FUNDAMENTOS E DIDÁTICA
DA
MATEMÁTICA I
1
Fundamentos
e Didática da
Matemática I
SOMESB
Sociedade Mantenedora de Educação Superior da Bahia S/C Ltda.
Presidente ♦
Vice-Presidente ♦
Superintendente Administrativo e Financeiro ♦
Superintendente de Ensino, Pesquisa e Extensão ♦
Gervásio Meneses de Oliveira
William Oliveira
Samuel Soares
Germano Tabacof
Superintendente de Desenvolvimento e>>
Planejamento Acadêmico ♦ Pedro Daltro Gusmão da Silva
FTC - EaD
Faculdade de Tecnologia e Ciências - Ensino a Distância
♦
♦
♦
♦
♦
♦
Coord. de Softwares e Sistemas ♦
Coord. de Telecomunicações e Hardware ♦
Coord. de Produção de Material Didático ♦
Diretor Geral
Diretor Acadêmico
Diretor de Tecnologia
Gerente Acadêmico
Gerente de Ensino
Gerente de Suporte Tecnológico
Waldeck Ornelas
Roberto Frederico Merhy
Reinaldo de Oliveira Borba
Ronaldo Costa
Jane Freire
Jean Carlo Nerone
Romulo Augusto Merhy
Osmane Chaves
João Jacomel
EQUIPE DE ELABORAÇÃO/PRODUÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO:
♦
PRODUÇÃO ACADÊMICA
♦
Gerente de Ensino ♦ Jane Freire
Autora ♦ Joseane de Almeida Topázio
Supervisão ♦ Ana Paula Amorim
Coordenação de Curso ♦ Tatiane de Lucena Lima
♦
PRODUÇÃO TÉCNICA
♦
Revisão Final ♦ Carlos Magno Brito Almeida Santos
Coordenação ♦ João Jacomel
Equipe ♦ Ana Carolina Alves, Cefas Gomes, Delmara Brito,
Fábio Gonçalves, Francisco França Júnior, Israel Dantas,
Lucas do Vale, Mariucha Silveira e Yuri Fontes.
Editoração ♦ Delmara Brito dos Santos
Ilustração ♦ Francisco França e Yuri Fontes
Imagens ♦ Corbis/Image100/Imagemsource
copyright
©
FTC EaD
Todos os direitos reservados e protegidos pela Lei 9.610 de 19/02/98.
É proibida a reprodução total ou parcial, por quaisquer meios, sem autorização prévia, por escrito,
da FTC EaD - Faculdade de Tecnologia e Ciências - Ensino a Distância.
www.ftc.br/ead
2
Sumário
O CONHECIMENTO MATEMÁTICO
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PRIMEIROS ENCONTROS COM O CONHECIMENTO MATEMÁTICO
Didática e Didática da Matemática
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Concepções e Características da Matemática
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A História dos Números e o Sistema de Numeração Decimal
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Atividades Complementares
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A MATEMÁTICA ESCOLAR DA CRIANÇA
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A Construção das Noções Matemáticas pela Criança e o Desenvolvimento
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do Pensamento Lógico-Matemático
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A Construção do Número pela Criança
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Jogos em Sala de Aula
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Atividades Complementares
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O CONHECIMENTO MATEMÁTICO E A PRÁTICA
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PEDAGÓGICA
A MATEMÁTICA NAS SÉRIES INICIAIS
Ensinando/Aprendendo Matemática
Planejamento em Matemática
Atividades Complementares
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A MATEMÁTICA NA SALA DE AULA
Fundamentos
e Didática da
Matemática I
Avaliando em Matemática
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Atividades para a Construção do Conhecimento Matemático
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Atividades Complementares
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Atividade Orientada
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Glossário
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Referências Bibliográficas
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Apresentação da Disciplina
Iniciando o diálogo
Com certeza, você já ouviu várias pessoas falarem que não gostam
ou têm medo da matemática, embora reconheçam que ela é importante
e mesmo fundamental para o mundo moderno. Entretanto, se pararmos
para refletir sobre a origem desta situação, vamos encontrá-la, na maioria
das vezes, nas práticas pedagógicas do ensino da matemática centradas
na aprendizagem de procedimentos mecânicos, sem significado para
os alunos. A forma como ocorre os encontros inicias das crianças com o
ensino da matemática, provavelmente fará diferença na sua relação com
este campo do conhecimento humano, não só na escola como nas
atividades da vida cotidiana.
Assim, ao pensar em desenvolver um curso de Didática da
Matemática voltada para o Normal Superior, consideramos importante
não só discutir conteúdos fundamentais da matemática, como também
trocarmos idéias sobre qual a concepção que temos desta disciplina e
como planejar, desenvolver e avaliar as aulas de conteúdo matemático.
Desenvolver metodologias de construção e de análise de situaçõesproblema para a sala de aula.
Tomando emprestado de Freire (1970) a perspectiva de que
“nenhum saber é absoluto”, pois todos nós temos sempre o que ensinar
e o que aprender no diálogo com o outro, tenho certeza que este nosso
encontro será rico de troca de saberes e experiências.
Joseane de Almeida Topázio
5
Fundamentos
e Didática da
Matemática I
6
O CONHECIMENTO MATEMÁTICO
PRIMEIROS ENCONTROS COM O CONHECIMENTO MATEMÁTICO
Didática e Didática da Matemática
Costumamos falar em relação a alguns professores (às vezes de forma injusta) que
eles “não têm didática” ou que “a didática deles é ruim”. Mas, afinal, sabemos o que é
didática? Assim, antes de discutirmos sobre a Didática da Matemática, vamos retomar um
pouco à compreensão de didática.
Para refletir...
Antes de continuar a leitura, reflita
sobre a sua concepção de didática,
considerando as discussões sobre este
tema que já foram realizadas no curso.
Escreva suas reflexões nas linhas abaixo:
. Outras contribuições para a discussão:
Em geral, quando queremos saber o significado de uma palavra recorremos ao
dicionário, assim de acordo com o dicionário Aurélio (1986), didática é “1. a técnica de
dirigir e orientar a aprendizagem; técnica de ensino. 2. O estudo dessa técnica.”
Indo um pouco além do verbete, para Libâneo (1994, p.28):
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“Didática é uma das disciplinas da pedagogia que estuda o processo de
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ensino através de seus componentes – conteúdos escolares, o ensino e
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aprendizagem – para com o embasamento, numa teoria de educação, formular
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diretrizes orientadoras da atividade profissional dos professores.”
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Para refletir...
Para você, o que é
Didática da Matemática?
Fundamentos
e Didática da
Matemática I
Escreva suas idéias nas linhas abaixo:
Agora veja:
A didática da matemática é a área de educação matemática,
cujo objeto de estudo é a elaboração de conceitos e teorias que
sejam compatíveis com a especificidade educacional do saber
escolar matemático, procurando manter fortes vínculos com a
formação de conceitos matemáticos, tanto em nível experimental da
prática pedagógica, como no território teórico da pesquisa acadêmica.
Quando nos referimos acima à educação matemática estamos nos referindo a
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(...) um campo interdisciplinar, que emprega
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contribuições da Matemática, de sua Filosofia e
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de sua História, bem como de outras áreas, tais
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como Educação, Psicologia, Antropologia e
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Sociologia. Seu objetivo é o estudo das relações
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entre o conhecimento matemático, o professor e
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os alunos, relações essas que se estabelecem em
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um determinado contexto sócio-cultural. Seus
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métodos são variados, porque são originários das
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diversas áreas que a subsidiam (CURY,1996,
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apudd TOPAZIO, 2003, p.10)
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8
IMPORTANTE
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Os objetos de estudo da Educação Matemática são
as múltiplas relações e determinações entre ensino,
aprendizagem e conhecimento matemático.
Hoje, o professor que ensina matemática deve assumir a posição de um Educador
Matemático comprometido com a formação de cidadãos críticos e precisa nortear a sua
prática pedagógica, entre outros, nos seguintes princípios:
*
*
*
*•
Compreender a matemática como um processo histórico-cultural passado de geração
a geração, no qual o indivíduo se apropria dos conteúdos, das experiências, daquilo
que seu grupo social conhece;
Mudar a postura na prática pedagógica, e “ser um educador-educando”;
Ser um professor investigador, que reflete na ação do seu trabalho docente;
Reconhecer a importância do ambiente sócio-cultural do aluno.
As teorias de aprendizagem e a matemática:
Considerando que a Didática envolve os conceitos e teorias relacionadas com o
ensino/aprendizagem da matemática, vamos refletir um pouco sobre as teorias de
aprendizagem e a matemática.
1
MATEMÁTICA E EMPIRISMO
No ensino da matemática, ainda é forte a presença dos pressupostos empiristas,
principalmente no dito “paradigma do exercício”. Neste ambiente, o professor apresenta e
resolve vários exercícios dentro de um determinado conteúdo e em seguida passa uma lista
de exercícios semelhantes aos por ele resolvidos e os alunos são convidados a resolverem
as questões seguindo o modelo proposto pelo professor, num processo de repetição.
REFLITA: Você é empirista?
2
MATEMÁTICA E INATISMO
No ensino da matemática, muitas vezes, verificamos fortemente a presença dos
pressupostos do inatismo na visão “platônica” de que a matemática não é para todos. Poucas
pessoas possuem a aptidão para a matemática. Assim sendo, para muitos professores, se
o aluno possui dificuldade no aprendizado desta disciplina, nada pode ser feito, “pois ele
não possui jeito para os números”. Consideramos que essa visão é um dos fatores que
contribui para que a matemática seja vista como um forte fator para o abandono dos estudos
nas séries iniciais.
REFLITA: Você é inatista?
9
3
MATEMÁTICA E RELACIONISMO
Trabalhar com a matemática na perspectiva do relacionismo implica
Fundamentos em romper com vários paradigmas, sendo o principal deles o do exercício.
As tendências atuais da educação matemática apontam para atividades
e Didática da
que
envolvem
o diálogo entre os alunos e entre o professor e os alunos, com o
Matemática I
respeito a diversidade das formas de matematizar de cada um.
REFLITA: Você é relacionista?
Concluindo...
Reunindo as idéias acima apresentadas, podemos dizer que é a preocupação da
didática da matemática é:
conhecer os fenômenos e processos relativos ao ensino da matemática, para controlálos, e através deste controle, otimizar a aprendizagem dos alunos;
investigar as condições e formas que vigoram no processo de ensino aprendizagem
dos conteúdos matemáticos e, ao mesmo tempo os fatores reais (sociais, políticos,
culturais, psicosociais) condicionantes das relações entre a docência e a aprendizagem;
discutir atividades didático-pedagógicas, articulando os principais tópicos da
matemática com a prática de sala de aula;
fornecer subsídios ao professor ou futuros professores para construírem o seu próprio
percurso profissional.
Lembrando...
Conforme já discutido no curso, devemos lembrar que o papel da Didática na formação
do educador é de criar condições para que o sujeito se prepare filosófica, científica,
técnica e afetivamente para o tipo de ação que vai exercer.
É partindo do pressuposto colocado no parágrafo acima que todo o nosso curso
será desenvolvido.
10
#
[ ]
Agora é hora de
TRABALHAR
O MEDO DA MATEMÁTICA*
Tenho verdadeira aversão à Matemática! A maioria dos estudantes, em todos os
níveis, escolares hão de concordar com essa frase e, por incrível que possa parecer para
nós professores dedicados ao ensino desta Ciência, essa aversão é secular. Mas, qual
será a causa dessa aversão, isto é, do medo que a Matemática causa em inúmeros
estudantes, desde a mais tenra idade até a sua vida adulta?
Na prática docente, encontramos o que é convencional chamarmos de bons alunos
de Matemática. Por outro lado, a maioria deles apresentam uma reação emocional negativa
ao terem que estudar Matemática e uma grande resistência em aprendê-la.
Na realidade, o que verificamos é que o ensino da Matemática tem sido traumatizante.
Disciplina básica nos currículos de todos os graus em todo o mundo, por razões várias é
considerada difícil por muitos, desinteressante por outros, até inacessível para alguns.
Há concordância geral que Matemática é importante e mesmo fundamental para o
mundo moderno e, paradoxalmente, há uma opinião crescente de que ela é difícil,
desinteressante, ensinada somente para se fazer provas; enfim, de que só serve para passar
de ano na escola e nada mais.
Desta forma, observamos que, entre as diversas disciplinas constantes do currículo
escolar em todo o mundo, é a Matemática a causadora dos mais altos temores entre os
estudantes. Deste modo, podemos reformular a pergunta feita inicialmente, da seguinte
maneira:
Qual será o motivo, ou motivos, desse sentimento que em alguns casos, bloqueia o
desenvolvimento do aprendizado e entendimento matemático de nossos estudantes?.
* Fragmento do texto: O medo da matemática. Disponível em: http://www.ufsm.br/ce/
revista/revce/2001/02/a8.htm.Acesso 4 de janeiro de 2006.
1.
