7a Lista de Exercı́cios de Fundamentos de Matemática Elementar
Professor: José Carlos de Souza Júnior
Curso: 1o Perı́odo - Licenciatura em Matemática
1. No triângulo ∆ABC abaixo, sabemos que  = 90o , B̂ = 60o e AB = 50 cm. Calcular o
comprimento do segmento AC.
C
A
B
2. Determinar a medida do lado AB nos seguintes triângulos retângulos:
3. A hipotenusa do triângulo ∆ABC da figura mede 10 cm e sen(B̂) = 53 . Determinar a
medida de AB.
4. Uma escada de 10 metros de comprimento é encostada a uma parede vertical, formando
com ela um ângulo de 30o . A que distância dessa parede está o pé da escada?
5. Calcular a soma das medidas dos catetos do triângulo retângulo, sabendo que BC = 10
e cos(α) = 35 .
6. Uma pessoa de 1,70 m de altura observa o topo de uma árvore sob um ângulo α. Conhecendo a distância a do observador até a árvore, determinar a altura da árvore.
7. Obter o valor de x na figura:
8. Se α é um ângulo agudo de um triângulo retângulo e cos(α) = 14 , determinar sen(α) e
tg(α).
9. Calcular a medida em radianos dos arcos de:
(a) 30o
(b) 120o
(c) 135o
(d) 330o
(e) 60o
(f) 315o
10. Calcular a medida em graus dos arcos de:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
4π
rad
3
5π
rad
6
π
rad
4
7π
rad
6
5π
rad
4
5π
rad
3
11. Na figura abaixo, determine a medida de AB.
12. Dar o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 12 h 15 min.
13. Qual a medida em graus de um arco de comprimento 2πm contido numa circunferência
de raio 8m?
14. Considerando a figura abaixo:
B
M
N
A = (1,0)
A'
P
Q
B'
Determine em graus e em radianos a medida dos arcos AN , AP e AQ nos seguintes casos:
(a) med(AM ) = 45o
(b) med(AM ) = 30o
(c) med(AM ) = 60o
15. Faça a dedução dos valores pedidos na tabela:
30◦
45◦
60◦
sen
cos
tg
16. Lembrando da simetria existente no ciclo trigonométrico,
x
180˚- x
A = (1,0)
360˚- x
180˚+ x
determine, em graus, os arcos cujas medidas estão compreendidas entre 0◦ e 360◦ e têm
extremidades nos vértices dos retângulos abaixo:
170˚
335˚
250˚
17. Determinar em graus e em radianos a medida dos arcos orientados no sentido anti-horário,
com origem em A e extremidades nos vértices do polı́gono regular da figura, nos seguintes
casos:
18. Calcule o valor de:
y=
3sen(90o ) − 4 cos(180o ) + 5sen(270o ) − 4 cos(360o )
4 cos(0o ) + 2 cos(90o ) − 7sen(360o )
19. Simplificar:
y=
a2 cos(180o ) − (a − b)2 sen(270o ) + 2ab cos(0o )
b2 sen(90o )
( )
( )
cos π6 − sen π6
( )
( )
y=
cos π6 + sen π6
20. Calcular:
21. Determinar 0 ≤ x < 2π que verifique 2 cos2 (x) − cos(x) − 1 = 0
22. Resolver as equações para 0 ≤ x < 2π:
(a) sen(x) = 1
(b) sen(x) = 0
(c) cos(x) = −1
(d) sen(x) = −1
(e) cos(x) = 1
23. Resolver as equações para 0 ≤ x < 2π:
(a) sen(x) = − 12
√
(b) cos(x) =
2
2
(c) sen(x) = −
√
3
2
1
2
√
sen(x) = 22
cos(x) = − 12
√
sen(x) = 23
√
(d) cos(x) =
(e)
(f)
(g)
(h) cos(x) = −
(i)
(j)
(k)
2
2
√
sen(x) = − 22
√
cos(x) = 23
√
cos(x) = − 23
24. Determinar o menor valor positivo de x que verifique:
9− cos(x) =
1
3
25. Determinar os valores de x entre 0 e 2π que satisfazem a equação:
2sen2 (x) + |sen(x)| − 1 = 0
26. Resolver a equação para 0 ≤ x < π2 :
2
625cos (x)
=1
25cos(x)
27. Determinar sen(x), sabendo que cos(x) = − 13 e π < x <
3π
2
28. Determinar cos(x), sabendo que sen(x) = − 53 e
29. Sendo cos(x) =
1
m
e sen(x) =
√
m+1
,
m
3π
2
< x < 2π
determinar m.
30. Resolver 1 − sen(x) + cos2 (x) = 0, para 0 ≤ x < 2π
31. Dar as soluções da equação 2 cos2 (x) = 1 − sen(x), para 0 ≤ x < 2π.
32. Resolver a equação 2sen2 (x) = 3 cos(x), para 0 ≤ x < 2π.
33. Resolver a equação sen4 (x) − 3 cos2 (x) = 1, para 0 ≤ x < 2π.
34. Calcular A = sen(3x) + cos(4x) + tg(2x), para x = π2 .
35. Resolver as equações para 0 ≤ x < 2π.
(a) tg(x) = −1
√
(b) tg(x) =
3
3
√
(c) tg(x) = 3
√
(d) tg(x) = − 33
√
(e) tg(x) = − 3
36. Resolver a equação tg 2 (x) = tg(x), para 0 ≤ x < 2π.
37. Determinar m para que
π
3
seja raiz da equação:
tg 2 (x) − m cos2 (x) + sen2 (x) = 0
38. Determinar 0 ≤ x < 2π que verifique 3tg 2 (x) =
5
39. Sabendo que sen(x) = − 13
eπ<x<
3π
,
2
√
3 tg(x).
calcular:
(a) cos(x)
(b) tg(x)
(c) cotg(x)
(d) sec(x)
(e) cossec(x)
40. Determinar a que verifique simultaneamente tg(x) =
√
a − 1 e sec(x) = a2 .
41. Resolver a equação tg(x) + cotg(x) = 2, para 0 < x < 2π.
42. Simplificar:
y=
sec(x) + sen(x)
cossec(x) + cos(x)