Universidade de Lisboa
Faculdade de Ciências
Departamento de Educação
O raciocínio proporcional dos alunos
do 2.º Ciclo do Ensino Básico
Sara Cristina Henriques Cabral da Costa
Dissertação Apresentada para Obtenção do Grau de Mestre em Educação
Especialidade de Didáctica da Matemática
2007
Universidade de Lisboa
Faculdade de Ciências
Departamento de Educação
O raciocínio proporcional dos alunos do
2.º Ciclo do Ensino Básico
Sara Cristina Henriques Cabral da Costa
Dissertação Apresentada para Obtenção do Grau de Mestre em Educação
Especialidade de Didáctica da Matemática
Dissertação orientada pelo
Prof. Doutor João Pedro Mendes da Ponte
2007
i
Agradecimentos
Venho, deste modo, expressar o meu reconhecimento a todos aqueles que, directa
ou indirectamente, contribuíram para a concretização deste trabalho:
Em primeiro lugar, ao meu orientador Professor Doutor João Pedro Mendes da
Ponte pelo acompanhamento que me deu, mostrando sempre disponibilidade para
responder a todas as minhas questões e encaminhar o meu trabalho através de preciosas
recomendações;
A toda a minha família que, desde sempre, me ensinou a lutar e a trabalhar
arduamente para atingir os meus objectivos;
À Sandra, pelas suas sugestões, reflexões, disponibilidade e amizade, sem as quais
este trabalho não teria sido possível;
À Xana pela sua amizade e paciência nos momentos mais difíceis e
principalmente neste momento final;
A todos os colegas de seminários, em especial à Ana e ao Nuno pelas suas
sugestões e reflexões;
Aos alunos que participaram no estudo e aos colegas da Escola EB 2, 3 das
Piscinas que me receberam sempre com muita simpatia e cordialidade;
À Diana, à Isabel e às educadoras do H.S.M. pela compreensão e apoio;
Ao Colégio Cesário Verde pela disponibilidade e apoio ao longo destes anos;
Aos meus amigos do Grupo de Caminheiros Gaspar Correia, que me ajudaram a
manter o equilíbrio emocional;
A todos aqueles que, na impossibilidade de referir os seus nomes, estiveram
sempre a meu lado com uma palavra de apoio.
ii
Resumo
O presente estudo analisa o raciocínio proporcional dos alunos antes e depois do
ensino formal da Proporcionalidade Directa. O seu objectivo é saber quais os tipos de
estratégia que os alunos utilizam, em que situações têm tendência para utilizar
estratégias mais formais e ainda de que modo identificam situações em que existe ou
não Proporcionalidade directa. O estudo foi desenvolvido numa turma do 6.º ano com
28 alunos. Para a recolha de dados foi utilizado um teste inicial, reflexões das aulas, um
teste final e entrevistas realizadas a 6 alunos. Os alunos entrevistados foram escolhidos
por serem bons comunicadores e terem desempenhos diferentes na disciplina de
Matemática.
Os resultados mostram que, mesmo antes do ensino formal do tema os alunos
são capazes de utilizar diferentes tipos de estratégias de forma a resolver tarefas
envolvendo raciocínio proporcional. As estratégias apresentadas nos vários momentos
foram bastante diversificadas – com destaque para a estratégia building-up e as
estratégias multiplicativas com procedimentos escalares ou funcionais. À medida que as
aulas foram avançando, num clima de troca de ideias e partilha de experiências, os
alunos foram adoptando estratégias mais formais como o produto cruzado. De um modo
geral, os alunos distinguiram situações em que existe proporcionalidade directa
daquelas em que não existe. Notou-se que o desempenho destes alunos foi fortemente
afectado pelo contexto, sentindo particular dificuldade em problemas envolvendo
misturas de grandezas contínuas e certas palavras ou expressões que, por vezes, deram
origem a problemas na interpretação das tarefas.
Palavras-chave: Matemática, Raciocínio proporcional, Proporcionalidade directa,
Estratégias, Dificuldades.
iii
Abstract
The present study analyzes students’ proportional reasoning before and after the
formal teaching of direct proportion. It aims to find out what types of strategy students
use, in what particular situations they tend to use more formal strategies, and also how
they identify situations in which direct proportion exists or not. This study was carried
out in a 6th grade class with 28 students. Data was collected using an initial test,
reflections about classes, a final test, and interviews with 6 students. This choice had in
consideration the students’ communication skills and their mathematics performance
level.
The results show that, even before the formal teaching of direct proportion, the
students are able to use different types of strategies to solve tasks involving proportional
reasoning. The strategies used by the students in different moments were quite varied.
Two strategies that particularly stand out are the building-up strategy and multiplicative
strategies (scalar and functional). As the classes went on, in a climate of sharing
thoughts, ideas, and experiences, the students gradually adopted more formal strategies
like the cross product. The results show that, generally, the students distinguish
situations were a proportional relation exist from situations in which such relation does
not exist. It seemed also quite clear that these students’ performance was strongly
affected by the context of the task, as it was clear that they felt particular difficulties in
problems involving mixtures of continuous quantities or involving certain words or
expressions that, sometimes, were source to other problems related to the interpretation
of the task.
Key Words: Mathematics, Proportional Reasoning, Direct Proportion, Strategies,
Difficulties.
iv
Índice
CAPÍTULO 1 ................................................................................................................... 1
Introdução......................................................................................................................... 1
Génese do estudo .......................................................................................................... 1
Problema e questões do estudo..................................................................................... 2
Orientações curriculares sobre o ensino do raciocínio proporcional............................ 3
CAPÍTULO 2 ................................................................................................................... 8
O Raciocínio Proporcional ............................................................................................... 8
O desenvolvimento do raciocínio proporcional............................................................ 8
Natureza das tarefas.................................................................................................... 13
Estratégias dos alunos................................................................................................. 17
Dificuldades dos alunos e suas origens ...................................................................... 21
CAPÍTULO 3 ................................................................................................................. 26
Metodologia da investigação .......................................................................................... 26
Opções gerais do estudo ............................................................................................. 26
Alunos participantes ................................................................................................... 27
Um dispositivo de colaboração................................................................................... 29
Planificação da unidade .............................................................................................. 31
Recolha de dados ........................................................................................................ 34
Análise de dados......................................................................................................... 36
Calendarização............................................................................................................ 38
CAPÍTULO 4 ................................................................................................................. 39
O desenrolar das aulas .................................................................................................... 39
CAPÍTULO 5 ................................................................................................................. 51
Desempenho dos alunos nos testes................................................................................. 51
Teste inicial................................................................................................................. 51
Teste final ................................................................................................................... 59
Análise comparativa dos testes................................................................................... 67
CAPÍTULO 6 ................................................................................................................. 72
Desempenho dos alunos nas entrevistas......................................................................... 72
A entrevista questão a questão.................................................................................... 72
v
CAPÍTULO 7 ................................................................................................................. 96
Conclusão e reflexão final .............................................................................................. 96
Síntese do estudo ........................................................................................................ 96
Principais conclusões do estudo ................................................................................. 99
Reflexões finais ........................................................................................................ 102
REFERÊNCIAS ........................................................................................................... 105
ANEXOS ...................................................................................................................... 108
Anexo 1 – Teste inicial feito por toda a turma ............................................................. 109
Anexo 2 – Fichas de trabalho ....................................................................................... 112
Anexo 3 – Ficha final feita por toda a turma................................................................ 124
Anexo 4 – Quadro de correspondência entre as tarefas do teste inicial e do teste final128
Anexo 5 – Guião da Entrevista..................................................................................... 131
Anexo 6 – Quadro de correspondência entre as tarefas do teste inicial e da entrevista 136
vi
Índice de Figuras
Figura 1 – Rede formada pelos tópicos indispensáveis ao raciocínio proporcional ...... 23
Figura 2 – 1.ª Ficha - Proporcionalidade ....................................................................... 40
Figura 3 – 2.ª Ficha – Existência ou não de proporcionalidade directa......................... 42
Figura 4 – 3.ª Ficha - Escalas......................................................................................... 43
Figura 5 – 4.ª Ficha – Jogo de percentagens.................................................................. 45
Figura 6 – 5.ª Ficha - Percentagens................................................................................ 46
Figura 7 – 6.ª Ficha – Percentagens e gráficos circulares.............................................. 47
Figura 8 – 7.ª Ficha – Ficha de revisões ........................................................................ 49
vii
Índice de Quadros
Quadro 1 – Plano da unidade Proporcionalidade directa ............................................. 32
Quadro 2 – Tarefas do teste inicial ................................................................................ 34
Quadro 3 – Categorias consideradas na análise de dados .............................................. 37
Quadro 4 – Calendarização do estudo............................................................................ 38
Quadro 5 – Resumo das estratégias e dificuldades dos alunos no teste inicial.............. 58
Quadro 6 – Resumo das estratégias e dificuldades dos alunos no teste final ................ 66
Quadro 7 – Comparação de dados dos testes inicial e final........................................... 68
Quadro 8 – Evolução do desempenho nas tarefas de valor omisso como meio ............ 69
Quadro 9 – Evolução do desempenho nas tarefas de valor omisso como extremo ....... 70
Quadro 10 – Evolução do desempenho nas tarefas de comparação numérica com
valores decimais ........................................................................................ 70
Quadro 11 – Resumo das estratégias e dificuldades dos alunos nas entrevistas............ 95
1
Capítulo 1
Introdução
Génese do estudo
O raciocínio proporcional é utilizado por todos – incluindo os próprios alunos –
em inúmeras situações do dia a dia, uma vez que muitos fenómenos do mundo real
podem ser descritos através do modelo da proporcionalidade. Por isso, o
desenvolvimento desta capacidade de raciocínio é extremamente útil na interpretação de
situações da vida quotidiana e na resolução de problemas de muitas áreas do saber
(Cramer, Post & Behr, 1989). O desenvolvimento do raciocínio proporcional tem estado
na base da realização de vários estudos tanto ligados à Psicologia como à Educação
Matemática. Isso resulta do facto de se considerar, por um lado, que se trata de um dos
componentes essenciais que marca a passagem do estádio das operações concretas para
o das operações formais e, por outro, que constitui um alicerce curricular fundamental
para conhecimentos matematicamente mais sofisticados, nomeadamente, de Álgebra.
Podemos dizer que existe consenso sobre a importância deste tema e da sua aplicação
dentro e fora das aulas de Matemática
Há autores que indicam que as crianças desde muito cedo mostram usar este tipo
de raciocínio de uma forma intuitiva. Este uso não depende, naturalmente, do trabalho
feito na escola, através de uma abordagem formal ou informal, mas sim do
conhecimento baseado na experiência diária da criança (Resnick & Singer, 1993). No
entanto, a experiência de muitos professores, nos quais me incluo, revela existirem
grandes dificuldades, por parte dos alunos, na realização de tarefas que implicam o uso
do raciocínio proporcional.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
2
Na verdade, ao longo da minha experiência docente tenho constatado que os
meus alunos do 6.º ano de escolaridade apresentam dificuldades em lidar com
problemas de proporcionalidade directa. Por exemplo, muitos não conseguem
interpretar os enunciados das tarefas de forma correcta, não conseguindo sequer
distinguir as situações de proporcionalidade directa das que não o são. Tenho notado
também uma tendência geral para mecanizarem algoritmos sem os compreender e, de
seguida, aplicarem-nos mesmo em situações que não são de proporcionalidade, como se
de uma receita mágica se tratasse, servindo para a resolução de todas as questões em
que são dados três valores numéricos e é preciso encontrar o quarto.
Outra questão que me tem preocupado é o facto de os alunos terem a tendência
de distinguir as tarefas escolares daquelas com que se deparam fora da escola. Ou seja,
em situações do seu dia-a-dia, fazem uma aplicação de estratégias intuitivas, enquanto
que, na escola, tendem a aplicar estratégias mais formais, sem terem, muitas das vezes,
a sua compreensão plena, aplicando-as quando não devem, ou aplicando-as mal, sem
recorrer ao seu conhecimento intuitivo e errando com frequência as tarefas solicitadas.
Isto é perceptível pela dependência que sinto aquando da proposta de realização de
tarefas em que oiço expressões do tipo “O que é que é para fazer?” ou “Não percebo
nada disto”, enquanto que em situações similares do seu quotidiano, são completamente
autónomos como, por exemplo, na escolha do melhor preço, numa ida ao bar da escola.
Deste modo, enquanto professora do 2.º ciclo do ensino básico, penso ser pertinente e
relevante aprofundar o meu conhecimento sobre a natureza e a origem destas
dificuldades dos alunos.
Problema e questões do estudo
Sendo a proporcionalidade uma noção com a qual os alunos contactam
diariamente mas na qual tendem a apresentar dificuldades, compreender a forma como
eles desenvolvem o raciocínio proporcional torna-se um grande desafio. A
proporcionalidade directa é também um tema transversal ao programa uma vez que está
presente noutros temas, tais como, no estudo do círculo e cilindro de revolução (6.º ano)
e semelhança de figuras (7.º ano). Paralelamente, como já referi, as relações de natureza
proporcional estão implícitas em vários fenómenos do quotidiano. Trata-se, portanto, de
Sara Costa
Didáctica da Matemática
3
um tema rico na possibilidade de estabelecer conexões tanto com o quotidiano dos
alunos como com outros temas matemáticos ou ainda com outras disciplinas.
Assim, o principal objectivo deste estudo será analisar o raciocínio proporcional
dos alunos antes e após o ensino formal da proporcionalidade directa. Considero que o
facto de perceber as estratégias e dificuldades dos alunos poderá vir a ajudar-me no
futuro na preparação do ensino da proporcionalidade, por ter uma melhor noção das
suas compreensões e conhecimentos. Poderei também contribuir para que os professores
deste nível de ensino melhorem as suas estratégias de ensino deste tema.
Tentarei responder às seguintes questões de investigação:
1. Que estratégias são usadas pelos alunos do 2.º ciclo na resolução de
tarefas que envolvem o raciocínio proporcional, antes e após o ensino
formal da proporcionalidade directa? Em que tarefas os alunos têm
tendência
para
aplicar
procedimentos
de
cálculo
da
proporcionalidade?
2. Que dificuldades ou erros são apresentadas pelos alunos? Em que
momento da resolução da tarefa é que surgem?
3. De que modo os alunos distinguem situações onde existe
proporcionalidade directa das situações onde esta não existe?
Orientações curriculares sobre o ensino do raciocínio proporcional
Perspectivas da educação matemática. A investigação em educação matemática
tem produzido muitas orientações e recomendações de natureza curricular. Assim, para
Lesh, Post e Behr (1988), o raciocínio proporcional é o culminar dos conceitos
aritméticos que servirão de base a futuras aprendizagens, uma vez que envolve
conhecimentos algébricos relacionados com equivalências (razões, expressões ou
equações equivalentes), variáveis e transformações. No entanto, estes autores
consideram que, para se resolver problemas relacionados com proporções, não é
necessário utilizar o raciocínio proporcional, uma vez que podem ser usados processos
como a observação de relações simples ou a aplicação do produto cruzado, ou seja, os
alunos podem resolver proporções por imitação ou mecanização de algoritmos.
Pelo seu lado, Cramer e Post (1993) consideram o raciocínio proporcional um
tema bastante rico, uma vez que permite que se façam vários tipos de conexões, tanto
Sara Costa
Didáctica da Matemática
4
entre diferentes tópicos da Matemática como também noutras disciplinas de Ciências.
Por outro lado, também permite a exploração de vários sistemas de representação como
gráficos, tabelas e expressões para a mesma situação.
O facto do tema proporcionalidade directa ser considerado de 6.º ano leva a que
muitas vezes os professores não o abordam e trabalham anteriormente. Isso é um reflexo
da crença que as aprendizagens ocorrem geralmente em etapas distintas, tal como
assume a teoria dos estágios de Piaget. Tal facto não tem em conta que os alunos podem
ter estratégias intuitivas antes desse “momento certo”, tal como mostram muitos estudos
que revelam estratégias utilizadas pelos alunos ainda antes do ensino formal deste tema
como analisamos no capítulo seguinte.
Documentos
curriculares.
Apesar
do
desenvolvimento
do
raciocínio
proporcional não se restringir a um determinado tema e momento da vida (escolar ou
não) do aluno, a análise que se segue incide sobre os documentos orientadores do 2.º
ciclo do ensino básico, mais precisamente, no 6.º ano de escolaridade, o primeiro ano
em que nos documentos curriculares portugueses aparece uma abordagem explícita a
este tópico. Esta análise considera os documentos orientadores nacionais e
internacionais utilizados pela maioria dos professores.
O Plano de Organização do Ensino-Aprendizagem do 2.º Ciclo (Ministério da
Educação, 1991b) indica como principal objectivo da abordagem deste tema, no 6.º ano,
ajudar o aluno a construir o conceito de proporcionalidade directa. Apesar deste tema
não ter qualquer referência no Programa de Matemática do 1.º Ciclo (Ministério da
Educação, 1990), este documento pressupõe que, quando os alunos chegam ao 6.º ano,
“já utilizaram muitas vezes raciocínios de proporcionalidade” (Ministério da Educação,
1991b, p. 31). Ou seja, pressupõe a utilização deste tipo de raciocínios tanto fora da
escola como na escola mas através de outros temas.
Este documento indica que “Importa agora [no 6.º ano] a construção do conceito
de proporcionalidade directa, para além da aquisição de processos e técnicas de
resolução de problemas” (Ministério da Educação, 1991b, p. 38). Assim, propõe como
objectivos para as 12 aulas indicadas para a abordagem deste tema:
•
Reconhecer situações de proporcionalidade directa;
•
Descobrir experimentalmente a propriedade fundamental das
proporções;
Sara Costa
Didáctica da Matemática
5
•
Resolver problemas que envolvam o conceito de proporcionalidade
directa;
•
Interpretar uma percentagem num dado contexto. Uma fase
importante deste trabalho é a explicitação e discussão;
•
Interpretar gráficos circulares relativos a percentagens;
•
Resolver problemas da vida corrente que envolvam a aplicação
directa de uma percentagem;
•
Calcular mentalmente, em casos simples, o resultado aplicação de
uma percentagem;
•
Determinar e utilizar a escala de um mapa ou de um desenho. (p. 31)
Posteriormente, o tema é retomado no programa do 3.º ciclo do ensino básico.
Neste ciclo, para além da proporcionalidade directa, é também trabalhada a
proporcionalidade inversa.
No documento orientador mais recentemente publicado, Currículo nacional do
ensino básico (ME-DEB, 2001), no domínio dos números e cálculo para o 2.º ciclo do
ensino básico, estão explicitados vários aspectos, directa ou indirectamente, ligados a
esta temática. Assim, é mencionado que os aspectos específicos a ter em conta, para o
2.º ciclo, são:
•
O reconhecimento dos conjuntos dos números inteiros e racionais
positivos, das diferentes formas de representação dos elementos
desses conjuntos e das relações entre eles, bem como a compreensão
das propriedades das operações em cada um deles e a aptidão para
usá-las em situações concretas;
•
A aptidão para trabalhar com valores aproximados de números
racionais de maneira adequada ao contexto do problema ou da
situação em estudo;
•
O reconhecimento de situações de proporcionalidade directa e a
aptidão para usar o raciocínio proporcional em problemas diversos;
•
A aptidão para trabalhar com percentagens e para compreender e
utilizar as suas diferentes representações. (p. 61)
No entanto, numa valorização de lógica de ciclo e não de ano, como este
documento sugere, a abordagem a este e a todos os outros temas, não se reduz a um
momento da vida escolar do aluno, predeterminado anteriormente. Deve ser visto como
Sara Costa
Didáctica da Matemática
6
um tema com possibilidade de ser trabalhado em várias disciplinas e ao longo de vários
anos da vida académica do aluno.
O National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) publicou igualmente
vários documentos que também servem de referência para alguns professores no nosso
país. Um desses documentos, Normas para o currículo e a avaliação em Matemática
escolar (1991) atribui uma forte importância ao contexto das tarefas apresentadas ao
aluno. Segundo indica, “quando os alunos aprendem conceitos matemáticos isolados de
um contexto, depressa esquecem o seu significado. Quando aprendem Matemática
ligada a situações do mundo real, ficam mais aptos a reconhecer e a aplicar os conceitos
a novas situações” (p. 34).
Para além do contexto em que se apresentam as tarefas às crianças, este
documento realça a importância da utilização de estratégias de sala de aula
diversificadas, da promoção da comunicação oral e escrita e também da
contextualização das tarefas apresentadas. Indica que “encorajar os alunos a verbalizar
os seus pensamentos ajuda a desenvolver as suas capacidades de raciocínio” (p. 19),
uma vez que estes são forçados a organizar o seu próprio pensamento. Assim, à medida
que os alunos vão desenvolvendo e melhorando a sua capacidade de comunicar com os
outros, o mesmo se reflecte nos seus processos de pensamento interno. As
oportunidades dadas pelo professor ao aluno para explicar, argumentar, fazer
conjecturas, tanto oralmente como por escrito, podem assim ajudar a aumentar a
compreensão de alguns conceitos e princípios.
Outro documento mais recente, Principles and standards for school
mathematics (NCTM, 2000), propõe a introdução, ainda que de um modo informal, do
raciocínio proporcional desde muito cedo, logo na educação pré-escolar. Nos anos
correspondentes ao 1.º ciclo, é proposta a realização de trabalho centrado no
desenvolvimento da compreensão das relações numéricas, mas é também ao nível
correspondente aos 2.º e 3.º ciclos portugueses que a abordagem da proporcionalidade
directa se torna mais explícita e formal.
Sobre a compreensão dos números, este documento indica que os alunos deste
nível de ensino devem compreender e usar razões e proporções para representar
relações; indica também que ao nível do cálculo, os alunos devem desenvolver, analisar
e explicar métodos para resolver problemas que envolvem proporções, como escalas ou
Sara Costa
Didáctica da Matemática
7
razões equivalentes. O documento propõe que a compreensão da proporcionalidade
deve emergir da resolução de problemas e de raciocínios que envolvam conexões
estabelecidas entre tópicos matemáticos e entre a Matemática e outras áreas como a
ciência e a arte. Também é explícita a indicação para incluir métodos com uma forte
base intuitiva para a resolução de proporções.
Cabe ao professor analisar e reflectir sobre estes vários documentos, de forma a
gerir a dinâmica das suas aulas para proporcionar aos alunos aprendizagens efectivas,
recorrendo a diferentes materiais de apoio, diferentes tarefas e nunca limitá-las no
espaço de um determinado tópico e/ou ano lectivo.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
8
Capítulo 2
O Raciocínio Proporcional
Tendo em conta as questões de investigação enunciadas, pareceu-me útil realizar
uma revisão da literatura sobre o que tem sido estudado relativamente ao raciocínio
proporcional dos alunos, indicando as estratégias por eles usadas e as dificuldades por
eles sentidas, conhecer diferentes tipos de tarefas relacionadas com este raciocínio e
identificar as técnicas de recolha de dados mais utilizadas.
O desenvolvimento do raciocínio proporcional
Torna-se necessário, desde o início, discutir o conceito de raciocínio
proporcional, que é algo distinto do conceito de proporcionalidade. Assim, para Lamon
(2005), a proporcionalidade desempenha um papel muito importante em aplicações
dominadas por princípios físicos e o raciocínio proporcional é a condição ou
pré-requisito
para
a
compreensão
de
contextos
e
aplicações
baseadas na
proporcionalidade. Esta autora indica que o próprio conceito de raciocínio proporcional
pressupõe muito para além da mecanização, estando associado à capacidade de fazer
análises conscientes da relação entre quantidades, o que se evidencia em argumentos e
explicações sobre as relações proporcionais. O raciocínio proporcional implica, por um
lado, a compreensão de uma relação constante entre duas grandezas – invariância – e,
por outro lado, a percepção de que estas grandezas estão relacionadas e variam em
conjunto – covariância. Ou seja, o raciocínio proporcional implica muito mais do que o
simples uso da expressão a/b = c/d para resolver problemas.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
9
Outra autora, Spinillo (1997) indica que o raciocínio proporcional envolve a
capacidade de lidar com dois tipos de relações: relações de primeira-ordem e relações
de segunda-ordem. Quanto às relações de primeira-ordem, divide-as em relações do tipo
parte-parte, que são estabelecidas entre partes directamente comparáveis (por exemplo,
relação entre área da parte de um rectângulo pintada a azul e a área da parte desse
mesmo rectângulo, pintada a branco) e do tipo parte-todo (por exemplo, relação entre a
área da parte de um rectângulo pintada a azul e a área total do rectângulo).
Vários autores indicam alguns pré-requisitos, ou seja, condições essenciais de
pensamento, para que o indivíduo possa ter raciocínio proporcional. Por exemplo,
Lamon (1993), considera que utilizar o raciocínio proporcional implica pensar em
termos relativos, ou seja, considerar a razão como uma entidade distinta das duas
quantidades que a compõem. Por exemplo, se estamos a estabelecer a razão entre
número de rapazes e número de raparigas numa turma, a razão não são rapazes nem
raparigas mas sim uma entidade nova no contexto. Isto pode ser uma barreira para
algumas crianças, que tendem a pensar em termos absolutos. Tal como refere Spinillo
(2003) é vulgar encontrar crianças que julgam que um jarro com 4 copos de sumo
concentrado e 2 copos de água tem um sabor mais forte que um jarro com 2 copos de
sumo concentrado e 1 de água. No entanto, quando a criança percebe que o sabor é o
mesmo começa a revelar sinais de pensamento proporcional.
Assim, para além do conceito de razão, também a equivalência de duas razões
tem uma grande importância na compreensão das proporções. Segundo Lamon (1993) é
necessária uma compreensão ao nível da covariância – as quantidades que compõem
uma razão variam de forma conjunta – e ao nível da invariância – as relações entre as
quantidades permanecem constantes. Deste modo, é essencial perceber que na
equivalência entre razões algo muda (as quantidades absolutas) mas ao mesmo tempo
algo se mantém constante (a proporção). A autora refere que uma das tarefas mais
difíceis para as crianças é compreender a natureza multiplicativa das situações
proporcionais, visto que é preciso alguma maturidade matemática para compreender a
diferença entre adicionar e multiplicar, bem como os contextos em que cada uma destas
operações se pode aplicar.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
10
Também Langrall e Swafford (2000) indicam pré-requisitos cuja ausência pode
explicar algumas limitações no raciocínio proporcional dos alunos. Estes autores
sugerem assim que o raciocínio proporcional envolve quatro componentes essenciais:
−
reconhecimento da diferença entre as mudanças absolutas ou aditivas
e as relativas ou multiplicativas;
−
reconhecimento de situações em que usar a razão é apropriado;
−
compreensão de que as quantidades que constituem uma razão
covariam de forma a que a relação entre elas não se altere;
−
capacidade para construir, de forma crescente, as estruturas unitárias
complexas.
Cramer e Post (1993) consideram que ser um “pensador proporcional” 1 , mais do
que aplicar algoritmos, envolve a capacidade de resolver vários tipos de problemas.
Estes autores indicam como condições para se ser um “pensador proporcional”:
−
conhecer as características matemáticas de situações proporcionais;
−
ser capaz de diferenciar características matemáticas de raciocínio
proporcional das de contextos não proporcionais;
−
compreender exemplos no contexto real e matemáticos de situações
proporcionais;
−
perceber que podem ser usados vários métodos na resolução de
tarefas proporcionais e que esses métodos se relacionam entre si;
−
saber como resolver tarefas de raciocínio proporcional de natureza
quantitativa e qualitativa;
−
não ser afectado pelo contexto dos números nas tarefas.
A Psicologia do Desenvolvimento caracteriza o raciocínio proporcional como
uma aptidão global que resulta de um processo natural, independente do ensino escolar.
Os
psicólogos
consideram
usualmente
vários
estádios
da
Psicologia
do
Desenvolvimento, ou seja, vários níveis de raciocínio pelos quais a criança passa. Em
muitos casos estes estádios não são rígidos, na medida em que o mesmo aluno, em
situações diferentes, pode parecer estar em estádios diferentes. Relativamente ao
1
To be a proportional thinker, no original.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
11
raciocínio proporcional, a Psicologia do Desenvolvimento, segundo Lesh, Post e Behr
(1988), descreve os seguintes estádios:
(i) Os alunos ignoram parte dos dados (por exemplo, comparam apenas
os numeradores);
(ii) Observam relações entre os quatro termos de uma proporção mas
estas são apenas de natureza qualitativa;
(iii) Começam a quantificar, envolvendo sobretudo relações aditivas em
vez de multiplicativas;
(iv) Inicialmente o uso do raciocínio multiplicativo é baseado no
“modelo de reconhecimento e replicação”/estratégia de
“acumulação” (Hart, 1984; Piaget et al., 1968). Este é considerado
um estádio “pré-proporcional” por Piaget et al. (1968), uma vez que
os alunos já possuem a noção que os números se alteram e que essa
mudança pode ser multiplicativa;
(v) As relações multiplicativas entre os dois termos são identificadas e,
posteriormente, esta relação é aplicada aos outros dois termos “proporções lógicas”.
