Programa de Formação Contínua em Matemática para Professores do 1º Ciclo do Ensino Básico
II. Números e sistemas de numeração
1.
A operação de contagem. Conceito de número
2.
Sistemas de numeração – sua classificação
3.
Diversos sistemas de numeração
3.1. Civilização egípcia
3.1.1.
Sistema de numeração egípcio
3.1.2.
Operações
3.2. Civilização romana
3.2.1.
Sistema de numeração romano
3.3. Outros sistemas de numeração
4.
Bases dum sistema de numeração
4.1. Representação de inteiros no sistema de base b (b > 1)
4.2. Representação de um número como uma soma de produtos dos dígitos que compõem o número por
potências decrescentes de b
5.
Sistema de numeração indo-árabe ou decimal
5.1. Representação decimal dum número
6.
Comparação de números inteiros
7.
Mudança de base
7.1. Mudança da base decimal para uma base qualquer
7.2. Mudança duma base qualquer para a base decimal
7.3. Mudança duma base b para uma base b’
8.
Operações aritméticas nos diferentes sistemas de numeração
8.1. Adição
8.2. Multiplicação
9.
Breve história do “zero”
Cap. Números e operações
II. Números e sistemas de numeração
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1. A operação de contagem. Conceito de número
A etnografia, enquanto descrição científica de culturas, inclui o estudo de civilizações actuais que se
desenvolveram em relativo isolamento, pouco influenciadas pela cultura que emergiu de grandes civilizações
como a Chinesa, a Indiana, a Babilónica e a Egípcia. Tais civilizações isoladas, algumas delas ainda ao nível da
Idade da Pedra quando foram primeiramente estudadas há algumas centenas de anos, encontraram-se na África,
na Austrália, na América do Sul e na Indonésia. Atendendo a que diferentes civilizações se desenvolveram a
diversos níveis em diferentes locais, é plausível assumir que estudos etnográficos de civilizações primitivas, cada
vez mais raros, podem fornecer pistas valiosas para compreender os estádios mais primitivos da nossa
civilização.
1.1. Primeiros vestígios de “contagens”
Os matemáticos do século vinte desempenham uma actividade intelectual altamente sofisticada, sendo
boa parte do que hoje se chama matemática deriva de ideias que originalmente estavam centradas nos conceitos
de número, grandeza e forma. Conhecendo a história da matemática percebemos que as teorias que hoje
aparecem acabadas e elegantes são resultantes de desafios enfrentados na história da humanidade.
Crê-se que as nossas primeiras concepções de número e forma datam de tempos tão remotos como os do
começo da Idade da Pedra, o Paleolítico. Durante as centenas de milhares de anos, ou mais, deste período, os
homens viviam em cavernas, em condições pouco diferentes das dos animais, e as suas principais energias eram
orientadas para o processo elementar de recolher alimentos onde fosse possível encontrá-los. Eles faziam
instrumentos para caçar e pescar, desenvolviam linguagem para comunicarem uns com os outros.
“Nos finais dos anos 30, quando o arqueólogo Karl Absolom, peneirando terra checoslovaca,
desenterrou um osso de lobo de 30 000 anos de idade, com uma série de entalhes esculpidos, foi desenterrada
uma pista-chave a respeito da natureza da matemática da Idade da pedra. Ninguém sabe se Gog, o homem das
cavernas, usou o osso para contar os veados que matava, as pinturas que desenhava ou os dias que tinha passado
sem um banho, mas é evidente que os primeiros humanos estavam a contar alguma coisa.
O osso de lobo era, na Idade da Pedra, o equivalente ao supercomputador actual. (…) Parece que, no
princípio da matemática, as pessoas só sabiam distinguir entre um e muitos. Um homem das cavernas tinha uma
ponta de lança ou muitas pontas de lança; comia um lagarto triturado ou muitos lagartos triturados. Não havia
maneira de expressar qualquer quantidade que não fosse um ou muitos. Com o tempo, as linguagens primitivas
desenvolveram-se para distinguir entre um, dois e muitos e, finalmente, um, dois, três e muitos. Algumas línguas
actuais ainda têm esta limitação. Os índios Siriona e os brasileiros Ianoama não têm palavras para números
superiores a três; em vez disso, estas duas tribos usam as palavras «muito» ou «muitos».
Graças à natureza dos números – podem ser adicionados para criar novos números -, o sistema de
números não parou no três. Após algum tempo, os homens tribais inteligentes começaram a dispor palavras números numa fila para formar mais números.”
(Charles Seife. Zero. A Biografia de uma ideia perigosa. Lisboa: Gradiva. 2001)
Cap. Números e operações
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1.2. Enumeração e numeração
Parece ser quase certo que no percurso para níveis de civilização mais avançados a enumeração precedeu
a numeração, e a numeração, por seu lado, precedeu o conceito de número.
Por enumeração entendemos o estabelecer duma correspondência entre os objectos considerados e
outros que servem como “contadores”. Por exemplo, a tribo Bugilai da Nova Guiné usava a seguinte sequência:
dedo mindinho esquerdo;
dedo anelar esquerdo;
dedo médio esquerdo;
dedo indicador esquerdo;
polegar esquerdo;
pulso esquerdo;
cotovelo esquerdo;
ombro esquerdo;
peito esquerdo;
peito direito
servindo o dedo indicador direito como guia.
Repare-se que uma vez fixada esta sequência, cada homem a transportava consigo. Além disso não era
necessário utilizar palavras para as diferentes partes do corpo. Muitas tribos primitivas usaram procedimentos
semelhantes. Através de várias outras partes do corpo era-lhes possível “contar” até um número bem elevado
sem recorrer a qualquer palavra ou símbolo.
