NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
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EXEMPLO 4.3
Baseando-se nos resultados de Exemplo 4.2,
supondo o escorrega (de Figura 4.1) instalado
dentro de um retângulo cheio de areia. É feita
uma aproximação do usuário tendo um centro
de massa (c) situado aos quadris e sendo x. e y.
as coordenadas como mostrado em Figura 4.2.
Dado os resultados de Exemplo 4.2, qual deve
ser a distância horizontal exigida do fim do
escorrega até a borda retangular, para assegurar
no pior caso que o usuário deslizará na areia
com as pernas completamente estendidas?
SOLUÇÃO 4.3
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
66
Na Figura 4.2, vemos o usuário no término do
deslizamento, e o diagrama que mostra a
subseqüente trajetória balística do centro de
massa do usuário:
Fig. 4.2 Pessoa delizando.
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
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Como o ângulo θ de liberação é zero grau,
equações (15), (16), (17), e (18a) podem ser
reescritas como segue:
x = x0 +v0t
(i)
y = y0 – 12 gt²
(ii)
vx = v0
vy = – gt
(iii)
(iv)
Note que, neste exemplo, as equações usam a
convenção de sinal positivo para direita e para
cima, a origem (0) está na Figura 4.2, e tempo
inicial (t0), é zero.
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Primeiro, resolva a queda livre na y-direção
relativo ao o tempo ( ∆ t):
yf = y0 – 12 g( ∆ t)²
(i)
e re-arrume para ∆ t:
2( y 0 − yf )
g
∆t=
(ii)
Do diagrama (onde m = comprimento em
metros):
y0 = 0.35 m + 0.07 m = 0.42 m
yf = 0.07 m
g aproximadamente = 9.81 m/s²
∆t =
0.70
= 0.267 segundos.
9.81
Depois, resolva para a distância ( ∆ x) na xdireção:
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
Rescreva (i):
xf = x0 + v0 ∆ t
Onde x0 = 0 e v0 = 5.42 m/s (do exercício
anterior).
xf = (5.42)(.267) = 1.45
O problema está completo notando (de Figuras
4.1 e 4.2):
x f' = x f + x c
x = 2.25m
'
f
Para esta situação, o comprimento horizontal em
frente ao escorrega deverá ser até maior que a
altura vertical do escorrega.
b CINEMÁTICA ANGULAR
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NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
70
As equações da cinemática para movimentos
rotacionais
consideram
posição
angular
e
deslocamento, velocidade angular, e aceleração
angular. O interesse particular do engenheiro de
fatores humano é o movimento de rotação em
torno de um eixo fixo, e especificamente o
movimento circular.
Ao considerar movimento circular, os vetores
velocidade e aceleração são definidos em
relação a duas direções ortogonais ao caminho
circular. Uma direção é normal (n) e o outro
tangencial (t) ao caminho circular. O vetor de
velocidade (v) sempre é considerado como
tangente ao caminho do movimento do corpo e é
designado como o tangencial ou velocidade
linear. A magnitude da velocidade linear é a
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
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taxa de mudança da posição relativa do corpo ao
longo de um segmento (s) do caminho circular:
ds
v = dt
(19)
Recorde que para movimento circular, o vetor
aceleração tem duas componentes ortogonais
(tangencial e normal). A aceleração tangencial
at é a taxa de mudança do vetor velocidade
linear:
dv
at = dt
(20)
A aceleração normal, an, é a taxa de mudança na
direção do vetor de velocidade:
v2
an= r
(21)
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
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Recorde que s =r . θ, para um movimento
circular o rádio (r) é constante, então equação
(19) pode ser redefinida como:
d (rθ)
dθ
v = dt = r dt
(22)
Como a taxa de mudança de deslocamento
angular é a velocidade angular, então:
v = r .ω
(23)
Substituição da equação (23) na equação (20)
ω
permite definir a aceleração tangencial.
at =
d
dt (rω)
d
= r dt
(24)
Lembre-se que a taxa de mudança da velocidade
angular é a aceleração angular:
at = r . α
(25)
Substituindo a equação (23) na equação (21)
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
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resulta:
an = r . ω²
(26)
O significado das equações (23), (25), e (26) é
que eles relacionam parâmetros lineares (v, at, e
an.) com parâmetros angulares (r, θ, e α).