Os investigadores da área da Educação Matemática (como Lesh, Post & Behr,
1987; Tourniaire & Pulos, 1985) tendem a caracterizar a evolução dos alunos como um
aumento progressivo das competências locais, influenciada pelas suas experiências
escolares e pessoais. Situando-se nesta perspectiva, num artigo recente, Koellner-Clark
e Lesh (2003) definiram cinco fases de desenvolvimento do raciocínio proporcional em
jovens do 7.º ano, tendo em conta o modo como raciocinam e constroem esquemas
multiplicativos:
(i) Interpretação do problema: a atenção dos alunos detém-se apenas
numa parte dos dados relevantes e/ou a sua estratégia é formada a
partir de conceitos pré-concebidos;
(ii) Relações qualitativas: os alunos resolvem problemas usando o
raciocínio qualitativo mas não são capazes de o fazer quando é
necessário o raciocínio quantitativo;
(iii) Relação proporcional aditiva: os alunos aplicam regras sobre
relações, tais como comparação, aumento, decréscimo, esquemas de
parte de um todo em modelos sobre raciocínio proporcional;
(iv) Modelo de reconhecimento e replicação: os alunos constroem
estratégias, através da organização da informação de modo a
Sara Costa
Didáctica da Matemática
12
encontrarem um modelo, como uma tabela, um gráfico ou um
esquema;
(v) Compreensão da relação proporcional: os alunos compreendem a
unicidade da razão e são capazes de relacionar duas ou mais
quantidades.
Alguns autores basearam-se na análise da resposta dos alunos para fazerem a
atribuição de níveis de raciocínio e resposta. Langrall e Swafford (2000), num estudo
com alunos do 3.º ciclo, definiram quatro níveis nas suas respostas:
−
Nível 0 – Sem raciocínio proporcional: os alunos aplicam expressões
do tipo “parece que…”; não são capazes de reconhecer a relação
multiplicativa, fazem comparações aditivas; usam aleatoriamente os
números e/ou as operações; não relacionam as duas grandezas;
−
Nível 1 – Raciocínio informal sobre as situações proporcionais: os
alunos usam modelos, figuras, ou material manipulável, para
compreenderem as situações; fazem comparações qualitativas;
−
Nível 2 – Raciocínio quantitativo: os alunos usam unidades
compostas; encontram e usam razão unitária; identificam e usam
factor escalar ou fazem tabelas; usam fracções equivalentes;
constroem duas grandezas;
−
Nível 3 – Raciocínio proporcional formal: os alunos constroem a
proporção e usam o produto cruzado ou a equivalência de fracções;
compreendem plenamente a invariância e a covariância das relações.
Singer, Kohn e Resnick (1997) consideram que o que permite às crianças
raciocinar sobre as relações entre as quantidades é o que chamam de “esquemas
protoquantitativos”. Segundo estes autores, tais esquemas permitem raciocinar sem
qualquer intervenção de quantificação numérica. Saber, por exemplo, que quando se
juntam quantidades de duas substâncias se obtém uma quantidade superior a cada uma
das partes que lhe deu origem é um pensamento protoquantitativo. Este tipo de
pensamento não requer contagens nem o recurso a números. Estas relações entre
quantidades materiais são intuitivamente óbvias e evidentes para a criança e não se
limitam à idade pré-escolar, mas acompanham o indivíduo durante toda a vida. Nesta
fase, na sua perspectiva, os números servem como adjectivos, limitando-se a descrever
propriedades sem terem o papel principal. À medida que a criança aprende a fazer
contagens, os seus esquemas protoquantitativos vão também sendo quantificados,
Sara Costa
Didáctica da Matemática
13
mantendo, no entanto, a relação que lhe permite fazer julgamentos, mesmo quando
aprende a lidar com números e operações. Para estes autores, a compreensão formal
matemática herda assim a compreensão intuitiva do mundo físico, ou seja, é graças à
experiência diária da criança no mundo físico e social em que se insere, que consegue
fazer julgamentos que podem ser descritos como razões, proporções ou funções. Assim,
a expressão raciocínio proporcional é utilizada por diversos autores para descrever um
processo complexo de pensamento matemático que consolida muitas ideias matemáticas
e serve de base para pensamentos matemáticos mais avançados envolvendo relações
proporcionais.
Natureza das tarefas
Quanto ao tipo de tarefas a propor aos alunos, existem várias classificações e
denominações indicadas por diversos autores. Por exemplo, Tourniaire e Pulos (1985)
distinguem vários tipos de tarefas, nomeadamente envolvendo (i) Situações físicas; (ii)
Taxas, comparando duas razões de objectos semelhantes; (iii) Mistura; e (iv)
Probabilidade. Outros autores, Lesh, Post e Behr (1988) apresentaram sete tipos de
tarefas sobre proporções:
−
Problemas de valor omisso, em que são dados três dos valores que
compõem uma proporção e é pedido o quarto;
−
Problemas de comparação, em que são dadas duas razões e não se
requer uma resposta numérica mas sim a comparação das duas,
indicar qual é maior, menor ou se são iguais;
−
Problemas de transformação, ao nível do raciocínio (em que podem
ser alterados valores de uma certa quantidade para comparar depois
as duas razões) ou alterar uma quantidade de forma a obter uma
igualdade entre as duas razões (estas tarefas são pouco utilizadas
devido à sobrevalorização da “determinação do valor de x ”);
−
Problemas de valor médio;
−
Proporções que envolvem a conversão entre razão, taxa e fracções;
−
Proporções que envolvem unidades de medida assim como números;
−
Problemas de conversão entre sistemas de representação, em que a
partir dos dados representados de uma determinada forma, os alunos
têm de representá-los noutro sistema de representação, mantendo a
relação entre eles.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
14
Estes autores referem ainda que o ensino e a investigação têm-se centrado nos
dois primeiros tipos de tarefas negligenciando todos os outros. Na sua perspectiva, isso
diminui a riqueza desta exploração.
Lesh, Post e Behr (1988) distinguem também problemas de valor omisso e de
comparação. Explicam ainda a razão de considerarem os problemas de mistura como
sendo dos mais difíceis:
Primeiro, os elementos da razão num problema de mistura constituem um
novo objecto, por exemplo, tinta vermelha e amarela misturadas fazem
tinta laranja, ou então um objecto modificado, por exemplo, sumo de
laranja misturado com água faz um sumo mais fraco. Pelo contrário, dos
problemas de taxas não emerge nenhum objecto novo. Segundo,
problemas de mistura requerem a compreensão do que acontece quando
dois elementos são misturados. Terceiro, na maioria dos problemas de
mistura, as quantidades são expressas na mesma unidade, e nos problemas
de taxa as quantidades envolvidas estão em unidades diferentes. Lidar com
quantidades expressas na mesma unidade pode ser mais confuso. (p. 183)
Certos autores relacionam o tipo de tarefas com o grau de compreensão intuitiva
de conceitos que estão na sua base. Assim, Harel, Behr, Post & Lesh (1991) têm em
conta o facto das tarefas de mistura e de taxas requererem uma compreensão intuitiva de
alguns princípios físicos menos intuitivos que o da densidade homogénea. Assim, num
problema de mistura o princípio envolvido diz respeito a uma difusão uniforme de dois
líquidos e nas tarefas de taxas o princípio envolvido é o de taxa uniforme como a
velocidade e o trabalho. Para que haja uma resolução correcta destas tarefas, é
necessária, segundo estes autores, uma compreensão intuitiva dos princípios que lhes
estão subjacentes.
Por outro lado, estes autores consideram que problemas de razões e proporções
podem ser analisados de acordo com as relações observadas. Indicam que a
interpretação relativa à invariância multiplicativa pode ser funcional ou relacional.
Chamam invariância funcional à abstracção de outras interpretações, na qual está
subjacente a ideia de função, ou seja, em que é através de um só valor (o que falta), de
um input que através da função se obtém o output pretendido. A invariância relacional
diz respeito à interpretação das mudanças relativas às quantidades correspondentes.
Nesta estão subjacentes relações de redução e ampliação.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
15
Outra autora, Lamon (1993) definiu quatro tipos de problemas para o estudo da
proporcionalidade, tendo em conta as suas características semânticas:
−
Medidas conhecidas: envolve comparação de duas medidas
extensivas que resulta numa intensiva. Por exemplo, quilómetros por
hora que resultam numa velocidade ou dólares por unidade que
resulta num preço;
−
Parte-parte-todo: caso em que a medida extensiva de um subconjunto
do todo é dado em termos relativos a dois ou mais subconjuntos de
que é composto. Por exemplo, a razão entre rapazes e raparigas de
uma turma;
−
Conjuntos associados: no caso em que a relação entre dois elementos
não é conhecida ou explícita, é definida no próprio problema. Assim,
dois conjuntos podem não ter uma relação conhecida até que o
problema explicitamente indique a razão que se deve estabelecer. Por
exemplo, pessoas e número de pizzas;
−
Ampliação e redução: quando existe uma relação que se deve
preservar de um para um.
Pelo seu lado, Billings (2001) sugere que se deve começar por introduzir tarefas
sem números e só posteriormente adaptá-las. Na sua perspectiva, os alunos quando lhes
são dadas tarefas numéricas, estão demasiado preocupados em usar os números para
obter respostas, usando algoritmos sem terem sobre estes qualquer entendimento. Esta
ideia tem em conta, tal como foi referido por Cramer e Post (1993), a influência da
estrutura numérica que, tal como veremos mais adiante, pode ser promotora de algumas
dificuldades aos alunos.
Outro factor que caracteriza uma tarefa são as grandezas utilizadas. Singer,
Kohn e Resnick (1997) relembram que segundo Schwartz (1988) as grandezas
extensivas podem ser combinadas, repartidas em partes e que, combinando duas
quantidades extensivas resulta uma quantidade extensiva maior do que qualquer uma
das partes. As grandezas intensivas são grandezas relacionais que descrevem como duas
grandezas extensivas diferentes se relacionam entre si como que acontece nas taxas e
densidades. Por exemplo, uma característica das grandezas intensivas é o facto de não
se poderem formar por adição de outras duas, ou seja, não se pode adicionar 30 km/h
com 10 km/h para obter 40 km/h. Como uma quantidade intensiva é um tipo especial de
razão (em que duas quantidades extensivas estão combinadas para formar a quantidade
Sara Costa
Didáctica da Matemática
16
intensiva) para compreender taxas e razões, a criança tem de compreender as
quantidades intensivas. Não basta compreender as grandezas absolutas mas tem de
compreender as relações entre as duas grandezas envolvidas. Além disso, para
compreender as proporções, a criança tem de entender também como duas razões se
relacionam entre si, uma vez que uma proporção é uma equivalência entre duas razões.
Quanto ao tipo de tarefa proposta, há que ter em conta também os materiais
utilizados pelo aluno. Slovin (2000) refere que muitos manuais escolares limitam os
problemas àqueles que dão ênfase ao processo de cálculo de um valor desconhecido e
não incluem problemas que requerem a compreensão do conceito. Shield e Dole (2002)
indicam que os manuais são limitados na sua capacidade para ajudar professores e
alunos a desenvolver o raciocínio proporcional, tendo em conta as suas definições,
exemplos de resposta e sugestões de procedimentos, para além de sugerirem poucas
conexões.
Também Marques (2006), ao analisar manuais de vários países, incluindo
Portugal, refere a pouca diversidade de tarefas ao nível da exigência cognitiva e da
estrutura, apesar da quantidade das mesmas. Segundo a autora, o manual português (o
mais adoptado nas escolas do país) propõe, maioritariamente, tarefas de conexão2 , com
estrutura fechada (em que é explícito o que é dado e o que é pedido) e em situações de
natureza pública (relacionadas com a vida em sociedade). A autora sublinha a reduzida
expressão das tarefas de reflexão (cerca de 4,5% do total) e o facto de não serem
exploradas tarefas de natureza aberta. Apesar de se tratar de um manual que assenta o
estudo da proporcionalidade nos números racionais, não estabelece, ao longo do
capítulo conexões significativas com temas abordados anteriormente. Por fim, embora
seja rico nos vários tipos de representação utilizados, não estimula os alunos para o uso
de outro tipo de material (incluindo as calculadoras).
Deste modo, verificamos que, propor tarefas que sejam consideradas
estimulantes para os alunos nestas idades não é fácil quer para os professores, quer para
os autores dos materiais didácticos que os têm como público-alvo. A sua escolha é
essencial e pode ser o que solidifica ou quebra o elo que liga o aluno à aula de
Matemática. Por outro lado, o professor tem de ter em conta também a eficácia das
2
Segundo Marques (2006), as tarefas de conexão podem estar enquadradas num contexto familiar ou
quase familiar, exigem um certo nível de interpretação e requerem estabelecimento de relações e o
encadeamento de raciocínios ou procedimentos, bem como algum eventual pedido de justificação.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
17
próprias tarefas, o que é bastante complicado de avaliar. O facto de não haver um
conjunto de “tarefas ideais” faz com que a diversidade seja uma estratégia com boa
probabilidade de sucesso. Assim, o professor tem de ter em conta que, para além de não
se poder limitar o raciocínio proporcional a determinado tipo de tarefas, também é
impossível limitá-lo a uma unidade. Além disso, tendo em conta toda a sua riqueza e
utilidade para outras disciplinas e no quotidiano dos alunos, o ensino da
proporcionalidade não deve ser limitado apenas à disciplina de Matemática. Neste
estudo, e tendo em conta o que se pretende analisar, procurarei que as tarefas propostas
aos alunos sejam tanto quanto possível diversificadas e enquadradas nos três grandes
tipos de tarefas também propostas pelo Rational Number Project, ou seja, tarefas de
valor omisso e de comparação numérica.
Estratégias dos alunos
Singer, Kohn e Resnick (1997) consideram que para haver um raciocínio
proporcional pleno, a criança tem de ter a capacidade de raciocinar sobre relações
multiplicativas e também capacidade de raciocinar dentro e entre os diferentes espaços
de medida envolvidos. Estas duas componentes do raciocínio proporcional podem
designar-se como raciocínio funcional e raciocínio escalar. As autoras relembram que o
raciocínio escalar ocorre quando se fazem transformações dentro de cada espaço de
medida. Por exemplo, se 6 canetas custam 3 euros, então 12 canetas custarão 6 euros
porque se o número de canetas duplica o preço também duplicará (observa-se a
transformação que ocorre ao nível das canetas e aplicam-se de seguida ao preço). Por
outro lado, o raciocínio funcional é aquele que ocorre quando a transformação é feita
directamente entre os dois espaços de medida, requerendo, assim, a construção de
quantidade intensiva. Usando o exemplo anterior, o aluno a usar o raciocínio funcional
teria visto que 2 canetas custam 1 euro ou que 1 caneta custa 0,5 euros e, a partir daí,
calcularia o preço de um número de canetas diferente. Estes autores, tal como Vergnaud
(1988) consideram que as estratégias dominantes baseiam-se em raciocínios escalares e
que isto pode dever-se ao facto de muitos problemas de razão e proporção poderem ser
resolvidos por adições sucessivas, recorrendo só a grandezas extensivas.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
18
Vários estudos têm mostrado que o raciocínio proporcional surge nos alunos
antes do ensino formal da proporcionalidade directa. Ou seja, mesmo antes deste
ensino, os alunos conseguem resolver muitos problemas de proporcionalidade a partir
de estratégias que não são aprendidas em contexto escolar. Assim, Spinillo (1994) na
descrição que faz de estudos realizados com crianças entre os 6 e os 8 anos, indica que
estas usam diversas estratégias, incluindo estratégias baseadas no referencial de metade,
conseguindo fazer julgamentos proporcionais. Segundo Spinillo (1992), ao utilizar este
referencial, as crianças usam expressões do tipo “maior do que metade” ou “menor do
que metade”. Assim, o referencial de metade é usado como ponto de referência nos
julgamentos feitos pela criança. Esta autora considera que o uso desta estratégia reflecte
noções anteriores às aprendizagens escolares, caracterizadas por: (a) estabelecerem
relações de primeira ordem em termos de razão (comparação parte-parte); (b) existirem
julgamentos proporcionais de natureza qualitativa que envolvem relações simples
(“maior do que”, “menor do que” ou “igual a “); e (c) fazerem uso de referências (neste
caso, o referencial de metade).
Num estudo realizado por Pittalis, Christou e Papageorgiou (2003), com 15
alunos do 6.º ano antes do ensino formal das proporções, foram tidos em consideração
quatro níveis de desempenho para as respostas dadas ao teste escrito e a entrevistas com
10 questões:
−
Nível preestrutural: pensamento subjectivo e não relacionado com a
estrutura e os dados do problema;
−
Nível uniestrutural: não tem em conta todos os dados do problema ou
ignora sistematicamente a estrutura multiplicativa;
−
Nível multiestrutural: falha na sistematização dos elementos
estruturados;
−
Nível relacional: podem usar várias estratégias formais ou informais.
Estes autores consideram que a correcta utilização das estratégias está
dependente de vários factores, como o tipo de tarefa apresentada e a relação numérica
entre os dados. Quando existe relação inteira entre os elementos da mesma grandeza,
tende a haver a aplicação da estratégia a que os autores chamam “interna” 3 , ou seja,
3
Within relations, no original.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
19
relação entre quantidades do mesmo tipo. No entanto, quando a relação inteira é
estabelecida entre elementos de grandezas diferentes, há o uso da estratégia “externa” 4 .
Também Freudenthal (1983) indicou como estratégias de resolução de problemas de
valor omisso ou de comparação, a razão interna e a razão externa ou ainda outra relação,
encontrada pelos alunos, que envolve todos os dados do problema.
Cramer e Post (1993) realizaram um estudo com 913 alunos dos quais, 421 eram
do 7.º e 492 do 8.º ano de escolaridade. Neste, grupo identificaram quatro tipos de
estratégias utilizadas nas respostas correctas às tarefas propostas:
−
taxa unitária: os alunos tentam responder à questão “quantos para
um”;
−
factor de mudança;
−
fracção: em que os alunos fazem equivalência entre as fracções;
−
algoritmo do produto cruzado.
Neste mesmo estudo, numa determinada tarefa, cerca de 30% dos alunos
aplicaram o produto cruzado quando a situação nem sequer era de proporcionalidade, o
que, segundo os autores, indica dificuldades de compreensão da situação problemática.
Tanto neste estudo como no de Ben-Chaim, Fey, Fitzgerald, Benedetto e Miller (1998),
com alunos do 7.º ano, a estratégia mais usada pelos alunos que obtiveram respostas
correctas foi a da taxa unitária. Os autores indicam que esta parece ser uma estratégia
bastante intuitiva, baseada nas experiências do dia-a-dia, ao contrário da estratégia do
algoritmo cruzado que os alunos mais velhos têm tendência a usar mesmo quando não
se tratam de situações proporcionais.
Por outro lado, no estudo efectuado no Brasil por Oliveira e Santos (2000), com
494 alunos da 5.ª à 8.ª série do ensino fundamental, a estratégia mais usada pelos alunos
foi a regra de três simples por ser, segundo os autores, eficiente e rápida. Neste estudo a
tarefa consistia em oito problemas (seleccionados de manuais escolares), quatro de
proporcionalidade directa e quatro de proporcionalidade inversa. Os autores analisaram
e classificaram as estratégias usadas em: não identificadas, adições sucessivas, tarefa
total, valor unitário, factor de proporcionalidade e regra de três. Apesar desta última ter
sido a mais utilizada, os autores consideram que a utilização mecânica de um algoritmo
4
Between relations, no original.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
20
faz com que o aluno não atribua significado ao problema, preocupando-se mais com o
cálculo do que com a análise da resposta.
Em Portugal, a questão das estratégias de resolução de problemas de
proporcionalidade usadas pelos alunos não tem sido muito estudada. No entanto, foi
abordada num estudo recente feito por Silvestre (2006). Neste, a autora desenvolveu
uma experiência de aprendizagem com alunos do 6.º ano, dando ênfase a tarefas de
natureza exploratória ou investigativa, à resolução de problemas e ao uso frequente da
folha de cálculo Excel. Durante o ensino deste tema, a autora optou por não ensinar
qualquer regra ou algoritmo, considerando que a sofisticação do raciocínio proporcional
está associada ao desenvolvimento flexível de estratégias variadas, tanto funcionais
(entre grandezas diferentes) como escalares (dentro da mesma grandeza), e não à
capacidade de utilizar algoritmos. Os alunos observados por esta professorainvestigadora utilizaram vários tipos de estratégias na resolução das tarefas propostas:
estratégias próprias, equivalência entre razões, factor escalar e razão unitária. Três
alunos observados em pormenor usaram uma segunda estratégia quando a primeira
resposta não os satisfazia, o que revelou que eles conhecem regularidades das relações
proporcionais e são capazes de resolver problemas. Um dos alunos revelou saber
utilizar várias estratégias para o mesmo problema.
Contudo, ainda pouco se sabe sobre o que leva o aluno a optar por uma
estratégia em determinado momento. Num estudo realizado no Brasil por Oliveira,
Guimarães e Luz (1998, citados por Oliveira e Santos, 2000) numa abordagem inicial
era permitido aos alunos resolverem os problemas “à sua maneira”. Os autores
observaram que as estratégias que surgiam não eram as ensinadas na escola, ou seja, se
o algoritmo fosse significativo, este seria o mais utilizado. Segundo Silvestre (2006), a
opção por uma ou outra estratégia parece depender da interpretação que o aluno faz do
problema, do seu conhecimento sobre os números e das relações que consegue
estabelecer de imediato. Assim, as estratégias pelas quais os alunos optam não parecem
ser hierarquizadas ao ponto de uma revelar um raciocínio proporcional mais sofisticado
do que outra e muito está ainda por investigar sobre o que leva os alunos a optarem em
cada momento por uma ou outra estratégia.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
21
Dificuldades dos alunos e suas origens
De um modo geral, os professores consideram que o tema da proporcionalidade
é um dos que mais dificuldades provoca nos alunos do ensino básico. Mesmo após a
abordagem deste tema os professores ficam, muitas vezes, com a sensação que, apesar
de terem trabalhado muito o raciocínio proporcional, este pode não ter sido
desenvolvido tanto quanto pretendiam. Lamon (2005) sugere que cerca de 90% dos
adultos não conseguem raciocinar proporcionalmente, compensando a sua falta de
compreensão com o uso de regras. Deste modo, este tema requer ainda muita
investigação para que o professor, mais do que reconhecer o raciocínio proporcional
correcto, saiba como o facilitar e promover nos seus alunos. É por este motivo que se
torna relevante perceber quais as dificuldades sentidas pelos alunos e o que as origina.
Spinillo (1994) levanta uma questão interessante, ao interrogar-se sobre o facto
das crianças desde cedo mostrarem ter noções sobre proporções e, mais tarde,
apresentarem na escola tantas dificuldades na aprendizagem deste tópico. A explicação
proposta pela autora tem a ver com algo a que chamou de tensão entre continuidade e
descontinuidade. Indica que o ensino tem sido caracterizado ou por uma continuidade
acentuada, onde o conhecimento novo é tão semelhante ao antigo que nada lhe
acrescenta em termos cognitivos; ou é caracterizado pela ruptura acentuada entre o
conhecimento antigo e o conhecimento novo, o que torna impossível o estabelecimento
de pontes. Esta tensão precisa ser considerada tanto na preparação das tarefas como em
toda a actividade desenvolvida na sala de aula.
Relativamente às dificuldades apresentadas pelos alunos, alguns autores dão
mais importância aos factores inerentes às tarefas, como o seu contexto e estrutura, e
outros aos factores relacionados com os alunos, como a idade e género. Assim,
relativamente às variáveis que afectam o desempenho, relacionadas com o tipo de
contexto, Tourniaire e Pulos (1985) apontam a presença de misturas (fazendo com que o
problema seja mais difícil), variáveis discretas ou contínuas (argumentam que as
pessoas visualizam melhor as variáveis discretas que as contínuas), familiaridade e
possibilidade de utilização de materiais manipuláveis. No que diz respeito à estrutura da
tarefa, estes autores, apontam como possíveis factores que afectam o desempenho, a
Sara Costa
Didáctica da Matemática
22
presença de razões inteiras, a localização do valor omisso e ainda a complexidade dos
números utilizados.
Por exemplo, Conner, Harel e Behr (1988) consideram igualmente como duas
variáveis distintas as dimensões contextual e estrutural das tarefas. No seu estudo com
25 futuros professores, os autores usaram 8 problemas resultantes da manipulação
dessas duas variáveis. Obtiveram globalmente 66% de respostas correctas. Os seus
resultados mostram que a localização do valor omisso no problema, sendo uma variável
estrutural que se refere ao valor desconhecido, influencia a resposta e o tipo de
transformação a ser feita. Outra variável estrutural apontada por estes autores é a
coordenação do espaço de medida, ou seja, a relação entre as unidades de medida das
quatro quantidades envolvidas numa dada proporção.
No que diz respeito ao contexto das tarefas, Langrall e Swafford (2000)
relembram que para alguns alunos a familiaridade com as grandezas, como velocidade e
preço, pode facilitar o raciocínio proporcional mas, para outros, a linguagem familiar
pode “mascarar” a sua compreensão. Indicam que, por exemplo, alunos que tenham
aprendido fórmulas para trabalhar problemas de quilómetros por hora, podem estar
aptos para trabalhar este tipo de problemas mas é possível, no entanto, que não
entendam a relação proporcional que envolve as duas grandezas. Cramer e Post (1993)
também referem que o contexto, tal como a natureza das relações numéricas, influencia
o grau de dificuldade do problema e apontam os problemas de escalas como sendo os
contextos que trazem mais dificuldades.
Também Vergnaud (1988) considera como influente a complexidade das tarefas,
uma vez que esta varia bastante consoante as mudanças numéricas (números decimais
ou inferiores a 1, pequenas e grandes razões escalares 5 , pequenos ou grandes
coeficientes constantes, números decimais, fracções próprias) e as mudanças de
contexto (preços, produção, consumo, velocidade, geometria, densidade). Este autor,
apesar de propor uma hierarquia para a utilização de capacidades ou estratégias que
podem ir desde a multiplicação até à regra de três, passando pela partição, refere que um
problema com multiplicação por um valor inferior a 1 pode ser mais difícil que uma
regra de três com números simples. Hart (1988), na mesma perspectiva, refere que
5
“Bad” numbers e “bad” ratios, no original.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
23
quando se propõe uma tarefa aos alunos deve ter-se em conta os números usados, uma
vez que estes têm tendência a usar o seu sentido do “parece certo”.
O NCTM (1991) refere alguns aspectos a que o professor deve dar atenção na
sua prática:
A resolução de problemas da vida real implica muitas vezes que a maior
parte do tempo e do esforço seja despendido a compreender o problema, e
não em seguir um plano, enquanto a maior parte das experiências
escolares enfatiza a criação e a execução de um plano. (p. 39)
Para além do contexto da tarefa e do desenvolvimento psicológico e matemático
do aluno, Lamon (1993) defende também que semântica é uma variável importante que
afecta a prestação dos alunos na realização de tarefas relacionadas com a
proporcionalidade. Segundo a autora, por vezes, a linguagem imprecisa pode interferir
com a compreensão das crianças. Por exemplo, algumas crianças podem não saber que
reduzir ou ampliar é mais do que alterar a altura de determinadas figuras. Esta autora
propõe um diagrama que interliga uma série de assuntos matemáticos que se
influenciam mutuamente, devido à existência de relações complexas entre si (Figura 1):
Figura 1 – Rede formada pelos tópicos indispensáveis ao raciocínio proporcional
(Lamon, 2005, p. 9).
Lamon (2005) afirma que quando há progressos em qualquer uma das áreas
contempladas, há repercussões em todas as outras. Considera que um tipo de ensino em
que há uma breve introdução às fracções e depois aos processos de cálculo não dá aos
alunos o tempo necessário para construir bases sólidas e formas de pensamento, o que
pode vir a servir de obstáculo para o desenvolvimento do raciocínio proporcional.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
24
Greenes e Findel (1999) colocam a proporção como sendo uma das grandes
ideias da Álgebra ao lado de outras como o raciocínio dedutivo e indutivo,
representação, igualdade, variável e função. Referem a proporção como sendo uma
função particular, integrada em vários tópicos matemáticos e também noutras áreas do
currículo como a Geografia ou a História (quando os alunos interpretam escalas de
mapas e linhas do tempo) ou ainda as Artes (quando desenham figuras ou constroem
modelos à escala). Para estas autoras, apesar das proporções serem trabalhadas pelos
alunos desde cedo, estes têm dificuldades em perceber a natureza multiplicativa das
relações proporcionais e também em fazer a distinção entre situações proporcionais e
não proporcionais. Consideram como causa de mau desempenho o facto de após os
alunos se aperceberem que as proporções são lineares, julgarem que o inverso também é
verdadeiro, ou seja, que todas as relações lineares são proporções.
No entanto, apesar de serem várias as discussões sobre o que origina
dificuldades nos alunos ao resolverem problemas que envolvem raciocínio
proporcional, a verdade é que não existem certezas de como evitar tais obstáculos.
Muito menos se sabe o que fazer para que todos os alunos consigam ultrapassar estas
dificuldades e obter sucesso na aprendizagem deste tema.
Os estudos indicados neste capítulo têm consequências importantes para o
ensino-aprendizagem do raciocínio proporcional. Assim, segundo Spinillo (1996) o
trajecto correcto para uma verdadeira aprendizagem e desenvolvimento significativo do
raciocínio proporcional deve partir do informal/intuitivo para a formalização e o uso de
algoritmos e não o inverso, como parece acontecer na prática de muitos professores.
