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1
TRIGONOMETRIA
1.1 Origem da Trigonometria:
A etimologia da palavra
TRIGONOMETRIA
significa “ medida dos triângulos”, sendo formada
pelos radicais gregos tri ( três), gonos ( ângulo) e
metron ( medir).
A trigonometria teve origem na antiga Grécia, em
decorrência dos estudos das relações entre os lados e
os ângulos de um triângulo, possivelmente com o
intuito de resolver problemas de navegação,
agrimensura e astronomia. O astrônomo grego
Hiparco ( 150 a.C.) construiu a primeira tabela
trigonométrica, mas o vocábulo Trigonometria foi
criado em 1595 pelo matemático alemão
Bartholomaus Pitiscus (15611613).
1
Quando construímos sobre um ângulos agudo dois
triângulos
retângulos, estes serão semelhantes e,
portanto, terão lados proporcionais.
Os triângulos ABC e APQ são semelhantes. Como seus
lados são proporcionais, podemos escrever:
Reescrever estas proporções utilizando a nomenclatura
de catetos e hipotenusa, temos:
1.2 Ângulo:
Ângulo é o nome que se dá à abertura formada por
lado
vértice
ângulo
lado
1.3 Medida de um Ângulo.
É igual à medida do arco que ele determina sobre uma
circunferência, cujo centro é o vértice.
B
ˆ med AB
med AOB
0
Estas relações que acabamos de generalizar recebem
nomes especiais.
A primeira é chamada seno do ângulo x e escrevese:
A
sen x =
1.4 Relações Métricas no Triângulo Retângulo:
Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois
ângulos agudos e complementares. Os lados de um
triângulo retângulo chamamse catetos e hipotenusa.
Os catetos são sempre perpendiculares e formam um
ângulo reto.
cateto oposto
hipotenusa
A segunda é chamada cosseno do ângulo x e escrevese:
cos x =
cateto adjacente
hipotenusa
A terceira é chamada
escrevese:
tg x =
tangente do ângulo x e
cateto oposto
cateto adjacente
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2
Determinar o diâmetro d da cabeça do parafuso,
conforme as medidas da figura.
R: x=17,95 m
Quebra Cabeça: Quaisquer dois quadrados, não
importa seus tamanhos relativos, podem ser cortados em
cinco peças que se juntarão novamente para formar um
só quadrado maior. Os cortes estão ilustrados nos
quadrados do exemplo abaixo.
R: d = 22,44 mm
A torre de Pisa, na Itália, é um campanário cuja
construção iniciouse em 1174. Devido ao tipo de
solo, a torre inclinouse, significativamente, desde
sua construção. A reta vertical que passa pelo centro
A de seu terraço superior encontra o solo em um
ponto B distante 4m do centro C de sua base. Sabendo
que a distância CA é 56 m, calcule a inclinação
(BĈA) dessa torre, em graus.
Trace outros dois quadrados. Você sabe onde fazer os
cortes de modo que depois sejamos capazes de remontar
as peças num outro quadrado?
Exercícios:
1) Determine os elementos incógnitos:
a)
b)
c)
R: 85º14’
Um observador na margem de um rio, vê o topo de
uma torre na outra margem segundo um ângulo de
56º. Afastandose vê a mesma torre segundo um
ângulo de 35º. Calcule a largura do rio.
R: a) x =26,75m; b) x =8,76m, y = 7,10m e z =5,75m c)
x =12,99m e y = 10m
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2)
3)
4)
5)
6)
Determine a altura de um painel de propaganda
situado no topo de um edifício, sabendose que o
observador está situado a 100 m do edifício e
pode visualizar a base inferior e superior,
segundo um ângulo de 30º e 45º,
respectivamente. (R.: 42 m )
Numa rua horizontal um menino vê o topo de um
prédio sob um ângulo de 36º. Deslocandose 18
m no sentido do prédio, passa a avistálo sob um
ângulo de 42º. Calcular a altura do prédio.
(R.: 66,67 m ou 69,56 m).
Um engenheiro civil que constrói uma estrada diz
que, em certo trecho, há uma “rampa” de 33%.
Qual, então, a medida aproximada do ângulo de
inclinação? ( R.: 18º).
Um mastro de 6 m está em cima de uma colina de
altura d. De um ponto A avistamos seu pé sob um
ângulo de 60º e sua ponta sob 75º. Calcule a
altura da colina. ( R: 5,19 m ou 5, 22 m).
As posições relativas de uma pista de aeroporto e
de uma torre de controle de 6,1 m de altura são
ilustradas na figura abaixo. A cabeceira da pista
está a uma distância perpendicular de 100 metros
da base da torre. Se x é a distância percorrida na
pista por um avião, expresse a distância d entre o
avião e a torre de controle como função de x.
(R: d 10037 x2 )
7)
De um ponto exterior P que está a h unidades
de um círculo de raio r, traça-se uma tangente ao
círculo (veja a figura). Seja y a distância do ponto P ao
ponto de tangência T. Expresse y como função de h e
r. ( lembre-se que se C é o centro do círculo, PT é
perpendicular a CT.) Se r é o raio da terra e h é a altura
de um foguete, então podemos deduzir uma fórmula
para a distância máxima ( à terra) que um astronauta
pode ver da nave.
Em particular, se h= 321.800 m e
r = 6 436 000
m, dê uma aproximação para y.
(R: y h2 2hr 2.060 milhões )
3
1.5 Ponto móvel sobre uma curva
Consideremos uma curva no plano cartesiano. Se um
ponto P pertence à curva, dizemos que P é um ponto
fixo da mesma. Se assumirmos que este ponto possa ser
deslocado sobre a curva, este ponto receberá o nome de
ponto móvel. Um ponto móvel localizado sobre uma
circunferência, partindo de um ponto A pode percorrer
esta circunferência em dois sentidos opostos. Por
convenção, o sentido antihorário (contrário aos
ponteiros de um relógio) é adotado como sentido
positivo.
1.6 Arcos da circunferência
Quando escolhemos um dos sentidos de percurso, o arco
é denominado arco orientado e simplesmente pode ser
denotado por AB se o sentido de percurso for de A para
B e BA quando o sentido de percurso for de B para A.
Quando não consideramos a orientação dos arcos
formados por dois pontos A e B sobre uma
circunferência, temos dois arcos não orientados sendo A
e B as suas extremidades.
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1.7 Medida de um arco
A medida de um arco de circunferência é feita por
comparação com um outro arco da mesma
circunferência tomado como a unidade de arco. Se u
for um arco de comprimento unitário (igual a 1), a
4
b)
medida do arco AB , é o número de vezes que o arco
u cabe no arco AB .
c)
Na figura abaixo, a medida do arco AB é 5 vezes a
medida do arco u . Denotando a medida do arco
AB por m( AB ) e a medida do arco u por m( u ),
temos:
Grau: Medida de um arco que corresponde a 1/360 do
arco completo da circunferência na qual estamos
medindo o arco.
m( AB ) = 5 m( u ).
A medida de um arco de circunferência é a mesma em
qualquer um dos sentidos.
Exercício Resolvido 01:
Exercício Resolvido 02: Exemp
los:
Dividindo a circunferência em 4
e 6 partes congruentes, temos:
1.8 Unidades de medida de arcos
A unidade de medida de arco do Sistema Internacional
(SI) é o radiano, mas existem outras medidas utilizadas
pelos técnicos que são o grau e o grado. Este último
não é muito comum.
Radiano: Medida de um arco que tem o mesmo
comprimento que o raio da circunferência na qual
estamos medindo o arco. Assim o arco tomado como
unidade tem comprimento igual ao comprimento do
raio ou 1 radiano, que denotaremos por 1 rad.
O grau comporta ainda os submúltiplos, minuto ( ’) e
segundo (”) , de forma que:
1º = 60' e 1' = 60”
Grado: É a medida de um arco igual a 1/400 do arco
completo da circunferência na qual estamos medindo o
arco.