Tarefa:
A partir da leitura do texto acima, escreva uma reflexão sobre qual a contribuição que
a Didática da Matemática trará para a sua formação como professor das séries iniciais de
forma que você possa desenvolver a aprendizagem e entendimento matemático dos alunos.
11
Fundamentos
e Didática da
Matemática I
2.
Relacione quais conteúdos de matemática do ensino fundamental você teve maior e
menor dificuldade.
Concepções e Características da Matemática
Pode parecer estranho se falar em concepções da matemática; no entanto, não existe
um consenso no que diz respeito a esta área do conhecimento, por isto é que neste item do
nosso material vamos discutir ao lado de algumas concepções e perspectivas da
matemática, suas características principais e o ensino da matemática no ensino fundamental
das séries inicias, tomando como referência os Parâmetros Curriculares Nacionais.
Para refletir...
Antes de continuar sua leitura, pense sobre:
Para você o que é a matemática?
Escreva suas reflexões nas linhas abaixo:
12
Vamos iniciar a discussão sobre matemática e conhecimento matemático trazendo
a fala de D’Ambrósio (1998) de que
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(...) a matemática foi elaborada nos ambientes mais diversos do planeta,
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por
povos
diferentes, com objetivos mais imediatos de sobreviver, e com objetivos
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mais amplos de transcender (...) Eu vejo a Matemática, como todo conhecimento,
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como uma resposta a estímulos oferecidos pelo ambiente, isto é, o complexo de
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artefatos e mentefatos notados pelo indivíduo(...).
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Nessa perspectiva, a matemática é construída a partir da interação do homem com
os aspectos naturais, sociais e culturais do seu entorno no sentido de compreender,
questionar e transformar a realidade.
Por outro lado, Gomes nos informa que:
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[...] apesar da documentação existente garantir que há mais de 3.500 anos
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já
existia
boa quantidade de conhecimentos matemáticos, não é possível dar uma
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definição satisfatória para Matemática. Porém, se penso na produção do
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conhecimento matemático, parece-me viável a afirmativa de que fazer Matemática
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é descobrir relações e expressá-las de forma simbólica. Números, equações,
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expressões algébricas, diagramas, gráficos e tabelas são modos efetivos de
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expressar relações, comunicando-as a outros.[...]
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A constatação da sua importância apóia-se no fato de que a matemática desempenha
papel decisivo, pois permite resolver problemas da vida cotidiana, tem muitas aplicações
no mundo do trabalho e funciona como instrumento essencial para a construção de
conhecimentos em outras áreas curriculares. Do mesmo modo, interfere fortemente na
formação de capacidades intelectuais, na estruturação do pensamento e na agilização do
raciocínio dedutivo do aluno.
Para refletir...
Quais as principais características
da matemática?
Escreva a sua opinião nas linhas abaixo:
13
• Principais características da matemática
Adaptação dos PCN de matemática de ensino fundamental
Fundamentos
A Matemática, surgida na Antigüidade por necessidades da vida
e Didática da
cotidiana, converteu-se em um imenso sistema de variadas e extensas
Matemática I disciplinas. Como as demais ciências, reflete as leis sociais e serve de
poderoso instrumento para o conhecimento do mundo e domínio da natureza.
Mesmo com um conhecimento superficial da Matemática, é possível reconhecer
certos traços que a caracterizam: abstração, precisão, rigor lógico, caráter irrefutável de
suas conclusões, bem como o extenso campo de suas aplicações.
A abstração matemática revela-se no tratamento de relações quantitativas e de formas
espaciais, destacando-as das demais propriedades dos objetos. A Matemática move-se
quase exclusivamente no campo dos conceitos abstratos e de suas inter-relações. Para
demonstrar suas afirmações, o matemático emprega apenas raciocínios e cálculos.
Os resultados matemáticos distinguem-se pela sua precisão e os raciocínios
desenvolvem-se num alto grau de minuciosidade, que os torna incontestáveis e convincentes.
A matemática é uma ciência viva. A medida que se desenvolve novas relações ficam
evidenciadas entre ela e partes do conhecimento científico e tecnológico que se tinham
desenvolvidos separadamente . Os processos matemáticos podem conduzir a um tipo de
modelo de uma parte da realidade, a partir do qual pode obter-se informação acerca dessa
realidade.
Mas a vitalidade da Matemática deve-se também ao fato de que, apesar de seu
caráter abstrato, seus conceitos e resultados tem origem no mundo real e encontram muitas
aplicações em outras ciências e em inúmeros aspectos práticos da vida diária : na indústria,
no comércio e na área tecnológica. Por outro lado, ciências como Física, Química e
Astronomia tem na Matemática ferramenta essencial.
A Aritmética e a Geometria formaram-se a partir de conceitos que se interligavam.
Talvez, em conseqüência disso, tenha se generalizado a idéia de que a Matemática é a
ciência da quantidade e do espaço, uma vez que se originou da necessidade de contar,
calcular, medir, organizar o espaço e as formas.
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IMPORTANTE
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Procure conhecer os Parâmetros Curriculares Nacionais de
Matemática para o primeiro e segundo ciclo do ensino fundamental
*
Agora Veja
*
A matemática transforma-se, por fim, na ciência que estuda todas as possíveis
relações e interdependências quantitativas entre grandezas, comportando um vasto
campo de teorias, modelos e procedimentos de análise, metodologias próprias de
pesquisa, formas de coletar e interpretar dados.
No entanto, Bassanezi (2001, p. 172) traz a discussão de que grande parte do
conhecimento matemático é construído a partir da ação de um profissional que em geral
não formula questões como: para que serve isso? São os puristas da matemática que, em
14
geral, não estão preocupados com a utilização externa de seus conhecimentos e consideram
a matemática aplicada uma produção inferior. Porém para o autor
“
A matemática aplicada moderna pode ser considerada como a arte de
aplicar matemática a situações problemáticas. É esse elo com a ciência que
distingue o matemático aplicado do matemático puro - a diferença consiste,
essencialmente, na atitude de se pensar e fazer matematicamente.
”
Nesse sentido, Barbosa (2001,) acrescenta que quando a teoria matemática
disponível não dá conta de abordar o problema, podem-se gerar novos conceitos e/ou
objetos matemáticos. Aqui, é possível notar como a matemática pura e a aplicada podem
se intercruzar e se alimentar reciprocamente.
Considerando a formação integral do indivíduo a matemática.
“
(...) desempenha um papel formativo – desenvolvimento de capacidades
cognitivas abstratas e formais, de raciocínio, abstração, dedução, reflexão e
análise – um papel funcional – aplicado a problemas e situações da vida diária
– e um papel instrumental – como estrutura formalizadora de conhecimentos
em outras matérias. Definitivamente, a matemática tem pontecialidades que
transcendem os limites da matéria, incidindo no desenvolvimento do pensamento
lógico e na criatividade. (...) (TORRES, 2001)
”
Para (Borges, 1995), a matemática apresenta uma metodologia de uma riqueza
intelectual incalculável. Os métodos de indução e dedução atingem na matemática a sua
plenitude. As operações mentais de análise, síntese, abstração e generalização surgem
naturalmente em cada página de um livro de matemática.
Concluindo...
A potencialidade do conhecimento matemático deve ser explorada da forma mais
ampla possível no ensino fundamental séries iniciais, e com isto levar o aluno, entre outros
objetivos, a: desenvolver o raciocínio lógico-matemático e a autonomia compreendendo e
transformando o mundo a sua volta; resolver situações-problema, sabendo validar estratégias
e resultados; desenvolver formas de raciocínio; estabelecer conexões entre temas
matemáticos e outras áreas do conhecimento.
15
#
[ ]
Agora é hora de
Fundamentos
e Didática da
Matemática I
TRABALHAR
1.
Retome, agora, as suas reflexões realizadas neste bloco, e considerando o conteúdo
apresentado, discuta com seus colegas por que ensinar matemática na escola.
2.
Pergunte a pessoas da sua relação sobre, para eles, o que é a matemática.
3.
Escolha uma criança (com idade entre 8 -12 anos) e um adulto e solicite que eles
relacionem atividades cotidianas que envolvam conceitos matemáticos. Socialize as
respostas obtidas com seus colegas.
A História dos Números e o Sistema de Numeração Decimal
ELES ESTÃO SEMPRE PRESENTES
1
57
ar
l i g 89-8
2
Mauá
30 km
1º
2º
3º
Fonte: Os números na história da civilização
É interessante observar que o número está presente no nosso dia-a-dia de forma
constante. Neste momento, olhe o seu redor e verifique onde eles aparecem. Não obstante,
esta presença constante não paramos para refletir sobre o que é o número e nem como ele
surgiu. Este, pois é o objetivo deste nosso bloco de conteúdo.
16
Para refletir...
Procure, sem pesquisar, conceituar
“número” e sistema de numeração.
Escreva sua resposta no espaço abaixo.
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Veja:
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“ A História da Matemática pode oferecer uma importante contribuição ao
processo de ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao revelar a
Matemática como uma criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações
de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer
comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do
presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e
valores mais favoráveis diante desse conhecimento.” (PCN ensino fundamental)
• A história dos números
Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o que necessitavam
para a sua sobrevivência era retirado da própria natureza. A necessidade de contar começou
com o desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foi deixando de ser
pescador e coletor de alimentos para fixar-se no solo.
Assim, a origem dos números está associada à necessidade do homem encontrar
alimento suficiente para todos os membros de um grupo, pois à medida que a população
aumentava e a caça ia se tornando mais rara. Desta forma o homem começou a procurar
formas mais seguras e mais eficientes de atender às suas necessidades. Passou então a
cultivar plantas e criar animais, surgindo então a agricultura e o pastoreio, há cerca de 10.000
anos.
Porém, os pastores de ovelhas tinham necessidades de controlar os rebanhos.
Precisavam saber se não faltavam cabeças.
Alguns vestígios indicam que os pastores faziam o controle de seu rebanho usando
conjuntos de pedras. Nos museus de todo o mundo há inúmeros objetos com marcas,
pertencentes a épocas antigas. São pedaços de pau com talhos, pedaços de barro com
marcas e cordas com nós. Existem cavernas em cujas paredes podemos ver marcas talhadas
ou pintadas.
17
Isso parece indicar que o homem sentiu necessidade de registrar o total
de objetos que contava. E como se fazia isso? Para registrar o total de objetos,
ele usava também a correspondência um a um: uma marca para cada objeto.
Ao soltar as ovelhas, o pastor separava uma pedra para cada animal,
Fundamentos
que passava e guardava o monte de pedras.
e Didática da
Matemática I
Logo, foi contando objetos com outros objetos que a
humanidade começou a construir o conceito de número. Os
números (idéias), juntamente com os numerais correspondentes
(palavras, riscos, pedras, nós), foram aparecendo um após outro.
No caso das pedrinhas, cada animal que saia para o pasto de manhã correspondia
a uma pedra que era guardada em um saco de couro. No final do dia, quando os animais
voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa, onde, para cada animal que retornava,
era retirada uma pedra do saco. Se no final do dia sobrasse alguma pedra, é porque faltava
algum dos animais e se algum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais
uma pedra. Desta forma mantinha tudo sobre controle.
A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada
da palavra latina calculus, que significa pedrinha.
A correspondência unidade-a-unidade não era feita somente com pedras, mas eram
usados também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas
cavernas e outros tipos de marcação.
• Sistema de numeração
Para refletir...
18
Se você tivesse agora que contar
quantos grãos de feijão existem em um
saco de meio quilo, que procediemento
adotaria?
Escreva suas idéias abaixo.
Fazer correspondência um-a-um é associar a cada objeto de uma coleção um objeto
de outra coleção. O homem resolveu seus primeiros problemas de cálculo usando a
correspondência um a um. A correspondência um a um foi um dos passos decisivos para o
surgimento da noção de número.
Vários indícios demonstram que, provavelmente, o homem não usou somente pedras
para fazer correspondência um-a-um. Certamente o homem primitivo usava também os dedos
para fazer contagens, levantando um dedo para cada objeto.
Entretanto, surgiu um novo problema:
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Levantar dedos permitia saber, no momento, a
quantidade de objetos, mas não permitia guardar essa
informação. Era fácil esquecer quantos dedos haviam sido
levantados. Separar pedras já permitia guardar a
informação por mais tempo, mas não era muito seguro.
Surgiu, portanto, o problema de registrar as quantidades.
Voltando, aqui, a contagem dos grãos de feijão do saco de meio quilo, você
provavelmente deve ter pensado que a melhor forma de contá-lo era arrumá-los em pequenos
montes de quantidades iguais (por exemplo, montes de dez grãos de feijão). Se assim
procedermos estamos realizando um agrupamento de base dez.
Se olharmos a nossa volta verificamos que muitos produtos são embalados em
grupos. Por exemplo: as barrinhas de drops vêm com o mesmo número de balas, os maços
de cigarro vêm sempre com o mesmo número de cigarros, etc.
Depois que o homem teve a idéia de fazer agrupamentos para facilitar a contagem,
surgiu o problema de registrar os agrupamentos usando algum tipo de marca.