Também Cramer e Post (1993) indicam que os professores devem utilizar várias
estratégias nas suas aulas e exemplificações, tendo como ponto de partida as mais
intuitivas. Langrall e Swafford (2000) consideram igualmente o raciocínio proporcional
como algo complexo do ponto de vista matemático e do desenvolvimento de estratégias
de sala de aula. Indicam que este deve ser desenvolvido num longo período de tempo e
não como uma unidade ou capítulo. Estas autoras propõem que a abordagem inicial
comece com situações que possam ser visualizadas pelo aluno, dar ênfase ao raciocínio
informal, e só após este ter sido desenvolvido, propor gradualmente um leque variado
de estratégias de raciocínio quantitativo como a razão unitária e o factor escalar.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
25
Lamon (2005) considera que o facto de grande parte dos adultos não
conseguirem raciocinar proporcionalmente, revela que certos tipos de pensamento não
ocorrem espontaneamente, ou seja, o ensino tem um importante papel na facilitação de
pensamentos que levam ao desenvolvimento do raciocínio proporcional. Esta autora faz
uma análise de vários aspectos que o professor deve ter em conta quando prepara a
leccionação deste tema. Indica que é impossível estabelecer uma ordem de tópicos
como fracção, razão, por estes serem matematicamente complexos e inter-relacionados
e que os professores devem ter isto em conta quando fazem as suas planificações.
Finalmente, Cramer e Post (1993) indicam a importância dos professores
variarem tanto o tipo de relação numérica apresentada como os contextos que estão
envolvidos nas tarefas de raciocínio proporcional. Segundo estes autores, os professores
devem, começar por explorar estratégias intuitivas, como a da taxa unitária e a do factor
de mudança. Relativamente ao tipo de números utilizados, lembram que, com o acesso
generalizado à calculadora, os problemas não se devem limitar a um tipo de números e
devem usar números menos “agradáveis” 6 , para que haja, por vezes, desde cedo,
relações não inteiras. Propõem ainda que se comece por contextos familiares ao aluno e
que se vá afastando para outros menos familiares, promovendo a sua capacidade de usar
estratégias diferentes em diferentes tipos de tarefas.
6
Nasty numbers, no original.
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Capítulo 3
Metodologia da investigação
Opções gerais do estudo
Atendendo ao objectivo e às questões enunciadas pareceu-me que o mais
adequado seria utilizar uma metodologia qualitativa de paradigma interpretativo. De
acordo com Bogdan e Biklen (1992), este tipo de investigação apresenta cinco
características: (i) a fonte de dados é o ambiente natural e o investigador o
instrumento-chave da recolha; (ii) é descritiva; (iii) a atenção incide sobre os processos,
deixando em segundo plano os produtos e o resultado final; (iv) os dados são analisados
indutivamente; e (v) o significado é muito importante.
Tendo em conta que o tema matemático escolhido está integrado nos temas do
6.º ano de escolaridade e que pretendo fazer uma análise das estratégias usadas e das
dificuldades, os participantes são alunos do referido ano de escolaridade. Atendendo a
que a minha situação profissional no presente ano lectivo – destacada na escola do
Serviço de Pediatria do Hospital de Santa Maria – não me permite desenvolver este
trabalho com uma turma da qual eu seja professora titular a Matemática, as crianças
participantes na minha investigação não são meus alunos. Assim, resolvi desenvolver
esta investigação na Escola Básica 2, 3 das Piscinas, nos Olivais (Lisboa), com alunos
de uma turma de uma outra professora.
Para a recolha de dados foi feito um pequeno teste inicial (Anexo 1) de forma a
aperceber-me das estratégias da turma ainda antes do ensino formal do tema em causa.
Posteriormente à abordagem formal deste tema, foi realizado outro teste à turma toda.
Foram ainda feitas entrevistas semi-estruturadas (audio-gravadas) a seis alunos da
Sara Costa
Didáctica da Matemática
27
turma. Deste modo, foi feita sobretudo uma análise qualitativa e interpretativa dos
dados recolhidos. A selecção dos alunos a serem entrevistados, foi feita por mim e pela
professora titular da turma, tendo como critério serem bons comunicadores e
informantes sobre a sua forma de raciocinar e com desempenhos diferentes na disciplina
de Matemática.
Os pedidos de autorização, entregues na escola e aos encarregados de educação
destes alunos, incluíam uma explicação resumida do objectivo do estudo e da
colaboração que se pretendia por parte dos alunos. Estes pedidos foram feitos por
escrito aos encarregados de educação dos alunos entrevistados, embora todos os
restantes alunos soubessem do trabalho que estava a ser desenvolvido na turma.
Alunos participantes
Os participantes no estudo são alunos de uma turma de 6.º ano de uma escola da
cidade de Lisboa. São 28 alunos (16 rapazes e 12 raparigas), com idades que variam
entre os 10 e os 14 anos. Desta turma fazem parte um aluno que está a repetir o 6.º ano e
quatro alunos com necessidades educativas especiais, abrangidos pelo Decreto-Lei n.º
319/91.
De um modo geral, trata-se de uma turma simpática e acolhedora. As aulas
decorrem usualmente num clima bastante agradável, em que todos os alunos tentam
participar, expondo as suas estratégias e dificuldades e tentando também perceber as dos
colegas. O facto de ser o segundo ano que estão com esta professora parece tê-los
ajudado a adquirir alguns hábitos de trabalho, nomeadamente, ao nível da argumentação
e expressão das suas ideias e raciocínios, tanto oralmente como por escrito.
Para as entrevistas foram seleccionados seis alunos tendo em conta o seu
desempenho na disciplina, a utilização de estratégias diversificadas no teste inicial e a
sua capacidade comunicativa. Assim, destes seis alunos, no final do 1.º período e/ou no
ano anterior, dois eram de desempenho não satisfatório, dois de desempenho médio e
dois de desempenho bom. Segue-se uma breve apresentação dos alunos (utilizando
nomes fictícios). É de referir que no momento da entrega dos pedidos de participação
para os alunos darem aos seus encarregados de educação, foi notória a satisfação por
Sara Costa
Didáctica da Matemática
28
parte daqueles que iriam ser entrevistados, particularmente dos que tinham nível
insatisfatório.
Marina. É uma jovem simpática, aparentemente extrovertida, com 13 anos de
idade. Ao longo da sua vida escolar teve duas retenções: nos 3.º e 4.º anos do 1.º ciclo
do ensino básico. Até ao ano lectivo 2005-06 beneficiou de condições especiais de
avaliação e apoio pedagógico acrescido na disciplina de Matemática (de acordo com o
Decreto-Lei n.º 319/91, alíneas f e h). No 5.º ano obteve, no final, nível 2 e nos dois
primeiros períodos do 6.º ano obteve nível 3, tendo em consideração a sua atitude de
empenho e cumprimento das tarefas propostas. É uma aluna com dificuldades, insegura
mas muito esforçada, cumpridora e participativa. Perante as dificuldades tem tendência
a desistir, indicando muitas vezes que não é capaz de fazer ou resolver o que lhe é
proposto. Beneficia de apoio pedagógico acrescido com a professora regular da
disciplina.
Jorge. É um dos três alunos que entrou para esta turma no presente ano lectivo,
não conhecendo os colegas nem a professora. Tem 11 anos e nunca ficou retido. É um
aluno pouco interventivo nas aulas, reservado e com receio de errar; desorganizado,
pouco responsável com os seus materiais, nem sempre faz os trabalhos de casa que lhe
são propostos e é lento na execução das tarefas da aula. No entanto, fez um grande
esforço durante o 2.º período escolar deste ano lectivo no sentido de melhorar o
aproveitamento, o que se reflectiu de forma positiva, havendo assim, uma pequena
evolução. É um aluno que tem estado no limiar entre os níveis 2 e 3.
Carlos. Apesar do seu corpo alto e imponente, é o aluno mais jovem da turma, tem
10 anos e nunca teve qualquer retenção. É um aluno interessado, participativo mas
pouco trabalhador e um pouco desorganizado. Oriundo de uma família que não lhe tem
podido dar muito apoio, tem passado por algumas dificuldades familiares. Apesar de ser
irregular, devido a questões exteriores à escola, tem sido um aluno médio, de nível 3.
Leandro. Tem 12 anos e é um rapaz simpático e sorridente. No seu percurso
escolar consta que ficou retido no 2.º ano do 1.º ciclo do ensino básico. Actualmente,
devido à sua desconcentração, beneficia de condições especiais de avaliação e apoio
pedagógico acrescido (também pelo Decreto-Lei n.º 319/91, alíneas f e h). Todas as
fichas que lhe são entregues (incluindo as de avaliação) têm de o ser por etapas, ou seja,
pequenos pedaços de papel com cada uma das tarefas, para que não se “perca” na sua
Sara Costa
Didáctica da Matemática
29
resolução. Apesar de ser oriundo de uma família que não lhe dá apoio, é um aluno
muito interessado mas simultaneamente muito desorganizado e com os registos escritos
muito descuidados. No entanto, tem raciocínios matemáticos rápidos e normalmente
diferentes dos da maioria da turma. Mostra-se bastante motivado e interessado durante
as aulas de Matemática. Fez uma grande evolução do 5.º para o 6.º ano, deixando de ser
um aluno de nível 2 para passar a ser um aluno de nível 3, com grandes probabilidades
de, segundo a professora da turma, poder chegar ao nível 4.
Carla. Sentada, por opção própria, numa das cadeiras do fundo da sala, é uma
aluna cuja timidez se foi dissipando ao longo dos primeiros contactos. Tem 12 anos e
nunca teve qualquer retenção. É muito interessada, empenhada, curiosa e participativa.
Tem sido uma aluna de nível 4.
Marta. Tem 11 anos e não teve qualquer retenção ao longo da sua vida escolar. É
uma excelente aluna, extremamente empenhada, com um desempenho e atitudes
irrepreensíveis. Participa sempre nas aulas, de forma correcta, gosta de mostrar as suas
resoluções e de perceber as dos colegas. Tem sido uma aluna de nível 5.
Um dispositivo de colaboração
A relação de colaboração. Por achar que seria benéfico para a investigação, os
alunos não sentirem a minha presença e as entrevistas por mim realizadas como algo
completamente estranho, comecei, no final do primeiro período, a assistir a algumas
aulas. Este processo decorreu até ao momento da investigação. Nestas aulas, o meu
papel foi, acima de tudo, o de ajudar os alunos quando eles o solicitavam. À medida que
fui assistindo às aulas da professora, com quem já tinha trabalhado anteriormente, foi
surgindo a hipótese da metodologia utilizada neste estudo envolver também a sua
colaboração, sem se limitar à “cedência” dos seus alunos. O facto de assistir a algumas
aulas, ainda antes do estudo, permitiu-me constatar o que já supunha, ou seja, a nossa
semelhança enquanto professoras, na forma de estar perante a turma e na forma de
abordar os diversos temas.
Foi desta forma que surgiu a opção por realizar um trabalho do tipo
colaborativo, no quadro do que referem Boavida e Ponte (2002). Estes autores
consideram que colaborar não se limita a um trabalho conjunto. Indicam, pelo contrário,
Sara Costa
Didáctica da Matemática
30
que se trata de um trabalho feito em conjunto, sem hierarquias, que permite atingir
objectivos benéficos para os intervenientes. Tendo em conta que havia afinidade na
forma de trabalhar, nas relações pessoal e profissional já existentes e também em
diversos objectivos comuns, estavam criadas as condições para o trabalho que se
pretendia. O facto de trabalhar com alguém com quem já se tem relações pessoais
previamente estabelecidas, poder reflectir e aprender com uma pessoa que desenvolveu
também os seus conhecimentos nesta área e poder, ao mesmo tempo, progredir na
compreensão desta problemática, foram algumas das vantagens claras deste tipo de
trabalho desde o início. Claro que os objectivos e também o papel desempenhado, da
minha parte e por parte da professora, eram distintos. Ambas surgimos como
professoras e investigadoras relativamente à turma e à investigação, no entanto, cada
uma de nós com predominância em cada um destes papéis. Perante a turma, a professora
tinha o seu papel principal e eu intervi sobretudo nas fases de preparação das tarefas e
de reflexão sobre as aulas. Perante a investigação, fui eu quem teve o papel
predominante e a professora teve a possibilidade de reflectir sobre os dados recolhidos.
Assim, pôde planificar e dinamizar as aulas tendo em conta o que conseguimos perceber
através do teste inicial, ou seja, que os alunos tinham já algumas estratégias próprias de
resolução das tarefas. Por outro lado, esteve também mais alerta para os alunos que,
desde o início, revelavam mais dificuldades em perceber este tipo de relações.
Reunião de planificação da unidade. Antes da leccionação desta unidade fomos
tendo várias conversas informais, bastante enriquecedoras. Para além disso, tivemos
uma longa reunião, de modo a combinarmos os objectivos específicos que cada uma de
nós tinha sobre a leccionação deste tema.
Tal como já referi anteriormente, o meu papel na planificação da unidade, foi
secundário. A professora propôs a sua planificação sobre a qual reflectimos em conjunto
e pensámos em algumas tarefas. Tratou-se de uma reunião de fim-de-semana, na qual,
de forma descontraída mas preocupada, combinámos as tarefas que caberiam a cada
uma de nós, discutimos e reflectimos sobre o tema. Desta reunião resultou uma
planificação da unidade já com algumas tarefas pensadas em que o que se pretendia era
partir sempre de situações problemáticas (muitas vezes através de fichas de trabalho) e
no momento de discussão/reflexão do trabalho realizado, em grande grupo, é que se
fariam algumas formalizações, atribuindo nomes ao que os alunos tinham feito de forma
Sara Costa
Didáctica da Matemática
31
informal. Tudo isto com o pressuposto de que nada estava acabado, ou seja, a
planificação estava dependente de tudo o que fosse ocorrendo ao longo das aulas.
Momentos de reflexão sobre as aulas. Após cada uma das aulas era feita a
respectiva reflexão conjunta. Às quartas-feiras, dia a que eu podia assistir às aulas, esta
reflexão era feita imediatamente após a aula. Às sextas-feiras, tendo em conta que o
meu horário não me permitia estar presente, a reflexão era feita, posteriormente, no
próprio dia, via Internet, por telefone ou mesmo presencialmente.
Planificação da unidade
A planificação da unidade foi feita inicialmente pela professora da turma, tendo
eu dado também algumas sugestões. À medida que as aulas foram decorrendo, a
professora e eu fomos em conjunto adaptando esta planificação de acordo com as
necessidades sentidas.
Na resolução de tarefas envolvendo o raciocínio proporcional, procurámos partir
de tarefas que permitissem aos alunos usar estratégias intuitivas e perceptíveis, que
permitissem mais tarde a apresentação de outras estratégias mais formais e estruturadas.
Esta perspectiva esteve na base de toda a planificação que elaborámos. Assim, partimos
sempre de tarefas em que os alunos usavam as suas próprias estratégias para depois
formalizar as estratégias de resolução e os conceitos, atribuindo os nomes correctos ao
que estavam a fazer. Por exemplo, logo no teste inicial alguns alunos usaram como
estratégia a representação dos dados numa tabela, no entanto, não utilizavam este nome
e a tabela não era estruturada. O termo “tabela” e a sua estruturação foram feitos mais
tarde.
Tentámos também que as formas de trabalho dos alunos se mantivessem
idênticas às que eram usadas até aqui pela professora, não quebrando a dinâmica
estabelecida na turma. Deste modo, as tarefas eram realizadas individualmente ou aos
pares e os alunos tinham a possibilidade de utilizar a calculadora. Continuou a ser
seguido o esquema de aulas a que os alunos estavam habituados, com a apresentação
diária de um enigma, por parte de um dos alunos da turma.
Escolhemos a sequência de temas desta unidade da forma que nos pareceu mais
simples. Optámos por fazer uma utilização reduzida do manual adoptado na escola, algo
Sara Costa
Didáctica da Matemática
32
que também já é usual na turma, desde o início do ano, uma vez que este não é do
agrado de quem, supostamente, o deveria utilizar – a professora e os alunos. Assim,
recorremos muitas vezes a fichas de trabalho com tarefas diversificadas e escolhidas a
partir de outros manuais (portugueses e de outros países) e também das provas de
aferição. Esta escolha foi também balizada pelo número de aulas previstas para este
tema, num total de 16 (ou seja 8 blocos de 90 minutos). Ultrapassámos assim as 12
aulas previstas no programa que, segundo a nossa experiência em anos anteriores,
seriam insuficientes.
A planificação teve assim a preocupação de partir do que os alunos já sabiam e
das suas próprias estratégias para a resolução de problemas que possam surgir no seu
dia-a-dia ou não. Mais do que conhecer nomes e conceitos, procurámos facilitar a
utilização do raciocínio proporcional e as suas representações. O quadro que se segue
(Quadro 1) pretende esquematizar o tópico principal abordado em cada um dos blocos
de aulas, não esquecendo que, ao longo das discussões das tarefas surgiam termos e
formas de representação cada vez mais generalizados. Deste modo, em cada dia, os
blocos de aulas nunca foram estanques em relação a um determinado tema.
1.º bloco –07.02.2007 –
4.ªf
Blocos
(90’)
Quadro 1 – Plano da unidade Proporcionalidade directa
Material
Tema Central
Esquema da aula
Fichas – Anexo 2
Proporcionalidade
directa
- Correcção dos enigmas da aula anterior;
- Teste inicial;
- Ficha de trabalho;
- Apresentação, por parte dos alunos, das
suas estratégias de resolução e das suas
dificuldades;
- Discussão e formalização (constante de
proporcionalidade, proporção, …);
- Enigma da aula;
- TPC.
Teste inicial
(Anexo 1)
Ficha com tarefas
variadas sobre
proporcionalidade
Calculadora
Sara Costa
Didáctica da Matemática
Identificação da
existência ou não
de
proporcionalidade
directa
Escalas
Percentagens
Gráficos Circulares
Percentagens
7..º bloco
- 02.03.07
– 6.ª f
6.º bloco 28.02.07 – 4.ª f
5. º bloco 23.02.07 – 6.ª f
4. º bloco 16.02.07 – 6.ª f
3.º bloco - 14.02.07 – 4.ª f
2.º bloco - 09.02.07 – 6.ª f
33
Revisões
- Correcção do TPC;
- Ficha de trabalho;
- Apresentação, por parte dos alunos, das
suas estratégias de resolução e das suas
dificuldades;
- Discussão e formalização;
- Enigma da aula;
- TPC - Os alunos devem fazer um
relatório sobre investigação da relação
existente entre altura/peso ou altura/idade
ou peso/idade dos membros da família.
- Correcção do TPC;
- Entrega dos relatórios;
- Apresentação de diapositivos com
imagens de mapas e representações de
diferentes escalas
- Ficha de trabalho;
- Apresentação, por parte dos alunos, das
suas estratégias de resolução e das suas
dificuldades;
- Discussão e formalização;
- Enigma da aula;
- TPC.
- Correcção do TPC;
- Jogo com percentagens;
- Discussão em grande grupo: o que é uma
percentagem; formas de representação;
uso da calculadora;...
- Ficha de trabalho;
- Enigma da aula;
- TPC
- Ficha de trabalho;
- Correcção, discussão e formalização
(quanto é 50%, …);
- Enigma da aula;
- TPC – Formular 1 a 2 “problemas” com
descontos e/ou aumentos numa folha à
parte.
- Os alunos trocam os “problemas”
realizados em casa com o colega do lado e
resolvem-nos;
- Correcção no quadro mediante a
aprovação do colega que elaborou o
“problema”;
- Enigma da aula;
- TPC.
- Correcção do TPC;
- Resolução de tarefas sobre a unidade;
- Enigma da aula;
- TPC.
Ficha para
identificar
situações em que
existe ou não
proporcionalidade
directa
Calculadora
Ficha de trabalho
com tarefas de
escalas
Calculadora
Ficha com jogo de
percentagens;
Ficha com tarefas
de percentagens
Calculadora
Ficha com tarefas
associadas a
gráficos circulares
e percentagens.
Calculadora
Calculadora
Calculadora
Sara Costa
Didáctica da Matemática
8..º bloco
- 07.03.07
– 4.ª f
34
Ficha de avaliação
– Anexo 3
- Ficha de avaliação;
- Enigma da aula.
Avaliação
Calculadora
Recolha de dados
Teste inicial. A realização do teste inicial a toda a turma surgiu como uma forma
de recolher dados sobre o desempenho dos alunos em situações de proporcionalidade
directa ainda antes do ensino formal do tema (Anexo 1). Considerei que estes dados,
para além de me poderem dar uma ideia genérica da turma, também poderiam ser úteis
para a professora ter a noção do que os seus alunos são capazes de fazer e de quais são
os seus conhecimentos prévios e as suas estratégias intuitivas. Optei por incluir, neste
teste, problemas existentes em manuais e problemas utilizados em estudos anteriores.
Assim, surgiu uma ficha com várias tarefas que incluíam problemas de dois tipos –
comparação numérica e valor omisso – e uma tarefa adaptada do estudo de Lamon
(1995), em que se pretendia averiguar se os alunos detectavam ou não situações em que
existe proporcionalidade directa. Para cada tipo de problema, tentei fazer variar um
elemento considerado em alguns estudos como perturbador ou como possível causa de
dificuldades (Quadro 2). Assim, nos problemas de comparação numérica, num caso
usavam-se números decimais e noutro não, e nos problemas de valor omisso fiz variar a
posição do valor desconhecido no problema.
Quadro 2 – Tarefas do teste inicial
Tipo de
tarefa
Possível
elemento
perturbador
Posicionado
como um
meio
Valor
omisso
Tarefa
Um automóvel que circula a uma velocidade constante
demora 10 minutos a percorrer 15 km. Quanto tempo leva
para percorrer 90 km? Explica o teu raciocínio.
Uma florista vendia ramos de flores feitos com rosas
amarelas e rosas brancas, colocando, em cada ramo,
Posicionado
duas rosas brancas por cada quatro amarelas. Se a
como um
florista fizesse um ramo com seis rosas brancas, quantas rosas
extremo
amarelas teria de colocar no ramo para manter a relação duas
rosas brancas para quatro rosas amarelas? Mostra como chegaste
Sara Costa
Didáctica da Matemática
35
à tua resposta. Podes fazê-lo utilizando palavras, esquemas e
cálculos.
Entre
números
inteiros
Comparação
Numérica
Com
números
decimais
Identificação da existência
ou não de
proporcionalidade directa
em cada situação
Repara na imagem. Que chá, A ou B, é o
mais doce? Justifica a tua resposta.
Num supermercado estão a
fazer uma promoção em que
vendem champôs em
conjuntos de dois ou de três.
Indica qual é a escolha mais
económica. Diz como chegaste a essa conclusão.
Indica se cada frase é verdadeira ou falsa e explica o raciocínio
que utilizaste, em cada caso, para poderes responder:
o Se uma rapariga chega à escola em 10 minutos duas levam
20 minutos.
o Se uma caixa de cereais custa 2,80€ duas custam 5,60€.
o Se um rapaz faz um modelo de carro em 2 horas, pode fazer
3 modelos iguais em 6 horas.
o Se o Hugo pinta o muro em 2 dias, o Hugo, o Tomás e um
terceiro colega pintam em 6 dias.
Teste final. Para poder fazer uma comparação entre os desempenhos dos alunos,
as estratégias por eles utilizadas e as dificuldades por eles sentidas, antes e depois da
leccionação da unidade de ensino, analisei o teste final realizado por toda a turma
(Anexo 3). Este instrumento constituiu também o teste de avaliação elaborado pela
professora. Assim, elaborámos, em conjunto, este teste de forma a poder ser usado para
avaliação sumativa global dos alunos e também para analisar a sua evolução em relação
ao teste inicial (Anexo 4).
Assim, tal como para o teste inicial, também este teste apresentava várias tarefas,
de tipos diferentes e com diferentes elementos perturbadores, de forma a poder
estabelecer alguma correspondência entre as estratégias utilizadas e as dificuldades
apresentadas para cada tipo de questão. O teste final decorreu numa aula de 4.ª feira,
durante 90 minutos.
Entrevistas. As entrevistas foram baseadas na ideia de Bogdan & Biklen (1994)
que indicam que estas são utilizadas para recolher dados descritivos na linguagem do
próprio sujeito. Neste caso, foram realizadas entrevistas semi-estruturadas que tiveram
como objectivo recolher elementos sobre a forma como os alunos entrevistados
raciocinavam. As tarefas aqui propostas eram do mesmo tipo das do teste inicial (Anexo
Sara Costa
Didáctica da Matemática
36
6). O guião da entrevista (Anexo 5) era semelhante à ficha dos alunos, solicitando
constantemente que me explicassem a sua forma de pensar. As entrevistas decorreram
na escola, em salas disponíveis em horários que não prejudicassem o trabalho dos
alunos, ou seja, durante a hora de almoço ou durante aulas em que os professores me
indicavam como sendo possível o aluno estar comigo – Aulas de Apoio Pedagógico
Acrescido, de Matemática ou de Área de Projecto. Cada entrevista demorou cerca de
uma hora e os dados foram registados por escrito, pelos alunos, e áudio gravados
através do microfone do computador colocado em cima da mesa. Antes de iniciar cada
uma das entrevistas, indiquei aos alunos que deveriam descrever ao máximo todos os
seus pensamentos e também fazer os respectivos registos escritos. Por outro lado,
relembrei que, ao usar os dados recolhidos, seria assegurado o anonimato de todos eles,
através da atribuição de nomes fictícios. Deste modo, todas as entrevistas decorreram
num clima tranquilo, apesar de alguns alunos, como Carlos, Jorge e Marina, se
mostrarem, de início, um pouco nervosos. No entanto, pode dizer-se que, de um modo
geral, os alunos interagiram de forma natural, como o faziam comigo nas aulas a que
assisti, colocando questões e reagindo e interagindo com grande naturalidade às
questões colocadas por mim, tal como faziam durante as aulas, com a professora regular
da turma.
Análise de dados
Para a análise dos dados recolhidos no teste inicial, no teste final e nas
entrevistas estabeleci, uma categorização tendo em conta as estratégias/representações
escritas utilizadas pelos alunos na resolução de cada tarefa.
Também foram objecto de análise as dificuldades e erros, revelados pelos
alunos, que tentei enquadrar tendo em conta o plano global de resolução de problemas
de Pólya, ou seja, localizando em que momento da resolução da tarefa é que o aluno
encontrou obstáculos. Assim, foram considerados os seguintes momentos: compreensão
do problema; estabelecimento de um plano de trabalho tendo em conta a relação entre
os dados do problema e o que se quer saber; execução do plano (que inclui, caso se
aplique, o momento de cálculo) e reflexão sobre a solução obtida. Por outro lado,
baseada nos estudos apresentados anteriormente, tentei também, identificar quais os
Sara Costa
Didáctica da Matemática
37
possíveis elementos perturbadores que desencadearam as dificuldades nos alunos em
determinado momento da resolução da tarefa.
Nas questões em que os alunos tinham de justificar se as situações eram de
proporcionalidade directa ou não, também analisei o conteúdo e consistência da
justificação quando esta era apresentada.
Assim, surgiram várias categorias e subcategorias apresentadas no quadro que se
segue (Quadro 3):
Quadro 3 – Categorias consideradas na análise de dados
Estratégias / representações
Correctas
Incorrectas
Multiplicativas:
• Produto cruzado (regra de três
simples / propriedade
fundamental das proporções);
• Procedimento escalar (dentro
do mesmo espaço de medida)
• Procedimento funcional
(entre espaços de medida
diferentes. Ex. Taxa unitária);
Aditivas (Construção - Buildingup):
• A partir de adições /
subtracções sucessivas
− Diferença
constante;
− Construção
incorrecta;
− Soma
constante;
− Raciocínio
incompleto;
Erros / dificuldades
−
−
−
−
Compreensão / interpretação do
problema (familiaridade ou não com
o contexto);
Construção do plano de execução
(Relação errada de dados, utilização
de parte dos dados);
Execução do plano (erro de cálculo,
cálculos incompreensíveis, falta de
indicação de cálculos);
Reflexão sobre a solução obtida
(pouco consistente/insatisfatória)
Ao nível da justificação para identificação de situações de proporcionalidade directa:
− Justificações baseadas em estratégias correctas;
− Baseadas em situações práticas reais;
− Utiliza justificação insatisfatória / pouco consistente
− Não justifica
De notar que a análise, tanto do teste inicial como do teste final, baseou-se,
unicamente, nas produções escritas dos alunos, que podem, por vezes, não corresponder
ao raciocínio por eles utilizado.
Relativamente às entrevistas, foram feitas as transcrições de forma cuidada e
imediatamente após a sua realização. Assim, após a transcrição de cada entrevista, fiz o
tratamento de dados, procurando descrever e interpretar o mais detalhadamente possível
Sara Costa
Didáctica da Matemática
38
o raciocínio e as estratégias usadas pelos alunos. No entanto, o objecto de análise foi
sempre as estratégias/representações e as dificuldades/erros apresentados pelos alunos.
Calendarização
Iniciei esta investigação no princípio do ano lectivo de 2006/07, ou seja, em
Setembro de 2006. A calendarização geral do estudo está indicada no Quadro 4. Após
ter escolhido a escola, a turma e a professora cooperante no estudo, fiz o pedido de
autorização formal à direcção da escola e aos encarregados de educação dos alunos
participantes. Nestes pedidos, feitos por escrito, todos foram informados dos objectivos
do estudo, bem como do tipo de participação solicitada a cada interveniente.
A recolha de dados foi feita em vários momentos. O primeiro momento foi antes
do ensino do tema da proporcionalidade directa, realizada no início de Fevereiro, em
que foi feito um teste inicial a toda a turma. Os momentos seguintes tiveram lugar
durante e após o ensino deste tema. Assim, o segundo momento de recolha de dados
refere-se à ficha de avaliação feita também por toda a turma. Por fim, num terceiro
momento, ao longo da semana após a ficha de avaliação, foram feitas entrevistas a seis
dos alunos.
