CLEIDE BETENHEUSER ROX
UNIDADE DIDÁTICA
OS CONCEITOS ÁREA E PERÍMETRO E SUAS APLICAÇÕES NO ESTUDO DO
RETÂNGULO ÁUREO
CURITIBA
2011
CLEIDE BETENHEUSER ROX
UNIDADE DIDÁTICA
OS CONCEITOS ÁREA E PERÍMETRO E SUAS APLICAÇÕES NO ESTUDO DO
RETÂNGULO ÁUREO
Material didático-pedagógico – Unidade didática
apresentada ao Programa de Desenvolvimento
Educacional - PDE, da Secretaria Estadual de
Educação do Paraná - SEED
Orientadora: Profª Drª Tânia Teresinha Bruns Zimer
CURITIBA
2011
DADOS DE IDENTIFICAÇÃO
Professora PDE: Cleide Betenheuser Rox
Área PDE: Matemática
NRE: Curitiba
Professora Orientadora IES: Tânia Teresinha Bruns Zimer
IES vinculada: Universidade Federal do Paraná (UFPR)
Escola de Implementação: Colégio Estadual Bom Pastor – Ensino Fundamental e
Médio
Público objeto da intervenção: alunos de 8ª série / 9º ano do Ensino Fundamental
Público alvo: 16 alunos de 8ª série / 9º ano do turno matutino
Autora: Cleide Betenheuser Rox
Editora: Secretaria Estadual de Educação do Paraná - SEED
LISTA DE FIGURAS
FIGURA 1 – EQUIVALÊNCIA DE ÁREAS ................................................................ 11
FIGURA 2 – RELAÇÕES ENTRE OS QUADROS QUE COMPÕEM O CONCEITO
DE ÁREA ............................................................................................ 13
FIGURA a ................................................................................................................ 14
FIGURA b ................................................................................................................. 14
FIGURA c ................................................................................................................. 14
FIGURA d ................................................................................................................. 14
FIGURA e ................................................................................................................. 14
FIGURA f .................................................................................................................. 15
FIGURA g ................................................................................................................. 15
FIGURA 3 – SEGMENTO ÁUREO ........................................................................... 19
FIGURA 4 – PARTENON ......................................................................................... 21
FIGURA 5 – RETÂNGULO ÁUREO ......................................................................... 21
FIGURA 6 – RETÂNGULO ÁUREO E SEQUÊNCIA DE FIBONACCI ..................... 23
FIGURA 7 – FIGURAS GEOMÉTRICAS PARA RELACIONAR EQUIVALÊNCIA DE
ÁREAS ................................................................................................ 37
FIGURA 8 – ÁREAS DE FIGURAS A PARTIR DE UNIDADES DADAS .................. 39
FIGURA 9 – ÁREAS DE FIGURAS COM SUPERFÍCIES OU UNIDADES DE
MEDIDA IGUAIS ................................................................................. 51
FIGURA 10 – ÁREAS DE RETÂNGULOS PROPORCIONAIS ................................ 52
FIGURA 11 – TELA INICIAL DO GEOGEBRA ......................................................... 58
FIGURA 12 – FERRAMENTAS DESFAZER E REFAZER ....................................... 58
FIGURA 13 – MENU EXIBIR E SEUS APLICATIVOS ............................................. 59
FIGURA 14 – BARRA DE FERRAMENTAS ............................................................. 59
FIGURA 15 – JANELA DA OPÇÃO GRAVAR ARQUIVOS ...................................... 62
FIGURA 16 – JANELA POLÍGONO REGULAR ....................................................... 64
FIGURA 17 – JANELA PROPRIEDADES DO OBJETO .......................................... 66
FIGURA 18 – CÍRCULO DEFINIDO PELO CENTRO E UM DE SEUS PONTOS ... 71
FIGURA 19 – SEMIRRETAS DEFINIDAS POR DOIS PONTOS ............................. 71
FIGURA 20 – O RETÂNGULO ÁUREO CONSTRUÍDO .......................................... 72
LISTA DE QUADROS
QUADRO 1 – QUADRO DE INTERVENÇÕES......................................................... 31
QUADRO 2 – REGISTRO DE ÁREAS DE FIGURAS .............................................. 35
QUADRO 3 – IDENTIFICAÇÃO DO PERÍMETRO DE ACORDO COM A MEDIDA DE
ÁREA DADA ...................................................................................... 43
QUADRO 4 – IDENTIFICAÇÃO DE ÁREA DE ACORDO COM A MEDIDA DO
PERÍMETRO DADA ...................................................................... 47
QUADRO
5
–
IDENTIFICAÇÃO
DE
PROPORÇÃO
ENTRE
LADOS
DE
RETÂNGULOS ........................................................................ 53
QUADRO 6 – MEDIDAS DE ÁREAS E PERÍMETROS DE RETÂNGULOS
PROPORCIONAIS .......................................................................... 54
QUADRO 7 – IDENTIFICAÇÃO DE POLÍGONOS DESENHADOS NO GEOGEBRA
DE ACORDO COM O NÚMERO DE LADOS ................................. 63
QUADRO 8 – IDENTIFICAÇÃO DE RETÂNGULOS ÁUREOS FORMADOS A
PARTIR DA SEQUÊNCIA DE FIBONACCI ..................................... 78
QUADRO 9 – ÁREA E PERÍMETRO DE PEÇAS QUADRADAS ............................ 80
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 8
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ........................................................................... 10
2.1. OS CONCEITOS ÁREA E PERÍMETRO: UMA SIGNIFICAÇÃO ...................... 10
2.2. HISTÓRIA DA GEOMETRIA .............................................................................. 16
2.3. PROPORÇÃO ÁUREA, RETÂNGULO ÁUREO E SEQUÊNCIA DE FIBONACCI .
............................................................................................................................ 18
2.4. INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS .................................................................. 24
2.5. GEOMETRIA DINÂMICA – O GEOGEBRA ....................................................... 27
3. DESENVOLVIMENTO DAS ATIVIDADES ........................................................... 30
3.1. INVESTIGANDO ÁREAS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS ................................ 33
3.1.1. Objetivo geral ................................................................................................. 33
3.1.2. Objetivos específicos ...................................................................................... 33
3.1.3. Recursos necessários .................................................................................... 33
3.1.4. Estratégias de ação ........................................................................................ 33
3.1.5. Desenvolvimento ............................................................................................ 34
3.1.6. Avaliação ....................................................................................................... 38
3.2. E SE A UNIDADE DE MEDIDA MUDAR, COMO CALCULAR A ÁREA? .......... 38
3.2.1. Objetivo geral ................................................................................................. 38
3.2.2. Objetivos específicos ...................................................................................... 38
3.2.3. Recursos necessários .................................................................................... 38
3.2.4. Estratégias de ação ........................................................................................ 39
3.2.5. Desenvolvimento ............................................................................................ 39
3.2.6. Avaliação ....................................................................................................... 41
3.3. INVESTIGANDO PERÍMETROS DE FIGURAS GEOMÉTRICAS .................... 41
3.3.1. Objetivo geral ................................................................................................. 41
3.3.2. Objetivos específicos ...................................................................................... 41
3.3.3. Recursos necessários .................................................................................... 42
3.3.4. Estratégias de ação ........................................................................................ 42
3.3.5. Observações importantes ............................................................................... 42
3.3.6. Desenvolvimento ............................................................................................ 42
3.3.7. Atividade complementar ................................................................................. 45
3.3.8. Avaliação ........................................................................................................ 45
3.4.
ANALISANDO
RELAÇÕES
ENTRE
ÁREA
E
PERÍMETRO
DE
RETÂNGULOS .............................................................................................. 46
3.4.1. Objetivo geral ................................................................................................. 46
3.4.2. Objetivos específicos ...................................................................................... 46
3.4.3. Recursos necessários .................................................................................... 46
3.4.4. Estratégias de ação ........................................................................................ 46
3.4.5. Desenvolvimento ............................................................................................ 47
3.4.6. Avaliação ....................................................................................................... 49
3.5. INVESTIGANDO GEOMETRICAMENTE ÁREA, PERÍMETRO, RAZÃO E
PROPORÇÃO ................................................................................................. 49
3.5.1. Objetivo geral ................................................................................................. 49
3.5.2. Objetivos específicos ...................................................................................... 49
3.5.3. Recursos necessários .................................................................................... 50
3.5.4. Estratégias de ação ........................................................................................ 50
3.5.5. Desenvolvimento ............................................................................................ 50
3.5.6. Avaliação ....................................................................................................... 55
3.6. CONHECENDO UM POUCO O GEOGEBRA ................................................... 55
3.6.1. Objetivo geral ................................................................................................. 55
3.6.2. Objetivos específicos ...................................................................................... 55
3.6.3. Recursos necessários .................................................................................... 56
3.6.4. Estratégias de ação ........................................................................................ 56
3.6.5. Observações importantes ............................................................................... 57
3.6.6. Desenvolvimento ............................................................................................ 57
3.6.7. Avaliação ....................................................................................................... 67
3.7. O RETÂNGULO ÁUREO NO GEOGEBRA. QUAL A RELAÇÃO COM ÁREA E
PERÍMETRO? ................................................................................................... 68
3.7.1. Objetivo geral ................................................................................................. 68
3.7.2. Objetivos específicos ...................................................................................... 68
3.7.3. Recursos necessários .................................................................................... 68
3.7.4. Estratégias de ação ........................................................................................ 69
3.7.5. Observações importantes ............................................................................... 69
3.7.6. Desenvolvimento ............................................................................................ 69
3.7.7. Avaliação ....................................................................................................... 75
3.8. INVESTIGANDO RETÂNGULOS DE FIBONACCI ........................................... 76
3.8.1. Objetivo geral ................................................................................................. 76
3.8.2. Objetivos específicos ...................................................................................... 76
3.8.3. Recursos necessários .................................................................................... 76
3.8.4. Estratégias de ação ........................................................................................ 77
3.8.5. Observações importantes ............................................................................... 77
3.8.6. Desenvolvimento ............................................................................................ 77
3.8.7. Avaliação ....................................................................................................... 81
3.9. POR QUE A PROPORÇÃO ÁUREA É TÃO ATUAL? ....................................... 81
3.9.1. Objetivo geral ................................................................................................. 81
3.9.2. Objetivos específicos ...................................................................................... 81
3.9.3. Recursos necessários .................................................................................... 82
3.9.4. Estratégias de ação ........................................................................................ 82
3.9.5. Desenvolvimento ............................................................................................ 82
3.9.6. Avaliação ....................................................................................................... 84
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................. 84
REFERÊNCIAS ........................................................................................................ 86
APÊNDICES ............................................................................................................. 91
8
1. INTRODUÇÃO
Área e perímetro são conceitos fundamentais no ensino-aprendizagem de
Matemática e podem ser aplicados a outros conhecimentos matemáticos. A
construção desses conceitos envolve aspectos geométricos e de grandezas que não
são explorados de uma forma geral em sala de aula, privilegiando-se apenas os
aspectos numéricos e algébricos, ou seja, exclusivamente o cálculo a partir de
fórmulas dadas. Por isso, muitos alunos possuem dificuldades em assimilá-los e/ou
diferenciá-los, confundindo-se inclusive entre aplicações de fórmulas e unidades de
medida.
Nas séries finais do Ensino Fundamental, tais conhecimentos são aplicados
a outras situações de ensino. Nesses momentos, observam-se as dificuldades de
entendimento ou não-assimilação desses conceitos, vindo a ser um dos fatores que
prejudicam e/ou dificultam a aplicação ou resolução de situações-problema. Em vista
disso, surge a necessidade de revisar e ensinar alguns pontos básicos e
necessários de área e perímetro, aplicando-os a outros específicos de 8ª série/9º
ano - razão e proporção e semelhança de polígonos -, os quais também
apresentam dificuldades no ensino-aprendizagem.
A presente Unidade Didática, caracterizada como atividade de produção
didático-pedagógica, constitui-se como estratégia de ação elaborada para a
implementação do Projeto de Intervenção Pedagógica junto ao Programa de
Desenvolvimento Educacional (PDE), implantado pela Secretaria de Educação do
Estado do Paraná, com o intuito de buscar formas de contribuir para a melhoria da
educação pública.
Nessa perspectiva, a problemática que norteia o estudo e a elaboração de
tal produção didático-pedagógica é:
“Quais compreensões os alunos evidenciam dos conceitos área e
perímetro e suas aplicações no estudo de proporções no retângulo áureo
mediante
uma
metodologia
envolvendo
atividades
de
investigação
matemática?”
Essa problemática leva em consideração as dificuldades encontradas pelos
alunos na assimilação dos conceitos de área e perímetro, assim como proporções e
9
semelhança em Geometria.
Para tanto, esses conteúdos são abordados metodologicamente nesta
Unidade Didática por meio de atividades de investigação matemática, uma das
tendências metodológicas da Educação Matemática incorporada às Diretrizes
Curriculares do Estado do Paraná, sendo mais uma alternativa a ser articulada com
as demais tendências, no intuito de contribuir para a melhor compreensão da
matemática.
As investigações matemáticas proporcionam o desenvolvimento da lógica,
do raciocínio, da criatividade na resolução das questões, da formulação e verificação
de conjecturas e da argumentação, pois o aluno inicia um processo de “fazer
matemática”, de forma que “o trabalho do aluno aproxima-se, assim, do trabalho do
matemático” (PONTE; et al, 1998).
Como se presume que os alunos não estão familiarizados com atividades
de exploração e investigação matemática, estas são elaboradas em princípio sob a
forma de um “estudo dirigido”, auxiliando-os na delimitação das estratégias que eles
irão explorar para solucionar as questões das atividades e construir por si o
conhecimento matemático.
Com base neste contexto e para uma abordagem mais interativa, tais
conteúdos básicos – área e perímetro, razão e proporção e semelhança de
polígonos – são explorados também no estudo da proporção áurea. Nesse
momento, será utilizado como recurso tecnológico o software de Geometria
Dinâmica GeoGebra, para a construção do retângulo áureo e medição de seus
lados, objetivando uma análise mais detalhada da proporção áurea.
Incluem-se também, de uma forma mais restrita, atividades investigativas de
proporções entre áreas e perímetros a partir da sequência de Fibonacci, que pode
ser observada nas construções geométricas incorporadas no retângulo áureo.
A proporção áurea, apesar de ser estudada por povos antigos, é muito atual
em suas aplicações, principalmente no design gráfico, na fotografia, nas artes e na
arquitetura. Por isso, inclui-se a análise de algumas dessas aplicações, como
atividade investigativa complementar, demonstrando sua real utilização.
10
2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1. OS CONCEITOS ÁREA E PERÍMETRO: UMA SIGNIFICAÇÃO
As pesquisadoras francesas Regine Douady e Marie-Jeanne Perrin Glorian1
(1989, apud Silva e Bellemain, 2010) propõem uma abordagem do conceito de área
de figuras planas como uma grandeza, o que corresponde a distinguir três quadros:
o geométrico, o das grandezas e o numérico.
De acordo com Teles e Bellemain (2010, p. 4), o quadro geométrico referese às superfícies planas (triângulos, quadriláteros, figuras com contornos
curvilíneos); o quadro numérico refere-se às medidas da área das superfícies, que
pertencem ao conjunto dos números reais positivos; e o quadro das grandezas
refere-se ao estabelecimento de classes de equivalência formadas por figuras de
mesma área, integrando os dois primeiros quadros.
Para considerar a área como uma grandeza é preciso distinguir área e
figura (pois figuras distintas podem ter a mesma área) e também área e
número (pois se medimos a área de uma figura com diferentes unidades,
obtemos números diferentes para expressar a medida de área e
obviamente a área não se altera). (Id.)
A abordagem de área como grandeza se articula do ponto de vista do
desenvolvimento cognitivo com a ideia de conservação, a qual permite ao sujeito
admitir que figuras qualitativamente diferentes possam ser equivalentes quanto ao
atributo área. (Id.)
Segundo Kordaki2 (2003, apud Teles e Bellemain, 2010, p. 4), a noção de
conservação de área articula-se com a ideia de equidecomposição de polígonos e
permite falar em área enquanto grandezas. A área, como um espaço dentro de uma
figura e a noção de conservação da área, são conceitos preliminares para a
compreensão do conceito e da medida da área.
Como exemplo, se observarmos as figuras a seguir (Figura 1), formadas por
12 cartões quadrados com lados representando unidade de 1 cm, observamos que
1
DOUADY, R.; PERRIN-GLORIAN, M. –J. Un processus d’aprentissage du concept d’aire de surface
plane. In : Educational Studies in Mathematics. v. 20, n. 4, p. 387-424, 1989.
2
KORDAKI, Maria. The effect of tools of a computer microworld on student’s strategies regarding the
concept of conservation of area. Educational Studies in Mathematics. 52: 177 – 209, 2003.
