ISBN 978-85-8015-053-7
Cadernos PDE
VOLUME I I
Versão Online
2009
O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOS
DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
Produção Didático-Pedagógica
LENI ROSANE SCHWENGBER SAGGIN
TENDÊNCIAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NA FORMAÇÃO DE
PROFESSORES DAS SÉRIES INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL: uma
experiência com o uso da modelagem matemática.
CAPANEMA
2010
LENI ROSANE SCHWENGBER SAGGIN
TENDÊNCIAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA NA FORMAÇÃO DE
PROFESSORES DAS SÉRIES INICIAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL: uma
experiência com o uso da modelagem matemática.
Produção didática apresentado ao Programa de
Desenvolvimento Educacional – PDE. Universidade
Estadual do Oeste do Paraná – UNIOESTE –
Campus Cascavel - PR, orientado pela Profa Dra
Dulcyene Maria Ribeiro.
CAPANEMA
2010
SUMÁRIO
1. APRESENTAÇÃO .................................................................................................. 5
2. OBJETIVOS ............................................................................................................ 6
2.1. Objetivo Geral ................................................................................................... 6
2.2. Objetivos Específicos........................................................................................ 6
3. METODOLOGIA ..................................................................................................... 7
4.PESQUISA
NOS
CADERNOS
DE
ESTÁGIO
PARA
DIAGNOSTICAR
METODOLOGIAS USADAS PELOS PROFESSORES DAS SÉRIES INICIAIS DO
ENSINO FUNDAMENTAL DO MUNICÍPIO DE CAPANEMA. ................................... 9
5.ENSINAR E APRENDER MATEMÁTICA ................................................................ 9
5.1.História............................................................................................................... 9
5.2. Atividades ....................................................................................................... 12
6.TENDÊNCIAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA ................................................... 13
6.1. INTRODUÇÃO ................................................................................................ 13
6.2.RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ..................................................................... 15
6.2.1.Raciocínio e aplicabilidade ........................................................................ 15
6.2.2. Exemplos ................................................................................................. 16
6.2.3. Atividades ................................................................................................. 17
6.3 ETNOMATEMÁTICA ....................................................................................... 20
6.3.1. História e conceito .................................................................................... 20
6.3.2. Exemplo ................................................................................................... 30
6.3.3. Atividades ................................................................................................. 31
6.4 MÍDIAS TECNOLÓGICAS ............................................................................... 32
6.4.1 O que é e como devem ser utilizadas as Mídias na educação ................. 32
6.4.2. Exemplos ................................................................................................. 35
6.4.3.Atividade ................................................................................................... 36
6.5.HISTÓRIA DA MATEMÁTICA ......................................................................... 37
6.5.1. Importância da História para o ensino e a aprendizagem ........................ 37
6.5.2.Exemplos da utilização da História na sala de aula .................................. 39
6.5.3. Atividades ................................................................................................. 42
6.6. INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS ................................................................ 43
6.6.1. O que é Investigar em Matemática........................................................... 43
6.6.3. Atividades ................................................................................................. 46
6.7. MODELAGEM MATEMÁTICA ....................................................................... 48
6.7.1. História e conceito .................................................................................... 48
6.7.2.Modelagem Matemática como estratégia de ensino na formação de
professores ........................................................................................................ 49
6.7.3.Exemplos de atividades envolvendo modelagens matemáticas realizados
por pesquisadores em educação. ...................................................................... 52
7. EXPERIÊNCIA COM O USO DA MODELAGEM MATEMÁTICA A SER
REALIZADA NA INTERVENÇÃO ............................................................................ 55
7.1.MODELAGEM COM PIPAS............................................................................. 55
7.1.1.Pesquisa e escolha do modelo ................................................................. 56
7.1.2.Momento lúdico, apresentação dos resultados em plenária e relatório ..... 56
7.1.3.Considerações .......................................................................................... 56
7.2.MODELAGEM COM DADOS COLETADOS NA MADEIREIRA ...................... 57
7.2.1.Visita à madeireira para coleta de informações ........................................ 57
7.2.2.Pesquisa e escolha do modelo ................................................................. 58
7.2.3.Considerações .......................................................................................... 58
8. AVALIAÇÃO DE AMBAS AS ATIVIDADES DE MODELAGEM MATEMÁTICA . 59
9.CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 59
10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................... 61
1. APRESENTAÇÃO
Quem de nós que possui filhos não se preocupa se a escola que eles
frequentam está proporcionando o conhecimento adequado para sua formação?
Quem de nós, como educadores, não está sempre em busca de conhecimentos que
facilitem a aprendizagem e dessa forma torne a escola mais atrativa? Conseguimos
imaginar uma pessoa nos dias de hoje alcançar sucesso sem passar pela instituição
escolar?
Sim, essas são preocupações de pais, educadores, órgãos governamentais e
outros, mas também estamos cientes da crise na educação profissional e da escola
em si, o que não é novidade na sociedade capitalista. Todo ano falamos em grade
curricular, conteúdos prioritários, e entramos na discussão de sempre que é a de
que precisamos de mudanças. Mas, saber o que realmente é importante para nosso
aluno é difícil, e estabelecer o modelo de escola que a sociedade requer é mais
difícil ainda.
Para aliviar todas essas preocupações, pensamos em nosso dia-a-dia, mais
especificamente na Matemática utilizada e percebemos que entre outros cálculos,
fazemos comparações de grandezas, estimativas e probabilidades. Até quando
vamos atravessar uma rua movimentada e o semáforo já está aberto para o
pedestre, fazemos um cálculo mental para verificar se haverá ou não tempo
suficiente para atravessarmos antes da abertura do sinal para os automóveis.
Também nas brincadeiras, jogos, história de vida e outros, a Matemática está
envolvida. Logo ela é uma ciência que provém da construção humana, é parte
integrante de nossas raízes culturais, pois seus conceitos surgiram da necessidade
do homem compreender e resolver situações-problema.
Então, essa produção didática, intitulada Caderno Pedagógico, conceitua e
estuda propostas de atividades que utilizam as Tendências em Educação
Matemática,
considerando-as
como
fundamento
teórico-metodológico
para
direcionar a prática docente do futuro professor e dessa forma permitir que o aluno
interprete situações do mundo real intervindo em sua formação, por meio do
raciocínio lógico e da formulação de hipóteses, relacionando a teoria e a prática na
solução de problemas cotidianos.
5
O material elaborado atende à ementa de Metodologia do Ensino de
Matemática, disciplina da Terceira Série do Curso de Formação de Docentes que
contempla as Tendências em Educação Matemática. Nas aulas dessa disciplina é
que se fará a intervenção.
Esse material destina-se a professores de Matemática e Pedagogos das
escolas como suporte teórico-metodológico.
Logo, contemplamos nesse Caderno Pedagógico, conceitos, exemplos e
atividades de Tendências em Educação Matemática: Resolução de Problemas,
Etnomatemática, Modelagem Matemática, Alfabetização Tecnológica, História da
Matemática e Investigação Matemática e optamos em vivenciar na prática a
Modelagem Matemática.
2. OBJETIVOS
2.1. Objetivo Geral
Proporcionar a integração entre teoria e prática dos conteúdos curriculares, a
serem ensinados na disciplina de Metodologia do Ensino de Matemática,
conceituando, exemplificando, diferenciando e utilizando as Tendências em
Educação Matemática, com ênfase em Modelagem Matemática.
2.2. Objetivos Específicos

Pesquisar qual a metodologia usada na disciplina de Matemática para a
apresentação dos conteúdos e resolução de atividades que fazem parte do
currículo pelos professores de primeiro ao quinto ano do Ensino Fundamental,
da cidade de Capanema (zona urbana);

Conceituar e utilizar propostas de atividades que fazem uso das Tendências
em Educação Matemática, na disciplina de Metodologia do Ensino de
Matemática;

Fornecer subsídios para que os educandos do Curso de Formação de
Docentes preparem planos de aula tendo como base o currículo das escolas
6
de 1º ao 5º ano, usando as Tendências em Educação Matemática como
estratégia para aplicarem em sua prática docente;

Vivenciar atividades práticas com o uso de Modelagem Matemática como a
construção de pipas e visita a uma madeireira;