Um sistema de numeração (ou sistema numeral) é
um sistema em que um conjunto de números são
representados por numerais de uma forma consistente.
Um dos grandes problemas do homem começou a ser a representação de grandes
quantidades. A solução para isto foi instituir uma base para os sistemas de numeração.
19
Fundamentos
e Didática da
Matemática I
1234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012
1234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012
1234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012
1234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012
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O sistema de numeração com o qual trabalhamos é de base dez.
1234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012
1234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012
Ou seja, é um sistema de agrupamentos e trocas de base dez: cada
1234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012
1234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012
1234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012
grupo de dez unidades é trocado por uma dezena; cada dez dezenas é
1234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012
1234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012
1234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012
trocada por uma centena e assim sucessivamente.
1234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012
1234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012
1234567890123456789012345678901212345678901234567890123456789012123456789012
Veja:
O nosso sistema de numeração possui três características; ser decimal; ser posicional
e possuir seus algarismos.
Os numerais indo-arábicos e a maioria dos outros sistemas de numeração usam a
base dez, isto porque o princípio da contagem se deu em correspondência com os dedos
das mãos de um indivíduo normal.
12345678901234567890123456789012123456789012
12345678901234567890123456789012123456789012
12345678901234567890123456789012123456789012
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12345678901234567890123456789012123456789012
Observe:
12345678901234567890123456789012123456789012
12345678901234567890123456789012123456789012
12345678901234567890123456789012123456789012
Notação (ou valor) posicional é quando representamos um número
no sistema de numeração decimal, sendo que cada algarismo tem um
determinado valor, de acordo com a posição relativa que ele ocupa na
representação do numeral. Mudando a posição de um algarismo,
estaremos alterando o valor do número. Por exemplo, tomemos o número
12. Mudando as posições dos algarismos teremos 21.
Para entender sistema de numeração
Considere que você possua fichas azuis, brancas e verdes. Quantas fichas de cada
cor representariam 38 unidades em um sistema de agrupamento e troca de base 5,
considerando que:
. 5 fichas azuis valem uma verde e 5 verdes valem uma branca
Resposta:
1 branca (25 unidades), 2 verdes (10 unidades) e 3 azuis (três unidades)
Se considerarmos o sistema de numeração de base dez, teríamos:
. 3 verdes 8 azuis e nenhuma branca
O zero foi o último número a ser inventado e o seu uso matemático parece ter sido
criado pelos babilônios. Os documentos mais antigos conhecidos onde aparece o número
zero, não são anteriores ao século III antes de Cristo. Nesta época, os números continham
no máximo três algarismos.
• SISTEMATIZANDO OS CONCEITOS ASSOCIADOS A NÚMERO
Número é a idéia de quantidade que nos vem à mente quando contamos, ordenamos
e medimos. Assim, estamos pensando em números quando contamos as portas de
20
um automóvel, enumeramos a posição de uma pessoa numa fila ou medimos o peso
de uma caixa.
Numeral é toda representação de um número, seja ela escrita, falada ou indicada.
Algarismo é todo símbolo numérico que usamos para formar os numerais escritos.
Sistema de numeração é todo conjunto de regras para a produção sistemática de
numerais.
Atividades
Complementares
1.
Para você, é importante conhecer a história da matemática? Justifique sua resposta.
2.
Considere que você possua fichas azuis, brancas e verdes. Quantas fichas de cada
cor representariam 53 unidades em um sistema de agrupamento e troca de base 6,
considerando que:
6 fichas azuis valem uma verde, e seis verdes valem uma branca.
3.
Como ficaria esta mesma representação no sistema de numeração de base dez
(SND)?
Discuta com os seus colegas as resposta encontradas para as questões 2 e 3.
21
A MATEMÁTICA ESCOLAR DA CRIANÇA
Fundamentos
e Didática da
Matemática I
A Construção das Noções Matemáticas pela Criança e o
Desenvolvimento do Pensamento Lógico-Matemático
Já vimos que as expressões “abstração” e “lógico-matemático” acompanha sempre
as discussões associadas ao conhecimento matemático. Neste bloco de conteúdo,
discutiremos algumas teorias sobre como se dá a construção do pensamento lógicomatemático, bem como a capacidade de “abstrair” na criança.
Gostaríamos de sinalizar que, neste bloco temático, retomaremos alguns aspectos
da teoria de Piaget associados à construção do conhecimento matemático pela criança.
Para refletir...
Para você, no que consiste um
processo de “abstração”?
Escreva a sua resposta no espaço abaixo.
• Piaget e as etapas de construção das noções matemáticas pela criança
Para Gravina e Santarosa (1998), ao se discutir as etapas de construção das noções
matemáticas pela criança, bem como o desenvolvimento do pensamento lógico matemático
não podemos deixar de nos reportar aos trabalhos de Jean Piaget, pois a sua teoria de
desenvolvimento cognitivo proposta ajuda a compreender que o pensamento matemático
não é, em essência, diferente do pensamento humano mais geral, no sentido de que ambos
requerem habilidades como intuição, senso comum, apreciação de regularidades, senso
estético, representação, abstração e generalização, etc.
A diferença que pode ser considerada é no universo de trabalho: na matemática os
objetos são de caráter abstrato e são rigorosos os critérios para o estabelecimento de
verdades.
Partindo de Toledo e Toledo (1997 p.18), vamos regatar os três tipos de conhecimento
discutidos por Piaget: o físico, o social e o lógico-matemático.
Conhecimento físico é o que obtemos por meio da observação dos objetos na
realidade externa. Exemplos: a cor de um material de que ele é feito, o peso, o tamanho,
etc.
22
Conhecimento social é aquele que herdamos da cultura em que vivemos. Por
exemplo: dizer “alô” quando atendemos o telefone; saber o nome do “homem que descobriu
o Brasil”. Esse tipo de conhecimento só pode ser adquirido por transmissão e é totalmete
arbitrário, exigindo, por isso mesmo, memorização.
O conhecimento lógico-matemático resulta das relações que o sujeito estabelece
com ou entre os objetos, ao agir sobre eles. Por exemplo, ao observar duas bolas, uma azul
e uma vermelha, a criança pode perceber-lhes a forma (conhecimento físico) e aprendem o
nome e chamam “bolas” (conhecimento social). No âmbito da experiência lógico-matemática,
ela pode pensar que as bolas são “iguais” (ambas são bolas) ou "diferentes" (uma é azul, a
outra é vermelha).
Essa semelhança ou diferença não está em cada uma isoladamente, mas foi criada
na mente da criança no momento que ela relacionou os objetos "bolas". Assim, enquanto o
conhecimento físico deriva das porpriedades físicas dos próprios objetos, o conhecimento
lógico-matemático tem origem no próprio sujeito.
No entanto, o que se verifica é que é impossível separar totalmente os três tipos de
conhecimento, pois eles sempre se apresentam juntos.
A criança precisa de uma estrutura lógico-matemática
para reconhecer um peixe vermelho (conhecimento físico) e
um palavrão (conhecimento social). Assim, a mesma estrutura
lógico-matemática é usada pela criança para construir tanto
o conhecimento físico como o social.
Para Piaget (apud RANGEL, 1992, p.21), as estruturas operatórias da inteligência
em formação manifestam, desde o princípio, a presença de três grandes tipos de organização
que correspondem ao que serão, em Matemática, as estruturas algébricas, de ordem e as
estruturas topológicas:
Em sua origem, o desenvolvimento das operações
aritméticas e geométricas espontâneas da criança e, sobretudo,
as operações lógicas que constituem suas necessárias condições
prévias se encontram em todas as etapas; primeiro, uma tendência
fundamental de organização de totalidades ou sistemas, fora dos
quais os elementos carecem de significado je de existência e, em
seguida, uma distribuição desses sistemas de conjunto segundo
três espécies,de propriedades que correspondem precisamente
às das estruturas algébricas, de ordem e topológicas. (Piaget,
1968, p.7.)
Ainda de acordo com Rangel (ibdem), o autor defende o ponto de vista de que o
edifício da matemática repousa sobre estruturas e estas correspondem às da própria
inteligência. Nesta perspectiva, a Educação Matemática precisaria estar comprometida
23
Fundamentos
e Didática da
Matemática I
com o desenvolvimento progressivo e parcialmente espontâneo destas
estruturas operatórias do pensamento infantil.
Neste sentido, é esclarecedor o que diz Piaget (1973), particularmente
no contexto da Educação Matemática :
"Axiomas, definições, teoremas e demonstrações devem ser
incorporados como componentes ativos do processo de pensar. Eles
devem ser inventados ou aprendidos, organizados, testados e usados
ativamente pelos alunos. Entendimento do sentido de rigor no
raciocínio dedutivo, o sentimento de coerência e consistência, a
capacidade de pensar proposicionalmente não são aquisições
espontâneas. Na teoria piagetiana todas estas capacidades estão
relacionadas com a idade - o estágio das operações formais. Estas
capacidades não são mais do que potencialidades que somente um
processo educativo é capaz de moldar e transformar em realidades
mentais ativas."
Para Rangel (1992, p.102), “um dos conceitos fundamentais da matemática e da
própria formação do pensamento lógico-matemático é o da relação.” Para a autora, sem a
possibilidade de estabelecer relações sustentadas na ação transformadora sobre a realidade
que interage, o ser humano não teria condições de construir o conhecimento matemático.
• Classificação das estruturas cognitivas e o conhecimento matemático
Estágio
Característica
1 . Atividades reflexas
Idade
Noções Matemáticas
Meses
0-1
2. Primeiros hábitos
3. Coordenação entre visão
e preensão
1. Sensório
Motor
4. Permanência do objeto,
intencionalidade de atos
5. Diferenciação de esquemas
de ação
6. Solução de problemas
1-4
Maior/menor
4-8
8 - 11
11 - 18
Noção de espaço, formas
18 - 24
Anos
1.Funçãosimbólica (linguagem)
2. Préoperatório
24
2–4
2.Organizações representativas,
pensamento intuitivo
4–5
Desenhos, ordem
Contagem, figuras
geométricas
5-7
Correspondência termo a
termo, conservação do
número, classificação
simples.
7–8
Reversibilidade,
classificação, seriação,
transitividade,
conservação do tamanho,
distância,
área,
conservação
de
quantidade discreta,
conservação de massa.
8-11
Classe-inclusão, cálculo,
frações
do
peso,
conservação do volume
11-13
Proporções, combinações
13-15
Demonstração, álgebra
3. Regulação representativa
articulada
3. Operações
Concretas
1. Operações simples, regras,
pensamento estruturado
fundamentado na manipulação
de objetos
2. Multiplicação lógica
4. Operações
Formais
1. Lógica hipotética-dedutiva,
raciocínio abstrato
2. Estruturas formais
Fonte: “Didática da Matemática”. Ernesto Rosa Neto; Editora Ática, 2001 p.35
Obs: As idades constantes na tabela são apenas um referencial. Elas variam muito
de criança para criança. Além disso, ela pode estar em um estágio em relação a um
comportamento e em outro em relaçao a outro comprtamento.
#
[ ]
Agora é hora de
1.
TRABALHAR
Escreva a sua compreenção de “abstrato” e “concreto”.
2.
Discuta com seus colegas exemplos de “raciocínio indutivo” e “raciocínio dedutivo”
presente no dia-dia.
25
A Construção dos Números pela Criança
Os números não são “propriedades da escola”. Desde cedo a criança
está
submetida
a vários ambientes que envolvem números: sua idade, número
Fundamentos
e Didática da de sua casa ou telefone, número do seu canal de televisão preferido, ou do
Matemática I andar onde mora, Esta submissão, faz com que quando a criança chega à
escola já conheçe e escreve muitos números Porém, isto não significa, como
sinalizam Toledo e Toledo (1997, p.21), “que ela de fato tenha construído o número”.
Kamii (2004, p.15) informa que para Piaget o número é uma síntese de dois tipos de
relação que a criança elabora entre os objetos. Uma é a inclusão hierárquica e a outra
é a ordem.
Para Toledo e Toledo (1999, p.21), “inclusão hierárquica se refere à capacidade
mental que a criança tem de incluir "um" em "dois", "dois" em "três", "três em quatro assim
sucessivamente”.
Segundo Piaget, ordem é a nossa necessidade lógica de estabelecer uma
organização (que não precisa ser espacial) entre os objetos, para termos certeza de que
contamos todos e de que nenhum foi contado mais de uma vez (ibdem).
12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456
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Em outras palavras, ordem refere-se à capacidade que a
12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456
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criança tem de arranjar mentalmente um conjunto de objetos em
12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456
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“primeiro”, “segundo”, “terceiro” e assim sucessivamente (Kamii,
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2005, p.16).
12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456
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Considerando, ainda, a teoria de Piaget, Toledo e Toledo (1997, p.23), informam que
antes de chegar ao conceito de número, é necessário que a criança conserve quantidades.
Veja:
A conservação de quantidades é a habilidade de deduzir
através da razão, que a quantidade permanece a mesma
quando a aparência empírica dos objetos muda.