Lembramos que o comprimento de uma
circunferência de raio r é dado por 2r. Assim, para
calcularmos em radianos a medida a de um arco de
uma volta, fazemos:
a = 2r/r = 2rad
Exemplos:
a)
1.9 Arcos de uma volta
Se AB é o arco correspondente à volta completa de uma
circunferência, então:
2 rad = 360º
Podemos estabelecer os seguintes resultados:
Desenho
Grau
Grado
Radiano
90º
100
/2
180º
200
Obs: 0 graus = 0 grado = 0 radianos
270º
300
3/2
360º
400
2
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1.10 Mudança de unidades
Consideremos um arco AB de medida R em radianos,
esta medida corresponde a G graus. A relação entre
estas medidas é obtida pela seguinte proporção:
2 rad …………… 360 graus
R rad …………… G graus
Assim, temos a igualdade R/2 = G/360, ou ainda:
R
G
180
Exercícios:
8) Determinar a medida em radianos dos arcos: 120º
2
5
e 300º ( R:
rad e
rad ).
3
8
9) Determinar a medida em graus de um arco de
medida 1 radiano ( R: 57º19’29”).
1.11 Ciclo Trigonométrico
Considere uma circunferência de raio unitário com
centro na origem de um sistema cartesiano ortogonal e
o ponto A=(1,0). O ponto A será tomado como a
origem dos arcos orientados nesta circunferência e o
sentido positivo considerado será o antihorário.
Assim, chamase círculo trigonométrico ou ciclo
trigonométrico, ao círculo orientado de raio unitário,
cujo centro é a origem do sistema de coordenadas
cartesianas, conforme figura a seguir.
Os eixos OX e OY decompõem o ciclo trigonométrico
em quatro quadrantes que são enumerados como
segue:
2o. quadrante
abscissa: negativa
ordenada: positiva
90º<ângulo<180º
1o. quadrante
abscissa: positiva
ordenada: positiva
0º<ângulo<90º
3o. quadrante
abscissa: negativa
ordenada:
negativa
180º<ângulo<270º
4o. quadrante
abscissa: positiva
ordenada:
negativa
270º<ângulo<360º
Obs.: Os quadrantes são usados para localizar pontos
e a caracterização de ângulos trigonométricos. Por
5
convenção, os pontos situados sobre os eixos não
pertencem a qualquer um dos quadrantes.
1.12 Arcos com mais de uma volta
Em Trigonometria, algumas vezes precisamos considerar
arcos cujas medidas sejam maiores do que 360º. Por
exemplo, se um ponto móvel parte de um ponto A sobre
uma circunferência no sentido antihorário e para em
um ponto M, ele descreve um arco AM .
A medida deste arco (em graus) poderá ser menor ou
igual a 360º ou ser maior do que 360º. Se esta medida
for menor ou igual a 360º, dizemos que este arco está em
sua primeira determinação.
Acontece que o ponto móvel poderá percorrer a
circunferência uma ou mais vezes em um determinado
sentido, antes de parar no ponto M, determinando arcos
maiores do que 360º ou arcos com mais de uma volta.
Existe uma infinidade de arcos, mas com medidas
diferentes, cuja origem é o ponto A e cuja extremidade é
o ponto M.
Seja o arco AM cuja primeira determinação tenha
medida igual a m. Um ponto móvel que parte de A e
pare em M, pode ter várias medidas algébricas,
dependendo do percurso.
Se o sentido for o antihorário, o ponto M da
circunferência trigonométrica será extremidade de uma
infinidade de arcos positivos de medidas:
m, m+2, m+4, m+6, ...
Se o sentido for o horário, o ponto M será extremidade
de uma infinidade de arcos negativos de medidas:
m2, m4, m6, ...
Generalizando este conceito, se m é a medida da
primeira determinação positiva do arco AM, podemos
representar as medidas destes arcos por:
µ( AM ) = m + 2k
onde k é um número inteiro, isto é, k pertence ao
conjunto Z={...,2,3,1,0,1,2,3,...}.
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Família de arcos: Uma família de arcos { AM } é o
conjunto de todos os arcos com ponto inicial em A e
extremidade em M.
Exemplo: Se um arco de circunferência tem origem
em A e extremidade em M, com a primeira
determinação positiva medindo 2/3, então os arcos
desta família { AM }, medem:
Determinações positivas (sentido antihorário)
k=0
µ( AM ) = 2/3
k=1
µ( AM ) = 2/3+2=8/3
k=2
µ( AM ) = 2/3+4=14/3
k=3
µ( AM ) = 2/3+6=20/3
...
...
k=n
µ( AM ) = 2/3+2n = (2+6n) /3
Determinações negativas (sentido horário)
k=1
µ( AM ) = 2/32 = 4/3
k=2
µ( AM ) = 2/34 = 6/3
k=3
µ( AM ) = 2/36 = 16/3
k=4
...
µ( AM ) = 2/38 = 22/3
...
k=n
µ( AM ) = 2/32n = (26n) /3
Exemplos:
Obter a menor determinação, o quadrante e a
expressão geral dos arcos.
a)
AB = 1690º
Dividimos o arco por 360º
O quociente representa o número de voltas
que o arco descreve sobre a circunferência
trigonométrica.
O resto será a menor determinação.
Menor Determinação: 250º
Quadrante : 3º
Expressão Geral: AB K.360º 250º
b)
AM = 1270º15’40”
Dividimos o arco por 360º
O quociente representa o número de
voltas no sentido negativo sobre o ciclo
trigonométrico.
O resto é um arco negativo, portanto, não
é a menor determinação.
Para obtermos a menor determinação,
adicionamos 360º ao resto obtido.
Menor Determinação: α = 169º44'20"
Quadrante:4º
Expressão Geral: AM = K.360º +169º44'20"
23
rad
3
Dividimos o numerador pelo dobro do valor
do denominador.
O quociente representa o número de voltas
que o arco descreve sobre a circunferência
trigonométrica.
O resto será o numerador da menor
determinação procurada.
5
Menor Determinação: 3
Quadrante : 4º
5
Expressão Geral: AC 2K
3
Exercícios:
10) Obter a menor determinação , o quadrante e a
expressão geral dos arcos dados:¨
175º
R: 2º quadrante
AM = 535º
AM 360º.K 175º
c)
AC =
AC = 430º
290º
R: 4º quadrante
AM 360º.K 290º
59º 37"
AR = 1079º23” R: 1º quadrante
AM 360º.K 59º 37"
AB =
26
rad
5
6
5 . rad
R: 3º quadrante
6
AP 2.K. . rad
5
11 rad
43
rad R: 1º quadrante
AP =
11
AP 2.K. rad
11
6
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1.13 Arcos Côngruos
Dois arcos trigonométricos são ditos côngruos,
quando a diferença entre eles é um número múltiplo
de 360º. Assim é que sendo x e y dois arcos
trigonométricos, eles serão côngruos se e somente se:
x y = k . 360º , onde k é um número inteiro.
Portanto, para descobrir se dois arcos são côngruos,
basta verificar se a diferença entre eles é um múltiplo
de 360º (ou 2 radianos, pois 2 rad = 360º).
7
1.14 Arcos de mesma origem, simétricos em relação
ao eixo OX
Sejam AM e AM ' arcos no círculo trigonométrico,
com A=( 1, 0 ) e os pontos M e M' simétricos em relação
ao eixo horizontal OX.
Se a medida do arco AM é igual a m, então a medida do
arco AM ' é dada por: µ( AM ' ) = 2m.
Obs. Arcos de uma mesma família são côngruos.
Exemplo:
Os arcos 2780º e 1700º, são côngruos, pois:
2780º 1700º = 1080º e
1080º é divisível por 360º (1080º / 360º = 3).
Exercício resolvido:
Quantos são os valores de m compreendidos entre 30
e 40, que tornam côngruos os arcos de medidas
(4m+10).180º e (3m2).180º ?
Solução:
Pela definição de arcos côngruos dada, deveremos ter:
(4m+10).180º (3m2).180º = k . 360º, com k.