Promover um encontro com professores da disciplina de Matemática e
Pedagogos do Colégio Rocha Pombo para divulgar a produção didáticopedagógica.
3. METODOLOGIA
A produção didático-pedagógica será utilizada em situações próprias do
processo de ensino e aprendizagem da Matemática para futuros professores das
séries iniciais do Ensino Fundamental, atualmente, alunos da Terceira Série do
Curso de Formação de Docentes.
A implementação dar-se-á em uma turma de aproximadamente 30 alunos, no
período matutino na disciplina de Metodologia do Ensino de Matemática, que tem
em sua grade curricular apenas duas aulas semanais de aproximadamente 90
minutos, nas quais se fará a execução do projeto, respeitando as Diretrizes
Curriculares do Estado do Paraná, o Projeto Político Pedagógico da Escola, o
Currículo Municipal de Primeiro ao Quinto Ano e o planejamento feito com colegas
professores da disciplina. O colégio oferece Laboratório de Informática com 20
monitores conectados à Internet no sistema Paraná Digital. Também há um datashow e em cada sala de aula aparelho de TV que permite o uso de vídeo ou pen
drive, além da biblioteca.
Em um segundo momento pretende-se estender os conhecimentos científicos
adquiridos, viabilizando um encontro de estudos com os professores das áreas de
Matemática e Pedagogia do Colégio Rocha Pombo, para a apresentação e ou
divulgação do Caderno Pedagógico.
Será reproduzido para os alunos o caderno pedagógico, que conterá os
textos, atividades e indicações de sites de pesquisa referente às Tendências em
Educação Matemática. Os textos e as atividades propostas serão lidos e executados
7
individualmente ou em grupos, na sala de aula, havendo sempre ao término do
estudo de cada Tendência, discussão coletiva e pesquisa em internet ou livros. Nos
momentos em que os alunos tiverem dúvidas serão auxiliados pelos colegas e pela
professora da turma.
A Modelagem Matemática na geometria será o tema norteador e facilitador na
aprendizagem de área e perímetro. Sendo a geometria conteúdo integrante na
formação do aluno das séries iniciais e a Modelagem Matemática conteúdo
integrante na Formação de Professores, podemos unir teoria com prática. Ao aliar as
aplicações matemáticas do dia-a-dia com a construção de modelos, vinculando-os
ao conteúdo programático, oferecemos ao aluno a oportunidade de conviver com um
conteúdo real, portanto com significado. Dessa forma esperamos despertar nos
educandos novos olhares sobre os conteúdos geométricos abordados.
Para efetivarmos o proposto acima vivenciaremos Modelagem Matemática
com a construção de pipas. Essa atividade será realizada em grupos e os alunos
terão que chegar a um modelo de área e perímetro. Ao término da atividade em sala
haverá o momento lúdico, o de “empinar as pipas”, que será executado no pátio da
escola, espaço onde não há rede elétrica.
Também faremos visita à Madeireira Menin, localizada no município de
Capanema, com o propósito de os alunos observarem as toras (cilindros), as tábuas
(prismas) e chegarem a um modelo para área total e perímetro dos prismas e
“desenho” com identificação do sólido observado, pois os alunos das séries iniciais
não têm em sua grade curricular área e perímetro dos cilindros. Durante a visita será
observado também à questão ambiental, como por exemplo, saber se a madeira
utilizada é madeira de reflorestamento, discutir as espécies de madeira, a utilidade e
de onde provém.
O registro das leituras, atividades e discussões será por meio de descrições
após cada aula, das interações dos alunos nas atividades em grupo, dos meios
utilizados por eles para a resolução das atividades propostas, dos resultados das
plenárias e debates.
O período de implementação será de aproximadamente 5 meses, dois
bimestres e meio.
8
4.PESQUISA
NOS
CADERNOS
DE
ESTÁGIO
PARA
DIAGNOSTICAR
METODOLOGIAS USADAS PELOS PROFESSORES DAS SÉRIES INICIAIS DO
ENSINO FUNDAMENTAL DO MUNICÍPIO DE CAPANEMA.
Finalidade: investigar as metodologias usadas no Ensino da Matemática nas Séries
Iniciais do Ensino Fundamental
Por se tratar de uma Terceira Série do Curso de Formação de Docentes, de
alunos que fizeram estágio de observação nos dois primeiros anos e atualmente
fazem docência em duplas, deverão retomar as apostilas de estágio dos anos
anteriores, onde constam os relatórios e em grupos de 3 ou 4 alunos juntarão as
informações obtidas referentes as metodologias utilizadas, listarão as mesmas em
forma de texto e em seguida farão uma análise das respostas obtidas. Para isso
disporão de uma a duas hora-aula.
Após as conclusões efetivadas, será feito um debate para socialização dos
resultados, terminando com um relatório final realizado pela turma toda no quadro e
anotado em seus cadernos. Com base nos dados levantados far-se-á os estudos a
seguir.
5.ENSINAR E APRENDER MATEMÁTICA
5.1.História
Antigamente, na época de nossos pais e avós, a formação básica ou inicial
era suficiente, assim como ensinar usando vivencias do aluno não era feito, mas
com a evolução dos tempos, surge à necessidade de relacionarmos os conteúdos
curriculares com o cotidiano do educando.
9
Quando se trata do ensino da Matemática, percebe-se que a pergunta “como
ensinamos” tem como resposta, de uma maneira geral, “pelo concreto”. Segundo
Nacarato (2004-2005), isso não é recente.
O uso de materiais manipuláveis no ensino foi destacado pela primeira vez
por Pestalozzi, no século XIX, ao defender que a educação deveria começar
pela percepção de objetos concretos, com a realização de ações concretas
e experimentações. No Brasil o discurso em defesa da utilização de
recursos didáticos nas aulas de Matemática surgiu na década de 1920.
Esse período foi marcado pelo surgimento de uma tendência no ensino de
Matemática que ficou conhecida como empírico-ativista, decorrente dos
ideais escolanovistas que se contrapunham ao modelo tradicional de ensino
no qual o professor era tido como elemento central do processo de ensino.
O ensino seria baseado em atividades desencadeadas pelo uso de jogos,
materiais manipuláveis e situações lúdicas e experimentais (NACARATO,
2005, p. 1).
Apesar do esforço na época nada mudou no ministério das aulas da disciplina
e a dicotomia continuava. Nos anos 1970 a 1990, voltou-se a discutir a questão do
fracasso do ensino da Matemática e com isso a construção de materiais
manipuláveis. Paralelo a isso houve incentivo por parte do governo ao uso do livro
didático.
Na década de 90, surgem recursos didáticos como as calculadoras e
computadores, mas, o foco deixou de ser os materiais manipuláveis e passou-se a
discutir sobre as Tendências: Resolução de Problemas, Modelagem Matemática,
História da Matemática, Investigações Matemáticas, dentre outras.
Ao longo do tempo observamos a busca por caminhos ou formas que auxiliam
na compreensão do processo de ensino e aprendizagem. Sabemos que não existe
uma forma milagrosa, mas temos a plena convicção que ao ampliarmos as
possibilidades de escolha haverá maior chance de a aprendizagem acontecer e
acima de tudo devemos ter:
[...] sempre claro que o ensino não depende somente do professor, bem
como a aprendizagem não é algo apenas do aluno. Segundo Freire (1996)
não há docência sem discência, as duas se explicam, e seus sujeitos,
embora as diferenças que os conotam, não se reduzem à condição de
objeto um do outro. Quem ensina aprende ao ensinar, e quem aprende
ensina ao aprender (FREIRE apud SIQUEIRA, 2007, p.12).
Por outro lado a parte que cabe ao professor é primordial, e sobre a mesma
há uma reflexão crítica de seu desempenho na escola e na sociedade, pois no
decorrer do processo de ensino e aprendizagem aparecem problemas como a
relação professor-aluno, a repetência, o desestímulo aos estudos e outros. Uma das
10
causas apontadas e que interfere significativamente é a metodologia adotada pelo
docente, um dos principais fatores que rege a motivação pelo aprender por parte do
discente em formação. Visando combater os problemas citados acima o professor
vai à prática da sala de aula, propondo ensinar de tal forma que teoria e prática
formem uma unidade. Nesse sentido estão as Diretrizes Curriculares da Rede
Pública de Educação Básica do Estado do Paraná (DCEs) que:
Propõe-se articular os Conteúdos Estruturantes com os conteúdos
específicos em relações de interdependências que enriqueçam o processo
pedagógico de forma a abandonar abordagens fragmentadas, como se os
conteúdos de ensino existissem em patamares distintos e sem vínculos [...]
(PARANÁ, 2008, p. 62).
Logo, para ensinarmos os conceitos de escalas, por exemplo, que fazem
parte do conteúdo específico, podemos associá-la a outro conteúdo específico como
geometria plana e introduzir razão e proporção ao realizarmos atividades de
ampliação e redução de figuras geométricas (ibidem, p.62), o que vem ao encontro
do que propõe a Proposta Pedagógica Curricular do Curso de Formação de
Docentes da Educação Infantil e Anos Iniciais do Ensino Fundamental, em Nível
Médio, na Modalidade Normal que leva em consideração a formação de um jovem
para uma profissão, a de ser professor-educador:
O currículo não deve ser dicotômico, pois o “fazer e saber sobre o fazer”
deverão ser elementos integrados ao processo de formação dos alunos. Os
saberes disciplinares não poderão ser independentes dos saberes
profissionais. Ao ensinar química, biologia, matemática, português, ou outra
disciplina, os docentes deverão ter presente o compromisso com aqueles
conhecimentos, no sentido de que eles serão ensinados pelos futuros
professores das crianças de 0 a 10 anos de idade. Os alunos, por sua vez,
deverão estar comprometidos com o processo de aprendizagem porque
estão se preparando para um trabalho com características especiais – a
educação de crianças [...] Desta forma, propõe-se a composição curricular
articulada aos saberes disciplinares e específicos do “saber fazer” da
profissão de professor. Isso significa que o núcleo fundamental da formação
do professor pressupõe por um lado o domínio dos conteúdos que serão
objetos do processo ensino-aprendizagem e, por outro, o domínio das
formas através das quais se realiza esse processo (PARANÁ, 2006,
p.24).
Diante disso, dar um significado, não significa aprendizado. É necessário que
o futuro professor relacione o conhecimento matemático com o cotidiano, isto é, seja
um agente de conhecimentos que usa como metodologia de ensino os mais
variados temas e valores, ou seja, ensino voltado para a formação de sujeitos
pensantes e críticos. Deverá destacar em suas investigações as metodologias pelas
quais os alunos aprendem a internalizar conceitos e habilidades do pensar, modos e
11
atitudes que se constituam em instrumentos para lidar praticamente com a realidade:
resolver problemas, enfrentar dilemas, tomar decisões. Logo a prática docente deve
ser no sentido da práxis, que quer dizer:
[...] compreendem-se os processos de conhecimento cientifico e de todos os
tipos de conhecimentos a partir de sua natureza social, como produto
coletivo de relações amplas entre objeto-coletividade e não de individuoobjeto, numa dimensão tipicamente individualista (ibidem, 2006, p. 25).
Nesse contexto, entende-se que a formação de professores deve contemplar
uma disciplina que enfoca as Tendências da Educação Matemática, as quais
priorizam a formação de alunos críticos e reflexivos, sendo essas transformações no
campo educacional, construídas a partir da realidade de cada escola e das
mudanças que o professor pretende obter no campo social. Se o objetivo é uma
mudança não só em âmbito escolar, mas também no entorno dela, deverá haver
mudanças nas práticas dos professores e da escola como um todo.
Para obtenção desse êxito é imprescindível uma ação pedagógica inovadora
que implica considerar os alunos como indivíduos únicos, respeitados em sua
singularidade e com formação voltada para uma abordagem teórica e prática, pois
dessa forma poderá ser feito uma análise elaborada e crítica da realidade. Logo a
formação do professor deve estar pautada em teoria e prática, as duas somadas
formam um educador reflexivo, dinâmico, cooperativo, produtivo, que busca superar
a fragmentação escolar.
5.2. Atividades
Finalidade: Diferenciar trabalhar com o concreto e as Tendências em Educação
Matemática.
5.2.1. Descreva em poucas linhas, o que você, enquanto futuro educador pensa
ser “trabalhar com o concreto”.
5.2.2. Pesquise mais sobre a história (surgimento) das Tendências em Educação
Matemática em seguida compartilhe suas descobertas em uma plenária.
Obs: a síntese do resultado das questões acima será disponibilizada no
site < http://www.leni.swa.com.br/ >
12
LEITURAS COMPLETARES:
NACARATO, A. M. Eu Trabalho Primeiro no Concreto. Revista de Educação
Matemática - SBEM. Ano 9. n. 9-10. p. 1-6. 2005. Disponível em:
<http://www.sbempaulista.org.br/RevEdMatVol9.pdf >. Acesso em: 15 dez.
2009.
SIQUEIRA, R. A. N. Tendência da educação matemática na formação de
professores. Ponta Grossa: UTFPR, 2007. 49 f. Monografia - Especialização
em educação Científica e Tecnológica. Universidade Tecnológica do Paraná,
Campus de Ponta Grossa. Ponta Grossa – 2007.
PARANÁ. Secretaria do Estado da Educação. Superintendência da
Educação. Departamento da Educação Profissional. Proposta pedagógica
curricular do Curso de Formação de Docentes da Educação Infantil e
Anos Iniciais do Ensino Fundamental, em Nível Médio, na Modalidade
Normal. Curitiba: SEED – Pr., 2006.
6.TENDÊNCIAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
6.1. INTRODUÇÃO
Sabemos que a Matemática foi uma das formas que o ser humano encontrou
ao longo da história para explicar, compreender e “controlar” a realidade que nos
circunda, dentro de um contexto natural e cultural.
As Tendências em Educação Matemática são vistas como estratégia de
ensino e aprendizagem na disciplina de Matemática por adotarem na sua
individualidade metodologias diferenciadas das convencionalmente utilizadas pela
maioria dos educadores. Ao utilizá-las na prática, despertamos no professor e no
aluno a criatividade e instigamos a pesquisa por meio da investigação.
13
Segundo Pavanello (SBEM, 2003, p.8) o professor deve ter mais
conhecimento do que aquilo que vai ensinar, vai muito além daquilo que
aprendemos nos diversos níveis de escolarização, pois, a aprendizagem
interdisciplinar é apenas uma parte, precisamos sim ser e formar profissionais
capazes de superar os obstáculos eminentes e para isso precisamos utilizar-nos de
novas metodologias de ensino.
Logo, para obtermos e transmitirmos tais conhecimentos precisamos mediar
os
conteúdos matemáticos e
as
disciplinas
do
currículo,
proporcionando
entendimento e compreensão do contexto no qual está inserido. Muitas são as
contribuições destas metodologias para a construção e efetivação do conhecimento
matemático, pois elas trazem muitos benefícios ao processo de ensino e
aprendizagem, visto que objetivam inserir em âmbito escolar a realidade dos alunos,
fazendo-os perceber que realidade e Matemática estão ligadas, levando-os dessa
forma a quererem conhecer mais as normas e os procedimentos matemáticos
capazes de sanar dificuldades que se apresentam cotidianamente em suas vidas.
Na DCE de Matemática (PARANÁ, 2008, p.62-68) as Tendências são
apresentadas uma a uma, devidamente conceituadas e apontadas como sugestão
de encaminhamento metodológico para os professores da rede. Na ementa da
Disciplina de Metodologia do Ensino de Matemática no Curso de Formação de
Docentes (PARANÁ, 2006, p. 78), aparecem para serem estudadas e nas
Universidades, na Formação de Matemática algumas Tendências já aparecem como
disciplina acadêmica.
Logo, a proposta da pesquisa a seguir consiste em enfatizar conceitos e
experiências que venham revelar opiniões relacionadas a cada Tendência,
buscando
também
aprofundamentos
teóricos
acerca
da
utilização
destas
metodologias de ensino especificamente no curso Formação de Docentes –
Modalidade Normal. Minudenciando, quer-se com este trabalho conhecer e divulgar
propostas de utilização efetiva das Tendências como metodologias de ensino,
almejando-se, contudo exemplificar e questionar cada uma na sua essência.
14
6.2.RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
6.2.1.Raciocínio e aplicabilidade
Dante afirma que “um dos principais objetivos do ensino de Matemática é
fazer o aluno pensar produtivamente e, para isso, nada melhor que apresentar-lhe
situações-problema que o envolvam, o desafiem e o motivem a querer resolvê-las”
(DANTE, 2005. p.11). Baseando-nos nessa perspectiva sabemos que a Matemática
desempenha papel decisivo, pois permite resolver problemas cotidianos, sendo de
suma importância em outras áreas do conhecimento, visto que para resolução é
preciso desenvolver no aluno habilidade do raciocínio lógico bem como a utilização
eficaz dos recursos disponíveis. O pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem
quando o indivíduo está empenhado no enfrentamento de desafios.
Segundo Medeiros (2001, p.32-33), os problemas matemáticos são utilizados