A conservação de quantidades é um processo gradual. Inicialmente a criança constrói
esta habilidade associada às grandezas discretas (contagem de unidades, verificação de
dúzia, dezena etc) e depois amplia para as grandezas contínuas (comprimento, área, volume
e massa).
Para estimular a fundamentação do conceito de número um caminho apontado pelas
pesquisas é colocar as crianças em contato com situações que envolvam: classificação,
seriação e comparação de quantidades.
Veja:
As atividades de classificação devem envolver relações de pertinência, estabelecimento de agrupamentos, de acordo com um critério e formação de classes.
A seriação envolve a obtenção de uma fila, na qual cada elemento tem seu lugar bem
definido em ordem crescente ou decrescente.
26
A comparação de quantidades deve envolver grandezas contínuas e discretas.
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ATENÇÃO!
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No último bloco de conteúdos estão
apresentadas atividades que envolvem
seriação, classificação e comparação.
• DISCUTINDO SENSO NUMÉRICO
Para refletir...
O que é senso numérico?
Você o possui?
Anote sua resposta no espaço abaixo:
O senso numérico é um tema sempre presente entre cientistas e matemáticos quando
se discute a construção das noções matemáticas, especialmente aquelas relacionadas
com o número. Portanto, vamos refletir um pouco mais sobre esta questão.
Leia a o texto abaixo:
”Um fazendeiro estava disposto a matar um corvo que fez seu ninho na torre de
observação de sua mansão. Por diversas vezes, tentou surpreender o pássaro, mas
em vão: à aproximação do homem, o corvo saía do ninho. De uma árvore distante, ele
esperava atentamente até que o homem saísse da torre e só então voltava ao ninho.
Um dia, o fazendeiro tentou um ardil: dois homens entraram na torre, um ficou
dentro e o outro saiu e se afastou. Mas o pássaro não foi enganado: manteve-se afastado
até que o outro homem saísse da torre. A experiência foi repetida nos dias subseqüentes
com dois, três e quatro homens, ainda sem sucesso.
Finalmente, foram utilizados cinco homens como antes, todos entraram na torre
e um permaneceu lá dentro enquanto os outros quatro saíam e se afastavam. Desta
vez o corvo perdeu a conta. Incapaz de distinguir entre quatro e cinco, voltou
imediatamente ao ninho”.
27
Veja:
Fundamentos
e Didática da
Matemática I
Classicamente, se considerava como senso
numérico a faculdade que permite a um ser vivo perceber
que a quantidade de objetos de um pequeno conjunto foi
alterada quando, sem seu conhecimento, forem
acrescentados ou tirados objetos do mesmo.
No entanto, Fereira e Calegaro (disponível em www.psicopedagogia.com.br/artigos/
artigo) informam que a pesquisa moderna, principalmente em Psicologia Cognitiva e
Neurologia, estende essa capacidade para a de se fazer adições e subtrações, tudo isso
sempre associado a conjuntos de pequeno tamanho, tipicamente com até entre cinco a dez
elementos. Assim senso numérico passa a ser a capacidade de reconhecer, comparar,
somar e subtrair aproximadamente pequenos números.
Nesta perspectiva, apresentada pelos autores, o senso numérico não pode ser
confundido com contagem, que é um atributo exclusivamente humano que necessita de um
processo mental. Além disso, também é importante enfatizar que o senso numérico é atributo
inato de muitos animais, enquanto que apenas no homem o cérebro atingiu uma
complexidade suficiente para lhe permitir aprender a contar. Também já existem bastantes
evidências experimentais para se considerar que apenas humanos são capazes de fazer
multiplicações e divisões.
Atividades
Complementares
1.
Desenvolva com seus colegas atividades que testem o senso numérico como
discutido neste bloco de conteúdo.
2.
Realize uma pesquisa com professores de 5a série do ensino fundamental sobre as
dificuldades associadas a leitura e escrita de números
28
Jogos em Sala de Aula
Para refletir...
Para você, o que é ludicidade?
Escreva suas reflexões nas linhas abaixo:
Para ampliar a sua perspectiva sobre ludicidade leia o texto retirado da tese de
doutorado “O conhecimento matemático e o uso de jogos na sala de aula” (2000), de autoria
de Regina Célia Grando.
“
A necessidade do Homem em desenvolver as atividades
lúdicas, ou seja, atividades cujo fim seja o prazer que a própria atividade
pode oferecer, determina a criação de diferentes jogos e brincadeiras.
Esta necessidade não é minimizada ou modificada em função da idade
do indivíduo. Exercer as atividades lúdicas representa uma
necessidade para as pessoas em qualquer momento de suas vidas.
Se observarmos nossas atividades diárias, identificamos várias
atividades lúdicas sendo realizadas. (Grando. 2000, p.12)
”
Para refletir...
Considerando as informações
contidas no texto de Grando, reflita sobre
quais são as atividades lúdicas que você
realiza na sua vida diária.
Escreva estas atividades nas linhas abaixo:
29
• O jogo, seu histórico e perspectivas para sala de aula
Fundamentos
e Didática da
Matemática I
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ATENÇÃO!
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Grando (2000, p.20) informa que existe “uma variedade de concepções e
definições sobre o que seja jogo e perspectivas diversas de análise
filosófica, histórica, pedagógica e psicológica, na busca da compreensão
do significado do jogo na vida humana.”. Em função disto trabalharemos
neste bloco de conteúdo o jogo como sendo uma atividade lúdica, sem
nos determos em maiores considerações sobre as suas definições.
O jogo é uma atividade inerente à vida, não apenas humana, mas, também, dos
animais ditos irracionais. Podemos observar, no seu habitat natural, algumas espécies
participando de competições, de disputas territoriais, de alimentação, no processo de
acasalamento, ou simplesmente brincando com seus pares na busca da descontração. No
ser humano, além das situações descritas, o jogo faz parte de um processo de formação
tanto física, psicológica, como cultural.
Entre os antigos egípcios, romanos e maias, os jogos serviam de meio para a geração
mais jovem aprender com os mais velhos valores e conhecimentos, bem como normas dos
padrões de vida social, declara Marrou (appud GRANDO, 2000, p.19). Para Huizinga (appud
GRANDO, 2000, p.19), o jogo é anterior ainda à cultura e esta surge a partir do jogo. Ele
explicita a noção de jogo “como um fator distinto e fundamental, presente em tudo o que
acontece no mundo (...) é no jogo e pelo jogo que a civilização surge e se desenvolve”
(Huizinga,1990: prefácio, ibdem). Para esse filósofo, o jogo faz parte da cultura e gera a
própria cultura.
Na civilização ocidental da idade média, a ascensão do cristianismo, procurou banir
os jogos do meio social, principalmente das escolas, por considerá-los profanos e imorais
e sem nenhuma significação na formação humana. Porem a partir do século XVI, os
humanistas começaram a perceber o valor educativo dos jogos, e os jesuítas foram os
primeiros a recolocá-los em prática. Ariès (apud SANTOS, 2005 p.15) diz que “Os padres
compreenderam que não era possível, nem desejável suprimi-los ou mesmo fazê-los
depender de permissões. Ao contrário, propuseram-se a assimila-los e a introduzi-los
oficialmente em seus programas educacionais”.
O jogo na aprendizagem
Comenius (1592-1671), considerado o pai da Didática, dizia em
sua obra "Didática Magna" (1657) que “...ao invés de livros mortos, por
que não podemos abrir o livro vivo da natureza? Devemos apresentar a
juventude as próprias coisas, ao invés das suas sombras" (idem, p.18),
fazendo assim não somente uma alusão a ludicidade, mas também a
utilização de materiais concretos para fins da aprendizagem.
Dewey (1859-1952) foi um outro grande colaborador na defesa da utilização de jogos
com a finalidade da aprendizagem, ressaltando também a contribuição dos jogos para
formação moral do individuo, para ele, as diversas formas de ocupação ativa tem a
oportunidade de filiar-se à vida de fazer o ambiente natural da criança, onde ela aprende a
viver retamente, em vez de aprender simplesmente lições que tenham uma abstrata e remota
referência a alguma vida possível.
30
• CARCARCTERÍSTICAS GERAIS DOS JOGOS
*
*
Revela uma lógica diferente da racional: uma lógica da subjetividade, tão necessária
para a estruturação da personalidade humana, quanto a lógica formal das estruturas
cognitivas.
*
*
*
É construtivo porque ele pressupõe uma ação do indivíduo sobre a realidade. É uma
ação carregada de simbolismo, que dá sentido à própria ação, reforça a motivação
e possibilita a criação de novas ações.
Carrega em si um significado muito abrangente. Ele tem uma carga psicológica, por
que é revelador da personalidade do jogador (a pessoa vai se conhecendo enquanto
joga). Ele tem também uma carga antropológica porque faz parte da criação cultural
de um povo (resgate e identificação com a cultura).
Serve para fixação ou treino da aprendizagem. É uma variedade de exercício que
apresenta motivação em si mesma, pelo seu objetivo lúdico.
Através do jogo crianças e adolescentes deve treinar honestidade, companheirismo,
atitude de simpatia ao vencedor ou ao vencido, respeito as regras estabelecidas,
disciplina consciente, acato às decisões do juiz e o grupo.
Não se pode falar em aprendizagem baseada em jogos, sem mencionar o ponto de
vista dos expoentes da Psicologia da aprendizagem, os quais desenvolveram boa parte
das suas teorias baseando-se em atividades concebidas como lúdicas, são eles, Piaget e
Vygotsky.
• Piaget e o Jogo
Piaget discute a importância do jogo no desenvolvimento social, afetivo, cognitivo e
moral da criança. Este teórico propõe estruturar os jogos segundo três formas básicas de
assimilação: o exercício, o símbolo e a regra, investigando o desenvolvimento da criança
nos vários tipos de jogos e sua evolução no decorrer dos estágios de desenvolvimento
cognitivo.
Veja, abaixo, as três formas básicas propostas por Piaget associadas à faixa etária
da criança.
1
JOGOS DE EXERCÍCIO (0 A 2 anos-sensório-motor)
CARACTERÍSTICAS:
correspondem às primeiras manifestações lúdicas da criança;
nesses jogos, a criança exercita as estruturas subjacentes ao jogo, mas sem o poder
de ação para modifica-las;
não objetiva a aprendizagem em si, mas a formação de esquemas de ação, de condutas, de automatismo o prazer reside na própria função exercida.
2
JOGOS SIMBÓLICOS (2 A 7 anos-pré-operatório)
CARACTERÍSTICAS:
liberdade total de regras (a não ser aquelas criadas pela própria criança);
31
desenvolvimento da imaginação e da fantasia;
ausência de objetivo (brincar pelo prazer de brincar);
Fundamentos
e Didática da
Matemática I
3
ausência de uma lógica da realidade;
ocorre a representação, pela criança, do objeto ausente;
assimilação da realidade ao “eu“ (a criança adapta a realidade a seus
desejos)
JOGOS DE REGRAS (a partir de 7 anos)
CARACTERÍSTICAS:
haja um objetivo claro a ser alcançado;
existam regras dispondo sobre este objetivo;
a criança abandona o seu egocentrismo e seu interesse passa a ser social, havendo
necessidade de controle mútuo e de regulamentação;
existam intenções opostas dos competidores.
haja a possibilidade de cada competidor levantar estratégias de ação.
OBSERVAÇÕES:
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1.
Os jogos de regras são necessários para que as convenções sociais e os valores
morais de uma cultura sejam transmitidos aos seus membros.
2.
Um jogo de regras pressupõe uma situação problema, uma competição por sua
resolução, uma premiação advinda desta resolução.
3.
As regras orientam as ações dos competidores, estabelecem seus limites de ação,
dispõem sobre as penalidades e recompensas. As regras são as leis do jogo.
4.
Ao jogar jogos de regras, as crianças assimilam a necessidade de cumprimento
das leis da sociedade e das leis morais da vida.
5.
Muitas vezes o mais importante não será o material, mas sim, a discussão e
resolução de uma situação problema ligada ao contexto do aluno, ou ainda, à
discussão e utilização de um raciocínio mais abstrato.
• Vygotsky e o jogo
Para Vygotsky, é no jogo e pelo jogo que a criança é capaz de atribuir aos objetos,
através de sua ação lúdica, significados diferentes; desenvolver a sua capacidade de
abstração e começar a agir independentemente daquilo que vê, operando com os
significados diferentes da simples percepção dos objetos.
Durante a pré-escola ou em idade escolar, as habilidades conceituais da criança
são ampliadas a partir do brinquedo, do jogo, e, portanto, do uso da imaginação. Ao brincar,
a criança está sempre acima da própria idade, acima de seu comportamento diário, maior
do que é na realidade. Assim sendo, quando a criança imita os mais velhos em suas
32
atividades culturalmente e/ou socialmente padronizadas, ela gera oportunidades para o
seu próprio desenvolvimento intelectual.
Vygotsky propõe estabelecer um paralelo entre o brinquedo e a instrução escolar,
defendendo que ambos criam uma zona de desenvolvimento proximal e que, em ambos os
contextos, a criança elabora habilidades e conhecimentos socialmente disponíveis que
passará a internalizar.