720m + 1800 [540m 360] = k . 360
720m + 1800 540m + 360 = k . 360
180m + 2160 = k . 360
180m = k . 360 2160
m = 2k 12
1.15
Arcos de mesma origem, simétricos em
relação ao eixo OY
Sejam AM e AM ' arcos no círculo trigonométrico,
com A = ( 1 ,0 ) e os pontos M e M' simétricos em
relação ao eixo vertical OY. Se a medida do arco AM
for igual a m, então a medida do arco AM ' será dada
pela expressão µ( AM ' ) = m.
Mas, pelo enunciado, temos 30 < m < 40. Logo:
30 < 2k 12 < 40
42 < 2k < 52
21 < k < 26 k = 22, 23, 24 ou 25.
Existem 4 valores possíveis para k e, portanto, também
4 valores possíveis para m, já que m = 2k 12.
Portanto:
m = 32, 34, 36 e 38.
Exercícios:
11) Testes: Verdadeiro Falso
a) Os arcos de 4200º e 3480º são côngruos
b) Os arcos de ( 420º ) e 300º são côngruos.
c) O arco de 10.002º pertence ao segundo
quadrante.
d) O arco de ( 200º) pertence ao segundo
quadrante.
R: Verdadeiro: a, b e d.
1.16
Arcos com a mesma origem e extremidades
simétricas em relação à origem
Sejam AM e AM ' arcos no círculo trigonométrico,
com A=( 1 ,0 ) e os pontos M e M' simétricos em
relação a origem (0,0). Se a medida do arco AM é igual
a m, então a medida do arco AM ' é dada por: µ( AM ' )
= +m.
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1.17 Funções circulares
As funções circulares constituem o objeto
fundamental da trigonometria circular e são
importantes devido à sua periodicidade pois elas
podem representar fenômenos naturais periódicos,
como as variações da temperatura terrestre, o
comportamento ondulatório do som, a
pressão
sanguínea no coração, os níveis de água dos oceanos,
etc.
1.18 Função periódica
Dizemos que uma função f(x) é periódica se existe
um número real T 0 tal que f ( x + T ) = f ( x )
para todo x Dom (f ).
O número T é chamado período da função f(x).
O gráfico de uma função periódica se repete a cada
intervalo de comprimento T.
Exemplos de gráficos de funções periódicas são
observadas nas Figuras abaixo:
8
1.20 Função par
Uma função f é uma função par, se para todo x do
domínio de f:
f(x) = f(x)
Funções pares são simétricas em relação ao eixo vertical
OY.
Exemplo:
A função f(x) = x 2 , pois: f (x) x x 2
2
1.21 Função ímpar:
Uma função f é uma função ímpar, se para todo x do
domínio de f:
f(x) = f(x)
Funções ímpares são simétricas em relação à origem
(0,0) do sistema de eixos cartesiano.
Exemplo:
A função f(x) = x é uma função par, pois f(x) = x =
f(x).
1.22 Função seno
Definição: Chamamos de função seno , a função
f : que, a cada número real x, associa o seno
desse número.
f :
f(x) = sen x
A função é denotada por f(x) = sen(x) ou y = sen(x).
Gráfico: O gráfico da função f(x) = sen x, denomina-se
senóide. Para construir o gráfico da função, atribuímos
valores para x e encontramos f(x). Segue uma tabela
com valores de f no intervalo [0,2].
1.19 Função limitada
Uma função f de domínio A contido em R é limitada,
se existe um número real positivo L, tal que para todo
x em A, valem as desigualdades:
L < f ( x ) < L
Esta última expressão pode ser escrita como:
| f(x) | < L.
x
0
y = senx
0
1
2
3
2
0
-1
2
0
Na figura, o segmento Oy' que mede sen(x), é a projeção
do segmento OM sobre o eixo OY.
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x
0
2
3
2
2
onde:
Dom:
Im: 1, 1
P = 2 rad
senx
0
1
2senx
0
2
0
1
0
2
0
0
( A função seno é periódica, pois:
sen ( x+ 2) = sen x.)
] [ 3
2
2
3
[ , ]
2 2
Crescente: [ 0,
Decrescente:
9
O gráfico desta função está apresentado na figura
abaixo, onde comparamos o comportamento da função
f(x)= 2sen x, com a função f(x) = sen x.
,2]
Limitada: 1 < sen x < 1
Ímpar : sen(x) = sen(x)
Para todo x em R e para todo k em Z:
sen(x) = sen(x+2) = sen(x+4) =...= sen(x+2k)
Completamos o gráfico da função seno, repetindo os
valores da tabela em cada intervalo de medida 2,
teremos:
onde:
Dom:
Im: 2, 2
P = 2 rad
Crescente: [ , 3 ]
2
2
Decrescente: [ 0,
Sinal:
2 ,
3 3
, 2 2 , 2
Intervalo
0, 2
Função
seno
positiva positiva negativa negativa
Exercícios Resolvidos:
01) Construa o gráfico da função f(x) = 2 sen x,
dando o domínio,
imagem, intervalos de
crescimento, decrescimento e o período.
Resolução:
Observe a tabela abaixo, onde atribuímos valores
para x e encontramos f(x).
]
2
[ 3 ,2]
2
Obs. A função f(x) = 2 sen x modifica sua amplitude
em relação à função f(x) = senx.
02) Construa o gráfico da função f(x) = sen x ,
2
dando o domínio, imagem, intervalos de
crescimento, decrescimento e o período.
Resolução:
Fazendo x
txt
2
2
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Observe a tabela abaixo,onde atribuímos valores para
x e encontramos f(x).
x t
2
2
3
2
2
5
2
t
y = sen t
0
0
2
1
13) Construir os gráficos e dar o domínio, imagem e o
período das função:
x
a)f (x) sen
2
b) f (x) 2 sen x
c)f (x) senx
d)f (x) 2 sen(2x )
0
Respostas:
3
2
1
E-15:
a)
2
1
O gráfico desta função está apresentado na figura
abaixo, onde comparamos o comportamento da
função f(x)= sen x com a função f(x) = sen x.
2
b)
c)
onde:
Dom:
Im: 1,1
P = 2 rad
Crescente: [
,]
2
[2 ,
Decrescente: [ , 2 ]
5
]
2
Exercícios:
12) O gráfico abaixo corresponde à função:
d)
R: f(x)=2.senx
10
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11
1.23 Aplicações da Função Seno na Eletrotécnica.
Função Genérica da Corrente
i(t ) A B sen( t )
onde o ângulo de fase é
Exemplo:
Na equação:
i(t ) 2,5 sen(500t ) com 0 t 4ms
Determine:
a) o gráfico
b) o domínio e a imagem
c) o valor máximo e mínimo da corrente
d) em que tempo teremos o valor máximo e em
que tempo teremos o valor mínimo
e) os valores do tempo que fazem com que a
corrente seja nula.
f) O período ( T)
g) A freqüência ( f )
h) O ângulo de fase quando tiver.
1.24 Função Cosseno
onde:
Dom:
Im: 1, 1
P = 2 rad
( A função cosseno é periódica, pois:
cos ( x + 2) = cos x.)
Crescente: , 2
Decrescente: 0,
Limitada: 1 < cos x < 1
Par : cos (x) = cos x
Completamos o gráfico da função cosseno, repetindo os
valores da tabela em cada intervalo de medida 2,
teremos:
Definição: Chamamos de função cosseno , a função
f : que, a cada número real x, associa o
cosseno desse número.
f :
f(x) = cos x
A função é denotada por f(x) = cos(x) ou y = cos(x).
Gráfico: O gráfico da função f(x) = cos x ,
denomina-se cossenóide. Para construir o gráfico da
função, atribuímos valores para x e encontramos f(x),
conforme a tabela abaixo.
x
0
2
3
2
2
y = cos x
1
0
Sinal:
Intervalo 0,
2
2 ,
3 3
, 2 2 , 2
Função
positiva negativa negativa positiva
cosseno
1
0
1
Na figura, o segmento Ox, que mede cos(x), é a
projeção do segmento OM sobre o eixo horizontal
OX.
Exercício Resolvido:
03) Construa o gráfico da função f(x) = 1+ cos x,
dando o domínio, imagem e o período.
Resolução:
Observe a tabela, onde atribuímos valores para x e
encontramos f(x).