como exercícios repetidos e de maneira padronizada. São problemas que possuem
o mesmo raciocínio, isto é, o aluno procura palavras no texto que indicam a
operação a ser usada. De maneira geral servem para fixar os conteúdos que foram
estudados. Na perspectiva da autora “Essa forma de trabalhar os problemas
matemáticos não contribui para um melhor aproveitamento dessa atividade,
particularmente importante para o desenvolvimento da matemática, na sala de aula”
(MEDEIROS, 2001, p.33).
Não há dúvida, que ensinar Matemática por meio de problemas, não é fácil, o
professor precisa ter um planejamento minucioso, com tarefas planejadas ou
selecionadas a cada aula, levando sempre em consideração as dificuldades dos
alunos e o currículo. Mas, sabemos que a Resolução de Problemas não deve estar
limitada a uma definição convencional de problemas com palavras. Tanto quanto a
nova tecnologia o torne possível, os problemas devem ser apresentados em
situações naturais ou em simulações de condições reais.
Entretanto, Onuchic e Allevato (2004, p.223-224) listam razões para usarmos
a Resolução de Problemas como metodologia de ensino, dentre elas destacamos:
coloca o foco da atenção dos alunos sobre as ideias e sobre o “dar sentido”,
desenvolve o “poder matemático”, que estão descritos nos Standards 2000:
Resolução
de
Problemas;
raciocínio
e
prova;
comunicação,
conexões
e
representação que é o fazer Matemática e ainda permite não só a compreensão do
15
conteúdo proposto, mas além do que está sendo proposto. Faz com que o aluno
acredite que sabe fazer Matemática e de que a mesma faz sentido. Professores que
fazem essa experiência de ensino, não deixam de usá-la mais, pois alegam que “a
excitação de desenvolver a compreensão dos alunos através de seu próprio
raciocínio vale todo esforço e, de fato, é divertido, também para os alunos”.
(ONUCHIC e ALLEVATO, 2004, p. 224).
Logo, é nítida a importância segundo Siqueira (2007, p. 37) de formarmos
professores que sejam capazes de ensinar conteúdos novos por meio da Resolução
de Problemas.
Portanto, a Resolução de Problemas baseia-se em fazer o aluno pensar,
desenvolver o raciocínio, enfrentar situações novas, dar oportunidade de se envolver
com as aplicações da Matemática como também dar base e equipar os alunos com
estratégias e além de tudo isso, tornar as aulas mais interessantes e desafiadoras,
como assegura Dante (2005, p.11-15).
6.2.2. Exemplos
Exemplos para serem aplicados nas séries iniciais do Ensino Fundamental:
 Ao preencher um cheque, Joana Inverteu o algarismo das dezenas com os das
centenas. Em virtude desse fato acabou pagando a importância de R$ 270,00 a
mais pelo valor da compra. A informação que temos é que os dois algarismos
estão entre si na razão de 1 para 2. Com os dados apontados acima calcule o
algarismo, no cheque, que foi escrito na casa das dezenas.1
 Pedro e Paulo sobem uma escada rolante juntos. Pedro sobe um degrau de
cada vez, enquanto Paulo sobe dois degraus por vez. Chegando no topo,
1
Problema adaptado do material do Professor Marcelo C. Rodrigues do Colégio Estadual Gilberto
Alves
do
Nascimento
de
Piraquara.
Disponível
em:
<http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/conteudo n/conteudo.php?conteudo=58>. Acesso
em: 3 abr. 2010.
16
Pedro contou 21 degraus e Paulo 28 degraus. Quantos degraus são visíveis
nessa escada rolante? (obs: a escada está andando).2
Os problemas a seguir foram extraídos de Dante (2005):3
 Annelise tinha apenas moedas de R$ 1,00 e notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00.
Mostre todas as maneiras que ela poderia usar para pagar um livro que
custava R$ 25,00.
 Para prender 5 camisas no varal, mamãe usou 6 prendedores. Quantos serão
necessários para prender 17 camisas?
 Há três cartões numerados virados de costas. Descubra que número fica
formado pelos cartões.
Sugestões:
 Primeiro cartão: o menor número ímpar que existe.
 Segundo cartão: soma do número do primeiro cartão com o número do
terceiro.
 Terceiro cartão: numero que representa meia dúzia.
1o
2o
3o
6.2.3. Atividades
Finalidade: identificar série, conteúdo e objetivos dos problemas abordados.
2
Problema
adaptado
do
Portal
Dia
a
Dia.
Disponível
em:<http://matematica.seed.pr.gov.br/modules/conte udo/conteudo.php?conteudo=36>. Acesso em: 3
abr. 2010.
3
DANTE, L. R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. 12 ed. São Paulo: Ática,
2005. p.85 e 88
17
6.2.3.1. Em duplas façam uma leitura minuciosa dos exemplos citados acima e
em seguida relatem da forma que achar conveniente, agrupando ou não
os problemas, para que séries podem ser aplicados, os objetivos e os
conteúdos abordados.
Obs: Após a correção, os planos de aula estarão disponíveis no site
<http://www.leni.swa.com.br/>.
Para a realização da próxima atividade vamos analisar a síntese dos objetivos
da Resolução de Problemas, segundo Dante (2005. P. 11-15):
Em primeiro lugar o autor coloca que ensinar por meio da Resolução de
Problemas leva o aluno a pensar produtivamente, pois lhe serão apresentadas
situações problemas que o envolve, desafie e consequentemente torna motivador
à resolução das atividades propostas. O segundo objetivo é que ensinar por meio
dessa Tendência desenvolve o raciocínio do aluno. O aluno precisará de
estratégias e formas de resolução que sejam criativas e eficazes para a solução
dos problemas cotidianos da escola ou exteriores a ela. O Terceiro é que por
meio da Resolução de Problemas ensinamos o aluno a enfrentar situações novas,
pois, vivemos em um mundo que se transforma continuamente, no campo da
ciência, da tecnologia e automaticamente socialmente e em virtude dessas
rápidas mudanças precisamos adaptar o currículo à realidade dos alunos e da
sociedade como um todo, para que dessa forma preparemos cidadãos capazes
de lidar com situações novas, sejam quais forem. Outro objetivo colocado por
Dante é dar ao aluno condições para que se envolva com as aplicações da
Matemática nos problemas da vida diária:
[...] Apesar da grande e reconhecida importância da Matemática, quer
pelo desenvolvimento de raciocínio que proporciona ao aluno, quer por
suas aplicacões nos problemas da vida diária, em geral os alunos, logo
nos primeiros contatos com essa ciência, começam a detestá-la ou
tornam-se indiferentes a ela. Isso pode ser atribuído ao exagero no treino
de algoritmos e regras desvinculados de situações reais, além do pouco
envolvimento do aluno com aplicações da Matemática que exijam o
raciocínio e o modo de pensar matemático para resolvê-las.A
oportunidade de usar os conceitos matemáticos no seu dia-a-dia favorece
o desenvolvimento de uma atitude positiva do aluno em relação à
Matemática. Não basta saber fazer mecanicamente as operações de
adição, subtração, multiplicação e divisão. E preciso saber como e quando
18
usá-las convenientemente na resolução de situações-problema
(ibidem,
2005, p.13).
Também referencia que a Resolução de Problemas faz que aula fique
interessante e desafiadora, pois provoca a curiosidade e desenvolve um
comportamento de pesquisa, além de equipar os alunos com estratégias para
resolver problemas, levando a encontrar a solução ou várias possíveis respostas
e a analisar as mesmas para encontrar a solução do problema procurado. E por
último, tem por objetivo dar uma boa base de Matemática às pessoas, tornandoas ativas e participantes, capazes de tomar decisões próprias,
inteligentes
de
forma
precisa.
Isto
é
precisamos
“formar
rápidas e
cidadãos
matematicamente alfabetizados, que saibam como resolver, de modo inteligente,
seus problemas de comércio, economia, administração, engenharia, medicina,
previsão do lempo e outros da vida diária” (ibidem, 2005, p.15). Logo a Resolução
de Problemas é uma forma de enfrentar desafios significativos desde cedo,
aprendendo a encontrar solução.
Finalidade: Por meio da pesquisa, identificar problemas que se encaixem na
proposta de Dante e montar uma lista de problemas para serem utilizados pelos
professores para inserir conteúdos nas séries iniciais do Ensino Fundamental.
6.2.3.2.Em grupos, façam a leitura da síntese dos objetivos da Resolução de
Problemas acima e em seguida monte uma lista de aproximadamente 15
problemas com o auxílio da Internet ou livros que encaixam na proposta.
Como fazer: Escolha 15 problemas, por meio de pesquisa, separados por nível,
por exemplo primeiro ano, segundo ano... Imprima e cole em papel
cartão de aproximadamente 6cm x 10cm, lembrando que o
problema deve ficar disposto nesse espaço. Em seguida pegue
uma caixa que caiba essas fichas. Também faça cartões iguais
com as soluções que podem ficar na mesma caixa, separadas com
19
um cartão em branco. Essa é apenas uma sugestão, você pode
usar de criatividade!
6.2.3.3. Baseado em um dos problemas de sua lista prepare um plano de aula4
para introduzir um conteúdo em uma das turmas de primeiro ao quinto
ano do ensino de nove anos.
Obs: Após a correção, os planos de aula serão disponibilizados no site
<http://www.leni.swa.com.br/>.
6.3 ETNOMATEMÁTICA
6.3.1. História e conceito
Com base nos trabalhos de Ubiratan D`Ambrósio, o campo de pesquisa da
Etnomatemática vem sendo configurado no Brasil e no mundo a partir da década de
70. Hoje, etno é aceito como algo muito amplo, contexto cultural, linguagens
específicas, comportamentos, simbologias, práticas sociais, matema tende à direção
de explicar, de conhecer, de entender; lidar com e tica vem do techne que é arte,
modos, estilos e técnica.
Logo, o cotidiano das pessoas é identificado através de estilos de
comportamentos e de conhecimentos para sobreviver e assim transcender, nos
diferentes ambientes que ela ocupa.
Então, precisamos ter em mente que nosso aluno traz consigo experiências
familiares e da comunidade na qual está inserido. Ele não vem para a escola como
uma folha em branco, mas com um mundo de informações. Nesse contexto
D’Ambrosio afirma que há estudos sobre a Etnomatemática cotidiana: “É uma
Etnomatemática não aprendida nas escolas, mas no ambiente familiar, no ambiente
dos brinquedos e de trabalho, recebida de amigos e de colegas” (D’AMBROSIO,
2005, p.22). Todas as culturas e povos desenvolvem método próprio para modificar a
realidade e fica claro que a cultura, as ideias estão enraizadas e constantemente
sofrem alterações e as soluções dos problemas são exclusivas para cada realidade.
4
Exemplo de roteiro de plano de aula, disponível em: <http://www.slideshare.net/guest1c37d0/planode-trabalho-docente-2010>.
20
É por meio dessa Tendência que se visa o entendimento do mundo, espaço e
tempo de cada cultura.
Etnomatemática é a matemática praticada por grupos culturais, tais como
comunidades urbanas e rurais, grupos de trabalhadores, classes
profissionais, crianças de certa faixa etária, sociedades indígenas, e tantos
grupos que se identificam por objetivo e tradições comuns aos grupos
(ibidem, 2005. p.9).
Então
essa
Tendência
Metodológica
procura
justamente
mostrar
a
possibilidade de valorizar o conhecimento do aluno, da sua cultura, do seu meio
social para uma aprendizagem significativa e crítica da Matemática. Para tanto
precisamos ter uma visão transdisciplinar, para além dos muros escolares.
Nas páginas subsequentes disponibilizamos trechos do texto5 de D’Ambrósio
disponível em seu site para explicar a Etnomatemática enquanto programa:
O Programa Etnomatemática
O Programa Etnomatemática teve sua origem na busca de entender o fazer
e o saber matemático de culturas marginalizadas. Intrínseco a ele há uma
proposta historiográfica que remete à dinâmica da evolução de fazeres e saberes
que resultam da exposição mútua de culturas. Em todos os tempos, a cultura do
conquistador e do colonizador evolui a partir da dinâmica do encontro. O encontro
cultural assim reconhecido, que é essencial na evolução do conhecimento, não
estava subordinado a prioridades coloniais como aquelas que estabeleceram
posteriormente.
A melhor explicação para adotar o Programa Etnomatemática como central
para um enfoque mais abrangente aos estudos de história e filosofia está na
própria construção do termo. Embora haja uma vertente da Etnomatemática que
busca identificar manifestações matemáticas nas culturas periféricas tomando
como referência a matemática ocidental, o Programa Etnomatemática tem como
referências categorias próprias de cada cultura, reconhecendo que é própria da
espécie humana a satisfação de pulsões de sobrevivência e transcendência,
absolutamente integrados, como numa relação de simbiose.
5
D’AMBROSIO,
O
Programa
Etnomatemática.
<http://vello.sites.uol.com.br/program.htm>. Acesso em: 26 fev. 2010.
21
Disponível
em:
O pensamento abstrato, próprio de cada indivíduo, é uma elaboração de
representações da realidade e é compartilhado graças à comunicação, dando
origem ao que chamamos cultura. Os instrumentos [materiais e intelectuais]
essenciais
para
essa
elaboração
incluem,
dentre
outros,
sistemas
de
quantificação, comparação, classificação, ordenação e linguagem. O Programa
Etnomatemática tem como objetivo entender o ciclo do conhecimento em distintos
ambientes.
A exposição acima sintetiza a motivação teórica que serve de base a um
programa de pesquisa sobre a geração, organização intelectual, organização
social e difusão do conhecimento. Na linguagem acadêmica, poder-se-ia dizer
que se trata de um programa interdisciplinar, abarcando o que constitui o domínio
das chamadas ciências da cognição, da epistemologia, da história, da sociologia e
da difusão.
Naturalmente, em todas as culturas e em todos os tempos, o conhecimento,
que é gerado pela necessidade de uma resposta a problemas e situações
distintas, está subordinado a um contexto natural, social e cultural.
Indivíduos e povos têm, ao longo de suas existências e ao longo da história,
criado e desenvolvido técnicas de reflexão, de observação, e habilidades (artes,
técnicas, techné, ticas) para explicar, entender, conhecer, aprender para saber e
fazer como resposta a necessidades de sobrevivência e de transcendência
(matema), em ambientes naturais, sociais e culturais (etnos) os mais diversos.
Desenvolveu, simultaneamente, os instrumentos teóricos associados a essas
técnicas e habilidades. Daí chamarmos o exposto acima de Programa
Etnomatemática.
O nome sugere o corpus de conhecimento reconhecido academicamente
como Matemática. De fato, em todas as culturas encontramos manifestações
relacionadas e mesmo identificadas com o que hoje se chama Matemática
(processos de organização, classificação, contagem, medição, inferência),
geralmente mescladas ou dificilmente distinguíveis de outras formas, hoje
identificadas como Arte, Religião, Música, Técnicas, Ciências. Em todos os
tempos e em todas as culturas, Matemática, Artes, Religião, Música, Técnicas,
Ciências foram desenvolvidas com a finalidade de explicar, de conhecer, de
aprender, de saber/fazer e de predizer (artes divinatórias) o futuro. Todas, que
aparecem, num primeiro estágio da história da humanidade e da vida de cada um
22
de
nós,
são
indistinguíveis,
na
verdade
mescladas,
como formas de
conhecimento.
O Programa Etnomatemática e a educação atual
Estamos vivendo um período em que os meios de captar informação e o
processamento da informação de cada indivíduo encontram nas comunicações e
na informática instrumentos auxiliares de alcance inimaginável em outros tempos.
A interação entre indivíduos também encontra, na teleinformática, um grande
potencial, ainda difícil de aquilatar, de gerar ações comuns. Nota-se em alguns
casos o predomínio de uma forma sobre outra, algumas vezes a substituição de
uma forma por outra e mesmo a supressão e a eliminação total de alguma forma,
mas na maioria dos casos o resultado é a geração de novas formas culturais,
identificadas com a modernidade. Ainda dominadas pelas tensões emocionais, as
relações entre indivíduos de uma mesma cultura (intraculturais) e, sobretudo, as
relações entre indivíduos de culturas distintas (interculturais) representam o
potencial criativo da espécie. Assim como a biodiversidade representa o caminho
para o surgimento de novas espécies, na diversidade cultural reside o potencial
criativo da humanidade. As consequências dessas mudanças na formação de
novas gerações exigem reconceituar a educação.
A pluralidade dos meios de comunicação de massa, facilitada pelos
transportes, levou as relações interculturais a dimensões verdadeiramente
planetárias. Inicia-se assim uma nova era, que abre enormes possibilidades de
comportamento e de conhecimento planetários, com resultados sem precedentes
para o entendimento e harmonia de toda a humanidade.
Tem havido o reconhecimento da importância das relações interculturais.
Mas lamentavelmente ainda há relutância no reconhecimento das relações
intraculturais na educação. Ainda se insiste em colocar crianças em séries de
acordo com idade, em oferecer o mesmo currículo numa mesma série, chegando
ao absurdo de se propor currículos nacionais. E ainda maior absurdo de se avaliar
grupos de indivíduos com testes padronizados. Trata-se efetivamente de uma