Mas também outros objectos para além dos dedos ou partes do corpo – tais como sementes, riscos nas
pedras ou sulcos em paus – foram usados como contadores nos primeiros estádios da enumeração.
O uso gradual de linguagens faladas marcou um grande passo na evolução do conceito de número. Com a
criação duma linguagem que contém palavras para as diferentes partes do corpo, era natural que estas palavras,
em vez das diferentes partes do corpo fossem usadas no processo de enumeração; o que marca uma transição
para a numeração. No caso da tribo Bugilai as palavras usadas para a sequência anterior eram:
Tarangesa
(1)
dedo mindinho esquerdo
Gaben
(6)
pulso esquerdo
Meta Kina
(2)
dedo anelar esquerdo
Trankgimbe
(7)
cotovelo esquerdo
Guigimeta
(3)
dedo médio esquerdo
Podei
(8)
ombro esquerdo
Topea
(4)
dedo indicador esquerdo
Ngama
(9)
peito esquerdo
Manda
(5)
polegar esquerdo
Dala
(10)
peito direito
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Não existem suficientes evidências para fixar o período histórico em que foi feita a descoberta do
conceito de cardinal. Os documentos escritos mais antigos mostram que esse conceito estava igualmente
presente na China, na Mesopotâmia, na Índia e no Egipto. Todos esses documentos contêm a questão “Quantos
…?” Esta questão pode ser respondida em termos de número cardinal. Portanto, quando estes documentos
foram escritos, e provavelmente muito antes, o conceito de número cardinal estava já formado. Se tentarmos
perceber de que tipo de situações emergiu o conceito de número cardinal, veremos que o conceito fundamental
que designamos por “conjunto” terá sido uma das primeiras abstracções feitas pelo homem. Quando os Bugalai
diziam manda (“polegar esquerdo”), não tinham ainda o conceito de “mão” ou “conjunto completo de cinco
objectos”.
Uma das etapas seguintes deverá ter sido a observação de que a ordem pela qual é feita a correspondência
dos objectos num conjunto não é importante. O próximo passo, provavelmente o mais difícil, terá sido perceber
que o último nome dum número ordinal pronunciado associava-se não só ao último objecto no conjunto a ser
correspondido mas também dizia quantos objectos existiam ao todo no conjunto.
Podemos pois enunciar a seguinte definição de número natural.
Definição
Número natural é o cardinal dum conjunto finito qualquer não vazio.
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2. Sistemas de numeração – sua classificação
Um desenvolvimento mais formal da numeração pode ser encontrado na formação dos sistemas de
numeração. Em culturas em que os dedos de uma mão tinham sido usados em fases iniciais da numeração, o
agrupamento base do sistema de numeração ficou a ser o cinco. Quando os dedos de ambas as mãos eram
usados, o agrupamento base ficou a ser dez. Quando os dedos das mãos e pés eram usados, ou as partes de
ambas as mãos ou braços eram usados, tornou-se vinte.
A necessidade dum sistema de numeração surgiu com a questão (que naturalmente não se colocaria nestes
termos) O que tem de ser feito quando uma sequência finita ordenada de contadores (dedos ou partes do corpo) se esgota, mas
ainda restam objectos para corresponder?
O longínquo registo de traços num cajado ou de riscos em pedras depressa se tornou insuficiente para as
exigências do homem. O desenvolvimento das sociedades proporcionou que se desenvolvessem símbolos
convenientes para escrever os números e métodos para fazer cálculos com esses números. Os símbolos para
escrever os números são chamados numerais e os métodos para fazer cálculos, algoritmos. Quando tomados
em conjunto os numerais e os algoritmos, obtemos o que chamamos sistemas de numeração.
De facto é manifestamente mais prático escrever “11” (no sistema de base 10) do que “cardinal de
{€,Ω,↓,∏,∩,≈,∞,╢,♫,☼,☺}”.
Definições
• Numeral é todo o símbolo que representa um número.
• Um sistema de numeração é um conjunto de símbolos e regras culturalmente aceites que possibilita a
escrita de números.
Classificação de sistemas de numeração
Os sistemas de numeração podem classificar-se em:
•
Não posicionais (Ex: egípcio, romano)
•
Posicionais (Ex: indo-árabe)
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Sistema de numeração posicional
O valor de cada algarismo depende do lugar que ocupa.
Exemplo
Considere-se o número duzentos e vinte e dois, escrito no sistema indo-árabe (222).
A primeira menção do algarismo dois representa duas unidades simples; a segunda duas unidades de 1.ª
ordem (dezenas) e a terceira menção do dois representa duas unidades de 2.ª ordem (centenas).
Sistema de numeração aditivo (não posicional)
A posição recíproca dos constituintes não é relevante.
Exemplo
Considere-se o número oitenta e oito escrito no sistema de numeração romana: (LXXXVIII).
Nem o valor de I nem o de X depende da posição que ocupam esses símbolos.
Vantagem dos sistemas posicionais
A vantagem dos sistemas posicionais é notória já que asseguram uma grande economia de meios de
expressão e facilitam as operações aritméticas. (Sugere-se ao leitor incrédulo que tente multiplicar dois números
de três algarismos escritos no sistema de numeração romana).