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Atenção: Lembrando o conceito de Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP)
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“distância entre o nível real (da criança) de desenvolvimento determinado
pela resolução de problemas independentemente e o nível de desenvolvimento
potencial determinado pela resolução de problemas sob a orientação de adultos
ou em colaboração com companheiros mais capacitados “(Vygotsky)
A internalização, segundo o próprio autor, se dá pela transformação de um processo
interpessoal (social) num processo intrapessoal (do sujeito). No jogo, este tipo de
transformação pode ser evidenciado no momento em que considerarmos a ação do jogo
como um diálogo do indivíduo consigo mesmo.
Como se observa, pelo jogo, durante sua ação, o adversário serve de referência
para o jogador se conhecer, estabelecendo uma transição do interpessoal para o
intrapessoal.
Neste sentido, o jogo propicia um ambiente favorável ao interesse da criança, não
apenas pelos objetos que o constituem, mas também pelo desafio das regras impostas por
uma situação imaginária que, por sua vez, pode ser considerada como um meio para o
desenvolvimento do pensamento abstrato.
Veja
Considerando as discussões trazida por Piaget e Vygotsky:
É fundamental inserir as crianças em atividades que permitam um
caminho que vai da imaginação à abstração, através de processos de
levantamento de hipóteses e testagem de conjecturas, reflexão, análise,
síntese e criação, pela criança, de estratégias diversificadas de resolução
dos problemas em jogo. O processo de criação está diretamente
relacionado à imaginação.
• O Jogo e o ensino de Matemática
Vários pesquisadores vêm analisando de forma ampla o valor pedagógico do jogo
como gerador de situações-problema e desencadeador da aprendizagem do aluno, no
contexto da Educação Matemática.
De acordo com Grando (1995, p.102) um fator que influencia esta situação é “o
dinamismo e as relações estabelecidas pela estrutura do jogo se assemelham às
determinadas pela construção matemática”. Desta forma, quando o aluno vivencia, através
do jogo, tal estrutura, compreende com mais facilidade a estrutura matemática.
33
Macedo et al. (apud SANTOS, 2005, p.16) pontua a importância dos
jogos para a Matemática escolar da seguinte forma:
Fundamentos
e Didática da
Matemática I
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“No que diz respeito à matemática na perspectiva
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escolar,
o jogo de regras possibilita à criança construir
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relações quantitativas ou lógicas: aprender a raciocinar e
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demonstrar, questionar o como e o porquê dos erros e
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acertos.”
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Por outro lado Moura, A. (apud SANTOS,2005, p. 20 ), baseando-se nas concepções
de Vygotsky quanto ao processo da imaginação, afirma:
“
No jogo, a situação imaginária é resultante das operações com os objetos,
não é a imaginação que determina a ação, mas são as condições da ação que
tornam necessária a imaginação e dão origem à ela. As antecipações, previsões
e análises a serem processadas no jogo dependem desta situação imaginária,
a imaginação exerce um papel fundamental para o desenvolvimento da criança,
ampliando sua capacidade humana de projetar suas experiências e de poder
conceber o relato e as experiências dos outros.
A imaginação é a base de toda a atividade criadora, aquela que possibilita
a criação artística, científica e técnica. Neste sentido, tudo o que nos rodeia e
que não é natureza é fruto da imaginação humana. (Moura, A., 1995: p.22)
”
Portanto, o jogo depende da imaginação e é a partir desta situação imaginária,
fundamental no jogo, que se traça o caminho à abstração.
Neste aspecto, o jogo pode representar uma simulação matemática na medida em
que se caracteriza por ser uma situação irreal, criada pelo professor ou pelo aluno, para
significar um conceito matemático a ser compreendido pelo aluno. Os elementos do jogo
representam entes concretos, mas a situação de jogo, vivenciada pelo aluno e que o leva à
ação, é baseada numa situação irreal e metafórica, criada pelo homem. Assim, pode-se
dizer que o jogo, determinado por suas regras, poderia estabelecer um caminho natural que
vai da imaginação à abstração de um conceito matemático.
O processo desencadeado pelo jogo é semelhante ao desenvolvido na resolução de
um problema, pois jogo se apresenta como um problema que "dispara" para a construção
do conceito, mas que transcende a isso, na medida em que desencadeia esse processo
de forma lúdica, dinâmica, desafiadora e, portanto, mais motivadora para o aluno.
Por outro lado numa situação de jogo, mesmo que não se tenha como objetivo
aprender Matemática, as contagens e as comparações são indispensáveis. A ação de
ordenar é também comum às situações de jogo. O jogo possui, pois um importante papel
pedagógico.
PORÉM, ATENÇÃO!
Alguns cuidados devem ser tomados, pois: Se não se vê no jogo um
encaminhamento para o trabalho, arrisca-se a reduzi-lo a um simples
divertimento e a rebaixar ao mesmo tempo a educação e a criança
(CHÂTEAU, 1997, p.124, apud SANTOS, 005, p.18).
34
Assim, quando nos referimos à utilização de jogos nas aulas de matemática como
um suporte metodológico, consideramos que tenha utilidade em todos os níveis de ensino.
O importante é que os objetivos com o jogo estejam claros, a metodologia a ser utilizada
seja adequada ao nível que se está trabalhando e, principalmente, que represente uma
atividade desafiadora ao aluno para o desencadeamento do processo de aprendizagem.
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Portanto, considera-se que o jogo, em seu aspecto
pedagógico, se apresenta produtivo ao professor que busca nele um
aspecto instrumentalizador e, portanto, facilitador na aprendizagem
de estruturas matemáticas, muitas vezes de difícil assimilação, e
também produtivo ao aluno, que desenvolve, melhor, sua capacidade
de pensar, refletir, analisar, compreender conceitos matemáticos,
levantar hipóteses, testá-las e avaliá-las (investigação matemática),
com autonomia e cooperação. Assim é possível substituir algumas
atividades escolares, por jogos apropriados.
Veja
No último bloco do conteúdo serão
apresentados jogos e outras atividades
envolvendo conhecimento matemático
Atividades
Complementares
Problemas e pegadinhas (resposta no final do material impresso)
1 - Sandália e meia mais sandália e meia, quantos pares são?
2 - Qual a palavra de seis letras e trinta e sete acentos?
3 - Com três letras é pessoa. Uma sai, quatro a ficar. Tire duas - essa é boa. Ainda cinco vai
restar.
4 - O que sai mais barato: levar um amigo duas vezes ao cinema ou levar dois amigos uma
vez?
5 - Um gato come um rato em um minuto. Cem gatos comem cem ratos em quantos minutos?
6- Pela estrada caminhavam cinqüenta cavalos. O da frente olhou para trás.Quantos cavalos
contou?
7- Com doze palitos de fósforo forme cinco quadrados.
Fonte; Didática da Matemática – Ernesto Rosa Neto
35
TAREFA
Apresente estes problemas e pegadinhas para algumas pessoas
Fundamentos resolverem e observe a reação delas frente o desafio. Discuta os resultados
com os seus colegas.
e Didática da
Matemática I
O CONHECIMENTO MATEMÁTICO E A
PRÁTICA PEDAGÓGICA
A MATEMÁTICA NAS SÉRIES INICIAIS
Ensinando/Aprendendo Matemática
Como bem sinaliza os PCN de Matemática (1996), “não existe um caminho que
possa ser identificado único e melhor para o ensino de qualquer disciplina, em particular, da
Matemática”. Porém, é importante que o professor tenha condições de lançar mão de vários
recursos para a construção de sua prática.
Discutiremos neste bloco de conteúdos algumas orientações para o ensino/
aprendizagem da matemática.
• Proposta para trabalho em sala de aula:
Trabalhar o aluno no desenvolvimento do raciocínio-lógico matemático; para isso
deve - se construir idéias coletivamente, através de discussões onde o aluno e o
professor possam registrar e comparar.
Trabalhar, antes de ir para o papel, a oralidade do indivíduo, estimulando a formulação
de conjecturas.
36
Levar o aluno a se apropriar da matemática de forma funcional sendo capaz de ver o
mundo matematicamente e de se expressar matematicamente.
Trabalhar o erro de forma construtiva. Lembrar que o erro, muitas vezes, pode ocorrer
pela forma como o professor organiza as suas idéias, sem levar em consideração
que o indivíduo está aprendendo outras coisas para subsidiar o aprendizado que o
professor organizou.
Trabalhar a compreensão de quantidade com cálculos mentais;
Trabalhar os significados dos números - composição e decomposição;
Usar primeiro a fala caracterizando a habilidade de compor e decompor números;
Mover-se flexivelmente através de diferentes representações;
Reconhecer quando uma representação é mais útil do que outra
Ex.: A decomposição do número 235 pode ser feito de, pelo menos, duas formas
200 + 30 + 5 ou 100 + 50 + 50 + 30 + 5
Trabalhar aproximações sucessivas, através das quais as crianças vão descobrindo,
inventando e percebendo que os números fazem sentido, saem do papel para a fala
e que uma representação é mais importante do que outra
Nas atividades aritméticas orais deve-se trabalhar:
Habilidades para reconhecer a magnitude absoluta e relativa dos números.
Ex.: Para transportar 1350 soldados de um acampamento para outro em
ônibus que cabem 35 soldados em cada, quantos ônibus serão
necessários? Em geral os alunos respondem com um número decimal sem
levar em conta que pessoas não se divide aos pedaços.
Habilidade para trabalhar com “âncoras“ (um número que você usa para
pensar em outro). Ex.: o número 100 e ½ são excelentes âncoras.
Habilidade de compreender os efeitos das operações sobre os números.
Na contagem numérica é importante que a criança perceba as várias formas
de se contar e em diferentes línguas e como os números podem ser escritos
de formas diferentes.
• Trabalhando com estimativas
Estimação é o processo de gerar um valor numérico que é suficientemente adequado
para permitir a tomada de decisão a respeito de um determinado evento. Trabalhar com
estimação auxilia o entendimento de quantidades.
Tipos de estimação:
Computacional: decompor e arredondar números.
Inferencial: estimar o número de moradores de um prédio com 10 andares e 4
apts por andar ou estimar o número de pessoas que poderiam ficar lado a lado na quadra
da escola.
De medidas: estimar a altura do professor, da porta ou o número de passadas
necessárias para cruzar a quadra.
Visual: ex.: quantos pontos existem em uma figura.
37
• Trabalhando com conjuntos
(diminuir a ênfase, mas não deixar de trabalhar).
Fundamentos
e Didática da
Matemática I
Conjunto dos Números Naturais:
Trabalhar as relações entre quantidades discretas e contínuas
(extensiva e intensiva).
Diferenciar grandezas discretas e contínuas e extensivas e intensivas.
Ensinar a grandeza de conjuntos com quantidades discretas finitas.
Ensinar a magnitude de quantidades contínuas.
• Aritmética, Álgebra e Geometria
Parece ser um consenso que em todo o ensino fundamental, deva-se trabalhar a
Aritmética, Álgebra e Geometria. No entanto deve-se ter em mente que os conteúdos
matemáticos não devem ser trabalhados de forma isolada.
Pois assim como a Aritmética e a Geometria formaram-se a partir de conceitos que
se interligavam, a Geometria, desde os tempos dos gregos, desenvolveu aspectos da
Álgebra e que hoje, nas atividades escolares, a Geometria está impregnada da Álgebra,
não podendo prescindir dela.
#
[ ]
Agora é hora de
1.
TRABALHAR
Apresente atividades que possam ser desenvolvidas com os alunos para trabalhar
as estimativas inferencial e de medidas.
2.
Em que contexto trabalhamos:
a ) grandezas discretas?
b ) grandezas contínuas?
38
Planejando em Matemática
Como vimos no início deste material, a didática alicerça-se nos princípios
educacionais, nos objetivos educacionais, nos objetivos gerais e específicos de cada
disciplina e conteúdos programáticos, os recursos e métodos de ensino, a avaliação, a
relação professor-aluno-disciplina. Tudo isso é traduzido no planejamento de ensino.
Desta forma, neste bloco temático discutiremos algumas questões norteadoras para
o planejamento e a avaliação em matemática, pois “planejar e avaliar andam de mãos dadas”.
Para refletir...
Para você, qual a importância do
planejamento em educação?
Escreva suas reflexões nas linhas abaixo:
• Planejando em matemática
Como já foi visto na disciplina Didática, planejar requer:
Conhecimento da realidade, das suas urgências, necessidades e tendências (porquê);
Definição de objetivos claros e significativos (para que);
Determinação de meios e de recursos possíveis, viáveis e disponíveis (como; quem);
Estabelecimento de prazos e etapas para a sua execução (quando);
Estabelecimento de critérios e de princípios de avaliação para o processo de planejamento e execução;
Flexibilidade para um replanejar contínuo.
Ao se realizar o planejamento (curso, unidade, aula) da disciplina matemática para
as séries iniciais devemos ter em mente que ensinar/aprender matemática envolve:
Construir idéias coletivamente, através de discussões, onde os alunos e o professore
possam comparar experiências.