tentativa de pasteurizar as novas gerações!
Não se pretende a homogeneização biológica ou cultural da espécie, mas
sim a convivência harmoniosa dos diferentes, através de uma ética de respeito
mútuo, solidariedade e cooperação.
23
Naturalmente, sempre existiram maneiras diferentes de explicar e de
entender, de lidar e conviver com a realidade. Agora, graças aos novos meios de
comunicação e transporte, essas diferenças serão notadas com maior evidência,
criando a necessidade de um comportamento que transcenda mesmo as novas
formas culturais. Eventualmente, o tão desejado livre arbítrio, próprio de ser
[verbo] humano, poderá se manifestar num modelo de transculturalidade que
permitirá que cada ser [substantivo] humano atinja a sua plenitude.
Um modelo adequado para se facilitar esse novo estágio na evolução da
nossa espécie é a chamada Educação Multicultural, que vem se impondo nos
sistemas educacionais de todo o mundo.
Sabemos que no momento há mais de 200 estados e aproximadamente
6.000 nações indígenas no mundo, com uma população totalizando entre 10%15% da população total do mundo. Embora não seja o meu objetivo discutir
Educação Indígena, os aportes de especialistas na área têm sido muito
importantes para se alertar sobre os perigos de uma educação que se torne um
instrumento de reforço dos mecanismos de exclusão social.
Dentre os vários questionamentos que levam à preservação de identidades
nacionais, muitas se referem ao conceito de conhecimento e às práticas
associadas a ele. Talvez a mais importante a se destacar seja a percepção de
uma dicotomia entre saber e fazer, própria dos paradigmas da ciência moderna
iniciada por Galileu, Descartes, Newton e outros, e que prevalece no mundo
chamado "civilizado".
A ciência moderna surgiu, praticamente, ao mesmo tempo em que se deram
as grandes navegações, que resultaram na conquista e na colonização, e na
imposição do cristianismo a todo o planeta. A ciência moderna, originada das
culturas mediterrâneas e substrato da eficiente e fascinante tecnologia moderna,
foi logo identificada como protótipo de uma forma de conhecimento racional.
Definiram-se, assim, a partir das nações centrais, conceituações estruturadas e a
dicotômica do saber [conhecimento] e do fazer [habilidades].
Nada poderia ser mais claro nesta declaração que o reconhecimento da
subordinação dos conteúdos programáticos à diversidade cultural. Igualmente, o
reconhecimento de uma variedade de estilos de aprendizagem está implícito no
apelo ao desenvolvimento de novas metodologias.
24
Essencialmente, essas considerações determinam uma enorme flexibilidade
tanto na seleção de conteúdos quanto na metodologia.
A Matemática no Programa Etnomatemática
A abordagem a distintas formas de conhecer é a essência do Programa
Etnomatemática.
Na
verdade,
diferentemente
do
que
sugere
o
nome,
Etnomatemática não é apenas o estudo de "matemáticas das diversas etnias".
Repetindo, lembro que para compor a palavra Etno-matema-tica, utilizei as raízes
tica, matema e etno com a finalidade de enfatizar que há várias maneiras,
técnicas, habilidades (ticas) de explicar, de entender, de lidar e de conviver com
(matema) distintos contextos naturais e sócio-econômicos da realidade (etnos).
A disciplina denominada Matemática é, na verdade, uma Etnomatemática
que se originou e se desenvolveu na Europa, tendo recebido importantes
contribuições das civilizações do Oriente e da África, e que chegou à forma atual
nos séculos XVI e XVII. A partir de então, nessa forma estruturada, foi levada e
imposta a todo o mundo. Hoje, essa matemática adquire um caráter de
universalidade, sobretudo devido ao predomínio da ciência e tecnologia
modernas, que foram desenvolvidas a partir do século XVII na Europa.
Essa universalização é um exemplo do processo de globalização que
estamos testemunhando em todas as atividades e áreas de conhecimento.
Falava-se muito das multinacionais. Hoje, as multinacionais são, na verdade,
empresas globais, para as quais não é possível identificar uma nação ou grupo
nacional dominante.
Essa idéia de globalização já começa a se revelar no início do cristianismo e
do islamismo. Diferentemente do judaísmo, do qual essas religiões se originaram,
bem como de inúmeras outras crenças nas quais há um povo eleito, o
cristianismo e o islamismo são essencialmente religiões de conversão de toda
humanidade à mesma fé, com o ideal de subordinar todos os povos a uma
mesma autoridade religiosa. Isso fica evidente nos processos de expansão do
Império Romano cristianizado e do Islão.
O processo de globalização da fé cristã se aproxima do seu ideal com as
grandes navegações. O catecismo, elemento fundamental da conversão, é levado
a todo o mundo. Assim como o cristianismo é um produto do Império Romano,
levado a um caráter de universalidade com o colonialismo, também o são a
matemática, a ciência e a tecnologia.
25
No processo de expansão, o cristianismo foi se modificando, absorvendo
elementos da cultura subordinada e produzindo variantes notáveis do cristianismo
original do colonizador. Esperar-se-ia que, igualmente, as formas de explicar,
conhecer, lidar, conviver com a realidade sócio-cultural e natural, obviamente
distintas de região para região, e que são as razões de ser da Matemática, das
ciências
e
da
tecnologia,
também
passassem
por
esse
processo
de
"aclimatação", resultado de uma dinâmica cultural. No entanto, isso não se deu e
não se dá e esses ramos do conhecimento adquiriram um caráter de absoluto
universal. Não admitem variações ou qualquer tipo de relativismo. Isso se
incorporou até no dito popular "tão certo quanto dois mais dois são quatro". Não
se discute o fato, mas sua contextualização na forma de uma construção
simbólica que é ancorada em todo um passado cultural.
A Matemática tem sido conceituada como a ciência dos números e das
formas, das relações e das medidas, das inferências, e suas características
apontam para precisão, rigor, exatidão. Os grandes heróis da Matemática, isto é,
aqueles indivíduos historicamente apontados como responsáveis pelo avanço e
consolidação dessa ciência, são identificados na Antigüidade grega e,
posteriormente, na Idade Moderna, nos países centrais da Europa, sobretudo
Inglaterra, França, Itália, Alemanha. Os nomes mais lembrados são Descartes,
Galileu, Newton, Leibniz, Hilbert, Einstein, Hawkings. São idéias e homens
originários de nações ao Norte do Mediterrâneo.
Portanto, falar dessa Matemática em ambientes culturais diversificados,
sobretudo em se tratando de nativos ou afro-americanos ou outros não europeus,
de trabalhadores oprimidos e de classes marginalizadas, além de trazer a
lembrança do conquistador, do escravista, enfim do dominador, também se refere
a uma forma de conhecimento que foi construído por ele, dominador, e da qual
ele se serviu e se serve para exercer seu domínio.
Muitos dirão que isso também se passa com calças "jeans", que se mescla
com as vestes tradicionais, ou com a "Coca-Cola", que aparece como uma opção
para o guaraná, ainda preferido por muitos, ou com o rap, que está se
popularizando e, junto com o samba, produzindo um novo ritmo. As formas
tradicionais [do dominado] permanecem e, naturalmente, se modificam pela
presença das novas [do dominador]. Mas também as formas novas, do
dominador, são modificadas no encontro com as formas tradicionais, do
26
dominado. A religião e a língua do dominador se modificaram ao incorporar as
tradições do dominado.
Mas a Matemática, com seu caráter de infalibilidade, de rigor, de precisão e
de ser um instrumento essencial e poderoso no mundo moderno, teve sua
presença firmada excluindo outras formas de pensamento. Na verdade, ser
racional é identificado com dominar a Matemática. A Matemática se apresenta
como um deus mais sábio, mais milagroso e mais poderoso que as divindades
tradicionais e outras tradições culturais.
Se isto pudesse ser identificado apenas como parte de um processo
perverso de aculturação, através do qual se elimina a criatividade essencial ao ser
[verbo] humano, eu diria que essa escolarização é uma farsa. Mas é muito pior,
pois na farsa, uma vez terminado o espetáculo, tudo volta ao que era. Enquanto
na educação o real é substituído por uma situação que é idealizada para
satisfazer os objetivos do dominador. Nada volta ao real ao terminar a experiência
educacional. No processo, o aluno tem suas raízes culturais, parte de sua
identidade, eliminadas. Essa eliminação produz o excluído.
Isto é evidenciado, de maneira trágica, na Educação Indígena. O índio passa
pelo processo educacional e não é mais índio [...] mas tampouco branco. Sem
dúvida a elevada ocorrência de suicídios entre as populações indígenas está
associado a isso. Ora, isso se passa da mesmíssima maneira com as classes
populares, mesmo não índios. Exatamente isso se dá com uma criança, com um
adolescente e mesmo com um adulto ao se aproximar de uma escola. Se os
índios praticam suicídio, o que nas suas relações intraculturais não é impedido, a
forma de suicídio praticada nas outras camadas da população é uma atitude de
descrença, de alienação, e mesmo niilismo, tão bem mostrado nos filmes
recentes Kids e Beleza Americana.
Uma pergunta natural depois dessas observações pode ocorrer: seria
melhor, então, não ensinar matemática aos nativos e aos marginalizados? Essa
pergunta se aplica a todas as categorias de saber/fazer próprios da cultura do
dominador, com relação a todos os povos que mostram uma identidade cultural.
Não se questiona a conveniência e mesmo a necessidade de ensinar aos
dominados a língua, a matemática, a medicina, as leis do dominador, sejam esses
índios e brancos, pobres e ricos, crianças e adultos. Chegamos a uma estrutura
de sociedade e a conceitos de cultura, de nação e de soberania que impõem essa
27
necessidade. O que se questiona é a agressão à dignidade e à identidade cultural
do dominado.
A responsabilidade maior dos teóricos da educação é alertar para os danos
irreversíveis que se podem causar a uma cultura, a um povo e a um indivíduo se
o processo for conduzido levianamente, muitas vezes até com boa intenção, e
fazer propostas para minimizar esses danos. Muitos educadores não se dão conta
disso.
A dimensão política do Programa Etnomatemática
Naturalmente, há um importante componente político nessas reflexões.
Apesar de muitos dizerem que isso é jargão ultrapassado de esquerda, é claro
que continuam a existir as classes dominantes e subordinadas, tanto nos países
centrais e quanto nos periféricos.
Faz sentido, portanto, falarmos de uma "matemática dominante", que é um
instrumento desenvolvido nos países centrais e muitas vezes utilizado como
instrumento de dominação. Essa matemática e os que a dominam se apresentam
com postura de superioridade, com o poder de deslocar e mesmo eliminar a
"matemática do dia-a-dia". O mesmo se dá com outras formas culturais.
Particularmente interessantes são os estudos de Basil Bernstein sobre a
linguagem. São conhecidas inúmeras situações ligadas ao comportamento, à
medicina, à arte e à religião. Todas essas manifestações são referidas como
cultura popular.
A cultura popular, embora seja viva e praticada, é muitas vezes ignorada,
menosprezada, rejeitada, reprimida e, certamente, diminuída. Isto tem como efeito
desencorajar e até eliminar o povo como produtor e mesmo como entidade
cultural.
Isso não é menos verdade com a Matemática. Em particular na Geometria e
na Aritmética se notam violentas contradições. Por exemplo, a geometria do povo,
dos balões e dos papagaios, é colorida. A geometria teórica, desde sua origem
grega, eliminou a cor. Muitos leitores a essa altura estarão confusos. Estarão
dizendo: mas o que isso tem a ver com Matemática? Papagaios e balões? Cores?
Tem tudo a ver, pois são justamente essas as primeiras e mais notáveis
experiências geométricas. E, todos concordam, que a reaproximação de Arte e
Geometria não pode ser alcançada sem o mediador cor. Na Aritmética, o atributo
do número na quantificação é essencial. Duas laranjas e dois cavalos são "dois"
28
distintos. Chegar aos “dois" sem qualificativo, abstrato, assim como à Geometria
sem cores, é o ponto crítico na elaboração de uma Matemática teórica.
O cuidado com a passagem do concreto para o abstrato é fundamental na
Educação. Trabalhar adequadamente esse momento talvez sintetize tudo que há
de importante nos programas de Matemática Elementar. O resto do que constitui
os programas são técnicas que pouco a pouco vão se tornando interessantes e
necessárias, para uns e menos interessantes e necessárias para outros.
O que justifica o papel central das idéias matemáticas em todas as
civilizações [Etnomatemática] é o fato de ela fornecer os instrumentos intelectuais
para lidar com situações novas e definir estratégias de ação. Portanto a
Etnomatemática do indígena serve, é eficiente e adequada para as coisas
daquele contexto cultural, naquela sociedade. Não há porque substituí-la. A
Etnomatemática do branco serve para outras coisas, igualmente muito
importantes, propostas pela sociedade moderna e não há como ignorá-la.
Pretender que uma seja mais eficiente, mais rigorosa, enfim melhor que a outra é,
se removida do contexto, uma questão falsa e falsificadora.
O domínio de duas Etnomatemática, e possivelmente de outras, oferece
maiores possibilidades de explicações, de entendimentos, de manejo de
situações novas, de resolução de problemas. É exatamente assim que se faz boa
pesquisa matemática -- e na verdade pesquisa em qualquer outro campo do
conhecimento. O acesso a um maior número de instrumentos e de técnicas
intelectuais dá, quando devidamente contextualizadas, muito maior capacidade de
enfrentar situações e problemas novos, de modelar adequadamente uma situação
real para, com esses instrumentos, chegar a uma possível solução ou curso de
ação.
Isto é aprendizagem por excelência, isto é, a capacidade de explicar, de
apreender e compreender, de enfrentar, criticamente, situações novas. Aprender
não é o mero domínio de técnicas, habilidades e nem a memorização de algumas
explicações e teorias.
A adoção de uma nova postura educacional é a busca de um novo paradigma
de educação que substitua o já desgastado ensino-aprendizagem, que é baseado
numa relação obsoleta de causa-efeito.
Procura-se uma educação que estimule o desenvolvimento de criatividade
desinibida, conduzindo a novas formas de relações interculturais e intraculturais.
29
Essas relações caracterizam a educação de massa e proporcionam o espaço
adequado para preservar a diversidade e eliminar a desigualdade discriminatória,
dando origem a uma nova organização da sociedade. Fazer da Matemática uma
disciplina que preserve a diversidade e elimine a desigualdade discriminatória é a
proposta maior de uma Matemática Humanística. A Etnomatemática tem essa
característica.
Então, a Etnomatemática traz uma proposta que valoriza a cultura e a
matemática presente no cotidiano das pessoas. E por abranger diversas dimensões:
conceitual, histórica, cognitiva, desafios do cotidiano, epistemológica, política,
educacional, privilegiando um raciocínio qualitativo, torna-se um grande facilitador
para o processo de ensino e aprendizagem.
6.3.2. Exemplo
6.3.2.1 Síntese do exemplo relatado por Domingues no artigo 6: A aula de
Matemática numa perspectiva Etnomatemática.
Os professores das disciplinas de matemática, ciências e educação física,
preocupados coma obesidade e sedentarismo dos alunos aliado ao interesse dos
mesmos pelo assunto, resolveram desenvolver um projeto sobre obesidade e
diabetes infantil.
Os alunos pesquisaram sobre as doenças em hospitais com médicos e
enfermeiras, internet, bibliotecas e consultaram familiares e amigos. A área de
ciências trabalhou os conceitos de obesidade e diabetes e suas prevenções; a
área de educação física desenvolveu a conscientização sobre a importância da
prática esportiva para um corpo saudável; a área de Matemática foi responsável
pela pesquisa de receitas culinárias saudáveis, trabalhando com medidas de
massa, volume, capacidade, transformações e relações dessas medidas a partir
das medidas usadas diariamente pelos alunos como “um dedo de”, “uma colher
de”, “uma xícara de” que estão inseridas em nossa cultura e que não são
valorizadas na escola. Essa divisão de tarefas citada foi uma mera formalidade,
6
Síntese do exemplo relatado por Domingues no artigo: A aula matemática numa perspectiva
Etnomatemática. Disponível em: <http://www.sbempaulista.org.br/epem/anais/grupos_trabalho/gdt01Katia.doc>. Acesso em: 12 dez. 2009.
30
pois os assuntos foram abordados globalmente, uma matéria complementou a
outra durante todo o projeto.
Em grupos e com a ajuda dos pais os alunos desenvolveram receitas
saudáveis como saladas, vitaminas, lanches naturais, sucos e outros. Tiraram
fotos e fizeram síntese das informações obtidas com familiares ou pessoas
ligadas sobre o que conheciam das doenças e concluíram com a organização de
um livro. De modo geral, todos os alunos se envolveram nessa atividade com