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3. Diversos sistemas de numeração
3.1. Civilização egípcia
Os primeiros numerais egípcios conhecidos estão inscritos na forma hieroglífica num bastão real de cerca
de 3400 a.C., quando Menes uniu o Alto Egipto e o Baixo Egipto. Estes símbolos foram usados para denotar
grandes números associados com saques de guerra: a captura de 120 000 prisioneiros humanos, 400 000 cabeças
de gado e 1 422 000 cabras.
Breves Notas
Pode dizer-se que a Egiptologia começou quando se puderam decifrar os caracteres da escrita egípcia. Isso
só aconteceu a partir de 1799, com a expedição de Napoleão Bonaparte ao Egipto.
Foram os soldados franceses que encontraram a
este de Alexandria, perto de Rosetta, uma pedra negra
de basalto (pedra da Rosetta) contendo uma inscrição
em 3 línguas: grego, hieroglífico e demótico. Foi
graças aos trabalhos do inglês Thomas Young e do
francês Jean François Champollin que os hieróglifos
foram decifrados, por comparação com o texto grego.
Posteriormente muitas outras inscrições foram
decifradas em túmulos, templos e papiros.
Cap. Números e operações
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Há a considerar três tipos diferentes na escrita dos antigos egípcios:
•
a escrita hieroglífica, em que os caracteres usados são os hieróglifos; é uma escrita pictórica, à
base de figuras.
Prevaleceu desde cerca de 3000 a.C. até aos primeiros séculos da era cristã; a partir de uma
certa altura passou apenas a ser usada para inscrições formais, ou em monumentos de pedra,
madeira ou metal;
•
a escrita hierática, que é uma escrita mais abreviada do que a hieroglífica e mais adequada para
escrever nos papiros, onde foi frequentemente usada. Começou a ser usada cerca de 2000 a.C.;
•
a escrita demótica, que é ainda mais simplificada do que a hierática. È uma escrita de carácter
popular, como aliás a própria designação o exprime. Desenvolveu-se cerca do ano 800 a.C.
Os documentos originais de conteúdo matemático não são muitos; apenas cerca de uma dúzia. Deles
destacam-se os seguintes: o papiro Rhind, o papiro de Moscovo, o papiro de Kahun, o papiro de Berlim e o Rolo
de Couro das Matemáticas Egípcias. O estudo destas fontes permite perceber o desenvolvimento matemático da
civilização egípcia. Os aspectos mais notórios prendem-se com a sistematização dum sistema de numeração,
problemas aritméticos, resolução de equações e problemas geométricos
3.1.1. Sistema de numeração egípcio
Os egípcios usavam um sistema de numeração de base 10, do tipo aditivo mas não tinham símbolo para o
zero.
Para os números de um a nove repetiam um pequeno traço vertical e depois usavam símbolos especiais
para as diferentes potências de 10, desde 10 até 107. Estes símbolos eram usados em combinação e repetidos
tantas vezes quantas necessárias para expressar qualquer número. As representações para os diferentes símbolos
têm sido interpretadas de diferentes formas: 1, traço vertical; 10, asa de um cesto ou arco; 100, corda enrolada;
1000, flor de lótus; 10 000 dedo inclinado; 100 000, ave ou girino; 1 000 000 homem sentado ou espantado;
10 000 000, sol.
Hieróglifos
|
||
|||
Símbolos do
1
2
3
…
∩
...
10
102
103
104
105
106
107
sistema decimal
Uma vez que prevalece o simples princípio aditivo, os símbolos poderiam surgir em qualquer ordem.
Assim, em hieróglifos, o número 573, escrever-se-ia (da direita para a esquerda)
∩∩∩∩∩∩∩
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3.1.2. Operações
3.1.2.1 Adição
No sistema de numeração egípcio, expresso em hieróglifos, a adição era extremamente simples de
efectuar. Bastaria contar, em cada um dos numerais, quantos símbolos havia de cada tipo, e escrever o resultado
final com todos os símbolos de cada um deles, substituindo, eventualmente, dez símbolos de uma determinada
potência de 10, por apenas um símbolo da potência de 10 imediatamente superior.
Exemplo
573 + 48
∩∩∩∩∩∩∩
∩∩∩∩
∩∩
Total
5
+
Total
7 3
4 8
6
2 1
3.1.2.2. Multiplicação
Para multiplicar um número por 10 bastava substituir cada símbolo representativo de uma determinada
potência de 10 pelo símbolo da potência imediatamente superior.
Exemplo O resultado da multiplicação por 10 do número representado por
∩∩ é representado por
.
As restantes operações são efectuadas por um processo sistemático fundamentado em duas regras simples
que se podem designar por “regra do dobro” e “regra dos 2/3”. Mais adiante abordaremos a “regra dos 2/3”.
Regra do dobro
A regra do dobro consiste em sucessivas duplicações do número em causa, e era aplicada não só para
multiplicar; mas também para dividir.
Note-se que a regra do dobro, aplicada em sentido inverso, se traduz pelo cálculo de sucessivas divisões
ao meio.
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Exemplo
1) Multiplicar 18 por 11.
O escriba teria de começar por escolher qual dos números tomava para multiplicando. Supondo que 18
era o escolhido, teria de o repetir onze vezes, o que fazia por sucessivas duplicações, escrevendo: (iremos apenas
expressar o método com a representação no sistema decimal)
Total
\1
\ 18
\2
\ 36
4
72
\8
\ 144
11
198
Na coluna da esquerda, eram assinalados os multiplicadores parciais cuja soma é 11, (o multiplicador
pretendido); os resultados correspondentes da coluna da direita são também assinalados e adicionados, para
obter o resultado final. Isto corresponde a escrever
18 × 11 = 18 × (1+2+8) = 18+36+144 = 198
2) Multiplicar 18 por 35
Total
1
35
\ 10
\ 350
2
70
4
140
\8
\ 280
18
630
Neste caso privilegiou-se a multiplicação por 10, atendendo a que 18 =10+8.