Prof. Me. Armando Paulo da Silva – UTFPR – Campus Cornélio Procópio – Coordenação da Matemática
x
0
2
3
2
2
cos x
1
0
1+cos x
2
1
1
0
0
1
1
2
x
t
0
0
2
3
4
O gráfico desta função está apresentado na figura
abaixo, onde comparamos o comportamento da
função f(x)= 1+cos x com a função f(x) =cos x.
onde:
Dom:
Im: [ 0, 2 ]
P = 2 rad
Crescente: , 2
cos
x
2
1
0
1
0
1
O gráfico desta função está apresentado na figura
abaixo, onde comparamos o comportamento da função
x
f(x) = cos x com a função f(x) = cos .
2
RESUMINDO
Considerando as funções:
y = a + b sen ( mx + n )
Decrescente: 0,
y = a + b cos ( mx + n ).
Obs. A função f(x) = 1 + cos x desloca-se em 1
unidade no eixo y em relação ao gráfico da função
f(x)= cos x.
04) Construa o gráfico da função f(x) = cos
2
3
2
2
12
x
,
2
Temos:
Dom:
C.D:
Im: a b, a b , b> 0
2
rad
P=
m
dando o domínio, imagem e o período.
Exercícios:
Resolução:
x
Fazendo
t x 2t
2
Observe a tabela, onde atribuímos valores para x e
encontramos f(x).
14) Construir os gráficos e dar o domínio, imagem e o
período das função:
a) y = cos x
b) y = cos 2x
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c) y = 1+2 cos x
13
números reais diferentes destes valores, conforme a
tabela abaixo.
Respostas:
a)
x
0
2
3
2
2
y = tan x
0
0
0
b)
Na figura, o segmento AT , mede tg(x).
c)
onde:
1.25 Função tangente
Definição: Chama-se função tangente aquela que
associa a todo x
real, x k , o número
2
real y = tan x.
A função é denotada por f(x) = tan x ou y = tg x.
Gráfico: O gráfico da função tangente é chamado de
tangentóide, para construir o gráfico da função,
atribuímos valores para x e encontramos f(x). Como a
tangente não existe para arcos da forma: k onde
2
k Z, estaremos considerando o conjunto dos
Dom: x / x k
2
Im:
P = rad ( A função tangente é periódica, pois:
tg ( x + ) = tg x.)
Sempre Crescente.
Limitação: A função tangente não é limitada
A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a
tangente está definida, temse que:
tg(x)= tg (x)
Obs1. Para os arcos da forma K
a função
2
tangente não é definida, apresentando nesses pontos
assíntotas verticais.
Obs2. Na figura anterior, temos que:
tg AM = tg x = AT
pela semelhança dos triângulos retângulos ONM e OAT,
assim:
AT NM
mas, AT tgx ,
OA ON
OA r 1 ,
NM senx e
OQ cos x
Prof. Me. Armando Paulo da Silva – UTFPR – Campus Cornélio Procópio – Coordenação da Matemática
tgx senx
, teremos:
1
cos x
senx
, onde x K
tgx
cos x
2
2
Substituindo na expressão
14
Na figura, o segmento BS , mede cotg(x).
Completamos o gráfico da função tangente, repetindo
os valores da tabela na mesma ordem em que se
apresentam, teremos:
Sinal:
Intervalo [0, /2] [/2, ] [,3/2] [3/2,2]
Função
positiva negativa positiva negativa
tangente
1.26 Função cotangente
Definição: Chama-se função cotangente aquela que
associa a todo x real, x k, o número real
y = cot x.
onde:
Dom: x / x k
Im:
P = rad ( A função tangente é periódica, pois:
cotg ( x + ) = cotg x.)
Sempre Decrescente.
Limitação: A função tangente não é limitada.
A função tangente é ímpar, pois para todo x real onde a
tangente está definida, temse que:
cotg(x)= cotg (x)
Obs1. Para os arcos da forma K a função tangente
não é definida, apresentando nesses pontos assíntotas
verticais.
Obs 2. Por analogia ao que foi feito na tangente,
cos x
1
podemos mostrar que cot x
senx tgx
Completamos o gráfico da função cotangente, repetindo
os valores da tabela na mesma ordem em que se
apresentam, teremos:
A função é denotada por f(x) = cotg x ou y = cot x.
Gráfico: O gráfico da função cotangente é chamado
de cotangentóide, para construir o gráfico da função,
atribuímos valores para x e encontramos f(x). Como a
cotangente não existe para arcos da forma: k , onde
kZ, estaremos considerando o conjunto dos números
reais diferentes destes valores, conforme a tabela
abaixo.
x
0
2
3
2
y = cot x
0
0
Sinal:
Intervalo [0, /2] [/2, ] [,3/2] [3/2,2]
Função
positiva negativa positiva negativa
tangente
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Crescente: 0,
1.27 Função Secante
Definição: Chama-se função secante aquela que
associa a todo x
real, x k , o número
2
real y = sec x.
A função é denotada por f(x) = sec x ou y = sc(x)
Gráfico:
Para construir o gráfico da função,
atribuímos valores para x e encontramos f(x). Como a
secante não existe para arcos da forma: k onde
2
kZ, estaremos considerando o conjunto dos números
reais diferentes destes valores, conforme a tabela
abaixo.
x
0
4
y = sec x
1
2
2
3
4
5
4
2
3
2
7
4
2
15
Decrescente: , 2
Limitação: A função secante não é limitada
A função secante é par, pois para todo x real onde a
secante está definida, temse que: séc x= sec (x)
Obs1. Para os arcos da forma K a função secante
2
não é definida, apresentando nesses pontos assíntotas
verticais.
Obs 2. Por analogia ao que foi feito na tangente,
1
podemos mostrar que sec x
cos x
Completamos o gráfico da função secante, repetindo os
valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam,
teremos:
1
2
2
1
Sinal:
Intervalo [0, /2] [/2, ] [,3/2] [3/2,2]
Função
secante
positiva negativa negativa positiva
Gráfico: O segmento OV mede sec(x).
1.28 Função Cossecante
Definição: Chama-se função cosssecante aquela que
associa a todo x real, x k , o número real
y = cossec x.
A função é denotada por f(x) = cossec x ou y = csc(x)
onde:
Dom: x / x k
2
Im: , 1 1,
P = 2 rad
Gráfico: Para construir o gráfico da função, atribuímos
valores para x e encontramos f(x). Como a secante não
existe para arcos da forma: k onde k Z, estaremos
considerando o conjunto dos números reais diferentes
destes valores, conforme a tabela abaixo.
Prof. Me. Armando Paulo da Silva – UTFPR – Campus Cornélio Procópio – Coordenação da Matemática
x
0
4
2
3
4
5
4
3
2
7
4
2
y =cossec x
2
Completamos o gráfico da função secante, repetindo os
valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam,
teremos:
1
2
2
1
2
Sinal:
Intervalo
Gráfico: O segmento OB mede cossec(x).
[0, /2] [/2, ] [,3/2] [3/2,2]
Função
positiva positiva negativa negativa
cossecante
1.29 Resumo de Trigonometria
Quanto ao Domínio
Função seno e cosseno
Dom f =
onde:
Dom: x / x k
Im: , 1 1,
P = 2 rad
3
Crescente: , ,
2 2
3
Decrescente: 0, , 2
2 2
Limitação: A função cossecante não é limitada.
A função cossecante é ímpar, pois para todo x real
onde a cossecante está definida, temse que:
cossec(x) = cosses (x)
Obs1. Para os arcos da forma K a função
cossecante não é definida, apresentando nesses pontos
assíntotas verticais.