dedicação e entusiasmo. Ao preparar um lanche, o aluno pôde mensurar as
calorias existentes no mesmo, além de verificar semelhanças de medidas como
uma pitada de sal ou um punhado de tomates com as medidas de massa que
constam nos livros didáticos, ampliando o conhecimento sem desvalorizar a
cultura da criança.
6.3.3. Atividades
Finalidade: Compreender e interpretar Etnomatemática para que com os conceitos
apreendidos elaborarem um plano de aula ou projeto utilizando-a como metodologia.
6.3.3.1. Da história e conceito do Programa Etnomatemática, retire por meio da
leitura, cinco frases ou parágrafos que lhe chamaram atenção pela
importância ou pela não compreensão. Dado tempo para essa atividade,
ao sinal da professora, junte-se com outros dois colegas e compartilhe o
que ressaltou e das sugestões do grupo escolha cinco para discutir em
plenária com as(os) demais colegas da turma.
6.3.2.2. No laboratório de informática pesquise o texto de LUCENA, I. C. R.de.;
BRITO, M. A. R. Minicurso: Etnomatemática nas séries iniciais.
Disponível em: <http://www.ufpa.br/npadc/gemaz/downloads/Artigos%20
Publicados/IVEPAEM%20mc%2002%20Etnomatematica%20nas%20serie
s%20iniciais.pdf> e obtenha algumas sugestões de trabalho sob a
perspectiva Etnomatemática. Em seguida, em trios, baseado nos
exemplos elabore um projeto que envolva essa Tendência metodológica.
31
6.4 MÍDIAS TECNOLÓGICAS
6.4.1 O que é e como devem ser utilizadas as Mídias na educação
Segundo DCEs (2008) o uso de Mídias tem levantado novas questões em
relação ao currículo, e à experimentação matemática, pois se tem acesso a muita
informação e de maneira rápida, podendo dessa forma surgir novas teorias
matemáticas. Muitas atividades que na década passada levavam tempo para serem
executadas, hoje por um comando faz-se em poucos segundos. Referencia nesse
documento os recursos tecnológicos como “o software, a televisão, as calculadoras,
os aplicativos da Internet, entre outros” (PARANÁ, 2008. p.65), pois estes favorecem
as experimentações matemáticas e aumentam as formas de resolução de
problemas.
Com o surgimento da internet, o usuário tem a possibilidade de interagir,
comunicar-se e também produzir conteúdos e publicá-los na rede. O usuário
comunica-se por meio de correio eletrônico, pode participar de salas de discussões
ou bate-papo, criar comunidades virtuais de aprendizagem, como também pode criar
grupos ou fóruns, pois há uma traça de informações durante essas ações. Tem
acesso a sites de domínio público como o portal Dia a dia Educação ou a sites como
o YouTube que permitem a divulgação de vídeos produzidos pelos usuários, acesso
a rádios web por meio dos podcasts (forma de publicação de arquivos de mídia
digital: áudio, vídeo, foto, PPS, etc.), além de blogs, fotologs e videologs. Devemos
também salientar a importância do uso da TV pen drive, DVD e data show nas aulas
dos educadores. “O trabalho com as mídias tecnológicas insere diversas formas de
ensinar e aprender, e valoriza o processo de produção de conhecimentos” (ibidem,
p.66).
Borba e Penteado (2001, p. 11-18) descrevem em seu livro Informática e
Educação Matemática, sobre o debate a respeito das mídias nas duas últimas
décadas no Brasil e em outros lugares do mundo. Segundo os autores:
Talvez ainda seja possível lembrar dos discursos sobre o perigo que a
utilização da informática poderia trazer para a aprendizagem dos alunos.
Um deles era o de que o aluno iria só apertar teclas e obedecer a
orientação dada pela máquina. Isso contribuiria ainda mais para torná-lo um
mero repetidor de tarefas (BORBA e PENTEADO, 2001, p. 11).
32
Conforme leitura do livro, citado acima, constatamos que essa preocupação
ainda existe por parte de alguns educadores e em especial na comunidade de
educaçao matemática, pois, sempre há um pré-conceito de que no momento que o
raciocinio passa a ser realizado por uma ferramenta tecnológica, seja computador,
calculadora ou outros, o aluno não precisa mais raciocinar e dessa forma não
desenvolverá mais sua inteligência. Como analisar essas considerações:
Uma forma de refletirmos sobre essas perguntas seria reformulá-los dentro
do contexto do uso de lápis e papel. Perguntamos: será que o aluno deveria
evitar o uso intensivo de lápis e papel para que não fique dependente
dessas mídias? Em geral, as pessoas ficam perplexas diante de tal questão.
“Como assim?” Parece que não consideram o lápis e o papel como
tecnologias, da mesma forma que o fazem com o computador. Para elas, o
conhecimento produzido quando o lápis e papel estão disponíveis não
causa dependência. É como se a caneta, por exemplo, fosse “transparente”
para os que advogam essa posição. Para nós, entretanto, sempre há uma
dada mídia envolvida na produção de conhecimento. Dessa forma, essa
dependência sempre existirá e estará bastante relacionada ao contexto
educacional em que nos encontremos Esse contexto está sempre
geográfica e historicamente determinado e sua constituição depende
também da disponibilidade de mídias como a oralidade, lápis e papel e a
informática. Em matemática, por exemplo, as demonstrações são fruto da
disponibilidade da escrita em diversas sociedades (ibidem, 2001, p. 13).
Além dos problemas apontados acima, Borba e Penteado (2001) alegam que
muitos professores julgam uma utopia a informática na escola devido a questão
econômica, pois, como comprar computadores para as instituições escolares, se em
algumas delas não há giz e os professores são mal remunerados? De acordo com
esses educadores primeiro precisamos melhorar o salário e as condições de
infraestrutura das escolas para depois pensar em tecnologia. Mas quem garante que
o dinheiro destinado para aquisiçao de tecnologia possa ser desviado e aplicado em
salários e infraestrutura?
Vejamos um acontecimento recente: o governo privatiza as empresas de
telecomunicações, com preços e juros abaixo do mercado, subsidiados pelo
contribuinte e impõe uma cláusula nos contratos de privatização que faz
com que as novas empresas separem uma parcela de seus faturamentos
para o Fundo de Universalização do Sistema de Telecomunicações (FUST)
que será utilizado para a compra de equipamento de informática. É dessa
fonte que o governo federal utiliza recursos para a compra de computadores
para escolas do Ensino Médio em programa lançado em fevereiro de 2001.
Em outras palavras, se o dinheiro não for utilizado para comprar
computadores e acesso à Internet para as escolas, ele será utilizado para
outros fins, relacionados à telecomunicação, mas não para “giz” ou salário
(BORBA e PENTEADO, 2001, p.13-14).
33
Não há possibilidades de “desviar” uma verba disponível para aquisição de
computadores, internet, enfim tecnologia em nossas escolas para melhoria de
salário do professor ou da infraestrutura escolar.
Segundo Borba e Penteado (2001),
existem educadores que apontam a
informática como um poderoso recurso para a solução dos problemas educacionais,
esquecendo-se porém de apontar para quais problemas seria a solução. Nessa
perspectiva vejamos o que Moran diz:
Como em outras épocas, há uma expectativa de que as novas tecnologias
nos trarão soluções rápidas para o ensino. Sem dúvida as tecnologias nos
permitem ampliar o conceito de aula, de espaço e tempo, de comunicação
audiovisual, de estabelecer pontes novas entre o presencial e o virtual,
entre o estar juntos e o estarmos conectados a distância. Mas se ensinar
dependesse só de tecnologias já teríamos achado as melhores soluções há
muito tempo. Elas são importantes, mas não resolvem as questões de
fundo. Ensinar e aprender são os desafios maiores que enfrentamos em
todas as épocas [...] (MORAN, 2000, p. 137).
Segundo Borba e Penteado (2001, p.15), os adeptos à tecnologia salientam
que a sua inserção estimula o aperfeiçoamento profissional para que os professores
possam trabalhar com a informática, abrindo novas perspectivas para a profissão
docente. Outros defendem a utilização do computador devido a motivação que ele
traz a sala de aula que é dada pelas cores e o dinamismo.
Vahlensieck (2005) exemplifica o uso do computador afirmando que:
O professor pode demonstrar um procedimento aos alunos "ao vivo", no
computador. Por exemplo, como preencher uma folha de exercícios ou
como acessar a Internet [...]. O professor pode criar uma apresentação com
um software, como o PowerPoint, para ser usada durante a aula [...]. O
professor pode publicar apresentações e outras informações na Internet
para que os alunos possam acessá-las. A rede de PCs é igualmente
adequada
para
trabalho
em
grupo,
projetos
e
workshops
(VAHLENSIECK, 2005, p.3).
Então podemos utilizar as ferramentas tecnológicas de diversas maneiras e
de forma criativa, basta o educador se dispor a fazer a diferença.
Segundo Moran (2000, p.137-143) o professor tem muitas opções
metodológicas para preparar suas aulas, introduzir um conteúdo, seja presencial ou
virtual, inclusive inúmeras formas de avaliá-los. De acordo com o autor não há
modelos, pois, “cada caso é um caso”, então:
É importante que cada docente encontre o que lhe ajuda mais a sentir-se
bem, a comunicar-se bem, ensinar bem, ajudar os alunos que aprendam
melhor. É importante diversificar as formas de dar aula, de realizar
atividades, de avaliar (MORAN, 2000, p. 137).
34
Logo é necessário mostrarmos aos alunos o que temos a oferecer e o que
irão receber ao longo do semestre ou ano. E incentivá-los para o processo de aula e
pesquisa e para as tecnologias que iremos utilizar entre elas a internet. Para isso
podemos criar uma página pessoal na Internet, onde se cria um espaço virtual de
encontro e divulgação das ideias e propostas do professor e do aluno. É importante
esse espaço além do presencial. Segundo Moran (ibidem, 2000), o professor pode
ainda utilizar-se de ferramentas simples da Internet para melhorar a interação e
promover aulas-pesquisa, onde ambos (professor e aluno) procuram novas
informações. Por meio da utilização dos recursos tecnológicos citados acima e
outros haverá uma integração maior das tecnologias e das metodologias que é
trabalhar com o oral, a escrita e o audiovisual, ganhando com isso alunos,
professores, enfim a sociedade educacional.
6.4.2. Exemplos
No primeiro exemplo descrevemos como Borba e Penteado (2001, p. 39-42)
exemplificam uma aula com o uso de mídias com e de modelagem. Descreveram
sobre um grupo de alunos de 1995 que escolheram analisar a germinação de
sementes de melão. Os alunos poderiam escolher diferentes temas para serem
investigados que estavam ligados à música, à Biologia e à Matemática dentre
outros. O grupo tentou relacionar temperatura com a quantidade em percentagem de
sementes que germinaram. A coleta de dados gerou uma função quadrática. Os
alunos utilizaram muito a calculadora no enfoque experimental e chegaram à
equação y = 0,15(x-27)2 + 98. Depois de concluída a fase experimental, foi feito o
ajuste da curva, com uma função quadrática, para a concretização da experiência. A
turma combinou argumentos da Biologia com a Matemática e dessa forma decidiram
pela função. Para o feitio dos gráficos utilizou-se de softwares que fazem ajuste das
curvas de uma forma simples. Para que todo esse processo acontecesse, foi
fundamental o acesso à tecnologia, e dessa forma chegaram a um modelo.
No segundo exemplo Vahlensieck (2005, p.6-7), em seu artigo uma aula
com uso do software Vision como ferramenta de instrução em um laboratório de
Informática. Em primeiro lugar expõe aos alunos técnicas apropriadas de pesquisa
na Internet usando computador para a apresentação. Para que todos tenham acesso
35
ao conteúdo aperta uma tecla intitulada Demo no programa e todos visualizam o que
professor vê e os teclados e mouses dos alunos são bloqueados para que os alunos
prestem atenção ao que professor quer transmitir, após a apresentação da aula os
alunos podem minimizar a apresentação e fazer uso da mesma quando houver
dúvidas.
Os exemplos acima são apenas uma das inúmeras formas de utilização das
tecnologias em nossas aulas, que com certeza serão mais criativas e crítica.
Autonomia e cooperação ganham espaço cada vez mais significativo, mas, convém
salientar que para isso é imprescindível que se tenha uma teoria que oriente a
prática num modelo que valorize o ser humano como um ser em construção e em
interação com o outro, tendo claros os objetivos com relação ao cidadão que se quer
formar e um olhar mais amplo do papel do ser humano na sociedade atual.
6.4.3.Atividade
Finalidade: diferenciar metodologia de tecnologia e detectar a importância das
mídias tecnológicas no ensino e aprendizagem.
Após a leitura “O que é e como devem ser utilizadas as mídias na educação?”
e a descrição dos exemplos com uso das mídias assista aos vídeos do youtube:
 Apresentando o livro: <http://www.youtube.com/watch?v=M1NbUI1TQpo>.
 Tecnologia ou metodologia:< http://www.youtube.com/watch?v=xLRt0mvvpBk>.
 Aprende a aprender: <http://www.youtube.com/watch?v=onQrYYFf2to>.
Em seguida escreva o que é tecnologia? O que é metodologia? Para que ambas
servem? Dificuldades em utilizá-las. (mínimo de uma lauda).
Obs:
Após
a
correção,
os
textos
<http://www.leni.swa.com.br/>.
36
serão
disponibilizados
no
site
PARA REFLETIR:
CORTELLA, M. S. Aprendendo na escola e na ONG. (CORTELLA, M. S.
Disponível em: <http://www.auniaofazavida.com.br/websiteufv/upload/files/4865_
Aprendendo_na_escola_e_
na_ONG___Cortella.pdf >. Acesso em: 27 fev.
2010.
Unidade 3 – Refletindo sobre as mídias na Educação a Distância. Disponível
em:<http://anapaula.pbworks.com/f/Unidade_3.pdf> acesso em: 24 mai. 2010.
MORAN, J. M. Desafios da televisão e do vídeo à escola. Disponível em:
<htt://www.eca.usp.br/prof/moran/desafio.htm>>. Acesso em: 10 mar. 2008.
_____. A integração das tecnologias na educação. Disponível em:
<http://www.eca.usp.br/prof/moran/integracao.htm > Acesso em: 10 mar. 2008.
6.5.HISTÓRIA DA MATEMÁTICA
6.5.1. Importância da História para o ensino e a aprendizagem
Um dos objetivos de ensinarmos por meio da História da Matemática é buscar
na história dos povos desde a sua origem até os dias atuais, conhecimentos
matemáticos entendidos de diferentes formas, para assim compreendermos a
importância do pensamento matemático que diz respeito à lógica, intuição,
formalização,
dedução,
abstração,
axiomatização,
teoremas,
sistematização,
descoberta, generalização e outros. O desafio é relacionar tudo isso com o
cotidiano, com a prática e desta forma fazer sentido para a compreensão dos
conteúdos que compõe a disciplina e que faz parte de um currículo escolar.
Segundo a DCEs (2008):
A história deve ser o fio condutor que direciona as explicações dadas aos
porquês da Matemática. Assim, pode promover uma aprendizagem
significativa, pois propicia ao estudante entender que o conhecimento
matemático é construído historicamente a partir de situações concretas e
37
necessidades reais (MIGUEL
e MIORIM, apud PARANÁ, 2008, p.
66).
Nesse sentido, por exemplo, a geometria plana, também chamada geometria
elementar ou Euclidiana pode ser ensinada, narrando seu início na Grécia antiga, e
que esta, analisava as diferentes formas de objetos, baseando-se no ponto, reta e
plano. Em seguida fazer a demonstração, falar sobre os papiros, sobre Euclides e
assim, dando sequência, chegar aos dias atuais. Dessa forma haverá maior
entendimento do porque e para que estudar geometria. Logo a história “possibilita ao
aluno analisar e discutir razões para aceitação de determinados fatos, raciocínios e
procedimentos” (ibidem, p.66).
Todavia devemos ter cautela quando propomos atividades em sala de aula,
com a utilização da História da Matemática, ela é muito mais que um simples
instrumento metodológico, é uma área do conhecimento matemático, um campo de
investigação. De acordo com Baroni e Nobre:
A necessidade de se pensar a História da Matemática como área de
investigação científica nos leva a reflexões outras, que dizem respeito à
História da Matemática e suas relações com a Educação Matemática, pois
somente a formação do pesquisador em História não basta, pois esse deve
ter também o compromisso com a formação de novos pesquisadores, ou
seja, a educação (BARONI e NOBRE, 1999, p.130).
Fauvel (1997, p.17-18) sustenta que há algumas razões que têm sido
apresentadas para justificar o uso da história no ensino de Matemática, dentre elas:
ajuda a aumentar a motivação para aprender; humaniza a Matemática; comparara o
antigo e o moderno, ajudando a valorizar o moderno; torna a Matemática menos
assustadora; proporciona formas de investigações e os alunos percebem que não
são os únicos a terem dificuldades, os obstáculos do passado explicam as
dificuldades do presente. Dando sequência a leitura, sugere formas de usar a
História da Matemática na sala de aula como: mencionar episodicamente os
matemáticos antigos; fazer introduções históricas aos conceitos novos; encorajar os
educandos a compreender os problemas históricos, dos quais os conceitos atuais