11
não há duas figuras iguais, mas todas têm a mesma área (12 cm2) e por isso são
equivalentes entre si. (IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2005, p. 200)
FIGURA 1 – EQUIVALÊNCIA DE ÁREAS
FONTE: IEZZI, DOLCE e MACHADO, 2005, p. 200
Na construção do conceito de área enquanto grandeza, Douady e PerrinGlorian (1989, apud Silva e Bellemain, 2010, p. 6) afirmam:
Que é preciso elaborar um processo de aprendizagem de área
relacionando-a com o lugar ocupado por uma superfície no plano. Do ponto
de vista matemático, o que se procura é uma função, denominada função
medida, que associa superfícies planas a números, de tal forma que seu
domínio seja um certo conjunto de superfícies planas e seu contradomínio
seja o conjunto de números reais não-negativos.
Silva e Bellemain (2010, p. 6) destacam ainda que na “medição de área
atribui-se um número real positivo a cada superfície plana, ou seja, constrói-se uma
função (função área) com valores numéricos, de modo que comparar superfícies
planas reduz-se a comparar números, que são as medidas de área.” Para isso
“escolhe-se uma superfície de valor um (superfície unitária). A partir daí, a medição
de área de uma superfície plana consiste na indagação intuitiva: ‘Quantas vezes a
superfície unitária cabe na superfície plana em questão?’ ”
Construída a função área, define-se área como sendo uma classe de
equivalência de superfícies planas de mesma área, pertencente a esse conjunto. E a
área da superfície unitária passa a ser denominada de unidade de área. (Id.)
Baltar3 (1996, apud Silva e Bellemain, 2010, p. 6) analisa a construção do
conceito de área sob a ótica da Teoria dos Campos Conceituais de Gerard
Vergnaud4. Nesse sentido, propõe uma classificação dos tipos de situações que dão
3
BALTAR, Paula Moreira. Enseignement et aporprentissage de la notion d’aire de surface
planes: une étude de l’acquisition des relations entre les longueurs et les aires au collège. Tese de
Doutorado em Didática da Matemática pela Université Joseph Fourier, Grenoble, 1996.
4
Gerard Vergnaud, diretor de pesquisa do Centro Nacional de Pesquisa Científica (CNRS) da França,
discípulo de Piaget, toma como premissa que o conhecimento está organizado em campos
conceituais, ou seja, a essência do desenvolvimento cognitivo é a conceitualização. (MOREIRA,
2002, p. 1)
12
sentido à área: situações de comparação, de medida e de produção.
•
Situações de comparação: situam-se em torno do quadro das grandezas.
Comparando-se duas superfícies, pode-se verificar se elas pertencem ou não
a uma mesma classe de equivalência.
Exemplo: Dando uma só mão de tinta, em qual das paredes o pintor gastaria
mais tinta.
•
Situações de medida: destacam-se o quadro numérico e a passagem do
quadro das grandezas ao numérico através da escolha da unidade. O
resultado esperado nessa situação é um número seguido de uma unidade.
Exemplo: Usando uma régua, meça os lados do retângulo abaixo e calcule o
seu perímetro.
• Situações de produção: são diferentes das anteriores do ponto de vista da
tarefa cognitiva do aluno, pois enquanto nas situações de comparação e
medida em geral há apenas uma resposta correta para cada situação, as
situações de produção admitem frequentemente várias respostas corretas.
Exemplo: Numa folha de papel quadriculado, considerando um quadradinho
dessa folha ( □ ) como unidade de medida, desenhe polígonos de:
a) área igual a 16 quadradinhos;
c) área igual a 48 quadradinhos;
b) área igual a 11 quadradinhos;
d) área igual a 8,5 quadradinhos.
(BRITO e BELLEMAIN, 2004, p. 6; SILVA e BELLEMAIN, 2010, p. 6)
Lima5 (1995, apud Duarte, 2004, p. 4) propôs adicionar aos três quadros
relativos ao conceito de área propostos por Douady e Perrin-Glorian um quarto
quadro, o algébrico-funcional, que considera uma álgebra das grandezas e as
5
LIMA, Paulo F. Considerações sobre o Ensino Conceito de Área. In: SEMANA DE ESTUDOS EM
PSICOLOGIA DA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 1. 1995, Recife. Anais... Recife: 1995.
13
fórmulas de área. O esquema abaixo (Figura 2) mostra as relações entre os quadros
mencionados.
Quadro
geométrico
Quadro
das grandezas
Quadro
numérico
Quadro
algébrico-funcional
FIGURA 2 – RELAÇÕES ENTRE OS QUADROS QUE COMPÕEM O CONCEITO DE ÁREA
FONTE: DUARTE, 2004, p. 4
Alguns objetos e ferramentas conceituais, pertencentes a dois ou mais
quadros do esquema anterior, podem ser mobilizados quando inseridos em uma
situação de aprendizagem. Exemplificando, quando em uma situação que envolve a
comparação entre a área de duas figuras, sem o emprego de medidas, requer-se a
articulação dos quadros geométrico e das grandezas; em uma situação onde é
necessária a intervenção das medidas de área, é previsível a articulação entre os
conceitos dos quadros geométrico, numérico e das grandezas; enquanto que os
conceitos do quadro algébrico-funcional são utilizados, por exemplo, em situações
onde é necessário o uso das fórmulas de áreas de figuras conhecidas.
A manipulação de objetos e ferramentas, bem como suas relações, formam
um processo denominado por Douady de dialética ferramenta-objeto. (Id.)
Para Baltar (1996, apud Facco, 2003, p. 33) e outros estudiosos,
os diferentes conceitos sobre área são identificados por meio da verificação
da medida da área, da comparação de áreas e superfícies, da construção
de superfícies de mesma área de uma superfície dada, das superfícies de
área mínima para um contorno fixo e da verificação das deformações que
conservam a área.
Baltar (id.) destaca ainda que, para definir uma aplicação de medida entre
superfícies planas e números, é necessário, antes de construir a área como
grandeza autônoma, deixar claras as diferenças existentes entre área e perímetro.
14
Assim, Baltar (1996, apud BALDINI, 2004, p. 20-21) classificou essa
distinção de acordo com quatro pontos de vista:
•
Topológico, pelo qual os conceitos de área e perímetro correspondem a
objetos geométricos distintos, sendo a área associada à superfície e o
perímetro a seu contorno;
Figura a
Figura b
Na figura a, a superfície que corresponde à área foi destacada de cinza
azulado; e na figura b, o destaque de cinza foi dado ao seu contorno, o perímetro da
figura.
•
Dimensional, o qual evidencia que uma superfície e seu contorno são
objetos matemáticos de naturezas distintas, no que diz respeito às
dimensões, trazendo consequências imediatas sobre o uso das unidades
adaptadas à expressão das medidas de área e perímetro;
Figura c
Figura d
A figura c é bidimensional, ou seja, tem duas dimensões e é adequada para
o cálculo de áreas. A figura d é unidimensional, ou seja, possui uma única dimensão,
adequada para o cálculo de perímetro.
•
Computacional, que corresponde à aquisição das fórmulas de área e
perímetro de figuras usuais;
Área = b . h
h
Perímetro = b + b + h + h = 2b + 2h
b
Figura e
•
Variacional, consiste na aceitação de que área e perímetro não variam
necessariamente no mesmo sentido, e que figuras de mesma área podem
15
ter perímetros distintos e vice-versa.
Área = 12 u2
Perímetro = 16 u
Figura f
Área = 12 u2
Perímetro = 14 u
Figura g
As figuras apresentadas ( f e g) são exemplos de superfícies que possuem
mesma área e perímetros diferentes.
Quando pensamos em comprimento de uma curva, devemos considerar que
curvas distintas podem ter o mesmo comprimento. A grandeza comprimento não é
igual ao segmento de reta. O comprimento nos dá a ideia de distância entre dois
pontos; já o segmento está no quadro geométrico, onde se encontram os desenhos.
Conclui-se que distância é o comprimento de um segmento. Assim, observa-se que
a grandeza área e a grandeza comprimento são completamente distintas. (SILVA e
BELLEMAIN, 2010, p. 5)
De acordo com os três quadros identificados por Douady e Perrin-Glorian,
ou seja: o geométrico, o das grandezas e o numérico; em relação ao conceito de
comprimento, do quadro geométrico participam as linhas abertas ou fechadas
(essa última constituindo-se o que chamamos de contorno de uma figura plana,
poligonal ou não). O comprimento faz parte do quadro das grandezas e
caracteriza-se de forma distinta das linhas, pois diferentes linhas podem ter o
mesmo comprimento. O perímetro é um caso particular da grandeza comprimento,
diferenciando-se do objeto geométrico em si, que é uma linha fechada. E o quadro
numérico é composto das medidas de comprimento usando diferentes unidades.
(BRITO e BELLEMAIN, 2004, p. 5)
Podemos afirmar que perímetro é a medida do contorno de uma
determinada figura e não apenas a “soma das medidas dos lados”, pois esta
definição pode ser estendida também ao cálculo do perímetro de uma circunferência.
O trabalho com o conceito de área também não deve se restringir apenas
ao cálculo da área de retângulos, quando geralmente se prioriza o uso de fórmulas,
16
mas deve se estender a outros polígonos e figuras com contornos curvilíneos, como
o cálculo da área do fundo de uma piscina circular. (ROCHA; et al, 2010, p. 2-3)
2.2. HISTÓRIA DA GEOMETRIA
As primeiras considerações que o homem fez a respeito da geometria
parecem ter se originado de simples observações provenientes da capacidade
humana de reconhecer configurações físicas, comparar formas e tamanhos. (EVES,
1992, p. 1).
Segundo o mesmo autor, a noção de distância foi um dos primeiros
conceitos geométricos a serem desenvolvidos e a necessidade de delimitar a terra
levou à noção de figuras geométricas simples, como retângulos, quadrados e
triângulos. Outros conceitos, como as noções de vertical, paralela e perpendicular
teriam sido sugeridos pela construção de muros e moradias. Essa geometria, por
desenvolver-se de forma intuitiva e por não existir a preocupação em sistematizá-la,
foi chamada de geometria subconsciente.
Mais tarde, a inteligência humana tornou-se capaz de extrair certas
propriedades gerais e relações que incluíam as observações anteriores como casos
particulares, chegando-se assim à noção de lei ou regra geométrica. Esse nível mais
elevado do desenvolvimento da geometria recebeu a denominação de “geometria
científica”, sendo que os instrumentos de descoberta eram indução, ensaio e erro e
procedimentos empíricos. (Ibid, p. 3).
Os vales dos rios Nilo (no Antigo Egito), Tigre e Eufrates (na Mesopotâmia),
Indo, Ganges, Hwang Ho e Yangtzé (na Ásia), foram os locais onde a geometria
subconsciente transformou-se em científica, utilizando uma geometria prática na
drenagem de pântanos, irrigação, obras de defesa contra inundações e construção
de edifícios e estruturas. (Ibid, p. 4).
Numerosos exemplos concretos mostram que os babilônios do período
2000-1600 a.C. conheciam as regras gerais para o cálculo de áreas de retângulos,
de triângulos retângulos e isósceles (e talvez de um triângulo qualquer), de um
trapézio retângulo e do volume do paralelepípedo retângulo.
As principais fontes de informações a respeito da geometria egípcia antiga
17
são os papiros Moscou e Rhind – textos matemáticos datando de aproximadamente
1850 a.C. e 1650 a.C. -- que contêm, respectivamente, 25 e 85 problemas. Destes,
26 são de Geometria e a maioria provém de fórmulas de mensuração necessárias
para calcular áreas de terras e volume de celeiros. (Ibid, p. 5)
O desenvolvimento posterior da geometria ocorre com os gregos que
criaram procedimentos baseados em raciocínios lógicos e não em intuição e
experimentação, surgindo assim uma geometria abstrata, chamada de geometria
demonstrativa ou dedutiva. Seu precursor parece ter sido Tales de Mileto, na
primeira metade do século VI a.C. Tales residiu temporariamente no Egito, trazendo
a geometria egípcia em sua volta para a Grécia e aplicando-a a procedimentos
dedutivos da filosofia grega. Pitágoras foi considerado o continuador dos estudos de
Tales. Ele fundou a famosa escola pitagórica, uma irmandade empenhada no estudo
de filosofia, matemática e ciências naturais. (Ibid, p. 8)
Entretanto, Euclides tem merecido maior destaque nas publicações da área
de Matemática, pois foi quem organizou e sintetizou praticamente todo o
conhecimento matemático produzido desde Tales de Mileto até sua época, por volta
do ano 300 a.C. Sua principal obra, “Elementos”, reúne quase todo o conhecimento
matemático daquele tempo, abordando, além de geometria, assuntos de álgebra e
teoria dos números. Os nove primeiros livros tratam de geometria plana elementar e
os quatro últimos sobre incomensurabilidade, geometria espacial e poliedros
regulares. (ÁVILA, 2001, p. 4)
Euclides atraiu um grande número de discípulos, possibilitando assim a
propagação de suas ideias. Entre essas ideias, Euclides discutiu que duas figuras
planas que se coincidem por superposição são iguais (congruentes).
Outros geômetras gregos que também merecem destaque são Arquimedes
e Apolônio, os quais também deixaram trabalhos que versaram sobre geometria
plana e espacial, conforme relata Eves (1992, p. 10). A Geometria Euclidiana, como
é chamada atualmente, era fundamentada em definições, postulados e axiomas, que
serviram e servem hoje como referência para o estudo da geometria plana.
Merece destaque ainda o trabalho de David Hilbert que, em 1889, publicou o
livro “Fundamentos da Geometria”, no qual estabeleceu uma correspondência entre
os elementos geométricos do plano – pontos, retas e círculos – com entes
18
numéricos da geometria analítica. (ÁVILA, 2001, p. 8).
2.3. PROPORÇÃO ÁUREA, RETÂNGULO ÁUREO E SEQUÊNCIA DE FIBONACCI
Inicialmente, há a necessidade de se conceituar e diferenciar três termos
essenciais: fração, razão e proporção.
Supondo que desejamos dividir 7 por 2, ou seja, queremos descobrir
quantos grupos de 2 elementos conseguimos formar com um grupo de 7 elementos.
Como resposta, observamos que podem ser formados 3 grupos de dois elementos e
sobra 1 elemento.
Na forma decimal, pode-se escrever 3,5 – o que significa 3 grupos inteiros e
metade de um grupo de 2 elementos. Essa divisão pode ser escrita também na
forma de fração: 7/2.
Já a palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente
entre dois números racionais a e b (sendo b diferente de zero), denotado por a:b ou
a/b e lê-se a para b. Como exemplo, a razão entre 10 e 5 é 2 porque 10/5 = 2.
A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre
as partes de uma grandeza. Consiste em relacionar duas razões dentro de uma
igualdade. (MACEDO, et al, p. 2)
Lívio (2009, p. 13) reforça que no "dia-a-dia, usamos a palavra ‘proporção’
ou para a relação comparativa entre partes de coisas com respeito a tamanho e
quantidade, ou quando queremos descrever uma relação harmoniosa entre
diferentes partes.” Como exemplo, podemos citar:
9
3
=
6.
2
Para essa igualdade, vale a propriedade fundamental das proporções: “o
produto dos meios é igual ao produto dos extremos”. Isto é: nove está para três
assim como seis está para dois. (id.)
Finalizando, podem-se estabelecer as seguintes definições:
Fração é uma divisão entre dois números.
Razão é uma comparação entre duas grandezas.
19
Proporção é a igualdade entre duas razões.
A razão áurea, sendo um número que provém da comparação entre duas
grandezas, é um número que não é nem inteiro ( como 1, 2, 3,...) nem a razão de
dois números inteiros (como as frações ½, ⅔, ¾,..., conhecidos como números
racionais). É um número que nunca termina e nunca se repete, sendo por isso
conhecido como número irracional. Seu valor aproximado é 1,6180339887... (Ibid, p.
14-15)
“A primeira definição clara do que mais tarde se tornou conhecido como
Razão Áurea foi dada por volta de 300 a.C. pelo fundador da geometria como
sistema dedutivo formalizado, Euclides de Alexandria”, o qual “definiu uma
proporção derivada da simples divisão de uma linha no que ele chamou de sua
‘razão extrema e média’.” (Ibid, p. 13)
Assim, “nas palavras de Euclides: Diz-se que uma linha reta é cortada na
razão extrema e média quando, assim como a linha toda está para o maior
segmento, o maior segmento está para o menor”. (Ibid, p. 14)
Ou seja, dividir um segmento de reta em duas partes, de tal modo que a
razão entre a menor e a maior parte fosse igual à razão entre a maior parte e o
segmento total.
A
C
B
FIGURA 3 – SEGMENTO ÁUREO
FONTE: A autora
Na Figura 3, o ponto C divide o segmento AB em média e extrema razão, se
a razão entre o maior e o menor segmento é igual à razão entre o segmento todo e o
maior, ou seja:
AC
CB
=
AB
AC
Se tomarmos o maior e o menor segmento medindo, respectivamente, x e 1
unidade de comprimento, teremos pela definição de extrema e média razão:
20
x
1
=
x+1
x
Aplicando a propriedade fundamental das proporções, obtemos a equação
de 2º grau:
x2 = x + 1
x2 – x – 1 = 0
que tem como raízes x’ = 1 + √ 5 e x” = 1 – √ 5
2
2
A solução positiva 1,6180339887 é exatamente o valor da razão áurea,
sendo um número irracional, pois é a metade da soma de 1 com a raiz quadrada de
5. (BACCARO, 2009, p. 9-10)
A descoberta de que a Razão Áurea é um número irracional foi, ao mesmo
tempo, a descoberta da incomensurabilidade, ou seja, quando a razão entre dois
comprimentos não pode ser expressa por uma fração (como um número racional).