Quadro 4 – Calendarização do estudo
Set
Out
Projecto de tese
●
●
Revisão da literatura /pesquisa
●
Fases de trabalho
Contacto e negociação com os
intervenientes
Construção dos instrumentos de
recolha de dados
1.ª fase da recolha de dados
Nov
Dez
Jan
Fev
Mar
Abr
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
Mai
●
2.ª fase da recolha de dados
●
Análise de dados
●
●
●
●
●
●
Escrita (aperfeiçoamento da revisão da
literatura, reflexões, conclusões)
●
●
Sara Costa
Didáctica da Matemática
39
Capítulo 4
O desenrolar das aulas
O plano de aulas proposto para a abordagem deste tema foi, na sua grande
maioria, cumprido. No entanto, houve algumas alterações, nomeadamente, no que diz
respeito a alguns trabalhos de casa que não foram solicitados e também a projecção
sobre escalas que não pode ser realizada por impossibilidade por parte da escola de
disponibilizar o equipamento previsto (datashow). Por outro lado, a professora teve de
se deslocar à aula de Estudo Acompanhado, onde não é a professora titular desta turma,
de forma a fazer a discussão de duas das tarefas, uma vez que os 90 minutos se
revelaram insuficientes numa turma onde a maioria dos alunos quer apresentar as suas
estratégias. Segue-se uma descrição geral das aulas, em que procuro realçar, acima de
tudo, tanto as estratégias como as dificuldades expostas pelos alunos à medida que
resolviam as tarefas propostas.
Na primeira aula sobre este tema, os alunos começaram por realizar o teste
inicial (Anexo 1). A professora, ao distribuir as fichas aos alunos, relembrou que
deveriam explicar todas as suas respostas e que teriam para isso cerca de 30 minutos.
No decorrer do teste alguns alunos pediram ajuda, principalmente na última questão,
perguntando se, por exemplo, as raparigas iam juntas ou não. Em todas estas
solicitações, tanto as minhas respostas como as da professora foram no sentido de
incentivá-los a darem respostas bem explicadas e argumentadas, pois isso seria o mais
importante. Praticamente todos os alunos conseguiram no tempo dado terminar as todas
as tarefas.
Na fase seguinte da aula, foram mostrados vários cartões com sequências e foi
pedido aos alunos que indicassem os três termos seguintes de cada sequência
Sara Costa
Didáctica da Matemática
40
geométrica ou numérica apresentada. Todos os alunos se mostraram empenhados e
bastante motivados para o trabalho proposto. Nesta tarefa, como em todas as outras, os
alunos tentaram explicar sempre os seus raciocínios, não limitando as suas respostas à
indicação de valores numéricos. Foi a partir destas sequências numéricas e geométricas
que a professora iniciou a abordagem ao tema da procura de regularidades.
Por fim, foi dada aos alunos uma ficha (Figura 2) na qual se propunham vários
problemas e exercícios relacionados com a proporcionalidade directa. Esta ficha poderia
ser feita a pares e, apesar de haver sempre alunos pouco autónomos, a grande maioria
conseguiu realizar as várias tarefas propostas.
Figura 2 – 1.ª Ficha – Proporcionalidade
A discussão destas tarefas já foi feita na aula seguinte, em grande grupo. Nesta
discussão foram abordados termos como proporção e proporcionalidade directa. A partir
de várias estratégias apresentadas pelos alunos, a professora formalizou os conceitos e
esquematizou no quadro as relações encontradas. Assim, na primeira tarefa em que era
Sara Costa
Didáctica da Matemática
41
necessário acabar de preencher uma tabela, as estratégias foram variadas, umas de
natureza multiplicativa e outras de natureza aditiva. Assim, por exemplo, para encontrar
um valor correspondente ao seis – alguns calcularam o valor de um (taxa unitária) e
multiplicaram por seis, outros somaram os valores encontrados para dois e quatro
(building-up).
Na segunda tarefa todos os alunos utilizaram estratégias aditivas, somando
1,5 kg sucessivamente até chegar aos 6 kg. Na terceira tarefa voltaram a aparecer
estratégias de natureza diferente, ou seja, alguns alunos multiplicaram o primeiro valor
por três e outros somaram o primeiro valor com o segundo.
No quarto problema a dificuldade sentida pelos alunos disse respeito à contagem
do número de dias. No entanto, após conseguirem ultrapassar esta dificuldade,
realizaram correctamente a tarefa. No quinto problema também perguntaram algumas
vezes que número deveriam considerar como média do número de dias por mês e, mais
uma vez, após ultrapassarem este obstáculo, conseguiram responder correctamente,
multiplicando o valor por 100 litros.
Na última tarefa, em que era solicitado um comentário comparativo, notou-se
alguma dificuldade em ir além de comentários demasiado genéricos e sem conteúdo
matemático, do tipo “a água é essencial à vida”. No entanto, a maioria dos alunos viu
que o facto dos valores serem iguais permitia comentar algo mais.
Na discussão desta ficha, houve uma aluna que, logo nas primeiras tarefas,
apresentou a regra de três simples (ensinada no ATL que frequentam) como a estratégia
por si utilizada (note-se que foi a aluna que tentou aplicar esta regra no teste inicial).
Tendo isso em conta, a professora explicou aos alunos a aplicação desta regra e fez o
mesmo com a propriedade fundamental das proporções.
Na realização da segunda ficha (Figura 3) já houve outros alunos a utilizarem a
regra de três simples. O mesmo não se verificou com a proporção que também tinha
sido mostrada na mesma altura como forma de relacionar valores entre grandezas
diferentes. Esta ficha foi elaborada de forma a trabalhar situações em que existe
proporcionalidade directa entre as grandezas apresentadas e outras situações em que não
existe proporcionalidade.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
42
Figura 3 – 2.ª Ficha – Existência ou não de proporcionalidade directa
Na primeira tarefa da ficha 2, a maior parte dos alunos começou por preencher a
tabela para o lado direito multiplicando o 5 por 2 para obter 10. De seguida, dividiram
por 5 para saber o valor unitário e, a partir daí, multiplicaram por 2, por 3 e por 4, de
forma a acabar de preencher a tabela.
Tal como já tinham feito no teste inicial, muitos alunos resolveram a segunda
tarefa utilizando uma tabela pouco estruturada com as colunas distância e tempo. Outros
alunos representaram os dados na recta. A professora, ao verificar que os alunos não
tinham usado a propriedade fundamental das proporções, relembrou de novo esta
propriedade como outra estratégia possível de utilizar.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
43
Na terceira tarefa também a estratégia mais utilizada foi a de calcular em
primeiro lugar o preço unitário e, a partir daí, calcular os restantes valores.
A terceira aula foi dedicada às escalas e partiu-se do manual de História e
Geografia de Portugal para o fazer, falando de mapas e escalas. Alguns alunos
lembravam-se e conseguiram recordar os colegas tanto as escalas com antecedente 1
como com outros antecedentes diferentes, como por exemplo, o antecedente 0,5. Foi
através de um diálogo bastante participado que se falou deste tema como mais um
campo em que se aplicam as noções de proporcionalidade directa.
Figura 4 – 3.ª Ficha – Escalas
Na terceira ficha de trabalho (Figura 4) eram propostas várias tarefas sobre
escalas. Os alunos sentiram algumas dificuldades, principalmente, na realização de
medições (utilização da régua). Logo na primeira tarefa surgiram, mais uma vez, várias
estratégias como o prolongamento da escala, adições sucessivas, regra de três simples e
construção de tabelas. Na segunda tarefa, como puderam utilizar as mesmas estratégias,
já não apresentaram tantas dificuldades. Assim, começaram por interpretar a escala mas,
como o antecedente não era 1 mas sim 0,7, muitos alunos utilizaram a regra de três
Sara Costa
Didáctica da Matemática
44
simples, outros foram ver quantas vezes 0,7 “cabia” em 2,8 e outros ainda prolongaram
a escala. Nesta discussão gerou-se algum espanto quando alguns alunos acharam
estranho fazer uma divisão e obter um número superior ao inicial. Na segunda questão,
os alunos usaram as mesmas estratégias que tinham utilizado na primeira questão. A
discussão das restantes tarefas já foi feita na aula seguinte.
Nesta aula, a professora trouxe um painel (com as peças gráficas representativas
de um projecto, em que havia plantas, cortes e alçados) realizado por um arquitecto para
que os alunos percebessem a utilidade das escalas em contexto real. Relativamente à
discussão da tarefa, na terceira pergunta notou-se alguma dificuldade dos alunos, uma
vez que tinham de fazer um desenho à escala.
Na quarta questão, em que tinham de interpretar uma planta de uma casa e, de
seguida, calcular áreas e perímetros de algumas divisões, muitos alunos usaram a regra
de três simples para determinar os comprimentos reais. Aqui foi discutida a pertinência
do uso de determinadas unidades consoante o contexto da questão, uma vez que muitos
alunos tinham deixado as suas respostas em centímetros. Nas alíneas seguintes alguns
alunos perceberam que não tinham de fazer a regra de três simples porque, tal como
referiu uma aluna, ao fazer esta regra, acabavam por multiplicar por 100 e depois ao
fazer a redução de centímetro para metros dividiam por 100, tal como se verificava na
planta apresentada pela professora no início da aula. Nesta tarefa, a grande dificuldade
esteve relacionada com os conceitos de área e perímetro de que alguns alunos já não se
recordavam.
No quinto problema, houve muitos alunos com dificuldades. No entanto, isto só
se percebeu devido à grande atenção da professora, uma vez que como há sempre
alunos que conseguem fazer as tarefas e que participam muito na aula, por vezes pode
ficar-se com a ideia errada de que toda a turma percebeu a questão.
Após terem feito o quinto problema em grande grupo, os alunos conseguiram
fazer o sexto sem grandes problemas. Notou-se, no entanto, ao longo da realização da
ficha, alguma agitação, quando não conseguiam usar as estratégias usadas
anteriormente.
Ainda nesta aula, a professora propôs a realização de várias tarefas que
envolviam a proporcionalidade directa, tarefas essas já conhecidas dos alunos no 5.º
ano. No entanto, foi pedido aos alunos que resolvessem as tarefas tentando, desta vez,
Sara Costa
Didáctica da Matemática
45
usar estratégias mais sofisticadas, mais formais. Nestas tarefas os alunos utilizaram
tabelas, regras de três simples e também adições sucessivas.
Nesta aula foi ainda entregue o teste inicial. É de notar que, logo após a sua
realização, os alunos mostraram-se sempre muito curiosos em relação ao seu
desempenho no teste. Assim, eu e a professora optámos por corrigir os testes e devolvêlos aos alunos. No momento desta devolução, foi-lhes dito que tinham sido corrigidos
em conjunto pelas duas professoras e que tinham tido, acima de tudo, um papel
diagnóstico. Isto ocorreu antes da interrupção lectiva e foi solicitado aos alunos que
durante esta interrupção tentassem fazer as tarefas que não tinham conseguido fazer
antes.
Na aula seguinte, foram corrigidos os vários problemas que os alunos levaram
para casa, relacionados com proporcionalidade directa e escalas. Esta correcção foi
realizada em grande grupo, após alguns alunos exporem as suas estratégias e
dificuldades. Nesta discussão foi notória a dificuldade de alguns alunos na tarefa de
determinação do chá mais doce presente no teste inicial.
Seguiu-se um breve diálogo sobre percentagens, em que alguns alunos ficaram
espantados por nunca terem reparado que este termo estava relacionado com o número
100. Depois disso, os alunos fizeram, a pares, o jogo das percentagens (Figura 5).
Figura 5 – 4.ª Ficha – Jogo de percentagens
Sara Costa
Didáctica da Matemática
46
Foi notória a tentativa de alguns alunos de usarem a calculadora para efectuar
todos os cálculos, uma vez que já sabiam como fazer a determinação de percentagens.
No entanto, muitos alunos deduziram que 50% indicava a metade de um valor e outros
concluíram também que 25% indicava ¼, ou metade da metade. A questão que levantou
mais dificuldades foi a determinação de 30% de um valor mas também aqui um dos
alunos explicou a sua estratégia, aprendida, segundo disse, no 1.º ciclo – neste caso, ele
calculava o valor de 10% e depois, multiplicava por três.
De seguida, os alunos realizaram a ficha sobre percentagens (Figura 6). A
discussão desta ficha foi feita na aula de Estudo Acompanhado, uma vez que não houve
tempo para a fazer nesta aula.
Figura 6 – 5.ª Ficha – Percentagens
Na aula de Matemática seguinte os alunos trabalharam gráficos circulares
através de tarefas propostas na ficha 6 (Figura 7). Os alunos não apresentaram grandes
dificuldades durante a sua resolução. No momento da discussão, a professora registou
no quadro algumas relações entre percentagens, fracções e a sua representação. Houve
Sara Costa
Didáctica da Matemática
47
um aluno que, prontamente, exemplificou com os 28 alunos da turma, dizendo quantos
alunos correspondiam a 50%, a 25% e também 75%. Alguns indicaram que os 75% se
podem obter somando o valor obtido para os 25% e o valor obtido para 50%, outros
através da diferença entre os 100% os 25%.
Figura 7 – 6.ª Ficha – Percentagens e gráficos circulares
Relativamente à sexta ficha de trabalho, a primeira questão, relacionada com a
roda dos alimentos (tema já abordado pelos alunos em Ciências da Natureza),
revelou-se fácil para a grande maioria dos alunos. Na primeira alínea, tinham de indicar
o valor de um sector, em percentagem. Todos fizeram a soma dos valores conhecidos e
depois subtraíram este valor a 100%. Nas alíneas seguintes, em que tinham de
identificar grupos alimentares que correspondiam a determinada percentagem, a maioria
dos alunos associou a percentagem à sua representação gráfica. No entanto, também
houve alunos que usaram os valores de percentagens já conhecidos.
Na segunda questão, os alunos tinham de provar que Ana gastava toda a sua
mesada, uma vez que os seus gastos correspondiam a 100% da mesada. Embora os
alunos soubessem dizer que sim e afirmavam que “era lógico”, não sabiam como o
explicar. Na segunda alínea, os alunos não tiveram dificuldades em indicar a que é que
Sara Costa
Didáctica da Matemática
48
correspondia metade da mesada. A atribuição de valores a cada “fatia” do gráfico, tendo
em conta que o total era 20 €, também não apresentou dificuldades. Começaram por
atribuir metade (10 €) aos livros e facilmente atribuíram também 5 € a cada um dos
outros sectores.
A terceira questão, relacionada com as causas de incêndios, já deu origem a mais
discussão. Na primeira alínea, os alunos subtraíram de 100% a soma de todos os outros
valores. Na segunda alínea, os alunos apresentaram várias estratégias. Alguns usaram a
representação gráfica. Outros fizeram a regra de três simples, em que 25 correspondiam
a 100 e χ correspondiam a 1000 ou em que 1000 correspondiam a 100 e que χ
corresponderiam a 25. Outros, ainda, calcularam 25% de 100 na calculadora. E ainda
outros disseram que tinham rapidamente percebido que se fossem 100 incêndios eram
25 que se devem a causas intencionais, agora que são 1000 incêndios (dez vezes mais)
só podem ser 250 os que se devem a estas causas. Depois de surgirem todas estas
estratégias, a professora perguntou se poderia aparecer ainda mais alguma estratégia, ao
que os alunos responderam que poderiam ter feito por proporções ou tabelas, apesar de
ninguém o ter feito. Na alínea seguinte as estratégias que surgiram foram exactamente
as mesmas desta alínea.
Na quarta questão alguns alunos apresentaram dificuldades, uma vez que nem
repararam no dado numérico que aparecia (por extenso) no enunciado. No entanto, após
serem chamados à atenção para este facto, colocaram-no no gráfico e rapidamente
conseguiram encontrar os valores que faltavam, uma vez que a 12 correspondiam 2
espaços do gráfico. A partir do momento que superaram esta dificuldade, conseguiram
responder a todas as outras questões, através de estratégias diversificadas. Alguns
alunos ao colocarem os valores no gráfico, somaram-nos e encontraram o valor total de
pessoas, outros indicaram que, se a 12 jovens correspondem 25%, 50% é o dobro (24
jovens) e 100% é o dobro deste, e outros indicaram que tinham de multiplicar o valor
correspondente a 25%, ou seja, 12 por 4. A segunda alínea foi respondida tendo em
conta que correspondia a metade do sector conhecido como correspondente a 12 jovens.
A terceira alínea foi facilmente respondida tendo em conta que, tal como os alunos
referiram na aula, “50% porque é metade do gráfico”. Para a última alínea também
foram apresentadas, mais uma vez, várias estratégias. Alguns alunos colocaram que a
Sara Costa
Didáctica da Matemática
49
fracção correspondente era 6/48 (simplificando-a de seguida) outros indicaram que se
50% é ½, 25% é ¼ , a este valor correspondia metade de ¼, ou seja, ¼:2.
Na aula de 6.ª feira, última aula antes da ficha de avaliação, foi proposta aos
alunos uma ficha com problemas variados, de forma a fazer revisões sobre este tema
(Figura 8). Esta ficha também foi resolvida pelos vários alunos sem grandes
dificuldades. Na primeira questão a grande maioria dos alunos encontrou o peso de uma
caixa (preço unitário) e, a partir daí, calculou todos os outros valores. No entanto, houve
alunos que, para encontrar valores múltiplos, não utilizaram o valor de uma caixa. Por
exemplo, para encontrarem o peso de 6 caixas, basearam-se no peso de três.
Figura 8 – 7.ª Ficha – Ficha de revisões
Na segunda questão, os alunos não apresentaram dúvidas, calculando o produto
de 1,60 por 4, de forma a indicar a escolha mais económica.
A terceira questão já trouxe algumas dificuldades, nomeadamente, relacionadas,
mais uma vez, com os conceitos de área e perímetro. Após se recordarem de como
calcular cada um destas grandezas, houve alunos que preencheram a tabela por colunas,
Sara Costa
Didáctica da Matemática
50
separadamente e outros que conseguiram relacionar os dados e ver que, por exemplo, 2
é o produto de 0,5 por 4.
No quarto exercício, mais uma vez os alunos apresentaram dificuldades desde o
momento da leitura da escala até à concretização da resposta. No entanto, no momento
da discussão todos os alunos tentaram participar, mesmo aqueles que a professora notou
apresentarem dificuldades quando tentavam resolver a questão sozinhos.
Para a quinta questão, todos os alunos usaram a calculadora e responderam
correctamente às várias alíneas. Já a sexta questão levantou algumas dúvidas por “dar
um valor estranho”. No entanto, a maioria dos alunos respondeu a esta questão
aplicando uma regra de três simples.
Na interpretação de gráficos os alunos pareceram não apresentar grandes
dificuldades mas, quando tinham de relacionar percentagens com quantidades, alguns
misturavam os dados, somando ou subtraindo percentagens às quantidades
correspondentes.
Na última questão, embora envolvesse escalas, os alunos não mostraram grandes
dificuldades. A grande maioria usou 1 para 5 e não o 1 para 20 como sugeria a escala
representada.
Assim, tendo em conta o facto de haver alunos ainda com algumas dificuldades,
a professora sugeriu uma aula suplementar de 45 minutos na 2.ª feira antes da ficha de
avaliação, de forma a realizarem ainda mais tarefas e também para exporem as suas
dúvidas. Nesta aula, mesmo não sendo obrigatória, compareceram 26 dos 28 alunos (os
dois alunos que não foram tinham apoio educativo de uma outra disciplina a esta hora).
Os alunos presentes resolveram várias tarefas, individualmente ou a pares, e colocaram
as suas dúvidas. Foi notório que, mesmo nesta fase, muitos alunos continuavam a usar
muitas das suas estratégias iniciais, enquanto outros adoptaram outras estratégias como
sendo mais rápidas, como o caso da regra de três simples.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
51
Capítulo 5
Desempenho dos alunos nos testes
Teste inicial
Antes do ensino formal deste tema foi feito um teste inicial à turma (Anexo 1).
Ao analisar o teste inicial verifiquei a utilização, por parte dos alunos, de vários tipos de
estratégias, umas correctas e outras incorrectas, que procurei agrupar de acordo com as
ideias apresentadas anteriormente. É o que apresento de seguida.
Tarefa 1
Um automóvel que circula a uma velocidade constante demora 10
minutos a percorrer 15 km. Quanto tempo leva para percorrer 90 km?
Explica o teu raciocínio.
Esta tarefa dizia respeito a um problema de valor omisso situado como meio. Os
resultados obtidos pelos alunos foram bastante bons. Isto porque só 1 aluno não
respondeu e, dos restantes 27 alunos, só 8 apresentaram respostas erradas, alguns dos
quais utilizando estratégias correctas. Isto deve-se ao facto de terem errado cálculos ou
terem tentado utilizar procedimentos mais formais como a regra de três simples.
A grande maioria dos alunos usou uma estratégia/representação aditiva. Assim,
17 alunos utilizaram uma estratégia de construção (building-up) e outros 2 tentaram
fazê-lo mas não conseguiram terminar. Esta estratégia foi, muitas vezes, representada
através de uma tabela ainda que pouco estruturada:
Sara Costa
Didáctica da Matemática
52
Outro aluno com sucesso nesta questão (apesar de ter indicado mal as operações,
colocando 15:90=6 em vez de 90:15=6), utilizou um procedimento escalar. Um dos
alunos tentou aplicar a regra de três simples, mas sem sucesso, uma vez que trocou a
ordem dos valores.
Nesta tarefa surgiram também estratégias incorrectas, por parte de alguns alunos:
3 dos alunos mantiveram a diferença constante, ou seja, adicionaram o mesmo valor (5,
neste caso) aos dois valores conhecidos:
Outros 2 alunos fizeram operações incompreensíveis usando os dados do
problema. Houve ainda um aluno que, apesar de ter dado a resposta correcta, não
explicou como a obteve.
De um modo geral, esta tarefa parece não ter suscitado dificuldades à grande
maioria dos alunos, uma vez que os erros que surgiram foram, acima de tudo, ao nível
da formulação e da execução (cálculo) do plano de resolução da tarefa.
Tarefa 2
Uma florista vendia ramos de flores feitos com rosas amarelas e rosas
brancas, colocando, em cada ramo, duas rosas brancas por cada quatro
amarelas. Se a florista fizesse um ramo com seis rosas brancas, quantas
rosas amarelas teria de colocar no ramo para manter a relação duas rosas
brancas para quatro rosas amarelas? Mostra como chegaste à tua resposta.
Podes fazê-lo utilizando palavras, esquemas e cálculos.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
53
Trata-se também de um problema de valor omisso, neste caso, numa posição de
extremo. 14 alunos obtiveram a resposta correcta, 12 resolveram incorrectamente e 2
dos alunos não responderam (um dos quais foi quem também não respondeu ao
primeiro problema). Neste problema 7 alunos utilizaram estratégias aditivas, buildingup, através de adições sucessivas:
5 alunos utilizaram estratégias multiplicativas, 4 usando um procedimento
funcional e 1 um procedimento escalar. Todos estes alunos tiveram sucesso nas suas
respostas. Para além destes, houve 2 alunos que apesar de obterem o valor correcto, não
indicaram a forma como o conseguiram.
Quanto a estratégias incorrectas, 8 alunos mantiveram a diferença constante, ou
seja, ao acrescentarem quatro rosas brancas também acrescentavam quatro rosas
amarelas:
Dos restantes alunos, 3 fizeram cálculos incompreensíveis com os dados do
problema e 1 indicou simplesmente que não colocaria nenhuma rosa branca.
Tarefa 3
Repara na imagem. Que chá, A ou B, é o mais doce?
Justifica a tua resposta.
Quanto ao primeiro problema de comparação numérica, que só envolvia
números inteiros, os alunos tiveram mais dificuldades e mostraram uma certa tendência
para dar respostas sem grande argumentação matemática. Assim, 12 alunos obtiveram a
resposta correcta, mas destes, 7 deram justificações insatisfatórias, pouco consistentes e
Sara Costa
Didáctica da Matemática
54
1 não justificou a sua resposta. Os restantes 4 alunos utilizaram, correctamente, uma
estratégia de natureza multiplicativa, através de um procedimento escalar:
Também os argumentos utilizados pelos alunos que obtiveram respostas
incorrectas, 12 no total, foram baseados, na maioria das vezes, apenas num dos dados
do problema, ignorando assim os restantes – 7 alunos só compararam quantidades de
açúcar, 2 estabeleceram a diferença entre açúcar e chá para cada jarro, 1 adicionou o chá
ao açúcar e depois comparou, 1 comparou os valores em decilitros com valores em
gramas e 1, apesar de ter usado a estratégia correcta (com procedimento escalar), errou
os cálculos. A esta questão, não responderam 4 alunos.
Assim, esta tarefa de mistura revelou-se difícil para os alunos. Um dos aspectos
que pode ter contribuído para esta dificuldade foram as unidades utilizadas – gramas e
decilitros – que não são fáceis para os alunos. Possivelmente, se em vez de gramas de
açúcar, o problema envolvesse colheres de açúcar, eles teriam tido mais facilidade em
lidar com esta situação.
Tarefa 4
Num supermercado estão a fazer uma
promoção em que vendem champôs em
conjuntos de dois ou de três. Indica qual é a
escolha mais económica. Diz como chegaste
a essa conclusão.
O segundo problema de comparação numérica, apesar de envolver números
decimais, constitui uma questão que se coloca muitas vezes na ida ao supermercado.
Assim, praticamente todos os alunos tentaram responder – só dois alunos não o fizeram.
Embora tenham sido 21 alunos a dar a resposta correcta, destes, 13 deram justificações
insatisfatórias ou inexistentes, por exemplo, limitando-se a dizer que a embalagem de
três champôs compensa por ter mais champô. Dos restantes 8 alunos, 6 aplicaram
Sara Costa
Didáctica da Matemática
55
estratégias multiplicativas, através de procedimentos funcionais. Destes, 2 alunos
calcularam o preço unitário em cada embalagem e 4 calcularam o preço unitário na
embalagem de duas unidades e, de seguida, multiplicaram por três para poder comparar
com a outra embalagem:
Houve ainda 2 alunos que optaram por procedimentos escalares, calculando,
para cada caso, o preço de seis champôs:
Neste problema foram 5 os alunos que erraram: 3 porque tiveram em conta só o
preço não relacionando com a quantidade. Os outros 2 alunos usaram uma estratégia
correcta – taxa unitária – mas um errou os cálculos e outro não terminou a resposta,
apesar das indicações correctas.
Assim, as dificuldades dos alunos em responder correctamente a esta questão
disseram respeito, acima de tudo, ao facto da argumentação que utilizaram ter sido
apoiada, muitas vezes, na subjectividade associada à expressão “escolha mais
económica”. Outro aspecto a referir foi o facto de alguns alunos errarem ou não
terminarem a execução do seu plano de resolução da tarefa.
Tarefa 5
A última questão estava relacionada com a identificação de situações em que
existia ou não proporcionalidade directa. Nesta, como não se podia perguntar aos alunos
se existia ou não proporcionalidade (porque nesta fase eles não conheciam, em
princípio, esse termo) eram apresentadas várias situações em que, aplicando uma
relação proporcional se pedia para validar a sua veracidade. Assim, os alunos tinham de
Sara Costa
Didáctica da Matemática
56
dizer se concordavam ou não com a afirmação apresentada e justificar a sua resposta.
Esta tarefa revelou-se simples para a grande maioria dos alunos.
Indica se cada frase é verdadeira ou falsa e explica o raciocínio
que utilizaste, em cada caso, para poderes responder:
o Se uma rapariga chega à escola em 10 minutos duas levam 20 minutos.
o Se uma caixa de cereais custa 2,80€ duas custam 5,60€.
o Se um rapaz faz um modelo de carro em 2 horas, pode fazer 3 modelos
iguais em 6 horas.
o Se o Hugo pinta o muro em 2 dias, o Hugo, o Tomás e um terceiro colega
pintam em 6 dias.
A primeira alínea, sobre o tempo que levam uma ou duas raparigas num dado
percurso, 23 alunos responderam correctamente, embora 1 não tenha justificado. Dos 5
alunos que argumentaram de forma incorrecta, 1 calculou o tempo de cada uma e somou
os valores, outro fez o mesmo mas não terminou a resposta, 1 não justificou e 1 não
respondeu (nem a esta nem a nenhuma das alíneas seguintes).
Relativamente ao preço das duas caixas de bombons, 27 alunos responderam
correctamente e 1 não respondeu. Destes 27, 20 utilizaram uma estratégia aditiva, ou
seja, somaram o preço das duas caixas, 6 utilizaram uma estratégia multiplicativa, ou
seja, multiplicaram o preço de uma caixa por dois, e 1 aluno não justificou.
Quanto à questão dos modelos de carros, 25 alunos deram a resposta correcta, 11
dos quais aplicaram uma estratégia multiplicativa com procedimentos escalares, ou seja,
multiplicaram as duas horas por três, 12 alunos utilizaram uma estratégia aditiva de
construção, 10 dos quais com uma representação em tabela (pouco estruturada) de
forma a fazerem adições sucessivas. Houve ainda 1 aluno que fez o desenho dos carros
e 1 não justificou. Nesta questão 3 alunos não responderam.
A última questão, sobre o muro a ser pintado por uma ou por três pessoas, 22
alunos responderam correctamente, 1 deu a resposta incorrecta mas não justificou e 5
não responderam. Dos que responderam correctamente, 16 argumentaram que, com
ajuda, os trabalhos são de mais rápida execução, 1 aluno calculou o número de horas
que o Hugo demorou e dividiu por três para provar quanto o número de horas vai
diminuir, 2 alunos não justificaram e 3 deram justificações imperceptíveis.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
57
De notar que um dos alunos não respondeu a nenhuma das questões do verso da
folha e que também na última questão houve uma aluna que respondeu a todas as
perguntas e não justificou nenhuma delas.
