FO - Parâmetros normalizados
Parâmetros normalizados

U  a.u  a k .n  k
Frequência normalizada

2
0
2
1
V  U W
2


1
2 2
V  a u v
2
2
2


1
2 2
z
2
W  a.w  a k  n .k


1
2 2
2
 ak0 n  n

2
1
k0 
2
z
 ak0 n1 2 

c
Constante de Propagação Normalizada
U 2 W 2 k z / k0   n22
b  1 2  2 
V
V
n12  n22
  1  k z / k0   n2
2
n1  n2
Contraste
n12  n22

2n12
  1  n2  n2
n1
NA  n  n
2
1

1
2 2
2
 n1 2  
1
2
V
k0 a
2
0
(abertura numérica)
1
2

1
2 2
2
Equação característica da
Fibra Óptica
 mk
u 2  w2
z

 a 2 n k u 2 w2
1 0

2

 J '  ua 
K 'm  wa  
  m



u
J
ua
wK
'
wa






m
 m

2


n
J
'
ua
K
'
wa




m
 m

 2
 u J m  ua  n 2 wK 'm  wa  
1


Funções de Bessel J e N de 1ª e 2ª espécies e funções de Bessel modificadas K e I
Funções de Bessel adequadas à descrição da variação radial dos campos na FO
no núcleo Jm(ur) e na baínha Km(wr)
Modos de Propagação
Numa Fibra Óptica
Distribuição transversal dos campos numa fibra óptica em diversos modos de propagação
Condições de corte
Condições de corte
modos HEmN (m >1)
W → 0, a equação característica aproximada assume a forma
(a )
J m 1U c 
1

U c J m U c  2(m  1)

2(m  1)
J m 1U c   J m U c 
Uc
dado que 
Condições de corte:
J m x   J m  2 ( x ) 
2(m  1)
J m 1x 
x
J m  2 U c   0, Vc  U c  x m  2N
Excluíndo raízes nulas, incompatíveis com (a)
2
2
• As condições de corte para Δ arbitrários dependiam de n1  n 2
Fazendo a aproximação do pequeno contraste, n 2  n 2 , recupera-se a condição agora
1
2
deduzida
Condições de corte
• Modos EHmN (m > 0)
A condição de corte
Jm (Uc) = 0,
Uc = Vc = xmN , mas excluindo a raíz nula xm1 > 0
• Modos HE1N
A condição de corte
J1 (Uc) = 0,
Uc = Vc = x1N, agora a primeira raíz (nula) é válida, x11 = 0
HE11 é, portanto, o modo fundamental e tem frequência de corte
nula (Uc = Vc = 0).
Condições de corte
modos HEmN (m >1)
W → 0, a equação característica aproximada assume a forma
(a )
J m 1U c 
1

U c J m U c  2(m  1)

2(m  1)
J m 1U c   J m U c 
Uc
dado que 
Condições de corte:
J m x   J m  2 ( x ) 
2(m  1)
J m 1x 
x
J m  2 U c   0, Vc  U c  x m  2N
Excluíndo raízes nulas, incompatíveis com (a)
2
2
• As condições de corte para Δ arbitrários dependiam de n1  n 2
Fazendo a aproximação do pequeno contraste, n 2  n 2 , recupera-se a condição agora
1
2
deduzida
Condições de corte
• Modos EHmN (m > 0)
A condição de corte
Jm (Uc) = 0,
Uc = Vc = xmN , mas excluindo a raíz nula xm1 > 0
• Modos HE1N
A condição de corte
J1 (Uc) = 0,
Uc = Vc = x1N, agora a primeira raíz (nula) é válida, x11 = 0
HE11 é, portanto, o modo fundamental e tem frequência de corte
nula (Uc = Vc = 0).
Teoria modal:
Fibras ópticas com pequeno constraste (Δ<<1)
a) Modos TE0N
Equação característica
b) Modos TM0N
Equação característica
J1U 
K1W 

0
U J 0 U  W K 0 W 
J1 U 
K W 
 1  2  1
0
U J 0 U 
W K 0 W 
Os Modos TE e TM têm (aproxi.) a mesma equação de dispersão (modos aproxi. degenerados).
Condição de corte
No corte: W → 0
J0 (U) → 0
Uc = Vc = x0N, onde J0 (x0N) = 0
(são as mesmas condições de corte da análise efectuada para Δ arbitrário)
c) Modos híbridos (m>1)
2
2
Para n1  n 2
aproximada:
(Δ<<1), a equação característica toma a forma (nota-se que kz ≈ k0 n1)
 1
J 'm U 
K 'm W 
1 


  m


2
2
U J m U  W K m W 
W 
U
As soluções correspondentes ao sinal + associa-se aos modos EH e ao sinal – aos modos HE.
a) Equação característica dos modos EHmN
Componentes de suporte:
Condições de corte W → 0,
J m 1U  K m 1W 

0
U J m U  W K m W 
Z
Ez A
  j 0
n1
Hz B
J m 1U 

U J m U 
Jm(Uc) = 0, Uc = Vc =xmN, excluíndo a raíz nula (Uc = Vc = 0)
U   1  
J
lim U 0 m 1
U J m U 
2(m  1)
(condições de corte para o caso de Δ arbitrário)
b) Equações características dos modos HEmN
J m 1U  K m 1W 

0
U J m U  W K m W 
Componente de suporte:
Z
Ez A
  j 0
n1
Hz B
Condição de corte: W → 0
modos HE1N
J1 (Uc) = 0, Vc = Uc = x1N
a primeira raíz x11 = 0 (nula, Vc = Uc = 0) é válida
limU0
J 0 U 

U J1( U)
Corresponde ao modo fundamental (frequência de corte nula) HE11.
(condições de análise efectuada para Δ arbitrário).