(LIVIO, 2009, p. 15). É uma grandeza que pode ser traçada, mas não pode ser
medida.
Esse número irracional passou a ser chamado de Fi ou Phi, cujo símbolo é
Ф, em homenagem ao famoso escultor grego Phidias (ou Fidias), que viveu entre
490 e 430 a.C., pois acredita-se que ele tenha usado este número nas suas obras,
entre elas o Partenon, na Grécia. (Ibid, p. 16)
De acordo com Livio (2009, p. 91), “a maioria dos livros sobre Razão Áurea
afirma que as dimensões do Partenon, enquanto seu frontão triangular estava
intacto, ajustava-se perfeitamente a um Retângulo Áureo. Supõe-se que a Razão
Áurea também aparece em outras dimensões do Partenon.” (Figura 4)
21
FIGURA 4 – PARTENON
FONTE:<http://ddesigndeinteriores.blogspot.com/2011/02/proporcao-ou-razao-aurea-o-principio
da.html> Acesso em 11.mar.2011
A divisão de um segmento em média e extrema razão já era estudado no
Livro VI de Euclides. Os retângulos áureos eram encontrados com frequência nas
esculturas e obras arquitetônicas da Grécia Antiga e a razão áurea já estava
presente nas pirâmides do Antigo Egito. (SARAIVA, 2002, p. 3)
De acordo com Ávila (1985, p. 2): “Chama-se retângulo áureo qualquer
retângulo ABCD com a seguinte propriedade: se dele suprimirmos um quadrado,
como ABFE, o retângulo restante, CDEF, será semelhante ao retângulo original.”
(Figura 5)
FIGURA 5 – RETÂNGULO ÁUREO
FONTE: ÁVILA, 1985, p. 9
Se a + b e a são os comprimentos dos lados do retângulo original, a
definição acima se traduz na relação
22
a + b_
a
=
a.
b
Os comprimentos dos lados do retângulo estão em uma razão áurea entre
si. Se retirarmos um quadrado desse retângulo, encontramos um retângulo menor
que também é um Retângulo Áureo.
As dimensões do retângulo “filho” são menores que as do retângulo “pai”
exatamente pelo fator Φ. Podemos agora retirar um quadrado do
Retângulo Áureo “filho” e teremos novamente um Retângulo Áureo, cujas
dimensões são menores novamente pelo fator de Φ. Continuando este
processo ad infinitum, produziremos Retângulos Áureos cada vez menores.
(...) O Retângulo Áureo é o único retângulo com a propriedade de que, ao
se cortar um quadrado, forma-se outro retângulo similar. (LIVIO, 2009, p.
103)
As propriedades estéticas e artísticas dessa razão são mostradas no
retângulo áureo. Esse retângulo é considerado o mais agradável aos olhos. Além do
Partenon, muitos trabalhos famosos de arquitetura, como a catedral de Chartres, e
de pintura, como alguns quadros de Leonardo da Vinci, com destaque para a
Monalisa, foram baseados no retângulo áureo. (LAURO, 2005, p. 36).
A razão áurea também foi estudada pelo monge Luca Pacioli (1445-1517),
de Veneza, que escreveu um tratado de três volumes, chamado de Divina
Proportione (A Divina Proporção), publicado em 1509, sendo ilustrado por Leonardo
da Vinci. Os livros versavam sobre a proporção áurea em sólidos geométricos e
aplicações na arquitetura e na estrutura do corpo humano. (EVES, 1992, p. 44;
LIVIO, 2009, p. 151-158).
O matemático italiano Leonardo de Pisa, também chamado de Leonardo
Fibonacci (1170 – 1240?) foi um dos responsáveis pela divulgação do sistema de
numeração na Europa, por meio de seu livro Líber Abaci (Livro do Ábaco), escrito
em 1202. Deste livro, cita-se o célebre problema dos coelhos:
Um casal de coelhos torna-se produtivo após dois meses de vida e, a partir
de então, produz um novo casal a cada mês. Começando com um único
casal de coelhos recém-nascidos, quantos casais existirão ao final de um
ano?
Este problema deu origem à chamada sucessão de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5,
8, 13, 21... (CARVALHO, 1990, p. 5-6). Nesta sequência, todo termo, após o
segundo, é igual à soma dos dois que o precedem.
Verifica-se ainda que a relação entre a sequência de Fibonacci e o número
23
de ouro Phi está no fato de que, se dividirmos os sucessores pelos antecessores
aproximamo-nos gradativamente da razão áurea. Analisando:
1/1 = 1,000000
2/1 = 2,000000
3/2 = 1,500000
5/3 = 1,666666
8/5 = 1,600000
13/8 = 1,625000
21/13 = 1,6153846, e assim por diante. (LIVIO, 2009, p. 120)
A espiral de quadrados que podem ser formados dentro de um retângulo
áureo forma números de Fibonacci. (Figura 6)
FIGURA 6 – RETÂNGULO ÁUREO E SEQUÊNCIA DE FIBONACCI
FONTE:<http://www.google.com.br/images?um=1&hl=ptbr&biw=1024&bih=573&tbs=isch%3A1&sa=1
&q=retangulo+aureo+e+sequencia+de+fibonacci+wikipedia&aq=f&aqi=&aql=&oq=>
Acesso
em
11.mar.2011
Analisando o retângulo áureo da figura acima, observa-se que as
proporções entre os perímetros dos quadrados sucessivamente menores que se
formam também obedecem a razão áurea. Como exemplo, o quadrado de lados
medindo 8 unidades, ou seja 8 u, com perímetro de 32 u, e o quadrado de 5
unidades de lado, com perímetro 20 u, formam a razão: 32/20 = 1,6 (o número áureo
aproximado). Nesse caso, há uma proporção direta entre ambos.
24
Já a razão entre as áreas do quadrado de 8 unidades, sendo 64 u2 e do
quadrado de 5 unidades, sendo 25 u2, possuem uma razão 64/25 = 2,56. Neste caso
não forma uma proporção direta, mas observa-se que a raiz quadrada de 2,56 é
igual a 1,6 (novamente o número áureo).
Essas mesmas relações são observadas se calcularmos tanto o perímetro
como a área dos retângulos maior e os menores que se formam ao serem
identificados os quadrados do retângulo áureo e verificarmos a razão entre eles.
Essa também será aproximadamente igual à razão áurea.
Pode-se verificar assim, que os conceitos de razão e proporção, vistos sob
uma perspectiva geométrica, relacionam-se com ampliação e redução de figuras
geométricas semelhantes e, ao aplicá-los ao cálculo de perímetro dessas figuras
semelhantes, há uma razão de proporção igual a ambos, inclusive igual à razão
entre os lados correspondentes dessas figuras. Igualmente se observa ao
calcularmos a área desses polígonos semelhantes, cuja razão de proporção não
será direta, pois observa-se que é a raiz quadrada da mesma razão encontrada para
o perímetro.
Ao inserir esses conceitos num estudo de proporções no retângulo áureo,
busca-se aplicá-los a conhecimentos matemáticos construídos no decorrer da
História a partir de observações de fenômenos da natureza e da arte, pensados e
demonstrados por matemáticos e tão atuais em suas aplicações. Os conceitos de
área e perímetro estão incorporados às proporções no retângulo áureo ao criar o
design de um cartão eletrônico, da tela de um notebook ou computador moderno,
uma fotografia, uma obra de arte, a fachada de uma obra arquitetônica, aparelhos
celulares, livros, revistas.
2.4. INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS
Uma investigação matemática é uma atividade que se desenvolve a partir
da identificação de um ou mais problemas a resolver. Mas a prática pedagógica de
investigações matemáticas não deve ser confundida apenas como resolução de
problemas. Apesar de se correlacionarem, o encaminhamento se dá de forma
diferente da resolução de problemas. Ponte; et al. (1998, p. 1) nos relata:
25
Enquanto que na resolução de problemas a questão tende a ser
apresentada já completamente especificada ao aluno, na actividade de
investigação as questões iniciais são de um modo geral vagas,
necessitando ser trabalhadas, tornadas mais precisas e transformadas em
questões concretas pelo próprio aluno. As actividades de investigação
envolvem assim uma componente essencial de formulação de problemas,
etapa normalmente ausente (porque já cumprida de antemão pelo
professor) na resolução de problemas.
A realização de uma investigação matemática envolve quatro momentos
principais. O primeiro momento abrange o reconhecimento da situação, a sua
exploração preliminar e a formulação de questões. O segundo refere-se ao processo
de formulação de conjecturas6. O terceiro inclui a realização de testes e o eventual
refinamento das conjecturas. E o quarto momento diz respeito à argumentação, à
demonstração e avaliação do trabalho realizado. (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA,
2009, p. 20)
Assim, as investigações matemáticas dão ênfase a processos matemáticos,
tais como: procurar regularidades, formular, testar, justificar e provar conjecturas,
refletir e generalizar, sendo atividades de cunho aberto, referentes a contextos
variados.
Para que uma situação possa constituir-se em uma investigação, é
essencial que seja motivadora e desafiadora, não sendo imediatamente acessíveis
ao aluno nem o processo de resolução nem a solução ou soluções da questão,
contrastando-se claramente com as tarefas que são usadas normalmente no
processo ensino-aprendizagem. Tais tarefas são mais abertas, permitindo que o
aluno coloque suas próprias questões e estabeleça o caminho a seguir, partindo da
compreensão da situação ou organizando e interpretando dados. A partir daí,
formulam-se as questões, fazendo conjecturas que, ao serem testadas, podem levar
à formulação de novas conjecturas ou confirmação das conjecturas iniciais. (PONTE;
et al.,1998, p. 2)
De acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2009, p. 25):
Uma atividade de investigação desenvolve-se habitualmente em três fases
(numa aula ou conjunto de aulas): (i) introdução da tarefa, em que o
professor faz a proposta à turma, oralmente ou por escrito, (ii) realização
da investigação, individualmente, aos pares, em pequenos grupos ou com
toda a turma, e (iii) discussão dos resultados, em que os alunos relatam
aos colegas o trabalho realizado.
6
Conjetura: (do latim conjectura) suposição; hipótese; opinião que tem fundamento em indícios;
presunção. (Dicionário Brasileiro Globo)
26
Na fase inicial da investigação, o professor deve esclarecer aos alunos o
sentido da tarefa proposta e aquilo que se espera deles no decurso da atividade.
Deve-se também criar um ambiente de aprendizagem incentivador, de forma que o
aluno sinta-se à vontade e lhe seja dado tempo para colocar questões, pensar,
explorar suas ideias e exprimi-las aos colegas e ao professor, sentindo que estas
são valorizadas e discutidas. Os alunos devem saber, também, que a atividade
depende, essencialmente, de sua própria iniciativa e que aquilo que ele vai fazer
será mostrado aos colegas. (Ibid, p. 28-29)
No desenvolvimento do trabalho, os alunos procedem à exploração e
formulação de questões e de conjecturas, seguindo-se o teste, a reformulação,
a justificação de conjecturas e a avaliação do trabalho. O professor, durante o
desenvolvimento da atividade investigativa, deve apenas orientar o registro das
observações, hipóteses e justificações, colocando questões aos alunos que os
estimulem a olhar em outras direções e refletir sobre o que estão fazendo.
Durante o trabalho investigativo, os alunos poderão seguir por caminhos
através dos quais não serão bem sucedidos, sendo necessário que o professor
indique pistas para uma exploração da tarefa mais acessível, relembrando, por
exemplo, situações já trabalhadas anteriormente e cujas estratégias poderão ser
análogas às que os alunos poderão implementar. (FONSECA; BRUNHEIRA;
PONTE, 1999, p. 6-8)
A fase de discussão dos resultados encontrados pelos alunos constitui um
momento importante de partilha de conhecimentos, quando então eles podem
colocar em confronto suas estratégias, conjecturas e justificações, cabendo ao
professor o papel de mediador. Este deve garantir que sejam comunicados os
resultados mais significativos e estimular os alunos a questionarem-se mutuamente.
Essa é a fase da sistematização das principais ideias e da reflexão sobre o trabalho
realizado. (PONTE, BROCARDO e OLIVEIRA, 2009, p. 41)
A realização de aulas de investigação mobiliza importantes aspectos do
conhecimento profissional do professor, o qual deve ser “capaz de desencadear e
gerir a actividade dos alunos, proporcionando aprendizagens significativas tanto no
plano dos conceitos e técnicas, como das capacidades, valores e atitudes.” (PONTE;
et al., 2000, p. 25)
27
Como em toda atividade de aprendizagem, nas investigações matemáticas
também deve haver avaliação, a qual permitirá ao professor saber se os alunos
estão progredindo de acordo com suas expectativas ou se é necessário repensar a
sua ação nesse campo. Além disso, permite-se ao aluno saber como seu
desempenho é visto pelo professor e se existem aspectos aos quais deva-se dar
mais atenção. O professor pode utilizar, como instrumentos de avaliação, os
relatórios escritos, a observação informal dos alunos durante a realização da tarefa e
na fase de apresentação de suas conclusões e também apresentações orais
(PONTE, 2009, p. 109 e 124-125). Ponte ainda relata:
As investigações reportam-se a diversos objetivos curriculares. Em primeiro
lugar, pretende-se que o aluno seja capaz de usar conhecimentos
matemáticos na resolução da tarefa proposta. Em segundo lugar, pretendese que o aluno desenvolva a capacidade de realizar investigações. E, em
terceiro lugar, pretende-se promover atitudes, tais como a persistência e o
gosto pelo trabalho investigativo. (p. 109)
O conceito de investigação matemática, como atividade de ensinoaprendizagem, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática
genuína, na qual o aluno é chamado a: agir como matemático ao formular as
questões e conjecturas; realizar as provas e refutações; apresentar seus resultados;
discutir e argumentar com seus colegas e com o professor. (Ibid, p. 23)
2.5. GEOMETRIA DINÂMICA – O GEOGEBRA
Os recursos tecnológicos, principalmente de informática, vêm sendo
incorporados atualmente em nosso universo escolar, como ferramenta pedagógica
auxiliadora no processo ensino-aprendizagem.
De acordo com Ponte7 (1995, apud MENDES, 2009, p. 114),
o uso do computador no ensino de Matemática contribui para:
•
uma relativização da importância das competências de cálculo e de
simples manipulação simbólica, que podem ser realizadas de forma mais
rápida e eficiente;
•
um reforço do papel da linguagem gráfica e de novas formas de
representação, permitindo novas estratégias de abordagem dos mais
variados problemas;
•
7
uma atenção redobrada às capacidades intelectuais de ordem mais
PONTE, João Pedro da. Novas tecnologias na aula de matemática. In: Educação e Matemática. n.
34. Lisboa: APM, 1995, p. 2-7.
28
elevada, que se situam para além do cálculo e da simples compreensão de
conceitos e relações matemáticas;
•
o crescimento do interesse pelo desenvolvimento de projetos e
atividades de modelagem matemática e investigação.
Uma nova expressão que vem sendo usada na área da Educação
Matemática é a Geometria Dinâmica. Não se trata de uma nova Geometria ou uma
alternativa à Geometria Euclidiana, mas simplesmente uma exploração da ideia de
movimento para descrições geométricas, ou seja, um modo dinâmico e interativo de
trabalhar a Geometria e suas propriedades usando editores gráficos construídos
para esse fim. (BRAVIANO, 2002, p. 22)
O que diferencia um software de Geometria Dinâmica dos demais é a
possibilidade de “arrastar” a figura construída utilizando o mouse, permitindo a
transformação da figura em tempo real. Isso permite agilidade na investigação, pois
as figuras podem ser criadas em segundos na tela do computador. Além da ideia de
ilustração, é possível privilegiar propriedades geométricas. O aluno pode
compreender os passos de uma demonstração, explorar e descobrir formas mais
eficazes para resolução de problemas ou visualizar um objeto de diferentes ângulos,
utilizando os recursos do software. (SILVA, 2008, p. 5)
Gravina8 (1996, apud SILVA, 2008, p. 5) afirma que os softwares de
Geometria Dinâmica podem ser trabalhados de duas formas: os próprios alunos
constroem as figuras, tendo como objetivo o domínio dos procedimentos para se
obter a construção, ou o professor entrega as figuras prontas aos alunos, para que
estes possam reproduzi-las, possibilitando a descoberta das propriedades das
figuras reproduzidas pela experimentação. Dessa forma, os alunos podem “perceber
a diferença entre desenhar e construir uma figura, verificando que, para construí-la,
não basta apenas chegar a uma aproximação desejada, mas deve-se ter a clareza
sobre as relações entre os diferentes elementos que ela possui de forma que, ao ser
arrastada, mantenha os vínculos iniciais.” (Ibid, p. 6)
As Diretrizes Curriculares de Matemática da Educação Básica do Paraná
enfatizam que “os ambientes gerados por aplicativos dinamizam os conteúdos
escolares e potencializam o processo pedagógico.” (PARANÁ, 2008, p. 65)
8
GRAVINA, M. A. Geometria Dinâmica: uma nova abordagem para o aprendizado de geometria. In:
Simpósio Brasileiro de Informática na Educação,7, 1996. Belo Horizonte, Anais... Belo Horizonte,
1996.
