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C APÍTULO 1
C INEMÁTICA V ETORIAL DA P ARTÍCULA
Freqüentemente a segunda lei de Newton é escrita na forma clássica que
relaciona a força resultante com a aceleração da partícula. O estudo da cinemática
da partícula tem como objetivo obter as relações matemáticas entre as grandezas
posição, velocidade e aceleração, num determinado referencial.
1.1
V ETORES P OSIÇÃO , V ELOCIDADE E A CELERAÇÃO
Seja o sistema xyz da Figura 1.1 fixo num espaço inercial e seja o
movimento em relação a este referencial denominado como movimento absoluto.
O vetor r representa a posição da partícula P no instante t, indicado por r
r (t ) , e
o vetor r representa a posição desta mesma partícula no instante t , indicado por
r
r (t ) .
z
P(t´)
r
r
P(t)
r
S
y
x
Figura 1.1 - Vetores posição e deslocamento de uma partícula P.
2
Por definição, a velocidade no instante t é dada por:
v
lim
t
onde
r
r
t
r' r
t' t
r
t
lim
t
0
dr
dt
(1.1)
r é o vetor deslocamento no intervalo de tempo
t
t
t , conforme
mostra a Figura 1.1. Analisando o limite dado na equação (1.1) pode-se concluir
que o vetor velocidade v é tangente à curva S no instante t.
z
v
P(t’)
v
v
r
r
v
v
P(t)
P
r
S
y
x
Figura 1.2 - Vetores velocidade de uma partícula P.
De maneira semelhante, define-se a aceleração da partícula P no instante t
como:
a
onde
v
v
v' v
lim
t' t t' t
lim
t
0
v
t
dv
dt
d 2r
dt 2
(1.2)
v corresponde à variação do vetor velocidade, conforme mostra a
Figura 1.2. Analisando o limite na equação (1.2) pode-se concluir que o vetor
aceleração possui uma componente tangencial e uma componente normal (exceto
para trajetórias retilíneas) em relação à curva S no instante t.
3
1.2
C OMPONENTES T ANGENCIAL E N ORMAL
Muito frequentemente desejamos trabalhar com as coordenadas tangente e
normal à curva do movimento s(t). Conforme visto na seção anterior, de uma
forma gráfica e através da geometria, podemos representar os vetores velocidade e
aceleração num determinado instante, nas coordenadas móveis tangente e normal,
conforme mostra a Figura 1.3. Vamos demonstrar de forma mais precisa estes
afirmações.
ut
z
v
a
P
un
S
y
x
Figura 1.3 - Direções tangencial e normal:
vetores velocidade e aceleração de uma partícula P.
Vamos tomar uma dada curva s(t) e duas posições nos instantes t e t’.
Vamos representar o deslocamento escalar sobre a curva entre est es dois instantes
por s e o deslocamento vetorial através de r , conforme já definido.
S
s
P
s
r
P
s
Figura 1.4 - Deslocamentos escalar e vetorial.
Uma relação geométrica fundamental entre estes deslocamentos, isto é,
entre os comprimentos da corda e do arco é dada por:
4
r
lim
t
onde
r
r
(1.3)
1
s
0
r é o vetor deslocamento e
curva percorrido no intervalo de tempo
s
s
s é o comprimento do trecho da
t , conforme mostra a Figura 1.3.
Analisando o limite dado na equação (1.3) pode-se concluir que:
r
s
lim
t
0
dr
ds
(1.4)
ut
onde ut é o vetor unitário da direção tangente ou versor tangente. Lembrando que
v
dr
dt
v
dr
dt
(1.5)
então
ds dr
dt ds
(1.6)
v ut
z
S
P(t’)
v
s
s
P(t)
s
y
x
Figura 1.5 - Vetor velocidade de uma partícula P.
Assim, podemos concluir que o vetor velocidade v é tangente à curva S no instante
t. Portanto, dada s = s(t) uma função do percurso sobre a curva S, podemos definir
a derivada
v
ds
dt
(1.7)
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como a velocidade na forma escalar, uma função positiva ou negativa de acordo
com o sentido do percurso sobre S.