Movimento circular uniforme é definido
como movimento rotacional em torno de um
eixo fixo com a velocidade linear do corpo
em rotação constante. Então, com respeito a
parâmetros rotacionais lineares:
at = 0
an =
v2
r
(27)
= rω²
(28)
Em relação a parâmetros de rotacionais angulares
para movimento circular uniforme:
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
74
v
ω = r = constante (29)
α=0
(30)
O conjunto de equações da cinemática para o
movimento rotacional de um corpo sobre um
eixo fixo pode ser derivado quando houver
aceleração angular constante α0. Nós derivamos
previamente as equações da cinemática para o
movimento de um corpo que tem movimento
linear unidimensional com aceleração constante
[eq. (3)—(6)]. Para derivarmos as equações para
movimento rotacional com aceleração constante
procede-se de maneira semelhante:
ω = ω0 + α0t
(31)
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
75
θ = θ0 + ω0t + 12 α0t² (32)
θ = θ0+ 12 (ω + ω0)t (33)
ω 2 = ω02 + 2α 0 ( θ − θ0 )
(34)
Equações (31)-(34) só podem ser usadas para
movimento rotacional em torno de um eixo fixo
com aceleração angular constante. Porém, tal
não é sempre o caso e concluímos esta seção
considerando o caso do movimento rotacional
sobre um eixo fixo com aceleração variável.
Neste caso, a aceleração angular é devido à
constante gravitacional, g.
EXEMPLO 4.4
a. Considere um corpo cujo centro de massa está
preso na extremidade de uma corda leve mas
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
76
forte. A corda tem um comprimento fixo (r) e sua
outra extremidade está fixa, sem atrito, num eixo
de rotação. A t=0, a corda esticada (de
comprimento, r) está perfeitamente horizontal, e o
corpo tem uma velocidade inicial de υ0. O corpo
então continua balançando para baixo sob a ação
do vetor gravidade, g, de forma que a corda se
torna cada vez mais vertical. Se o ângulo θ é o
ângulo entre o eixo horizontal inicial (a 0º) e a
corda com orientação mais vertical, ache a
expressão para a aceleração tangencial α.
b.Usando o resultado de 4.4a, derive uma
expressão para velocidade angular (ω), deslocamento angular (θ), e aceleração angular (α)
numa forma análoga a equação (34).
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SOLUÇÃO 4.4(a)
Esquematize o sistema, quando gira de θ = θ0 =
0º para θ = 90º, e use a convenção de sinal
positiva para a direita e descendente:
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Desenhe o diagrama de corpo-livre do sistema a
algum ângulo, θ:
Resolva para at:
FT = m ⋅ g ⋅ senφ
FT = m ⋅ g ⋅ sen(90 – φ)
FT = m ⋅ g ⋅ cos θ (i)
FT
aT =
= g⋅ cosθ
m
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NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
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SOLUÇÃO 4.4 (b)
Da equação (20):
dv
aT =
dt
d v = a T ⋅ dt
Equação 4.4(a)(i) substituindo em (i):
dv = g ⋅ cosθ ⋅ dt
(ii)
Lembre-se de (22):
dθ
v=r⋅
dt
Re-arrumando:
dt =
r ⋅ dθ
v
(iii)
Substituindo (iii) em (ii):
r ⋅ dθ
d v = g ⋅ cosθ ⋅
v
(i)
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
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Separando variáveis:
v ⋅ dv= g ⋅ r cosθ ⋅ dθ
Definindo a condição inicial, v0(θ0), e integrando:
∫
υ0
v ⋅ d v = ∫ θ0 g⋅ r⋅ cosθ ⋅ d θ
v2 ⎤
⎥ = (g ⋅ r ) ⋅ sinθ 0
2⎦
]
(iv)
v 2 v 02
−
= g ⋅ r[sinθ − sinθ 0 ]
2
2
v 2 = v 02 + 2g ⋅ r[sin θ − sin θ 0 ]
Como v = r .
2g
ω =ω +
⋅ (sinθ − sinθ 0 )
r
Lembre-se que:
2
2
0
(v)
NOTAS DE AULA – INTRODUÇÃO À ENGENHARIA BIOMÉDICA
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dω
α=
dt
dv
g=
dt
Re-escrevendo g em notação de angular:
d ( r ⋅ ω)
dω
g=
=r⋅
= r ⋅ω
dt
dt
(vi)
Substituindo (vi) em (v):
ω 2 = ω 02 + 2 ⋅ α(sinθ − sinθ 0 )
(vii),
onde α = g/r = constante que está na forma da
equação (34).