Deve-se observar que a regra do dobro se baseia no facto de que todo o inteiro natural pode ser expresso,
de forma única, como soma de potências de 2 todas diferentes (de facto, isto corresponde à representação desse
inteiro na base 2).
É ainda de assinalar que o método de multiplicar com base na regra do dobro foi ainda usado pelos
Gregos, na Europa Medieval, e ainda é usado em algumas Comunidades da Rússia e em países do Leste.
Cap. Números e operações
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3.1.2.3. Divisão
Na divisão exacta, usa-se a mesma técnica do que na regra do dobro, já que é a operação inversa da
multiplicação. Aliás, para o escriba egípcio, dividir a por b punha-se em termos de “como operar sobre b para
obter a”, o que significa, “por quanto multiplicar b para obter a”.
No problema nº 69 do papiro de Rhind é pedido como operar sobre 80 para obter 1120.
Este enunciado corresponde à determinação do quociente de 1120 por 80. Vamos então determiná-lo,
buscando por quanto se deve multiplicar 80 para obter 1120.
Total
1
80
\ 10
\ 800
2
160
\4
\ 320
14
1120
Assim é determinado o quociente 14, como soma dos números assinalados na coluna da esquerda,
correspondentes aos números da coluna da direita, cuja soma é 1120.
Esta técnica é generalizável à divisão inteira.
Exemplo
Calcular o quociente e o resto da divisão de 587 por 94.
Em termos egípcios, o escriba iria operar sobre 94 até obter 587, ou um número imediatamente inferior,
isto é, que dele difira menos de 94 unidades.
Total
1
94
\2
\ 188
\4
\ 376
6
564
O número 587 – 564 = 23 é o resto, visto que é menor que 94. O quociente é 6.
Cap. Números e operações
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3.1.2.4. Operações com fracções unitárias
O termo fracção egípcia designa uma soma de fracções unitárias distintas, sendo uma fracção unitária
simplesmente uma fracção de numerador igual a um. Em rigor, o nome de representação egípcia seria mais
adequado, mas a designação fracção egípcia está de tal forma enraizada que é impossível fazer essa correcção.
3
1
1
1
3
Por exemplo
é uma representação de
em fracção egípcia.
=
+
+
25 19 150 450
25
Usando a igualdade
1
1
1
=
+
,
a a + 1 a( a + 1)
pode transformar-se uma representação numa outra com mais parcelas, concluindo-se assim que a representação
está longe de ser única.
A designação fracção egípcia deve-se ao facto dos antigos egípcios representarem todos os números
fraccionários essencialmente desse modo.
Notação
Em hieróglifos, as fracções unitárias eram representadas colocando o símbolo
sobre o símbolo para o
denominador.
Exemplo
1
era representado por
13
∩.
Na escrita hierática o símbolo escrito por cima do número simplificou-se para um ponto.
A fracção
2
era representada em hieróglifos por
3
representará o inverso de
Cap. Números e operações
. Se interpretarmos “
1 3
” como 1 = , então
2 2
3
.
2
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3.1.2.5. Regra dos 2 3
O produto de 2/3 por uma fracção ímpar (fracção unitária de denominador ímpar i) era calculado através
da soma das fracções unitárias cujos denominadores eram o dobro de i e o sêxtuplo de i.
Exemplo
2 1
1
1
1
1
× =
+
=
+
3 5 2 × 5 6 × 5 10 30
É de notar que esta regra também era aplicada a fracções de denominador par. Contudo, neste caso, tinha
uma regra mais simples, que consistia em adicionar metade do denominador a si próprio.
Exemplo
2 1
1
1
× =
=
3 6 3+ 6 9
Cap. Números e operações
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3.2. Civilização romana
A Roma Antiga foi uma civilização que se desenvolveu a partir da cidade-estado de Roma, fundada na
península itálica durante o século IX a.C.. A civilização romana é tipicamente inserida no grupo "Antiguidade
Clássica", juntamente com a Grécia Antiga que muito inspirou a cultura deste povo. Roma contribuiu
imensuravelmente para o desenvolvimento no Mundo Ocidental de várias áreas de estudo, como o direito, teoria
militar, arte, literatura, arquitectura, linguística, e a sua história persiste como uma grande influência mundial,
mesmo nos dias de hoje.
3.2.1. Sistema de numeração romana
Não existem muitas certezas quanto à origem da notação romana dos números. Os Romanos nunca
usaram as sucessivas letras do seu alfabeto para a numeração.
Nas primeiras inscrições em monumentos de pedra o “um” era representado por um traço vertical. O
“cinco” era geralmente representado por V, talvez representando uma mão. Isso naturalmente sugere o símbolo
X (dois V’s) para “dez”. Mas também pode suceder que o uso de X provenha de cruzar uns, conforme é
usualmente dito. Se essa é a origem de X para “dez”, então V surgiria naturalmente como metade de X. Não
existe informação definitiva para a origem de L para “cinquenta”. A palavra romana para “centena” era centum e
para “milhar” era mille. Talvez seja essa a razão para o uso de C para “uma centena” e M para “um milhar”. Um
símbolo anterior usado para representar um milhar era
. O D para “quinhentos” poderá ter surgido da
parte direita desse símbolo.