29
Para tanto, nas escolas públicas do Paraná foram instalados laboratórios de
informática (Laboratórios do Paraná Digital), que são programados na plataforma
Linux, a qual contém um software livre para o trabalho da Geometria Dinâmica: o
GeoGebra. O projeto de criação do GeoGebra foi objeto da tese de doutorado de
Markus Hohenwarter, docente do Departamento de Matemática Aplicada da
Universidade de Salzburgo, Áustria, em 2001, cujo objetivo era obter um instrumento
adequado ao ensino da Matemática, combinando procedimentos geométricos e
algébricos. (ARAÚJO, 2008, p. 43; SILVA, 2008, p. 6)
O GeoGebra é um software livre que reúne ferramentas de geometria,
álgebra e cálculo. Ele possui duas janelas de trabalho: a geométrica e a de álgebra.
A janela geométrica, de cor branca, é o local onde os objetos são construídos, sendo
possível colori-los, aumentar a espessura das linhas, medir ângulos e distâncias e
habilitar as coordenadas cartesianas e polares que facilitam as construções, além de
outros aplicativos.
Na janela algébrica é possível visualizar a representação algébrica de todo
o objeto construído na janela geométrica. Há ainda um campo de entrada de texto,
onde é possível escrever coordenadas, equações, comandos e funções de tal forma
que, após pressionada a tecla enter, eles são mostrados imediatamente na janela
geométrica. (SILVA, 2008, p. 6)
Esse software é um ótimo recurso tecnológico, podendo ser articulado
metodologicamente na construção do retângulo áureo, o que possibilita ao aluno
observar e trabalhar de uma forma “mais concreta” com conceitos fundamentais de
Geometria Euclidiana e com números racionais e medidas. Igualmente, esse
software constitui-se em um instrumento mais preciso para as análises das medidas
de área e perímetro e suas razões de proporção observadas no retângulo áureo. Em
função disso, ele será incorporado ao estudo com uma abordagem metodológica
que enfatize suas funções básicas, para construções de polígonos e para aplicações
utilizando medições e cálculos de área e perímetro.
30
3. DESENVOLVIMENTO DAS ATIVIDADES
As atividades seguintes foram idealizadas para serem aplicadas na 8ª
série/9º ano do Ensino Fundamental, podendo ser adaptadas e ampliadas conforme
a necessidade da série em questão (Fundamental ou Médio). Elas servem como
sugestões para exploração dos conceitos e não esgotam totalmente os assuntos.
Cada atividade a ser desenvolvida consta de: objetivos geral e específicos,
recursos didático-pedagógicos necessários, estratégias de ação e desenvolvimento
propriamente dito, constando de informações e observações importantes ao
professor, e avaliação. Em uma intervenção consta também atividade complementar
que pode ser executada em sala de aula, se houver tempo disponível, ou
encaminhada como tarefa de casa.
No desenvolvimento, para diferenciar as questões e atividades específicas
dirigidas aos alunos das explicações complementares e observações ao professor,
será utilizada a letra em modo itálico e cor de fonte azul índigo, destacando-se por
uma borda externa.
Num primeiro momento de contato com os alunos, é importante que seja
realizado um contrato didático, cuja finalidade é estabelecer regras claras e objetivas
para o desenvolvimento das atividades tanto em sala de aula como no laboratório de
informática, em grupos ou individualmente, bem como a forma de elaboração e
apresentação dos resultados e relatórios das atividades. Importante também
enfatizar, nesse momento, a questão da participação de todos durante o
desenvolvimento das atividades.
Pois, de acordo com Brousseau (2008, p. 9), a noção de contrato didático
desempenha papel central na análise e na construção de situações para o ensino e
a aprendizagem da matemática. O conjunto de regras ou comportamentos implícitos
do professor em relação aos alunos, ou vice-versa, condiciona o funcionamento da
educação escolar no âmbito da sala de aula, relativamente a um conhecimento
específico. Ainda, segundo Beltrão (2010, p. 341): “para que se efetive a relação
didática é necessário não somente que o professor esteja disposto a ensinar, mas
que o aluno também cumpra com seu papel no envolvimento com o aprendizado,
manifestando desejo de aprender”.
Após o término de cada atividade, serão discutidos em sala de aula os
resultados encontrados nas atividades investigativas. Para isso, é necessário que se
31
estabeleçam também as regras para o bom encaminhamento e para que se dê a
chance de, se possível, todos se manifestarem quando dúvidas ou conclusões
diferentes surgirem.
As atividades que serão desenvolvidas em sua ordem cronológica, os
conteúdos contemplados e a abordagem metodológica estão sintetizados no quadro
de intervenções abaixo:
ATIVIDADES
Investigando
áreas de figuras
geométricas
CONTEÚDOS
Áreas de figuras geométricas
com formas variadas, utilizando o
quadradinho como unidade.
Áreas de figuras que sejam
equivalentes, ou seja, que
possuam mesma área apesar de
formas diferentes.
ABORDAGEM METODOLÓGICA
Alunos em duplas resolvem as
atividades investigativas em relação à
equivalência de áreas, a partir de um
quadro onde constam diversas figuras
geométricas de formas variadas, dentro
de uma malha quadriculada. Ao final, os
alunos recortam as figuras e tentarão
montar um retângulo maior como um
quebra-cabeças, identificando área e
forma(s) que não se encaixam.
2ª
E se a unidade
de medida
mudar, como
calcular a área?
Áreas de figuras geométricas,
utilizando várias unidades de
medida.
Análise da medida de área de
uma figura utilizando diferentes
unidades, observando que o
quadro numérico que expressa a
medida da área se altera, mas a
área propriamente dita, não.
Alunos em duplas resolvem atividades
investigativas, a partir da análise de um
quadro em que constam três figuras
geométricas em malha quadriculada e
pede-se para identificar sua área
utilizando diversas unidades de medida.
3ª
Investigando
perímetros de
figuras
geométricas
Identificação de perímetro de
retângulos construídos a partir de
uma medida de área dada.
Relações entre perímetros de
retângulos e outras figuras
geométricas
que
possuam
mesma medida de áreas.
Alunos divididos em grupos de quatro.
Eles
irão
desenhar
em
malha
quadriculada retângulos que possuam
uma determinada medida de área dada,
utilizando o centímetro como unidade.
Após, calculam o perímetro dessas
figuras e analisam as relações entre
área e perímetro, a partir de atividades
investigativas.
4ª
Analisando
relações entre
área e perímetro
de figuras
geométricas
Identificação da medida de área
de retângulos construídos a partir
de uma medida de perímetro
dada.
Relações
entre
áreas
de
retângulos e outras figuras
geométricas
que
possuam
mesma medida de perímetro.
Propriedades de quadriláteros.
Alunos divididos em grupos de quatro.
Eles desenham em malha quadriculada
retângulos
que
possuam
uma
determinada medida de perímetro dada,
utilizando o centímetro como unidade.
Após, calculam a área dessas figuras e
analisam as relações entre área e
perímetro e algumas propriedades de
quadriláteros, a partir de atividades
investigativas.
5ª
Investigando
geometricamente
área, perímetro,
razão e
proporção
Medidas
de
áreas
de
quadriláteros com unidades de
medida diferentes, reforçando a
noção de conservação de área.
Identificação
da
razão
de
Alunos divididos em grupos de quatro.
Eles calculam área de quadriláteros
dados com unidades de medida
diferentes e, a partir de questões
investigativas, analisam a noção de
1ª
32
proporção entre os lados de
retângulos dados.
Identificação
da
razão
de
proporção entre os perímetros e
as áreas de retângulos dados.
Medição utilizando o centímetro e
o milímetro como unidades de
medida.
Cálculo
com
operações
envolvendo números racionais
com vírgula.
conservação de área. Após, a partir de
retângulos proporcionais, fazem a
medição de seus lados e analisam a
razão de proporção entre os lados e
também entre as áreas e perímetros
desses retângulos.
6ª
Conhecendo um
pouco o
GeoGebra
Exploração de ícones que
integram
as
funções
de
construção de polígonos e
cálculo de área e perímetro no
GeoGebra.
Notações matemáticas utilizadas
para ponto, reta, segmento e
polígono.
Conceitos de polígonos regulares
e irregulares.
Medidas de área e perímetro de
polígonos
construídos
no
GeoGebra.
Os alunos, distribuídos individualmente
nos computadores do laboratório de
informática, exploram os ícones e as
ferramentas básicas que serão utilizados
na próxima intervenção, a partir de
atividades investigativas.
7ª
O retângulo
áureo no
GeoGebra. Qual
a relação com
área e
perímetro?
Construção do retângulo áureo
no Geogebra de acordo com
especificações dadas.
Identificação da razão áurea
como razão de semelhança entre
os lados dos retângulos que se
observam no retângulo áureo
construído.
Área e perímetro dos retângulos
que se observam no retângulo
áureo construído.
Razão áurea como razão de
proporção
direta
entre
os
perímetros
dos
retângulos
analisados no retângulo áureo.
Razão áurea como razão de
proporção indireta entre as áreas
dos retângulos analisados no
retângulo áureo.
Os alunos, distribuídos individualmente
nos computadores do laboratório de
informática, constroem o retângulo
áureo no GeoGebra, de acordo com
especificações dadas. Após, identificam
a razão áurea como razão de proporção
entre
os
lados
dos
retângulos
observados no retângulo áureo. A seguir,
calculam área e perímetro dos
retângulos, a partir das especificações
do GeoGebra. Por fim, analisam como
ocorre a proporção entre os perímetros
e as áreas desses retângulos, a partir de
questões e atividades investigativas.
8ª
Sequência de
Fibonacci e o
retângulo áureo
Sequência de Fibonacci no
retângulo áureo.
Sequência de Fibonacci e a
razão áurea.
Proporção áurea entre as áreas e
perímetros dos quadrados que
integram o retângulo áureo
formado a partir da sequência de
Fibonacci.
Alunos em grupos de quatro constroem
e analisam retângulos áureos com
peças quadradas compostas por áreas
dadas a partir da sequência de
Fibonacci.
Após, investigam como a sequência é
formada e identificam os próximos
números.
Por fim, analisam as proporções entre
as áreas e perímetros dos quadrados
formados.
9ª
Por que a
proporção áurea
Breve histórico da descoberta do
número de ouro, características,
Apresentação de vídeo com breve
histórico, características, relações com a
33
é tão atual?
relações com a natureza e
sequência de Fibonacci.
A proporção áurea identificada
em objetos e imagens utilizados
na atualidade.
natureza e propriedades do número de
ouro, proporção áurea e sequência de
Fibonacci.
Em duplas, os alunos procedem à
identificação de objetos e figuras que
possuem proporção áurea em sua
composição, através da medição dos
lados de faces retangulares e cálculo
para identificação da razão áurea como
razão de proporção, desenhando-os
e/ou recortando-os e colando-os.
QUADRO 1 – QUADRO DE INTERVENÇÕES
FONTE: A autora
3.1.1. Objetivo geral:
Analisar como é evidenciado o conceito de área de figuras geométricas nos
seus aspectos geométrico e das grandezas, a partir das atividades propostas.
3.1.2. Objetivos específicos:
•
Identificar áreas de figuras geométricas com formas variadas, utilizando o
quadradinho como unidade.
•
Identificar áreas de figuras que sejam equivalentes, ou seja, que possuam
mesma área apesar de formas diferentes.
3.1.3. Recursos necessários:
•
Folhas dadas com a atividade;
•
Folhas de papel em branco;
•
Material para anotações: lápis, caneta, borracha;
•
Tesouras e tubos de cola.
3.1.4. Estratégias de ação:
34
O tempo previsto para o desenvolvimento desta atividade é de 1,5 hora-aula,
com o restante do tempo destinado à plenária, quando o grupo de alunos irá discutir
as respostas encontradas, as dúvidas e as conclusões a que chegaram.
Distribuir os alunos em duplas para resolverem as atividades que se
seguem, acompanhando a execução e orientando-os nas dificuldades que surgirem.
Observação: As atividades são desenvolvidas a partir da adaptação do quadro da
atividade 15 de BALDINI, 2004, seção IV do Anexo III.
3.1.5. Desenvolvimento:
Leia o texto abaixo antes de iniciar as atividades:
Área é uma medida relacionada a uma superfície de uma figura
geométrica (o contorno e sua parte interna). É registrada por um número e
uma unidade de medida,
medida que corresponde à área de uma superfície
considerada padrão.
Uma superfície cuja área se quer expressar pode ser uma região do
plano delimitada por um polígono.
A região delimitada pelo quadrilátero da figura, por exemplo, é
chamada de região quadrangular. Essa região é formada pelo quadrilátero e
pela parte pintada.
Duas figuras geométricas podem ter formas geométricas diferentes,
mas possuir a mesma área. Nesse caso, elas são chamadas de equivalentes.
equivalentes
Professor: Após a leitura, é importante a exploração do texto, perguntando aos alunos se há
algum termo desconhecido ou que não compreenderam e incentivá-los a explicarem o que
entenderam sobre a leitura, para então levá-los a responder as questões que se seguem. Convém
também recordar com os alunos o nome e as propriedades do quadrilátero desenhado.
35
Observe as figuras geométricas desenhadas numa malha quadriculada ao
final desta atividade. Antes de seguir em frente, pense:
a) Como você pode fazer para calcular a área destas figuras? Registre suas idéias.
Nesta questão, presume-se como resposta do aluno que é “contando os quadradinhos” e,
no caso das metades, “unindo duas metades para formar um quadradinho”.
b) Identifique então a área de cada uma das figuras geométricas, registrando-as no
quadro abaixo de acordo com as letras maiúsculas indicadas:
Forma geométrica
A
B
C
D
E
F
G
H
Medida
QUADRO 2 – REGISTRO DE ÁREAS DE FIGURAS
FONTE: A autora
Professor: Convém reforçar ao aluno o registro de áreas formadas a partir de quadrados
incompletos, como D = 11,5 e A = 12,5.
c) Explique como você fez o cálculo. Foi da mesma forma que havia pensado
anteriormente? Se não, explique o motivo de ser diferente.
d) Quais das superfícies têm a mesma área? Por que você acha que elas têm a
mesma área?
As superfícies com mesma área são B e H. Presume-se que o aluno responderá que têm a
mesma área por possuir o mesmo número de quadradinhos.
e) Quais superfícies possuem a maior e a menor área?
f) Quando é que duas superfícies têm a mesma área?
g) Quando podemos afirmar que a área de uma superfície é maior do que a de outra
superfície?
36
Presume-se que o aluno responderá que a área de uma superfície é maior do que a outra
quando possui mais quadradinhos ou sua medida é maior. Entenda-se aqui que todas as áreas das
figuras são identificadas a partir da mesma unidade de medida.
h) Unindo quais figuras podemos encontrar uma figura de área equivalente?
Quantas possibilidades de associações podemos fazer juntando figuras que
possuam áreas equivalentes?
Se unirmos as figuras F e G encontraremos uma área equivalente à da figura C, ou seja, de
área 16. Outras possibilidades a que o aluno pode chegar: F + B = F + H = 19; B + H = A + D = 24; E
+ H = E + B = 22; C + E = F + G + E = 26. Pretende-se que o aluno assimile, ao resolver esta
questão, o conceito de equivalência de áreas de acordo com o quadro das grandezas abordado por
Douady e Perrin-Glorian.
i) Recorte as formas geométricas e, como num quebra-cabeças, descubra quais das
formas podem se unir e formar um retângulo. Cole as peças numa folha em branco.
Qual seria a área desse retângulo?...............................................................................
Como dicas ao professor, as extremidades do retângulo são formadas pelas peças A, B, C
e F. O retângulo terá o formato 10x8, totalizando uma área de 80 quadradinhos.
j) Esse retângulo construído poderia ser chamado de quadrado? Por quê?
k) Alguma forma geométrica deixou de ser incorporada a esse retângulo? Registre
com suas palavras o porquê.
A única peça que não se encaixa é a peça E, por ter um espaço vazado. Se fosse
incorporada ao retângulo, o polígono vazado não o configuraria como um quadrilátero.
l) Registre aqui alguma observação a mais que você tenha identificado ao fazer
essas atividades.
37
B
D
A
C
F
E
G
H
FIGURA 7 – FIGURAS GEOMÉTRICAS PARA RELACIONAR EQUIVALÊNCIA DE ÁREAS
FONTE: A autora
38
3.1.6. Avaliação:
A avaliação será desenvolvida a partir das observações, feitas pelo
professor, durante todo o procedimento de execução das atividades pelos alunos.
Ocorrerá também no momento final, quando serão colocadas as conclusões e as
dúvidas com relação à noção de equivalência de áreas, a qual é evidenciada nos
aspectos geométrico e das grandezas do conceito de área.