Resultados globais
Os alunos tiveram um desempenho bastante satisfatório neste conjunto de
tarefas. Mesmo aqueles que erraram as questões que lhes foram colocadas,
conseguiram, de um modo geral, explicar o seu raciocínio. Nota-se que são alunos que
estão habituados a explicar, tanto oralmente como por escrito, o porquê das suas
respostas. Por outro lado, também é visível o facto de terem tentado fazer praticamente
todas as tarefas, tendo sido poucos os que deixaram algumas em branco.
O Quadro 5 apresenta, de forma sintética, os dados obtidos através do teste
inicial. Neste quadro nem sempre a soma dos valores de cada coluna corresponde ao
total dos alunos da turma, uma vez que o mesmo aluno pode ser registado em mais do
que uma célula. É disto exemplo um aluno que usa uma das estratégias consideradas e
depois erra os cálculos. Tal como se pode ver no Quadro, antes de uma abordagem
formal ao tema da Proporcionalidade directa, no caso das tarefas de valor omisso, os
alunos optaram, a grande maioria das vezes, por estratégias aditivas. Esta tendência foi
mais acentuada no caso da tarefa em que o valor omisso está posicionado como meio.
Na tarefa de valor omisso posicionado como extremo, as estratégias variaram mais, ou
seja, houve alunos a utilizar procedimentos aditivos e outros procedimentos
multiplicativos. A existência de estratégias mais variadas pode ter sido facilitada pela
estrutura numérica da tarefa, uma vez que aqui havia números que facilmente poderiam
identificar-se como múltiplos de outros. Ou seja, mais facilmente se identifica o 6 como
múltiplo de 2 do que o 90 como múltiplo de 15. As dificuldades/erros apresentados
pelos alunos neste tipo de tarefa também foram variados. Uns são ligados à execução do
plano de resolução, ou seja, decorrem do estabelecimento de relações incorrectas entre
os dados, nomeadamente, mantendo constante a diferença entre os valores. Outros erros
estão relacionados com a execução, resultando, principalmente, de cálculos
incompreensíveis ou errados.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
58
Quadro 5 – Resumo das estratégias e dificuldades dos alunos no teste inicial
Tipo de tarefa
Comparação numérica
com…
Números
Números
Extremo
decimais
inteiros
7
0
0
Valor omisso
como…
Momento Dificuldades / erros
Estratégias
Correctas
Meio
Aditivas: Building-up
Multiplicativas:
− Procedimento escalar;
− Procedimento funcional;
− Regra de três simples.
Compreensão/Interpretação
Construção do plano:
− Relação errada entre dados:
− Faz diferença constante;
− Só utiliza parte dos dados.
Execução:
− Erro de cálculos;
− Cálculos incompreensíveis;
− Não termina;
− Não indica cálculos feitos.
Reflexão
− Pouco consistente/insatisfatória
Não responde
Argumentações consistentes baseadas em
exemplos, situações práticas reais;
Aditivas: Building-up
Multiplicativas:
− Procedimento escalar;
− Procedimento funcional;
Argumentos pouco
consistentes/insatisfatórios
Ausência de justificação;
Não responde
19
1
0
1
0
1
4
0
0
2
8
0
0
5
0
0
0
0
3
0
0
8
0
0
0
3
4
0
7
1*
2
2**
1
0
4
0
2
1***
0
1***
1
0
0
0
1
0
0
13
7
1
2
2
4
Identificação da existência ou não de
proporcionalidade directa
Sem dados
Com dados numéricos
numéricos
a)
d)
b)
c)
23
16
0
0
0
0
20
13
0
0
0
1
6
0
11
0
2
3
0
0
2
1
3
5
1
1
1
3
Notas:
* Tentativa de usar regra de três simples;
** Usam estratégia aditiva mas “perdem-se” nos cálculos;
*** Utiliza estratégia funcional.
No caso das tarefas de comparação numérica, as estratégias dominantes foram
de natureza multiplicativa. Tal como seria de esperar, os alunos tiveram tendência para
tentar relacionar cada par de valores e não para obter uns a partir de outros, ou seja, para
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Didáctica da Matemática
59
usar estratégias aditivas. O facto de uma das tarefas envolver números decimais parece
não ter prejudicado o desempenho dos alunos. No entanto, o do contexto da tarefa que
só envolvia números inteiros revelou-se um obstáculo significativo, tendo os alunos
mostrado dificuldade em lidar com uma tarefa de mistura com as grandezas contínuas
massa e volume, implicitamente definidas pelas unidades grama e decilitro. É também
de realçar a sua maior dificuldade em validar e justificar as suas respostas neste último
tipo de questões, tendo-se apoiado, muitas das vezes, em argumentos subjectivos e
pouco válidos do ponto de vista matemático.
Relativamente
à
identificação
de
situações em que
existe
ou
não
proporcionalidade directa, os alunos não mostraram grandes dificuldades. No entanto,
apoiaram-se em argumentos de vários tipos: nas questões que não envolviam dados
numéricos, apoiaram-se em exemplos do seu dia-a-dia e em situações práticas reais; na
presença de dados numéricos, a maioria optou por estratégias aditivas mas outros
seguiram estratégias multiplicativas, com procedimentos escalares. É de destacar que a
grande maioria dos alunos respondeu a estas questões, havendo muito poucos a não
responder ou a responder sem justificar.
Verifica-se
assim
que,
mesmo
antes
do
ensino
formal
do
tema
Proporcionalidade Directa, a grande maioria dos alunos conseguiu realizar tarefas que
pressupunham a utilização de raciocínios proporcionais. Assim, tal como é referido por
muitos autores citados anteriormente, este tipo de raciocínio desenvolve-se
anteriormente à leccionação desta unidade fora (e dentro) da escola, através de
experiências
do
dia-a-dia.
Mais
adiante
veremos
até
que
ponto
as
estratégias/representações são diferentes neste momento e no que sucede o ensino deste
tópico matemático.
Teste final
No final desta unidade a professora realizou um teste de avaliação incluindo
questões sobre proporcionalidade a par de questões sobre outros temas já leccionados
(Anexo 3). As tarefas deste teste foram ajustadas entre nós as duas para que se pudesse
fazer uma análise comparativa dos dois testes (Anexo 4).
Sara Costa
Didáctica da Matemática
60
Tal como foi feito para o teste inicial, também neste teste final verifiquei a
utilização, por parte dos alunos, de vários tipos de estratégias. Assim, classifiquei as
respostas em três grandes grupos: correctas, incorrectas, inexistência de resposta. De
seguida analisei cada um destes grupos de acordo com a estratégia utilizada na
resolução. Na descrição dos dados obtidos menciono só as tarefas de interesse para este
tema, dando uma numeração que não corresponde ao número da questão da ficha mas
sim à ordem na qual se apresenta.
Tarefa 1 – questão 3
3. O grupo de amigos do Pedro foi à Pizaria na 5.ª feira passada. Pediram 3 pizas para 9
pessoas, para que todos comessem igual quantidade de piza. Na próxima 5.ª feira voltarão à
Pizaria, mas serão 15 pessoas. Quantas pizas têm de pedir para que cada um coma a mesma
quantidade da semana anterior?
Nesta tarefa, de valor omisso posicionado como meio, os alunos tinham de
indicar o número de pizas a pedir para que 15 pessoas comessem o mesmo do que
tinham comido 9 pessoas quando pediram 3 pizas. Os alunos mostraram uma certa
facilidade em resolver esta tarefa. Só 1 aluno não respondeu e 2 obtiveram respostas
erradas, por utilizarem uma estratégia aditiva, mantendo constante a diferença entre
valores (sendo mais seis pessoas, pediriam também mais seis pizas, ou seja, 9 pizas).
Dos 25 alunos que obtiveram a resposta correcta, houve 1 que não explicou o seu
raciocínio, 22 aplicaram estratégias multiplicativas, 20 através da regra de três simples e
2 através de um procedimento funcional em que, a partir de esquemas, relacionaram a
quantidade de piza que correspondia a cada pessoa. Os outros 2 alunos utilizaram uma
estratégia aditiva através de adições sucessivas.
Tarefa 2 – questão 4
4. A Filipa foi a um supermercado onde o preço das maçãs era o seguinte:
Peso (em kg)
Preço (em euros)
3
5,40
4
7,10
5
8,70
Averigua se há proporcionalidade directa entre o peso das maçãs e o preço. Explica como chegaste à tua resposta.
Nesta questão, os alunos tinham de verificar, numa tabela, a existência ou não de
proporcionalidade directa. Houve vários alunos que não conseguirem fazer a tarefa e
Sara Costa
Didáctica da Matemática
61
outros que indicaram respostas erradas baseadas, muitas das vezes, em argumentos
apoiados em dados subjectivos. Assim, a esta questão, 7 alunos não responderam, 8
responderam mas não justificaram ou justificaram de forma insatisfatória. Apesar destes
números, 10 alunos obtiveram respostas correctas, todos eles com estratégias
multiplicativas: 6 através de procedimento funcional em que calcularam o preço de 1
kg, calculando a partir daí os outros valores e 4 aplicaram o procedimento do tipo
escalar, ou seja, verificaram a existência ou não de regularidade entre as colunas da
tabela, ou seja, na mesma grandeza. Os 3 alunos que erraram esta questão não deram
justificações consistentes, ou seja, utilizaram frases do tipo: “porque se comprar 1 kg
paga menos”, “porque o último devia ser mais caro” ou “porque o preço vai subindo
quando aumenta o peso”.
Tarefa 3 – questão 5
5. Qual é a embalagem de manteiga que é mais
vantajosa comprar?
Na tarefa da escolha da melhor compra, tendo em conta diferentes preços e
quantidades de manteiga, a maioria dos alunos não revelou grandes dificuldades. No
entanto, houve 1 aluno que não respondeu, 4 que, apesar de “acertarem” na resposta,
deram justificações insuficientes e 3 deram a resposta errada: 1 indicou 250 g mas não
explicou, 1 aluno que operou só com parte dos dados, e outro que foi ver o preço para 2
embalagens de cada tipo de manteiga. Dos alunos que obtiveram respostas correctas
com explicações válidas, 13 utilizaram uma estratégia multiplicativa, 12 com
procedimentos escalares, ou seja, foram verificar, para cada caso, o preço de 500 g,
multiplicando o valor que correspondia a 125 g por 4 e o de 250 g por 2 e 1 dos alunos
partiu do preço de 125 g e, através de regras de três simples, calculou o preço para as
restantes quantidades. Os restantes 7 alunos utilizaram uma estratégia aditiva, obtendo o
valor através de adições sucessivas.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
62
Tarefa 4 – questão 6
6. Para fazer a cobertura do bolo, a Ana precisa de “Chocolate Negro”.
Casa Bombom
10% de
desconto
Chocolate
Negro
1,30€
Casa Biscoito
15% de
desconto
Chocolate
Negro
1,40€
Em qual das lojas lhe ficará mais barato o chocolate? Quanto terá de pagar por ele?
Na questão relacionada com as diferentes percentagens de descontos, todos os
alunos procuraram responder. No entanto, 5 obtiveram respostas erradas (3 calcularam o
valor do desconto e deram a resposta tendo em conta esse valor; 2 fizeram cálculos
entre os vários valores, sem sentido aparente) e 4 não indicaram cálculos, só os valores
finais. Dos alunos que fizeram a tarefa correctamente, 9 calcularam o valor do desconto
e subtraíram-no ao inicial; 9 usaram a calculadora digitando 1,30-10% e 1,40-15%; e
houve ainda 1 aluno que foi ver o preço tendo em conta a percentagem que ia pagar, ou
seja 90% de 1,30 e 85% de 1,40.
Tarefa 5 – questão 7
No que diz respeito à análise do gráfico circular farei aqui a análise só da
segunda alínea.
7. Observa o gráfico que se refere aos trabalhos de bricolage
preferidos por um grupo de pessoas, em que metade prefere
carpintaria. Sabe-se que 125 dessas pessoas preferem trabalhos de
decoração.
a) Qual é a actividade que tem mais adeptos?
b) Quantas foram as pessoas inquiridas ao todo?
c) Que percentagem de pessoas prefere trabalhos de electricidade?
12,5%
Nesta, tinham de saber o número de pessoas inquiridas, a partir do valor de um
dos sectores, 1 aluno não respondeu, 8 obtiveram respostas erradas e 19 obtiveram
respostas correctas. Dos que obtiveram valores errados, 3 somaram as várias
percentagens e não os valores correspondentes, obtendo, como é natural, 100; 1 dos
alunos só usou parte dos dados; 1 enganou-se no valor e utilizou 120 em vez de 125; 1
Sara Costa
Didáctica da Matemática
63
somou percentagens com valores correspondentes; 1 errou a operação feita na
calculadora (provavelmente enganando-se no local da vírgula) e não se percebe as
operações que 1 realizou, fazendo várias operações entre os vários valores dados no
enunciado, de forma incompreensível. Quanto aos alunos que obtiveram valor correcto,
1 não explicou o seu raciocínio, 10 atribuíram valores a cada sector, utilizando, de
seguida, uma estratégia aditiva, somando-os para dar a resposta; 4 calcularam o
quádruplo de 125, somando este valor duas vezes; 3 multiplicaram 8 por 125; e 1
indicou que se 12,5% eram 125, 500 eram 50%, fazendo de seguida 500 + 500 = 1000.
Tarefa 6 – questão 8
8. No mapa a distância entre Faro e Beja é 3,5 cm.
Qual a distância real, em linha recta e em km, entre as duas cidades?
1,5 : 3 000 000
A tarefa das escalas no mapa foi uma das que se revelou mais difícil para os
alunos que, a partir da escala e de uma distância do mapa que já era dada (não tendo de
medir, nem de usar régua), tinham de indicar qual o valor real dessa distância, em
quilómetros. A esta questão 3 alunos não responderam; 12 responderam correctamente:
9 utilizaram uma estratégia multiplicativa, aplicando uma regra de três simples e 3
aplicaram estratégias aditivas, 2 através de uma tabela e 1 verificando que se 3 cm =
6000000 e 0,5 cm = 1000000 então 3,5 cm = 7000000 = 70 km. No entanto, apesar de
haver 13 alunos a obterem respostas erradas, alguns usaram estratégias correctas,
enganando-se, unicamente, na redução para quilómetros: 7 usaram correctamente a
regra de três simples, 1 usou estratégia aditiva em que adicionou 3000000 com 3000000
com 10000 mas obtém 700 km. Os restantes alunos erraram mesmo na escolha/uso das
diferentes estratégias: 1 errou o cálculo quando tentou fazer a regra de três simples; 1
indicou um valor, aparentemente, sem sentido (300,50 m) sem apresentar cálculos; 1
aluno limitou-se a multiplicar valores, não tendo em conta o facto do antecedente não
Sara Costa
Didáctica da Matemática
64
ser 1; 1 aluno usou uma tabela mas aumentou 3000000 por cada cm que acrescentava
obtendo assim o valor 9000000; 1 aluno fez cálculos aparentemente sem sentido entre
os valores dados no problema.
Tarefa 7 – questão 9
9. A figura representa um postal, no seu tamanho real, e um envelope reduzido à escala de 1:3.
Será que o postal cabe no envelope, sem ser dobrado? Utiliza a régua graduada para efectuares as medições que
achares necessárias. Explica como chegaste à tua resposta.
Quanto à questão 9, também de escalas em que os alunos tinham de verificar se
um postal (em tamanho real) caberia num envelope desenhado à escala de 1 para 3, os
resultados foram um pouco diferentes. Houve 4 alunos que não responderam, 14
responderam correctamente e 10 incorrectamente. Relativamente aos alunos que
conseguiram obter respostas correctas, 10 utilizaram estratégias multiplicativas: 5
através da regra de três simples e outros 5 multiplicaram as medidas do envelope por 3,
1 dos alunos utilizou uma estratégia aditiva e 3 não explicaram o seu raciocínio de
forma a terem obtido as medidas correctas. Relativamente aos alunos que obtiveram
respostas incorrectas, 3 fizeram mal as medições; 1 ampliou o postal e também o
envelope, ignorando assim um dos dados do enunciado que dizia que o postal estava no
tamanho real; 1 usou medidas do desenho, ignorando que o envelope estava reduzido; 1
ampliou só a parte inteira da medida, mantendo a decimal; 2 fizeram cálculos sem
sentido aparente e 2 alunos não explicaram os seus raciocínios.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
65
Resultados globais
O teste de avaliação não se restringia às questões aqui descritas, uma vez que
incluía outros temas abordados anteriormente (de Estatística e de Números Racionais expressões numéricas). Contudo, segundo a correcção feita pela professora, a turma
obteve resultados de um modo geral bons, na ordem dos 74% (média da turma),
havendo, no entanto, 3 alunos com classificações negativas (dois dos quais acima dos
40%). O Quadro 6 apresenta o resumo das estratégias/representações e dificuldades
apresentadas pelos alunos nas questões de proporcionalidade directa no teste final. Tal
como para o Quadro 5, também neste quadro há alunos que podem estar contemplados
várias vezes na mesma coluna.
O Quadro 6 permite verificar que, nas questões de valor omisso, os alunos
tiveram uma grande tendência para utilizar a regra de três simples. Alguns alunos,
embora menor número, também utilizaram de forma correcta estratégias aditivas. A
questão que envolvia valor omisso posicionado como meio revelou-se mais fácil para os
alunos, talvez por ter um contexto mais próximo dos alunos do que a outra questão que
envolvia escalas. No entanto, de um modo geral, este tipo de questões não levantou
grandes dificuldades aos alunos., Aquelas que surgiram disseram respeito à execução do
plano traçado por cada aluno, consistindo em erros de cálculo, ou envolveram a simples
não execução da tarefa.
Relativamente às questões de comparação numérica, mais uma vez os alunos
preferiram as estratégias de natureza multiplicativa. Também neste caso, o facto de
existirem números decimais na tarefa parece não ter sido causa de grandes dificuldades
por parte dos alunos. Tratava-se de uma situação que podia ser familiar aos alunos,
tendo a maioria optado por estratégias multiplicativas com procedimentos escalares e
outros por estratégias do tipo building-up. Para estas situações nenhum dos alunos optou
por procedimentos funcionais. As dificuldades e erros apresentados nestas duas tarefas,
revelaram-se, acima de tudo, nos momentos finais da respectiva execução, seja em
reflexões pouco consistentes ou na ausência de indicação dos cálculos realizados.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
66
Quadro 6 – Resumo das estratégias e dificuldades dos alunos no teste final
Tipo de tarefa
Comparação numérica
com…
Números
Números
Extremo
decimais
inteiros
4
7
1
Valor omisso
como…
Momento Dificuldades / erros
Estratégias
Correctas
Meio
Aditivas: Building-up
Multiplicativas:
− Procedimento escalar;
− Procedimento funcional;
− Regra de três simples.
Compreensão/Interpretação
Construção do plano:
− Relação errada entre dados:
− Faz diferença constante;
− Só utiliza parte dos dados.
Execução:
− Erro de cálculos;
− Cálculos incompreensíveis;
− Não termina;
− Erra procedimentos intermédios
− Não indica cálculos feitos.
Reflexão
− Pouco consistente/insatisfatória
Não responde
Argumentações consistentes baseadas em
exemplos, situações práticas reais;
Aditivas: Building-up
Multiplicativas:
− Procedimento escalar;
− Procedimento funcional;
Argumentos pouco
consistentes/insatisfatórios
Ausência de justificação;
Não responde
2
0
2
20
0
0
0
17
0
12
0
1
0
5
0
5
1
0
2
0
2
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
1
2
0
7
0
0
0
0
0
1
0
2
0
3
5
0
0
4
0
1
3
1
4
Identificação da existência ou não de
proporcionalidade directa
Com dados numéricos
0
0
4
6
11
0
7
Na única questão que os alunos tinham de dizer se havia ou não
proporcionalidade directa, tendo uma tabela para utilizar os seus dados numéricos,
houve vários alunos a não responderem e dos que responderam muitos fizeram-no de
forma pouco consistente. Por vezes, souberam dizer que não havia proporcionalidade
directa mas tiveram dificuldade em apresentar argumentos válidos.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
67
Tal como este quadro mostra, os alunos tiveram uma certa tendência para usar
estratégias mais formais, sobretudo de natureza multiplicativa. No entanto, na questão
que dizia respeito à identificação de uma situação que, neste caso, não era de
proporcionalidade directa, continuaram a apoiar-se em argumentos pouco consistentes.
De um modo geral, mais uma vez, foi notória a preocupação dos alunos em dar
explicações e argumentar as suas respostas. No entanto, muitos parecem ter utilizado
estratégias que acreditavam serem mais rápidas e eficientes, como a regra de três
simples, em vez de se apoiarem em estratégias mais intuitivas construídas a partir de
raciocínios específicos da situação. Contudo, alguns alunos continuaram a usar as
estratégias que utilizaram inicialmente.
Análise comparativa dos testes
Uma vez que os dois testes continham tarefas do mesmo tipo, apesar dos
contextos de sala de aula e também das tarefas serem algo diferentes, podemos
comparar as estratégias e as dificuldades/erros em cada um dos momentos, de forma a
tentar perceber o sentido da evolução geral dos alunos. O Quadro 7 permite analisar a
informação discutida anteriormente de forma isolada. Relativamente às questões do tipo
valor omisso, observa-se uma grande alteração na medida em que os alunos parecem ter
transferido a sua tendência de uso de estratégias aditivas para estratégias multiplicativas.
Merece também especial destaque o facto dos alunos assumirem a regra de três simples
como estratégia preferida, para a resolução deste tipo de questões, talvez por a
considerarem mais rápida e eficiente (todos a utilizaram com sucesso).
No caso das questões de comparação numérica, os alunos evoluíram, acima de
tudo, no tipo de argumentação utilizada, uma vez que passaram a usar justificações mais
aceitáveis matematicamente, não tendo por base, como fizeram inicialmente,
argumentos subjectivos. Esta mudança pode ter a ver com o trabalho realizado nas
aulas. Nestas, em especial nos momentos de discussão e comunicação de resultados aos
colegas e à professora, os alunos foram-se apercebendo do que era e do que não era
considerado como justificação e argumentação “matematicamente” correcta ou
aceitável.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
68
Momento Dificuldades / erros
Estratégias
Correctas
Quadro 7 – Comparação de dados dos testes inicial e final
Aditivas: Building-up
Multiplicativas:
− Procedimento escalar;
− Procedimento funcional;
− Regra de três simples.
Compreensão/Interpretação
Construção do plano:
− Relação errada entre dados:
− Faz diferença constante;
− Só utiliza parte dos dados.
Execução:
− Erro de cálculos;
− Cálculos incompreensíveis;
− Não termina;
− Erra procedimentos intermédios
− Não indica cálculos feitos.
Reflexão
− Pouco consistente/insatisfatória
Não responde
Tipo de tarefa
Valor omisso
Comparação numérica
como…
com…
Números Números
Meio
Extremo
decimais
inteiros
TI TF TI TF TI
TF
TI TF
19 2
7
4
0
7
0
1
1
0
1
0
0
2
20
0
1
4
0
0
0
0
17
0
2
8
0
0
12
0
1
0
5
0
0
0
5
0
5
1
0
3
0
0
2
0
0
8
0
2
0
0
0
0
3
1
0
1
4
0
7
1
0
0
1
2
2
0
1
0
0
0
0
1
0
4
0
0
2
1
2
0
7
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
2
0
3
5
0
0
0
0
13
4
7
0
1
1
2
3
2
1
4
4
Notas:
TI – Teste Inicial
TF – Teste Final
As dificuldades apresentadas pelos alunos localizaram-se em momentos
diferentes da resolução dos problemas: deixaram de estar centradas na execução do
plano projectado pelo aluno (relação errada entre dados, utilização só de parte dos
dados) e passaram a estar localizadas mais no momento da interpretação da tarefa e dos
seus dados. Isso pode resultar do facto dos enunciados das questões do teste final serem
mais difíceis de interpretar. Também foi notória uma menor tendência para o uso de
argumentos pouco consistentes.
Assim, pode dizer-se que houve, de um modo geral, uma evolução positiva no
desempenho dos alunos, nomeadamente no tipo/sofisticação de estratégias apresentadas
e também na qualidade dos argumentos utilizados nas suas justificações. Verificou-se
Sara Costa
Didáctica da Matemática
69
também um aumento na tendência para utilizar procedimentos multiplicativos em vez
de aditivos.
Outro tipo de análise que pode ser feito diz respeito ao sucesso/insucesso de
cada aluno em cada um dos momentos em questões de determinado tipos. Para isso
foram analisadas as questões mais directamente comparáveis no teste inicial e final.
Assim, foi visto, aluno a aluno, se conseguiu ou não ter sucesso em cada par de
questões. Os dados que a seguir se apresentam estão organizados em tabelas de duas
entradas em que, para cada célula correspondem duas condições: por exemplo, na
primeira célula (primeira linha e primeira coluna), localiza-se o número de alunos que
obtiveram a resposta correcta tanto no teste inicial como no final, na segunda célula
(primeira linha, segunda coluna), o número de alunos que tiveram respostas incorrectas
no teste inicial mas que, no teste final, conseguiram ter sucesso. Esta comparação foi
feita tendo em conta o facto de serem questões do mesmo tipo e com o mesmo possível
elemento perturbador.
Assim, ao comparar a questão 1 do teste inicial com a 3 do teste final estamos a
analisar tarefas de valor omisso posicionado como um meio (Quadro 8).
Quadro 8 – Evolução do desempenho nas tarefas de valor omisso como meio
Teste inicial – Tarefa 1
Teste final
Tarefa 3
Correctas Incorrectas
Correctas
16
9
Incorrectas
3
0
Neste caso, pode dizer-se que o balanço é positivo uma vez que, apesar de 16
alunos manterem o seu desempenho positivo, há mais alunos a melhorarem (9 alunos)
do que a piorarem (3 alunos).
Outra comparação que pode ser feita é entre a questão 2 do teste inicial e a
questão 8 do teste final, apesar dos contextos serem bastante diferentes. Apesar do grau
de dificuldade poder não ser considerado o mesmo, uma vez que a questão do teste final
envolvia um contexto de escalas (contexto esse que pode ser considerado mais difícil)
Sara Costa
Didáctica da Matemática
70
ambas são questões que envolvem um valor omisso posicionado como extremo (Quadro
9).
Quadro 9 – Evolução do desempenho nas tarefas de valor omisso como extremo
Teste final
Tarefa 8
Teste inicial - Tarefa 2
Correctas Incorrectas
Correctas*
13
7
Incorrectas
1
7
Nota: * Inclui os alunos que utilizaram estratégias correctas mas obtiveram resposta
incorrecta só por errarem a redução a quilómetros.
Neste caso, houve 13 alunos que mantiveram o bom desempenho e 7 alunos com
insucesso neste tipo de questões em ambos os momentos. Contudo, é de notar que,
apesar das diferenças nos contextos, só 1 aluno baixou o seu desempenho e 7
melhoraram.
Relativamente à questão 4 do teste inicial e 5 do teste final, ambas de
comparação numérica com valores decimais e com contextos idênticos, 5 alunos
continuaram a não conseguir responder correctamente, 12 melhoraram e 2 baixaram o
seu desempenho (Quadro 10).
Quadro 10 – Evolução do desempenho nas tarefas de comparação numérica com
valores decimais
Teste
final
Tarefa5
Teste inicial – Tarefa 4
Correctas Incorrectas*
Correctas
9
12
Incorrectas
2
5
Nota: * Inclui respostas que, apesar de apontarem para a alternativa correcta (3 frascos)
não têm justificações consistentes. Por exemplo, “3 frascos porque duram mais”.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
71
Assim, apesar das limitações deste tipo de comparação, dados os diferentes
contextos envolvidos nas tarefas e nas situações de sala de aula, pode dizer-se que a
turma teve uma evolução positiva ao longo deste tema na resolução deste tipo de
tarefas.
De forma a aprofundar esta análise, seis alunos foram entrevistados após a
realização do teste final, para que se pudesse analisar, de modo mais aprofundado, a
forma como raciocinaram durante a resolução de cada uma das tarefas propostas.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
72
Capítulo 6
Desempenho dos alunos nas entrevistas
Tal como referi anteriormente, apesar de haver dados a serem recolhidos na
turma toda, através do teste inicial e do teste final, foi através de entrevistas realizadas a
seis alunos desta turma que se obtiveram dados mais precisos.
A entrevista questão a questão
A análise dos dados recolhidos através das entrevistas foi feita questão a
questão, analisando, em cada caso, as estratégias, as representações utilizadas e também
as dificuldades apresentadas pelos alunos.
Primeira questão
Esta tarefa enquadra-se no tipo de problema de valor omisso em que este se
apresenta como um extremo:
1. Na última aula estiveram a fazer um trabalho de grupo. Ao todo, na
turma do Ricardo, a professora conseguiu formar 4 grupos e todos eles
tinham 4 rapazes e 2 raparigas. Sabendo que a turma tem 24 alunos,
quantas são as raparigas?
Sendo esta uma situação familiar para os alunos, todos conseguiram realizar a
tarefa proposta, chegando ao valor correcto. No entanto, surgiram estratégias e formas
de representação diversas nas entrevistas dos vários alunos.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
73
Os alunos optaram por fazer adições sucessivas do mesmo valor (ou uma
multiplicação) representadas, no entanto, ou por tabela ou simplesmente pela indicação
da operação. Por exemplo, Jorge fez o seguinte:
Praticamente todos resolveram primeiro oralmente a questão e só depois
representavam a sua resposta por escrito.
Leandro – 24 é ao todo, não é?
Professora – Sim… É a turma toda.