Princípio aditivo
Os símbolos eram escritos da esquerda para a direita, por ordem decrescente A principal característica do
sistema de numeração romana é a de ser aditivo, ou seja, os valores dos símbolos usados na representação dum
numeral são adicionados; o valor dos símbolos é o mesmo independentemente da ordem em que figura.
Exemplo LXXIII representa 73.
Princípio subtractivo
Mais tarde, por simplificação de escrita, os símbolos começaram a ser utilizados de modo subtractivo.
Exemplo IV representa 4, em vez da forma inicial IIII.
IX representa 9, em vez da forma inicial VIIII.
Cap. Números e operações
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Notas
1) A escrita de numerais no sistema de numeração romana fazendo uso do princípio subtractivo poderia
conduzir a algumas ambiguidades. Por exemplo, IXL poderia representar 39 ou 41. Assim, é usual utilizar
somente um símbolo do modo subtractivo. Portanto 39 escreve-se na forma XXXIX e 41 na forma XLI.
Outra observação importante é a de que na forma subtractiva apenas se podem usar ao mesmo tempo
símbolos que correspondam a ordens imediatamente seguintes (unidades e dezenas; dezenas e centenas;
centenas e milhares). Por exemplo, 999 não se representa por IM mas por CMXCIX.
2) Na representação dum número os símbolos I, X, C e M podem repetir-se, no máximo, três vezes
consecutivas; os outros apenas são utilizados uma vez.
Princípio multiplicativo
Existem ainda esporádicos exemplos de escrita no sistema de numeração romana obedecendo ao princípio
da multiplicação.
Exemplo VM não significaria 1000-5 mas 5*1000 ou 5000.
Para representar um número mil vezes superior era colocado um traço horizontal por cima do número
considerado
Exemplo V representa 5 × 1000 = 5000. XLV representa 45 × 1000 = 45000.
Síntese
• Sistema de base dez, onde se utilizam sete letras maiúsculas: I, V, X, L, C, D e M
• Sistema
de
numeração
não
posicional,
predominantemente aditivo mas também subtractivo.
• Os símbolos I, X, C, M podem repetir-se, no máximo,
três vezes consecutivas; os outros apenas são utilizados uma
vez.
• Um traço horizontal sobre qualquer símbolo indica um
valor mil vezes superior.
Cap. Números e operações
Milhares Centenas Dezenas Unidades
M
C
X
I
MM
CC
XX
II
MMM
CCC
XXX
III
IV
CD
XL
IV
V
D
L
V
VI
DC
LX
VI
VII
DCC
LXX
VII
VIII
DCCC
LXXX
VIII
IX
CM
XC
IX
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3.3. Outros sistemas de numeração
Vários povos utilizaram, no passado, sistemas de numeração distintos do decimal.
• Na Babilónia surgiu o sistema sexagesimal.
Parece remontar ao quinto milénio aC, um dos primeiros sistemas conhecidos de controle da circulação
de mercadorias e que foi posto em execução pelos habitantes da Mesopotâmia. Eram utilizados pequenos
objectos de barro ou pedras de formas diversas, cada um correspondendo a um número específico duma
determinada mercadoria. Posteriormente, por uma questão de comodidade, passaram a representar-se estes
símbolos em placas de barro.
• Adquiriu uma considerável difusão o sistema de base doze, sistema de origem ligada à mão, ou, mais
precisamente, às doze falanges dos dedos duma mão (o polegar é excluído, servindo para contar as falanges dos
dedos restantes).
A língua conserva testemunhas deste passado, ainda hoje, ovos e talheres se
contando de preferência por dúzias.
O sistema de medidas inglês conserva vestígios óbvios da numeração duodecimal,
como atesta a divisão do “pé” em doze polegadas, do antigo shilling em doze pennies.
• O sistema de numeração actualmente utilizado em quase todo o mundo é o sistema indo-árabe, que
parece ter sido utilizado por volta do século V. O nome está directamente relacionado com a convicção
existente de que foi inventado pelos hindus (indianos) e adoptado e divulgado pelos árabes.
O “nosso” sistema indo-árabe é um sistema numérico posicional decimal. Isto significa que:
- o número usado como base do sistema é o 10;
- são utilizados dez símbolos, a que chamamos algarismos, um para o zero e um para cada um dos
números naturais menores que dez.
- a posição de cada algarismo na representação do número determina o seu valor.
Mas este “produto final”, que agora utilizamos, é resultado de uma evolução lenta de conceitos e
notações que passa por vários e significativos estádios de desenvolvimento.
Cap. Números e operações
II. Números e sistemas de numeração
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4. Base dum sistema de numeração
Definição
Chamamos base dum sistema de numeração a um número inteiro b>1, a partir do qual podemos
representar qualquer número, utilizando os b sinais representativos dos primeiros b inteiros
0,1, 2, 3, ..., b-1
Existe uma infinidade de sistemas de numeração, uma vez que a base pode ser arbitrariamente escolhida,
desde que seja maior do que um.
Exemplo
Consideremos um conjunto de objectos, digamos berlindes
Base 3
Procuremos uma representação deste número na base 3.
1º agrupemos os berlindes em caixas de três elementos
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2º agrupemos as caixas em sacos com três caixas (cada uma contendo três berlindes)
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3º como não existem pelo menos três sacos para agrupar, o processo de agrupamento terminou.
Façamos agora a contagem
Sacos
Caixas
Berlindes
1
2
1
Unidades de 2ª ordem Unidades de 1ª ordem Unidades simples de ordem 0
O número de berlindes representa-se no sistema de base três por 121(3) .
Cap. Números e operações
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Base 10
Repare que na base 10, o agrupamento seria feito da forma seguinte:
|
1º |
2º não é possível “encher” uma caixa porque não se contaram pelo menos dez sacos.