Ao final das atividades do dia, será feito um relato dos resultados obtidos
com relação aos conhecimentos, adquiridos pelos alunos, referentes à noção de
equivalência de áreas. Serão relatadas, também, as situações inesperadas que
surgirem e como as situações esperadas de fato ocorreram.
3.2.1. Objetivo geral:
Analisar como é evidenciado o conceito de área de figuras geométricas nos
seus aspectos geométrico, numérico e das grandezas, a partir das atividades
propostas.
3.2.2. Objetivos específicos:
•
Identificar áreas de figuras geométricas, utilizando várias unidades de
medida.
•
Verificar que, ao medir a área de uma figura utilizando diferentes unidades, o
quadro numérico que expressa a medida da área se altera, mas a área
propriamente dita, não.
3.2.3. Recursos necessários:
•
Folhas dadas com a atividade
•
Material para anotações: lápis, caneta, borracha.
39
3.2.4. Estratégias de ação:
O tempo previsto para o desenvolvimento desta atividade é de 1 hora-aula,
sendo, após, realizada a plenária, quando o grupo de alunos irá discutir as respostas
encontradas, as dúvidas e as conclusões a que chegaram.
Distribuir os alunos em duplas para resolverem as atividades que se
seguem, acompanhando a execução e orientando-os nas dificuldades que surgirem.
Observação: As atividades a seguir foram elaboradas a partir do quadro da atividade
23 de BALDINI, 2004, Anexo III, seção VII.
3.2.5. Desenvolvimento:
Professor: Relembrar com os alunos aspectos da atividade que realizaram no encontro
anterior com relação à área, utilizando apenas quadradinhos como unidade de medida. Na atividade
que se segue, não será utilizado apenas um quadradinho, mas unidades diferentes de medida de
área com quantidade diferente de quadradinhos.
a) Calcule a área das figuras A, B e C, considerando como unidade de área as
figuras a seguir, preenchendo a tabela abaixo em relação a cada unidade de área.
Unidade 1
Unidade 2
Unidade 3
Unidade 4
Figura B
Figura C
Figura A
40
Figura
Unidade 1
Unidade 2
Unidade 3
Unidade 4
Área
Área
Área
Área
A
B
C
FIGURA 8 – ÁREAS DE FIGURAS A PARTIR DE UNIDADES DADAS
FONTE: BALDINI, 2004, Anexo III, seção VII
b) Compare os números da tabela que representam a área de uma mesma figura e
responda: aumentando a unidade de medida, o que acontece com a medida da
figura?
Nesse caso, espera-se que o aluno responda que o número que expressa a área diminui.
c) Explique com suas palavras por que isso ocorre.
d) Comente por que uma figura pode ter várias áreas.
Professor: É importante que o aluno verifique aqui que as figuras têm várias áreas porque
foram utilizadas várias unidades de medida. A área em si não se altera, ou seja, não diminui a
quantidade de quadradinhos que compõem sua superfície.
e) Você identifica figuras com áreas equivalentes, apesar de serem medidas por
unidades diferentes? Cite um exemplo e registre como identificou.
Observa-se que nessa questão o aluno pode identificar A e B como figuras com áreas
equivalentes a partir da mesma unidade de medida. Também, se utilizar figuras de unidades de
medida diferentes, observa-se que a própria unidade de medida 2 é equivalente à unidade de medida
4.
41
3.2.6. Avaliação:
A avaliação será desenvolvida a partir das observações, feitas pelo
professor, durante todo o procedimento de execução das atividades pelos alunos.
Ocorrerá também no momento final, quando serão colocadas as conclusões e as
dúvidas com relação à identificação de áreas de figuras a partir de unidades de
medida diferentes, a qual é evidenciada nos aspectos geométrico, numérico e das
grandezas do conceito de área.
Ao final das atividades do dia, será feito um relato dos resultados obtidos
com relação aos conhecimentos, adquiridos pelos alunos, referentes à identificação
de áreas de figuras a partir de unidades de medida diferentes. Serão relatadas,
também, as situações inesperadas que surgirem e como as situações esperadas de
fato ocorreram.
3.3.1. Objetivo geral:
Analisar como é evidenciado o conceito de perímetro de figuras geométricas
nos seus aspectos geométrico, numérico e das grandezas, a partir das atividades
propostas.
3.3.2. Objetivos específicos:
•
Identificar a diferença entre os conceitos área e perímetro, a partir das
atividades propostas;
•
Identificar o perímetro de retângulos construídos a partir de uma medida de
área dada;
•
Reconhecer que, de todos os retângulos de mesma área, o quadrado é o que
tem o menor perímetro;
•
Estabelecer relações entre perímetros de retângulos e outras figuras
geométricas que possuam mesma medida de áreas.
42
3.3.3. Recursos necessários:
•
Folhas dadas com a atividade;
•
Folhas em malha quadriculada simples;
•
Folhas em papel quadriculado com 1 cm de unidade de medida;
•
Material para anotações: lápis, caneta, borracha;
•
Régua.
3.3.4. Estratégias de ação:
O tempo previsto para o desenvolvimento desta atividade é de 1,5 hora-aula,
sendo, após, realizada a plenária, quando o grupo de alunos irá discutir as respostas
encontradas, as dúvidas e as conclusões a que chegaram.
Distribuir os alunos em grupos de quatro alunos cada, para resolverem as
atividades que se seguem, acompanhando a execução e orientando-os nas
dificuldades que surgirem.
3.3.5. Observações importantes:
Os modelos de uma folha em malha quadriculada simples e malha
quadriculada com 1 cm de unidade de medida encontram-se no apêndice desta
produção didática.
Ao final do desenvolvimento, há uma atividade complementar que pode ser
aplicada como tarefa de casa ou para execução em sala de aula, se ainda houver
tempo disponível.
As questões b, d e g das atividades a seguir foram adaptadas de
RODRIGUES, 2007, p. 143-145.
3.3.6. Desenvolvimento:
Leia o texto abaixo antes de efetuar as atividades.
O perímetro indica a medida do comprimento do contorno de uma
43
figura geométrica. Nos polígonos (figuras geométricas planas cujo contorno é
formado por segmentos de retas), como o retângulo, o perímetro corresponde
à soma das medidas de todos os seus lados.
Professor: Após a leitura, é importante explorar o texto, perguntando aos alunos se há
algum termo desconhecido ou que não compreenderam e incentivá-los a explicarem o que
entenderam sobre a leitura. Lembrá-los de que até agora, nas atividades que fizeram, não foi citado o
termo perímetro. As atividades seguintes os ajudarão a analisarem que área e perímetro não são “a
mesma coisa”.
a) Construa, na malha quadriculada simples, três figuras diferentes. Registre, abaixo
de cada uma, a área e o perímetro, usando, como unidade de comprimento, o lado
do quadrado da malha e, como unidade de área, a área desse quadradinho.
Professor: Com essa primeira atividade, o aluno terá oportunidade de estabelecer bem a
diferença entre área e perímetro, sem se preocupar ainda com medidas a partir de unidades
padronizadas. Pretende-se que não criem apenas retângulos e quadrados, mas que explorem outras
formas. Para as atividades que se seguem, o aluno irá observar agora o uso de unidade de medida
padrão, o centímetro. Para isso, irá utilizar as folhas em malha quadriculada com 1 cm de unidade de
medida.
b) Desenhe na folha quadriculada todos os retângulos possíveis, utilizando 36
quadradinhos de 1 cm de lado. Nomeie-os de acordo com as letras sugeridas na
tabela abaixo. Para cada retângulo obtido, determine as medidas dos lados (neste
caso, chamadas de base e altura). Complete a tabela abaixo, identificando a área,
com o quadradinho de 1 cm de lado como unidade. A seguir, complete a medida do
perímetro, usando o lado do quadradinho de 1 cm como unidade de comprimento:
Retângulo
Base (cm)
Altura (cm)
Área (cm2)
Perímetro (cm)
A
B
C
D
E
QUADRO 3 – IDENTIFICAÇÃO DO PERÍMETRO DE ACORDO COM A MEDIDA DE ÁREA DADA
FONTE: A autora
44
Com base nos resultados encontrados, investigue as relações que podemos
identificar entre os perímetros e áreas nesse caso. Para ajudá-lo, seguem questões
para reflexão:
c) Qual é o retângulo que possui o menor perímetro?
A partir da construção dos retângulos e identificação do perímetro e área, o aluno deve
descobrir que o retângulo com menor perímetro é o quadrado, com 24 cm. Isto facilitará a resolução
das questões seguintes.
d) Se identificarmos retângulos com 100 cm2 de área:
- Qual deles possui o menor perímetro?........................................................................
- Qual é a medida desse perímetro?..............................................................................
Presume-se que o aluno responderá que o quadrado de 10 cm de lado é o retângulo de
menor perímetro, medindo 40 cm.
Nas questões seguintes, o aluno irá se deparar com um caso em que o perímetro com
menor medida não será possível a partir de um quadrado. Nesse caso, presume-se que ele
descobrirá que o retângulo, cujas medidas se aproximem ao máximo de um quadrado, é aquele em
que encontraremos o menor perímetro.
e) Você pode fazer um quadrado com perímetro igual a 100 cm? E com 50 cm?
f) Como encontrar o menor perímetro quando não é possível formar um quadrado?
g) Responda a questão seguinte sem desenhar.
Se um retângulo dado tivesse 30 cm2 de área e um de seus lados medisse 5 cm:
- Qual seria a medida do outro lado?.............................................................................
- Qual seria a medida do perímetro desse retângulo?...................................................
Professor: Nessa questão, o aluno trabalha com o raciocínio dedutivo de que o produto das
medidas dos lados do retângulo é igual à medida da área. É importante que ele assimile o fato de que
as dimensões entre as grandezas área e perímetro não são as mesmas. Como o perímetro se refere
ao comprimento do contorno da figura, sua medida é unidimensional. Já a área por estar associada à
superfície, possui medida bidimensional. O questionamento seguinte sugere essa associação.
45
h) Se você observar no quadro inicial (onde registrou os dados encontrados com
medidas de base, altura, perímetros e áreas), essas medidas estão identificadas em
cm e cm2. Por que a unidade de medida utilizada para o perímetro está em
centímetros e a unidade de medida para a área está em centímetros quadrados?
Explique com suas palavras.
3.3.7. Atividade complementar:
Professor: Na atividade seguinte, a intenção é que o aluno explore formas diferentes assim
como na primeira atividade, mas agora com uma medida de área pré-estabelecida.
Use sua criatividade. Construa três outras figuras na malha quadriculada,
que não sejam retângulos, de forma que possuam áreas equivalentes, todas
medindo 36 cm2. Use sua criatividade e depois pinte-as. Determine também o
perímetro delas e registre suas conclusões.
3.3.8. Avaliação:
A avaliação será desenvolvida a partir das observações, feitas pelo
professor, durante todo o procedimento de execução das atividades pelos alunos.
Ocorrerá também no momento final, quando serão colocadas as conclusões e as
dúvidas com relação à identificação de perímetros de figuras geométricas
construídas a partir de uma mesma medida de área. Articulam-se, assim, os
aspectos geométrico, numérico e das grandezas do conceito de perímetro.
Ao final das atividades do dia, será feito um relato dos resultados obtidos
com relação aos conhecimentos, adquiridos pelos alunos, referentes à noção de
perímetros de figuras geométricas. Serão relatadas, também, as situações
inesperadas que surgirem e como as situações esperadas de fato ocorreram.
46
3.4.1. Objetivo geral:
Analisar as relações entre áreas e perímetros de retângulos, a partir das
atividades propostas.
3.4.2. Objetivos específicos:
•
Identificar a medida da área de retângulos construídos a partir de uma medida
de perímetro dada;
•
Estabelecer relações entre áreas de retângulos que possuam mesma medida
de perímetro;
•
Revisar propriedades dos quadriláteros.
3.4.3. Recursos necessários:
•
Folhas dadas com a atividade;
•
Folhas em papel quadriculado com 1 cm de unidade de medida;
•
Material para anotações: lápis, caneta, borracha;
•
Régua.
3.4.4. Estratégias de ação:
O tempo previsto para o desenvolvimento desta atividade é de 1,5 hora-aula,
sendo, após, realizada a plenária, quando o grupo de alunos irá discutir as respostas
encontradas, as dúvidas e as conclusões a que chegaram.
Distribuir os alunos em grupos de quatro alunos cada, para resolverem as
atividades que se seguem, acompanhando a execução e orientando-os nas
dificuldades que surgirem.
Observação: As questões a e d das atividades a seguir foram adaptadas de
RODRIGUES, 2007, p. 142-143.
47
3.4.5. Desenvolvimento:
Professor: Como se presume que os alunos já assimilaram aspectos dos conceitos de área
e perímetro referentes aos quadros geométrico, numérico e das grandezas, essas atividades são para
reforçar a diferença entre estes conceitos.
É importante o aluno observar que as atividades anteriores são parecidas com as que se
apresentam abaixo, mas agora o foco central não é uma medida de área pré-estabelecida e, sim,
uma medida de perímetro. Para facilitar, sugerem-se atividades com medidas dos lados apenas com
números inteiros.
a) Desenhe, na folha quadriculada, todos os retângulos cujos perímetros sejam de
20 cm e os lados formados só de números inteiros. Nomeie-os de acordo com as
letras sugeridas na tabela abaixo, registrando-as no interior de cada retângulo.
Depois, anote na tabela os respectivos valores da base e altura dos retângulos. A
seguir, determine a área de cada um e anote na tabela.
Retângulo
Base (cm)
Altura (cm)
Perímetro (cm)
Área (cm2)
A
B
C
D
E
QUADRO 4 – IDENTIFICAÇÃO DE ÁREA DE ACORDO COM A MEDIDA DE PERÍMETRO DADA
FONTE: A autora
Com base nos resultados encontrados, investigue as relações que podemos
identificar entre os perímetros e áreas nesse caso. Para ajudá-lo, seguem algumas
questões para reflexão:
b) Qual é o retângulo que tem maior área? E o que possui menor área?
c) Se fosse o caso de uma planta da construção de um barracão, qual área seria a
que aproveitaria melhor o espaço físico para depósito de materiais? Por quê?
48
Ao responder essas questões anteriores, o aluno irá perceber que o retângulo que possui a
2
menor área é de 9 x 1 cm e o que tem a maior área é o quadrado, com 25 cm , sendo também o que
possui maior aproveitamento de espaço físico no caso de uma construção.
d) Se identificarmos retângulos com 32 cm de perímetro:
- Qual deles possui a maior área?..................................................................................
- Qual é a medida dessa área?......................................................................................
Nessa situação, o aluno deve identificar o quadrado de medidas 8x8 cm como o de maior
área.
e) Escolha agora como medida 14 cm para o perímetro de retângulos. Desenhe-os,
compare as áreas e anote os resultados. Como podemos identificar a maior área
nesse caso?
O aluno observará que, comparando as áreas a partir de retângulos com perímetro de 14
cm, a maior área que se aproxima de um quadrado é um retângulo 3 x 4 cm.
Professor: Uma concepção que muitos alunos possuem é aquela em que o retângulo está
sempre representado na forma horizontal, sendo a base o lado de maior medida. A questão seguinte
sugere desmistificar essa relação, fazendo com que o aluno investigue outros retângulos em que a
medida da base pode ser menor que a altura.
f) Num retângulo, ao identificarmos seus lados, a medida da base pode ser menor
que a medida da altura? Investigue situações em que isso ocorre, se necessário
desenhe, e registre suas conclusões.
Professor: Como o aluno deduz nas questões anteriores que o quadrado é o retângulo que
possui maior área, surge uma oportunidade para que possa assimilar ou revisar uma propriedade dos
quadriláteros, em especial dos retângulos, especificada na questão a seguir. É importante ressaltar
que todo retângulo é assim chamado porque é um paralelogramo formado por ângulos retos.
g) Diz-se que: “Todo quadrado é um retângulo, mas nem todo retângulo é um
quadrado.” Com base nos resultados encontrados nas respostas das questões
anteriores, verifique a veracidade dessa afirmação.
49
3.4.6. Avaliação:
A avaliação será desenvolvida a partir das observações, feitas pelo
professor, durante todo o procedimento de execução das atividades pelos alunos.
Ocorrerá também no momento final, quando serão colocadas as conclusões e as
dúvidas com relação à identificação de áreas de retângulos construídos a partir de
uma mesma medida de perímetro e revisão de algumas propriedades dos
quadriláteros.
Ao final das atividades do dia, será feito um relato dos resultados obtidos
com relação aos conhecimentos, adquiridos pelos alunos, referentes aos conceitos
área e perímetro, definidos em seus aspectos geométrico, numérico e das
grandezas. Serão relatadas, também, as situações inesperadas que surgirem e
como as situações esperadas de fato ocorreram.
3.5.1. Objetivo geral:
Analisar as relações entre áreas e perímetros de retângulos, aplicando-as
em situações envolvendo razão e proporção.