Comparar diferentes estratégias de resoluções do mesmo problema, sem eleger
um melhor.
39
Enfrentar problemas que não requeiram apenas a aplicação direta de
uma regra ou memorização de fatos;
Fundamentos
e Didática da
Matemática I
Ser capaz de flexivelmente, representar problemas de várias maneiras
e testar estas representações em problemas cada vez mais complexos;
Examinar contextos, tanto do dia-a-dia, quanto de questões internas da
matemática que dêem significado a conteúdos a serem estudados;
Despertar interesse pelo conhecimento de aspectos relevantes da história da matemática e reconhecimento de sua relação com o desenvolvimento da humanidade;
Desenvolver atitudes e valores mais favoráveis diante do conhecimento matemático
ao revelar a matemática como criação humana, ao mostrar necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e ao estabelecer
comparações entre os conceitos e processos matemáticos do passado;
Compreender o sistema numérico decimal, pela comparação com outros sistemas
de numeração, de modo a evidenciar o conjunto de regras e símbolos que o caracterizam e promover a extensão das regras desse sistema para leitura, escrita e representação dos números racionais na forma decimal;
Reconhecer os números naturais em diferentes contextos e a exploração de situaçõesproblema em que esses números indiquem cardinalidade, ordinalidade ou funcionem
como um código;
Constatar possíveis vantagens do sistema indo-arábico sobre os demais;
Reconhecer o caráter interdisciplinar da matemática.
1234567890123456789012345678901212345678901
1234567890123456789012345678901212345678901
1234567890123456789012345678901212345678901
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1234567890123456789012345678901212345678901
IMPORTANTE
1234567890123456789012345678901212345678901
1234567890123456789012345678901212345678901
Os conteúdos, os procedimentos didáticos, os recursos
materiais e os procedimentais de avaliação devem está articulados
entre si e com os objetivos definidos para a disciplina considerando
as dimensões conceituais, procedimentais e atitudinais.
• Planejando Atividades
Abaixo, apresentamos um quadro com uma sugestão de como as atividades a serem
desenvolvidas em sala de aula podem ser organizadas, de modo a facilitar a rotina diária
de trabalho.
40
12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678
12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678
12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678
12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678
12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678
Atividades
Situações
Atividades
12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678
12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678
Projetos
12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678
seqüenciadas
independentes
permanentes
12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678
12345678901234567890123456789012123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678
São planejadas para
serem trabalhadas
em seqüência, com
uma complexidade
crescente
de
dificuldades.
Ex.:
Colecionar
figuras geométricas
para, em seguida,
classificá-las.
Acontecem com
regularidade
(diariamente,
semanalmente,
quinzenalmente etc.)
durante
um
determinado período
ou durante todo o
ano letivo.
Ex.: Oficinas de
jogos; resolução de
situações problemas
(desafios) trabalhos
com o ábaco;
oficinas
de
calculadora.
Podem ser de dois
tipos: Ocasionais:
são as que não
foram planejadas
previamente, mas
que o professor
considera relevante
inserir
naquele
momento
do
trabalho.
Ex.: Discussão de
notícias veiculadas
na
mídia;
De
sistematização;
São as que
favorecem que os
alunos sistematizem
os
seus
conhecimentos
sobre
um
determinado
conteúdo aprendido.
São planejadas numa
seqüência de forma
que ao final se
obtenha um “produto”.
Num projeto, os
objetivos
são
compartilhados, pelo
professor e sua turma,
desde o início.
Ex.: Montando um
orçamento mensal,
que
contemple
a l i m e n t a ç ã o
equilibrada e lazer.
Ex.:
Discussão
sobre estratégias de
cálculos mentais.
Atividades
1.
Complementares
Escreva um objetivo pessoal (projeto de vida)
41
2.
Considerando o objetivo escrito no item anterior, responda as questões
abaixo :
Fundamentos
e Didática da
Matemática I
Por que quero atingir este objetivo ?
Como alcançarei?
Quando quero alcançar?
Quem e o que será necessário para alcançar ?
3.
Escreva um objetivo envolvendo a aprendizagem de um conteúdo matemático das
séries iniciais associado a números e procure responder as questões do item 2
considerando este objetivo.
A MATEMÁTICA NA SALA DE AULA
Avaliando em Matemática
• Avaliação em matemática nas séries iniciais
Sabemos que a avaliação norteia todo o viver da humanidade ao longo da sua
trajetória. Como exemplo, encontramos citações no Velho e Novo Testamento quando
determina o certo e errado, o belo e o feio, o moral e amoral. Todo esse processo é permeado
de subjetividade, normas, condutas e códigos criados pelo homem.
Na área da educação a história se repete. A avaliação vem se constituindo em
instrumento de aprovação/reprovação como uma prática, para se alçar ou não o saber e a
ascensão social. Nesta perspectiva, a avaliação encontra-se apoiada na “pedagogia do
exame”, voltada para a atenção na promoção e nas provas.
42
Assim sendo, a atenção está centrada na nota e não no caminho percorrido para
obtê-la, estas são operadas e manipuladas como se nada tivessem a ver com a trajetória
do processo de aprendizagem.
Os professores utilizam as provas como ameaça e tortura prévia, como um fator
negativo de motivação. Os alunos são conduzidos a estudar, pensar e agir em função de
uma nota e não pela obtenção do saber. As conseqüências destas ações podem provocar
nos avaliados, problemas pedagógicos, psicológicos e sociológicos, podendo desencadear
várias doenças, sem contarmos com o constante stress que acometem os alunos e a família.
A aprendizagem, neste contexto, deixa de ser algo prazeroso e solidário, passando
a ser um processo solitário e desmotivador, contribuindo para a seletividade social,
principalmente para atender as exigências do sistema econômico vigente.
Devemos ter em mente que a avaliação é um dos meios pelos quais podemos
conhecer os alunos. Ela permite acompanhar os seus passos no dia-a-dia. Descreve as
trajetórias, seus problemas e suas potencialidades, favorecendo que o trabalho de ensinoaprendizagem se dê de forma coerente com os objetivos e desejos de professores e alunos.
A avaliação é um elemento integrador entre a aprendizagem e o ensino. É um conjunto
de ações cujo objetivo é a orientação da intervenção pedagógica, no sentido de melhorar a
aprendizagem do aluno, face aos objetivos definidos ao final de cada ciclo, série ou unidade
de estudo.
• Finalidades da avaliação
*
*
*
Servir à família e à sociedade como instrumento/ meio de reflexão/ declaração/registro
das competências e habilidades de cada indivíduo.
Servir ao professor como elemento de reflexão contínua sobre a prática educacional.
Oferecer uma ajuda ajustada ao aluno, intervindo nas suas dificuldade.
Acompanhar os processos de aprendizagem e, assim, de ensino, ao assumir um
caráter cumulativo dos conhecimentos construídos.
• A avaliação permite acompanhar
Os avanços de cada aluno e as possíveis áreas de desenvolvimento (formativa)
As áreas de dificuldade de aprendizagem (diagnóstica)
Os avanços gerais de forma sistematizada (somativa)
123456789012345678901234567890121234567890
123456789012345678901234567890121234567890
123456789012345678901234567890121234567890
123456789012345678901234567890121234567890
123456789012345678901234567890121234567890
IMPORTANTE
123456789012345678901234567890121234567890
EXAME NÃO É AVALIAÇÃO.
AVALIAR É UM PROCESSO DINÂMICO E RE-ENCAMINHA A AÇÃO.
• O que e como avaliar em matemática
Para Dante (1999, p.23), ao se avaliar em matemática devemos ter em mente que:
Deverá ser dada maior ênfase a:
Avaliar o que os alunos sabem, como sabem e como pensam matematicamente.
Avaliar se o aluno compreendeu os conceitos, os procedimentos e se desenvolveu
43
atitudes positivas em relação à Matemática.
Avaliar o processo e o grau de criatividade das soluções dadas pelo
aluno.
Encarar a avaliação como parte integrante do processo de ensino.
Fundamentos
Focalizar uma grande variedade de tarefas matemáticas e adotar uma
e Didática da
visão global da Matemática.
Matemática I
Propor situações-problema que envolvam aplicações de conjunto de
idéias matemáticas.
Propor situações abertas que tenham mais que uma solução.
Propor que o aluno invente, formule problemas e resolva-os.
Usar várias formas de avaliação, incluindo as escritas (provas, testes, traba¬lhos,
auto-avaliação), as orais (exposições, entrevistas, conversas informais) e as de
demonstração (materiais pedagógicos).
Utilizar materiais manipuláveis, calculadoras e computadores na avaliação.
Deverá ser dada menor ênfase a:
Avaliar o que os alunos não sabem.
Avaliar a memorização de definições, regras e esquemas.
Avaliar apenas o produto, contando o número de respostas certas nos tes¬tes e
provas.
Avaliar contando o número de respostas certas nas provas, com o único objetivo de
classificar.
Focalizar um grande número de capacidades específicas e isoladas.
Propor exercícios e problemas que requeiram apenas uma capacidade.
Propor problemas rotineiros que apresentam uma única solução.
Propor que o aluno resolva uma série de problemas já formulados.
Utilizar apenas provas e testes escritos.
Excluir materiais manipuláveis, calculadoras e computadores na avaliação.
• O que avaliar
Alguns aspectos podem ser norteadores para o acompanhamento do processo de
aprendizagem dos conhecimentos matemáticos dos alunos das séries iniciais. Assim ao
acompanhar o desenvolvimento procure verificar se os alunos:
Conhecem os fatos fundamentais (as quatro operações) para a construção de um
repertório a ser utilizado em cálculos.
Utilizam as propriedades operatórias para o cálculo mental.
Analisam, interpretam, resolvem e formulam situações-problemas, compreendendo
os significados das operações.
Utilizam os números racionais na forma fracionária ou decimal para expressar os
resultados.
Resolvem expressões envolvendo operações com os números racionais.
Identificam padrões, formulam hipóteses e faz conjecturas.
Analisam situações para identificar propriedades comuns.
Utilizam raciocínio espacial ou proporcional para resolver problemas.
Conhecem, compreendem, definem e verbalizam conceitos matemáticos.
Realizam com confiança procedimentos matemáticos (Ex.: algoritmos).
Desenvolvem raciocínios algébricos.
Reconhecem e respeitam as diferentes formas de matematizar apresentadas em
sala.
44
Participam das atividades propostas.
Selecionam, organizam e produzem informações relevantes para interpretá-las e
avaliá-las criticamente.
Utiliza os conhecimentos matemáticos como recursos para interpretar, analisar e
resolver problemas em contextos diversos.
Lêem interpretam e utilizam representações matemáticas (tabelas, gráficos,
expressões, etc).
1234567890123456789012345678901212345678901
1234567890123456789012345678901212345678901
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1234567890123456789012345678901212345678901
Veja
1234567890123456789012345678901212345678901
1234567890123456789012345678901212345678901
É preciso avaliar o poder matemático do aluno, ou seja, sua
capacidade de usar a informação para raciocinar, pensar e para
formular problemas, resolvê-los e refletir criticamente sobre eles
(Dante, 1999, p.23).
#
[ ]
Agora é hora de
TRABALHAR
1.
Considerando a sua vida acadêmica, escreva os procedimentos de avaliação em
matemática aos quais você já foi submetido considerando as seguintes questões
norteadoras:
a) Levaram em consideração os seus conhecimentos matemáticos prévios?
b) Ajudaram a corrigir os seus procedimentos de aprendizagem?
c) Estimularam a auto avaliação?
d) Qual atitude tomavam os professores frente a um mau resultado obtido pela
maioria dos alunos da turma?
45
2.
Escolha um conteúdo do ensino funtamental/séries inciais e elabore a
organização de uma ficha de observação, que você usaria para acompanhar o
desenvolvimento nas aulas de matemática de seus alunos ao longo de um
Fundamentos
mês de aulas, considerando o conteúdo selecionado.
e Didática da
Matemática I
Atividades para a Construção do Conhecimento Matemático
Neste bloco de conteúdo serão apresentadas algumas atividades para as aulas de
matemática. É importante ter em mente que o sucesso de uma atividade requer um bom
planejamento.