O processo de agrupamento terminou, tendo-se
Caixas
Berlindes
1
4
Unidades de 1ª ordem Unidades simples de ordem 0
O mesmo número de berlindes representa-se no sistema de base dez por 14.
4.1. Representação de inteiros no sistema de base b (b > 1)
Sucessor dum número
O sucessor de um número em qualquer base diferente de dez, determina-se do mesmo modo descrito
para a base decimal.
Exemplo
Por exemplo, para o sistema de base 5, onde se utilizam apenas os cinco símbolos 0, 1, 2, 3 e 4, tem-se:
Suc 0 = 1; Suc 1 = 2; Suc 2 = 3; Suc 3 = 4; Suc 4 = 10
Para determinar o sucessor de números com n algarismos (mais de dois), procede-se do seguinte modo:
1) Se o último algarismo não é um 4, substitui-se esse algarismo pelo seu sucessor
Exemplo: suc 213 = 214
2) Se o último algarismo é um 4, substitui-se o 4 por 0 (zero) e ao mesmo tempo, substitui-se o inteiro
formado pelos n-1 algarismos anteriores pelo seu sucessor.
Exemplo: suc 234 = 240; suc 44 = 100
Cap. Números e operações
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4.2. Representação de um número como uma soma de produtos dos dígitos que
compõem o número por potências decrescentes de b
•
A observação feita para a representação decimal de um número no sistema decimal é generalizável a outras
bases.
•
Para se distinguir qual a base a que nos queremos referir, indica-se em índice, e entre parênteses a base
respectiva.
Exemplo
234(5) = 2 x 52
+
3 x 51
+
4 x 50
algarismo de
algarismo de
algarismo de
2ª ordem
1ª ordem
unidades simples
Observação
Para fazer a contagem e a representação nas diversas bases podemos utilizar o material multibase.
Cap. Números e operações
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5. Sistema de numeração indo-árabe ou decimal
Os algarismos ditos árabes constituem a contribuição mais conhecida dos islamitas para o progresso da
matemática europeia. Os novos símbolos e o sistema de numeração que lhes está associado e que ainda hoje se
utiliza são, na realidade, de origem hindu, mas foram os árabes que os trouxeram para o Ocidente e que
primeiramente aqui os usaram e dominaram.
As razões da preponderância do sistema decimal situam-se fora da matemática e podem ser sugeridas pelo
facto do dispositivo primordial de cálculo, as mãos, totalizarem dez dedos. Resta, a fim de criar o sistema
posicional, efectua um passo essencial que consiste em, esgotados os dez dedos, encarar o dez como uma
unidade de ordem superior, dez vezes dez, como a unidade de ordem seguinte, etc.
• Para escrever os inteiros, em notação do sistema decimal, usamos os dez sinais ou símbolos a que
chamamos algarismos: 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
• Convencionou-se que cada algarismo, situado imediatamente à esquerda de outro, representa unidades
da ordem imediatamente superior à dele.
• Convencionou-se também que se o número não contiver unidades numa determinada ordem, empregase no lugar dessa ordem, o símbolo 0 (zero) que indica ausência de unidades.
Origem da palavra algarismo
A palavra dígito vem da palavra latina "digitus", que significa dedo. É claro que isto tem a ver com o uso
dos dedos nas contagens.
É curiosa a origem da palavra algarismo. Durante o reinado do califa al-Mamun, no século IX, viveu um
matemático e astrónomo árabe, que se tornou famoso. Chamava-se Abu Ja'far
Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi's.
Num dos vários livros que escreveu, intitulado "Sobre a arte hindu de
calcular", ele explica minuciosamente o sistema de numeração hindu. Na Europa, este
livro foi traduzido para o latim e passou a ser muito consultado por aqueles que
queriam aprender a nova numeração. Apesar de al-Khwarizmi, honestamente,
explicar que a origem daquelas ideias era hindu, a nova numeração tornou-se
conhecida como a de al-Khwarizmi. Com o tempo, o nome do matemático árabe foi
modificado para algorismi que, na língua portuguesa, acabou por se tornar
algarismo.
(Figura referente à comemoração dos 1 200 anos de nascimento de al-Khwarizmi)
Cap. Números e operações
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Evolução dos algarismos
Sucessor de um número
Podemos então definir do seguinte modo o sucessor dum número com apenas um algarismo:
Suc 0 = 1; Suc 1 = 2; Suc 2 = 3; Suc 3 = 4; Suc 4 = 5; Suc 5 = 6
Suc 6 = 7; Suc 7 = 8; Suc 8 = 9; Suc 9 = 10;
Para números com n algarismos (mais de dois), procede-se do seguinte modo:
1) Se o último algarismo não é um 9, substitui-se esse algarismo pelo seu sucessor
Exemplo: suc 147 = 148
2) Se o último algarismo é um 9, substitui-se o 9 por 0 (zero) e ao mesmo tempo, substitui-se o inteiro
formado pelos n-1 algarismos anteriores pelo seu sucessor.
Exemplo: suc 249 = 250; suc 99 = 100
Cap. Números e operações
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5.1. Representação decimal dum número
• Todo o número é representável na forma de somas de produtos dos dígitos que compõem o número
por potências decrescentes de base igual a dez (ou qualquer outra base)
• A representação dum inteiro nesta forma, chama-se representação decimal, dado o papel que tem o
número 10 em tal representação. Ao número 10 chama-se base de numeração.