Leandro – 4 grupos com 2 raparigas, então 1 grupo tem 2, 2 grupos tem 2,
3 grupos tem 2 e 4 grupos 2… Então… São… 8 raparigas, ao todo.
Professora – Foste ver como?
Leandro – Então, se um grupo tem duas raparigas, o 2.º tem duas, o 3.º
duas e o 4.º duas… Somei estes.
Houve alunos que, ao lhes ser solicitado que apresentassem mais do que uma
forma de representação e de resolução, responderam a este desafio sem quaisquer
dificuldades, viajando por entre várias estratégias possíveis de serem utilizadas. Uma
dessas alunas foi Marta que, apesar de ter utilizado uma tabela para responder à questão,
de seguida utilizou outras estratégias mais formais:
Professora – Será que ainda havia outra forma de fazer?
Marta – Sim, por exemplo a proporção.
Professora – Como colocavas os valores?
Marta – Por fracção 1 para 6, x para 24… São 24 alunos, quantos grupos
há para saber que é o x e faz-se este [aponta para o 1] vezes este [aponta
Sara Costa
Didáctica da Matemática
74
para o 24] 24 a dividir por 6 que é igual a 4 e depois vimos que 4 grupos
tinha de ser 4 vezes 4.
Professora – E para as raparigas?
Marta – 4 vezes 2.
Tal como a sua representação indica, Marta ignorou dados explícitos no
problema, fixando-se só no número de raparigas, de rapazes e de alunos na turma.
Assim, tal como Carla, usou o número de alunos da turma e a constituição dos grupos
para encontrar o número de grupos formados, dado este que estava explícito no
enunciado.
Na resolução desta tarefa só Carlos necessitou de a abandonar e retomar após a
conclusão das restantes. Talvez por se encontrar um pouco nervoso e esta ser a primeira
questão, teve dificuldade em compreender o problema no seu todo. A partir de parte dos
dados, tentava aplicar estratégias por si conhecidas e que satisfizessem a professora a
quem solicitava constantemente a validação das suas propostas.
Carlos – Regra de três simples? 4 grupos, 4 rapazes, 2 raparigas ou não…
Está bem assim?
Professora – Tens de pensar… Vá lá… Aqui estás a relacionar 4
grupos… Com rapazes… O que é que tu queres?
Carlos – Quantas raparigas tem ao todo…
Professora – E o que é que sabemos?
Carlos – Cada grupo tem 2 raparigas, então aqui está mal… [apaga e
reformula]
Professora – Na regra de três simples podes pôr 4 grandezas diferentes?
Aqui tens grupos, aqui raparigas, aqui rapazes… Podes fazer assim?
Carlos – Não. [pausa]
Professora – Também podes mudar a estratégia se achares que esta não
está a resultar…
Carlos – Por… Ai… Por percentagens! 24 alunos, 100 %
Professora – Sim mas aqui pergunta quantas raparigas e não a
percentagem de raparigas
Carlos – [longa pausa] Por tabela também não…
No final, após ter realizado as restantes tarefas, talvez por ter feito uma segunda
leitura, fê-la sem quaisquer dificuldades.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
75
Nos restantes alunos, não foram observadas quaisquer dificuldades. De um
modo geral, as formas de resolução imediatas, ou seja, aquelas que os alunos utilizaram
antes de lhes ser perguntado se haveria outras formas de fazer, basearam-se em
esquemas de pensamento muito simples e, provavelmente, associados a uma
visualização do “que se passava” na formação dos grupos na sala de aula.
Assim, para esta questão, todos os alunos utilizaram, inicialmente, estratégias
aditivas ou de natureza escalar muito simples, apesar de, após lhes ter sido solicitada
outras formas de resolução, mostrarem também saber aplicar estratégias mais formais.
As dificuldades que surgiram tiveram a sua origem na compreensão do problema no seu
todo, duas alunas porque ignoraram dados já existentes no enunciado (como estes eram
possíveis de calcular a partir de outros, fizeram-no), e outro aluno porque teve
dificuldade em relacionar os dados, ou seja, perceber o problema no seu todo.
Segunda questão
Nesta segunda tarefa os alunos, para a resolver, tinham de fazer uma
comparação numérica que incluía valores decimais.
2. Na papelaria da escola Ricardo
percebeu que as esferográficas são vendidas
em conjuntos. Indica que conjunto compensa
mais comprar.
Para esta situação proposta, a maioria dos alunos calculou o preço unitário e, de
seguida, construiu grupos de 4 canetas, para cada alternativa de preço, verificando só aí
qual compensava mais. Assim, não verificaram qual o conjunto cujo preço de uma
caneta era o mais baixo mas sim, na compra de quatro canetas, qual seria mais vantajoso
comprar. No entanto, muitos foram verbalizando à medida que faziam os cálculos que
Sara Costa
Didáctica da Matemática
76
era o 3.º grupo, o mais favorável ao Ricardo. Todas as representações apresentadas
foram numéricas, como no caso de Carla:
Marina começou por não calcular valores precisos para cada caso, dando a
resposta através de uma estimativa. No entanto, ao longo da sua argumentação acabou
por também ver o preço unitário:
Marina – Estou a pensar que se comprasse as últimas ele ficava mais bem
servido…
Professora – Como é que chegaste a essa conclusão?
Marina – Porque não interessa, neste caso, o preço… Interessa é a
quantidade.
Professora – É? Então se fossem 10 euros este último continuava a
compensar?
Marina – Não! Porque este aqui custa 3 euros e 60, este aqui 4 este… Por
mais… 1 caneta… Pagamos só 4 euros
As dificuldades apresentadas pelos alunos prenderam-se com a interpretação da
tarefa, agravada pelo termo compensar que não se revelou nada facilitador para os
alunos.
Jorge – Hummmm… Qual deles compensa mais comprar? Como assim?
Professora – Tens aí vários conjuntos tens de ver qual deles compensa
mais…
Jorge – [interrompe, pega na calculadora] Posso? Faço 2,40 a dividir por
2 canetas e depois vejo o resultado… Ah este também era fácil…
Professora – Esse valor o que quer dizer?
Jorge – É o preço de uma caneta. É preciso escrever canetas? Depois…
Faço 3,6 a dividir pelas 3 canetas [sorri]… O preço é igual… De uma
caneta.
Professora – Então nestas duas há alguma que compensa mais?
Sara Costa
Didáctica da Matemática
77
Jorge – Não… Só tenho de ver… Ah vai ser esta [aponta para 3.ª
situação] esta aqui é fácil porque divide-se por 4 canetas e vai dar 1 euro
Associada a este termo surgiu alguma subjectividade na interpretação, uma vez
que nem sempre o que compensa é o mais barato, se tivermos em conta outros factores
como, por exemplo, a cor. Assim, surgiram algumas observações, por parte dos alunos,
em que os seus julgamentos pareciam também ter em conta alguns pormenores
subjectivos, tais como a cor das canetas. No entanto, a professora ao longo da entrevista
foi esclarecendo o que se pretendia com o termo compensar.
Professora – Imagina que queremos comprar 4 canetas continuava a ser
aquela a que compensava mais ou não?
Carla – 4? A cor não interessa nada?
Assim, nesta tarefa a estratégia utilizada foi de natureza multiplicativa, em que
os alunos a partir dos dados do problema calcularam a taxa unitária e, posteriormente,
formaram grupos de quatro canetas para darem a resposta. De referir, que apesar do
termo compensar suscitar algumas dúvidas, esta revelou-se uma tarefa em que os alunos
não mostraram dificuldades em realizar, tratando-a como uma situação com que estão
habituados a lidar.
Terceira questão
De forma a verificar se os alunos identificavam situações onde existia e onde
não existia proporcionalidade directa, foram propostas várias alíneas com situações
diversas, em que os alunos tinham de dizer se havia ou não proporcionalidade directa e
justificar. Para estas situações tornou-se importante verificar a coerência entre a resposta
e a justificação dada pelo aluno, bem como o tipo e a qualidade desta última.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
78
3. A professora propôs como trabalho de casa que indicassem
situações em que as grandezas fossem directamente proporcionais.
Repara nas situações indicadas pelo Ricardo e diz se concordas ou não
com ele.
a) O peso e o preço de maçãs;
b) A idade e a altura de uma pessoa;
c) O peso da mochila e o n.º de livros;
d) Fotocópias e preços de acordo com a tabela:
N.º de
Preço
fotocópias
(por cópia)
1 a 10
0,10 €
11 a 20
0,08 €
Mais de 20
0,06 €
e) Número de garrafas e quantidade de vinho:
N.º de garrafas
Quantidade (em litros)
1
4
6
0,75
3
4,5
Na primeira situação, sem recurso a quaisquer dados quantitativos, os alunos
tinham de argumentar se existia ou não proporcionalidade directa entre o peso e o preço
das maçãs.
Nesta questão, para a qual não havia uma resposta correcta preestabelecida,
devido à ausência de dados quantitativos, houve alunos que atribuíram valores fictícios
para conseguirem justificar a sua resposta.
Leandro – É!
Professora – É porque?
Leandro – Se 4 kg é 5 euros, 8 kg é, não vai ser 4 euros na mesma, vai
ser mais, como são mais quilos vão ser mais…
Professora – Queres dar um exemplo? Estavas a começar com um
exemplo, se 4 kg são…
Leandro – 5 euros; 8 kg 10 euros…
Professora – Portanto, nessa situação…
Leandro – Há.
No entanto, outros não sentiram necessidade de o fazer.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
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Marta – O preço e o peso das maçãs… Às vezes metem 1 kg… 1 euro e
depois metem 3 kg a dois euros e cinquenta… Às vezes não há. Posso
escrever nem sempre há?
Para esta alínea quatro alunos deram respostas bem argumentadas e coerentes,
apoiando-se ou não em valores fictícios. No entanto, dois dos alunos, Carlos e Jorge,
deram justificações pouco consistentes, consideradas insatisfatórias:
Carlos – Não concordo imaginamos que uma maçã pode pesar 505
gramas então 1 maçã não tem de custar 505 euros… então não há
proporcionalidade directa
Já para a segunda alínea, os alunos tinham de indicar se existia ou não
proporcionalidade directa entre a idade e o peso de uma pessoa. Alguns alunos tiveram
dificuldade em interpretar o enunciado. Uns acharam que era a mesma pessoa, em
vários momentos da sua vida, outros argumentaram com base em pessoas diferentes
mas com a mesma idade. Para fazer esta comparação, usaram pessoas próximas como,
por exemplo, os colegas de turma ou os irmãos:
Marina – Não porque, por exemplo… A minha irmã tem 11 anos e eu
tenho 12 e ela é quase da mesma altura que eu…
Professora – Agora pensa em ti ao longo da tua vida… Portanto a idade
e a altura agora a idade e a altura depois [interrompe]
Marina – Sim pode… Posso crescer como posso ficar desta altura em
que estou agora.
Professora – Então isso quer dizer que há ou [interrompe]
Marina – Não, não há.
No entanto, é visível nesta questão que os alunos apesar de afirmarem que não
há proporcionalidade directa têm dificuldade em argumentar, em explicar o seu
pensamento.
Professora – De uma forma proporcional?
Leandro – Não.
Professora – Por que não? Queres dar um exemplo como deste para as
maçãs?
Leandro – O exemplo da Carolina da minha turma… Tem 11 anos ou
12 ou o que é que é e é bué pequenina…
Professora – E então quando ela tiver vinte e tal?
Leandro – Sei lá?!
Sara Costa
Didáctica da Matemática
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Professora – Então… Só sabes é que não concordas, é isso?
Leandro – É!
Os argumentos utilizados basearam-se algumas vezes no facto de que se fosse
directamente proporcional era possível prever a altura de uma pessoa em função da
idade.
Professora – Então será directamente proporcional ou não?
Carla – Não!
Professora – Porquê?
Carla – Porque nunca sei qual será a altura amanhã… Quer dizer daqui
a 1 ano ou 2.
Professora – Então concordas ou não com essa situação?
Carla – Não.
Assim, nesta alínea, dois alunos conseguiram argumentar correctamente e quatro
dos alunos entrevistados não conseguiram justificar as suas respostas com
argumentação clara e consistente de acordo com as suas indicações.
Ainda numa outra alínea, a terceira, sem dados numéricos, os alunos tinham de
argumentar se a relação existente entre o número de livros e o peso de uma mochila é
proporcional ou não. Também aqui, mais uma vez, se verificou alguma dificuldade em
explicar, argumentar.
Nesta alínea, quatro alunos justificaram de forma satisfatória. Para isso, alguns
utilizaram dados numéricos, por si atribuídos e outros basearam-se, acima de tudo, em
experiências e sensações do seu dia-a-dia:
Professora – Então dizes que não concordas porque…
Marina – Porque há mochilas que são… Que pesam mesmo quando não
têm lá nada dentro.
No que diz respeito às últimas duas alíneas, os alunos tinham duas tabelas com
dados quantitativos em que se podiam basear para verificar a existência ou não de
proporcionalidade directa.
Na alínea d, dos seis alunos, quatro conseguiram justificar e dois, apesar de
dizerem que não se tratava de uma situação directamente proporcional, não conseguiram
Sara Costa
Didáctica da Matemática
81
justificar. Os alunos que justificaram correctamente basearam-se nos dados da tabela, ou
seja, no facto do preço por fotocópia ir variando.
Uma das alunas antes de reparar na existência de uma tabela de apoio à tarefa,
começou a resolver baseada unicamente na sua experiência da escola:
Professora – E o que é que tu ias dizer antes de reparares nesta tabela?
Conta-me lá… Ias falar da papelaria aqui da escola.
Marina – Sim.
Professora – O que é que ias dizer?
Marina – Ia dizer uma coisa totalmente diferente. Ia dizer que concordava
porque não tinha reparado nesta tabela… Se ela não existisse.
Professora – Porque aqui na escola não tem uma tabela assim?
Marina – Não!
Professora – Como é que funciona?
Marina – Então por exemplo se eu tirar uma fotocópia frente e verso vai
custar 10 cêntimos acho eu, se eu tirar só verso vai custar 5.
Professora – Então achas que aqui na papelaria da escola há ou não há
proporcionalidade directa?
Marina – Há proporcionalidade… Mas nesta tabela não há. [silêncio,
regista]
Na alínea e que relacionava, de forma proporcional o número de garrafas com a
quantidade de vinho, os alunos tiveram menos dificuldade em argumentar, uma vez que
existiam dados numéricos em que se podiam apoiar.
Neste caso, metade dos alunos optou por usar um procedimento escalar – Marta,
Carlos e Carla - e a outra metade optou por uma estratégia aditiva.
Os alunos que utilizaram procedimentos escalares, relacionaram os dados dentro
das grandezas, o que parece ter sido favorecido pela própria estrutura numérica dos
dados, uma vez que a relação dentro das grandezas era uma relação inteira:
Marta – Número de garrafas e o líquido… Aqui temos de ver a relação
entre este para ver se aumenta vezes quatro aqui também tem de aumentar
vezes 4 [na calculadora faz 0,75 x 4] igual a 3… Este está bem mas agora
se calhar este aqui… Agora vezes 6 [faz cálculos] 4,5 sim aqui há
proporcionalidade directa porque a quantidade aumenta e o líquido
aumenta.
Os restantes alunos utilizaram estratégias aditivas através da realização de
adições sucessivas:
Sara Costa
Didáctica da Matemática
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Professora – Então o que estás a fazer? Podes ir explicando o que estás a
fazer?
[faz sinal com a mão para eu aguardar, enquanto usa calculadora]
Leandro – Então fui pondo… Se uma fotocópia é 75 cêntimos… Ai …
Uma garrafa é 75 cêntimos, duas garrafas… Meto mais 75, três garrafas
mais 75, quatro garrafas é 3 euros… 4 garrafas… 4 é 3 euros e 75…
Hum… 5 garrafas é 3 e 75… Ah, dá certo!
Professora – Está certo? O que é isso de estar certo?
Leandro – O número de garrafas aumenta e o preço também… Ai e os
litros também… Têm proporcionalidade directa.
Professora – Tu foste construindo por ti a tabela, para ver se esta estava
bem construída…
Leandro – Pois!
De notar que os alunos nunca utilizaram a verificação da existência ou não da
constante de proporcionalidade para validar a sua resposta. No entanto, parecem ter
compreendido, na sua maioria, o que é a relação de proporcionalidade directa, na
medida em que conseguem identificar situações onde esta existe e onde esta não existe.
Quarta questão
Esta questão também se enquadrava nas tarefas de valor omisso mas em que este
se encontrava como um meio:
4. O Ricardo está à espera que a impressora acabe de
fazer o seu “trabalho”. Reparou que está lenta: levou 2
minutos para fazer um trabalho de 8 páginas. Quanto
tempo levará para imprimir, à mesma velocidade, as 12
páginas que faltam?
Para a sua resolução, Carlos e Carla utilizaram a regra de três simples. No
entanto, é de notar que Carlos só o fez depois de tentar utilizar outra estratégia, neste
caso, aditiva – building-up.
Carlos – Aqui 8 mais 4 vai dar 12 páginas se tivesse 4 minutos para 8
páginas aqui podia dar 12 minutos para 12 páginas, era 1 para cada…
Como aqui é 2, acho que vai ficar 4 minutos para 12 páginas… [regista] 8
páginas 2 minutos dá 10.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
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Professora – Portanto estás a somar…
Carlos – [olha para o registo] Já sei como é que é! [apaga] 8 páginas menos
12 páginas é igual a 4 como aqui há 2 minutos aqui pode haver 4 minutos
ou então a regra de três simples!
Professora – Faz lá mas não apagues!
Carlos – 8 páginas, 2 minutos depois 12 páginas, x minutos, agora 12 vezes
2 e depois aqui o x é igual a 12 vezes 2 a dividir por 8… 12 vezes 2 vai
dar [usa calculadora] 24 e depois a dividir por 8 dá 3. Portanto, 3 minutos
para 12 páginas.
Professora – Então mas não foi isso que deu ali em cima pois não? Em qual
é que vais confiar?
Carlos – Nesta. [aponta para a regra de três simples]
Professora – Porquê?
Carlos – Porque aqui fiz os cálculos mais raciocinados do que aqui.
Professora – O que achas que ali falhou?
Carlos – ‘Tar a somar páginas e dar minutos…
Outra aluna que aplicou a regra foi Carla, que já tinha aplicado este
procedimento no teste inicial e afirmou mesmo já a conhecer ainda antes de ingressar no
2.º Ciclo:
Carla – Porque no ATL onde eu ando… Prontos… É uma maneira que eu
faço… Porque eu já não me lembrava mas lá no ATL disseram-me que
havia esta regra… Eu já não me lembrava mas sabia como é que se fazia e
pronto comecei a utilizar.
Professora – Sabias antes do ATL?
Carla – Sabia! Na professora do… Do 1.º ao 4.º…
Professora – E falaram desta regra?
Carla – Sim utilizámos mas não era assim muito usada… Porque não era
assim tão difícil!
Os restantes alunos utilizaram estratégias aditivas, através de procedimentos de
construção – building-up. Assim, a partir dos dados do problema, construíram o valor
que pretendiam, ou seja, aperceberam-se que 12 é a soma de 8 com a sua metade (4) e,
Sara Costa
Didáctica da Matemática
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partindo daqui, calcularam o tempo, somando o valor que tinham (2 minutos) com a sua
metade (1 minuto).
Leandro – Se 8 páginas foram 2 minutos, 16 paginas iriam ser 4 minutos
[silêncio] 4 paginas num minuto, 2 em 8… 3 minutos! Porque… 8 páginas
a dividir pelos 2 é igual a 4, não é? Mais… Dá 4 não é? 8 mais 4 é igual a
12 que é o número de páginas. Se 2 minutos é 8 páginas, 1 minuto é 4
páginas, logo 12… Não [apaga] x que é igual a 3 minutos é 12 páginas.
Primeiro fui ver quanto é que demorava 1 minuto, quantas é que fazia…
Então… depois deu 4… 8 mais 4 dá 12, se 4 for 1 minuto, 2 é 8 mais os 4
que é mais um minuto dá 3… 12 páginas, 3 minutos.
No entanto, apesar da mesma estratégia de construção do 12 a partir do 8, a
forma de representação também variou entre estes alunos. Vejamos a representação
escrita de Jorge e de Leandro, respectivamente:
Marina também utilizou uma estratégia aditiva, mas através de somas sucessivas
da mesma parcela:
Também para esta questão surgiram, quando isso foi solicitado, várias formas de
resolução, por parte de Marta:
Marta – As oito páginas a dividir por 2 dá 4 e assim sabemos quantos
minutos levou a fazer 4 páginas e depois é só aos 8 juntar 4 páginas e dá
12 [silêncio enquanto observa os dados] 4 páginas levam 1 minuto a
Sara Costa
Didáctica da Matemática
85
imprimir, então se levou 2… É só acrescentar 8 mais 4 páginas que é igual
a 12 e 2 minutos mais 1 que é igual a 3 minutos. Levará 3 minutos.
Professora – Haveria outra forma de fazer?
Marta – Sim, se fizéssemos por uma proporção, 8 páginas 2 minutos, se
fossem 12 quantos seriam. Fazemos este vezes este que é igual a 2 vezes
12 a dividir por 8, que é igual a 24 a dividir por 8… Que é igual a 3 e aí já
dava.
Professora – Achas que ainda haveria outra forma?
Marta – A regra de três simples, uma tabela…
Apesar da regra de três simples ser conhecida por todos estes alunos e ter sido
bastante utilizada pela turma, na questão idêntica a esta durante a ficha de avaliação, o
mesmo não se verificou aqui. Os alunos, apesar de verbalizarem o facto de a
considerarem uma forma rápida e segura de obter o valor pedido, parece que não a
consideram como forma privilegiada de resolver este tipo de questões, em situações
menos formais (entrevista e não ficha de avaliação), em que se sentem mais à vontade,
principalmente, ao nível do tempo de execução.
Nesta questão não surgiu, por parte dos alunos, quaisquer dificuldades.
Quinta questão
Tarefa de comparação numérica só com números inteiros:
5. A Patrícia, irmã do Ricardo, acha-se uma
perita a descobrir palavras em sopas de letras. Ela
encontrou oito palavras, das quinze existentes numa
“sopa” e o Ricardo encontrou doze, das vinte de outra
sopa de letras. Quem é melhor neste jogo, a Patrícia ou o Ricardo?
Sara Costa
Didáctica da Matemática
86
Esta foi a questão em que os alunos parecem ter sentido maiores dificuldades,
tanto ao nível da interpretação, como ao nível da sua resolução e argumentação. Ao
tratar-se de uma situação de jogo que envolvia dois irmãos e o conceito de “melhor
jogador”, os alunos tiveram alguma dificuldade em aferir critérios para a identificação
da verdade no enunciado.
Dos seis alunos entrevistados só uma aluna ampliou os jogos de forma a
puderem ser facilmente comparados, tornando-o um jogo justo, com o mesmo número
de palavras para os dois irmãos. Assim, através de um procedimento escalar, ampliou
ambos os jogos de forma a terem 60 palavras para descobrir. De seguida, utilizou um
procedimento que pressupõe a equivalência das duas fracções e, por fim, comparou as
palavras que cada irmão conseguiu descobrir e as que faltavam.
Marta – Portanto, o perito neste jogo é a Patrícia não encontrou 7 mas o
Ricardo só encontrou 12 e falhou 8… Ah não… ‘Pera aí! Aqui… Para
ficarem as unidades iguais.
Professora – Estás a falar de quê?
Marta – Estou a falar do 15 e do 20 e do 8 e do 12… Vamos pôr isto tudo
[aponta para o 15 e para o 20] na mesma unidade… 15 vezes 4 e aqui [8]
também vezes 4… Vou ter 32. Aqui [20] para chegar a 60 é vezes 3 então
aqui dá 60 e aqui [12] dá 36. Se nós fizéssemos 60 menos 32 só íamos
encontrar 18… 28 e aqui 60 menos 36 só íamos encontrar 24, então o
Ricardo é melhor que a irmã.
Professora – Porquê?
Marta – Porque achou mais e as que não achou foi em menor número que a
irmã.
Professora – E este 60 é o quê?
Marta – É que só podemos comparar as duas unidades se elas tiverem o
mesmo número.
Dos restantes alunos, a maioria utilizou como critério para indicar o melhor
jogador o facto de faltar encontrar menos palavras da sopa de letras.
Carlos – A Patrícia.
Professora – Mas vais ter de me explicar porquê
Carlos – Porque ao Ricardo faltam 8 palavras e à Patrícia faltam 7 e aqui é
para saber qual deles é melhor… Portanto acho que é a Patrícia porque ela
descobriu mais do que o Ricardo.
Sara Costa
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No entanto, só um dos alunos se baseou unicamente neste critério, os outros,
apesar de não conseguirem argumentar, indicaram que o Ricardo era o melhor jogador,
por ter tentado descobrir mais palavras na sopa de letras.
Professora – Portanto tu dizes que é quem?
Marina – O Ricardo.
Professora – Podes pôr aqui a resposta? Foi difícil?
Marina – Sim… Mesmo assim ainda ‘tou com dúvidas.
Professora – Queres pensar melhor? [silêncio]
Marina – Não… Eu estou a dar a minha resposta que é o Ricardo só por
causa de… De… Não é por causa dela ter feito 8 e ele ter feito 12, é só por
causa quantas é que faltavam para acabar, mas ele também tinha, fez mais
palavras do que ela e o jogo dele tinha 20, o dela só tinha 15… Mas ela
também fez quase… Fez quase 8 palavras… Só faltava uma. Não, é o
Ricardo!
Professora – Agora estás mais certa?
Marina – Agora é.
Leandro utilizou uma estratégia errada, ao considerar que deveria manter a
diferença constante:
Leandro – 8 das 15 e ele encontrou 12 das 20… Então [regista dados, longo
silêncio] Se em vez de 20 fosse 15 que é menos 5… É ela! Porque se este
fosse igual a x de 15 o x é igual a 7… Porque 15 menos 8 é 7… Então…
é? Ai! 3… Só tinha encontrado 3… Então meti este no 15, o 20 no 15, tirei
cinco, né? E aqui também tirei 5. Aqui deu 3 aqui e 15 e quem encontrou
mais foi a Patrícia, a irmã do Ricardo.
Para além disso, houve uma aluna que realçou a subjectividade da expressão
melhor jogador, tendo em conta se os irmãos teriam ou não a mesma idade, envolvendo
assim um certo critério de justiça, segundo a aluna:
Professora – E quem é melhor neste jogo?
Carla – Este aqui era mais difícil e este mais fácil … Mas eles… Têm a
mesma idade?
Professora – Ah… Têm! Até podes imaginar que são gémeos falsos…
Exactamente a mesma idade.
Carla – Ah se fosse assim este [Ricardo] era melhor.
Professora – Porquê?
Carla – Porque fez uma sopa de letras mais difícil que a irmã.
Professora – Há bocado tinhas dito a irmã… Estavas a ter em conta que um
deles era mais velho que o outro era isso?
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Carla – Sim… Que ela era mais nova do que ele.
Assim, parece-me que esta questão foi dificultada também por questões de
linguagem e alguma subjectividade que está por trás do conceito de melhor jogador.
Sexta questão
Esta questão é uma tarefa de valor omisso como meio.
6. Na hora do lanche, Ricardo lembrou-se de
uma receita que a avó fazia sempre. Foi ver os
ingredientes, para pedir à mãe para o fazer…
200 g de açúcar;
250 g de farinha;
4 ovos;
50 g de manteiga
A mãe quis fazer um bolo maior e resolveu usar os 6 ovos que tinha
em casa. Indica as quantidades dos outros ingredientes que vai ter de usar,
para que o bolo tenha o mesmo sabor.
Para a resolução desta tarefa, quatro dos seis alunos – Marta, Carlos, Leandro e
Carla – usaram como estratégia a resolução de várias regras de três simples, mesmo
quando esta não tinha sido a opção inicial.
Tal como a representação da resposta de Marta indica, a sua estratégia inicial
não foi a regra de três simples. Começou por calcular a quantidade de cada ingrediente
para cada ovo (lado esquerdo da imagem), ou seja, utilizou um procedimento que
Sara Costa
Didáctica da Matemática
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envolvia a taxa unitária e só depois optou pela regra de três simples, por a considerar
mais rápida.
Professora – Vou só perguntar uma coisa… Por que é que abandonaste esta
estratégia? Estava errada?
Marta – Não, é que é mais fácil andar a fazer assim [regras de três simples],
se fizesse assim [estratégia inicial] demorava mais tempo.
Dos restantes alunos, Marina depois de tentar resolver o problema, durante
bastante tempo, teve de abandoná-lo, por não “acreditar” em nenhuma das suas
soluções, e voltar a ele no final da entrevista. Nesse momento optou por ver qual a
quantidade que tinha de acrescentar a cada ingrediente para cada ovo adicionado,
utilizando assim uma estratégia de adições sucessivas da mesma parcela:
Professora – E porque estás a pôr 50+50+50+50?
Marina – Porque… Porque… Porque são 4 ovos, 50 gramas por cada ovo.
Professora – Mas temos 6 ovos.
Marina – Então aí aumentamos… 200 mais 50+50 que vai dar 300… 300
eu acho que é assim…
Jorge foi o único aluno que não conseguiu obter a resposta correcta para todos
os ingredientes pedidos. Contudo, a estratégia que resolveu seguir, funcionou
correctamente para o caso do açúcar.
Jorge – Então tenho de fazer… Tenho de fazer 200 g de açúcar para 6
ovos… Para 6 não… Para… Sim… Se 200 g são para 4… 300… Não..