Bigode (2000, p.15) apresenta categorias de atividades que podem ser proposta
para os alunos. Assim, podemos ter atividades de:
aplicação: os alunos utilizam seus conhecimentos de natureza conceitual ou procedimental (fórmulas, algoritmos, propriedade, ou um conjunto de ferramentas matemáticas) para
resolver um problema ou produzir algo.
argumentação: os alunos exercitam seus modos de explicar, demonstrar ou fazer uma
escolha, baseados em algum fato e a defender um ponto de vista.
construção: implicam na produção de algo, no desenho de uma figura, numa composição e produção de um objeto. Em geral, envolvem a utilização de régua, compasso,esquadros, tesouras, papel, cola, palitos, etc.
comunicação: os alunos são colocados frente a uma situação na qual eles têm que se
colocar do ponto de vista do outro, pensar sobre o próprio pensamento para comunicar
uma idéia, um fato, um algoritmo ou um método. Também fazem parte desta categoria
atividades em que os alunos são solicitados a codificar, decodificar, simbolizar, descrever,
representar etc.
descoberta: os alunos são levados a perceber regularidades e a formularem uma conjectura.
diagnóstico: fornecem ao professor informações sobre o grupo ou sobre os alunos individualmente.
fixação: os alunos são levados a se familiarizarem com um conceito ou técnica, a consolidarem destrezas que ativam a memória.
formulação: os alunos são solicitados a formular problemas e descrever procedimentos.
investigação: situações que levam o aluno a formular hipóteses, verificar, generalizar,etc.
pesquisa: realizadas geralmente em contextos extra-escolares, solicitam dos alunos
um trabalho de consulta, levantamento de dados e informações em outros livros, catálogos,
tabelas, Internet, bibliotecas etc. Pode envolver entrevistas e outras modalidades de
trabalho de campo.
46
representação: levam os alunos a imaginar, interpretar, modelar, reproduzir, ampliar
e reduzir, copiar, desenhar, planejar, esboçar, esquematizar etc.
Muitas vezes pensamos que para realizar atividades que estimulem o poder
matemático dos alunos é necessário a utilização de materiais mais elaborados. Porém
muitas atividades associadas ao conhecimento matemático podem ser realizadas com o
uso de situações do cotidiano e materiais fáceis de serem obtidos
ATIVIDADES ENVOLVENDO CLASSIFICAÇÃO
Para as atividades de classificação devemos utilizar brinquedos, sucatas, objetos
escolares ou blocos lógicos.
Sugestão de atividades para os blocos lógicos
(trabalha-se a classificação e conjuntos)
1. Jogo livre. Deixar o aluno brincar livremente, sem interferência do professor para
promover a familiarização com o material. A criança, depois de manusear um pouco, começa
a classificar por cores, espontaneamente. Começa a dar nomes como "telhado" ou "chapéu"
aos triângulos, "bola" aos círculos, etc.
2. Jogo do reconhecimento. Pedir que o aluno mostre o quadrado vermelho, grande
fino ou então o triângulo azul, pequeno, fino, etc. Fazer depois o contrário: mostrar uma
peça e pedir a descrição (são sempre quatro atributos ou mais, se o professor quiser, é de
madeira, é bonito, etc.).Formar conjuntos, por exemplo: conjunto dos quadrados, conjunto
das peças vermelhas, etc. Pode-se fazer, com um giz, uma curva simples fechada no chão
e pedir para que coloque ali os quadrados ou então as peças vermelhas, etc.
3. Jogo das diferenças. Mostrar duas peças e pedir que os alunos apontem as
diferenças. Exemplo: um quadrado, vermelho, grande, fino, e um círculo, vermelho, grande,
grosso. Nesse caso, as diferenças serão duas: a forma e a espessura, explica¬das como
puderem.
4. Jogo do trenzinho (de uma diferença, nem mais, nem menos). Distribuir as
peças entre as crianças. Uma delas começa o jogo, colocando no centro da mesa uma
qualquer (um círculo azul, pequeno, grosso); a segunda criança deve colocar ao lado da
primeira peça uma outra que possua uma diferença e três permanências (um circulo azul,
grande, grosso); a brincadeira continua tendo como referência qualquer uma das peças
das pontas. Se a criança não tiver peça para colocar, pula a sua vez. Quem colocar primeiro
todas as peças ganha o jogo.
5. Jogo do não: Pedir uma peça que não tenha determinado atributo. Exemplo
formar o conjunto das peças que não são triângulos, etc. Esse jogo familiariza a criança
com a negação, com o conjunto complementar.
ATIVIDADES ENVOLVENDO SERIAÇÃO E SEQUÊNCIAS
1 Para as primeiras atividades deve-se utilizar materiais de encaixe, ou seja, que
caibam um no outro (panelinhas, potinhos, caixas etc.). È conveniente. Convém oferecer no
máximo cinco ou seis objetos nessas ativi¬dades iniciais e propor apenas experiências de
encaixe simples, variando bastante os materiais utilizados.
47
2
Em níveis mais avançados aos alunos que guardem todas as panelinhas
em um "armário", uma caixa na qual o professor sabe que não há um lugar
para cada panelinha; desse modo, eles tentarão acomo¬dar as panelinhas
umas dentro das outras.
Fundamentos
e Didática da
3 Formar grupos e fornecer aos alunos várias caixinhas de ta¬manhos
Matemática I diferentes e uma caixa de sapatos com tampa. A tarefa consiste em guardar
as caixinhas na caixa de sapatos e depois fechá-la com a tampa; ao final, vê-se qual grupo
aco¬modou a maior quantidade de caixinhas.
4
Jogo da seriação. Utilizando os blocos lógicos colocar algumas peças em fila para o
aluno descobrir a regra e continuar.
Ex.: arrumar os blocos em fila na seguinte seqüência: amarelo, azul, verde, amarelo,
azul, verde... E solicitar que os alunos descubram a regra e continue a fila.
5
Quebrar palitos de picolés em tamanhos diferentes e pedir a criança que coloque
em ordem crescente ou decrescente.
• TRABALHANDO COM NÚMEROS
Estimulando a contagem do tempo: afixar um cartaz na porta da sala e solicitar que
os alunos registrem diariamente as idas ao banheiro: hora que saiu e a hora que
retornou.
Montar cardápios com as opções da cantina da escola, considerando os preços dos
produtos.
Fazendo estimativas: colocar balas (ou bolas de gude) em um recipiente transparente.
E solicitar que os alunos estimem a quantidade.
Contagem de quantas crianças usam tênis, de quantas irmãs e irmãos cada um
possui.
Acompanhamento do calendário: marcação dos dias e troca do mês.
Colecionando objetos (chaveiros, revistas em quadrinho, fotos): a cada semana os
objetos devem ser contados e o resultado anotado em uma tabela.
• Jogo batalha dos números
Número de jogadores: de 3 a 6
Material; cartões (40 cartões para cada equipe) de cartolina com números de valores
variados (os números nãodevem ser repetidos).
Jogo:
Divide-se a turma em equipes de no mínimo 2 e no máximo 6 componentes. Colocase as 40 cartas em um único monte com os valores virados para baixo. Cada jogador retira
uma carta e coloca-a virada com o valor para baixo. Após todos os jogadores retirarem uma
carta do monte, todos deverão mostrar os número sorteado. Os números contidos nos cartões
devem ser comparados. Ficará com todos os cartões o aluno que tirar o maior número. O
procedimento deverá ser repetido até que todas as cartas do monte sejam retiradas. Ganhará
o jogo o aluno que tiver a maior quantidade de cartas.
• Fazendo 20 com dois ou mais números (Vinte-vinte).
48
Número de jogadores: 5
Material: Um baralho com cartas do Ás ao 10 (40 cartas) e 24 fichas.
Jogo:
Cada jogador recebe seis fichas e cinco cartas. As cartas que sobram são postas
sobre a mesa em um monte, voltadas para baixo. O primeiro jogador coloca uma carta
virada para cima sobre a mesa. Os jogadores, na vez de jogar, colocam uma carta de cada
vez ao lado de uma que já estejam sobre a mesa (ver figura abaixo). Após colocar uma
carta, cada jogador compra uma carta do baralho, tendo assim novamente cinco
cartas.Quando um jogador coloca uma carta que completa um total de 20, tanto vertical
quanto horizontalmente, ele fecha a fileira com duas de suas fichas, como mostrado na
figura. A pessoa que usar primeiro todas as suas fichas será a vencedora.
20
5
4
3
20
3
2
7
8
20
20
• Vá ao dez
Número de jogadores: Três ou quatro (jogar a dois é fácil demais).
Material: Cartas de baralho ou cartas numeradas feitas em casa, quatro de cada do
Ás (ou 1) até o 9 (36 cartas).
Jogo:
O objetivo do jogo é formar 10 com duas cartas (9 + 1, por exemplo). Todas as cartas
são distribuídas. A seguir, os jogadores dispõem em sua frente todos os pares de cartas
que somem 10, voltadas para cima. Então, começam a perguntar a um jogador específico
se ele tem um número específico. Por exemplo, Luís poderá dizer a Caro: “Carol, você tem
um 1?”. Se Carol tiver a carta, terá de dá-la a Luís, que colocará sobre a mesa, à sua frente,
as cartas 1 e 9 voltadas para cima. O jogador poderá continuar a pedir cartas até não mais
receber a carta solicitada. Quando não receber a carta que pediu, a vez passa àquele que
disse: “Não tenho”. (Como alternativa, os jogadores podem jogar em sentido horário.) A
pessoa que tiver o maior número de pares é a vencedora.
TRABALHANDO O SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL
Proposta de aula sobre Sistema de Numeração Decimal utilizando álbum de figurinhas
Kátia Smole
disponível em novaescola.abril.com.br/ed/163_jun03/figurinhas.doc
49
Providencie com a classe álbuns de figurinhas. Você pode ter dois álbuns para toda
a classe, um álbum cada grupo de cinco crianças ou mesmo um para cada aluno. Combine
um dia da semana para explorar a publicação com os alunos. Nesse dia cada aluno traz um
ou dois pacotes de figurinhas que serão usadas para completar os álbuns dos grupos. As
repetidas ficam para o álbum da sala. Aproveite esse momento para conversar sobre quais
Fundamentos e quantas figurinhas foram colocadas em cada álbum; quem colou mais figurinhas; quem
e Didática da colou menos e quantas a menos. Pergunte se a figurinha 106, por exemplo, foi colada em
Matemática I algum álbum; se há algum número de figurinha ou do álbum que alguém não conhece; qual
é o número da última figurinha do álbum.
Geralmente, os álbuns trazem quadros de controle das figurinhas. Explore esse recurso com a
turma. Discuta a importância de marcar nesse quadro as figurinhas que já coladas. Converse com a turma
e descubra e analise com os alunos as regularidades que aparecem no quadro. Por exemplo, as linhas
vão de 1 em 1 e as colunas, de 10 em 10; todos os números da primeira coluna terminam em um, os da
sétima, em 7 e os da última, em 0. Não conte isso aos alunos, deixe que eles descubram a partir das
suas perguntas e das observações que fizeram em grupos. Registre com eles em um texto todas as
descobertas. Os textos podem ser trocados entre salas para que as descobertas sejam comparadas e
socializadas.
Em outro dia, sugira aos alunos que, em grupos, elaborem perguntas sobre o quadro e suas
regularidades para ser respondidas pela classe ou enviadas a uma outra turma, que deverá responder por
escrito, para que os grupos que elaboraram façam a correção.
Prepare uma cópia do quadro para cada criança de tal modo que alguns dos números estejam
apagados. Conte a eles que aquela é a tabela de um dos grupos da classe e que os números apagados
são as figurinhas já coladas no álbum. Eles devem descobrir quais são essas figurinhas, o que pode ser
feito apenas olhando os números do quadro, ou consultando o álbum, se acharem necessário. A atividade
pode ser realizada a partir dos quadros de cada grupo. Nesse caso, cópias podem ser trocadas entre os
grupos. A tarefa é não só descobrir quais são as figurinhas já tiradas, como comparar a quantidade tirada
nos grupos ou a quantidade de figurinhas que faltam para cada grupo completar o álbum.
I. Jogo
Ainda com esse material, é possível jogar o Um a mais, um a menos, dez a mais, dez
a menos. Você vai precisar de uma cópia da tabela de controle, que será o tabuleiro, e
cartas com os mesmos números das figurinhas da tabela para cada grupo.
Veja, a seguir, as regras desse jogo:
As cartas são embaralhadas com suas faces viradas para baixo. Cada jogador escolhe 8 cartas e coloca-as abertas em sua frente. As outras cartas ficam separadas em
um banco, com as faces viradas para baixo.
Uma carta qualquer do banco é virada e colocada sobre o tabuleiro em seu lugar correspondente.
Na sua vez, o jogador deve tentar colocar uma de suas cartas no tabuleiro.A cada vez
um jogador pode colocar apenas uma carta.
Uma carta só pode ser colocada se ela for 1 a mais, 1 a menos, 10 a mais ou 10 a
menos que qualquer outra do tabuleiro, ou seja, se tocar uma outra carta por um de
seus lados.
Se na sua vez o jogador não tiver uma carta, ele compra do banco. Se tirar uma que
lhe serve ele joga, caso contrário passa a vez.
Ganha o jogador que descartar todas as suas cartas primeiro.
FÁBRICA DE DOCES
Material: grão de milho ou de feijão ou pedrinhas, caixinhas de fósforo vazias, sacos
de papel que podem ser confeccionados pelos próprios alunos.
Desenvolvimento: dê uma quantidade diferente de grãos para cada grupo, que deve
embalar os doces do seguinte modo: cada 5 grãos (que representam os doces) devem ser
50
colocados em uma caixinha, cada 5 caixinhas deverão ser embaladas em um saco de
papel.