Exemplo
9896 =
=
9000
+
800
+
90
+
6
9 x 103
+
8 x 102
+
9 x 101
+
6 x 100
algarismo de
3ª ordem
algarismo de
2ª ordem
algarismo de
1ª ordem
algarismo de
unidades simples
Leitura dum número no sistema de numeração decimal
Recordemos a leitura de um número representado no sistema de numeração decimal.
Classes
1ª classe
Ordens
das unidades
Classes
Ordens
4ª classe dos milhares de milhão
unidades
0
milhares de milhão
9
dezenas
1
dezenas de milhão
10
centenas
2
centenas de milhão
11
2ª classe dos milhares
5ª classe dos biliões
milhares
3
biliões
12
dezenas de milhar
4
dezenas de milhão
13
centenas de milhar
5
centenas de milhão
14
3ª classe dos milhões
milhões
6
dezenas de milhão
7
centenas de milhão
8
Exemplo
A leitura do número 9896, cuja representação decimal é 9 × 103 + 8 × 102 + 9 × 101 + 6 × 100, é: nove
milhares, oito centenas, nove dezenas e seis unidades ou, mais habitualmente: nove mil oitocentos e noventa e
seis unidades.
Cap. Números e operações
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Numeral ordinal e numeral cardinal
Uma ideia que normalmente surge é a de que os números são aquilo que permite contar e, como tal,
responder a questões do tipo: “Quantos são?”. Desta forma, o número natural é encarado como o cardinal de um
dado conjunto, isto é, descreve a quantidade dos seus elementos. No entanto, o número pode ser usado num
sentido diferente, por exemplo, se dissermos que numa corrida participam três crianças, o três é o cardinal, mas
se mencionarmos que o João chegou em terceiro lugar, o três já não é encarado da mesma forma mas antes
como ordinal do número, ou seja, como a ideia que o permite localizar numa dada sequência.
O cardinal indica o número ou quantidade dos elementos constituintes de um conjunto.
As escalas curta e longa são dois sistemas de
nomenclatura de números grandes. Na escala curta cada novo
termo é mil vezes o anterior enquanto que na escala longa o
factor é um milhão. Nos países de língua portuguesa é usada a
escala longa (com palavras que terminam em -lião) excepto no
Brasil onde é usada a escala curta (com palavras que terminam
em -lhão). Nos EUA utiliza-se a escala curta
Número
100
101
102
103
106
109
1012
1015
1018
1021
1024
1027
Escala curta
um
dez
cem
mil
milhão
bilhão
trilião
quatrilião
quintilião
sextilião
septilião
octilião
Escala longa
um
dez
cem
mil
milhão
mil milhões
bilião
mil biliões
trilião
mil triliões
quatrilião
mil quatriliões
Os números ordinais, ou simplesmente ordinais, são números usados para assinalar uma posição numa
sequência ordenada.
1º
2º
3º
4º
5º
6º
7º
8º
9º
10º
11º
12º
13º
14º
15º
16º
17º
18º
19º
20º
Ordinal
primeiro
segundo
terceiro
quarto
quinto
sexto
sétimo
oitavo
nono
décimo
undécimo ou décimo primeiro
duodécimo ou décimo segundo
tredécimo ou décimo terceiro
décimo quarto
décimo quinto
décimo sexto
décimo sétimo
décimo oitavo
décimo nono
vigésimo
Cap. Números e operações
30º
40º
50º
60º
70º
80º
90º
100º
200º
300º
400º
500º
600º
700º
800º
900º
1000º
2000º
3000º
1000000º
2000000º
Ordinal
trigésimo
quadragésimo
quinquagésimo
sexagésimo
septuagésimo
octogésimo
nonagésimo
centésimo
ducentésimo
tricentésimo ou trecentésimo
quadringentésimo
quingentésimo
sexcentésimo ou seiscentésimo
septingentésimo
octingentésimo
noningentésimo ou nongentésimo
milésimo
segundo milésimo
terceiro milésimo
milionésimo
segundo milionésimo
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6. Comparação de inteiros positivos
Para se poderem comparar dois inteiros positivos é fundamental que estes estejam escritos no mesmo
sistema de numeração. Se os inteiros não estiverem escritos no mesmo sistema de numeração, é preciso
representá-los na mesma base.
Depois de escritos na mesma base, é fácil compará-los:
1) Se não têm o mesmo número de algarismos, é maior aquele que tiver mais algarismos.
Exemplo: 235(5) > 89(5)
2) Se têm o mesmo número de algarismos, é maior aquele que tiver algarismos de maior valor a começar
da esquerda para a direita.
Exemplo: 2381(9) > 2377(9)
Cap. Números e operações
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7. Mudança de base
7.1. Mudança da base decimal para uma base qualquer
Dado um inteiro escrito no sistema decimal, encontremos a sua representação no sistema de base b.
Exemplo
2346(10 ) = ???( 5 )
2346
5
34
469
5
46
19
93
5
1
4
43
18
3
3
algarismo
algarismo
algarismo
de unidades
de
de
simples
1ª ordem
2ª ordem
5
3
algarismo
algarismo
de
3ª ordem
de
4ª ordem
2346(10 ) = 3 × 5 4 + 3 × 53 + 3 × 5 2 + 4 × 51 + 1 × 5 0 = 33341( 5 )
7.2. Mudança duma base qualquer para a base decimal
Dada a representação de um inteiro na base b, encontremos a sua representação no sistema decimal. Neste
caso, basta representar o inteiro como uma soma de produtos dos seus coeficientes por potências da base b e
efectuar os cálculos.