Obs 2. Por analogia ao que foi feito na cotangente,
1
podemos mostrar que cossec x
sen x
16
Função tangente e secante
Dom f= { x / x
K }
2
Função cotangente e cossecante
Dom f= { x / x K }
Quanto ao Período
Função seno, cosseno, secante e cossecante:
P = 2
Função tangente e cotangente:
P=
Exercícios:
17) Determine o domínio das funções abaixo:
a) y 2tg 2x
3
x 3
b) y = 1 cossec
3 2
c) y = 3 + sec 2x
6
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5x
d) y 3 2cot
45º
2
Exercícios
19) Calcular o valor de cada expressão:
a) y
y 2 sec 2x 140º
e)
b) y =
k 5
/x
2 12
k
b) D x / x
2 6
k 5
c) D x / x
2 12
d) D x / x 72k 18º
R: a) D x
e) D x
17
c) y =
3tg30º 2sen60º 9sec2 30º
tg45º sec60º 5cos60º
sen 2 45º 3tg30º 3cot 60º
3cos2 45º cot 2 30º cos60º
2tg45º 6cos2 30º 5sec60
sec2 30º 4sen45º 2cosses45º
3tg 6cos 2
6
4
4
d) y =
2
2
4cot
9cot
sec
4
3
4
4sec2
/ x 90k 2
18) Determinar o período das funções abaixo, sem
construir tabelas ou gráficos:
x
y = 4 cos
8
4
y = 6 + sen
2x
3
y = 5 tg 7x
4
R: a) p = 16 rad
b) p = rad
c) p = rad
7
R: a) y = 24
b) y = 1 / 2
c) y = 25 / 8
16 16 2
d) y =
3
1.31 Relações Trigonométricas Fundamentais
Seja a figura:
v
M
P
1.30 Valores
Especiais
Trigonométricas
de
Funções
x
0
Q
u
º rad
0º
0
0
1
0
-
1
30º
2
45º
1
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo
OQM, temos:
1
QM OQ OM
2
60º
90º
2
1
0
-
0
-
1
2
2
como:
QM OP senx
OQ cos x
OM r 1 , temos a relação trigonométrica fundamental
nº 01:
sen2x + cos2x = 1
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Dividindo a relação fundamental nº 01 por sen2(x) e
por cos2(x) e aplicando os conceitos de tangente,
cotangente, secante e cossecante, teremos outras duas
relações fundamentais, a saber:
tg2x + 1 = sec2x
e
cotg2x + 1 = cosec2x
Exemplos:
01) Simplifique a expressão:
cossec x senx
cot gx sec x
Solução:
Utilizando os conceitos vistos, temos:
1
1 sen 2 x
senx
senx
senx 1 sen 2 x cos 2 x
cos x 1
1
.
senx cos x
senx
2cosx + 1
Escrevendo tudo em função de cosx, lembrando que
sen2x = 1 cos2x, vem:
y = m(1 cos2x) mcos2x (1 cos2x) + cos2x +
2cos2x + mcosx 2cosx + 1
y = m mcos2x mcos2x 1 + cos2x + cos2x + 2cos2x
+ mcosx 2cosx + 1
Simplificando os termos semelhantes, fica:
y = m + (4 2m)cos2x + (m 2)cosx
Para que a expressão acima seja independente de x,
deveremos ter necessariamente 4 2m = 0 e m 2 = 0
portanto: m = 2, que é a resposta procurada.
Exercícios:
3
, com
5
demais funções.
20) Dado sen x
Como y = senx e , temos somente um dos valores
acima satisfazendo
o problema,
ou seja:
5 1
senx
, que é a resposta procurada.
2
x ,
2
3
4
calcule as
5
3
R.: cos x 4 ; tgx ; sec x 5 ; csc x ; cot x 4
5
02) Sendo x um arco tal que cos x = tgx , calcule
senx.
Solução:
senx
Sabemos que tgx =
cos x
Substituindo tgx por cosx (dado do problema), vem:
senx
cosx =
donde vem: cos2x = senx.
cos x
Mas, cos2x = 1 sen2x .
Substituindo, fica: 1 sen2x = senx.
Daí, vem: sen2x + senx 1 = 0
Fazendo senx = y e substituindo: y2 + y 1 = 0.
Resolvendo esta equação do 2º grau, fica:
18
4
3
x , calcule tgx e senx.
2
2
R.: tgx 1 e senx=
2
21) Sendo sec x 2 e
22) Sendo cot a = 3 e a
y
seca cosseca
cosseca cosa
3
,calcule o valor de :
2
1
R.: y
3
23) Sendo 32sen 2 x 16cos2 x 25 , calcule o valor do
3
senx.
R.: y senx
4
24) Calcule m, de modo que se tenha simultaneamente:
m2
5m
senx
e cos x
.
R.: m =2
2
8
03) Para que valor de m a expressão:
y = (m 1)(sen4x cos4x) + 2cos2x + m.cosx
2.cosx + 1 é independente de x?
Solução:
25) Para
que
valor
de
m
a
expressão:
4
4
2
y = m(sen x cos x) + 2cos x 1 + m é
independente de x?
R.: m=1
Podemos escrever:
y = (m 1)[(sen2x cos2x)(sen2x + cos2x)] + 2cos2x +
mcosx 2cosx + 1
Como sen2x + cos2x = 1, substituindo, fica:
y = (m1)(sen2x cos2x) +2cos2x + mcosx 2cosx +1
y = msen2x mcos2x sen2x + cos2x + 2cos2x +
mcosx
1.32 Identidades Trigonométricas
Uma igualdade entre expressões trigonométricas é chamada
Identidade, quando a igualdade é satisfeita para todos os
valores que pertencem aos domínios das funções que
envolvem.
Para provarmos uma identidade
podemos proceder de duas maneiras:
trigonométrica,
Prof. Me. Armando Paulo da Silva – UTFPR – Campus Cornélio Procópio – Coordenação da Matemática
19
Tomando um dos membros (geralmente o mais
“complicado”) transformando-o no outro.
Tomando os dois membros e transformando
simultaneamente em expressões iguais.
Exemplo 47
cos (x 90º) = cosx . cos90º + senx .
sen90º
Exemplo 48
como cos90º = 0 e sen90º = 1,
substituindo, vem:
cos(x 90º) = senx.
Exemplos: Provar as identidades:
Se fizermos a = 0º na fórmula do cosseno da diferença,
teremos:
cos(0 b) = cos0 . cosb + sen0 . senb
e como sabemos que cos0 = 1 e sen0 = 0, substituindo, fica:
cos( b) = cosb
a)
cos4 x sen 4 x 2sen 2 x 1
b)
1 tgx 2 1 tgx 2 2sec2 x
c)
tgx senx
sen3x
sec x
1 cos x
03) Sabendo-se que sen x =
1.33 Operações com Arcos
Conhecidas as linhas trigonométricas dos arcos a e b,
determinaremos as funções circulares dos arcos da
a
forma a + b, a b, 2.a e .
2
Fórmulas de Adição e Subtração de arcos
Exemplo 29
a)
sen(a b) sen a.cosb sen b.cosa
Exemplo 30
b)
sen(a b) sen a.cosb sen b.cosa
Exemplo 31
c)
cos(a b) cosa.cosb sen a.sen b
Exemplo 32
d)
cos(a b) cosa.cosb sen a.sen b
tga tgb
Exemplo 33
e) tg(a b)
1 tga.tgb
tga tgb
Exemplo 34
f) tg(a b)
1 tga.tgb
Exemplo 35
Exemplo 36
Obs. Nota: nas duas fórmulas da
tangente, sempre leve em conta a absoluta
impossibilidade da divisão por zero!
Exemplo 37
Exemplo 42
Solução:
Pela expressão e, temos:
8 4
8 20
tgx tgy
15 3
tg( x + y) =
=
= 15
32
8
4
1 tgx.tgy
1 . 1
45
15 3
12 45
tg( x+ y) = .
15 77
36
tg( x+ y) =
77
Exercícios:
26) Simplificar as expressões abaixo:
cos(a b) cos(a b)
a) y
sen(a b) sen(a b)
b) y
c) y
senb.cos(a b) sen(a b)
sen(a 60º ) sen(a 60º )
sen 2 (a b) 2.senb.cos a.sen(a b)
sen(a b).sen(a b)
R: a) cotg a; b) 1; c) 1
Exemplos:
Exemplo 38
Exemplo 39
Exemplo 40
Exemplo 41
30º
y , calcular tg(x+y):
2
8
3
, cos y = , 0 x
e
5
2
17
01) Calcular sen 75º.
Solução:
Sen 75º = sen (30º+45)
= sen30º. cos 45º+sen45º.cos
=
1 2
2 3
=
.