3.5.2. Objetivos específicos:
•
Identificar áreas de quadriláteros que possuam unidades de medida
diferentes, mas a mesma superfície, reforçando a noção de conservação de
área;
•
Identificar áreas de quadriláteros que possuam unidades de medida e de
superfícies diferentes, mas medida de área iguais;
•
Identificar perímetros de quadriláteros de mesmo tamanho que possuam
unidades de medida de comprimento diferentes;
•
Calcular a razão de proporção entre os lados de retângulos dados;
50
•
Calcular a razão de proporção entre os perímetros e as áreas de retângulos
semelhantes;
•
Medir com exatidão, utilizando o centímetro e o milímetro como unidades de
medida;
•
Revisar o cálculo com operações envolvendo números racionais com vírgula.
3.5.3. Recursos necessários:
•
Folhas dadas com a atividade;
•
Material para anotações: lápis, caneta, borracha;
•
Régua milimetrada;
•
Calculadora.
3.5.4. Estratégias de ação:
O tempo previsto para o desenvolvimento desta atividade é de 1,5 hora-aula,
sendo, após, realizada a plenária, quando o grupo de alunos irá discutir as respostas
encontradas, as dúvidas e as conclusões a que chegaram.
Distribuir os alunos em grupos de quatro alunos cada, para resolverem as
atividades que se seguem, acompanhando a execução e orientando-os nas
dificuldades que surgirem.
Para essas atividades, o aluno não utilizará papel em malha quadriculada.
Observação: Essas atividades foram elaboradas a partir da adaptação do quadro de
áreas de figuras de FACCO, 2003, p. xv-xvi.
3.5.5. Desenvolvimento:
Professor: Antes de iniciar a atividade, é interessante relembrar aspectos importantes
discutidos e analisados nas aulas anteriores sobre os conceitos área e perímetro. Após, pedir que
observem com atenção as figuras desenhadas no quadro abaixo, para depois efetuarem o que lhes é
pedido.
a) Observe bem as figuras no quadro abaixo. Utilizando o quadradinho de cada
figura como unidade de medida, verifique quantas unidades de medida de área tem
51
cada figura e registre a resposta abaixo de cada uma.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
FIGURA 9 – ÁREAS DE FIGURAS COM SUPERFÍCIES OU UNIDADES DE MEDIDA IGUAIS
FONTE: A autora
b) Quais conclusões você pode tirar, observando as figuras 1 e 2?
c) Quais conclusões você pode tirar, observando as figuras 3 e 4?
Como resposta a essas duas primeiras perguntas, presume-se que o aluno observará que a
área como superfície é a mesma nas figuras 1 e 2, mudando apenas o número correspondente à
unidade de medida: na Figura 1, a área é igual a 60 quadradinhos e na Figura 2, igual a 15
quadradinhos. Em relação às figuras 3 e 4, o número correspondente à unidade de medida é o
mesmo, ou seja 16, mas a superfície das duas áreas não é a mesma (ou seja, não são equivalentes).
Observe que cada quatro quadradinhos da Figura 1 equivalem a 1
quadradinho da Figura 2, ou seja:
equivale a
.
52
d) Sendo assim, calcule o perímetro das figuras 1 e 2, utilizando o lado do
quadradinho menor como unidade de comprimento e registre suas conclusões
abaixo:
e) Calcule agora o perímetro das figuras 1 e 2, utilizando o lado do quadradinho
maior como unidade de comprimento e registre suas conclusões:
Pretende-se que o aluno chegue às respostas seguintes: utilizando o lado do quadradinho
menor como unidade de medida nas figuras 1 e 2, a medida do perímetro é a mesma, ou seja, 32
unidades. Se utilizar o lado do quadradinho maior como unidade de medida, ambas as figuras terão
perímetro igual a 16 unidades.
f) Observe abaixo o novo quadro formado pela Figura 2, incluindo-se a Figura 6.
Utilizando a superfície do quadradinho de cada figura como unidade de medida,
calcule as suas áreas e anote-as ao lado de cada desenho.
Figura 2
Figura 6
FIGURA 10 – ÁREAS DE RETÂNGULOS PROPORCIONAIS
FONTE: A autora
53
g) Quais conclusões você pode tirar em relação às áreas das figuras 2 e 6?
Presume-se aqui que o aluno responderá 15 quadradinhos para ambas, mas também
observará que as áreas não são equivalentes, apesar de encontrar o mesmo número para a medida
de área.
Professor: A partir da questão seguinte, o aluno irá trabalhar com medidas envolvendo
números com vírgula. Se necessário, atentar para que inicie a medição na régua milimetrada a partir
do zero e não a partir de 1 cm. Observar aqueles alunos que têm dificuldades no processo de
medição envolvendo medidas em centímetros e milímetros e como registram seus dados na forma de
números com vírgula.
Leia com atenção: Para que dois polígonos sejam semelhantes, é
preciso
que
as
medidas
entre
seus
lados
correspondentes
sejam
proporcionais (ou seja, possuam a mesma razão) e as medidas de seus
ângulos sejam iguais.
h) Com uma régua, meça precisamente os lados de cada retângulo das figuras 2 e 6
e anote os resultados na 2ª e na 3ª colunas do quadro abaixo. Depois, calcule a
razão entre os comprimentos do lado maior de cada figura e comprimentos do lado
menor. Anote os resultados na 4ª coluna.
Figura 2
Figura 6
Figura 6 ÷ Figura 2
Comprimento do lado maior (cm)
Comprimento do lado menor (cm)
QUADRO 5 – IDENTIFICAÇÃO DE PROPORÇÃO ENTRE LADOS DE RETÂNGULOS
FONTE: A autora
i) O que aconteceu com os resultados anotados na última coluna da tabela?
j) Há proporção entre os comprimentos maior e menor das figuras 2 e 6? Esses
retângulos são semelhantes?
Ao efetuar as medições e a divisão, o aluno encontrará resultados iguais ou
aproximadamente iguais a 11,4 / 5,7 = 2 e 6,8 / 3,4 = 2, ajudando-o a concluir que a Figura 6 é
proporcionalmente igual ao dobro da Figura 2 e seus ângulos são retos, o que os torna semelhantes.
54
Professor: Para responder à questão seguinte, o aluno irá sentir a necessidade do uso da
fórmula para o cálculo de área de retângulos, pois a simples contagem de quadrados como unidade
de medida é insuficiente. A unidade utilizada agora é o centímetro. Surge uma ótima oportunidade
para relembrar também as operações envolvendo números decimais. Se achar mais conveniente,
esses cálculos podem ser feitos na calculadora, mas as anotações referentes ao pensamento
algébrico devem ser registradas num espaço disponível abaixo do exercício.
k) Agora, calcule as áreas e os perímetros das figuras 2 e 6, a partir dos valores que
você mediu e anote no quadro:
Figura 2
Figura 6
Área (cm2)
Perímetro (cm)
QUADRO 6 – MEDIDAS DE ÁREAS E PERÍMETROS DE RETÂNGULOS PROPORCIONAIS
FONTE: A autora
l) Identifique a razão entre o perímetro encontrado na Figura 6 e o perímetro da
Figura 2. O que você observa?
m) Podemos dizer então que há proporcionalidade direta entre os perímetros das
figuras 2 e 6?
Ao efetuar a divisão entre os valores dos perímetros das figuras 6 e 2, o aluno identificará a
razão de proporção direta igual ou aproximadamente igual a 2.
n) Observe agora os valores encontrados para as áreas dos retângulos calculadas
nas figuras 2 e 6. Identifique a razão entre a área da Figura 6 e a área da Figura 2 e
anote as conclusões.
Atenção: A razão entre as áreas de figuras semelhantes é igual ao
quadrado da razão de semelhança.
o) Podemos então dizer que há proporcionalidade direta entre as áreas de dois
retângulos proporcionais?
55
Professor: Na questão anterior, talvez o aluno sinta dificuldade em perceber que a
proporção não é direta, pois o resultado não será o mesmo encontrado para as questões i e l, o que
poderá levá-lo a pensar que não há proporcionalidade.
Mas surge uma oportunidade de, no grande grupo ao final da atividade, fazê-los
recordar/assimilar o porquê do uso da unidade elevada ao quadrado como unidade de medida (ou
2
seja, cm ). Se analisarmos que a operação inversa da potenciação, a raiz quadrada, ao ser aplicada à
resposta da questão n resultará na mesma razão encontrada para os lados e o perímetro, ou seja,
razão 2, presume-se que o aluno identificará que ocorre também uma proporção entre as áreas.
3.5.6. Avaliação:
A avaliação será desenvolvida a partir das observações, feitas pelo
professor, durante todo o procedimento de execução das atividades pelos alunos.
Ocorrerá também no momento final, quando serão colocadas as conclusões e as
dúvidas quanto à análise da razão de proporção entre lados de retângulos
semelhantes e entre áreas e perímetros desses retângulos.
Ao final das atividades do dia, será feito um relato dos resultados obtidos
com relação aos conhecimentos, adquiridos pelos alunos, referentes à razão de
proporção entre áreas e perímetros de retângulos semelhantes. Serão relatadas,
também, as situações inesperadas que surgirem e como as situações esperadas de
fato ocorreram.
3.6.1. Objetivo geral:
Explorar as principais ferramentas do GeoGebra, utilizadas para a
construção e medição de polígonos e análise de áreas e perímetros.
3.6.2. Objetivos específicos:
•
Explorar os ícones que integram as funções do GeoGebra;
56
•
Relembrar notações matemáticas utilizadas para ponto, reta, segmento e
polígono;
•
Relembrar conceitos de polígonos regulares e irregulares;
•
Construir polígonos no GeoGebra para análise das medidas de área e
perímetro deles.
3.6.3. Recursos necessários:
•
Folhas dadas com as atividades;
•
Material para anotações: lápis, caneta, borracha;
•
16 computadores da sala de informática;
•
Software de Geometria Dinâmica GeoGebra, disponível nos computadores da
escola.
3.6.4. Estratégias de ação:
O tempo previsto para o desenvolvimento desta atividade é de 2 horas-aula,
sendo depois realizada a plenária, quando o grupo de alunos irá apresentar suas
impressões sobre o uso do GeoGebra: suas principais funções básicas,
aplicabilidade para construções geométricas e análise de medições, as dúvidas
quanto ao manuseio e dificuldades que encontraram.
Mas, de acordo com o ritmo de aprendizagem e conhecimento destas
funções e ferramentas básicas, o desenvolvimento das atividades pode variar, o que
pode levar os alunos a precisarem de mais ou menos tempo de intervenção junto ao
GeoGebra, para se familiarizarem com seu uso. Por isso, as atividades
desenvolvidas foram organizadas em três partes (etapas), com o fim de centralizar o
foco em algumas ferramentas e suas aplicações. Se o professor achar conveniente e
necessário, sugere-se que, ao final de cada etapa, seja realizada a plenária para que
dificuldades e dúvidas sejam saneadas.
Cada aluno irá utilizar um computador, para que possa se familiarizar com o
uso do GeoGebra. Nas atividades que se seguem, o professor irá acompanhar a
execução, orientando os alunos nas dificuldades que surgirem.
57
3.6.5. Observações importantes:
O objetivo destas atividades não é conhecer todas as ferramentas e recursos
do GeoGebra. Serão exploradas apenas algumas ferramentas para a construção e
medição de polígonos e análise de áreas e perímetros. Caso haja interesse em
conhecer um pouco mais sobre outros recursos, pode-se consultar os seguintes
endereços:
<http://cristianopalharini.files.wordpress.com/2009/11/apostila-de-geogebra-ufpr.pdf>
<http://ftp.multimeios.ufc.br/~geomeios/geogebra/manual.htm>
<http://www.geometriadinamica.kit.net/docupt_BR.pdf>
<http://www.pessoal.utfpr.edu.br/previero/tutorial_geogebra_rapido.PDF>
<http://www.conhecer.org.br/enciclop/2010b/ensinando.pdf>
Algumas atividades investigativas citadas no desenvolvimento foram
adaptadas a partir de TRATCH, 2010, p. 30-33.
3.6.6. Desenvolvimento:
Professor: Iniciar com uma leitura compartilhada sobre o GeoGebra: seu breve histórico,
ferramentas e utilidade. Depois, sugerir que, conforme os alunos leem as informações, acessem os
menus e ferramentas para se familiarizarem com suas funções, antes de iniciar as atividades
propriamente ditas.
O GeoGebra é um software livre, instalado na plataforma Linux dos
computadores da escola. Foi criado por Markus Hohenwarter, docente do
Departamento de Matemática Aplicada da Universidade de Salzburgo,
Áustria, em 2001. Seu objetivo era obter um instrumento adequado ao ensino
da Matemática, combinando procedimentos geométricos e algébricos
(envolvendo desenhos e cálculos).
Para que você possa se ambientar com o uso de ferramentas do
GeoGebra no computador, seguem abaixo algumas atividades.
Para abrir o programa no laboratório do Paraná Digital, arrasta-se o cursor e
clica-se em: Aplicativos – Educação – Matemática – GeoGebra.
Ao abrir o GeoGebra, aparecerá a tela abaixo, onde se destacam duas
58
janelas principais: a janela algébrica e a janela geométrica. Esta será nossa área de
trabalho. Cada objeto que construímos na janela geométrica tem sua representação
algébrica simultaneamente mostrada na janela algébrica.
JANELA ALGÉBRICA
JANELA GEOMÉTRICA
FIGURA 11 – TELA INICIAL DO GEOGEBRA
FONTE: A autora
Clicando no menu Editar, bem no alto da tela, encontramos duas
ferramentas muito importantes: Os itens Desfazer e Refazer, que são usados para
Desfazer
anular as últimas operações.
Refazer
FIGURA 12 – FERRAMENTAS DESFAZER E REFAZER
FONTE: A autora
Pode-se também usar no teclado ctrl+z (desfazer) e ctrl+y (refazer). Essas
59
opções também são encontradas no canto superior direito da tela.
No menu Exibir, encontramos duas opções que definem se os objetos
geométricos serão construídos numa malha quadriculada (Malha) ou num plano
cartesiano (Eixos). Para acessá-los ou desmarcá-los, é só clicar na ferramenta.
Com o botão direito do mouse também se pode ativar ou desativar Eixo e Malha.
Clique sobre essas ferramentas no menu Exibir e veja o que acontece.
FIGURA 13 – MENU EXIBIR E SEUS APLICATIVOS
FONTE: A autora
No menu Exibir, encontramos também a opção de exibir ou não a janela
algébrica. Para fechá-la, é só clicar sobre o nome. Para exibi-la novamente, clique
em Exibir – Janela de Álgebra.
Na parte superior, existem alguns botões que serão as ferramentas para
construirmos os objetos geométricos.
FIGURA 14 – BARRA DE FERRAMENTAS
FONTE: A autora
Ao clicar em um dos botões, ele ficará destacado em azul, indicando que
está ativo. Clicando sobre a setinha que se situa no lado inferior direito de cada
botão, surgirá o menu com outras ferramentas desse botão. Ao fazê-lo, a setinha
ficará na cor vermelha. Arrastando o cursor para baixo, pode-se clicar nas outras
opções dessa ferramenta e ativá-las.
60
Ao final da barra de botões, no lado direito, aparecerá sempre o nome da
ferramenta ativada e uma descrição dos procedimentos necessários para aquela
ferramenta. Acione cada um desses botões e veja as opções que este acessa.
Vamos então realizar algumas atividades para conhecermos essas
ferramentas? Para facilitar o desenvolvimento, as atividades são divididas em três
partes.
1ª PARTE:
a) Clique no botão
. Repare que este ficou destacado em azul, indicando que
está ativado. Em seguida, na janela geométrica, clique em diversos lugares, criando
pontos. Agora clique em
no final da linha dos botões. Depois em
. O que
aconteceu?
b) Clique na seta em
a ferramenta
até ficar vermelha, depois arraste o mouse até encontrar
(Segmento definido por dois pontos). Faça vários segmentos.
Com o botão
(Mover) acionado, clique em um dos pontos de um dos
segmentos de reta e, mantendo o botão esquerdo do mouse pressionado, arraste-o.
Verifique o que acontece e anote.
c) Clique novamente na seta vermelha da ferramenta
e acione a opção
(Ponto médio). De acordo com a explicação na parte superior direita da tela,
você deve selecionar os dois pontos das extremidades de um dos segmentos que
desenhou ou o próprio segmento. O que aconteceu?
d) Clique na opção
. Selecione o ponto médio do segmento escolhido com o
61
mouse clicando-o e depois selecione esse mesmo segmento. O que aconteceu?
Qual o nome do objeto formado?
e) Clique na seta vermelha da opção
. Arraste o mouse e acione
. Escolha
um dos pontos na tela, clique sobre ele, depois sobre um dos segmentos que
desenhou. O que aconteceu? Que objeto você formou?
Ao responder às duas questões anteriores, o aluno deve identificar diferenças entre reta
perpendicular e reta paralela.
f) Escolha um ponto qualquer, clique com o botão direito sobre ele. Abre-se uma
pequena janela, na qual você deve selecionar e clicar a opção Exibir rótulo. Faça o
mesmo com outros pontos e retas. Como são identificados os pontos e retas que
você formou? Qual a diferença ao representá-los na escrita?