Exemplo
231( 5 ) = ???(10 )
231( 5 ) = 2 × 5 2 + 3 × 5 + 1 = 50 + 15 + 1 = 66
7.3. Mudança duma base b para uma base b’
Para passar de um sistema de base b para outro de base b’, passa-se, primeiramente, o inteiro à base dez e, só
depois desta à base b’.
Exemplo
231( 5 ) = ???( 4 )
Cap. Números e operações
231( 5 ) = 66 e 66 = 1002( 4 ). Logo 231( 5 ) = 1002( 4 ).
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8. Operações aritméticas nos diferentes sistemas de numeração
Os métodos de adicionar, multiplicar ou dividir números decimais permanecem válidos na aplicação a
quaisquer sistemas posicionais.
Destas operações, só iremos abordar a adição e a multiplicação.
8.1. Adição
Assim, na adição, qualquer que seja a base do sistema, somam-se consecutivamente, e contando a partir da
direita, as unidades de cada ordem, ocorrendo uma transferência para a ordem imediatamente superior, cada vez
que esta soma ultrapassar a base do sistema.
Exemplo
Determinar a soma seguinte: 136( 7 ) + 434( 7 )
A resolução deste problema exige o conhecimento da tabuada da
adição no sistema de base 7, a partir da qual se obterá:
136( 7 ) + 434( 7 ) = 603( 7 )
+ 0 1
2
3
4
5
6
0
0 1
2
3
4
5
6
1
1 2
3
4
5
6
10
2
2 3
4
5
6
10 11
3
3 4
5
6
10 11 12
4
4 5
6
10 11 12 13
5
5 6
10 11 12 13 14
6
6 10 11 12 13 14 15
8.2. Multiplicação
A multiplicação num sistema de numeração de uma base qualquer é feita de um modo semelhante ao
usado no sistema decimal, tendo apenas em conta a tabuada da multiplicação do sistema de numeração em causa.
Exemplo1\qza
Determinar o produto 2( 3) × 2102( 3) .
Formando a tabuada no sistema de base três, obtém-se 2( 3) × 2102( 3) = 11210( 3) .
Cap. Números e operações
II. Números e sistemas de numeração
× 0 1
2
0
0 0 0
1
0 1 2
2
0 2 11
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9. Breve história do “zero”
O zero é o primeiro de dez símbolos com os quais podemos representar uma infinidade de números – os
dígitos ou algarismos. O zero é também o primeiro dos números que devemos representar. No entanto, o zero, o
primeiro dos algarismos, foi o último a ser inventado; e o zero, primeiro dos números, foi o último a ser
descoberto.
“A história do zero é uma história antiga. As suas raízes estendem-se até ao despontar da matemática,
milhares de anos antes da primeira civilização, muito antes de os homens saberem ler e escrever. Mas, embora
hoje em dia nos pareça tão natural, o zero era para os antigos uma ideia estranha – e assustadora. Um conceito
oriental, nascido no crescente Fértil alguns séculos antes do nascimento de Cristo, o zero não só invocava
imagens de um vazio primordial, como também tinha perigosas propriedades matemáticas. Contido no zero está
o poder de destruir a estrutura da lógica.
O início do pensamento matemático foi encontrado no desejo de contar ovelhas e na necessidade de
registar propriedades e a passagem do tempo. Nenhuma destas tarefas requer o zero; as civilizações funcionaram
perfeitamente bem durante milénios antes da sua descoberta. De facto, o zero era tão aberrante para algumas
culturas que estas escolheram viver sem ele.”
(Charles Seife. Zero. A Biografia de uma ideia perigosa. Lisboa: Gradiva. 2001)
Tudo leva a crer que a descoberta do zero tenha sido o resultado de uma tentativa de fazer o registo
escrito não ambíguo das representações dos números e também dos resultados das operações com o ábaco.
As soluções adoptadas para notar a ausência de certas ordens em algumas civilizações foram,
primeiramente, um espaço, depois um traço e, por fim, um símbolo suplementar designado por zero.
Por exemplo, 1021 seria sucessivamente representado por: 1 21
1/21
1.21
1021.
Supõe-se que a forma redonda para o símbolo de zero venha da palavra grega ômicron, letra inicial da
palavra ouden ou vazio. Mais tarde, os hindus utilizaram o mesmo símbolo no seu sistema numérico e chamavamlhe sunya, que significava vazio ou nulo. Os árabes traduziram sunya por sifr (vazio). No princípio do século XIII,
em Itália, sifr transformou-se em zephirum, que depois de várias modificações deu finalmente origem a cifra e a
zero.
(Pedro Palhares. Elementos de Matemática para professores do Ensino Básico. Lisboa: Lidel. 2004)
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Algumas referências bibliográficas
•
Caraça, Bento de Jesus (2003) Conceitos Fundamentais da Matemática. 5ª edição Lisboa: Gradiva..
•
Estrada, Maria Fernanda; Sá, Carlos Correia; Queiró, João Filipe; Silva, Maria do Céu e Costa, Maria José
(2000) História da Matemática. Lisboa: Universidade Aberta.
•
Fomin, S. (1984) Sistemas de Numeração. Moscovo: Editora Mir.
•
Machiavelo. António (2006) “Fracções egípcias”. Gazeta matemática, 153, pp. 10-11.
•
Palhares, Pedro (2004) Elementos de Mateática para professores do Ensino Básico. Lisboa: Lidel.
•
Seife, Charles (2001) Zero. A biografia de uma ideia perigosa. Lisboa: Gradiva.
Organizado por: Ana Patrícia Martins e Helena Gomes
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