.
2 2
2 2
2 6
4
Exemplo 43
Exemplo 44
02) Determine cos (x 90º)
Exemplo 45
Solução:
Exemplo 46
Aplicando a equação d, temos:
27) Calcule tg (a b). Sabendo-se que
3
secb 2 e b ,
2
cot a =2,
R:
1
3
28) Calcular sen a, sabendo-se que a + b = 150º,
3
7 3 3
R:
sen.b e b .
4
2
8
3
13
29) Achar a sec( ab), dados tg a = ,cossec b = ,
4
12
3 3
65
a
b 2.
e
R:
2
2
33
Prof. Me. Armando Paulo da Silva – UTFPR – Campus Cornélio Procópio – Coordenação da Matemática
30) Simplificar
a
seguinte
y = cos(x 90º) cos(x 270º).
expressão:
R: 2senx
31) Calcule:
b) tg 75º
6 2
4
R: 2 3
c) sen 105º
R:
a)cos 15º
R:
32) Sabendo que cos a
0a
6 2
4
12
, a + b = 120º e
13
, calcule o cos b.
2
R:
12 5 3
26
ARCO METADE
Vamos agora achar as funções trigonométricas da
metade de um arco, partindo das anteriores.
Cosseno do arco metade: Sabemos que:
cos2a = cos2a sen2a
Substituindo sen2a, por: 1 cos2a e sen2a + cos2a por 1,
vem:
cos2a = 2.cos2a 1, isolando cos2 a :
cos2a = (1+cos2a) / 2
Fazendo a = x/2, vem, cos2(x/2) = [1+cosx]/2.
Podemos escrever então a fórmula do cosseno do arco
metade como:
cos x 1 cos x
2
2
Seno do arco metade: De maneira análogo, obtemos o
seno e do arco metade.
sen x 1 cos x
2
2
ARCO DUPLO
Fazendo a = b nas fórmulas da soma, vem:
cos(2a) cos2 a sen 2 a
sen(2a) 2sen a.cosa
2.tga
tg(2a)
1 tg 2a
Obs. A fórmula acima somente é válida para tg a 1
e tg a 1, já que nestes casos o denominador seria
nulo.
EXEMPLOS:
a) sen4x = 2.sen2x.cos2x
b) senx = 2.sen(x/2).cos(x/2)
c) cosx = cos2(x/2) - sen2(x/2)
d) cos4x = cos22x - sen22x
Tangente do arco metade: Dividindo membro a
membro as equações anteriores, lembrando que
tg(x/2) = sen(x/2) / cos(x/2), vem:
tg x 1 cos x
2
1 cos x
Obs: o sinal algébrico de cada expressão, vai depender
do quadrante ao qual pertence o arco x/2.
Exercício resolvido:
Sabendo que sen x =
4
3
x
e <x< , calcular tg .
5
2
2
Resolução:
1º passo: determinar o quadrante de
EXERCÍCIOS:
33) Dado tg x 2 1 , calcule tg 2x .
34) Sendo sen x + cos x =
R:
3
, dividindo todos os termos por 2,
2
x 3
x
temos:
, isto é:
é um arco do 2º quadrante.
2 2 4
2
6
, calcular: sen 2x.
5
e
R:
sen(2a+b) ,
sen b =
253
325
sendo
sen a =
x
:
2
Se <x<
R: 1
11
25
35) Calcular
20
3
5
5
, 0a
e
b.
13
2
2
2º passo: cálculo de cos x:
2
4
cos2 x 1
5
3º passo: cálculo de tg
cos x
x
2
x 2 5
sen
x
2 5 2
tg
2 cos x
5
2
5
3
5
Prof. Me. Armando Paulo da Silva – UTFPR – Campus Cornélio Procópio – Coordenação da Matemática
Exercícios:
3
7
36) Sabendo que tg a=
e
a 2 , calcular
2
3
a
2
R:
sen .
4
2
a
5
37) Calcular cotg
, sabendo que sec a = e
4
2
3
1
.
R:
a
3
2
x
2 3
38) Dada cossec x
e x , calcular tg
2
3
2
R: 3
1.34 Transformação de somas em Produto
Veremos nesta seção transformações de expressões
da forma sen p sen q e cos p cos q, em produto,
cujas fórmulas são de grande importância nas
simplificações
de expressões trigonométricas.
Já sabemos que:
sen(a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a
sen (a b) = sen a . cos b sen b . cos a
p+q
a = 2
a + b = p
Fazendo :
, temos:
a b = q
b = p q
2
21
y 2sen45º.cos(5º ) , como cos (a) = cos a, temos
y 2sen45º.cos5º
02) cos 30º + cos 10º = 2.cos20º.cos10º
03) cos 60º +cos40° = 2.sen50º.sen10º
04) sen70º sen 30º = 2 sen20°.cos 50º
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
01) Se sen3x + senx = cos3x + cosx, então
tg2x é igual a:
Solução:
Usando as fórmulas de transformação em produto,
teremos:
3x x
3x x
3x x
3x x
2.sen
.cos
2cos
.cos
2
2
2
2
2.sen2x.cosx = 2.cos2x.cosx.Simplificando:
sen2x
sen2x = cos2x e, portanto,
1 tg2x =1.
cos 2x
02) Determine o período da função:
y = sen20x.cos10x + sen10x.cos20x.
Solução:
Sabemos que sena.cosb + senb.cosa = sen (a + b).
Logo,
y = sen20x.cos10x+sen10x.cos20x = sen(20x+10x)
= sen30x
Somando membro a membro estas igualdades,
obteremos:
sen(a + b)+ sen(a b) = 2.sen a . cos b. Daí:
pq
pq
.cos
2
2
Analogamente, obteríamos as seguintes fórmulas:
Portanto, a função dada é equivalente a y = sen30x.
Como, o período de uma função da forma y = senbx é
dado por T = 2 / b.
O período da função dada será: T = 2 / 30 = /15 rd.
senp senq 2sen
pq
pq
.cos
2
2
pq
pq
cos p cosq 2cos
.cos
2
2
pq
pq
cos p cosq 2sen
.sen
2
2
senp senq 2sen
Exemplos:
01) Transformar em produto a expressão:
y = sen50º + sen40º
Solução:
y 2sen
50º 40º
40º 50º
.cos
2
2
03) Qual o valor máximo da função y = f(x) definida
100
por: y
100 cos x.cos 4x senx.sen4x
Solução:
Sabemos que:
cosx.cos4x senx.sen4x = cos(x + 4x) = cos5x
100
Portanto, podemos escrever: y
100 cos5x
Para que y seja máximo, devemos ter 100+cos5x sendo
o mínimo, e isto só ocorrerá quando cos5x =1.
Logo, o valor máximo da função será:
100
100
y
.
100 1 99
Prof. Me. Armando Paulo da Silva – UTFPR – Campus Cornélio Procópio – Coordenação da Matemática
04) Seja dada a função y = f(x), definida por:
cos x.cos13x
. Nestas condições, pedese
y
cos3x cos5x
calcular o valor de y = f( /17).
Solução:
Vamos transformar em produto o denominador da
função:
cos x.cos13x
cos13x
y
2.cos 4x.cos x 2.cos 4x
mas, cos13x = cos(17x 4x)
= cos17x.cos4x + sen17x.sen4x.
Como x = /17, vem imediatamente que 17x = .
Logo, substituindo vem:
cos13x = cos .cos4x + sen .sen4x
= 1.cos4x + 0.sen4x
= cos4x
Já que cos13x = cos4x , para x = /17, substituindo,
vem finalmente:
y = cos4x / (2.cos4x) = 1/2.
Quase todas as equações trigonométricas, quando
convenientemente tratadas e transformadas, podem ser
reduzidas a pelo menos uma das três equações seguintes:
a) sen x = a
b) cos x = a
c) tg x = a
Estas são as equações trigonométricas elementares ou
equações trigonométricas fundamentais As soluções
destas equações podem ser resumidas no seguinte
quadro:
x 360º.k m1
a)senx a
para 1 a 1
x 360º.k m 2
b)cos x a x 360º.k m
c)tgx a
Exercícios:
39) Transformar em produto:
sen28º sen52º
tg20º + tg60º
2senx + sen2x
sen5a + sena + sen9a sen3a
R: a) 2sen12ºcos40º
2sen80º
b)
cos 20º
x
c) 4senx cos 2
2
d) 4sen3a.cos4a.cos2a
1.35 Equações trigonométricas
Toda igualdade que possui uma ou mais funções
trigonométricas em pelo menos um dos membros,
recebe o nome de equações trigonométricas.