Questões a serem propostas aos alunos:
a ) O que obtiveram?
b) Todos os grupos encontraram o mesmo resultado / Por que?
Solicite aos alunos para registrar os dados obtidos na tabela abaixo
(desenhe no quadro e peça para que os alunos reproduzam no caderno)
SACOS
CAIXINHAS
DOCES A SEREM
EMBALADOS
Observe que temos dois tipos de trocas: 5 doces por uma caixinha
5 caixinhas por um saco
Agora dê uma quantidade igual de grão para todos os grupos (32 doces)
1.
2.
3.
4.
Colocar 3 doces em cada caixinha e cada 3caixinhas em um saco
Colocar 4 doces em cada caixinha e cada 4 caixinhas em um saco
Colocar 6 doces em cada caixinha e cada 6 caixinhas em um saco
Colocar 7 doces em cada caixinha e cada 7 caixinhas em um saco
Peça para os alunos registrarem cada item em uma tabela com desenhos
TROCANDO “DINHEIRO”
Material: fichas coloridas de cartolina; uma folha de papel sulfite dobrada em três
partes iguais cada uma pintada de uma cor correspondente ás cores das fichas.
Desenvolvimento: as fichas coloridas poderão representar “dinheiro” usado em um
país imaginário (Você pode escolher um nome para este “dinheiro” junto com os alunos
numa espécie de concurso). Esse “dinheiro” imaginário deverá ser organizado em uma
“carteira” de “dinheiro” representada pela folha de papel sulfite.
Os alunos serão organizados em grupos de quatro de forma que três deles fiquem –
cada um – com uma “carteira” de “dinheiro” e com algumas fichas amarelas a serem
distribuídas aleatoriamente pelo professor; o quarto aluno será o bancário que ficará com
uma caixa, com fichas das três cores, representando o “dinheiro”.
É bom providenciar para cada grupo, pelo menos 50 fichas amarelas, 20 verdes e 8
rosas para que cada um dos três alunos possam ficar com 15 a 20 fichas amarelas no
início.
O professor combina com a classe que cada aluno deverá trocar suas notas amarelas
por outras de maior valor, de modo a ficar coma menor quantidade de notas em sua “carteira”.
Imaginemos que os valores de trocas foram combinados assim:
Cada três notas amarelas são trocadas por uma verde;
*
51
*
Cada três notas verdes são trocadas por uma nota rosa
Suponhamos que o primeiro aluno a fazer as trocas esteja com 16 fichas
amarelas. Trocá-las por fichas verdes, ele ficará com 5 fichas verdes e sobrará
Fundamentos 1 amarela que será colocada na parte amarela da “carteira” de “dinheiro”. Na
e Didática da próxima troca (3 fichas verdes por 1 rosa), o aluno obterá 1 ficha rosa – que
será colocada na parte rosa da “carteira” de “dinheiro” – e ainda lhe sobrarão
Matemática I
2 fichas verdes, que serão guardadas na parte verde da “carteira”. Assim, no
lugar de 16 fichas amarelas, esse aluno ficou apenas com 4 fichas, como na figura:
ROSA
VERDE
AMARELA
Depois que os três alunos do grupo tiveram feito suas trocas, o professor poderá
fazer perguntas como:
Qual das notas de “dinheiro” vale menos? Qual delas vale mais? Qual dos três alunos
do grupo tem mais “dinheiro”? Por quê?
Sozinho, rodinha, corrente.
Essa brincadeira é realizada no pátio da escola. Os alunos se dispersam e o professor
diz um número, que indica a quantida¬de necessária de crianças "para formar uma rodinha";
e, tam¬bém, a quantidade de rodinhas "para formar uma corrente".Suponhamos que o
professor tenha indicado o número 4 e que haja 21 crianças no jogo. Teremos, então, 5
rodinhas de 4 crianças, ficando 1 criança sozinha. A seguir, 4 dessas rodinhas poderão se
juntar, formando l corrente. Como resultado final, teremos: 1 "corrente", 1 "rodinha" e 1
"sozinha". Nesse caso, estamos trocando 4 crianças por 1 rodinha e 4 rodinhas por 1 corrente,
ou seja, as trocas estão sendo feitas na base 4.
ATENÇÃO
Nessas atividades, estamos e enfatizando as ações de agrupar e trocar elementos
de uma coleção importante para a compreensão das regras do SND.
Atividades
1.
2.
3.
Complementares
Escolha duas ou mais atividades apresentadas acima e desenvolva-as com os seus
colegas de sala.
Após o desenvolvimento das atividades escolhidas no item anterior, discuta com os
seus colegas alternativas para a realização das mesmas.
Escolha um conjunto da sua sala de aula (objetos, homens, mulheres, etc) e classifique
os elementos, estabelecendo pelo menos três classes (formando, no mínimo, três
subconjuntos).
52
Atividade
Orientada
Etapa
1
(INDIVIDUAL)
Escolha um professor(a) de matemática da sua vida acadêmica e escreva um texto
narrando as lembranças que ficaram dele considerando aspectos como: postura em sala
de aula (relação professor aluno) e tratamento dos conteúdos matemáticos (procedimentos
didáticos para o desenvolvimento do conteúdo) e a sua aprendizagem.
OBS.: O material deve ser apresentado em, no máximo, 3 folhas, de acordo com as
normas da ABNT
Critérios de Correção:
Para a correção, o tutor deverá levar em consideração os seguintes aspectos:
• Coesão;
• Clareza;
• Articulação das idéias;
• Normas da ABNT;
• Posicionamento crítico e reflexivo frente ao trabalho do professor, considerando
os itens do enunciado da questão.
OBS.:
1. Se houver possibilidade, o tutor deverá solicitar que alguns alunos leiam a narrativa
em sala de aula
2. Em relação à correção da língua escrita, o tutor, considerando oportuno, poderá
sinalizar incorreções de ortografia e concordância. Entretanto, estas considerações deverão
ter caráter formativo, sem qualquer influência para efeito de avaliação.
Etapa
2
(EQUIPE)
Considerando os quatro conteúdos do tema 1, construa, em equipe, um questionário
contendo 15 questões distribuídas da seguinte forma:
5 questões subjetivas
5 questões de múltipla escolha
5 questões de verdadeiro ou falso
53
OBS.:
1. Procure trazer de forma equilibrada, nas questões, os quatro
conteúdos do TEMA 1.
2.Elabore o gabarito das questões
Fundamentos
e Didática da
Matemática I
Critérios de Correção:
Para a correção, o tutor deverá levar em consideração os seguintes aspectos:
• Coesão;
• Clareza;
• Articulação das idéias;
• Coerência entre conteúdo e perguntas;
• Equilibro entre os conteúdos;
• Correção do gabarito apresentado, tomando como referência as informações do
material impresso.
OBS.: Em relação à correção da língua escrita, o tutor, considerando oportuno,
poderá sinalizar incorreções de ortografia e concordância. Entretanto, estas considerações
deverão ter caráter formativo, sem qualquer influência para efeito de avaliação.
Etapa
3
Escolha uma série do ensino fundamental (primeiro e segundo ciclo), um conteúdo e
elabore um planejamento semanal para aulas de matemática envolvendo objetivos e
atividades permanentes, seqüências e de sistematização. Observe para que existam
atividades voltadas para a matemática todos os dias da semana e descreva de forma sucinta
as etapas das atividades a serem desenvolvidas
Critérios de correção:
Para a correção, o tutor deverá observar os seguintes aspectos:
Adequação conteúdo /atividade/série
Articulação entre: objetivos x conteúdos x atividades
Diversidade das atividades
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
Respostas dos problemas e pegadinhas da pagina 35 ;
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
1) Dois pares (um de sandália e um de meias)
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
ou 1 par de sandália e mais uma sandália
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
2) Ônibus
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
3) IVO, IV e V
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
4) Levar dois amigos de uma vez
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
5) Um minuto (cada um come o seu)
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
6) Nenhum, pois cavalo não sabe contar.
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
7)
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
123456789012345678901234567890121234567890123456789012345678901212345
54
Glossário
Algoritmos – conjunto predeterminado e definido de regras e processos destinados
à solução de um problema com um número finito de etapas.
Artefatos – atividades concretas.
Conceitual – tipologia de conteúdos trazidos pelo PCN de ensino fundamental que
envolve princípios, conceitos e definições.
Dedução – raciocínio em que, parte-se do geral para o particular.
Empirismo – teoria de aprendizagem onde conhecimento vem do meio físico para
o social.
Inatismo – teoria de aprendizagem onde o conhecimento está no sujeito e é
bagagem hereditária.
Indução – raciocínio em que, de fatos particulares, se tira uma conclusão genérica.
Mentefatos – abstração, subjetividade.
Procedimental – tipologia de conteúdos trazidos pelo PCN de ensino fundamental
que envolve algoritmos.
Relacionismo – teoria de aprendizagem que considera que sujeito trás uma
bagagem hereditária, as estruturas mentais, e o conhecimento é construído pelo próprio
sujeito a partir da sua interação com o ambiente.
Reversibilidade – capacidade de fazer e desfazer mentalmente a mesma ação.
Topologia – ramo da matemática que estuda certas propriedades das figuras
geométricas - entre essas propriedades estão aquelas que não variam quando as figuras
são deformadas; se ocupa da noção de continuidade e dos conceitos a ela ligados.
55
Referências
Fundamentos
e Didática da
Matemática I
Bibliográficas
BARBOSA. J. C. B.Modelagem e Educação Matemática: contribuições para o debate
teórico. In: REUNIÃO ANUAL DA ANPED, 24, 2001. Caxambu. Anais... Rio de Janeiro:
ANPED, 2001 CD-ROM.
BASSANEZI, R. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo: Editora
Contexto: 2002. 389 p.
BIGODE, A. J. L. Matemática hoje é feita assim. São Paulo; FTD, 2000
Brasil. Parâmetros Curriculares Nacionais: terceiro e quarto ciclo do ensino
fundamental. Brasília: MEC/SEF, 1998.
DANTE, L. R, Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Editora Ática. 1999.
F. S. N. Ferreira Calegaro M. M. Instinto numérico - a psicogênese das habilidades
matemáticas. Disponível em : www.psicopedagogia.com.br/artigos/artigoAcesso 4 de janeiro
2006
GRANDO, C. R. O conhecimento matemático e o uso de gogos em sala de aula. 2000.
120 Tese (Doutorado) Universidade Estadual de Campinas – Faculdade de Edcação.
Campinas: 2000
GRAVINA,M. e SANTAROSA,LMC A Aprendizagem da Matemática em Ambientes
Informatizados. Disponível em www.niee.ufrgs.br/cursos/topicos-ie99/biblio1.html 10kAcesso 4 de janeiro de 2006
KAMII, C. e JOSEPH L. L. Crianças Pequenas Continuam Reinventando Aritmética
(séries iniciais): implicações da Teoria de Piaget. 2ª ed. Porto Allegre: Artmed Editora,
1992
LIBÂNEO, J. C. Didática. São Paulo: Cortez, 1992 (Coleção magistério – 2º grau, Série
formação do professor).
NETO, E. R. Didática da Matemática. 11a ed. São Paulo: Editora Ática. 2001
O MEDO DA MATEMÁTICA Disponível em: Disponível em http://www.ufsm.br/ce/revista/
revce/2001/02/a8.htm.Aesso 4 de janeiro de 2006
PIAGET. J. Comentários sobre educação matemática. Disponível em
mathematikos.psico.ufrgs.br/im/mat01042051 . Acesso em 4 de janeiro de 2006
RANGEL, A.C.S. Educação Matemática e a Construção do Número pela Criança; uma
experiência em diferentes contextos sócio-econômicos. Porto Alegre: Artmed Editora,
1992
56
SANTOS. A. Jogos no Ensino da Matemática. 60 p. Monografia (Especialização) - Centro
de Extensão e Pesquisa, Universidade Católica do Salvador, Salvador, 2005
TOLEDO, M. e TOLEDO M, Didática da Matemátia: como dois e dois: a construção da
matemática. São Paulo; FDT,1997.
TOPÁZIO, J. A. Modelagem Matemática e Interdisciplinaridade: qual a relação? 69 f.
Monografia (Especialização) - Centro de Extensão e Pesquisa, Universidade Católica do
Salvador, Salvador, 2003.
TOPÁZIO, J. A. Modelagem Matemática e Interdisciplinaridade: qual a relação? 69 f.
Monografia (Especialização) - Centro de Extensão e Pesquisa, Universidade Católica do
Salvador, Salvador, 2003.
TORRES, M. R. Que (e como) é necessário aprender? 2. ed. São Paulo: Papirus, 1995.
p.158
Zunino, D. L. de. A matemática na Escola: aqui e agora. Porto Alegre; Artmed Editora:
1995
57
Fundamentos
e Didática da
Matemática I
58
Anotações
Anotações
59
Fundamentos
e Didática da
Matemática I
FTC - EaD
Faculdade de Tecnologia e Ciências - Educação a Distância
Democratizando a Educação.
www.ftc.br/ead
60
www.ftc.br/ead