos.
Veja na figura seguinte a projeção de pontos
ineficientes na fronteira, segundo o modelo de
orientação:
Observe que o formato da superfície-envoltória
difere segundo o tipo de retorno de escala exibido
pela tecnologia. Tulkens (1993) assume os seguintes
postulados:
Todo plano de produção pertence ao conjunto
de possibilidades de produção.
Todo plano de produção não observado que é
fracamente dominado em insumos e/ou produtos
por qualquer plano de produção obser vado
também pertence ao conjunto de possibilidades
de produção.
Na sequência, são apresentados os principais
modelos DEA.
a) Modelo DEA-CCR (CRS)
O modelo CCR (Charnes, Cooper e Rhodes1978), pioneiro em DEA, pressupõe retornos
constantes de escala e projeta os pontos através
de uma expansão radial na fronteira de produção.
Assume como pressuposto o seguinte postulado:
“todo plano de produção não observado, que
é combinação linear de planos de produção
observados, também pertence ao conjunto de
possibilidades de produção”. A figura seguinte
apresenta a superfície-envoltória e for ma de
projeção do CCR:
O modelo DEA-CCR tem a seguinte formulação:
- DEA- CCR - Orientado à produção - Primal
Figura 4 – Projeção na fronteira DEA
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Uma introdução aos modelos DEA de eficiência técnica
Figura 5 – Modelo DEA CCR
- DEA- CCR - Orientado à produção - Dual
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assegure as condições Pareto-Koopmans. A
infinitesimal não arquimediana ε é introduzida com o
objetivo de tornar o modelo invariante em relação às
unidades de medida das variáveis e garantir a
precedência da maximização de
na função
objetivo. Deste modo, ε garante que uma DMU não
seja classificada como eficiente se existirem folgas nos
vetores insumo e produto, mesmo que não seja
possível uma expansão de igual proporção nos
produtos, que ocorre quando = 1.
Os valores ótimos (que são os mesmos de )
produzem uma medida de eficiência que expressa
a distância da DMUJ em relação à fronteira eficiente.
Uma DMU é considerada eficiente no sentido de
Pareto-Koopmans se as duas condições seguintes
forem satisfeitas:
(i) = 1;
(ii) As variáveis de folga e de excesso são todas nulas.
Onde o valor indica o grau de expansão radial
possível em todos os produtos, dados o nível
observado de insumos. O vetor identifica as DMUs
referência que compõem a f r o n t e i r a d e
projeção. As folgas s nos produtos e os excessos e nos
insumos são variáveis de decisão no modelo e tem
por objetivo garantir uma medida de eficiência que
Associado a cada DMUJ ineficiente (XJ,YJ) está
um ponto de comparação (X*,Y*) sobre a fronteira,
expresso como combinação linear de DMUs.
O valor de mede a distância de (XJ,YJ) ao ponto
projetado (X*,Y*) sobre a fronteira e expressa a taxa de
expansão necessária em todos os produtos para tornar
a unidade eficiente.
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Paulo Cesar Tavares Souza e Volmir Eugênio Wilhelm
A mensuração da eficiência pode ser obtida em dois produção. A superfície envoltória e forma de
estágios: no primeiro, obtém-se o valor de , otimizando projeção do modelo BCC-VRS estão representadas
a expansão equiproporcional nos produtos e, no segundo na figura abaixo:
estágio, busca-se uma movimentação sobre a fronteira
identificando as folgas nos produtos e os excessos nos
insumos, não sendo necessário, neste caso, a imposição
de ε como limite para os multiplicadores.
A formulação dual caracteriza a medida CCR em
forma de razão e resolve o problema de programação
fracionária proposto inicialmente por Charnes, Cooper
e Rhodes em 1978. Os múltiplos insumos e múltiplos
produtos são transformados, através dos pesos u e v,
em medidas únicas chamadas insumo virtual e produto
virtual.
Figura 6 - Modelo DEA-BCC
b) Modelo DEA-BCC (VRS)
Para obter a formulação matemática do modelo BCC,
deve-se incluir a restrição de convexidade na combinação
Proposto por Banker, Charnes e Cooper (1984), de DMUs referência, ou seja, ∑ l ==11.
o modelo BCC relaxa a imposição de tecnologia
O modelo DEA-BCC tem a seguinte formulação:
com retornos constantes de escala e admite que o
conjunto de produção apresente retornos variáveis - DEA-BCC – Orientado à produção – Primal
de escala. A tecnologia com retorno variável de
escala assume o postulado de que todo plano de produção não observado que é uma combinação
convexa dos planos de produção pertencentes ao
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conjunto de possibilidades de produção também
pertencem ao conjunto de possibilidades de
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Uma introdução aos modelos DEA de eficiência técnica
- DEA-BCC – Orientado à produção – Dual
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A restrição de convexidade admite retornos
variáveis de escala, já que os hiperplanos não são
restritos a passar pela origem como no modelo CCR.
Observe que os valores ótimos das funções objetivos
implicam sempre em BCC CCR e, por consequência
que a eficiência em CCR < eficiência em BCC.
Considerações Finais
Outros modelos são encontrados na bibliografia,
como extensão ou variações dos modelos CCR
e BCC, chamados na literatura de Modelos DEA
clássicos. Estes outros Modelos DEA surgiram
como forma de adaptar-se a determinadas situações,
tais como os Modelos FUZZY-DEA, que permite
trabalhar com variáveis com dados imprecisos e as
medidas DEA completas que permite uma avaliação
baseada em uma redução nos níveis de consumo
dos insumos, associados a um aumento níveis de
produção.
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Paulo Cesar Tavares Souza e Volmir Eugênio Wilhelm
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