300 vão ser para 6. Se aqui 200 é para 4 se eu fizer 200 mais 200 dá 400 é
como se tivesse a tirar estes dois… Estes dois zeros então se eu meter 300
vai ficar 600. Não?
Neste caso, Jorge optou por relacionar o algarismo da ordem das centenas da
quantidade de açúcar com o número de ovos. Assim, neste caso, ao observar que 2 (dos
200 g de açúcar) é metade de 4 (ovos) aplicou o mesmo pensamento para encontrar a
quantidade de açúcar necessária para 6 ovos, ou seja, 300 g.
No entanto, esta estratégia não foi válida para os ingredientes seguintes, embora
Jorge tenha continuado a aplicá-la, obtendo assim valores incorrectos.
Sara Costa
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Jorge – Se 250 são 4 vai ser… Ah vai ser 350 se o cálculo que eu estou a
fazer acho que está certo. Se 250 é igual a 4, 350 como é os coisos de
farinha para os 6 ovos é, fica 350… Eu acho que é isso… 200… ah… 350
igual a 6… Então agora… Este aqui é que vai ser mais difícil. [silêncio]
então 50 g de manteiga dá para 4 ovos, vai ter que ser mais não é? Vai ter
que ser mais gramas de manteiga para 6 ovos. Então 50 é 4, 100… 5…
150? Se 50 é 4, se 100 é 5… 100 é 5 ovos.
Neste caso, o aluno nunca mostrou total confiança no que estava a fazer
recorrendo muitas das vezes a perguntas de forma a tentar perceber se a professora
concordava ou não com ele.
Assim, para esta tarefa, a regra de três simples foi o procedimento eleito pelos
alunos que conseguiram realizá-la. No entanto, uma das alunas utilizou, também com
sucesso, procedimentos aditivos. Relativamente às dificuldades surgidas, estas disseram
respeito a uma relação errada entre os dados.
Sétima questão
A última questão subdividia-se em duas alíneas, ambas com tarefas de mistura
em que os alunos tinham de, na primeira alínea, encontrar um valor omisso situado
como extremo e, na segunda alínea, fazer comparação numérica que envolvia números
inteiros.
7. Para acompanhar o bolo Ricardo fez sumo de laranja.
Este foi feito a partir de sumo concentrado. Repara no rótulo.
a)
Que quantidade de água deve usar quando coloca três
copos de sumo concentrado?
Nesta primeira alínea da tarefa todos os alunos conseguiram obter a resposta
correcta, utilizando, no entanto, estratégias diferentes, umas de natureza aditiva e outras
de natureza multiplicativa.
Sara Costa
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Marta e Carla usaram a regra de três simples. A representação de Carla foi a
seguinte:
Todos os outros alunos entrevistados – Carlos, Marina, Jorge e Leandro –
utilizaram um procedimento do tipo building-up, ou seja, viram que 3 é a soma de 1,5
com 1,5 e, a partir daí, fizeram o mesmo com a água, ou seja, somar 9 com 9, obtendo
os 18 copos.
Marina – [silêncio] Precisamos de 18 copos de água…
Professora – Como é que fizeste?
Marina – Fiz 9 copos mais 9 copos.
Professora – E porquê 9 copos…
Marina – Porque 1,5 mais 1,5 dá 3… Aqui 9… Pensei assim 1,5 para 9,
outros 1,5 dá para 9 que é igual a 18 copos.
De notar que este conceito de mistura que envolve água e um sumo concentrado,
não era familiar para todos os alunos. Jorge verbalizou algumas dificuldades, uma vez
que não conseguia “visualizar” a situação apresentada:
Jorge – [relê o rótulo] Diluir um copo e meio de concentrado em 9… Ah???
Ah são daqueles pacotes… Mas um copo e meio em 9 copos de água [relê]
o sumo concentrado é este? [professora explica o processo de produção
deste tipo de sumo] Ah! Estava a pensar que isto aqui já estava junto com
água e o pozinho… E já… Isto é… Ah pensava que era… Ah tá!... Então
se tivermos um copo para aí deste tamanho se meter metade disso… Não
vai dar para meter 9 copos de água.
Professora – Pois… Imagina que vais fazer este sumo num jarro grande.
Jorge - Ah… Um jarro… Ah… Então se metermos um jarro e metermos
meio de copo concentrado como ‘tá aqui a dizer… Não… Um copo e
meio… Temos de meter nove copos de água lá dentro e se metermos três
copos de sumo concentrado…
Relativamente ao uso da regra de três simples, os alunos que a usam com
frequência, apesar de conhecerem outras estratégias de resolução, indicam, como Carla:
Sara Costa
Didáctica da Matemática
92
Professora – Achas que haveria outra forma? Assim se não soubesses a
regra de três simples ou não ias saber fazer?
Carla – Era… Mas não uso muito as outras…
Professora – Está bem, mas põe aí a resposta…
Carla – Ah podia fazer tabela… Mas era mais elaborada e não cabe assim
aqui e eu gosto mais de fazer isto… Tenho mais… Não sei… Tenho mais
certezas!
No entanto, é notória a utilização desta estratégia por determinado tipo de
alunos, confiantes também no uso de outras mas que fazem esta opção por a
considerarem mais rápida e eficiente.
Assim, todos os alunos apesar de utilizarem estratégias diferentes – regra de três
simples ou building-up – conseguiram resolver com sucesso a tarefa que lhes foram
propostas. Contudo surgiram dificuldades ao nível da compreensão do problema, talvez
por não haver, por parte de Jorge, familiaridade com este contexto.
A segunda alínea implicava a realização de uma comparação numérica que
envolvia somente números inteiros.
b) A irmã não costuma seguir a indicação do rótulo e coloca, por
vezes, dois copos de concentrado com dez copos de água e, outras
vezes, um de concentrado com seis de água. O sumo fica a saber mais
a laranja na primeira ou na segunda situação? Explica o teu raciocínio.
Para a sua resolução, Marta comparou as duas situações com a proposta pelo
rótulo e, para isso utilizou, mais uma vez, a regra de três simples:
Marta – Então aqui 2 copos de sumo ela usa para 10 de água e aqui ela
utiliza… Eu podia fazer regra de três simples e ia ver se, por exemplo, 1,5
por 9 copos, fazia 2 vezes 9 a dividir por 1,5 que é 18 a dividir por 1,5 que
dá 12, então ela aqui deveria usar 12 copos de água para o sumo ficar…
Com menos água sabia mais a laranja do que… Era para 10 copos de
água. Agora faço 1 copo de concentrado para 6 copos de água 1 vezes 9 a
dividir por 1,5 dá 6 e ela utilizava… 6, portanto aqui [1º caso] o sumo
ficava a saber mais a laranja e aqui [2º caso] sabia mais a água.
Professora – Estás a comparar as situações que ela faz…
Marta – Com o que ela devia fazer.
Professora – E entre cada situação? Quando ela usa 2 copos de
concentrado… O que achas? Qual vai saber mais a laranja?
Sara Costa
Didáctica da Matemática
93
Marta – Este aqui [1º caso] dos 12 copos… Ela usa 10, devia usar 12, quer
dizer que aqui [2º caso] fez o sumo e fica bom, aqui [1.º caso] fica a saber
muito a laranja.
Professora – Porque usou muita laranja?
Marta – Menos água!
Dos restantes alunos, só Marina utilizou uma estratégia aditiva para relacionar
os dados:
Marina – Aqui fica com mais… Mais sabor a laranja aqui fica com
menos… Porque aqui ela põe… Põe 1 copo de concentrado com 6 de água
e ali põe 2 copos de concentrado com 10 água… [silêncio] Ela para…
Para fazer... Pôr 2 copos de concentrado… Então por exemplo, aqui
aumentou 1 copo de concentrado e então eu acho que ela devia ter posto
12 copos de água.
Professora – Mas explica lá como chegaste a esse 12…
Marina – Fiz assim… 6… Fiz assim 6+6 dá 12.
Os restantes quatro alunos – Carlos, Jorge, Leandro e Carla - utilizaram uma
relação funcional para conseguirem responder à questão. Assim, procuraram, para cada
um dos dois casos, ver quantos copos de água correspondiam a 1 copo de sumo
concentrado, tal como foi representado por Carla:
Tal como na alínea anterior, Jorge voltou a ter dificuldades em conseguir
perceber a situação apresentada.
Jorge – Ah??? Não percebi nada! [professora explica o enunciado, voltando
a falar do processo de execução deste tipo de sumo] Ah! É esta porque se
ali é 1 e meio… Ah ok… Eu acho que é esta por causa do raciocínio que
estava a fazer há bocado; então se 2 copos de sumo concentrado com 10
copos de água… 2 copos tinha de ser… 2 copos de concentrado [relê] é
esta… Então se 2 copos de concentrado em 10 de água… 2, 4, 10, 20…
Não, não é esta porque esta está bem.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
94
Assim, nesta questão, a estratégia mais utilizada pelos alunos foi a estratégia
multiplicativa, através de um procedimento funcional. Por outro lado, a dificuldade
apresentada correspondeu, mais uma vez, à compreensão da tarefa, uma vez que o
contexto da situação apresentada aos alunos, não era familiar para todos,
nomeadamente, para Jorge.
Balanço das entrevistas
Tal como se fez anteriormente para cada um dos testes realizados pela turma,
também aqui foi feito um quadro (Quadro 11) com as estratégias e as dificuldades e
erros apresentados pelos seis alunos entrevistados de forma a sintetizar os dados
recolhidos. Relembro que o mesmo aluno pode ser considerado em vários locais da
mesma coluna, basta para isso que tenha apresentado mais do que uma estratégia ou, por
exemplo, tenha resolvido correctamente a questão depois de conseguir superar
determinada dificuldade.
Este quadro mostra que, neste contexto de resolução de tarefas em que os alunos
se sentiam mais à vontade do que num teste de avaliação, eles optaram
preferencialmente por estratégias mais intuitivas. Isso pode ter acontecido por não se
sentirem muito pressionados com o tempo de resolução da tarefa. O produto cruzado,
representado a maioria das vezes pela regra de três simples, foi novamente mais
utilizado nas tarefas do tipo valor omisso do que nas de comparação numérica.
As dificuldades/erros também sofreram uma deslocalização em relação ao
momento de início do estudo, deixando de se situar tanto na execução ou planificação
da estratégia para se centrar na interpretação da tarefa.
Parece-me importante realçar, mais uma vez, o à vontade que todos os alunos
manifestaram durante a realização das tarefas propostas, na medida em que facilmente
tentavam explicar os seus raciocínio e argumentar de forma a validar as suas respostas.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
95
Momento Dificuldades / erros
Estratégias
Correctas
Quadro 11 – Resumo das estratégias e dificuldades dos alunos nas entrevistas
Aditivas: Building-up
Multiplicativas:
− Procedimento escalar;
− Procedimento funcional;
− Produto cruzado (regra de três
simples, por exemplo).
Compreensão/Interpretação
Construção do plano:
− Relação errada entre dados:
− Faz diferença constante;
− Só utiliza parte dos dados.
Execução:
− Erro de cálculos;
− Cálculos incompreensíveis;
− Não termina;
− Erra procedimentos intermédios
− Não indica cálculos feitos.
Reflexão
− Pouco consistente/insatisfatória
Não responde
Argumentações consistentes baseadas em
exemplos, situações práticas reais;
Aditivas: Building-up
Multiplicativas:
− Procedimento escalar;
− Procedimento funcional;
Argumentos pouco
consistentes/insatisfatórios
Ausência de justificação;
Não responde
Tipo de tarefa
Valor omisso
Comparação numérica
como…
com…
Números
Números
Meio Extremo
decimais
inteiros
5 1
5
4
3
0
1
0
0
0
1
2
0
0
0
0
5
1
0
0
4
4
0
4
0
2
3*
2
1
1
2**
0
3***
1
1
0
0
0
1
0
0
0
3
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Sem dados
numéricos
a)
b)
c)
0
0
0
0
Com dados numéricos
d)
e)
4
2
4
4
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
0
0
0
3
0
2
0
0
4
0
0
2
0
0
0
2
0
0
0
0
Notas:
* Dois destes alunos não ficaram impedidos de resolver com sucesso estar tarefa, na medida em
que, a partir de outros dados, foram calcular dados ignorados inicialmente.
** Subjectividade relacionada com o termo compensar.
*** Subjectividade relacionada com o conceito de melhor jogador.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
96
Capítulo 7
Conclusão e reflexão final
Neste último capítulo faço uma síntese e uma reflexão sobre o trabalho
realizado, recordando o problema e as questões investigadas, os aspectos mais
relevantes do enquadramento teórico e da metodologia e apresentando as principais
conclusões do estudo.
Síntese do estudo
Problema e questões. O presente estudo tinha como principal objectivo analisar
o raciocínio proporcional de alunos do 2.º ciclo do ensino básico, antes e depois do
ensino formal da Proporcionalidade directa, de forma a poder responder às seguintes
questões:
1. Que estratégias são usadas pelos alunos do 2.º ciclo na resolução de
tarefas que envolvem o raciocínio proporcional, antes e após o ensino
formal da proporcionalidade directa? Em que tarefas os alunos têm
tendência
para
aplicar
procedimentos
de
cálculo
da
proporcionalidade?
2. Que dificuldades ou erros são apresentados pelos alunos? Em que
momento da resolução da tarefa é que surgem?
3. De que modo os alunos distinguem situações onde existe
proporcionalidade directa das situações onde esta não existe?
Quadro teórico. Para aprofundar os meus conhecimentos sobre este tema,
analisei artigos e relatos de estudos de vários autores. No enquadramento teórico
Sara Costa
Didáctica da Matemática
97
analisei estudos relevantes nesta área relativamente ao desenvolvimento do raciocínio
proporcional, às tarefas que podem ser propostas e às estratégias e dificuldades de
raciocínio apresentadas pelos alunos.
Este tema tem sido abordado em vários estudos tanto da Psicologia do
Desenvolvimento como na Educação Matemática. A Psicologia do Desenvolvimento
caracteriza o raciocínio proporcional como uma aptidão global que resulta de um
processo de maturação natural, independente do ensino escolar. Os investigadores da
área da Educação Matemática tendem a caracterizar a evolução dos alunos como um
aumento progressivo das competências de raciocínio locais, influenciado pelas suas
experiências escolares e pessoais.
Lamon (2005) distingue raciocínio proporcional de proporcionalidade. Esta
autora considera que o raciocínio proporcional é a condição ou pré-requisito para a
compreensão de contextos e aplicações baseadas na proporcionalidade, tanto na
Matemática como em situações do dia-a-dia. O raciocínio proporcional implica a
compreensão de uma relação constante entre duas grandezas – invariância – e a
percepção de que estas grandezas estão relacionadas e variam em conjunto –
covariância. Spinillo (1997) realça também o facto deste tipo de raciocínio envolver a
capacidade de lidar com dois tipos de relações: relações de primeira-ordem e relações
de segunda-ordem.
Por outro lado, autores como Cramer e Post (1993) indicam critérios para
distinguir um verdadeiro “pensador proporcional”, tendo como base a capacidade de
resolver diferentes tipos de problemas. Para eles, o desenvolvimento desta competência
nos alunos está também dependente das tarefas que lhes propomos e das experiências
que viveram dentro e fora da sala de aula.
A escolha das tarefas a propor aos alunos, durante este estudo, baseou-se na
classificação de Lesh, Post e Behr (1988). Assim, parte das tarefas era de valor omisso e
outra parte de comparação numérica. Nas primeiras eram fornecidos três valores ao
aluno que tinha de encontrar o quarto. Nas segundas eram dadas duas razões e não se
requeria uma resposta numérica mas sim a comparação das duas. Por outro lado, em
cada par de tarefas do mesmo tipo, tentei fazer variar alguns factores que, segundo
alguns estudos (Coner, Harel & Behr, 1988; Hart, 1988; Tourniaire & Pulos, 1985;
Vergnaud, 1988) podem ser a origem de algumas dificuldades. Assim, nas tarefas de
Sara Costa
Didáctica da Matemática
98
valor omisso, tive em conta a localização deste (como meio ou como extremo) e nas de
comparação numérica, o tipo dos números utilizados (decimais ou inteiros).
Os estudos sobre o raciocínio proporcional debruçam-se também sobre as
estratégias que os alunos utilizam. Por exemplo, Singer, Kohn e Resnick (1997)
consideram que para haver um raciocínio proporcional pleno, a criança tem de ter a
capacidade de raciocinar sobre relações multiplicativas e também capacidade de
raciocinar dentro – procedimentos escalares – e entre os diferentes espaços de medida
envolvidos – procedimentos funcionais. A literatura não esclarece o que leva o aluno a
optar em determinado momento por uma ou outra estratégia. No entanto, a escolha da
estratégia parece depender de vários factores, como o tipo de tarefa e a relação numérica
entre os dados.
Metodologia. Este estudo decorreu no ano lectivo 2006-07 e, por eu me
encontrar destacada na escola do serviço de pediatria do Hospital de Santa Maria,
recorri a uma colega para poder trabalhar de perto, em vários momentos do ano, com
uma turma de 6.º ano de escolaridade de uma escola da área de Lisboa. Após ter
começado a assistir a algumas das suas aulas, ainda no final do 1.º período escolar, e
com a consequente confirmação da nossa afinidade enquanto professoras, surgiu a
hipótese de fazermos um trabalho colaborativo em que ambas seríamos professoras e
investigadoras, cada uma com predominância num destes papéis. Assim, eu não me
limitei a estudar um grupo de alunos cedidos por uma colega, uma vez que tive
oportunidade de intervir em vários momentos como professora e, pelo seu lado, a
professora teve uma relação muito próxima com a investigação. Isto porque, por um
lado, contribuiu bastante nas reflexões/discussões feitas comigo, já que também tinha
desenvolvido uma investigação neste tema e, por outro lado, usou os dados por mim
recolhidos, sobretudo através do teste inicial, na planificação e dinamização das aulas.
Realizámos, deste modo, um trabalho de discussão, planificação, elaboração de
materiais e reflexão sobre tudo o que foi ocorrendo na turma ao longo das semanas em
que se abordou este tema.
Para a recolha de dados utilizei vários instrumentos, nomeadamente, um
pequeno teste inicial (aplicado a toda a turma, ainda antes da abordagem formal ao tema
da Proporcionalidade directa), apontamentos que fui tirando durante as aulas e durante
os relatos da professora, um teste de avaliação final, também aplicado a toda a turma
Sara Costa
Didáctica da Matemática
99
depois do estudo daquele tema, e ainda entrevistas semi-estruturadas aplicadas a seis
alunos que foram escolhidos por serem bons comunicadores e terem diferentes níveis de
sucesso na disciplina.
Para além destes dados, as reflexões feitas com a professora da turma e as
observações das aulas a que assisti também foram de grande importância na análise das
estratégias, representações e dificuldades apresentadas pelos alunos. O facto de analisar,
em paralelo com a professora, o que ia acontecendo nas aulas, permitiu-me reflectir, de
uma forma muito enriquecedora, sobre pontos importantes ao longo deste estudo. Esta
reflexão conjunta também teve um papel regulador, tanto na dinâmica das aulas como
na selecção dos alunos a serem entrevistados e ainda na interpretação da evolução da
turma ao longo do estudo deste tema.
Para analisar os dados recolhidos nos testes inicial e final optei por construir
uma grelha, com base em várias categorizações já apresentadas por outros autores
(Cramer & Post, 1993; Tourniaire & Pulos, 1985) de modo a aperceber-me das
estratégias e dificuldades dos alunos. Por fim, elaborei uma grelha conjunta com os
dados dos dois testes, de forma a fazer uma análise comparativa. Relativamente às
entrevistas, após a sua transcrição, também inclui os dados na mesma grelha, de forma a
perceber o percurso dos alunos.
Principais conclusões do estudo
Estratégias utilizadas. Uma das questões deste estudo dizia respeito às
estratégias utilizadas pelos alunos antes e depois do ensino formal do tema
Proporcionalidade directa. As estratégias encontradas nos alunos participantes não se
enquadravam completamente em nenhuma das categorizações usadas pelos autores
consultados. Por isso, produzi uma nova categorização, combinando as propostas de
vários autores. Optei por categorizar as estratégias utilizadas pelos alunos tendo em
conta a sua natureza aditiva ou multiplicativa e, neste último caso, considerei os
procedimentos usados como de tipo escalar, de tipo funcional ou produto cruzado (regra
de três simples).
O teste aplicado antes do ensino formal do tema, mostrou, tal como em vários
estudos anteriores (Lamon, 1993; Pittalis, Christou & Papageorgiou 2003; Spinillo,
Sara Costa
Didáctica da Matemática
100
1994), que o raciocínio proporcional surge nos alunos antes do ensino formal da
proporcionalidade, usando estratégias que não se limitam às aprendidas em contexto
escolar. Isto porque a grande maioria dos alunos conseguiu responder às questões que
lhes foram colocadas, utilizando para isso as suas próprias estratégias. Uma das
estratégias mais usadas pelos alunos na resolução das tarefas é de natureza aditiva – a
estratégia a que chamei de construção ou building-up – e que também é referida por
Tourniaire e Pulos (1985) como uma das mais usadas por crianças e adolescentes. No
entanto, à medida que as aulas foram avançando, num clima de troca de ideias e partilha
de experiências, os alunos foram adoptando estratégias mais formais de resolução dos
problemas. Houve uma evolução positiva, uma vez que foram deixando de usar
estratégias aditivas e começaram a utilizar também as estratégias multiplicativas,
funcionais e escalares. Recorde-se que esta capacidade de raciocinar sobre relações
multiplicativas, dentro e entre os diferentes espaços de medida envolvidos – raciocínio
funcional e raciocínio escalar –, é considerada como essencial por autores como Singer,
Kohn e Resnick (1997).
Um tipo particular de estratégia multiplicativa que surgiu num dos diversos
momentos de partilha de “diferentes” estratégias foi a regra de três simples. O uso desta
estratégia, por parte dos alunos, surgiu a partir de uma aluna da turma que a aprendeu
fora da escola e que a quis mostrar aos colegas. Após a professora ter discutido esta
estratégia com os alunos, parece ter sido assumida como a preferida para determinadas
tarefas, nomeadamente, as tarefas do tipo valor omisso. Também no estudo efectuado
por Oliveira e Santos (2000), esta estratégia foi muito utilizada pelos alunos que,
segundo os autores, a achavam eficiente e rápida. Contudo, parece importante realçar
que no presente estudo a sua utilização não foi generalizada, uma vez que os alunos a
usavam apenas em determinados momentos e em determinados tipos de questões. Por
outro lado, as entrevistas sugerem que os alunos que a usavam mais frequentemente
eram aqueles que, apesar de conhecerem outras formas de resolver as questões,
consideravam este procedimento mais rápido.
Dificuldades dos alunos e suas origens. O tema da Proporcionalidade directa é
considerado pela maioria dos professores como um dos que mais dificuldades provoca
nos alunos do ensino básico. Há vários estudos que abordam e analisam estas
dificuldades. No entanto, autores como Conner, Harel e Behr (1988) e Cramer e Post
Sara Costa
Didáctica da Matemática
101
(1993) dão mais importância aos factores inerentes às tarefas – contexto e estrutura –
enquanto que outros como Tourniaire e Pulos (1985) salientam também os factores
relacionados com o aluno – como a idade e o género. No presente estudo, tal como no
de estes últimos autores, verificou-se que o desempenho dos alunos foi afectado pela
presença de contextos como misturas em que existiam grandezas contínuas (como a
tarefa 3 do teste inicial e a tarefa 7 da entrevista). O desempenho dos alunos foi também
afectado pela não familiaridade com determinados tipos de contexto, tal como
aconteceu com Jorge, na tarefa 7 da entrevista, que não conhecia a situação de um sumo
feito a partir de sumo concentrado e água. Estas questões, apesar de terem só valores
inteiros, revelaram-se as mais problemáticas, tanto no teste inicial como na entrevista.
Outro tipo de dificuldade que também foi encontrado neste estudo relaciona-se
com o uso de determinadas palavras ou expressões que, por vezes, originaram
problemas na interpretação das tarefas. Assim, termos como compensar, melhor
compra, melhor jogador, introduziram obstáculos à compreensão da tarefa, conduzindo
a interpretações muito diversas por parte dos alunos. Isto também se enquadra no que
indica Lamon (1993) ao referir que a semântica afecta a prestação dos alunos na
realização de tarefas relacionadas com a proporcionalidade, já que a linguagem pode
interferir na complexidade da tarefa.
No entanto, também houve diferenças no que diz respeito à natureza das
dificuldades que se evidenciaram nos diversos momentos do estudo. Inicialmente as
dificuldades e erros estavam centrados na execução do plano projectado pelo aluno
(estabelecimento de uma relação errada entre dados ou utilização só de parte dos dados).
No teste final estas dificuldades passaram a estar localizadas mais no momento da
interpretação da tarefa e dos respectivos dados. Na entrevista estas dificuldades
localizaram-se, acima de tudo, numa das tarefas (comparação numérica com números
decimais) e estiveram relacionadas com a expressão melhor jogador que dificultou o
estabelecimento de uma relação correcta entre os dados. Por exemplo, durante a
entrevista, na questão 5, Carla queria saber se os dois irmãos tinham a mesma idade,
pois para ela “ser melhor jogador”, para além de estar relacionado com o que tinham
conseguido fazer no jogo, também estava ligado à sua idade.
O número limitado de tarefas usado neste estudo não permite muito mais
inferências sobre a origem das dificuldades dos alunos nas questões relacionadas com o
Sara Costa
Didáctica da Matemática
102
tema da Proporcionalidade directa, assunto que poderá ser retomado em futuras
investigações.
Identificação de situações onde existe ou não proporcionalidade directa. Os
alunos parecem conseguir distinguir razoavelmente bem as situações onde existe uma
relação de proporcionalidade directa, daquelas em que esta relação não existe. No
entanto, apresentam, por vezes, dificuldades em explicar os seus raciocínios.
Nas questões em que não eram apresentados quaisquer dados numéricos, os
alunos recorreram, a maioria das vezes, a argumentos relacionados com o seu dia-a-dia
e a exemplos para poderem ter dados para relacionar e verificar se existe ou não
relações proporcionais. Foi o caso de Marta quando, durante a entrevista em que lhe era
questionado se existia ou não proporcionalidade directa entre o peso e o preço das
maçãs, responde: “Às vezes metem 1 kg… 1 euro e depois metem 3 kg a dois euros e
cinquenta… Às vezes não há!”.
Na presença de dados numéricos, a estratégia utilizada nesta procura de
regularidades foi variando e evoluindo, deixando de estar concentrada em
procedimentos aditivos e passando a distribuir-se também por procedimentos de
natureza multiplicativa – procedimentos escalares e funcionais, principalmente quando a
tarefa é acompanhada por uma tabela, tal como aconteceu no teste final, em que 6
alunos verificaram a relação existente entre os dados, utilizando um procedimento
funcional e 4 aplicaram o procedimento do tipo escalar, ou seja, verificaram se havia
regularidade entre os dados da mesma grandeza.
Reflexões finais
Para a realização deste trabalho tive de fazer várias pesquisas e contactar com
vários estudos e experiências que me permitiram aprofundar o meu conhecimento neste
tema. O estudo empírico propriamente dito revelou-se da maior importância para o
aprofundamento da minha reflexão sobre o tema. Assim, o presente estudo mostrou, tal
como outros já o tinham feito anteriormente, que os alunos têm capacidade de resolver
de forma correcta pelo menos certos tipos de problemas que envolvem o raciocínio
proporcional, ainda antes do ensino formal deste tema, ou seja, não precisam da
aprendizagem formal para realizar algumas das tarefas. Para isso, os alunos recorrem a
Sara Costa
Didáctica da Matemática
103
estratégias de carácter informal, que lhes são mais intuitivas, geralmente de natureza
aditiva. Daí ser muito importante permitir que os alunos partilhem na sala de aula aquilo
que já conhecem intuitivamente e que deve servir de ponto de partida para as
aprendizagens mais formais.
Para que isso seja aproveitado é necessário que a sala de aula tenha uma cultura
questionante. Os alunos têm de perceber que o que é valorizado não é só a resposta
correcta mas também a diversidade de estratégias e a comunicação das mesmas. Deste
modo, os alunos, ao tentarem corresponder às expectativas da professora, procuram
comunicar detalhadamente os seus raciocínios. Fazem-no porque sabem que vale a pena
mostrar as suas soluções diferentes, mais ou menos sofisticadas, o que também pode
facilitar no ultrapassar de alguns obstáculos e bloqueios à aprendizagem de alguns
assuntos. Ao longo deste trabalho, a participação dos alunos nas aulas com consequente
troca de experiências revelou-se essencial, na partilha de estratégias e formas de
representação.
Neste estudo, não se pode garantir que todos os alunos tenham mudado a sua
forma de realizar estas tarefas, no entanto, a maioria dos percursos individuais de
aprendizagem dos alunos da turma foi no sentido das estratégias mais intuitivas para
estratégias mais formais e sofisticadas. Vários alunos mostraram conseguir utilizar
estratégias diferentes para realizar uma mesma tarefa. A escolha de uma ou outra
estratégia parece estar condicionada pelo contexto em que as tarefas são colocadas aos
alunos, nomeadamente por alguns factores como, por exemplo, a formalidade do
momento. Assim, os alunos num contexto de avaliação em que têm o tempo limitado
para a sua resolução, têm maior tendência a utilizar estratégias mais formais, como a
regra de três simples, que consideram mais rápida e eficaz. Esta tendência não se
revelou tanto nas entrevistas, situação em que não se sentiram pressionados com o
tempo de resolução.