A aceleração da partícula P em componentes tangencial e normal pode ser
obtida através de
a
dv
dt
(1.8)
Substituindo (1.6) em (1.8) obtemos
a
dv
dt
d
(v ut )
dt
dv
ut
dt
v
dut
dt
(1.9)
É necessário analisar a segunda parcela de (1.9). Inicialmente vamos decompor a
derivada temporal do versor tangente pela regra da cadeia e, em seguida,
aplicamos (1.7) e a relação geométrica ds
dut
dt
d s d ut
dt d s
para obter
d
v d ut
d
(1.10)
z
ut
P(t’)
ut
ut’
ut
´
s
ut
P(t)
S
y
x
Figura 1.5 - Versores tangentes.
Para calcularmos a derivada do versor tangente em θ vamos lembrar que
6
dut
d
ut
lim
(1.11)
0
Vamos analisar a Figura 1.5. Verificamos que os versores nos instantes t e t’, e o
vetor da variação entre estes dois instantes, formam um triângulo isósceles tendo
os dois lados iguais de comprimento unitário e a sua base dada por
ut
2 sen
(1.12)
u
2
onde u é o versor da direção de
2 sen
dut
d
lim
ut . Substituindo (1.12) em (1.11), obtemos
sen
2 u
lim
0
2 u
0
un
(1.13)
2
Levando (1.13) em (1.10), obtemos
dut
dt
v
(1.14)
un
O resultado obtido em (1.14) é então aplicado em (1.9)
dv
dt
d
( vut )
dt
dv
ut
dt
v2
un
(1.15)
Assim obtemos as componentes tangencial e normal da aceleração, ou seja,
a
dv
dt
at ut
an un
(1.16)
onde
at
an
dv
dt
v2
v aceleração tangencial
aceleração normal
(1.17)
(1.18)
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Observemos inicialmente que em qualquer movimento retilíneo a aceleração
normal é nula, enquanto que nos movimentos curvilíneos esta aceleração será
sempre diferente de zero, mesmo quando a velocidade tiver módulo constan te.
Assim podemos concluir que o único movimento possível com aceleração total
nula é o retilíneo uniforme. Neste caso tanto a aceleração tangencial como a
aceleração normal são nulas. O movimento retilíneo não uniforme terá aceleração
tangencial diferente de zero e qualquer movimento curvilíneo terá aceleração
normal diferente de zero, além da tangencial no caso de movimento não uniforme.
Neste sistema de coordenadas, há uma terceira direção que é perpendicular
ao plano que contém os vetores u t e u n , denominada direção binormal. Nesta
direção a componente da aceleração é sempre nula. É definida pelo versor:
ub
1.3
(1.19)
ut un
C OMPONENTES R ETANGULARES
Escolhendo as coordenadas retangulares xyz e os versores de suas direções
indicados por i, j e k, respectivamente, podemos escrever o vetor posição r = r(t)
r
xi
yj
(1.20)
zk
z
v
a
P
r
k
j
S
y
i
x
Figura 1.6 - Movimento em coordenadas cartesianas.
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Nestas coordenadas o movimento da partícula P é dado pela composição de três
movimentos retilíneos x=x(t), y=y(t) e z=z(t). A velocidade deste movimento em
relação ao referencial xyz é dada por:
v
dr
dt
dx
i
dt
dy
j
dt
dz
k x i
dt
y j z k
(1.21)
onde i , j e k são os vetores unitários do referencial xyz. A aceleração deste
movimento em relação a este referencial é dada por
a
d 2x
i
dt 2
dv
dt
d2y
j
dt 2
d 2z
k x i
dt 2
y j z k
(1.22)
Sendo a velocidade um vetor tangente à trajetória, é possível obter o versor
tangente através de
v
v
ut
v
x
2
y 2
z 2
(1.23)
Quando houver interesse, pode-se obter a componente tangencial da aceleração
at
a ut
(1.24)
e a aceleração normal
an
a 2 at2
(1.25)
ou, vetorialmente,
an
a at
(1.26)
Portanto, o versor da direção normal pode ser obtido através de
un
an
an
(1.27)
9
1.4
C OMPONENTES C ILÍNDRICAS
Escolhendo as coordenadas cilíndricas r,
e z e os versores de suas
direções radial u r e transversal u , ambos no plano xy, e k da direção z, podemos
escrever o vetor posição r P = r P (t)
rP
r ur
(1.28)
zk
z
S
P
rP
z
y
r
projeção de S
u
ur
x
Figura 1.6 - Movimento em coordenadas cilíndricas.
y
u
ur
Projeção de P
r
projeção de S
x
z
Figura 1.7 - Projeção no plano xy do movimento em coordenadas cilíndricas.