Nessa questão, o aluno deve observar que pontos são identificados com letras maiúsculas e
retas, com letras minúsculas.
g) Agora você vai usar a ferramenta que funciona como um compasso. Clique em
(Círculo definido pelo centro e um de seus pontos). A seguir, selecione um
ponto da tela (pode ser também de um segmento ou reta) e novamente um outro
ponto, o qual pertencerá à circunferência. Crie outras circunferências, clicando em
outros pontos.
h) Vamos salvar essas atividades. Clique em Arquivo na barra de menus, depois
escolha Gravar como... Selecione, clicando com o lado esquerdo do mouse, a pasta
MatemáticaPDE. Digite o nome da atividade: atividade1_seunome (exemplo:
atividade1_cleide); depois clique no botão OK.
62
FIGURA 15 – JANELA DA OPÇÃO GRAVAR ARQUIVOS
FONTE: A autora
Professor: Neste momento, os alunos podem sentir certa dificuldade em encontrar as
pastas, havendo a necessidade de uma orientação individual. Os nomes das pastas e atividades
arquivadas devem ser definidos previamente com o professor encarregado da sala de laboratório,
para facilitar o posterior acesso aos arquivos.
2ª PARTE:
a) Vamos criar um objeto. Na barra de menus, clique em Arquivo, depois em Novo.
Aparecerá uma nova tela. Se quiser, desmarque Eixo e Malha no menu Exibir.
Acione o botão
. Na janela geométrica, clique em pontos distintos, sendo que o
último ponto deve ser o ponto inicial. O que você observou? Faça outras figuras.
b) Na atividade anterior, você criou polígonos. Observe como são representados os
vértices e os lados desses polígonos. Para isso, escolha um ponto qualquer, clique
com o botão direito sobre ele e escolha a opção Exibir rótulo. Faça o mesmo com
63
outros pontos e lados dos polígonos. Observe o que acontece e anote as
conclusões.
c) Identifique os polígonos que desenhou com as letras, por exemplo: ABC. Registreos no quadro abaixo, marque quantos lados ele possui e o nome do polígono de
acordo com o número de lados.
Polígono
Número de lados
Nome do polígono
QUADRO 7 – IDENTIFICAÇÃO DE POLÍGONOS DESENHADOS NO GEOGEBRA DE ACORDO
COM O NÚMERO DE LADOS
FONTE: A autora
d) Salve essa atividade, clicando em Arquivo - Gravar como... Selecione a pasta
MatemáticaPDE. Digite o nome da atividade: atividade2_seunome; depois clique
no botão OK.
e) Vamos fazer agora outra atividade com polígonos. Na barra de menus, clique em
Arquivo, depois em Novo. Se quiser, desmarque Eixo e Malha no menu Exibir.
Acione novamente o botão
selecionar a opção
pela seta vermelha, arrastando o mouse até
(Polígono regular). Clique na janela geométrica, marcando
os pontos de vértice. Note que, após o 2º ponto, será aberta uma janela como a
mostrada abaixo.
64
FIGURA 16 – JANELA POLÍGONO REGULAR
FONTE: A autora
Digite um número qualquer maior que 2 no lugar do número já registrado, ou
mantenha esse mesmo número. Clique em Aplicar. Observe o que acontece na
tela. Faça a mesma atividade usando outros números. A que conclusão chegou?
Com esse procedimento, o aluno identificará polígonos regulares, e deve concluir que todos
os lados de um polígono regular possuem a mesma medida. Pode ser que ele observe essa
característica também com relação aos ângulos.
f) Registre o nome dos polígonos que desenhou e o número de lados. Por que esses
polígonos são chamados de regulares?
g) Acione o botão
. Clique com o botão esquerdo do mouse sobre um ponto
azul de um dos polígonos que desenhou e, mantendo-o pressionado, mova-o.
Depois, escolha um ponto preto. O que aconteceu? A que conclusão chegou?
h) Escolha uma das figuras que desenhou, clique com o botão direito do mouse
sobre ela e escolha Apagar na janela que se abre. Observe. Agora escolha um
ponto e faça o mesmo. Essa é uma das formas de apagar um objeto.
i) Arraste o mouse até um dos polígonos e clique com o botão direito sobre ele.
Selecione a opção Exibir objeto. Observe o que acontece e anote abaixo. Se você
quiser desfazer o procedimento, pode clicar em Desfazer no canto superior direito
da tela ou selecionar a opção em
(Deslocar eixos) na seta vermelha,
65
arrastando o mouse até acionar
(Exibir/esconder objeto).
j) Se a janela algébrica estiver fechada, abra-a (menu Exibir – Janela de álgebra).
Observe-a. Desenhe mais um polígono qualquer (item a ou e). Observe o que
aconteceu na janela algébrica. Clique com o botão direito do mouse dentro dessa
figura e escolha Exibir objeto. O que aconteceu com o objeto e na janela algébrica?
Nessa janela, clique no botão do polígono que você acabou de construir. Observe e
anote.
k) Qual é a diferença entre exibir rótulo e exibir objeto? E entre apagar um objeto e
desabilitar a exibição de um objeto?
Como resposta, o aluno deve chegar à conclusão de que exibir rótulo é exibir a
nomenclatura que identifica os vértices do objeto com letra maiúscula e os segmentos e retas ou
lados dos polígonos com letra minúscula. Apagar um objeto é excluí-lo. Desabilitar a exibição de um
objeto é apenas escondê-lo.
l) Você pode colorir ou fazer outras formatações nos objetos. Para isso, clique com o
botão direito em um objeto (ponto ou figura) e escolha Propriedades. Será aberta
uma pequena janela como a desenhada abaixo. Para melhor visualização, mova
essa janela para um canto da tela, onde não esconda os objetos desenhados.
Selecione a aba Cor, escolha uma cor e depois clique em Fechar. Faça o mesmo
procedimento com outros objetos, escolhendo outras cores.
66
FIGURA 17 – JANELA PROPRIEDADES DO OBJETO
FONTE: A autora
m) Investigue nessa janela Propriedades os recursos das abas Básico e Estilo,
bem como a janela de objetos à esquerda. Relate suas observações.
n) Salve essa atividade como atividade3_seunome na pasta MatemáticaPDE.
3ª PARTE:
Agora vamos fazer atividades de medição de alguns segmentos e
identificação de perímetros e áreas de polígonos construídos no GeoGebra.
a) Abra um arquivo novo. Com a janela algébrica também aberta, crie alguns
segmentos de reta, polígonos regulares e irregulares e retas. Em seguida, clique no
menu Opções, depois em Casas decimais, escolha 2, ou seja, duas casas
decimais.
b) Clique na seta vermelha do botão
Ângulo, depois arraste até acionar
(Distância ou comprimento). Clique em cima de um dos lados de uma figura,
de preferência primeiramente em um polígono regular. Observe. Faça o mesmo para
67
cada segmento dessa figura, sempre acionando a opção
se esta não estiver
selecionada. Anote o que observou.
c) Com o mesmo botão acionado, clique agora em cima do polígono regular do qual
foram medidos seus lados. O que aconteceu? Que medida encontrou? Confira o
resultado, calculando-o e anote suas conclusões.
Nesse momento, o aluno deve identificar a medida encontrada como o perímetro do
polígono, podendo inclusive fazer seus próprios cálculos para confirmar o resultado.
d) Escolha outra figura e faça os mesmos procedimentos anteriores. Depois, com os
segmentos e retas. O que aconteceu e a que conclusão você chegou?
e) No mesmo ícone de
escolha a opção
Área. Clique com o botão
esquerdo do mouse dentro do polígono que desejar e anote o que observou.
f) Você pode analisar todos os passos que executou ao construir um ou mais
objetos. Para isso, clique no menu Exibir – Protocolo de construção e depois nas
setas direita e/ou esquerda, que se encontram na parte inferior desta janela.
g) Faça uma síntese do que descobriu com relação ao software GeoGebra. Relate
também quais foram as principais dificuldades que encontrou.
3.6.7. Avaliação:
A avaliação será desenvolvida a partir das observações, feitas pelo
professor, durante todo o procedimento de execução das atividades pelos alunos.
Ocorrerá também no momento final, quando serão colocadas as conclusões e as
dúvidas com relação: à exploração dos ícones que integram as funções de
68
construção de polígonos e cálculo de área e perímetro no GeoGebra; os
procedimentos necessários para salvar uma atividade realizada.
Ao final das atividades do dia, será feito um relato dos resultados obtidos
com relação aos conhecimentos, adquiridos pelos alunos, quanto ao manuseio de
ferramentas no GeoGebra. Serão relatadas, também, as situações inesperadas que
surgirem e como as situações esperadas de fato ocorreram.
3.7.1. Objetivo geral:
Identificar a razão áurea como razão de proporção entre as medidas de área
e perímetro do retângulo áureo construído no GeoGebra.
3.7.2. Objetivos específicos:
•
Construir o retângulo áureo no Geogebra de acordo com especificações
dadas;
•
Identificar a razão áurea como razão de semelhança entre os lados dos
retângulos que se observam no retângulo áureo construído;
•
Calcular área e perímetro dos retângulos que se observam no retângulo
áureo construído;
•
Identificar a razão áurea como razão de proporção direta entre os perímetros
dos retângulos analisados no retângulo áureo;
•
Identificar a razão áurea como razão de proporção indireta entre as áreas dos
retângulos analisados no retângulo áureo.
3.7.3. Recursos necessários:
•
Folhas dadas com as atividades;
69
•
Material para anotações: lápis, caneta, borracha;
•
16 computadores da sala de informática;
•
Calculadora;
•
Software de Geometria Dinâmica GeoGebra, disponível nos computadores da
escola.
3.7.4. Estratégias de ação:
O tempo previsto para o desenvolvimento desta atividade é de 1,5 hora-aula,
sendo, após, realizada a plenária, quando o grupo de alunos irá apresentar suas
conclusões em relação à proporção áurea que se observa entre as áreas e
perímetros dos retângulos sucessivamente menores que se obtêm a partir da divisão
de um retângulo áureo em quadrados sucessivamente menores.
Nas atividades que se seguem, o professor irá acompanhar a execução,
orientando os alunos nas dificuldades que surgirem.
3.7.5. Observações importantes:
Durante o desenvolvimento das atividades em que os alunos constroem o
retângulo áureo e trabalham com as ferramentas do GeoGebra, podem surgir
momentos em que o professor terá que recordar o procedimento de uso de alguma
ferramenta. Seria interessante que os alunos tivessem em mãos as atividades que
fizeram no dia anterior, quando se familiarizaram com o GeoGebra. Assim, eles
podem consultar por si mesmos os procedimentos, sendo uma oportunidade para o
professor criar e/ou incentivar a autonomia de aprendizagem deles.
3.7.6. Desenvolvimento:
Professor: A aula será iniciada com um diálogo, orientado pela questão abaixo, a qual, após
a conversa, deve ser pesquisada e respondida individualmente.
Você sabe o que é áureo? Vamos pesquisar no dicionário? Registre abaixo
o significado que encontrou.
70
Nestas atividades, você vai construir um retângulo especial a partir do
desenho de um quadrado, chamado retângulo áureo. Para isso, vai utilizar o
software GeoGebra no computador.
Siga com atenção os passos e depois, com as atividades posteriores, você
vai entender um pouco por que o retângulo áureo é tão especial. Para facilitar, o
procedimento será dividido em duas partes: a construção e depois a análise.
1ª PARTE: A construção do retângulo áureo
a) No computador, clique em: Aplicativos – Educação – Matemática – GeoGebra
para inicializar o software. Ao abrir a tela, clique então em Exibir e desmarque Eixo
e Malha. Desmarque também a Janela de Álgebra.
b) Inicialmente, vamos construir um quadrado. Selecione a opção
no menu
. Clique na janela geométrica marcando os pontos de vértice (Para facilitar sua
construção, coloque-os na posição horizontal). Ao abrir a pequena janela após clicar
o 2º ponto na tela, verifique se o número 4 está indicado, pois vamos construir um
polígono regular de 4 lados. Clique em Aplicar.
c) Selecione na ferramenta
a opção ponto médio:
. Clique no vértice A do
quadrado e depois no vértice B, encontrando o ponto médio de AB. Se os pontos
não estiverem identificados pelas respectivas letras, clique num dos pontos com o
botão direito do mouse até abrir a janela. Selecione a opção Exibir rótulo. Faça o
mesmo com os outros pontos.
d) Vamos traçar uma circunferência com centro no ponto médio do lado AB. Clique
no botão Círculo definido pelo centro e um de seus pontos
pontos E e C. A circunferência ficará como na figura abaixo.
, depois nos
71
FIGURA 18 – CÍRCULO DEFINIDO PELO CENTRO E UM DE SEUS PONTOS
FONTE: A autora
e) Selecione a opção Semirreta definida por dois pontos
. Clique no ponto A
e arraste o mouse até clicar no ponto B, formando a semirreta.
f) Selecione a opção
e clique sobre o ponto de encontro entre a semirreta e a
circunferência. Com o botão direito do mouse, clique sobre esse ponto e selecione a
opção Exibir rótulo, identificando o ponto F.
g) Selecione a opção Reta perpendicular
. Clique sobre o ponto F e depois
sobre a semirreta desenhada.
h) Efetue o mesmo procedimento da letra e, formando uma semirreta que passe
pelos pontos D e C. Selecione também a opção
como na letra f e identifique o
ponto G. Verifique se as construções ficaram como na figura abaixo.
FIGURA 19 – SEMIRRETAS DEFINIDAS POR DOIS PONTOS
FONTE: A autora
i) Vamos esconder alguns objetos. Selecione a circunferência com o botão direito do
72
mouse e clique em Exibir Objeto, escondendo-a. Faça o mesmo procedimento,
escondendo agora o ponto E. Quantos quadriláteros você observa na construção
que efetuou?...................................................................................................................
j) Vamos agora delimitar o retângulo menor que vemos na construção. Selecione
, depois clique sobre os pontos C, B, F e G, clicando novamente em C para
formar o retângulo. Selecione a reta e as semirretas desenhadas com o botão direito
do mouse e clique em Exibir Objeto, para escondê-las.
Eis o retângulo áureo construído a partir do quadrado, como na figura
abaixo:
FIGURA 20 – O RETÂNGULO ÁUREO CONSTRUÍDO
FONTE: A autora
k) Salve essa atividade, clicando em Arquivo - Gravar como... Selecione a pasta
MatemáticaPDE. Digite o nome da atividade: atividade4_seunome; depois clique
no botão OK. Mantenha sua construção na tela, pois ainda vai explorá-la.
2ª PARTE: Por que retângulo áureo?
Vamos entender agora por que ele é chamado de retângulo áureo. Para isso,
acompanhe os seguintes procedimentos:
a) Selecione na ferramenta
a opção
. Clique nos pontos citados abaixo,
identificando as medidas de comprimento dos segmentos que compõem os lados
maior e menor do retângulo construído.
Segmento AF ou segmento DG = ........................................
Segmento AD ou segmento FG = .........................................
73
Compare e responda: Suas medidas foram as mesmas de seus colegas? Por quê?
Professor: As medidas encontradas possivelmente serão diferentes, pois cada aluno
construiu seu retângulo áureo com uma medida arbitrária para o segmento AB.
b) Utilizando a calculadora, calcule agora a razão entre as medidas do maior
segmento (AF ou DG) e menor segmento (AD ou FG) que formam os lados do
retângulo e anote o resultado:........................................................................................
Confira-o com seus colegas. O que aconteceu?
Esse número que você encontrou é chamado de número áureo ou
razão áurea. É um número irracional, cuja razão entre dois comprimentos não
pode ser expressa por uma fração (como um número racional). É uma
grandeza que pode ser traçada, mas não pode ser medida. Esse número
irracional passou a ser chamado de Fi ou Phi, cujo símbolo é Ф, e é igual a
aproximadamente 1,6180339887..., em homenagem ao famoso escultor grego
Phidias (ou Fidias), que viveu entre 490 e 430 a.C. Os retângulos áureos eram
encontrados com frequência nas esculturas e obras arquitetônicas da Grécia
Antiga e a razão áurea já estava presente nas pirâmides do Antigo Egito.
c) Observe agora o retângulo menor, identificado no retângulo áureo construído, se
deste retirarmos o quadrado. Identifique as medidas dos lados maior e menor desse
retângulo e calcule a razão entre eles, assim como fez nas letras a e b da 2ª parte, e
anote os resultados. O que você observou?
d) Podemos dizer que os retângulos AFGD e BFGC são semelhantes? Por quê?
Espera-se que os alunos respondam que os retângulos são semelhantes, pois possuem a
mesma razão de proporção aproximadamente igual a 1,6180339887..., o que equivale ao número
áureo.
74
e) Com a ferramenta
selecionada, clique dentro do retângulo menor BFGC. O
que você identificou? Anote o valor encontrado.
Nessa questão, o aluno identificará a medida do perímetro do retângulo menor.
f) Para identificar o perímetro do retângulo maior AFGD, você vai proceder de modo
diferente, calculando-o a partir das medidas dos lados já registrados na letra a desta
parte. Anote o resultado:...............................................................................................
g) Encontre a razão entre o perímetro do retângulo maior e o perímetro do retângulo
menor, dividindo-os. Anote o resultado. O que você pode concluir?