que estão aprendendo são resposta; dar aulas de “História da Matemática”, dar
atividades baseadas em textos antigos, bem como encorajá-los a fazerem cartazes
com a história para que pelo desenho e ou visualização ou outras atividades a
compreendam; realizar projetos sobre a atividade matemática do passado do local e
usar exemplos críticos do passado para mostrar técnicas e métodos; optar por uma
38
abordagem pedagógica de um tópico em sintonia com o seu desenvolvimento
histórico e ordenar e estruturar os temas do programa tendo em consideração o seu
enquadramento histórico.
Do ponto de vista de Fauvel (1997) vamos à sugestão para professores de
D’Ambrósio:
Qualquer individuo, durante todo o seu dia, calcula, mesmo sem se
aperceber disso, tempo e espaço, e traça planos de ação. Identificar essa
matemática do cotidiano é algo que pode ser muito bem explorado pelos
professores. É atual, interessante e útil. Um outro exercício interessante, de
natureza histórica, é o levantamento de fatos matemáticos numa
comunidade. Desde o traçado da cidade (em alguns casos as cidades
brasileiras foram planejadas) até a construção e localização de
monumentos (D’Ambrósio, 2000, p.255).
Segundo Swetz (1997), a História deve ser ensinada de tal forma que o jovem
adquira consciência de sua origem, tradição e assim haja sua inserção na
sociedade. Diz que quando trazemos a história em nossas aulas de matemática,
diminuímos a sua mística absurda, pois “a matemática não é algo mágico e
ameaçadoramente estranho, mas sim um corpo de conhecimento naturalmente
desenvolvido por pessoas durante 5000 anos” (SWETZ, 1997, p.21). Ainda para o
autor com a História percebemos que pessoas cometem erros e encontram soluções
para seus problemas, concluem fazendo um registro dos mesmos e dessa forma nos
beneficiam com as informações. Diante dos fatos abordados até então,
diagnosticamos que ensino da Matemática, pode ser desmistificado e humanizado
pela inclusão da História nas discussões em aula.
Então, professores e alunos envolvidos em utilizar a História para apontar e
compreender a Matemática do cotidiano se empenham de uma forma ou outra seja
fazendo planejamentos, modelos ou projetos, levando em consideração o entorno da
escola, ou seja, o cotidiano do aluno como uma vasta fonte de pesquisa.
6.5.2.Exemplos da utilização da História na sala de aula
Abaixo contemplamos um fragmento de experiências com a História da
Matemática no artigo7 “História da Matemática como instrumento para a
interdisciplinaridade na educação básica” de Gasperi e Pacheco
7
GASPERI W.N. H.; PACHECO, E. R. História da Matemática como instrumento para a
interdisciplinaridade
na
educação
básica.
2008,p.10-13
Disponível
em:
39
ATIVIDADE I – Leitura de livros paradidáticos que mencionam tópicos da História
da Matemática relativamente aos conteúdos trabalhados. Foram utilizados os
livros “O Idioma da Álgebra” e “Equações do 2º Grau” (GUELLI, 1994), entre
outros. Cada grupo de quatro ou cinco alunos recebeu um capítulo do livro para
ler e estudar. Os alunos deveriam ler e interpretar a história descrita, refazer as
atividades apresentadas no livro e confeccionar o material prático sugerido nas
questões. Cada grupo fez a apresentação para a turma, do que tinha estudado do
livro.
ATIVIDADE II – Projeto de Contação de Histórias (da Matemática): Nessa
atividade mensal, cada dupla de aluno recebeu uma reportagem de uma revista
de circulação mensal a qual contém uma seção sobre um breve tópico da história
da matemática. Após a leitura, interpretação e discussão do texto, os alunos
fizeram o relato escrito do que leram e, na seqüência, contaram para a turma.
ATIVIDADE III – Resolução de problemas históricos: Foram trabalhados
“enigmas” como a lápide de Diofante, o desafio da Índia Antiga e o problema da
Babilônia. Foi proposto aos alunos que explicassem os seus procedimentos de
resolução.
ATIVIDADE IV – Textos históricos para introdução de um conteúdo: O professor
organizou textos sobre a construção histórica dos conceitos a serem trabalhados,
segundo o plano de ensino da série, como: sistema de numeração decimal,
funções, matrizes e determinantes, matemática financeira, análise combinatória,
etc. Como por exemplo: “Construção histórica do conceito de função, apresentado
no material didático – Folhas – produzido, para a 1ª série do ensino médio.
Apresentou-se esse material para leitura, interpretação e debate sobre o contexto
temporal e abordando os nomes que contribuíram para que se chegassem ao
atual conceito, fórmulas, métodos para resolução dos conteúdos trabalhados.
ATIVIDADE V – Pesquisa sobre os matemáticos da história: Efetuada após a
apresentação do texto histórico, utilizado na atividade IV, citando os matemáticos
que contribuíram para a elaboração de alguns conceitos. Em duplas, e numa
brincadeira de “amigo secreto”, os alunos sortearam um nome de matemáticos
<http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/701-4.pdf?PHPSESSID=20090
71515422567> Acesso em: 04 mar. 2010.
40
citados no texto da atividade anterior. Cada dupla deveria fazer uma síntese de
sua história e depois apresentá-la para a turma.
ATIVIDADE VI – Uma cronologia da História da Matemática: Foram elaborados
alguns slides apresentando a cronologia da História da Matemática, possibilitando
a observação da presença de mulheres na história, a contribuição de cada nome
para o desenvolvimento dos conceitos atuais, os espaços de tempos
compreendidos entre um trabalho e outro em relação à produção matemática do
século XIX. A leitura e análise da cronologia abriram um leque de
questionamentos que se tornaram passíveis a muitos tipos de pesquisas e
discussões.
ATIVIDADE VII – Os primórdios da matemática: “Uma viagem pelo Túnel do
Tempo”. Alguns slides foram elaborados sobre a evolução, desde o Big-bang
(teoria da grande explosão), formação das galáxias, da Via-Láctea, do Sistema
Solar, da Terra, a origem da vida, a evolução dos seres vivos, os primatas, o
homo sapiens, a revolução agrícola e a revolução urbana, para que os alunos
pudessem retirar dali, indícios sobre origem da matemática.
ATIVIDADE VIII – A História da Matemática na antigüidade: Civilização Grega.
Dividiu-se a turma em grupos de quatro ou cinco alunos. A cada grupo, coube a
leitura dos textos previamente elaborados ou a pesquisa sobre as questões
abaixo:
1) a história da civilização grega,
2) a filosofia, a economia
3) aspecto religioso, aspecto político
4) geográfico,
5) arte e cultura,
6) contexto matemático (contexto comunitário),
7) matemáticos da época (contexto individual, pessoal).
Cada grupo deveria ler e interpretar seu texto ou fazer a pesquisa sobre o
tema solicitado e organizar uma forma de apresentação ao coletivo. No final, o
professor conduziu um debate, ressaltando a importância da civilização grega
como base da matemática, desenvolvimento dos povos e também elucidando
como o conhecimento matemático está interligado com outras áreas.
41
6.5.3. Atividades
Finalidade: identificar a importância da utilização da História no ensino da
Matemática, bem como, elaborar planos de aula que contemplem os conteúdos das
séries iniciais do Ensino Fundamental, utilizando a história como estratégia
metodológica.
6.5.3.1. Em duplas:
 Faça leitura do texto sobre a “Importância da História para o ensino e a
aprendizagem”, em seguida elenque três justificativas para se ensinar
por meio dela.
 Analise os exemplos tratados nos textos e em seguida pesquise mais
sugestões de aplicações e sugira outros exemplos possíveis de serem
aplicados de primeiro ao quinto ano.
Após a conclusão das atividades acima, fazer um círculo e propiciar um
debate visando troca de informações.
6.5.3.2. Em trios elaborar um plano de aula com o uso da história e que contemple
um conteúdo de uma das séries iniciais do Ensino Fundamental.
Obs: Após a correção, os planos de aula serão disponibilizados no site
<http://www.leni.swa.com.br/ >
CURIOSIDADES:
 Vídeo sobre a participação da mulher na Matemática:
A
Prova
-
Números
Primos
de
Sophie
Germain.
Disponível
em:
<http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=1553
8> Acesso em: 13 de mar. 2010.
42
 Vídeo sobre a História da Matemática: Cifras – parte 1.
História
da
Matemática:
Cifras
–
parte
1.
Disponível
em:
<http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=1490
9> Acesso em: 13 mar. 2010.
 Vídeo sobre a História da Matemática: Cifras – parte 2.
História
da
Matemática:
Cifras
–
parte
2.
Disponível
em:
<http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=149
10 > Acesso em: 13 mar. 2010.
6.6. INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS
6.6.1. O que é Investigar em Matemática
A Investigação surge de perguntas ou dúvidas no grupo de estudo, trabalho
ou na sala de aula. O objeto de investigação é o que o grupo tem em mãos.
Segundo as DCEs (2008) o que diferencia as investigações matemáticas de outro
problema ou dos exercícios é:
[...] um problema é uma questão para a qual o aluno precisa estabelecer
uma estratégia heurística, isto é, ele não dispõe de um método que permita
a sua resolução imediata; enquanto que um exercício é uma questão que
pode ser resolvida usando um método já conhecido. Em ambos os casos,
todavia, há uma expectativa do professor de que o aluno recorra a
conteúdos já desenvolvidos em sala de aula. Além disso, exercícios e
problemas são expressos por meio de enunciados que devem ser claros e
não darem margem a dúvidas. A solução de ambos e a resposta do aluno,
esteja ela certa ou errada, são conhecidas e esperadas pelo professor. Uma
investigação é um problema em aberto e, por isso, as coisas acontecem de
forma diferente do que na resolução de problemas e exercícios. O objeto a
ser investigado não é explicitado pelo professor, porém o método de
investigação deverá ser indicado através, por exemplo, de uma introdução
oral, de maneira que o aluno compreenda o significado de investigar [...] Na
investigação matemática, o aluno é chamado a agir como um matemático,
não apenas porque é solicitado a propor questões, mas, principalmente,
porque formula conjecturas a respeito do que está investigando
(PARANÁ, 2008, p.67).
Para tanto uma “investigação é uma viagem ao desconhecido (FONSECA,
BRUNHEIRA E PONTE, 2000, p. 4). O aluno fará o possível para encontrar a
43
solução por caminhos não convencionais, muitas vezes ao tentar fazer uma
determinada tarefa ou desafio matemático, começará a traçar diversos caminhos
com inúmeras hipóteses de soluções de modo a criar verdadeiros cenários de
investigação matemática. Logo há somente a certeza do ponto de origem, mas não
o de chegada.
Enfim as tarefas investigativas promovem a problematização de conceitos
matemáticos, levando professores e alunos a serem produtores do conhecimento.
Com isso são levados a uma autonomia intelectual, pois terão que explorar,
formular, pesquisar e testar hipóteses por meio de pesquisas, então terão que ir em
busca do desconhecido pelo conhecido.
Segundo Fonseca, Brunheira e Ponte (2000, p. 9-10) para que uma atividade
de Investigação Matemática seja realmente significativa, contribuindo realmente com
a aprendizagem para os educandos, o educador deve preparar com cuidado suas
aulas, definir bem os objetivos, e conforme palavras dos autores “torna-se também
necessária uma atitude por parte do professor que deve ser também ela, de carácter
investigativo e uma reflexão sobre os objectivos que se pretendem atingir com a
realização de actividades de investigação” (FONSECA, BRUNHEIRA e PONTE, p.9).
Segundo os autores o professor deve estar inserido no contexto da escola,
onde a prioridade é participar na integra da elaboração do currículo em todas as
suas instâncias. Ele precisa decidir sobre qual será a nota atribuída às atividades de
investigação, bem como a relação das mesmas com o conteúdo do currículo a ser
estudado. Sendo de relevância decidir se os conteúdos surgirão a partir das
atividades ou depois delas.
Logo, baseada em Fonseca, Brunheira e Ponte (2000) concluímos que
preparar uma aula que usa a Investigação Matemática como metodologia, requer
preparo das aulas quanto a selecionar e reformular para adaptar ou construir a
tarefa, além disso, ainda existe a questão do desafio que é estimular o aluno a
investigação. Então às questões devem ser abertas, interessantes, baseadas em
pesquisa em vários materiais, mídias, livros e outros. Além de ter que desenvolver a
criatividade para dar vida a tarefa ainda há a questão que deve ser levado em conta
que é a faixa etária, o nível matemático, interesses e outros fatores. Ainda conforme
os autores (ibidem) há três fases distintas onde a primeira é a introdução da tarefa
que deve ser breve e envolver a gestão do trabalho da equipe, podendo também
falar em linhas gerais da atividade. A segunda trata-se da realização da tarefa onde
44
deverão ser dadas dicas que poderão auxiliá-los e por último a discussão e o
envolvimento de todos na mesma.
6.6.2. Exemplos de atividades investigativas
6.6.2.1. O primeiro exemplo é de Fonseca, Brunheira e Ponte (2000, p.5) é relativo
a uma aula de duas horas, aplicada numa turma de 5º ano de Portugal, em que foi
proposta uma tarefa de investigação, em grupos, intitulada “Potências e
Regularidades”.
1. O número 729 pode ser escrito como uma potência de base 3. Para verificá-lo
basta escrever uma tabela com as sucessivas potências de 3:
32= 9
33 = 27
34 = 81
35 = 243
36 = 729
a) Procura escrever como uma potência de base 2
64 =
128 =
200 =
256 =
1000 =
b) Que conjecturas podes fazer acerca dos números que podem ser escritos
como potências de base 2? E como potências de base 3?
2. Observa as seguintes potências de base 5:
51 = 5
52 = 25
53 = 125
54 = 625
a) O último algarismo de cada uma destas potências é sempre 5. Será que
isso também se verifica para as potências de 5 seguintes?
b) Investigar o que se passa com as potências de 6.
c) Investigar também as potências de 9 e as de 7.
45
6.6.2.2 O segundo exemplo é uma síntese de uma atividade Investigativa realizada
com os alunos da 1a série do Ensino Médio, em 2006, com 43 alunos, aplicado pelo
Professor Paulo e acompanhado pela Dra Edda Curi.
Quando souberam que iriam investigar, a turma ficou agitada pelo fato de
ser uma atividade diferente e com um atenuante, nunca haviam feito relatório na
aula de Matemática. A opção para iniciar a tarefa foi um diálogo que abordava a
proposta das atividades levando em consideração o tempo de aplicação, nota,
organização dos grupos, bem como esclarecia as dúvidas para a execução das
mesmas. Os alunos foram distribuídos em grupos de três alunos e todos
receberam a tarefa ao mesmo tempo, para que efetuassem a leitura, fizessem
uma análise e descrevesse na própria folha, da forma que achasse conveniente,
sem a preocupação de apagar por falta de espaço, com direito a mais folhas se
houvesse necessidade.
A seguir, a atividade investigativa proposta para os alunos intitulada
“Exploração com números”:
Atividade 1- Exploração com números
Procure descobrir relações entre os números:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Registre todas as conclusões que for obtendo.
6.6.3. Atividades
Finalidade: Compreender a importância da Investigação Matemática para o processo
de ensino e aprendizagem e vivenciá-la ao elaborar um plano de aula com essa
Tendência Matemática.
46
Investigando a proporcionalidade8
6.6.3.1. No calçadão de Cascavel, um quiosque possui a seguinte tabela de preço
para pão de queijo:
Numero de Pães
R$
1
0,25
3
0,50
6
1,00
8
1,50
12
2,00
Um grupo de três amigos pretende comprar pães de queijo. Observando os
valores da tabela e suas respectivas porções. Pergunta-se:
a) Supondo que cada um coma no máximo 6 pães de queijo, investigue qual a
porção mais econômica? Justifique a sua escolha.
b) E se fossem dois amigos na mesma situação anterior?
c) E se fosse apenas uma pessoa?
Escrevam suas conclusões.
6.6.3.2. Em equipes de três alunos elabore um plano de aula9, detalhando cada
passo, para uma das séries iniciais do ensino de nove anos, utilizando a
Investigação
Matemática
como
metodologia
para
o
ensino
e
aprendizagem. Em seguida utilize uma mídia tecnológica e apresentem o
plano para os demais colegas, que deverão ao término da explanação,
avaliar, bem como sugerir ideias ou tópicos se assim preciso for.
8
Questão elaborada pelas Professoras PDEs Vera B. dos Santos, Marinez Peccin, Jaqueline Vazzoller e Leni R.
S. Saggin em curso de Capacitação.
9
A correção será disponibilizada no site: <http://www.leni.swa.com.br/ >.
47
6.7. MODELAGEM MATEMÁTICA
6.7.1. História e conceito
No século XXI vivenciamos tecnologia de ponta, avanços na medicina que
sequer imaginávamos, ficamos surpreendidos com as descobertas a cerca do
cosmos e o avanço da genética, bem como seus processos de clonagem entre
outros. Nessa constante evolução e, na consequência dela, a Matemática se faz
presente, sendo fundamental para compreensão do mundo que nos rodeia. Nesse
prisma entra a Modelagem Matemática, enquanto estratégia de ensino, num