Exemplos:
3
01) sen x + cos x =
e sen 2x = cos2 x são
4
equações trigonométricas.
3
02) x + ( tg 30º) = x2 e x + sen 60º =
, não são
2
equações trigonométricas.
Resolver uma equação trigonométrica consite em
determinar os valores dos arcos que verificam a
equação.
Dizemos que r é uma raiz ou solução da equação
trigonométrica f(x) = g(x) se r for elemento do
domínio de f e g e se f(r) = g(r) for verdadeira.
Equações Trigonométricas Fundamentais
22
para 1 a 1
x 180º.k m
graficamente:
a)
b)
c)
Exemplos:
01) senx =1
Solução:
O arco AM cujo seno é igual a 1 vale 90º, então:
S x / x k.360º 90º
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02) cossesc x = 2
Solução:
1
2
AM = 30º ( 1º Q) ou AM = 150º ( 2º Q), então:
Se cosse x = 2 então senx =
S x / x k.360º 30º ou x / x k.360º 150º
03) cox = 1
Solução:
AM = 180º, então:
S x / x k.360º 180º
cuja solução é:
2
2
AM = 135º ( 2º Q) ou AM = 225º = 135º ( 4º Q),
então:
S x / x k.360º 135º
Se sec x = 2 então cosx =
05) tg x= 3
Solução:
AM = 120º ( 2º Q) ou AM = 300º = ( 4º Q), então:
S x / x k.180º 120º
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS REDUTÍVEIS
ÀS FUNDAMENTAIS
Existem equações que podem ser reduzidas às
fundamentais, via de regra, qualquer equação
trigonométrica não elementar, pode ser transformada numa
equação elementar, através do uso das relações
trigonométricas usuais, vejamos um exemplo:
seguintes
equações
Solução:
Lembrando que secx = 1/cosx, vem, por substituição:
2.cosx – 3.(1/cosx) – 5 = 0
2.cosx – 3/cosx – 5 = 0
Tirando o mmc:
2.cos2x – 3 – 5.cosx = 0
Arrumando
convenientemente,
teremos:
2.cos2x – 5.cosx – 3 = 0.
Fazendo a substituição trigonométrica y = cosx,
teremos a equação do segundo grau:
2y2 5y 3 0
04) sec x = 2
Solução:
Exemplos:
Resolva as
abaixo:
trigonométricas
01) sen 2 x 3cos x 3 0
Solução:
Colocando a equação em função de cosx, temos:
1 cos2 x 3cos x 3 cos2 x 3cos x 2 0 ,
(5) (5)2 4.2.(3) 5 49 5 7
y
2.2
4
4
Assim y = 3 ou y= 1/2.
Como y = cosx, a equação cosx = 3 não possui solução,
pois o cosseno só pode assumir valores de 1,1 .
Já para a equação cosx = 1/2, teremos:
AM = 120º ( 2º Q) ou AM = 240º = 120º ( 3º Q),
então:
S x / x k.360º 120º ou em radianos:
2
S x / x 2k.
3
03) TG X + COTG X = 2
Solução:
Substituindo tg x e cotg x pelos seus valores expressos
senx cos x
em função de sen x e cosx, vem:
2
cos x senx
Efetuando a operação indicada no primeiro membro:
(sen 2 x + cos 2 x)
= 2 , como sen2x + cos2x = 1, fica:
(senx.cosx)
1
2
senx.cos x
1 = 2.senx.cosx = sen2x sen2x = 1
O arco AM cujo seno é igual a 1 vale 90º, então:
2x = k.360º+90º e portanto
S x / x k.180º 45º
fazendo a mudança de variável y = cos x, temos, a
equação do 2º grau:
y2 3y 2 0 , cuja solução é: y = 1 ou y = 2,
assim recaímos nas equações fundamentais: cos x = 1
ou cos x = 2 (impossível), logo:
S x / x k.360º
02)2cosx – 3secx = 5
23
Exercícios:
40) Resolver as equações trigonométricas abaixo:
sen x = 1
tg x = 0
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24
cossec x = 2
2 sec ( x+ 20º) = 4
sen x 1
6
R: a) S x
/ x k.360º 270º
b) S x
/ x k.180º
c) S x
/ x k.120º 50º
d) S x / x k.360º 225º ou x k.360º 315º
e) S x / x k.360º 80º ou x k.360º 40º
f) S x
/ x 2k.
2
3
41) Resolver as equações trigonométricas:
a) 2sen 2 x 3senx 1 0
A função inversa de f, denominada arco seno de x,
definida por f1:[1,1] [/2,/2] é denotada por
f1(x) = arcsen(x).
Lê-se: “ o arco cujo seno é x”
Gráfico da função arcoseno: o gráfico da inversa é
simétrico do gráfico de y = senx em relação à bissetriz
do 1º e 3º quadrantes.
b) 3tg 2 x 5 7sec x
c) cos2 3x 2sen 2 3x 2
5
d) sen 4 x cos4 x
8
a ) S x / x k.360º 90º ou
R:
x
x
/ x k.360º 30º ou
/ x k.360º 150º
b) S x
/ x k.360º 60º
c) S x
/ x k.60º 30º
d) S x
/ x k.90º 30º
1.36 Funções circulares inversas
Sabemos que uma função f de domínio D possui inversa
Função arcocosseno
Seja a função g(x) = cos x, com domínio [0,] e
imagem [1,1]. De modo análogo ao estudo da função
seno, podemos definir a função de f, denominada arco
cosseno de x, definida por g1:[1,1] ] [0,] e
denotada por: g1(x) = arccos(x).
somente se f for bijetora. As funções circulares, conforme
definidas, não são bijetoras,
mas podemos tomar
Lê-se: “ o arco cujo cosseno é x”.
subconjuntos desses domínios para gerar novas
função que possuam inversas.
Gráfico da função arcocosseno:
Exemplo:
A função f(x) = sen x não é bijetora em seu domínio
de definição que é o conjunto dos números reais, pois
para um valor de y correspondem infinitos valores de
x, isto quer dizer que não podemos definir a inversa
de sen(x) em seu domínio. Devemos então restringir o
domínio para um subconjunto dos números reais onde
a função é bijetora.
FUNÇÃO ARCOSENO
Consideremos a função f(x) = sen x, com domínio no
intervalo [/2,/2] e imagem no intervalo [1,1].
Função arcotangente
Dada a função f(x) = tan(x), com domínio (/2,/2) e
imagem em R, a função inversa de f, denominada
arcotangente é definida por f1:R (/2,/2) e
denotada por: f1(x) = arctan(x)
Lê-se: “ o arco cuja tangente é x”.
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Gráfico da função arcotangente:
Função arcocotangente
Dada a função f(x) = cotg x, com domínio (0,) e
imagem em R, a função inversa de f, denominada
arcocotangente é definida por f1:R] (0,) e
denotada por: f1(x) = arccot(x)
Lê-se: “ o arco cuja cotangente é x”.