Nesse caso, espera-se que o aluno conclua que os perímetros dos retângulos são
proporcionais, também aproximadamente iguais ao número áureo.
h) Utilizando a fórmula para o cálculo da área de retângulos, calcule a área dos
retângulos maior e menor de acordo com as medidas dos lados que possui. Use o
espaço abaixo para as anotações.
Retângulo maior:
Retângulo menor:
i) Confira agora seus resultados com os cálculos que o GeoGebra disponibiliza.
Selecione
e clique sobre os vértices do retângulo maior A, F, G e D, clicando
por último no ponto inicial, delimitando assim o retângulo. Acione a opção
.
Abrirá uma janela na qual você selecionará o polígono 3, pois foi o último a ser
delimitado. Clique sobre o retângulo maior e veja o que acontece. Anote o resultado
e confira-o com seus cálculos:.......................................................................................
j) Para conferir a medida da área do retângulo menor, verifique se está selecionada
75
a opção
e clique sobre o polígono na tela. Se abrir a pequena janela, selecione
o polígono 2. Anote o resultado:....................................................................................
k) Assim como com relação ao perímetro, calcule a razão entre os valores
encontrados para a área do retângulo maior e do retângulo menor. Anote o
resultado:........................................................................................................................
l) O resultado encontrado se relaciona com o número áureo?
Professor: Ao calcular a razão de proporção entre as áreas, espera-se inicialmente que o
aluno não encontre como resultado o número de ouro. Entre as áreas não há uma proporção direta.
Incentive-o a pensar na operação inversa da potenciação. Se o aluno calcular a raiz quadrada do
número encontrado, logo verificará que será aproximadamente igual a 1,61...
m) Com o botão
(Mover) acionado, clique no ponto A ou B (destacados em
azul) do retângulo construído e, mantendo o botão esquerdo do mouse pressionado,
arraste-o. Verifique o que acontece. A figura mantém as proporções?
n) Se quiser, pode mudar a cor e o estilo de sua figura, clicando no quadrilátero com
o lado direito do mouse e escolhendo a opção propriedades.
o) Salve as alterações dessa atividade, clicando em Arquivo – Gravar.
p) Registre aqui o que você observou e/ou concluiu com essas atividades.
3.7.7. Avaliação:
A avaliação será desenvolvida a partir das observações, feitas pelo
professor, durante todo o procedimento de execução das atividades pelos alunos.
Ocorrerá também no momento final, quando serão colocadas as conclusões e as
76
dúvidas com relação: à construção do retângulo áureo no GeoGebra; à análise da
razão de proporção entre área e perímetro de retângulos que compõem o retângulo
áureo. A razão de proporção é identificada como o número de ouro.
Ao final das atividades do dia, será feito um relato dos resultados obtidos
com relação aos conhecimentos, adquiridos pelos alunos, referentes à razão áurea,
sendo esta definida como: razão de proporção entre áreas e perímetros de
retângulos que compõem o retângulo áureo. Serão relatadas, também, as situações
inesperadas que surgirem e como as situações esperadas de fato ocorreram.
3.8.1. Objetivo geral:
Identificar a razão áurea como razão de proporção entre as medidas de área
e perímetro do retângulo áureo formado a partir da sequência de Fibonacci.
3.8.2. Objetivos específicos:
•
Investigar a regra de formação e regularidades no retângulo áureo construído
a partir de quadrados com medidas dos lados iguais à sequência de
Fibonacci;
•
Identificar o número áureo como razão entre um número da sequência de
Fibonacci e seu antecessor;
•
Calcular os perímetros e as áreas dos quadrados formados a partir da
construção do retângulo áureo com a sequência de Fibonacci;
•
Analisar o número áureo como razão de proporção entre as áreas e os
perímetros dos quadrados construídos com a sequência de Fibonacci.
3.8.3. Recursos necessários:
•
Folhas dadas com as atividades;
•
Folhas em papel quadriculado;
77
•
Material para anotações: lápis, caneta, borracha;
•
Quadrados coloridos construídos em malha quadriculada com as medidas:
1x1, 2x2, 3x3, 5x5 e 8x8;
•
Calculadora.
3.8.4. Estratégias de ação:
O tempo previsto para o desenvolvimento desta atividade é de 1,5 hora-aula,
sendo, após, realizada a plenária, quando o grupo de alunos irá apresentar suas
impressões.
Distribuí-los em grupos de quatro alunos cada. O professor irá acompanhar a
execução das atividades, orientando-os nas dificuldades que surgirem.
3.8.5. Observações importantes:
O quadro com as peças utilizadas para as atividades seguintes encontra-se
no apêndice. Cada quadrado deve ser recortado conforme as especificações 1x1,
2x2, 3x3, 5x5 e 8x8, antes de ser entregue aos alunos.
3.8.6. Desenvolvimento:
Nesta atividade, você irá construir retângulos com as peças dadas, conforme
as indicações abaixo. A cada passo, registre os dados coletados na tabela que se
segue.
a) Escolha um quadrado 1x1 e anexe ao lado desse quadrado um outro, fazendo
um retângulo de lados 2 e 1 (ou seja, 2x1), sendo o lado maior igual à soma dos
quadrados anteriores. Observe que esses dados já estão registrados na tabela.
b) Anexe agora outro quadrado com lado igual a 2 unidades junto ao lado maior do
retângulo 2x1. Que retângulo você obtém? Observe a 1ª coluna da tabela,
completando também a 2ª e a 3ª colunas.
c) Continue anexando quadrados com lados iguais ao maior dos comprimentos dos
78
retângulos obtidos no passo anterior e continue registrando os dados dos lados
maior e menor que obteve na tabela. Observe sempre como estão sendo
construídos os retângulos.
Retângulo
Lado maior
Lado menor
1x1
1
1
2x1
2
1
3x2
QUADRO 8 – IDENTIFICAÇÃO DE RETÂNGULOS ÁUREOS FORMADOS A PARTIR DA
SEQUÊNCIA DE FIBONACCI
FONTE: A autora
d) Investigue quais são as medidas dos próximos dois retângulos que podemos
formar e registre também os dados na tabela. Se necessário, você pode desenhar os
retângulos formados numa malha quadriculada.
Professor: Neste ponto, os alunos podem sentir dificuldades em observar regularidades. É
interessante pedir que observem como estão se formando os retângulos com as peças e como
identificam os lados maior e menor, observando a sequência que se forma. Os dois próximos
retângulos que podemos identificar terão medidas 21x13 e 34x21.
e) A sequência que está se formando na tabela com as medidas dos lados maior e
menor dos retângulos segue um padrão. Descubra a relação que há entre esses
números e como elas estão “crescendo”, redigindo como você pensou e descobriu.
Professor: A sequência que se observa é a seguinte: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... Se o aluno
tiver dificuldades, incentive-o a observar como obtemos um dos números a partir de relações com
números anteriores.
f) Identifique qual é o 10º número que seria registrado na coluna referente às
79
medidas do lado menor dos retângulos, pois essa é a sequência completa.
Professor: O fato de identificar pela coluna com as medidas do lado menor dos retângulos é
porque está composta pelos números da sequência de Fibonacci a partir do primeiro. A coluna
referente ao lado maior se inicia pelo segundo número da sequência. O valor do 10º número é 55.
Essa sequência é chamada de Sequência de Fibonacci,
Fibonacci em
homenagem ao matemático italiano Leonardo Fibonacci de Pisa, um dos
responsáveis pela divulgação do sistema de numeração na Europa. Há uma
relação entre a Sequência de Fibonacci e o número de ouro Fi (cujo valor
aproximado é 1,6180339887...). Vamos descobri-la!
g) Iniciando pelos menores números da sequência, divida um número pelo seu
antecessor e verifique o que acontece, registrando seus cálculos e conclusões.
Ao efetuar as divisões, os alunos devem verificar que, ao dividir um número da sequência
pelo seu antecessor, os resultados se aproximarão do valor do número áureo 1,618...
Um retângulo áureo tem a interessante propriedade de, se o
dividirmos num quadrado e num retângulo, o novo retângulo é também áureo.
Repetindo este processo infinitamente e unindo os vértices dos quadrados
onde estes cortam os retângulos na razão áurea, obtém-se uma espiral a que
se dá o nome de espiral áurea.
h) Observe o retângulo que você construiu com as peças. Com o estudo que fez até
agora, você o considera um retângulo áureo? Por quê?
i) Vamos explorar agora essas peças quadradas que você utilizou para construir o
retângulo áureo, incluindo o valor da próxima que seria anexada. Calcule a área e o
perímetro de cada uma e registre os resultados no quadro abaixo:
80
Peças
Perímetro
Área
1x1
2x2
3x3
5x5
8x8
QUADRO 9 – ÁREA E PERÍMETRO DE PEÇAS QUADRADAS
FONTE: A autora
j) Identifique a razão entre um valor de perímetro encontrado pelo valor de perímetro
imediatamente inferior (que constará numa linha acima), registre o cálculo e anote o
resultado. Proceda ainda dessa forma com mais dois valores. O que você conclui
com relação à razão dos perímetros desses quadrados? Há proporção entre eles?
Presume-se que o aluno conclua que, ao dividir um valor de perímetro pelo imediatamente
inferior na coluna, também encontrará aproximadamente o número áureo 1,618... como resultado e
que há proporção direta entre os perímetros dos retângulos.
k) Identifique agora a razão entre um valor de área encontrado pelo valor
imediatamente inferior, registre o cálculo e anote o resultado. Proceda ainda dessa
forma com mais dois valores. O que você conclui com relação à razão das áreas
desses quadrados? Há proporção entre as áreas encontradas?
Professor: Ao efetuar o mesmo procedimento com relação às medidas de áreas
encontradas, o aluno observará que os valores não são imediatamente iguais ao número de ouro.
Talvez seja necessário relembrar o procedimento efetuado em intervenções anteriores, no qual o
aluno deveria calcular o inverso da potenciação nos resultados encontrados, verificando assim que a
proporção entre as áreas dos quadrados formados a partir da sequência de Fibonacci não é direta.
l) Dois polígonos são semelhantes quando a razão de proporção entre suas medidas
correspondentes são iguais. Então, podemos dizer que os quadrados que compõem
um retângulo áureo são semelhantes entre si? Por quê?
81
3.8.7. Avaliação:
A avaliação será desenvolvida a partir das observações, feitas pelo
professor, durante todo o procedimento de execução das atividades pelos alunos.
Ocorrerá também no momento final, quando serão colocadas as conclusões e as
dúvidas com relação: à formação da sequência de Fibonacci; à análise da proporção
entre área e perímetro dos quadrados que integram essa sequência, observada no
retângulo áureo.
Ao final das atividades do dia, será feito um relato dos resultados obtidos
com relação aos conhecimentos, adquiridos pelos alunos, referentes à razão áurea,
identificada como razão de proporção entre as medidas de área e perímetro do
retângulo áureo, formado a partir da sequência de Fibonacci. Serão relatadas,
também, as situações inesperadas que surgirem e como as situações esperadas de
fato ocorreram.
3.9.1. Objetivo geral:
Analisar como a proporção áurea historicamente construída e estudada é tão
atual nas aplicações em objetos e imagens de nosso dia a dia.
3.9.2. Objetivos específicos:
•
Analisar como a proporção áurea foi historicamente construída e estudada e
suas relações com a sequência de Fibonacci, a partir de vídeos explicativos
do youtube;
•
Identificar objetos e imagens do nosso dia a dia, nos quais se observa a
proporção áurea, por meio da razão entre os lados maior e menor medidos
nos retângulos que os compõem;
•
Recortar, colar e/ou desenhar objetos e imagens atuais nos quais se observa
a proporção áurea.
82
3.9.3. Recursos necessários:
•
Folhas dadas com as atividades;
•
Cartolina ou folhas em branco;
•
Material para anotações: lápis, caneta, borracha;
•
Tesoura, cola e régua;
•
Material multimídia “datashow” ou 16 computadores da sala de informática;
•
Objetos nos quais se observa proporção áurea em sua construção: cartões de
crédito, embalagens, livros, revistas, celulares;
•
Imagens de objetos e figuras nos quais se observa proporção áurea.
3.9.4. Estratégias de ação:
O tempo previsto para o desenvolvimento desta atividade é de 1,5 hora-aula,
sendo, após, realizada a plenária, quando o grupo de alunos irá apresentar suas
composições e conclusões.
Após a apresentação dos vídeos programados, distribuir os alunos em
duplas para a execução das atividades que se seguem.
3.9.5. Desenvolvimento:
Inicialmente, iremos assistir a dois vídeos do youtube, nos quais podemos
observar como a proporção áurea foi estudada e caracterizada na História, as
relações que podemos fazer com a natureza, as medidas do corpo humano e a
sequência de Fibonacci:
•
Número áureo Phi (parte 1), com tempo de 4 min 56 s:
<http://www.youtube.com/watch?v=w2NqqfHM9_8&feature=related>
•
Número áureo Phi (parte 2), com tempo de 6 min 22 s:
<http://www.youtube.com/watch?v=T0CA60XXYp0>
Professor: O vídeo pode ser apresentado aos alunos por equipamento multimídia ou, de
acordo com as disponibilidades da escola, ser gravado na pasta Compartilhamento Público dos
computadores da sala de informática, para que os alunos possam assisti-los individualmente. É
interessante que, após assistir cada um dos vídeos, sejam feitas considerações que sejam
83
importantes e proceda-se ao esclarecimento de dúvidas. Ao final, os alunos podem responder à
questão abaixo, contando o que mais lhes chamou a atenção.
Responda: O que mais chamou sua atenção nos vídeos a que assistiu?
Considere os retângulos desenhados abaixo. Quais deles, em sua opinião,
apresenta tamanho e formato mais agradável aos olhos? Investigue-os e responda
por quê.
A
C
B
D
F
E
Agora que conhecemos um pouco mais sobre a proporção áurea, vamos
identificá-la em objetos e imagens de nosso dia a dia.
Para isso, vamos primeiramente investigá-la em objetos como livros,
revistas, celulares, cartões de visita e de crédito, calculadoras, embalagens,
fotografias, etc.
Nesses objetos, meça os lados maior e menor das faces retangulares que os
compõem e verifique quais possuem a razão áurea (Fi) como razão de proporção,
ou seja, aproximadamente igual a 1,618...
Pesquise também imagens de objetos, pinturas, figuras de eletroeletrônicos
84
e fotos, nos quais, medindo seus lados, você encontra também o número áureo
como razão de proporção. Recorte-os e cole-os numa folha, colocando as medidas
de seus lados.
Registre abaixo o nome dos objetos e figuras nos quais identificou a
proporção áurea. Por que esses objetos usam medidas que resultam em proporção
áurea? Dê sua opinião.
Professor: Como sugestão, essas atividades podem ser expostas na escola, acompanhadas
de uma explanação geral sobre os assuntos trabalhados, organizada pelos alunos que participaram
das atividades.
3.9.6. Avaliação:
A avaliação será desenvolvida a partir das observações, feitas pelo
professor, durante todo o procedimento de execução das atividades pelos alunos.
Ocorrerá também no momento final, quando serão colocadas as conclusões e as
dúvidas com relação aos aspectos históricos, características e propriedades do
número de ouro. Esses aspectos devem ser observados nos vídeos assistidos e na
identificação da proporção áurea em objetos e imagens utilizados na atualidade.
Ao final das atividades do dia, será feito um relato dos resultados obtidos
com
relação
aos
conhecimentos,
adquiridos
pelos
alunos,
referentes
às
características do número de ouro e da sua aplicação na atualidade. Serão
relatadas, também, as situações inesperadas que surgirem e como as situações
esperadas de fato ocorreram.
4. CONSIDERAÇÕES FINAIS
A Unidade Didática elaborada surgiu com o intuito de pensar atividades
investigativas que envolvessem conteúdos de área e perímetro, levando os alunos a
assimilarem os conceitos básicos no que se refere aos quadros geométrico,
numérico e das grandezas, relacionando-os por fim ao quadro algébrico. E, para
uma aplicação com conteúdos curriculares específicos de 8ª série/9º ano, esses
conceitos foram explorados no estudo de razão e proporção e semelhança de uma
85
forma interativa, conciliando a análise histórica e atual de proporções no retângulo
áureo.
Espera-se, com essas atividades investigativas, que o aluno possa assimilar
e diferenciar os conceitos área e perímetro e também compreender suas aplicações
em estudos de proporções no retângulo áureo.
Os resultados obtidos no decorrer da implementação dessas atividades
servirão de subsídio para redação de um artigo científico, com o objetivo de
socializá-los e contribuir para estudos de outros professores e pesquisadores na
área da educação.
86
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Professor de Matemática. São Paulo, n. 67, p. 43-47, 3. quadrim. 2008.
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91
APÊNDICES
APÊNDICE 1 – MODELO DE FOLHA EM MALHA QUADRICULADA SIMPLES .... 92
APÊNDICE 2 – MODELO DE FOLHA EM MALHA QUADRICULADA 1x1 cm ........ 93
APÊNDICE 3 – PEÇAS DO RETÂNGULO ÁUREO FORMADO A PARTIR DA
SEQUÊNCIA DE FIBONACCI ..................................................... 94
92
MALHA QUADRICULADA SIMPLES
93
MALHA QUADRICULADA 1 x 1 cm
94