No presente estudo, foram sendo observadas algumas dificuldades. Estas, na sua
grande maioria, tiveram origem em situações com contextos pouco familiares para os
alunos, como o caso das tarefas que envolviam misturas – sumo concentrado e água.
Outra questão que originou alguns problemas foi a interpretação de algumas tarefas
tendo em conta a linguagem utilizada, nomeadamente, o significado de expressões
como compensar, melhor compra ou melhor jogador. Estes termos revelaram-se pouco
Sara Costa
Didáctica da Matemática
104
precisos e a seu respeito podem surgir diversas interpretações, algumas das quais
bastante imprevistas.
Tendo em conta a evolução positiva observada neste estudo, considero, tal como
Spinillo (1996), que o trajecto correcto para uma verdadeira aprendizagem deve partir
do informal/intuitivo para a formalização e não o inverso. Outro aspecto que me pareceu
vantajoso para a aprendizagem, por parte destes alunos, foi o facto da professora não ter
caminhado rapidamente para a adopção de procedimentos formais como a regra de três
simples ou a propriedade fundamental das proporções, deixando que estes surgissem
naturalmente na turma. Considero assim, de extrema importância a exploração inicial de
uma grande variedade de tarefas, partindo de contextos familiares para os alunos,
situações com que já tenham tido possibilidade de contactar e a consequente partilha de
diferentes tipos de estratégias de resolução e formas de as representar por escrito.
Num artigo recente Ponte (2006) levanta uma série de questões relativas ao
currículo incluindo os modelos intuitivos que devemos privilegiar na sala de aula. Este
estudo mostra que devemos privilegiar os modelos mais intuitivos, que têm muito mais
possibilidade de fazer sentido para os alunos do que quaisquer outros. É a partir destes
que o professor pode mostrar o caminho de forma a levar os alunos a chegarem a outros
modelos e representações mais formais, incluindo os procedimentos e algoritmos.
Um dos aspecto que enriqueceu o meu trabalho foi o facto de ter tido o apoio de
uma colega com a qual já tinha afinidades pessoais e profissionais, que permitiu
enriquecer a minha investigação, por ter sempre com quem discutir e reflectir sobre o
que ia acontecendo. Também a partilha de experiências em seminários foi muito
importante para o aperfeiçoamento do sistema de análise e interpretação dos resultados.
De um modo geral, este foi um trabalho que me deu muito prazer realizar, fazendo-me
reflectir sobre várias questões e aprender imenso sobre diversos factores que devo ter
em conta quando faço a planificação desta e de outras unidades de trabalho. Espero que
esta experiência possa ser igualmente útil a outros professores e a todos aqueles que se
interessam pelo ensino-aprendizagem deste tema.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
105
Referências
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Didáctica da Matemática
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Didáctica da Matemática
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Sara Costa
Didáctica da Matemática
108
Anexos
Sara Costa
Didáctica da Matemática
109
Anexo 1 – Teste inicial feito por toda a turma
Sara Costa
Didáctica da Matemática
110
Disciplina de Matemática – Ficha de trabalho
Nome __________________________________ Aluno N.º ___ 6.º B
07.02.2007
Um automóvel que circula a uma velocidade constante demora 10
minutos a percorrer 15 km. Quanto tempo leva para percorrer 90 km?
Explica o teu raciocínio.
Uma florista vendia ramos de flores feitos com rosas amarelas e rosas
brancas, colocando, em cada ramo, duas rosas brancas por cada quatro
amarelas. Se a florista fizesse um ramo com seis rosas brancas, quantas
rosas amarelas teria de colocar no ramo para manter a relação duas rosas
brancas para quatro rosas amarelas? Mostra como chegaste à tua resposta.
Podes fazê-lo utilizando palavras, esquemas e cálculos.
Repara na imagem. Que chá, A ou B, é o mais doce?
Justifica a tua resposta.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
111
Num supermercado estão a fazer uma
promoção em que vendem champôs em
conjuntos de dois ou de três. Indica qual é a
escolha mais económica. Diz como chegaste
a essa conclusão.
Indica se cada frase é verdadeira ou falsa e explica o raciocínio que
utilizaste, em cada caso, para poderes responder:
o Se uma rapariga chega à escola em 10 minutos duas levam 20 minutos.
o Se uma caixa de cereais custa 2,80€ duas custam 5,60€.
o Se um rapaz faz um modelo de carro em 2 horas, pode fazer 3 modelos
iguais em 6 horas.
o Se o Hugo pinta o muro em 2 dias, o Hugo, o Tomás e um terceiro colega
pintam em 6 dias.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
112
Anexo 2 – Fichas de trabalho
Sara Costa
Didáctica da Matemática
113
ESCOLA E. B. 2, 3 PISCINAS – LISBOA
Disciplina de Matemática – Ficha de trabalho
Nome __________________________________ Aluno N.º ___
6.º ___ Data: ___/____/____
1. Sabendo que para confeccionar 500 g de mousse de chocolate são necessários 4 ovos,
completa a tabela seguinte.
2. Que quantidade de açúcar é preciso juntar a 6 Kg de abóbora, sabendo que, para fazer
doce de abóbora, a mãe da Vera junta 1 Kg de açúcar por cada 1,5 Kg de abóbora?
3.
Um lápis e um caderno custam 0,75 euros.
Dois lápis e dois cadernos custam 1,50 euros.
Três lápis e três cadernos custam _____ euros.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
114
4.
5.
6. Compara os resultados dos dois problemas anteriores. Que concluis?
Prof. Sandra Marques
Sara Costa
Didáctica da Matemática
115
ESCOLA E. B. 2, 3 PISCINAS – LISBOA
Disciplina de Matemática – Ficha de trabalho
Nome __________________________________ Aluno N.º ___
6.º ___ Data: ___/____/____
1. O José pagou 30 cêntimos por cinco fotocópias. Sabendo que cada fotocópia tem um preço fixo, completa a
seguinte tabela:
N.º de fotocópias
Custo (€)
1
2
3
4
5
0,30
10
20
2. Se um atleta demora 10 segundos a percorrer 100 m, quanto tempo demora a percorrer 200 m? E 400 m?
3. Três kg de laranja custam 3,60 €. Quanto custam 5 kg?
4. A torneira da casa da Sara está estragada e, mesmo fechada, pinga. A Sara verificou que, durante meia
hora, a torneira perde 4 decilitros de água.
Quantos decilitros de água perde a torneira em 5 horas?
5.
6. Diz se há proporcionalidade directa entre cada par de grandezas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
O peso de umas laranjas e o preço pago por elas.
A idade e a altura de uma criança.
A distância percorrida por um camião e o tempo que demora a percorrê-la.
O tamanho de um par de calças e o preço.
O tempo em que uma torneira está aberta e a quantidade de água que jorra.
O volume de um livro e o seu preço.
O número de operários que descarregam um camião e o tempo de execução.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Sandra Marques
Prof. Sandra Marques
Sara Costa
Didáctica da Matemática
116
ESCOLA E. B. 2, 3 PISCINAS – LISBOA
Disciplina de Matemática – Ficha de trabalho
Nome __________________________________ Aluno N.º ___
6.º ___ Data: ___/____/____
1. Os mapas que se seguem são teus conhecidos do manual de HGP do 5.º ano. Qual a distância real, em
quilómetros e em linha recta, entre:
a) Lisboa e Cartagena?
b) o Norte e o Sul de África?
2. A informação do esquema significa que (escolhe a alternativa correcta):
a) 1 cm representa 50 Km;
b) 8 cm representam 320 Km;
c) 3 cm representam 150 Km;
d) 800 Km são representados por 10 cm.
3. Um terreno rectangular tem 100 m de comprimento e 80 m de largura.
Faz a planta do terreno à escala de 1 para 2000.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
117
4. A planta da casa da Carla foi construída na escala 1 : 100.
Calcula:
a) as dimensões reais do quarto;
b) a área real do quarto;
c) as dimensões reais da sala;
d) a medida real da área total do apartamento;
e) o perímetro real da casa de banho.
5. O Tio do Telmo é arquitecto e está a mostrar ao sobrinho
a planta de uma casa.
Ajuda o Telmo a calcular a escala utilizada pelo Tio.
6. A distância entre duas cidades, em linha recta, é 240 Km.
Esta distância foi representada num mapa por um segmento de recta de 18 cm. Qual foi a escala usada
no mapa?
Prof. Sandra Marques
Sara Costa
Didáctica da Matemática
118
ESCOLA E. B. 2, 3 PISCINAS – LISBOA
Disciplina de Matemática – Ficha de trabalho
Nome __________________________________ Aluno N.º ___
6.º ___ Data: ___/____/____
1. Explica cada uma das seguintes informações:
2. Numa escola com 100 alunos, 48 são rapazes.
a) Qual é a percentagem de rapazes?
b) Qual é a percentagem de raparigas?
c) E se a escola tivesse 150 alunos, quantos seriam rapazes (mantendo a proporção inicial)?
3. Uma equipa de futebol jogou 16 jogos e ganhou 75% desses jogos.
Quantos jogos ganhou?
4. O Hugo comprou uma camisola sobre a qual teve um desconto de 15%.
a) De quanto foi o desconto?
b) Quanto pagou pela camisola?
Prof. Sandra Marques
Sara Costa
Didáctica da Matemática
119
ESCOLA E. B. 2, 3 PISCINAS – LISBOA
Disciplina de Matemática – Ficha de trabalho
Nome __________________________________ Aluno N.º ___
6.º ___ Data: ___/____/____
Prof. Sandra Marques
Sara Costa
Didáctica da Matemática
120
ESCOLA E. B. 2, 3 PISCINAS – LISBOA
Disciplina de Matemática – Ficha de trabalho
Nome __________________________________ Aluno N.º ___
6.º ___ Data: ___/____/____
1. A Roda dos Alimentos é constituída por sete grupos, aos quais correspondem as percentagens
apresentadas no folheto.
a) Por erro de impressão, no folheto falta a percentagem de “Gorduras e óleos”. Indica-a, justificando.
b) Quais os grupos alimentares que correspondem a cerca de
1
dos alimentos diários a ingerir?
4
c) Indica dois grupos de alimentos que, conjuntamente, formem cerca de metade dos alimentos diários
a ingerir.
d) Refere três grupos de alimentos que, conjuntamente, formem cerca de três quartos dos alimentos
diários a ingerir.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
121
2. O gráfico circular dá informações em percentagem, observa-o.
a) Prova que a Ana gasta toda a sua mesada.
b) Em que gasta a Ana metade da mesada?
c) Se a mesada da Ana é de 20 €, quanto gasta em livros? E quanto gasta em roupa?
3. Observa o gráfico referente a causas de incêndios florestais.
a) Qual a percentagem de incêndios provocados
por causas naturais?
b) Se o estudo se refere a 1 000 incêndios,
quantos se devem a causas intencionais?
c) E quantos se devem a negligência?
4. Perguntou-se a um grupo de jovens o que fizeram na manhã de sábado. Alguns foram às compras,
outros nadar, outros ao clube e doze foram à biblioteca.
a) Quantos jovens foram questionados?
b) Quantos jovens foram nadar?
c) Qual a percentagem de jovens que foi às compras?
d) Que fracção de jovens foi ao clube?
Prof. Sandra Marques
Sara Costa
Didáctica da Matemática
122
ESCOLA E. B. 2, 3 PISCINAS – LISBOA
Disciplina de Matemática – Ficha de trabalho
Nome __________________________________ Aluno N.º ___
6.º ___ Data: ___/____/____
1. Numa pastelaria vendem-se bolos em caixas de peso fixo. Sabendo que quatro caixas pesam 2 kg, completa a
tabela:
N.º de caixas
1
2
3
4
5
6
10
15
20
Peso (em kg)
2
2.
3. Completa a tabela:
Lado do quadrado (cm)
Perímetro do quadrado (cm)
Área do quadrado (cm2)
0,5
2
2,5
4. No mapa está representada uma região do distrito de Viseu e nele aparece S. Pedro do Sul. Qual a distância real
e em linha recta de S. Pedro do Sul a Viseu?
5. Um comerciante fez promoções de 15% em alguns dos seus artigos. Modificou as etiquetas do seguinte modo:
Verifica se houve algum engano e corrige as
respectivas etiquetas.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
123
6. A Rita está na escola 8 horas por dia. Que percentagem do dia passa na escola?
7. Na aula de Matemática da Ana, os alunos estão a analisar um gráfico sobre reciclagem. O total de material
reciclado é de 67 000 Kg.
a) Indica qual o material que foi
reciclado em maior quantidade.
Quantos quilogramas foram
recolhidos?
b) Em que quantidade que foi reciclado o plástico?
8. O mapa representa a ilha da Madeira.
Qual é a distância real, em
quilómetros e em linha recta,
entre a Ponta do Pargo e a Ilha
de Fora?
Sara Costa
Didáctica da Matemática
124
Anexo 3 – Ficha final feita por toda a turma
Sara Costa
Didáctica da Matemática
125
Ficha de Avaliação de Matemática – 6.º ____
Nome __________________________________________ N.º ___ Data _______________
Classificação ________ Professora ___________ Enc. Educação ________________________
1. A tabela indica os quilogramas de papel que os alunos do 6.º ano da escola do Tomás recolheram para ser reciclado.
Turmas
6.º A
6.º B
6.º C
6.º D
Papel recolhido (em kg)
100
150
125
175
Utiliza a informação da tabela para completares o seguinte pictograma e a respectiva legenda. No pictograma já
está representada a quantidade de papel recolhido pelos alunos do 6.º A.
2. Calcula o valor da seguinte expressão numérica:
2 5
+ :2
3 6
3. O grupo de amigos do Pedro foi à Pizaria na 5.ª feira passada. Pediram 3 pizas para 9 pessoas, para que todos
comessem igual quantidade de piza. Na próxima 5.ª feira voltarão à Pizaria, mas serão 15 pessoas. Quantas pizas têm
de pedir para que cada um coma a mesma quantidade da semana anterior?
4. A Filipa foi a um supermercado onde o preço das maçãs era o seguinte:
Peso (em kg)
Preço (em euros)
3
5,40
4
7,10
5
8,70
Averigua se há proporcionalidade directa entre o peso das maçãs e o preço. Explica como chegaste à tua resposta.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
126
5. Qual é a embalagem de manteiga que é mais
vantajosa comprar?
6. Para fazer a cobertura do bolo, a Ana precisa de “Chocolate Negro”.
Casa Bombom
10% de
desconto
Chocolate
Negro
1,30€
Casa Biscoito
15% de
desconto
Chocolate
Negro
1,40€
Em qual das lojas lhe ficará mais barato o chocolate? Quanto terá de pagar por ele?
7. Observa o gráfico que se refere aos trabalhos de bricolage
preferidos por um grupo de pessoas, em que metade prefere
carpintaria. Sabe-se que 125 dessas pessoas preferem trabalhos de
decoração.
a) Qual é a actividade que tem mais adeptos?
b) Quantas foram as pessoas inquiridas ao todo?
12,5%
c) Que percentagem de pessoas prefere trabalhos de electricidade?
Sara Costa
Didáctica da Matemática
127
8. No mapa a distância entre Faro e Beja é 3,5 cm.
Qual a distância real, em linha recta e em km, entre as duas cidades?
1,5 : 3 000 000
9. A figura representa um postal, no seu tamanho real, e um envelope reduzido à escala de 1:3.
Será que o postal cabe no envelope, sem ser dobrado? Utiliza a régua graduada para efectuares as medições que
achares necessárias. Explica como chegaste à tua resposta.
1
2
3
4
5
6
7a)
b)
c)
8
9
13%
10%
9%
8%
10%
10%
4%
9%
7%
12%
8%
Sara Costa
Didáctica da Matemática
128
Anexo 4 – Quadro de correspondência entre as tarefas do teste inicial e do teste final
Sara Costa
Didáctica da Matemática
129
Tarefas do teste inicial em correspondência com as do teste final
Tipo de tarefa
Possível
elemento
perturbador
O valor omisso
está posicionado
como um meio
Tarefa do teste inicial
Tarefa do teste de avaliação
Um automóvel que circula a uma
velocidade constante demora 10 minutos a
percorrer 15 km. Quanto tempo leva para
percorrer 90 km? Explica o teu raciocínio.
3. O grupo de amigos do Pedro foi à Pizaria na 5.ª feira passada. Pediram 3
pizas para 9 pessoas, para que todos comessem igual quantidade de piza. Na
próxima 5.ª feira voltarão à Pizaria, mas serão 15 pessoas. Quantas pizas têm
de pedir para que cada um coma a mesma
quantidade da semana anterior?
7. Observa o gráfico que se refere aos trabalhos
de bricolage preferidos por um grupo de pessoas,
em que metade prefere carpintaria. Sabe-se que
125 dessas pessoas preferem trabalhos de
decoração.
b) Quantas foram as pessoas inquiridas ao todo?
Valor omisso
O valor omisso
está posicionado
como um
extremo
Comparação
Numérica
Entre números
inteiros
Uma florista vendia ramos de flores
feitos com rosas amarelas e rosas
brancas, colocando, em cada ramo,
duas rosas brancas por cada quatro
amarelas. Se a florista fizesse um ramo com seis
rosas brancas, quantas rosas amarelas teria de
colocar no ramo para manter a relação duas
rosas brancas para quatro rosas amarelas?
Mostra como chegaste à tua resposta. Podes
fazê-lo utilizando palavras, esquemas e cálculos.
Repara na imagem. Que chá, A ou
B, é o mais doce? Justifica a tua
resposta.
8. No mapa a distância entre Faro e Beja é 3,5 cm.
Qual a distância real, em linha recta e em km,
entre as duas cidades?
9. A figura representa um postal, no seu tamanho real, e um envelope
reduzido à escala de 1:3.
Será que o postal cabe no envelope, sem ser dobrado? Utiliza a régua
graduada para efectuares as medições que achares necessárias. Explica
como chegaste à tua resposta.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
130
Com números
decimais
Num supermercado estão a fazer uma promoção
em que vendem champôs em conjuntos de dois
ou de três. Indica qual é a escolha mais
económica. Diz
como chegaste a
essa conclusão.
5. Qual é a embalagem de manteiga que é mais
vantajosa comprar?
Casa Bombom
10% de
descont
6. Para fazer a cobertura do bolo, a Ana precisa
de “Chocolate Negro”.
Chocolate
Negro
1,30€
Casa Biscoito
15% de
descont
Chocolate
Negro
1,40€
Em qual das lojas lhe ficará mais barato o chocolate? Quanto terá de pagar
por ele?
Identificação da
existência ou não de
proporcionalidade
directa em cada
situação
Indica se cada frase é verdadeira ou falsa e
explica o raciocínio que utilizaste, em cada caso,
para poderes responder:
o
o
o
o
Se uma rapariga chega à escola em 10 minutos duas
levam 20 minutos.
Se uma caixa de cereais custa 2,80€ duas custam 5,60€.
Se um rapaz faz um modelo de carro em 2 horas, pode
fazer 3 modelos iguais em 6 horas.
Se o Hugo pinta o muro em 2 dias, o Hugo, o Tomás e
um terceiro colega pintam em 6 dias.
4. A Filipa foi a um supermercado onde o preço das maçãs era o seguinte:
Peso (em kg)
3
4
5
Preço (em euros)
5,40
7,10
8,70
Averigua se há proporcionalidade directa entre o peso das maçãs e o preço.
Explica como chegaste à tua resposta.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
131
Anexo 5 – Guião da Entrevista
Sara Costa
Didáctica da Matemática
132
Guião da Entrevista
O Ricardo é um aluno de 6.º ano que tem estado a falar nas
aulas de Matemática sobre o tema proporcionalidade
directa e tem reparado que, no seu dia-a-dia, muitas vezes
se depara com situações deste tipo. Acompanha as várias
tarefas do Ricardo e tenta também tu responder,
explicando sempre o teu raciocínio.
1. Na última aula estiveram a fazer um trabalho de grupo.
Ao todo, na turma do Ricardo, a professora conseguiu formar 4
grupos e todos eles tinham 4 rapazes e 2 raparigas. Sabendo que
a turma tem 24 alunos, quantas são as raparigas?
2. Na papelaria da escola Ricardo
percebeu que as esferográficas são vendidas
em conjuntos. Indica que conjunto compensa
mais comprar.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
133
Em casa…
3. A professora propôs como trabalho de casa que
indicassem situações em que as grandezas fossem
directamente proporcionais.
Repara nas situações indicadas pelo Ricardo e diz se concordas ou não
com ele.
a) O peso e o preço de maçãs;
b) A idade e a altura de uma pessoa;
c) O peso da mochila e o n.º de livros;
d) Fotocópias e preços de acordo com a tabela:
N.º de
Preço
fotocópias
(por cópia)
1 a 10
0,10 €
11 a 20
0,08 €
Mais de 20
0,06 €
e) Número de garrafas e quantidade de vinho:
N.º de garrafas
1
Quantidade (em litros) 0,75
4
6
3
4,5
Sara Costa
Didáctica da Matemática
134
4. O Ricardo está à espera que a impressora acabe de
fazer o seu “trabalho”. Reparou que está lenta: levou 2
minutos para fazer um trabalho de 8 páginas. Quanto
tempo levará para imprimir, à mesma velocidade, as 12
páginas que faltam?
5. A Patrícia, irmã do Ricardo, acha-se uma
perita a descobrir palavras em sopas de letras. Ela
encontrou oito palavras, das quinze existentes numa
“sopa” e o Ricardo encontrou doze, das vinte de outra
sopa de letras. Quem é melhor neste jogo, a Patrícia ou o Ricardo?
Sara Costa
Didáctica da Matemática
135
6. Na hora do lanche, Ricardo lembrou-se de
uma receita que a avó fazia sempre. Foi ver os
ingredientes, para pedir à mãe para o fazer…
200 g de açúcar;
250 g de farinha;
4 ovos;
50 g de manteiga
A mãe quis fazer um bolo maior e resolveu usar os 6 ovos que tinha
em casa. Indica as quantidades dos outros ingredientes que vai ter de usar,
para que o bolo tenha o mesmo sabor.
7. Para acompanhar o bolo Ricardo fez sumo de laranja.
Este foi feito a partir de sumo concentrado. Repara no rótulo.
a)
Que quantidade de água deve usar quando coloca três
copos de sumo concentrado?
b)
A irmã não costuma seguir a indicação do rótulo e coloca, por
vezes, dois copos de concentrado com dez copos de água e,
outras vezes, um de concentrado com seis de água. O sumo
fica a saber mais a laranja na primeira ou na segunda situação?
Explica o teu raciocínio.
Sara Costa
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Anexo 6 – Quadro de correspondência entre as tarefas do teste inicial e as da entrevista
Sara Costa
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137
Tarefas do teste inicial em correspondência com as do teste final
Tipo de
tarefa
Possível
elemento
Tarefa da entrevista
Tarefa do teste inicial
perturbador
O Ricardo está à espera que a impressora acabe de fazer o
Um automóvel que circula a uma
seu “trabalho”. Reparou que levou 2 minutos para fazer um
velocidade constante demora 10 minutos a
trabalho de 8 páginas. Quanto tempo levará para imprimir, à mesma
percorrer 15 km. Quanto tempo leva para
velocidade, as 12 páginas que faltam?
percorrer 90 km? Explica o teu raciocínio.
Na hora do lanche, lembrou-se de uma receita que a avó fazia
sempre. Foi ver os ingredientes, para pedir à mãe para o fazer…
O valor omisso
Valor
posicionado
200g de açúcar;
como um meio
250g de farinha;
omisso
4 Ovos;
50g de manteiga;
No entanto, queria fazer um bolo maior e resolveu usar os 6 ovos que
tinha em casa. Indica as quantidades dos outros ingredientes que ele vai ter
de usar, para que o bolo tenha o mesmo sabor.
Uma florista vendia ramos de
Na última aula estiveram a fazer um trabalho de grupo. Ao todo, na
posicionado
flores feitos com rosas amarelas e
turma do Ricardo, a professora conseguiu formar 6 grupos e todos eles
como um
rosas brancas, colocando, em cada
tinham 4 rapazes e 2 raparigas. Sabendo que a turma tem 24 alunos, quantas
O valor omisso
extremo
ramo, duas rosas brancas por cada quatro
são as raparigas?
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138
amarelas. Se a florista fizesse um ramo com
seis rosas brancas, quantas rosas amarelas
teria de colocar no ramo para manter a relação
duas
rosas
amarelas?
brancas
Mostra
para
como
quatro
chegaste
rosas
à
tua
Para acompanhar o bolo fez sumo de laranja. Este foi feito a partir de
sumo concentrado. Repara no rótulo.
a) Que quantidade de água deve usar quando coloca 3 copos de sumo
concentrado?
resposta. Podes fazê-lo utilizando palavras,
esquemas e cálculos.
A Patrícia, irmã do Ricardo, acha-se uma perita a descobrir
Entre números
inteiros
Repara na imagem. Que
palavras em sopas de letras. Ela encontrou oito palavras, das
chá, A ou B, é o mais
catorze existentes numa “sopa” e o Ricardo encontrou onze, das vinte de
doce?
outra sopa de letras. Afinal a Patrícia tem razão?
Justifica
a
tua
resposta.
b) A irmã não costuma seguir a indicação do rótulo e coloca, por vezes,
dois copos de concentrado com dez copos de água e, outras vezes, um
Comparação
de concentrado com 6 de água. Em qual das situações o sumo fica a
Numérica
saber mais a laranja? Explica o teu raciocínio.
Num supermercado estão a fazer uma
Indica que conjunto de canetas compensa mais comprar.
promoção em que vendem champôs em
Com números
decimais
conjuntos de dois ou de três. Indica qual é a
escolha mais
económica. Diz
como chegaste a
essa conclusão.
Sara Costa
Didáctica da Matemática
139
Indica se cada frase é verdadeira ou falsa e
explica o raciocínio que utilizaste, em cada
caso, para poderes responder:
o
o
Identificação da existência ou
o
Se uma rapariga chega à escola em 10
que fossem directamente proporcionais.
Repara nas respostas do Ricardo e indica, justificando, se concordas ou
não com ele.
minutos duas levam 20 minutos.
a) A idade e a altura de uma pessoa;
Se uma caixa de cereais custa 2,80€ duas
b) O peso e o preço de maçãs;
custam 5,60€.
c) O peso da mochila e o n.º de livros;
Se um rapaz faz um modelo de carro em 2
d)
não de proporcionalidade
horas, pode fazer 3 modelos iguais em 6
directa em cada situação
horas.
o
A professora propôs como trabalho de casa que indicassem grandezas
N.º de
Preço
fotocópias
(por cópia)
Se o Hugo pinta o muro em 2 dias, o Hugo,
1 a 10
0,10 €
o Tomás e um terceiro colega pintam em 6
11 a 20
0,08 €
dias.
Mais de 20
0,06 €
e)
N.º de garrafas
Quantidade (em litros)
1
4
6
0,75
3
4,5
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140
CAPÍTULO 1 ..............................................................................................................................................1
INTRODUÇÃO ...........................................................................................................................................1
Génese do estudo ................................................................................................................................1
Problema e questões do estudo ..........................................................................................................2
Orientações curriculares sobre o ensino do raciocínio proporcional ..............................................3
CAPÍTULO 2 ..............................................................................................................................................8
O RACIOCÍNIO PROPORCIONAL .............................................................................................................8
O desenvolvimento do raciocínio proporcional.................................................................................8
Natureza das tarefas ........................................................................................................................13
Estratégias dos alunos .....................................................................................................................17
Dificuldades dos alunos e suas origens ...........................................................................................21
CAPÍTULO 3 ............................................................................................................................................26
METODOLOGIA DA INVESTIGAÇÃO ......................................................................................................26
Opções gerais do estudo ...................................................................................................................26
Alunos participantes ........................................................................................................................27
Um dispositivo de colaboração ........................................................................................................29
Planificação da unidade ..................................................................................................................31
Recolha de dados..............................................................................................................................34
Análise de dados ...............................................................................................................................36
Calendarização .................................................................................................................................38
CAPÍTULO 4 ............................................................................................................................................39
O DESENROLAR DAS AULAS ..................................................................................................................39
CAPÍTULO 5 ............................................................................................................................................51
DESEMPENHO DOS ALUNOS NOS TESTES ..............................................................................................51
Teste inicial ......................................................................................................................................51
Teste final .........................................................................................................................................59
Análise comparativa dos testes ........................................................................................................67
CAPÍTULO 6 ............................................................................................................................................72
DESEMPENHO DOS ALUNOS NAS ENTREVISTAS ....................................................................................72
A entrevista questão a questão.........................................................................................................72
CAPÍTULO 7 ............................................................................................................................................96
CONCLUSÃO E REFLEXÃO FINAL ..........................................................................................................96
Síntese do estudo ..............................................................................................................................96
Principais conclusões do estudo ......................................................................................................99
Reflexões finais ..............................................................................................................................102
REFERÊNCIAS .....................................................................................................................................105
ANEXOS .................................................................................................................................................108
ANEXO 1 – TESTE INICIAL FEITO POR TODA A TURMA ...........................................................................109
ANEXO 2 – FICHAS DE TRABALHO ........................................................................................................112
ANEXO 3 – FICHA FINAL FEITA POR TODA A TURMA .............................................................................124
ANEXO 4 – QUADRO DE CORRESPONDÊNCIA ENTRE AS TAREFAS DO TESTE INICIAL E DO TESTE FINAL .128
ANEXO 5 – GUIÃO DA ENTREVISTA ......................................................................................................131
ANEXO 6 – QUADRO DE CORRESPONDÊNCIA ENTRE AS TAREFAS DO TESTE INICIAL E AS DA ENTREVISTA
.............................................................................................................................................................136
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