Gráfico da função arcocotangente:
Exemplos:
01) Calcular arc tg 3
SOLUÇÃO:
arc tg 3
tg 3 e
2
2
3
1
02) Calcular y tg arc.sen
2
Solução:
1
arc sen
2
1
sen e
2
2
2
6
3
Como y = tg y tg y
3
6
03) Achar o domínio e o conjunto imagem da função
y = arc sen ( 4x 3)
solução:
25
y = arc sen ( 4x 3) seny 4x 3 e
y
2
2
1 seny 1 1 4x 3 1
2 4x 4
1
x 1
2
Logo,
1
D x / x 1 e Im `y / y
2
2
2
Exercícios:
42) Calcular nos seguintes casos:
1
a) arc sen
2
3
b) arc cos
2
c) arc tg 3
d) 2arc tg 3
5
R: a) ; b)
; c)
d)
2
6
6
3
43) Calcular o valor de y para:
1
a) y cos arc sen
3
5
b) y tg arc cos
13
3
c) y tg arc sen
5
12
3
2 2
R:a)
; b)
c)
4
5
3
44) Determinar do domínio e o conjunto imagem das
funções:
y = arc sen 2x
y = arc cos ( 3x 1)
3x
y = arc tg
4
1
1
R:a) D x / x e
2
2
Im ` y / y
2
2
2
b) D x / 0 x e
3
Im ` y / 0 y
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c) D
26
e
Im ` y
/ 0 y
2
1.37 Triângulo Qualquer
Lei dos Senos
Num triângulo qualquer, a razão entre cada lado e o
seno do ângulo oposto é constante e igual ao diâmetro
da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é:
a
sen A
b
sen B
c
sen A
a
2R
isto é,
2R
a
sen C
2R
sen A
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB,
encontraremos os outros quocientes
b
c
2R
sen B
sen C
Demonstração: Para simplificar as notações iremos
denotar o ângulo correspondente a cada vértice pelo
nome do vértice, por exemplo para o triângulo de
vértices ABC os ângulos serão A, B e C
respectivamente, assim quando escrevermos sen(A)
estaremos nos referindo ao seno do ângulo
correspondente ao vértice A.
Seja ABC um triângulo qualquer, inscrito numa
circunferência de raio R. Tomando como base do
triângulo o lado BC, construímos um novo triângulo
BCA', de tal modo que o segmento BA' seja um
diâmetro da circunferência. Este novo triângulo é
retângulo em C.
Triângulo obtusângulo: Se A e A' são os ângulos que
correspondem aos vértices A e A', a relação entre eles é
dada por A' = A, pois são ângulos inscritos à
circunferência correspondentes a arcos replementares
BAC e BA'C. Então
sen A
a
senA
2R
isto é,
a
2R
sen A
Temos três casos a considerar, dependendo se o
triângulo ABC é acutângulo, obtusângulo ou
retângulo.
Triângulo acutângulo: Os ângulos correspondentes
aos vértices A e A' são congruentes, pois são ângulos
inscritos à circunferência que correspondem a um
mesmo arco BC. Então:
Repetindo o mesmo processo para as bases AC e AB,
encontraremos os outros quocientes:
b
c
2R
sen B
sen C
Triângulo retângulo: Como o triângulo ABC é um
triângulo retângulo, é imediato que
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sen B
b
c
, sen C
e sen A sen90º 1
a
a
Como, neste caso a=2R, temos,
a
sen A
b
sen B
c
sen C
Lei Dos Cossenos:
Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de
um lado é igual a diferença entre a soma dos
quadrados das medidas dos outros dois lados e o
dobro do produto das medidas desses lados pelo
cosseno do ângulo formado por estes lados.
27
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB
(altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo
vértice C. Aplicando o Teorema de Pitágoras no
triângulo CHB, temos:
a² = h² + ( c x)²
= h² + (c ²2cx + x²)
= (h² + x²) + c² 2cx (Equação 01)
No triângulo AHC, temos que:b² = h² + x²
e também cos(A)=x / b, ou seja, x = b cos(A)
Substituindo estes resultados na equação (Eq. 01),
obtemos:
a² = b² + c² 2bc cosA
Triângulo obtusângulo: Seja o triângulo obtusângulo
ABC com o ângulo obtuso correspondente ao vértice A,
como mostra a figura.
a² = b² + c² 2bc cos( A )
b² = a² + c² 2ac cos( B )
c² = a² + b² 2ab cos( C C)
Demonstração: Temos três casos a considerar,
dependendo se o triângulo ABC é acutângulo,
obtusângulo ou retângulo.
Triângulo retângulo: Se o triângulo ABC é retângulo,
com ângulo reto no vértice A. A relação
a² = b² + c² 2bc cos(A)
recai no teorema de Pitágoras.
a² = b² + c²
uma vez que cos(A)=cos(/2)=0.
Triângulo acutângulo: Seja o triângulo ABC um
triângulo
acutângulo
com
ângulo
agudo
correspondente ao vértice A, como mostra a figura.
Seja o segmento de reta HC perpendicular ao lado AB
(altura do triângulo relativa ao lado AB), passando pelo
vértice C. Aplicando o Teorema de Pitágoras no
triângulo CHB, temos que:
a² = h² + ( c x)²
= h² + (c ²2cx + x²)
= (h² + x²) + c² 2cx (Equação 02)
No triângulo AHC, temos que b² = h² + x² e também:
cos(D)= x / b= cos( A) = cos(A), então, x = b
cos(A)
Substituindo estes resultados na equação (Eq.02),
obtemos:
a² = b² + c² 2bc cos(A)
Exemplos:
01) Dadas duas forças concorrentes F1 = 10 Kgf e F2
=15 Kgf, sabendo que formam um ângulo de 120º,
calcular a resultante.
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120º
F1
60º
F2
28
qualquer. Com a trena, ele mede a distância AC e
encontra 56 m. Com o teodolito ele mede os ângulos
e ACB
encontrando 118º e 35º,
BAC
respectivamente. Qual será o valor da distância AB?
Solução:
Solução:
Aplicando a lei dos cossenos, temos:
Fr2 F12 F22 2F1F2 cos60º
1
Fr2 102 152 2.10.15.
2
Fr2 175
Fr 175
Fr 5 7 Kgf
02) Num triângulo dois lados de medidas 4cm e 8cm
formam entre si um angulo de 60º. Qual a medida do
outro lado?
Solução:
Ora, sendo x a medida do terceiro lado, teremos:
x2 = 42 + 82 – 2.4.cos60º = 16 + 64 – 8.(1/2),
já que cos60º = 1/2.
x2 = 16 + 64 – 4 = 76
x2 = 22.19 x = 2 19 cm
Vamos analisar o triângulo ABC. Se A =118º e C = 35º,
então podemos calcular o ângulo B . Como sabemos, a
soma dos triângulos é 180º.
03) Determine o comprimento do lado de um
hexágono regular inscrito num círculo de raio R.
Solução:
R = raio do círculo.
Sabemos que um hexágono regular possui 6 lados de
medidas congruentes, ou seja de medidas iguais.
Observe que o angulo A é igual a 60º. Logo, o lado
PQ do hexágono regular será dado pela lei dos
cossenos por:
PQ2 = R2 + R2 – 2.R.R.cos60º = 2R2 – R2
PQ2 = R2, de onde conclui-se: PQ = R, ou seja, a
medida do lado de um hexágono regular inscrito num
círculo de raio R é igual a R
03) Em uma região há um rio com curso irregular.
Sua largura não é constante e ele faz muitas curvas.
Entre os ponto A e B, situados em margens opostas,
deseja-se construir uma ponte. Para isso, é necessário
determinar a distância AB. O topógrafo, que está na
margem inferior assinala com uma estaca um ponto C
118º B 35º 180º B 27º
Determinando AB = c e AC = b, a lei dos senos nos
informa que:
c
b
c
56
, ou seja,
sen35º sen27º
senC senB
Utilizando uma calculadora científica, determinamos o
valor de c = 70,75 m.
Exercícios:
45) Num triângulo ABC, b = 7m, c = 5 m e Â= 60º.
Calcule a medida do lado a. R: a 39 cm
46) Em um triângulo, são dados: a = 4cm , b = 3cm, c
1
= 3cm, calcule o cos Â. R: A = arc cos
9
47)Em um triângulo, são dados: A = 30º, B = 45º e a
= 4m . Calcule os lados b e c.
R: b 4 2 m e c= 2 6 2 2 m
48) Num triângulo, os lados que formam um ângulo de
60º, a medida de um é o dobro do outro. Calcular a
medida dos demais ângulos internos. R: 30º e 90º
Desafio final: O ângulo sob o qual um observador vê
uma torre duplica quando ele se aproxima 110m e
triplica quando se aproxima mais 50m. Calcular a altura
da torre.
R: 88 m
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