Nestas coordenadas, o movimento da partícula P é dado pela composição de três
movimentos: radial r = r(t), transversal
deste movimento é dada por:
=
(t) e vertical z = z(t). A velocidade
10
v
drP
dt
dr
ur
dt
r
dur
dt
dz
k
dt
(1.29)
A derivada da segunda parcela é dada por
dur
dt
d dur
dt d
(1.30)
usando o resultado obtido em (1.13), por analogia, pode-se escrever que
dur
dt
d
u
dt
(1.31)
Aplicando (1.31) em (1.29), obtém-se a velocidade
v
drP
dt
vr
dr
dt
v
r
vz
dz
dt
dr
ur
dt
r
d
u
dt
dz
k
dt
(1.32)
onde
r
d
dt
(1.33)
r
(1.34)
z
(1.35)
Derivando a velocidade dada em (1.32), obtemos a aceleração
a
dv
dt
d 2r
ur
dt 2
dr dur
dt dt
dr d
u
dt dt
d2
r 2 u
dt
d du
r
dt dt
d 2z
k
dt 2
(1.36)
Aplicando (1.31) em (1.36) obtemos
a
dv
dt
d 2r
ur
dt 2
2
dr d
u
dt dt
r
d2
u
dt 2
r
d du
dt dt
d 2z
k
dt 2
Usando o resultado obtido em (1.13), por analogia, pode-se escrever que
(1.37)
11
du
dt
d
ur
dt
(1.38)
e aplicando (1.38) em (1.37) obtemos finalmente:
a
dv
dt
a
dv
dt
d 2r
ur
dt 2
2
dr d
u
dt dt
r
d2
u
dt 2
r
d2
dt 2
r
d d
ur
dt dt
d 2z
k
dt 2
(1.39)
ou
d 2r
d
r
2
dt
dt
2
ur
2
dr d
u
dt dt
d 2z
k
dt 2
(1.40)
Assim, em componentes
1.5
ar
d 2r
d
r
2
dt
dt
a
r
az
d 2z
dt 2
d2
dt 2
2
2
dr d
dt dt
r r  2
(1.41)
r  2r 
(1.42)
z
(1.43)
M OVIMENTO R ELATIVO ENTRE P ARTÍCULAS
Até aqui, os referenciais utilizados foram considerados como absolutos.
Frequentemente, em movimentos mais complexos, é interessante determinar as
características cinemáticas desses movimentos a partir de dois ou mais
movimentos identificados como relativos. Sejam os movimentos de duas partículas
A e B, num referencial absoluto xyz, conforme mostra a Figura 1.8, e os seus
vetores posição, dados por
rA
xA i
yA j z A k
e
rB
xB i
yB j z B k
(1.44)
12
z'
z
SA
y'
A
rB/A
x'
rA
B
rB
y
O
x
SB
Figura 1.8 - Movimento relativo de duas partículas.
Vamos tomar um referencial móvel x’y’z’, fixo na partícula A de tal forma que
seus eixos não sofram rotação, isto é, mantém as suas direções fixas ao longo de
todo o movimento. Nós dizemos que este referencial realiza um movimento de
translação em relação ao referencial fixo xyz. Assim podemos escrever
rB
rA rB / A
(1.45)
onde dizemos que rB / A é o “vetor posição de B em relação a A”. Observe que é
uma forma livre de se expressar, pois, de fato, não existe movimento relativo a
uma partícula A, mas sim a um referencial x’y’z’, fixo em A. Para se obter a
relação entre as velocidades, deriva-se (1.45) para se obter
vB
v A vB / A
(1.46)
onde v A e v B são, respectivamente, as velocidades das partículas A e B em relação
ao referencial xyz, enquanto que v B / A é a velocidade da partícula B em relação ao
referencial x’y’z’, também chamada de forma simplificada como velocidade
relativa de B em relação a A. Para obtermos a relação entre as acelerações, basta
derivarmos a (1.46):
aB
a A aB / A
(1.47)