ambiente contextualizado que inclui vivências sócio-escolares, construção e
fortalecimento do conhecimento, garantindo uma aprendizagem significativa e
proporcionando ao aluno uma visão global de seu entorno. De acordo com
BIEMBENGUT :
[...] Aristides C.Barreto, foi o primeiro a realizar experiências com
modelagem na educação brasileira e, ainda, a representar o Brasil em
congressos internacionais apresentando trabalhos sobre o tema, além de
divulgar seus trabalhos em cursos de pós-graduação, artigos em revistas e
anais de congressos; e Rodney C. Bassanezi, um dos maiores
disseminadores, em especial por meio dos cursos de formação continuada
que ministrou e de pós-graduação de modelagem que coordenou em
diversas instituições de quase todos estados brasileiros. [...] esses dois
precursores, em particular, deram impulso significativo para a implantação e
a disseminação da modelagem matemática na educação brasileira. Os
resultados de suas experiências inspiraram neles uma atmosfera de
otimismo sobre as possibilidades da modelagem. Ao passarem a divulgar
suas atividades ou pesquisas realizadas por meio de preleção, despertaram
o interesse de muitos professores, que a partir de seus entendimentos os
levaram a novas atividades e até novas pesquisas. Pesquisas ou atividades
que divulgadas, em outra instância, em processo cíclico, despertaram novos
interesses (BIEMBENGUT, 2009, p.4).
Depois dos precursores destacados acima surgiram vários pesquisadores
adeptos à Modelagem Matemática. Conceituaremos essa Tendência baseando-nos
em alguns desses autores.
Bassanezi diz que “A modelagem consiste, essencialmente, na arte de
transformar situações da realidade em problemas matemáticos cujas soluções
devem ser interpretadas na linguagem usual” (BASSANEZI, 2002, p.24).
Biembengut acrescenta que:
Modelagem Matemática é o processo que envolve a obtenção de um
modelo “[...] a Modelagem Matemática é, assim, uma arte ao formular,
resolver e elaborar expressões que valham não apenas para uma solução
particular, mas que também sirvam, posteriormente, como suporte para
outras aplicações e teorias (BIEMBENGUT, 2005, p. 13).
48
Reforçando Veronez diz que “Modelagem Matemática é um processo que
parte de uma situação real, passa pela obtenção de um modelo e pela análise e
interpretação de sua solução, confrontado-a com a situação estudada” (VERONEZ,
2009, p.1014).
“Para Burak (1987), a Modelagem Matemática resume-se a um conjunto de
procedimentos para tentar explicar, matematicamente, os fenômenos do cotidiano
do
homem
que
irão
ajudá-lo
na
tomada
de
decisões”
(BURAK
apud
SCHEFFER,1999, p.12).
D’ Ambrósio (1996) tem como visão da Modelagem Matemática uma
interação do conteúdo a ser ensinado com o que o aluno vivencia no cotidiano, quer
dizer associar com a realidade. “a Modelagem é um processo muito rico de encarar
situações reais, e culmina com a solução efetiva do problema real e não com uma
simples resolução formal de um problema artificial” (D’AMBRÓSIO apud SILVA,
2007, p. 219).
Baseada nas definições acima se percebe claramente que a Modelagem
Matemática possui uma linguagem matemática, que envolve símbolos e situações
do cotidiano, que tem como objetivo a obtenção de um modelo que venha resolver o
proposto e que valha como suporte para diversas aplicações.
6.7.2.Modelagem Matemática como estratégia de ensino na formação de
professores
Rompermos com o isolamento que se observa na escola em relação ao
mundo que a rodeia é um dos objetivos almejados por muitos educadores. O
fracasso escolar de alguns alunos é frequentemente atribuído aos métodos
pedagógicos inadequados que reduzem a motivação dos alunos e em pouco
contribuem para a aprendizagem. Para combatermos esse insucesso citado acima
buscamos maneiras diferenciadas para ensinar e uma delas é por meio da
Modelagem Matemática. Podemos dizer segundo Biembengut e Hein (2005) que a
Matemática e a realidade são ligadas pela Modelagem Matemática.
Segundo Biembengut e Hein (2005), a Modelagem Matemática é o processo
que envolve a obtenção de um modelo, e este, de certa forma é artístico, pois ao
elaborarmos um modelo, usamos além da Matemática, criatividade, imaginação, um
49
jogo com a simbologia. Poderíamos dizer que há uma dose de intuição na
elaboração do modelo, pois, ao tomarmos uma decisão é preciso escolher a melhor
maneira ou caminho, só dessa forma encontrar-se-á a solução para o problema
evidenciado. Então:
[...] modelagem matemática no ensino pode ser um caminho para despertar
no aluno o interesse por tópicos matemáticos que ele ainda desconhece, ao
mesmo tempo em que aprende a arte de modelar, matematicamente. Isso
porque é dado ao aluno a oportunidade de estudar situações-problema por
meio de pesquisa, desenvolvendo seu interesse e aguçando seu senso
crítico ( BIEMBENGUT e HEIN, 2005, p. 18).
Para Scheffer (1999, p 11-16), a Modelagem Matemática é uma estratégia
que se utiliza de ações que envolvem a realidade Matemática, levando o educando a
pensar,
proporcionando
escolhas
e
desenvolvendo
atitudes
positivas
no
desenvolvimento do conteúdo. Logo a Modelagem Matemática abrange a
problematização que busca uma situação interesse dos alunos, o cognitivo, pois
leva o aluno a pensar num modelo para encontrar a solução, o afetivo, pois o
envolve integralmente com a atividade proposta. Ainda ressalta que considerada
como uma alternativa, a Modelagem Matemática, aplicada de maneira inovadora,
com a participação de todos os alunos, conduz, num primeiro momento, à
valorização da matemática contextualizada e, num segundo instante, à vontade de
conhecê-la, explorá-la, redescobri-la e, principalmente, sentir o gosto pelo aprender.
Desta forma os alunos irão sentir-se motivados para o estudo, pois vivenciam
a aplicabilidade da Matemática e com a dinâmica terão facilidade em compreender
as ideias matemática e associá-las a outros assuntos, além de desenvolverem a
habilidade de encontrar soluções para problemas do dia a dia tornando-se sujeito
atuante na sociedade.
No entanto, o processo educacional vai muito além da transmissão do
conhecimento. Além de adquirirem conhecimento matemático, os alunos
devem ter uma noção de responsabilidade em relação aos outros e a
sociedade, saber conviver com justiça, respeito e solidariedade, praticar a
participação democrática efetiva, entre outras atitudes e comportamentos, e
também adquirir, através da formação escolar, habilidades para um
contínuo aprendizado (FERREIRA e WODEWOTZKI, 2007, p.115).
D’Ambrosio (2002) lembra que um grande desafio de professores de
Matemática é o de aliar a Matemática aos tempos modernos e menciona que uma
das soluções para enfrentar esse desafio é a Modelagem Matemática, tendo em
vista que a mesma leva o educando a vivenciar os conteúdos do currículo, dando
50
mais significado aos argumentos matemáticos. Também convém salientar que essa
metodologia pressupõe o ensino pela pesquisa, possibilitando que se tragam para a
sala de aula os mais diversos temas possíveis, sempre vinculados à realidade do
aluno.
Logo verificamos que a modelagem é a ligação entre o mundo que circunda a
escola, do conhecimento informal com o conhecimento formal e cientifico das
instituições escolares, pois cria situações para que o aluno aprenda conceitos
matemáticos e sociais, desenvolvendo senso crítico e muita criatividade, tudo isso
no contexto real e escolar.
É imprescindível que a escola assuma um papel mais significativo na
formação de professores oferecendo-lhes muito mais que conceitos, teoremas e
definições, pois dessa forma repassarão os conhecimentos que a sociedade pratica
e atenderão o que ela busca que é a formação de pessoas que participem das
decisões da comunidade, com equidade social, consciência política e ambiental. Os
futuros professores devem receber subsídios teóricos aliados à prática que os levem
à reflexões de suas práticas educativas, para que dessa forma não repassem
conhecimento de forma mecânica, rotineira, conteudista.
Então, haverá uma
superação de paradigmas e surgirão novas formas de educar, respaldadas na
reflexão e consciência crítica. Para aquisição desses conhecimentos é necessário
uma prática educativa democrática em que todos possam participar. Segundo Dias e
Almeida:
A modelagem matemática na formação docente visa alcançar, de certa
forma, uma autonomia em relação ao conhecimento profissional, pois
quando aplicada em sala de aula em qualquer nível de ensino, pode
implicar processos complexos de pensamento. O que certamente uma
atividade de modelagem matemática requer é o envolvimento e a
criatividade dos alunos [...] Deste modo, coloca-se a necessidade de
proceder a alterações ao processo de ensino e aprendizagem da
Matemática, nomeadamente, no que diz respeito à mudança dos seus
objetivos, das estratégias e das tarefas a propor aos alunos em situação
escolar. Estas alterações devem ser absorvidas pelo professor [...].
portanto, no que se refere à prática docente e as inovações ou mudanças é
preciso e necessário que o professor vá processando a própria dinâmica de
operacionalização das novas idéias, assumindo a postura que o
aprendizado é melhor construído à medida que mais se caminha na direção
do conhecimento (DIAS e ALMEIDA, 2004, p.7).
Logo, a Modelagem Matemática na formação de educadores das séries
iniciais tem um importante papel na sociedade, ao desenvolver reflexões durante o
51
processo do fazer, sobre as soluções encontradas e também sobre a prática
docente futura.
Dias e Almeida (2004) relacionam a Formação de Professores e Modelagem
Matemática enfatizando que:
O professor assume um papel diferenciado em um ambiente de Modelagem
Matemática. Nesse contexto, o professor deve incentivar o espírito crítico, a
reflexão e a procura de argumentos e razões que permitam aos alunos
confirmar ou não as suas conjeturas. Durante a fase de discussão cabe ao
professor estimular a comunicação entre os alunos. Ao organizar a fase de
discussão coletiva o professor deve conhecer bem os trabalhos de todos os
grupos de alunos de modo a valorizar tanto as descobertas mais
interessantes como as mais modestas. Por vezes, pode ser útil o professor
proporcionar um momento de discussão durante a realização da tarefa com
o objetivo de ajudar os alunos a ultrapassar certas dificuldades, de motiválos em fases mais críticas do trabalho, ou mesmo de enriquecer a
investigação sobre a atividade a ser realizada. A discussão final sobre a
atividade e conclusões dos alunos é também uma boa ocasião para
promover a reflexão sobre o trabalho (DIAS e ALMEIDA, 2004, p. 6-
7).
Ainda salientam (ibidem) que na profissão de professor alguns gostam de
situações problemas desafios e outros a rejeitam. Então é necessário propiciar uma
formação que objetiva experiência positiva com o uso da Modelagem Matemática.
O educador só colocará em prática na sala de aula o conteúdo que adquiriu
conhecimento e com isso segurança, assim devem vivenciar situações de
modelagem durante sua formação.
6.7.3.Exemplos de atividades envolvendo modelagens matemáticas realizados por
pesquisadores em educação.
No primeiro exemplo parafraseamos o exemplo de Modelagem Matemática
aplicado por Carvalho, Queiroz e Rezende (2005. p.1), envolvendo embalagens,
percebemos que foi possível trabalhar geometria plana e espacial, funções e cálculo
de área e volume com os alunos da educação básica. Os alunos da primeira série
trabalharam a proposta do Ensino Fundamental, ao analisar o custo das embalagens
de biscoitos de forma cilíndrica e paralelepípedos de base quadrada. Os autores
relatam que no primeiro momento houve dificuldade por parte dos alunos em
responder qual a forma de embalagem mais econômica e compreender a
planificação das mesmas, mas efetuados os cálculos de função, área, perímetro e
volume, a dúvida foi se dissipando e tornando a aprendizagem, conforme palavras
dos autores, “prazerosa”. Os alunos da terceira série trabalharam a proposta do
52
Ensino Médio que era volume máximo a partir de uma placa plana para construir
uma caixa sem tampa de um material disponível, envolvendo geometria plana e
espacial. Ao término da modelagem obtiveram êxito e chegaram a um modelo capaz
de solucionar a pergunta inicial.
Pela modelagem acima constatamos que a ligação da Matemática escolar
com a Matemática da vida cotidiana do aluno tem um papel importante no processo
de escolarização do indivíduo, pois dá sentido e significado ao conteúdo estudado.
No segundo exemplo temos a problematização do tema “A erva Mate”:
a
Prática de Modelagem Matemática desenvolvida com alunos de 5 série e
professores do ensino fundamental; envolveu desde técnicas do plantio e
colheita da erva mate até sua industrialização e comercialização. Os alunos
foram até uma ervateira para estudar todo o processo de industrialização,
os diferentes tipos de erva-mate produzida e o processo de embalagem
para comercialização, possibilitando assim o estudo do custo na produção e
do lucro nas vendas (SCHEFFER, 1999, p.11-16).
Logo por meio da modelagem proposta e vivenciada acima a autora descreve
uma das formas de encarar o ensino de matemática de forma agradável para ambas
as partes, professor e aluno, pois o interesse pela disciplina não pode ser restrito a
definições e ao fato de mais tarde ser aplicada.
No terceiro exemplo relatamos em síntese o percurso em que Dias e
Almeida (2004, p. 8-10) descrevem encontrar o modelo matemático para o peso das
mochilas.
É uma pesquisa de campo com professores que fizeram grupos estudos
orientada pelas autoras Dias e Almeida, logo após desenvolveram atividades de
Modelagem Matemática. O relato a seguir é do trabalho de Modelagem Matemática
de uma Professora que realizou com uma da 5a série.
Devido à ênfase na divulgação dos meios de comunicação sobre os fatores
prejudiciais do peso das mochilas que as crianças carregavam o objetivo foi
encontrar um modelo para o cálculo da massa das mesmas. Os alunos da 5 a série
foram divididos em grupos e uma das informações repassadas e obtidas de
orientações médicas foi de que a massa da mochila não ultrapasse a 10% da massa
do aluno. Para dar início ao estudo foi preciso coletar alguns dados sobre a
gramatura da folha de papel, caderno e livro bem como as dimensões das folhas de
ambas e a massa do estojo. Depois de coletada as informações passou-se a fase de
levantamento de hipóteses, para definir as variáveis do problema. Analisaram-se os
53
dados coletados por meio de regra de três proporcionalidades, e dessa forma foi
possível encontrar a massa de cada folha e caderno.
Após diagnosticar que os cadernos pesquisados tinham 96 folhas e duas
capas, encontrou-se a massa de um caderno por meio do modelo “96 folhas. 3,136g
+ 2 capas . 6,72g = 314,496g. Sabendo a quantidade de caderno e folhas dos livros
encontrou-se a massa total que o aluno carrega diariamente pelo seguinte modelo:
M = 300 + 314,496 . x + 171, 0072 . y + 3,024 . z, sendo que x é a quantidade de
cadernos universitários, y são os cadernos de brochura e z a quantidade de livros.
Por meio desse trabalho a professora pode abordar vários conteúdos
curriculares, além da conscientização dos malefícios que o excesso de peso nas
mochilas traz para saúde.
No quarto exemplo nos reportamos a Biembengut e Hein (2005, p. 31-124)
que sugerem em seu livro “sete propostas-modelos para ensinar Matemática”,
intitulados: embalagens, construção de casas, a arte de construir e analisar
ornamentos, razão áurea, abelhas, cubagem de madeira e criação de perus. Todos
os temas abordados foram trabalhados pelos autores seguindo as três etapas
fundamentais da modelagem no ensino – modelação: interação (síntese do tema ou
informações essenciais, do qual saíra a questão norteadora), matematização
(formulação e resolução do problema para chegar a um modelo) e modelo.
Das propostas acima escolho construção de casas para descrever, pois são
apresentados fatos importantes para construção de uma casa, e sugere-se que os
alunos façam uma planta baixa e uma maquete. Os conteúdos matemáticos
abordados são geometria plana, espacial, sistemas de medidas, produtos notáveis,
relações métricas do triangulo retângulo, porcentagem, dentre outros. Pode
começar-se com uma discussão informal, para saber o que os alunos sabem sobre
construção de casa, em seguida pedir que façam uma planta baixa de casa, de
forma livre, para saber em que nível de conhecimento o aluno se encontra, a partir
desses esboços podemos apresentar os primeiros elementos da geometria. Passo a
passo orientam-se os alunos dependendo do grau de escolaridade, sobre proporção,
sobre quanto do terreno a casa ocupará, escala e, em seguida pode-se pedir que
façam uma nova planta baixa de acordo com as especificações exigidas, e depois a
maquete, relatando, discutindo e comentando cada item. Vale à pena lembrar que o
grau de profundidade de conhecimento depende da série que se efetivará a
modelagem.
54
7. EXPERIÊNCIA COM O USO DA MODELAGEM MATEMÁTICA A SER
REALIZADA NA INTERVENÇÃO
O QUE PRETENDEMOS:

Estabelecer significado para o conteúdo curricular escolar.

Utilizar diferentes fontes de informação e recursos tecnológicos para
adquirir e construir conhecimentos.

Estimular o interesse, a curiosidade e o espírito de investigação e
pesquisa;
7.1.MODELAGEM COM PIPAS
PROBLEMÁTICA: Para ensinar conteúdos curriculares de Geometria básica um
professor pretende confeccionar pipas simples com os seus alunos. Quais modelos
de pipas são os mais adequados para obter o melhor aproveitamento da folha de
papel?(papel seda)
Finalidade:
Com essa atividade espera-se que os alunos sejam capazes de:

Interagir com os colegas de modo cooperativo;

Identificar a simbologia matemática ao dispor ideias a respeito das
formas e polígonos encontrados, levando em consideração os lados e
ângulos;

Transformar as informações obtidas na confecção e na análise dos
polígonos que formam a pipa em conhecimento científico.

Resgatar com o lúdico uma brincadeira popular.
55
7.1.1.Pesquisa e escolha do modelo
Os alunos em duplas, acompanhados da professora dirigir-se-ão ao
laboratório de Informática para efetuar pesquisa sobre:

História das pipas;

Dicas para empiná-las e normas de segurança;

Modelos de pipas, acessórios e materiais para confeccioná-la.
Depois de efetivada a pesquisa, cada dupla juntar-se-á com outras duas
duplas para trocarem informações a respeito da pesquisa realizada e socialização
dos mesmos.
Em seguida as duplas unir-se-ão com outras duas, formando equipes de 6
alunos para tabelar os modelos de pipas e materiais necessários obtidos durante a
pesquisa, logo após, dar-se-á início a confecção. À medida que as pipas forem
sendo confeccionadas, a equipe deverá tabelar as medidas dos lados, das varetas e
do barbante, bem como, transpor as pipas em forma de desenho (planta baixa)
livremente, numa escala menor para o caderno, colocando as medidas reais da pipa.
7.1.2.Momento lúdico, apresentação dos resultados em plenária e relatório
Terminado essa etapa, a turma dirigir-se-á para o pátio do Colégio, mais
precisamente ao campo de futebol, onde não há rede elétrica, para o momento
lúdico, o de empinar as pipas.
Ao término da atividade lúdica os alunos individualmente ou em grupo
deverão apresentar suas expectativas e relatar a experiência de todo o processo.
Logo após, em uma plenária, haverá a exposição dos resultados e discussão dos
pontos positivos e negativos.
7.1.3.Considerações
Com a modelagem proposta objetiva-se escolher o modelo e tamanho de pipa
simples que efetivamente empine e que a folha de papel seda usada para o feitio
56
seja aproveitada da melhor forma, tabelar os resultados e transpor as pipas em
forma de desenho (planta baixa) livremente, numa escala menor para o caderno,
colocando as medidas reais da pipa.
Ao propor essa modelagem pretendemos chegar aos conteúdos curriculares
das séries iniciais do ensino básico referenciados a seguir: área, perímetro,
diagonais, retas paralelas, retas concorrentes e ângulos. Lembramos que farão o
experimento alunos da terceira série do Curso de Formação de Docentes, logo,
pode-se trabalhar semelhança de polígonos e bem como outros conteúdos que
possam surgir.
7.2.MODELAGEM COM DADOS COLETADOS NA MADEIREIRA
Problemática: Qual a melhor maneira de dispor toras ou tábuas no caminhão da
Empresa Menin de forma a transportar o máximo possível de madeira?
Finalidade:
Com essa atividade espera-se que os alunos sejam capazes de:

Visualizar um objeto tridimensional para representá-lo no plano;

Encontrar um modelo para: os cilindros, empilhamento de cilindros, tábuas
e outros;

Pesquisar a origem e a finalidade de cada espécie de madeira (questão
ambiental);
7.2.1.Visita à madeireira para coleta de informações
A turma de aproximadamente 30 alunos deslocar-se-á de ônibus para a
madeireira Menin que fica no interior do município, aproximadamente 10 km, onde
proprietário junto da esposa e filhos (já que se trata de uma empresa gerenciada
pela família), previamente avisados os esperará e os acompanhará durante toda a
visita. Os alunos comparecerão com papel e caneta para efetuarem as
anotações/observações, com perguntas previamente estabelecidas, além das que
podem surgir durante o passeio.
57
7.2.2.Pesquisa e escolha do modelo
Nas primeiras aulas da disciplina após a visita, formarão equipes de 3 a 4
alunos e unirão as informações em forma de relatório. Acompanhados da professora
irão ao Laboratório de Informática para pesquisar a respeito das espécies de
madeira e da sua utilidade, para confirmarem as informações obtidas na madeireira.
Essa parte da pesquisa também deverá constar no relatório.
Após o retorno do laboratório de informática, com os dados coletados, os
alunos farão os desenhos de todos os tipos de sólidos vistos durante a visita e
elaborarão um modelo para área total, volume e perímetro dos prismas. Em seguida
por meio de hipóteses e tentativas encontrarão um modelo da melhor maneira de
dispor toras e tábuas no caminhão da Empresa Menin de forma a transportar o
máximo possível de madeira.
7.2.3.Considerações
Com a modelagem proposta na madeireira objetiva-se a melhor maneira de
dispor toras ou tábuas no caminhão da Empresa Menin de forma a transportar o
máximo possível de madeira. Durante a visita será coletado dados como diâmetro e
comprimento das toras de reflorestamento e da madeira já beneficiada o
comprimento, largura e altura, para depois em aula, tabelar os dados pesquisados,
transpor os sólidos para o caderno em forma tridimensional ou desenho (planta
baixa) livremente, numa escala menor para o caderno, colocando as medidas reais
das madeiras (cilindros e prismas).
Por se tratar de uma turma de terceiro ano profissionalizante de futuros
professores, os alunos deverão chegar a um modelo de volume e área total, mas,
devemos lembrar que nas séries iniciais do Ensino Fundamental esse conteúdo não
é abordado, levando apenas a modelagem às formas dos sólidos e a transposição
dos mesmos em forma de desenho com as medidas e identificação em seu caderno.
58
8. AVALIAÇÃO DE AMBAS AS ATIVIDADES DE MODELAGEM MATEMÁTICA
As atividades serão avaliadas por meio:

Da participação dos grupos nos estudos propostos, bem como na
elaboração dos planos de aula;

No relato das experiências;

No modelo encontrado;

No relatório impresso e apresentado em plenária.
9.CONSIDERAÇÕES FINAIS
Para que sejam superadas as dificuldades de aprendizagem manifestadas
nas turmas das séries iniciais do ensino de nove anos, propõe-se que os futuros
professores utilizem as Tendências em Educação Matemática. Para que isso ocorra
é necessário que esse “professor” desenvolva práticas pedagógicas diferenciadas.
Isso implica na aquisição de conhecimento teórico/prático e na vivência de
experiências de ensino e aprendizagem. Mais do que utilizar uma abordagem, o
professor deve refletir sobre sua prática e perceber que a utilização das abordagens
é capaz de auxiliá-lo nesse processo, tornando-o um profissional consciente de sua
postura e apto a adaptar sua prática de intervenção às verdadeiras necessidades
dos alunos, passando de uma Matemática acrítica para uma Matemática
contextualizada, em que o propósito maior é que o aluno consiga desenvolver-se de
maneira reflexiva e consciente.
De acordo com Siqueira (2007, p. 45), a formação de professores deve visar
não treinadores ou repassadores de conteúdo, mas sim educadores que estimulem
o pensamento e o despertar para o conhecimento. Conhecimentos que não
precisam ser realizados ou adquiridos necessariamente em uma sala de aula, mas
sim, em torno do nosso aluno. Respeitar e utilizar o conhecimento adquirido pelos
alunos já é uma grande estratégia de intervenção, e tentar fazer os alunos
participarem do processo de concepção de sua aprendizagem pode ser um caminho
para dar à Matemática uma contextualização muito mais evidente.
59
Quando analisamos os conceitos e exemplos propostos no caderno
pedagógico percebemos que as Tendências possuem ligação, por exemplo, na
Resolução de Problemas recaímos em uma modelagem no momento que
encontramos um modelo para a solução ou dependendo do caso em uma
Investigação Matemática. Os problemas que mais chamam atenção são aqueles que
refletem ligação com a realidade social e cultural, logo, temos a Etnomatemática. As
tendências em si utilizam-se da Informática para pesquisa, resolução, registro e
outros. A certeza que temos é que no contexto didático é importante e urgente que
mudemos nossa forma de ensinar.
Pensando nesse processo de construção do conhecimento, os alunos serão
muito mais participativos nas aulas. Poderão participar das discussões, trocarem
ideias, participar da prática (vivência da Modelagem Matemática), será uma
excelente reflexão. Os alunos terão a oportunidade de inserirem-se ao grupo de
forma participativa, compreendendo mais a importância da atividade e colaborando,
assim, com seu aprendizado.
Logo para que tenhamos êxito em Metodologia da Matemática com os alunos
do Terceiro Ano do Curso de Formação de Docentes – Modalidade Normal e,
consequentemente, estes com seus futuros aprendizes, a formação tanto dos
futuros professores, quando de seus próximos alunos deve estar pautada nas
Tendências da Educação Matemática.
Para isso, é preciso contextualizar o ensino e a aprendizagem de uma
maneira geral, fazendo com que os alunos percebam o significado de tudo que
realizam, sejam atividades teóricas ou práticas.
Este caderno pedagógico se propõe a contribuir com reflexões referentes às
Tendências em Educação Matemática para futuros professores dos anos iniciais do
Ensino Fundamental e vivenciar a Modelagem, pois entendemos que formando
alunos reflexivos, criativos, críticos, isto é, se a formação como um todo estiver
sendo bem feita no processo de formação inicial do professor, o processo de ensino
e aprendizagem encontrará sucesso nas aulas de Matemática, desde os primeiros
anos da escolarização.
60
10. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BARONI, R. L. S.; NOBRE, S.A Pesquisa em História da Matemática e suas
Relações com a Educação Matemática. In: BICUDO, M. A. V. Pesquisa em
Educação Matemática: concepções e perspectivas. São Paulo: Editora da Unesp,
1999. Capítulo 7, p. 129-136.
BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática: uma
nova
estratégia.
São
Paulo:
Contexto,
2002.
Disponível
em:
<http://www.ppgect.ufsc.br/alexandriarevista/numero_2_2009/mariasalett.pdf>.
Acesso em: 28 dez. 2009.
BIEMBENGUT, M. S.; HEIN, N. Modelagem Matemática no Ensino. 4.ed. São
Paulo: Contexto, 2005. 127p.
BIEMBENGUT, M. S. 30 Anos de Modelagem Matemática na Educação Brasileira:
das propostas primeiras às propostas atuais. In: ALEXANDRIA - Revista de
Educação em Ciência e Tecnologia, v.2, n.2, p.7-32, jul. 2009 p. 1-32. Disponível
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